ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

KHOA TOÁN

Nhóm 5 :

Lê Thị Sơn, Lê Thiện Trung, Nguyễn Phương Thảo,

Nguyễn Ngọc Mỹ, Nguyễn Hạ Thi Giang

Lớp : Cao Học Toán K25

TIÊU CHUẨN ĐỦ

CHO LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN

GIẢI BÀI TOÁN CAUCHY

TIỂU LUẬN KẾT THÚC HỌC PHẦN PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN

Ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp

Người hướng dẫn: TS. Lê Hải Trung

Đà Nẵng - 2012

LỜI GIỚI THIỆU

"Phương Pháp Sai Phân" là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan

trọng của Giải Tích Toán Học. Đây là một phân môn trong chương trình

bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở các kỳ thi cấp thành phố, quốc gia và quốc

tế. Đồng thời cũng là một học phần quan trọng của các lớp "Cao học ngành

phương pháp Toán sơ cấp".

Phương pháp sai phân bao gồm nhiều vấn đề rộng lớn như : Xác định

nghiệm của Phương trình sai phân, xây dựng các lược đồ để giải các phương

trình toán lý...Tuy nhiên, cho đến nay tài liệu về "Phương pháp Sai Phân"

bằng tiếng Việt vẫn còn thiếu, chỉ có một số ít sách của thầy Lê Đình Thịnh

cùng các cộng sự biên soạn.

Về mặt phương pháp giải, Phương trình sai phân rất đa dạng và phong

phú về thuật toán, kỹ thuật biến đổi mà nếu không được hướng dẫn kỹ càng,

học viên rất dễ mắc sai lầm cũng như lạc hướng trên con đường tìm ra kết quả

của bài toán. Được sự dạy bảo, hướng dẫn tận tình của thầy Lê Hải Trung,

chúng em đã cố gắng đúc kết cũng như tham khảo thêm những tài liệu khác

để viết nên "Tiểu luận" này.

Tiểu luận gồm có 4 phần chính :

1. Chương 1 : Các kiến thức tổng quát về lược đồ sai phân.

2. Chương 2 : Tiêu chuẩn đủ về sự ổn định của lược đồ sai phân giải bài

toán Cauchy

3. Chương 3 : Ứng dụng : Giải các phương trình Cauchy bằng lược đồ

sai phân.

Dù vẫn còn nhiều hạn chế nhất định vì nhiều lý do nhưng nhóm em hi

vọng Tiểu luận này sẽ mang đến cho các bạn 1 kiến thức tốt hơn về lược đồ

sai phân

Xin chân thành cảm ơn thầy đã có những buổi dạy nhiệt tình để chúng em

có được những kiến thức nhất định về môn học khá mới mẻ này !

Học viên K25

Nhóm 5

Chương 1

Các kiến thức liên quan

1.1 Lược đồ sai phân đối với phương trình vi

phân thường

Ngoài các cách giải phương trình vi phân bình thường, ta còn có thể xấp

xỉ nghiệm của 1 số phương trình vi phân bằng phương pháp sai phân bằng sự

hội tụ. Sau đây là một số khái niệm về lược đồ sai phân :

1.1.1 Khái niệm lược đồ

Xét phương trình vi phân :

du

dx+ Au = 0, 0 ≤ x ≤ 1, u(0) = b (1.1)

Ta xây dựng lược đồ như sau :

• Ta chia đoạn [0, 1] thành N đoạn nhỏ bởi các điểm :

0 = x0 < x1 < . . . < xN = 1

• Khi đó ta có xi+1 − xi = hi được gọi là bước lưới thứ i.

• Tập hợp các điểm xi, i = 0, 1 . . . , N được gọi là lưới.

• Các điểm xi là điểm lưới trong, x0, xN là điểm lưới biên.

Trong phương trình 1.1 ta thay vi phân bằng sai phân như sau :

u(x+ h)− u(x)

h+ Au(x) = 0 (1.2)

• Khi đó, phương trình 1.2 và tập hợp các điểm x trong phương trình này

được gọi là lược đồ sai phân.

1

2

• Như vậy, ta đã sử dụng 2 điểm x và x+ h nên đây là lược đồ sai phân

2 điểm.

• Nếu hi = h = const, ∀i thì lưới được gọi là lưới đều, ký hiệu :

ωh ={ih, i = 0, . . . , N

}• Vậy giá trị của hàm số u(xi) được gọi là hàm lưới, ký hiệu :

ui, i = 0, . . . , N

Thường để đơn giản thì người ta hay xét đến lưới đều.

