АВ

С

С1

b1 a1

a

b

hc

c

катетиb

а→

хипотенузас →височинаСС →1

В правоъгълен триъгълник АВС с катети АС =

b и ВС = а, хипотенуза АВ = а, височината към хипотенузата СС1 =hc и

проекции на катетите върху хипотенузата АС1 = b1 и ВС1 = а1 са изпълнени

зависимостите:

В правоъгълен триъгълник АВС с катети АС =

b и ВС = а, хипотенуза АВ = а, височината към хипотенузата СС1 =hc и

проекции на катетите върху хипотенузата АС1 = b1 и ВС1 = а1 са изпълнени

зависимостите:

С

b1 a1

,.12 саа = .11 cbа =+,. 11

2 bаhc =,.12 cbb =

АВ

С1

a

b

hc

c

Метрични зависимости

Метрични зависимости

Доказателство:,.1

2 саа = ,.12 cbb = .. 11

2 bаhc =Разглеждаме триъгълниците ∆АВС и ∆СВС1.

АВСобщАВС

ВССАСВ∆⇒

−∠=∠=∠ 0

1 90~ 1СВС∆

АВС∆ ~ сааВСВСАВВС

ВС

СВ

АВСВС .. 1

221

11 =⇒=⇒=⇒∆

Аналогично

АВС∆ сbbАСАСАВАС

АС

АС

АВАСС .. 1

221

11 =⇒=⇒=⇒∆~

Разглеждаме ∆АСС1 и ∆ВСС110

11

011

90

90СВС

ВСССАС

АВССВССАС∆⇒

=∠=∠∠−=∠=∠

~

1122

1111

1

1

11 .. bаhССВСАС

СС

ВС

АС

ССАСС c =⇒=⇒=⇒∆~

А В

С1

a

b

hc

c

,.12 саа = ,.1

2 cbb = .. 112 bаhc =

Ако за три отсечки m, n и р е изпълнено , казваме, че

отсечката р е средно геометрична на отсечките m и n .

nmp .2 =

Тогава доказаната теорема може да се изкаже по следния начин:

В правоъгълен триъгълник:

всеки катет е средно геометричен на хипотенузата и

проекцията му върху нея;

височината към хипотенузата е средногеометрична на

проекциите на катетите.

2. Теорема на Питагор

Теорема на Питагор В правоъгълния триъгълник квадрата на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на катетите.

Доказателство:

От доказаните метрични

зависимости за правоъгълния

триъгълник имаме

Като съберем двете равенства

и използваме, че

получаваме

с2 = a2 + b2

a

b

c

С

АВ

,.12 саа = ..1

2 cbb =

,11 cbа =+

21111

22 )( cbaccbcabа =+=+=+

Връщайки се в родината си, Питагор организирал кръжок за младежи от представители на аристокрацията. В кръжока се приемало с големи церемонии и след дълги изпитания.

Всеки постъпващ се отричал от своето имущество и давал клетва да пази в тайна учението на основателя. Така на юг от Италия, която била тогава гръцка колония, възникнала питагорейската школа.

Питагорейците се занимавали с математика, философия и

естествени науки.

От тях са направени много важни открития в аритметиката и геометрията.

В школата съществувал декрет, според който авторството на всички математически открития се

приписвали на Питагор. Звезден петоъгълник, или пентограм, - питагорейски символ на пет велики неща - Любов, Мъдрост, Истина, Правда и Добродетел

Важна научна заслуга на Питагор се счита систематическото въвеждане на доказателството в математиката и

преди всичко в геометрията. Гениалната догадка на Питагор се

състои в това, че в геометрията може да се избере крайно число истини

( аксиоми ), от които с помощта на логически правила да се изведат неограничен брой предположения. Така възникнал аксиоматическия метод

за построение в науката.

Тя била известна много време преди Питагор. До 8 век пр. н. е. тази теорема е била добре известна на индийците под името «Правила на въжето» и се използвала при построяването на храмове, които по свещенни предписания трябва да имат строго геометрична форма, ориентирана към четирите посоки на хоризонта.

Питагор, не е открил тази теорема, а е намерил нейното доказателство, като доказателството на самия Питагор не е достигнало до нас. Значението на теоремата се състои в това, че от нея или с нейна помощ може да се изведат (докажат) много теореми в геометрията и да се решават множество задачи.

Числата 3, 4 и 5 както и всички цели числа удовлетворяващи зависимостта c2 = a2 + b2 се наричат питагорова тройка

Вярно е и обратното твърдение

Ако в един триъгълник сборът от квадратите на две страни е равен на квадрата на третата страна, той е правоъгълен.

Ако в един триъгълник сборът от квадратите на две страни е равен на квадрата на третата страна, той е правоъгълен.

Обратна Питагорова теоремаОбратна Питагорова теорема

Задача 1. В правоъгълния триъгълник АВС с хипотенуза АВ = с, катети АС = b и ВС = а с височина към хипотенузата СС1 = hc , проекциите на катетите са съответно АС1 = b1 и ВС1 = а1.

а) Ако а = 6 cm, c = 10 cm, намерете а1, b1, hc; б) Ако а1 = 1,8 cm, b1 = 3,2 cm, намерете а, b, hc;в) Ако а = 8 cm, а1 = 6,4 cm, намерете с, b, hc и b1.

Задача 2. Правоъгълен ли е триъгълник със страни:а) а = 6, c = 8, b=7; б) а = 4, b = 24, с = 25;в) а = 15, с = 25, b= 20.

Благодаря за вниманието