Teorija Plasticnosti i Viskoelasticnosti

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU

FAKULTET STROJARTSVA I BRODOGRADNJE ZAVOD ZA TEHNIČKU MEHANIKU

Teorija plastičnosti i viskoelastičnosti

Sažetak predavanja

Prof. dr. sc. Dragan Pustaić Ivana Cukor, demonstrator u Zavodu za tehničku mehaniku

Zagreb, 2009.

Teorija plastičnosti i viskoelastičnosti Prof. dr. sc. D. Pustaić i I. Cukor, demos

Zavod za tehničku mehaniku FSB-a II

SADRŽAJ

SADRŽAJ..................................................................................................................................... II Popis slika ................................................................................................................................... IV Popis tablica ...............................................................................................................................VII

I. TEORIJA PLASTIČNOSTI

1. Mehanička svojstva materijala pri jednoosnom rastezanju i sabijanju..........2

1.1 Konvencionalni dijagram rastezanja i sabijanja materijala ....................................... 2 1.2 Utjecaj uvjeta ispitivanja na oblik dijagrama rastezanja i sabijanja materijala .......... 5

1.2.1 Utjecaj brzine deformiranja ............................................................................... 5 1.2.2 Utjecaj temperature ispitivanja na dijagram deformiranja ................................. 6

1.3 Shematizirani dijagrami rastezanja i sabijanja.......................................................... 8 1.4 Reološki modeli ...................................................................................................... 11

2. Aksijalno opterećenje štapova i štapnih konstrukcija...................................13

2.1 Analiza štapnih konstrukcija u elastičnom i u plastičnom stanju............................. 13 2.2 Primjer programskog zadatka – analiza naprezanja u štapovima .......................... 26

3. Savijanje prizmatičnih štapova u plastičnom području ................................32

3.1 Savijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala..................................... 32 3.1.1 Čisto savijanje štapa čiji presjek ima dvije osi simetrije .................................. 33 3.1.2 Čisto savijanje štapa čiji poprečni presjek ima jednu os simetrije................... 37

3.2 Rasterećenje elasto-plastično deformiranog štapa................................................. 41 3.3 Savijanje silama u plastičnom području.................................................................. 42 3.4 Primjer programskog zadatka – savijanje grede od elastično-idealno plastičnog materijala ............................................................................................................................ 47

4. Savijanje statički neodređenih kontinuiranih nosača i okvirnih nosača u plastičnom području................................................................................................53

4.1 Analiza graničnog stanja......................................................................................... 53 4.2 Metoda virtualnih radova ........................................................................................ 55 4.3 Analiza graničnih stanja okvirnih nosača Mehanizmi plastičnog sloma okvirnih nosača 56

5. Uvijanje štapova kružnog poprečnog presjeka..............................................60

5.1 Uvijanje štapa od nelinearno elastičnog materijala................................................. 60 5.2 Uvijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala ...................................... 64 5.3 Uvijanje štapa od elastično-linearno očvršćujućeg materijala ................................ 66


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a III

II. TEORIJA VISKOELASTIČNOSTI

6. Teorija puzanja materijala ................................................................................71

6.1 Viskoelastični modeli deformabilnog tijela .............................................................. 71 6.2 Osnovni rezultati eksperimentalnog ispitivanja puzanja pri jednosonom napregnutom stanju (rastezanju)........................................................................................ 73 6.3 Krivulja relaksacije .................................................................................................. 74 6.4 Krivulja puzanja ...................................................................................................... 77 6.5 Voight-Kelvinov model ............................................................................................ 78 6.6 Maxwellov model .................................................................................................... 82 6.7 Troparametarski viskoelastični modeli.................................................................... 87 6.8 Model viskoelastičnog deformabilnog tijela s tri elementa...................................... 88 6.9 Višeparametarski viskoelastični modeli .................................................................. 93 6.10 Model standardnog deformabilnog tijela................................................................. 94 6.11 Poopćeni Voight-Kelvinov model .......................................................................... 100 6.12 Poopćeni Maxwellov model .................................................................................. 101 6.13 Boltzmanov princip superpozicije ......................................................................... 102


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a IV

Popis slika

Slika 1.1. Konvencionalni dijagram rastezanja............................................................................. 2

Slika 1.2. Dijagram povijesti deformiranja .................................................................................... 4

Slika 1.3. Bauschingerov efekat ................................................................................................... 5

Slika 1.4.Utjecaj brzine deformiranja............................................................................................ 6

