Đa dạng hóa thô so với tối ưu (Optimal Versus Naïve Diversification)

Chiến lược portfolio 1/N không hiệu quả như thế nào?

Victor DeMiguel

London Business School

Lorenzo Garlappi

University of Texas at Austin

Raman Uppal

London Business School and CEPR

Chúng tôi đánh giá thành quả ngoài mẫu của mô hình trung bình phương sai mẫu, và sự mở rộng của nó được thiết kế để giảm bớt sai số ước lượng, so với danh mục thô 1/N. Trong 14 mô hình chúng tôi đánh giá thông qua 7 bộ dữ liệu thực nghiệm, không cái nào là bền vững tốt hơn quy tắc 1/N theo tỷ số Sharpe, suất sinh lợi chắc chắn tương đương (certainty-equivalent return), hoặc doanh thu chỉ ra rằng, những gì đạt được từ kiểm định ngoài mẫu thu được từ sự đa dạng hóa tối ưu được bù trừ nhiều hơn bằng sai số ước lượng. Dựa trên các tham số được hiệu chỉnh theo thị trường cổ phiếu US, kết quả phân tích và mô phỏng của chúng tôi cho thấy rằng cửa sổ ước lượng cần cho chiến lược trung bình phương sai mẫu và sự mở rộng của nó cho thành quả tốt hơn danh mục chuẩn 1/N trong vòng 3000 tháng cho danh mục với 25 tài sản và khỏang 6000 tháng cho 1 danh mục với 50 tài sản. Điều này gợi cho ta thấy còn rất nhiều điều cần phải làm (miles to go) trước khi thật sự có được lợi ích ngoài mẫu hứa hẹn bới sự lựa chọn danh mục tối ưu. (JEL G11).

Vào khoảng thế kỷ thứ 4, Rabbi Issac bar Aha đã đưa ra quy tắc phân bổ tài sản như sau: “một người luôn luôn có thể phân chia tài sản của anh ta thành 3 phần: 1 vào đất đai, 1 vào hàng hóa, và 1 phần là nắm giữ trong tay”.1

Sau 1 thời gian ngắn trầm lắng ít lý thuyết về phân bổ tài sản, đã có 1 sự khởi đầu tiến bộ đáng kể với nghiên cứu tiên phong của Markowitz (1952)2, người đã rút ra định luật tối ưu cho việc phân bổ tài sản trên những tài sản rủi ro trong một thiết lập tĩnh (static setting) khi mà các nhà đầu tư chỉ quan tâm đến giá trị trung bình và phương sai của tỷ suất sinh lợi của 1 danh mục đầu tư. Bởi vì việc thực hiện các danh mục đầu tư với ước tính những biến động (moments) của chúng thông qua mẫu tương tự (sample analogues) là rõ ràng để tạo ra tỷ trọng cực lớn (extreme weight) biến động đáng kể qua thời gian và ít thành quả ngoài mẫu (perform poorly out of sample), nỗ lực đáng kể đã được dành hết vào việc giải quyết sai số ước lượng với mục tiêu làm sao cải thiện thành quả của mô hình Markowitz. 3

1 Babylonian Talmud: Tractate Baba Mezi’a, trang số 42a2 Một vài kết quả lựa chọn danh mục đầu tư trung bình phương sai trong Markowitz ( 1952, 1956, 1959) và Roy (1952) đã được dự đoán vào năm 1940 bởi de Finetti, 1 bản dịch tiếng Anh đã có trong Barone (2006).3 Để thảo luận về những vấn đề trong việc thực hiện danh mục đầu tư trung bình phương sai tối ưu, xem Hodges và Brealey (1978), Michaud (1989), Best và Grauer (1991), và Litterman (2003). Để có một cuộc khảo sát chung của các tài liệu về lựa chọn danh mục đầu tư, xem Campbell và Viceira (2002) và Brandt (2007).

Vai trò nổi bật trong một loạt các lý thuyết thuộc về phương pháp tiếp cận Bayesian về sai số ước lượng, với phạm vi thực hành đa dạng, từ tiếp cận thuần thống kê dựa vào giả định xác suất tiên nhiệm bằng nhau (diffuse-priors ) (Barry,1974; Bawa, Brown, và Klein,1979), cho đến”ước lượng co” (shrinkage estimators) (Jobson, korkie, và Ratti,1979; Jobson và Korkie,1980; Jorion, 1985,1986), và các phương pháp tiếp cận gần đây nhất dựa theo mô hình định giá tài sản để xây dựng một tiên nghiệm (prior) (Pastor,2000; Pastor và Stambaugh,2000).4 Phương pháp phân bổ tài sản bằng nhau là 1 tiếp cận không-Bayesian với sai số ước lượng, bao gồm quy tắc phân bổ danh mục vững (robust) (Goldfarb và Iyengar,2003; Garlappi,Uppal, và Wang,2007); quy tắc danh mục được thiết kế để đa dạng hóa tối ưu trên thị trường và ước lượng rủi ro (Kan và Zhou,2007); những danh mục khai thác những hạn chế biến động (moment) được áp đặt bởi cấu trúc nhân tố của tỷ suất sinh lợi (MacKinlay và Pastor,2000); những phương pháp tập trung vào giảm sai số trong việc ước lượng ma trận hiệp phương sai (Best và Grauer,1992; Chan, Karceski, và Lakonishok,1999; Ledoit và Wolf, 2004a,2004b); và cuối cùng quy tắc danh mục áp đặt ràng buộc bán khống (shortselling constraint) (Frost và Savarino, 1988; Chopra,1993; Jagannathan và Ma,2003). 5

Mục tiêu của bài nghiên cứu này là tìm hiểu các điều kiện trong các mô hình danh mục trung bình phương sai tối ưu nào thì có thể kỳ vọng cho thành quả tốt ngay cả khi có sự hiện diện của rủi ro ước lượng. Để làm điều này, chúng tôi đánh giá thành quả ngoài mẫu (out-of-sample) của quy tắc danh mục trung bình phương sai mẫu và những mở rộng khác nhau được đưa ra để giảm ảnh hưởng sai số ước lượng – so với thành quả của quy tắc đa dạng hóa danh mục thô. Chúng tôi định nghĩa quy tắc thô là quy tắc mà khi tỉ lệ 1/N của tài sản được phân bổ cho mỗi N tài sản hiện hữu có thể dùng cho đầu tư vào mỗi ngày tái cân bằng (rebalancing date). Có 2 lý do để sử dụng quy tắc thô như là 1 danh mục chuẩn. Truớc tiên, nó dễ thực hiện vì nó không dựa vào ước lượng những biến động (moments) của tỷ suất sinh lợi tài sản hay tối ưu hóa. Thứ hai, mặc dù những mô hình lý thuyết phức tạp đã được phát triển 50 năm qua và những tiến bộ trong phương pháp ước lượng tham số của những mô hình này, các nhà đầu tư tiếp tục sử dụng những quy tắc phân bổ đơn giản cho việc phân bổ tài sản của họ trải đều ở các tài sản.6 Tuy nhiên chúng tôi nhấn mạnh rằng mục tiêu của bài nghiên cứu này không phải là để bào chữa cho việc

4 Một cách tiếp cận khác: Black và Litterman (1990, 1992) đề xuất kết hợp hai bộ tiên nghiệm- 1 dựa trên một mô hình cân bằng định giá tài sản và cái khác trên quan điểm chủ quan của nhà đầu tư, điều này hoàn toàn khác với Bayesian bởi vì một cách tiếp cận Bayes kết hợp tiên nghiệm với các dữ liệu.5 Michaud (1998) đã ủng hộ việc sử dụng các phương pháp lấy lại mẫu; Scherer (2002) và Harvey và những cộng sự (2003) thảo luận về những hạn chế khác nhau của phương pháp này6 Ví dụ, Benartzi và Thaler (2001) chứng minh rằng các nhà đầu tư phân bổ tài sản của họ trên tài sản bằng cách sử dụng quy tắc thô 1/N. Huberman và Giang (2006) thấy rằng những người tham gia có xu hướng chỉ đầu tư vào một số lượng nhỏ các quỹ cung cấp cho họ, và họ có xu hướng phân bổ đóng góp của họ đồng đều trên các quỹ mà họ sử dụng, với xu hướng này làm yếu đi với số lượng các quỹ được sử dụng

sử dụng khám phá 1/N như một chiến lược phân bổ tài sản, mà là hiếm khi sử dụng nó như 1 danh mục chuẩn để đánh giá thành quả của các quy tắc danh mục khác nhau được đưa ra trong lý thuyết.

Chúng tôi so sánh thành quả ngoài mẫu (out-of-sample) của 14 mô hình danh mục khác nhau so với thành quả của chính sách 1/N trên 7 bộ dữ liệu thực nghiệm của tỷ suất sinh lợi hàng tháng, sử dụng 3 tiêu chuẩn sau: (i) tỷ số Sharpe ngoài mẫu; (ii) tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương (cretainty-equivalent) cho độ thỏa dụng kỳ vọng của 1 nhà đầu tư trung bình-phương sai; và (iii) doanh số cho mỗi chiến lược danh mục. 14 mô hình được liệt kê trong bảng 1 và thảo luận trong phần 1. Bảy bộ dữ liệu thực nghiệm được liệt kê trong bảng 2 và mô tả trong phụ lục A.

Bảng 1: danh sách các mô hình phân bổ tài sản khác nhau được xem xét.

Table 1: List of various asset-allocation models considered.

Bản trên liệt kê ra danh sách các mô hình phân bổ tài sản khác nhau mà chúng ta đã xem xét trong bài. Cột cuối cùng của bảng ghi những chữ viết tắt đã được dùng để chỉ các chiến lược trong bảng – mà chúng ta so sánh thành quả của những chiến lược danh mục tối ưu với thành quả của chiến lược 1/N. Có kết quả của 2 chiến lược đã không được ghi nhận. Lý do không ghi chép kết quả của chiến lược giả định xác suất tiên nhiệm bằng nhau (diffuse-prior) Bayes là vì trong thời điểm ước lượng của khoảng dài chúng tôi đang xem xét (60 hoặc 120 tháng) , danh mục chiến lược xác suất tiên nhiệm bằng nhau Bayes rất giống với danh mục trung bình phương sai mẫu. Còn lý do không ghi chép kết quả của danh mục vững đa tiên nghiệm (multi-prior robust porfolio) được mô tả trong Garlappi, Uppal, và Wang (2007) là vì chúng thể hiện rằng danh mục vững tối ưu là trung bình có tỷ trọng của danh mục trung bình phương sai và phương sai nhỏ nhất, mà kết quả của 2 danh mục này đều đã được ghi chép rồi.

Bảng 2: danh sách các tệp dữ liệu được xem xét

Table 2: List of datasets considered

Source: market model

Bảng 2 liệt kê danh sách những bộ dữ liệu khác nhau được phân tích; số tài sản rủi ro N trong mỗi bộ dữ liệu, trong đó con số có dấu + phía trước thể hiện số danh mục nhân tố có sẵn; và những thời điểm được kết nối với nhau. Mỗi bộ dữ liệu bao gồm tỷ suất sinh lợi vượt trội hàng tháng qua trái phiếu US định danh 90 ngày (lấy từ Ken French’s Web site). Ở cột cuối cùng là viết tắt được dùng để chỉ những bộ dữ liệu trong bảng đánh giá thành quả của những chiến lược danh mục khác nhau. Chú ý rằng trong Wang (2005), với 25 danh mục phân loại theo quy mô và giá trị sổ sách/giá thị trường , chúng tôi bỏ ra 5 danh mục chứa những công ty lớn nhất, bởi vì thị trường SMB và HML gần như kết hợp tuyến tính của 25 danh mục Fama-French. Cũng chú ý rằng trong các bộ dữ liệu #5,6 và 7, sự khác nhau duy nhất là trong những danh mục nhân tố có sẵn: trong bộ dữ liệu #5 có sẵn danh mục thị trường vốn US, trong bộ dữ liệu #6 có sẵn danh mục MKT, SMB và HML; và trong bộ dữ liệu #7 có sẵn MKT, SMB, HML và UMD. Bởi vì các kết quả cho bộ dữ liệu “FF 3 nhân tố” gần như giống hệt với kết quả cho “FF 1 nhân tố” nên chỉ có kết quả của “FF 1 nhân tố” được ghi nhận.

Sự đóng góp đầu tiên là chỉ ra trong 14 mô hình đựơc đánh giá, không có cái nào là bền vững hơn danh mục chuẩn thô 1/N theo tỷ số Sharpe, tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương hay doanh thu. Mặc dù điều này đã được chỉ ra trong lý thuyết liên quan đến vài

mô hình trước7, chúng tôi chứng minh rằng điều đó là đúng: (i) đối với 1 phạm vi rộng của các mô hình được phát triển gần đây nhất; (ii) sử dụng 3 thành quả thước đo; (iii) sử dụng nhiều bộ dữ liệu. Tổng quát, với một chính sách không ràng buộc cố gắng kết hợp sai số ước lượng cho thành quả kém hơn nhiều so với bất kỳ 1 chiến lược hạn chế bán khống nào, và cũng cho thành quả kém hơn nhiều so với chiến lược 1/N. Các áp đặt ràng buộc trên những chiến lược danh mục đầu tư trung bình phương sai mẫu và những chiến lược danh mục Bayesian dẫn đến 1 sự cải thiện duy nhất vừa phải trong tỷ số Sharpe và tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương, mặc dù nó cho thấy 1 sự giảm doanh thu đáng kể. Trong tất cả các mô hình tối ưu được nghiên cứu ở đây, danh mục phương sai nhỏ nhất với các ràng buộc được nghiên cứu trong Jagannatha và Ma (2003) cho thành quả tốt nhất theo tỷ số Sharpe. Nhưng ngay cả mô hình này phân phối 1 tỷ số Sharpe tối ưu về mặt thống kê hơn của chiến lược 1/N chỉ 1 trong 7 bộ dữ liệu thực nghiệm, 1 tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương không tối ưu về mặt thống kê hơn của 1 tỷ suất sinh lợi của chiến lược 1/N trong bất cứ bộ dữ liệu nào kể trên, và 1 doanh thu luôn luôn cao hơn doanh thu của chính sách 1/N.

Để hiểu hơn lý do thành quả kém của những chiến lược danh mục tối ưu có liên quan đến danh mục chuẩn 1/N, sự đóng góp thứ hai của chúng tôi đó là tìm ra 1 biểu thức phân tích cho chiều dài tới hạn (critical length) của cửa sổ ước lượng cần thiết cho chiến lược trung bình phương sai mẫu để đạt được 1 tỷ suất sinh lợi chắn chắn tương đương cao hơn so với chiến lược 1/N. Chiều dài cửa sổ ước lượng tới hạn là 1 hàm của số lượng của tài sản, tỉ lệ Sharpe dự tính (the ex ante Sharpe ratio) của danh mục trung bình phương sai, và tỉ lệ Sharpe của chính sách 1/N. Dựa vào những tham số đã hiệu chỉnh thành dữ liệu thị trường chứng khoán US, chúng tôi tìm thấy chiều dài tới hạn của cửa sổ ước lượng là 3000 tháng cho 1 danh mục với chỉ 25 tài sản, và hơn 6000 tháng cho 1 danh mục với 50 tài sản. Sự nghiêm ngặt (severity) của sai số ước lượng là đáng kinh ngạc nếu chúng ta xem xét trong thực hành, những mô hình danh mục này được ước lượng đặc trưng bằng cách sử dụng chỉ 60 hoặc 120 tháng dữ liệu.

Bởi vì những kết quả phân tích trên chỉ áp dụng cho chiến lược trung bình phương sai mẫu, chúng tôi sử dụng những dữ liệu được mô phỏng để xem thử sự mở rộng khác nhau của chúng- mà đã được phát triển rõ ràng- để giải quyết với sai số ước lượng. Đóng góp thứ ba của chúng tôi đó là chỉ ra những mô hình này quá phụ thuộc vào những cửa sổ ước lượng rất dài trước khi chúng được kỳ vọng để làm tốt hơn chính sách 1/N. Từ kết quả mô phỏng của chúng tôi, chúng tôi kết luận rằng những chiến lược danh mục từ những

7 Bloomfield, Leftwich, và Long (1977) cho rằng danh mục trung bình phương sai mẫu tối ưu không tốt hơn một danh mục đầu tư có tỷ trọng đều, và Jorion (1991) cho rằng các chỉ số tỷ trọng bằng nhau và chỉ số tỷ trọng theo giá trị có một thành quả ngoài mẫu tương tự như của các danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất và danh mục đầu tư thị trường thu được với phương pháp co Bayesian.

mô hình tối ưu được kỳ vọng làm tốt hơn danh mục chuẩn 1/N nếu: (i) cửa sổ ước lương là dài; (ii) tỉ lệ Sharpe dự tính thật (the ex ante (true) Sharpe ratio) của danh mục hiệu quả trung bình phương sai là cao hơn rõ rệt so với của danh mục 1/N; (iii) số lượng tài sản nhỏ. Hai điều kiện đầu tiên là trực giác. Lý do cho điều kiện cuối cùng là 1 số lượng tài sản nhỏ hơn ám chỉ số lượng tham số được đo lường ít hơn và do đó hạn chế sai số ước lượng. Hơn nữa, những điều khác không thay đổi, một lượng tài sản ít hơn làm đa dạng hóa thô tương đối kém hiệu quả để đa dạng hóa tối ưu.

