Théorie des situations didactiques Action Formulation Validation

•  Ch. Mercat d'après •  Sophie Soury-Lavergne •  Master EADM UE10 •  2011-2012

Un scénario de classe en 5ème

•  Recherche individuelle •  Pendant 5 minutes environ, les élèves sont invités rechercher le problème dont ils ont reçu chacun

un énoncé. Le professeur passe dans les groupes et faire reformuler s'il y a lieu, l'énoncé. Si beaucoup d'élèves ont des difficultés avec l'énoncé, une reformulation sera faite pour toute la classe.

•  Travail en groupe et rédaction d'affiches •  Le professeur annonce la fin du travail individuel et le passage au travail en groupe dont le but,

rappelle-t-il, est de se mettre d'accord sur la rédaction d'une affiche. •  Débat

•  Le professeur choisit une première affiche. Il la présente à la classe –  Il demande aux élèves d'en prendre connaissance et de poser des questions liées à la

compréhension du texte (en classe entière). –  Il invite chaque groupe à donner son avis, par l'intermédiaire du porte parole du groupe, sous

forme d'une phrase commençant par : •  nous sommes d'accord car… •  nous ne sommes pas d'accord car…

–  Il note au tableau les arguments de chaque groupe, en regroupant les « pour » et les « contre ». –  Le débat s'instaure au niveau de la classe sur la validité des arguments produits. •  Au moment opportun (c'est un choix décisif), le professeur arrête le débat et

propose une deuxième affiche.

Dans l'expression n x n - n + 11, si on remplace n par n'importe quel entier naturel, obtient-on toujours un nombre qui a exactement deux diviseurs ?

A faire •  Pour chacune des trois phases : •  identifier quelles sont les procédures et productions attendues

chez les élèves •  analyser le rôle prévu pour l'enseignant

•  Pendant le débat •  caractériser deux positions possible pour les élèves •  de quelle nature mathématiques sont les propositions des

élèves ?

•  En conclusion •  quels peuvent être les objectifs d'apprentissage visés par une

telle situation ?

Usages du savoir et institutions •  Les savoirs ne sont pas définis uniquement par des textes mais

aussi par leurs fonctionnements, leurs mises en œuvre, leurs usages.

•  Ainsi, on peut différencier trois catégories d'institutions en fonction du rôle qu'y joue le savoir, son usage, sa finalité :

–  institution où le savoir est produit –  institution où le savoir est utilisé –  institution où le savoir est enseigné

•  « Il est couramment admis actuellement que les savoirs mathématiques et scientifiques sont mis en jeu dans trois catégories d'institutions qui se différencient par le fait que les rapports dominants à ces savoirs ne sont pas organisés à partir des mêmes finalités : institutions d'utilisation, institutions de production, institutions didactiques. » A. Rouchier 1995

Dialectique outil-objet •  En référence à l'activité du mathématicien, R. Douady parle de

la dialectique outil-objet pour désigner le processus de changement de statut des concepts, processus qui intervient aussi dans l'activité de l'élève.

•  exemples : les équations quadratiques, les imaginaires

•  Les usages du savoir ne sont pas déterminés uniquement par le savoir lui même mais aussi par la situation dans laquelle ils sont mis en œuvre.

•  « La solution de problème est la source et le critère du savoir » Vergnaud 1981

Pour les élèves • Brousseau distingue trois types de manifestations de la

pensée et du langage mathématique :

•  L'action •  La formulation •  La validation

•  et propose trois situations caractéristiques de leur apprentissage.

Situation d'action

•  Dans une situation d'action, la connaissance fonctionne comme moyen de prendre des décisions et d'agir.

•  L'élève élabore des connaissances implicites comme moyen d'action sur le milieu (pour l'action).

•  Le milieu lui apporte des informations et rétroactions en retour de ses actions.

•  Le milieu pour l'action : –  contient du matériel et des objets, notions mathématiques ; –  permet une validation empirique de l'action.

élève adaptation milieu

action

information rétroaction

situation adidactique d'action

Situation de formulation

•  L'élève formule le modèle implicite de ses actions. Ses connaissances se construisent comme moyen de communication.

•  Pour que cette formulation ait du sens pour lui, il faut qu'elle soit, en tant que formulation, un moyen d'action sur un milieu qui lui apporte des informations et rétroactions en retour de ses formulations.

•  Un milieu pour la formulation : –  peut être constitué par un élève qui peut agir et qui va suivre le modèle explicité :

nécessité de positions dissymétriques par rapport à l'action ou à l'information ; –  permet la validation empirique de la formulation.