Slika 1.5. Ovisnost vlačne čvrstoće bakra o brzini deformiranja i o temperaturi ispitivanja......... 6

Slika 1.6. Dijagram naprezanje-deformacija u ovisnosti o povećavanju temperature .................. 7

Slika 1.7. Ovisnost ψ, ν, E, σD, δ o temperaturi............................................................................ 7

Slika 1.8. Dijagram naprezanje-deformacija pri sobnoj i pri sniženim temperaturama................. 8

Slika 1.9. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) –

linerano očvršćivanje.................................................................................................................... 8

Slika 1.10. Linearna aproksimacija krivulje očvršćivanja.............................................................. 9

Slika 1.11. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) –

nelinerano očvršćivanje.............................................................................................................. 10

Slika 1.12. Shematizirani dijagram rastezanja legiranog čelika: a) elastično - linearno

očvršćujući materijal – bilinearni dijagram; b) elastično nelinearno - očvršćujući materijal ........ 10

Slika 1.13. Shematizirani dijagrami: a) elastično-idealno plastičan materijal, b) kruto-idealno

plastičan materijal, c) kruto-linearno očvrščujući materijal ......................................................... 11

Slika 1.14. Osnovni reološki elementi : a) linearni viskozni prigušivač, b) linearna opruga, c)

plastični klizač ............................................................................................................................ 11

Slika 2.1. Štapna konstrukcija – aksijalno opterećena. Materijal štapova elastično-idealno

plastičan ..................................................................................................................................... 13

Slika 2.2. Štap od elastično-idealno plastičnog materijala opterećen koncentriranom silom F .. 16

Slika 2.3. Ovisnost pomaka presjeka C o opterećenju štapa F .................................................. 18

Slika 2.4. Rasterećenje elasto-plastično deformiranog štapa .................................................... 19

Slika 2.5. Štapna konstrukcija aksijalno opterećena. Materijal štapova elastično-linearno

očvršćujući.................................................................................................................................. 20

Slika 2.6. Grafički prikaz ovisnosti uzdužnih sila u štapovima o vanjskom opterećenju

konstrukcije ................................................................................................................................ 22

Slika 2.7. Programski zadatak – analiza naprezanja u štapnoj konstrukciji i izrađenoj od

elastično-linearno očvršćujućeg materijala................................................................................. 26

Slika 2.8. Dijagram ovisnosti uzdužnih sila u štapovima u ovisnosti o iznosu sile F .................. 31

Slika 3.1. Savijanje ravnoga prizmatičnog štapa: a) početni oblik štapa s koordinatnim

sustavom, b) deformirani oblik štapa.......................................................................................... 32


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a V

Slika 3.2. Elastoplastično stanje štapa: a) elastična jezgra i dva plastificirana područja, b)

elastično stanje, c) maksimalna naprezanja u elastičnom stanju, d) raspodjela naprezanja u

elastoplastičnom stanju, e) raspodjela naprezanja u graničnom stanju ..................................... 33

Slika 3.3. Poprečni presjeci štapa: a) pravokutnik, b) krug, c) romb .......................................... 35

Slika 3.4. Postupni razvoj plastificiranih područja i pomicanje neutralne osi: a) potpuno

plastificiran poprečni presjek, b) naprezanja u elastičnom stanju, c) maksimalna naprezanja u

elastičnom stanju, d) i e) naprezanja u elastoplastičnom stanju, f) raspodjela naprezanja u

graničnom plastičnom stanju...................................................................................................... 37

Slika 3.5. Ovisnost momenta savijanja y .

y

MM

pl

.T

o omjeru deformacija xεε.max

T

.............................. 40

Slika 3.6. Raspodjela normalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa od elastično-idealno

plastičnog materijala: a) poprečni presjek štapa, b) kod opterećenja, c) kod rasterećenja, d)

zaostala naprezanja, e) kod graničnog opterećenja štapa......................................................... 41

Slika 3.7. Raspodjela normalnih naprezanja po poprečnom presjeku štapa od elastično-linearno

očvršćujućeg materijala: a) poprečni presjek štapa, b) kod opterećenja, c) kod rasterećenja,

d) zaostala naprezanja, e) kod graničnog opterećenja štapa..................................................... 41

Slika 3.8. Nastajanje plastičnog zgloba na gredi opterećenoj koncentriranom silom................. 42

Slika 3.9. Nastajanje plastičnog zgloba na gredi opterećenoj jednoliko raspodijeljenim

kontinuiranim opterećenjem ....................................................................................................... 45

