Za izdavača:

E lektrotehn ičk i fakult et Sveuč i l i šta Josipa Jurja Strossmayera u OsijekuIstarska 3, 3 1000 Osijek

Recenzenti:

Prof. dr. sc. Franjo Jović

Doc. dr. sc. Tomislav ŠvedekDr. sc. Mirko Dozet

Lektor:

Nevenka Š uvajić , prof.

Urednik :

Mr. sc. Slavko Rupčić

Obj avlji vanje ovog udžbenika odo brio j e

Sveučilišni senat Sveučilišta Josipa Jurja Strossmayera

u Osijeku, rješenjem br. 69197 od 31. s iječnja 1997.

CIP - Katalogizacija u publ ikacijiGradska i sveučilišna knj ižn ica, Osijek

UDK 621.3 19(075.8)

FLEGAR. IvanTeorij a mreža : zbirka zadataka

I Ivan Flegar. · Osijek :Elektrotehnički fakultet. 1996.-VI, 116 str. :i1ustr. ; 24 cm. - (UdžbeniciSveučil išta Josipa Jurja Strossmayera II Osij eku)Bibliografija: str. 115-1 16.

ISBN 953-6032-14-7

ISBN 953-603 2-14-7

Tisak..

Tiskara "Tipografija", ĐakovoNaklada: 300 primj eraka

Dr. 5C. IVAN FLEGAR

Izvanredni profeso r Elektroteh ničkog fakultetaSveučiliš ta Josipa Jurja Strossmayera u Osijeku

TEORIJA MREŽAZbirka zadataka

SADRŽAJ

PREDGOVOR VII

I. OSNOVNA SVOJSTVA J<JRCIIHOFI'OVIH MREŽA I

I. KirchhoJJovi ;QkOI1; . , I2. Tellegenov teore m , J

II. ELEMENTI MREŽA . S

3. .lednoprikuni distpativnl elem enti 54. Jednoprilaznireaktivni elementi , 65. Višepritazni disipativni elementi 86. Višeprilazni reaktivni elementi 12

Ill. PRIJE LAZNO STANJE 15

7. Zakoni komutaci]e 158. Krugovi prvog reda . 179. Krugovidrugogredu 22

IV. SINUSOIDALNO USTALJENO STANJE 27

10. Fazorska transformacija 2711. Frekvencijski odziv i rezonancija 2912. Filtri 3313. Energetski odnosi II sinusoidalnom ustaljenom stanju 36

V. NESINUSOIDALNO USTALJENO STANJE 38

14. Linearnevišeharmonijske mreže 3815. Mre že linearne na odsječku 4016. Nelinearne izmjenične mreže 4317. Energetski odnosi II nesinusoidalnom ustaljenom stanju 44

VI. JEDNADŽBE MREŽE 47

J8. Sustavnizapis j ednadžbi mreže 4719. Jednadžbestanja 48

VII. LINEARNE \'REMENSJ<I NE PROMJENLJIVE MREŽE 50

20. Superposicijskl integrali 5021. Laplaceovatransformacija 5122. Prirodne frekvencije i.funkcijemreže 5423. Stabilnost 56

