G3.2 TEOREMA – TEOREMA LIMIT

Pada pasal ini akan diperolehbeberapa hasil yang sering digunakanuntuk menghitung nilai limit barisan.

Definisi 3.2.1

Suatu barisan bilangan-bilangan real

Nnnx

dikatakan terbatas jika terdapat

bilangan M > 0 sehingga Mxn untuk

setiap n N.

Akibat:Barisan

Nnnx

terbatas jika dan hanya

jika {xn│n N} terbatas di }.Bukti:

)( DipunyaiNnnx

terbatas.

Ambil sembarang n N.Pilih M >0 sehingga Mxn .

Jelas Mxn MxM n .

Jadi–M suatu batas bawah {xn│n N}M suatu batas atas {xn│n N}.Jadi {xn│n N} terbatas.

)( Dipunyai {xn│n N} terbatas.

Tulis A: {xn│n N},Mb: suatu batas bawah A,Ma: suatu batas atas A.

Pilih M = maks{│Mb│,│Ma│}.Jelas Mxn .

Jadi M > 0 Mxn n N.

JadiNnnx

terbatas.

Teorema 3.2.2:

JikaNnnx

konvergen maka

Nnnx

terbatas.

Bukti:Dipunyai

Nnnx

konvergen.

Tulis xxNnn

.

Pilih 01 .Pilih )1(K N sehingga

1 xxn apabila n K(1).

Jelas 1 xxxx nn .

Jadi 1 xxn apabila n K(1).

Tulis }1,,,sup{ 11 xxxM k .

Jadi xMxM n0 N.

JadiNnnx

terbatas.

Teorema 3.2.3:

Jika xxNnn

dan yy

Nnn

maka:

(1) yxyxNnnn

,

(2) yxyxNnnn

,

(3) yxyxNnnn ..

,

(4) xKxKNnn ..

,

(5) Jika 0

zzNnn

makaz

x

z

x

Nnn

n

.

Bukti (3):Jelas ))(( xyyxyxyxxyyx nnnnnn

xyyxyxyx nnnn

= xxyyyx nnn .

Dipunyai xxNnn

dan

yyNnn

.

JelasNnnx

terbatas.

PPilih nMxM n 00 0 N.

Tulis },sup{ 0 yMM .

Jelas xyyx nn xxMyyM nn .

Ambil sembarang 0 .Pilih K1, K2 N sehingga:

Mxxn 2

apabila n K1 dan

Myyn 2

apabila n K2.

Pilih },sup{ 21 KKK .

Jels xyyx nn apabila n K.

Jadi K0 N sehingga

xyyx nn apabila n K.

Jadi yxyxNnnn ..

.

Bukti (5):

Dipunyai 0

zzNnn .

Ambil sembarang 0 .Pilih )(K N sehingga

2

2zzzn apabila n K().

Pilih 2K N sehingga

2

zzzn apabila n K1.

Jelas2

zzzn

2

zzzzz nn .

Jadi2

zzn

zzn

21 .

Pilih }),(sup{ 1KKK .

Jadi nnn

n

n

zzzzzz

zz

zz

.

1.

1

.

11

2.

22

2

z

z = .

Jadi )(0 K N sehingga

zzn

11apabila )(Kn .

Jadizz

Nnn

11

.

Jadiz

x

zx

zx

z

x

Nnnn

Nnn

n

1.

1. .

Teorema 3.2.4

Jika xxNnn

dan xn 0 Nn

maka x 0.

Bukti:Andaikan x < 0.Ambil sembarang 0 .Pilih K N sehngga

xxn apabila n K.

Jelas xxn xxx n .

Kasus x :Jelas xk < x – x = 0.Ini suatu kontradiksi.

Jadi x 0.

Teorema 3.2.5

Jika xxNnn

, yy

Nnn

, dan

Nnyx nn maka bxa .

Bukti:

Dipunyai xxNnn

, yy

Nnn

,

dan Nnyx nn .

Jelas yxyxNnnn

dan

Nnxy nn 0 .

Jadi yxxy 0 .

[Teorema 3.2.6

Jika xxNnn

dan Nnbxa n

maka a ≤ x ≤ b.

Bukti:Dipunyai

xxNnn

dan Nnbxa n .

Bangun Nnayy nNnn

, dan

Nnbzz nNnn

, .

Jelas ayNnn

dan bz

Nnn

.

Jadi a ≤ x ≤ b.

Perolehan berikut ini menyatakanbahwa jika barisan

Nnny

diapit oleh

dua barisan yang konvergen ke suatubilangan real yang sama maka barisan

Nnny

konvergen ke nilai yang sama.