Slika 3.10. Nastajanje plastičnog zgloba na konzoli opterećenoj koncentriranom silom na kraju

................................................................................................................................................... 46

Slika 3.11. Nastajanje plastičnog zgloba na konzoli opterećenoj linearno raspodijeljenim

kontinuiranim opterećenjem ....................................................................................................... 46

Slika 3.12. Programski zadatak – savijanje grede od elastično-idealno plastičnog materijala... 47

Slika 3.13. Dijagram momenata savijanja .................................................................................. 48

Slika 3.14. Širenje plastificiranog područja................................................................................. 52

Slika 4.1. Analiza graničnog stanja kontinuirane grede.............................................................. 54

Slika 4.2. Primjer - Analiza graničnog stanja okvirnog nosača................................................... 57

Slika 5.1. Uvijanje štapa – geometrijska analiza ........................................................................ 60

Slika 5.2. Raspodjela kutnih deformacija i tangencijalnih naprezanja po poprečnom presjeku

štapa izrađenog od linearno elastičnog materijala ..................................................................... 62


štapa izrađenog od elastično-idealno plastičnog materijala ....................................................... 62


štapa izrađenog od nelinearno elastičnog materijala ................................................................. 63


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a VI

Slika 5.5. Uvijanje štapa od elastično-idealno plastičnog materijala .......................................... 65

Slika 5.6. Uvijanje osovine od elastično-linearno očvršćujućeg materijala................................. 67

Slika 6.1. Osnovni reološki elementi: a) linearno elastična opruga, b) viskozni element ........... 71

Slika 6.2. Krivulje puzanja .......................................................................................................... 73

Slika 6.3. Krivulja relaksacije...................................................................................................... 74

Slika 6.4. Krivulja puzanja .......................................................................................................... 77

Slika 6.5. Voight-Kelvinov model................................................................................................ 78

Slika 6.6. Krivulja puzanja i krivulja relaksacije Voight-Kelvinova modela ................................. 81

Slika 6.7. Maxwellov model ........................................................................................................ 82

Slika 6.8. Krivulja puzanja i krivulja relaksacije Maxwellova modela.......................................... 86

Slika 6.9. a) Voight-Kelvinov model serijski spojen s linearno elastičnom oprugom, b) krivulja

puzanja....................................................................................................................................... 87

Slika 6.10. a) Voight-Kelvinov model serijski spojen s viskoznim elementom, b) krivulja puzanja

................................................................................................................................................... 87

Slika 6.11. Krivulja puzanja modela s tri elementa..................................................................... 89

Slika 6.12. Krivulja relaksacije viskoelastičnog modela s tri elementa ....................................... 92

Slika 6.13. Viskoelastični model deformabilnog tijela s četiri elementa...................................... 94

Slika 6.14. Krivulja puzanja (a) i krivulja relaksacije (b) viskoelastičnog modela deformabilnog

tijela s četiri elementa................................................................................................................. 99

Slika 6.15. Poopćeni Voight-Kelvinov model............................................................................ 100

Slika 6.16. Poopćeni Maxwellov model .................................................................................... 101

Slika 6.17. a) Skokovita promjena naprezanja s vremenom, b) ovisnost deformacije o vremenu

(krivulja puzanja) ...................................................................................................................... 102


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a VII

Popis tablica

Tablica 1.1. Reološki modeli ...................................................................................................... 12 Tablica 2.1. Faktori povećanja nosivosti u plastičnom području ................................................ 37


Zavod za tehničku mehaniku FSB-a 1

I. TEORIJA PLASTIČNOSTI



1. Mehanička svojstva materijala pri jednoosnom rastezanju i sabijanju

1.1 Konvencionalni dijagram rastezanja i sabijanja materijala

Slika 1.1. Konvencionalni dijagram rastezanja

Dijagram počinje iz ishodišta pravcem koji se naziva Hookeovim pravcem i za koji vrijedi Hookeov zakon : ⋅σ = E ε . Što je modul elastičnosti E veći, za isto istezanje ε bit će potrebno veće naprezanje σ, odnosno nagib Hookeovog pravca bit će strmiji. Svako naprezanje u području u kojem vrijedi Hookeov zakon izaziva samo elastičnu deformaciju (istezanje) pa nakon rasterećenja deformacija isčezava. Hookeov pravac je s gornje strane ograničen granicom proporcionalnosti σP do koje vrijedi linearni odnos naprezanja i deformacija. Ako je ≤ Pσ σ , vrijedi Hookeov zakon. Malo iznad nje nalazi se granica elastičnosti σE i predstavlja najviše naprezanje do kojeg se materijal ponaša elastično. Ako je ≤ Eσ σ , nakon rasterećenja mjerni dio epruvete potpuno se vraća u prvobitni oblik i veličinu.



