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Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
1
チェビシェフ多項式の基本型について
The Report on Fundamental Style of Chebyshev Polynomials
手代木 琢磨Takuma Teshirogi
勝間 豊Yutaka Katuma
AbstractIn our previous paper, the secular equation of quantum chemistry was extended to the special determinants, and the determinants are related to the first and the second Chebyshev polynomials . In this paper, the fundamental style of Chebyshev polynomials are defined, and new functions derived from the fundamental style are discussed.
1. 序 論前報（手代木＆勝間2016）において、量子化学の単純ヒュッケル法で使われる永年方程式から誘導される二種類の行列式がチェビシェフの第一種および第二種の多項式と深く関係していることを報告した。現報では第一種および第二種チェビシェフ多項式基本型を定義し、この基本型から誘導されるいくつかの関数の性質を明らかにする。
2. チェビシェフ多項式基本型の定義
2017年1月23日 受理
［研究ノート］
1
チェビシェフ多項式の基本型について
The Report on Fundamental Style of Chebyshev Polynomials 手代木 琢磨
Takuma Teshirogi 勝間 豊
Yutaka Katuma Abstract In our previous paper, the secular equation of quantum chemistry was extended to the special determinants, and the determinants are related to the first and the second Chebyshev polynomials . In this paper, the fundamental style of Chebyshev polynomials are defined , and new functions derived from the fundamental style are discussed. 1 序論
前報( 手代木＆勝間 2016)において、量子化学の単純ヒュッケル法で使われる永年方程式から
誘導される二種類の行列式がチェビシェフの第一種および第二種の多項式と深く関係していることを
報告した。現報では第一種および第二種チェビシェフ多項式基本型を定義し、この基本型から誘導される
いくつかの関数の性質を明らかにする。
2 チェビシェフ多項式基本型の定義
前報 ( 手代木＆勝間 2016) において、第一種の行列式
N
k 1NX )(
1cos2
Nkabx は
1 2 ab とおけば、第二種のチェビシェフ多項式 )(xU N と
1
cos2 2 )( )(
N
kN
1NU
NkxxU NN
なる関係があることを報告した。
また第一種のチェビシェフ多項式 )(xTN は
N
kN
1)(
212cos2)( 1
NkxxT N となることも
報告した。そこで γab 2 とおいた関数を第一種のチェビシェフ多項式基本型 )(xT N0 、
および第二種のチェビシェフ多項式基本型 )(xU N0 と定義する。
) 2 ( 1
cos 2 )(
) 2 ( 2
12 cos 2)(
)(
)(1
NN
kγxxU
NN
kγxxT
N
N
N
kN
N
kN
10
10
例えば第一種のチェビシェフ多項式基本型 )(xT N0 は次のようになる。ただし 0γ で、
この基本型の間には 22 )( 2)( xT γxT NNN 020 の関係があり、 12 γ でも成立する。
チェビシェフ多項式の基本型について
2
1
チェビシェフ多項式の基本型について
The Report on Fundamental Style of Chebyshev Polynomials 手代木 琢磨
Takuma Teshirogi 勝間 豊
Yutaka Katuma Abstract In our previous paper, the secular equation of quantum chemistry was extended to the special determinants, and the determinants are related to the first and the second Chebyshev polynomials . In this paper, the fundamental style of Chebyshev polynomials are defined , and new functions derived from the fundamental style are discussed. 1 序論
前報( 手代木＆勝間 2016)において、量子化学の単純ヒュッケル法で使われる永年方程式から
誘導される二種類の行列式がチェビシェフの第一種および第二種の多項式と深く関係していることを
報告した。現報では第一種および第二種チェビシェフ多項式基本型を定義し、この基本型から誘導される
いくつかの関数の性質を明らかにする。
2 チェビシェフ多項式基本型の定義
前報 ( 手代木＆勝間 2016) において、第一種の行列式
N
k 1NX )(
1cos2
Nkabx は
1 2 ab とおけば、第二種のチェビシェフ多項式 )(xU N と
1
cos2 2 )( )(
N
kN
1NU
NkxxU NN
なる関係があることを報告した。
また第一種のチェビシェフ多項式 )(xTN は
N
kN
1)(
212cos2)( 1
NkxxT N となることも
報告した。そこで γab 2 とおいた関数を第一種のチェビシェフ多項式基本型 )(xT N0 、
および第二種のチェビシェフ多項式基本型 )(xU N0 と定義する。
) 2 ( 1
cos 2 )(
) 2 ( 2
12 cos 2)(
)(
)(1
NN
kγxxU
NN
kγxxT
N
N
N
kN
N
kN
10
10
例えば第一種のチェビシェフ多項式基本型 )(xT N0 は次のようになる。ただし 0γ で、
この基本型の間には 22 )( 2)( xT γxT NNN 020 の関係があり、 12 γ でも成立する。
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103856749211
102846648210
83654729
82644628
634527624426
43254224
2322
72 840 3584 6912 61442048)(
11 220 1232 2816 28161024)(
50 400 1120 1280512)(
9 120 432 576256)(
32 160 256128)(
7 56 11264)( 18 4832)(
5 2016)( 88)(
34)( 2)(
γxγxγxγxγxγxxT
xγxγxγxγxγxxT
γxγxγxγxγxxT
xγxγxγxγxxT
γxγxγxγxxT
xγxγxγxxT γxγxγxxT
xγxγxxT γxγxxT
xγxxT γxxT
120
110
100
90
80
7060
5040
3020
また第二種のチェビシェフ多項式基本型 )(xU N0 は次のようになる。ただし 0γ である。
1221048668410212
103856749211
102846648210
83654729
82644628
634527624426
43254224
2322
84 1120 5376 11520 112644096)(
12 280 1792 4608 51202048)(
60 560 1792 23041024)(
10 160 672 1024512)(
40 240 448256)(
8 80 192128)( 24 8064)(
6 3232)( 1216)(
48)( 4)(
γxγxγxγxγxγxxU
xγxγxγxγxγxxU
γxγxγxγxγxxU
xγxγxγxγxxU
γxγxγxγxxU
xγxγxγxxUγxγxγxxU
xγxγxxUγxγxxU
xγxxUγxxU
120
110
100
90
80
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5040
3020
両関数の関係は 2
)( )()(
2 xUγxUxT 200
0
NNN 、 )( )( xUNxT
dxd
100 NN および
)( )(
21)(
xUxUxT
10
1200
N
NN となる。また 1)2(2222 )( ) ( )(
NγxUxγxT NN 010 を
利用して )( )( ) ( )( 2222 xTxUγxxT 220010 NNN となり、 12 γ でも成立する。
2 チェビシェフ多項式基本型の微分方程式 2.1 第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式
第一種のチェビシェフ多項式の基本型は次のようになり、この関数の微分方程式を求める。
) 02 ( ) 2 (
)(2
)( 0
22
kNxkN
Cγ NxT
k
kNkkNkN0
第一種のチェビシェフ多項式基本型の一階微分および二階微分は次のようになる。
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
3
3. チェビシェフ多項式基本型の微分方程式3. 1 第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式
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103856749211
102846648210
83654729
82644628
634527624426
43254224
2322
72 840 3584 6912 61442048)(
11 220 1232 2816 28161024)(
50 400 1120 1280512)(
9 120 432 576256)(
32 160 256128)(
7 56 11264)( 18 4832)(
5 2016)( 88)(
34)( 2)(
γxγxγxγxγxγxxT
xγxγxγxγxγxxT
γxγxγxγxγxxT
xγxγxγxγxxT
γxγxγxγxxT
xγxγxγxxT γxγxγxxT
xγxγxxT γxγxxT
xγxxT γxxT
120
110
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90
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また第二種のチェビシェフ多項式基本型 )(xU N0 は次のようになる。ただし 0γ である。
1221048668410212
103856749211
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83654729
82644628
634527624426
43254224
2322
84 1120 5376 11520 112644096)(
12 280 1792 4608 51202048)(
60 560 1792 23041024)(
10 160 672 1024512)(
40 240 448256)(
8 80 192128)( 24 8064)(
6 3232)( 1216)(
48)( 4)(
γxγxγxγxγxγxxU
xγxγxγxγxγxxU
γxγxγxγxγxxU
xγxγxγxγxxU
γxγxγxγxxU
xγxγxγxxUγxγxγxxU
xγxγxxUγxγxxU
xγxxUγxxU
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両関数の関係は 2
)( )()(
2 xUγxUxT 200
0
NNN 、 )( )( xUNxT
dxd
100 NN および
)( )(
21)(
xUxUxT
10
1200
N
NN となる。また 1)2(2222 )( ) ( )(
NγxUxγxT NN 010 を
利用して )( )( ) ( )( 2222 xTxUγxxT 220010 NNN となり、 12 γ でも成立する。
2 チェビシェフ多項式基本型の微分方程式 2.1 第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式
第一種のチェビシェフ多項式の基本型は次のようになり、この関数の微分方程式を求める。
) 02 ( ) 2 (
)(2
)( 0
22
kNxkN
Cγ NxT
k
kNkkNkN0
第一種のチェビシェフ多項式基本型の一階微分および二階微分は次のようになる。
2
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103856749211
102846648210
83654729
82644628
634527624426
43254224
2322
72 840 3584 6912 61442048)(
11 220 1232 2816 28161024)(
50 400 1120 1280512)(
9 120 432 576256)(
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7 56 11264)( 18 4832)(
5 2016)( 88)(
34)( 2)(
γxγxγxγxγxγxxT
xγxγxγxγxγxxT
γxγxγxγxγxxT
xγxγxγxγxxT
γxγxγxγxxT
xγxγxγxxT γxγxγxxT
xγxγxxT γxγxxT
xγxxT γxxT
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また第二種のチェビシェフ多項式基本型 )(xU N0 は次のようになる。ただし 0γ である。
1221048668410212
103856749211
102846648210
83654729
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634527624426
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84 1120 5376 11520 112644096)(
12 280 1792 4608 51202048)(
60 560 1792 23041024)(
10 160 672 1024512)(
40 240 448256)(
8 80 192128)( 24 8064)(
6 3232)( 1216)(
48)( 4)(
γxγxγxγxγxγxxU
xγxγxγxγxγxxU
γxγxγxγxγxxU
xγxγxγxγxxU
γxγxγxγxxU
xγxγxγxxUγxγxγxxU
xγxγxxUγxγxxU
xγxxUγxxU
120
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両関数の関係は 2
)( )()(
2 xUγxUxT 200
0
NNN 、 )( )( xUNxT
dxd
100 NN および
)( )(
21)(
xUxUxT
10
1200
N
NN となる。また 1)2(2222 )( ) ( )(
NγxUxγxT NN 010 を
利用して )( )( ) ( )( 2222 xTxUγxxT 220010 NNN となり、 12 γ でも成立する。
2 チェビシェフ多項式基本型の微分方程式 2.1 第一種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式
第一種のチェビシェフ多項式の基本型は次のようになり、この関数の微分方程式を求める。
) 02 ( ) 2 (
)(2
)( 0
22
kNxkN
Cγ NxT
k
kNkkNkN0
第一種のチェビシェフ多項式基本型の一階微分および二階微分は次のようになる。
3
) 022 ( ) 2 ( 1)( )( 2 " )(
) 012 ( ) 2 ( )( ' )(
0
2211
2
0
121
2
k
kNkkN
k
k
kNkkN
k
kNxCkγNxT
kNxCγNxT
