tiemcan_tieptuyen

8/4/2019 tiemcan_tieptuyen

http://slidepdf.com/reader/full/tiemcantieptuyen 1/11

CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬNCHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN VỚI TIỆM CẬN - VỚI TRỤC TỌA ĐỘ

BÀI TOÁN :Cho hàm số : y=f(x;m), tìm m để hàm số có Cực đại , cực tiểu cùng với một điểm I tạothành một tam giác đặc biệt ( cân, đều , vuông ).

Ví dụ 1. Cho hàm số ( ) ( )3 2 2 23 3 1 3 1 1 y x x m x m= − + + − − −

a. Khảo sát và vẽ đồ thị (1) với m=1 b. Tìm m để hàm số (1) có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùngvới gốc tọa độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị . b. Ta có : ( )2 2' 3 6 3 1 y x x m= − + + −

- Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì : ( )2 2' 3 6 3 1 y x x m= − + + − =0 có hai nghiệm phân biệt

( )2 2

1

2

' 9 9 1 0 9 0; 0 (*)3 3

13

3 31

3

m m m

m x m

m x m

⇔ ∆ = + − > ⇒ > ⇔ ≠− − = = + −⇒ − + = = − −

- Với điều kiện (*) hàm số có cực đại , cực tiểu .Gọi ( ) ( )1 1 2 2; ; ; A x y B x y là hai điểm cực

đại ,cực tiểu của hàm số . Nếu A,B cùng với O tạo thành tam giác vuông tại O thì OAvuông góc với OB : . 0OAOB =

- Ta có : ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2; ; ; . 0 1OA x y OB x y OAOB x x y y⇒ = + =

- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta có :

( ) ( )( ) ( )3 2 2 2 2 2 2 213 3 1 3 1 3 6 3 1 2 2 1

3 3

x x x m x m x x m m x m

− + + − − − = − − + + − + − +

- Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : ( )2 22 2 1 y m x m= − +

- Do đó :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 22 2 1 ; 2 2 1 . 4 4 1 4 1 y m x m y m x m y y m x x m x x m= − + = − + ⇒ = − + + + +

- Áp dụng Vi-ét cho (1)1 2

2

1 2

2

. 1

x x

x x m

+ =

= −, thay vào :

( ) ( ) ( )4 2 2 2 2 2 2 4

1 24 1 2( 1) ( 1) 4 1 1 y y m m m m m m m ⇒ = − − + + + = + + −

- Vậy : ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 4 2 2 4

1 2 1 2 0 (1 ) 4 1 1 0 1 4 1 1 0 x x y y m m m m m m m + = ⇔ − + − + − = ⇔ − + − − =

Hay : ( ) ( ) ( )2

2 2 4

24 2

111 0

1 3 4 4 0; *3 64 4 3 0

2 2

mmm

m m mmm m m

= ±= ± − = − + − = ⇒ ⇔ ⇒ =− + + = = ±

1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn – Tỉnh Bình Định 1



CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬNKết luận : Với m thỏa mãn (*) thì hai điểm cực đại , cực tiểu của hàm số cùng với O tạothành tam giác vuông tại O .

Ví dụ 2.Cho hàm số ( )3 23 4 y x x C = − +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(-1;0) với hệ số góc là k ( k thuộc R). Tìm k đểđường thẳng d cắt (C)tại ba điểm phân biệt và hai giao điểm B,C ( B,C khác A ) cùng vớigốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1.GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Đường thẳng d đi qua A(-1;0) với hệ số góc là k , có phương trình là : y=k(x+1)=kx+k .

- Nếu d cắt (C) thì :( )

( )

3 23 4 1

2

x x kx k

y kx k

− + = +

= +, có ba nghiêm phân biệt

( ) ( )3 2 23 4 0 1 4 4 0 x x kx k x x x k ⇔ − − + − = ⇒ + − + − = có hai nghiệm phân biệt .

2

1 4 4 0

x x x k

= −⇔ ⇒ − + − =Vậy 2 ' 0( ; ) 4 4 0 0 9(*)

( 1; ) 9 0k g x k x x k k k

g k k ∆ = >= − + − = ⇔ ⇒ > ∨ ≠ − = − ≠

Với điều kiện : (*) thì d cắt (C) tại ba điểm phân biệt A,B,C .Với A(-1;0) , do đó B,C cóhoành độ là hai nghiệm của phương trình :- Gọi ( ) ( )1 1 2 2

; ; ; B x y C x y với 1 2; x x là hai nghiệm của phương trình : 2 4 4 0 x x k − + − = . Còn

1 1 2 2; y kx k y kx k = + = + .

