TEOREMA LUI PITAGORA

a

c b

222 cba

Completaţi textul: Într-un triunghi dreptunghic, pătratul …………..este egal cu ………… pătratelor ………………….Demonstraţie intuitivă

Teorema lui Pitagora

Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute teoreme din geometria plană .Teorema lui Pitagora afirmă că:

"într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei".

aIpotenuză

catetăc

catetăb

222 cba

Demonstraţie matematică:

• Fie triunghiul dreptunghic ABC, m(‹A)=90°. Construim perpendiculara din A pe latura opusă BC şi fie D piciorul acestei perpendiculare.

Triunghiul ABC fiind dreptunghic putem aplica teorema catetei, de două ori, pentru fiecare din catetele sale.

• Pentru cateta AC, obţinem:

AC²=CD·CB (1)Pentru cateta AB, obţinem:

AB2=DB·BC (2)Adunând relaţiile (1) şi (2) obţinem:AC²+AB²=CD·CB+DB·BCAC² +AB²=BC·(CD+DB)AC²+AB²=BC²(q.e.d)Alta demonstraţie

B

A

CD

1.Fie triunghi ABC dreptunghic în A:a) Dacă lungimile catetelor AB şi AC sunt 4cm, respectiv 3cm, determinaţilungimea ipotenuzei BC.b) Dacă cateta AC=6cm, iar ipotenuza BC= 10cm, determinaţi lungimeacatetei AB.Rezolvare

Obs: teorema lui Pitagora poate fi folosită şi pentru determinarea lungimii unei catete:

Pătratul lungimii unei catete este egal cu diferenţa dintre pătratul lungimii ipotenuzei şi pătratul lungimii celeilalte catete.

Probleme

2. Un triunghi dreptunghic are o catetă cu lungimea de 3 cm, şi unghiul care se opune ei de 300. Calculaţi lungimile ipotenuzei, a celeilalte catete şi a înălţimii corespunzătoare ipotenuzei

Rezolvare

ProblemeProbleme

Test

Numai dreptunghic daca este Un biet triunghi, nu e poveste,Ci-n totdeauna este adevarat:Ipotenuza la patratEgala este, neaparat,Cu o cateta la patrat Ce adunata trebuie-ndatCu cealalalta la patrat.

Ştiaţi că:

aIpotenuză

catetăc

catetăb

222 cba

Rezolvare problema 1

a)A

B C

a) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel:

BC2 =AB2 +AC2

Înlocuim:

BC2= 42+32

BC2 = 16+9

BC2 = 25cm, de unde BC= 5cm.

4cm3cm

A

B C

b) Aplicăm teorema lui Pitagora astfel:

AB2 = BC2 -AC2

Înlocuim:

AB2= 102 -62

AB2 = 100-36

AB2 = 64cm, de unde AB= 8cm.

6cm

10cm

b)

Rezolvare problema 2

• În triunghiul dreptunghic ABC, aplicăm teorema lui Pitagora astfel:

BC² =AB² +AC²• Înlocuim:

62 = AB² +32 AB² = 36-9 AB² = 25 cm, de

unde AB= 5cm.• În triunghiul

dreptunghic ADB: AB=2·ADAD=2,5cm.

A

B CD

În triunghiul dreptunghic ABC, avem:

BC=2·AC

(AC se opune unghiului de 300 şi BC este ipotenuza)

BC= 6cm

3cm

300

Scrieţi Teorema lui Pitagora pentru toate triunghiurile dreptunghice din figura alăturată. Scrieţi în casetele de dialog răspunsul corect.

Test

PITAGORA

Legenda spune că la şcoala care îi purta numele, Pitagora a introdus un sistem de recompense: pentru fiecare teoremă demonstrată, un student primea o monedă de aur. Unul din elevii săi silitori, după ce a acumulat o sumă oarecare s-a îndrăgostit de geometrie şi-i cerea lui Pitagora noi şi noi teoreme pentru as le demonstra. Pitagora a fost de acord, dar i-a cerut el studentului câte o monedă pentru fiecare nouă teoremă prezentată. Şi nu după multă vreme monedele s-au întors la Pitagora.

Pitagora (c. 580 î.Hr. - c.500 î.Hr.) a fost un filozof şi matematician grec, originar din insula Samos, care punea la baza întregii realităţi teoria numerelor şi a armoniei. Ne-a lăsat moştenire: sistemul zecimal, tabla înmulţirii şi faimoasa teoremă care i-a fixat numele în nemurire. Teorema era cunoscută de babilonieni cu un mileniu înainte de Pitagora , demonstrată de el şi redemonstrată ulterior de 370 de ori. După ce a demonstrat teorema, de bucurie, Pitagora a mers la ocolul vitelor şi a sacrificat o sută de boi graşi. Pe aceştia i-a sacrificat şi i-a jertfit zeilor, ca mulţumire pentru faptul că i-au inspirat faimoasa teoremă. Până noaptea târziu, Pitagora a şezut împreună cu prietenele sale triunghiurile, iar ele l-au glorificat şi i-au cântat:„Pitagora ne-a dat teoremaVitele-o ştiu pe propria piele,Învaţ-o degrabă de teamăSă n-ajungi să fii printre ele!”

Ştiaţi că:

• Egiptenii realizau unghiuri drepte cu ajutorul funiei cu 12 noduri! Echidistant dispuse pe o funie cele 12 noduri permiteau transformarea funiei cu ajutorul unor ţăruşi într-un triunghi dreptunghic cu laturile de 3, 4, 5. Se utiliza astfel reciproca teoremei lui Pitagora.

Pe fiecare catetă se construiesc pătrate şi se colorează în culori diferite

Apoi se construieste un pătrat pe ipotenuză

se duce înălţimea din vârful unghiului drept al triunghiului dreptunghic:

se colorează dreptunghiurile formate

Demonstraţie

Demonstraţie intuitivă

În fig 2 sunt reprezentate patru triunghiuri dreptunghice congruente, cu catetele a şi b şi ipotenuza c. Aceste triunghiuri sunt amplasate astfel încât conturul lor superior să formeze un pătrat cu latura a+b, iar conturul interior – un pătrat cu latura c (laturile acestui pătrat sunt ipotenuzele triunghiurilor). Reorganizăm , ca un puzzel, triunghiurile si se formează fig. 1: Dacă pătratul cu latura c îl decupăm, iar cele 4 triunghiuri le grupăm în 2 dreptunghiuri (Fig. 1), vedem că locul rămas liber este egal cu a ² +b² . Însă, mai devreme am spus că această suprafaţă este egală cu c ². Deci, a ² +b ² =c ². Teorema a fost demonstrată

Fig. 1 Fig. 2

Teorema catetei

Teorema catetei: Într-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este media geometrică a lungimii ipotenuzei ipotenuzei şi a lungimii proiecţiei ei ortogonale pe ipotenuză.