v

VI

VIII . VIŠEFA ZNE MREŽE 59

~~~ ~;~~~~::J:{:;~:::~~.:~: : : : :: : :: : :: : : :: : : :: :::: : : :: : : : : : :: : : : : : : : : ::::: : : : ::: : : :: ::: : :: ::::: : ~~26. Energetski odnosi u višefaznim mrežama 63

IX. TEOREMI M REŽA 65

27. Teorem zamje ne 6528. Teorem superpozicije 6629. Teorem recipročnosti 6830. Thevenin - Nortonov teorem 69

Nikad ne lllale što je dovoljno dok nespoznate što je više nego dovoljno.

William Blake (1757·1827)

PREDGOVOR

X. DVOPRILAZI 73

31. Svojstva dvoprilaza 7332. Spajanje dvoprilaza 77

RJEŠENJA 80

J. Osnovna svojstva KirchhojJovih mreža 80II. Elementi mreia 8 I

11[. Prijelazno stanje .............•........................................................................ 86IV. Sinusoidalno ustaljeno stanje 90V. Nesinusoidalno ustaljeno stanje 94

VI. Jednadibe mreže 100VII. Linearne vremenski nepromjenIjive mreže 102

VIII. Višefoane mreže ................................................................•....., , 106IX. Teoremi mreža 108X. Dvoprikui ,..,.•......................................................... JJI

LITERATURA !l5

Teorij a mreža j e elektrotehnička disciplina koja se bavi ana lizom i sinte zom Kirchh o­ffovih mreža , tj . mreža za koje vrijede Kirchboffovi zakoni. Prakt i čna važnost teorijemreža temelji se na činjen ici da se II većini. praksi usmje renih, elektrotehničk ih disc iplinae l ektričke napra ve kao i sklopovi sast av lje ni od njih mogu, s t eh n ič k i prihvatljivomtočnošću, modelirat i Kirc hhoffovim mrežama. Tipičn i primjeri su sklopov i ana logne,impulsne, digi talne i ene rge tske elektronike. Isto vrijedi i pri ana lizi već ine problema izpodručja prijenosnih i distribut ivnih ele ktroenergetskih mreža .

U tim j e disc iplinama pozna vanj e teor ije mreža nuža n uvjet za razumijevanj e i predvi­đanje električkog ponašanj a sklopova i od nji h sasta vljenih uređaj a . Međutim , nije i dovo­ljan budući da odgovor na temeljno pita nj e o vj erodostoj nosti modela origina lu, a time i oprimjenljivosti rez ultata dob iven ih analizom odnosno s intezom modela mreža. nije predme tteorije mreža. Valja istaknuti i lo da analize toplinskih, kem ijskih , mehaničkih i drugihučinaka uzrokovanih struj nim j naponskim opterećenjem električk i h naprava odnosnosk lopova, kao i analize onoga što se zbiva unutar električkih naprava takoder nisu predmetteorije mreža. Slikovitije izra ženo , teorija mreža je poput ljestava s pomoću kojih možemoprijeći preko visokog zida. No, činjenica da ljestve postoje ne daje odgovor na temeljnopitanje o lome j esu li ljestve pris lonjene uz pravi z id.

Teor ija mreža se, kao i svaka druga tehnička discip lina, najbolje uči na primjerima.Zbog toga su važ ne zbirke zadataka s rješenjima. Rješavaj uć i zadatke, za koj e zna da po­stoj e rje šenja, student - budući inženje r poč i nje pos tupno stjecati iskustvo i vještinupotrebnu da se uspj ešno su oči sa zadaci ma inženj ersk e prakse. Od nje ga se, naime. u praksine očekuje da rj ešava već riješene zada tke nego da zna riješiti neriješene i to tako da. ilipronađe rješenja. ili da u okviru zadanih poda taka i ogra n ičenj a pokaže da rješenja ne po­stoje .

Ova zb irka nam ijenjena je studentima Elektrotehničkog fakulteta II Osije ku kojislušaju pred met "Teorija mreža" te studen tima Više tehničke škole u Zag rebu iElektroteh ničkog fakulteta u Osijeku koj i slušaj u predmet " Linea rne i nelinearne mrež e".Zbirka sadrži 271 isp itni zada tak s rj ešenj ima za predmet "Teorij a mreža" raspoređeni h u10 osnovnih cjelina s ukupno 32 pog lavlja . Prv ih 15 poglavlja le 18. i 19. poglav lje sukupno 146 zadataka obuhvaćaju ispitne zadatke za predmet "Linea rne i nelineame

mreže".

r

IVIII Predgovor

Naslojao sam da se štoje moguće veći broj zadataka u zbirci odnosi na analizu onihmreža koje se dobiju modeliranjem stvarnihsklopova elektronike i elektroenergetike. Srna­(ram bitnim da student ovlada metodama teorije mreža vježbajuć i ih na modelima stvarnihsklopova budući da se time istodobno odgovara i na najvažnije pitanje kada se uč i nekatehnička disciplina, a to je: "Čemu to služi?"

Ako nije izriči to navedeno drukčije u svim se zadacima pretpostavlja da supasivni elementi mreža linearni i vremenski nepromjenljivi,

- parametri elemenata mreža poznati. i za pasivne elemente mreža nenegativnihvrijednosti,

- sklopke idealne, a- operacijska poj ača l a rade II linearnom području .

U izradi zbirke pomogli su mi mnogi. Ipak, posebnu zahvalnost dugujem studentimaEl ektrotehničkog fakulteta u Osijeku Zoranu Ba lkiću i Borisu Baj tJu koji $U izuzetno vještoobavili složeni posao pripreme ove zbirke zatisak.

I.O S NOV NA SV OJSTVAKIRCHHO FFOVIH MREžA

l . K i rcIz Iz 0110vi -"zc:.:ac:.:k..;:.0c:.:n..;:.i _

R,

Osijek. u listopadu 1996. t.t Odredite struju kroz otpor II ako su poznale otpornosti otpora N, RJ i N.., naponi El.E~ i EJ le struje i, i h. Otpornosti otpora Rl i R;? nisu poznate.

E,

i,

E,

R.

R,

R

R,

E,

1.2 Odredite struju kroz otpor R ako su poznate otpornosti otpora R. RJ• R.. i Uj, naponiEl i EJ te struje i l i h. Otpornosti otpora RJ, R~. R(, i R7 nisu poznale kao ni naponizvora E2•

2 J. Kirchoffovi zakoni1 Osnovna svojs tva Kirchhoffovih mreža 3

1.3 ~ čvoru A spojene su tri grane mreže M. Odredite efektivnu vrijednost struje grane.) a~o su pozn~te e.fektivne vrijednosti struja grane I. h . i grane 2. Ia. a valni oblikstruje grane l Je prikazan na slici ad b). -

2. Tellegen ov teo rem

A

i

· u. oR,R,i! u,,,i

L-_-!. ..J- a'

I

U mreži koj a se sastoj i od istosmjernog struj nog izvora poznate struje I i tri otporanepoznate otpornosti Rl. R2 i R; provedena su dva mje renja. U prvom j e mje renj una prilaz a priključen otpor poznate otpornosti R" i izmjereni su naponi II I i U" . Udrugom mj erenju , umjesto otpora R" na prilaz "a" je spojen otpor nepoznateotpornosti Rtl i izmj ereni su naponi iii i 'ii" . Odredite otpornost otpora R.,.

R,- c::J-

U mreži koj a se sastoji od istosmjernog naponskog izvora poznatog napona E i petotpora nepoznatih otpornost i Rl - Rs provedena su dva mj erenja. U prvom j e mjere­nju na pri laz a spoj en otpor poznate otpornosti R" i izmjerene su struje ih i i". Udrugom mjerenju paralel no otporu R.. spojen j e otpor nepoznate otpornosti li~ i

izmjerene su struje lc j JtI

• Odredite ctpomost otpora R".

2.1

2.2

··--T·.TI4 -- TI2 '<-- o - ._,

i3T/4 T I

blaj

i, l

2 M

3

tI

~ 2 M

3

A

A

U Čvoru A spoje ne su ~ri gran: mreže M. Odredite efektivnu vrijednost struje grane3 a~o ~u . ~oznate. efektl~ne vrijednosti struja grane l, h . i grane 2. h . a valni obl icistruja tl 112 su pr ikazani na slici ad b).

ill] _._------------- o,~ A I

aT ! !)' l

_ _ _ __T__·--- ..Ja) bj

1.5 U mreži M poznati su valni oblici napona U.( H i UCJj. Odred ite srednju vrij ednost na­pona U.ill:.

c o- --Ir-- i

A---L_ -lR,

i1.S

R.

R,

R,

E

Pri uključenoj skJopci S poznata je struja istosmjern og naponskog izvora E. ih testruja kroz otpor Rs. i /ls' Odredite struju kroz otpor Rs. JRI • pri isključenoj skJopci Sako su poznate otpornos ti otpora Rt i Rs-a otpornosti ostalih otpora nisu poznate .

2.3

,I

- -,I

E

L >,aT

E,-"-_..- f+=--

1--"--,,,-.-

C6

_.-....

JE,-- -

BTE

I -r- , T )1j<

U AMB------l

...4 2. 7eilegenov leoreln

ELEMENTI MREŽA

IL

Mi~ IME , T~ r --l E,

]' ----' 2'

2,4 Promjenom napona E, za /1E, siruja l , se promijeni za M . a struja /, za M"Odredite promjenu napona Ul. !:J.~. ako se napon E~ promijeni za Ml ' Otpornostiotpora Rl j R2 su poznate. Elementi mreže /1-1 su linearni i vremenski nepromjenljivi.

1.5 U mreži sheme spoja prema slici iz zadatka 2.4 izmjereni su uz E~ := Onapani naprilazima lJI i lf~ . Odredite napon na prilazu I, U;, ako je E~ > O. Poznat je naponistosmjernog naponskog izvora El te otpornosti otpora Rl j R

1.

3. Jednoprilazni disipativni elementi

2.6 U mreži sheme spoja prema slici jz zadatka 2.4 vrijedi da se promjenom napona Erza tlE; struja l, promijeni za M; a struja h. za !:J.I; .Odredite promjenunapona UJ,AUli ako se El promijeni za tlEh a E'J, za l::.E2• OtpornostotporaRl je poznata.

3.J Zadane su karakteristike triju otporaa) ai + bu = e (a, b, e su pozitivni realn i brojevi)

b) II = il sin ox ( lj • ill su pozitivni realn i brojev i)

c) ll::::: Ai cos2CiJi. (A, e su pozitivni realn i brojevi) . . . . .Za svaki otpor odredite je li linearan ili nelinearan, aktivan dl pas~v~n , vremenskipromjenljiv ili vremenski nepromjenlj iv i nacrtajte njegovu karakteristiku.

3.2 Odredite uvjet koj i mora biti zadovoljen da bi obj e mreže s obzirom na prilaz Iimale jednaku nadomjesnu otporno st.

R,

R,

R, R,

R,

]' ]'

3.3 Odredite otpornost poprečnog otpora Rk II k - tom članu ljestvi č aste mreže otporaod n članova ako je struja kroz sve popreč ne otpore jed naka, a R" = R.

R R R R R

u R, R, R, RII . \ R,

6 4. Jednopri/azni reaktivni elementiII. Elementi mreža 7

)

ue

l,---,

TIl ;3T/4 T/!'. tll,y

bl

bl

u

Flei

_'iC. _~_ ..__.._

. "' -j---~-- ,

j

L

al

Odredite i nacrtajte karakteristiku nelineamog induktiviteta L ako su zad~n~

otpornost otpora R, napon izvora u;:; il sin (J)( te valni oblik struje prikazan na she!

adb). i

R

Nelinearnim induktivitetom karakteristike prikazane na slicia~ a) teče struja. valno~oblika prikazanog na slici ad b). Odredite i nacrtajte valni oblik napona na indukti­vitetu.

i:_ ._ .~~ . _,!.=~~~ =*~

al

,,~

<1>,<1> .,

Odredite koliko je energije potrebno da se prethodno nenabijeni kapacitet karakteri­stike prema slici nabije na napon U.

gQ, .. ... _.._.... ,

ii

u

4.3

4.5

R,

R

E

3.5 Odredite karakteristiku nelineamog otpora ako je pri narinutom naponu na otpor

UR;:::: Usin (JJ( valni oblik struje kroz otpor dan izrazom iR ;:::i cos2{jJ{ .

3.6 Odredite snagu istosmjernog naponskog izvora akoje poznat napon E. otpornost ot­poraRJ a otpori Rl r R,! su nelineami i pasivni, karakteristika i l = UJU

1+ bJu~ odno­

sno iz ;::: aZu! +hzu;.

3.4 Na nelinearni otpor karakteristike i = alu +azu! +a.luJ narinu t je napon valnog

oblika u;:::: lj sin (J){ • Provedite harmonijsku analizuvalnogoblika struje kroz otpor.

3.7 Odredite djelatnu,jalovu i prividnu snagu istosmjernog naponskog izvora napona E.Periodički upravljana idealna sklopka S je unutar periode rada T uklopljena a.Tsekundi aisklopljena (l-a)T sekundi.

4. Jednoprilazni reaktivn i elem enti

4.1 Slika prikazuje valni oblik struje induktiviteta induktivnosti L II periodičkom režimurada. Odredite i nacrtajte valni oblik napona na induktivitetu.

i,

4.2 Struja kapaciteta kapacitivnosti e sastoj i se od sinusnih poluvalova. Odredite inacrtajte valni oblik napona na kapacitetu u periodičkom režimu rada.

8 5. Višeprilazni disipativni elementi

4.6 Odredite valni oblik struje kroz vremenski promjenljivi kapacitet, potreban d. binapon na kapacitetu bio stalan, iznosa E. Takoder odredite srednju i efektivnu vrij e­dnost struje kroz kapacitet

C"

___ ___"'""""'*-_L- ..__>OI aT T t

II. Elementi mreža 9

5.2 Odredite napon strujnog izvora lo.

G,

G, Au,

+(--

u,

t+

G, G,I, lU,

R,

G,

E

5.4 Odredite vodljivostjednoprilaza ako su zadane vodljivosti Gl. Gl i Gl te prijenosniomjer idealnog transformatora N = uJu?.

5.3 Odred ite struju izvora ako su zadane otpornosti otpora Rl i R2• napon Ete prijenosn iomjer idealnog transformat ora N = Ul/U? •

R,

_.':t..•

aU

q t)

R

U,

U,

t

u, R,C

l 'T

~

4.7 Odredite efektivnu vrijednost napona izvora If, ako je zadana kapacitivnost vremen­ski promjenljivog kapac iteta cU)= (~) (J +meosax), otpornost R i napon na kapaci-

tetu If" = lje CDSwt •

4.8 Na prilazu I djeluje naponski izvor valnog oblika Ul . Poznati su parametri mrežeRl. R:!. . Ll . L? i C. Odredite srednje vrijednosti struja kroz otpore Rl i R2.

L I L l

5. Višeprilaz ni disipativni elemen ti

5.1 Odredite struju kroz otpor Rl ­

R,

E

iltl Rl

R,

5.5 Odredite ulazni otpor naponskcg sljedila ako je zadan model operacijskog pojačala .

t-.....

u, ! R +~! .>:....

- j ,/"/i ./ .",/

JO 5. Yišeprilazni disipativnielementi l/. Elememi mreia IJ

5.6 Odredite i nacrtajte karakteristiku ulaznog otpora zadane mreže ako su zadaneotpornosti otpora Rl, R~, R) a operacijska poj ačalo je idealno, napona zasićenj a Ez.

R,