1.1.2 Cấp chính xác của lược đồ

Giải phương trình 1.1 bằng vi phân ta có nghiệm là :

u(x) = b.e−Ax ⇒ u(xn) = b.e−Axn

Viết lại phương trình 1.2 bằng lưới đều ωh ={ih, h =

1

N, i = 0, 1, . . . , N

}như

sau :un+1 − un

h+ Aun = 0 ⇔ un+1 = (1− Ah)un, u0 = b (1.3)

Giải phương trình sai phân này, ta có :

un = (1− Ah)xnh .b

Khi đó ta thu gọn được sai số như sau :

δ(xn) = hbA2xn

2e−Axn + o(h2) = o(h)

Vậy δ(xn) có cấp 1.

Ta nói rằng : lược đồ sai phân 1.3 có độ chính xác cấp 1.

Ví dụ 1.1.1. Cho lược đồ :

u(x+ h)− u(x− h)

2h+ Au(x) = 0, u0 = u(0) = b (1.4)

Đây là lược đồ sai phân 3 điểm và có độ chính xác cấp 2.

1.1.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm sai phân

• Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ chính xác cấp h2 thì nghiệm sai phân

sẽ có sai số cấp h2, tức là lược đồ sai phân có độ chính xác cấp 2.

• Nếu giá trị ban đầu u1 cho với độ chính xác cấp h thì nghiệm sai phân

sẽ có sai số cấp h.

Vậy ta thấy cấp chính xác của nghiệm sai phân là không thay đổi.

3

1.1.4 Cấp xấp xỉ

Ta xét 2 phương trình 1.2 và 1.4, ta thấy lược đồ 1.4 ít chính xác hơn lược

đồ 1.2. Vậy ta đã nhận ra sự khác nhau ở chỗ xấp xỉdu

dxbằng

u(x+ h)− u(x)

h

hoặcu(x+ h)− u(x− h)

2h.

Thật vậy, bằng khai triển Taylor. Ta có :

u(x+ h)− u(x)

h= u′(x) +

h

2.u′′(x) + o(h2) có xấp xỉ cấp 1.

vàu(x+ h)− u(x− h)

2h= u′(x) +

h2

6.u′′′(x) + o(h4) có xấp xỉ cấp 2.

Ta có thể sẽ nhầm lẫn rằng : cấp hội tụ của nghiệm có thể làm cho bằng

cấp xấp xỉ của đạo hàm. Điều này không đúng vì lược đồ sai phân dùng được

phải có sự ổn định.

Một lược đồ được gọi là không ổn định nếu nghiệm sai phân un không hội tụ

đúng về nghiệm đúng u(xn) của phương trình vi phân.

1.2 Sự ổn định của lược đồ sai phân

1.2.1 Không gian tuyến tính định chuẩn

Định nghĩa 1.2.1. Cho không gian tuyến tính Y , mỗi phần tử (mỗi vector)

f ∈ Y được đặt tương ứng với 1 số không âm ∥f∥ sao cho :

• ∥f∥ ≥ 0, ∀f ∈ Y ; ∥f∥ = 0 ⇔ f = 0.

• ∥λf∥ = |λ|.∥f∥, f ∈ Y, λ tùy ý.

• ∥f + g∥ ≤ ∥f∥+ ∥g∥, f, g ∈ Y .

Khi đó, ∥f∥ được gọi là chuẩn của f và Y được gọi là không gian tuyến tính

định chuẩn.

Định nghĩa 1.2.2. Xét ánh xạ T : Y → Y thì T được gọi là toán tử tuyến

tính. Khi đó :

∥T∥ = supx∈Y

∥Tx∥∥x∥

hay ∥T∥ = sup∥x∥=1,x∈Y

∥Tx∥

Tính chất 1.2.1. Ta có các tính chất sau :

4

• ∥Tx∥ ≤ ∥T∥.∥x∥

• ∥λT∥ = |λ|∥T∥, λ ∈ R

• ∥Tm∥ ≤ ∥T∥m

Ví dụ 1.2.1. Giả sử như cho không gian các hàm lưới Uh xác định trên lưới

ωh, thì ta có chuẩn sau:

∥uh∥Uh= sup |uh(xn)| (1.5)

Đây là chuẩn mà ta sẽ thường hay sử dụng trong các lược đồ sai phân

1.2.2 Sự hội tụ của lược đồ sai phân

Cho bài toán :

Lu = f (1.6)

được gọi là bài toán bờ vi phân. Và :

Lhuh = fh (1.7)

được gọi là bài toán bờ sai phân, đồng thời cũng là 1 lược đồ sai phân.