N
N
0
0
この結果と第一種のチェビシェフ多項式の微分方程式の類推から、第一種のチェビシェフ多項式基本型
N
k
N
k
kNkkNk
Nkγxx
kNCγNxT
1
1
0
22 )(2
12cos 2)(2 )( 2
)( N0 の微分方程式は
0 )( ' )(
" )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγNxT
γxxT
γx
NNN 000 となり 12 γ でも成立する。
2.2 第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式
第二種のチェビシェフ多項式の基本型は次のようになり、この関数の微分方程式を求める。
0
22 ) 02 ( ) 2 ( )( )( k
kNkkN
k kNxCγxU N0
第二種のチェビシェフ多項式基本型の一階微分および二階微分は次のようになる。
k
kNkkN
k
k
kNkkN
k
kNxCkkγxU
kNxCkγxU
0
222
2
0
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2
) 022 ( ) 2 ( 2)1)(( )( 4 " )(
) 012 ( ) 2 ( 1)()( 2 ' )(
N
N
0
0
この結果と第二種のチェビシェフ多項式の微分方程式の類推から、第二種のチェビシェフ多項式基本型
N
N
k
kNkkN
k
NkγxxCγxU
10
kN )(
1cos 2 ) 2 ( )( )(
0
22 の微分方程式は
0 )( 2)( ' )( 3 " )( ) 1 ( 222
2
xUγNNxU
γxxU
γx
NNN 000 となり、 12 γ でも成立する。
3 チェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式 3.1 第一種のチェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式
偶数次の第一種のチェビシェフ多項式基本型 、例えば 4224 88)( γxγxxT 40 の場合は
42
24 88)(
γX
γXXT 1
40 を導入する。一般に
N
k
kNkkNk xkN
Cγ NxT0
)2(22 )(2 2
)( )( N20
から
N
k
kNkNkNk XkN
Cγ
NXT0
)2(2
1 )4( )( N20 が得られる。
チェビシェフ多項式の基本型について
4
3. 2 第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式
4. チェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式4. 1 第一種のチェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式
3
) 022 ( ) 2 ( 1)( )( 2 " )(
) 012 ( ) 2 ( )( ' )(
0
2211
2
0
121
2
k
kNkkN
k
k
kNkkN
k
kNxCkγNxT
kNxCγNxT
N
N
0
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この結果と第一種のチェビシェフ多項式の微分方程式の類推から、第一種のチェビシェフ多項式基本型
N
k
N
k
kNkkNk
Nkγxx
kNCγNxT
1
1
0
22 )(2
12cos 2)(2 )( 2
)( N0 の微分方程式は
0 )( ' )(
" )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγNxT
γxxT
γx
NNN 000 となり 12 γ でも成立する。
2.2 第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式
第二種のチェビシェフ多項式の基本型は次のようになり、この関数の微分方程式を求める。
0
22 ) 02 ( ) 2 ( )( )( k
kNkkN
k kNxCγxU N0
第二種のチェビシェフ多項式基本型の一階微分および二階微分は次のようになる。
k
kNkkN
k
k
kNkkN
k
kNxCkkγxU
kNxCkγxU
0
222
2
0
121
2
) 022 ( ) 2 ( 2)1)(( )( 4 " )(
) 012 ( ) 2 ( 1)()( 2 ' )(
N
N
0
0
この結果と第二種のチェビシェフ多項式の微分方程式の類推から、第二種のチェビシェフ多項式基本型
N
N
k
kNkkN
k
NkγxxCγxU
10
kN )(
1cos 2 ) 2 ( )( )(
0
22 の微分方程式は
0 )( 2)( ' )( 3 " )( ) 1 ( 222
2
xUγNNxU
γxxU
γx
NNN 000 となり、 12 γ でも成立する。
3 チェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式 3.1 第一種のチェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式
偶数次の第一種のチェビシェフ多項式基本型 、例えば 4224 88)( γxγxxT 40 の場合は
42
24 88)(
γX
γXXT 1
40 を導入する。一般に
N
k
kNkkNk xkN
Cγ NxT0
)2(22 )(2 2
)( )( N20
から
N
k
kNkNkNk XkN
Cγ
NXT0
)2(2
1 )4( )( N20 が得られる。
3
) 022 ( ) 2 ( 1)( )( 2 " )(
) 012 ( ) 2 ( )( ' )(
0
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2
0
121
2
k
kNkkN
k
k
kNkkN
k
kNxCkγNxT
kNxCγNxT
N
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この結果と第一種のチェビシェフ多項式の微分方程式の類推から、第一種のチェビシェフ多項式基本型
N
k
N
k
kNkkNk
Nkγxx
kNCγNxT
1
1
0
22 )(2
12cos 2)(2 )( 2
)( N0 の微分方程式は
0 )( ' )(
" )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγNxT
γxxT
γx
NNN 000 となり 12 γ でも成立する。
2.2 第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式
第二種のチェビシェフ多項式の基本型は次のようになり、この関数の微分方程式を求める。
0
22 ) 02 ( ) 2 ( )( )( k
kNkkN
k kNxCγxU N0
第二種のチェビシェフ多項式基本型の一階微分および二階微分は次のようになる。
k
kNkkN
k
k
kNkkN
k
kNxCkkγxU
kNxCkγxU
0
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2
0
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) 022 ( ) 2 ( 2)1)(( )( 4 " )(
) 012 ( ) 2 ( 1)()( 2 ' )(
N
N
0
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この結果と第二種のチェビシェフ多項式の微分方程式の類推から、第二種のチェビシェフ多項式基本型
N
N
k
kNkkN
k
NkγxxCγxU
10
kN )(
1cos 2 ) 2 ( )( )(
0
22 の微分方程式は
0 )( 2)( ' )( 3 " )( ) 1 ( 222
2
xUγNNxU
γxxU
γx
NNN 000 となり、 12 γ でも成立する。
3 チェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式 3.1 第一種のチェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式
偶数次の第一種のチェビシェフ多項式基本型 、例えば 4224 88)( γxγxxT 40 の場合は
42
24 88)(
γX
γXXT 1
40 を導入する。一般に
N
k
kNkkNk xkN
Cγ NxT0
)2(22 )(2 2
)( )( N20
から
N
k
kNkNkNk XkN
Cγ
NXT0
)2(2
1 )4( )( N20 が得られる。
3
) 022 ( ) 2 ( 1)( )( 2 " )(
) 012 ( ) 2 ( )( ' )(
0
2211
2
0
121
2
k
kNkkN
k
k
kNkkN
k
kNxCkγNxT
kNxCγNxT
N
N
0
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この結果と第一種のチェビシェフ多項式の微分方程式の類推から、第一種のチェビシェフ多項式基本型
N
k
N
k
kNkkNk
Nkγxx
kNCγNxT
1
1
0
22 )(2
12cos 2)(2 )( 2
)( N0 の微分方程式は
0 )( ' )(
" )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγNxT
γxxT
γx
NNN 000 となり 12 γ でも成立する。
2.2 第二種のチェビシェフ多項式基本型の微分方程式
第二種のチェビシェフ多項式の基本型は次のようになり、この関数の微分方程式を求める。
0
22 ) 02 ( ) 2 ( )( )( k
kNkkN
k kNxCγxU N0
第二種のチェビシェフ多項式基本型の一階微分および二階微分は次のようになる。
k
kNkkN
k
k
kNkkN
k
kNxCkkγxU
kNxCkγxU
0
222
2
0
121
2
) 022 ( ) 2 ( 2)1)(( )( 4 " )(
) 012 ( ) 2 ( 1)()( 2 ' )(
N
N
0
0
この結果と第二種のチェビシェフ多項式の微分方程式の類推から、第二種のチェビシェフ多項式基本型
N
N
k
kNkkN
k
NkγxxCγxU
10
kN )(
1cos 2 ) 2 ( )( )(
0
22 の微分方程式は
0 )( 2)( ' )( 3 " )( ) 1 ( 222
2
xUγNNxU
γxxU
γx
NNN 000 となり、 12 γ でも成立する。
3 チェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式 3.1 第一種のチェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式
偶数次の第一種のチェビシェフ多項式基本型 、例えば 4224 88)( γxγxxT 40 の場合は
42
24 88)(
γX
γXXT 1
40 を導入する。一般に
N
k
kNkkNk xkN
Cγ NxT0
)2(22 )(2 2
)( )( N20
から
N
k
kNkNkNk XkN
Cγ
NXT0
)2(2
1 )4( )( N20 が得られる。
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
5
4
この多項式の微分方程式を求める。 )( ) ()( 22 XT XγxT NN 1220 NN 0 であるが、係数を無視し、
)( )( 2 XT XxT N 1220 NN 0 として計算する。
Xx 1 とおくと、
2XdxdX
となるので
' )( )( 2 )( 0012
0 XTXXTNXxT dxd N 1
21
22 NNN この式をもう一度微分して、
)( ) 12 (2 )( ) 12 2( )( )( 2222
2
XTNN 'XT XN"XTX XxT dxd N 1
201
201
2020 NNNN
これらの式を 0 )( 4' )( " )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγNxT
γxxT
γx
NNN 202020 に代入して、
0)( ) 12 (2' )( 114) 12 2(" )( ) 1 ( 222
XTNNXT Xγ
NXNXTγ
X 120
120
120 NNN
奇数次の第一種のチェビシェフ多項式基本型、例えば xγ xγxxT 4325 5 2016)( 50 の場合は、
42
24
5164)(γ
Xγ
XXT 150 で、一般に
N
k
kNkkNk xkN
CγNxT0
1)2(122 )(212
)(2
12 )( 120 N
から
N
k
kNkNkNk XkN
Cγ
XT0
)2(12
1 1
)4( )( 120 N が得られる。
この多項式の微分方程式を求める。 )( ) 12 () ()( 022
0 XT XNγxT NN 112
112
NN であるが、
係数を無視して )( )( 02
0 XT XxT N 112
112
NN として計算する。
' )( )( ) 12( )( 2 XT XXT NXxT dxd 1
1201
120120
NNN
N
)( ) 12 (2 )( 4 )( )( 2122
2
XT NN 'XT XN"XT X XxT dxd N
120120120120
NNNN
これらの式を 0 )( 1)(2' )( " )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγ
NxTγxxT
γx
120120120 NNN に代入し、
0)( ) 12 (2' )( ) 114 4 ( " )( ) 1 ( 002022
XTNNXT Xγ
NXNXTγ
X 112
112
112 NNN
N が偶数でも奇数でも )( 0 XT 1N は同じ微分方程式となるので、まず )( 0 XT 1
N を列挙する。
42
241
42
241
221
221
5164)( 88)(
34)(
21)(
γX
γXXT
γX
γXXT
γXXT
γXXT
5040
3020
チェビシェフ多項式の基本型について
6
4
この多項式の微分方程式を求める。 )( ) ()( 22 XT XγxT NN 1220 NN 0 であるが、係数を無視し、
)( )( 2 XT XxT N 1220 NN 0 として計算する。
Xx 1 とおくと、
2XdxdX
となるので
' )( )( 2 )( 0012
0 XTXXTNXxT dxd N 1
21
22 NNN この式をもう一度微分して、
)( ) 12 (2 )( ) 12 2( )( )( 2222
2
XTNN 'XT XN"XTX XxT dxd N 1
201
201
2020 NNNN
これらの式を 0 )( 4' )( " )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγNxT
γxxT
γx
NNN 202020 に代入して、
0)( ) 12 (2' )( 114) 12 2(" )( ) 1 ( 222
XTNNXT Xγ
NXNXTγ
X 120
120
120 NNN
奇数次の第一種のチェビシェフ多項式基本型、例えば xγ xγxxT 4325 5 2016)( 50 の場合は、
42
24
5164)(γ
Xγ
XXT 150 で、一般に
N
k
kNkkNk xkN
CγNxT0
1)2(122 )(212
)(2
12 )( 120 N
から
N
k
kNkNkNk XkN
Cγ
XT0
)2(12
1 1
)4( )( 120 N が得られる。
この多項式の微分方程式を求める。 )( ) 12 () ()( 022
0 XT XNγxT NN 112
112
NN であるが、
係数を無視して )( )( 02
0 XT XxT N 112
112
NN として計算する。
' )( )( ) 12( )( 2 XT XXT NXxT dxd 1
1201
120120
NNN
N
)( ) 12 (2 )( 4 )( )( 2122
2
XT NN 'XT XN"XT X XxT dxd N
120120120120
NNNN
これらの式を 0 )( 1)(2' )( " )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγ
NxTγxxT
γx
120120120 NNN に代入し、
0)( ) 12 (2' )( ) 114 4 ( " )( ) 1 ( 002022
XTNNXT Xγ
NXNXTγ
X 112
112
112 NNN
N が偶数でも奇数でも )( 0 XT 1N は同じ微分方程式となるので、まず )( 0 XT 1
N を列挙する。
42
241
42
241
221
221
5164)( 88)(
