1

MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ CÁC DẠNG TOÁN

TRONG ĐỀ THI CASIO CẤP TỈNH

TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC:

+Tính được các giá trị của biểu thức chứa nhiều hàm số như:

lượng giác, mũ, lôgarit ..

+Các dạng biểu thức lặp, hàm hợp.

+Tất cả các giá trị qua bước trung gian đều lưu vào biến nhớ

Bài 1: (Giải tích-Tính giá trị của hàm số)

Cho hàm số: 23

)1(sinlog2)( 3

1

x

xxxfy

x

.

Đặt

n

n ffff ..009,2...

Lập quy trình và tính 1510521 ;;;; fffff

HD:

Ấn 2,009 =

( 2 X 2 ^ ANS X ( ln ( sin ANS + ANS + 1) : ln 3) : ( 3ANS - 2 ) =

ấn phím = liên tiếp ta tính được các giá trị:

Đáp số: 64576,21 f ; 71759,22 f ; 802898,25 f ; 83172,210 f ; 83635,220 f

Bài 2 (khu vực 2009) Tính giá trị của hàm số sau tại 0,5x :

3 2

2

sin 1( )

ln( 3)

x xf x

x x

Bài 3 (Qtri 2010-2011)

Cho 3 2 5( ) 1 3f x x x và 2 3 5( ) sin 2 3 cos7

g x x x

Tính: 7) 13a f g 1

)2011

b f f f

)

5c g g g

ĐS: 7) 13 4,1244a f g

1) 4.211,1978

2011b f f f

) 0,59485

c g g g

2

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH :

+Sử dụng phương pháp lặp hoặc lệnh SHIFT SOLVE để tìm

nghiệm gần đúng của phương trình.

+Chứng minh được phương trình có k nghiệm và tìm được k

nghiệm đó.

Bài 1 (Qtri 2009-2010). Giải phương trình 3

7. 3 02

x

x

Xét hàm số: 3

7. 32

x

y x

, ta có: 3 3

' ln 72 2

x

y

Và 3 3

' 0 ln 7 02 2

x

y

3

2

7log

3ln

2

x

2

Vì ' 0y có đúng 1 nghiệm nên phương trình đã cho có nhiều

nhất 2 nghiệm 1

Sử dụng máy tính được 2 nghiệm: 1

2

0,8681

7,8006

x

x

2

Bài 2: Giải phương trình:

32)35(log36 6 xxx

Giải: Đk: x > -3/5

Đặt )36(log3 6 xt (t > 0). Ta có hệ:

)2(3236

)1(356

xt

x

x

t

tx tx 3636 (*)

Xét hàm số: y = 6x + 3x ; y' =6

x.ln6 +3 > 0 x nên hàm số đồng biến.

Vậy (*) x=t . Từ (2) ta có pt: 0356356 xx xx .(3)

Xét hàm số y = 6x - 5x - 3

y'=6x.ln6 -5

y'=0 x=

6ln

5log 6 do đó pt (3)có nhiều nhất 2 nghiệm.

Sử dụng máy tìm được hai nghiệm: x1 1,237934 ; x2 -0,521425.

3

Bài 3: Giải phương trình:

10 35 2 3x x x

9 2' 10 15 2y x x 8'' 90 30y x x ;

y’’=0 có hai nghiệm nên phương trình y’=0 có nhiều nhất 3 nghiệm.

Sử dụng máy tính tìm được 3 nghiệm gần đúng của phương trình y’=0 là:

1 1,03990081x ; 2 0,3652539807x ; 3 0,365043279x

Ta có: 1( ) 5,064076165y x <0; 2( ) 2,513093304y x <0;

3( ) 3,486822416y x <0, limx

y

do đó phương trình đã cho có đúng 2

nghiệm.

Sử dụng máy tính tìm được nghiệm của phương trình:

1 0,950804901x ; 2 1,266601048x

4

CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY

*Các bài tính tổng:

+Phát hiện những tính chất đặc biệt của tổng.

+Xây dựng công thức tổng quát của tổng.

*Các bài toán về dãy lặp

+Phát hiện và chứng minh được chu kỳ lặp.

*Các bài toán về dãy truy hồi (phương trình sai phân)

+Lập được quy trình bấm liên tục.

+Tìm được công thức của số hạng tổng quát.

+Sử dụng để tính tổng.

*Tính giới hạn:

+Sử dụng máy.

+Định lý qua giới hạn

*Xem tài liệu:

+Một số dạng toán thi HSG giải toán trên máy tính điện tử - TS Tạ

Duy Phượng.