Trực giác cuộc tìm kiếm của chúng tôi là thực hành mô hình trung bình phương sai, cả vector tỷ suất sinh lợi kỳ vọng vượt trội so với tỉ lệ phi rủi ro và ma trận hiệp phương sai-phương sai của tỷ suất sinh lợi cũng được ước lượng. Điều này cũng được biết đến (Merton,1980) rằng một chuỗi dữ liệu rất dài thời gian được yêu cầu để đo lường tỷ suất sinh lợi kỳ vọng một cách chính xác; tương tự, sự ước lượng ma trận hiệp phương sai-phương sai ít được thực hiện (poorly behaved) (Green và Hollifield, 1992; Jagannathan và Ma, 2003). Tỉ trọng danh mục dựa trên ước lượng mẫu của biến động (moments) này dẫn đên tỉ trọng cực dương và cực âm điều này không tối ưu.8. Và kết quả là “lỗi phân bổ” gây ra bởi sử dụng tỉ trọng 1/N có thể trở nên nhỏ hơn là do lỗi gây ra bởi sử dụng tỉ trọng từ mô hình tối ưu hóa với đầu vào được ước lượng bởi sai số. Mặc dù thuộc tính “tối đa hóa sai số” của danh mục trung bình phương sai đã được mô tả trong lý thuyết (Michaud,1989; Best và Grauer,1991), sự đóng góp của chúng tôi là chỉ ra nguyên nhân ảnh hưởng của sai số ước lượng trên tỷ số là quá lớn, và ngay cả khi mô hình được thiết lập rõ ràng để giảm hiệu ứng của sai số ước lượng thì kết quả đạt được cũng rất khiêm tốn.

Lý do thứ hai lý giải cho việc tại sao quy tắc 1/N có thành quả tốt trong những bộ dữ liệu chúng tôi xem xét đó là chúng tôi sử dụng nó để phân bổ tài sản trong các danh mục cổ phiếu hơn là vào các cổ phiếu riêng lẻ. Bởi vì danh mục đa dạng hóa ít biến động hơn các tài sản đơn lẻ, sự tổn thất từ đa dạng hoá thô đối nghịch với đa dạng hóa tối ưu thì ít hơn nhiều so với phân bổ tài sản trên các danh mục đầu tư. Sự mô phỏng của chúng tôi cho thấy rằng chính sách sự đa dạng hóa tối ưu sẽ thống lĩnh quy tắc 1/N chỉ ở mức độ biến động không biết nguyên nhân. Một thuận lợi khác của quy tắc 1/N là nó hướng thẳng đến

8 Xem xét ví dụ hai tài sản biến động mạnh. Giả sử rằng tỷ suất sinh lợi trung bình và biến động hàng năm của tài sản là như nhau, lần lượt là 8% và 20%, và mối tương quan là 0,99. Trong trường hợp này, bởi vì hai tài sản là giống hệt nhau, tỷ trọng trung bình-phương sai tối ưu cho hai tài sản sẽ là 50%. Nếu, mặt khác, tỷ suất sinh lợi trung bình trên tài sản đầu tiên không được biết và được ước tính là 9% thay vì 8%, sau đó mô hình trung bình-sai sẽ chỉ ra rằng 1 cái tỷ trọng 635% trong tài sản đầu tiên và -535% trong tài sản thứ 2. Đó là, tối ưu hóa cố gắng khai thác ngay cả những khác biệt nhỏ nhất trong hai tài sản bằng vị thế mua và bán mà không tính đến những khác biệt về tỷ suất sinh lợi có thể là kết quả của sai số ước lượng. như chúng tôi mô tả trong phần 3, tỷ trọng từ tối đa hóa trung bình phương sai khi sử dụng dữ liệu thực tế hơn chỉ hai tài sản biến động mạnh so với tỷ trọng được đưa trong ví dụ.

áp dụng cho 1 số lớn tài sản, tương phản với mô hình tối ưu – thường được yêu cầu bổ sung tham số để ước lượng như một sự gia tăng tài sản.

Trong tất cả các thí nghiệm của chúng tôi, sự lựa chọn N được quyết định bằng bộ dữ liệu. Một câu hỏi tự nhiên sau đó là: N là gì ? và với loại tài sản nào – số lượng bao nhiêu thì chiến lược 1/N sẽ cho kết quả tốt hơn những mô hình danh mục tối ưu khác? Kết quả cho thấy chiến lược thô 1/N có vẻ như cho kết quả tốt hơn những chiến lược từ các mô hình tối ưu khi: (i) N lớn, bởi vì nó sẽ cải thiện được tiềm năng của đa dạng hóa, ngay cả khi nó thô, trong khi cùng thời gian đó phải gia tăng số tham số để ước lượng bằng 1 mô hình tối ưu; (ii) cho những tài sản không có cơ sở dữ liệu đủ dài để cho phép ước tính chính xác biến động (moments). Trong những phân tích thực nghiệm, chúng tôi xem xét bộ dữ liệu với N = {3,9,11,21,24} và những tài sản từ danh mục cổ phiếu được phân lọai theo ngành công nghiệp, danh mục cổ phiếu được xây dựng dựa trên những đặc điểm cơ bản của doanh nghiệp, cũng như dựa trên các chỉ số cổ phiếu quốc tế. Trong mô phỏng, N={10,25,50} và tỷ suất sinh lợi của tài sản được hiệu chỉnh để phù hợp với tỷ suất sinh lợi trên danh mục chứng khoán US. Kết quả dựa trên mô phỏng và thực nghiệm cho thấy cho 1 cửa sổ ước lượng M=120 tháng, sự tìm kiếm chính của chúng tôi không nhạy với loại hình tài sản mà chúng tôi xem xét hay với sự lựa chọn số lượng tài sản N.

Chúng tôi rút ra được 2 kết luận từ kết quả. Thứ nhất, nghiên cứu của chúng tôi gợi ý rằng mặc dù có sự tiến bộ đáng kể trong việc thiết lập danh mục tối ưu, nhưng cần có nhiều nỗ lực hơn nữa để cải thiện sự ước lượng biến động (moments), đặc biệt là tỷ suất sinh lợi kỳ vọng. Để làm được điều này, những phương pháp như bổ sung cho kỹ thuật thống kê Bayes và cổ điển truyền thống bằng cách khai thác các quy tắc thực nghiệm được trình bày cho 1 bộ tài sản riêng biệt (Brandt, Santa-Clara, và Valkanov, 2007) có thể đại diện cho 1 hướng đi hứa hẹn thuyết phục. Thứ hai, được gán cho sự đơn giản riêng và chi phí thực hiện quy tắc đa dạng hóa thô 1/N tương đối thấp, như 1 chiến lược có thể đóng vai trò như một danh mục chuẩn tự nhiên để đánh giá thành quả của nhiều quy tắc phân bổ tài sản phức tạp. Đây là 1 trở ngại (hurdle) quan trọng cho cả những nghiên cứu hàn lâm đề xuất mô hình phân bổ tài sản mới và cho các chiến lược quản trị danh mục “động” đưa ra bởi ngành công nghiệp đầu tư.

Phần còn lại của bài nghiên cứu được tổ chức như sau. Trong phần 1, chúng tôi mô tả những mô hình phân bổ tài sản tối ưu khác nhau và đánh giá thành quả của chúng. Trong phần 2, chúng tôi giải thích phương pháp so sánh thành quả của những mô hình này với thành quả của 1/N; kết quả của sự so sánh này cho 7 bộ dữ liệu được đưa ra trong phần 3. Phần 4 bao gồm những kết quả phân tích chiều dài tới hạn của cửa sổ ước lượng cần có cho chính sách trung bình phương sai mẫu để có thành quả tốt hơn danh mục chuẩn 1/N; và trong phần 5 chúng tôi trình bày một phân tích tương tự cho sự lựa chọn những mô

hình danh mục khác sử dụng dữ liệu mô phỏng. Những nghiên cứu thực nghiệm khác chúng tôi đảm nhận để xác định tính vững của khám phá được mô tả ngắn gọn trong phần 6, với những chi tiết được ghi chép trong phụ lục riêng tựa đề “chi tiết thực hiện và kiểm tra tính vững”, có sẵn từ các tác giả. Kết luận của chúng tôi được ghi trong phần 7. Bộ dữ liệu thực tiễn chúng tôi sử dụng được mô tả trong phụ lục A và chứng cớ cho kết quả phân tích chính được đưa vào phụ lục B.

1 MÔ HÌNH PHÂN BỔ TÀI SẢN

Trong phần này, chúng tôi thảo luận về nhiều mô hình từ các tài liệu lựa chọn danh mục đầu tư mà chúng tôi quan tâm. Bởi vì những mô hình này đã quen thuộc với hầu hết người đọc, nên chúng tôi chỉ cung cấp một cách ngắn gọn mô tả của mỗi loại, và thay vào đó tập trung giải thích làm thế nào các mô hình khác nhau lại liên quan đến nhau. Danh sách các mô hình được thể hiện ở bảng tóm tắt số 1, và chi tiết về cách thực hiện các mô hình này được thể hiện ở phần phụ lục của bài nghiên cứu.

Chúng tôi dùng Rt biểu thị cho vectơ tỷ suất sinh lợi vượt trội - N (cao hơn tài sản phi rủi ro) trên tài sản rủi ro N cho việc đầu tư tại ngày t . Vectơ không gian N kýhiệuµtbiểu thị tỷ suất sinh lợi kỳ vọng trên tài sản rủi ro vượt trội tỷ lệ phi rủi ro, và Ʃt biểu thị ma trận phương sai – hiệp phương sai N × N tương ứng của tỷ suất sinh lợi, với bản sao (counterparts) mẫu được tính lần lượt là μt và Ʃt. M thể hiện độ dài của những biến động được ước lượng và T là tổng chiều dài của chuỗi dữ liệu. Chúng tôi sử dụng 1N để xác định vectơ không gian N , và I N để xác định ma trận N × N . Cuối cùng, x t là vectơ của tỷ

trọng danh mục (portfolio weights) đầu tư trong N tài sản rủi ro, với 1−1NT x t đầu tư vào

tài sản phi rủi ro. Vectơ tỷ trọng tương đối (relative weights) của danh mục đầu tư chỉ có tài sản rủi ro là

w t=x t

|1NT x t|

(1)

Được chuẩn hoá bằng giá trị tuyệt đối của tỷ trọng danh mục đầu tư (where the

normalization by the absolute value of the sum of the portfolio weights), |1NT x t|, đảm bảo

rằng sự kiểm soát của vị trí danh mục đầu tư được giữ trong một vài trường hợp bằng với tổng tỷ trọng giá trị tài sản rủi ro là âm (guarantees that the direction of the portfolio is preserved in the few case where the sum of the weights on the risky assets is negative).

Để thuận lợi trong việc so sánh giữa các chiến lược khác nhau, chúng tôi xem xét một sở thích của một nhà đầu tư được mô tả một cách đầy đủ bằng lựa chọn một danh mục đầu

tư trung bình và phương sai, x t. Tại mỗi thời điểm t , người ra quyết định lựa chọn x t để tối đa hoá lợi ích dự kiến9:

maxxt

x tT μt−

γ2

x tT Ʃt x t (2)

Với γ là lo ngại rủi ro của nhà đầu tư. Giải pháp tối ưu hoá là x t=1γ

Ʃt−1µ. Vectơ tỷ trọng

danh mục đầu tư tương đối được xem xét trong N tài sản rủi ro tại thời điểm t là

w t=Ʃt

−1 μ t

1N Ʃ t−1 μt

(3)

Hầu hết các mô hình mà chúng tôi xem xét cung cấp tỷ trọng danh mục đầu tư được trình bày ở công thức số 3, với sự khác nhau chính ở cách ước lượng µt và Ʃt

1.1 Danh mục đầu tư thô

Chiến lược đầu tư đơn giản (“ew” hay “1/N”) mà chúng tôi xem xét bao gồm nắm giữ

một tỷ trọng danh mục đầu tư w tew=1 /N trong mỗi N tài sản rủi ro. Chiến lược này không

bao gồm đến bất kỳ sự tối đa hoá hay ước lượng hoá nào và hoàn toàn bỏ qua dữ liệu. Để so sánh với tỷ trọng ở công thức số (3), người ta có thể nghĩ đến danh mục đầu tư 1/N như là một chiến lược mà có thể ước lượng các biến động (moments) μtvà Ʃt, nhưng việc áp đặt này hạn chế đối với μt α Ʃ t1N cho tất cả t , điều này cho thấy là tỷ suất sinh lợi kỳ vọng tỷ lệ thuận với tổng rủi ro hơn là rủi ro hệ thống.

1.2 Mẫu của danh mục đầu tư trung bình – phương sai

Trong mô hình trung bình – phương sai (“mv”) của Markowitz (1952), nhà đầu tư tối ưu hoá việc đánh đổi giữa trung bình và phương sai của tỷ suất sinh lợi danh mục đầu tư. Để thực hiện mô hình này, chúng tôi thực hiện phương pháp “plug-in” cổ điển; nghĩa là, chúng tôi giải quyết vấn đề ở công thức thứ (2) với ma trận trung bình và phương sai của tỷ suất sinh lời tài sản thay thế bằng bản sao mẫu tương ứng µ và Ʃ. Chúng tôi sẽ đặt tên cho chiến lược này là “danh mục đầu tư trung bình – phương sai mẫu”. Ghi chú rằng chiến lược danh mục đầu tư này hoàn toàn bỏ qua khả năng ước lượng sai số.

1.3 Áp dụng phương pháp Bayes để ước lượng sai số

9 Sự hạn chế là tổng tỷ trọng bằng 1 được kết hợp ẩn bằng cách tối ưu hoá tỷ lệ tỷ suất sinh lợi vượt trội rủi ro (the constraint that the weights sum to 1 is incorporated implicity by expressing the optimization problem in terms of returns in excess of the risk-free rate

Bằng phương pháp Bayes, ước lượng của µ và Ʃ được tính bằng cách sử dụng phân phối dự báo (predictive distribution) tỷ suất sinh lợi tài sản. Phân phối này có được bằng cách tích hợp các khả năng có điều kiện (integrating the conditional likelihood), f ( R|µ, Ʃ ), trên µ và Ʃ liên quan tới một tiên nghiệm chủ quan chắc chắn (subjective prior), p(µ, Ʃ). Trong bài nghiên cứu này, phương pháp Bayes ước lượng sai số gồm nhiều cách khác nhau. Ở phần tiếp theo, chúng tôi mô tả 3 cách phổ biến

1.3.1 Danh mục đầu tư giả định xác suất tiên nhiệm bằng nhau Bayes (Bayesian diffuse-prior portfolio)

Barry (1974), Klein và Bawa (1976), và Brown (1979), cho rằng nếu như xác suất tiên nhiệm được chọn là bằng nhau (if the prior is chosen to be diffuse), nghĩa là

p (µ, Ʃ )∝|Ʃ|−(N +1 )/2, và điều kiện likelihood (Xác suất của một quan sát, dựa trên những

điều kiện cho trước) chuẩn, sau đó phân phối dự báo là student-t với trung bình là μ và phương sai là Ʃ ¿. Từ đó, trong khi vẫn sử dụng phương pháp bình quân lịch sử để ước lượng tỷ suất sinh lợi kỳ vọng, phương pháp này làm tăng (inflates) ma trận hiệp phương sai bằng một nhân tố (1+1/M). Cho một cửa sổ ước lượng (estimation window) M đủ dài (trong bài nghiên cứu này, M = 120 tháng), ảnh hưởng của điều chỉnh này là không đáng kể, và thành quả của danh mục đầu tư giả định xác suất tiên nhiệm bằng nhau Bayes thì hầu như không thể phân biệt được từ mẫu của danh mục đầu tư trung bình – phương sai. Vì lý do này, chúng tôi không báo cáo kết quả của phương pháp Bayes này.

