Tozsdei Szakvizsga Felkeszito Ertekpapirszamtani Modul

7/17/2019 Tozsdei Szakvizsga Felkeszito Ertekpapirszamtani Modul

http://slidepdf.com/reader/full/tozsdei-szakvizsga-felkeszito-ertekpapirszamtani-modul 1/120

Tőzsdei SzakvizsgaFelkészítő

TŐZSDEISZAKVIZSGA

FELKÉSZÍTŐ

É R T É K PA P Í R S Z Á M TA N I M O D U L

Hetedik, átdolgozott kiadás2004, Közép-Európai Brókerképző Alapítvány

ás: http://www.doksi.hu




A Tőzsdei Szakvizsga Felkészítő tankönyv szerzői:

Tőzsdei Szabályzatok: Dr. Bíró ViktóriaFecser Ildikó

Értékpapírszámtan: Száz János

Közgazdaságtan: Bangó ZsoltDunavölgyi MáriaFarkas ÁdámFazakas GergelyFriedrich István Jaksity GyörgyKirály JúliaMartin Hajdu GyörgyNagy LászlóRéz András

Szeles NóraSzenes Mónika

(Andrási Miklós, Bótor Anikó, László Géza, Nagy Kálmán, Rotyis József, Sulyok-Pap Márta ésSzabó László szövegeinek felhasználásával)

Szerkesztette:

Martin Hajdu GyörgyMay RékaSzigel Gábor Tamás

Budapest, 2004.

2





T A R T A L O M J E G Y Z É K

I. KAMATSZÁMÍTÁS................................................................................................................................... 1

1. JÖV Ő

ÉRTÉK, JELENÉRTÉK ........................................................................................................... 12. IDŐ ARÁNYOS ÉS KAMATOSKAMAT-SZÁMÍTÁS .................................................................. 33. NÉVLEGES KAMATLÁB, EFFEKTÍV KAMATLÁB, FOLYTONOS KAMATLÁB .......... 54. A HOZAMGÖRBE................................................................................................................................ 95. FORWARD KAMATLÁBAK............................................................................................................ 10ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK.................................................................................................................. 13

II. A KOCKÁZAT ÉS AZ ELVÁRT HOZAM...................................................................................... 141. A RÉSZVÉNYEK HOZAMA............................................................................................................142. A RÉSZVÉNYEK KOCKÁZATA (VARIANCIÁJA) .................................................................. 153. A BEFEKTETŐK HOZAM-KOCKÁZAT PREFERENCIÁI .................................................. 164. A RÉSZVÉNYPORTFÓLIÓ HOZAMA ÉS KOCKÁZATA.....................................................195. A NEM DIVERZIFIKÁLHATÓ KOCKÁZAT MÉRTÉKE ..................................................... 226. A RÉSZVÉNYEK ELVÁRT HOZAMA ÉS A CAPM.................................................................247. AZ IDŐBENI DIVERZIFIKÁCIÓ ................................................................................................. 26ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK.................................................................................................................. 27

III. PÉNZÁRAMLÁSOK............................................................................................................................ 291. SZABÁLYOS PÉNZÁRAMLÁSOK ................................................................................................ 292. KÖTVÉNYEK PÉNZÁRAMLÁSA, SZINTETIKUS KÖTVÉNYEK....................................313. EGYÉB PAPÍROK PÉNZÁRAMLÁSA.......................................................................................... 334. PROJEKTEK PÉNZÁRAMLÁSA....................................................................................................345. FOLYTONOS PÉNZÁRAMLÁS......................................................................................................35

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK.................................................................................................................. 35

IV. ÁRFOLYAM ÉS HOZAM................................................................................................................... 381. ALTERNATÍVA KÖLTSÉG, ARBITRÁZS...................................................................................382. JELENÉRTÉK- (PV) ÉS BELSŐ MEGTÉRÜLÉSI RÁTA (IRR-) SZÁMÍTÁS.....................393. BEFEKTETÉSI DÖNTÉSEK AZ NPV ÉS A HOZAM (IRR) ALAPJÁN.............................414. EX POST HOZAM..............................................................................................................................435. ADÓZÁS UTÁNI HOZAM............................................................................................................... 436. A VÁLTÓ ÁRFOLYAMA ÉS HOZAMA ....................................................................................... 447. KAMATLÁB ÉS DISZKONTLÁB...................................................................................................468. SZABÁLYOS PÉNZÁRAMLÁSOK ÁRFOLYAMA....................................................................46

9. A KÖTVÉNYEK ÁRFOLYAMA ÉS HOZAMA..........................................................................4910. A RÉSZVÉNYEK ÁRFOLYAMA..................................................................................................51ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK.................................................................................................................. 53

V. AZ ÁRFOLYAM KAMATLÁB-ÉRZÉKENYSÉGE ...................................................................... 551. KÖTVÉNY DURATION ÉS VOLATILITÁS...............................................................................572. KÖTVÉNY KONVEXITÁS.............................................................................................................. 593. A RÉSZVÉNYÁRFOLYAM KAMATLÁB-ÉRZÉKENYSÉGE...............................................61

3





ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK.................................................................................................................. 62

VI. KÖTVÉNYEK ÉS RÉSZVÉNYEK .............. 64 ÁRFOLYAMÁNAK IDŐBELI ALAKULÁSA1. A KÖTVÉNYEK NETTÓ ÁRFOLYAMÁNAK IDŐBELI ALAKULÁSA ........................... 642. A KÖTVÉNYEK NETTÓ ÉS BRUTTÓ ÁRFOLYAMA........................................................... 653. A RÉSZVÉNYÁRFOLYAM-ALAKULÁS BINOMIÁLIS MODELLJE..................................674. A KOCKÁZATÉRZÉKETLEN BEFEKTETŐ ........................................................................... 68ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK.................................................................................................................. 70

VII. HATÁRIDŐS ÁRFOLYAMOK........................................................................................................ 721. AZONNALI DEVIZAÁRFOLYAMOK.........................................................................................722. A HATÁRIDŐS DEVIZAÁRFOLYAMOK ÉS A KAMATPARITÁS.....................................753. ÉRTÉKPAPÍROK HATÁRIDŐS (FORWARD) ÁRFOLYAMA.............................................. 784. A HATÁRIDŐS ÁRFOLYAM ÉS A VÁRHATÓ JÖV ŐBENI PROMPT ÁRFOLYAM..... 815. HOZAMGÖRBE-ELMÉLETEK...................................................................................................... 826. A HOZAMGÖRBE KISZÁMÍTÁSA KÖTVÉNYADATOKBÓL ........................................... 84ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK.................................................................................................................. 85

VIII. OPCIÓK ÁRAZÁSA.......................................................................................................................... 871. VÉTELI ÉS ELADÁSI OPCIÓ.........................................................................................................872. AZ OPCIÓK ÉRTÉKE LEJÁRATKOR......................................................................................... 893. OPCIÓS ALGEBRA ............................................................................................................................914. A FUTURES MINT ÖSSZETETT OPCIÓ....................................................................................925. PARITÁSOK ÉS ARBITRÁZS AZ OPCIÓS PIACOKON........................................................936. ÖSSZETETT OPCIÓS POZÍCIÓK.................................................................................................957. A BINOMIÁLIS OPCIÓÉRTÉKELÉS.........................................................................................1008. A BLACK–SCHOLES-KÉPLET.....................................................................................................1059. DELTA, GAMMA, THETA, VEGA, RHO .................................................................................. 109

10. WARRANTOK .................................................................................................................................11011. ÁTVÁLTHATÓ KÖTVÉNYEK ..................................................................................................111ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK................................................................................................................ 114

4





A TŐZSDEI SZAKVIZSGA FELKÉSZÍTŐ TELJES TARTALMA

KÖZGAZDASÁGTANI MODUL – 1. RÉSZ

I. A PÉNZÜGYI KÖZVETÍTŐ RENDSZER SZEREPE A GAZDASÁGBAN.............................. 1II. GAZDASÁGPOLITIKAI ALAPVETÉS.............................................................................................33III. ÉRTÉKPAPÍROK...................................................................................................................................51IV. AZ ÁLLAMPAPÍRPIAC......................................................................................................................... 68 KÖZGAZDASÁGTANI MODUL – 2. RÉSZ

V. A RÉSZVÉNYEK PIACA..................................................................................................................... 110 VI. A VÁLLALATOK PÉNZÜGYI ELEMZÉSÉNEK ALAPJAI.................................................... 138

ÉRTÉKPAPÍRSZÁMTANI MODUL

I. KAMATSZÁMÍTÁS..................................................................................................................................... 1II. A KOCKÁZAT ÉS AZ ELVÁRT HOZAM........................................................................................ 14III. PÉNZÁRAMLÁSOK.............................................................................................................................. 29IV. ÁRFOLYAM ÉS HOZAM..................................................................................................................... 38 V. AZ ÁRFOLYAM KAMATLÁB-ÉRZÉKENYSÉGE........................................................................ 55 VI. KÖTVÉNYEK ÉS RÉSZVÉNYEK ÁRFOLYAMÁNAK IDŐBELI ALAKULÁSA..............64 VII. HATÁRIDŐS ÁRFOLYAMOK ......................................................................................................... 72

VIII. OPCIÓK ÁRAZÁSA............................................................................................................................ 87

TŐZSDEI SZABÁLYZATOK MODUL

I. A BUDAPESTI ÉRTÉKTŐZSDE STÁTUSZA............................................................................................ 1II. SZEKCIÓTAGSÁG, KERESKEDÉSI JOG.............................................................................................. 10III. A TŐZSDEI BEVEZETÉS ÉS FORGALOMBANTARTÁS SZABÁLYAI .......................................... 18IV. KERESKEDÉS ........................................................................................................................................... 32 V. ELSZÁMOLÁS ............................................................................................................................................. 52VI.

ÉRTÉKTÁRI TEVÉKENYSÉG ............................................................................................................... 67

5





I . K A M A T S Z Á M Í T Á S

1. JÖV ŐÉRTÉK, JELENÉRTÉK

Van két alapvető kérdésfeltevés1:

1. példa

Mennyit ér a betét 2 év múlva, ha most elhelyezünk 1,600 Ft-ot évi 25% kamatláb mellett?

2. példa Mennyi pénzt kell betétbe elhelyezni évi 25% kamatláb mellett, hogy 2 év múlva 1,600 forintunklegyen?

Az első kérdésre adott választ jöv őérték- ( FV – future value) számításnak, a másodikra adott választ

jelenérték- ( PV – present value) számításnak nevezik. Legyen:n – a befektetés időtartama (években mérve),r – az éves kamatláb (együtthatós formában: 25%=0.25).

Ekkor a két kérdésre adott konkrét, illetve általános válasz:

1. FV = 1,600*1.252 = 2,500 Ft

( )FV PV r n

= +1 (1)

2. PV = 1,600/1.252 = 1,024 Ft

( ) ( ) n

n r FV

r

FV PV

−+=+

= 11

(2)

Az (1) képlet a kamatos kamatozás képlete, a (2)-t diszkontképletnek nevezik. Mindkettő azon alap-szik, hogy a kamatozási periódus elteltével tőkésítik a kamatot, így minden időszak végén (1+r)-szere-sére nő a betét értéke.

Mindkét képlet árfolyamképlet: – az (1) a jelenbeni pénz jöv őbeni pénzben kifejezett árfolyama, – a (2) a jöv őbeni pénz jelenbeni pénzben kifejezett árfolyama. Az értékpapíroknál többnyire a jöv őbeni kifizetés(ek sorozata) rögzített, így a (2) képlettel kell szá-

molni.

Felhívjuk a figyelmet arra, hogy a teljes Értékpapírszámtan részben a hazai szabályoktól eltérően, illetve a nemzetközi je-lölésekkel összhangban a tizedesvesszőt pont jelöli, míg az ezres helyi értéket vessző (pl. 1,625.15). (A szerk.) 1 Ez a fejezet a tőzsdei szakvizsga értékpapírszámtan blokkjának a tömör összefoglalása. Nem bevezetésjelleggel íródott,célja inkább az ismeretek felelevenítése és rendszerezése, valamint mintapéldák bemutatása. Akik kezdők az értékpapír-számtanban (tehát járatlanok pl. a jelenérték-számításban, a kötvények árazásában), azoknak e fejezet elolvasása előttajánljuk figyelmébe a Brealey–Myers: Modern vállalati pénzügyek c. könyv 2–12., 23–28., illetve 34. fejezeteit.