Granica tečenja σT je ono naprezanje kod kojeg se epruveta počinje produljivati bez povećanja naprezanja. Granicu tečenja karakteriziraju dvije vrijednosti, gornja i donja granica tečenja, pa se često taj dio prikazuje kao ploha tečenja (B-C), rasterećenjem iz toga područja zaostaju u materijalu i trajne plastične deformacije εpl.

el pl= + aditivna dekompozicijaε ε ε

Kod materijala koji imaju kontinuirani prijelaz iz područja elastičnih u područje plastičnih deformacija utvrđuje se konvencionalna granica razvlačenja. To je ono naprezanje koje će nakon rasterećenja ostaviti u materijalu određenu platičnu deformaciju. Kod konvencionalne granice razvlačenja RP0,01 ostaje u materijalu nakon rasterećenja plastična deformacija od 0,01%, dok je kod konvencionalne granice razvlačenja RP0,2 plastična deformacija 0,2%. Područje C – M je područje očvršćenja materijala, povećanjem sile opterećenja, raste i naprezanje σ i deformacija ε.

Rasterećenje iz neke točke K događa se po pravcu, jer u procesu rasterećenja vrijedi uvijek Hookeov zakon, budući da je veza između smanjenja naprezanja i smanjenja deformacija linearna. Deformacija εrast pokazuje smanjenje deformacija, ali samo elastičnih

rast rast= ⋅σ E ε

Naprezanje kod maksimalne sile naziva se vlačna ili rastezna čvrstoća Rm; Rm nije maksimalno naprezanje već naprezanje pri maksimalnoj sili, jer ploština presjeka epruvete od trenutka postizanja maksimalne sile počinje se naglo smanjivati pa stvarno naprezanje, unatoč smanjenju sile raste. Vlačna čvrstoća je osnovno mehaničko svojstvo na temelju kojeg se materijali vrednuju prema svojoj mehaničkoj otpornosti. Naprezanje kod kojeg dolazi do loma epruvete zove se konačno naprezanje ili lomno naprezanje (točka L).

,

L

l ll l ll

l

L.el L.pl

L.pl

L.pl

L 0L L 0 L.pl

0

L.pl

L.el

- deformacija kod loma = +- zaostala plastična deformacija kod loma=

-Δ = - = =

seodredi mjerenjem duljineepruvete nakon loma epruvetese povrati

L

L

εε ε εεε δ

δ ε

εε

δ – parametar delta karakterizira plastičnost, odnosno duktilnost (rastezljivost) materijala; što je veći, to je materijal duktilniji.

δ5 – kratka epruveta 5=0

0dl δ10 – duga epruveta 10=0

0

ld

ψ – poprečna kontrakcija, također mjera duktilnosti = 0

0

A - AψA

Dijagram naprezanje-deformacija kakav smo do sada razmatrali naziva se inženjerski ili konvencionalni dijagram, no to nije stvarni dijagram naprezanje – deformacija. Nije zbog toga što se iznosi naprezanja utvrđuju dijeljenjem sila s početnom ploštinom poprečnih



presjeka A0, što je ispravno samo u području elastičnih deformacija pri čemu se zbog promjenljivosti volumena, unatoč produljenju, epruveta ne sužuje. Stvarno naprezanje dobiva se dijeljenjem trenutne sile s trenutnom površinom.

l −0

0

02

00

0

00

-početni promjer ispitivane epruvetepočetnaduljinaispitivaneepruvete

-početnapovršinapoprečnogpresjekaπ=

4-konvencionalnonaprezanje

=

d

A

dA

σFσA

2

- trenutni promjer- trenutna površina poprečnog presjekaπ=

4-pravo naprezanje

=

dA

dA

σFσA

0

0

<>

A Aσ σ

0

ll

l l ll l>

<

0

0

0

Δ=

Δ = -

ε

ε ε

U teoriji plastičnosti ne postoji jednoznačna veza između deformacija i naprezanja,

treba poznavati povijest deformiranja.

