30

thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ������ � ����� ������ ������

��� ��� ����������� ���������

�� ����� ����

���� ������ ��� ���� � ��� �� ��� ���� ��������

��������� ��� � ��� �� ������ ��� ���������� ��!�"� �# ��� ��!� �#"����! � �����"�� �� � $% �&���" �"�'���� ����� "�� ��&& �� � () *��"�+� ���� !������� � ��� �����

�� &�, ���� � - �)!) �! � � ./ ���! !�&+��,

� �"�$&� ��!�� $% ��"0��! ��� ��%&�" �(123�) ��"���" �"�/ '� !��'���� #�" ��% � � -/ ��� 4��!��"5 �� ��!��� �# ��� !�� �# 6��"#���&% ����0�����!7 � #�" '���� &� ��� � ��� �����

�� &�, ���� 8 �/ �! �& �!� !�"�&%-��9 ���! �! ��� ��""��� !��&��, �� �$���� � �����,���"��� 6 �&��#"����&!����"� 7 #�" �"�'���� ���������� ��!�"� �� ��� �&���) ��� �"��#!"�&% �� � : �&��!��&� "�;�� ���< �# ��� !����� � ��� �����) �! ����!�=����� �# ��" "�!�&�! �� �"�'���� �����/ '� �"�+� � ���>����"��$��� !� �&� "���� '�&0 �� �� ��� �� �"�?�! ��� ��%&�" �(1@.�A ����� $�" �# +�!��! �� ��� �!� #"�=����&% +�!���� &������ !��� �� ��� ;"!� �!���! �# ��� '�&0/ �! �!% ������ �� �&�, �����) *� �&!� ����" ��� �����""�!������, 6��!�"��� �&��#"����& !����"� 7A ��" . � � � (��/ ����� $�" �# �����! +�!���� �"� ���� ��&�, ��� �� �! �� ��� ;"!� � !���!�# ��� '�&0/ �! ����������)

�� ������������

����� ���� ��� �� �� �� ������ ������ ��� � ������� ����� �������� �� ���� �� ��� ��� ���� ��� �� �� �� � ����� �� ��� ������� � ����� �� �� �� ��� � ��� ������ �� ����� � � ������ �! "����! ������ ����� ��� �� ���� �� � �� ���� �� �� ��� � �� �# ��$���� ����� ��� �� �� ������ %&� �'����( ���"� � ��

)�� ��� ��!

���� ��

��� ���� ��� ��

���� ��

��� ���� �

����� ������

�� *��+�*���� � �� � � ����� �$�� �� �,��� ��� ��� � � ��������*��! ��������� � � "���� �! � � ����� � *����-� �� ���'� ������ � ��� � �"���� ������ �� � � ����� ��� �"����� � � ��*�� ���� �! � � ������ � �� ��.������ *��+�*���� �� ,���� �� � � ���� �� /0�"0�1 %��� 2�*.

���� ���3( ��� �� � � ��� �! ��� ������ �� � � ���� �� ����� ���� ��������"� ����� �� � � ������ ������ 4 �� ���� ���� �� ��������� ���

����A ��"�& (3/ (111) ��+�!�� ��+� $�" -(/ (111���!��"�� ��"���&&% !����"��� $% � � ,"��� B�� C13.DEE-C..-)���!��"�� ��"���&&% !����"��� $% � � ,"��� B�� C12.FE13)���!��"�� !����"���/ �� ��"�/ $% ,"���! #"� ��� � � ��� #"� � GCG������! "�!��"�� '�! !����"��� �� ��"� $% � C�!"��& � � ,"���)

Page 2: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

� ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

����� ��� ������� �! � � �� ��.������ *��+�*���� �� � � !���������� ��5����� �� ������ ���6&� �! �� ������� ������� �� � � ��$���� �**���.���� ������ � �� ������ 7������� ������ ���� !�� ���� ����� *�� ��� �� �* �! � �"�� �� ��� 5����� �� ������ ��� ������� ����� �� ��������� ��� � ����� �! ) ������� � ��� �� *��+�*���� �� %�&� 8��+�*����3�)( � �� � � ����� ���� � ����9� � � ����� �� ���"� � � *��+�*���� �! 5����� �� ������ � ���� �!

� �� � �! � � -�� �����!��*��� ���*���� �! 7������� �**������� �������� � ����! � ��� �� � :�����*��� ��-������; �! � � *���*�� �*�� ��.���� ��� � < ��*� � � �*�� ������ ��� � � �* � �� ��� �� ������ ������������ �� �����"� � �� ��� ��-������ ���� �"� !��� �� �����*������� �� �� ������� � ��� � � ��� �� �*�� ������ ��� � ����� ��� �� �� � *�����������=� � �� ������ � � �� ��.������ *��+�*���� �� ��� ���� �����$���.

����� 9� �� � � � ���"����� � �� � � � ���-*��*� �! � � >���0�.?�+��.���0� � %��( ���� �����$������� � ������ �� � ��� ����� ����������$������ �� ����� � %�(< ������� �����$������� ��� ��� ��� ���� �������� � � �� ��.������ *��+�*���� !��� ��� 7������� ������ ������4�� �� � � ���� �! ��� ���� � �� � � 7������� ������ ������ ��

-�� ���� ��� ����� !�� ����� ��� �� ����� 4 �������1����� �� � *�� �!������ ��� �� ���� � ���� �� ���"�� �� 2�*���� @�

������� ���� �� � #��

���� ���� ��� ������ �� � �� ��� ������ �� ���� �� ����� �� ����� �� �� � �� � ����� � ���� ���������

������

� ����� ���

#�

�� ���� ����3�

��� ��� � � ��� ���(�

������

������ ��

�� �# �� �� �������'�

������� ��� �������� ��� ���� �� �� � � ���� ���������� � ��

��� �����

������

�� �������

#�

3�������)�

� � ��� ������� �! � � � ����� �����"� �� ������� �! /0�"0�1 %���� ����� 33�6(� �� �� � �� � � A!�"������ �����B !�� ������ �������� �� ���� �� ���� �� ��� ������ � ��*��� ���� � � ���� ��� �! � ����� ��� � ������ ��* *����< � � ������� �������� !�� ����� ��� ������ �� � � *������� �� � ����.����� ����� �! 7� �� C��� %�(�D�$�� �� *����*� ��� �-������ ��� � �� ���� ��� 7������� ������

������ ��� ��� 7���� ��������� !��*���� !��� � � � � � �� ���� �����

Page 3: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� �

�� ��� �� � ������� �����

��� ��� #

� �

���� �� ��

!�� ��� 7���� �� � � ���� � ��� ���� ���� �� ����� � � ���� �* ����� �! �� �� � *������ �� �� �� ������� ����� ������ 7������� ����������� �� � � ������ E�� F� # ��!�� � ���� # ��� =� ����� ����� !�� � �G�� ��H ������� �! � �� ��I�� ����� !�� ������ 7������� ������ !�����< � � -�� ��� �� *��+�*.

���� �� 5����� �� ������ %�&(�

������� ����

������

������

��� ����� ���

����� �

�� # 3 � �������@�

G��� ��� ��� �����*� F� �� ��� ����������* � � � � < � � � � �!��� �� � �* � � ������� �� ���� � %�&� 8��+�*���� 3�)(� � � � ����� ��� �� *������ ��� � � *���*�� ����� �! /��� %�6� � ����� �(�

��� �����

��� ����� ���

�� �� �� �� �� ��

��

#�

3���������

� ����� ��3 � �� �����*����� �� � � ������� �! ��*�����*��� � � �����! ������ 7������� ������ !��� � � �**������� ������ ���+�*�� �� �� ���< �� 5������� �� �� %��(�/�*��� � �� !�� ����� ��� 7������� ��� �� � � �������� GJ�� �� �$��.

����

����������� � �� �# ������

�� ��� ����� ���

�� ����&�

���� � � "���� 3 !�� � ����� � �� � � ���� ������ � � � � F��� G��*�� �

�$������ �� %'(� ��� �� �����!��*��� ������ ��� �� ��-�� �� �� �� ��*������ � � ���*��� K�*������� �! 7������� �**������� ������ �� ������� ��� �������� ������� ��*����� G���"��� � � ������ ��* *����*������,���� !�� ������ �� ������ 7������� ������ ��� �H������ � � ��$�� ����� �*���� � � �����!��*��� ���*���� �! ������ �**������� �������

������� �� � !�� ��� � � 3�

���� � ���� �� � ���

���

��� ����� ���

����� �

�� # ��# 3� � �������6�

"����� �� �

���� � � � F� � ���

���

��� ������ ���

����� �

�� # ��# �� ��3 ���������

Page 4: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

� ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

# ��

����� �

��� �����

��� ����� ���

����� �

�� # 3 ����������

��!�"#�

=� *��� � ����� � � ���� �� �� � � 7������� ��� � ��� � � ��� ������ �! � � �� � � �� *��� ��� �� ���6� !�� ��� � � �< ����������� � � � *���� � ������� � � �� �! �� � �� � � �� *��� ��� �� �����!�� ��� � � ��

5�� �� �! ������ ���-*��*� � �� � � ������*�� ����� �� � � � �.���� ���"�� ��� � � ��� � � �� � ��� ����! ���� �� � � �������! � �*� ����� �� � � ����� �� � � *������ ��� � � ������ *���9� ��� �� � %'( �! � �*� ����� !�� ������ 7������� ������� � ������� �� ����� �� � *������ ��*���1����� � ��������� � � ���� �!�� �� � � �� �"� � � ����� �**������� ������ �**������� ����! � � ������ �� � ��� ���� �����"�� ��! ���� �� ��� ��� �� ���!�� ��� ��< � � ��*���1����� �� ��� �� �� � � ������ *��� � ���� � ���� �! �� �� � ��� ������ �**������� ������ �**������� � ������� �� � ��*��*���* ���� �����"�� ��! ���� ����� � �� �� !����� � � ��� ����� � � ���� �����"��� � � 7������� �����*�� �����$*����� �! ��������� ��� ���� *��� �� � � �� �$*����� *�������������� ���� ��*� ������� �**������� ������ �! ��� �� ����� �*< �� ��� � � ���� ��*� � � � *��$ �! ��� �����

7� 7������� *����� !�� ��� ����������* � � � �� � � �� ���� ���� F� *�� �� �����*� �� ���� �� �� F�� # ��!�� � ���� # ��� ��� ���* ���� � � *��*����� �! � ����� ��'� 2��������� ��� ��� �����*� ����� �� �� � � �������� �! � � � ������ !�� ��� ����������* � ��

��� ��� � �� ������ � � � � F�� �� � ���� ���� � ��� ����� ��� # ��

G��*�� � � �,��"����*� �! ���6� �� ����� � � ���*� *���,���*� �!� � ������� ������� ���� ��$ �������� �! 7������� ������� �� ��>��!��� %�( ��� ���� %�&� �,�� �����(��

� � ����! �! ��� � ����� ���� ��� �� � ��

���� � ���� �� � ��� ��

���

��� ����� ���

����� �

�� # ��# 3� � ���� �������

��

���� � ���� �� � ��� ��!

���

��� ����� ���

����� �

�� # ��# 3� � ��������3�

� � � �� *������ �� � � �������� !�� �������� 7������� ������� %'(�� ��� � � ��� �� �� ��� ��! ����� ������� �� ������ �� ����3���,���� �H����� *�����=� *��� � ����� � � ���� �� �� � � 7������� ��� � ��� � ����� �! � �

Page 5: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� �

�� � � �� *��� ��� �� ������ !�� ��� � � �� �� � ������ � ��� ������ �! � � �� � � �� *��� ��� �� ����3� !�� ��� � � ��

2�������� �� ���� �� � ��

���� � ���� �� � ��� ��

���

��� ����� ���

����� �

�� � ��# 3� � ���� �����'�

��

���� � ���� �� � ��� ��!

���

��� ����� ���

����� �

�� � ��# 3� � ��������)�

4 �� � � *�� �! ������ 7������� ������� �� �"� � � !������� ��������! � � *���� �����.!��*��� ��*�����

������� ��$� !�� � � � 3�

������

������� � ��� ����� ��� � ������ ����

�� �# � � ����

� � ���* ������* �! � � ������ � �* �� ��*� �� /��� %�6(� � �� *��.���� �**������� ���� ��� �$*����� ������� *��*�����* �*� � � ���.��� �! �$*����� ������� �* *������ �� � � �*� ����� � � ����� � ��� � �**������� ���� ���� ��*������ �� *��*������� ���� � ��� *�� ����������� �"�� � � �$*����� *���� ��� E���� '���� 2�*���� 3 ���"� � ������ ����� � �* ���� �� ��!�� �� �$������� � � ���� ������� �$*������� �**������� ����� � � ����� � � �� �� �� ������ � � ����� ���� �� � ����� ��3 �� ��'� 9� 2�*���� ' �� �$����� �� �� ������ � � �����.�� ����� ���� � ���"�� ��* ��*�� ����� �� ����� � �* ��� ���"�� ������� �*����� � � ��� � �� �� � � ����! �! � � ����� ���� � � �� *������ �$.*����� �� ���� *��� ������������� ��� �� �� � :�����*��� ��-������;�! � � *���*�� �*�� ������ ��� � � � � � ������ �� ��* ��,�� !�������������� �� ����� �� �����*���� � � ������ �! -��.���� ���*��������� E��� �� 5������� %�3(� � � �����$����� ���� ���*���� � �� �� ���.���*����� �� ���� �� *��� ���� �* �! � � ��� �� �� � ����� �H�����*����� �� "����� �< !�� -$� *����� �� �� �� A���B �� �� � ��� � ��.���� ��* *���� � � �* ���� �� �� ���� �� ��� ��� �� ����.������� ��!� �� ��� ��� �� ����� *���*� � ��! � �� ��� ����9� 2�*���� ) �� ���"� � ����� ��) �� � � *���� �����!��*��� ��*�����

� ��� �� 2�*���� @ �� ���"� � ����� @�� ��� �� �����*����� � � �� ��.������*��+�*������ 2�*���� �.� ������ � � ��* ��*�� ����� �� �� 2�*���� '�8��������� �� ���� ������� ��� *����*�� �� � � -��� �*�����

3� ����� ���� � ������ ��� ����� �����

� � !������� ����� ����� ���� �� �� ������� ��� � ��� ��� � ��*����� -$ � � �� � ��� ��� F # ��!�� � � � ���� # ���� �� �-��

F! #

� ��

�������� ������ �

Page 6: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

! ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

����! ���� !�� ���� # ���

��� �F!����� # ��������� � ��� �� � �� � ����3���

!�� � " � ��

��� �F!�����

� � "L%��������� M�

3(� ��3�3�

��� ���$ ���� ��� � � # � ���� �%��������� M

�� (�

��� ����� � � ��� #���%��������� M

3(��� ��3�'�

����% �% ����! ���& 7� 7������� *����� �� ��� �� ��� ������� ��� �� �! ��������� � �� �� # �� ��� �� �� ��� �������� $��F!� #%����� � � !��*���� �! ��� ����� ��� %��� ���!����

�� �%

�� M ���%�� # �����

%���� # � ��3�)�

!�� � � %�� ��(� 2��"�� !�� �3�)�� ��� -� � ��

%��� #

� ���� M �

� M �� �� � � � ��� �� � �� � � �� � � � � �

�3�@�

���"�� �3���� 2��*� %��� � ��M�� ��� �� �"� �� � � ���� ?����" ��������

� ��

��� �F!�� # "L���

�������������

����

������ �������� � � � ���

# "L���

���������������

������

������ �����%������������ � � � �����

� "��

3M �� ����

�� �F!���� �

���"�� �3�3� �� �� �*���� �� "� � � ���� �3�'� � �� !����� �� � � ��������� �$������ �! ���� �

=� ��$� ���"� � � � ��,���� ����� ���� �� � ����� ��3 �� ��'�D������ ��� � � ��������

�� ��� #�� � ���� �� � ��� ��

���

��� ����� ���

����� �

�� � ����3���

�� ���� �� � �� !�� ��� � � ��� 3(�

����� ���� � 3� � � ���� ��3�&�

��

��� �����

����� �

��� ����� ���

����� �

�� � 3 � �����3�6�

����� � �� �3�6� ���"� � � � ����� ���� ��� !�� ��������

Page 7: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� "

2�� &��� # ��� �� ��� �� '��� �� �# ��� ����� ����&����

��$ Æ � � ���� ���� �Æ � ��33 ���� ��� �� * ��� � �,���*� N�� �� �� �� �* � ��� � �� N�� � ��� ��

&�N��#�� # ��� �&�N�����3���

������� � �� N�� � �������� �*����� �� �� 2��*�� !�� N��#� � � � N�� �� �"�

'��� N��� #&�N��#��

&�N���

��� ����� N����

&�N��#��� ��� �'��� �� ��3����

�� � ��� �� �� � �� !�� ��� � � ��

�� ��� � �� �# �� � ���� ����� ��� ��

���'��� N��� � ��� ����

E�� ��� � ( # �� � � � � F)��� ����� � ��$���� *����*���� �! ����� �� ���� ���* � �� ��!� �� ��� � ��� � ÆN��� E�� F�� # ��!�� � ���� # 3� �� �� �� � ��� �! � � ( � F)�� �* � ��

��� ����� � �� M �N���� � ��� 3��&�N�����3����

4������ �3�'� !�� �� # �� M �N��� �� # 3 �� # # �� M ������� �� �� N��� ��

!����� �� 8 ���* �H; ���,������ � ��

������������ �� M Æ�N���� � ��� 3Æ��&�N���� � * N� �����Æ �� �

!�� ��� * # *�Æ� � � ��� �Æ*������ ���� � �� ��� � � ���� ��� D���� �� !�� ��� � � ���� �� �� �� � � �

����� ����� ��� � �� � ������������� ��� � �� �

� �� !�� ��� �Æ*������ ���� �� ��� ( �� � � ��

��( � ��� � * N� �����Æ �� ��3��3�

������� � ��

� ��� � � *� N� �����Æ ���� ��3��'�

E�� ���� # ����� ÆN���� ��� ��� � � ���� �� � ��� �$�� ( � ��� � � � � F)���* � �� � � ����� ��*� ���� N��� � ����� �� M Æ�N���� 8���,����������� ����� ���� !��� � *�"�� �! �� �� �� �! ��$���� ������� 3ÆN�����$ � � ��� 3(� 2��*� ���� �"� ������� 3ÆN��� �� !����� !��� �3��3� � �� !��� # 3� �� � ��Æ�� � ��

�����

�����

������� � *� �3����

���

N� �� � �

� ����

���

�����

������� � -���� ��� ������� � �� ������ � � ���

����� Æ � *������� � � ����! �! � � ����� ���� �3�&��

Page 8: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

$ ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

������ �� ���"� �3�6�� �� � # �3 M ���� � ��� ����� � �� �� �3��'�

�����

������ � �� ������

� ��� � � *������

N� � � �

7� 7����.8�������� �� !����� � �� ����� ������ �� � ����� !�� ��� � � ���+��� ��� ���+� �� 7� �3���� �� � �� �"�

����%������

����� �

��� ����� ���

����� �

�� � � �

�� �3�6� !����� �� ����� Æ ��

'� ����� �����

��$�� � � 3� * � � �� Æ � �� ��� F�� # F����� # ��!�� � ���� # *��

O� # O���� �# �� � ���� *� � ������

��������� ���

����� �

�� # �� �

�� �� �# �� � ���O����� � 3� �� ��9� "��� �! � � ����� �! 2�*���� 3� �� ���� ������ � ����� ��' �� ������.