1





Az 1/(1+r)n tényezőt diszkonttényezőnek (diszkontfaktornak – DF ) is szokás nevezni, és a to- vábbiakban DF(n,r) módon jelöljük:

( )( )n

r r n DF

+=

1

1, (3)

Zérus kamatláb mellett az n év múlva 1 Ft értéke 1 mostani forint, illetve tetszőleges kamatláb melletta jelenbeni 1 Ft értéke 1 Ft:

DF(n,0) = 1 és DF(0,r) = 1

Látható a 3.1. táblázatból, hogy a kamatláb változása nagyobb mértékben változtatja a távolabbi jöve-delmek jelenértékét, mint a közelebbiekét.

n r 2% 5% 10% 11% 12% 15% 20%

1 0.9804 0.9524 0.9091 0.9009 0.8929 0.8696 0.83332 0.9612 0.9070 0.8264 0.8116 0.7972 0.7561 0.69443 0.9423 0.8638 0.7513 0.7312 0.7118 0.6575 0.57874 0.9238 0.8227 0.6830 0.6587 0.6355 0.5718 0.48235 0.9057 0.7835 0.6209 0.5935 0.5674 0.4972 0.4019

10 0.8203 0.6139 0.3855 0.3522 0.3220 0.2472 0.161515 0.7430 0.4810 0.2394 0.2090 0.1827 0.1229 0.064920 0.6730 0.3769 0.1486 0.1240 0.1037 0.0611 0.026125 0.6095 0.2953 0.0923 0.0736 0.0588 0.0304 0.0105

3.1. táblázatDiszkontfaktorok

DF(n,r): n év múlva kapott 1 Ft jelenértéker kamatláb mellett

3. példa

Mennyi pénzt kell a bankban elhelyezni, ha a kamatláb 10%, és 5 év múlva 1,000 forintra van szükségünk? Mennyivel kevesebb betétet kellene elhelyezni, ha a kamatláb 12% lenne?PV = 1,000*DF(5,10) = 620.9 FtPV = 1,000*DF(5,12) = 567.4 Ft A megtakarítás: 53.5 Ft

2





t

(1+i) t

n

PV

FV

0

PV

PV

1

2

3

-n

(1+i)t

i2

i3

i1

3.1. ábra 3.2. ábraBankbetét: a jöv őbeni érték Zérókupon-kötvény: a jelen-nagysága a kamatláb és az idő beni érték nagysága a kamatláb

függvényében és az idő függvényében

2. IDŐ ARÁNYOS ÉS KAMATOSKAMAT-SZÁMÍTÁS

Nagyon kényelmetlen probléma a tört hosszúságú kamatozási periódus helyes kezelése. Ez a helyzet,ha ki kell számítani 1 éves lekötés mellett egy betét értékét másfél év múlva, vagy 9 hónapos lekötésesetén 1 év múlva stb.

4. példa

Betétbe elhelyezünk 1,600 Ft-ot évi 25% kamatláb mellett. Mennyit ér a betét 3.5 év múlva, haévente történik a tőkésítés?

FV = 1,600*1.253*1.125 = 3,515.6 Ft

Amennyiben a befektetés n egész kamatozási időszakból és t hosszúságú tört időszakból (t<1) áll, ak-kor a betét értéke az n+t időszak múlva:

( ) ( rt r PV FV n ++= 11 ) (4)

A (4) képlettel leggyakrabban a t = 0 vagy az n = 0 formában találkozunk. Az előbbi eset az (1) kép-let, az utóbbiban csak a tört periódus van, azaz még nem értük el az első tőkésítési időpontot:

( ) 11 <+= t rt PV FV (4a)

3





4. példa (folytatás) Amennyiben az előző feladatban nem a (4) képletnek megfelelően, hanem az (1) képlettelszámoltunk volna – megengedvén, hogy az n törtszám is lehessen, akkor kisebb számot kap-tunk volna eredményül:FV = 1,600*1.253.5 = 3,493.9 Ft

Az eltérés oka, hogy az utolsó fél évre nem 12.5% kamatot számoltunk volna, hanem1.250.5 –1 = 11.8%-ot.

A 3.3. ábra az éven belüli sima kamatozás és az évenkénti kamatos kamatozás kapcsolatát mutatja.

A B

C

D

1 2 3 Év

Ft

3.3. ábra

Az évenkénti kamatos kamatozás ésaz éven belüli lineáris kamatozás

A 3.3. ábrán látható, hogy mindig a kamatperiódus közepén a legnagyobb az eltérés a két görbe kö-

zött, azaz a lineáris (tört vonalú görbe) és tört kitev őjű (folytonos görbe) kamatszámítás között.

5. példa

Az eltérés nagysága az év közepén a lineáris és a törtkitev őjű kamatoskamat-számítás közöttegy 10 milliós nagyságú befektetésnél a különböző kamatlábszintek mellett:5% : 10 millió * (1.025–1.050.5 ) = 3,049 Ft10%: 10 millió * (1.050–1.100.5 ) = 11,912 Ft20%: 10 millió * (1.100–1.200.5 ) = 45,549 Ft30%: 10 millió * (1.150–1.300.5 ) = 98,246 FtLátható, hogy a hatszor akkora kamatlábnál az eltérés nem hatszoros, hanem 32-szeres.

A hazai gyakorlatban mindkét számítási mód elterjedt. A bankbetéteknél a (4) formulát használják, akötvénypiacon pedig a törtkitev ős megoldást, ami nem mindig helyénvaló. Ez utóbbira még visszaté-rünk.

4





A probléma nem abból fakad, hogy az időszak 1 évnél rövidebb, hanem abból, hogy a tőkésítésiperiódusnál rövidebb. Egy 9 hónapos befektetési időtartamnál 3 hónapos lekötéssorozat esetén ez 3egész periódust jelent, viszont a 6 hónapos lekötésnél (6 hónaponkénti tőkésítésnél) ugyanúgy törtidőszaki kamatozást jelent, mint az 1 éves lekötés esetén.

A tört időszaki probléma akkor nem merülhet fel, ha az elképzelhető legrövidebb kamatelszámolá-

si időszakot vesszük, aminek minden más egész számú többszöröse. Ilyen a folytonos (pillanatonkén-ti) kamatelszámolás, aminek jó gyakorlati megfelelője a naponkénti kamatozás (1 napos betétek).

A látra szóló betét nem azonos ezzel, mert ott is csak évente egyszer számolják el a kamatot.Ugyanígy nem jelent naponkénti kamatozást, ha egy időszakra (pl. 1 hónapra) a napi átlagos állományalapján számolják ki a kamatot. A döntő az, hogy milyen időszakonként számítják ki a kamatot és ír-ják hozzá a tőkéhez.

3. NÉVLEGES KAMATLÁB, EFFEKTÍV KAMATLÁB, FOLYTONOS KAMATLÁB

Alapprobléma: miként hasonlítható össze két eltérő kamatelszámolási periódusú befektetés?

6. példa

Melyik jobb befektetés:* havi 2% kamat, vagy* félévente 12.5% kamat?

Az összehasonlíthatóság kedvéért 1 évre vonatkozóan szokás megadni a kamatláb nagyságát. Ezt alap- vetően háromféleképpen lehet megtenni:

a) a kamatozási periódus hosszát nem változtatva adjuk meg az éves kamatlábat (névleges kamat- láb),

b) a kamatozási periódus hosszát 1 évre átszámítva adjuk meg az éves kamatláb nagyságát (effektívkamatláb),c) a kamatelszámolási periódust minden határon túl csökkentve, folytonos kamatozásra átszámít-

va adjuk meg az éves kamatláb nagyságát (folytonos kamatláb). Az éves névleges kamatlábat (angolul: nominal vagy stated interest rate , vagy annual percentage rate (APR)= éves százalék) sima időarányosítással kapjuk. A névleges kamatláb használata csak alternatív kifeje-zési mód, mindegy, hogy úgy adunk meg egy betéti konstrukciót, hogy az:

– havonta 2% kamatot fizet, vagy – évi 24% kamatlábú befektetés, havonkénti kifizetéssel.

A névleges kamatlábhoz mindig hozzá kell tenni a kamatfizetés gyakoriságát is, mivel azt nem stan-

dardizáltuk. Eltérő

hozamot jelent az évi 24% kamatláb, ha évente egyszer, havonta vagy éppen he-tente történik a kamatfizetés. Ezt az eltérést veszi figyelembe az effektívkamatláb-számítás. Az effektív kamatláb (effective annual rate) az év közben kapott kamatok újrabefektetési lehető-

ségét is figyelembe vev ő (kamatos kamatozással számított) éves kamatláb.Ha az évi k% kamatot m részletben fizetik ki, akkor egy kifizetés során az éves kamat 1/m-ed ré-

szét fizetik csak ki. A már felvett kamatot újra be lehet fektetni, így 1 év alatt a befektetett PV összeg(figyelembe véve a felvett öszszegek újrabefektetését is):

5





( mmk PV FV += 1 ) (5)

összegre növekszik fel, ahol FV az év végi érték. Az effektív kamatlábat úgy is értelmezhetjük, hogy az eredeti évi m-szeri kamatfizetést milyen ka-

matláb mellett cserélhetjük fel évi egyszeri kamatfizetéssel.

6. példa (folytatás)

A havi 2% kamatláb esetén m=12: – egyszerű arányosítással: k= 12*2 = 24% éves kamatláb – kamatos kamattal: 1.0212 = 1.2682, azaz r=26.82% éves hozam. A félévenkénti 12.5% kamatláb esetén m=2: – egyszerű arányosítással: k= 2*12.5 = 25% éves kamatláb – kamatos kamattal: 1.1252 = 1.2656, azaz r=26.56% éves hozam. A félévenkénti 12.5% kamatfizetésnek bár nagyobb a névleges, de kisebb az effektív kamat-lába, és így kevésbé jó befektetés.

Az évenkénti kamatfizetések száma (m) általában legalább 1, ugyanis a hoszszabb, 5-20 éves hitelekkamatait is elszámolják legalább évente egyszer, és még ha esetleg nem is fizetik ki (pl. kamatos kama-tozású kötvény), akkor is tőkésítik.

Az effektív kamatláb (m=1) mellett a folytonos kamatozás (m=∞ ) a másik standard érték az m-re,amire az összehasonlítás érdekében átszámolják a különböző kamatfizetési gyakoriságú konstrukció-kat. A névleges kamatlábat k-val, az effektív kamatlábat r -rel, a folytonos kamatlábat i -vel jelölve:

( ) imer mk =+=+ 11 (5a)

ahol e ≈ 2.71828 a természetes alapú logaritmus alapszáma. Az (1+r)t, illetve eit egyaránt egy olyan 1-nél nagyobb szám ot jelöl, amely megmutatja, hogy t év alatt

hányszorosára n ő a befektetés értéke. A folytonos kamatláb használata számos előnnyel jár, így pl. mate-matikailag sokkal kényelmesebben kezelhető, mint az (1+r)t függvény, ha az r, illetve t változásainakhatását vizsgáljuk.2 A jöv őérték és a jelenérték képletei a folytonos kamatlábbal felírva:

it ePV FV = (1a)

it

eFV PV −

= (2a)

ahol t az évek száma (és nem feltétlenül egész érték).

2 Táblázatkezelő, vagy akár csak egy fejlettebb zsebszámológép birtokában igazán nem jelent problémát az e x használata,legfeljebb csak szokatlan kezdetben. Bizonyos esetekben, pl. az opciós árazás Black-Scholes-modelljében pedig csak afolytonos kamatláb használata az elvileg helyes. Használjuk bátran, és szokjuk meg minél előbb!

6





Az (5a) képlet megfordítása alapján a folytonos kamatláb (kamatintenzitás) nagysága:

( r i += 1ln ) (6a)

illetve

( mk mi += 1ln ) (6b)

ahol ln(x) az x szám e alapú logaritmusa.