Slika 1.2. Dijagram povijesti deformiranja

Bauschingerov efekat - snižavanje granice tečenja u drugom ciklusu opterećivanja ako se opterećenju promijeni predznak.



Ako se takav materijal rasteže od izvornog stanja, dijagram ima tok OAB. Nakon rasterećenja naprezanje se linearno smanjuje do točke C. Ako se tada materijal tlači, dijagram se mijenja po liniji CDEF, pa je σT

D<σT . Kad bi se materijal u stanju C ponovno rastezao, deformirao bi se prema dijelu dijagrama CBI. Prema tome, deformiranjem se povećava granica tečenja, ako ponovno opterećenje ima isti predznak.

Granica se tečenja, međutim, smanjuje ako se nakon deformiranja pri ponovnom opterećenju naprezanju mijenja predznak. Ako se naprezanju u točki F promijeni predznak, deformiranje se odvija po pravcu FGH, a zatim po krivulji HABI: Kad bi se materijal u izvornom stanju opteretio tlačno, deformiranje bi se odvijalo po krivulji OEF.

Slika 1.3. Bauschingerov efekat

1.2 Utjecaj uvjeta ispitivanja na oblik dijagrama rastezanja i sabijanja materijala - utjecaj brzine deformiranja – kojom brzinom povećavamo silu - utjecaj temperature ispitivanja

1.2.1 Utjecaj brzine deformiranja

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

&d 1= =d sεξ εt

kod statičkog pokusa 5 210 10− −−&&⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦1s



Slika 1.4.Utjecaj brzine deformiranja

Kod dinamičkog opterećivanja:

• u dijagramu rastezanja nema izražene plohe tečenja,

• pri dinamičkom opterećenju viša je vlačna čvrstoća,

• dolazi do loma pri puno manjoj ukupnoj deformaciji.

1.2.2 Utjecaj temperature ispitivanja na dijagram deformiranja

Slika 1.5. Ovisnost vlačne čvrstoće bakra o brzini deformiranja i o temperaturi ispitivanja



Porastom temperature ispitivanja smanjuju se : • modul elastičnosti materijala E,

• granica proporcionalnosti σP ,

• granica tečenja σT ,

• granica čvrstoće σM ,

dok Poissonov broj ν, zaostalo relativno produljenje kod loma δ i zaostalo relativno suženje površine poprečnog presjeka (poprečna kontrakcija ψ) rastu s porastom temperature.

Slika 1.6. Dijagram naprezanje-deformacija u ovisnosti o povećavanju temperature

Slika 1.7. Ovisnost ψ, ν, E, σD, δ o temperaturi



Snižavanjem temperature rastu: E, σT, σM, a smanjuju se δ5, ψ

Slika 1.8. Dijagram naprezanje-deformacija pri sobnoj i pri sniženim temperaturama

1.3 Shematizirani dijagrami rastezanja i sabijanja

Slika 1.9. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) – linerano očvršćivanje



∗

⋅ ≤ ≤

→ → = ⋅

=

≤ ≤

≤ ≤ < = −

T

1 1 1

, 0gornji granični slučaj točka A .

(1)

, (2)za materijal s izraženom plohom tečenja

materijal s izraženom plohom tečenja i linearnim očvršćenjemtg

T

T T

TT

T T

T T T

0 - A : σ = E ε ε εσ E εσεE

A - B : σ = σ ε ε ε

B - C :ε ε ε β β β E E

∗

= − −

< >

= ⋅

1

modul očvršćenja materijalaizabiremo sami ovisno o veličini deformacije koju želimo modelirati

1 parametar očvršćenja materijala

, 1, 0.

jednadžba pravca, ne vrijedi više Hookeov zakon( )

T

TT

T T T

εEλE

EE < E λE

σ = σ(ε)σ - σ E ε - ε

∗

∗ ∗∗

∗

= ⋅ ⋅ = − ⋅

⎡ ⎤− − ⋅ +⎢ ⎥

⎣ ⎦

jednadžba pravca (3)linearna veza i

(1 )

1 (1 ) (4)

T T T T

T T TT T T T

T T

TT T

T

σ εσ = σ + E ε - E ε

E ε εE ε σ σ λE ε ε

εσ = σ λ E εε

Slika 1.10. Linearna aproksimacija krivulje očvršćivanja



• materijal s nelinearnim očvršćenjem i izraženom plohom tečenja

Slika 1.11. Shematizirani dijagram rastezanja mekog čelika s izraženom plohom tečenja (AB) – nelinerano očvršćivanje