Teorema 3.2.7

Dipunyai barisan-barisanNnnx

,

Nnny

, danNnnz

mempunyai sifat

nnn zyx untuk setiap n N.

JikaNnnx

dan

Nnnz

konvergen ke

suatu bilangan real yang sama makabarisan

Nnny

.

Bukti:Tulis xx

Nnn Nnnz

.

Ambil sembarang 0 .Pilih NK sehingga

xxn dan xzn apabila n N.

Dipunyai nnn zyx xzxyxx nnn .

Jadi },sup{ xzxxxy nnn .

Jadi NK 0 sehingga

xyn apabila Kn .

Jadi xyNnn

.

Contoh 3.2.8

(a) BarisanNn

n

divergen.

Bukti:Andaikan

Nnn

konvergen.

Tulis xnNn

untuk suatu bilangan

real x.Jadi

Nnn

terbatas.

Pilih M > 0 sehingga NnMn .Ini suatu kontradiksi.Jadi

Nnn

divergen.

(b) BarisanNn

n

)1( divergen.

Bukti:

Jelas Nnn 11)1( .

JadiNn

n

)1( terbatas.

Andaikan aNn

n

)1( untuk suatu

bilangan real a.Ambil = 1.

Pilih NK 1 sehingga 1)1( an

apabila 1Kn .Kasus n gasal:

Jelas 11 a –2 < a < 0.

Kasus n genap:Jelas 11 a 0 < a < 2.

Ini suatu kontradiksi.

JadiNn

n

)1( divergen.

K

(c) Tunjukkan 212

Nnn

n.

Bukti:

JelasNnNn nn

n

1

212

.

BangunNnnx

dengan xn = 2 Nn

danNnny

dengan xn = Nn

n

1.

Jelas 2Nnnx dan 0

Nnny .

Jadi 20212

Nn

Nnnn n

nyx .

(d) Tunjukkan 25

12

Nnn

n.

Bukti:

JelasNnn

n

Nnn

n

5

1

1

2

5

12.

Jerlas 22 1 Nnn dan 11 5

Nnn .

Jadi 11

2

1

2

5

125

1

Nnn

n

Nnn

n.

(e) Tunjukkan 01

22

Nnn

n.

Bukti:

Jelas

Nn

Nn

n

nn

n

2

2 11

2

1

2.

Jelas 02

Nnn

dan 11

12

Nnn

.

Jadi 01

0

1

22

Nnn

n.

(f) Tunjukkan 0sin

Nnn

n.

Bukti:

Jelas Nnn 1sin1

Nnnn

n

n

1sin1.

JelasNnNn nn

1

01

.

Jadi 0sin

Nnn

n.

(g) Dipunyai xxNnn

untuk suatu

bilangan real x. Jika p(x) suatu sukubanyak maka )()( xpxp

Nnn

.

Bukti:

Tulis 01

1)( atatatp kk

kk

.

Jelas )()(0

xptaxpNn

n

i

iiNnn

.

Teorema 3.2.9

Jika xxNnn

maka xx

Nnn

.

Bukti:

Ambil sembarang 0 .Pilih NK sehingga

xxn dan xzn apabila n N.

Jelas xxxx nn .

Jadi xxn .

Jadi 0 NK sehingga

xxn apabila n N.

Jadi xxNnn

.

[Teorema 3.2.10

Dipunyai barisan xxNnn

.

Jika xn 0 maka xxNn

n

.

Bukti:Kasus x = 0:

Ambil sembarang > 0.

Pilih K N sehingga 20 nx apabi-

la n K.Jelas 20 nx xn < 2

nx

0nx .

Jadi 00 nxNK apabila

n K.

Jadi xxNn

n

.

Kasus x > 0:

Jelas 0x .Jelas

xxxxx

xxxx n

n

nn

.

1.

Jelas 01

x

dan 0Nnn xx .

Jadi xxNn

n

.

Latihan 3.2

1. Periksa barisan-barisan berikut inikonvergen atau divergen:

(a)Nnn

n

1(c)

Nn

n

n

1

)1(

(b)Nn

n

n

1

2

(d)Nn

n

n

1

322

2

2. Berikan contoh dua barisan yang divergenakan tetapi jumlahnya konvergen.

3. Tunjukkan bahwa barisanNn

n

2

divergen.

4. Tentukan nilai limit barisan berikutini:

(a)Nnn

2)1

2( (c)Nn

n

n

2

)1(

(b)Nn

n

n

1

1(d)

Nnnn

n

1

5. Dipunyai nnyn 1 untuk

semu Nn . Tunjukkan bahwa

barisanNnny

dan

Nnnyn

konvergen.

6. Jika nnnn baz

1

)( dengan 0<a<b

tunjukksn bahwa bzNnn

.