- Ta có : ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2

2 1 2 1 2 1 2 1; 1 1 BC x x k x x BC x x k x x k = − − ⇒ = − + = − +

uuur

- Khoảng cách từ O đến đường thẳng d :21

k hk

=+

- Vậy theo giả thiết :2 3 3 3

32

1 1 1 1 1. . 2 1 2 1

2 2 2 4 41

k S h BC k k k k k k

k = = + = = ⇒ = ⇔ = ⇒ =

+

Đáp số : 3

1

4k = , thì thỏa mãn yêu cầu của bài toán .

Ví dụ 3.Cho hàm số ( )2 m

m x y H

x

−=

+

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H) với m=1 b. Tìm m để đường thẳng d : 2x+2y-1=0 cắt ( )m

H tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tamgiác OAB có diện tích bằng 3/8 .GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (H).

1000B Trần Hưng Đạo – Tp Quy Nhơn – Tỉnh Bình Định2



CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬN

b. Đường thẳng d viết lại :1

2 y x= − . Nếu d cắt ( )m

H tại hai điểm A,B thì tọa độ A,B là

nghiệm của hệ :

( )

( )2

117

1 8 2 2 02 2

( ; ) 2 2 2 0 1 (*)161 ( 2; ) 4 2 0 22

m x x m m x

g x m x x m g m m m y x

− = − ∆ = − − > < +⇔ = + + − = ⇒ − = + ≠ ≠= −

- Gọi ( ) ( ) ( )2 2

1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1

1 1; ; ; ; 22 2

A x x B x x AB x x x x AB x x x x x x − − ⇒ = − − ⇔ = − + − = −

uuur

- Khoảng cách từ O đến d là h , thì :2 2

1 1

2 22 2h

−= =

+

- Theo giả thiết : 2 1

1 1 1 1 1 17 16 3. 2.

2 2 4 4 2 82 2

mS AB h x x

a

∆ −= = − = = =

Hay :17

1 17 16 3 1; 17 16 3 164 2 8 2

16 8

mm m mm

<− = ⇔ − = ⇔ ⇒ = =

, thỏa mãn điều kiện (*) .

- Đáp số : m=1/2 .

Ví dụ 4.Cho hàm số ( )2 3

2

x y C

x

+=

+a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Tìm những điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A,B sao chovòng tròn ngoại tiếp tam giác IABcó bán kính nhỏ nhất . Với I là giao hai tiệm cận .GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .

b.Tiếp tuyến của (C) tại ( )0 0;M y là

( )( )02

00

1 1: 2

22d y x x

x x

= − + −

++

- d cắt tiệm cận đứng : x=-2 tại A( )

( )02

0 00

1 1 22 2 2

2 22 A

y x x x x

⇒ = − − + − = −+ ++

- d cắt tiệm cận đứng : y=2 tại B( )

( )0 02

00

1 12 2 2 2

22B B

x x x x x x

⇒ = − + − ⇔ = −++

- Như vậy :( ) ( )

00

12;2 ; 2 2;2 ; 2;2

2 A B x I

x

− − + −

+

- Ta có : ( )0 0 0

0 0 0

1 1 1 1 10; ; 2 4;0 ; 2 4; ; . .2 2 1

2 2 2 2 2 IA IB x AB x S IA IB x

x x x

− + + − ⇒ = = + = + + +

uur uur uuur




CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬNDo :

( )( )

( )( )

2

0 0 2

20

0 2

0 0

12 2 4 2

2. . . . 1 1 11 2 4 2 . 1

4 4 2 4 2 2

x x x IA IB AB IA IB AB

S R x R x x

+ + ++

= = ⇒ = = =≥ + =+ +

Dấu bằng xáy ra khi :

( )( )

( )0 0

2 4

0 0 02

00 0

12 2 2

1 1 1 24 2 ; 2 ; 2

14 222 2 2

2

x y

x x x x

x y

= − − ⇒ = +

⇔ + = ⇔ + = ⇒ + = ⇔+ = − + ⇒ = −

-Kết luận : Có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán .

Ví dụ 5. Cho hàm số ( ) ( )2

; 0;1m

m x y C A

x m

−=

+a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1

b. Gọi I là giao hai tiệm cận . Tìm m để trên đồ thị tồn tại điểm B sao cho tam giác IABvuông cân tại A .GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) . b. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng : x=-m; tiệm cận ngang : y=-1, do đó I(-m;-1) .

-Nếu B thuộc đồ thị hàm số thì : 0

0

3; 1

m B x

x m

− + +

- Ta có : ( ) 0 0

0 0

3 6;2 ; ; 2 ; . 4

m m IA m AB x IA AB mx

x m x m

= − ⇒ = + − + +

uur uuur uur uuur

- Nếu tam giác IAB vuông cân tại A thì :0

0

0 0

2 22 2

2 2 2 2 0

0 0

0

6 34 0 22. 0

34 2 4

2

m mxmmx x m x m IA AB

mx IA AB mm x m x

x m

+ − = − = − + + = ⇔ ⇔ ⇔ = + = + − + = + − +

uur uuur

0

00 0

20

2 2

0

22 23 32 22 13 4 02

434 3 4 022

x xmx xm m

m x m mm mm

mm x m mmm

= ± = ± = ± − = − − =+ ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ = ±− − = −

= ±= + − = − = − +

- Vậy với x=-2 , thì y=

( )

( )

( )

( )

0 1 2;0

4 1 2; 4

1 4 2;1

5 4 2;5

m B

m B

m B

m B

→ = − ⇒ −− → = ⇒ − −

→ = − ⇒ − → = ⇒ −

; Với x=2 , thì y=

( )

( )

( )

( )

4 1 2; 4

0 1 2;0

5 4 2;5

1 4 2;1

m B

m B

m B

m B

− → = − ⇒ −

→ = ⇒ → = − ⇒ → = ⇒





Ví dụ 6. Cho hàm số ( )2 1

1

x y C

x

+=


b.Tìm tham số m để đường thẳng d : y=-2x+m cắt đồ thị tại hai điểm phân biệt A,B saocho diện tích tam giác OAB bằng 3 .GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) . b. Nếu d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì :

( ) ( ) ( ) ( )222 1

( ; ) 2 4 1 0 12 4 8 1 01

2 ( 1; ) 1 02

x g x m x m x m x m m m

x y x m g m y x m

+ = − − + − == − + ∆ = − − − > ⇔ ⇔ ⇒+ = − + − = − ≠ = − +

2 8 0m m R⇔ + > ⇒ ∈ . Chứng tỏ với mọi m d luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B- Gọi : ( ) ( )1 1 2 2

; 2 ; ; 2 A x x m B x x m− + − + . Với : 1 2, x x là hai nghiệm của phương trình (1)

- Ta có : ( )( ) ( ) ( )1

2 2

2 1 2 2 1 2 1 2 1;2 4 5 AB x x x x AB x x x x x x= − − ⇒ = − + − = −

uuur

.- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d , thì khoảng cách từ O đến d là h :

2 52 1

m mh⇒ = =

+

- Theo giả thiết : 2 1 21 1 1 1. 5 . . 8 3

2 2 2 2 45

x xS AB h m

− ∆= = = = + =

Vậy : 2 2 2 2 28 4 .3 8 4 .3 40 2 10 (*)m m m m+ = ⇔ + = ⇒ = ⇔ =

Với m thỏa mãn điều kiện (*) thì d cắt (C) tại A,B thỏa mãn yêu cầu bài toán .

Ví dụ 7. Cho hàm số ( ) ( )

3 2

3 3 1 1 3 m y x x m x m C = − + − + +a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1 . b. Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu , đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu cùng vớigốc tọa độ O tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 .GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C). b. Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì : ( )2' 3( 2 1 ) 0 ; 0 * y x x m m= − + − > ⇒ ∆ = >

- Với điều kiện (*), hàm số có CĐ,CT . Gọi ( ) ( )1 1 2 2; ; ; A x y B x y là hai điểm cực trị . Với

1 2, x x là hai nghiệm của phương trình 2( 2 1 ) x x m− + − =0 (1) .