34)(
21)(
γX
γXXT
γX
γXXT
γXXT
γXXT
5040
3020
5
62
44
261
62
44
261
764168)( 324818)(γ
Xγ
Xγ
XXT γ
Xγ
Xγ
XXT 7060
102
84
66
48
2101
82
64
46
281
82
64
46
281
5121280112040050)(
92566448
340)(
12825616032)(
γX
γX
γx
γx
γXXT
γX
γX
γX
γXXT
γX
γX
γX
γXXT
100
90
80
122
104
86
68
410
2121
102
84
66
48
2101
204861446912358484072)(
11102425625611220)(
γX
γX
γX
γX
γX
γXXT
γX
γX
γX
γX
γXXT
120
110
この関数の微分方程式は次のようになる。この式は 12 γ でも成立する。
0)( ) 1 ( ' )( 1 12) 1 ( 2" )( ) 1 ( 002022
XTNNXT Xγ
NX NXTγ
X 111NNN
この関数の因数分解は
N
kN
10 )
21 , 2 (
212 cos
1)( )(1 NkN
Nkγ
XXT
となる。
また余弦の性質から
11
0kk
N 212tan1
212cos
1)( )()( 2
2
22
22
21
γN
k
γX
Nkγ
XXT
となり、 )(1 XT N0 の 2X に 2
22 1γ
YX を代入し、得られる関数 )(10 YV
を下にまとめる。
1287028)(
7135)( 11515)(
512)( 16)(
31)( 1)(
82
64
46
281
62
44
261
62
44
261
42
241
42
241
221
221
γY
γY
γY
γYYV
γY
γY
γYYV
γY
γY
γYYV
γY
γYYV
γY
γYYV
YYV YYV
80
7060
5040
3020
82
64
46
281
91414
328)(
γY
γY
γY
γYYV
90
102
84
66
48
2101 14521021045)(
γY
γY
γY
γY
γYYV
100
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
7
5
62
44
261
62
44
261
764168)( 324818)(γ
Xγ
Xγ
XXT γ
Xγ
Xγ
XXT 7060
102
84
66
48
2101
82
64
46
281
82
64
46
281
5121280112040050)(
92566448
340)(
12825616032)(
γX
γX
γx
γx
γXXT
γX
γX
γX
γXXT
γX
γX
γX
γXXT
100
90
80
122
104
86
68
410
2121
102
84
66
48
2101
204861446912358484072)(
11102425625611220)(
γX
γX
γX
γX
γX
γXXT
γX
γX
γX
γX
γXXT
120
110
この関数の微分方程式は次のようになる。この式は 12 γ でも成立する。
0)( ) 1 ( ' )( 1 12) 1 ( 2" )( ) 1 ( 002022
XTNNXT Xγ
NX NXTγ
X 111NNN
この関数の因数分解は
N
kN
10 )
21 , 2 (
212 cos
1)( )(1 NkN
Nkγ
XXT
となる。
また余弦の性質から
11
0kk
N 212tan1
212cos
1)( )()( 2
2
22
22
21
γN
k
γX
Nkγ
XXT
となり、 )(1 XT N0 の 2X に 2
22 1γ
YX を代入し、得られる関数 )(10 YV
を下にまとめる。
1287028)(
7135)( 11515)(
512)( 16)(
31)( 1)(
82
64
46
281
62
44
261
62
44
261
42
241
42
241
221
221
γY
γY
γY
γYYV
γY
γY
γYYV
γY
γY
γYYV
γY
γYYV
γY
γYYV
YYV YYV
80
7060
5040
3020
82
64
46
281
91414
328)(
γY
γY
γY
γYYV
90
102
84
66
48
2101 14521021045)(
γY
γY
γY
γY
γYYV
100
6
122
104
86
68
410
2121
102
84
66
48
2101
16649592449566)(
1115304215)(
γY
γY
γY
γY
γY
γYYV
γY
γY
γY
γY
γYYV
120
110
一般にこれらの関数は次式で表される。
N
k
N
k
N
i
kNkNk
N
k
N
k
N
i
kNkN
k
γNi
YγNk
YYkC
γYV
γN
i
Yγ
Nk
YYCγ
YV
0 1
12
12
2
2)2(2
0 1
2
12
2
2)2(2
)()(
)()(
2412tan
2412tan
12 1 )(
412 tan
412 tan
1 )(
)(
)(
221120
221
20
N
N
ただし )(1120 YV N の場合は 1 Ni を除く。因みに次式が成立する。
1
0
1)2(12
0
)2(2
1 1 12
1 )()(N
k
kNkN
kN
k
kNkNk YCγ
YkC
γdYdYV
dYd
2222
120 N
ここから 12 γ のとき NYYV YV dYd 211 1
NN 20120
この関数の微分方程式を求める。 222 1
γYX から
YγYγ
dXdY
1 22
' ) (
1 )( ) ()(
22
YV Yγ
YγdXdY YV
dYd XT
dXd 1
01
01
0
NNN
' ) (
1 " ) ( 1 )( 3222
22
2
2
YV Yγ
YV Yγ
YγXT dXd 1
01
01
0
NNN
これらの式を )(1 XT N0 の微分方程式に代入して次式を得る。この式は 12 γ でも成立する。
0) ( ) 1 ( ' ) ( ) 1 ( 2 " ) ( ) 1 ( 00022 YV NNYV YNYV
γY 111
NNN
一方 )(xT N0 の対数を取って微分して得られる関数 )(xFN0 の微分方程式を求める。
N
kN
10 )(
212 cos 2)( 1
NkγxxT N の対数を微分して次式が得られる。
N
kN
10 }{ )(
212 cos ln )2 (ln )(ln 1
NkxxT N
N
kN
N
N
NN
10
0
0
00 ) (
2 12cos
1 )()(
)(' )(
)( 1
N
kγxxT xU N
xT xT xF
チェビシェフ多項式の基本型について
8
6
122
104
86
68
410
2121
102
84
66
48
2101
16649592449566)(
1115304215)(
γY
γY
γY
γY
γY
γYYV
γY
γY
γY
γY
γYYV
120
110
一般にこれらの関数は次式で表される。
N
k
N
k
N
i
kNkNk
N
k
N
k
N
i
kNkN
k
γNi
YγNk
YYkC
γYV
γN
i
Yγ
Nk
YYCγ
YV
0 1
12
12
2
2)2(2
0 1
2
12
2
2)2(2
)()(
)()(
2412tan
2412tan
12 1 )(
412 tan
412 tan
1 )(
)(
)(
221120
221
20
N
N
ただし )(1120 YV N の場合は 1 Ni を除く。因みに次式が成立する。
1
0
1)2(12
0
)2(2
1 1 12
1 )()(N
k
kNkN
kN
k
kNkNk YCγ
YkC
γdYdYV
dYd
2222
120 N
ここから 12 γ のとき NYYV YV dYd 211 1
NN 20120
この関数の微分方程式を求める。 222 1
γYX から
YγYγ
dXdY
1 22
' ) (
1 )( ) ()(
22
YV Yγ
YγdXdY YV
dYd XT
dXd 1
01
01
0
NNN
' ) (
1 " ) ( 1 )( 3222
22
2
2
YV Yγ
YV Yγ
YγXT dXd 1
01
01
0
NNN
これらの式を )(1 XT N0 の微分方程式に代入して次式を得る。この式は 12 γ でも成立する。
0) ( ) 1 ( ' ) ( ) 1 ( 2 " ) ( ) 1 ( 00022 YV NNYV YNYV
γY 111
NNN
一方 )(xT N0 の対数を取って微分して得られる関数 )(xFN0 の微分方程式を求める。
N
kN
10 )(
212 cos 2)( 1
NkγxxT N の対数を微分して次式が得られる。
N
kN
10 }{ )(
212 cos ln )2 (ln )(ln 1
NkxxT N
N
kN
N
N
NN
10
0
0
00 ) (
2 12cos
1 )()(
)(' )(
)( 1
N
kγxxT xU N
xT xT xF
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
9
7
2N から 12N までの関数 )(xFN0 は次のようになる。
1221048668410212
103856749211
103856749211
102846648210
102846648210
83654729
83654729
82644628
82644628
634527
634527
624426
624426
4325
4325
4224
4224
23
23
22
22
1
72 840 3584 6912 6144 2048 12 280 1792 4608 5120 204812)(
11 220 1232 2816 2816 1024 60 560 1792 2304 102411)(
50 400 1120 1280 512 10 160 672 1024 51210)(
9 120 432 576 256 40 240 448 2569)(
32 160 256 128
8 80 192 128 8)(
7 56 112 64
24 8064 7)( 18 48 32
6 32 326)(
5 20 16 12 165)(
8 8 48 4)(
3 4
43 )( 2
2 2)(
)()(
)(' )(
)(
γxγxγxγxγxγxxγxγxγxγxγxxF
xγxγxγxγxγxγxγxγxγxγxxF
γxγxγxγxγxxγxγxγxγxxF
xγxγxγxγxγxγxγxγxxF
γxγxγxγxxγxγxγxxF
xγxγxγxγxγxγxxF
γxγxγxxγxγxxF
xγxγxγxγxxF
xγxxγxxF
xγxγxxF
γxxxF
xT xU
NxT xT
xF N
N
N
NN
120
110
100
90
80
7060
5040
3020
0
0
0
00
この )(xFN0 をもう一度微分して ' )(xFN0 、および )(" )(
xT xT
N
N
0
0 が得られる。
N
kN
10 }{
2)(2
12 cos
1 ' )(
Nkγx
xF
)(1
2 12 cos
2 12 cos
2
2 12 cos
1
2 12 cos
1
' )( )( )(" )(
}{
}{}{
)()(
)()(
2
2
2
Nji
Njγx
Niγx
Nkγx
Nkγx
xF xF xT xT
ji,
N
k
N
k
NNN
N
11
000
0
これらの式を )(xT N0 の微分方程式に代入し次式を得る。ただし Nji 1 である。
チェビシェフ多項式の基本型について
10
7
2N から 12N までの関数 )(xFN0 は次のようになる。
1221048668410212
103856749211
103856749211
102846648210
102846648210
83654729
83654729
82644628
82644628
634527
634527
624426
624426
4325
4325
4224
4224
23
23
22
22
1
72 840 3584 6912 6144 2048 12 280 1792 4608 5120 204812)(
11 220 1232 2816 2816 1024 60 560 1792 2304 102411)(
50 400 1120 1280 512 10 160 672 1024 51210)(
9 120 432 576 256 40 240 448 2569)(
32 160 256 128
8 80 192 128 8)(
7 56 112 64
24 8064 7)( 18 48 32
6 32 326)(
5 20 16 12 165)(
8 8 48 4)(
3 4
43 )( 2
2 2)(
)()(
)(' )(
)(
γxγxγxγxγxγxxγxγxγxγxγxxF
xγxγxγxγxγxγxγxγxγxγxxF
γxγxγxγxγxxγxγxγxγxxF
xγxγxγxγxγxγxγxγxxF
γxγxγxγxxγxγxγxxF
xγxγxγxγxγxγxxF
γxγxγxxγxγxxF
xγxγxγxγxxF
xγxxγxxF
xγxγxxF
γxxxF
xT xU
NxT xT
xF N
N
N
NN
120
110
100
90
80
7060
5040
3020
0
0
0
00
この )(xFN0 をもう一度微分して ' )(xFN0 、および )(" )(
xT xT
N
N
0
0 が得られる。
N
kN
10 }{
2)(2
12 cos
1 ' )(
Nkγx
xF
)(1
2 12 cos
2 12 cos
2
2 12 cos
1
2 12 cos
1
' )( )( )(" )(
}{
}{}{
)()(
)()(
2
2
2
Nji
Njγx
Niγx
Nkγx
Nkγx
xF xF xT xT
ji,
N
k
N
k
NNN
N
11
000
0
これらの式を )(xT N0 の微分方程式に代入し次式を得る。ただし Nji 1 である。
8
2 12 cos
2 1 2 cos
)2(
2 12 cos
222
}{)())((
N
Njγx
Niγx
γx
Nkγx
x
ji,
N
k 1
さらに ' )(ln xT N0 の微分 ' )( " )(
xT xT
N
N
0
0 は次式となる。
)1 (
2
12cos
1 2
12 cos 2
1 2 cos
2
' )( " )(
' )(ln )(
}{)()(
Nji
Nkγx
Njγx
Niγx
xT xT
xT dxd
N
k
ji,
N
NN
1
0
00
一方 )( )( ' )( xF xT xT NNN 000 と 2 )( ' )( )( " )( xF xFxT xT NNNN 0000 を
)(xT N0 の微分方程式に代入して 2222 )( ' )()()( xF xF γxxF xN NNN 000 を得る。
この式をもう一度微分してさらに整理すると
0 )( )( )(2 12 ' )( 3 " )( )( 222222 xF xF γx NxF xxFγx NNNN 0000
この式の最終項の )( ) (2 12 2222 xF γx N N0 のみを計算するために、
2
222
2
)( )(
)( )(
)( ' )(
)(
xTxUN
xTxUN
xTxTxF
N
N
N
N
N
NN
0
10
0
10
0
00 と
NxUxγxT 22222 )( ) ( )( 100 NN を利用すると次式が得られるので、
2
22
22222
2222
)( 21
)( )(
) (2 21
)( ) (2 12
xT γN
xTxUγxN N
xF γx N
N
NN
N
N
00
10
0
ここから )(xFN0 の微分方程式は次式のようにも表される。
0)(
)( 2 1 ' )( 3 " )( )( 2
2222
xF
xT γNxF xxF γx
N
NN
NN 00
00
この微分方程式の解は
N
kN
10 ) (
212 cos
1 )(
Nkγx
xF である。
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
11
4. 2 第二種のチェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式
8
2 12 cos
2 1 2 cos
)2(
2 12 cos
222
}{)())((
N
Njγx
Niγx
γx
Nkγx
x
ji,
N
k 1
さらに ' )(ln xT N0 の微分 ' )( " )(
xT xT
N
N
0
0 は次式となる。
)1 (
2
12cos
1 2
12 cos 2
1 2 cos
2
' )( " )(
' )(ln )(
}{)()(
Nji
Nkγx
Njγx
Niγx
xT xT
xT dxd
N
k
ji,
N
NN
1
0
00
一方 )( )( ' )( xF xT xT NNN 000 と 2 )( ' )( )( " )( xF xFxT xT NNNN 0000 を