1.3.2 Danh mục đầu tư co (giằng co về tiên nghiệm và thực nghiệm) Bayes-Stein (Bayes-Stein shrinkage portfolio)

Danh mục đầu tư Bayes – Stein (“bs”) là áp dụng ý tưởng cách ước lượng co (estimation shrinkage) được tiên phong bởi Stein (1995) và James và Stein (1961), và được thiết kế để giải quyết sai số trong việc ước lượng tỷ suất sinh lợi kỳ vọng bằng cách sử dụng hàm ước lượng

μtbs=(1−Φ t) µt+Φt µt

min, (4)

Φ t=N+2

( N+2 )+M ( µt−µtmin )T Ʃt

−1( µt−µtmin)

(5)

Với 0 <Φ t<1, Ʃt=1

M−N−2∑

s=t−M +1

t

(¿R s− μt) ( R s− μt )T ¿, và μtmin≡ μ t

T w tmin là suất sinh lợi

trung bình vượt trội trên mẫu danh mục đầu tư nằm trên đường “minimum-variance frontier”(đường giới hạn phương sai nhỏ nhất) (average excess return on the sample

global minimum-variance portfolio), w tmin. Công thức ước lượng “co” trung bình mẫu

hướng về giá trị trung bình chung lớn nhất (a common grand mean), μ. Trong phân tích này, chúng tôi sử dụng công thức ước lượng của Jorion (1985,1986), người đem giá trị trung bình cực đại, μ, là trung bình phương sai nhỏ nhất của danh mục đầu tư, μmin. Để bổ sung cho việc co ước lượng giá trị trung bình, Jorion cũng giải thích sai số ước lượng trong ma trận hiệp phương sai theo phương pháp ước lượng truyền thống Bayes10

1.3.3 Danh mục đầu tư Bayes dựa vào mô hình đánh giá tài sản

Theo phương pháp Bayes “dữ liệu và mô hình” (“dm”) được phát triển bởi Pástor (2000) và Pástor và Stambaugh (2000), mục tiêu co (the shrinkage target) phụ thuộc vào niềm tin trước đó của nhà đầu tư trong một mô hình định giá tài sản cụ thể, và bằng chứng cho sự giằng co được quyết định bởi sự thay đổi của niềm tin trước đó liên quan tới thông tin chứa đựng trong dữ liệu. Những danh mục đầu tư này là một danh mục đầu tư co nâng cao hơn nữa bởi vì chúng giải quyết sự lựa chọn một cách tuỳ ý mục tiêu co (they address the arbitrariness of the choice of a shrinkage target), μ, và nhân tố co (shrinkage factor), Φ, bằng cách sử dụng niềm tin của nhà đầu tư vào thành quả của mô hình định giá tài sản. Chúng tôi tiếp cận Dữ liệu – và – Mô hình bằng cách sử dụng 3 mô hìnhh định giá tài sản khác nhau: mô hình định giá tài sản vốn (CAPM), mô hình 3 nhân tố Fama và French (1993), và mô hình 4 nhân tố (1997) Carhart. Trong phần phân tích thực nghiệm, chúng tôi xem xét những nhà đầu tư Bayes, những người mà sự tin tưởng của họ vào mô hình định giá tài sản được giữ lại bởi mức độ định giá sai trước đó (whose belief in the asset pricing model is captured by a prior abuot the extent of mispricing). Biến α phản ánh sự định giá sai này. Chúng tôi giả định rằng phân phối chuẩn trước đó xoay quanh α=0, và với giá trị chuẩn gần σ α=1 % mỗi năm. Điều này cho thấy các nhà đầu tư tin rằng 95% sai sót có khă năng xảy ra với mức xấp xỉ từ -2% đến 2% mỗi năm.

1.4 Danh mục đầu tư với hạn chế biến động.

Trong phần này, chúng tôi mô tả những chiến lược danh mục đầu tư áp đặt những hạn chế lên ước lượng của biến động tỷ suất sinh lời tài sản.

1.4.1 Danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất

Theo chiến lược phương sai nhỏ nhất (“min”), chúng tôi chọn những danh mục có tài sản rủi ro mà phương sai của tỷ suất sinh lợi nhỏ nhất, đó là:

10 Đọc Jobson và Korkie (1980), Frost và Savarino (1986), và Dumas và Jacquillat (1990) về những ứng dụng khác của cách co ước lượng trong một danh mục được lựa chọn

minw t

w tT Ʃt wt , , s .t .1N

T w t=1 (6)

Để thực hiện chính sách này, chúng tôi chỉ dùng duy nhất ước lượng ma trận hiệp phương sai của tỷ suất sinh lời tài sản (ma trận hiệp phương sai mẫu) và hoàn toàn bỏ qua ước lượng tỷ suất sinh lợi kỳ vọng 11. Mặc dù phương pháp này không phải là cấu trúc tổng quát của độ thỏa dụng trung bình phương sai kỳ vọng, nhưng tỷ trọng của nó có thể được xem như một trường hợp giới hạn của công thức số 3, nếu như một nhà đầu tư đúng nghĩa hoặc bỏ qua tỷ suất sinh lợi kỳ vọng hoặc, một cách tương đương, hạn chế tỷ suât sinh lợi kỳ vọng vì vậy có thể giống nhau ở tất cả các tài sản (identical across all assets); đó là μt∝1N

1.4.2 Mô hình danh mục đầu tư nghiêng về giá trị thị trường. (Value-weighted portfolio implied by the market model)

Chiến lược đầu tư tối ưu trong mô hình định giá tài sản vốn thế giới là danh mục đầu tư nghiêng về giá trị thị trường. Vì vậy, với mỗi một bộ dữ liệu chúng tôi xác định một điểm danh mục đầu tư thị trường và báo cáo tỷ số Sharpe và CEQ cho sự nắm giữ danh mục đầu tư này. Doanh thu của chiến lược này là 0

1.4.3 Danh mục đầu tư dựa trên mô hình định giá tài sản với nhân tố không quan sát được

Mackinlay và Pastor (2000) cho rằng nếu như tỷ suất sinh lợi là nhân tố cấu trúc chính xác nhưng có một vài nhân tố không quan sát được, thì trong ma trận hiệp phương sai số dư sẽ bị định giá sai. Họ xây dựng một ước lượng tỷ suất sinh lợi kỳ vọng vững hơn và ổn định hơn ước lượng thường hay sử dụng trong phương pháp truyền thống. MacKinlay và Pastor cho rằng, trong trường hợp này, tỷ suất sinh lợi trong ma trận hiệp phương sai theo công thức12:

Ʃ=v µµT +σ2 I N (7)

Với 𝒗 và σ 2 là các đại lượng dương. Họ sử dụng ước lượng khả năng nhỏ nhất

(maximum likelihood) của 𝒗, σ 2 và µ để lấy ước lượng tương ứng của ma trận trung bình và phương sai của tỷ suất sinh lời tài sản. Tỷ trọng danh mục đầu tư tối ưu được lấy bằng

11 Ghi chú rằng tỷ suất sinh lợi kỳ vọng, μt , xuất hiện trong hàm khả năng (likelihood) cần để ước lượng Ʃt. Tuy nhiên, theo giả thiết của phân phối chuẩn tỷ suất sinh lời tài sản, nó có thể cho thấy (Morrison, 1990) rằng bất kỳ công thức ước lượng nào của ma trận hiệp phương sai, các ước lượng giá trị trung bình MLE luôn luôn là trung bình mẫu. Điều này cho phép mọi người loại bỏ sự phụ thuộc của tỷ suất sinh lợi kỳ vọng khi xây dựng công thức ước lượng MLE của Ʃt.12 MacKinlay và Pastor (2000) nhấn mạnh điều khoản hạn chế của ma trận hiệp phương sai của số dư thay vì tỷ suất sinh lợi. Tuy nhiên, điều này không ảnh hưởng tới xác định danh mục đầu tư tối ưu

cách thay thế vào công thức số 2. Chúng tôi ký hiệu cho chiến lược danh mục này là “mp”.

1.5 Những danh mục đầu tư ràng buộc bán khống (Shortsale-constrained portfolio)

Chúng tôi cũng xem xét một số chiến lược ràng buộc bán khống. Những chính sách hạn chế trung bình phương sai mẫu (mv-c), hạn chế Bayes-Stein (bs-c), và hạn chế phương sai nhỏ nhất (min-c) (the sample based mean-variance-constrained, Bayes-Stein-constrained, and minimum-variance-constrained policies) thu được bằng cách áp đặt thêm ràng buộc không âm trên tỷ trọng danh mục đầu tư trong những vấn đề tối ưu hoá tương ứng.

Để giải thích ảnh hưởng ràng buộc bán khống, quan sát cho thấy việc áp đặt các hạn chế x i≥ 0 , i=1 , …, N trong việc tối ưu hoá trung bình phương sai cơ bản, công thức 2 theo Lagrangian,

L=x tT μt−

γ2

x tT Ʃ t x t+ x t

T λt (8)

Với λ t là vectơ N ×1 của phương pháp nhân tử Lagrange đối với nghiệp vụ hạn chế bán khống. Sắp xếp lại công thức 8, chúng ta có thể thấy ràng buộc tỷ trọng danh mục đầu tư trung bình phương sai bằng với tỷ trọng không giới hạn ngoại trừ vectơ trung bình điều chỉnh (constrained mean-variance portfolio weights are equivalent to the unconstrained weights but with the adjusted mean vector): ~μt=μt+ λt. Để hiểu tại sao đây là một dạng của co tỷ suất sinh lợi kỳ vọng, chú ý rằng ràng buộc bán khống trên tài sản i có khả năng bị ràng buộc khi tỷ suất sinh lợi kỳ vọng thấp. Khi điều kiện ràng buộc tài sản i, λ t ,i>0 và tỷ suất sinh lợi kỳ vọng tăng từ μt ,i tới ~μt ,i=μ t ,i+λ t , i. Vì vậy, áp đặt ràng buộc bán khống trên vấn đề trung bình phương sai mẫu thì tương đương với sự co tỷ suất sinh lợi kỳ vọng hướng về trung bình (imposing a shortsale constraint on the sample-based mean-variance problem is equivalent to “shrinking” the expected return toward the average)

Tương tự như vậy, Jagannathan và Ma (2003) cho thấy áp đặt ràng buộc bán khống lên danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất bằng với sự co những nhân tố của ma trận phương sai-hiệp phương sai (shrinking the elements of the variance-vovariance matrix). Jagannathan và Ma (2003, trang 1654) tìm thấy, với một sự ràng buộc bán khống, “xây dựng mẫu ma trận phương sai gần giống như xây dựng mô hình các nhân tố, co ước lượng hoặc tỷ suất sinh lợi mỗi ngày” (the sample covariance matrix performs almost as well as those constructed using factor models, shrinkage estimators or daily returns”. Vì phát hiện này, chúng tôi không đánh giá thành quả các mô hình khác – như là Best và Grauer (1992); Chan, Karceski, và Lakonishok (1999); và Ledoit và Wolf (2004a,

2004b)-đã phát triển giải quyết các vấn đề liên quan tới ước lượng ma trận hiệp phương sai13.

Động cơ kiểm định liệu rằng danh mục đầu tư ngoài mẫu (the out-of sample portfolio) có thể được cải thiện bằng cách bỏ qua tỷ suất sinh lợi kỳ vọng (rất khó ước lượng) nhưng vẫn tính đến các mối tương quan giữa tỷ suất sinh lợi, chúng tôi cũng xem xét một chiến lược mới mà chưa được nghiên cứu trong các tư liệu hiện có. Chiến lược này, ký hiệu là “g-min-c”, là sự kết hợp của chính sách 1/N và chiến lược ràng buộc phương sai nhỏ nhất, và nó có thể hiểu một cách đơn giản như là danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất hạn chế bán khống (shortsale-constrained minimum-variance portfolio). Điều này có được bằng cách áp đặt thêm ràng buộc về vấn đề trung bình phương sai (6): w ≥ a 1N với a ϵ [ 0,1/ N ]. Quan sát cho thấy các danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất hạn chế bán khống tương ứng với a=0, trong khi thiết lập a=1/ N mang lại danh mục đầu tư 1/ N .

Trong phần thực nghiệm này, chúng tôi nghiên cứu trường hợp a=12

1N

, chọn tuỳ ý một

khoảng giữa danh mục đầu tư trung bình phương sai nhỏ nhất ràng buộc và danh mục đầu tư 1/ N (arbitrarily chosen as the middle ground between the constrained-minimum-variance portfolio and the 1/N portfolio)

1.6 Sự kết hợp tối ưu của các danh mục đầu tư

Chúng tôi cũng xem xét các danh mục đầu tư mà sự kết hợp giữa chúng với danh mục đầu tư khác, như danh mục đầu tư trung bình phương sai, danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất và danh mục đầu tư có tỷ trọng bằng nhau. Xây dựng sự phối hợp giữa các danh mục đầu tư bằng cách áp dụng ý tưởng co một cách trực tiếp vào tỷ trọng danh mục đầu tư. Nghĩa là, thay vì đầu tiên ước tính những biến động (biến động) và sau đó xây dựng danh mục đầu tư, người ta có thể xây dựng một cách trực tiếp (không chuẩn tắc) hình thức của danh mục đầu tư:

xS=c xc+d xd , s . t . 1NT xs=1 (9)

Với xc và xd là hai danh mục đầu tư tham khảo được chọn bởi nhà đầu tư. Làm việc một cách trực tiếp với tỷ trọng danh mục đầu tư bằng trực quan thì hấp dẫn bởi vì nó giúp cho việc lựa chọn một cách dễ dàng một mục tiêu cụ thể hướng về việc thu hẹp danh mục đầu tư. Việc kết hợp hai danh mục đầu tư được mô tả dưới đây.

1.6.1 Danh mục đầu tư ba quỹ của Kan và Zhou (2007)

13 Đọc phần III.B và III.c của Jagannathan và Ma (2003) để thảo luận rộng rãi hoạt động của các mô hình khác sử dụng ước lượng ma trận hiệp phương sai mẫu.

Để cải thiện các mô hình sử dụng ước lượng co của Bayes-Stein, Kan và Zhou (2007) đã đưa ra một công thức danh mục đầu tư ba quỹ (“mv-min”), trong đó vai trò của quỹ thứ ba là để giảm thiểu “rủi ro ước lượng”. Mô hình này chủ yếu theo trực quan bởi vì rủi ro ước lượng không thể đa dạng hoá bằng cách nắm giữ duy nhất sự kết hợp danh mục tiệm cận thị trường và danh mục tài sản phi rủi ro, nhà đầu tư sẽ có được tỷ suất sinh lợi từ việc nắm giữ một vài danh mục đầu tư rủi ro tài sản khác; nghĩa là, danh mục đầu tư thứ ba. Kan và Zhou nghiên cứu quy luật danh mục đầu tư ba quỹ tối ưu trong việc phân loại các danh mục đầu tư có thể được mô tả như một sự kết hợp danh mục đầu tư trung bình phương sai mẫu và danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất. Các tỷ trọng không chuẩn tắc của danh mục đầu tư hỗn hợp này là:

x tmv−min=1

γ(c Ʃt

−1 μt+d Ʃt−1 1N) (10)

Với c và d là lựa chọn tối ưu để tối đa hoá độ thoả dụng kỳ vọng của nhà đầu tư trung bình phương sai. Tỷ trọng tài sản rủi ro được dùng trong nghiên cứu của chúng tôi được

thể hiện trong phương trình 10; nghĩa là w tmv−min= x t

mv−min /|1NT x t

mv−min|.

1.6.2 Phối hợp danh mục đầu tư tỷ trọng bằng nhau và phương sai nhỏ nhất

Cuối cùng, chúng tôi nghiên cứu chiến lược danh mục đầu tư mới biểu thị là “ew-min” chưa từng được nghiên cứu trước đây. Chiến lược đầu tư này là sự kết hợp của danh mục đầu tư đơn giản 1/ N và danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất, hơn là danh mục đầu tư trung bình phương sai và danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất của Kan và Zhou (2007) và Garlappi, Uppal, và Wang (2007)14. Một lần nữa, động cơ của chúng tôi xem xét danh mục đầu tư này bởi vì tỷ suất sinh lợi kỳ vọng thì khó ước lượng hơn phương sai, có thể bỏ qua ước lượng tỷ suất sinh lợi bình quân nhưng không thể bỏ qua ước lượng phương sai. Và vì vậy, có thể kết hợp danh mục đầu tư 1/ N với danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất. Đặc biệt, danh mục đầu tư mà chúng tôi xem xét là:

w❑ew−min=c

1N

1N+d Ʃ−1 1N , s . t .❑1NT w ew−min=1 (11)

14 Garlappi, Uppal và Wang (2007) được xem là một nhà đầu tư người mà không những không thích rủi ro mà còn những gì không chắc chắc, theo ý nghĩa của Knight (1921). Họ cho rằng nếu tỷ suất sinh lợi trên tài sản N ước lượng được, thì tính vững của danh mục đầu tư tương đương với bình quân gia quyền của các danh mục đầu tư trung bình phương sai và danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất, trong đó các tỷ trọng phụ thuộc vào số lượng các tham số bất ổn và sự lo ngại không chắc chắn của nhà đầu tư. Do đó bằng cách xây dựng thành quả của một danh mục đầu tư nằm giữa danh mục đầu tư trung bình phương sai mẫu và danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất. Bởi vì chúng tôi báo cáo thành quả của hai cực các danh mục đầu tư, chúng tôi không báo cáo thành quả tính vững của từng chiến lược danh mục đầu tư một cách riêng lẻ

Với c và d được chọn là độ thoả dụng kỳ vọng lớn nhất của nhà đầu tư trung bình phương sai.

2. Phương pháp đánh giá thành quả

Mục tiêu của chúng tôi là nghiên cứu thành quả của từng mô hình nói trên thông qua một loạt bộ dữ liệu đã được xem xét trong các tài liệu về phân bổ tài sản. Bộ dữ liệu được xem xét ở Bảng tóm tắt số 2 và ở Phụ lục A.

Phân tích của chúng tôi dựa trên phương pháp tiếp cận “cuốn chiếu mẫu” (rolling-sample). Cụ thể, cho T là bộ dữ liệu dài một tháng của tỷ suất sinh lợi tài sản, chúng tôi chọn chiều dài của cửa sổ ước lượng M=60 hoặc M=120 tháng15. Trong mỗi tháng t , bắt đầu từ t=M +1, chúng tôi sử dụng các dữ liệu trong M tháng trước đó để ước tính các thông số cần thiết để thực hiện một chiến lược cụ thể. Các thông số ước tính này sau đó được sử dụng để xác định tỷ trọng danh mục đầu tư tương đối trong danh mục đầu tư chỉ có rủi ro tài sản. Sau đó chúng tôi sử dụng tỷ trọng để tính toán tỷ suất sinh lợi trong tháng t+1. Quá trình này tiếp tuc bằng việc thêm vào tỷ suất sinh lợi của chu kỳ tiếp theo trong bộ dữ liệu và trả ra tỷ suất sinh lợi trước đó, cho đến khi đạt được bộ dữ liệu. Kết quả của phương pháp tiếp cận cuốn chiến cửa sổ này là một chuỗi tỷ suất sinh lợi ngoài mẫu hàng tháng T-M thu được tạo ra bởi mỗi chiến lược danh mục được liệt kê trong bảng 1, cho mỗi bộ dữ liệu thực nghiệm ở bảng 2.

