Лекция 2. Математические предложения

© Гусева И.Н., кафедра СМиРЯ, КГУ, 2010

ВЫСКАЗЫВАНИЯ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Высказыванием называется любое повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно.

Например, предложения «Все люди голубоглазы», «Существуют одногорбые верблюды» – являются высказываниями, первое из которых ложно, а второе истинно.

Высказываниями не считаются: вопросительные и восклицательные предложения (например, «Как пройти в библиотеку?», «С Днем рожденья!»), а также предложения, содержащие переменные, которые могут принимать различные значения (например, «х + 3 = 5», «Поэт х написал поэму у»).

Высказывания обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита, например А, В, С, D, …

Из заданных высказываний А и В можно составить новые высказывания, используя связки «и», «или», «если ..., то...», «тогда и только тогда, когда», а также частицу «не».

Полученные высказывания называют составными, а входящие в них высказывания A и B – элементарными высказываниями.

Например: А: «Сегодня полнолуние», В: «Я буду петь» - элементарные высказывания; «Если сегодня полнолуние, то я буду петь» - составное.

Два составных высказывания A и B называются равносильными (или эквивалентными), если они одновременно истинны или одновременно ложны при любых предположениях об истинности входящих в них элементарных высказываний.

Записывают: A=В.

Отрицание высказывания

И – истинное высказывание, Л - ложное высказывание

Конъюнкция высказываний

Пусть A и B – два элементарных высказывания.

Конъюнкцией данных высказываний называется высказывание «A и B» и обозначается AB.

Например.

А: «4 делится на 2», В: «4 больше 2», тогда AB: «4 делится на 2 и 4 больше 2».

Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны одновременно. В остальных случаях конъюнкция ложна.

Свойства конъюнкции:Коммутативность: AB= ВА, для

любых двух высказываний А и В.Ассоциативность: (AB) С =A (BC),

для любых А, В и С

Дизъюнкция высказываний

Пусть A и B – два элементарных высказывания. Дизъюнкцией данных высказываний называется высказывание «A или B» и обозначается AB.

Например, А: «4 больше 2», В: «4 равно 2», AB: «4 больше 2 или 4 равно 2».

Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны одновременно. В остальных случаях дизъюнкция истинна.

Свойства дизъюнкции:Коммутативность: AB= ВА, для любых

двух высказываний А и В.Ассоциативность: (AB) С= A (BC), для

любых А, В и С.Дистрибутивность: а)(AB) С=(AС) (BС);б)(AB)C=(AC)(BC), для любых А, В и С.

Импликация высказываний

Пусть A и B – два элементарных высказывания. Импликацией данных высказываний называется высказывание «Если A, то B» и обозначается АВ.

Например, А: «Сейчас 8 утра», В: «Я иду в институт», А В: «Если сейчас 8 утра, то я иду в институт».

Условились считать, импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда первое высказывание (посылка) - истинно, а второе (заключение) - ложно. В остальных случаях импликация истинна.

Эквиваленция высказываний

Пусть A и B – два элементарных высказывания. Эквиваленцией данных высказываний называется высказывание «A тогда и только тогда, когда B» и обозначается А  В.

Например, А: «Я не хожу в школу», В: «Сегодня выходной день», А   В: «Я не хожу в школу тогда и только тогда, когда выходной».

Эквиваленция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно истинны или одновременно ложны. В остальных случаях эквиваленция ложна.

Составные высказывания, истинные при любых предположениях о входящих в них элементарных высказываниях, называют тавтологиями.

Например, A B  BA и AB  BA - тавтологии.

Логические операции делятся по старшинству, что позволяет избегать большого количество скобок при записи составных высказываний.

Наибольший приоритет имеет отрицание, затем конъюнкция и дизъюнкция, затем импликация, и самый низкий приоритет имеет эквиваленция.

При составлении таблиц истинности составных высказываний применяют следующее правило:

перебирают все возможные варианты значений истинности элементарных высказываний, входящих в составное. Число таких вариантов (т.е. число строк таблицы) равно 2n, где n – количество элементарных высказываний.

Например, число строк таблицы истинности для формулы AB  BA равно 4 (2²).