����)� ��*� �� �� � �� ����� # � !�� ��� � � 3 �� Æ � �� ?����"���� �� � � ���,������

��� ��!���

����� �

��� ����� ���

����� �

�� � ����� �

��� ��!���

��� ����� ���

����� �

�������� � �� !�� ��� , � ��

��� ��!���

����� �

��� ����� ���

����� �

�� � 3��� ,� � ����

9� "��� �! �3�6�� � �� ����� ���� ������ � ����� ��3�� � ���� �! � � �*���� ���� �� � �*��� �� ���� � �� ����� � ��

4���� � � !�� � � ������� ��� � �� � �� � � ������ ����� # ��=�� ��� �# *������ �� �"� � �� *

�F����� # ��!�*�� � �*������� # �� # F������� ��*�

��

�� ����� ��� #

� ����

�����

����� �� #� ����

������������� ��

#�

*�

� ������

����������� �� #

*��������*�� *����

8���,������� O���� # *O������ � 7������� *���� ������ � �� - # �����

� �� ���� ��� �! * � �� E��

� �# ��� �����

���� �

Page 9: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� &

� � �� ���� � -� 2��*� �� � ���� �� F���� �� � � 7������ �� � � � ���

���� � � �� ���� � ��� ��� � �� - � � ���� ���� # �� =� ���� ������������� � �� � � �"��� �� ��� ��������� ��*����� �� *� ����

�� � � � * ���� � ��� # � ��'���

� �� ��� � ��� � ��������� � ���� # �� � � �� ��� ����� # ��

�� �� �'���� ����"� � �� !�� � � *�

O���� � ��� � F�� � � � F��� � O���� �

G��*�� ��� ���# ���� � � � � � F�����

���� � ��� � ��� ���O����� �# ���O���� � ��� � F�� � � � F���� ����� �

4������ � � ���� ?����" �������� �� ���� F�� �� ����"�� � �� � � ��O���� � ��� �������*� �� � � ������ �'��� � � *���,���*� �! � ������!�*��

#�� �%� � ���� ��� ��� � � ����

���� � %�(� # ����� �����'�3�

��� %�( �# ��� � � � �� � �� ���$ �� � ���� &������� ������ � ������� ��� �%� �������� "���!� �'�3�� ����� � �� ����� � �� � �� � ��� �$�� � �������

������ . �� �� ���� � �����"� -���� ������ �* � �� .�/� � � ���/��

!�� ��� ���� /< �� %6� ��� �'�(� 2��*� � �� ��� �� ������ ������;� ����� ���� � ��

��.�%�(�� # �

�����'( �.��� #

���� � %�(� �.��� # � �

� � . � ��� *����� �� �� � %�(�� � ��*� ���� � %�(� � � ��� � � ���"��'�3��9� � � ���� ������ �� �� � �� ����� � �� =� ���� �� *�����*��� �

���� �! O�� � � G�� ��H ������� �! � �* � ����� �� ���� ������ ��� � �� � -$ �� # ��6 �� � � ,���� # %��� 3��(

� � ���� ��� D��� � �� !����� � � �� � � � ��� ��� � �� ���� ��� �� � � ���� ��3� � ���� �� ����� 3�� E�� �� # ���"L�

�� # �� ���� 0

��� ��� � � � " � 3 �� 1 � �� ���2�� �1� ����� � � ������ �! �$*����� !��� 3���� ����� �� 3���� ��� �����

�� ����� 3���� 1�� 2�� �� # '�"� �� "� =� ���� �� � �� � ����� � � �'�(��%�)* �!

�� � " � 2�� ���3� � 2�

� �3� � �� M " � �" # 3� � � � � ���'�'�

��� � � 3 �� ��������� ���� �� # �����3���� # ���)�

���� 0

! ���.�"�������� ,���� �! � � ���� 3�� # 3�����L�

�� � �* �� ����� ����� 4� < 4 # �� � � � ��� ��� ���� ������ � � *����� �! ��* ��� 4�� E��5 ��� 4� < 4 # �� � � � ��� �� � � �,���*� �! ��� �� "������� �-�� ��

5 ��� 4� # � �! ���� � �.���!�*�

Page 10: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�� ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

�� 5 ��� 4� # � �� ������ 2�� 6��� # 7 �5 ��� 4� # �� # $�5 ��� 4��� ��-��

�� #�

�)� ���� ��

��� 4���'�)�

8� #����

�� ��'�@�

��

8 # 8 �+� #��

8���'���

D��� � �� ��* � � 8 � � � ����� �! � �,���*� ���� �* � �� �� � �.���!�*�� 2��*�

����� �� ��� ���� � ���� �� � ����� �M ��� ����!�� � � 8 � ������� � � ��$� ����� ��� �� ���"�� �� 2�*���� ��� !�� � ��.���!�*� ����� �� �� ��� � � *��������� �! � �� ��� �� ��� �� *��*�� �� �� 8 � O��

����! ��� ��� %�� � ��� # ��� +�� � ��� � � ���� ��� � 9 ���� � � � �� � � ����� � ���

�� ��� � ��� ����� ���

����� ���� �M ���� �� � ����'�&�

�� *������� � � ����! � �� ����� � � �� � � �Æ*� �� �� � ��

�� ���8 � � 3� �� � � ���'�6�

!�� ��� � � 3 �� Æ � �� ��$�� � � 3 �� Æ � � �* � �� & �# 3���Æ � ���� ������ �'�6� �� -� �� � �� � �! �����"� ������������ �* � �� !����� + � � �� *�� -� � ���.1��� ��� �� ������ 1 ������� �� 8 �+���� -���� &.������ � ��� � � &.����� �! � ������ . � �-�� �

�!�.� #� �

��� ���! �.��� �.����'���

��� ��� %�'� � ����� 6�&(�� � � ������ 1 # 1 ��� �� *�����*�� � ����� ����� �! ������ .�� � ��� .� # .�� !�� � � 3 � � � ��� �� ������������� �� �� � 8� � �� ����� ��� ����*� �� E����� ������ �

���� #

"�����

6�������� ���� �� ����#���� �

D��� � ��

� �.���� #

"�����

6�����7 �5 ��� 4� # ���3���

� # �����'����

I���"� � �� �! � � � �.���!�*� � �� � � ������ 2�� �! �$*�����

!��� 3���� ����� �� 3���� ��� ����� �� F� � ��� ������� �� � " �� �� M "�= ���� �� � � � �������� � �� ��� �� E���� '��� � � �� �! � ������

Page 11: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� ��

���� ������ �� � � �.*��*�����* �� �� � � �-������ �! 2�� �1� �����-�

� � ��� �! �������� -�� �� �*�� ������ �! 5 ��� 4�� � �� ��������������1� �� � � ��$� ������ ��� � ���*� *���,���*� �! E���� &�� �� 6���

����! ��� �� 0�4� (� # ����9 � ������� ��� � ������� ��� # �� � ����� %�� � � � � � ���� ��� � � � 3� 4�

6��� � :� �# ��!��#

��� � ����� �� � ��#�� ��'����

���� ��� � � ��� 4 �# (�

��5 ��� 4�5 ��� (�� � :���������� ������ ��'��3�

!��������� :� � *6��� ��� �� * � � ��� � � � 3 ��� 4�

9� � � �,���� �� ��� ;� ����� �����* -���� *������ � �� ��� �� ����. ��� �! �� � � �-������ �! 0�4� (� � 3 ������ � ��

3������ � ����� � ����� � 3������ ����'��'�

/�*��� � �� � ��� ��� �� ��� ;�������

��� # ;�0

!��� ���� ����� ���� �� � � ���� �!

�� �� 3���� *������ �� ����� ����� ����!��� 0�4� 4� �# �� � � ��� ���������! E���� '�3 �� � �� �'��3� �� ��� �� � ��������*���"� !�*���� ���� �� 4 # (� � �� �� !����� !��� E���� '�3 � ��

���.����

��

#

"�������

6�����6

�����$�5 ��� 4�5 ��� (���3���

� ;�

"�������

����������� ������ � ;�

�����

0!������� ��'��)�

� � ���� � �,���*� ���*��� � �� � � ��� 4������ � � 5����.P���� ���,������ ��� %6� ��� 6(�� �'���� �� �'��)� ���� �� �������� � �� !����� � � �� < � �

����� � .��� � �� � 3< � �� ����'��@�

2��������� !�� & # 3� �� Æ � ��� 3��

� ��!�.��� � ;�

"�������

� �5 ��� 4�5 ��� (��

6���6���

�#����

�#����

��� ���! �� ��

� ;�

"�������

�������!����� ������ � ;�

�����

0!���!����� ��'����

� � ���� � �,���*�� � � �� *�� -� � � �* � ��

���!�.�� � �� � �� < � �� ����'��&�

8������ ��� �'��@� � � �� � ��

����� � .��� � �� �!�.�� � �� � < � �� ����'��6�

Page 12: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�� ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