Với mỗi chuỗi dữ liệu, tỷ suất sinh lợi ngoài mẫu hàng tháng có được bằng mỗi chiến lược và trong mỗi bộ dữ liệu, chúng tôi tính ba việc. Thứ nhất, chúng tôi đo lường tỷ số Sharpe ngoài mẫu của chiến lược k , được định nghĩa là trung bình tỷ suất sinh lợi vượt trội ngoài mẫu (hơn cả tài sản phi rủi ro), μk, chia cho độ lệch chuẩn mẫu, σ k:

SRk=μk

σ k

(12)

Để kiểm định liệu rằng tỷ số Sharpe của hai chiến lược có sự khác nhau về mặt thống kê, chúng tôi tính giá trị p khác nhau, sử dụng phương pháp của Jobson và Korkie (1981), sau khi thực hiện điều chỉnh được chỉ ra trong Memmel (2003)16.

15 Kết quả cho trường hợp M=60 thì không khác so với trường hợp M=120, vì vậy, lợi ích của việc giữ nguyên khoảng thời gian được thể hiện trong phụ lục riêng16 Cụ thể, cho hai danh mục đầu tư i và n, với μi , μn , σ i , σ n, σ i , n với ước lượng trung bình, phương sai, hiệp phương sai trên một mẫu kích thước T−M , với kiểm định H o : μi/ σ i−μn/ σn=0 thu được qua kiểm định thống kê zJK , được phân phối tiệm cận chuẩn:

zJK=σn μi−σ i μn

√ ϑ với ϑ= 1

T−M(2 σ i

2 σn2−2 σ i σn σ i ,n+

12

μi2 σn

2+ 12

μn2 σ i

2−μ i μn

σ i σ n

σ i , n2 )

Để đánh giá ảnh hưởng của sai số ước lượng về thành quả, chúng tôi tính toán tỷ số Sharpe trong mẫu cho mỗi chiến lược. Việc tính toán này dựa trên toàn bộ chuỗi thời gian của tỷ suất sinh lợi vượt trội; nghĩa là với cửa sổ ước lượng M=T . Công thức tỷ số Sharpe trong mẫu của chiến lược k là

SRkIS= Mean

Stdk

=μkT

IS w k

√wkT Ʃk

IS w k

(13)

Với μkIS và Ʃk

ISlà trung bình trong mẫu và ước lượng phương sai, và w k là danh mục đầu tư

thu được với những ước lượng này.

Thứ hai, chúng tôi tính tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương (certainty-equivalent (CEQ) return), được xem như là tỷ lệ phi rủi ro mà nhà đầu tư sẵn sàng chấp nhận hơn là áp dụng một chiến lược rủi ro cụ thể. Chúng tôi tính toán tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương của chiến lược k là

CEQk= μk−γ2

σk2 (14)

Với μk và σ k2 là trung bình và phương sai của tỷ suất sinh lợi vượt trội ngoài mẫu của

chiến lược k, và γ là lo ngại rủi ro 17. Kết quả chúng tôi báo cáo trong trường hợp γ=1; kết quả những giá trị khác của γ được thảo luận trong phụ lục riêng với kiểm định tính vững. Để kiểm tra xem tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương từ hai chiến lược khác

nhau về mặt thống kê, chúng tôi cũng tính toán giá trị 𝒑 khác nhau, dựa trên các tính chất tiệm cận của các loại hình chức năng ước lượng trung bình và phương sai18.

Lưu ý rằng phương pháp thống kê này nắm giữ tiệm cận theo giả thiết tỷ suất sinh lợi được phân phối độc lập và giống nhau (IID) theo thời gian với phân phối chuẩn. Giả định này thường vi phạm trong dữ liệu. Chúng tôi giải quyết vấn đề này tại mục 5, nơi chúng tôi mô phỏng bộ dữ liệu với T=24,000 tỷ suất sinh lợi hàng tháng phân phối chuẩn độc lập và giống nhau17 Để được chính xác, định nghĩa trong phương trình (14) đề cập đến mức độ thỏa dụng kỳ vọng của nhà đầu tư trung bình-phương sai, và nó có thể được chỉ ra rằng đây là xấp xỉ CEQ của một nhà đầu tư với các hàm thoả dụng bậc hai. Mặc dù có báo trước này, và thực tế phổ biến sau đây, chúng tôi giải thích nó như là chắc chắn tương đương cho chiến lược k18 Nếu như 𝒗 biểu thị cho vectơ biến động v=μi , μn , σ i

2 , σn2 ¿, v thực nghiệm đối ứng thu được từ kích thước

mẫu T-M, và f ( v )=μi−γ2

σ i2¿−(μn−

γ2

σ n2) khác biệt trong sự chắc chắn tương đương trong hai chiến lược i và

n, sau đó phân phối tiệm cận của f (v ) (Greene, 2002) là √T ( f ( v )−f ( v ))→ N ¿ với

Thứ ba, để có được một ý nghĩa về số lượng giao dịch cần thiết để thực hiện từng chiến lược đầu tư, chúng tôi tính toán doanh thu danh mục đầu tư, định nghĩa là trung bình của tổng giá trị tuyệt đối của các ngành nghề trên N các tài sản hiện hữu:

Turnover= 1T−M

∑t=1

T−M

∑j=1

N

¿¿¿ (15)

Với w k , j ,t là tỷ trọng danh mục đầu tư trong tài sản j tại thời điểm t trong chiến lược k , w k , j ,t+¿¿ là tỷ trọng danh mục đầu tư trước khi tái cân bằng tại t+1; và w k , j ,t+1 là tỷ trọng

danh mục đầu tư mong muốn tại thời điểm t+1. Ví dụ, trong trường hợp chiến lược 1/N, w k , j ,t=w k , j ,t+1=1/ N , nhưng w k , j ,t+¿¿ có thể khác do có sự thay đổi giá trị tài sản giữa t và

t+1. Số lượng doanh thu được xác định trên có thể được hiểu là tỷ lệ trung bình tài sản được giao dịch trong từng thời kỳ. Đối với chiến lược chuẩn (benchmark) 1/ N chúng tôi báo cáo doanh thu tuyệt đối của nó, và cho tất cả các chiến lược khác doanh thu của nó có so với chiến lược chuẩn.

Ngoài việc báo cáo doanh thu thuần cho mỗi chiến lược, chúng tôi cũng báo cáo một thước đo kinh tế bằng cách làm thế nào để chi phí giao dịch tỷ lệ thuận với doanh thu thuần ảnh hưởng đến tỷ suất sinh lợi từ một chiến lược cụ thể19. Chúng tôi thiết lập tỷ lệ chi phí giao dịch bằng 50 điểm cơ bản cho mỗi giao dịch được giả định trong Balduzzi và Lynch (1999), dựa trên nghiên cứu chi phí cho từng giao dịch cho mỗi cổ phiếu riêng lẻ trên NYSE đưa ra bởi Stoll và Whaley (1983), Bhardwaj và Brooks (1992), và Lesmond, Ogden, và Trzcinka (1999).

Cho Rk . p là tỷ suất sinh lợi từ chiến lược k trên danh mục đầu tư N tài sản trước khi tái

cân bằng; nghĩa là Rk , p=∑j=1

N

R j ,t+1 w k , j , t. Khi danh mục đầu tư tái cân bằng tại t+1, nó làm

tăng giao dịch của từng tài sản lên mức ¿. Gọi c là tỷ lệ chi phí giao dịch, chi phí giao

dịch của tất cả tài sản là c ×∑j=1

N

¿¿. Do đó, chúng tôi có thể ghi công thức của việc tăng

trưởng tài sản trong chiến lược k là:

W k ,t+1=W k, t (1+Rk , p )¿ (16)

Với tỷ suất sinh lợi ròng của giao dịch là w k ,t+1

wk , t

−1

19 Lưu ý rằng trong khi doanh thu của mỗi chiến lược liên quan đến chi phí giao dịch phát sinh trong việc thực hiện chiến lược đó, điều quan trọng là phải nhận ra sự có mặt của chi phí giao dịch, nó có thể không tối ưu hoá trong việc thực hiện các chiến lược cùng đầu tư.

Đối với mỗi chiến lược, chúng tôi tính toán tổn thất tỷ suất sinh lợi đối với chiến lược 1/N. Tổn thất tỷ suất sinh lợi được định nghĩa là tỷ suất sinh lợi bổ sung cần thiết cho thực hiện chiến lược k cũng như chiến lược 1/N theo tỷ lệ Sharpe. Để tính toán tổn thất tỷ suất sinh lợi hàng tháng, giả sử μew và σ ew là trung bình ngoài mẫu hàng tháng và biến động tỷ suất sinh lợi ròng từ chiến lược 1/ N , và μk và σ k là số lượng chiến lược k tương ứng. Vậy, tổn thất tỷ suất sinh lợi chiến lược k là

return−lossk=μew

σew

× σk−μk (17)

3. Xem xét kết quả có được từ 7 bộ dữ liệu.

Trong phần này, chúng ta so sánh thực nghiệm các thành quả của các chiến lược phân bổ tài sản tối ưu được liệt kê trong Bảng 1 so với chiến lược chuẩn 1/N. Đối với mỗi chiến lược, chúng tôi tính toán trên tất cả các bộ dữ liệu được liệt kê trong bảng 2, đánh giá trong mẫu và ngoài mẫu hệ số Sharpe (Bảng 3), lợi nhuận CEQ (bảng 4), và doanh thu (Bảng 5). Trong mỗi bảng, các chiến lược khác nhau được kiểm tra được liệt kê trong các hàng, trong khi các cột tham khảo các bộ dữ liệu khác nhau.

3.1 Hệ số Sharpe

Hàng đầu tiên của Bảng 3 cho biết hệ số Sharpe của chiến lược thô 1/N cho các bộ dữ liệu khác nhau được xem xét20. Hàng thứ hai của bảng, "mv (trong mẫu)," cho tỷ lệ Sharpe theo Markowitz của chiến lược trung bình phương sai trong mẫu, có nghĩa là, khi không có sai số ước lượng; bằng việc xây dựng, đây là tỷ lệ Sharpe cao nhất của tất cả các chiến lược được xem xét. Lưu ý tầm quan trọng của sự khác biệt giữa tỷ lệ Sharpe trong mẫu cho chiến lược trung bình phương sai và chiến lược 1 / N phương pháp đo lường sự tổn thất từ danh mục thô hơn là danh mục đa dạng hóa tối ưu khi không có sai số ước lượng. Đối với các tập dữ liệu chúng tôi đang xem xét, sự khác biệt này là đáng kể. Ví dụ, đối với các dữ liệu đầu tiên được xem xét trong Bảng 3 ("S & P nghành"), danh mục đầu tư trung bình phương sai trong mẫu có tỷ số Sharpe hàng tháng 0,3848, trong khi tỷ lệ Sharpe của chiến lược 1 / N là ít hơn một nửa, chỉ 0,1876 . Tương tự như vậy, trong cột cuối cùng của bảng này (đối với bộ dữ liệu "FF-4 nhân tố"), các tỷ lệ Sharpe trong mẫu cho chiến lược trung bình-phương sai là 0,5364, trong khi đó đối với chiến lược 1 / N chỉ là 0,1753.

Hco 20 Bởi vì chiến lược 1 / N không dựa trên dữ liệu, tỷ số trong mẫu và ngoài mẫu của chiến lược đều giống nhau.

Đối với mỗi bộ dữ liệu thực nghiệm được liệt kê trong bảng 2, bảng này báo cáo tỷ số Sharpe hàng tháng cho chiến lược 1/N, các tỷ số Sharpe trong mẫu của các chiến lược trung bình-phương sai, và tỷ số Sharpe ngoài mẫu cho các chiến lược từ các mô hình phân bổ tài sản tối ưu được liệt kê trong Bảng 1. Trong ngoặc là giá trị khác biệt p giữa tỷ số Sharpe của mỗi chiến lược so với chiến lược chuẩn 1/N, được tính bằng cách sử dụng phương pháp Jobson và Korkie (1981) mô tả trong phần 2. Các kết quả cho bộ dữ liệu "FF-3 nhân tố" không được báo cáo bởi vì rất giống với bộ dữ liệu "FF-1-nhân tố" .

Để đánh giá tầm quan trọng của lợi ích tiềm năng mà thực sự có thể được thực hiện bởi một nhà đầu tư, cần thiết để phân tích các thành quả ngoài-mẫu của các chiến lược từ các mô hình tối ưu hóa. Sự khác biệt chiến lược trung bình phương sai trong mẫu và tỷ số Sharpe ngoài mẫu cho phép chúng tôi đánh giá mức độ nghiêm trọng của sai số ước lượng. So sánh này cung cấp kết quả nổi bật. Từ tỷ số Sharpe ngoài mẫu được báo cáo trong dòng tiêu đề " mv" trong bảng 3 , chúng ta thấy rằng đối với tất cả các dữ liệu này, các chiến lược trung bình phương sai mẫu có tỷ số Sharpe thấp hơn đáng kể so với trong mẫu. Hơn nữa, tỷ số Sharpe ngoài mẫu cho chiến lược trung bình phương sai mẫu ít hơn so với chiến lược 1/N cho tất cả, ngoại trừ bộ dữ liệu "FF- 4 nhân tố" (mặc dù sự khác

biệt là không đáng kể về mặt thống kê). Đó là, ảnh hưởng của sai số ước lượng là rất lớn mà nó làm xói mòn hoàn toàn lợi ích từ đa dạng hóa tối ưu. Ví dụ , đối với các tập dữ liệu "S & P ngành" danh mục đầu tư trung bình - phương sai mẫu có tỷ số Sharpe chỉ 0,0794 so với giá trị trong mẫu của 0,3848, và 0,1876 cho chiến lược 1/N. Tương tự như vậy, đối với bộ dữ liệu “quốc tê” , các tỷ số Sharpe trong mẫu cho chiến lược trung bình phương sai là 0,2090 , trong đó giảm xuống -,0332 ngoài mẫu, trong khi tỷ số Sharpe của chiến lược 1/N là 0.1277

Việc so sánh các tỷ số Sharpe xác nhận những nguy cơ đã được biết đến của việc sử dụng các ước lượng mẫu cổ điển cho những biến động của tỷ suất sinh lợi tài sản để thực hiện danh mục đầu tư trung trung bình phương sai của Markowitz. Như vậy, quan sát đầu tiên của chúng tôi là ngoài mẫu, chiến lược 1/N thường tốt hơn so với các chiến lược trung bình phương sai mẫu nếu không thực hiện bất cứ điều chỉnh nào cho sai số ước lượng.

Nhưng những gì về thành quả ngoài mẫu của chiến lược phân bổ tài sản tối ưu có giải thích một cách rõ ràng cho sai số ước lượng? Quan sát thứ hai của chúng tôi là, nói chung, chiến lược Bayesian dường như không hiệu quả để giải quyết các sai số ước lượng. Trong Bảng 3, các chiến lược Bayes Stein, "bs" có một tỷ số Sharpe ngoài mẫu thấp hơn so với chiến lược 1/N cho tất cả các bộ dữ liệu ngoại trừ " MKT / SMB / HML " và " FF- 4 nhân tố", và ngay cả trong những trường hợp này sự khác biệt là không đáng kể về mặt thống kê ở mức độ thông thường (p- value là 0,25 và 0,48, tương ứng) . Trong thực tế, tỷ số Sharpe cho danh mục đầu tư Bayes - Stein chỉ tốt hơn một chút hơn so với danh mục đầu tư trung bình phương sai mẫu. Lý do tại sao trong bộ dữ liệu của chúng tôi lợi tức chiến lược Bayes-Stein hơn lợi tức trong chiến lược trung bình phương sai ngoài mẫu là do thực tế thì chiến lược Bayes-Stein làm giảm tỷ trọng của danh mục đầu tư, kết quả các tỷ trọng vẫn còn tiệm cận với danh mục trung bình phương sai ngoài mẫu hơn là tỷ trọng danh mục đầu tư tối ưu trong mẫu21. Chiến lược Data-and-Model, "dm", trong đó tiên nghiệm trước khi các nhà đầu tư định giá sai α [in which the investor’s prior on the mispricing α of the model] (CAPM; Fama và French năm 1993; hoặc Carhart, 1997) có chặt chẽ của 1% mỗi năm (σα = 1,0%) , cải thiện so với cách tiếp cận Bayes-Stein cho ba tập dữ liệu "S & P ngành", "quốc tế" và "FF-4 nhân tố." Tuy nhiên, chiến lược "dm" làm tốt hơn các chiến lược 1 / N chỉ cho "FF-4 nhân tố "bộ dữ liệu, trong đó" "chiến lược dm với σα = 1% đạt được một tỷ lệ Sharpe của 0,2355, mà là lớn hơn so với tỷ lệ Sharpe của 0,1753 cho chiến lược 1 / N, nhưng sự khác biệt là không đáng kể về mặt thống kê (p-value là 0,17).

