LOGO

Nhóm thảo luận:

Nguyễn Đức Trọng

Hoàng Hoa Đại

Nguyễn Văn Nhâm

Mai Văn Thức

Nguyễn Công Long

Lê Đại Dương

BÀI THẢO LUẬN SỐ 2

MÔN HỌC: TỐI ƯU HÓA

I. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Phát biểu bài toán đối ngẫu:

- Mỗi BTQHTT (còn gọi là bài toán gốc) có một bài toán đối

ngẫu. Như vậy, bài toán gốc và bài toán đối ngẫu của nó lập thành

một cặp BTQHTT, tính chất của bài toán này có thể được khảo sát

thông qua bài toán kia

Đối ngẫu của bài toán QHTT dạng chuẩn

- Xét BT QHTT dạng chuẩn tắc:

- Ta có bài toán đối ngẫu:

I. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Đối ngẫu của bài toán QHTT dạng chính tắc

- Xét BT QHTT dạng chính tắc:

Đối ngẫu của bài toán QHTT dạng tổng quát

- Xét BT QHTT dạng tổng quát:

f(x)=ctx min

- Ta có bài toán đối ngẫu:

- Ta có bài toán đối ngẫu:

g(y)=bty max,

I. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Quy tắc thiết lập bài toán đối ngẫu

Quy tắc 1: BTG là bài toán Min ⇒ BTĐN là bài toán Max.

Quy tắc 2: Các hệ số hàm mục tiêu của BTG ⇒ Các hệ số vế phải của BTĐN.

Quy tắc 3: Các hệ số vế phải của BTG ⇒ Các hệ số hàm mục tiêu của BTĐN.

Quy tắc 4: Ma trận hệ số của BTG là A ⇒ Ma trận hệ số của BTĐN là At.

Quy tắc 5:

+ Biến ≥ 0 của BTG ⇒ Ràng buộc ≤ của BTĐN.

+ Biến ≤ 0 của BTG ⇒ Ràng buộc ≥ của BTĐN.

+ Biến có dấu tuỳ ý của BTG ⇒ Ràng buộc = của BTĐN.

Quy tắc 6:

+ Ràng buộc ≤ BTG ⇒ Biến ≤ 0 của BTĐN.

+ Ràng buộc ≥ BTG ⇒ Biến ≥ 0 của BTĐN.

+ Ràng buộc = BTG ⇒ Biến có dấu tuỳ ý của BTĐN.

Chú ý: Các quy tắc viết bài toán đối ngẫu tổng quát trên đây được áp dụng

khi bài toán gốcđã cho là BTQHTT dạng Min.

I. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu

Định lý 1 (Đối ngẫu yếu). Nếu x là một phương án bất kỳ của BT (P) và y là

một phương án bất kỳ của BT (Q) thì f(x)≥g(y).

Chứng minh:

g(y) = bty = <Ax,y> = <x,Aty> ≤ <x,c> = ctx = f(x).

Định lý 2. Nếu x*, y* lần lượt là các p.á của (P) và (Q), đồng thời f(x*)=g(y*)

thì x* và y* lần lượt là các p.á.t.ư của (P) và (Q).

Chứng minh:

xDp: f(x) ≥g(y*)=f(x*) x* là p.á.t.ư của (P).

yDQ: g(y)≤f(x*)=g(y*) y* là p.á.t.ư của (Q).

Định lý 3 (đối ngẫu mạnh).

a) Nếu (P) có p.á.t.ư thì (Q) cũng có p.á.t.ư và ngược lại, đồng thời giá

trị tối ưu bằng nhau.

b) Nếu f(x) không bị chặn dưới trong Dp thì (Q) không có phương án.

Nếu g(y) không bị chặn trên trong DQ thì (P) không có phương án.

Chứng minh:

Hệ quả. Điều kiện cần và đủ để cặp p.á x*, y* lần lượt là p.á.t.ư của cặp BT

đối ngẫu (P), (Q) là ctx*=bty*.

I. BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU

Quan hệ giữa cặp bài toán đối ngẫu

Định lý 4 (Định lý độ lệch bù yếu). Một cặp phương án x, y của hai quy

hoạch đối ngẫu (P) và (Q) là cặp phương án tối ưu khi và chỉ khi chúng

nghiệm đúng các hệ thức

Nhận xét: Nếu biết 1 p.á.t.ư của bài toán gốc thì ta có thể suy ra các p.á.t.ư

của bài toán đối ngẫu mà không cần giải nó.