5.9 Odredite i nacrtajte karakteristiku 112'=f(ud za zadanu mrežu. Zadane su otpornostiotpora R. i R~ a operacijske poj ač a lo je idealno, napona zas iće nj a Ez.

R,

i R,

+

uR,

tII,ii

~;>---+--

R,

Odredite i nacrtajte karakteristiku ulaznog otpora zadane mreže ako su zadaneotpornosti otpora Rl, R~ i RJ, a operacijska pojačalo je idealno, napona zasićenja Ez.

R, f{J

R,

~ ..,~ U,+ u

u R,

{J

E

V R

R,

u+

Odredite i nacrtajte karakteristiku ulaznog otpora zadane mreže ako je zadanaotpornost otpora Rl. otpor R je pasivan. karakteristike iR;::: a UR +bil; . a dioda l' jeidealna. Operacijsko pojačalo je idealno. napona zas ićenja Ez> E i radi u linearnompodru čj u rada odnosno u (+) zas i ćenj u .

5.11

5.10 Odredile otpornosti otpora Rl. R~, i Rl ako je zadana shema spoja i karakteristikajednoprilaza. Operacijska pojačalo je idealno. napona zasićenja Ez.

R,

)•.R,

R,

R,R,

R,

u, i"' I

Odredite vršnu vrijednost izlaznog napona Vi idealnog operacijskog poj ačala ako

je zadano Ul = U,sinćz , u~ ;::: Ul coser te otpornosti otpora Rl, R2 i Rj •

R,

5. 7

5.8

12 6. Yišeprilazni reaktivni elementi l/. Elementi mreža 13

....

L,

bl

L,

L,

ajL'

L ,

Odredite nadomjesnu induktivnost paralelnog spoja dvaju magnetski vezanihinduktiviteta orijentacija namota prikazanih na slikama ad a) i ad b). Poznale suindukrivnosti LJ i L,!te međuind uktivnost M.

i,

2R.

R,

R,R,

+

r-,R,

U,

5.12 Odredite uvjet podkojim se zadana mreža ponaša kao girator.

il R4

5,1J Odredite otpor mreže s obzirom na prilaz I .

R,

6. Višep rilazn i reaktivni elemen ti

6./

I '

Napišite jednadžbe mreže za t 2:: O.

L, L,

2'

6.4 Odredile nadomjesnu induktivnost N paralelno spojenih magnetski vezanih indukti­viteta induktivnosti L i među induktivnost i Mk/= M (k = I. 2, ,.. , N; I = 1, 2, ,., ,N).

2 N

r-T------;:·:~ ::}

Na prilazu 1 zadane mreže djeluje naponski izvor valnog oblika napona U l .

Odredite srednju vrijednost struje kroz otpor R. Magnetska veza između namotainduktivnosti LI i L2nije savršena, tj. vrijedi da jc M < ~LI~ . Valni oblik napona

izvora U l je dan izrazom IlI = U sinca ; aS(J)l $u +Jr ,

6.2

i,

ER

. A

0C

L,'--__-L-_

6.5

6.6

Prigušnica se sastcjl od N serijski spojenih zavoja poznate induktivnosti po zavojuLl. Odredite induktivnost prigušnice ako su

a) poznate međuinduktivnosti između svaka dva zavoja MIJ.b) ako su rneđuinduktivnosti između svaka dva zavoja jednake, tj . da je Mu = M , ic) ako je magnetska veza između zavoja savršena,

Tri međusobno mirujuča namota magnetski su vezana. Odredite područj e mogućih

vrijednosti faktora magnetske veze između namota I i 3. ku, ako su poznati faktorimagnetske veze između namota 1 i 2, kn . odnosno između namota 2 i 3, k:!).

14 6. Višepri/azni reakti vni eleme nti

6.7 Nadomj esna shema dvcnamotnog linearnog transformatora poznatih parametara LI.L2 i M sastoji se od l ančanog spoj a T - sheme spoja induktiviteta LIJ, Lb i Lf; s ideal­nim transformatorom prijenosnog omjera A, kako j e to prikazano na slici. Pri tomej e A konstan ta po volji. Odredite parametre nadomjesne sheme Lt" L" i Lc,ako j e:

a) A = N, / Nl. gdje su M j N2 brojevi zavoja namota 1 i 2,b)A = L, I MicJ A ' M I L, .

III.PRIJELAZNO STANJE

7. Zakoni komutacije

i, 4 L. L.~

-+-~

r'~UIAA AIi iI r iU, L, L, j A Il2 I U~

I [ I! I

R.LR,E

Do trenutka I ::: O mreža j e bila u ustaljenom stanj u. U trenutku l~. O sklopka S

iskJopi. Odredite struju kroz induktivitet I. neposredno nakon koruutacije.

R, R, S

7.J

L

R,

tE

U trenutku I ::= Osklopka S uklopi. Odredite napon između čvorova l i 2 neposrednonakon komutacije ud +O) i u ustaljenom stanj u udoo ) .

R

7.2

/6 7. Zakonikomutacije III. Prijelazno slanje 17 17.3 Do trenutka I=Omreža je bila u ustaljenom stanju. U trenutku l=Osklopka S

uklopi. Odredite napone na kapacitetima Cl i C2 neposredno nakon komutacije.

R

7.7 Do trenutka t = O mreža je bila u usta ljenom slanju. U trenutku l = O sklopka Sisklopi. Odredite kol ičinu energije disipirane za vrijeme komutacije kao i strujeinduktiviteta neposredno nakon komutacije .

S

S

R,

R

E

L,

E

Do trenutka f :;:: O mreža je bila II ustaljenom stanj u. U trenutku ' = O sklopka Sisklopi. Odredite količinu energije disipirane za vrijeme komutacije.

Rl L I'-----,.- -r-----,

7.8

~

e, IunR,E

E

7.4 Do trenutka t» O mreža je bila II ustaljenom stanju. U trenutku l = O sklopka Suklopi. Odredite napon na kapacitetu C2 neposredno nakon komutacije.

R S

7.6 Odredite napone na svim kapacitetima neposredno nakon što u trenutku l = Osklopka S uklopi. Sa Ul;Q (k = 1, 2. 3, 4) su označen i početn i naponi na kapacitetima.

R,tE

Nacrtajte valni oblik izlaznog napona idealnog operacijskog pojačala nakon uklapasklopke S u trenutku l = o.Napon zasićenja idealnog operacijskog pojačala je Ei.

e

8.1

8. Krugovi prvog reda

R,L,E

7.5 Do trenutka t = O mreža je bila u ustalj enom stanju . U trenutku t = O sklopka Sisklopi. Odredite količinu energij e pretvorene u toplinu u otporu R2 nakonkomutacije. Magnetska veza između namota nije savršena (k < I).

R,

J8 8. Kmgovi prvog reda lIJ Prijelazna slanje /9

Do trenutka I ::: (1 mreza je brla u ustaljenom stanju. L" trenutku 1:0- Osklopka S pre­klopi iz položaja J II položaj 2. Odredite valni oblik napona nu kapacitetu ( ' i lJ.

I ?O.

R,

sE

U trenutku I "" Osklo pka S uklopi. Odredite valni oblik struje kroz sklopk u S za' ~ Oako je do trenutka ( = Omreža bija u ustaljenom slanju.

Rl L l Ll

Na serijsk i Rl. ~ krug natiu utje napons ki impuls valnog oblika prC:lIli! sh ri. Odrcdncenergiju pretvorcnu II toplinu II krugu i napon na otporu R u trenutku I I ~ ·/u .

UA

I_>..L >O) lo (

8.7

8.8

8.6

~

R, Iu"

Odredite valni oblik struje istosmjernog naponskog Izvora nakon uklope sklopkeS IItrenutku t = O.

R,

[

--c::J- -

S L;J40- - - -

'L " pDo trenutka t » O mreža je bila II ustaljenom stanju. U trenutku I"" O sklopka Suklopi. Odredite valni oblik napona na otporu R. 7:1\ ( ~ O.

Na serijski RC - krug djeluje napon valnog oblika

{lj sinwt « O

tt ;E (~ O

Odredile valni oblik napona na kapacitetu za I ~ O.

8.2

8.3

8.4

8.5 Odredite valni oblik izlaznog napona Idealnog operacijskog poj ačala za ( ? Oako jeud-O) = O, a 1( = Ac-ul .

R,r ---e::J--

R, _ _LA [ ~;_. --

ul e

8.9 Odredite valni oblik izlaznog napona operacijskog poj ačala nakon uklcpa sklopk~ ,~II trenutku J:::O. Operacijska poj ačalo je modelira~o sh~mom : poJa. p ren~a sliciad b). Poznati su faktor pojačanja A. izlazni otpor R, izlazni kapacitet ( kao I napon

zas ićenja Ea.

R+ 2

112

L-tl ' l t elU, u' lE I !

2' I' 2'

a) b)

20 8. Krugoviprvogreda

8.12 Odredite količinu energije IV; predane serijskom RC - krugu ako j e na krug narinutnapon valnog oblika danog izrazom

R,

R, C

R

S ~

.Q+

"E, u,

E,

JJI. Prijelaznoslanje 21

S R, i, ~

E~ L, L, R,

Do trenutka I =:; O mreža je bila u ustalj enom stanju. U trenutku l = O sklopka Suklopi. Odredite valni oblik izlaznog napona idealnog operacijskog pojačala za( ~ O .

(n.l)T nT2TT

u "

IIl u, I 1 1-1 1-1i ~U

1; I 1; l1; !

I '------'-->:< ) ~ ~ • 8.15

uUl jE

!!2En

8./0 Na serijski RC· krug narinutje napon valnogoblika prema slici. Odredite količinuenergije Wi predane RC - krugu nakon što se ustaljeno stanje uspostavi ako j eRC « Tl. TI < Tz. i Tl < TJ.

8.11 Na serijski RC - krug narinu t j e napon valnog oblika prema slici. Odred ite kol ič inu

energije W. predane RC - krugu nakon što se uspostavi ustaljeno stanj e ako jeRC « T.

Do trenutka 1= Omreža je bila u ustaljenom stanju , U intervalu O::; t::; T vodljivostotpora R mijenja se po linearnom zakonu

..1..=...!..(I_!..)R R, T'

a za t ~ Tje R = oo . Odredite valni oblik struje i napona otpora R za l ~ O.

R

LE

8.16;1 ::; O

;1>0 ;a >O

Odredite valni oblik struje izvora za t ~ Onakon uklapa sklopke S u trenutku l = Oakoje ud-O) = o.

8./3

8./4 Odredite valne oblike struj a namota savršenog transformatora nakon uklapa sklopkeS II trenutku t = o.

8.17 U istosmjemom krugu prvog reda poznat je potpuni odziv za neku varijablu mreže

y =:; Ae-«I + B ; I~ O

Odredite slobodni i prisilni odziv .

22 9. Krugovi drugog reda Ill. Prijelazno stanje 23

9. Krugovi drugog reda

Odredite napon na induktivitetu L u trenutku 12 > t l .

R,

E _ _ -:;..-.,-----

L,

l '

Odredile karakteri stičnu jednadžbu mreže ako je Ila prilaz I spojen

a) naponski izvor. napona II = A C-ClI

• il ib) strujn i izvor, struje i = j ~ i llOA' .

l R, R,~-r-l:::::J--,

9.3

--_._- >It,

_~YO_. _

iUL

IR, Lul

I

8.18

L

R IU,

IL=CR'_TC

U trenutku t = Osklopka S preklopi iz položaja I u položaj 2. Odredile lill za / ~ Oakoje mreža do trenutka t = Obila u ustaljenom stanju.

,J;...- ,.-- -,

Do trenutka t = Omreža je bila u ustaljenom stanju U trenutku l = Osklopka S pre­klapi iz položaja 1 II položaj 2. Odredite maksimal~u. vr~jedno~t . nap~na nakapacitetu ako su poznale vrijednosti E, R i C. a karak~en~~lk~ ,"~ukllvl tela Je danaizrazom iL = arp + brp '!-+ l pri čemu su a > O. b > O, a "Je cijeli broj .

r 'J;rL~.-J

9.4

9.5

R

s

L

C

R

E

fi<E

a) Odredite faktor A tako da struja i ll kroz otpor R hude neprigušenc oscilatoma(konzervativni odziv).

b) za laj slučaj odredite vršnu vrijednost struje iHuz pretpostavku da su do trenutkat = O, kad je uklopila sklopka S, kapaciteti Cl i C: bili nenabijeni.

Do trenutka t = O mreža je bila u ustaljenom stanj u. U trenutku t = O sklopka Sisklopi. Odredite ukupnu količinu energije pretvorene u toplinu u otporima kruga douspostave novog ustaljenog stanja.

9.1

9,2

24 9. Krugovi drugog reda Ill. Prijelazno Slanje 25

U trenutku t = Osklopka S preklcpi iz položaj a I u položaj 2. Odredit e napon na ka­

pacitetu Cl za t ~ O.9.6 Odredite valni oblik napona Ul za l ~ O. Operacijska pojačala su idealna a početni

napon! na kapacitet ima su UCI(-O) = Ul i UC2(-o}== U2.

R,

9.9

2 R,

I

1

~r e, R,

zadana su dva jednoprila za shema spoja prema slici. U trenutku t = O uklopesklopke SII i Sh. a isklope u trenutku t = tl > O. Odredite valne oblike struja

naponskih izvora ill i i" u obje sheme spoj a te eJektričku energiju pretvorenu utoplinu WII i W!I.

R,

R,L,L,

R,

e

u

rEU trenutku l = Osklopka S uklopi. Odredite kol ič inu naboja Q2 protek lu krugom

R, · L,.

9.12 Odredite faktor ptigušenjaa j vlastitu frekvenciju wlI mreže napaj ane iz naponskog

izvora u = Osin aN •

9.11

Odredite struju istosmje rnog naponskog izvora za l ~ O ako u trenutku l = O uklopisklopka S. Kapaciteti su početno nena bijeni a vrijedi i da j e r > R.

R

S R

L

9. 7

9.8 Do trenutka l = Omreža napajana iz strujnog izvora i = i COSaN bila je u ustaljenomstanju. Odredite napon na kapacitetu C za l ~ Oako u trenutku l = Ouklopi sklopka

S. Magnetska veza izm eđu namota je savršena a vrij edi daje 2R >JLIe.

26 9. Krugovi drugogreda

9.13 Odredite faktor dobrote Qmreže napaj ane iz naponskog izvora u = lj ccser .

Ll Rl

Odredite faktor prigušenja a i vlastitu frekvenciju lIJ u mreže

prijenosni omje r idealnog transformatora N = uiu! a valni

naponskog izvora je u;;: Ae- 61 .

9.14

u

R e

R, L,

ako je zadan

oblik napona

IV.S INUS OIDA LNO USTA U ENO

STANJE

10. Fazorska transformacija

10./ Odredite valni oblik napona na otporu R"! u ustaljenom stanju ako je 11;::; lj sin (J)/ 1

vrijedi daje Rl = R2;::; R.

u L

u R,*il Un

i

10.2 Odredite valni oblik napona na induktivitetu L II ustaljenom stanju ako je

u ;::; lj sin ax , a prijenosni omjer idealnog transformatora je N ;::; I/ rllI~ .

u

R,

A

L I ULI

U,

~;>-----

e

R

u

JV. Sinusoida/no ustaljeno stanje 29

nRR

11. Frekvencijski odziv i rezonancija

11./ Pri kojoj frekvenciji poticaja j e st ruja kroz otpor Rz. u fazi s napon om poticaja?

L

R,

~.>-+--

R,

/0.3 Odredite valni oblik izlaznog napona idealnog operacijskog pojačala u ustaljenomslanju ako j e u :::Ocoser .

28 JO. Faiorska transformacija

10.4 Odredite valn i oblik napona na induktivitetu L u ustaljenom stanj u ako j e

i=icosca.

R,

/0 .6 Odredite valni obl ik izlazno g napona Uz II ustaljenom stanju ako su operacij ska

pojačala idealna a valni obl ik napona izvora je dan izrazom Ul = Osinca .II.J Odredite otpornost otpora Rl tako da napon poticaja II = il slnex i napon na otporu

Rz budu fazno pomaknuti za 90 °el.