Định nghĩa 1.2.3. Ta nói nghiệm uh của phương trình 1.7 hội tụ về nghiệm

của phương trình 1.6 khi h → 0 nếu :

∥[u]h − uh∥Uh→ 0 khi h → 0

Định nghĩa 1.2.4. Nếu ta có :

∥[u]h − uh∥Uh≤ C.hα

với C > 0, α > 0 không phụ thuộc h thì ta nói rằng lược đồ sai phân hội tụ cấp

hα hay có độ chính xác cấp hα

1.2.3 Định nghĩa sự ổn định của lược đồ sai phân

Định nghĩa 1.2.5. Giả sử bài toán bờ sai phân Lhuh = fh xấp xỉ bài toán bờ

vi phân Lu = f . Khi đó :

δfh = Lh[u]h − fh

δfh được gọi là độ lệch.

5

Định nghĩa 1.2.6. Ta nói rằng lược đồ sai phân Lhuh = fh xấp xỉ bài toán

Lu = f trên nghiệm u của nó, nếu :

∥δfh∥ → 0 khi h → 0

Nếu :

∥δfh∥Fh≤ chα

trong đó c > 0, α > 0 là các hằng số nào đó, thì ta nói rằng ta có xấp xỉ cấp

hα hay cấp α theo h.

Định nghĩa 1.2.7. Lược đồ sai phân được gọi là ổn định nếu : ∃h0 > 0 và

hằng số δ > 0 sao cho ∀h ∈ (0, h0), ∀ϵh ∈ Fh với ∥ϵh∥Fh< δ thì bài toán bờ sai

phân :

LhZh = fh + ϵh

có 1 và chỉ 1 nghiệm Zh, đồng thời

∥Zh − uh∥Uh≤ C∥ϵh∥Fh

Với C là hằng số không phụ thuộc h.

Bây giờ, ta giả sử toán tử tuyến tính Lh ánh xạ Uh vào Fh. Khi đó định

nghĩa trên tương đương với :

Định nghĩa 1.2.8. Lược đồ sai phân 1.7 với Lh là toán tử tuyến tính, ổn định

nếu ∀fh ∈ Fh phương trình 1.7 có duy nhất 1 nghiệm uh ∈ Uh, đồng thời

∥uh∥Uh≤ C∥fh∥Fh

Trong đó, C là hằng số không phụ thuộc h.

Chương 2

Tiêu chuẩn đủ về sự ổn định củalược đồ sai phân giải bài toánCauchy

2.1 Phương pháp tổng quát khảo sát sự ổn

định của lược đồ sai phân

Trong phương trình vi phân, chúng ta đã biết Bài toán Cauchy gồm có

3 dạng sau đây : du

dx+ Au = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ 1

u(0) = a(2.1)

dv

dx+ Av +Bw = p(x), 0 ≤ x ≤ 1

dv

dx+ Cv +Dw = q(x), 0 ≤ x ≤ 1

v(0) = a, w(0) = b

(2.2)

d2u

dx2+ A

du

dx+Bu = ϕ(x), 0 ≤ x ≤ 1

u(0) = a,du(0)

dx= b.

(2.3)

Để kiểm tra tính ổn định của lược đồ sai phân giải các bài toán này ta thực

hiện các bước sau:

• Bước 1 : Chuyển bài toán về lược đồ sai phân

• Bước 2 : Định nghĩa các không gian tuyến tính định chuẩn Uh và Fh là

các không gian của các hàm [uh] ∈ Uh và fh ∈ Fh. Hay nói cách khác là

định nghĩa các chuẩn ∥uh∥Uhvà ∥fh∥Fh

.

6

7

• Bước 3 : Chứng minh sự ổn định của lược đồ theo định nghĩa 1.2.7

Ví dụ 2.1.1. kiểm tra tính ổn định của lược đồ giải bài toán 2.1

• Xét lược đồ sai phân Lhuh = fh như sau :un+1 − un

h+ Aun = ϕn

u0 = an = 0, 1, ..., N − 1;h =

1

N,N ∈ Z+ (2.4)

Khi đó : {un+1 = (1− Ah)un + hϕn

u0 = an = 0, 1, ..., N − 1 (2.5)

Từ đó suy ra :

u1 = (1− Ah)u0 + hϕ0,

u2 = (1− Ah)u1 + hϕ1 = (1− Ah)2u0 + h(1− Ah)ϕ0 + ϕ1,

u3 = (1− Ah)3u0 + h(1− Ah)2ϕ0 + (1− Ah)ϕ1 + ϕ2,

. . .

un = (1− Ah)nu0 + h(1− Ah)n−1ϕ0 + (1− Ah)n−2ϕ1 + . . .+ ϕn−1.