1

1

( ) 0, 1,2,..., ,

( ) 0, 1,2,..., .

n

i ij j i

j

m

j j ij i

i

y a x b i m

x c a y j n

II. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU

2.1. Cơ sở chấp nhận được đối ngẫu

Xét BT QHTT dạng chính tắc

f(x)=ctxmin,

Ax=b, (P)

x≥0.

Giả thiết: rank(A)=m; {Aj, jJ} là hệ gồm m vectơ cột đltt của A. Gọi J là cơ sở của A; AJ là ma trận cơ sở.

Định nghĩa: Nếu xJ=AJ-1b≥0 thì J gọi là cơ sở chấp nhận được. Nếu x là p.á.t.ư thì J gọi là cơ sở tối ưu.

Định nghĩa: Vectơ y=(AJt)-1cJ được goi là p.á cơ sở đối ngẫu ứng với cơ sở J. Nếu y là p.á chấp nhận được của (Q) thì J được gọi là cơ sở chấp nhận được đối ngẫu.

II. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU

Bảng đơn hình đối ngẫu

Giả sử J là cơ sở chấp nhận được đối ngẫu. Giả thiết J={1,2,…,m}. Lập bảng

J Cj Xj 1 2 … k … n

C1 C2 … Ck … Cn

1

2

…

m

C1

C2

...

Cm

X1

X2

…

Xm

Z11 Z12 … Z1k … Z1n

Z21 Z22 … Z2k … Z2n

… … … … … …

Zm1 Zm2 … Zmk … Zmn

f(x) 1 2 ... k … n

II. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU

2.2. Thuật toán đơn hình đối ngẫu.

Các bước của thuật toán:

II. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU

LƯU ĐỒ THUẬT TOÁN

BÀI TẬP

a) Tìm bài toán đối ngẫu của bài toán sau đây. Giải bài toángốc băng thuật toán đơn hình đối ngẫu và suy ra kết quả của bài toán đối ngẫu tương ứng

Bài giải

BTG f(x) = x1 + 3x2+2 x3 min

Với các ràng buộc

BÀI TẬP

Ta có bài toán đối ngẫu tương ứng:

g(x) = 8y1 – 2y2 + 2y3 max

Chọn J={4,5,6} là 1 cơ sở

Lập bảng đơn hình xem J có là cơ sở chấp nhận đối ngẫu không:

BÀI TẬPJ Cj Xj C1

1

C2

3

C3

2

C4

0

C5

0

C6

0

4

5

6

0

0

0

8

-2

2

4

-2

1

-5

4

-3

7

-2

2

1

0

0

0

1

0

0

0

1

F(x)=0 -1 -3 -2 0 0 0

Nhận xét: tất cả các đều J là cơ sở chấp nhận đối ngẫu

Tiến hành tìm phương án tối ưu theo thuật toán đơn hình đối ngẫu ta được:

J Cj Xj C1

1

C2

3

C3

2

C4

0

C5

0

C6

0

4

1

6

0

1

0

4

1

1

0

1

0

3

-2

-1

3

1

1

1

0

0

2

-1/2

1/2

0

0

1

F(x)=1 0 -5 -1 0 -1/2 0

BÀI TẬP

Nhận thấy cột giả phương án có các thành phần đều dương nên J={4,1,6} là cơ sở tối ưu và phương án tối ưu là x*=(1,0,0,4,0,1) , f(x*) = 1

P/á tối ưu của bài toán đối ngẫu xác định bởi HPT (Aj,y)= Cj ( j

Cụ thể là:

BÀI TẬP

b) Chứng to J = (3,4,5) là một cơ sở đối ngẫu và giải bài toán sau đây băng thuật toán đơn hình đối ngẫu

BÀI TẬP

Áp dụng Gauss ta có:

Ta thử lập bảng:J Cj Xj C1

1

C2

1

C3

0

C4

0

C5

0

4

3

5

0

0

0

1

-5

-1

1

-1

-2

-3

4

5

0

1

0

1

0

0

0

0

1

F(x)=0 -1 -1 0 0 0

BÀI TẬP

Ta thấy đều nên J={3,4,5} là cơ sở chấp nhận đối ngẫu.

J Cj Xj C1

1

C2

1

C3

0

C4

0

C5

0

4

1

5

0

1

0

-4

5

9

0

1

0

1

-4

-3

1

-1

1

1

0

0

0

0

1

F(x)=5 0 -5 -1 0 0

Vì x4= -4 mà các z4k đều >0 => phương trình đã cho vô nghiệm.