21 Yếu tố quyết định sự tổn thất của tỷ suất sinh lợi kỳ vọng đối với tỷ suất sinh lợi trung bình trên danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất là Ф [xem phương trình (4)]. Đối với các tập dữ liệu chúng tôi đang xem xét, Ф dao động từ mức thấp là 0,32, cho bộ dữ liệu"FF-4 yếu tố" lên mức cao 0,66 cho bộ dữ liệu "MKT / SMB / HML", do đó, các chiến lược Bayes-Stein vẫn dựa quá nhiều trên các ước lượng trung bình μ.

Như chúng tôi đã ghi trong phụ lục "thực hiện chi tiết và kiểm định tính vững" có sẵn từ các tác giả, cải thiện hiệu suất của chiến lược "dm" cho "FF-4 nhân tố" bộ dữ liệu là do (1997) mô hình Carhart cung cấp tốt mô tả về lợi nhuận theo dữ liệu bảng chéo cho danh mục đầu tư quy mô và danh mục sổ sách-thị trường.

Quan sát thứ ba của chúng tôi là về danh mục đầu tư được dựa trên những ràng buộc về những moments của lợi nhuận. Từ hàng trong Bảng 3 cho các chiến lược phương sai nhỏ nhất với tiêu đề "min", chúng ta thấy rằng bỏ qua các ước tính về lợi nhuận kỳ vọng hoàn toàn nhưng khai thác các thông tin về mối tương quan không dẫn đến hiệu suất tốt hơn, so với ngoài mẫu chiến lược trung bình phương sai "mv" trong tất cả các bộ dữ liệu nhưng ". FF-4 nhân tố" Bỏ qua lợi nhuận trung bình là rất thành công trong việc giảm tỷ trọng danh mục đầu tư cực đoan: ngoài mẫu tỷ trọng danh mục đầu tư theo chiến lược phương sai nhỏ nhất là hợp lý hơn nhiều so với dưới mẫu dựa chiến trung bình phương sai.

Ví dụ , trong bộ dữ liệu " quốc tế", tỷ trọng danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất dao động từ -140 % đến 124 % chứ không phải là từ -148.195 % xuống 116.828 % như là chiến lược trung bình phương sai. Mặc dù chiến lược 1 / N có hệ số Sharpe cao hơn so với chiến lược phương sai nhỏ nhất cho các tập dữ liệu " S & P nghành ", và " FF -4- nhân tố , " cho " ngành công nghiệp ", " quốc tế " và " MKT / SMB / HML " bộ dữ liệu , chiến lược phương sai phương sai có một tỷ lệ cao hơn Sharpe , nhưng sự khác không có ý nghĩa thống ke ( p- value lớn hơn 0.20 ) , chỉ có" FF -1- nhân tố " bộ dữ liệu là sự khác biệt trong hệ số Sharpe có ý nghĩa thống kê . Tương tự như vậy , các danh mục đầu tư thị trường giá trị trọng có hệ số Sharpe thấp hơn điểm chuẩn 1 / N trong tất cả các bộ dữ liệu , trong đó một phần là do ảnh hưởng doanh nghiệp nhỏ . Ngoài mẫu hệ số Sharpe cho " mp " phương pháp tiếp cận của Mackinlay và Pastor (2000) đề xuất cũng ít hơn so với chiến lược 1 / N cho tất cả các bộ dữ liệu chúng tôi xem xét.

Quan sát thứ tư của chúng tôi là trái với quan điểm thường gặp giữa các học viên, khó khăn độc lập  không cải thiện hiệu suất đầy đủ, đó là hệ số chiến lược trung bình phương sai, ràng buộc mẫu dựa trên "mv-c" là ít hơn so với điểm chuẩn 1 / N chiến lược cho "S & P nghành", "Công nghiệp", "quốc tế" và "MKT / SMB / HML" bộ dữ liệu (với giá trị p 0.09, 0.03, 0.17, và 0.02, tương ứng), trong khi ngược lại cho "FF-1-nhân tố" và "FF-4 nhân tố" bộ dữ liệu, với sự khác biệt ý nghĩa thống kê chỉ dành cho các "FF-1-nhân tố" bộ dữ liệu. Tương tự như vậy, các chiến lược Bayes-Stein với những ràng buộc shortsale, "bs-c", có một hệ số Sharpe thấp hơn so với chiến lược 1 / N cho bốn bộ dữ liệu đầu tiên,

và tốt hơn so với các chiến lược navie(1/N) chỉ dành cho các "FF-1-nhân tố" và "FF-4 nhân tố" bộ dữ liệu, nhưng một lần nữa với các p value có ý ý nghĩa thống kê duy nhất cho "FF-1-nhân tố" bộ dữ liệu.

Quan sát thứ năm của chúng tôi là chiến lược kết hợp ràng buộc danh mục đầu tư với một số hình thức thu hẹp lợi nhuận kỳ vọng thường hiệu quả hơn nhiều trong việc giảm ảnh hưởng của lỗi kế toán. Điều này có thể được nhìn thấy, ví dụ, bằng cách kiểm tra các ràng buộc chiến lược phương sai nhỏ nhất, "min -c ", mà co lại hoàn toàn ( bằng cách bỏ qua chúng)[ which shrinks completely (by ignoring them)] ước tính của lợi nhuận kỳ vọng , trong khi đồng thời thu hẹp các giá trị cực đoan của ma trận hiệp phương sai bằng cách áp đặt những ràng buộc shortsale . Kết quả cho thấy trong khi các chiến lược 1 / N có hệ số Sharpe cao hơn so với chiến lược "min -c" cho " S & P nghành " và " FF -1- nhân tố " bộ dữ liệu , ngược lại là đúng đối với "công nghiệp ", " quốc tế "," MKT / SMB / HML , "và" FF- 4 nhân tố " bộ dữ liệu , mặc dù sự khác biệt là có ý nghĩa thống kê chỉ dành cho các bộ dữ liệu " FF- 4 nhân tố ". Phát hiện này cho thấy rằng nó có thể là tốt nhất để bỏ qua các dữ liệu trên lợi nhuận kỳ vọng , nhưng vẫn khai thác cấu trúc tương quan giữa tài sản để giảm thiểu rủi ro , với các khó khăn giúp đỡ để giảm bớt ảnh hưởng của các lỗi trong tính toán ma trận hiệp biến . Lợi ích từ việc kết hợp ràng buộc và thất thoát cũng là điều hiển nhiên cho tổng quát chính sách phương sai nhỏ nhất , "g- min- c ", trong đó có một tỷ lệ Sharpe cao hơn 1 / N trong tất cả, nhưng hai bộ dữ liệu , " S & P nghành " và " FF -1- nhân tố , " mặc dù hiệu suất cao có ý nghĩa thống kê cho chỉ là bộ dữ liệu " FF- 4 nhân tố ".[22]

Cuối cùng, hai danh mục đầu tư hỗn hợp, "mv-min" và "ew-min," mô tả trong Phần 1.6.1 và 1.6.2, không tốt hơn 1 / N một cách đáng kể về mặt thống kê

3.2 Tính chắc chắn lợi nhuận tương đương.

So sánh lợi nhuận CEQ trong Bảng 4 xác nhận các kết luận từ việc phân tích các hệ số Sharpe: các phương sai-trung bình chiến lược trong mẫu có lợi nhuận CEQ cao nhất, nhưng ngoài mẫu không có chiến lược từ các mô hình tối ưu hóa một cách nhất quán có thể kiếm được lợi nhuận CEQ đó là cấp trên thống kê cho rằng các chiến lược 1 / N.

Trong thực tế, chỉ có hai trường hợp là lợi nhuận từ việc tối ưu hóa mô hình CEQ cao về mặt thống kê với lợi nhuận CEQ từ mô hình 1 / N. Điều này xảy ra trong bộ dữ liệu "FF-1-nhân tố", trong đó danh mục đầu tư ràng buộc phương sai – trung bình "mv-c" có lợi tức CEQ của 0,0090 và chiến lược "bs-c" có lợi tức CEQ của 0,0088, trong khi 1 / N có một chiến lược CEQ của 0,0073, với p-giá trị của sự khác biệt là 0.03 và 0.05, tương ứng.

3.3 Doanh thu danh mục đầu tư

Bảng 5 bao gồm các kết quả cho doanh thu danh mục đầu tư, số liệu thứ ba của chúng tôi về hiệu suất. Dòng đầu tiên báo cáo doanh thu thực tế của chiến lược 1 / N. Một bảng báo cáo doanh thu của tất cả các chiến lược có liên quan tới chiến lược 1 / N, và trong bảng B chúng tôi báo cáo lợi nhuận mất mát, như được xác định trong phương trình (17).

Từ bảng A của bảng 5, chúng ta thấy rằng trong tất cả các trường hợp doanh thu cho danh mục đầu tư từ các mô hình tối ưu cao hơn rất nhiều so với chiến lược chuẩn 1 / N. So sánh doanh thu trên toàn bộ dữ liệu khác nhau, rõ ràng là doanh thu của các chiến lược từ các mô hình tối ưu nhỏ hơn, liên quan đến chính sách 1 / N trong bộ dữ liệu "MKT / SMB / HML" hơn trong các bộ dữ liệu khác. Đây không phải là đáng ngạc nhiên do thực tế là hai trong số ba tài sản trong bộ dữ liệu này, HML và SMB, đã chủ động quản lý danh mục đầu tư và, như đã giải thích ở trên, vì số tài sản trong bộ dữ liệu này là nhỏ (N = 3), ước tính vấn đề là ít nghiêm trọng. Điều này cũng được xác nhận bởi bảng B của bảng, nơi cho "MKT / SMB / HML" bộ dữ liệu một số chiến lược có một phần lợi nhuận tổn thất đó là hơi tiêu cực, ngụ ý rằng ngay cả trong sự hiện diện của tỷ lệ chi phí giao dịch, các chiến lược đạt được một cao hơn hệ số Sharpe hơn so với chiến lược 1 / N.

So sánh doanh thu danh mục đầu tư cho các mô hình tối ưu khác nhau, chúng ta thấy rằng doanh thu cho danh mục đầu tư phương sai-trung bình mẫu dựa trên " mv " là lớn hơn nhiều so với chiến lược 1 / N . Danh mục đầu tư Bayes - Stein , " bs , " có doanh thu ít hơn so với danh mục đầu tư trung bình - phương sai mẫu dựa trên , và cách tiếp cận Bayes Dataand - Model, " dm ", cũng thường là thành công trong việc giảm doanh thu, so với danh mục đầu tư phương sai-trung bình. Danh mục đầu tư phương sai nhỏ nhất, "min ", thậm chí còn thành công hơn trong việc giảm doanh thu, và chiến lược Mackinlay và Pastor (2000) vẫn chưa thành công hơn. Ngoài ra, như người ta mong đợi, các chiến lược với những ràng buộc shortsale doanh thu thấp hơn so với các đối tác không bị giới hạn của họ. Từ bảng B của bảng 5, chúng ta thấy rằng đối với một số bộ dữ liệu "min -c " và " g -min -c" chiến lược có một phần tổn thất lợi nhuận hơi tiêu cực , ngụ ý rằng trong những trường hợp các chiến lược đạt được một tỷ lệ cao hơn so với Sharpe của chiến lược 1 / N ngay cả trong sự hiện diện của tỷ lệ chi phí giao dịch .

3.4 Tóm tắt kết quả từ các bộ dữ liệu thực nghiệm

Từ các cuộc thảo luận ở trên, chúng tôi kết luận rằng trong những chiến lược từ các mô hình tối ưu, không có chiến lược duy nhất mà luôn luôn chiếm ưu thế chiến lược 1 / N về hệ số Sharpe. Nhìn chung, chiến lược 1 / N có hệ số Sharpe có cao hơn (hoặc không thể

phân biệt về mặt thống kê) liên quan đến các chính sách ràng buộc, trong đó, lần lượt, có tỷ lệ Sharpe có cao hơn so với các chính sách không bị ràng buộc. Về CEQ, không có chiến lược từ các mô hình tối ưu là luôn tốt hơn so với chuẩn 1 / N chiến lược. Và về doanh thu, chỉ có chiến lược "VW", trong đó các nhà đầu tư nắm giữ danh mục đầu tư thị trường và không giao dịch tại tất cả, là tốt hơn so với chiến lược 1 / N.

4. Kết quả từ nghiên cứu phân tích về sai số ước lượng.

Phần này xem xét phân tích một số nhân tố quyết định kết quả thực nghiệm xác định trước đó. Mục tiêu của chúng tôi là phải hiểu lý do tại sao các chiến lược từ các mô hình tối ưu hóa khác nhau không thực hiện tương đối tốt hơn chiến lược 1 / N. Chúng tôi tập trung vào việc xác định mối quan hệ giữa hiệu suất dự kiến (đo trong điều khoản của lợi nhuận CEQ) của các chiến lược từ các mô hình tối ưu hóa khác nhau và của các chiến lược 1 / N, như một chức năng của: (i) số lượng tài sản , N, (ii) độ dài của cửa sổ ước lượng, M, (iii) các ex ante hệ số Sharpe chiến lược trung bình phương sai, và (iv) hệ số Sharpe của chiến lược 1 / N. Như trong Kan và Chu (2007), chúng tôi xử lý các tỷ trọng danh mục đầu tư như là một ước, đó là, như một chức năng của dữ liệu. Danh mục đầu tư tối ưu do đó có thể được xác định bằng cách trực tiếp giải quyết vấn đề của việc tìm kiếm các tỷ trọng tối đa hóa tiện ích mong đợi, thay vì đầu tiên ước tính những thời điểm mà các tỷ trọng phụ thuộc, và sau đó xây dựng các quy tắc danh mục đầu tư tương ứng. Áp dụng cái nhìn sâu sắc này, chúng tôi lấy được một thước đo của sự tổn thất dự kiến phát sinh trong việc sử dụng một chiến lược đầu tư cụ thể mà dựa trên ước tính hơn là những thời điểm thật sự. Chúng ta hãy xem xét một nhà đầu tư lựa chọn một vector tỷ trọng danh mục đầu tư, x, để tối đa hóa hữu ích phương sai- trung bình sau [xem phương trình (2)]:

U ( x )=x t μ− γ2

x t ∑ x (18)

Tỷ trọng tối ưu là x¿=1

γ∑−1 μ và các tối đa hóa hữu dụng tương ứng là tối đa hóa hữu

dụng phương sai- trung bình sau [xem phương trình (2)]:

U ( x¿)= 12 γ

μ ∑−1 μ≡1

2 γS¿

2 (19)

Trong đó S¿2=μ∑−1 μ là bình phương hệ số Sharpe của danh mục đầu tư ex ante tiếp tuyến

của tài sản rủi ro. Bởi vì μ và ∑ không biết, tỷ trọng tối ưu của danh mục cũng khong biết và và được ước lượng như là một hàm của dữ liệu có sẵn:

˙x=f (R 1 ,R 2 , … RM ) (20)

Chúng tôi xác định tổn thất dự kiến qua việc dùng một ước lượng cụ thể của tỷ trọng x⏞

như

L ¿) = U ( x¿) - E[U(x)] (21)

Trong đó sự kỳ vọng E[U( x)] đại diện cho các tiện ích trung bình nhận ra bởi một nhà đầu tư người "đóng vai" chiến lược x vô hạn nhiều lần.[ represents the average utility realized by an investor who “plays” the strategy xinfinitely many times.]

Khi sử dụng các chính sách danh mục đầu tư trung bình-phương sai mẫu cơ sở, xmv, μ và

∑ đã được ước lượng từ mẫu đối chiếu của chúng μ= 1M

∑t=1M R t và ∑= 1

M ∑❑t=1

M( Rt− μ )¿

và biểu thức tỷ trọng danh mục đầu tư tối ưu là x=1μ^∑−1 μ. Theo giả định rằng việc

phân phối lợi nhuận là phân phối chuẩn kết hợp, μ và ∑ độc lập và được phân phối như sau: μ N ¿μ, ∑/M) và M∑~W n ¿ ∑), trong đó W n ¿ ∑) biểu thị một phân phối Wishart với M -1 bậc tự do và ma trận hiệp phương sai ∑.

Sau đây một cách tiếp cận tương tự như trong Kan và Zhou (2007), chúng tôi lấy được các lỗ dự kiến từ việc sử dụng các quy tắc 1 / N. Bằng cách so sánh lỗ dự kiến, Lmv từ việc sử dụng chính sách phương sai-trung bình mẫu dựa trên những lỗ dự kiến, Lew từ việc sử dụng chiến lược 1 / N, chúng ta có thể phân tích các điều kiện các quy tắc 1 / N dự kiến sẽ cung cấp một sự mất mát thấp / cao hơn dự kiến hơn chính sách phương sai-trung bình. Để thuận lợi cho việc so sánh giữa các chính sách này, chúng tôi xác định giá trị tới hạn M mv

¿ của chiến lược phương sai – trung bình mẫu (sample based) dựa trên là số

nhỏ nhất của thời gian ước tính cần thiết cho danh mục đầu tư phương sai – trung bình để làm tốt hơn, trung bình, các quy tắc 1 / N. chính thức,

M mv¿ ≡ inf {M : Lmv ( x¿ , x )< Lew ( x¿ ,W ew ) } (22)

Cũng như trong Kan và Zhou, chúng ta xem xét ba trường hợp: (1) vector của lợi nhuận kỳ vọng không được biết, nhưng ma trận hiệp phương sai của lợi nhuận được biết, (2) các vector của lợi nhuận kỳ vọng được biết đến, nhưng ma trận hiệp phương sai của lợi nhuận thì không, và (3) cả hai vector của lợi nhuận kỳ vọng và ma trận hiệp phương sai chưa biết và cần phải được ước tính. Các đề xuất sau đây xuất phát các điều kiện cho giá trị phương sai – trung bình quy tắc mẫu dựa trên để làm tốt hơn 1 / N quy tắc cho ba trường hợp.