(2.6)

• Ta xây dựng các chuẩn trong không gian Uh và Fh như sau :

∥uh∥Uh= max

0≤n≤N|un|, (2.7)

∥fh∥Fh=

wwww ϕm

a

wwww = max{|a|, max

0≤m≤N|ϕm|

}(2.8)

• Ta có :

|(1− Ah)n| ≤ |(1− A

N)N | ≤ e|A| = C1,∀n ≤ N =

1

h(2.9)

Từ 2.6 và 2.9 suy ra :

|un| ≤ C1|u0|+ hNC1.max |ϕm| = C1|a|+ C1.max |ϕm| ≤ 2C1∥fh∥Fh

(2.10)

Vậy :

∥uh∥Uh≤ C.∥fh∥Fh

(2.11)

Với C = 2.C1 = 2.e|A|.

Ta đã chứng minh được lược đồ trên là ổn định.

8

2.2 Dạng chính tắc của lược đồ sai phân

Lược đồ sai phân có thể chứa những biểu thức phức tạp nên trong bài toán

ở trên, ta có thể đưa phương trình 2.5 về dạng thu gọn hơn và tập trung chứng

minh sự ổn định của lược đồ thông qua tính bị chặn của dãy số |Rnh|.

Đặt : un = yn, (1− Ah) = Rh, ϕn = ρn.

Khi đó, 2.5 được viết lại như sau :

yn+1 = Rhyn + hρn, y0 = const (2.12)

Đây được gọi là dạng chính tắc của lược đồ sai phân 2.4.

Khi đó, 2.6 được viết lại như sau:

y1 = Rhy0 + hρ0,

y2 = R2hy0 + h(Rhρ0 + ρ1),

y3 = R3hy0 + h(R2

hρ0 +Rhρ1 + ρ2),

. . .

yn = Rnhy0 + h(Rn−1

h ρ0 +Rn−2h ρ1 + . . .+ ρn−1)

(2.13)

Từ đây, ta có nhận xét :

max0≤n≤N

|yn| ≤ max |Rnh|.(|y0|+ hN.max |ρn|) (2.14)

Vậy ta xây dựng các chuẩn ∥uh∥Uhvà ∥fh∥Fh

trong không gian Uh, Fh :

∥uh∥Uh= max |yn|, (2.15)

∥fh∥Fh= max

{|y0|,max |ρn|

}(2.16)

Khi đó, 2.14 trở thành :

∥uh∥Uh= max

0≤n≤N|Rn

h|.2.∥fh∥Fh(vì hN = 1) (2.17)

Vậy ta chỉ cần chứng minh sự ổn định thông qua của dãy số ∥Rnh∥ bị chặn đều

theo h, tức là :

|Rnh| ≤ C, n = 1, 2, . . . , N

Thật vậy, ta có :

Rnh ≤ (1− Ah)n ≤ (1− Ah)N ≤ e|A| = C, ∀n = 1, 2, . . . , N

Suy ra đpcm.

Vậy qua đây, ta có thể thấy rằng : Tất cả các lược đồ sai phân đều có thể đưa

về dạng chính tắc để công việc chứng minh sự ổn định trở lên gọn gàng hơn

rất nhiều. Tuy nhiên, theo từng trường hợp cụ thể yn, Rh, ρn sẽ được viết lại

bằng các biểu thức khác.

9

2.3 Điều kiện đủ về sự ổn định

Qua mục 2.2, ta rút ra được : việc xây dựng các chuẩn cho không gian

tuyến tính Uh, Fh thông qua việc xây dựng ∥Rnh∥, ∥yn∥, ∥ρn∥ trong 1 không

gian tuyến tính Y nào đó là rất quan trọng để chứng minh tính bị chặn của

∥Rnh∥ (Hay là ước lượng nó).

Một cách tổng quát, giả sử không gian tuyến tính Y tồn tại chuẩn ∥.∥ nào đó

thì từ hệ ??, theo định nghĩa 1.2.2 ta có :

∥yn∥Y ≤ ∥Rnh∥Y .∥y0∥Y + h.