/ /.2 U mreži djeluje struj ni izvor i = i sinat . Od redite frekvenciju izvora kod koje fazn ipomak izmedu struje izvora i napona na kapacitetu C2 iznosi a "el., te valni obliknapona Ua . Induktiviteti su savršeno magnetski vezani.

R,

i,

R,

u

10.5 Odredite valni ob lik struje naponskog izvora u ustaljenom stanju ako je

u= O SioM I a ;$ = iscos2{ClK + tp) .

u

30 l J. Frekvencijski odziv i rezonancija IV. Sin usoidalno ustaljeno slanj e JJ

J J.4 Odredite otpo rnost otpora R2 tako da struj a napon skog izvora bud e II fazi s

naponom naponskog izvora u = lj CQslL1 •

+aiI

] 1.8 Odredite admitanciju jednoprilaza ako je operacijs ka pojačalo modelirano idealnimnaponom upravljan im naponskim izvorom prijenosnog omjera napona A.

e

+u

lJ.5 ?dred~te područje frekvencija unuta r kojega j e impedanc ija jcdnop rilaza 7.(j(tJ )

induktivnog karaktera. Induktiviteti Ll i 1.-:. nisu savršeno magnetski vezani (k < I).

Lj L 1

11.9 Svih N zavoja prigušuice indu ktivnosti L i otpornosti R savrš eno je magne tskivezano. Odredite modul impedancije prigušn ice ako je kratko spoj eno Nl zavoja.Otpornost kratkospojnog puta j e zanemarena .

11.10 Odredite međuinduktivnost Af dvaju namota na temelj u rezultata mjerenja iz dvapokusa. U prvom pokusu namat i su spojeni kao što je to prikazano na slici ad a) iizmj erene su efektivna vrij ednost struje l, i dj elatna snaga Pl. U drugom pokusunamet i su spojeni kao što j e to prikazan o na slic i ad b) i izmjer ena je efektivnavrijednost struj e I~. U oba pokusa nameti su napajani iz istog monoharmon ijskognaponskog izvora efekt ivne vrijednost i napona U i frekvenc ije!

b)

iul

a)

u

Odredite ampli tudnu i faznu karakteri stiku funkcije mreže H(jw)= (; ~ /(jl .

R,

Z,(jw) 2aZ,( jW)

NZ,(jw) [ [ Z,(jw) bZ,(jw) cZ,(jw)JI. JI

1' 2'

Z(jw)

11.6 Odred ite koeficijente a. b i e tako da oba j ednopr ilaza budu ekvivale ntna II ustaljc ­nom stanju.

11.7 Odredite koeficijente a, b i e tako da oba j ednoprilaza budu ekvivalentna II ustalje­nom stanju.

1 NZ,(jw)

Z,(jw) Z,(jw)

2

aZ,( jw)

bZ,(jw)

cZ,( jw)

iIu,

1' 2'

a

32 ll. Frekvencijski odziv i rezonancija IV. Sinusoida/no ustaljenoslanje 33

R,R,

e

R

'--- ~

L. tv, Nz b~

- -

U,

l '

12.1 Odredite amplitudnu i faznu karakteristiku niskopropusnog filtra te graničnu

frekvencij u lOc o

12. Fil tri

1l .17 Odredite kod koje frekvencije nastupa fazna rezonancija funkcije mreže

H(jCIJ) = ljc/j te područje vrijednosti otpornosti Rl > Ounutar kojega je razna re­

zonancija moguća.

1/.16 Na prilazu l djeluje naponski izvor napona u = Osinert stalne amplitude ti ipromjenljive frekvencije oo. Odredite najveću moguću amplitudu napona na kapaci­tetu e ako su poznate induktivnosti LI i L'!. namota Nl i Nl. međuinduktivnost M teotpornosti Rl i R'2, namota.

)-

R,

R,

e

R

A

R' Iu,

R

R,

e

2R

2e

e,

R

2R

A

U,

u

11.12 Odredile amplitudnu i faznu karakter istiku funkcije mreže H(jw)= Ul /Ul'

11.13 Odredite ampliludnu i faznu karakteristiku funkcije mreže H(jw)= Ut/Ul .

l l .14 Odredite admitanciju jeđnoprilaza .

11.15 Odredile rezonancijsku frekvencij u za funkciju mreže H(jw) = Ul/Ul '

L

34 12. Filtri /, '. Sinusoidatno ustaljeno Slanje 15

12.2 Odredite amplitudnu i faznu karakteristiku niskopropus nog filtra tc gra ničnu

frekvencij u (1) •. ,

/2.5 Odredite amplitudnu karakteristiku. rczonancijsku frekvenciju ro, l ~Hi nu pojasa lJ

pojasnog propusta.

R

_ _ -1 t-C-----,

Odredili:' ..unphtudnu lI. ar.tktcri>tiku, rC" i'.\ ' lI :lI l ~tJ ~l.. u tj r..'L t' Il~ I,I ';

poja"nt;g. propusta.

R,

ll. fl

12.J Odredite amplitudnu fC'i1J1u karakter istiku visokopropusnog filtra le gra n ič n u

frekvenciju w•.

A

iI U~

+

12. 7 Odredite amplitudnu karakteristiku. rczonancijsku frekvenciju W, i širinu pojasa lJ

pojasne brane,

ll,R,

+

____.J---!-_

R,

--I ~-

ll, R

12.4 Odredite amplitudnu i faznu karakteristiku visokopropusncg filtra lc graničn u

frekvenciju (tJ .. .

i f: A,ll,

IR

ll,R,

e e

l'R R A

I

i lll, i ll,

l RI2

36 JJ. Energetski odnosi u sinusoidalnom ustaljenomstanju JI': SinusoidaJno ustaljenostanje 37

13. Energetski odnosi U sinusoidalnomustaljenom stanju

13.4 Odredite djelatnu i prividnu snagu strojnog izvora i = i sinQt .

Rl Rl

R

e

R,L

R

R,

e

t

Odredite kompleksnu snagu naponskog izvora u = UsinOX spojenog na zadani je­dnoprilaz. Prijenosni omjer idealnog transformatora N;; uJ/ ul Je poznat.

u, UZ<-- --)

13.5

L R

= J1+ C05(2""- 9»]PI rl cos~

p

o

Odredite jalovu i prividnu snagu jednoprilaza ako je poznat valni oblik trenutnesnage jednoprilaza.

Odredite kapacitivnost kapaciteta ako su poznati otpornost otpora R. efektivna vrije­dnost struje kroz induktivitet L.h. i valni oblik trenutne snage na prilazu I

/3.1

13.2

l'

13.3 Na prilazu I zadane mreže djeluje naponski izvor u= Uslncr , a trenutna snaga naprilazu l dana je izrazom PI = P{I - cos2at)+ Qsin2lU' gdje su P >O i Q >O.Odredite otpornost otpora R.

R

e

l '

- - ------- - - J-: NcsiJJII.toidaf ll o ustalje no s/unje 39

v.NES INUS OIDALNOUSTAUENO STANJE

14.3 Odredite valni oblik struj e naponskog izvora II ustalj enom Slanj u kao i srednju vrije ­dnost struje.

L

·r}

-- ,T t

__e,T I

v---"-- ­O

R

U,

A

i,

C

R",

Odredite valni oblik napoua ll,! II ustaljenom slanj u i nacrtajte valni oblik napona I I .:

za dva gran ična slučaja

a)T»RC ; b) T «RC

C

-j l--t--

14.6

14.5 Odredite valni oblik struje kroz otpor R II ustaljenom stanju.

14.4

L,C

l'

u

ic A-

l'~

--jI

II>

O TI2 T I

Odredile efektivnu vrijednost napona na kapacitetu e protjecanog strujom valnogoblika prema slici.

/4.2

14. Linearne vi šeh armonijske mreže

14.1 Na prilazu l zadane mreže djeluje naponski izvor valnog oblika napona

11= U{I)sin(J)/ + U(3)sin3lđ . Odredite induktivnosti L, i L,! tako da je struja napon­

skog izvora jednohannonijska, frekvencije 3w. i II fazi s trećim hannonijskimčlanom napona izvora.

40 J5. Mreže linearne na odsječku V. Nesinusoidalno ustaljeno stanje 41

U.7 Odredite valni oblik struje izvora u ustaljenom stanju te njezinu efekt ivnu

/4.8 Odred ite valni oblik st ruje izvora u ustaljenom stanj u i nacrtajte ga za dva granična

s l učaj a

al T» RC; bl T « RC

E

15.2 Odredite valne oblike napona " VI. U~. Uli i US2 II ustaljenom slanju pretpost avivšida je R « Rl iR « Rz. Tranzistori Vl i V2 modeli rani su idealnim sklopkama kojetrenutne uklope kad im napon baze UBI odnosno Un postane pozitivan tc trenutnoisklope kad im napon baze "B l odnosno Un postane negativan.

+---,.----~-_r---__,

>t

u

r---E

O TI2 TEC

Ru

vrijednost.

u L ,T t

15.3 Na prilazu I mreže dje luje naponski izvor u=Osin ax. Diode VI i V2 su idea lne.Odredite va lni oblik struje kroz otpor R II ustaljenom stanju kao i srednju vrijednoststruje.

v,

L

v,R

15. Mreže linearn e na odsječku

15.1 Serijsk i spoj otpora Ri nelineamog Induktiviteta priključenj e na izmjenični napon.

ski izvor u=Osin CJX . Karakt eristika nelinearnog induktiviteta prikazana j e na slici.Odredi te valni oblik toka II usta ljenom stanju ako je

al U>W't>M bl U<W't>M

l'

15.4 Odredite valni oblik napona na kapacitetu e II ustaljenom stanju perioduosc ilacija. Operacijska pojačalo j e ideal no, napona zasićenj a Ez-

R,

'I'

't>",

C

rucR,

R,

l'

42 15. Mreže linearne na odsječku !~ Nesinusoidalno ustaljeno Slanje 43

15.5 Odredite valni oblik struj e izvora u ustaljenom stanj u i snagu izvora. Sklopka S j eperiod ičk i upravljana i 10 tako da j e unutar periode sklapanja T, aT vremena uklo­plj ena. a ( l -a)T vremena isklopljena. Također. nacrtaj te valni oblik struje izvoraza oba gran ična slučaj a

al T » L/R ; bl T« L/ R

L

16. Ne linearne izmjenične mreže

16.1 Zadana je karakteristika nelineamog induktiviteta i = a tp +b(l"" • gdj e je II cije li

broj . Odredite osnovni harmonijski č lan struje induktivitera ako j e zadan valni oblik

toka tp = <i> sin llX .

sR

16.2 Odredite prijenosnu karakteristiku U1{ I)/U I zadane mreže. lnduktivitet I.-(J je

nelinearan, poznate karakte ristike J(l{I) = a Uu{J) + tJV.~..·I{J}gdje su 10( 1) i (:o(1l

efektivne vrij ednosti osnovnog harmonijskog člana struje i napona induktiviteta L.:.Mreža se napaja iz naponskog izvora III = Ulsin ())I _

L

15.6 Nacrtajte valni oblik napona na indukt ivitelu L u ustaljenom stanju i odreditenjegovu efektivnu vrijednost ako j e LIR » T . Sklopka S je periodički upravljana i

to tako da j e unutar periode sklapanja T, aT vremena u položaju l j a ( l- a) Tvremena u položaj u 2.

ER

16.3 Neopterećeni trofazni transformator primara spojenog u zvijezdu asimetrično se na­paj a iz dalekovoda, kako je to prikazano na slici ad al . Sustav napona napajanj a je

sinusan i s im etriča n amplitude lj i frekvencije (jJ . Dalekovod je modeliran spomoću tri međukapaci teta C'" i tri kapaciteta prema zemlji C. slika ad b).

15.7 Odredite efektivnu vrijednost napona i struje kapaciteta e ako je J/ C - O i

RC » T . Sklopka S je periodički upravljana i to tako da je unutar periodesklapanj a T. aT vremena u položaju I, a (1 - a lT vremena u položaju 2.

e

Odredite ovisnost osnovnog harmonijsb g č lana toka namota transformatorapr ik ljučenog na faz.u I o naponu napaja nja ako je induktivitet magnetiziranja trans­

formatora po fazi LJI zadan karakteristikom i = a tp + bcp l ~ .

b)al

~-<>--<>--+--+----r-: 1:.I;C' T c' T T C'~

RI

16.4 Odredite efektivnu vrijednost napona izmjeničnog naponskog izvora fr~kvencij~ ~kod koje se unelinearnom serijskom LC - krugu mogu trilJn.o. održatipodhanno nijske oscilacije reda 113. Karakteristika induktiviteta zadana Je Izrazom

i =OIjJ+brp' .

z

44 17. Energetski odnosi u nesinusoidalnom ustaljenom slanju V. Nesinusoidolno ustaljeno slanje 45

J 7.4 Odredite djelatnu snagu naponskog izvora II= ejcos! OX •

J7.5 Odredite djelatnu, jalovu i raspršenu komponentu struje izvora.

C=UR '

>t

u

-E

O TI2 TE

u

u

J 7. Energetski odnosi u nesinusoidalnomustaljenom stanj u

17.1 Nelinearni vremensk i nepromjen ljivi induktivitet zadan je karakteristikom

i = arI' +bq,.' (a> O. b > O). Ako j e poznat valni oblik napona na induktivitetu

U L = U(I)si nax +U(3) cos3CLV . odredite na kojoj frekvenciji ovaj indukt ivitet

djeluje kao izvor i odredite snagu tog " izvora".

Pomoćn i izrazi: sin' ox = ± (JSiRCll- SiR){a )

Icos' ta =4"{JCOSCtl + cos3la )

17.2 Mreža sheme spoja prema slici priključena je na harmonijski naponski izvor u,frekvencije (JJ. S pomoću idealnih reakt ivnih filtara IF, i IF2 ostvareno j e to da su

struje izvora odnosno trošila jednohannonijske, tj. da je i l = i{I) sin llY , odnosno

iz = i (2)sin{2Wl+rp) . Odredite snagu trošila PZ ako je poznata karakter istika

nelinearnog kapaciteta ue ;:;oq ! • gdje j e q uskladišteni naboj .

TROŠILO

J7.6 Odredite djelatnu, jalovu i prividnu snagu naponskog izvora valnog oblika napona

u= U sin ot . Dioda Yje idealna .

v

R

Rl .

R

II

r~UliIi,

I'l

Odredite otpornost otpora R i efektivnu vrijednost napona naponskog. izvoraer takoda djelatna snaga na pri lazu I bude jednaka nuli ako je zada na efektivna Vrijednost

struj e I i valni oblik napona naponskog izvora Ul ;:; Usin ex .

17.7

w,ta

x

oi I

'<;-_==~===!"_: -'";1L- ->!~ u ,

Ru

Izmj enični naponski izvor valnog oblika napona u ;:;Ocoscr priključenj e na serjj­ski spoj otpora R i sklopke koja periodički sklapa s frekvencjjomzc.,> oo . Zakon

sklapanja je prikaza n na slici. Sa x ;:; l označen je položaj kad je sklopka uklj učena

a sa x = O položaj kad je sklopka isključena . Odredite na kojim frekvencijama seperiodički upravlja na sklopka ponaša kao troš ile, a na kojima kao izvor te odredilepripadne snage.

17.3

••A ,,• L•

u =;::c••• R•••

18.2 Za neku mrežu poznate su jednadžbe napona temeljnih petlji napisane s obzirom naoajedno stablo grafa pripadne mreže

Ul +u~ -UJ -us +ull = 0

U~+ UI -U.l+~=O

Jl.\-U1+U1 ;::: Ou4 -Ul + Us +U10 =0US-Ul + lt" =0

~ -~-~+~=o . _ .Napišite jednadžbe struja temeljnih rezova s obzirom na Isto stablo grafa pripadnemreže. (Sa u, je ozn ačen napon lt. - te grane).

za neku mrežu poznale su jednadžbe struja temeljnih rezova napisane s obzirom najedno Slabio grafa pripadne mreže

i!- i1+it. =0i3 +i4 +i2 - i~ +i1 ;::; O

il+ iJ( +i~ -is = 0i,, +;,+ i, -;,, =O . d

Napiš it~ jednadžbe napona temeljnih petlji s obzirom na isto stablo grafa pn pa ne

mreže. (Sahje označenastruja k - le grane).

JEDNADŽBE MREŽE

VI.

18. Susta vili zapis jednad žbi mreže