+THTT số 388 (tháng 10-2009)

+Giới hạn của dãy số và hàm số - Nguyễn Văn Mậu

1. Tính tổng:

Bài 1: Cho 9

( )9 3

x

xf x

. Tính

1999

1 2000i

iS f

HD: Ta thấy:

1 1999

2000 2000

1 1999

2000 2000

1 1999 9 91

2000 20009 3 9 3

T f f

Bài 2: Qtri 2009-2010

Tính tổng sin sin 2 sin 2010S x x x với 71 11

3 5x

HD: 2sin . 2sin sin 2sin sin 2 2sin sin 20102 2 2 2

x x x xS x x x

=3 3 5

cos cos cos cos2 2 2 2

x x x x

4019 4021

cos cos2 2

x x

=4021

cos cos2 2

x x

4021cos cos

2 2

2sin2

x x

Sx

Thay 71 11

3 5x

ta tính được S -0,2732

5

2.Dãy lặp:

Bài 1. Cho dãy số nu xác định bởi 7 11

1

1 32011,

3

nn

n

uu u

u

với 2n .

Tính ku với 201120k

Đặt 1 tanu

Ta có 01

012 0

11

1

1 3 tan30 tan3 tan 301 1 tan30 .tan3 13

uu

uu u

Bằng quy nạp ta chứng minh được 0tan ( 1)30nu n

Suy ra: 1 6 1nu u , 2 6 2nu u , 3 6 3nu u 4 6 4nu u , 5 6 5nu u , 6 6nu u với 1n

2

Ta có:

2011 2011 201120 (18 2) 2 (mod6)k 20102 2 (mod6)

30 672 (2 ) (mod6) 672 4 (mod6) 668 4 (mod6)

68 4 mod6 2 mod6

1

Do đó 7

2 7

1 3 20114,9783

3 2011ku u

4,9783ku 2

Baìi 2: Cho caïc säú: x1=2; x2=1

1

3

1 3

x

x

;x3=

2

2

3

1 3

x

x

;.... ;xn=

1

1

3

1 3

n

n

x

x

;

1)Tênh xp våïi p=20092008

2)S=x1+ x2 + x3 + ...+ x2008.

ĐS: x1=x3n+1; x2=x3n+2; x3=x3n.(n>=1).

1)p=20092008=(2007+2)2008 22008(mod3) (3+1)1004(mod3) 11004(mod3)

1(mod3)

p=3k+1

Váûy xp =2.

2) S = (x1+x2 + x3 ) + (x4+x5 + x6 )+ ... +(x2005+x2006 + x2007)+ x2008.

=669((x1+x2 + x3 )+ x2008= 669(x1+x2 + x3 ) + 2;

Kãút quaí : S= 4036

11

6

3. Caïc baìi toaïn vãö daîy säú (Phæång trçnh sai phán):

Âáy laì baìi toaïn quen thuäüc trong caïc âãö thi giaíi Toaïn trãn maïy tênh boí tuïi.

3.1:Daûng phæång trçnh sai phán báûc nháút:

Cho u1 =C vaì un =a.un-1+f(n) våïi n>1. Tênh uk.

C A ( A thay cho un)

1 X

Nháûp biãøu thæïc:

X=X+1:A=aA+f(X).

ÁÚn phêm = liãn tuûc vaì xem kãút quaí cuía biãún X; A.

VD1: Cho daîy säú (Un) thoía:

U1=-3;

Un=un -1+ n3 (n>1). Láûp quy trçnh tênh un.

-3 A ( A thay cho un)

1 X

Nháûp bãøu thæïc:

X=X+1:A=A+X^3.

ÁÚn phêm = liãn tuûc vaì xem kãút quaí cuía biãún X; A.

3.2: Daûng phæång trçnh sai phán báûc hai:

Cho u1=GT1; u2 =GT2 vaì un= a.un-2 + b.un-1+ f(n). våïi n>2. Tinh uk.

GT1 A

GT2 B

2 X

Nháûp biãøu thæïc:

X=X+1:A=aA+bB+f(X):X=X+1:B=aB+bA+f(X)

ÁÚn phêm = liãn tuûc seî xuáút hiãûn láön læåüt giaï trë cuía X vaì uX.

VD2: Cho u1=1; u2=1; un = un-2+ un-1. våïi n>2.(Daîy Phibonaci)

Sæí duûng maïy tênh:

1 A; 1 B; 2 X

Nháûp biãøu thæïc:

X=X+1:A=A+B:X=X+1:B:=A+B

ÁÚn phêm = liãn tuûc seî xuáút hiãûn giaï trë cuía X vaì uX.

7

VD3: Cho daîy säú un våïi u0=5; u1=3; un=3un-2 +2un-1 - n2+3n våïi n=2,3,4,5...

5 A; 3 B; 1 X

Nháûp biãøu thæïc:

X=X+1:A=3A+2B-X2+3X : X=X+1: B=3B+2A-X2+3X

ÁÚn phêm = liãn tuûc seî xuáút hiãûn giaï trë cuía X vaì uX.