)(xT N0 の微分方程式に代入して 2222 )( ' )()()( xF xF γxxF xN NNN 000 を得る。
この式をもう一度微分してさらに整理すると
0 )( )( )(2 12 ' )( 3 " )( )( 222222 xF xF γx NxF xxFγx NNNN 0000
この式の最終項の )( ) (2 12 2222 xF γx N N0 のみを計算するために、
2
222
2
)( )(
)( )(
)( ' )(
)(
xTxUN
xTxUN
xTxTxF
N
N
N
N
N
NN
0
10
0
10
0
00 と
NxUxγxT 22222 )( ) ( )( 100 NN を利用すると次式が得られるので、
2
22
22222
2222
)( 21
)( )(
) (2 21
)( ) (2 12
xT γN
xTxUγxN N
xF γx N
N
NN
N
N
00
10
0
ここから )(xFN0 の微分方程式は次式のようにも表される。
0)(
)( 2 1 ' )( 3 " )( )( 2
2222
xF
xT γNxF xxF γx
N
NN
NN 00
00
この微分方程式の解は
N
kN
10 ) (
212 cos
1 )(
Nkγx
xF である。
9
3.2 第二種のチェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式
偶数次の第二種のチェビシェフ多項式基本型、例えば 4224 1216)( γxγxxU 40 から
42
24 1612)(
γX
γXXU 1
40 を導入する。一般に
N
k
kNkkN
k xCγxU0
22
2 )(2 )( )( )(20 N
から
N
k
kNk XCγ
XU0
)2(2 }{ )( 4)( kNkNN
120 が得られる。
この多項式の微分方程式を求める。 )( ) ()( 22 XUXγxU NN 12020 NN であるが、
係数を無視して、 )( )( 2 XUXxU N 12020 NN として計算する。
' ) ( ) ( 2 )( 12 XUXXUNXxU dxd N 1
201
2020 NNN
) ( )12( 2 ' ) ( )12( 2 " ) ( ) ( 2222
2
XUNNXUXNXUXXxUdxd N 1
201
201
2020 NNNN
以上の三式を )(XU N20 の微分方程式に代入して、 )(XU 120N の微分方程式を得る。
0) ( ) 12 (2 ' ) ( 114) 12 ( 2" ) ( ) 1 ( 222
XUNNXUXγ
NXNXUγ
X 120
120
120 NNN
奇数次の第二種のチェビシェフ多項式基本型、例えば xγ xγxxU 4325 6 3232)( 50 は ，
42
24
316
316)(
γX
γXXU 1
50 を考える。一般に
N
k
kNkkN
k xCγxU0
1)212
2 )(2 )( )( (120 N
から
N
k
kNk XCγN
XU0
)2(2 }{ )( 4
11)( kNkNN 1
1120 を導入する。
この多項式の微分方程式を求める。 )( ) 22 () ()( 022
0 XUXNγxU NN 112
112
NN であるが、
係数を無視して )( )( 02
0 XUXxU N 112
112
NN として計算する。
' )( )( ) 12( )( 2 XUXXUNXxU dxd 1
1201
120120
NNN
N
)( ) 12 (2 )( 4 )( )( 2122
2
XUNN 'XUXN"XUX XxU dxd N
120120120120
NNNN
以上の三式を )(xU 120 N の微分方程式に代入して )(XU 1120
N の微分方程式を得る。
0) ( ) 12 (2 ' ) ( 134 4" ) ( ) 1 ( 222
XUNNXU
XγNXNXU
γX 1
1201
1201
120 NNN
チェビシェフ多項式の基本型について
12
9
3.2 第二種のチェビシェフ多項式基本型拡張関数の微分方程式
偶数次の第二種のチェビシェフ多項式基本型、例えば 4224 1216)( γxγxxU 40 から
42
24 1612)(
γX
γXXU 1
40 を導入する。一般に
N
k
kNkkN
k xCγxU0
22
2 )(2 )( )( )(20 N
から
N
k
kNk XCγ
XU0
)2(2 }{ )( 4)( kNkNN
120 が得られる。
この多項式の微分方程式を求める。 )( ) ()( 22 XUXγxU NN 12020 NN であるが、
係数を無視して、 )( )( 2 XUXxU N 12020 NN として計算する。
' ) ( ) ( 2 )( 12 XUXXUNXxU dxd N 1
201
2020 NNN
) ( )12( 2 ' ) ( )12( 2 " ) ( ) ( 2222
2
XUNNXUXNXUXXxUdxd N 1
201
201
2020 NNNN
以上の三式を )(XU N20 の微分方程式に代入して、 )(XU 120N の微分方程式を得る。
0) ( ) 12 (2 ' ) ( 114) 12 ( 2" ) ( ) 1 ( 222
XUNNXUXγ
NXNXUγ
X 120
120
120 NNN
奇数次の第二種のチェビシェフ多項式基本型、例えば xγ xγxxU 4325 6 3232)( 50 は ，
42
24
316
316)(
γX
γXXU 1
50 を考える。一般に
N
k
kNkkN
k xCγxU0
1)212
2 )(2 )( )( (120 N
から
N
k
kNk XCγN
XU0
)2(2 }{ )( 4
11)( kNkNN 1
1120 を導入する。
この多項式の微分方程式を求める。 )( ) 22 () ()( 022
0 XUXNγxU NN 112
112
NN であるが、
係数を無視して )( )( 02
0 XUXxU N 112
112
NN として計算する。
' )( )( ) 12( )( 2 XUXXUNXxU dxd 1
1201
120120
NNN
N
)( ) 12 (2 )( 4 )( )( 2122
2
XUNN 'XUXN"XUX XxU dxd N
120120120120
NNNN
以上の三式を )(xU 120 N の微分方程式に代入して )(XU 1120
N の微分方程式を得る。
0) ( ) 12 (2 ' ) ( 134 4" ) ( ) 1 ( 222
XUNNXU
XγNXNXU
γX 1
1201
1201
120 NNN
10
N が偶数でも奇数でも )( 0 XU 1N は同じ微分方程式となるので、まず )( 0 XU 1
N を列挙する。
122
104
86
68
410
2121
102
84
66
48
2101
102
84
66
48
2101
82
64
46
281
82
64
46
281
62
44
261
62
44
261
42
241
42
241
221
221
409611264115205376112084)(
3512
31280384
3448
370)(
10242304179256060)(
5256
5512
533616)(
25644824040)(
162410)( 648024)(
316
316)( 1612)(
2)( 4)(
γX
γX
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γXXU
γX
γX
γXXU
γX
γXXU
γX
γXXU
γXXUXXU
120
110
100
90
80
7060
5040
3020
この関数の微分方程式は次のようになり、この式は 12 γ でも成立する。
0)( ) 1 ( ' )(112) 1 ( 2" )( ) 1 ( 222
XUNNXU Xγ
NXNXUγ
X 10
10
10 NNN
この解の因数分解は次式になる。 ) 2
1 , 2 (
1cos
1 )( )(1
Nk N
Nkγ
XXUN
kN
10
さらに
11
0kk
N )()(
1tan
1
1
cos
1)( 2
2
22
22
21
γN
k
γX
Nkγ
XXU
となるので、
)(XU 10
N の 2X に 2
22 1γ
YX を代入し、得られる関数を )(1 YW N0 として下にまとめる。
42
24
42
24
22
22
1 310)( 510)(
1)( 3)(
γY
γYYW
γY
γYYW
γYYW
γYYW
150
140
130
120
62
44
26
62
44
26 177)( 73521)(
γY
γY
γYYW
γY
γY
γYYW 1
701
60
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
13
10
N が偶数でも奇数でも )( 0 XU 1N は同じ微分方程式となるので、まず )( 0 XU 1
N を列挙する。
122
104
86
68
410
2121
102
84
66
48
2101
102
84
66
48
2101
82
64
46
281
82
64
46
281
62
44
261
62
44
261
42
241
42
241
221
221
409611264115205376112084)(
3512
31280384
3448
370)(
10242304179256060)(
5256
5512
533616)(
25644824040)(
162410)( 648024)(
316
316)( 1612)(
2)( 4)(
γX
γX
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γX
γXXU
γX
γX
γXXU
γX
γX
γXXU
γX
γXXU
γX
γXXU
γXXUXXU
120
110
100
90
80
7060
5040
3020
この関数の微分方程式は次のようになり、この式は 12 γ でも成立する。
0)( ) 1 ( ' )(112) 1 ( 2" )( ) 1 ( 222
XUNNXU Xγ
NXNXUγ
X 10
10
10 NNN
この解の因数分解は次式になる。 ) 2
1 , 2 (
1cos
1 )( )(1
Nk N
Nkγ
XXUN
kN
10
さらに
11
0kk
N )()(
1tan
1
1
cos
1)( 2
2
22
22
21
γN
k
γX
Nkγ
XXU
となるので、
)(XU 10
N の 2X に 2
22 1γ
YX を代入し、得られる関数を )(1 YW N0 として下にまとめる。
42
24
42
24
22
22
1 310)( 510)(
1)( 3)(
γY
γYYW
γY
γYYW
γYYW
γYYW
150
140
130
120
62
44
26
62
44
26 177)( 73521)(
γY
γY
γYYW
γY
γY
γYYW 1
701
60
11
98412636)( 82
64
46
28
γY
γY
γY
γYYW 1
80
122
104
86
68
410
212
102
84
66
48
210
102
84
66
48
210
82
64
46
28
132861287171671578)(
1 3556666
355)(
1116546233055)(
112 5
12612)(
γY
γY
γY
γY
γY
γYYW
γY
γY
γY
γY
γYYW
γY
γY
γY
γY
γYYW
γY
γY
γY
γYYW
1120
1110
1100
190
この関数を一般的に表すと、
12
10 12
2
2)2(12
2
10 12
2
2)2(12
)()(}{
) ()(}{
22 tan
22tan
121)(
12 tan
12tan
1)(
)(
)(
N
i
N
k
N
k
kNkNk
N
i
N
k
N
k
kNkN
k
γN
i
YγN
k
YYk
Cγ
YW
γNi
YγNk
YYCγ
YW
221120
221
20
N
N
ただし )(112 YW N0 の場合は 1 Ni を除く。
この関数の微分方程式を求める。 222 1
γYX から
YγYγ
dXdY
1 22
' ) (
1 )() ()(
22
YW Yγ
YγdXdY YW
dYd XU
dXd 1
01
01
0
NNN
' ) ( 1 " ) ( 1 )( 3222
22
2
2
YW Yγ
YW Yγ
YγXU dXd 1
01
01
0
NNN
これらの式を )(XU 10
N の微分方程式に代入して、 )(1 YW
N0 の微分方程式を得る。
0) ( ) 1 ( ' ) (} 1
1 ) 1 ( { 2 " ) ( ) 1 ( 222 YWNNYW
Y γ YNYW
γY 1
01
01
0 NNN
この式は 12 γ でも成立する。
さらに )(xU N0 の対数を取って微分して得られる関数 )(xGN0 の微分方程式を求める。
1
cos2 )( ) (
N
kN
10
Nk γxxU N
の対数を微分して次式が得られる。
N
kN
10 }{ )(
1cos ln )2 (ln )( ln
N kγxxU N
チェビシェフ多項式の基本型について
14
11
98412636)( 82
64
46
28
γY
γY
γY
γYYW 1
80
122
104
86
68
410
212
102
84
66
48
210
102
84
66
48
210
82
64
46
28
132861287171671578)(
1 3556666
355)(
1116546233055)(
112 5
12612)(
γY
γY
γY
γY
γY
γYYW
γY
γY
γY
γY
γYYW
γY
γY
γY
γY
γYYW
γY
γY
γY
γYYW
1120
1110
1100
190
この関数を一般的に表すと、
12
10 12
2
2)2(12
2
10 12
2
2)2(12
)()(}{
) ()(}{
22 tan
22tan
121)(
12 tan
12tan
1)(
)(
)(
N
i
N
k
N
k
kNkNk
N
i
N
k
N
k
kNkN
k
γN
i
YγN
k
YYk
Cγ
YW
γNi
YγNk
YYCγ
YW
221120
221
20
N
N
ただし )(112 YW N0 の場合は 1 Ni を除く。
この関数の微分方程式を求める。 222 1
γYX から
YγYγ
dXdY
1 22
' ) (
1 )() ()(
22
YW Yγ
YγdXdY YW
dYd XU
dXd 1
01
01
0
NNN
' ) ( 1 " ) ( 1 )( 3222
22
2
2
YW Yγ
YW Yγ
YγXU dXd 1
01
01
0
NNN
これらの式を )(XU 10
N の微分方程式に代入して、 )(1 YW
N0 の微分方程式を得る。
0) ( ) 1 ( ' ) (} 1
1 ) 1 ( { 2 " ) ( ) 1 ( 222 YWNNYW
Y γ YNYW
γY 1
01
01
0 NNN
この式は 12 γ でも成立する。
さらに )(xU N0 の対数を取って微分して得られる関数 )(xGN0 の微分方程式を求める。
1
cos2 )( ) (
N
kN
10
Nk γxxU N
の対数を微分して次式が得られる。
N
kN
10 }{ )(
1cos ln )2 (ln )( ln
N kγxxU N
12
N
kN
NN
10
00 )(
1cos
1 )(' )(
)(
N kγxxU
xUxG
2N から 12N までの関数 )(xGN0 は次のようになる。
1221048668410212
103856749211
103856749211
102846648210
102846648210
83654729
83654729
82644628
82644628
634527
634527
624426
624426
4325
4325
4224
4224
23
23
22
22
84 1120 5376 11520 11264 4096 168 4480 32256 92160 112640 49152)(
12 280 1792 4608 5120 2048 12 840 8960 32256 46080 22528)(
60 560 1792 2304 1024 120 2240 10752 18432 10240)(
10 160 672 1024 512 10 480 3360 7168 4608)(
40 240 448 256
80 960 2688 2048 )(
8 80 192 128
8 240 960 896 )( 24 80 64
48 320 384)(
6 32 32 6 96 160)(
12 16 24 64 )(
4 8 4 24 )(
4 8 )(
)( ' )(
)(
γxγxγxγxγxγxxγxγxγxγxγxxG
xγxγxγxγxγxγxγxγxγxγxxG
γxγxγxγxγxxγxγxγxγxxG
xγxγxγxγxγxγxγxγxxG