18.1 za neku mrežu poznate sujednadžbe napona temeljnih petlji napisane s obzirom najedno slabio grafa pripadne mreže

/i1 +U~+ U~ + U1 ;::;O

"~ + U5 + 11IU = O

1/5 + U~ +U,l + 1(1 - ~;::; 0

flfo,-"s + 14+U~ = O

~ + ~ + ~ = O _Napišitejednadžbe struja temeljnihrezova s obzirom na isto stablo grafa pripadnemreže. (Sa ude označen naponJ:. - te grane).

18.3

L

e

17.8 Odredite djelatnu,jalovu i prividnu snagu na prilazu l ako su zadani valni oblici na­ponskog izvora II=ci sincu" i strojnog izvora i ;:::. i(ll) s in/~Cl1 +tp) .

R, R,l i

J7.9 Trošilo modelirano serijskim RL - krugom priključeno je na naponski izvor valnogoblika napona u = ,!2U(l)si nllJl + ,!2U(3) sin3llJI. Odredite

a) faktor snage trošila A..b) potrebnu kapacitivnost kapaciteta (' paralelno spojenog trošilu lako da se

postigne najveć i mogući faktor snage trošila, j

c) njegovu vrijednost A..i".

u

46 17. Energetski odnosi u neslnusoidatnom ustaljenomstanju

17.10 Trošilo modelirano serijskim RLC - krugom priklj učeno je na naponski izvor valnogoblika napona u =:..[iU(l) sin lJJ/ + .JiU(n) sin n(JJ( (n > I). Paralel no troši/u spojen

je paralelni Lp~1 - krug s namjerom da se potpuno kompenzira jalova snaga trošila.Odredite

a) uvjet koji mora biti zadovoljen da bi bila moguća potpuna kompenzacijajalove snage trošila.

b) potrebne vrijednosti parametara Lp i Cp> tec) faktor snage nakon kompenzacijejalove snage trošila.

------- -- -- =

48 J9. Jednadibe stanja VI. Jednadžbe mreže 49

19.5 Napišite jednadžbe stanja za mrežu zadanu II zadatku 9.1

R

L

R,

u

u +

u

Napišite jednadžbe stanja za zadanu mrežu. Operacijska pojačal~ je modeliranoidealnim naponom upravljanim naponskimizvorom prijenosnog omjera naponaA.

CI

Napišitejednadžbe stanja za zadanu mrežu. Prijenosni omjer idealnogtransformatora N:::: Ul / Ul. je poznat.

Rl ~

Napišite jednadžbe stanja za zadanu mrežu.

R IL L

19-4

19.3

19.2

u

18.4 za nekumrežupoznate sujednadžbe struja temeijnih rezovanapisane s obzirom najedno stablo grafa pripadne mreže

;,+;2+ ;4= 0;' +;2 -;) + ;)= 0;"+;2- ;] = 0

te valni oblici struja grana

i., = 7] CQSlJJl i is ::; i~ cos(ar +tp)u ustaljenom stanj u. Odredite napon grane 6 ako se u grani 3 nalazi samo otporotpornosti R.a u granama 5 i 6 nalaze se pojedan induktivitet induktivnosti L. :

18.5 Zadan je graf mreže koja se sastoji od naponskog izvora E u grani l, dok se uostalim granama nalazeotpori jednakeotpornosti R. Odredite strujegrane 1 i S.

Uputa: Zastabloje zgodnoodabrali grane 1.2.3 i 4!

19. J ednadžbe s tanj a

19.1 Napišite jednadžbe stanja za zadanu mrežu ako sua) elementi mreže linearni vremenski nepromjenljivi. i

b) ako su induktiviteti LI i Ll nelinearni, zadani karakteristikama i l ::;0.9', +bJqJ."

i i2 .:: a2f/J2 + b,.fI'1.fII • a kapacitet e je isto tako nelinearan, zadan karakteristi­

kom ue = AqJ: .

"11. Linearne vremenskineprumjrmjiw! mreže 51

VII.LINEARNE V REM ENS KINEPROMJENU IVE MREŽE

20.4 Odredite valni oblik struje serijskog RC · kruga za , ? uprimjenom Ou H.lOll· lom !?integrnln ako je zadan "alni oblik napo na prikazan na slic i

TI ~

! O.5

l..q:§up.erp ozicijski integrali- ----_.._- '_ .._- - _. _._ --_.__.- l n (, Za zad an u mrežu odredile , k\\ko'-'ni odziv i valni oblik napon a strojnog izvora 7.<1

t > n. prc{post:\\,i\' ,;i da je l: , ':. •. n ukupna cncrgjja II mreži bila jednaku nuli

.oI

. Il I

t ,

I ,

, ~,i!

Iiu,i.v •• .. _. . _

21. Laplaceova tran sformacija

20.7 Poznat je valni oblik struje jedn oprilal.a il = ' le ' CU uke na ulazu jednopr ilaza od

trenutka t = O djeluje istosmjerni naponski izvor napona E. Odredit e valni oblikstruje jednoprilaza 1.41 1 2: 1'2 ako na ulazu jednopr ilazadjeluje naponski izvor valnog

oblika napona prikaza nog na slici.

u Af -x:_ _ ---;

II,_• •• .i...._ ._ _ .,_~_ •• _ ~. ._ _ )

I, I

+OS IS:' . -{)

' I + O $ t S t~ - O

t2 + 0 SI < ~

Odrcdi t~ ~al n i ob lik s t ruj~ jednoprilaza za / ~ O ako na ulazu jednoprilaza dje lujenaponski izvor vnlnog oblik a napona

{

U,

JI ;:: " J.

ll,

i0->--

Odred ile skokovo.i odziv S{l} i i~p.u lsn i odziv hCt) serijs kog RC . kruga ako se znpozna te v..Jne oblike napona potrcej a žele odredili pripadni va lni oblici struja.

~dre?ile v~ h~ i. oblik napona jcducprilaza II za f ~ O ako na ulazu jedn oprilazadjeluj e sl,nlJnI I z~or valnog oblika struje prikazanog na slici. Poznat je valni ob lik~apon ~ Jc.dnop.n~a.l.a Ul ako na ulazu jednoprilaza od trenutka l = O djelujeIsto smj erni strujni rzvor struje lo-

21/.2

20.J

20.3

ZI. l Struja kroz otpor R dana je u frekvencijs kom područj u izrazom

( _-=-b,,,-,,_+_b,-, _I s) ~ ,

arrS" + Or-s+aJ

Odreditesnagudisipiranu naotporuu trenutku t ';: O.

52 21. LaplaceovatransformacijaVJ/. Linearne vremenski nepr omjenjive mreže SJ

e

RR

E

Do trenutka t = O mreža je bila u ustaljenom stanju. U trenutku t = O sklopka Slisklopi a sklopka Sz. uklopi. Odredite valni oblik struje kroz induktivitet za t ~ O.Parametri mreže su odabrani tako da je odziv pseudoperiodičan.

21.10 Riješite zadatak 20.6 primijenivši Laplaceovu transformaciju.

21.9

21.8 Do trenutka t = o mreža j e bila u ustaljenom stanju . U trenutku t = O sklopka Suklopi. Odredite valni oblik struje izvora za t '2: O.

S

21.7 Zadana su dva jednoprilaza sheme spoj a prema slici. Može li se za bilo koji poticajnarinut na oba jednoprilaza pronaći razlika u odzivu. Pretpostavimo da je poticajnapon u a odziv struja i.

•t

R,E

EO TI2 rE T

+U1O

C,

+S =

1 +Ul a

reT u,

E T

Do trenutka t = O mreža je bila u ustaljenom stanju. U trenutku I = O sklopka Sisklopi. Odredite valni oblik struje i2 za t '2: O.

S R ,

Odredite valni oblik izlaznog napona idealnog operacijskog poj ačala za t 2:Oako utrenutku t = Ouklopi sklopka S. Parametri mreže su odabrani tako daje

R ~C1+-'- <2 _ ' _'.R2 R2C2

21.2 Odrc:dite vrijednost funkcije f U) i njene prve i druge derivacjje u trenutku t = +oakoJe poznata Laplaceova transfonnacija

.e[f(t)] = F(s) = , boS> b,s: b,aos +o ls +a2s +OJs+a4

21.3 Neka varijabla mreže f( /} opisana je u frekvencijskom području racionalnom funk­cijom

F(s) boS' + b,s+b, p(s)aoi +a/+ als+aJ - Q(s)

pri čemu su svi koeficijenti realni i pozitivni brojevi. Odredite sve moguće oblikefunkcije F(s) i pripadne vremenske funkcije f(t) .

21.4 Odredite Laplaceovu transformaciju peri od ičke funkcije prikazane na slici.UA

21.5

21.6

54 22. Prirodnefrekvencije ifunkcije mreže _ _ _ _ _ _ _ _ _ ____:...,..::11~. .::,.::.i"::e::.",:.:·n::e..:,:...'re"n::.'""n,,s::cT..i nepromjenjivemreie._..!.~

22. Prirodne frekvencije i funkcije mreže 22.6 Odredite prijenosni omjer napona ...h! (s) neinvert iraj u ćeg poja čala ako je poznatprijenosni omjernapona operacijskog poj ačala

Odredile prirodne frekvencije varijable mreže h. akoje zadana mreža na prilazu Ipriključena na

a) naponski izvor U l . ili nab) strujni izvor il .

i.

--1- - - - .-.. 0

- 7 -1+

u, rI

u,(s) = aA =A(s)U, (s) s+ a

a i.. ;L =O.

R,

R,L

22. 1

22.5 za zadanidvcpr ilaz odredite prijenosne omjere naponaA21(S) i Ads).

s - IZ,(s) s' +2s+ l

()2s' +2s+1

Z~ s - s +2

Sl + 5 + 1Z,(s) , '3:

S' +1$ +3s +2

z ,(s } = l + 4s: ;

A (s) = U,(s) = s' +2.<+ 2" U,(s) s+ 3

U,(s) s-2z,, (s) = I,(s) = s' .;;:;:4

I,(s) lY, ,(s) =U,(s) =2s' +s'

Između zadanih racionalnih funkcija odredite one koje mogu biti ulazne funkcije

mreže.

Između zadanih racionalnih funkcija odredite one koje mogu bili prijenosno

funkcije mreže,

22.8

22.7

Odredite prirodne frekvencije mreže za mrežu zadanuu zadatku 19.4.

za zadani jednoprilaz odredite prijenosnu impedanciju, prijenosnu admitancijuprijenosni omjer struja.

22.4

22.2 Odrediteprirodnefrekvencije mreže varijabli u(: i i/.l.

R

22.3

I, L R,

e

56 13. Stabilnost VII. Unearne vremenski nepromjenj ive mreže 57

22.10 Prisiln i odziv jednoprilaza na jedin ični skok j e oblikay ,(J) = 1_e-a, COSilV .

Odredile periodički odziv tog jednoprilaza y(t) na poticaj oblikaxCt )= ACO'W,1.

R,

MR

~se

Operacijska poj ačalo modelirano j e idea lnim naponom upravljanim naponskimizvorom prije nosnog omjera napona

AA(s) s rs)';a>O; /3>0

( - + 1 - + 1a f3

Odredite naj veći mogući dopušteni faktor pojačanja A ako se operacijske pojačalo

želi upotrijeb iti kao naponsko sljedi1o.

U trenutku t;:; Osklopka S uklopi. Odredite uvjete pod kojima se zadana mreža zat ~ O ponaša kao cscilator. Magnetska veza između induktiviteta Ll i L~ nij esavršena.

23.4

13.3

CI

-j +~

.,! Rl R,R,

Odredileprijenosniomjer napona All(S) zazadani dvoprilaz.

C,

11.9

21.11 Odredite odziv mreže na poticaj .%(/ );:; e-a, cos cd ·S(/ ) ako je poznat skokovni

odziv te mreže s(t) ;:; l e - al · S(/).23.5 Odredite uvjete pod koj ima se zadana mreža ponaša kao cscilator odredite

frekvenciju oscilacija.

*IIu,

I

+

R,

R,

R,

Rl

U,

C,

u,j

23.6 Odredite uvjet pod kojim se zadana mreža ponaša kao oscilator.

U,CLi,

22.12 Prisilni odzi v mreže na koju je narinut poticaj x'(t) :; Ac-a / eosaJ' je

y '(r);:; Be-'" CO~lir + rp) . Odredite prisilni odziv te mreže Y{l) ako je poticaj

xCt) = A ·s(I ) .

23. S tab ilnost

23./ Među zadanim polinomima pronađite Hurwitzove polinome.

al Q,(s)=s' +Ss' + I2s +4

b) Q,(s) = s' +4s' +3

cl Q,(s) = 4s' +4s'+9s'+Ss+5

23.2 Odredite prijen osnu impedancij u mreže i pokažite pod kojim j e uvjetom ova mrežastabilna (A > O).

58 23. Stabilnost

V IŠEFNNE MREŽE

VIII.

R,E

Odred~te uVj :te pod k~jima je ,zadan~ mreža stabi lna. U okolišu radne točke (Uo, lo)otpomik R2 Je modeliran nelinearnim otporom karakteristike u . i = K . Ostalil . . \" . . Rl R2

e emenu mreze su meam, I vremenski nepromjenljivi.

L

23. 7

24. Svojstva višefaznih m reža

24.1 Valn i obli k napona k - le faze m - fazne Jn + l - žilne pojne mreže dan je izrazom

" 0.0 = L,v(n)eo,n[ax +a- (k -n2"].... I m

k = 1.2 .3, . ..•m; n= 1.2 ,3.... . '10

Odred ile valni obl ik napona izmedu zvjezdišta ineutrala pojne mreže .

24.2 Zadana su tri linijska napon a četverofaznog čc tverož i lncg sustava

u4 J =8c.isi n llN' + 4Vcos Wl

U~l = 12U sinca

U"l = 8U sinca- 4V cosezOdredite efek tivne vrijednosti fazn ih napon a.

I

24.3 Odredite efektivnu vrijednost faznog i linijskog napona trofaznog si metričnog gene­ratora spoj enog u zvijezdu ako j e napon faze 1 dan izrazom

"OI·= V(l), inax+V(3)sin3ClX

24.4 Odredite fazor napona između neutrala pojne mreže i zvjezdišta trošila ako su

poznati razori linijskih napona Uu' U2~i (j ~1' le admitancije pojedinih faza trošila

Yt, Y2i Y).

y,

y,\--1=....h--e:=J--l o'

l

60 24. Svojstva višefaznih mreža V/fl. Višefazne mreže 61

e

~UO)· R"I + )--+--L_)--'

24.10 Odredite efektivne vrijednosti struja kroz otpore ako je na trošilo narinut trofaznidirektni sustav napona efekt ivne vrijednosti U i frekvencije f ::::; w/21t.

~U02 . R"I +)--+--L_)---j

Rl " ,....:.:...,

1"12 . "7M 2 " ..ri-

l u" R" "3

24.5 Na priključke trofazne manoharmonijske mreže M priključena su tri otpornikajednake otpornosti R. Zadani su fazori efektivnih vrijednosti linij skih napona:

lju = lj l + jv. i lj n = lj2 + j V2 • Odredite efektivne vrijednosti struja kroz otpor­nike.

24.6 Na priklj učke trofazne monoharmonijske mreže M priključena su tri otpornikajed nake otpornosti R. Shema spoja je prikazana na slici II prethodnom zadatku.Odredite efektivne vrijednosti struja kroz otpornike ako su zadane efekt ivnevrijednosti linijskih napona U12, U23 i UJ! _

24.11 Trofaz ni nesinusni nesimetrični naponski izvor u zvijezda spoju napaja s imetrično

trošilo u zvijezda spoju. Parametri trošila nisu poznati. Odredite efektivnuvrijednost napona između zvjezdišta izvora i trošila ako su poznate efektivnevrijednosti faznih napona izvora Um i trošila UJ; ' k = 1.2, 3.

24.7 Na priključke trofazne nesinusne nesimetrične trofazne mreže M priključeno jes imetrično otporno trošilo . Odred ite efektivnu vrijednost napona Ul 2 ako su poznat eefektivne vrijednosti struja trošila l l> h i h te efektivne vrijednosti napona U'2 J i Ur;. .

il R

25. Simetričn e kompon ente

25.1 Zadana su tri fazora Al ::::;c j3x, Al::::;C 3y , ,il ::::;c -3y . Odredite fazore svih simerri čnih

skupova.

M 25.2 Zadana su četiri fazora Al::::; x + jy, A2 ::::;c x, A:,::::; -x - il', A4 = - 2x . Odreditefazcre svih simetričnih skupova.

R,