- Bằng phép chia phương trình hàm số cho đạo hàm của nó , ta được :1'( ; ) 2 2 2

3 3

x y y x m mx m

⇔ = − − + +

. Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực

trị là d : y= -2mx+2m+2 . 1 1 2 22 2 2; 2 2 2 y mx m y mx m⇒ = − + + = − + + .

- Ta có : ( ) ( ) ( )2 22 2

2 1 1 2 2 1 2 1 2 1;2 ( ) 4 4 1 AB x x m x x AB x x m x x x x m= − − ⇒ = − + − = − +uuur

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (AB), h là khoảng cách từ O đến AB thì :





2

2 1 2 12 2

2 2 2 21 1. 4 1. 1

2 21 4 1 4

m mh S AB h x x m x x m

m m

+ +⇔ = ⇒ = = − + = − +

+ +

- Theo giả thiết : ( )22

4 . 1 2 1 4; 1 41

m m m m m∆

= + ⇔ + = ⇔ + =

( ) ( )3 2 2

2 4 0 1 3 4 0 1m m m m m m m⇔ + + − = ⇔ − + + = ⇒ =Kết luận : với m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán .

Ví dụ 8. Cho hàm số ( )3 1

1

x y C

x

+=

−

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b. Tìm tham số m để đường thẳng d : y=(m+1)x+m-2 cắt (C) tại hai điểm A,B sao cho tamgiác OAB có diện tích bằng 3/2.GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) . b. Nếu đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B thì A,B có hoành độ là 2 nghiệm

của phương trình : ( ) ( ) ( )23 11 2; ( ; ) 1 6 1 0 1

1

xm x m g x m m x x m

x

+= + + − ⇔ = + − + − =

−

Điều kiện : ( ) ( ) 2

1 0

' 9 1 1 0 8 0 (*)

(1, ) 4 0

m

m m m m R

g m

+ ≠∆ = − + − > ⇒ + > ∀ ∈ = − ≠

- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm A,B . Gọi ( ) ( )1 1 2 2; ; ; A x y B x y là tọa độ hai giao

điểm , với 1 2, x x là hai nghiệm của phương trình (1).

- Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 1 1 2 2 1 2 1 2 1

; 1 1 2 2 AB x x m x x AB x x m x x x x m m= − + − ⇒ = − + + − = − + + uuur

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB , h là khoảng cách từ O đến AB , theo giả

thiết : 2

2 1 2 12 2

2 21 1 1. 2 2. 2

2 2 22 2 2 2

m mh S AB h x x m m x x m

m m m m

− −= ⇒ = = − + + = − −

+ + + +

( ) ( )

( ) ( )

2

2 12

2 8 2 3 1 : 11 3 2 '2 ; 2 3

2 2 1 2 8 2 3 1 : 1

m m m m x x m m

m m m m m

+ − = + ≥ −∆ ⇔ − − = ⇒ − = ⇔+ − + − = + < −

Ví dụ 9. Cho hàm số ( )2 1 3

21 1

x y C

x x

+= = +

− −

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) , biết tiếp tuyến này cắt hai trục tọa độ tạo thànhmột tam giác có diện tích bằng 8 .GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) .

b. Gọi ( )0 0 0

0

3; ( ) 2

1M x y C y

x∈ ⇒ = +

− . Tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình là :





( )( )02

00

3 3: 2

11d y x x

x x= − − + +

−−

- d cắt Ox tại điểm B.( )

( ) ( )2

0 0 02

00

3 3 10 2 2 2 1

1 31B B

x x x x x x x

= − − + + ⇒ = + −−−

- d cắt trục Oy tại điểm A :( )

( )( )

2

0 0

02 2

00 0

2 2 13 30 211 1

A x x y x

x x x+ −= − − + + =

−− −

- Diện tích tam giác OAB là S :

( )

( )

( )

222

0 00 02

0 0 2 2

0 0

2 2 12 2 11 1 1 1. . 2 2 1 . 8

2 2 2 3 1 6 1 B A

x x x xS OAOB x y x x

x x

+ −+ −= = = + − = =

− −

( ) ( )( )

( )

( )

( )

220 02 2 0 0 02

0 0 02 2

0 0 0 0 0

2 2 1 2 3 4 3 1 02 2 1 4 3 12 2 1 48 1 ;

2 2 1 4 3 1 2 2 1 2 3 4 3 1 0

x x x x x x x x

x x x x x

+ − + − = + − = − ⇔ + − = − ⇔ ⇒ + − = − − + + − − =

( )