E�� �� # �+ � ��� � .��� � �� �!�.�� � �� �� �� � # ��� ��� ��� � ����'��6� ������ � ��

���� � < � ���'����

��$�� + � � � ��� �$�� � ���,���*� �� � �* � �� + � ��� !�� ��� "���� �� � � ����� ���*��������� �! �!���� � � �� �! ���.�����"� ������. �� �* � �� .�� � %�� ���( �� �!�.� � � � *����*� ��� ����*��� ���� *��"����*�� � �� !�� + � �� � � �,���*� .�� # .��� � ������ ��� ���� ����� 1 � �* � � -���� ������ ������� �� 8 �+�� �"�������"� �� �� -���� &.������ � � *������� � � ����! �! �'�6�� ��*�� �� ����� � ��

)� ��� ���� � ������������ �������

����% �% ������� ��$& ��$ � � ��� 3� �� ���

;��� �� # �� � ��� ����� ��� � ������ ���� �=�� N�� � �� �3���� � � ���� �3��'� ���� !�� ��� *� # *��� � �� ��� , � ��

������;�N��� ��� � N�$�� � *�� ��� �N���$� � *�N������Æ ��$� �

� � 7����.8������� ����� �� �3���� � �� ����� � ��

��� ��!���

������;��� ���� � ���

�� �� ���� ��� � ����

����� Æ � � � �� ���� � � *��*�����

��� ��!���

������;��� ����� �

� � � ����

������ �� � *������������ ����� ���� � -$ Æ � � �* � �� ���MÆ�� �3� E�� �Æ # �Æ��� M Æ�� ;Æ # ;����� M Æ�� ��� M Æ��� �� 2��� � �-�������$���� �� �! �� � ;Æ �* � �� ��� � ��� � 3�Æ !�� ��� 4 �# (� D��� � �������� �Æ� � �� � 2���� ��� �+���� �� �! � � ;Æ � �� ���� �Æ� � ;��� ���� ���!����

���Æ �2���� � �������%Æ���� �Æ�� � ����;��� ��� �

=�� ���� # �� �2����� �������� �� � � �� � ��

��� ��!���

���� � 3� ��� �����

������;��� ����� �

��)���

E��

��� ��� # �� � ���� �� � ��� ��!���

��� ����� ���

����� �

�� � �� ��)�3�

��

��� ����� # �� � ���� �� � ��!���

��� ����� ���

����� �

�� � ���

Page 13: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� ��

� � �� ��� ����� ��� �������� �����*����� �� � ��

��� �����#Æ � ���

��� ��������#Æ ��)�'�

!�� ��� �� � �� /�*��� � �� �� �# ������ '�Æ� � �� � 2����� !��� � *�"���! ;Æ� � Q� !������� �� � ��� � *�"�� �! ��� ��&��#Æ �����#Æ � � ��$�� �� ��� !����� !��� �)�'� � �� ������� � � *�"�� �! ��� �����#Æ � �� �� �!��$���� ������� ���� G��*�� � � ,.G�� ��H ������ �! ��� �����#Æ �� -���� !�� ��� , �* � ��

�����

�2������$� #�����

�$�'��� � � �

� �� �� � ���"�� , � ��� ��!��� ����� 8���,������� �� �)���

������ �����#Æ � � � ��� ��!���

���� � 3� ��� �����

������;��� ����� �

��)�)�

����� Æ � � �� ��� ����)� ���� � ��

��� �����

������;��� ����� �

� � � ���� �

� ��� � �� *������� � � ����!�

@� ��� ����� ������� ����������

=� ������ ��� � � �������1����� �! � ����� ��� ���� � �� �� � � ��.��� �*����� /�*��� � �� � ��� �� ���� �� �� � ������� �! � � ��*��������� ��� ������� �� � ������ ������ �! ���

������� +��� �� � #��

���� � �� ������� ������ �� � ���� �������� ���� � � �� ���� ����� � # � ��� � � �� � ��� � 9 � �'��� �� O # � � �� ������� �����% �� �� �� ����� ��� �����* �# 3�� ��O��&�� (����� �� � � ����

����� �#

�����

��#��� �� � ���

��� �� ��%���� � �� # ��$���� ����� � �� ���� �� ���� �� ����� ������� �� �� � �� � ����� � ���� ����� ����

������

� ����� ���

# ���* � ���� ��@���

��� ��� � � ��� ���* (�

������

������ ��

�� �# �� ��* � �����@�3�

Page 14: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�� ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

������� ��� �������� ��� ���� �� �� � � ���� ���������� � ��

��� �����

������

�� �������

#�

3�����@�'�

�D��� � �� !�� ����� ��� �� ���� O # ���� � �* # ���

����% �% ������� +��& =� ���� �� ���"�� � � ����� ����

��� ��!���

� ����� ���

� �

3�� ��O��&�# ���

* � ���� ��@�)�

���� � � *�� �! ����� ��� �� ����� � � ���� ���"� � � �� ��.������ *��.+�*����� � � � ����� ���� � ����� � �� %&� �'����(�� I�� ������* � �� ��� ����� ��' ���� �� ��� � � ���� �����$������� ����� �! %�( �� %��(���$�� Æ � �� �� !����� !��� ���6� � �� ���

��� ��!���

���(� �

��� ���'� ���

��� �� ��� � ���(� �

��� ��!���

��� ���'� ���

��� �� ��� � 3� �3 �

G��*��

������

�� ���(� �

��� ���'� ���

��� �� ��� � 3� � # � �

2��*� ��F� � �� � �� �� !����� � �� !�� ��� F-� � �� �� � � �� ��� � � ���

�� ���(� �

�� ���'� ���

��� �� ��� � 3� � � 'F-� �

9� �����*����� -$ , � � �� ��� �� # �$��&�� � �� !�� ���� ��

�� ���(� �

�� ���'� ����

���� �� ����� 3��� �� � 'F-���@�@�

2��*�� �� E0�"�; �� ��� �! *����������

�������� ��

�������'��(&� � ��� � ��� # � �

�� !����� � �� !�� ���� ��

�� ���(� �

����� �� ���(� ��#Æ ��

����� �� ����� 3�� � ��� � 3F-� ��@���

7� ����� �; %�� � ����� �( ����� ��������� �$������ �! � � >���0�.?�+��.���0� � %��( ���� �����$������� � ������ �� ���� !�� ��* ��*�����*� ������� �� ��������� �� � � ��� ����������� ��*� � � ��

�������

���$

����))) �����&� �

���O��&��� � ��

�# ��

���� � � *�� � ��� � � � �� "���� ����� ��� �� ����� � � �������*�����*���� �! >?� %��( �Æ*�� ��*� ������� � � �$� �� ��)� ��� ���

Page 15: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� ��

"��� � � ��� �� ���� ��� ���. ��������� ����� ��� �� ���� �! ����1� ��

�3�� 8������� � � ���"� ��� �@���� �� !����� � �� !�� ���� ��

�� ��*���

����� ��*����# �*�

����#�Æ ��

����� �� ����� 3�� � ��� � F-���@�&�

� � ������ �! �����*� ����� �� � � ������ �' � �O��&�'��� � ����M3����

� �� � �� �� ��O��&���� M 3������ � �� � � ����� ��� ����*�����

� �� � ��*���

����� ��*����# �*�

����#�Æ ��

�� ��O��&���� M 3������

2��*� � �� ��� # ��� � ,� �� �� �� ��!�� � �� !�� ���� ��

��� �� ���� ����� 3,����� ���

�� M 3���*� � �� F-� �

2��*� � � ��� �! ���� � *������ %�Æ( �+���� ����� �! ���� %���Æ(���� �� ���� ��*� �! ��*������ �� � �*� !�� ���� ���� � � ��

��� �� �

��� �!��� 3,����� ���

�� M 3���*

������ �'���Æ( �

��� Æ����� 3,�����%���Æ(��

�� M 3���*

��'�Æ ( � �� � F-��'�Æ( �

4� �����*����� �! � � 7����.8������� ����� !������ �� ����� � � ����� �� , � *������� � � ����! �! �@�)���� ������ �@���� �� ������ �� "���!� � � ����� ����

��� �����

� ����� ���

� �

�*� ���� ��@�6�

9! ��� � ����$ � ������� � � �� �� �! � � ��*������ ��� ��� ������� �� � *��� �! � ������ ������ �! ��� � �� � � ��*�� 8E� �� 2���1�� %3��2�*���� &� 5�( ������ � ��

�����

�%� # �( � ���

�*� �� ��@���

9� !�*�� ��� ��� �� ������ �*��� �������� �Æ*� �� �� �@����E�� & �# �*� ��� � ��� # �� � ��� ���� 2���1�� %3�� 2�*���� @� 5�( ��!����� � �� ��� �� �! � ������ ������ �* ��� � �* *�� �@��� �� � �� ��� ����� �*� R�� 2���1�� %3�� 2�*���� &� 5�(� �� ��� ��!�� � �� � ��� �$��

� 3� 3 ������ �����$ �� �� � ������ ������ �* ��� �� ���� ���� �� ���

�* � �� �! # ��� !�� ��� � � �� �2�� � � �*���� �� %��� ��� �@�.���(!�� � ������ ��������� 7� � � ������ !������� %3�� 2�*���� @� 5�(� � ��� �$ �! � � ������ ��� �� �� � &< �� � � �� �� �� � � � �� �$ �,���� ���� �� � � *������ ������� �� � � ����! �! %3�� 2�*���� &� 53( �*�"���� �� & *��� �! ���� �� �� � � ����!�������� �! "����� �� � � !�*���

� ������ ������ �� O �� �O � � *�"�����*� �����*� !�� � � ��*������ �!