∗

− ⋅−

⎛ ⎞− = < <⎜ ⎟

⎝ ⎠

0 A :A B:

B C : 0 1

Tm

TT

σ = E εσ = σ

εσ σ mε

Shematizirani dijagram za materijal s neizraženom plohom tečenja – legirani čelici prikazani su na slici 1.12., bilinearni dijagram prikazan je na slici a), a nelinearno očvršćujući materijal s parametrima materijala A i m na slici b)

• elastično-linearno očvršćujući materijal

Slika 1.12. Shematizirani dijagram rastezanja legiranog čelika: a) elastično - linearno očvršćujući materijal – bilinearni dijagram; b) elastično

nelinearno - očvršćujući materijal



Slika 1.13. Shematizirani dijagrami: a) elastično-idealno plastičan materijal, b) kruto-idealno plastičan materijal, c) kruto-linearno očvrščujući

materijal

1.4 Reološki modeli Reološki modeli su modeli kojima opisujemo idealizirane dijagrame deformiranja

realnih materijala. Sastavljeni su od reoloških elemenata. Osnovni reološki elementi su: linearna opruga, plastični klizač i linearni viskozni prigušivač te su prikazani na slici 1.14.

Slika 1.14. Osnovni reološki elementi : a) linearni viskozni prigušivač, b) linearna opruga, c) plastični klizač



Tablica 1.1. Reološki modeli



2. Aksijalno opterećenje štapova i štapnih konstrukcija

2.1 Analiza štapnih konstrukcija u elastičnom i u plastičnom stanju Osnove analize graničnih stanja konstrukcije

Opterećenje na konstrukciju polagano i monotono raste (statička, mirna opterećenja) od nule do svoje granične vrijednosti. 0 F F≤ ≤ gr

Konstrukcija prolazi kroz tri karakteristična stadija dok opterećenje raste: 1. Konstrukcija se nalazi u elastičnom stanju. 2. Konstrukcija se nalazi u elasto-plastičnom stanju. 3. Konstrukcija se nalazi u plastičnom stanju, konačna točka je granično

plastično stanje u kojem je opterećenje dostiglo graničnu vrijednost i dolazi do sloma ili kolapsa konstrukcije.

Kod proračuna konstrukcije u plastičnom području uvijek moraju biti zadovoljene tri grupe jednadžbi:

• Uvjeti ravnoteže.

• Uvjeti kompatibilnosti pomaka (uvjeti deformacije).

• Kriteriji tečenja materijala.

Kriterij tečenja za jednoosno napregnuto stanje – do plastičnog tečenja materijala štapa doći će onda kada naprezanje u štapu postane jednako granici tečenja materijala.

Primjer: Svi štapovi su od istog materijala (E) i istog poprečnog presjeka A, sila F se

mijenja od 0 do granične vrijednosti,materijal je elastično-idealno plastičan.

Slika 2.1. Štapna konstrukcija – aksijalno



opterećena. Materijal štapova elastično-idealno plastičan

1. ANALIZA KONSTRUKCIJE U ELASTIČNOM STANJU

UVJETI RAVNOTEŽE

F N α N αN N

F N α N N α F

N α N F

x 1 3

1 3

y 1 2 3

1 2

0 sin sin 0 (1)

0 cos cos 0 (2)

2 cos (2a)

∑ = − + =

=

∑ = + + − =

+ =

zadatak je jedanput statički neodređen UVJETI DEFORMACIJE

l ll l ll

lll l

l l l

Δ = Δ

Δ= Δ = Δ ⋅Δ

⋅Δ = Δ =

⋅ ⋅= ⋅

3 1

11 2

2

12

1 2

1 2

cos cos (3)

cos

coscos

α α

N NαAE AE

N N αAE α AE

⋅ cosAE α l

= 21 2

:

cos (4)N N α

T

N α N F

N α FFNα

αN N Fα

α AE σN N F N F

32 2

32

2 3

2

3 1 3

o 2

3 1 2

(4) (2a) 2 cos

(2cos 1)

(5)2cos 1

cos2cos 1

30 2 cm 4m200 GPa 250MPa

0,32625 0,435

⇒ + =

⋅ + =

=+

= =+

= = == =

= = =

l



−

= = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =

= ⋅ =

Δ= = =

Δ = ⋅ = ⋅ =

22

6 4

T

22 2

2 2

0,435

250 10 2 10 115000 N 115 kN0,435 0,435

5 mm

TT

TT

TT T

TT

T

N Fσ σA Aσ AF

σσ E ε εE

σε ε εEσε Malo produljenje pri ulazu u plastično područjeE

ll

l l l

2. ANALIZA KONSTRUKCIJE U ELASTO-PLASTIČNOM STANJU >

=

= =

=

=

=

T

T

2

1

2

3

Naprezanje u 2. štapu je konst, raste u 1. i 3.dokonst

,tj.