24.8 Na priključke trofazne nesinusne nesimetrične trofazne mreže M pri k lj učeno jenesimetrično otporno trošilo. Odredite efektivnu vrijednost struje kroz otpor Rl akosu poznate otpornosti otpora Rl. R2 i R3 te efektivne vrijednosti napona U21, Un iU]).

R,M 21-C J---1

3

24.9 Odredite valne oblike struja faza ako je na trošilo narinut trofazni direktni sustavnapona efektivne vrijednosti U, a mL::::; !/OJC::::;c X .

25.3 Trofazni simetrični generator efektivne vrijednosti faznog napona direktnog sustavaE, impedancija ZJ, Zi i lO napaja pasivno trošilo impedancije Z. Odredite efektivnuvrijednost struje trošila.

i,

'--t-----,~ 3z

62 25. Simetrične komponenteVJII. Više/oznemreže 63

3

z

ŽJ-'

---'>U01! 1 R

1 + i- - . u" !

121+

-)o u G)

l i,

POJNAu"t ~

TROŠiLOMREŽA

u" 13

Odred ile sistemsku prividnu snagu pojne mreže ako su zadani linijski naponi

II - Usi nCJJl i u = xU sinCJJl + Vcosetr , te linijske struje: i l ::;i sin OX + j cosilX i12 - n

;2=- -i slnez +yjcosCIX .

/

Odredite aritmet ički faktor snage ).AR ::; P/ S AR i sistemski faktor snage ~ ::; P/ Ss

trofazne poj ne mreže optere ćene otpomikom ot?o~os(i R. Trofaz:na pojn.~ ;re~modelirana je simetričn im trofazn im naponskim Izvorom efektivne vnje nosufaznog napona U.

26. Energetski odn osi u vi šefazn immrežama

26.2

26.1

25.4 Zvjezdi šte trofaznog generatora uzemljeno j e preko kondenzatorske baterije kapaci­teta eN' Trofazn i generato r je simetričan, efektivne vrijednosti raznog napona direk­tnog sustava E i frekvencije f::; (J)/2rr . Impedancije generatora z" ::; jXd' Zi ::; jX

ii Zo = jXo su poznate. Odredite efektivnu vrije dnost struje faze I ako se ona spoj isa zemljom preko luka otpornosti R, a druge dvije faze su neopterećene .

->e,

25.5 Zvjezdište lrofaznog generatora uzemljena j e preko pasivne mreže impedancije ZN.Trofazni generato r j e s imetričan, efektivne vrijednosti faznog napona direktnog su­stava E i frekvencije f::; (JJ/2rr. Impedancije generatora lJ. Z; i .lo su poznate.

Odredite fazore struja i napona pojed inih faza ako nastup i kratki spoj između faza 2i 3 uz istodobni dozemni spoj preko pasivne mreže impedancije Z.

~El

1 +

25.6 Trofazni simetrični generator efektivne vrijednosti faznog napona direktnog sustavaE i frekvenc ije f = (JJ/2rr napaja trofazno pasivno trošilo. Faza J je u prekidu.

Odredite efektivnu vrijednost napona faze t trošila ako su poznale impedancije

generatora 4, Zi i 2'.0, impedancije trošila Z.. i lo.a poznate su i impedanc ije ZN i

ZNpreko koji h su uzemljena zvj ezdišta gene ratora odnosno trošila.

64 26. Energetski odnosi u višefomim mrežama

26.3 Odredite valni oblik trenutne snage trofazne simetri čne sinusne pajne mreže valnagoblika napona k - te faze

u" =Ocas[mr_(k_ I)2; ]: k =I.2 ,3

opterećene nelinearnim simetričnim trošilom tako daje vaJni oblik struje k - te fazedan izrazom

i, =i 1(n)cosn[mr - (k - I) 21tJ+j(n)sinn[mr - (k - I) 2"J= 1 3 3

26.4 Trofazna nes imetrična pojna mreža napaja trošilo. Odredite valni oblik djelatnestruje k - te faze 1~,J.; ako su naponi pojn e mreže definirani prema zvjezdištu.

- - > UO'I

1+

IX.TEOI<EMI MI<EžA

27. Teorem zamjene

o' I +1-+--1

I +1-->----1i,

TROŠILO

27.1 Odredite valni oblik struje istosmj ernog naponskog izvora nakon uklopa sklopke S u

trenutku [ = O ako je poznat valni oblik struje kroz induktivltet i L :: Alt - e- ~ ) za

[~O. Induktivnost induktiviteta L nije poznata .

L

26.5 Odredite trenutnu djelatnu i trenutnu jalovu snagu trofazne simetrične pojne mreževalnog oblika napona k - te faze

u" =OSin[mr - tk - l)2; ]: k =1.2,3koja napaja linearno simetrično trošilo tako da je struja k - te faze poj ne mrežedana izrazom

,[ 2lt Ji. =/sin mr - (k -I)3' -q>

tr.E R, I

26.6 Odredite trenutnu djelatnu i trenutnu jal ovu snagu trorazne s imetrične pojne mreževalnog oblika napona k - te faze

u", = OSin[mr - (k _ I)2;]

opterećene dvofazn o otpornikom R, kako je to prikazano na slici uz zadatak 26.2.

27.2 Odred ite valni oblik struje naponskog izvora u ustaljenom stanju ako j e poznat vajni

oblik napona naponskog izvora u=Usin(J)/ i struj e kroz otpor R2,

lll2 ~ j sin(mt+cp) .

66 18. Teoremsuperpozicije lX. Teoremi mreža 67

27.4 Do trenutkn r r- omreža j("hi!" II ustaljenom stanju. Od trenutka I :""notpornost R semijenja tako ela je struja kroz otpor II dana izrazom:

Odredite, primijenivši teorem zamjene, najjednosravniju nadomjesnu mrežu spomoću koje se može odrediti valni oblik napona na kapacitetu nakon uklapasklopkes.

R,

t,l

Odr edite snagu istosmjernog naponskog izvora napona E ako .su pozn at i parametrimreže. valni oblik napona izrnjcni č nog naponskog ll \{·r.l J, .- 1 ~. Ill (lJ{ . a mreža je tl

ustaljenom slanju.

28.3

1 '-'--1·ai<~) R,! e luc

Au, ( T..-,- ....._._. - .__. '- ,- -_.

. S-x i~j o- .

• •

u

27.3

Odredite valni oblik napona na kapacitetu e za t "2 O.

Odredite struju kroz otpor R za I ~ Oako su poznate funkcije mreže .'11

II ( ) %1' s fI ,(..) = ~/, _ bI S = l l · - . I ,. U ~O s +Q:1 1:=0 s+ a\ r-

a valni oblici poticaja su za ( "2 Odani izrazima: Ul = U.c-6

• i ;: = 1:-

E

R,

L

R,

u

28.4

1"2 T

OS" tS r. {!:... (I --'-)', ~ II, T

O

M28. Teorem superp ozicij e _

28.1 Odredile valni oblik struje naponskog izvora.

~ Al-tt:t41'"---'

R,

tR.

28.1 Odredite. primijenivši teorem superpozicije, valni oblik napona na kapacitetu e zal ~ oako je ud-O)= Ue.

28.5 Odredite val ni oblik napona na kapacitetu eJ u ustaljenom stanju ako je napon poti­

caja Ul = 0\sinClJ' .

R,C,

Au,

68 29. Teorem recipročnosti

28.6 Odredite fazor struje faze I ako su poznali fazori linijskih napona ci" i ci" le ad­mitancije pojedinih faza trošila YI. Y2 i Yl.

3

28.7 Zadane su adruitancij e }; =x + j2y , >; = x- iv. }; = - j2y i }~ = jy četvero faznog

trošila spojenog u zvij ezdu (x > O, Y > O). Odredi te admitancije ekvivalentnogtrošila suklonjenim zvjezdištem. Može li se ova mreža trošila realiz irat i s pomoćupasivn ih elemenata?

29. Teorem recipro čnosti

29.3

29.4

lX. Teoremimreia 69

R, R, R, R,

E u,j R, u,j R, Rs Rl R, ju, R, ju, E

al b)

Shema spoja jednog recipročnog dvoprilaza je takva da je pri narinutom skokunapona na prilazu l , til = U ' s(I), struj a kratkog spoja na prilazu 2.

i. = Ie- crl•S(I ) . Odredite valn i oblik struj e kratkog spoj a na prilazu l , r. .ako se na

pr ilaz 2 nari ne napon valnog oblika U~ = Ue- crf ·5(1) .

Ako se na mrežu sheme spoja prema sl ici a) narine od tre nutka I = O poticaj; = la>

struja kroz otpor Rl je valnog oblika iRl = 'le-g,· + 12e-cr," , Odre dite valni ob lik

struj e kroz otpor Rl za 1~ Ou mreži she me spoja prema slici b) ako se na tu mrež~

od trenutka 1=O narine poticaj li =Ue-i l . Pozna ta je otpornost otpora Rl, a ostahparametri mreža nisu poznati.

R,

~I

Otpornost i otpora i kapacitivnosti kapa citeta s istim oznakama su u obje mreže je ­dnake!

30. Th čvenin - Nortonov teorem

R,

bl

R,R,R,R,

a)

R,

29.J U mreži koj a se sastoji od jednog otpora pozna te otpornosti Rj i četiri otporanepoznate otpornos ti provedena su dva mjerenja. U prvom mjere nju, prema slici a l.izmjerene su struje h i i~, dok su II drugom mjerenj u. prema slici bl. izmjerenestruj e ~ i ~. U oba mjerenja struja struj nog izvora i bila je jednaka. Odrediteotpornost otpora Rl.

~ Rz i~ R4 Rl ~ R4 ~

29.2 U mreži otpora poznala je otpornost otpora Rs. a ostalim otpor ima otpornosti nisupoznate. Uz poznati napon E naponskog izvora provedena su dva mj erenj a kako j eto prikazano na slikama a) i b). U prvom mjerenju izmjereni su neponi 112 i 1I4, a udrugom mjere nju naponi u

2i U

4• •

a) Odr edite otpornost otpora Rl .b} Kako bi od red ili otpornosti os talih otpora?

30.J Odredite Thćveninovu nado mjesnu mrežu s obzirom na prilaz I ako je

U(l(-O) = U" ud-Ql = o.

70 30. Thčvenin - Nortonov teoremIX 'tcrJl'emi mreža 71

30.2 Odredite Theveninovu nadomjesnu mrežu s obzirom na prilaz 2 ako je operacijskapojačalo modeli rano she mom spoja prema slici b).

R,

2

l:' E+ "-

u,r u,

2'

aj bJ

30.6 Odred ite Nortonovu nadomj esnu mrežu s obzirom na prilaz l ako je poznat fazornapona lj , admitancija Y i prijenosn i omjer idealnog transformatora 11 ~ ( j i / {:' ~ .

y

-:-u, .. 1 l<- u' -1J• • l

r--f-.Jy

• _ _ • •• _ _ • 0

l'

30.7 Riješite zadatak 2.3 primijenivši Theveninov teorem.30.3 Odredite Theveninovu nadomjesnu mrežu s obzirom na prilaz 2 ako je operacijskapojačalo modelirano shemom spoja prema slici b).

30.8

+ 2R,

ul + + E(l-a)R IUJaR

2'a) b)

Valni oblik napona na prilazu 1 linearne vremenski nepromjenljive mreže M je

ur~ Ur sinal. Ako se na prilaz 1 spoji otpor otpornosti R struja kroz otpor će biti

valnog cbllika danog izrazom iR= i sin ox + j cos (J)( • Odredile valni oblik struje

prilaza 1 ako se paralelno otporu R spoji još j edan otpor otpornosti R.

DJJ,jj·l '

30.4 Odredite Thćveninovu nadomjesnu mrežu s obzirom na prilaz 2.

1 il Rl 2

ME

30.9 Pri isklopljenirn sklopkarna S, i Sz poznata je vrijednost struje trošila. i J. Uk~op im~ lisklopku S2 a sklopka Sl ostane isklopljena, struja trošila je h . Odredile struju trošilail ako je sklopka S, uklopljena a sklopka Sz isklopljena. Mreža M je linearna i vreomenski nepromjenljiva,

2'l '

30.5 Odredite Nortonovu nadomjes nu mrežu s obzirom na prilaz l .

IrE LT_lUC_

l'

72 30. Thevenin - Norlonov teorem

30.10 Odredite Theveninovu nadomjesnu mrežu s obzirom na prilaz l i zatim s pometunje odredite valni oblik struje i nakon uklopasklopkeS II trenutku1=0.

~ <-!!- il

~UI ~_~CT CT rs

X.DVOPl<ILAZI

l '

31. Svojstva dvoprilaza

b)

U,

aj

u,

Odredite a- parametre uzdužne impedanclje Z, slika a}, kao i a- parametrepcprečne admitancije r,slika b).

~

30.1J Do trenu tka t = o mreža je bila II ustaljenom stanju. Odred ite Theveninovunadomjesnu mrežu s obzirom na prilaz I i nacrtajte shemu spoja zadane mreže za/ ~ Oako II trenutku t = OUklopi sklopkaS.

R,

30./2 Odredite impedanciju trošila ZI koju treba spoj iti na prilaz l tako da djelatna snagatrošila bude naj veća moguća. Induktiviteti namotaLl i L2 nisu magnetski savršenovezani, a valni oblik struje strujnog izvora danje izrazom i = j COS(()/' •

l'

30.13 Odreditenajveću moguću snagu trošila ako su zadanivalni oblik naponanaponskogizvora u = Jiu sinox • Theveninova impedancija Zr = Rr + jXT i impedancijatrošila Z2= R2+ jX2' a mijenjati se može samo prijenosni omjer idealnog transfor­matora.

11.2 Odredite z- i y- parametre uzdužne impedancijeZ, slika 3J I. a. kao i popre čne ad­mitancije Y, slika 3 1.1. b.

31.3 Odredite prijenosni omjer idealnogtransformatora N = U;jU'! tako da mreža budes imetrična .

U,

74 JJ. Svojstva dvoprilaza X Dvopritozi 75

Z,

Odredite ~ parametre recipročnog dvoprilaza .

I,

31.4

U, -Z, [h

31.8 Odred ite elemente matrice admitancija [y,J kojom je opisan bipolarni tranzis tor tl

spoju sa zajedničkim kolektorom ako su poznati elementi matrice admitancija

[Y,)l.,tj. Y I I, YI!, ~I i Y2::, s pomoću kojih je op isan bipolarni tranzistor u spoj u sa

zajed ničkim emiterom.

t l, U,<- -- 31.9 Odredite elemente matrice admi tancija zadanog dvoprilaza ako su poznate matrice

admitanc ija tranzistora VA i VH,

I

C,

f-i-•E

U,u,

C,

a parametri Y:' i y:, su znatno veći od ostalih.

Nacrtaj te nadomjesnu shemu jednostepenog tranzistorskog . poj ača la za m~.l iizmj enični signal ako su poznali h- parametri bipolarnog tranzistora. lmpedancijekapaciteta su zanemarive na frekvenciji ulaznog signala.

[ ' J - [)"~ OJ. [ ' J= [Y~ OJYij - A A ' YI]' 8 IIY;:\ YU Yu Y12

.,~,l' R 2'

il R,~

~ 31.10

-.A

rU,U,

ai, R,

I

a) b)

~t; ~

A A

ciJ U, R, gu, R,u,

u, 1al bl

31.5 Odredite nadomjesnu 1[ - mrežu.

31. 7 Odredite y- i a- para metre MOSFET-a u spoj u sa zajedničkim uvodom ako j epoznata nadomj esna shema MOSFET-a za mali izmjenični signal, slika b).

31.6 Odred ite Jr- i a- parametre bipolarnog tran zistora u spoj u sa zaj ed n ičkim emiter omako je poznata nadomje sna shema bipolarnog tranz istora za mali izmjenični signal,slika b).

l

76 3J. Svojstva dvoprilaza X Đvoprilosi 77

MlqfJ [J-I ' '-------' 2'

32. Spaja nje dvopritaza

3J.15 Snaga trošila otpornosti Ropriključenog na monoharmonijski naponski izvor unutar­nje otpornosti R mijenja se od vrijednosti Pa na P: ako se izmedu troš ila i izvora

spoji dvoprilaz M. Odredite kvocijent p../n:ako su poznati u-: parametri

dvoprilaza.