VD4:Cho (xn ; yn) våïi x0=3; y0= 2; xn=3xn-1+4yn-1; yn=2xn-1+3yn-1 , n=1,2,3

Láûp quy trçnh tênh (xn ; yn).

HD: Sæí duûng 4 biãún A, B, C, D

3 A; 2 B;

Nháûp biãøu thæïc: C=3A+4B:D=2A+3B:A=3C+4D:B=2C+3D

Baìi táûp:

1. Láûp quy trçnh tênh caïc täøng sau:

S1 =1-23 + 33-43 +....+(-1)n+1n3. S2 =1 1 1 1

...1.2 2.3 3.4 .( 1)n n

;

S3= 11 1 1 1 ( 1)

...1.2 2.3 3.4 4.5 .( 1)

n

n n

; S4=1 + 27 + 125+ ....+ (2n-1)3

2.Láûp quy trçnh báúm phêm liãn tuûc xaïc âënh caïc giaï trë cuía caïc daîy säú:

a) x0=1; 2

1 5 24 1n n nx x x n N

b) 0 1

2 1

2; 0

2 2 ( 2,3..)n n n

x x

x x x n

c)

0 1

2

2 1

1; 3

2 5 2 2 3 ( 0,1,2..)n n n

x x

x x x n n n

d) 1 2

2 1

3; 2

4 5 12 8 ( 1,2,3..)n n n

x x

x x x n n

e)

1 2

2

1

2

1

2( 3)n

n

n

x x

xx n

x

8

Tính giới hạn :

Bài 1: Tính gần đúng giới hạn của dãy số có số hạng tổng quát là: sin(1 sin(1 ...sin1))nu

Qua giới hạn, lim nu là nghiệm của phương trình

sin(1 )x x

Giải phương trình được nghiệm của pt: 0,48903x

Bài 2:

Cho dãy {xn} được xác định như sau:

1 2

1

12

3n n

n

ax x

x

với n>=2; a>0; 1x > 0

a) Tính 50x với a=15

b)Tính giới hạn của dãy.

9

TÍNH ĐẠO HÀM CẤP CAO

Bài 1(qt 2010). Tính đạo hàm cấp 5 của hàm số ( ) ln 1 2f x x tại điểm

0 2,3456x

2

2'

1 2y

x

2 2

( 2).( 1).1.( 2) 4"

(1 2 ) (1 2 )y

x x

(3)

3 3

( 4).( 1).2.( 2) 16

(1 2 ) (1 2 )y

x x

(4)

4 4

( 16).( 1).3.( 2) 96

(1 2 ) (1 2 )y

x x

(5)

5 5

( 96).( 1).4.( 2) 768

(1 2 ) (1 2 )y

x x

4

Thay 0 2,3456x ta tìm được (5)

0( ) 0,1286y x

1

Lưu ý: Nếu học sinh sử dụng công thức 1

( ) ( 1) .( 1)!

( )

n nn

n

a ny

ax b

thì phải chứng minh.

Sau đó áp dụng với 5, 2n a , 0 2,3456x x

Bài 2(khu vực 2008):

Tính gần đúng giá trị đạo hàm cấp 100 của hàm số f(x) = sinx tại x = 140308.5

10

CÁC DẠNG KHÁC

Bài 1: Tìm hệ số của số hạng chứa 13x trong khai triển:

82

3

3

1 12

3 5x

5

Ta có 8

2 16 28

3 3

83 30

1 1 1 12 2

3 5 3 5

k k

k

k

x C x

16 2

8 16 23

8 16 230 0

1 12

5 3

k k mk m

k m

k

k m

C C x

16 2

8 16 216 23

8 16 230 0

1 12

5 3

k k mk m

k m k m

k

k m

C C x

2

Số hạng chứa 13x sẽ ứng với ,k m thỏa mãn

16 2 13k m 2 3m k 0 1

3 1

k k

m m

1

Vậy hệ số của 13x trong khai triển đã cho sẽ bằng:

0 16 3

30 3 3

8 163

1 12

5 3C C

+ 1 16 2 1

11 1 3

8 143

1 12

5 3C C

1

Bấm máy ta có kết quả là 0,8217 1

Baìi 2:

Tênh diãûn têch pháön hçnh phàóng giåïi haûn båíi tam giaïc ABC vaì âæåìng

troìn näüi tiãúp cuía tam giaïc. Biãút B=750, AB=6cm. Âæåìng trung tuyãún AM

=7 cm.

Yãu cáöu kãút quaí chênh xaïc âãún 10 chæî säú.

Âaïp aïn:

Baìi 1: Âàût AB=c; AC=b; BC=a .