0

0

ô n1

1 2 3 15 12 32

v

x

⇔ = − − ± +

Ví dụ 10 . Cho hàm số ( ) ( )3 22 3 4m

y x mx m x C = + + + + (1)a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=2 .

b. Tìm m để đường thẳng d : y=x+4 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A,B,C saocho tam giác MBC có diện tích bằng 4 . ( Điểm B,C có hoành độ khác không; M(1;3) ).GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b. Đồ thị (1) cắt d tại ba điểm A,B,C có hoành độ là nghiệm của phương trình :( )3 2 2

2

02 3 4 4; 2 2 0

2 2 0

x x mx m x x x x mx m

x mx m

= ⇔ + + + + = + ⇔ + + + = ⇒ + + + =

2' 2 0 1 2 (*)m m m m⇔ ∆ = − − > ⇔ < − ∨ >

Với m thỏa mãn (*) thì d cắt (1) tại ba điểm A(0; 4) , còn hai điểm B,C có hoành độ là hai

nghiệm của phương trình :2

2 ' 2 02 2 0 1 2; 2

2 0

m m x mx m m m m

m

∆ = − − >⇔ + + + = ⇒ ⇔ < − ∨ > ≠ −

+ ≠

- Ta có :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2

1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1; 4 ; ; 4 ; 2 B x x C x x BC x x x x BC x x x x x x+ + ⇒ = − − ⇔ = − + − = −

uuur

-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên d . h là khoảng cách từ M đến d thì :

2 1 2 1

1 3 4 1 12 . 2. 2

2 22h S BC h x x x x

− +⇒ = = ⇒ = = − = −

- Theo giả thiết : S=4 2 2

2 14; 2 ' 4; 2 4 6 0 x x m m m m⇔ − = ⇔ ∆ = ⇒ − − = ⇒ − − =

Kết luận : với m thỏa mãn : 2 3 3m m m= − ∨ = ⇒ = ( chọn ). Đáp số : m=3

Ví dụ 11. ( DB-2004 ). Cho hàm số ( )4 2 22 1m

y x m x C = − + (1)




CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬNa. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1

b. Tìm m dể hàm số (1)có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân .GIẢI


b. Ta có : ( )3 2 2 2

2 2

0' 4 4 4 0 0 (*)

x y x m x x x m m x m

== − = − = ⇔ ⇒ ≠ =

- Với điều kiện (*) thì hàm số (1) có ba điểm cực trị . Gọi ba điểm cực trị là :( ) ( ) ( )4 40;1 ; ;1 ; ;1 A B m m C m m− − − . Do đó nếu ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông

cân , thì đỉnh sẽ là A .- Do tính chất của hàm số trùng phương , tam giác ABC đã là tam giác cân rồi , cho nên đểthỏa mãn điều kiện tam giác là vuông , thì AB vuông góc với AC.

( ) ( ) ( )4 4; ; ; ; 2 ;0 AB m m AC m m BC m⇔ = − − = − =

Tam giác ABC vuông khi : ( )2 2 2 2 2 8 2 84 BC AB AC m m m m m= + ⇔ = + + +

( )2 4 42 1 0; 1 1m m m m⇔ − = ⇒ = ⇔ = ±

Vậy với m=-1 và m=1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .* Ta còn có cách khác- Tam giác ABC là tam giác vuông khi trung điểm I của BC : AI=IB , với ( )40; I m= −

( ) ( )4 2 8 2 2 2 2 8 20; ; ;0 IA m IA m IB m IB m IA IB m m⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇔ = ⇒ = . Hay : 4 1 1m m= ⇔ = ±

Ví dụ 12. (KD-2007). Cho hàm số ( )2

1

x y C

x=


b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) , biết tiếp tuyến tại M cắt hai trục Ox,Oy tại hai điểm A,Bsao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1/4.GIẢI


b. Gọi ( ) ( ) 0

0 0 0

0

2;

1

xM x y C y

x∈ ⇒ =

+

- Tiếp tuyến tại M là d :( )

( ) ( )2 20

0 0 02

00

222 1 2 0

11

x y x x x x y x

x x= − + ⇔ − + + =

++

- d cắt Ox tại A :( )