Page 16: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�! ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

��� �� ����� ����*��"���� 2��*� &O # ��O��� � � ���������� �! O �� �O *���*� �� �� �@��� !������4������ %3� � ����� 6�&�'( !�� � � ������� �,���*� %� # ��� # ���

�� � �*� !��� �@��� � �� !�� ��� ���� ��

���" � %�� ��� � �# �

��

��� ��*

�����@����

7� � � ���� ?����" ���������

�%����� � ���� ���( ���� ��� ��*

���

���+,- � �

� �����Æ �+� +,- �# �����Æ �+� ��@����

G��*��

��� �� � ���� ���� � ����� ��

������

�%�( � %�� "�� � �# �� ����� � ���� ���(

� ������Æ �+� ��@��3�

9! � � ���* � �� �� ����� Æ � � ���� ���� � �� ����� � �� � � �� �.

�� .� � �! �@��3� � ������� �� � � ���,���*� �� # 3�� 7� � � 7����.8������� ����� �� �� �@�6� !�� � � ���,���*�� ��*� �� ������������� !����� ��� � ����! �! �@�3� � "��� ������� ��$ � � 3� , � � �� �� # �$��&��

/�*��� � � �-������ �! 2��� !��� 2�*���� ) !�� Æ � � ���� ���� � � �������� �! � �� �*���� �� � �� !�� ��� F-� � � �� ��� � ���� ���� �

��F� � �� �2����� � ����#Æ

���

�� 'F-� �

I� � � �"��� �� *�� -� �� ��* 2���� � ���� �! �� ���� Æ�����#Æ ���

����� � �� ��� '�� ������� � 7� E0�"�; �� ��� �! *���������� � � ���.�� ��������� ���� �����$������� �! %�� � ����� �( �� � � ����� �������*����� �� ��� ��!�� � �� !�� � # ���3 � �����

* � ��� Æ��,� Æ� � � �* � �� Æ� � � �� Æ , �� �� ��� ���� ��

�%���� �� � ����+���� ( � F-� �

� � ����� ���� !����� �� ����������� � ��� �! ���� � �� �Æ ������! ���� ���Æ ��* � ��� �� ���� ��*� �! ��*������� � � 7����.8������������ �� *��� ���� Æ� , ��� � *������� �� ����� ���� !����� !��� �@��3� �� ?����"; ���,���.

��� �� �� �����*����� �! � � 7����.8������� ����� ���� � � ���,���*������������ !�� ���� ���!��� �������� �� � �� !�� ��� , � �� ���

���� � ���$���

��� � ��&�#$ �

Page 17: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� �"

!�� ��� � ���� ���� � I� � � �� �� �� � � � ���,������ �@���� ������ � ��

��

���*��������

����� � ���� ����� ;����$����Æ �+� �

� �* � ������� �� � � ���,���*� �� # 3� �! ��* � � � 3, �� Æ ����� ���� � 9�"���� � � 7����.8������� ����� �� � � ��������*��� �!� �� ���*�������� ����� �� !����� � �� ���

��� �����

���*�������� �����

��� ���� ��� 3,����

* �

� � �� �@�'� !����� !��� �@�)��

�� ���� ����� ��� �� ���������� ����

/�*��� � �� 2�� ����� � � ������ �! �$*����� !��� 3���� ����� ��

3���� ��� ����� �� F� � ��$�� � � ��� 3� �� �� # '�"� �� " �� *��� � � ,�-�� "�#.))�##%., �! 2�

� � ���"� �� � � � *���� ,�-�� ��(��%�)* �!�� � ����� ".�**�!�� !�� ��� " # 3� � � � �9� /�*��� � �� �! � � � 9.���!�*�� �� ���

�� � " � 2�� � �� M " � �" # 3� � � � �9�

�� ��*� � � ����� 9.���!�*��=�� &��� �# ��� �� ���� � � !������� ����� �"� � � ����� ���� ��

E���� '���

����! /��� ��� %�� � ��� # ��� +�� � ��� � � ���� ��� � 9 ���� � � � �� � � ��� ����� � ���

��� ����&��� � ��� ����� ���� �� � ��������

����% �% ����! /��& E�� � # ���"! �� ��� !� �� � �.��� �! ����� ��

� E��

��� # ����&� � ������ # �����

��&� �

� � ��

��� � �� M �� ������ � ���� � �����3�

=� ���� �� � �� � ����� �� � !� � #.))�##%., �! � ��� ��� �� ���� �� � "�$*����� !��� 3����� ������� �� 3����� ���� ����� �� F�� E��

���� # �����&� � ( # �� �� � � � � '" ���" M ���

�� ��� ����� # �������&�� # ����

��&����&����&� � =� ��� ���"� E���� ���!��� � � !������� ������

����! /��� ��� %�� � ��� # ��� +�� � ��� � � ���� ��� � " ����� � !�� �� �� � � �� ���

��� ��������&������� � ��� ������ �������� �( # �� �� � � � � '" ���" M ������'�

Page 18: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�$ ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

�������������

���������

����

����� ��

��� ���� � �� E���� ��3 �� � �� ��� � � �� ����� �.���!�*�� ������ " � 9 �� *�� -� �� � !� ��� ������ � �� � ��� ���� ��� � ����� ������ ����� ������� � ���� ������ �� ���3� �� ����� �� � � �� � � !�*� � ��� � ����� �.�**�!�� ������ � �� �� � �**�!��� � � ���'� �� ��E���� ��3� I�� ����� * �*� � �� � M ����� � ���� !�� ��� ( �� ��� ���� "�

������� � �� ����� ������ � ���� ������ � �� ���� �� ��� ���'� ��

&������ � �� M ��"��&�������

� �� �� � �� !�� ��� ( # �� �� � � � � '" ���" M ���

��� �������� �'�"��&������ � ��� ����� ������ ����)�

D�� !�� ��� ��#� � � � ��� ��� ( �� �* � �� ����#� � � � ����� � ���

��� ����� ���

&���� ��� ����� ����#���

&������� ��� ����� ����#���

&�����#����� 3�"� ����@�

�� E���� ��� !����� !��� ���)� �� ���@������% �% ����! /��& 2����� � �� �� � !� � �**�!��� � �� � ������ �� ���� ��� # �� � " �$*����� ������� 3����� ���� �� 3����� ��������� ��� ��� � � " � � E�� !����� ����� � � �**������� ������ �!����� ������ � ����� ���� ���� � � 0.� �$*������ D��� � �� � � !����� ������� � ��

7������ �# �

�� ��

�������������� �� � ���� 3� �� "�&�������� �

� � �**�!��

� �

�� �������

!����� � ���� 3� �� "�&�������

�� �

Page 19: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� �&

E��

)� # �������������� # ' �� " � 3�"!�

=�� " ���� ���� � ��� 2������; �����$������� !�� �� �� # �� �� �' �� "L�

���� 3� �� "�� �� ������� � ��� �� �� "�)���� �

G��*��

7������ � �

�� �

���

�������

!�����)��

����

�� �� �� �� "

�� ������

��-�� �!����� �# ����� ,��

���

� � � ��� � ���������� �� E���� 3�� ��� �� # ������

�� # ���� �� # ������� ��"��� � �� !�� ��� " ���� ���� �

� ��!����� � # � � � ��!������ � � �� ����&�

� � ��� ��� �!����� �# �!����� � ���!����� � �� �"�7������ � �

�� �

���

�������

�!����� � ��� �� "�� ����6�

2��*� �!����� � ��� �� !����� � �� !�� ��� � � � � ��

� ���������� � � � M 3��� ��!������ � � � M 3��� � ����

��

����� � # #��� �� "�� � ��� �� �����*����� �! 8 ���* �H; ���,������� �� �� � �� !�� ��� # # #��� � �� ;� � �� ��� �� � !�� "� (

7������ � ;������& +,- � ������

2��*� �!�� � �%�� +,- � !�� ��� ;� � �� ��� "� �� !����� � ��

�����

�� +,-��#� ����

������

7������ � ';�

�����

"��%�� +,- ������& +,- � � �

� � 7����.8������� ����� *������� � � ����! �! E���� ��3�

=� ���� �� � � ����� ���� �� E���� '��� � � �������� ��� � ,���������� �� � � ����� ���� � 4 ����� � � � .((�� "�#.))�##%., �! 2�

� ��� M "� �� � � � .((�� ��(��%�)* �! �� � ����� ".�**�!�� !�� ���" # 3� � � � �9� 2��*� �"��� 9.���!�*� � � � ����� 9.���!�*�� � � !������������ �"� � � ����� ���� �� E���� '���

����! /� � ��� %�� � ��� # ��� +�� � ��� � � ���� ��� � 9 ���� � � � �� � � ���� ����� � ���

��� ����� ��� � ��M ����&���� �� � ���������

Page 20: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�� ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

E�� ���

F��� # �����&� � F������ # �����

�&� �

� � ��

F��� � �� � �� F������ � ���� M ��������

=� ��� �� � �� �� � !� � .�#.))�##%., �! � ��� ��� �� ��� �� M "�$*����� !��� 3����� F������� �� 3����� F���� ����� �� F�� =� *�� ���"� E������' !��� � � !������� ������

����! /�$� ��� %�� � ��� # ��� +�� � ��� � � ���� ��� � " ����� � !�� �� �� � ��� �� ���

��� ������ ������� � ��M ��������&�������� �( # �� � � � � '" ���" M �������3�

D��� � �� ��� �� ���� ( � � �� ����� � �� ����� � F���� 4 ��� � � �����

���� � ����3� ��� � !�� � � � �* � ����� �.���!�*�� ��

��� ����� ������ � ��M ������� M �'�"��&������ �����'�

!�� ��� ( # �� � � � � '" ���" M ��� E���� ��' � �� !����� � ��� � � ��������� � ����� � �� �� ��� �"� ����'� !�� ( # � ��*� ���� # ���������� +,-�� �

2��*� � �� ���� ��� !�� ��� � � � ��� ���� # �� M "� � � ����! �! E������)� �� ������ �� � �� �! E���� ��3� *��� ��� �� ���� ��

�� ��������

�!����� � ����� �� "

�� � �������& +,- �

�$���������

�������

D���� � ��� �� �3�3�� !�� ��� ; �� ��� # � � ���� �� " ���� ���� �

$���������

�# � M

�����

#�

�L$��!������� � � M

�����

#�

�L$��!������ M �

� � � M ;#� �

� � ����! �! E���� ��) ��� !����� � �� � � ����! �! E���� ��3�� � *��*�� � � � ����! �! E���� '���

&� ��� � ������ � ������

��$�� = # '� � �� ��*��� � �� �� # ��6� �� # "������ �� �� # ="� �� "!�� " � 3� /�*��� ��� � �� 2�

� �1� ����� � � ������ �! �$*����� !���3���� ����� �� 3���� ��� ����� �� ��- # ��!�� � � � �� � 3���� 1��� �� � � � *���� �.���!�*� � �� �2�

� ���3� � ��� � " �� �2�� �3� � ��� � "

!�� " # 3� � � � � �� � ��� ��� �� ��� F ��- ����� � � *������� �� ��������� !�� ��������#�� � � �� �� �� �� # ��3� I�� ��$� ����� ���"� � � �

����� ���� �'���� �� ��� � �.���!�*�� � ���� � � ���!��� �!�� � � �*������������ ����� ���� �

Page 21: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� ��

����! 0��� !�� � � � 3 ��� �� � � ��

6� �# ���� � " � 2�

� ���3� � �� M "< 3 � " � �� ���� � ���&��

# ��L��.�� ��&���

������� ��� �� * � � ��� � � � �

6� � ��� � ����� �� � *6� ��&�3�

����% �% ����! 0��� /�*��� � �� �"�������� �� � " � �� �� � ��� �� ���� ��� !�� ��� � � � G��*�� !�� � � �� �� �.���!�*�� ��*�.����� ���� � ���&� ������� ��� � � ����� ���� �� �&�3�� ������ ��� � ����� ���� � *��� �� � � �"��� �F ��� � F ����� � �* �������� � ��2�� �3� # 2�

� ���3� !�� ��� "� 7� � � �� ��� ������� �! � � �"��� *��.� ��� �� � � ���� ?����" �������� �! 7������� ������� � � �"����F ��� � F ����� � �� ���� ��� �! ��� �2�

� ���3�< " � 3� �� � ���� � ���&������ ��F ��� � F ����� # F-� � � �� ���� ��� �! � � "���� �! � � � D��� � ���� ���� � ���&��� !�� � � � � � �������� �*����� !��*���� �! ��� � �� ������"� !�� ��� �* �� ��*� F-� �# ��!��# �� ���� � ���&�� � �� � � ��������� �! �&�3� � � !����� ���� * # F-�F-� � ���8��� �� � � ���� . ��� ?����" * ��� ��� �� ��� �� 3� � � � �� ������ ��

� # �� �"�� � � �� ������� ���� �� � � ��������� ������������ !��" # �� 3� � � �

-� �# 7 �� # " M ����� # "� # �� 7 �� # " � ��� # "�

#�����������

����������#����&�'�

E�� >� # � �� !�� ��* " � 3�

>� #

�����

��/������/����� �

����� � � ������ �! ��������� �! ��� !��� ���� "�� �� ���� "� I���"�� �� -� � �$�*��� � � ����������� � �� � ��� �! �� ������ �� 3���� ��� ���� �� 3���� ��#�� ����� �� ����� 3���� ������ ��� ��� �#�� ��*�� �� � ��� �� �! �$*����� � � ��� ���� ������� � � �� �3���� ���� " � ������� �� ���&�� 7� � � �� ��� ������� �� � � ���� ?����" ���������! 7������� ������� 6� �! �&��� � �� ���� ��� �! � � � ?����"��� -$��� � � *�� ������ ���� � ���� � ���&��� � � ��� �! �2�

� ���3�� " � 3� ��$�*��� � �� �! �>�� " � 3��8�� ������� �� >� # ?� � � �� �"� � � �������������

>�#� #

������

5� ��&�)�

� ��� � � 5� ��� �� ���� ��� � ����*���� �������� ��������*� ��� ��"������� ���

��5� # (� # ��� -��-�� � ( # �� �� 3� � � ��&�@�

Page 22: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�� ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

8���,������� �>�� " � �� � � ?����" * ��� �� �# ��� ��������� �����.�������

��>�#� # 9

��>� # ?M ��#

�9M ?

9

�-�� ��� -��

�#���&���

!�� " � �� 9� ? � � �� ��>�#� # ��>� # �� # � !�� ��� " � 3� =� � � � �*� � ��

6� # � ��� � " � >� � �� M " < 3 � " � ��

#�

������ ���

���������

������

��>�#� # ?�#�

��>� # ?��

�&�&�

�� ��� ?� # ��� � � ������ �! "�*��� �?�� � � � � ?�� *��� ��� �� �&�&� � ������ �L �� �� ��� '��L� 2��*� ��� �� �L� �� !�� ��� ,� � �

����

���"� # ��L�$� �

�� �� � �� � � ������� �&��� �� 6� � � ���*� *���,���*� �! �&�&� �� � ���$� ������

����! 0��� !�� �� ; # ;�=� � ��� � " � 3� �9� ��#�� � " M ���?M �� ��� � "�

;�� "�.�"� �� "

� ��>�#� # 9

��>� # ?M �� � ;

"�.�"� �� "

��&�6�

����% �% ����! 0��� 9� �Æ*� �� *��� �� " " � �� � �* *�� !����&�'��

-� #���"�

���"� M ���" M ��#

3�@�

" �� "� ��&���

�� ��*� ���3" �� � � �������� *��Æ*���� �� �&��� � ���� �����$����� �� 2������; !������

9L #�3�9����

�9�� M A���� �

=�� �� # ="� �� " �� !����� � �� !�� ��� ;� � �� ��� " ���� ���� ��! �9� ��#�� � 3"� �?� ��� � 3" � ��

�9?� �� 3

"� � ;�

" �� "��&����

G����!���� �� �� � � �������� � B �! �B � ���� � �� ���� � ����!��� 1��� � " �� ���!����� �� �9 � �9���#�� � 3"� �� �? � �?���� �3"�� =� � �� �"� �� �&��� �� � � ���*�� �� ����"����� � ��

��>�#� # 9

��>� # ?M �� � �9M ?��#�

�? ?�9�

-�� ��� -��� � �$���?���� � -����

"� �� "�

�&����

Page 23: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� ��

� ���

��#� -� # ��� M #� ���� M #� M # �� #� # �� -� ����� -� �

� � !��*���� ��#� -� �� �� -�� �� �� ������� ���"���"� "��� �� ��� ��3����� � � �*�� ���"���"� ������ ��3� # ��3� � �� �� � ������ �$�������� �*�� �� �� �! ��#� -� �� ��� ��3�� � � ������� �&��� �� �&���� ��������

���9?� -��� �

"�� � ;�

"� �� "�&��3�

!�� ��� ;� �� ��� " ���� ���� �� 9� ? �� � � ���� *��� ��� ����2��*� �?�="� �� "� � 3"� *������� �&���� �� �&��3� �� ������ �&�6��

9� 2�*���� 6 �� *������ � � �*�� ������ �! � � �.���!�*��� ����������� � � �� �� ��� �� *��� �� �$*����� ������� �� *������ �� � � ����� � � �� ������� �� *������ �� � � � � �# �� � � �� ��� ��������� �� �� ���"�� E���� &�� � ��*� ���� � � ��$� E���� �� � ����� ���� �! � � ������ �! �$*������ ��� ��* � ��� � �� �� *�� ������� � *������ .������ �*� � �* *������ ���� ��!�������� � �� +�� � ������� �! �$*����� �� � � ���"��� ��"��� �� �-�� �*� � ��� !� # � �� !��4 # �� 3� � � � ���

!���� # ��!�� � !���� � �� � 3���� ����!�� # ��!�� � !���� � �� � 3���� �������

� �� 2*� ��� # ��$�4 � !���� � *���� ��� ��* ( # �� 3� � � � � 2*

� ��� ���

��� # ���� ��#� � � � � � !���� � !������� � � (;� �$*����� !��� 3���� ����� �� 3���� ��� �� �� ( # � � � �$*��������� �� � � ������� �������� ���

��0�� �� #� # ���

�������

#� � � � � � *�� � !�0�� �� ��

=� ��� C� �# �0 M �� � � � � �� �� ���� �*� �� �� � � .������ ������� ��

� � �$*����� ��� � � � � � ��0�� �� � ��0

�� �� #� �

����! 0� � ��� %�� ;� � � � ���� ��� ��� 3 � 0 � �� �� �9� ���� � 0 ��� � � � �

��2*� ��� # 9�< " � C� �2*

� ��� # 9���*� �

� ;�

������

� �>�#� # 9�#� �>� # 9�� ��&��'�

� � ��� �� � � ����! �! E���� &�' � �� ��������� � �� � � ������ �!7������� �$*����� ��"��"�� *��*�����* �� �! �� �� ��� " � C� ����� ��-�� �$���� � � �� �! �� �� ���� � ����� �� ���� ��� �! � � ������� �� -��� ����� �! � � �"����� �$*����� ������� � � �� �� ���� ��� � � ��$������� ���"�� �� 2�*���� �� ���"� � ���!��� ������� �Æ*���� !�� � �����

Page 24: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�� ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