Đề xuất 1 Cho S¿2=μ∑−1 μ là hệ số Sharpe bình phương của tiếp tuyến (phương sai –

trung bình) danh mục đầu tư tài sản rủi ro và Sew2 =¿¿ bình phương hệ số Sharpe của danh

mục 1/N sau đó

1. Nếu μ là chưa biết và ∑ được biết đến, các chiến lược phương sai – trung bình mẫu có một khoản lỗ dự kiến thấp hơn chiến lược 1 / N nếu:

S¿2−Sew

2 − NM

>0 (23)

2. Nếu μ được biết đến và ∑ là không biết, chiến lược phương sai – trung bình mẫu có một khoản lỗ dự kiến thấp hơn chiến lược 1 / N nếu:

k S¿2−Sew

2 >0 (24)

Trong đó

k=NM (M−2)

(M −N−1 ) ( M−N−2 )(M−N−4)>0 (27)

Từ bất đẳng thức (23), chúng ta thấy rằng nếu μ là chưa biết nhưng ∑ biết, thì chiến lược phương sai – trung bình mẫu có nhiều khả năng để làm tốt hơn chiến lược 1 / N nếu số lượng khoảng thời gian trên được ước tính các thông số, M, là cao và nếu số lượng tài sản hiện có, N, là thấp . Vì k trong phương trình (25) đang gia tăng tại M và N giảm trong,

bất đẳng thức (24) cho thấy còn cho các trường hợp μ biết nhưng ∑ là không biết, chính sách phương sai – trung bình mẫu có nhiều khả năng để làm tốt hơn chiến lược 1 / N là M và N tăng giảm. Cuối cùng, đối với trường hợp trong đó cả hai thông số chưa biết, chúng tôi lưu ý rằng vì h> 0, phía bên tay trái của phương trình (26) luôn luôn là nhỏ hơn so với phía bên tay trái của phương trình (24).

Để minh họa cho tác động của đề xuất 1 ở trên, chúng ta tính giá trị tới hạn M mv¿ , như

được xác định trong phương trình (22), trong ba trường hợp được xem xét trong đề xuất. Trong hình 1, chúng tôi vẽ độ dài tới hạn ước lượng từng thời điểm cho ba trường hợp, như một hàm của số lượng tài sản, cho các giá trị khác nhau của ex ante hệ số Sharpe của danh mục đầu tư tiếp tuyến, S¿ và Sew danh mục đầu tư 1 / N. Chúng ta hiệu chỉnh sự lựa chọn của , S¿ và Sew với hệ số Sharpe báo cáo trong Bảng 3 cho dữ liệu thực nghiệm. Từ bảng 3, chúng ta thấy rằng hệ số Sharpe trong mẫu cho chiến phương sai – trung bình là khoảng 40% cho các lĩnh vực dữ liệu S & P, khoảng 20% cho ngành công nghiệp và các bộ dữ liệu quốc tế, và khoảng 15% trong giá trị tỷ trọng danh mục đầu tư thị trường, vì thế chúng tôi coi chúng là ba giá trị đại diện của các hệ số Sharpe của danh mục đầu tư tiếp tuyến: S¿ = 0,40 (bảng A và B), S¿= 0,20 (bảng C và D), và S¿= 0,15 (bảng E và F). Từ bảng 3, chúng ta cũng thấy rằng hệ số Sharpe cho chiến lược 1 / N là khoảng một nửa số đó cho trong mẫu chiến lược phương sai – trung bình. Vì vậy, trong bảng A, chúng tôi thiết lập hệ số Sharpe của chiến lược 1 / N là Sew = 0,20, và trong bảng C, chúng tôi thiết lập này là 0,10. Chúng tôi cũng muốn xem xét một khung cảnh cực hơn, trong đó ex ante hệ số Sharpe danh mục đầu tư 1 / N là nhỏ hơn nhiều so với danh mục đầu tư phương sai –trung bình một phần tư chứ không phải là một nửa hệ số Sharpe của trong danh mục đầu tư có phương sai – trung bình mẫuS¿ vì thế, trong bảng B, chúng tôi thiết lập Sew = 0,10, và trong bảng D, chúng tôi đặt nó vào 0,05. Tương tự như vậy, đối với bảng E và F, được hiệu chỉnh số liệu cho thị trường chứng khoán Mỹ, chúng tôi thiết lập Sew = 0.12 và Sew = 0,08, tương ứng; các giá trị thu được từ Bảng 6 cho dữ liệu mô phỏng, các chi tiết của các dữ liệu mô phỏng được cung cấp tại mục 5.1.

Có hai quan sát thú vị từ hình 1. Đầu tiên, như mong đợi, một phần lớn ảnh hưởng của sai số ước lượng là do ước lượng trung bình. Chúng ta có thể thấy điều này bởi nhận thấy rằng giá trị quan trọng đối với một số lượng nhất định của tài sản N tăng đi từ trường hợp trong đó có nghĩa là được biết đến (dashdotted dòng) để các trường hợp, trong trường hợp không biết. Thứ hai, và quan trọng hơn, độ lớn của số giá trị tới hạn của thời kỳ ước lượng là ấn tượng. Trong bảng A, trong đó hệ số ex ante Sharpe cho chính sách phương sai – trung bình là 0.40 và đối với chính sách 1 / N là 0.20, chúng ta thấy rằng với 25 tài sản, cửa sổ ước lượng cần thiết cho chính sách phương sai – trung bình để làm tốt hơn

các 1 / N chiến lược là hơn 200 tháng, với 50 tài sản, điều này làm tăng khoảng 600 tháng, và, với 100 tài sản, đó là hơn 1.200 tháng. Ngay cả đối với các trường hợp biến động mạnh hơn xem xét trong bảng B, trong đó hệ số Sharpe của danh mục đầu tư 1 / N chỉ là một phần thứ tư của danh mục đầu tư trung bình-phương sai, độ dài giá trị tới hạn của giai đoạn ước lượng không làm giảm đáng kể-đó là 270 tháng cho 25 tài sản, 530 tháng cho 50 tài sản, và 1060 tháng cho 100 tài sản. Giảm hệ số ex ante Sharpe danh mục đầu tư phương sai – trung bình làm tăng chiều dài quan trọng của cửa sổ ước lượng cần thiết cho nó để tốt hơn là 1 / N chuẩn, điều này giải thích, ít nhất là một phần, hiệu suất tương đối tốt trong những chiến lược tối ưu cho các bộ dữ liệu "FF -1-nhân tố "và" FF-4 nhân tố ", mà hệ số Sharpe của chính sách phương sai – trung bình trong mẫu là khoảng 0,50, cao hơn nhiều so với các bộ dữ liệu khác.

Từ bảng C của hình 1, trong đó hệ số Sharpe của danh mục đầu tư phương sai – trung bình là 0.20 và đối với danh mục đầu tư 1 / N là 0.10 , chúng ta thấy rằng nếu có 25 tài sản mà tài sản là được phân bổ , sau đó cho chiến lược phương sai – trung bình dựa trên ước tính của cả hai trung bình và hiệp phương sai để làm tốt hơn 1 / N trên trung bình , khoảng 1.000 tháng của dữ liệu là cần thiết. Nếu số tài sản là 50 , chiều dài của cửa sổ ước lượng tăng lên khoảng 2000 tháng. Ngay cả trong trường hợp cực đoan hơn xem xét trong bảng D , trong đó quy tắc 1 / N có hệ số Sharpe đó chỉ là một phần tư của danh mục đầu tư trung bình - phương sai, với 50 tài sản số lượng thời gian ước tính cần thiết cho mẫu dựa trên mô hình trung bình phương sai để làm tốt hơn các chính sách 1 / N là hơn 1.500 tháng. Điều này thậm chí còn nhiều hơn nổi bật trong bảng E và F , được hiệu chỉnh số liệu cho thị trường chứng khoán Mỹ. Trong bảng điều khiển điện tử , chúng ta thấy rằng đối với một danh mục đầu tư với 25 tài sản, cửa sổ dự toán cần thiết cho chính sách phương sai - trung bình mẫu dựa trên để làm tốt hơn các chính sách 1 / N là hơn 3000 tháng , và cho một danh mục đầu tư với 50 tài sản , đó là hơn 6.000 tháng. Thậm chí trong bảng F , trong đó hệ số Sharpe cho danh mục đầu tư 1 / N chỉ 0.08 , đối với một danh mục đầu tư với 25 tài sản là , cửa sổ ước lượng cần thiết là hơn 1600 tháng , và cho

một danh mục đầu tư với 50 tài sản, nó là nhiều hơn 3200 tháng.

5. Kết quả từ mô phỏng dữ liệu

Kết quả tại mục 4 ở trên, mặc dù giới hạn trường hợp của trategy trung bình phương sai cơ sở các ước tính mẫu của các tham số và trả về phân phối bình thường, tuy nhiên vẫn hữu ích để đánh giá thiệt hại trong hoạt động từ phải ước tính lợi nhuận kỳ vọng và phương sai của lợi nhuận. Trong phần này, chúng tôi sử dụng dữ liệu mô phỏng để phân tích cách hoạt động của mỗi trong những chiến lược được xem xét trong điều tra trước

thực nghiệm của chúng tôi phụ thuộc vào số lượng tài sản, N, và chiều dài của cửa sổ dự toán, M. Ưu điểm chính của việc sử dụng dữ liệu mô phỏng là chúng tôi hiểu chính xác tính kinh tế và tính chất thống kê dữ liệu. Các dữ liệu mà chúng tôi mô phỏng dựa trên một mô hình duy nhất nhân tố đơn giản, với lợi nhuận được phân phối độc lập và giống nhau theo thời gian với một phân phối chuẩn. Cho rằng hầu hết các mô hình của sự lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu có nguồn gốc theo các giả định, thiết lập này nên ủng hộ các mô hình trung bình-phương sai và các phần mở rộng khác nhau của nó. Nó cũng có nghĩa là các kết quả cho các dữ liệu mô phỏng được không phải do tác động nhỏ công ty, ảnh hưởng lịch, đà, trung bình-quay ngược, đuôi chất béo, hoặc bất thường khác đã được ghi nhận trong các tài liệu.

5.1 Thông tin chi tiết về cách dữ liệu mô phỏng được tạo ra

Cách tiếp cận của chúng tôi để mô phỏng lợi nhuận, và cũng lựa chọn các giá trị tham số, tương tự như trong Mackinlay và Paster (2000). Chúng tôi cho rằng thị trường bao gồm một tài sản phi rủi ro và N tài sản rủi ro, trong đó bao gồm các nhân tố K. Lợi nhuận vượt quá N - K tài sản rủi ro được tạo ra bởi mô hình các nhân tố: Ra,t = α + BRb,t + εt , với Ra,t

là vector lợi nhuận vượt trội, B là factor loadings matrix, Rb,t là vector lợi nhuận vượt trội của danh mục các nhân tố. Rb~ N( µb ; Ωb), εt là vector của biến nhiễm trắng, ε ~ (0 ; Ʃε ), độc lập với danh mục đầu tư nhân tố.

Kết quả mô phỏng xác nhận những cái nhìn thu được từ kết quả phân tích trong phần 4: long estimate windows được yêu cầu trước khi chính sách trung bình-phương sai mẫu cơ sở, "mv," đạt được một tỷ lệ Sharpe cao hơn so với chính sách 1 / N. Hơn nữa, cửa sổ chiều dài ước tính quan trọng cần thiết trước khi chính sách trung bình-phương sai mẫu cơ sở vượt xa so với 1 / N trong việc tăng đáng kể với số lượng tài sản. Đặc biệt, đối với trường hợp của 10 tài sản rủi ro, tỷ lệ Sharpe của chính sách bình-phương sai mẫu cơ sở là cao hơn so với chính sách 1 / N chỉ cho trường hợp của M = 6000 tháng. Đối với các trường hợp với 25 và 50 tài sản, mặt khác, nó không đạt được tỷ lệ Sharpe tương tự như chính sách 1 / N ngay cả đối với một estimate window có độ dài 6000 tháng.

Tiếp theo, chúng tôi kiểm tra tính hiệu quả của các mô hình Bayesian trong việc giải quyết các lỗi trong ước tính. Cũng như chúng ta quan sát thấy trong Bảng 3 cho các tập dữ liệu thực nghiệm, việc thực hiện các chính sách Bayes-Stein là rất tương tự như chính sách bình-phương sai mẫu cơ sở. Đặc biệt, chính sách Bayes-Stein, "bs," vượt xa so với 1 / N benchmark trong các trường hợp tương tự như chiến lược trung bình-phương sai mẫu

cơ sở. Chiến lược Date- and-Model, "dm", thực hiện tốt hơn nhiều so với giá trị trung bình-phương sai và Bayes-Stein chính sách mẫu cơ sở nếu σα = 1% mỗi năm.

Bảng 6 ( Thoại chèn giùm tui, tu chèn mà nó bị hụt quài)

Note bảng 6: Bảng này báo cáo tỷ lệ Sharpe hàng tháng cho các chiến lược 1 / N, Sharpe tỷ lệ trong mẫu của các chiến lược trung bình-phương sai, và out-of-mẫu tỷ lệ Sharpe cho các chiến lược từ các mô hình phân bổ tài sản tối ưu được liệt kê trong Bảng 1 . Trong ngoặc là p-value của sự khác biệt giữa tỷ lệ Sharpe của mỗi chiến lược của danh mục theo 1 / N benchmark, được tính bằng cách sử dụng Jobson và Korkie (1981) mô tả phương pháp tại mục 2. Những số lượng được tính cho dữ liệu mô phỏng được mô tả trong phần 5.1 cho các số khác nhau của tài sản có thể đầu tư, N, và độ dài khác nhau của cửa sổ dự toán, M, đo trong tháng

Nhưng chính sách "dm" vẫn cần hơn 120 tháng của dữ liệu để đạt được một tỷ lệ cao hơn so với Sharpe trong 1 / N đối với trường hợp với 10 tài sản, và không tốt hơn các chính sách trong 1 / N benchmark đối với trường hợp của 50 tài sản ngay cả với window estimate 6000 tháng.

Nghiên cứu các chính sách hạn chế với thời điểm, chúng tôi thấy rằng các chính sách phương sai nhỏ nhất, "min", không đánh bại 1 / N cho các trường hợp xem xét. Mặt khác, chính sách "mp" hiện khá tốt, và hiệu quả của nó cũng tương tự như chính sách 1 / N. Một lý do tại sao chính sách này thực hiện cũng là các dữ liệu được mô phỏng giả định mô hình thị trường không có các nhân tố không quan sát được, đó là điều kiện lý tưởng cho các chính sách này.

Việc áp dụng các ràng buộc cải thiện hiệu suất của chính sách bình-phương sai mẫu cơ sở, "mv-c," chỉ cho độ dài window estimate nhỏ, nhưng hiệu quả của nó tồi tệ hơn cho các window estimate lớn. Trực quan cho điều này là khi window estimate là dài, các lỗi dự toán nhỏ hơn, và do đó, ràng buộc làm giảm hiệu suất. Do đó, chính sách trung bình-phương sai mẫu cơ sở hạn chế không tốt hơn các chính sách 1 / N benchmark cho các trường hợp xem xét. Tương tự như vậy, áp đặt những hạn chế shortsale về chính sách Bayes-Stein cải thiện hiệu suất chỉ cho các window estimate ngắn hạn, và do đó, ngay cả với những hạn chế chính sách này không tốt hơn là 1 / N benchmark.

Cũng như trong các dữ liệu thực nghiệm, áp đặt những ràng buộc cải thiện hiệu suất của các chính sách phương sai nhỏ nhất, nhưng thậm chí sau đó chính sách phương sai nhỏ nhất hạn chế, "min-c," không tốt hơn là 1 / N chuẩn cho các trường hợp xem xét. Chính sách phương sai nhỏ nhất với các ràng buộc tổng quát, "g-min-c," cũng không tốt hơn các chính sách 1 / N cho các trường hợp xem xét.

Cuối cùng, chúng ta xem xét các chiến lược danh mục đầu tư hỗn hợp. Hiệu suất của chính sách Kạn và Zhou(2007), "mv-min," tạo ra tỷ lệ Sharpe mà rất tương tự như cho chính sách trung bình-phương sai mẫu cơ sở "mv." Các chính sách hỗn hợp thứ hai, "ew-min , "thực hiện tốt hơn so với" mv-min "chính sách hỗn hợp cho các window estimate ngắn, nhưng bị chi phối bởi chính sách phương sai phương sai với những ràng buộc," min-c”.