A két folytonos kamatláb:i = 12 ln(1.02) = 12*0.0198 = 0.2376 = 23.76% i = 2 ln(1.125) = 2*0.1178 = 0.2356 = 23.56%

Tehát:

havi 2% kamatláb = 2*12% = évi 24% névleges kamatláb= 1.0212 –1 = évi 26.82% effektív kamatláb= ln 1.2682 = évi 23.76% folytonos kamatláb

Általában igaz, hogy az effektív kamatláb nem kisebb, a folytonos kamatláb pedig mindig kisebb,mint a névleges kamatláb. Ennek oka, hogy az előbbi esetben kevesebb, utóbbi esetben sűrűbb ka-matfizetésre cseréljük az eredeti évi m-szeri tőkésítést.

Nézzük meg a kamatfizetés gyakoriságának a hatását az effektív kamatlábra 4 különböző névlegeskamatláb mellett, feltéve, hogy:

– félévente (m=2),

– negyedévente (m=4), – havonta (m=12), – hetente (m=52), – naponta (m=365), – pillanatonként, folyamatosan (m=∞ )fizetik a kamatokat:

Kifizetések Névleges kamatlábak éves szintenszáma

1 5.00% 10.00% 20.00% 30.00%

2 5.06% 10.25% 21.24% 32.25%4 5.09% 10.38% 21.55% 33.55%

12 5.12% 10.47% 21.94% 34.49%52 5.12% 10.51% 22.09% 34.87%

365 5.13% 10.52% 22.13% 34.97%

végtelen 5.13% 10.52% 22.14% 34.99%

7





Relatíve az a legjelentősebb eltérés, hogy évente vagy félévente fizetnek kamatot. Magasabb kamatlá-bak esetén nagyobb a jelentősége, hogy éven belül hányszor van kamatfizetés.

Látható, hogy gyakorlatilag alig van különbség a napi kamatelszámolás és a folytonos kamatozás között. A törtkitev ő (nem egész évet jelentő t ) és az effektív kamatláb használata lényegében a folytonos

(napi) kamatozás feltételezésén alapul, mivel:

(1+r)t = et ln(1+r) = eti

A 3.2. táblázat mindkét irányban használható: ex és ln(x) táblaként is, attól függ ően hogy „balról jobb-ra vagy jobbról balra” használjuk.

it eit it eit it eit

0.00 1.0000 0.25 1.2840 0.90 2.45960.02 1.0202 0.30 1.3499 1.00 2.7183

0.04 1.0408 0.35 1.4191 1.10 3.00420.06 1.0618 0.40 1.4918 1.20 3.32010.08 1.0833 0.45 1.5683 1.30 3.66930.10 1.1052 0.50 1.6487 1.40 4.05520.12 1.1275 0.55 1.7333 1.50 4.48170.14 1.1503 0.60 1.8221 1.60 4.95300.16 1.1735 0.65 1.9155 1.70 5.47390.18 1.1972 0.70 2.0138 1.80 6.04960.20 1.2214 0.75 2.1170 1.90 6.68590.22 1.2461 0.80 2.2255 2.00 7.38910.24 1.2712 0.85 2.3396 2.10 8.1662

3.2. táblázat A folytonos kamatlábhoz (it) tartozónövekedési együtthatók (eit )

Látható, hogy kicsi százalékoknál nincs lényeges különbség a folytonos és az éves kamatozás (növe-kedés) között, azonban az eltérés elég hamar jelentőssé válik.

7. példa

Évi 8% folytonos kamatláb mellett mennyi lesz a befektetett 1,500 Ft tőkénk értéke 3 évmúlva?FV= 1,500 e3*0.08= 1,500 e0.24= 1,500*1.2712= 1,906.87

Az (1a) és (6a) képletek alapján:

( PV FV it /ln= ) (6c)

8





azaz a folytonos kamatláb folytonos növekedési ütemként is értelmezhető. Tehát a 8%-os kamat-láb azt jelenti, hogy ha nem vesszük ki év végén a kamatot, akkor tőkénk 8%-kal nő.

8. példa

Betétünk 3.5 év alatt 15,000 Ft-ról 23,000 Ft-ra nőtt. Mekkora volt a tőkénk (folytonos) nö-

vekedési üteme? Mekkora az ezzel ekvivalens effektív kamatláb?it = ln(23/15) = ln(1.5333) = 0.4274i = 0.4274/3.5 = 0.1221, azaz 12.21%

Az éves – nem folytonos – növekedési ütem, azaz az effektív kamatláb ez esetben:1.5333(1/3.5) = 1.1299,azaz 12.99%

A természetes alapú logaritmust gyakran használják a részvényárfolyamok változékonyságának, a vo-latilitásnak a mérésekor. A napi árfolyamváltozásokat ln(St+1/St ) módon a két egymást követő nap zá-ró árfolyamai hányadosának logaritmusával mérik a (6c) képlet alapján.

9. példaEgy betét nagysága 1 hét alatt 180 Ft-ról 181 Ft-ra nőtt. Mennyi a folytonos kamatláb nagy-sága? Hányszorosára nőne a betét 1 év alatt ilyen ütemben? Mekkora az effektív kamatláb?i = 52*ln(181/180) = 52*0.0055 = 0.2881, azaz 28.81% eit = e0.2881*1 = 1.3339 r = 33.39%

4. A HOZAMGÖRBE

A különböző lejáratú hitelek éves effektív kamatlábát a lejárat függvényében ábrázolva az ún. hozam- görbét kapjuk. A t időtartamú hitelek kamatlábát rt módon jelöljük a továbbiakban.

A hozamgörbe alakja normál esetben enyhén emelked ő , mivel a hosszabb lejáratú hitelek kamatlábatöbb okból is magasabb a rövid lejáratú hitelek kamatlábánál (lásd 3.4. a) ábra). A kamatszint emelke-désekor a görbe változatlan alakban tolódik fölfelé, a lejárati kamatlábstruktúra módosulásakor a görbealakja változik. A két változás többnyire együtt jelentkezik. Ha a rövid lejáratú kamatlábak átmenetilegerőteljesen megnőnek (pl. egy átmenetinek ítélt inflációs hullám miatt), akkor a hosszú lejáratú hitelekkamatlába is megnő, de csak kisebb mértékben (a piac nem számít arra, hogy a jelenlegi inflációs éskamatszint mondjuk 5 év múlva is ilyen magas lesz), és ekkor a hozamgörbe csökkenő (inverted yieldcurve). A fordított állású hozamgörbét létrehozó okok miatt lehet a 3.4. b) görbe alakjából a rövid le-

járatú kamatlábak jöv őbeni csökkenésére számítani. A túlságosan meredek hozamgörbe a jöv őbenirövid lejáratú kamatlábak emelkedését jelzi előre.

Gyakran az egyszerűség kedvéért az rt=r feltételezéssel élnek (kimondva vagy kimondatlanul), azaza futamidőtől függetlenül beszélnek „a kamatlábról”. Ez egyenérték ű egy vízszintes hozamgörbe fel-tételezésével (3.4. c) ábra).

9





Kamatláb (r)

Idõ(t)Id (t) Idõ (t)

Kamat Ka l b (mat r)l b(r)

3.4. a) ábra 3.4. b) ábra 3.4. c) ábra A normál A fordított állású A vízszintes

hozamgörbe hozamgörbe hozamgörbe

5. FORWARD KAMATLÁBAK

A hozamgörbe egyes pontjaiból határidős, ún. forward kamatlábak számíthatók. A határidős ka-matláb olyan hitelügylet kamatlába, amely a jöv őben esedékes, de a kamatláb nagyságát már a jelen-

ben rögzítik. Ennek módja lehet határidős kamatláb-megállapodás ( FRA : Forward Rate Agreement) vagy határidős tőzsdeiértékpapír-vásárlási (interest rate futures) ügylet.

Bármiféle árfolyam vagy kamatláb lehet számított érték (amilyennek lennie kellene más árfolyamokés kamatlábak alapján), vagy tényleges, a piacon megfigyelt érték. Mi most a hozamgörbéből számít-ható (ún. implied rate) értéket határozzuk meg.

Egy 3 év futamidejű hitelügylet kamatát rögzíthetjük előre minden évre azonos szinten, amint ez aszokásos eljárás, de tekinthetjük egy olyan hitelügyletnek is, amely 3 egymást követő 1 éves hitelek so-rozata, ahol mindegyik év kamatlábát előre rögzítik (nem feltétlenül azonos szinten).

Általában minden m+n év futamidejű hitelügyletet felfoghatunk egy m éves spot (azonnali kezde-tű ) + egy n éves forward (határidős) hitelügylet együtteseként.

Jelölje r1 illetve r2 az 1 és 2 éves futamidejű hitelek kamatlábát, f 2 pedig a 2. évre vonatkozó 1 évesfutamidejű hitel kamatlábat. Mivel minden érték a jelenben rögzített és ismert, szükségszerűen fenn-áll:

( ) ( )( 212

2 111 f r r ++=+ ) (7)

A bal oldal a két évre szóló lekötés, a jobb oldal esetén határidős ügylettel rögzítettük a második évikamatlábat, így egyik esetben sincs a jöv őbeni kamatlábak ismeretlenségéből fakadó bizonytalanság. A (7) nem állna fenn, ha a kétéves befektetést két egymást követő 1 éves spot ügylet együtteseként valósítanánk meg, ez esetben a 2. évi kamatláb nagysága csak a 2. év elején derülne ki.

10. példa

Mennyi a 2. évre vonatkozó határid ő s kamatláb (f 2 ), ha az 1 éves kamatláb r1 = 10%, a kétévesr2 = 12%?1+f 2 = (1.12)2/1.10 = 1.2544/1.10 = 1.1404f 2 = 14.04%

Idő

Kamatláb r Kamatláb r

10





A kétéves futamidejű kamatlábat úgy is tekinthetjük, mint az 1 éves spot és a 2. évre vonatkozó határ-idős kamatláb (mértani) átlagát.

Jelöljük rn módon a (0, n) időszakra vonatkozó n éves spot kamatlábat, f n módon az (n-1, n) idő-szakra vonatkozó 1 éves forward kamatlábat. A hozamgörbéből felírhatjuk a forward kamatlábak so-rozatát és megfordítva.

11. példa

Írjuk fel a hozamgörbe 1-5 évekre szóló részét, ha:r1 = 10%

f 2 = 10%f 3 = 11%f 4 = 12%f 5 = 12%

Ez alapján:(1+r2 )2 = (1+r1 )(1+f 2 ) = 1.1000*1.10 = 1.21(1+r2 ) = 1.2100(1/2) = 1.1000 (1+r3 )3 = (1+r2 )2 *(1+f 3 ) = (1+r1 )(1+f 2 )(1+f 3 ) = 1.2100*1.11 = 1.3431(1+r3 ) = 1.3431(1/3) = 1.1033 (1+r4 )4 = 1.3431*1.12 = 1.5043(1+r4 ) = 1.5043(1/4) = 1.1075 (1+r5 )5 = 1.5043*1.12 = 1.6848(1+r5 ) = 1.6848(1/5) = 1.1100

Ezek alapján a kérdezett spot kamatlábak:r1 = 10.00%r2 = 10.00%r3 = 10.33%r4 = 10.75%r5 = 11.00%

A 4 éves futamidejű kamatláb 10.75% értéke nem más, mint a 10.33% és a 12.00% súlyozottátlaga, ahol azonban a 10.33%-nak nagyobb a súlya, ezért is esik a 10.75% közelebb hozzá,mint a 12.00%-hoz.

Képletszerűen az általános összefüggés:

( ) ( ) ( n

n

n

n

n f r r ++=+ −− 111 11 ) (8)

illetve

11





( ) ( )( ) 1

11

11

−−+

+=+

n

n

n

nn

r

r f (8a)

12. példaMennyi a 2., 3., 4. és 5. évre vonatkozó forward kamatlábak nagysága, ha a hozamgörbe:r1 = 10%r2 = 12%r3 = 14%r4 = 16%r5 = 18%

f 2 = (1.12)2/1.1000 -1 = 1.2544/1.1000 – 1 = 0.1404 = 14.04% f 3 = (1.14)3/1.2544 -1 = 1.4815/1.2544 – 1 = 0.1811 = 18.11% f 4 = (1.16)4/1.4815 -1 = 1.8106/1.4815 – 1 = 0.2221 = 22.21% f 5 = (1.18)5/1.8106 -1 = 2.2878/1.8106 – 1 = 0.2635 = 26.35%

Látható, hogy ez esetben a forward kamatlábak gyorsabban emelkednek, mint a spot kamat-lábak. Ha a hozamgörbe nem emelkedne ennyire meredeken, hanem pl. csökkenne, akkor aforward kamatlábak is csökkennének.