γxγxγxγxxγxγxγxxG
xγxγxγxγxγxγxxG
γxγxγxxγxγxxG
xγxγxγxγxxG
γxγxxγxxG
xγxγxxG
γxxxG
xU xU xG
N
NN
120
110
100
90
80
7060
5040
3020
0
00
さらに
)( )( ' )(
)( ' )(
' )( " )( xG
xUxU
xU NxU N
xT xT
1010
10
10
10
0
0
NN
N
N
N
N
N から次式が成立する。
1
) ()(}{cos
1
212 cos
1
2 12 cos
2 1 2 cos
2 ))((
N
k
N
kji, 11 Nkγx
Nkγx
Njγx
Nix
ただし Nji 1 である。
さらに )(xGN0 をもう一度微分して
N
kN
10
1 cos
1 ' )( }{2)(
Nkγx
xG が得られる。
また
2
)(' )(
)(" )(
' )(
xUxU
xUxUxG
N
N
N
NN
0
0
0
00 なので
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
1512
N
kN
NN
10
00 )(
1cos
1 )(' )(
)(
N kγxxU
xUxG
2N から 12N までの関数 )(xGN0 は次のようになる。
1221048668410212
103856749211
103856749211
102846648210
102846648210
83654729
83654729
82644628
82644628
634527
634527
624426
624426
4325
4325
4224
4224
23
23
22
22
84 1120 5376 11520 11264 4096 168 4480 32256 92160 112640 49152)(
12 280 1792 4608 5120 2048 12 840 8960 32256 46080 22528)(
60 560 1792 2304 1024 120 2240 10752 18432 10240)(
10 160 672 1024 512 10 480 3360 7168 4608)(
40 240 448 256
80 960 2688 2048 )(
8 80 192 128
8 240 960 896 )( 24 80 64
48 320 384)(
6 32 32 6 96 160)(
12 16 24 64 )(
4 8 4 24 )(
4 8 )(
)( ' )(
)(
γxγxγxγxγxγxxγxγxγxγxγxxG
xγxγxγxγxγxγxγxγxγxγxxG
γxγxγxγxγxxγxγxγxγxxG
xγxγxγxγxγxγxγxγxxG
γxγxγxγxxγxγxγxxG
xγxγxγxγxγxγxxG
γxγxγxxγxγxxG
xγxγxγxγxxG
γxγxxγxxG
xγxγxxG
γxxxG
xU xU xG
N
NN
120
110
100
90
80
7060
5040
3020
0
00
さらに
)( )( ' )(
)( ' )(
' )( " )( xG
xUxU
xU NxU N
xT xT
1010
10
10
10
0
0
NN
N
N
N
N
N から次式が成立する。
1
) ()(}{cos
1
212 cos
1
2 12 cos
2 1 2 cos
2 ))((
N
k
N
kji, 11 Nkγx
Nkγx
Njγx
Nix
ただし Nji 1 である。
さらに )(xGN0 をもう一度微分して
N
kN
10
1 cos
1 ' )( }{2)(
Nkγx
xG が得られる。
また
2
)(' )(
)(" )(
' )(
xUxU
xUxUxG
N
N
N
NN
0
0
0
00 なので
チェビシェフ多項式の基本型について
16
12
N
kN
NN
10
00 )(
1cos
1 )(' )(
)(
N kγxxU
xUxG
2N から 12N までの関数 )(xGN0 は次のようになる。
1221048668410212
103856749211
103856749211
102846648210
102846648210
83654729
83654729
82644628
82644628
634527
634527
624426
624426
4325
4325
4224
4224
23
23
22
22
84 1120 5376 11520 11264 4096 168 4480 32256 92160 112640 49152)(
12 280 1792 4608 5120 2048 12 840 8960 32256 46080 22528)(
60 560 1792 2304 1024 120 2240 10752 18432 10240)(
10 160 672 1024 512 10 480 3360 7168 4608)(
40 240 448 256
80 960 2688 2048 )(
8 80 192 128
8 240 960 896 )( 24 80 64
48 320 384)(
6 32 32 6 96 160)(
12 16 24 64 )(
4 8 4 24 )(
4 8 )(
)( ' )(
)(
γxγxγxγxγxγxxγxγxγxγxγxxG
xγxγxγxγxγxγxγxγxγxγxxG
γxγxγxγxγxxγxγxγxγxxG
xγxγxγxγxγxγxγxγxxG
γxγxγxγxxγxγxγxxG
xγxγxγxγxγxγxxG
γxγxγxxγxγxxG
xγxγxγxγxxG
γxγxxγxxG
xγxγxxG
γxxxG
xU xU xG
N
NN
120
110
100
90
80
7060
5040
3020
0
00
さらに
)( )( ' )(
)( ' )(
' )( " )( xG
xUxU
xU NxU N
xT xT
1010
10
10
10
0
0
NN
N
N
N
N
N から次式が成立する。
1
) ()(}{cos
1
212 cos
1
2 12 cos
2 1 2 cos
2 ))((
N
k
N
kji, 11 Nkγx
Nkγx
Njγx
Nix
ただし Nji 1 である。
さらに )(xGN0 をもう一度微分して
N
kN
10
1 cos
1 ' )( }{2)(
Nkγx
xG が得られる。
また
2
)(' )(
)(" )(
' )(
xUxU
xUxUxG
N
N
N
NN
0
0
0
00 なので
13
)(1
1 cos
1 cos
2 )(" )(
}{))((
Nji
Njγx
NiγxxU
xU
ji,N
N
0
0
これらの式を )(xU N0 の微分方程式に代入し次式を得る。ただし Nji 1 である。
)2(
1 cos
1 cos
)( 2
1cos
3 }{)( ))((
22
NN
Njγx
Niγx
x
Nkγx
xji,
N
k
1
さらに ' )(ln xU N0 の微分 ' )( " )(
xUxU
N
N
0
0 は次式となる。
)(1
1cos
1 1
cos 1
cos
2
' )( " )(
' )(ln )(
}{
)( )(Nji
Nkγx
Njγx
Niγx
xUxU
xU dxd
N
k
ji,
N
NN
1
0
00
一方 )( )( ' )( xGxUxU NNN 000 と 2)( ' )()( " )( xGxGxUxU NNNN 0000 を
)(xU N0 の微分方程式に代入し、 222 )( ' )()()( 32)( xGxG xxGxNN NNN 000
を得る。この式をもう一度微分してさらに整理すると )(xG N0 の微分方程式が得られる。
0)( )( ) (2 )( 41 1) ( 2
' )( 5 " )( )(
2222
22
xGxGγx xGx N
xGxxGγx
NNN
NN
000
00
この式が
N
kN
NN
10
00 )(
1 cos
1 )(' )(
)(
NkγxxU
xUxG の微分方程式である。
4 チェビシェフ多項式基本型混合関数の微分方程式 4.1 第一種のチェビシェフ多項式基本型と第二種のチェビシェフ多項式基本型の比
第一種および第二種のチェビシェフ多項式基本型の比からなる )( xH N0 を定義し、その性質を検討する。
48
4 )( 4
2 )(
)()(
)(
1)()(
)(
23
222
222
12
1
1
xxxxxH
xxxxH
xU xU
γxxF
NxU xT
xH N
N
NN
NN
3020
0
0
00
00
63232 1216 )(
1216 48 )( 4325
42242
4224
232
xxxxxxxH
xxxxxxH
5040
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
17
5. チェビシェフ多項式基本型混合関数の微分方程式5. 1 第一種のチェビシェフ多項式基本型と第二種のチェビシェフ多項式基本型の比
13
)(1
1 cos
1 cos
2 )(" )(
}{))((
Nji
Njγx
NiγxxU
xU
ji,N
N
0
0
これらの式を )(xU N0 の微分方程式に代入し次式を得る。ただし Nji 1 である。
)2(
1 cos
1 cos
)( 2
1cos
3 }{)( ))((
22
NN
Njγx
Niγx
x
Nkγx
xji,
N
k
1
さらに ' )(ln xU N0 の微分 ' )( " )(
xUxU
N
N
0
0 は次式となる。
)(1
1cos
1 1
cos 1
cos
2
' )( " )(
' )(ln )(
}{
)( )(Nji
Nkγx
Njγx
Niγx
xUxU
xU dxd
N
k
ji,
N
NN
1
0
00
一方 )( )( ' )( xGxUxU NNN 000 と 2)( ' )()( " )( xGxGxUxU NNNN 0000 を
)(xU N0 の微分方程式に代入し、 222 )( ' )()()( 32)( xGxG xxGxNN NNN 000
を得る。この式をもう一度微分してさらに整理すると )(xG N0 の微分方程式が得られる。
0)( )( ) (2 )( 41 1) ( 2
' )( 5 " )( )(
2222
22
xGxGγx xGx N
xGxxGγx
NNN
NN
000
00
この式が
N
kN
NN
10
00 )(
1 cos
1 )(' )(
)(
NkγxxU
xUxG の微分方程式である。
4 チェビシェフ多項式基本型混合関数の微分方程式 4.1 第一種のチェビシェフ多項式基本型と第二種のチェビシェフ多項式基本型の比
第一種および第二種のチェビシェフ多項式基本型の比からなる )( xH N0 を定義し、その性質を検討する。
48
4 )( 4
2 )(
)()(
)(
1)()(
)(
23
222
222
12
1
1
xxxxxH
xxxxH
xU xU
γxxF
NxU xT
xH N
N
NN
NN
3020
0
0
00
00
63232 1216 )(
1216 48 )( 4325
42242
4224
232
xxxxxxxH
xxxxxxH
5040
14
1221048668410212
1038466492112
103846649211
1028466482102
102846648210
836547292
83654729
826446282
82644628
6345272
634527
6244262
624426
43252
841120537611520112644096122801792460851202048 )(
12280179246085120204860560179223041024 )(
60560179223041024101606721024512 )(
10160672102451240240448256 )(
40240448256
880192128 )(
880192128
248064 )(
24806463232 )(
xxxxxxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxH
xxxxxxxxH
120
110
100
90
80
70
60
)(xH N0 に関してまず次式が成立する。
N
k
N
kN
1
1
10
)(
)(
1cos
2212 cos
)(
Nkγx
Nkγx
xH
さらに 1)2(2222 )( ) ( )( NγxUxγxT NN 010 から
2
1)2(22222
2
)( ) ( )( ) (
)( )(
xU
γxγxHxγxUxT N
NN
N
N
00
0
10
一方)( )(
21)(
xUxUxT
10
1200
N
NN を利用して
2)( )(
)( 2)()(
2xU
xUxH xUxT
N
NN
N
N
0
1200
0
10
この式を上の式に代入して、 0) ()( )(
2 )( 221)2(
2
xγxH xU
γxHN
NN
N 0120
0
この式を解いて、 )( )()(
)( )(
1)2(1)2(
xH xU
γxU
xT γxHNN
120120120
2200
NNN
NN
ただし次式を利用し、 )(xH N0 は正をとった。
2
1)4(22222
2
)( ) ( )( ) (
)( )(
xU
γxγxHxγxUxT N
120120
120
220
NN
N
N
チェビシェフ多項式の基本型について
18
14
1221048668410212
1038466492112
103846649211
1028466482102
102846648210
836547292
83654729
826446282
82644628
6345272
634527
6244262
624426
43252
841120537611520112644096122801792460851202048 )(
12280179246085120204860560179223041024 )(
60560179223041024101606721024512 )(
10160672102451240240448256 )(
40240448256
880192128 )(
880192128
248064 )(
24806463232 )(
xxxxxxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxxH
xxxxxxxxxH
xxxxxxxxH
120
110
100
90
80
70
60
)(xH N0 に関してまず次式が成立する。
N
k
N
kN
1
1
10
)(
)(
1cos
2212 cos
)(
Nkγx
Nkγx
xH
さらに 1)2(2222 )( ) ( )( NγxUxγxT NN 010 から
2
1)2(22222
2
)( ) ( )( ) (
)( )(
xU
γxγxHxγxUxT N
NN
N
N
00
0
10
一方)( )(
21)(
xUxUxT
10
1200
N
NN を利用して
2)( )(
)( 2)()(
2xU
xUxH xUxT
N
NN
N
N
0
1200
0
10
この式を上の式に代入して、 0) ()( )(
2 )( 221)2(
2
xγxH xU
γxHN
NN
N 0120
0
この式を解いて、 )( )()(
)( )(
1)2(1)2(
xH xU
γxU
xT γxHNN
120120120
2200
NNN
NN
ただし次式を利用し、 )(xH N0 は正をとった。
2
1)4(22222
2
)( ) ( )( ) (
)( )(
xU
γxγxHxγxUxT N
120120
120
220
NN
N
N
15
この関数の微分方程式を求める。
まず 1)2(2222 )( ) ( )( NγxUxγxT NN 010 を微分して
0' )( ) ()( )( ) 1 ( 22 xUxγxU xxTN NNN 0010 が得られ 、整理すると
)( ) 1()()(
) 1()( ) ( )(' )(
) (0
00
2222 xHN xUxTN xxGγxx
xUxUγx N
N
NN
N
N0
1
0
0
つぎに )( )( )( xUxHxT NNN 0010 を微分して、
' )( )( )( ' )( )( ) 1( xUxHxUxHxUN NNNNN 00000 を得、整理して
)( )( ) 1( )(' )(
)( ) 1( ' )( xGxHNxUxUxHNxH NN
N
NNN 00
0
000
この式に ) ( 22 γx をかけて整理すると、
)( ) 1( )( ) )( 1(
)( ) ( )( ) )( 1( ' )( ) (
222
222222
xHNxHxγxN
xGγxxHγxNxHγx
NN
NNN
00
000
この式を微分して整理し、 )(xH N0 の微分方程式を得る。
0 ) 1( 2 )( ' )( )( ) 1( 2 " )( ) ( 22 xNxHxHxxHNxHγx NNNN 0000
4.2 第一種および第二種のチェビシェフ多項式基本型の比の対数関数の微分方程式