Пример 2.А. Составьте таблицу истинности для формулы: A(B C)

A B C B C A(B C)

И И И И И

И И Л И И

И Л И И И

И Л Л Л Л

Л И И И Л

Л И Л И Л

Л Л И И Л

Л Л Л Л Л

A B C

И И И

И И Л

И Л И

И Л Л

Л И И

Л И Л

Л Л И

Л Л Л

B CИ

И

И

Л

И

И

И

Л

+ =

Значения истинности

итоговой формулы

Исходные значения

истинности

Исходные значения

истинности

Значения истинности

итоговой формулы

Промежуточные значения

истинности

Пример 2.Б. Докажите следующее равенство: (AB)С =A(BC).

A B C A B (A B)C В С A (BC)

И И И И И И И

И И Л И Л Л Л

И Л И Л Л Л Л

И Л Л Л Л Л Л

Л И И Л Л И Л

Л И Л Л Л Л Л

Л Л И Л Л Л Л

Л Л Л Л Л Л Л

Значения истинности

формул слева и справа

совпадают

Значения истинности

формул слева и справа

совпадают

Значения истинности

формул слева и справа

совпадают

Пример 2.В. Докажите следующую тавтологию: AB BA

A B A B В А A B B A

И И И И И

И ЛЛ

И И

Л И Л Л И

Л Л Л Л И

Итоговые значения

истинности: ИСТИНА

ПРЕДИКАТЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ

Одноместные предикаты

Пусть предложение содержит переменную, которая может принимать различные значения, причем подстановка любого из значений переменной превращает предложение в истинное или ложное высказывание. Тогда это предложение называют одноместным предикатом.

Для каждого одноместного предиката надо указать множество значений, которые может принимать переменная х. Его называют областью определения предиката Х. Множество Х должно быть определено однозначно.

Например, у предиката «Поэт Пушкин написал поэму х» множество истинности содержит много элементов:

Т={«Руслан и Людмила»; «Кавказский пленник»; «Гавриилиада»; «Вадим»; «Братья разбойники»; «Бахчисарайский фонтана; «Цыганы»; «Граф Нулин»; «Евгений Онегин»; «Полтава»; «Тазит»; «Домик в Коломне» «Езерский»; «Анджело»; «Медный всадник»}.

Одноместный предикат является не чем иным, как характеристическим свойством, позволяющим выделить из области определения этого предиката подмножество истинности Т.

Примерами одноместных предикатов могут служить предложения:• «Натуральное число х — простое» (здесь множество определения Х состоит из всех натуральных чисел, а множество истинности Т — из простых чисел); •«Диагонали параллелограмма х перпендикулярны» (здесь Х — множество всех параллелограммов, а Т — множество параллелограммов с перпендикулярными диагоналями, т. е. ромбов);• «х2 - 7х+12=0». Множеством истинности этого предиката служит множество Т={3; 4}, состоящее из корней уравнения.

Предикаты, заданные на конечных множествах, можно задавать таблицами, в первой строке которых указывается элемент множества, а во второй - истинно или ложно высказывание, получаемое из предиката, если заменить переменную этим элементом.

Например, пусть задан предикат А(х): «х - четное число» на множестве Х={1; 2; 3; 4; 5; 6). Так как высказывание «1 - чётное число» ложно, то числу 1 соответствует значение предиката «Л» (ложь), числу же 2 соответствует истинное высказывание «2 - четное число». Получаем такую таблицу:

Два предиката А (х) и В (х), заданные на одном и том же множестве Х, имеющие одинаковые множества истинности, называют эквивалентными.

Например, эквивалентны предикаты «Натуральное число х делится на 3» и «Сумма цифр десятичной записи натурального числа х делится на 3». Оба предиката заданы на множестве натуральных чисел и одновременно истинны или ложны.

Если предикаты А (х) и В (х) эквивалентны, то пишут А(х) ~В(х).

Кванторы

Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х — нечетно».

Поставим перед этим предикатом слово «всякое». Получим ложное высказывание: «Всякое простое число х нечетно» (это высказывание ложно, так как 2—простое четное число).

Поставив перед данным предикатом Р (х) слово «существует», получим истинное высказывание: «Существует простое число х, являющееся нечетным» (например, х=3).

Таким образом, обратить предикат в высказывание можно не только, подставив вместо переменной её значение, но и поставив перед предикатом слова: «все», «существует» и др., называемые в логике кванторами.

Пусть Р (х) — некоторый предикат, заданный на множестве Х. Поставив перед ним квантор общности, получим высказывание: «Для всех хϵХ выполняется предикат Р (х)». Оно истинно в том и только том случае, если для всех элементов а из множества Х высказывания Р(а) истинны.