(∥Rn−1

h ∥Y .∥ρ0∥Y + . . .+ ∥ρn−1∥Y)

(2.18)

Suy ra :

max0≤n≤N

∥yn∥Y ≤ max0≤n≤N

∥Rnh∥Y

(∥y0∥Y +Nh max

0≤n≤N∥ρn∥Y

)(2.19)

Từ đây, ta xây dựng các chuẩn trong Uh, Fh thoả mãn điều kiện :

∥uh∥Uh≤ C2.max0≤n≤N ∥yn∥Y .

∥y0∥Y ≤ C2.∥fh∥Fh

∥ρn∥Y ≤ C2.∥fh∥Fh

(2.20)

Vậy để lược đồ 2.12 ổn định thì :

∥uh∥Uh≤ C.∥fh∥Fh

⇐ ∥Rnh∥Y ≤ C3, n = 1, 2, . . . , N. (2.21)

Định lý 2.3.1. Lược đồ 2.12 ổn định thì điều kiện đủ là

∥Rnh∥Y ≤ C3, n = 1, 2, . . . , N. (2.22)

với C = 2C22C3.

tức là : các chuẩn của lũy thừa các toán tử Rh phải bị chặn đều theo h.

Chứng minh :

Theo 2.19 và 2.20, ta có :

∥uh∥Uh≤ C2. max

0≤n≤N∥yn∥Y

≤ C2. max0≤n≤N

∥Rnh∥ (C2 + C2) .∥fh∥Fh

≤ C2.C3.2C2.∥fh∥Fh≤ 2C2

2C3.∥fh∥Fh

Vậy : ∥uh∥Uh≤ C.∥fh∥Fh

, với C = 2C22C3

10

2.4 Phương pháp sử dụng toán tử Rh và ví dụ

2.4.1 Phương pháp

• Bước 1 : Chuyển lược đồ về dạng chính tắc như 2.12

• Bước 2 : Định nghĩa các chuẩn ∥uh∥Uh, ∥fh∥Fh

, ∥Rh∥Y , ∥ρn∥Y , ∥, ∥y0∥Y

• Bước 3 : Chứng minh ∥Rnh∥Y ≤ C, n = 1, 2, . . . , N − 1

2.4.2 Ví dụ

Ví dụ 2.4.1. Khảo sát sự ổn định của lược đồ giải bài toán 2.2

Ta xây dựng lược đồ sai phân như sau :

vn+1 − vnh

+ Avn +Bwn = pn

wn+1 − wn

h+ Cvn +Dwn = qn

v0 = a, w0 = b

, n = 0, 1, . . . , N − 1 (2.23)

Ta viết lại dưới dạng hệ thức truy toán như sau :

[vn+1

wn+1

]−

[vn

wn

]h

+

(A B

C D

)[vn

wn

]=

[pn

qn

]n = 0, 1, . . . , N − 1

[v0

w0

]=

[a

b

]

trong đó,

(A BC D

)là ma trận vuông cấp 2. Quy đồng hệ số h ta được :

[vn+1

wn+1

]=

(1− Ah −Bh

−Ch 1−Dh

)[vn

wn

]+ h

[pn

qn

][

v0

w0

]=

[a

b

]

Vậy ta đưa về dạng chính tắc như 2.12 bằng cách đặt :

yn =

[vnwn

], Rh =

(1− Ah −Bh−Ch 1−Dh

), ρn =

[pnqn

]

11

thì hệ trên trở thành :

yn+1 = Rhyn + hρn, y0 = const

Bây giờ, ta định nghĩa các chuẩn như sau :

∥uh∥Uh=

wwww[ vnwn

]wwww = max{max |vn|,max |wn|

},

∥fh∥Fh=

wwwwwwww

pnqnab

wwwwwwww = max

{|a|, |b|,max |pn|,max |qn|

},

∥yn∥Y =

wwwww[

y(1)n

y(2)n

]wwwww = max{|y(1)n |, |y(2)n |

}Ở đây, Y là 1 không gian vector bất kỳ. Vậy ta xét 1 toán tử tuyến tính trong

Y như sau :

T =

(t11 t12t21 t22

)có chuẩn :

∥T∥ = max{|t11|+ |t12|, |t21|+ |t22|

}(2.24)

Vậy:

max∥x∥=1

∥Tx∥Y = ∥T∥Y ⇔ x =

[11

]hoặc x =

[1−1

]Áp dụng 2.24 cho chuẩn ∥Rh∥Y , ta được :