����! 0�$� !�� 0 � 3 ��� � &������� ���� ������$ �� ' � 3���� ���� �D�� " � C�� ���� �� ����� �� % ����� �� �� ���� ���� 3���� ������� 3���� ���� ����� �� F! # ��!�� � � � �� � 3���� ������� ���� ��� ��* � ��� � �9� � " � C��� ������� � �� < � 3���� ����� ��� ��

�(�D� # 9�� " � C������ # <� � �� M *0����(�D� # 9�� " � C�� �

�&��)�

����% �% ����! 0� � ��$�� 0 � 3 �� � � � ��� D�� � � " � C� �����

� � ������ �! �$*����� !��� 3���� ����� �� 3���� ��� ���� � � (.� �$*����� � �� � � 7������� ��� �� ���� !��� 3���� ��� �� 3���� ������� � ����� ���"����� ������ � �� 9� # �� 8��� ���� ����!��� 9� � ����*� � �� ���� ��� �� �"� � �� *�� ������ ���� �2*

� ��� # 9���

2*� ��� #

������

D�� � " � C� ��&��@�

8�� ������ ���� �*� � � � ��� �� "�*��� �D�� � � " � C�� ��� �� ���� ���

!�� ( # �� 3� � � � �9�� ?����"��� �D�� � � " � C�� � �� � � � *�� �������

��� �! �D�� " � C�� �! E���� &�) !�� ��� ��� �� '� � 3���� ��� ��

<� � 3���� ������ ��� ��������� �� �*� �� '� � � � -��� ����� �! ��� � � �

(.� �$*����� !��� 3���� ����� �� 3���� ��� �� <� � � � ������� ����� �! � �

�( M ��.� �* �$*����� ���#� �� G��*��

��2*� ��� # 9�� " � C�

��2*� ��� # 9���*� �

#���

�����

�( �D�� � # 9

�� � � " � C�

����� � � # <�� �

� ��� � � �� ��� �"�� � � �� #� �! ��� ��������� 9� #���

���9�� � � " � C��

7� � � ���!��� ����� ���� �! �&��)� � � �

����

�����

�� M *0����( �D�� � # 9

�� � � " � C��

# �� M *0�������2*� ��� # 9�� " � C�

��2*� ��� # 9�

��

2��*� 9� # @�0� �� 0� �� � � �� � � ���� �&��'� �� � � ��������������� �� � � ����! �! E���� &���

6� ������ ������ � ������

/�*��� � �� 2�� �1� !�� � � � " � 3� 1 � �� ����� � � ������ �! �$.

*����� !��� 3���� ����� �� 3���� ��� ����� �� ��- �� � �* 2�� ���3� �

2�� ��� � 2�

� �3�� =�� �� # ="� �� " �� ��� ����� 2�� �� �! �2 ���� � "�

/����� ���� � � -�� ������ ������� �! E���� &�� �� &�'� �� ��$������� �� ����� ���� ������ �� � � �*�� ������ �! � � �.���!�*���

Page 25: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� ��

��������� 9� �����*����� � � ���,������ �'��3� � � ���*� *���,���*� �! � ����� �� �&�3��

����! 1��� !�� 6� �� �)�*�� �� �� � � ��� � �� � � � � ������� �� � 3��

� �� ��� � �� ����� � � � 6�� �0L�.#�� ��6���

����% �% ����! 1��� D�*������ 0 � 3� =� ��� �� ��� ���� ��� ����� �! ��������� � �� � � ���� ���� !�� ���� � � � �� ���� ������������ ��� ��� �� �! ��������� � �� ��� �# ���� ��L�.#���� � ��L�.#�

� ��� �*������ �� �Æ*� �� �&��� �� *��� �� ���� 0 � � � 3� 2���������-$�� �� � � � �� ��� �� ��� ���� � � ������� "���� �! 0 �* � ������� � 3��� 9� � � *��� ���� ����3���� ��� # � !�� ��� " �# 0��� ?����"���� � ���� ��3� � ���� �� ������� � �� ���&� � *��� �� � ��*����� � � .

������ �*�#� �-�� ���"� E���� &�'� �2�� ���3�

�� ��� ��� ��������� ���*�#� !�� ��� " �# 0� �� 0� =�� C� �# �0M�� � � � � �� �� �� �# �3� � � � � 0� 3� 0M�� � � � � ��� �� ���� � ��

��� � ��� �.���!�*�� � �2�� ���3�

�� ��� " � �����2*

� ����� ��� " � C�� �

E�� O���� �# �9�� � � � �9� � �9� � ��� � "� " � ��� �� O�C�� �# �9�#�� � � � �9� � �9����� � "� " � C��� � ��� ��� �&��'� �� � � �*�� ���,������ �� � � ������������� �&�&� �! E���� &�� �� � � � �� �

� �� �� � ��� �.���!�*� �

��*�1�

����2*

� ��� # 9�� " � C�#�

��2*�#���� # 9�#���*�#�� <

2�� ���3�

�� ��� " � ��

�� ;�

� �*�1�

������#�

��>�#� # 9�#�

��>� # 9�

� ���2�� ���3�

�� ��� " � ��

� ;�

� �*�1�

������#�

��>�#� # 9�#�

��>� # 9�

� �

�� �

*���

������

��>�#� # 9�#�

��>� # 9�

� �

� ;� 6���

� �*�1�

������#�

��>�#� # 9�#�

��>� # 9�

� ���6�3�

Page 26: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�! ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

�� ��� 9� # �� 6� # 6� �# ��� 7� �&�&� �� � � ���� �! E���� &�3 �� �"� � � ���,�������

6� #�

������ ���

���������

������

��>�#� # 9�#�

��>� # 9�

� 6�#� ��!�������������#�

�*�1���

������#�

��>�#� #9�#�

��>� #9�

�� 6�#�;

�� ���������������#�

�*�1���

������#�

��>�#� # 9�#�

��>� # 9�

�� 6�#�;

���30 M '����*�1�

������#�

��>�#� # 9�#�

��>� # 9�

��

�6�'�

8������� �6�3� �� �6�'�� �� �� � ��

� �� �� � ��� �.���!�*�� � ;�6���

�6�;��30 M '�

6�#�

���

�� �6��� !����� !��� � � ������� �! �&����

�� ����������� ����� ��� ������������

����% �% ����! 0�$& =�� ��� �� �! ��������� �� *�� ���� � # ����$�� 0 � 3 �� ' � 3���� ��� �� �Æ*� �� *��� �� �9�� " � C�� !�� � �* �( �D� # 9�� " � C�� � �� ��$ �* �9�� " � C�� �� � �����"� *��������!��*���� B �� 3���� ������ E�� F! # ��!�� � �� � 3���� ������� !� # � �� !��4 # �� �� � � � �-��

!��#� # ��!�� � !�� � �� � 3���� ��#�� � 3���� ������!��#� # ��!�� � !��#� � �� � 3���� ���� �

2�� ( # 9�#� �� ��� D��� " � C� �� � � *������� �� ������ �! �$*��.

��� �� � � 7������� ��� ����� �� ���� !�� � � ��� �� � � ���� ?����"�������� �� !�� �

�( %B���� �<D� # 9�� " � C�(

# �(���� �B���� �� D�#� # ��<D�

� # 9�� " � C�� F! � !��

��

��

�( �D� # 9�� " � C�� # �(���� �D�#� # ��<D�

� # 9�� " � C�� F! � !��

��

Page 27: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� �"

8���,�������

�( %B���� �<D� # 9�� " � C�(

� �( �D� # 9�� " � C�� ��������

�� �B���� �< D�#� # ��

�� �D�#� # ���

�� � ��� ���� � � ���� ?����" �������� �� ���� !��

�� �B���� �< D�#� # �� # �

� �B���� ��� �� ���� �B���� ��< D�#� � ��

� �� �B���� ��� �

��D�#� � �� ��!�*����

�* �B���� ���

2��*� ���D�#� � �� # -� � ���"�� ��� # ��� *�!� �&�'�� �� � � !����� � ��

�( %B���� �<D� #9�� " � C�(�����

� �( �D� # 9�� " � C��

�� ( �B���� �� ��� -������������� $��B���� ��

��! �*���� $*�B���� ��

� -�

��

/�*��� � ��

�(� B���� � #

�2��������

B�%�)�����%� '���% �

� ��� )��%� '�� # ����(���

�3�(��� � � � ������� ������� � ���!���� �� �� � � G��.