•  Les situations de communication entre élèves, où seuls certains élèves peuvent agir, sont des exemples de telles situations.

situation adidactique de formulation élève

émetteur d'un message

formulation élève

récepteur milieu pour la

formulation action

milieu

Exemple d'une situation de formulation •  Deux élèves travaillent sur Cabri 3D à la reconstruction d'une figure. (Mithalal 2010) •  Un élève descripteur :

–  il dispose d'une série de figures à reproduire, qu'il peut manipuler, explorer, modifier –  il doit décrire à l'élève constructeur les figures qu'il observe –  il n'a pas le droit de manipuler l'ordinateur de l'élève constructeur.

•  Un élève constructeur : –  il dispose de l'environnement Cabri3D –  il doit reconstruire les figures en s'appuyant sur les indications de l'élève descripteur –  il n'a pas accès à l'ordinateur avec la figure modèle.

poste descripteur

poste constructeur

Formulations observées, binôme 1 •  Pour reconstruire une première face

du prisme.

•  Descripteur : Tu vas faire un losange. T'auras des points sur chaque droite, et ceux qui sont là il sont à 4,2 cm du centre. Donc tu crées des points et après tu changes jusqu'à ce que ça soit bon. Et après tu feras pareil sur l'autre côté, sauf que là ce sera 1,2.

•  Constructeur : Et après je fais un losange.

•  Descripteur : Tu traces des droites. •  Constructeur : Des droites ou des

segments ? •  Descripteur : Des segments

Formulations observées, binôme 2 •  Descripteur : Est-ce que tu sais comment construire un

parallélogramme ou pas ? Déjà, c'est un parallélogramme. Non, c'est un losange. C'est soit un losange, soit un parallélogramme, de toute façon…

•  Constructeur : Tu ne me facilites pas la tâche… •  Descripteur : De toute façon un losange c'est un

parallélogramme ! […] T'as deux droites qui font un carrefour, là ? Elles sont perpendiculaires sur ton plan.

•  Constructeur : Les quatre points de ton losange, il y en a deux qui…

•  Descripteur : Tu peux faire un losange là ? […] Est-ce que tu peux faire une droite de b à a ? Il faut que tu fasses un autre point en fait…

•  Constructeur : Comme b. •  Descripteur : Non. •  Constructeur : à la même distance en fait. •  Descripteur : Exactement, c'est la… c'est le … •  Constructeur : Faut que je fasse la symétrie !

Situation de validation

•  L'élève élabore des preuves de la validité et de la pertinence de son modèle d'action, au delà de la validation empirique de son action. Ses connaissances se construisent comme moyen de prouver et de convaincre un interlocuteur.

•  « Les messages échangés avec le milieu soient des assertions, des théorèmes, des démonstrations, émises et reçues comme telles » G. Brousseau 1986.

•  Un milieu pour la validation peut être constitué par les messages et énoncés, les preuves et contre-exemples ainsi qu'un milieu pour l'action.

situation adidactique de validation

élève proposant

milieu pour la validation action

milieu pour l'action

élève opposant

Assertions Théorèmes

Opinions, preuves action

énoncés relatifs au milieu

Savoir et connaissance •  « Le savoir est le produit culturel d'une institution qui analyse et

organise les connaissances afin de faciliter leur communication, leur usage ultérieur et la production de nouveaux savoirs » C. Comiti, D. Grenier, C. Margolinas 1995.

•  « Une connaissance est un moyen, pas forcément explicitable, qui peut être utilisé pour obtenir, dans une situation, un résultat conforme à une attente »

•  La connaissance est une construction personnelle du sujet, ainsi elle est indissociable d'un sujet connaissant et renvoie à une intériorisation du savoir.

connaissance savoir

Dialectique dévolution - institutionnalisation

•  Les 3 situations action, formulation, validation relèvent des fonctions du savoir

•  La dévolution et l'institutionnalisation ne sont pas des fonctions du savoir, ce sont des processus liées à l'articulation savoir-connaissances, des phases nécessaires à l'apprentissage et organisées par l'enseignant,

•  Dévolution •  L'enseignant fait d'abord le travail inverse du chercheur : il cherche à

recontextualiser et repersonnaliser le savoir à enseigner ; il cherche des problèmes qui vont donner du sens aux connaissances à enseigner, pour que l'activité de l'élève "ressemble" par moment à celle du chercheur. Il y a dévolution à l'élève d'une responsabilité vis à vis du savoir, il y a dévolution d'une situation adidactique.