次のような関数を定義する。
xxO γxxQ
xxO γxxP xGxF xO
xxJ γxxL
xxJ γxxK xGxF xJ
)( ) ( )(
)( ) ( )( )( )( )(
)( ) ( )(
)( ) ( )( )( )( )(
22
22
22
22
NN
NN
NNN
NN
NN
NNN
00
00
0100
00
00
0100
これらの関数の相互関係を明らかにする。まず )()(
)(xUxTxH
N
NN
0
100
の対数関数を考える。
N
k
N
kN
110 )
1 cos (ln )
22 12cos (ln )(ln
1
N
kγxNkγxxH
さらにこの対数関数の微分を考える。
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
19
5. 2 第一種および第二種のチェビシェフ多項式基本型の比の対数関数の微分方程式
15
この関数の微分方程式を求める。
まず 1)2(2222 )( ) ( )( NγxUxγxT NN 010 を微分して
0' )( ) ()( )( ) 1 ( 22 xUxγxU xxTN NNN 0010 が得られ 、整理すると
)( ) 1()()(
) 1()( ) ( )(' )(
) (0
00
2222 xHN xUxTN xxGγxx
xUxUγx N
N
NN
N
N0
1
0
0
つぎに )( )( )( xUxHxT NNN 0010 を微分して、
' )( )( )( ' )( )( ) 1( xUxHxUxHxUN NNNNN 00000 を得、整理して
)( )( ) 1( )(' )(
)( ) 1( ' )( xGxHNxUxUxHNxH NN
N
NNN 00
0
000
この式に ) ( 22 γx をかけて整理すると、
)( ) 1( )( ) )( 1(
)( ) ( )( ) )( 1( ' )( ) (
222
222222
xHNxHxγxN
xGγxxHγxNxHγx
NN
NNN
00
000
この式を微分して整理し、 )(xH N0 の微分方程式を得る。
0 ) 1( 2 )( ' )( )( ) 1( 2 " )( ) ( 22 xNxHxHxxHNxHγx NNNN 0000
4.2 第一種および第二種のチェビシェフ多項式基本型の比の対数関数の微分方程式
次のような関数を定義する。
xxO γxxQ
xxO γxxP xGxF xO
xxJ γxxL
xxJ γxxK xGxF xJ
)( ) ( )(
)( ) ( )( )( )( )(
)( ) ( )(
)( ) ( )( )( )( )(
22
22
22
22
NN
NN
NNN
NN
NN
NNN
00
00
0100
00
00
0100
これらの関数の相互関係を明らかにする。まず )()(
)(xUxTxH
N
NN
0
100
の対数関数を考える。
N
k
N
kN
110 )
1 cos (ln )
22 12cos (ln )(ln
1
N
kγxNkγxxH
さらにこの対数関数の微分を考える。
15
この関数の微分方程式を求める。
まず 1)2(2222 )( ) ( )( NγxUxγxT NN 010 を微分して
0' )( ) ()( )( ) 1 ( 22 xUxγxU xxTN NNN 0010 が得られ 、整理すると
)( ) 1()()(
) 1()( ) ( )(' )(
) (0
00
2222 xHN xUxTN xxGγxx
xUxUγx N
N
NN
N
N0
1
0
0
つぎに )( )( )( xUxHxT NNN 0010 を微分して、
' )( )( )( ' )( )( ) 1( xUxHxUxHxUN NNNNN 00000 を得、整理して
)( )( ) 1( )(' )(
)( ) 1( ' )( xGxHNxUxUxHNxH NN
N
NNN 00
0
000
この式に ) ( 22 γx をかけて整理すると、
)( ) 1( )( ) )( 1(
)( ) ( )( ) )( 1( ' )( ) (
222
222222
xHNxHxγxN
xGγxxHγxNxHγx
NN
NNN
00
000
この式を微分して整理し、 )(xH N0 の微分方程式を得る。
0 ) 1( 2 )( ' )( )( ) 1( 2 " )( ) ( 22 xNxHxHxxHNxHγx NNNN 0000
4.2 第一種および第二種のチェビシェフ多項式基本型の比の対数関数の微分方程式
次のような関数を定義する。
xxO γxxQ
xxO γxxP xGxF xO
xxJ γxxL
xxJ γxxK xGxF xJ
)( ) ( )(
)( ) ( )( )( )( )(
)( ) ( )(
)( ) ( )( )( )( )(
22
22
22
22
NN
NN
NNN
NN
NN
NNN
00
00
0100
00
00
0100
これらの関数の相互関係を明らかにする。まず )()(
)(xUxTxH
N
NN
0
100
の対数関数を考える。
N
k
N
kN
110 )
1 cos (ln )
22 12cos (ln )(ln
1
N
kγxNkγxxH
さらにこの対数関数の微分を考える。
16
N
k
N
kN
NNN
N
N
N
N
N
110
0100
0
10
10
0
0
)()(
1cos
1
2212cos
1)(
)( )( )( ' )(
)( ' )(
)( ' )(
1
N
kγxNkγx
xJ
xGxFxUxU
xTxT
xHxH
すなわち )(xJ N0 は )(ln xH N0 の一階微分関数である。
次に )(xF 10 N に関する 新しい式を導入する。
)( ' )(
)(xTxTxF
10
1010
N
NN をもう一度微分して整理すると次式が得られる。
)( )( )( )( )(
)( ' )(
' )( " )(
)( ' )(
)( ' )(
)( " )(
' )(
2
22
xFxJxFxGxF
xTxT
xTxT
xTxT
xTxT
xTxTxF
10010010
10
10
10
10
10
10
10
10
10
1010
NNNNN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
NN
またすでに述べたように 2222 )( ' )( )()( xF xF γxxF xN NNN 000 なので、
2222 )( ' )( )()( ) 1 ( xF xF γxxF xN 101010 NNN
また 222 )( ' )()()( 32)( xGxG γxxGxNN NNN 000 なので、
この両式の差をとり、さらに )( )( )( xGxF xJ NNN 0100 , ' )( ' )( ' )( xGxF xJ NNN 0100 、
および 1 )( 2 ' )( )(' )( 22 xJ xxJ γxxK NNN 000 を利用すると次の二式が得られる。
)( ' )(
2 1 )(
2 1 )(
)( ' )(
2 1 )(
2 1 )(
xK xK xJxG
xK xK xJxF
N
NNN
N
NNN
0
000
0
0010
ここから )( ' )(
)( )( )(xK xK xO xG xF
N
NNNN
0
00010 で、さらに次式も得られる。
22
2222
)( ' )(
4 1 )(
4 1 )( )(
)( ' )(
2 1 )(
2 1 )( )(
xK xK xJxG xF
xK xK xJxG xF
N
NNNN
N
NNNN
0
00010
0
00010
一方 )(xFN0 の微分方程式を利用すると、 )( xF 10 N の微分方程式は次式となり、
チェビシェフ多項式の基本型について
20
16
N
k
N
kN
NNN
N
N
N
N
N
110
0100
0
10
10
0
0
)()(
1cos
1
2212cos
1)(
)( )( )( ' )(
)( ' )(
)( ' )(
1
N
kγxNkγx
xJ
xGxFxUxU
xTxT
xHxH
すなわち )(xJ N0 は )(ln xH N0 の一階微分関数である。
次に )(xF 10 N に関する 新しい式を導入する。
)( ' )(
)(xTxTxF
10
1010
N
NN をもう一度微分して整理すると次式が得られる。
)( )( )( )( )(
)( ' )(
' )( " )(
)( ' )(
)( ' )(
)( " )(
' )(
2
22
xFxJxFxGxF
xTxT
xTxT
xTxT
xTxT
xTxTxF
10010010
10
10
10
10
10
10
10
10
10
1010
NNNNN
N
N
N
N
N
N
N
N
N
NN
またすでに述べたように 2222 )( ' )( )()( xF xF γxxF xN NNN 000 なので、
2222 )( ' )( )()( ) 1 ( xF xF γxxF xN 101010 NNN
また 222 )( ' )()()( 32)( xGxG γxxGxNN NNN 000 なので、
この両式の差をとり、さらに )( )( )( xGxF xJ NNN 0100 , ' )( ' )( ' )( xGxF xJ NNN 0100 、
および 1 )( 2 ' )( )(' )( 22 xJ xxJ γxxK NNN 000 を利用すると次の二式が得られる。
)( ' )(
2 1 )(
2 1 )(
)( ' )(
2 1 )(
2 1 )(
xK xK xJxG
xK xK xJxF
N
NNN
N
NNN
0
000
0
0010
ここから )( ' )(
)( )( )(xK xK xO xG xF
N
NNNN
0
00010 で、さらに次式も得られる。
22
2222
)( ' )(
4 1 )(
4 1 )( )(
)( ' )(
2 1 )(
2 1 )( )(
xK xK xJxG xF
xK xK xJxG xF
N
NNNN
N
NNNN
0
00010
0
00010
一方 )(xFN0 の微分方程式を利用すると、 )( xF 10 N の微分方程式は次式となり、
17
0 )( )( )(2 1) 1( 2
' )( 3 " )( )(
2222
22
xFxFγx N
xFxxFγx
1010
1010
NN
NN
この式に )( )( )()() 1( 2222 xF xK xF γxN 10010 NNN を代入して整理すると、
0)( )( )( 2 1 ' )( 3 " )( )( 22 xF xF xK xF xxF γx 101001010 NNNNN
既に述べたように、 )( xF 10 N の微分方程式は次式のようにも表されるので、
0)(
)( )1( 21 ' )( 3 " )( )( 2
)12(222
xF xT γNxF xxF γx
N
11
11 NN
NN 00
00
ここから )(xKN0 の値が得られる。
)(
) 1( 2 )( )(
) 1( )(
1 )(
) 1( )(2
1)2(1)2(
2
1)2(2
xU γN
xU xT γN
xF xT γNxK
NNN
1001010100
NNNNN
N
ただし)( )(
21)(
xUxUxT
10
1200
N
NN から誘導される
)( )(
21)(
xUxUxT
N
NN
0
12010
を利用した。
2N から 7N までの関数 )(xKN0 は次のようになる。
) 8 80 192128 )( 32 160 256128 ( 8)(
) 24 8064 )( 7 56 11264 ( 7)(
) 6 3232 )( 18 4832 ( 6)(
) 1216 )( 5 20(16 5)(
) 48 )( 88 (
4)(
))(4 34 ( 3 )(
)(
) 1( 2 )( )(
) 1( )(
63452782644628
16
624426634527
14
4325644426
12
42244325
10
234224
8
2223
6
2
1)2(1)2(
xxγxγxγxxγxγxxK
γxγxγxxxγxγxxK
xγxγxγxγxγxxK
γxγxxγxγxxK
xγxγxγxxK
γx xγxxK
xU γN
xU xT γNxK
NN
70
60
50
40
30
20
100100
NNNN
またすでに述べたように )( )(
)( 1)2(
xH xU
γxHN
120120
0
NN
N なので、
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
21
17
0 )( )( )(2 1) 1( 2
' )( 3 " )( )(
2222
22
xFxFγx N
xFxxFγx
1010
1010
NN
NN
この式に )( )( )()() 1( 2222 xF xK xF γxN 10010 NNN を代入して整理すると、
0)( )( )( 2 1 ' )( 3 " )( )( 22 xF xF xK xF xxF γx 101001010 NNNNN
既に述べたように、 )( xF 10 N の微分方程式は次式のようにも表されるので、
0)(
)( )1( 21 ' )( 3 " )( )( 2
)12(222
xF xT γNxF xxF γx
N
11
11 NN
NN 00
00
ここから )(xKN0 の値が得られる。
)(
) 1( 2 )( )(
) 1( )(
1 )(
) 1( )(2
1)2(1)2(
2
1)2(2
xU γN
xU xT γN
xF xT γNxK
NNN
1001010100
NNNNN
N
ただし)( )(
21)(
xUxUxT
10
1200
N
NN から誘導される
)( )(
21)(
xUxUxT
N
NN
0
12010
を利用した。
2N から 7N までの関数 )(xKN0 は次のようになる。
) 8 80 192128 )( 32 160 256128 ( 8)(
) 24 8064 )( 7 56 11264 ( 7)(
) 6 3232 )( 18 4832 ( 6)(
) 1216 )( 5 20(16 5)(
) 48 )( 88 (
4)(
))(4 34 ( 3 )(
)(
) 1( 2 )( )(
) 1( )(
63452782644628
16
624426634527
14
4325644426
12
42244325
10
234224
8
2223
6
2
1)2(1)2(
xxγxγxγxxγxγxxK
γxγxγxxxγxγxxK
xγxγxγxγxγxxK
γxγxxγxγxxK
xγxγxγxxK
γx xγxxK
xU γN
xU xT γNxK
NN
70
60
50
40
30
20
100100
NNNN
またすでに述べたように )( )(
)( 1)2(
xH xU
γxHN
120120
0
NN
N なので、
18
)( )( ) 1( 2 )( 2 xH xH NxK NNN 0100 となる。
この )(xKN0 を利用すると、 2 )(
) 1( 2 2 )( )(2
1)2(
xxU γNxxK xL
N
1000
NNN
さらにこの )(xKN0 の微分係数 1 )( 2 ' )( )(' )( 22 xJ xxJ γxxK NNN 000 は、
)( )(
1)( 2 )(' )(
)( 1)( 2' )( 2
2
1)2(
2
2
2
1)2(
xG xU γN
xU xU
xU γNxK
NN
101010
1
100
NNN
N
NN
2N から 6N までの関数 ' )(xKN0 は次のようになる。
26244262634527
122104866841021214
243252644426
10284664821012
2422424325
8264462810
22324224
6242248
222223
42246
22
1)2(
2
) 24 8064 () 7 56 11264 ( 7 672 10080 53760 126720 135168 53248 7' )(
) 6 3232 () 18 4832 ( 6 420 4480 16128 23040 11264 6' )(
) 1216 () 5 20(16 5 240 1680 3584 2304 5' )(
) 48 () 88 (
4 120 480 448 4' )(
)(4) 34 (
3 48 80 3 ' )(
)( )(
) 1( 2 )( )( ' )(
γxγxγxxxγxγxγγγxγxγxγxγxxK
xγxγxγxγxγxγxγxγxγxγxxK
γxγxxγxγxγxγxγxγxxK
xγxγxγxγxγxγxxK
γx xγxγxγxxK
xG xU γNxG xK xK
N
60
50
40
30
20
1010
1000 NN
NNN
さらに )( )(
) 1( )(1)2(
xU xT γNxK
N
NNN
0100
の微分係数を考えると、
)( )( )(
1)( 2' )(2
1)2(
xG xF xU γNxK
N
NNN
N 01010
0
が得られ、
ここから )(' )(
)( )( )( )(xK xK xG xO xG xF