( ) ( )2 20

0 0 0 0 0 02

00

220 ( 1) 0 ;0

11A A A

x x x x x x x x x A x

x x

= − + ⇒ − + + = ⇔ = − ⇔ −

++

- d cắt Oy tại điểm B :( )

( )( ) ( )

2 2

0 0 0

02 2 2

00 0 0

2 2 220 0;

11 1 1 B B

x x x y x y B

x x x x

= − + ⇒ = ⇒

++ + + - Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d ,h là khoảng cách từ O đến d thì :

( ) ( ) ( )

( )

( )

42 2 40 02 2 4 40 0

0 0 02 4 44

0 0 00

2 1 42; 4

1 1 11 4

x x x xh AB x AB x x

x x x x

+ +⇒ = ⇒ = ⇔ = + = + + + + +

uuur





Vậy :( )

( )

( ) ( )

42 40 02 0

0 2 24

0 00

2 1 41 1 1. .

2 2 41 11 4

x x xS AB h x

x x x

+ += = = =

+ ++ +

Cho nên ( )2 2 0 0

2 0 0 0 04

0 0

2 2 0 00 0 0 0

1 12 1 2 1 0

4 1 122 1 2 1 0 2

x y x x x x

x x

x y x x x x

= → = = + − − = ⇒ = + ⇔ ⇔ ⇒ = − → = −= − − + + =

- Do đó có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : ( )1 2

11;1 ; ; 2

2M M

− −

Ví dụ 13.(DB-2007). Cho hàm số ( )1

11 1

x y C

x x= = −

+ +a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b. Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận cắt nhau tạo thành mộttam giác cân .GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại điểm ( )0 0

;M x y , thì d :

( )( )0 0 02

00

1 11

11 y x x y y

x x

= − + = − ++

- Nếu d cắt tiệm cận đứng : x=-1 tại điểm B :

( )( )

( ) ( ) ( )0 0 0

0 02

0 0 0 00

1 11 11 1;

1 1 1 11 B

x x x y x y B

x x x x x

− −= − − + = − + = ⇒ − + + + ++

- Khi d cắt tiệm cận ngang : y=1 tại điểm A , thì :

( )( ) ( )0 0 0 02

0

11 2 1 2 1;11

A A x x y x x A x x

⇒ = − + ⇔ = + ⇒ ++

- Goi giao hai tiệm cận là I(-1;1) . Tam giác IAB là tam giác cân khi : IA=IB

( )

02 0 2 0 0

2 0 0 02 2 0

0 200 0 00 0

0

0

11 2 2 0 0

1 2 2 01; 2 2 1 ; 2

11 22 01 2 2 31

x x x y

x x x x IA IB x

x x x y x x x x

− − = + = → = + + + = − ⇔ = ⇒ + = − ⇔ ⇔ ⇒ −+ = − → =+ = − = − − +Với x=0 và y=0 , ta có tiếp tuyến : y=xVới x=-2 và y=2/3 , ta có tiếp tuyến : y=x+8/3 .

Ví dụ 14.(DB-2008). Cho hàm số ( )3 1 231 1

x y C x x

+= = −+ +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b. Tính diện tích tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểmM(-2;5).

GIẢI




CHUYÊN ĐỀ : TIẾP TUYẾN VỚI TRỤC TỌA ĐỘ- CÁC TIỆM CẬNa. Học sinh tự vẽ đồ thị (C)

b. Ta có :( )

2

2' '( 2) 2 : 2( 2) 5 2 9

1 y y d y x x

x= ⇒ − = ⇔ = + + = +

+

- Tiếp tuyến d cắt trục Ox tại điểm A (-9/2;0) . Tiếp tuyến d cắt trục Oy tại điểm B(0;9) .

- Do đó : ( )1 1 9 81. .92 2 2 4S OAOB dvdt −= = =

Ví dụ 15. (KA-2009). Cho hàm số( )

( )2 1 1

2 3 2 2 2 3

x y C

x x

+= = +

+ +

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C) b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành , trục tung lần lượttai hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O .GIẢI


b.Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại ( )( )

( )0 0 0 02

0

1; :

2 3M x y d y x x y

x⇒ = − − +

+

- d cắt trục Oy tại B :( )

( )( ) ( ) ( )

2

0 0 0 0

0 02 2 2

00 0 0

2 2 8 61

2 32 3 2 3 2 3 B

x x x x y x y

x x x x

+ + += − − + = + =

++ + +

- d cắt trục Ox tại A :( )