Tất cả cái khác là như nhau, hiệu suất của trung bình-phương sai mẫu cơ sở (và của các chính sách tối ưu hóa nói chung) sẽ cải thiện tương đối với chính sách 1 / N nếu sự biến động tài sản không biết nguyên nhân là cao hơn nhiều so với 20%. Để thấy điều này, lưu ý đầu tiên trong khi sự biến động không biết nguyên nhân cao hơn sẽ không ảnh hưởng đến tỷ lệ Sharpe của chính sách bình-sai sự thật bởi vì điều này chỉ đơn giản là tỷ số Sharpe của các nhân tố thị trường, tỷ lệ Sharpe của chính sách 1 / N sẽ giảm. Lý do thứ hai cho các chính sách tối ưu hóa để thực hiện tương đối tốt hơn là với biến động không biết nguyên nhân cao hơn ma trận hiệp phương sai của lợi nhuận ít có khả năng là số ít, và do đó, dễ dàng hơn để đảo ngược. Ví dụ, chúng ta thấy rằng đối với một biến động không biết nguyên nhân trung bình mặt cắt ngang là 75% mỗi năm, các chiến lược danh mục đầu tư từ các mô hình tối ưu hóa tốt hơn các chiến lược 1 / N nếu số tài sản khoảng 10 và cửa sổ dự toán dài hơn 120 tháng . (Vì không có không gian, các bảng với các kết quả cho trường hợp với biến động không biết nguyên nhân của 75% không được báo cáo trong paper.)

Tóm lại, các kết quả mô phỏng trong phần này cho thấy các giá trị tham số hợp lý, các mô hình của sự lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu đã được phát triển đặc biệt để giải quyết các vấn đề của lỗi ước lượng giảm chỉ vừa chiều dài quan trọng của cửa sổ dự toán cần thiết để làm tốt hơn 1 / N.

6. Kết quả số kỹ thuật khác: Kiểm tra tính vững

Trong trường hợp benchmark được báo cáo trong bảng 3-5, chúng tôi đã giả định rằng: (i) độ dài của cửa sổ ước lượng là M = 120 tháng chứ không phải là M = 60, (ii) các cửa sổ ước lượng được rolling (cuốn) chứ không phải là tăng với thời gian (iii) thời gian nắm giữ là một tháng thay vì một năm, (iv) danh mục đầu tư đánh giá là chỉ bao gồm các tài sản rủi ro chứ không phải là một trong đó cũng bao gồm các tài sản phi rủi ro (v) một người cũng có thể đầu tư trong danh mục đầu tư nhân tố (vi) hiệu suất được đo liên quan đến chiến lược rebalancing 1/N, chứ không phải là chiến lược mua và nắm giữ 1 / N; (vii) các nhà đầu tư có một lo ngại rủi ro của γ = 1, chứ không phải là một số giá trị khác lo ngại rủi ro, với γ = {2, 3, 4, 5, 10}; và (viii) mức độ của nhà đầu tư tin tưởng vào mô hình định giá tài sản là σα = 1% một năm, thay vì 2% hoặc 0,5 %.

Để kiểm tra xem kết quả của chúng tôi rất nhạy cảm với các giả định này, chúng tôi tạo ra các bảng cho tỷ lệ Sharpe, lợi nhuận CEQ, và doanh thu cho tất cả các chính sách và các bộ dữ liệu thực nghiệm xem xét sau khi giãn mỗi giả định nói trên. Ngoài ra, dựa trên mỗi một trong ba biện pháp, chúng tôi cũng báo cáo các bảng xếp hạng trong những chiến lược khác nhau. Vì số lượng lớn các bảng cho các thí nghiệm mạnh mẽ, chúng tôi đã thu thập các kết quả cho những thí nghiệm trong một phụ lục riêng biệt mang tên "thực hiện chi tiết và kiểm tra tính vững," trong đó có sẵn từ các tác giả. Cái nhìn sâu sắc chính từ những kiểm tra tính vững là kết quả hoạt động báo cáo trên paper cho các chiến lược khác nhau không phải là rất nhạy cảm với bất kỳ của các giả định.

Hai giả định khác mà chúng tôi đã thực hiện được rằng các nhà đầu tư chỉ sử dụng những moment lợi nhuận tài sản để tạo thành danh mục đầu tư, nhưng không đặc điểm tài sản cụ thể, và đó là những moment lợi nhuận tài sản là không đổi theo thời gian. Chúng tôi thảo luận về những điều đó như sau.

6.1 Danh mục đầu tư có sử dụng các đặc điểm mặt cắt ngang cổ phiếu

Trong bài báo này, chúng tôi đã giới hạn chính mình để so sánh hiệu suất của các mô hình phân bổ tài sản tối ưu trong những moment của lợi nhuận tài sản nhưng không đặc điểm khác của tài sản. Brandt, Santa-Clara, và Valkanov (2007) đề xuất một cách tiếp cận mới để xây dựng danh mục đầu tư tối ưu khai thác các đặc điểm mặt cắt ngang của lợi nhuận vốn chủ sở hữu. Ý tưởng của họ là mô hình trọng lượng danh mục đầu tư trong công ty như là một trọng lượng chuẩn cộng với một hàm tuyến tính của công ty đặc điểm i 's. Việc xây dựng một danh mục đầu tư như vậy, do đó, làm giảm đến một vấn đề ước lượng thống kê, và số chiều thấp của vấn đề cho phép một để tránh những vấn đề của quá

phù hợp. Trong ứng dụng của họ vào universe của cổ phiếu CRSP (1964-2002), Brandt, Santa-Clara, và Valkanov thấy rằng danh mục đầu tư có xu hướng để tải về cổ phiếu nhỏ, giá trị cổ phiếu, và chiến thắng trong quá khứ.

Để so sánh hiệu suất các out-of-shample theo Brandt, Santa-Clara, và Valkanov (2007) phương pháp tương đối so với danh mục đầu tư chuẩn 1 / N, chúng tôi áp dụng phương pháp tiếp cận của họ với hai bộ dữ liệu trong bài báo của chúng tôi mà các tài sản có thể đầu tư có những đặc điểm tài sản cụ thể tương tự như những cái mà họ sử dụng trong phân tích của họ. Hai tập dữ liệu, lấy từ trang web của Kenneth French, là danh mục đầu tư (i) 10 ngành công nghiệp, và (ii) 25 size- và các danh mục book-to-market-sorted . Như chúng ta đã làm trong phân tích thực nghiệm của chúng tôi, chúng tôi sử dụng phương pháp cuốn c ác estimate window, với chiều dài của khoảng thời gian ước lượng là M = 120 tháng.

Trong 10 danh mục đầu tư công nghiệp, (2007) mô hình Brandt, Santa-Clara, và Valkanov có một tỷ lệ Sharpe của out-of-shample là 0,1882, trong khi đó chiến lược 1 / N chỉ là 0,1390, nhưng p-value cho Sự khác biệt là 0.11. Và doanh thu cho Brandt, Santa-Clara, và Valkanov mô hình lớn hơn so với các chiến lược 1 / N khoảng 52 lần.

Điều này tương ứng với sự mất đi 0.0025 lợi nhuận, có nghĩa là sự hiện diện của tỷ lệ chi phí giao dịch của 50 điểm cơ bản, Brandt, Santa-Clara, và chiến lược Valkanov sẽ cần phải kiếm được thêm 0.0025 lợi nhuận mỗi tháng để đạt được tỷ lệ Sharpe giống như chiến lược 1 / N. Đối với 25 size- và các danh mục book-to-market-sorted, chúng tôi thấy rằng việc sử dụng các Brandt, Santa-Clara, và mô hình Valkanov cho một out-of-shample có tỷ lệ Sharpe 0,1824, cao hơn so với 1 / N chiến lược, 0,1649, nhưng p-value cho sự khác biệt là 0,38.

Một lần nữa, doanh thu cho Brandt, Santa-Clara, và Valkanov danh mục đầu tư là lớn hơn khoảng 127 lần cho chiến lược 1 / N và lợi nhuận mất là 0,0092. Vì vậy, cả hai bộ dữ liệu, tỷ lệ Sharpe của Brandt, Santa-Clara, và chiến lược Valkanov cao hơn nhưng không thể phân biệt về mặt thống kê so với của 1 / N chuẩn, trong khi doanh thu thấp hơn đáng kể cho chiến lược 1 / N.

Tuy nhiên, cho cả bộ dữ liệu, hiệu suất của các Brandt, Santa-Clara, và Valkanov (2007) phương pháp cải thiện nếu ai có thể phân vùng tinh xảo hơn tài sản do đó số lượng tài sản hiện có để đầu tư là lớn hơn nhiều.

Ví dụ, nếu một người có 48 thay vì 10 danh mục đầu tư ngành công nghiệp, tỷ lệ Sharpe tăng tới 0,2120 so với 0,1387 chỉ cho chiến lược 1 / N. Tuy nhiên, p-value cho sự khác biệt là 0,1302, và doanh thu cho Brandt, Santa-Clara, và chiến lược Valkanov tại là 167 lần thay vì 52 lần cho chiến lược 1 / N, với lợi nhuận bị mất là 0.0047 thay vì 0.0025. Vì vậy, trong trường hợp này, sự cải thiện không đáng chú ý.

Mặt khác, nếu một người có 100 thay vì chỉ có 25 size- và các danh mục book-to-market-sorted, sau đó tỷ lệ Sharpe cải thiện đến 0,3622, trong khi đó chiến lược 1 / N là 0,1217, với giá trị p cho sự khác biệt bây giờ là 0.0, hơn nữa, mặc dù doanh thu cho Brandt, Santa-Clara, và chiến lược Valkanov giờ là lớn hơn cho chiến lược chuẩn 1 / N 158 lần, sự lợi nhuận mất là -0,0795, chỉ ra rằng chiến lược này sẽ kiếm được một tỷ lệ Sharpe cao hơn so với chiến lược 1 / N ngay cả sau khi một chi phí giao dịch tương ứng với 50 điểm cơ bản.

Chúng tôi kết luận từ thí nghiệm này sử dụng thông tin về các đặc tính crosssectional tài sản, chứ không phải chỉ thông tin thống kê về những moment của lợi nhuận tài sản, không dẫn đến sự cải thiện trong tỷ lệ Sharpe. Nếu số lượng tài sản có thể đầu tư là tương đối nhỏ, sau đó sự cải thiện trong hiệu suất tương đối so với chiến lược chuẩn 1 / N có thể không có ý nghĩa thống kê. Tuy nhiên, khi số lượng tài sản có thể đầu tư quá lớn, và do đó, tiềm năng cho sự phù hợp nghiêm trọng hơn, sau đó sự khác biệt trong tỷ lệ Sharpe là có ý nghĩa thống kê. Tuy nhiên, doanh thu của Brandt, Santa-Clara, và Valkanov (2007) phương pháp tiếp cận là cao hơn đáng kể hơn so với các chiến lược 1 / N, và sự khác biệt này tăng lên cùng với số lượng tài sản có thể đầu tư. Hơn nữa, nó có thể không thể sử dụng phương pháp luận của Brandt, Santa-Clara, và Valkanov cho tất cả các loại tài sản, ví dụ, nếu một mong muốn phân bổ tài sản trên chỉ số chứng khoán quốc tế, sau đó nó không phải là rõ ràng những đặc điểm cắt ngang giải thích lợi nhuận trong chỉ số quốc gia.

6.2 Time-varying moment của lợi nhuận tài sản

Một hạn chế của việc phân tích mô tả trong bài báo này là tất cả các mô hình tối ưu hóa được coi là giả định rằng những moment của lợi nhuận là không đổi theo thời gian. Nếu những moment đầu tiên và thứ hai của lợi nhuận thay đổi theo thời gian, và vì thế các mô hình này có thể hoạt động kém.

Trong khi một mô hình chính thức với chiến lược chiếm time-varying moments có khả năng làm tốt hơn Naive 1 / N quy định, vì số lượng lớn các thông số cần được ước tính cho một mô hình như vậy, nó không phải là rõ ràng rằng những lợi ích có thể đạt được ra khỏi mẫu.

Trong một phiên bản cũ của bài viết này, chúng tôi một phần giải quyết vấn đề này bằng cách xem xét hai mô hình phân bổ tài sản năng động cho phép (i) lãi suất ngẫu nhiên, như trong Campbell và Viceira (2001), và (ii) thời gian khác nhau lợi nhuận kỳ vọng, như trong Campbell và Viceira (1999) và Campbell, Chan, và Viceira (2003). Chúng tôi thấy rằng các lỗi dự toán càng trầm trọng hơn bởi số lượng lớn các thông số cần được ước tính và, nói chung, các chiến lược năng động không tốt hơn các quy tắc 1 / N.

7. ConclusionChúng ta vừa so sánh thành quả của 14 mô hình phân bổ tài sản tối ưu, liên quan đến chính sách tiêu chuẩn 1/N. Sự so sánh này được thực hiện bằng việc sử dụng 7 bộ dữ liệu thực nghiệm khác nhau cũng như là những dữ liệu mô phỏng. Chúng ta nhận thấy rằng tỷ số Sharpe ngoài mẫu của chiến lược trung bình – phương sai (mean-variance) mẫu thì thấp hơn nhiều so với chiến lược 1/N, điều đó chỉ ra rằng những sai số trong ước lượng trung bình và hiệp phương sai (covariance) làm xói mòn (erode) tất cả những gì đạt được từ danh mục tối ưu, tương ứng với danh mục thô, đa dạng hóa danh mục. Chúng ta cũng nhận thấy rằng những mở rộng khác nhau cho các mô hình trung bình – phương sai mẫu được đề xuất trong tài liệu tham khảo để giải quyết sai số ước lượng thường không tạo thành quả tốt danh mục chuẩn 1/N cho 7 bộ dữ liệu thực nghiệm. Tóm lại, chúng tôi nhận thấy rằng các mô hình tối ưu hóa khác nhau trong lý thuyết, không có mô hình duy nhất nào cho ra tỷ số Sharpe hoặc một tỷ suất sinh lợi chắc chắn tương đương cao hơn của danh mục 1/N- mà danh mục này cũng có doanh thu (turnover) rất thấp.Để hiểu về thành quả kém của mô hình tối ưu hóa, chúng tôi bắt đầu phân tích độ dài của chu kỳ ước lượng cần thiết trước khi có thể kỳ vọng chiến lược trung bình – phương sai mẫu đạt được suất sinh lợi chắc chắn tương đương (certainty-equivalent) cao hơn danh

mục chuẩn 1/N. Với những tham số được hiệu chỉnh cho thị trường chứng khoán US, chúng tôi thấy rằng một danh mục chỉ với 25 tài sản, việc ước lượng cửa sổ cần tới hơn 3000 tháng, và danh mục với 50 tài sản, cần hơn 6000 tháng, trong khi những tham số điển hình này được ước lượng bằng việc sử dụng dữ liệu trong khoảng từ 60-120 tháng. Sử dụng dữ liệu mô phỏng, chúng tôi chỉ ra được những mở rộng khác nhau cho mô hình trung bình – phương sai mẫu được thiết lập để giải quyết sai số ước lượng làm giảm cửa sổ ước lượng cần thiết một cách tương đối cho những mô hình này để có thành quả tốt hơn danh mục chuẩn 1/N thô.

Những phát hiện này có 2 hàm ý quan trọng. Đầu tiên, trong khi có sự tiến bộ đáng kể trong việc thiết lập danh mục tối ưu hóa, nhiều nỗ lực hơn được yêu cầu để cải thiện sự ước lượng moment của tỷ suất sinh lợi tài sản và để sử dụng không chỉ trong thống kê mà còn cho những thông tin có sẵn về suất sinh lợi của cổ phiếu. Như sự đánh giá của chúng tôi về phương pháp được đề xuất trong Brandt, Santa-Clara, và Valkanov (2007) chỉ ra, việc khai thác thông tin về những đặc điểm chéo (cross-sectional characteristic) của các tài sản có thể là một hướng đầy hứa hẹn thuyết phục. Thứ hai, để đánh giá thành quả của một chiến lược cụ thể cho việc phân bổ tài sản tối ưu, được đề xuất bởi các nghiên cứu học thuật hay bởi công nghiệp quản trị đầu tư, quy luật đa dang hóa thô (Naïve-diversification) 1/N nên được coi như 1 danh mục chuẩn hiển nhiên trước tiên.

Phụ lục A: Mô tả 7 bộ dữ liệu thực nghiệm

Phụ lục này mô tả 7 bộ dữ liệu thực nghiệm được xem xét trong bài nghiên cứu này. Mỗi bộ chứa suất sinh lợi vượt trội hàng tháng của T-bill 90 ngày (từ website của Ken French). Danh sách bộ dữ liệu được cung cấp ở Bảng 2.

A.1 Danh mục ngành

Bộ dữ liệu “ngành S&P” gồm suất sinh lợi vượt trội hàng tháng trên 10 danh mục ngành công nghiệp tính theo tỷ trọng giá trị (value-weighted) được thiết lập bởi việc sử dụng Golbal Industry Classification Standard (GICS) của Standard & Poor’s (S&P) và Morgan Stanley Capital International (MSCI). Bộ dữ liệu được tạo bởi Roberto Wessels, và chúng tôi biết ơn ông ấy vì đã làm sẵn cho chúng tôi. 10 ngành công nghiệp được xem xét gồm: Năng lượng, Nguyên liệu, Sản xuất, Hàng tiêu dùng không thiết yếu (consumer – discretionary), hàng tiêu dùng thiết yếu (consumer – staples), Sức khỏe, Tài chính, CNTT, Viễn thông, và Dịch vụ tiện ích (như điện, nước). Dữ liệu chạy từ tháng 1/1981 đến 12/2002. Chúng tôi gia tăng thêm cho bộ dữ liệu bằng cách thêm vào một nhân tố suất sinh lợi vượt trội trên danh mục thị trường vốn US, MKT, được định nghĩa như suất

sinh lợi tính theo tỷ trọng giá trị từ các cổ phiếu NYSE, AMEX, và NASDAQ (từ CRSP) trừ đi tỷ lệ trái phiếu kho bạc (treasury–bill) 1 tháng.