Ta coï: AM2 = c2 + BM2 - 2.c.BM.cos750.

BM2-12BM.cos750-13=0

Vç yãu cáöu kãút quaí chênh xaïc âãún 10 chæî säú nãn

ta khäng giaíi phæång trçnh bàòng chæång trçnh

caìi sàón maì phaíi tênh bàòng '. Ta sæí duûng caïc

cäng thæïc sau:

'=(6cos750)2+13; BM=6cos750- ' < 0 hoàûc BM = 6cos750+ ' ;

a=2BM; b2= a2+c2 -2a.c.cos750 ; SABC = 1

2a.c.sin750; SABC =pr

r= SABC /p;

B

C

A

M

b c

a

11

Sâtr= r2; S = SABC - Sâtr= SABC- (2SABC /(a+b+c))2 .

Tiãún haình báúm maïy:

(6 x cos750)2+13 SHIFT STO D (Tênh vaì læu vaìo D)

6 x cos750- D =( kãút quaí ám nãn loaûi);

2(ANS + 2 D )SHIFT STO A (tênh a=2BM læu vaìo A)

(62 + A2 -2 x 6 x A x cos75) SHIFT STO B ( Tênh b vaì læu vaìo

B) 1

2 x 6 x A x sin750 = (Tênh diãûn têch tam giaïc )

ANS - ( 2 x ANS : (6 + B + A))2 x =

KÃÚT QUAÍ: S 15, 59696525

Bài 3:(hình học không gian)

Cho tứ diện SABC có các cạnh SA=SB=SC=3,1415 và BSA=1200;

BSC=600; ASC=90

0.

a) Tính thể tích khối tứ diện SABC

b)Tính thể tích khối cầu nội tiếp tứ diện.

Giải:

Đặt SA=a.

Tam giác SBC đều BC=a;

Đặt SA=a, tam giác ABC đều nên BC=a.

Gọi H là trung đểm của AB ta có: BA=a 3 ;

AC=a 2

ABC vuông tại C

SH (ABC)

1)VSABC=1

3SH*SABC=

21 2

3 2 2

a a=

3 2

12

a3,65411549 (đvtt)

2) Gọi O là tâm của hình cầu nội tiếp tứ diện có bán kính r, ta có chiều cao

của các hình chóp OABC; OSAC; OSAB; OSBC là R. Vậy:

VSABC= 1

3r.Stp (Stp là diện tích tòan phần của tứ diện SABC)

SSBC=21 3 3

2 2 4

a aa ; SSAB

2 3

4

a ; SSAC

2

2

a ;

Stp=2 ( 3 2 1)

2

a r=

3 2

2( 3 2 1)

SABC

tp

V a

S

0,535768922

Bài 5:

Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: 33 118118 xxy

12

Đặt

3

3

118

118

xv

xu ta có:

3633 vu

vuy

ta có: (u+v)(u2 + v

2 - uv)=36

(u+v)[(u+v)2 -3uv]=36

36)3233( 32 xyy

363233 33 xyy

y

yx36

3233 23 (*)

Vì x, y nguyên dương nên (*) xảy ra khi 36 chia hết cho y.

Hay y={1; 2; 3; 4; 6;9;12;18;36} . 3

3

3

36323

y

yx

Thế các giá trị của y vào ta thấy y=3 ; x=324 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy

3

324

y

x

Baìi 8: Baûn gæîi 15.000.000 â vaìo ngán haìng våïi laîi suáút keïp 0,7% /1thaïng (tiãön laîi thaïng træåïc seî âæåüc cäüng vaìo tiãön gäúc thaïng sau) 1)Sau 3 nàm säú tiãön caí gäúc láùn laîi laì bao nhiãu? 2)Mäùi thaïng baûn ruït 50.000 thç sau 3 nàm säú tiãön caí gäúc láùn laîi laì bao nhiãu? 3)Baûn muäún ruït dáön tiãön trong voìng 3 nàm thç hãút säú tiãön åí ngán haìng. Hoíi mäùi thaïng baûn ruït bao nhiãu ?

HD: Goüi säú tiãön mäùi thaïng thu âæåüc caí gäúc láùn laîi laì xn, laîi laì r=0,7%

x0=15.000.000; x1=x0 + r.x0 =(1+r)x0; x2=x1+rx1=x0.(1+r)2;...xn=x0(1+r)n.

1) x36=x0(1+0,007)3619.282.005,35â

2) xn=xn-1+rxn-1- m

Giaíi pt sai phán ta coï xn=x0(1+r)n +m

r[1-(1+r)n]

x3617 242 955,18

3)våïi x36=0, tæì cäng thæïc trãn ta coï: m= -36

0

36

(1 )

1 (1 )

x r r

r

472 818,31â