•  « Le processus de dévolution permet de convertir un savoir à enseigner en connaissance chez l'élève (personnalisée, contextualisée, temporalisée)» (A. Rouchier 1991)

Dialectique dévolution - institutionnalisation

•  Institutionnalisation •  Pour transformer les réponses et les connaissances des élèves en

savoir, les élèves vont devoir, avec l'aide du professeur, redécontextualiser, redépersonnaliser la connaissance qu'ils ont produite afin de reconnaître dans ce qu'ils ont fait quelque chose qui ait un caractère universel, un savoir culturel réutilisable.

•  Le processus d'institutionnalisation est un processus inverse de celui de dévolution qui permet de convertir une connaissance chez l'élève en un savoir réutilisable (dépersonnalisée, décontextualisée, détemporalisée).

•  « En fait la conversion ne fabrique pas un nouveau produit qui serait le savoir par rapport à la connaissance ou l'inverse. On se contente de les placer, l'un et l'autre dans un ailleurs qui est celui des pratiques d'un autre niveau. » (A.Rouchier, 1991)

Références bibliographiques •  Comiti C., Grenier D., Margolinas C., (1995), Niveau de

connaissances en jeu lors d'interactions en situation de classe et modélisation de phénomènes didactiques, in G. Arsac et al. (eds) Différents types de savoirs et leur articulation, Grenoble : Editions La Pensée Sauvage.

•  Douady R. (1986) Jeux de cadres et dialectique outil-objet, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol.7 n°2, pp. 5-31, éd. La Pensée Sauvage, Grenoble.

•  Rouchier A. (1991) Étude de la conceptualisation dans le système didactique en mathématiques et informatique élémentaires: proportionnalité, structures itéro-récursives, institutionnalisation, Thèse d'état, Université d'Orléans, UFR : Sciences Fondamentales et Appliquées, Orléans

•  Margolinas C. (1993) De l'importance du vrai et du faux dans la classe de mathématiques, Grenoble : La Pensée Sauvage Editions.

•  Vergnaud G. (1981) Quelques orientations théoriques et méthodologiques des recherches françaises en didactique des mathématiques, Recherches en Didactique des Mathématiques, vol.2 n°2, pp. 215-231.

Les équations quadratiques •  Le 2d degré chez les babyloniens de 1800 à 300 avant JC

•  « Trouver les dimensions d'un rectangle d'aire 96 et dont le demi-périmètre est 20 » –  Résolution en suivant les instructions du scribe : diviser par 2 le demi périmètre 20:2=10, élever au

carré 102=100, retrancher l'aire donnée 96 à 100 100-96=4, extraire la racine carrée : 2, la longueur est 10+2=12 ; la largeur est 10-2=8

–  Il s'agit de mathématiques •  rhétoriques : problèmes spécifiés en langage courant •  numériques : calculs faits sur des exemples précis •  algorithmiques : description des procédures de résolution pour obtenir le résultat

•  Calculer avec une inconnue : Diophante, Alexandrie IIIe siècle après JC –  « Les Arithmétiques » : Représentation de l'inconnue « l'arithme », Utilisation d'une notation

algébrique syncopée (symbole pour les carrés et les cubes) –  Problèmes formulés en termes généraux : « Trouver deux nombres connaissant leur somme et leur

produit » –  Résolution sur un exemple numérique

•  Les mathématiciens arabes et la pensée algébrique Al-Khwarizmi (~780-~850) –  « Hisab al-jabr w'al muqâbalah » livre du calcul par restauration et réduction –  Classification des équations quadratiques : Etude des équations pour elles-mêmes,

dissociées des problèmes concrets

Retour à la diapo « Usages du savoir »

Les imaginaires •  Méthode de Tartaglia-Cardan pour résoudre les équations de d°3, 16ème siècle •  Les calculs impossibles z3=15z+4 :

–  une racine réelle évidente 4 mais une méthode qui passe par un discriminant négatif : on cherche les racines u3 et v3 solutions de x2-4x+125=0 dont le discriminant est Δ = -4x121

•  Bombelli surmonte la difficulté en proposant un calcul sur les nombres imaginaires : et trouve d'où z = u+v = 4.

•  Les nombres imaginaires sont nés, comme outils pour résoudre les équations •  Les nombres complexes deviennent objet d'étude au 18ème siècle avec Moivre, Euler,

Wessel…

Retour à la diapo « Usages du savoir »