12





ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK

1. Melyik igaz az alábbi állítások közül? A kamatlábszínvonal emelkedésekor a hozamgörbe:

a) alakja nem változik, csak a helyzete.b) meredekebbé válik.c) laposabbá válik.d) hosszabbá válik.

2. Egy betét háromhavonta 5% kamatot fizet. Mekkora az éves névleges és tényleges kamatlába?

a) névleges: 5% tényleges: 20.0%b) névleges: 20% tényleges: 121.6%c) névleges: 15% tényleges: 54.0%

d) névleges: 20% tényleges: 21.6%

3. Tegyük fel, hogy az 1 éves kölcsönökre szabott kamatlábplafon 36%. Valamely bank úgy próbáljameg ezt megkerülni, hogy növeli a kamatfizetés gyakoriságát, és az év 360 napján tőkésíti az idő-arányos kamatot. Hány százalék az így biztosított hozam?

a) 36%b) 360*36%c) 100*1.01360%d) 100*(1.001360-1)%

4. Valaki 20% kamatláb mellett betétbe helyezett 1,000 Ft-ot, ami 2 év alatt 1,440 Ft-ra nőtt. Közbena piaci kamatláb 25%-ra növekedett. Mekkora a betételhelyezés hozama?

a) 44/2=22%, mert ennyi kamat halmozódott föl.b) 25%, mert ennyi a pillanatnyi piaci kamatláb.c) 20%, mert ilyen ráta mellett fektette be.d) 14.40%, mert ennyiszeresére nőtt a befektetés értéke.

5. Mekkora lesz 1,000 Ft befektetésünk értéke a negyedik év végén, ha a befektetés folytonos kama-tozással évi 10% kamatot ígér?

a) 1,464 Ftb) 1,480 Ftc) 1,492 Ftd) 3,170 Ft

HELYES VÁLASZOK: 1 – a, 2 – d, 3 – d, 4 – c, 5 – c

13





I I . A K O C K Á Z A T É S A Z E L V Á R T H O Z A M

Ebben a pontban értelmezzük a részvények éves hozamát, és ennek ingadozása lesz a példa a kocká-zat mérésére, illetve annak meghatározására, hogy a többletkockázat mely részét fizeti meg a piac ma-

gasabb hozam formájában, és mi módon határozható meg ez a hozamtöbblet.

1. A RÉSZVÉNYEK HOZAMA

A részvények éves hozama:

( )

0

01

0

1

0

011

P

PP

P

D

P

PP Dr

−+=

−+= (9)

ahol: r = hozam

D1 = tárgyévi osztalékP0 = év eleji árfolyamP1 = év végi árfolyam

azaz:

hozam = osztalékhozam ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

0

1

P

D + éves árfolyamnyereség ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

0

01

P

PP

Az árfolyamnyereség úgy értendő, mintha az év elején vettük volna a részvényt, év végén pedig elad-nánk. Ha több éven keresztül megtartjuk a papírt, akkor a közbenső évek árfolyamnyereségei/veszte-ségei nem realizált nyereségek/veszteségek. A (9) képlet a pénz időértéke szempontjából igen lazán

kezeli az osztalékfizetés időpontját: nem veszi figyelembe, hogy az éven belül mikor és hány részlet-ben fizetik az osztalékot.

13. példa

Határozzuk meg az egyes évek hozamait az árfolyam- és osztalékadatokból:

Év Év végi Osztalék Árfolyam- Osztalék- Hozam árfolyam nyereség hozam

1993 10.0 $1994 10.0 $ 1.00 $ 0% + 10% = 10%

1995 8.0 $ 0.00 $ –20% + 0% = –20%1996 12.0 $ 1.60 $ 50% + 20% = 70%1997 12.0 $ 1.80 $ 0% + 15% = 15%1998 15.0 $ 2.40 $ 25% + 20% = 45%

Átlag: = 24%

Több év átlagos hozamát az egyes évek hozamának számtani átlagaként szokás számolni. Azonban aszámtani átlagolás elvi problémákat is felvet.

14





14. példa

Az A és B részvények egyike sem fizet osztalékot a vizsgált két évben, mindkettő árfolyamakezdetben 20 $. Az A részvénynek előbb csökken, majd nő 10 $-ral az árfolyama, a B rész- vénynél fordítva: előbb nő, majd a következő évben csökken 10 $-ral az árfolyama. Mennyi

az átlagos hozama a két részvénynek? A részvény B részvény

Árfolyam Hozam Árfolyam Hozam

20$ 20 $10$ –50% 30 $ 50.0%20$ 100% 20 $ –33.3%Σ 25% Σ 8.3%

A végeredményt tekintve a két részvény egyformán szerepelt: ha 2 éven át megtartjuk a be-fektetésünket, az időszak végén ugyanúgy 20 $-t ér, mint kezdetben, a hozam mindkét rész-

vénynél zérus. A számtani átlag viszont mindkét esetben pozitív értéket mutat, ráadásul elté-rőt. A mértani átlagolás használata mindkét esetben a zérus hozamot eredményezi:(0.5*2)0.5 –1 = 0 és (1.5*2/3)0.5 –1 = 0

2. A RÉSZVÉNYEK KOCKÁZATA (VARIANCIÁJA)

Egy részvény éves hozama valószín ű ségi változó. A részvény kockázatát ennek szórásával mérjük. Minél na-gyobb a szórás, annál kockázatosabb a részvény. A várható hozamot (és az ettől való átlagos négyzetes eltérést):

– idősorból, vagy – a lehetséges kimenetek valószínűségeloszlásából számíthatjuk.

15. példa: A hozam szórásának számítása idősorból

A 13. példában az átlagos hozamtól (évi 24%) való eltérés:

Év Hozam Eltérés Négyzetes% %pont eltérés

1994 10 –14 1961995 –20 –44 1,936

1996 70 46 2,1161997 15 –9 811998 45 21 441

24 0 4,770

Szórásnégyzet: 4,770/4 = 1,192.5Szórás: 1,192.50.5 = 34.5 százalékpont

15





Mint a példából is láthattuk, kis elemszám esetén a korrigált szórásnégyzetből (eltérés-négyzet-összeg/(N–1), ahol N az évek száma) számítandó a szórás.

A hozamok eloszlása több év megfigyeléseit alapul véve egy papír esetén általában jól közelíthető nor- mális valószín ű ségeloszlással (3.5. ábra), azaz a várható érték körüli hozam egyben a leggyakoribb is.

Hozam

S r s g

+ 2 σ + 3 σ+σ−2 σ−3 σ −σ

68.3%

95.5%

99.7%

Sűr űség

3.5. ábra

A normális valószínűségeloszlás

A 3.5. ábra segít a szórás gyakorlati értelmezésében: – 68.3% a valószínűsége annak, hogy valamely év hozama nem tér el jobban az átlagos hozamtól,

mint a szórás mértéke; – 95.5% valószínűséggel a szórás kétszeresénél kisebb lesz az eltérés az átlagtól; – 99.7%, hogy a szórás háromszorosánál kisebb lesz az eltérés.

3. A BEFEKTETŐK HOZAM-KOCKÁZAT PREFERENCIÁI

A kockázat tehát (a szórás jellegénél fogva) szimmetrikus fogalom. A nagyobb kockázat nemcsak na-gyobb vesztési, de nagyobb nyerési lehetőségeket is jelent. Nem azonos tehát valamilyen kárvalószí-nűség-fogalommal. A befektetők mégis többnyire kockázatelutasítók: két azonos várható hozamú lehe-tőség közül a kisebb szórásút választják.

16. példa Választhat az alábbi 3 lehetőség közül:a) kap 1 millió Ft-ot;b) pénzfeldobás alapján vagy 0 vagy 2 millió Ft-ot kap;c) -pénzfeldobás alapján vagy 1 millió Ft-ot fizet, vagy 3 millió _Ft-ot kap.Melyiket választaná? A várható jövedelem mindhárom esetben 1 millió Ft.

16





Annak oka, hogy a befektetők többsége az a) variációt választja, a vagyon csökkenő mértékben nö- vekv ő hasznossági függvényében keresendő. Vagyonunk megduplázásának többlethasznossága ki-sebb, mint a teljes vagyonunk elvesztése fölött érzett fájdalom. Ebben az összefüggésben a nagyobbkockázatú befektetési lehetőség nagyobb lehetséges vagyonnövekményt és nagyobb lehetséges va-gyonvesztést jelent, kisebb várható összhasznossággal.

--+ +

W W+VW-Vvagyon

Hasznoss gHasznosság

3.6. ábra A vagyon hasznossági függvénye és a

különböző kockázatú befektetések

A kockázat elutasító befektetői magatartásból adódik, hogy a befektető csak nagyobb várható hozam,ún. kockázati prémium fejében hajlandó nagyobb kockázatot vállalni.


Az előbbi példában szereplő 3 választási lehetőség közül Ön milyen kockázati prémium(KP1 és KP2 ) értékek mellett nem tudna választani a 3 lehetőség közül, milyen kockázati pré-miumok mellett tartaná egyformán vonzónak a 3 lehetőséget?

50% 50%

a) 1 millió 1 milliób) 0+KP1 millió 2+KP1 millióc) –1+KP2 millió 3+KP2 millió

A pótlólagos kockázat vállalásáért elvárt kockázati prémium (KP) általában annál nagyobb,

minél nagyobb a kockázat szintje.

17





3.7. ábra A befektetők hozam-kockázat

közömbösségi görbéi

A két tengely, a hozam és a kockázat mutatja azt a két tényezőt, amelynek különböző kombinációibankell elhelyeznie a pénzügyi befektetőnek a vágyait és lehetőségeit, rangsorolnia az alternatívákat. Egy-

egy görbe emelkedése mutatja, hogy a befektető a nagyobb kockázatot milyen plusz várható jövede-lem, mekkora kockázati prémium fejében hajlandó vállalni. Látható, hogy minél nagyobb a kockázat(minél inkább jobbra vagyunk a vízszintes tengely mentén), annál nagyobb a szükséges hozamnövek-mény (annál meredekebb a görbe). Valamely közömbösségi görbétől balra fent elhelyezkedő pontokjelentik a kedvezőbb lehetőségeket, a magasabb hozamot (adott kockázat mellett) vagy alacsonyabbkockázatot (adott hozam mellett). Az ábrán a B, C, D pontok mindegyike nagyobb hozamot és koc-kázatot képvisel, mint az A pont. A döntéshozót – az ábra szerint – a B pont nagyobb hozama mégnem kárpótolja eléggé a nagyobb kockázatért, míg a D pontot már kedvezőbbnek tartja A-nál. Az Aés a C közül pedig nem tud egyértelműen választani.