∥Rh∥Y =

wwww( 1− Ah −Bh−Ch 1−Dh

)wwwwY

≤ max{|1−Ah|+|Bh|, |1−Dh|+|Ch|

}= 1 + C ′h

Khi đó,

∥Rnh∥Y ≤ ∥Rh∥nY ≤ (1 + C ′h)N ≤ eC

′= M,n = 1, 2, . . . , N(đpcm)

Ví dụ 2.4.2. Xét lược đồ sai phân xấp xỉ bài toán 2.1 cấp h2:un+1 − un−1

2h+ Aun = φn

u0 = α, u1 = βn = 1, 2, . . . , N − 1 (2.25)

với α = a, β = (1− Ah)a+ hφ0

12

Ta viết lại 2.25 như sau :un+1 = un−1 − 2Ahun + 2hφn

u1 = β

u0 = α

Nếu ta có :

y0 =

[u1

u0

]=

[βα

]=

[(1− Ah)a+ hφ0

a

]Thì ta đặt :

yn+1 =

[un+1

un

]=

[un−1 − 2Ahun + 2hφn

un

]

=

(−2Ah 11 0

)[un

un−1

]+ h

[2φn

0

]

Rh =

(−2Ah 11 0

), ρn =

[2φn

0

], y0 =

[(1− Ah)a+ hφ0

a

]Khi đó, 2.25 có dạng chính tắc. Ta tiếp tục xây dựng các chuẩn như sau :

∥uh∥Uh= max |un|

∥ρn∥Y = max |2φn|

∥fh∥Fh=

wwwwww φn

αβ

wwwwww = max0≤n≤N−1

{|α|, |β|,max |φn|

}∥yn∥Y =

wwwww[

y(1)n

y(2)n

]wwwww = max{|y(1)n |, |y(2)n |

}Các chuẩn trên đã thỏa mãn 2.20 nên ta xét :

∥Rnh∥Y ≤ ∥Rh∥nY =

wwww( −2Ah 11 0

)wwwwn

Y

≤ (1+2|A|h)n ≤ e2|A|, n = 1, 2, . . . , N−1

Vậy lược đồ trên là ổn định.

Ví dụ 2.4.3. Khảo sát sự ổn định của lược đồ sai phân sau xấp xỉ bài toán

2.3 : un+1 − 2un + un−1

h2+ A

un+1 − un−1

2h+Bun = φn

u0 = a,u1 − u0

h= b, n = 1, 2, . . . , N − 1

(2.26)

13

Trước tiên, ta quy đồng 2.26 :

un+1 =2(2−Bh2)

2 + Ah.un −

2− Ah

2 + Ahun−1 +

2h2

2 + Ahφn

un = un

u0 = a, u1 = a+ bh

(2.27)

Khi đó, ta được hệ thức truy toán sau :

[un+1

un

]=

4− 2Bh2

2 + Ah

2− Ah

2 + Ah

1 0

[

un

un−1

]+ h

2h

2 + Ahφn

0

[u1

u0

]=

[a+ bh

a

]

Dựa vào trên ta đặt :

yn =

[y(1)n

y(2)n

]=

[un

un−1

]

Rh =

4− 2Bh2

2 + Ah

2− Ah

2 + Ah

1 0

ρn =

2h

2 + Ahφn

0

Vậy ta đã đưa được 2.26 về dạng chính tắc. Ta tiếp tục đặt các chuẩn :

∥uh∥Uh= max |un|

∥fh∥Fh=

wwwwww φn

ab

wwwwww = max{|a|, |b|,max |φn|

}

14

Tương tự như 2.24, ta có :

∥Rh∥Y = max

{∣∣∣∣4− 2Bh2

2 + Ah

∣∣∣∣+ ∣∣∣∣Ah− 2

2 + Ah

∣∣∣∣ , 1}

≈ max

{∣∣∣∣1− Bh2

2 + Ah

∣∣∣∣ , 1} ≈ max

{1 + | Bh2

2 + Ah|, 1}

= 1 + | Bh2

2 + Ah| > 1

Vậy :

∥Rnh∥Y ≈ ∥Rh∥nY → ∞

Khi đó lược đồ sai phân không ổn định.

Rõ ràng, ta có thể nhận thấy rằng : Việc chọn chuẩn cho Rnh, ρn, yn trong không

gian Y đã ảnh hưởng trực tiếp đến kết quả về sự ổn định của lược đồ. Để khắc

phục điều này, ta sẽ chọn chuẩn mới thông qua 1 phép biến đổi tuyến tính bất

kỳ.