N
NNNNN
0
01200010 となる。
さらに xxO γxxQ )( )( )( 22 NN 00 の性質を調べる。
まず )( )( xG xO 1200 NN と、 )( ) 1()( ) ( 022 xHN xxGγx NN 0 から、
)( ) 1( 2 )( )( )( 22 xH N xxG γxxQ 1201200 NNN
そこで )()(
)(xU xT xH
120
220120
N
NN に、二種類のチェビシェフ多項式基本型間の漸化式
チェビシェフ多項式の基本型について
22
18
)( )( ) 1( 2 )( 2 xH xH NxK NNN 0100 となる。
この )(xKN0 を利用すると、 2 )(
) 1( 2 2 )( )(2
1)2(
xxU γNxxK xL
N
1000
NNN
さらにこの )(xKN0 の微分係数 1 )( 2 ' )( )(' )( 22 xJ xxJ γxxK NNN 000 は、
)( )(
1)( 2 )(' )(
)( 1)( 2' )( 2
2
1)2(
2
2
2
1)2(
xG xU γN
xU xU
xU γNxK
NN
101010
1
100
NNN
N
NN
2N から 6N までの関数 ' )(xKN0 は次のようになる。
26244262634527
122104866841021214
243252644426
10284664821012
2422424325
8264462810
22324224
6242248
222223
42246
22
1)2(
2
) 24 8064 () 7 56 11264 ( 7 672 10080 53760 126720 135168 53248 7' )(
) 6 3232 () 18 4832 ( 6 420 4480 16128 23040 11264 6' )(
) 1216 () 5 20(16 5 240 1680 3584 2304 5' )(
) 48 () 88 (
4 120 480 448 4' )(
)(4) 34 (
3 48 80 3 ' )(
)( )(
) 1( 2 )( )( ' )(
γxγxγxxxγxγxγγγxγxγxγxγxxK
xγxγxγxγxγxγxγxγxγxγxxK
γxγxxγxγxγxγxγxγxxK
xγxγxγxγxγxγxxK
γx xγxγxγxxK
xG xU γNxG xK xK
N
60
50
40
30
20
1010
1000 NN
NNN
さらに )( )(
) 1( )(1)2(
xU xT γNxK
N
NNN
0100
の微分係数を考えると、
)( )( )(
1)( 2' )(2
1)2(
xG xF xU γNxK
N
NNN
N 01010
0
が得られ、
ここから )(' )(
)( )( )( )(xK xK xG xO xG xF
N
NNNNN
0
01200010 となる。
さらに xxO γxxQ )( )( )( 22 NN 00 の性質を調べる。
まず )( )( xG xO 1200 NN と、 )( ) 1()( ) ( 022 xHN xxGγx NN 0 から、
)( ) 1( 2 )( )( )( 22 xH N xxG γxxQ 1201200 NNN
そこで )()(
)(xU xT xH
120
220120
N
NN に、二種類のチェビシェフ多項式基本型間の漸化式
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
23
18
)( )( ) 1( 2 )( 2 xH xH NxK NNN 0100 となる。
この )(xKN0 を利用すると、 2 )(
) 1( 2 2 )( )(2
1)2(
xxU γNxxK xL
N
1000
NNN
さらにこの )(xKN0 の微分係数 1 )( 2 ' )( )(' )( 22 xJ xxJ γxxK NNN 000 は、
)( )(
1)( 2 )(' )(
)( 1)( 2' )( 2
2
1)2(
2
2
2
1)2(
xG xU γN
xU xU
xU γNxK
NN
101010
1
100
NNN
N
NN
2N から 6N までの関数 ' )(xKN0 は次のようになる。
26244262634527
122104866841021214
243252644426
10284664821012
2422424325
8264462810
22324224
6242248
222223
42246
22
1)2(
2
) 24 8064 () 7 56 11264 ( 7 672 10080 53760 126720 135168 53248 7' )(
) 6 3232 () 18 4832 ( 6 420 4480 16128 23040 11264 6' )(
) 1216 () 5 20(16 5 240 1680 3584 2304 5' )(
) 48 () 88 (
4 120 480 448 4' )(
)(4) 34 (
3 48 80 3 ' )(
)( )(
) 1( 2 )( )( ' )(
γxγxγxxxγxγxγγγxγxγxγxγxxK
xγxγxγxγxγxγxγxγxγxγxxK
γxγxxγxγxγxγxγxγxxK
xγxγxγxγxγxγxxK
γx xγxγxγxxK
xG xU γNxG xK xK
N
60
50
40
30
20
1010
1000 NN
NNN
さらに )( )(
) 1( )(1)2(
xU xT γNxK
N
NNN
0100
の微分係数を考えると、
)( )( )(
1)( 2' )(2
1)2(
xG xF xU γNxK
N
NNN
N 01010
0
が得られ、
ここから )(' )(
)( )( )( )(xK xK xG xO xG xF
N
NNNNN
0
01200010 となる。
さらに xxO γxxQ )( )( )( 22 NN 00 の性質を調べる。
まず )( )( xG xO 1200 NN と、 )( ) 1()( ) ( 022 xHN xxGγx NN 0 から、
)( ) 1( 2 )( )( )( 22 xH N xxG γxxQ 1201200 NNN
そこで )()(
)(xU xT xH
120
220120
N
NN に、二種類のチェビシェフ多項式基本型間の漸化式
19
)( )()( 2 xU γxU xxT NNN 20120220 を代入して、次式を得る。
)()(
) 1( 2 ) 1( 2
)()( )(
) 1( 2 )()(
) 1( 2 )(
2
2
xU xU γN xN
xU xU γxU xN
xU xT N xQ
120
20
120
20120
120
2200
N
N
N
NN
N
NN
さらに )(xP N0 も容易に求めることができる。
)(
)( ) 1 ( 2 2 2 )( )( 2
xU xU γN xNxxQ xP
120
2000
N
NNN
さらに次の二式を整理して、
xxG xF γxxxJ γxxK
xxG xF γxxxO γxxQ
)( )( )( )( )( )(
)( )( )( )( )( )(
2222
2222
NNNN
NNNN
01000
01000
)( ) 1( 2 2 )( )( 2 )( )( 22 xH NxxG γxxK xQ NNNN 0000 が得られ、ここから
)( )( ) 1 ( 2)( xH xH NxK NNN 01200 が得られるが、この式はすでに導入した。
以上の下準備をした後、各関数の微分方程式を求める。
)( xF 10 N の微分方程式は、
0)( )( )( 2 1 ' )( 3 " )( )( 22 xF xF xK xF xxF γx 101001010 NNNNN で、
この式に )( )( ' )( xFxJxF 10010 NNN を利用すると 、
)( xF 10 N の微分方程式は次式のようにも表される。
0)( )( )( 2)( 2 1
' )( 5 " )( )( 22
xF xF xK xJ x
xF xxF γx
101000
1010
NNNN
NN
一方 )(xGN0 の微分方程式は
0)( )( ) (2 )( 41 1) ( 2
' )( 5 " )( )(
2222
22
xGxGγx xGx N
xGxxGγx
NNN
NN
000
00
となり、 )(xKN0 を用いて整理すると、次式になるので、
チェビシェフ多項式の基本型について
24
19
)( )()( 2 xU γxU xxT NNN 20120220 を代入して、次式を得る。
)()(
) 1( 2 ) 1( 2
)()( )(
) 1( 2 )()(
) 1( 2 )(
2
2
xU xU γN xN
xU xU γxU xN
xU xT N xQ
120
20
120
20120
120
2200
N
N
N
NN
N
NN
さらに )(xP N0 も容易に求めることができる。
)(
)( ) 1 ( 2 2 2 )( )( 2
xU xU γN xNxxQ xP
120
2000
N
NNN
さらに次の二式を整理して、
xxG xF γxxxJ γxxK
xxG xF γxxxO γxxQ
)( )( )( )( )( )(
)( )( )( )( )( )(
2222
2222
NNNN
NNNN
01000
01000
)( ) 1( 2 2 )( )( 2 )( )( 22 xH NxxG γxxK xQ NNNN 0000 が得られ、ここから
)( )( ) 1 ( 2)( xH xH NxK NNN 01200 が得られるが、この式はすでに導入した。
以上の下準備をした後、各関数の微分方程式を求める。
)( xF 10 N の微分方程式は、
0)( )( )( 2 1 ' )( 3 " )( )( 22 xF xF xK xF xxF γx 101001010 NNNNN で、
この式に )( )( ' )( xFxJxF 10010 NNN を利用すると 、
)( xF 10 N の微分方程式は次式のようにも表される。
0)( )( )( 2)( 2 1
' )( 5 " )( )( 22
xF xF xK xJ x
xF xxF γx
101000
1010
NNNN
NN
一方 )(xGN0 の微分方程式は
0)( )( ) (2 )( 41 1) ( 2
' )( 5 " )( )(
2222
22
xGxGγx xGx N
xGxxGγx
NNN
NN
000
00
となり、 )(xKN0 を用いて整理すると、次式になるので、
20
0)( )( )( 2)( 21 ' )( 5 " )( )( 22 xG xG xK xJ x xG xxG γx NNNNNN 000000
両式の差をとって、 ) (xJ N0 の微分方程式が得られる。
0 )( )( )( )( )( )( 2 1
' )( 5 " )( )(
)( )( )(
)( 2 )( ' )( 5 " )( )(
2
22
22
222
xK xO xJ xK xJ xJ x
xJ xxJ γx
xK xO xJ
xJ x xJ xJ xxJ γx
NNNNNN
NN
NNN
NNNN
000000
00
000
0000
また両式の和をとって、 )(xO N0 の微分方程式が得られる。
0)( )( )( 2)( 21 ' )( 5 " )( )(
)( )( )( )( )( )( )( 21
' )( 5 " )( )(
22
22
xO xK xJ xJ xxO xxO γx
xK xO xJ xO xK xJ xJ x
xO xxO γx
NNNNNN
NNNNNNN
NN
000000
0000000
00
)(xQ N0 の場合は )(xH N0 の微分方程式と )( ) 1( 2 )( xH N xQ 1200 NN とから、
0 1)( 8 )( ' )( )( 2 " )( ) ( 222 xNxQxQxxQxQγx NNNN 0000 となる。
xxQ xP 2 )( )( NN 00 の微分方程式は、 )(xQ N0 の微分方程式と
xQ xP ,xQ xP 0 " )( " )( 2 ' )( ' )( NNNN 0000 を利用し、次式となる。
0 2)( 8 )( 3 ' )( 5 )( 2 " )( ) ( 22 xNNxPxPxxPxPγx NNNN 0000
次に )(xK N0 の微分方程式を求める。
)( 1)( 2)(
2
1)2(
xU γNxK
N
100
NN を利用すると )(
)( ' )(
' )( 22 xU xK
xK xU 100
010 N
N
NN および
)( )( ' )(
2 )( )(" )(
" )( 2
2
22 xU xK
xK xU xK xK xU 10
0
010
0
010
N
N
NN
N
NN となるので、
これらの式を )(2 xU 10 N の微分方程式に代入して次式が得られる。
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
25
6. 総括6. 1 関数
20
0)( )( )( 2)( 21 ' )( 5 " )( )( 22 xG xG xK xJ x xG xxG γx NNNNNN 000000
両式の差をとって、 ) (xJ N0 の微分方程式が得られる。
0 )( )( )( )( )( )( 2 1
' )( 5 " )( )(
)( )( )(
)( 2 )( ' )( 5 " )( )(
2
22
22
222
xK xO xJ xK xJ xJ x
xJ xxJ γx
xK xO xJ
xJ x xJ xJ xxJ γx
NNNNNN
NN
NNN
NNNN
000000
00
000
0000
また両式の和をとって、 )(xO N0 の微分方程式が得られる。
0)( )( )( 2)( 21 ' )( 5 " )( )(
)( )( )( )( )( )( )( 21
' )( 5 " )( )(
22
22
xO xK xJ xJ xxO xxO γx
xK xO xJ xO xK xJ xJ x
xO xxO γx
NNNNNN
NNNNNNN
NN
000000
0000000
00
)(xQ N0 の場合は )(xH N0 の微分方程式と )( ) 1( 2 )( xH N xQ 1200 NN とから、
0 1)( 8 )( ' )( )( 2 " )( ) ( 222 xNxQxQxxQxQγx NNNN 0000 となる。
xxQ xP 2 )( )( NN 00 の微分方程式は、 )(xQ N0 の微分方程式と
xQ xP ,xQ xP 0 " )( " )( 2 ' )( ' )( NNNN 0000 を利用し、次式となる。
0 2)( 8 )( 3 ' )( 5 )( 2 " )( ) ( 22 xNNxPxPxxPxPγx NNNN 0000
次に )(xK N0 の微分方程式を求める。
)( 1)( 2)(
2
1)2(
xU γNxK
N
100
NN を利用すると )(
)( ' )(
' )( 22 xU xK
xK xU 100
010 N
N
NN および
)( )( ' )(
2 )( )(" )(
" )( 2
2
22 xU xK
xK xU xK xK xU 10
0
010
0
010
N
N
NN
N
NN となるので、
これらの式を )(2 xU 10 N の微分方程式に代入して次式が得られる。
21
0)( ) 32 )( 12 ( ' )( )( 2 " )( ) (
)( ) 32 )( 12 ( ' )( 3)( )( 2 " )( ) (
)( 3)2 )( 12 (
' )( 3 ' )( )(' )(
)( 2 " )( ) (
22
2222
2222
xK NNxK xxQ xK γx
xK NNxK xxO γxxK γx
xK NN
xK xxK xK xK γxxK γx
NNNN
NNNN
N
NNN
NN
0000
0000
0
000
00
xxK xL 2 )( )( NN 00 の微分方程式は )(xK N0 の微分方程式と、
xK xL ,xK xL 0 " )( " )( 2 ' )( ' )( NNNN 0000 を利用し、次式となる。
0 ) 1 ( 8 )( 4 )( 3)2 )( 12 (
' )( )( 2 " )( ) (
2
22
xNxQ xL NN
xL xxQ xL γx
NN
NNN
00
000
5 総括 5.1 関数
第一種のチェビシェフ多項式基本型：
N
kN
10 ) 2 (
212 cos 2)( )(1 N
NkγxxT N
第二種のチェビシェフ多項式基本型： ) 2 ( 1
cos 2 )( )(
NN
kγxxU NN
kN
10
)(1 xT N0 と )(xU N0 との比 ： )()(
)( 1
xU xT xH
N
NN
0
00
)(xT N0 の対数関数の微分係数 ：
N
kN
10
00 )(
212 cos
1 )(' )(
)(
NkγxxT
xT xFN
N
)(xU N0 の対数関数の微分係数 ：
N
kN
10
00 )(
1cos