18





4. A RÉSZVÉNYPORTFÓLIÓ HOZAMA ÉS KOCKÁZATA

A portfólió: értékpapír-együttes . Az elnevezés az értékpapírtárca szóból ered. A portfólió várható hozama a benne szerepl ő papírok várható hozamának súlyozott számtani átlaga:

∑=

= N

i

ii p r wr 1

(10)

ahol: N = a portfólióban szereplő papírok száma w i = az i. papír részarányari = az i. papír várható hozama

A portfólió szórása sajnos nem számítható a szórások számtani átlagaként. Igaz az összefüggés azon-ban a szórásnégyzetre, azaz a varianciára: a portfólió varianciája a benne szerepl ő papírok kovarianciái-

nak (s ) súlyozott számtani átlaga: ij

∑∑= =

= N

i

N

j

ij ji p swws1 1

2 (11)

ahol: sij = az i. és j. papír kovarianciája,sii = si2 = az i. papír varianciája (szórásnégyzete)

A kovariancia a két változó (ez esetben a két papír hozamának) együttmozgását méri, a variancia(szórásnégyzet) a változó önmagával vett kovarianciája, ez esetben a hozam változékonyságának a

mértéke. A korrelációs együttható3 (-1≤R ij≤1) definíciója alapján két változó kovarianciája a korrelációs

együttható és a szórások szorzata:

jiijij ss Rs = (12)

∑∑ ∑∑= = = =

== N

i

N

j

N

i

N

j

jiij jiij ji p ss Rwwswws1 1 1 1

2 (11a)

3 A korrelációs együttható szintén a két változó együttmozgását méri, és az alábbi képlettel számítható:

∑ ∑∑

−−

−−=

22 )()(

))((

y y x x

y y x x R

ii

ii

xy

19





A (11a)-ból látható, hogy a negatív korrelációk csökkentik a portfólió varianciáját. A (11a) két részvényből álló portfólióra felírva:

21122122

22

21

21

2 2 ss Rwwswsws p ++= (11b)

Ez alapján a két papírból kialakított portfólió hozama és kockázata (szórása) a befektetési arányok(w 1 és w 2=1–w 1 ) függvényében:

A

B

0.9A+0.1B

0.2A+0.8B

Szórás

Hozam

3.8. ábra

A portfólió hozama és szórásaa befektetési arányok függvényében

17. példa

Variancia, kovariancia és korreláció számítása az A és B papír éves hozamaiból:r At rBt (r At - r A )2 (rBt - rB)2 (r At -r A )*

(rBt -rB)

1991 9.0 8.0 2.1 3.2 2.61992 14.0 9.0 41.5 7.7 17.91993 19.0 5.0 131.0 1.5 –14.01994 7.0 4.0 0.3 4.9 1.21995 5.0 9.0 6.5 7.7 –7.11996 –9.0 3.0 274.1 10.4 53.31997 –2.0 2.0 91.3 17.8 40.31998 8.0 9.0 0.2 7.7 1.2

1999 17.0 7.0 89.2 0.6 7.3

Összeg: 636.2 61.6 102.9 Átlag: 7.6 6.2 79.5 7.7 12.9Négyzetgyök: 8.9 2.8

20





A B A és B

Várható hozam: 7.6% 6.2%(Ko)variancia: 79.5 7.7 12.9Szórás: 8.9% 2.8%Korreláció: 12.9/(8.9*2.8) = 0.52

A 3.9. ábra a korrelációs együttható értékének hatását mutatja egy kételemű portfólióban: minél nega-tívabb a korreláció, annál jobban csökkenthető a portfólió szórása. Ha nem tökéletes a korreláció, ak-kor még enyhe pozitív korreláció mellett is jó esély van arra, hogy a 3.8. ábrán a bal alsó (A) pontbólkiindulva – ez a kisebb kockázatú és kisebb várható hozamú papír – a kockázatosabb részvénybőlegyre többet bevonva a portfólióba, az együttes szórás (a portfólió kockázata) nem nő, hanem csök-ken! Ez a helyzet a 3.9. ábra minden olyan görbéjén, amely előbb balra kanyarodva halad felfelé.

Ha R=–1, akkor a két papírba való befektetési arányok megfelelő megválasztásával a kockázat tel-jesen megszüntethető.

r = 1

r=1/2r=0r=-1/2

r=-1

Kockázat

Hozam

3.9. ábra

A korrelációs együttható hatása a portfólióhozam-kockázat viszonyára

Azt a jelenséget, hogy több kockázatos papír együttes kockázata kisebb, mint az egyedi kockázatoknagysága, diverzifikációnak nevezik. Ha egyidejűleg fektetünk eserny őgyártásba és napelemekből ener-

giát előállító vállalkozásba, akkor várhatóan elkerüljük a nagy nyereségeket és veszteségeket, hiszenmikor az egyiknek jól megy, a másiknak szükségszerűen rosszabbul (negatív korreláció).

Ha azonos hozamú részvények közül akarunk egy olyat kiválasztani, amelyet a portfóliónkba bevonva a legjobban csökken (vagy legkevésbé nő ) a portfóliónk kockázata, akkor nem biztos, hogy alegkisebb szórású papírt fogjuk választani, hanem azt, amelyik a már meglev ő részvények ingadozásáta legjobban ellensúlyozza: lehetőleg kicsi varianciát és ideális esetben negatív kovarianciát ad a port-fólióhoz.

21





Ha sok részvényből áll a portfólió, akkor a 3.10. görbét úgy lehet tekinteni, mint egy határoló gör-bét, ami a leginkább balra fenn elhelyezkedő pontokból áll. Ezeket nevezik hatékony portfóliónak: azadott kockázat mellett maximális várható hozamot biztosító kombinációk összessége. Ezekre a pontokra az isigaz, hogy az adott várható hozamot a legkisebb szórás mellett ígérik. A görbe „belsejében” lev ő pontok nem hatékonyak: adott szórás mellett lehet olyan portfóliót találni, amelyiknek várható hoza-

ma nagyobb, vagy amelynek adott hozam mellett kisebb a kockázata.

Hozam

Kockázat

3.10. ábra

A lehetséges és a hatékony portfóliók

Ebből következik, hogy a befektető nem minden esetben kapja meg az általa vállalt (szórással mért)kockázatnak megfelelő kockázati prémiumot: ha a kialakított portfóliója nem hatékony, az a saját hi-bája. A piac értékítélete a kockázattal kapcsolatban csak a hatékony portfóliókban tükröződik.

5. A NEM DIVERZIFIKÁLHATÓ KOCKÁZAT MÉRTÉKE

A portfólióba egyre több papírt bevonva egy darabig jelentősen csökken a kockázat, azonban egyponton túl (általában 15-20 papír után következik ez be) nem csökken a portfólió varianciája. Ennekoka, hogy egy N részvényből álló portfólió varianciája N db varianciából és N(N–1) kovarianciábóláll. Ha minden papír azonos 1/N részarányt képvisel a portfólióban, akkor:

A portfólió = N * Átlagos + (N2-N) * Átlagos = varianciája N2 variancia N2 kovariancia

1 Átlagos 1 Átlagos= ⎯ * variancia + (1 - ⎯ ) * kovariancia.

N N

22





Az N növelésével a portfólió varianciája az átlagos kovarianciához közelít. Kellően nagy N esetén a varianciákból álló rész (a papírok önmagukkal vett kovarianciája) eltüntethető lenne, azonban a kova-riancia miatt mégsem csökkenthető minden határon túl a portfólió szórása.

A portfólió kockázatát tehát két részre oszthatjuk: – a kellő diverzifikációval (kockázatmegosztással) megszüntethető ún. specifikus kockázatra és

– a diverzifikációval sem kiküszöbölhető ún. szisztematikus (vagy piaci) kockázat ra.

Hozam

Részvényekszámaa

portfólióban

Diverzif ik lható kockázat

Nemdiverzifikálhatópiaci kockázat

Diverzifikálható kockázat

3.11. ábra A piaci és a specifikus kockázat

A piac csak a nem specifikus (nem diverzifikálható) kockázatot ismeri el kockázati prémiummal, azaz csak aszisztematikus (piaci) kockázatot díjazza. A specifikus kockázatot a befektető nem köteles vállalni, ju-talom sem jár érte. Ha valaki minden pénzét egyetlen részvénybe fekteti, az magánügy, az ebből ere-dő kockázatot a piac nem honorálja magas hozammal (alacsony árfolyammal).

A piaci kockázat a gazdaság egészének m ű ködéséb ő l fakad, ettől nem tudunk szabadulni akkor sem, hatöbbféle vállalkozásban veszünk részt részvénytulajdonosként. A többi kockázat (ágazat vagy vállalat)specifikus kockázat, amelytől jól fejlett részvénypiaccal rendelkező országban diverzifikációval, azaz abefektetés több irányba történő szétosztásával meg lehet szabadulni.

Valamely részvény hozamának ingadozásából azt a részt fizeti meg a piac, amely a gazdaság egé-szének – praktikusan: a részvénypiac egészének – ingadozásából fakad. Azt kell tehát mérni, hogy a piac egészének 1%-os fellendülésekor az adott részvény hozama várhatóan hány százalékot fog változni. Ezt a muta-tót nevezik bétá nak.

A béta nem más, mint annak az y=a+bx típusú egyváltozós regressziós egyenletnek a becsültb(éta) együtthatója, amelynek a független változója a piac egészének hozama, a függ ő változója pedig

az adott részvény hozama.

23





a) b)

A r szv nyhozama

B részvényhozama

Piacihozam

Piacihozam

A részvényhozama

3.12. ábraRészvények karakterisztikus egyenese

A 3.12. a) ábrán látható A részvény hozamának ugyan szemmel láthatóan nagyobb a szóródása, dekevésbé mozog együtt a részvénypiac egészével, mint a 3.12. b) ábrán látható B részvény hozama,ezért kisebb a szisztematikus kockázata. A specifikus kockázat jó portfólióválasztással eltüntethető. Ahozamokhoz illesztett regressziós egyenes a részvény karakterisztikus egyenese, ennek a meredekségea béta .

Mekkora a béta átlagos értéke? Ez azonos azzal a kérdéssel: hány százalékkal változik átlagban arészvények hozama, ha az átlagos részvényhozam 1%-kal változik? A válasz: 1%-kal, tehát a béta átla- gos értéke 1. A kockázatmentes befektetés bétája zérus. Általában a rövid lejáratú állampapírokat (T-bill) tart-ják ilyennek. A negatív béta elvileg azt jelenti, hogy az adott vállalkozás fellendülés idején néz szembenehézségekkel, recesszió idején kivirágzik. (Pl. a felszámoló cégek lehetnének ilyenek, ha kizárólag ez-

zel foglalkoznának.) A portfólió bétája a benne szerepl ő részvények bétájának súlyozott számtani átlaga:

∑=

= N

i

ii p w1

β β (13)

ahol βp = a portfólió bétája w i = az értékpapírok súlyaβi = az értékpapírok bétája

6. A RÉSZVÉNYEK ELVÁRT HOZAMA ÉS A CAPM

Az egyedi részvényekre vonatkozóan a részvénytől elvárt hozamot a béta (a releváns kockázat) függ- vényében felrajzolva az értékpapír-piaci egyenest (SML – Security Market Line) kapjuk, aminekegyenlete:

24





) f m f r r r r −+= β (14)

ahol: rf = a kockázatmentes kamatlábrm = a részvénypiac átlagos hozama

rm –rf = piaci kockázati prémiumr = az adott részvény elvárt hozamaβ = az adott részvény kockázata

Hozam

Béta(kockázat)1

r f

r m

3.13. ábra

Az értékpapír-piaci egyenes

A (14) képlet egy adott részvény elvárt hozamát , a (9) képlet ugyanazon részvény tényleges hozamát adjameg. A kettő között az árfolyam változása teremti meg az összhangot: ha megnő az elvárt hozam, és

nem változik az osztalék, akkor az árfolyam csökkenése révén teljesül a befektetők elvárása. Példáulha megnő a részvény kockázata (bétája), akkor csökken a részvény kereslete, egészen addig a pontig,amíg a kereslet csökkenéséből eredő árfolyamcsökkenés nem növeli a hozamot a nagyobb kockázat-tal összhangban lev ő szintre.

Az elvárt hozam (14) két részből tev ődik össze: – az id ő nek betudható rész (a jelenbeni fogyasztástól való tartózkodás jutalma a kamat), – a kockázatnak betudható rész: ez arányos az átlagos kockázati prémiummal, illetve az adott rész-

vény kockázatosságával (bétájával). A (14) képlet szerint az átlagosnál kevésbé kockázatos részvények (béta<1) hozama az átlagos

részvényhozam (ún. piaci hozam: rm ) alatt van, az egynél nagyobb bétájú részvények hozama pedig

átlag feletti. A negatív bétájú részvények hozama kisebb, mint a kockázatmentes kamatláb – bár ezekis kockázatos befektetések. Azonban jó adalékok a portfólióhoz, így az emiatt megnövekedett keres-let következtében olyan magas az árfolyamuk, hogy hozamuk még a kockázatmentes kamatlábnál iskisebb.

25





A CAPM (Capital Asset Pricing Model), azaz a részvényárfolyamok tőkepiaci elmélete szerint azegyes befektetések hozama az értékpapír-piaci egyenesen kell hogy feküdjék. Ha egy befektetés hozama az egye-nes fölött található, akkor az adott papír alulárazott (és megfordítva), és szükségszerű, hogy megnö- vekedjék a papír iránti kereslet, aminek folytán felmegy az árfolyama, tehát leesik a hozama arra aszintre, ami a papír kockázatából (bétájából) adódik.