R,R, R,

C,

:-1 V I E

u, I c, Iu,

I,

3I. lJ Poznati su elementi hibridne matrice hil', h12, h21 j hn s pomoću kojih je opisan bi­polarni tranzistor V u spoju sa zajedničkim emiterom. Nacrtaj te nadomjesnu shemumreže prema slici za mali izmjen ičn i signal s pomoću y- parametara. Impedancijekapaciteta su zanemarive na frekvenciji ulaznog signala "l.

3J.12 Na prilazu l linearnog vremenski nepromjenljivog dvoprilaza M poznatihparametara Z:!I(jCV) i Z22(jCLl) djeluje naponski izvor u.= ejsincr prikazan u

frekvencijskom pod ručju fazorom il .. Optereti li se dvopri laz M trošilom

impedancije Z~Uw) fazor struje trošila je i. .Odredite fazor struje trošila i ; ako seumjesto trošila impedancije Z2GW) na prilaz 2 spoj i trošilo impedancije Z;(j QJ) .

32.1 Odredite matricu impedancija

31.13 Na ulazu linearnog vremenski nepromjenljivog dvoprilaza M poznatih parametara

a, l i all djeluje naponski izvor ll. = Ul sincz . Optereti li se dvoprilaz serijskim

spojem otpora R i induktiviteta L. struja trošilaje i! = i! sinCJJ/ + jz cosnr . Odreditestruju trošila i; ako se paralelno induktivitetu L spoji kapacitet C. Parametri all ia l ~ su realni brojevi.

u,

i,

R,

e ei,

u,

32.2 Odredite matricu admitancija zadane mreže [y", ] ako je poznata matrica

admitancija dvoprilaza A, [.v:l·

u,

R

i, ~

r'o'

A I----_.----

II,

3 /./4 Na ulaz simetrič nog dvoprilaza AJspojen je istosmjerni naponski izvor napona E.Pri kratko spojenom izlazu izmjerene su struje prilaza I. ~ i / 2t . Odredite strujeprilaza ako se na izlaz dvoprilaza M spoj i otpor poznate otpornosti R.

78 32. Spajanje dvoprilaza

Dvije pasivne mreže A i B. sa po tri priključka, prikazane su na slici kao dvoprilazi.Nacrtejte scrijsko-paralelni odnosno paralelno-serijski spoj ovih dvoprilaza tako dakarakteristike dvoprilaza A i B ostanu očuvane i nakon spajanja.

Odredite hibridnu matricu zadane mreže [~i] ako je poznata hibridna matrica dvo-

prilaza A, [ht ].

E

R,

. C

..r

Odredile a- parametre dvoprilaza zadane shen~e s~)a. ako su poznati a- parame.t.ri

bipolamih tranzistora VA i VH U spoju..sa zaJcdn~cklm kolektorom. Impedancijakapaciteta e je zanemariva na frekvenciji ulaznog signala Ul .

R,

32.8

22

32.4

32.3

A

Odredite a- parametre zadanog dvoprilaza.

I I li -nJ; I,

32.5

1' ---------- 2' l '

B

---------- 2'

32.9., A () k znati a- param etri bipolarnogOdredite prijenosni omjer napona 11 s a o su po . .

tranzistora v.~ za spoj sa zajedničkim cmiterom [a: le te a- parametri bipolarnog

tranzistora VH za spoj sa zaj edničkom bazom [a,~ lb ' Impedancij e kapaciteta su

zanemarive na frekvenciji ulaznog signala Ul _

,.....----T"----,

32.6

l-nr. ;:;-,- ynI

y~=-y• n

Odredite a - parametre dvoprilaza.

C,

C.

U,

32.7 Recipročn i dvoprilaz M spojen je između dva giratora omjera zakretanja r r i 1"2· Je linovostvoreni dvoprilaz recipročan?

Rjesenja 81

II. ELEMENTI MREŽA

RJEŠENJA

3. Jednoprilaznl dlsiptttivnl elementi

J.1 a j

cla

nelinearanaktivanvremenski nepromjenljiv

--'>d b II

I. OSNOVNA SVOJSTVA KIR CHHOFFOVIH MRE ŽA bl

J.J

J.2

linearanaktivanvremenski promjenljivKarakteristika: za svaki l pravackroz ishodište unutarosjenčanog područja .

nelinearanaktivanvremenski promjenljiv

Karakteristika: za svakiI

usporedan s osi ordinata unutarosjenčanog područj a ,

pravac

[I +R,(a, +a,l' +4ER,(b, +b,l]') D h, .d. ,

.;(-- - -.u

1/ _ _- ..L.[ I:..+:..R:::,:::(a.:'.,_+.::a:.:., l:..]+J~~~-r::""'_-=':"":"'-=':,!,

f ::::{O )1 - 1

E- uP = E-­

R,

RZRJ:::: R.R.&

J (n - k )(n- k + I)]Rt= Il l+ 2

I • ( 3 .). I . , I U·' · 3'-_ _ a Uz+ a + - aU J Usi nOJl-- a ,U cos2a>l - -4 Q ) . SlO wt- 2 2 j 4 .) 2-

ej

J.6

J.5

J.4

J.3

J.2

2. Tellegenov teorem

i _~R:!,,,l.·' ~+~R:!., (~i'l..+:..:'~Jl..-_E:2"'R+ Rj+R4

1.3 111 - JJ~ /~ $ J I + /!

1. Kirchhoff ovi zakon!

Ril + R4 (i.+ iJ - E,R+ R~+R4

I J(u, -u,l I2.J

11.+-

«» , R"

2.2 11 = R [ R.i/. I]• • E(', -i,lE

2.3 l =i ---RS lU E+R1i

t

_ !:>E.2.4 6U , =R/ilzM,

2.5- Rl ElU =U +- ·- U

I l R~ EJ ~

2.6 AUI = M l +~, (!lE2t:J~ - t!.Elll;)1

82 JI. Elementi mreža Rj ešenja 8J

3. 7 4.4 w=MU(Q - Q,)+ U,(Q - Q,)+ U,Q, ]

4. Jednoprilazni reaktivni elementi

4.1

4.5

<!lMe-----

o

4.6

.,i

U'1.J

M=-( I -co~a l

2/0

4.2

oeil--······__·-Oci

.V_

• Tr- U cos-/

e dl

Ue

U cos~(/-,.)e .11

- Ue

lit

Lit S t St'

l'~ t s ('+.6.1

1'+L1t s: t s: T ;::; 2t'

11+6t'-.- -->. t

• irU =~'"r. /IC

4.7

4.8

1«0)=0; le=I.~

U, =Ue ~[I+m'R'C;(I+m' )J

2a -l U1,, (0) = 0; 1,, (0)=-2- ' R,

1I , =- - - 1"- l- a

I _ enE,,- T

5. Višeprilazni disip ativni elementi

. E - R,I5.1 I " R +R +(I -K)R

I l .\

4.3

T je perioda rada.

-U'1 ·_ _·_·~·_·-"·---- I '

k~I ,T _ ~ <P, - <P, .

6t:;41~ ; U1 - TI'1/1_ /

I'

r5.2

5.3

5.4

5.5

l , [ G, +(I- A)G, ]u --- 1+o - G, + G, G, + (I - AlG,

I=(N-l)' .!:..+--4-N R, N' R,

G... = N' G, +G, +(I -N)' G,

R" =(I+ A)R

84 l/. ElementimrežaRješenja 85

5.6A j

Itga=-­

R,

E,= E+R[a (E +E, )+brE+E,)']

5.13

5.11

5. /2

u;= f3Ez

t = Rz. (JE,o R! R,

Itga =­

R,

(J ~ ----'!L..R2+R1

l ). Ii

U,

.a

-lo .. ..-u,

5.7

J'0 = - tu,- Uu +"t.!+cIil (r jd r + Ue(O)

eO=i, - ;:- ;l

gdje jedi. dil di,

Uu =~-- Mp - + M13-'-dl - dl dl

II = L.,dil _ M, di] _ M di)L2 - dl _. dt n dt

u - l di) + M dil M di2LJ- "" dl " dl- II dl

21]/ ,(0)= rrReosa6.2

6. Višeprilazni reakti vni elementi

6.1 E= uu + Ril +ut.lu, = (JE,

/ _ ~. (JE,O- Rl Rl

J{ga = ­R,

(J= ----'!L..R,+ R!

a

(R, _)' .,-r- U +U-R l 2,

_ 2

U;=-R- '2+ ....l.

R,

-+--:':-+-~-,L-.li

5.8

5.9

JL" . = N [L+(N - J) M]

lo !' - M'a j L' L,+ !, - 2M

b) L" = loL,-M'L,+ L, + 2M

6.4

6.3

. >u,

u,v

A

E,

-U , l

le.1

6.5J5. /0 R, = - '

(ga'R

Ez clga tglJ- Ii " U" ctgc (E,) ;

J- 1+ - elga tg(JU"

E, JR - -·­J - Uo (ga

• N

aj L= NL,+2:.2:. M,,; I", kj. , I .. ,

bj L=NL, +N(N- J)M

e) L = N' L,

6.6 k"k" - ~r,(l-_-k,:-;;)"(l-_ --:k;",) :;; kll s k"k" +~(l - k~,Xl-k;,l

Rješenja 87

- - -- - >I

{

A 4 ')- l-e r 0 $1 '$/ .

U,= ~~zl 1'2:./1

R { A-I E,)r=-- 'C; ', = rl I+-

AE

A - l

W= .!.C[U,' + (U, - U,)' +(U, - U,)'+ (U, - uS +U: ], 2

7.8

8./0

8. Krugovi prvog reda

8.1

8.9

8.8

8.5

8.4

8.3

8.7

8.1

8.6

N (N, )'[ N. . ]aj I. =L, - N;M ; 1., = N, 1.,- N;,f ;

I _ kl

bJ L. = 0; L, =TL,; L, = L,

e) L.= (I - k') I., ; 4=0; L, = k'/,

IMIgdje je k = ~1.,1.,

I L,L. ( E ). R" = R,R,t.W = 2~· R+R,, ; R, +R,

.. L,R,-L,R' .E,,(+0)= - ,,{+ O) (L, + L,XRR,+ RR, + R,R,)

6.7

86 III. Prijelazno stanje

III. PRIJELAZNO STANJE

7.1

7. Zakoni kom u/acije

E

7.3

7.6

7.5

7. 7

7.1 ;, (+0) = R,)Rl 1+ - +R}

R,

={Ili

88 III. Prijelazno slanje Rješenja 89

~ ....<... ,

lEJi

uR =RI(I-e-o,); 0 = RiC

U. . UIf, =COo~C! sJn Ct'o1+ zCOSCOlll ;

1( I b 'oo )UO f= lpo e a+~ rpn

Vrijednost toka ({Ju se određuje grafički iz karakteristike induktiviteta iL (rp ) .

'PA

2E - m ::i =--,-e smwJIwJ' ·C

a=..!!...- · w =_ I- .Jr' _ R', lC' ,f , lC

ni -m[ 1+2W'R' C' ( w) . ]lie ., l l e COSWJI + - sm WJII+w-R-C- 2wRC w.

l , l I2a = RC; W,i = LC- 4R'C'

UCI = _1_ {[1 +s, (R, +R,)C, ]e" - [I+s,(R, +R,)C,]c"'}+(R, +R,)l2a JC)

SI=-CX+Cl,, : s!;:: - a - Cl,,; a'I =~a!-w;

2a=~+(I+ R'1 )~ : ~ =_1_i l Rl f 2 f jT2

E' ( L )W=T RI2+C, +C2

a) i +2ar+~ =0Rl Rl R.

2a = r;- + I-, +r;-;R,

b) s+- - =OL,+I-,

9.4

9.9

9.5

9.3

T=(R, +R,)C

O ~( ~T

9.6l? T

9. 7

l ? O

I ? O

9.B

t ? T

O:5 t5:T

l '( l)W = -CE' 1+-' 2 lt

R,( R, -'JII =--'- E -E + E - -. -e r ., R t 2 ~ Rl + Rl '

E I -, E ( -'J; ;::---e ' +- I- e r •o RTR .

J l+ ....!.. ,T,

T= !:J. · T =1-, .o R, ' , R;

{f.._1 [T -t-~]

iR = L cr- I aT a-

1

O

{[

l (T t)'-']E...!!..... 1- - -=--UR;:: a - I cr T

E

B.13

8.J l

B.14

B.15

B.16

R"Ta= -L

8./7 Slobodni odziv YI =(A+B)e-CII;

Prisilni odziv Y2 =B( I- e- CZI) ;

9. Krugovi drugog reda

CO( Ro

)9.1 a) 04=1+- 1+ -C2 Rz

Eb) l", = 2AR

l

90 IV. Sinusoidalno ustaljene slanje Rj r:Senj a 91

(Ill, ~-'- sin(",, -q». coscp

tgqJ = JlCuRC

u, ~ -li, cos{u.I'+ q», , ,----1+- ",-;-, R-c,'--C-'-,--­U,~"'L1 , ,

(A - l)-",' R' C' + ( I- ", ' LC)'

I - ", 'LCfP = arclgwRC - arctg ( )

A - I ",RC

li ( "'L), 2",L ( 2<01. )i= J ' . , sin eax -arclg- +J, J ' , , sin 2lJ)(+2((l -arctg-R,- +{()~ /: Rl Ri + 4w' L~ Rl

"'~ I_ R,_ ._IVR, + R, LC

I",~--,·a

R! C! e

Ue! = R)cosa sin(CIJi-a)

10.4

10.5

Jl . Frekven cijski odziv i rezonancija

10.6

11.2

11.1

Lr~- ~ RC~.[fC

R

, I ( R,)0\, ~ LC 1+ R,

1,5:: 1< 00

IV ~ E' {I" R O

MEQ, ~ R,R,

a~.!.(_1+.!:1t).2 R,C L'

9.10

9.11

9.12

9.13

IV, SINUSOIDALNO USTALJENO STANJE ( I ) L R'11.4 R,~ I- "" LC ' C + "" ~C

9.14 ( N)' I , ( 1)' 1a « N- I . 2RC ; <lJ; ~ N -I - LC 11.3 R, ~ (", ' LC -IJR,

JO. Fazorska transformacija

10.1 u" ~-li,sin(",,- q>-'I')

~ ~ I + CLI !r1C~

U, ~U (~+ ~)' + 4", ' r'C'

uocqJ=arctgns-C: lj! =arctgy--r

-+ ­r R

10.2

10.3

(I+N )",L, ( )UL Z U cos lJJI - qJ

z ~J(R, + N ' R,)' +(J + N )' ",'L' ;(J +N )' '''L

cp = arctg ,R, + N'R,

Jl. 5

11.6

1l.7

11.8

11.9

11.10

11.11

I I L,+L, +2kMO<W<--,.;=::; · W>--,

vL,C' .jL;C (H 'lL,

a= t : N ; b= I :~ : c=C:NYa ~ I + N ; b ~ N(J + N); e ~ (J + N )'

}'(j ",)~ j "'(I + A )C

N - N R! + w~ L!

IZ{j "'~ ~TR (N)'R~ + ---!. WL

N

M~8~[* I -(~J < I - (~,~:J ]!H(j",)! ~ I

0("' ) ~ - 2arctg",R,C

1I,14

1I.l3

1,,I

Rjeienja 93

I J8 -4(3 -A)'+(3 -A)' +(3-,1)'- 2w, =:

r, 2R.

( LI - . RC ; A ''': ! + R~

12.4

92 IV. Sinusoidalno ustaljeno stanje

11.12 'H(j",~ = "'~C ' J4 + (~RC)'Tr wRC

"("') = - - arc'g -2 2

IH(j",~= 4""~ 'C' ; " ("' )=0

r( ' ) i(", ) , R,C,. R,C,J'" =li(",) =_"'. R, .

12. Filtri

13. Energetski odnosi u sin usoidalnom ustaljenom stanju

l IlCi"'~ ' 1~~'t [1{~-;,:~';;yI I

lLI, = JJI ; B " Rc'

IH(jlLl)j= T, I

2r, I +( c";'~~r,JI 2

ll> = - -; B=-' .,rr;r; T1

Tj =RIC; T?=R1C

l-w?R?c1

IH(jlLl11 ,~ J (I -lLI'R' C')" + 16w'R'C'

I 4'" = - ' B= -'RC' RC

12,5

12,6

13.1

13.3

13.2

13.4

12.7

Ra=-2L

A A 001 Jlj =U o . co 2 = _ ,

e ~. II LC '2CtvCl)p - a -

L =L, +L,-2M

",' =-'[1- R (R +R )E-J' LC I l 2 L

0 < R <.!.[JR' + 4!:. - R]I 2 l C ~

IH(jlLl~ =(I+ ~: ),}I+ ",I,R' C'

"(lLI) = - . fCIg",RC

I"'=­, RC

IH(j",~ -~'R'C~+""R'C'WRC

"("') = - erctg I - lLI'R'C'

'" ={1+,/5 ._1_.' 2 RC

I (, ~ ( R, ) ",RCH JW - I + -=- r~~=- R, ,}I+"" R' C'n

"("') = 2' - aretgwRC

IlLI = -• RC

1l.16

lJ.17

12.1

12.2

12.3

94 V. Nesi nusoidalno ustaljeno stanjeRj esenj a 95

14. Linearne vlšeltan nonijske mreže

V. NESINUSOIDALN O USTAWENO STANJE

10' [ N' X' ] . I ., (I- N)'S = 2R 1+ (1_ N)' + N' x' .. J"2oX:U- ":(I---'N"-),",.:":+-'-N-'''''x''''

x = wRC

>I

T+0<1 $ - - 0- 2

T . . O-+ O ~ I ~ 7 -2

T+O< t < - - O- - 2

T-+ o ~ (~ r-o2

--F"(l)E. -

O aT I (lE TL..

e

l a l ,X-a T

I(l - a)l

T I

_.~ ..•,'T.••

r = RC

i A

20 e'-- - T­

l+ c- IrT

I -~

-~

20 r- - -T - I

I + e - ~

r=RC

; = 2E _ ' .je; T

R .z, 1-,I +c ~ t - e--;-

T

2E T l - e~ ~1= - - - --

R T - I..1+ c 21"

b) T «RC= r

Ilrl-

/4.5

14.7

14.6

+O ~t ~ar - o

a T+ O$I$ T-O

T

+O ~t ~ aT - O

a T +O$I $T-O

- ~T 1

l -e t

T e 'l - e t

_ aT '-aTl -e t

- - - T- e

l -e 1"

aT- - I -aTl - e t _ _

- -T- e r

l - e t

[I -(I-a>! ,Jl -e t _ _

T ·e t

l - e t

I lL, =8",'C ; I., =",'e

l ITU' =J3 ' 4C

Ei=- ·

R

LT=-

RE

1(0) = a ­R

Uz = E ·

a)T»RC = rII

E

13.5

/4.1

/4.3

14.2

/4.4

-E -- --- --

II, ; :: /fH!

", , :, . 11\ r

Intcrva l r, + () :; I $ T-O

I I . l .~ J:'

" " =+- 2e-~;:. )

lin ::: -/l\, ~

II C ~ ::: !fil!

t l ::: R! l ! In2; T=(R/ 'j+ H,l ', )ln :'.

a)15..1

15.2 Interval +OS t S"t. -(J

liV I = " II I =0

t l + O ~ ' ~ T - Oj

"c(+O) - ~ CEr - ~ )- - -e' + - l-e t. R I I,=

( O) H ,Ile 11+ - -

- e 'II

l - ~-1. _ 1+c '

"(I+O)=E!.. , r,e l ' l

l - e (

96 V. Nesimtsoidalno ustaljeno stanje

14.8

"j il;I,

li"I

lI

aT+lISI S T -O

+H~ / ~(JT - (i

H.r= II,e: lj ;-.-~.

. N~ ~·Il .

r' T el.\"

. li --~ '---t: r rJ -x

i= 'u '1 r a J_uT

I)+ - - e '~ r I - .r

I;'-l 1 .7" 1+"1" -= "7- : ... cl -I' - (7. - ---d ~ r l--x.1

_!·J!r .'.' :.:; e : : r =...-

II

f~ si n(lrN - tp) + AC- ; +O ~: ("'I $ Tf -O· f,=l-IC ' -,~

• ..r · l- n "'~ (1J( "; 21C-()

L ",L 2=/il':,, 'I-"r = fi ; tj?= an'tg/? :

rI +c- 'f," ti

A =--T · -:; :>in <p. - J .

l- e l

(;b) 1(0) = !CR

15.5

15.4b) T « RC

a) T » RCi r

1

I,

l ,

CE

i ~

j A

cp =lj

- - (J + COS CLIl) + tP.,

'"-<pu

cl = arccos( 1_ 2W;M )lj

