>

* Joseph Louis Lagrange, 1736 - 1813, matematician francez:

* Teorema cresterilor finite: Fie o functie definita pe un interval I si a < b doua puncte din acest

interval.

Daca : - f este continua pe [a, b]

- f este derivabila pe (a,b) atunci ∃c ∈ (a,b) astfel incat

Exemple:

1) Sa se studieze aplicabilitatea teoremi lui Lagrange in cazul functiei:

f : [1,3]

Solutie:

-Verificam continuitatea functiei:

- Verificam derivabilitatea : f ' (x) =

f (b ) K f (a )

b K a = f '

(c ) .

/ =, f (x ) =

ì

í

î

ïïï

ïï

x, daca 1 % x % 2

x4

4C 1 daca 2 ! x % 3

limx / 2, x ! 2

x =

2

ì

í

î

f (2 ) = limx / 2, x ! 2

f (x ) = limx / 2, x O 2

f (x ) = 2.

limx / 2, x O 2

x4

4C 1 = 5

ì

í

î

ïïï

ïï

1 daca 1 % x ! 2

x

2 daca 2 ! x % 3

Teorema

lui Lagrange ( a cresterilor finite )

In punctul x = 2 avem:

Am obtinut =

Cazul 1: daca c ∈(1,2) => f ' (x) =

Cazul 2: daca c ∈(2 , 3) => f ' (c) =

2) Sa se demonstreze inegalitatea:

f ' s (2) = limx / 2, x ! 2

x K 2

x K 2 = 1;

f ' d (2 ) = limx / 2, x O 2

x2 C 1 K 2

x K 2 =

1

4

$ limx / 2, x O 2

(x K 2 ) (x C 2)

(x K 2 ) = 1

f ' s

f ' d = 1 , deci functia este derivabila si atunci se poate

aplica teorema lui Lagrange :

f (3 ) K f (1 )

3 K 1 =

9

4C 1 K 1

2=

9

8 , se disting doua

cazuri :

9

8 !=O 1 =

9

8,

imposibil

9

8 !=O

c

2=

9

8 !=O 4 c = 9 !=O c =

9

4 2 (2, 3)

x

1C x! ln(1C x ) ! x, x O 0;

Solutie : Aplicam teorema lui Lagrange functiei f ( t ) = ln(1C t ) pe intervalul [ 0, x ];

f (b ) K f (a )

b K a = f ' (c ) dev ine

f (x ) K f (0 )

x K 0 = f ' (c ) , deci

ln(1C t )

x =

1

1C c. . Cum 0 ! c ! x avem :

1 < c+1 < x+1 si 1 >

=> 1 >

>

1

cC 1O

1

x C 1

ln(1C x )

xO

1

x C1=O x O ln(1C x ) O

x

x C1.