A CAPM szerint csak egy oka lehet a különböz ő befektetések eltér ő várható hozamának: a kockázat eltér ő mér- téke .

Egy részvény elvárt hozama annál nagyobb: – minél nagyobb a kockázatmentes kamatláb, – minél nagyobb az átlagos részvénypiaci hozam, – minél nagyobb a részvény kockázata. A 3.13. ábrán az értékpapír-piaci egyenes: – felfelé tolódik el, ha nő a kockázatmentes kamatláb; – a függ őleges tengellyel való metszéspontját változatlanul hagyva az egyenes meredekebbé válik,ha nő az átlagos részvénypiaci hozam, miközben nem változik a kockázatmentes kamatláb;

– nem változik, ha megváltozik valamely részvény bétája (ekkor a görbe mentén történik elmozdu-lás).

7. AZ IDŐBENI DIVERZIFIKÁCIÓ

A részvény hozama valószínűségi változó. A diverzifikációval kialakított portfólió hozama tehát való-színűségi változók összege. Ugyanígy valószínűségi változók összege azonban több év együttes hoza-ma is. A CAPM-elemzés csak egy periódusra koncentrál, egyetlen periódus (év) hozamingadozásait vizsgálva keresi a kockázat mérésének adekvát módját.

Ha rit az i. részvény hozama a t. évben, akkor az egyik esetben i, a másik esetben t szerint összege-

zünk. A praktikus végkövetkeztetés a részvénybefektetőknek kettős: a kockázat csökkentése érdekében – többféle részvénybe kell fektetni, – több éven keresztül érdemes tartani a portfóliót. Az alábbi táblázatot egy diverzifikált portfólió (az S&P 500 index) 1950–1980 közötti éves hoza-

mai alapján számították. Az átlagos hozam 10% körüli, az ingadozás tartománya aszerint, hogy hányéven keresztül tartottuk a portfóliót:

1 év 5 év 10 év 15 év 20 év 25 év

max.: 52.6% 23.9% 19.6% 16.9% 12.1% 10.3%min.: –26.5% –2.4% 1.2% 4.3% 6.5% 7.9%

Sok befektetési tanácsadó könyv idézi az angol közmondást: „ne tedd az öszszes tojást egy kosárba!”Ezt többnyire úgy értelmezik, hogy ne egyetlen részvényben tartsuk a pénzünket. Ugyanakkor már azis több „kosárnak” számít, ha az egyetlen részvényt nem egyetlen évig tartjuk meg.

A diverzifikációból adódó befektetési alapelv kettős: nem a „legjobb” részvényt kell megkeresni , hanemegy részvényegyüttest kell kialakítani, és nem kell állandóan váltogatni a benne szerepl ő részvényeket , hanemcélszerű hoszszabb idő átlagában tartani azokat.

26





Ez természetesen az átlagos befektetőre vonatkozó okos tanács. Rövid távon könnyen lehetnek azátlagosnál szerencsésebb befektetők, hosszú távon azonban ritka az átlagosnál okosabb befektető arészvénypiacon4. Mindez persze a hatékony piacokra vonatkoztatva igaz. Hatékonynak (némi egysze-rűsítéssel) akkor tekinthetünk egy piacot, ha a háromszor olyan jó termék háromszor annyiba kerül. A pénzügyi befektetéseknél a „háromszor olyan jó” egzaktabbul értelmezhető, mint a tejföl a piacon,

és részben ebből, részben a befektetők nagy számából következik, hogy a nagy pénzügyi piacok álta-lában közel vannak a piaci hatékonyság kritériumaihoz.

Nem mindig a legjobb vállalat részvényeinek (blue chip részvények) megvásárlása a legjobb befek-tetés, hiszen ha a háromszor olyan jó vállalat részvénye négyszer annyiba kerül, akkor ez a rosszabbbefektetés. A jó vállalatok megtalálásában rejlő esetleges extraokosságunkat a piaci hatékonyság for-májában megjelenő, a publikum okosságát kifejező tényező semlegesíti. A hatékony piaci árazás miattlehetséges, hogy jó teljesítményt mutassanak a véletlenszerűen összeállított portfóliók. Alig hatékonypiacokon azonban nem szabad bízni az árakban, nem célszerű találomra összeválogatni a portfóliót.


1. Az ABC társaság részvényeinek árfolyama január 1-jén 2,000 Ft, év végén 1,600 Ft, és májusban100 Ft osztalékot fizetett. Mekkora a társaság részvényeinek hozama?

a) –15.00%b) 31.25%c) 5.00%

d) –8.00%

2. Mi a szelvényhozama annak az 500 Ft névérték ű 8%-os fix osztalékot biztosító elsőbbségi rész- vénynek jelenleg, amelynek az árfolyama 380 Ft?

a) 10.5%b) 8.0%c) 7.6%d) nem meghatározható

3. Van három részvény. A korrelációs együtthatók értéke: A és B részvény között: – 0.6 A és C részvény között: + 0.5B és C részvény között: – 0.1

4 A bennfentes információt itt nem tekintjük az okosság részének. A kérdéssel kapcsolatban bovebben lásd Malkiel:Bolyongás a Wall Streeten (Bankárképzo, 1992) címu könyvét.

27





Melyik két részvény között lehet legjobban megosztani a kockázatot, ha egy kétrészvényes portfóliótállítunk össze?

a) A és B közöttb) A és C között

c) B és C közöttd) A és A között

4. Az alábbi, a hatékony portfóliókkal kapcsolatos állítások közül melyik igaz?

a) Egy olyan portfóliót, amelyik csak szisztematikus kockázatot tartalmaz, hatékony portfóliónaknevezhetünk.b) Minden portfólió hatékony, ha egymással negatív korrelációban lév ő befektetésekből állítjuk ös-sze.c) Egy portfólió akkor hatékony, ha adott kockázat mellett maximális hozamot ad, de adott hoza-

mot nem feltétlenül a legkisebb kockázattal biztosítja.d) Egy portfólió akkor hatékony, ha varianciája (és ezzel szórása) minimális.

5. A CAPM-egyenlet segítségével adjon becslést egy részvény elvárható hozamára nézve, ha a kocká-zatmentes kamatláb 10%, a béta együttható 1.6, és az átlagos piaci kockázati prémium 5%.

a) 10%b) 15%c) 18%d) 21%

HELYES VÁLASZOK: 1 – a, 2 – a, 3 – a, 4 – a, 5 – c

28





I I I . P É N Z Á R A M L Á S O K

Mielőtt rátérnénk az árazási kérdésekre, áttekintjük, mit is árazunk be: a jöv ő beni pénzáramlások alapese-

teit, így: – a szabályos, – az értékpapírokból adódó, illetve – a beruházási projektekből

eredő pénzáramlások jellegzetességeit, meghatározásuk módját és kapcsolódásaikat tárgyaljuk, mielőttkiszámítanánk jelenbeni pénzben kifejezett értéküket.

1. SZABÁLYOS PÉNZÁRAMLÁSOK

A cash flow (CF) vagy pénzáramlás jelentése: jöv ő beni kifizetéssorozat. Tetszőleges számú kifizetéstmegtestesíthet, és a kifizetések is tetszőleges nagyságúak lehetnek. Általában a pozitív számok pénz-beáramlást (cash inflow), a negatív számok pénzkiáramlást (cash outflow) jelölnek. A pénzáramlástkét vektorral adhatjuk meg: az egyik vektor a kifizetési időpontokat, a másik a pénzmozgások nagysá-gát adja meg. Szokás még indexelt változók sorozatával is megadni, ahol az indexben az időpont sze-repel.

A CF elemeit a továbbiakban Ct módon adjuk meg, ez a t időpontban esedékes összeg nagyságátjelöli.

1) A legegyszerűbb pénzáramlás az egyetlen elemből álló cash flow. Ennek klasszikus példái a váltó, akamatos kamatozású kötvény és a zérókupon-kötvény. A zérókupon-kötvény olyan kötvény, amely-nek nincs kamatszelvénye, és csak egyetlen jöv őbeni időpontban teljesít kifizetést. Kibocsátása disz-

kont árfolyamon történik. Klasszikus példája a diszkont kincstárjegy.

18. példa

Egy 5 éves kamatos kamatozású kötvényt 12% névleges kamatlábbal a névértékén lehet ki-bocsátani, ha 12% a piaci kamatláb.Ha a névérték 10,000 Ft, akkor a kötvény 10,000*1.125 = 17,623 Ft kifizetését ígéri 5 évmúlva. A kamatos kamatozású és egy, egyéb paramétereiben azonos zérókupon-kötvény cash flow-ja:

Év kamatos zéró-kamatozású kupon-kötvény kötvény

1. 0 02. 0 03. 0 04. 0 05. 17,623 10,000

29





A két kötvény között csak annyi a különbség, hogy az első 1.7623-szor akkora kifizetést ígér, így az ára is ennyiszerese kell hogy legyen a kamatszelvény nélküli kötvényének. Mivel a ka-matos kamatozású kötvényt 10,000 forintért lehet kibocsátani, a zérókupon-kötvény kibo-csátási árfolyama: 10,000/1.7623 = 5,674 Ft.

Minden cash flow-t el lehet úgy képzelni, mint megfelelően kiválasztott számú és lejáratú zérókupon-kötvények összessége.

2) Az annuitás a legszabályosabb pénzáramlás: minden eleme azonos nagyságú, és a kifizetések azonos id ő tá- vonként esedékesek. Az annuitás évjáradékot jelent, de az egyenletes nagyságú havi (negyedévenkéntistb.) kifizetéseket is annuitásnak nevezik. Az annuitáson belül a törlesztés és a kamatfizetés összegeállandó, ezen belül egyre csökken a kamat aránya, és kifizetésről kifizetésre nő a törlesztésnek nevez-hető rész. (A hazai gyakorlatban, pl. az OTP Bank Rt. ilyen konstrukciójú hiteleinél az egész pénz-áramlást törlesztésnek nevezik – teljesen megalapozatlanul egy torz megszokás alapján.)

Az annuitásnál Ct=C minden t értékre. Az annuitás szabályos a kifizetések nagyságát és időközéttekintve, de esetleges, hogy hány darab kifizetés van hátra. A standard hosszúságú annuitás az örökjá-radék.

3) Az örökjáradék olyan speciális annuitás, amely végtelen elemszámú. Mivel az örökjáradék lejáratnélküli pénzáramlás, ezért értéke független attól, hogy hány kifizetés történt már a múltban (= nemfogy el).

Az örökjáradék létezhet értékpapír formájában, de bankbetétből is származtatható.

19. példa

Betétben elhelyezünk 100,000 forintot. A kamatláb évi 12%, évi egyszeri kamatfizetéssel. Akamatot minden év végén kivesszük. Milyen kifizetéssorozatra számíthatunk? Az első év végén 12,000 forintot veszünk kézhez. A következő év elején ismét 100,000 Ftlesz a kezdő betét, így a jöv ő évi kamat is 12,000 Ft lesz, és így tovább. Évi 12,000 Ft örökjáradékra tehetünk szert, ha a kamatláb állandó marad.

Egy n éves annuitás előállítható egy jelenben és egy n év múlva kezdődő örökjáradék különbségeként.Évi 8 Ft és n=5 év példáján:

+8 +8 +8 +8 +8 +8 +8 +8 +8 +8 +8

+ + + + + + + + + + + –8 –8 –8 –8 –8 –8

4) Növekv ő tagú örökjáradék: olyan örökjáradék, amely kifizetésről kifizetésre állandó (g) százalék- kal n ő (g: growth).

30





20. példaBetétben elhelyezünk 100,000 forintot. A kamatláb évi 12%, évi egyszeri kamatfizetéssel. Akamat 1/3-át minden év végén kivesszük. Milyen kifizetéssorozatra számíthatunk? Az első év végén 12,000 forint a kamat. Ebből 4,000 forintot veszünk kézhez, 8,000 forintottőkésítünk.

A következő év elején 8%-kal nagyobb lesz a kezdő betét, így a jöv ő évi kamat is 8%-kaltöbb (12,960 Ft) lesz, és így tovább. Évi 8%-kal növekv ő , az els ő évben 4,000 Ft-ot fizet ő örökjáradékra tehetünk szert, ha a kamatláb ál-landó marad. A növekedési ütem = kamatláb * újrabefektetési ráta.Esetünkben: 12%*(1–1/3) = 8%.