T

T

T

T

T

T

F Fσ σ

N σ AU slučaju da su naprezanja u sva tri štapa jednaka granici tečenja materijala σσ σσ σσ σtakvo stanje konstrukcije naziva se granič

= = =

=1 2 3

gr

T

no stanje konstrukcijeSile u sva tri štapa tada iznose N N N σ ASila F poprimila je graničnu vrijednost, tj. F F

3. ANALIZA KONSTRUKCIJE U GRANIČNOM PLASTIČNOM STANJU

−

∑ = + + =

= +

= + ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

=

y gr

gr

6 4gr

0 cos cos (6)

(1 2c os ) (7)

3(1 2 ) 2,7322

2,732 250 10 2 10 136,6 kN

2,3

T T T

T

gr T T

T T

F σ A α σ A α σ A F

F σ A α

F σ A σ A

F

F σ A



=

= = = < −

gr

grdop

gr

Uz npr. 2, faktor sigurnosti za granično stanje

136,6 68,3 kN a to znači da se plastične deformacije neće2

niti pojaviti u konstrukciji, a kamoli da ćedoći do loma

T

S

FF F

S

ll

l ll l

l

ΔΔ =

Δ = ⋅ = ⋅ = ⋅ =

Δ = =

→

12

1 1 1 T

2 o

Produljenje štapa BD kod granične sile :

cos

AD, CD : 5,7735 mmcos cos

5,7735 6,667 mmcos30

5 6,667 mm,dakle radi se o malim elasto - plastičnim deformacijama.

T

ασε ε

α E α

Zato neke konstrukcijske čelike možemo shematizirati kao elastično - idealno plastični materijal.

Primjer a) analiza u elastičnom području

materijal: elastično-idealno platičan

Slika 2.2. Štap od elastično-idealno plastičnog materijala opterećen koncentriranom silom F

uvjet ravnoteže: ∑ = − =x 0 0 (1)A BF R - R + F

1 jednadžba – 2 nepoznanice – jedanput statički neodređen



l l

=

⋅ ⋅− =

= =

B

B

B A

uvjet deformacije : 025 0 (2)

2 3 (3)5 5

u

F RAE AE

R F R F

= =

= − = −

1 A

2 B

35

25

N R F

N R F prvo će se plastificirati dio 1

= = =

=

T1

1

35uvjet tečenja : (4)

5 (5)3

T

T T

FNσ σA A

F σ A

b) elasto-plastično stanje štapa – vrijede jednadžbe ravnoteže, dok uvjet deformacije više nije potreban, jer je zadatak postao statički određen, =1 TN σ A .

=

= = =

=

gr

gr22

gr

Sila pri kojoj se plastificira dio 2?

(7)

2 . (8)

TT

T

F

F - σ ANσ σ

A AF σ A

c) analiza pomaka presjeka C

l l l

≤ ≤

⋅ ⋅= = = ⋅

1

C C

02 3 2

65 5 5 (9) veza između u i25

TF F

N F Fu linearna FAE AE AE

ll

=

⋅= ⋅ = ⋅C

Veličina pomaka u slučaju kada se plastificirao prvi dio štapa:535

6 23 (10)25 5

T T

TT

F = F σ A

σ A σuAE E



Slika 2.3. Ovisnost pomaka presjeka C o opterećenju štapa F

ll

l

≤ ≤

⋅= Δ =

⋅=

gr

2

C 2

2

C

35

prema (6)3( )5 (11)

T

T

F F F

Nu

AEN

F - σ Au

AE

najveći pomak točke C – za gr i iznosi

l ll

− ⋅ ⋅= = = ⋅

gr

C.gr

3 3( ) (2 ) 35 5 (12)5

T T TT

F σ A σ A - σ A σuAE AE E

d) rasterećenje štapa iz elasto-plastičnog stanja

- rezultat mora biti zaostali pomak i zaostala naprezanja u štapu

∗

∗

= =

= < < =T gr

11 (13)6

5 123 6

T

T T

F F σ A

F σ A F F σ A



ll

∗

∗− ⋅ − ⋅

= = = ⋅C

3 11 3( ) l ( 1) 15 6 5 (14)2

T TT

F σ A σ A σuAE AE E

Rasterećenje – zamišlja se kao da se doda sila suprotnog smjera koja raste do F* i kod rasterećenja vrijedi Hookeov zakon!