1 )(' )(
)(
N kγxxU
xU xG N
N
)(xT N0 の関連関数 )(1 XT N0 ：
N
kN
10 )
21 , 2 (
212 cos
1)( )(1 NkN
Nkγ
XXT
)(xU N0 の関連関数 )(1 XU N0 ： )
21 , 2 (
1cos
1 )( )(1
Nk N
Nkγ
XXUN
kN
10
)(1 XT N0 の関連関数 )(1 XV
N0 ：
N
k
NkγN
k
YYV 1
) 2
1 (212 tan
)( )(
10 N
21
0)( ) 32 )( 12 ( ' )( )( 2 " )( ) (
)( ) 32 )( 12 ( ' )( 3)( )( 2 " )( ) (
)( 3)2 )( 12 (
' )( 3 ' )( )(' )(
)( 2 " )( ) (
22
2222
2222
xK NNxK xxQ xK γx
xK NNxK xxO γxxK γx
xK NN
xK xxK xK xK γxxK γx
NNNN
NNNN
N
NNN
NN
0000
0000
0
000
00
xxK xL 2 )( )( NN 00 の微分方程式は )(xK N0 の微分方程式と、
xK xL ,xK xL 0 " )( " )( 2 ' )( ' )( NNNN 0000 を利用し、次式となる。
0 ) 1 ( 8 )( 4 )( 3)2 )( 12 (
' )( )( 2 " )( ) (
2
22
xNxQ xL NN
xL xxQ xL γx
NN
NNN
00
000
5 総括 5.1 関数
第一種のチェビシェフ多項式基本型：
N
kN
10 ) 2 (
212 cos 2)( )(1 N
NkγxxT N
第二種のチェビシェフ多項式基本型： ) 2 ( 1
cos 2 )( )(
NN
kγxxU NN
kN
10
)(1 xT N0 と )(xU N0 との比 ： )()(
)( 1
xU xT xH
N
NN
0
00
)(xT N0 の対数関数の微分係数 ：
N
kN
10
00 )(
212 cos
1 )(' )(
)(
NkγxxT
xT xFN
N
)(xU N0 の対数関数の微分係数 ：
N
kN
10
00 )(
1cos
1 )(' )(
)(
N kγxxU
xU xG N
N
)(xT N0 の関連関数 )(1 XT N0 ：
N
kN
10 )
21 , 2 (
212 cos
1)( )(1 NkN
Nkγ
XXT
)(xU N0 の関連関数 )(1 XU N0 ： )
21 , 2 (
1cos
1 )( )(1
Nk N
Nkγ
XXUN
kN
10
)(1 XT N0 の関連関数 )(1 XV
N0 ：
N
k
NkγN
k
YYV 1
) 2
1 (212 tan
)( )(
10 N
チェビシェフ多項式の基本型について
26
6. 2 微分方程式
21
0)( ) 32 )( 12 ( ' )( )( 2 " )( ) (
)( ) 32 )( 12 ( ' )( 3)( )( 2 " )( ) (
)( 3)2 )( 12 (
' )( 3 ' )( )(' )(
)( 2 " )( ) (
22
2222
2222
xK NNxK xxQ xK γx
xK NNxK xxO γxxK γx
xK NN
xK xxK xK xK
γxxK γx
NNNN
NNNN
N
NNN
NN
0000
0000
0
000
00
xxK xL 2 )( )( NN 00 の微分方程式は )(xK N0 の微分方程式と、
xK xL ,xK xL 0 " )( " )( 2 ' )( ' )( NNNN 0000 を利用し、次式となる。
0 ) 1 ( 8 )( 4 )( 3)2 )( 12 (
' )( )( 2 " )( ) (
2
22
xNxQ xL NN
xL xxQ xL γx
NN
NNN
00
000
5 総括 5.1 関数
第一種のチェビシェフ多項式基本型：
N
kN
10 ) 2 (
212 cos 2)( )(1 N
NkγxxT N
第二種のチェビシェフ多項式基本型： ) 2 ( 1
cos 2 )( )(
NN
kγxxU NN
kN
10
)(1 xT N0 と )(xU N0 との比 ： )()(
)( 1
xU xT xH
N
NN
0
00
)(xT N0 の対数関数の微分係数 ：
N
kN
10
00 )(
212 cos
1 )(' )(
)(
NkγxxT
xT xFN
N
)(xU N0 の対数関数の微分係数 ：
N
kN
10
00 )(
1cos
1 )(' )(
)(
N kγxxU
xU xG N
N
)(xT N0 の関連関数 )(1 XT N0 ：
N
kN
10 )
21 , 2 (
212 cos
1)( )(1 NkN
Nkγ
XXT
)(xU N0 の関連関数 )(1 XU N0 ： )
21 , 2 (
1cos
1 )( )(1
Nk N
Nkγ
XXUN
kN
10
)(1 XT N0 の関連関数 )(1 XV
N0 ：
N
k
NkγN
k
YYV 1
) 2
1 (212 tan
)( )(
10 N
22
)(1 XU N0 の関連関数 )(YW 1
0N ：
N
k
Nkγ
Nk
YYW 1
) 2
1 ( 1 tan
)( )(
10 N
)(1 xF N 0 と )(xG N0 との差 ： )( ' )(
)( )( )(xF
xFxGxF xJ 10
100100
N
NNNN
)(1 xF N 0 と )(xG N0 との和 ： )(' )(
)( )( )( )( xK xK xG xG xF xO
N
NNNNN
0
01200100
)(xJ N0 の関連関数 )(xK N0 ： )( )(
) 1( )( ) ( )(1)2(
22
xU xT γNxxJ γxxK
N
NNNN
01000
)(xJ N0 の関連関数 )(xL N0 ： xxJ γxxL )( ) ( )( 22 NN 00
)(xO N0 の関連関数 )(xP N0 ： xxO γxxP )( ) ( )( 22 NN 00
)(xO N0 の関連関数 )(xQ N0 ： )( ) 1( 2 )( ) ( )( 22 xH N xxO γxxQ 12000 NNN
5.2 微分方程式
)(xT N0 の微分方程式 ： 0 )( ' )(
" )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγNxT
γxxT
γx
NNN 000
)(xU N0 の微分方程式 ： 0 )( 2)( ' )( 3 " )( ) 1 ( 222
2
xUγNNxU
γxxU
γx
NNN 000
)(xH N0 の微分方程式 ：
0 ) 1( 2 )( ' )( )( ) 1( 2 " )( ) ( 22
xNxHxHxxHNxHγx
N
NNN
0
000
)(1 xF N0 の微分方程式 ：
0)( )( )( 2)( 2 1
' )( 5 " )( )( 22
xF xF xK xJ x
xF xxF γx
101000
1010
NNNN
NN
)(xG N0 の微分方程式 ：
0)( )( )( 2)( 21
' )( 5 " )( )( 22
xG xG xK xJ x
xG xxG γx
NNNN
NN
0000
00
)(1 XT N0 の微分方程式 ：
0)( ) 1 (
' )( } 1 12) 1 ( 2 {" )( ) 1 (
0
02022
XTNN
XT Xγ
NX NXTγ
X
1
11
N
NN
)(1 XU N0 の微分方程式 ：
0)( ) 1 (
' )(112) 1 ( 2" )( ) 1 ( 222
XUNN
XU Xγ
NXNXUγ
X
10
10
10
N
NN
22
)(1 XU N0 の関連関数 )(YW 1
0N ：
N
k
Nkγ
Nk
YYW 1
) 2
1 ( 1 tan
)( )(
10 N
)(1 xF N 0 と )(xG N0 との差 ： )( ' )(
)( )( )(xF
xFxGxF xJ 10
100100
N
NNNN
)(1 xF N 0 と )(xG N0 との和 ： )(' )(
)( )( )( )( xK xK xG xG xF xO
N
NNNNN
0
01200100
)(xJ N0 の関連関数 )(xK N0 ： )( )(
) 1( )( ) ( )(1)2(
22
xU xT γNxxJ γxxK
N
NNNN
01000
)(xJ N0 の関連関数 )(xL N0 ： xxJ γxxL )( ) ( )( 22 NN 00
)(xO N0 の関連関数 )(xP N0 ： xxO γxxP )( ) ( )( 22 NN 00
)(xO N0 の関連関数 )(xQ N0 ： )( ) 1( 2 )( ) ( )( 22 xH N xxO γxxQ 12000 NNN
5.2 微分方程式
)(xT N0 の微分方程式 ： 0 )( ' )(
" )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγNxT
γxxT
γx
NNN 000
)(xU N0 の微分方程式 ： 0 )( 2)( ' )( 3 " )( ) 1 ( 222
2
xUγNNxU
γxxU
γx
NNN 000
)(xH N0 の微分方程式 ：
0 ) 1( 2 )( ' )( )( ) 1( 2 " )( ) ( 22
xNxHxHxxHNxHγx
N
NNN
0
000
)(1 xF N0 の微分方程式 ：
0)( )( )( 2)( 2 1
' )( 5 " )( )( 22
xF xF xK xJ x
xF xxF γx
101000
1010
NNNN
NN
)(xG N0 の微分方程式 ：
0)( )( )( 2)( 21
' )( 5 " )( )( 22
xG xG xK xJ x
xG xxG γx
NNNN
NN
0000
00
)(1 XT N0 の微分方程式 ：
0)( ) 1 (
' )( } 1 12) 1 ( 2 {" )( ) 1 (
0
02022
XTNN
XT Xγ
NX NXTγ
X
1
11
N
NN
)(1 XU N0 の微分方程式 ：
0)( ) 1 (
' )(112) 1 ( 2" )( ) 1 ( 222
XUNN
XU Xγ
NXNXUγ
X
10
10
10
N
NN
Sanno University Bulletin Vol. 38 No. 1 September 2017
27
22
)(1 XU N0 の関連関数 )(YW 1
0N ：
N
k
Nkγ
Nk
YYW 1
) 2
1 ( 1 tan
)( )(
10 N
)(1 xF N 0 と )(xG N0 との差 ： )( ' )(
)( )( )(xF
xFxGxF xJ 10
100100
N
NNNN
)(1 xF N 0 と )(xG N0 との和 ： )(' )(
)( )( )( )( xK xK xG xG xF xO
N
NNNNN
0
01200100
)(xJ N0 の関連関数 )(xK N0 ： )( )(
) 1( )( ) ( )(1)2(
22
xU xT γNxxJ γxxK
N
NNNN
01000
)(xJ N0 の関連関数 )(xL N0 ： xxJ γxxL )( ) ( )( 22 NN 00
)(xO N0 の関連関数 )(xP N0 ： xxO γxxP )( ) ( )( 22 NN 00
)(xO N0 の関連関数 )(xQ N0 ： )( ) 1( 2 )( ) ( )( 22 xH N xxO γxxQ 12000 NNN
5.2 微分方程式
)(xT N0 の微分方程式 ： 0 )( ' )(
" )( ) 1 ( 2
2
22
2
xTγNxT
γxxT
γx
NNN 000
)(xU N0 の微分方程式 ： 0 )( 2)( ' )( 3 " )( ) 1 ( 222
2
xUγNNxU
γxxU
γx
NNN 000
)(xH N0 の微分方程式 ：
0 ) 1( 2 )( ' )( )( ) 1( 2 " )( ) ( 22
xNxHxHxxHNxHγx
N
NNN
0
000
)(1 xF N0 の微分方程式 ：
0)( )( )( 2)( 2 1
' )( 5 " )( )( 22
xF xF xK xJ x
xF xxF γx
101000
1010
NNNN
NN
)(xG N0 の微分方程式 ：
0)( )( )( 2)( 21
' )( 5 " )( )( 22
xG xG xK xJ x
xG xxG γx
NNNN
NN
0000
00
)(1 XT N0 の微分方程式 ：
0)( ) 1 (
' )( } 1 12) 1 ( 2 {" )( ) 1 (
0
02022
XTNN
XT Xγ
NX NXTγ
X
1
11
N
NN
)(1 XU N0 の微分方程式 ：
0)( ) 1 (
' )(112) 1 ( 2" )( ) 1 ( 222
XUNN
XU Xγ
NXNXUγ
X
10
10
10
N
NN
23
)(1 XV N0 の微分方程式 ：
0) ( ) 1 (
' ) ( ) 1 ( 2 " ) ( ) 1 (
0
0022
YV NN
YV YNYV γ
Y
1
11
N
NN
)(YW 10
N の微分方程式 ：
0) ( ) 1 (
' ) (} 1
1 ) 1 ( { 2 " ) ( ) 1 ( 222
YWNN
YW Y γ
YNYW γ
Y
10
10
10
N
NN
)(xJ N0 の微分方程式 ：
0 )( )(
)( )( )( )( 2 1
' )( 5 " )( )(
2
22
xK xO
xJ xK xJ xJ x
xJ xxJ γx
NN
NNNN
NN
00
0000
00
)(xO N0 の微分方程式 ：
0)( )( )( 2)( 21
' )( 5 " )( )( 22
xO xK xJ xJ x
xO xxO γx
NNNN
NN
0000
00
)(xK N0 の微分方程式 ：
0)( ) 32 )( 12 (
' )( )( 2 " )( ) ( 22
xK NN
xK xxQ xK γx
N
NNN
0
000
)(xL N0 の微分方程式 ：
0 ) 1 ( 8 )( 4 )( 3)2 )( 12 (
' )( )( 2 " )( ) (
2
22
xNxQ xL NN
xL xxQ xL γx
NN
NNN
00
000
)(xP N0 の微分方程式 ：
0 2)( 8 )( 3
' )( 5 )( 2 " )( ) ( 22
xNNxP
xPxxPxPγx
N
NNN
0
000
)(xQ N0 の微分方程式 ：
0 1)( 8 )(
' )( )( 2 " )( ) (
2
22
xNxQ
xQxxQxQγx
N
NNN
0
000
以上、本稿に現れる関数とその関数の微分方程式をまとめた。
参考文献 手代木 琢磨、勝間 豊 ：特殊な行列式とチェビシェフ多項式、産業能率大学紀要、
37 ( 1 ) , 2016 , pp. 1-23
チェビシェフ多項式の基本型について
28
参考文献手代木 琢磨、勝間 豊：特殊な行列式とチェビシェフ多項式、産業能率大学紀要、37（1），2016, pp. 1-23
23
)(1 XV N0 の微分方程式 ：
0) ( ) 1 (
' ) ( ) 1 ( 2 " ) ( ) 1 (
0
0022
YV NN
YV YNYV γ
Y
1
11
N
NN
)(YW 10
N の微分方程式 ：
0) ( ) 1 (
' ) (} 1
1 ) 1 ( { 2 " ) ( ) 1 ( 222
YWNN
YW Y γ
YNYW γ
Y
10
10
10
N
NN
)(xJ N0 の微分方程式 ：
0 )( )(
)( )( )( )( 2 1
' )( 5 " )( )(
2
22
xK xO
xJ xK xJ xJ x
xJ xxJ γx
NN
NNNN
NN
00
0000
00
)(xO N0 の微分方程式 ：
0)( )( )( 2)( 21
' )( 5 " )( )( 22
xO xK xJ xJ x
xO xxO γx
NNNN
NN
0000
00
)(xK N0 の微分方程式 ：
0)( ) 32 )( 12 (
' )( )( 2 " )( ) ( 22
xK NN
xK xxQ xK γx
N
NNN
0
000
)(xL N0 の微分方程式 ：
0 ) 1 ( 8 )( 4 )( 3)2 )( 12 (
' )( )( 2 " )( ) (
2
22
xNxQ xL NN
xL xxQ xL γx
NN
NNN
00
000
)(xP N0 の微分方程式 ：
0 2)( 8 )( 3
' )( 5 )( 2 " )( ) ( 22
xNNxP
xPxxPxPγx
N
NNN
0
000
)(xQ N0 の微分方程式 ：
0 1)( 8 )(
' )( )( 2 " )( ) (
2
22
xNxQ
xQxxQxQγx
N
NNN
0
000
以上、本稿に現れる関数とその関数の微分方程式をまとめた。
参考文献 手代木 琢磨、勝間 豊 ：特殊な行列式とチェビシェフ多項式、産業能率大学紀要、
37 ( 1 ) , 2016 , pp. 1-23