Приведем пример употребления кванторов. Пусть на множестве N натуральных чисел задан предикат Р(х): «Число х кратно 5». Используя кванторы, из данного предиката можно получить, например, следующие высказывания: 1) любое натуральное число кратно 5; 2) каждое натуральное число кратно 5; З) все натуральные числа кратны 5; 4) существуют натуральные числа, кратные 5;5) найдется натуральное число, кратное 5; 6) хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Операции над предикатами

Предикаты, так же как и высказывания, бывают элементарными и составными.

Составные предикаты образуются из элементарных при помощи логических связок: «и», «или», «неверно, что», «если..., то...» и др., смысл которых тот же, что и в логике высказываний.

Например, составными являются следующие предикаты на множестве R действительных чисел: «Число х четно и кратно 3»; «х>2 и х=2»; «х>3 или х<-2».

При оперировании с составными предикатами надо находить их множества истинности.

Установим правила, которые позволяют найти множество истинности составного предиката, если известны множества истинности составляющих его элементарных предикатов.

Пусть на множестве Х задан предикат А (х). Его отрицанием называют предикат А (х), определенный на том же множестве Х, причем предикат А (х) истинен при тех значениях х из множества Х, при которых предикат А (х) ложен, и наоборот.

Т

Т 'Т

Х

Т2

Т1Т1∩Т2

Т1

Т2

Х

Импликация предикатов

Например, из предикатов «Натуральное число х делится на 3» и «Натуральное число х делится на 4» можно составить предикат: «Если натуральное число х делится на 3, то оно делится и на 4».

Этот предикат истинен при некоторых натуральных значениях х и ложен при других.

Например, при х=12 этот предикат принимает вид «Если число 12 делится на 3, то оно делится и на 4». Здесь истинны и условие («Число 12 делится на 3») и следствие («Число 12 делится на 4»). А тогда, как мы знаем, истинна и импликация этих высказываний.

Истинное высказывание получается и при замене х на 14: «Если натуральное число 14 делится на 3, то оно делится и на 4». Дело в том, что 14 не делится на 3, а потому в этом случае не выполняется условие и импликация истинна.

Но при х=15 получается ложное высказывание «Если 15 делится на 3, то оно делится и на 4» — ведь в этом случае условие выполнено (15 делится на 3), а следствие не выполняется (15 не делится на 4).

Многоместные предикаты

Пусть, вообще, некоторое предложение Р (х, у) содержит две переменные, причем переменная х принимает значения из множества Х, а переменная у — из множества У (эти множества могут и совпадать). Пусть для любой пары (а; b) при замене в предложении Р(х,у) переменной х её значением а, а переменной у значением b получается высказывание Р (а,b).

Тогда говорят, что Р (х,у) — двухместный предикат, заданный на Х×У.

Совокупность Т пар (а; b), при подстановке которых в двухместный предикат Р (х, у) получается истинное высказывание, называют множеством истинности этого предиката. Это множество является подмножеством Х×У.

Точно так же определяются трёхместные, четырёхместные и т. д. предикаты.

Например, предложение «Математик х родился в году у, а диссертацию защитил в году х» является трёхместным предикатом, а предложение «Сумма чисел х и у равна произведению чисел и и v» — четырёхместным предикатом.

Как и в случае одноместных предикатов, многоместные предикаты называются эквивалентными, если области определения и множества истинности этих предикатов совпадают.

Например, предикат «Треугольник х подобен треугольнику у» эквивалентен предикату «Углы треугольника х имеют ту же величину, что и соответствующие углы треугольника у». А предикат «Дом х находится на пересечении улиц у и х» эквивалентен предикату «Дом х находится на улице у в дом х находится на улице х».

Мы будем обозначать эквивалентность предикатов знаком ~ : А(х,у) ~ В(х,у) и т.д.

Уравнения х+2у=5 и 2х+4у= 10 являются эквивалентными предикатами.

Например, пара (1; 2) удовлетворяет уравнению х+2у=5 и эта же пара удовлетворяет уравнению 2х+4у=10. Такие уравнения называют эквивалентными.

Эквивалентны и неравенства 2х+4у>10 и х+2у>5.

Лекция окончена, уважаемый СТУДЕНТ, Вы можете переходить к практическому занятию №2.