2. KÖTVÉNYEK PÉNZÁRAMLÁSA, SZINTETIKUS KÖTVÉNYEK

Amerikában és Nyugat-Európában az a jellemző, hogy a kötvényeket egy öszszegben törlesztik a lejá-

ratkor, és évente kétszer fizetnek kamatot. Az amerikai államkötvényeknél és vállalati kötvényeknél ajellemző névérték 1,000 dollár.Magyarországon félévenkénti kamatfizetés és 10,000 Ft névérték jellemző.

21. példaÍrjuk fel annak az 50,000 font névérték ű, 12% kamatozású, 20 év futamidejű angol kormány-zati (GILT-) kötvény pénzáramlását, amelyet 17 évvel ezelőtt bocsátottak ki. (Tehát 1999-ben fizetik vissza.) A kötvény évente kétszer (a III. és IX. hónapban) fizet kamatot.

márc. szept.1997. 3,000 3,000

1998. 3,000 3,0001999. 3,000 53,000

Az amerikai és európai gyakorlatban is előfordul a résztörlesztéses kötvény. Szemben a hazai gyakor-lattal, ahol minden kötvényesnek kifizetik a résztörlesztést, a nemzetközi gyakorlatban az a bevettszokás, hogy bizonyos kötvényosztályokat (bizonyos sorszámokat) kisorsolva, azokat teljes egészében visszafizetik, a többi kötvényes viszont nem kap törlesztést. (A résztörlesztés tehát nem az egyes köt- vényekre, hanem a kötvényesek összességére vonatkozik.)

A másik hazai sajátosság a kamatprémium . Ezt a kibocsátók némelyike önként ajánlotta fel utólag akötvényeseknek bizonyos évekre, amikor a kibocsátást követően felment a piaci kamatláb. (Megjegy-zendő, hogy ez a fajta jótékonykodás meglehetősen idegen a fix kamatozású instrumentumok szelle-métől.)

Nézzük meg egy konkrét hazai kötvény pénzáramlási vektorát:

31





22. példaLegyen ez a kötvény a BUBIV 1988 májusában. A kötvény névleges kamatlába 11%, kiegé-szítve 3% kamatprémiummal 1988-ra. A kifizetési időpont minden évben december 9., a tör-lesztés 1988 és 1991 között 4 egyenlő részletben történik. A kamatokat mindig a fennállónévérték után számolják.

Dátum Fennálló Törlesz- Kamat Kamat- Pénz- névérték tés pré- mozgás

mium

88. 12. 09. 100.0 25.0 + 11.00 + 3.0 = 39.00 89. 12. 09. 75.0 25.0 + 8.25 + 3.0 = 33.25 90. 12. 09. 50.0 25.0 + 5.50 + 3.0 = 30.50 91. 12. 09. 25.0 25.0 + 2.75 + 3.0 = 27.75

Az egy összegben törlesztő, rendszeresen kamatot fizető kötvények pénzáramlását úgy is tekinthet-

jük, mint egy annuitás és egy zérókupon-kötvény együttesét:

23. példaFutamidő: 5 évnévleges kamatláb: 12%, piaci kamatláb: 15%pénzáramlás:

1. 12 12 – 12 –2. 12 12 – 12 –3. 12 = 12 + – = 12 + –4. 12 12 – 12 –

5. 112 – 112 12 100 Árf.: 89.94 = = 40.22 + 49.72

Ebből következik, hogy ha az 5 éves, 100 Ft névérték ű zérókupon-kötvény árfolyama 49.72,és az 5 éves (évi 1 Ft-ot fizető ) annuitás árfolyama 3.352, akkor a 12% névleges kamatlábú 5éves kötvény árfolyama nem térhet el aP = 12*3.352 + 49.72 = 40.22 + 49.72 = 89.94 értéktől.

Egy kötvényportfólió pénzáramlását többféle kötvényből is összeállíthatjuk. Ha kétféle összeállításárösszege nem egyezik meg, akkor arbitrázslehetőség áll fenn.

24. példa Van 10-10 db kötvényünk az A, B, C kötvényekből. Mindhárom névértéke 100 Ft, futamide-je 5 év, névleges kamatlábuk: 0%, 10%, illetve 20%. Árfolyamaik: 80, 82, 90. Van-e arbitrázs-lehetőség? A portfólióban szereplő kötvények pénzáramlása:

32





Év A B C A+B+C1. – 10 20 302. – 10 20 303. – 10 20 304. – 10 20 30

5. 100 110 120 330

Észrevehetjük, hogy a pénzáramlásokra fennáll az A+C=2B összefüggés:

A + C = 2*B

1. 0 + 20 = 2* 10 = 202. 0 + 20 = 2* 10 = 203. 0 + 20 = 2* 10 = 204. 0 + 20 = 2* 10 = 205. 100 + 120 = 2*110 = 220

Az A+C=2B összefüggésnek kellene fennállnia az árfolyamokra is, azonban 80+90 > 2*82, így 170–164=6 nyereségre tehetünk szert, ha eladunk 1-1 db A, illetve C, és veszünk 2 db Bkötvényt. Összesen 60 nyereségre tehetünk szert, ha a portfóliót az alábbiak szerint módosít-juk: A: 10 → 0B: 10 → 30C: 10 → 0


Az A, B, C kötvények futamideje azonos, névleges kamatlábuk: 0%, 5%, és 8%. Milyen ös-szefüggésnek kell fennállnia az árfolyamuk között?8*PB = 5*PC + 3*P A, azazmindkét oldal évi 40 kamatot és lejáratkor 800 törlesztést biztosít.

3. EGYÉB PAPÍROK PÉNZÁRAMLÁSA

A részvények pénzáramlására – amely az osztalékkifizetések sorozatá ból áll – jellemző, hogy: – elvileg lejárat nélküli, – valamely ütemben növekv ő,

– bizonytalan nagyságú. Az első két tulajdonságból adódóan az osztaléksorozatot mint növekv ő tagú örökjáradékot szok-ták kezelni, a harmadik tulajdonság pedig a nagyobb elvárt hozam formájában jelentkezik.

A biztosítást is lehet úgy tekinteni, mint kárkifizetés-sorozat vásárlását. Ennek sajátossága az előző-ekhez képest, hogy nemcsak a kifizetés nagysága függ a véletlentől, hanem a kifizetések időpontjai, il-letve a kifizetések száma is (pl. casco esetén: hányszor törjük össze az autónkat).

A kifizetések időpontjai alapján a következő pénzáramlástípusokba sorolhatjuk az egyes cash flow-kat:

33





– előre ismert nagyságú kifizetés egyetlen jöv őbeni időpontban, – előre ismert nagyságú kifizetéssorozat egymást szabályos időközönként követő véges számú idő-pontban, – előre ismert nagyságú kifizetéssorozat egymást szabályos időközönként követő végtelen számúidőpontban,

– bizonytalan számú kifizetés. A kifizetések nagysága lehet:

– előre ismert szabályos sorozat, – előre ismert tetszőleges sorozat, – előre nem ismert véletlen jelleg ű sorozat.

4. PROJEKTEK PÉNZÁRAMLÁSA

25. példa

Írjuk fel annak a projektnek a működési és nettó CF-ját, amely az első évben 1,000 árbevé-telt eredményez, amely aztán a 2-5. évben évi 6%-kal nő. Az első év folyó költségeinek nagy-sága 600, és ez is 6%-os ütemben nő. Az első évi forgótőke-szükséglet 450 (a készleteket a 0.év végén kell feltölteni), ez évi 50 egységgel növekszik. A nyereségadó kulcsa 30%. A beruházási költség a 0. évben 1,600. Az amortizációs kulcs évi 12.5%. Az 5. év végén fel-szabadul az addig lekötött forgótőke, és a befektetett tárgyi eszközöket 900-as maradványér-téken lehet majd várhatóan eladni.

0. 1. 2. 3. 4. 5.1. árbevétel 1000.0 1060.0 1123.6 1191.0 1262.5

2. költség* –600.0 –636.0 –674.2 –714.6 –757.53. nyer. adó –60.0 –67.2 –74.8 –82.9 –181.54. műk. CF 0.0 340.0 356.8 374.6 393.5 323.5

5. beruházás –1600.0 900.06. forgótőke –450.0 –50.0 –50.0 –50.0 –50.0 650.07. nettó CF –2050.0 290.0 306.8 324.6 343.5 1873.58. amortizáció –200.0 –200.0 –200.0 –200.0 –200.0

* amortizáció nélkül

34





A nyereségadót a nyereségből (1+2+8 sor) lehet kiszámítani, aminek a meghatározásáhozszükséges az amortizáció (8). Az amortizáció olyan költség, amely nem jár pénzkiadással, ígya működési cash flow az 1+2+3. Az 5. év végén felszabadul az addig lekötött forgótőke(650). A tárgyi eszközök könyv szerinti értéke 1,600–5*200=600, az eladási ár a feltételezésszerint 900, a különbözet után adót kell fizetni (0.3*300=90) az értékesítés évében (5. év vé-

gén). A tőkében lekötött, illetve felszabaduló eszközök nagyságával módosítva kapjuk a net-tó pénzáramlást (7=4+5+6), ami pénzforgalmi szempontból a beruházási projekt lényege: aberuházásba fektetett 0. évi 2,0500 forintot az 1-5. évi cash flow-elemek sorozatára váltottukát:

2,0500 → +290.01, +306.82, +324.63, +343.54, +1,873.55

5. FOLYTONOS PÉNZÁRAMLÁS

Az előző példában jogos feltételezni, hogy a gépek eladásából származó bevétel az 5. év végén egyösszegben folyik be, míg az 5. évi 1,262.5 Ft árbevétel az év folyamán egyenletesen áramlik be, a757.5 Ft folyó költség is folytonosan elosztva jelentkezik az év folyamán. Ez utóbbiakat folytonospénzáramlásnak nevezzük.

Különbség van aközött, hogy évente egyszer akarunk felvenni 365,000 forintot a bankból, vagy na-

ponta 1,000 forintot. A továbbiakban C t módon jelöljük a diszkrét pénzáramlásokat, és C(t) módon a

folytonosakat. Az előbbi egy vektor (számsorozat), utóbbi egy folytonos függvény. Az előbbinél úgy

állapíthatjuk meg, hogy egy adott időintervallumban mennyi kifizetést történt, hogy összeadjuk az

erre az időszakra eső CF elemeket [ ]C t∑ , utóbbinál pedig kiszámítjuk a C(t) függvény alatti

területet .( )[ ]C t dt∫


1. Egy kötvény hátralév ő futamideje két év, most még az idei kamatfizetés előtt vagyunk. Névleges

kamatlába 20%, és két egyenlő részletben, a két utolsó évben törleszt. Írja fel a kötvény hátralév ő cash flow-ját, ha az elvárt hozam 20%!

a) PV = 100 +20 = 120%b) 20, 70, 60c) 70, 60d) (50 +20 +20) = 90, 60

35





2. Mi jellemzi az alábbi állítások közül egy annuitással törlesztő kötvény cash flow-ját?

a) A pénzáramlás nagysága az esedékes törlesztések miatt évről évre csökken.

b) A rögzített nagyságú törlesztés miatt évrő

l évre több kamat kifizetésére jut lehető

ség.c) A kamatfizetés végig állandó, ha a kamatláb a futamidő alatt változatlan.d) Évről évre nő a tőketörlesztés nagysága.

3. Mi a konstrukciója annak a kötvénynek, amelynek cash flow-ja a következő?1,500 Ft1,500 Ft1,500 Ft6,500 Ft5,750 Ft

a) 5 év futamidő, egyenletes törlesztés, 30% névleges kamatláb, 10,000 Ft névértékb) 5 év futamidő, egyenletes törlesztés, 15% névleges kamatláb, 10,000 Ft névértékc) 5 év futamidő, egyenletes törlesztés az utolsó három évben, 15% névleges kamatláb, 10,000 Ftnévértékd) 5 év futamidő, egyenletes törlesztés az utolsó két évben, 15% névleges kamatláb, 10,000 Ft név-érték

4. Melyik cash flow jellemzi: – egy névértéken kapható, – 5 éves futamidejű,

– évente egyenletesen törlesztő, – 10%-os névleges kamatozású,kamatszelvényes kötvény kibocsátáskori vásárlását mint befektetést?