A.2 Danh mục ngành công nghiệp

Bộ dữ liệu “ngành công nghiệp” bao gồm suất sinh lợi vượt trội hàng tháng trên 10 danh mục ngành công nghiệp ở Mỹ. 10 ngành công nghiệp đươc xem xét là: hàng tiêu dùng không thiết yếu, hàng tiêu dùng thiết yếu, sản xuất, năng lượng, CN cao, viễn thông, bán buôn và bán lẻ, Sức khỏe, Tiện ích, và nhiều ngành khác. Tỷ suất sinh lợi hàng tháng được theo dõi từ tháng 7/1963 đến 11/2004 và được cung cấp từ Kenneth French’s website. Chúng tôi tăng thêm bằng cách thêm vào một nhân tố tỷ suất sinh lợi vượt trội trên danh mục thị trường vốn US, MKT.

A.3 Các chỉ số vốn quốc tế.

Bộ dữ liệu “Quốc tế” gồm 8 chỉ số vốn quốc tế: Canada, Pháp, Đức, Ý, Nhật, Thụy Sỹ, UK và US. Thêm vào những chỉ số này, chỉ số Thế giới được sử dụng như danh mục nhân tố. Tỷ suất sinh lợi được tính toán dựa trên giá trị đồng đô la Mỹ cuối tháng của chỉ số vốn quốc gia trong giai đoạn từ 1/1970 đến 7/2001. Dữ liệu từ MSCI (Morgan Stanley Capital International).

A.4 Danh mục MKT, SMB và HML

Bộ dữ liệu “MKT/SMB/HML” là bản cập nhật của bản gốc được sử dụng bởi Pastor (2000) dùng cho định giá Bayes “Data and Model” để phân bổ tài sản. Các tài sản được đại diện bởi 3 danh mục mở rộng: (i) MKT là tỷ suất sinh lợi vượt trội trên thị trường vốn US; (ii) HML, danh mục chi phí bằng không “zero-cost” nghĩa là nắm giữ lâu dài (long in) ở những cổ phiếu có giá sổ sách/giá thị trường cao (book-to-market stocks) và rút ngắn đối với các cổ phiếu có giá sổ sách/giá thị trường thấp; và (iii) SMB, danh mục chi phí bằng 0 được nắm giữ lâu dài đối với các cổ phiếu vốn hóa nhỏ (small-cap) và rút ngắn đối với cổ phiếu có vốn hóa lớn. Dữ liệu bao gồm tỷ suất sinh lợi hàng tháng từ tháng 7/1963 đến 11/2004. Dữ liệu được lấy từ website Kenneth French. Cách tiếp cận Data-and-Model được cung cấp bằng cách giả định rằng nhà đầu tư đặt niềm tin của họ đối với mô hình giá tài sản (CAPM; Fama and French,1993; or Carhart, 1997) khi xây dựng tỷ suất sinh lợi tài sản kỳ vọng.

A.5 Quy mô và danh mục giá sổ sách/giá thị trường có chọn lọc

Dữ liệu bao gồm tỷ suất sinh lợi hàng tháng của 20 danh mục chọn lọc bởi quy mô và giá sổ sách/giá thị trường. Dữ liệu được lấy từ website Kenneth French và kéo dài từ T7/1963 đến 12/2004 . Bộ dữ liệu này được sử dụng bởi Wang (2005) để phân tích những

đặc tính co của phương pháp Data-and-Model. Chúng tôi sử dụng bộ dữ liệu này cho 3 thí nghiệm khác nhau. Trước tiên, hàm ý “nhân tố FF-1”, chúng tôi bổ sung thêm MKT vào bộ dữ liệu. Sau đó, chúng tôi áp đặt rằng 1 nhà đầu tư Bayesian đặt niềm tin của mình vào CAPM để xây dựng ước lượng tỷ suất sinh lợi kỳ vọng. Thứ hai, hàm ý “FF 3 nhân tố”, chúng tôi tăng thêm vào bộ dữ liệu bằng cách thêm MKT, và danh mục chi phí bằng 0 HML và SMB. Chúng tôi giả định rằng một nhà đầu tư Bayesian sử dụng mô hình 3 nhân tố Fama-French để xây dựng ước lượng tỷ suất sinh lợi kỳ vọng. Trong thí nghiệm thứ 3, hàm ý “FF 4 nhân tố”, chúng tôi tăng thêm danh mục được phân loại theo quy mô và giá sổ sách/giá thị trường với danh mục 4 nhân tố: MKT, HML, SMB, và danh mục momentum, UMD, dữ liệu trích từ website Kenneth French. Với bộ dữ liệu này, nhà đầu tư được giả định sẽ ước lượng tỷ suất sinh lợi kỳ vọng bằng cách sử dụng mô hình 4 nhân tố.

Phụ lục B: Bằng chứng cho Định đề 1

Giả định rằng phân phối của tỷ suất sinh lợi là liên kết chuẩn (jointly normal), Kan và Zhou (2007) lấy được các biểu thức sau đây cho tổn thất kỳ vọng từ việc sử dụng chính sách trung bình phương sai mẫu theo ước lượng hơn là tham số thật. Với μ ko biết nhưng Σ biết, thì tổn thất kỳ vọng là

L ( x¿ , xmv|Σ )= 12 γ

NM

(B1)

Khi biết μ nhưng không biết Σ thì tổn thất kỳ vọng là

L ( x¿ , xmv|µ)= 12 γ

(1−k )S¿2 (B2)

với k được cho trong công thức (25). Khi không biết cả μ và Σ, tổn thất kỳ vọng là

L ( x¿ , xmv|Σ )= 12 γ

(1−k ) S¿2+h¿ (B3)

với k được cho trong công thức (25) và h được cho trong công thức (27). Theo cách tiếp cận tương tư, chúng tôi lấy được hàm tổn thất kỳ vọng từ việc sử dụng quy luật 1/N. Thông thường, để xew biểu thị chính sách tỷ trọng cân bằng:

xew = c 1N , c ∈ R . (B4)

Chú ý rằng tỷ trọng ở phương trình trên không cần thiết tương đương với 1/N, nhưng các

tỷ trọng chuẩn hóa thì có, độc lập với sự lựa chọn c ∈ R vô hướng. Để rõ ràng, nếu tài

sản ban đầu là 1 USD, khi đó N c đại diện sự phân bổ đầu tư hoàn toàn vào tài sản rủi ro, và 1-N c là sự phân bổ đầu tư đối với tài sản phi rủi ro.

Giả sử nhà đầu tư sử dụng quy luật (B4) cho một c tổng quát (generic). Tổn thất kỳ vọng từ việc sử dụng quy tắc này thay vì quy tắc dựa vào sự hiểu biết thấu đáo về tham số là:

L ( x¿ , xew )=U ( x¿)−c1NT μ+ γ

2c2 1N Ʃ 1N (B5)

Để tách hòan toàn chi phí của việc sử dụng quy tắc 1/N và tránh những hiệu ứng của thời điểm thị trường, chúng tôi giả định rằng nhà đầu tư chọn c một cách tốt nhất; đó là theo kiểu mà hàm tổn thất trong phương trình (B5) được nhỏ hóa. Bởi vì hàm tổn thất lồi ở c,

sự tổn thất thấp nhất có thể thu được bằng cách chọn c¿=1N

T μγ 1N Ʃ 1N

hàm này lấy được theo

ràng buộc thấp nhất trên tổn thất từ việc sử dụng quy tắc danh mục 1/N:

Lew ( x¿, x

ew )= 12 γ (μ

TƩ

−1μ−

(1NT μ )2

1NT Ʃ 1N

)≡ 12 γ

(S¿2−Sew

2 ) (B6)

Trong đó Sew2 =

(1NT μ)2

1NT Ʃ1N

là tỷ số Sharpe bình phương của danh mục 1/N. So sánh phương

trình (B1), (B2) và (B3) với phương trình (B6) cho kết quả trong định đề.

Tài liệu tham khảo

Balduzzi, P., and A. W. Lynch. 1999. Transaction Costs and Predictability: Some Utility Cost Calculations. Journal of Financial Economics 52:47–78.

Barone, L. 2006. Bruno de Finetti, The Problem of “Full-Risk Insurances.”Journal of Investment Management 4:19–43.

Barry, C. B. 1974. Portfolio Analysis under Uncertain Means, Variances, and Covariances. Journal of Finance 29:515–22.

Bawa, V. S., S. Brown, and R. Klein. 1979. Estimation Risk and Optimal Portfolio Choice . Amsterdam, The Netherlands: North Holland.

Benartzi, S., and R. Thaler. 2001. Naive Diversification Strategies in Defined Contribution Saving Plans. American Economic Review91:79–98.

Best, M. J., and R. R. Grauer. 1991. On the Sensitivity of Mean-Variance-Efficient Portfolios to Changes in Asset Means: Some Analytical and Computational Results.The Review of Financial Studies 4:315–42.

Best, M. J., and R. R. Grauer. 1992. Positively Weighted Minimum-Variance Portfolios and the Structure of Asset Expected Returns. Journal of Financial and Quantitative Analysis 27:513–37.

Bhardwaj, R., and L. Brooks. 1992. The January Anomaly: Effects of Low Share Price, Transaction Costs, and Bid-Ask Bias. Journal of Finance 47:553–74.

Black, F., and R. Litterman. 1990. Asset Allocation: Combining Investor Views with Market Equilibrium. Discussion Paper, Goldman, Sachs & Co.

Black, F., and R. Litterman. 1992. Global Portfolio Optimization.Financial Analysts Journal 48:28–43.

Bloomfield, T., R. Leftwich, and J. Long. 1977. Portfolio Strategies and Performance. Journal of Financial Economics 5:201–18.

Brandt, M. W. 2007. Portfolio Choice Problems, in Y. Ait-Sahalia, and L. P. Hansen (eds.), Handbook of Financial Econometrics . St. Louis, MO: Elsevier, forthcoming.

Brandt, M. W., P. Santa-Clara, and R. Valkanov. 2007. Parametric Portfolio Policies: Exploiting Characteristics in the Cross Section of Equity Return. Working Paper, UCLA.

Brown, S. 1979. The Effect of Estimation Risk on Capital Market Equilibrium. Journal of Financial and Quantitative Analysis 14:215–20.

Campbell, J. Y., Y. L. Chan, and L. M. Viceira. 2003. A Multivariate Model of Strategic Asset Allocation.Journal of Financial Economics 67:41–80.

Campbell, J. Y., and L. M. Viceira. 1999. Consumption and Portfolio Decisions When Expected Returns Are Time Varying. Quarterly Journal of Economics 114:433–95.

Campbell, J. Y., and L. M. Viceira. 2001. Who Should Buy Long-Term Bonds? American Economic Review 91:99–127.

Campbell, J. Y., and L. M. Viceira. 2002. Strategic Asset Allocation. New York: Oxford University Press.

Carhart, M. 1997. On the Persistence in Mutual Fund Performance. Journal of Finance 52:57–82.

Chan, L. K. C., J. Karceski, and J. Lakonishok. 1999. On Portfolio Optimization: Forecasting Covariances and Choosing the Risk Model. The Review of Financial Studies 12:937–74.

Chopra, V. K. 1993. Improving Optimization.Journal of Investing 8:51–59.

Dumas, B., and B. Jacquillat. 1990. Performance of Currency Portfolios Chosen by a Bayesian Technique: 1967–1985. Journal of Banking and Finance 14:539–58.

Fama, E. F., and K. R. French. 1993. Common Risk Factors in the Returns on Stock and Bonds.Journal of Financial Economics 33:3–56

Frost, P. A., and J. E. Savarino. 1986. An Empirical Bayes Approach to Efficient Portfolio Selection.Journal of Financial and Quantitative Analysis 21:293–305.

Frost, P. A., and J. E. Savarino. 1988. For Better Performance Constrain Portfolio Weights. Journal of Portfolio Management15:29–34.

Garlappi, L., R. Uppal, and T. Wang. 2007. Portfolio Selection with Parameter and Model Uncertainty: A Multi-Prior Approach. The Review of Financial Studies 20:41–81.

Goldfarb, D., and G. Iyengar. 2003. Robust Portfolio Selection Problems.Mathematics of Operations Research 28:1–38.

Green, R., and B. Hollifield. 1992. When Will Mean-Variance Efficient Portfolios Be Well Diversified?Journal of Finance 47:1785–809.

Greene, W. H. 2002.Econometric Analysis . New York: Prentice-Hall.

Harvey, C. R., J. Liechty, M. Liechty, and P. M ¨uller. 2003. Portfolio Selection with Higher Moments. Working Paper, Duke University.

Hodges, S. D., and R. A. Brealey. 1978. Portfolio Selection in a Dynamic and Uncertin World, in James H. Lorie and R. A. Brealey (eds.), Modern Developments in Investment Management , 2nd ed. Hinsdale, IL: Dryden Press.

Huberman, G., and W. Jiang. 2006. Offering vs. Choice in 401(k) Plans: Equity Exposure and Number of Funds. Journal of Finance 61:763–801.

Jagannathan, R., and T. Ma. 2003. Risk Reduction in Large Portfolios: Why Imposing the Wrong Constraints Helps. Journal of Finance 58:1651–84.

James, W., and C. Stein. 1961. Estimation with Quadratic Loss. Proceedings of the 4th Berkeley Symposium on Probability and Statistics 1 . Berkeley, CA: University of California Press.

Jobson, J. D., and R. Korkie. 1980. Estimation for Markowitz Efficient Portfolios. Journal of the American Statistical Association 75:544–54.

Jobson, J. D., and R. Korkie. 1981. Performance Hypothesis Testing with the Sharpe and Treynor Measures. Journal of Finance 36:889–908.

Jobson, J. D., R. Korkie, and V. Ratti. 1979. Improved Estimation for Markowitz Portfolios Using James-Stein Type Estimators. Proceedings of the American Statistical Association 41:279–92.

Jorion, P. 1985. International Portfolio Diversification with Estimation Risk. Journal of Business 58:259–78.

Jorion, P. 1986. Bayes-Stein Estimation for Portfolio Analysis. Journal of Financial and Quantitative Analysis 21:279–92.

Jorion, P. 1991. Bayesian and CAPM Estimators of the Means: Implications for Portfolio Selection. Journal of Banking and Finance 15:717–27.

Kan, R., and G. Zhou. 2007. Optimal Portfolio Choice with Parameter Uncertainty. Journal of Financial and Quantitative Analysis 42:621–56.

Klein, R. W., and V. S. Bawa. 1976. The Effect of Estimation Risk on Optimal Portfolio Choice.Journal of Financial Economics 3:215–31.

Knight, F. 1921. Risk, Uncertainty, and Profit. Boston, MA: Houghton Mifflin. Ledoit, O., and M. Wolf. 2004a. Honey, I Shrunk the Sample Covariance Matrix: Problems in Mean-Variance Optimization. Journal of Portfolio Management 30:110–19.

Ledoit, O., and M. Wolf. 2004b. A Well-Conditioned Estimator for Large-Dimensional Covariance Matrices. Journal of Multivariate Analysis 88:365–411.

Lesmond, D. A., J. P. Ogden, and C. A. Trzcinka. 1999. A New Estimate of Transaction Costs. The Review of Financial Studies 12:1113–41.

Litterman, R. 2003. Modern Investment Management: An Equilibrium Approach. New York: Wiley.

MacKinlay, A. C., and L. Pastor. 2000. Asset Pricing Models: Implications for Expected Returns and Portfolio Selection. The Review of Financial Studies 13:883–916.

Markowitz, H. M. 1952. Portfolio Selection. Journal of Finance 7:77–91.

Markowitz, H. M. 1956. The Optimization of a Quadratic Function Subject to Linear Constraints.Naval Research Logistics Quarterly 3:111–33.

Markowitz, H. M. 1959. Portfolio Selection: Efficient Diversification of Investments. Cowles Foundation Mono-graph #16. New York: Wiley.

Memmel, C. 2003. Performance Hypothesis Testing with the Sharpe Ratio.Finance Letters1:21–23.

Merton, R. C. 1980. On Estimating the Expected Return on the Market: An Exploratory Investigation. Journal of Financial Economics 8:323–61.

Michaud, R. O. 1989. The Markowitz Optimization Enigma: Is Optimized Optimal?Financial Analysts Journal 45:31–42.

Michaud, R. O. 1998. Efficient Asset Management. Boston, MA: Harvard Business School Press.

Morrison, D. F. 1990. Multivariate Statistical Methods . New York: McGraw-Hill.

Pastor, L. 2000. Portfolio Selection and Asset Pricing Models. Journal of Finance 55:179–223. Pastor, L., and R. F. Stambaugh. 2000. Comparing Asset Pricing Models: An Investment Perspective.Journal of Financial Economics 56:335–81.

Roy, A. D. 1952. Safety First and the Holding of Assets. Econometrica 20:431–49.

Scherer, B. 2002. Portfolio Resampling: Review and Critique. Financial Analysts Journal 58:98–109.

Stein, C. 1955. Inadmissibility of the Usual Estimator for the Mean of a Multivariate Normal Distribution, in3rd Berkeley Symposium on Probability and Statistics 1, 197–206. Berkeley, CA: University of California Press.

Stoll, H., and R. Whaley. 1983. Transaction Costs and the Small Firm Effect. Journal of Financial Economics 12:57–79.

Wang, Z. 2005. A Shrinkage Approach to Model Uncertainty and Asset Allocation.The Review of Financial Studies 18:673–705