l l

+ − =

=

⋅ ⋅− + =

= =

= − = −

= =

A B

A

'A

B A

1 A

2 B

' ' 0 (a )03'5 0 (b )

2 3' ' ' ' (c)5 5

3' ' '5

2' ' ' (d)5

R R F'u

F RAE AE

R F R F

N R F

N R F

Slika 2.4. Rasterećenje elasto-plastično deformiranog štapa

∗

∗

∗

=

= − =− ⋅ =−

= = ⋅ =

1rasterećenja

2rasterećenja

potpuno rasterećenje '3 3 11 11'5 5 6 10

2 2 11 11'5 5 6 15

T T

T T

F F

N F σ A σ A,

N F σ A σ A.

Zaostale sile u štapu poslije potpunog rasterećenja štapa

∗

= + = − = −

= + = − + = −

= − − = − − = −

1zaostalo 1 1rasterećenja

2zaostalo 2 2rasterećenja

2

11 1'10 10

5 11 1'6 15 10

11 5( ) ( 1)6 6

T T T

T T T

T T T

N N N σ A σ A σ A,

N N N σ A σ A σ A,

N F σ A σ A σ A.

Zaostala su trajna tlačna naprezanja i jednaka su u oba dijela štapa.



Pomak presjeka C pri rasterećenju određuje se iz formule (9)

l

l l

∗

∗

= ⋅

= =

⋅ σ ⋅= ⋅ = ⋅

C.rasterećenja

TC.raster.

625

116

116 116 . (17)

25 25

T

T

FuAE

F F σ A

σ Au

AE E

Zaostali pomak presjeka C jednak je razlici pomaka pri opterećenju i pri rasterećenju

l l l∗ ⋅ ⋅ ⋅= − = ⋅ − ⋅ = ⋅C.zaostalo C C.rasterećenja

1 11 3 . (18)2 25 50

F T T Tσ σ σu u uE E E

Primjer Materijal: elastično-linearno očvršćujući

Slika 2.5. Štapna konstrukcija aksijalno opterećena. Materijal štapova

elastično-linearno očvršćujući

= = =

= − ≤ ≤ gr

1Zadano : , 2,2

1 0

LT T T

T

T

σA, E, E σ ,β E E.σ

Eλ F FE



a) Analiza konstrukcije u elastičnom području

∑ = − + =

=

∑ = + + − =

x 1 3

1 3

y 1 2 3

0 sin sin 0 (1)

0 cos cos 0 (2)

F N α N αN N

F N α N N α F

zadatak je jedanput statički neodređen

Uvjet deformacije:

najveće naprezanje je u 2. štapu – prvi ulazi u plastično područje

Δ = Δ

Δ=Δ

Δ = Δ ⋅

⋅ ⋅= ⋅

=

+ ⋅ = + =

+ = = =

3 1

1

2

1 2

1 2

1 2

2 1 1 1

2 1 1 2

cos

cos (3)12

2 (4)

12 22

1 2(5) (6)3 3

α

αN NAE AEN N

N N F N N F

N N F N F N F

l lll

l ll l



=

= = =

=

2

T2

2

23 (7)

3 (8) sila pri kojoj 2. štap ulazi u plastično područje2

T

T

T T

σ σ

FNσ σA A

F σ A

Slika 2.6. Grafički prikaz ovisnosti uzdužnih sila u štapovima o vanjskom opterećenju konstrukcije

b)Analiza konstrukcije u elasto-plastičnom području

=

Δ Δ= Δ =Δ

Δ = Δ + Δ

⋅ − ⋅Δ = Δ =

1 3

1 21

2

2 2 2

22 2

vrijede jednadžbe ravnoteže

cos vrijedi uvjet deformacije2

' '' (9)( )' '' (10)T T

T

N N

α

σ A N σ AAE AE

l lll

l l ll ll l

= −

= −

⋅ ⋅ − ⋅Δ = +

⋅ −2

2

1

(1 )( )

(1 )

T

T

T T

EλE

E λ Eσ A N σ A

AE A λ El ll

Documents

Teorija Plasticnosti i Viskoelasticnosti