Giả sử ta có 1 phép biến đổi tuyến tính T thì :

T.yn+1 = T.Rnh.yn + T.hρn = T.Rn

h.T−1.T.yn + h.T.ρn

Vậy : {y

′n+1 = R

′

h.y′n + h.ρ

′n

y′0 = const

với

y′

n = T.yn, R′

h = T.Rnh.T

−1, ρ′

n = T.ρn

Việc chọn phép biến đổi tuyến tính T, ta có thể dựa vào giả thiết như sau :

Giả sử ta đã có y0 =

[u1

u0

]nhưng không thỏa mãn Định lý 2.3.1.

Khi đó, ta xét

y′

0 =

[ab

]=

[u0

u1 − u0

h

]= T

[u1

u0

]= Ty0

Suy ra :

T =

(0 11

h− 1

h

), T−1 =

(1 h1 0

)

15

Vậy

R′

h = TRhT−1 =

1 h

−2Bh

2 + Ah

2− Ah− 2Bh2

2 + Ah

ρ′

n =

0

2

2 + Ahφn

Vẫn xét chuẩn trong không gian Y như 2.24 thì thỏa mãn Định Lý 2.3.1.

Khi đó :

∥Rnh∥ ≤ ∥Rh∥nY ≤ |1 + Ch|N ≤ eC

với :

1+Ch ≥ max{1+h,

∣∣∣∣ 2Bh

2 + Ah

∣∣∣∣+∣∣∣∣2− Ah− 2Bh2

2 + Ah

∣∣∣∣ } = max{1+h, 1+

2(|B|+ |B|h)2 + |A|h

h}

Chương 3

Ứng dụng và bài tập

Cho các lược đồ sai phân giải bài toán vi phân :{u′ + Au = φx

u0 = a(3.1)

Chứng minh sự ổn định và tìm hằng số C trong định nghĩa ổn định :

∥uh∥Uh≤ C∥fh∥

của các lược đồ sau :

Lược đồ 3.1. un+1 − un

h+ A(nh)un = φn,

u0 = a, n = 0, 1, . . . , N − 1

Với |A(x)| ≤ M = cons.

Các chuẩn ∥uh∥Uh= max |un|, ∥fh∥Fh = max

{|a|,max |φn|

}Lược đồ 3.2.

un+1 − un

h+ Aun+1 = φn

u0 = a

A = const

Ba điều kiện 2.20 thỏa mãn với C2 = 1

Lược đồ 3.3. un+1 − un

h+ A

un+1 + un

2= φ

[(n+

1

2)h

]u0 = a, n = 1, 2, . . . , N − 1

16

17

Chứng minh :

3.1. Ta có :{un+1 = (1− A(nh)h)un + hφn

u0 = an = 0, 1, ..., N − 1 (3.2)

Đặt : yn = un

Rh = 1− A(nh)

ρn = φn

Khi đó, 3.2 có dạng chính tắc. Ta xây dựng các chuẩn trong không gian Uh, Y

và Fh như sau :

∥uh∥Uh= max

0≤n≤N|un|,

∥fh∥Fh=

wwww φn

a

wwww = max{|a|, max

0≤n≤N|φn|

}∥yn∥Y = max |un|

∥ρn∥Y = max |φn|

Vậy các chuẩn trên thỏa mãn điều kiện 2.20, khi đó :

∥Rnh∥Y = |(1− A(nh).h)n| ≤ |1− A(nh).h|n

≤∣∣∣∣1− A(nh)

N

∣∣∣∣N ≤ e|A(nh)| ≤ eM = C3

Suy ra : lược đồ ổn định với C = 2C22 .C3 = 2.12.eM = 2eM .

3.2. Ta có : un+1 =1

1 + Ahun +

φn

1 + Ah.h

u0 = a.(3.3)

Đặt :

yn = un

Rh =1

1 + Ah

ρn =φn

1 + Ah

Khi đó : 3.3 có dạng chính tắc. Ta định nghĩa các chuẩn trong không gian

Uh, Fh, Y như sau :

18

∥uh∥Uh= max

0≤n≤N|un|,

∥fh∥Fh=

wwww φn

a

wwww = max{|a|, max

0≤n≤N|φn|

}∥yn∥Y = max |un|

∥ρn∥Y = max

∣∣∣∣ φn

1 + Ah

∣∣∣∣ = max |φn||1 + Ah|

Theo giả thiết, ta có các chuẩn thỏa mãn 2.20 với C2 = 1 nên :

• Nếu |a| ≤ max |φn| thì : ∥fh∥Fh= maxφn ≥ max |φn|

|1 + Ah|.