��*� ���,������

�������� $��B���� ��

��!�*���� $*�B���� ��

� ��$��������3������)����

�%� ��

����*������3������)����

�%� ��#

����� M ����

����� � ��������3�

=�� ���� # 0���� �� �� !��� ����� �� ���3� � �� !�� ��� ���"���� *������* ��

�( %B���� �<D� # 9�� " � C�( � �� M *0����( �D� # 9�� " � C��$

( �B���� ��

�� ��*� � � ���� � �� ���� ��� �! B �� ������ �&��)��

��� ���������� ��� �� �� �� �������

�� 9� %'( �� � � ������ ������ �� �����1� 7������� �**������� ���.��� � ��� �� � �$*���������� :� �*�;� �� �*���� *��������� � � �����.!��*��� ���*���� �! � � ������� �� ������ �! :� �� �����; � ��� � �9� %)( �� �� � ��

������

��!��'���(

�� ������ ���

��� �� ��

# � � ����������

=� ��� �� � �� !�� ��� � � ��

���� � ���� �� � ��� ��!���

�� ����� ���

��� �� ��

# �� # 3� 3�� ��������3�

=� *��� � ����� � � ���� �� �� � � 7������� ��� � ���� ����� �! �� �� � � �� *��� ��� �� ������ !�� ��� � � �� 9� *������ �� � �

Page 28: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�$ ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

�������� !�� � �*� ������ � � ����� ������ �� ����3� !�� � �� ����� �� !�� ��� ������� � � 3�

3� � � A�"����B �**������� ������ �! ���� ���� �� ������ 7������������� �� ��*����� ��"������ �� 5� ?J����� %�)(� G� ��� � ���� � �� ����$ ����� �� ���� ��� ��� ����*� �� � � ���!��*���� E��� # �� � �� �

� � ���� ����� ������

������

�� � �� ��� �&4

�� ����� ���

E���

��

�� �� �� # 3 �� �� .����� �"��� ��

'� 8���������� �! E����*� ����!��� � � ��� ������� *�������� �! ���.��!��*��� ������� �� �� ��� ���� �� �������� 7������� ������ %'(E����*� ����!��� ��$��������� ������ �! �**������� ������� ������ �� �������� � � *���� �����!��*��� ��*����� 9� � � ������ ��.��� �� ������� � � *���� ��*���� ���*���� � � � �� ����� � ��*���������� �! �$��������� ������� =� �����"� � ��

������

� �

��$�

�#�� ���F�� ��� ���

� �� ������� #

��

�� #

��

���� �# � ��

����'�

5�������� �� *�� ���� �� � � !�� # � ��3� � � ������ ����� ���� !����� �� �������*��� ������� �! ��� *��� ���"� � ��

��� �����

� �

��$�

�#�� ���F�� ��� ���

� �� ������� � ���� �# � � <����)�

� � :�����; !����� !��� � ����� ��)�)� D�$�� �� �*� ����K� � � ��*��� ������� ������� �! � ��.

��� ��'< *����� ?������ ����@� !�� ��*����� �� ��*��� ��������?������� ������� �� � ��� ��������� � � �� �! *��������� � �*������ ��� ���� �-�� �� �)�3�� � �H����� ��*��� ������� !���� � �� �� ���� �-�� �� �3���� D������ !�� �"��� � � ��� 3(�

��5 ���� ���� # 3� � �����@�

��5 ��� ���� # 3 �������

�� +���!� ����@�� �� �� � � �������� �! 2�*���� 3� � � �� ��� �-�� �� �3����� ���!�

���� � �N��������Æ �������&�

!�� ��� ���� �� �� �3��'� �� 7����.8��������/�*��� � � �* ���� # ����� ÆN��� �-�� �!��� �3��'�� �� �����

�� # ���������� 7� ����&�� � � ����� ?������� ������� �! ��� #������ � �� ��� 3 � �� � ��Æ��� 9� � ��� �� �� � �� ��� ��� �������� � � ��*� ��5 ���� ���� � 3 � �� � ��Æ��� 2��*� Æ *�� ������� ����������� ����� � ��� ��5 ���� ���� � ������ ����� � ����"� ����@��

Page 29: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

����� ����� �� � ���� ������� ���� �&

�� ���"� ������� �� *������ �Æ*� �� *��� �� � # 3� /�*��� � ��F� # ��!�� � ���� # ��� ��� ��* � � �� ���

G� �#�

� � �&�

�� � � � F� �

��� ������ ���

����� �

�� � 3� �����

9� � ��� �� * �*�� ��� �� ������� � ����� ��3 ��� �� ��������� ������*�� F� � ���� �� ��� � � �!� ��"�����*� �! 7������� �������� �� !�� ��� � � �� ����� ����� G� � �� ���� ��� �� �� ��� F��< ��%'� 8��� 3�)(� ��5 ���G�� # � ��� � � ���

� � � � F� � ��� �����

��� ������ ���

����� �

�� � 3������6�

*������ ��G�� � �� � ��*��� ������� �� �������� �� ��� � � ����� �� �� ������ 7������� ������ �! � � �� �� ����6�< ��*� � ����!��� ������ �! ��*��� ������� �� ������ 7������� ��������� %�&� 8��� @�6(� ���� �������

@� 9� � ����� @�� �� ���� � �� � � ��� �� ���� ��*������ �"�-���� ������ �! ��� �� ��� =� ���*� � �� -���� �*�� �������Æ*�� ��� ��� ��� � ���� �"� � � !������� ������

+��� �� �������� �� ����� ,�*� % �� ���� �� ����� ��������� �� �� �� ���� � � �%� �� � ��� � ��� �� �� 9 � 3� � ���

�� ��9

�*� ��� ��!

���� ��

��� ���� ��� ��

���� ��

��� ���� �

�*����������

�� 9� � � ����� �� !�*�� �� 7������� �**������� ������ �� ����.��� ���� � � *����*�� ������� !�� ��*�����*�� I� �� ������� ��� �������� !�� � �* �� �$��*� ������� ����� ��� � � �**������������� �! � � �������* 8��* � ���*� �� � � ����� �� � � ���.+�*�� ������*���� ��*�� ���� !�� �"���� ������ 7������� ������������� �� �* ����� � � * ������� ��������

�)"'�-,�23���'*# =� ��� ����!�� �� G��� >��� !�� ���!�� �*������ �� ��"�� > � ��"��� !�� ����� � � ����"��*� �! ��� ����� ��7������� ������ �� � � �� ��.������ *��+�*�����

!��������

() �) �) ��!! ��� �) ) H"��/ ��� ���� ���� ��� �� ������ ����� ��� �����

������ ����/ �) *��"!��) �"') H�$���� �� �(12E�/ D(3IDF@)-) �) 4) ���,�� / G) �) H�&��� ��� �) �) ���,�&!/ ������� �������/ G� $"��,� ��C+�"!��% �"�!!/ �(123�)

F) �) �� $�/ �) ��"�!/ �) ��!�� ��� �) ��������/ ���� ����� ��� ������ ������������ ����������� ������� �� ��������� �������/ ���) �"�$�$)/ �� �����")

D) �) �� $�/ �) ��"�!/ �) ��!�� ��� �) ��������/ ��� ����� ��� ������ �����/!�$ �����)

E) �) �� $�/ ��� �) ��������/ ����� ������ ��������� ��� ����������� ������

����/ �"��,�"C�"&�,/ ��'C��"0/ �(112�)

Page 30: thick points for planar brownian motion and the erd os-taylor

�� ���� ���� ��� ����� �� ���� ��� �������

@) ) ��� ��&/ !������� �� ������� �� "���#��$ ��%��$ ��� ����#��� �� ��� �������������& �) ��&��+�"���� ���&) �� �(121�/ -.I@2)

3) �) �"�?�! ��� ) �) ��%&�"/ ���� ���'���� ��������� ��� ��������� �� ������ ����

�����/ ���� ��) 4��,) �� �(1@.�/ (F3I(@-)2) �)C�) J�����/ ���� ������ ����� �� ��������� ������ ����/ G� $"��,� ��+�"!��%�"�!!/ �(12E�)

1) �) J��# ��/ (�� �����#��#� ������#� �� �������� '������/ G) �) ����) ��) ��"�!��� �(1@1�/ 3-3I3-2)

(.) �)C�) �� H�&& ��� �) ��!��/ ��� ����� �� ���'�� ������ �����/ ���) �"�$�$) �� �(11(�/@E.I3.E)

(() �) J� &K�!/ �) ��>�" ��� H) ��!�K��%/ �� �����!����� �� ������ ���� �� ������������)�$ ��� ��� ������ �*& +/ �) *��") +�"') H�$����/ �� �(13E�/ (((I(F()

(-) �) �%��! ��� �) �� ���&�/ ������ ����� � � ������ ��������� ��� ,���-�������

���������� �� �����/ ���) �"�$�$) �� �(11-�/ (-EI(F@)(F) �) �����&�/ .������� �� ���� ��� �������� � ������� ������/ G� $"��,� ��+�"!��%�"�!!/ �(11E�)

(D) �) �L�"��"!/ ��� ������ ������ �� ��� ���� �� ������ ������ �����& �����!���)�"��) ���&) � �(112�/ (FFI(D1)

(E) ) �"�% ��� ) �) ��%&�"/ /�� ����� �� � ������ ���� ���� ��� ��� �� ��� �������

�������� ���0/ �"�����) ����) ����) ��) �� �(13D�/ (3DI(1-)(@) �) �� ���&�/ �) ��"�!/ �) ��� �� ��� �) ��"/ 1���� �� ��� ������ ������� ��0�&���) �) �"�$�$)/ �� �����")

(3) �) �) ��"0��! ��� ) �) ��%&�"/ (����� ������� ������� ��� ��� ���� �� ��'���� �����

������ �����/ �"�$�$) ����"% ��&���� ���&�! �� �(123�/ -E3I-21)(2) �) ��%/ ��%���� ���� ��� ��� �!��� /������2 ������� �� ��� ������ ���� ��� ������ ������ �����/ �"��!) � �") ����) ��) ��� �(1@F�/ DF@IDDD)

(1) �) �K�+K�!M/ ������ 1��� � ������ ��� 3��-������ ���������/ *�"&� ����C��;�/ ��,���"� �(11.�)

-.) �) ���M�"/ 4������� �� ������ 1���/ �� ��!�"���/ �"�������/ ��' ��"!�% �(1@D�)

4��� ����� S�"�� 5������������� �! ?�� �����* ����� �! 2������*� R8 7��������� �! 2������* 7�������� 84 �)&3� �� 2���!�� R��"����� 9������� �! ?�� �����*2���!�� � 84 �)'�@ G����� R��"������ T�������� 9��������U��� ����!�� �� � ����U��� � �+���*���

T�� /��� I!�� P����������������� �! ?�� �����* ���������� �! ���*���*�� ���������8����� �! 2����� 9��� � 8RDS ��* ����2����� 9��� � DS ��'�) G��!� '3���� 9����+����'U� ����� 1�������U�����* ������*���