b) cp = - - co, ",

'"

r = RC

lj~(i - eo, ,,,,) - <Pu

<P..

J5. Mreže linearne Ila odsječku

15.1 aj

98 V Nesinusoidalna ustaljeno stanje Rješenj a 99

Induktivitet djeluje kao izvor na frekvencij i 300 .

; '(1)·;'(2) .J>.= !l'.c{2w)l= 1 c sme: O<<p <1C- 4w'

Periodički upravljana sklopka se ponaša kao trošilo JIa frekvenciji (u. a nafrekvencijama 11000 ±W kao izvor.

I O'P. (m)= -a( l - a)-'--- > O' 2 li

sin! mm U ~P{ (nw1\ ±ctJ) =- 2rr2n! "R <O

• 3 U !P=RI ' = -­R R

17. Energetski odnosi u nesinusoidalnom ustaljenom stanju

fc(w)=- 1', (3w)=.!: .li(3)li'\O8 w

n.z

17.3

17.4

17.1LT» _.R

LT« R

>t

··· - A·

AI E I

R J-a_ _--_ ;.'..

i1'

iI

.. _1 .I.

ER l l ..;,- 9 - 99 . _ - - - ---- - - _ )

J aT T t

bl

15.6

15.7

UL=)a(l -a )E

l - a H-au, = R!-- ; 1(. = I --a a

17.5 Djelatna komponenta.2/~ xl -e '

1= - · - --" H TC _!

, ~ . e •

Jalova komponen.~'a=- _f. x , ... I

l , = 2./2 n'; ~~ (I + Il'X' )'

Raspršena komponenta

l = /I' - l ' - l '' ''\ "J

16. Nelinearne izmjeni čne mreže

16.1 ; (1)= a<i> + bk.'P'''·'

k _ _ I ( 211 + 1)~ - 22~ . lJ s = ./21'

2rrUCx=--

t( ,

1' = 0 :::- '- 411'

---;---

R =~ G,-~JII I1.dr21yU T II I .

I · 2"l' , = ,, (l o r ~ -

'V _ (tJ

j7J

17.7

17.6

I{ [ -t» Jl' (C"'-)'1', = Ii,(I)y l+ w'- a + jlU;"(I- cif' +1.11

r u _ ,t.+ 429 . h ci)o= C... (-L""(C, ~ 2C.~ ) r 1024 cdc, + 2('.) w(c, + 2(J

: i i (" , du=- - 1- w' -9w;;8I w\ , I1 ' v.

16.'1

16.4

16.3

100 VI. Jednadž be mreže

gdjeje

VJ. JE DNADŽBE MREŽE

Rješenja JOI

I!~ ;;: -RI.1 COS(JJ/ + cvLj~ Sin(Wl + rp)

i,-i" + ilO -11I =0i1 +i" + i, - iJ - i., - i ll = 0

i, -i1+ i. +1.,- i lO +ilJ = Oi~ - iJU ;;:O

i s- i,.+ i9 + i ll = O

lt, + ll ", - U~ ;;: Oll! - ll,. - uJ - u" = O1I1 - lI 7 - U,, = OIIJ -U7 - lfX = 0

tI~+1I7 +lf~ + 1I'J = 0

3 E I E;=-_. i= - ­'2 R ' ~2R

du(' I . 1 .a) ~=C' l - C'!

di) R, . l l- =--/ -r r-r u +- '1dl I., I I., C I.,

di.. R.. l R..--=- =-~; +-" - -=- idt L, 'L, cL,

b dq b • b •) dl" = °J'Pl + ICPJ - OzCP2- 2CP

dcpj = - Rl(U I'P1+ bJ9'Jll )- Aqk + ltdl

dip, ( b, ml A ' B '- - =-R.. a,rfl..+ fIJ1 + q - , 1dt " n - - -

dUe I l . l~= - RC "c -C 'L+ Reli

di, = .!.(J+ a )u - ~( I - a)i - .!.audIL C L L L

dite N l .~= N _I 'C 'LdiL ;;: -...!!..- ' ,]". ll _-!-[R.. +~]i __I - ..!. Jrdl N - J L C L - (N _ 1)- L N - J L

dUn I { B,+ II' [ B,+R'] }df= B,e, - (I + A)R, uco - I - (I + A)R, "Cl+u

dUn ;;:_ 1 I_(u -It )

dl R2C~ I+A Cl Cl

/ 8.3

/8.4

19. Jednadžbe s/anja

18.5

18.]

/ 9.4

19.2

19.1

19.3

_1_ _lIwL

nwC

S.. R! +(llaJL _ _ J_.)'110:1.. _

l B, - IIIJ" II! - I Ibl e =--, - ; L =- .- - .- -

I' W JI " - I l' cti I I li lJI - 8"

cu; +GtlU~

G,Uf «cu;al A= . .~

~(u; +u;)[(e; +B;)U,' +(e; +BnU;]U" =(I (n) ;

R I/C~/.

G" = R ~ +n!w! L1 ; n ="/i: ~ 1l ~(lJ ! I.!; 11 =1, 3

. I H l lo' l! + 3B\U :b)C =;Ur~~

G,UJ~ + G..U ~

cl A . • ., . , l~(Vi + u; )[eiUi + e,;v,;,

R

(i. = II ' +(nwL - ,,~ru, =L'{I): (J. =(1(,,)

I B, .'(Q =- - -(1/ n)l 2Rs+R~

J8. S ustavili zapis j ednudi bi mreže

18.1 i , - i l - i) - ;,, - i lD =0

i~ +i! -;J - i lu = 0ir, - i l-i! - i.,= 0

i7 - i l - ( \ = Oi~ - i! +(\ = 0

c) AM ~(Ul~ +U~ XG,~UI! ~G;;;f:7iUU

I l = IJS,-B.I·JU ,! ~ ~u ;

/ 7.10 a) Bl > "B~

17.9

•,

102 VJ/. Linearne vremenskinepromjen/jive mreže Rješenja J03

19.5

VII. LINEARNE VREMENSKI NEPROMJENWIVE MREŽE

20. Superpozicijski int egrali

20.4

, ~ "or~·-i ] +O$I$tl - O

R ,20.5 (e- 3}e '. '1+ 0 $1< 00

21.4

21.5

c c- O: /l>0 ; y >O

2/.7 Ne.

21.6

21. Laplaceova transf ormacija

2U PR ~ R( ~:r

21.2 f(+ O) ~ O ; 1LI ~!'". ; d'~ 1 ~ -'- ( b, - 5. b.1dtlo all dr .o ao an )

21.3 F. (s) - pes} f,(I} ~k"e-~ +k"e -I' +k"c-', - a.(s+aXs +/lXs+ y)

F, (s}= pes) , f,(l) ~ kllc-~ +e-I' [k,, ' inJl +k"cos JI]- a. (s +a~(s+ /l)"+Y' ]

p(s) I'I)(s) , 1,(I) = k"c-~+(k" I +k,,)e-

a.( s+a}(s +/l)"

p(s) ( ' )F; (s) = ( )' I ,(I}= k" r +k" l+k" c-~Oo s +a

J,du

a) i =u,(+O}s(I}+ - ' s{1- r}d rII dt

+0 $ / $ /. - 0"du I du,b) i ~ u,(+O)S(I }+J_Is(l-r}d r+ U,s(I- I,)+J_.s{1- r}drII dr " dt

tl +0::;:(::;: 1;2 -0

, 'Jcl i~ u,(+O)s(I}+J*s(l- r}dr+ u ,s(I- I,)+ ~; s(l- r}d r- U,s(I- I, )+II "

'd+J.5.s(l - r }d r

l, dr

12 + 0 $ / < "'"

.nl) ~ ""L sin"',I ·S(r)J

"'. ~ ,(LC

20.3

20.6

20.1

20.2

/04 VII. Linearne vremenski nepromjealjive mreže Rj ešenj a 105

A.,(s) = U, (..) =~I_ ., ' ,, U,(s) U ' .\'+ 2a, +w.;

)lJ,(s)

" ,,(s = U, (..) = ,

R, I2« = - +-;

L R, C

22.J

[.!.. .!.. ]. f R e l'e f

,

t= R~ +E R+ R2

ii:"- R:

Lt: - RC' l' - ­

l - I ' ! - R~

21.9

21.8

!i

IIII,

21.10 Isto rješenje kao zadatka 20.6. 22.6lJ,(s) _ A(s) , _....!!L­lJ,(..) - 1+ {JA(s) , {J - R, + R,

22.11 y(t)= -~e-Ql +e -QJ( a"C05wt +-!.. Sinwt) ; t~ O00- oo· oo

22.12 y(/)= ~COSQ' - ~ Si n rp) + ;' BSi n cp .e-l1f; t ~ O

RA ::: t+ ---:i

R,

22./0 y(I )= A ' I H(jw, ~cos(w,, +t1l

I (. ll- (a' +w,' )+a'w;H J(l) , - 2

. {a! + CIJI! - con + 4a 1w;( )

aw, 2aw,t? (o , ;:: urctg - , - ' -. - arelg . • - 2- a -+oo; a - +Cl{ -CiJi

12. Prirodne frekvencije i funkcije mreže

22.1 a} Sl =_a+~a2 -(lJ,;: Sl = -a- ~Cl l - CLlt;

a=.!.(_1+.&). w, =_I(I+.&)2 R,C L ' o LC R,

Ibl s, = - R,C

22.2 Prirodne frekvencije varijable "e-• J . I

s, = JN ' s, = - JNPrirodna frekvencija varijable 'u

R$ 1::: - ­

L,

22.3 Sl =-a + Ja 1- wl; : S2 =_a _ ~a 2 - CIJI;

2a = _1_ [_1 _+_1_( 1 + ~)]I + A R,C, R,C, R,

~ I I IWo ::: - - .--.--l + A RJCI R!C!

22.7

22.8

22.9

Samo Z!, (s) može biti prijenosna funkcija mreže.

Samo Z..(s)može biti ulazna funkcijamreže.

, Is· +- -s

R,C,

I I l -A- +- - +--R,C, R,C, R,C,

22.4U,(s) I I

z ,,(s ) = J'(s) =('--,-, s+--

R, C

23. Stabilnost

23.1 Polinom Q!(s)je Hurwitzov polincm.

fl

106 VIJJ. Višef ame mreže Rješenja 107

VIII. VIŠEFAZNE MREŽE

24.6 I, = 3~ ~2(U,', +1.1;,) - U;,

I , = 3~ J2(U,', +u i,)- u ;,

l , = 3~ J 2(U;,+1.1;, )- U,',

24.7 1.1,, = 31l ' ili - (U~, +Ui,),.,

23.2

23.3

23.4

23.5

23.6

23.7

u,(s) I sZ,, (s)= J:(s) C , l - A I

s +- s+-RC LC

Mrežaje stab ilna ako je A< l .

A s 2 (a+P)'M ap

0'; gM-RC';2N

R) Rl e-~-+ -=­

R... R:! CI

I{JJ

~R,C"R,C,

R,C, + (R, + R,)C,a6.j Az ~ R":!C

J

JJ L K-·-< R < ­K C J 19

24.8

24.9

24.10U'u= R

x=wRC

3{1±J3x+ x' ).4 +x:!

l~ > , ,\

24. Svojstva višef aznih mreža

24.J " , ." = I U(Nm)cosNm(Cll' +a );N.'

N= I.2....24.lJ

25. Simetrične komponente

25.1 B,=j(x+J3y) ; B,=j(x-J3y) ; iJ, =jx

· . . (a' - a)Z; +(a' - I)Z,1, =0; 1, =1.1 , ZZ' Z Z' ZZ

iO + Jll+ J ,

· . (a- a') z,; +(a - I)Z,1, =1.1, Z 7' +Z7' +Z Z

,~ " Log II i

.l'c = _ I ­<d::N

. lB, =- x. 4. 184 = - - x

4

I . = I zj· Z" + Z.+

· I . 1( )B = - x +J- 2v+3x ;l 2 4 ·

· I l ( )B.\ ='2 x + j4 2y -3x ;

25.4

25.3

25.5

25.2

,I UotYt

UlJU =..,....',- -I y,,.,

J, = 3~ ~(2U, + u,)' +(211; + V,)'

I, = 3~ ~(u, - u,)' +(v,- V,)'

J, = 3~~(U, +21.1,)' + (v, +2V,)'

I ( • • J1.1,, = '2 U' {! )+U' (3); k =I.2,3

(3. J= 1.2,31.1"= '1 '21.1(1); l v k k =I,2,3

24.2

24.5

24.3

24.4

Rješenja 109

l, = ll,- aAl ,R,

7.~ =: - -.-• 1+ sR~C

1' 51 < <»

.t{}~ (,;n~ (rV -- l

17..1 , I, :: "R(;:;:·1\.'oS(lV- C1}Sl'Ot,(I -. 7 1

27.3

28.2

28.3

28. Teorem superpozicije

. { I l ) .1 ll, ll, )28.1 f~=1 ~+ R: i · R

1+R

4+ /lRI + ·R?- - /? +R~

"c=(RJ+E{, -;·~ )+v"e'~ ; r =RC

S,= i[(1+X+x' )O' +V'F'+ (I+ Y+Y')Y]

p J3 p I,1.,= - = _ . )" =5, = "2

.... SAlf 2' ..yL.

{ ~ 3 • { . ~ [ ' • lP I)= ~"", i' =2V 1(1)+;8 /(3n- I)+ /(3n+l) ·00s3naN +

+ t. [J(3n- I) + j (3" + l)JSin3nax}

108 IX Teoremi mreža

. . . 3ZZ .V ,= V , =-V , ' . V, =E,*. Z,Z~ + Z,/21; + 2,,2, .

2:::

a ::: el) : z~ :: Zu+3(Z.... +z)

26. Energetski odnosi II višef aznim mrežama

25.6

26.2

26.3

26.1

26.1

IX. TEORE MI MREŽA

27. Teorem zamjene

27.1 i=-'-[(E- R,/)+R,A[I - e-~)]R1+ R2

26.5

26.6

3 •• 3 ..p{l )=Z UJ cos'!'; q(t} =zUJsi n'!'

p(t) =i ~' [I+cos{ aN - ~)]

3 lj' ( Tr)q(I) =--sin2 aN--2 R 3

28.5

28.6

. V, l [ .", ~-'l b, l, (I .".,).IR =- '-- Gle ' - u; +- - e . •R a\ - o Ra).

Un =UC l si n(Cđ - '1' )

(1;r+w' ci

Uc., =U, U'!'+w'(C, +C,)'

wR,C, (C e )l;I :: arctg - '-* + arclgroR.. .. + 1A •• .

i UI!Yl+(t.iI! + Li! \)~\ y.1 '= - Y.+ t; +Y:. '1

12.0

y -

2 7.2i ' cos' ,!, +(i sin,!, +wC,ii )' . ( )

i= ' 1 1 SJn OJl + lJIl+or RtCt

28.7l ( , , .)1"; , = - x: +2 y' +JXY

• 2x

y' .y- .1- .-

2/ .~,=- -IY

x

y'v ;..

­,

1JO IX Teoremi mreža Rj ešenja JJ1

I.iC

I'

Z,

I t .\·:UlC:

sC12+S RC)Z1

rZr =R

II' L

- + - + s ­r R, R

(' ) R,R,- w' ( /, L,-M' ) - Jw(L,R, +I.,R,)

ZI JW = Rl + Rz- jlll(J.. + L2 - 2.H)

M<F,L:V ' R,

p= - . -2 !Z,IZTI+(R,R, + XTX,)

lz,I=~R;+X; ; IlTI = ~R: + X;

r [ ]1+ n. l L

V = t: - - +- - .T R, r I. s r:

- + -+ s - fl + -r Rz " l Rl

U,+ U, Ul 1i=~s in CU"+R cosai ; w = RC

30.13

30.12

30.11

V, + U. (I+ sRC).10.111 UT = ,n2 ~ sRC)

30.8

30.9

R,=-.!!L7/1+a4+ ----!!.

R

RIOR - -­

T - A+ I

AII ,30.3

n. 2

29.1

29.3 1, = /e-m(l - w ).S(t)

29.4 iRi =-!!...-[_ /'-(a,e" " -lie-")+~(a,e-'" -lie''')]Rilo a.-o cx,! -o

3(1./

29. Teorem recipročnosti

Ne može. Realni dio od 1"1 ... i Y:!de negativan.

,. I (' . )' 24;:; lx Y + P)I

30.2

30. Th ćvenin - Nortonov teorem

Cl l U l(J r :;::-- . - -- . -

C,+ C: l + sRIC S

_ I+sRl'l 1ZT= - -- 'l +sR,e s(c, + C,)

c= CtCl

C' +C1

30.4PR, R,R,

li T = R, _ f3AR! U, ; R T = R, - (JAR. X. DVOPRILAZI

30.5 YN - I + kR+-, sC

31. Svojstva dvoprilaza

3/.1 al [a,] =[~ ~]

112 X. Đvoprlkui Rj ešenja l JJ

I

! I

I

lI

J,

Z,,(jro)

+R, h"u,R,

j,

I,

",iI

31.10

3J. JJ

31.12

3J.J3

3J.14

2

2'

R

2

R

2

l'

[/fZ - J/Z]a)[z,,]nije definirana: [ul

" = -IfZ IfZ

[If!' II!']

h) [=,,] ~ I/r lj 1" [y,,] nije definirana

[J' l =[ J'II" , - (YII +Y" )

31.3

3/.1

3 1.4

31.5

31.7

3J.6

31.8

3J.9

31.15~l =lal1Ro+ al l + R(ollRo+ a~~ ) ~P; R+ R"

114 X. Dvoprtkui

32. Spajanje dvoprilaza

J Z _ Z _..!.. 1+ sR,C + sLR,32. Il - l~ - sC 2 +sRrC sL+ R~

Z - Z _"!"__'_+sLR,II - ~ l - sC 2 +sR,C sL + R

2

Serijsko - paralelni spoj

[I l Bama . A., Porat. D. I. Opera tional amplifiers. Ne w York, A Wiley - lr ucrscic nccPublication. 1989.

(2J Boylestad , R.. Nashe lsky, L. Ele ctronic devices and circuit theory. EngfcwoodCliffs, New Jersey. Prenticc Hall Intcmational lnc.. 1987.

(3J Chua. L. O., Desoer , Ch. A., Kuh. E. S. Linear and nonIin ear circuits.Singapore. Mc Graw Hiti Comp., 1987.

(4] Ćalovi ć , D. Rešen i p ro blemi iz teorij e e lekt ričnih kola . Subotica/Beograd,Minerva. 1975.

(5) Dcsoer, Ch. A., Kuh, E . S. Basic circu it theory , Tokyo. Mc Graw Hill· KogaKu'ha.1969.

(6] Dcwding. B. Princip les of electr onics, Prenttcc Hall Irucrnarional (UK) Ltd.,1988.

LITERATURA

U,

B

2A

Paralelno - serijski spoj

lA

i A2'A-------- I-- r1'.4

hi B 2___ _w _~. f-

l 'B 2'B

lA 2A

J'AA

r r-- --------2'04

1-2BlB B'-- ---------l 'B 2'B

U,

32.2

32.4

32.3

32.5

32.6

32.7

32.8

32.9

1alt =n ; a22 =-;;°21=°12=0

Da.

U,U,

(7) Flicge, N. Linea ru Schaltungen mil Opcratloosvcrs ta rkcru, Heidel berg,Springer Verlag, 1979.

(8l Garland. H. B. Elec tronic engin eering appli ca tion s or two - por t networks .Oxford, Pergamon Press, 1976.

19] Johnson. D. E., Johnson, J. R.• Hilburn, J. L. Elec tric clrcul t ana lysis. Engle woodCIiffs, New Jersey. Prentice Hall International Inc.. 1992.

( 10] Kami, S. Applied circuit. ana lysis , New York. J. Wiley. 1988.

[ I Il Lc Page. W. R., Secly. S. Ge neral nel work analysis. New York. Mc Gruw HillCornp., 1952.

(12) Losev, A. K., Ziemclis, Ju. M. Zadačn i k po teoriji ltncjnyh elekt ri českih cepc].Moskva. Vji sšaja škola, 1989.

( 13] Mi l ić , M. Teorija električnih kola - Zb irka rešenih problema . Beograd.Naučna knjiga, 1990.

(14) Nagl ić , V. Osnovi teorije mreža , Zagreb, Sve učilište u Zagr ebu, 1988.

r15J Nasar.S. A.3000 solved problems in eleclric circuits. NewYork, McGraw HillInc., 1988.

116 Literatura

r16J Nilsson.J. W.. Riedcl, S. A. Electric circuits, Reading, Massachusetts. Addison ­-Wesley Publ. Comp.. 1996.

[17] Sieben . W. M. Cepi, signaly, sis tem)', Moskva, Mir , 1988.

( l SJ Šebes . M. R. T eorij a linejnyh elektrtčes kib cep ej v upražnenijah i zada č ah .

Moskva, Vjis šaja škola, 1973.

(191 Van Valkenburg, M. E. Netwo rk a nalysis , Englcwood CIiITs , New Jersey.Prenticc Hn1J , 1974.

[20) Zcpler, E. E.. Nichols . K. G. Transien ts in elect ronic engineeri ng. New PcncrLane EC4, Chapman and Hall Ltd.. 197 1.