( )2

0 0 0

0 0 02

0 00

2 2 4 210

2 3 2 32 3A A A

x x x x x y x x x

x x x

+ + += − − + ⇔ − = ⇒ =

+ ++

- Tam giác OAB cân

( )

( ) ( )

( )

( )22 2

0 0 0 0 00 0

2 2

0 00 0

4 3 1 3 12 1;

2 3 2 32 3 2 3

x x x x x x xOA OB

x x x x

+ + + + ++ +⇔ = ⇒ = ⇔ =

+ ++ +

( ) ( ) ( ) ( )0

0 02

0 0 0 0 00 0

20 00 0

1 0 20

; 3 1 2 3 ; 2 2 0;3 1 32 0(2 3) 2 3

x x y

x x x x x x x x y x x

+ ≠ = → = ⇔ ⇒ + = + + ⇔ + = ⇒+ + == − → = + +

Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán : ( )1 2

20; ; 2;0

3M M −

.

Ví dụ 16.(ĐH-KB-2010 ). Cho hàm số ( )2 1 1

21 1

x y C

x x

+= = −

+ +a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b.Tìm m để đường thẳng d : y=-2x+m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A,B sao cho tam giácOAB có diện tích bằng 3 . ( Với O là gốc tọa độ ).GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) b. Nếu d cắt (C) tại hai điểm A,B thì A,B có hoành độ là hai nghiệm của phương trình :

22 12 ; ( ; ) 2 (4 ) 1 0

1

x x m g x m x m x m

x

+⇔ = − + ⇔ = + − + − =

+.(1) ( Có hai nghiệm khác -1)





( ) ( )2

24 8 1 08 0 (*)

( 1; ) 1 0

m mm m R

g m

∆ = − − − >⇔ ⇒ + > ∀ ∈− = − ≠

- Với điều kiện (*) thì d cắt (C) tại hai điểm :( ) ( ) ( )( )

( ) ( )

1 1 2 2 2 1 2 1

2 2

2 1 2 1 2 1

; 2 ; ; 2 ; 2

4 ; 5

A x x m B x x m AB x x x x

AB x x x x AB x x

− + − + ⇒ = − − −

⇔ = − + − ⇒ = −

- Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên d , h là khoảng cách từ O đến d :

2 1 2 1

2

2 2 2

1 1 1 1; . 5. . .

2 2 2 25 5

1 83 8 4 .3; 48 8 40 2 10

2 2

m mh S AB h x x x x m m

a

mm m m

− − ∆⇒ = ⇔ = = − = − =

+⇔ = ⇒ + = ⇔ = − = ⇒ =

-Do đó , với 2 10m = , thì thỏa mãn yêu cầu bài toán .

Ví dụ 17.( Dự trữ -KB-2007). Cho hàm số ( )1 (1)2 m

m

y x C x= − + + −a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) với m=1

b. Tìm m để đồ thị (1) có cực đại tại điểm A, sao cho tiếp tuyến với (1) tại A cắt trục Oytại B mà tam giác OAB vuông cân .GIẢI

a. Học sinh tự vẽ đồ thị (C) với m=1

b. Ta có :( ) ( )

2

2

2 2

1,2

' 8 04 4' 1 ' 0 4 4 0

2 82 2

8

1 82 8 4 8CD

CD

mm x x m y y x x m

x m x x

m m y m x m m

∆ = − >+ + − = − + = ⇒ = ⇔ + + − = ⇔ = − ± −− −

<⇔ ⇒ = − − − + = − − − + −

- Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : y=3-2x- Tiếp tuyến tại điểm cực đại A song song với trục Ox :

( ): 3 2 3 2 2 8 7 2 8CDd y x m m= − = − − − − = + −

- Đường thẳng d cắt trục Oy tại B : ( ) ( )0; 0;7 2 8CD

B y B m⇔ + −

-Do tung độ của A và B bằng nhau , cho nên tam giác OAB cân chỉ xảy ra khi tam giáccân tại B .BO=BA

- Với :( ); 0 2 8 2 8CD CD

BA x BA x m m= ⇒ = = − − − = + −

.- Vậy : ( )07 2 8 2 8 ; 8 5 ô n BO BA m m m v= ⇔ + − = + − ⇔ − = −


Documents

tiemcan_tieptuyen