Vậy :

|1 + Ah| ≥ 1 ⇔ ∥Rnh∥Y =

1

|1 + Ah|n≤ 1

|1 + Ah|≤ 1

• Nếu |a| ≥ max |φn| thì : ∥fh∥Fh= a.

Khi đó :

maxφn

|1 + Ah|=

a

|1 + Ah|≤ a ⇔ |1 + Ah| ≥ 1 ⇔ ∥Rn

h∥Y ≤ 1

Kết luận : lược đồ ổn định với C = 2.12.1 = 2

3.3 Ta có :un+1

2=

(2− Ah

2 + Ah

).un

2+ h

φ

[(n+

1

2

)h

]2 + Ah

u0 = a

(3.4)

Đặt : yn =un

2, Rh =

2− Ah

2 + Ah, ρn =

φ

[(n+

1

2

)h

]2 + Ah

.

Khi đó : 3.4 có dạng chính tắc. Bây giờ ta đặt các chuẩn sau :

∥uh∥Uh= max

0≤n≤N|un|,

∥fh∥Fh=

wwwwww φ

[(n+

1

2

)h

]a

wwwwww = max{|a|,max

∣∣∣∣φ [(n+1

2

)h

]∣∣∣∣ }∥yn∥Y = max |un|

∥ρn∥Y = max

∣∣∣∣∣∣∣∣φ

[(n+

1

2

)h

]2 + Ah

∣∣∣∣∣∣∣∣ =max

∣∣∣∣φ [(n+1

2

)h

]∣∣∣∣|2 + Ah|

19

Các chuẩn này đều thỏa mãn điều kiện 2.20 với C2 = 1. Khi đó :

|Rnh| ≤

∣∣∣∣2− Ah

2 + Ah

∣∣∣∣n ≤∣∣∣∣1− 2A

2 + Ah.h

∣∣∣∣N ≤ (1 +2|A|

|2 + Ah|.h)N

≤ e

2|A||2 + Ah| ≤ e2|A|( vì C2 = 1 nên |2 + Ah| ≥ 1)

Vậy lược đồ ổn định và : C = 2e2|A|

LỜI CẢM ƠN

Vì khuôn khổ tiểu luận có hạn, thời gian thực hiện ngắn, nên tiểu luận

chỉ có thể trình bày được 1 vấn đề trong các lược đồ sai phân. Rút ra phương

pháp cơ bản để giải bài toán Cauchy bằng lược đồ sai phân.

Dù đã cố gắng nhưng có lẽ vẫn không tránh được một số sai sót nhất định.

Chúng em mong thầy và các bạn sẽ có những sửa đổi, đóng góp để Tiểu luận

trở nên đúng đắn và chính xác hơn.

Xin chân thành cảm ơn thầy Lê Hải Trung đã tận tình giảng dạy trong

những ngày qua, các tác giả những cuốn sách về Sai Phân đã mang đến cho

chúng em nhiều kiến thức hữu ích để hoàn thành tiểu luận này...

Học viên K25

Nhóm 5

Tài liệu tham khảo

[1] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp. Phương

trình sai phân và một số ứng dụng, NXBGD, .

21

Mục lục

Lời giới thiệu i

1 Các kiến thức liên quan 1

1.1 Lược đồ sai phân đối với phương trình vi phân thường . . . . . 1

1.1.1 Khái niệm lược đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Cấp chính xác của lược đồ . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.3 Tốc độ hội tụ của nghiệm sai phân . . . . . . . . . . . . 2

1.1.4 Cấp xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Sự ổn định của lược đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Sự hội tụ của lược đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.3 Định nghĩa sự ổn định của lược đồ sai phân . . . . . . . 4

2 Tiêu chuẩn đủ về sự ổn định của lược đồ sai phân giải bài toán

Cauchy 6

2.1 Phương pháp tổng quát khảo sát sự ổn định của lược đồ sai phân 6

2.2 Dạng chính tắc của lược đồ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Điều kiện đủ về sự ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Phương pháp sử dụng toán tử Rh và ví dụ . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2 Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Ứng dụng và bài tập 16

Lời cảm ơn 20

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

22