év 0. 1. 2. 3. 4. 5.a) –100 30 30 30 30 30b) –100 10 10 10 10 110c) –100 30 28 26 24 22d) –100 28 26 24 22 20

5. Egy 100 Ft névérték ű kötvény szelvényíve (összevonva a kamat és a törlesztő szelvények értékét)a következő:1. év 30 Ft2. év 28 Ft3. év 26 Ft4. év 24 Ft5. év 22 Ft

36





Melyik állítás helyes az alábbiak közül?

a) A pillanatnyi piaci kamatláb a névleges kamatlábbal egyezően 10%.b) Az egyenletes törlesztésű kötvény futamideje 5 év.

c) Hiányzik a 6. év 20 Ft érték ű szelvénye.d) -Az annuitás konstrukciójú kötvényre egyenletesen csökkenő kamatprémiumot biztosítottakminden évre.

HELYES VÁLASZOK: 1 – b, 2 – d, 3 – d, 4 – c, 5 – b

37





I V. Á R F O L YA M É S H O Z A M

Az előző pontban áttekintettük, hogy: – miként határozható meg az egyes értékpapírok, illetve beruházások cash flow -ja, azt megelőzően

pedig, hogy – milyen hozamot várnak el a befektetők a különböző futamidejű befektetéseiktől (hozamgörbe),

illetve a kockázatos befektetéseiknél mekkora az elvárt hozam nagysága (CAPM).Ezek összekapcsolásával fejezhetjük ki a pénzáramlások jelenlegi értékét, azaz hogy a (2) diszkont-

képletben mit kell diszkontálni (Ct ), és mivel (r). Az egyes speciális pénzáramlások jelenérték-formu-láinak bemutatása előtt tisztázzuk az árfolyam és hozamszámítás kapcsolatát.

1. ALTERNATÍVA KÖLTSÉG, ARBITRÁZSEgy 5 éves futamidejű zérókupon-kötvény vásárlása egyben lemondás egy 5 éves bankbetétről. Vala-mely befektetési forma választása a többi elvetését jelenti, ezek hozamáról lemondunk, ez a választottbefektetés opportunity cost -ja, vagy más néven alternatívaköltsége . A kötvényvásárlás alternatívaköltsége abanki betéti kamatláb, legalább ekkora hozamot várunk el a kötvénytől is, ellenkező esetben ugyanisnem lenne értelme ezt választani.

Ha az 5 éves betéti kamatláb 10%, akkor a zérókupon-kötvény árfolyama nem lehet más, mint100/1.105 = 62.1. A bankbetét értéke ugyanis ennyi idő alatt 1.105-szeresére nő, és 62.1 Ft elhelyezé-se esetén lesz 5 év múlva 100 Ft.

kötvény vásárlás (10%)62.10 Ft0 ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ 100.00 Ft5

bankbetét (10%)

Ha a kötvény árfolyama valamely irányban észrevehetően eltérne a 62.1-es árfolyamtól, arbitrázslehet ő - ség keletkezne. Másként fogalmazva: e fölött az árfolyam fölött mi nem akarjuk megvenni a papírt, ezalatt az árfolyam alatt pedig mások nem hajlandók eladni nekünk.

Amennyiben egy piac hatékonyan működik, feltételezhetjük, hogy a választandó befektetési for-mánkkal egyező kockázatú és futamidejű befektetési formák hozama ismert és egymással egyező (azarbitrazsőrök tevékenységének eredményeként). A mi befektetésünknek is ezt a hozamot kell adnia,

ez alapján tudjuk meghatározni az egyes értékpapírok árfolyamát. Ezt az irányadó hozamot (az alter-natívaköltséget) a kötvények esetén piaci kamatlábnak nevezzük.

38





2. JELENÉRTÉK- (PV) ÉS BELSŐ MEGTÉRÜLÉSI RÁTA (IRR-) SZÁMÍTÁS

A cash flow jelenlegi értékét a cash flow-elemek jelenértékeinek összegeként számítjuk. Amennyibena hozamgörbe nem vízszintes, akkor a különböző kifizetéseket különböző kamatlábakkal kell disz-

kontálni:

( )PV

C

r t

t

tt

n

=+=

∑11

(15)

26. példaMennyi a jelenértéke az alábbi 5 éves pénzáramlásnak, ha a hozamgörbe évi 1százalékponttal emelkedik, és az 1 éves kamatláb szintje 11%?

Év rt Ct

1 11.0% 15.002 12.0% 15.003 13.0% 15.004 14.0% 15.005 15.0% 115.00

A (15) képlet alapján a CF elemek jelenértéke és ezek összege:

Év rt Ct PV1 11.0% 15.00 13.512 12.0% 15.00 11.963 13.0% 15.00 10.404

14.0% 15.00 8.885 15.0% 115.00 57.18 101.92

A nettó jelenértéket úgy kapjuk meg, hogy a jelenértékből levonjuk a CF piaci vételárát (P):

NPV PV P= − (16)

A gyakorlatban a (15)-ös jelenértékképletnek az alábbi formáját használják:

( )PV

C

r t

tt

n

=+=

∑11

(15a)

azaz az egyszerűség kedvéért a futamidőtől függetlenül egyetlen kamatlábbal dolgoznak (vízszinteshozamgörbe feltételezése).

39





A képletből látható, hogy az árfolyam és a hozam mindig ellentétesen változnak: ha nő a piacon a kamat-láb, akkor csökken az árfolyam, illetve ha csökken valamely papír árfolyama, akkor – rögzített jöv ő-beni kifizetések mellett – növekszik a hozama. A magasabb kamatláb azt jelenti, hogy ugyanazt a jö- v őbeni jövedelmet kevesebb jelenbeni pénzbefektetéssel (alacsonyabb árfolyamon) tudjuk megszerez-ni.

A (15a) képletben az n és a Ct-k sorozata adott, és az r -hez keressük a PV értékét. A fordított irá-nyú számítás, vagyis amikor adott PV-hez keressük az r-et, a hozamszámítás vagy belső megtérülésiráta ( IRR – Internal Rate of Return) számítás, azaz:

– jelenérték-számítás (PV-): r → PV – belső megtérülési ráta számítás (IRR-): PV → r

adott n és Ct mellett.5

27. példaMennyi a hozama (belső megtérülési rátája) annak a befektetésnek, amelynél az előző példá-ban szereplő pénzáramlás megszerzése 101.93 millió Ft-ba kerül? Mennyi a befektetés nettó

– azaz költséggel csökkentett – jelenértéke (NPV)?Kiszámítva a 101.93-as befektetett összeghez tartozó hozamot (IRR-t), és minden kifizetéstazzal diszkontálva, a jelenérték természetesen ugyanaz, csak az egyes jelenérték-összetev őktérnek el. A 14.4% hozam a 11%-15% kamatlábak egyfajta súlyozott átlagaként értelmezhető:

Év rt Ct PV0 –101.921 14.4% 15.00 13.112 14.4% 15.00 11.453 14.4% 15.00 10.01

4 14.4% 15.00 8.755 14.4% 115.00 58.60

IRR = 14.4% 101.92 = PV

NPV = 101.92–101.92 = 0Látható, ha a CF megszerzésének költsége nagyobb, mint 101.92, akkor az NPV negatív, el-lenkező esetben pozitív.

Az IRR az a minden futamid ő re azonos nagyságú kamatláb, amelynek segítségével számolva a jelenértéket az NPV

zérus.

5 Amíg a jelenérték-számítás egy képletbe történő közvetlen behelyettesítéssel megoldható, addig az IRR számításánál amegfelelő r megtalálása – amellyel diszkontálva éppen az adott árfolyamot kapjuk – elég kényelmetlen iterációsorozatotjelent. Szerencsére a táblázatkezelő programok mind rendelkeznek olyan beépített pénzügyi függvénnyel [IRR(CF)],amely a megadott CF-hoz azonnal kiszámolja a megfelelő diszkonttényezőt. Ekkor a CF vételárát negatív számként, a CFnulladik elemeként bele kell foglalni a pénzáramlást tartalmazó tartományba.

40





PV, NPV

r

PV

NPV

3.14. ábra

A CF jelenértéke és nettó jelenértékea diszkontláb függvényében

Az ábrán a PV-függvényt P (= –C0 ) nagysággal lefelé eltolva kapjuk meg az NPV-függvényt. Ezt ajobbra lejtő görbét kapjuk, ha a CF elemei pozitívak és a C0 negatív. Ez a helyzet az értékpapír-vásár-lásnál: a kezdeti pénzkiadást folyamatos pénzbeáramlás követi. Az ilyen esetekben a nagyobb vételárnemcsak kisebb NPV-t jelent, hanem kisebb hozamot (IRR-t) is: ha jobban lefelé toljuk a felső gör-bét, akkor a vízszintes tengellyel való metszéspont is balrább kerül.

3. BEFEKTETÉSI DÖNTÉSEK AZ NPV ÉS A HOZAM (IRR) ALAPJÁN

Egy beruházási vagy befektetési javaslatot akkor racionális elfogadni, ha a nettó jelenértéke pozitív (azazamit vásárolunk, az többet ér jelenbeni pénzben kifejezve, mint amennyibe kerül). A belső megtérülé-si ráta szabálya szerint akkor kell megvalósítani egy befektetési lehetőséget, ha annak bels ő megtérülésirátája magasabb, mint az alternatívaköltség (piaci kamatláb).

Ha az NPV(r) a jelenérték-számításhoz használt kamatláb monoton csökkenő függvénye, akkor akét mutató ugyanazokat a befektetési lehetőségeket javasolja megvalósítani: ha a piaci kamatláb ki-sebb, mint az IRR, akkor az NPV is szükségszerűen pozitív – a metszésponttól balra a függvény a vízszintes tengely fölött van.

Nem ilyen egybehangzó eredményt ad a két mutató, ha az eldöntendő kérdés nem a befektetés elfo- gadása vagy elvetése , hanem két egymást kizáró projekt közötti választás.

28. példa

Melyik jobb befektetés, ha: – az A befektetés 10 Ft-ból 22 Ft-ot, – a B befektetés 100,000 Ft-ból 132,000 Ft-ot eredményez 1 év alatt.NPV A = 10 Ft NPV B = 20,000 Ft ha r =10%IRR A = 120% IRR B = 32%

Fontos! Példánkban az A alternatíva csak ebben a nagyságrendben valósítható meg, kizárt,hogy 1,000-szeres volumenben ugyanilyen jövedelmezőséget produkáljon.

41





Az NPV a nagyobb tömeg ű, az IRR (mint fajlagos mutató) a nagyobb arányú nyereséget preferálja. A 3.15. ábrán a C befektetési lehetőség görbéje meredekebben csökken, ha nő az alternatívakölt-

ség: több éven át biztosít jövedelmet, mint a D befektetés, igaz, az egyes években kisebb összegben. A hosszabb futamidő miatt ha nő az alternatívaköltség, akkor a távolabbi jövedelmek jobban leérté-

kelődnek, gyorsabban csökken az NPV.

NPV

IRRr 1 r 2 r 3 D befektetésCbefektetés

3.15. ábra Az IRR és az NPV rangsorolásának eltérése

Az IRR-mutató egyértelműen a D befektetést mutatja jobbnak, belső megtérülési rátája nagyobb,mint a C befektetésé (r3>r2 ). Ugyanakkor, ha az alternatívaköltség (piaci kamatláb) kisebb, mint r1,akkor a C befektetés NPV-je nagyobb.

Az NPV(r) függvény nem mindig csökken, ha nő az alternatívaköltség. Ha előbb van pénzbeáram-lás és később -kiáramlás (pl. hitelfelvétel hitelnyújtás helyett), akkor az NPV(r) függvény növekv ő. Haolyan beruházási projekttel foglalkozunk, amely kezdetben és a későbbiekben is jelentős kiadásokkaljár (bányamegnyitás, majd -bezáráskor rekultiváció), azaz (több) előjelváltás van a CF-ban, akkor többkamatláb mellett is lehet az NPV zérus, azaz több IRR lehetséges.

IRR

NPV

IRR IRR21

3.16. ábra A több IRR esete

42





Gyakori, hogy beruházási lehetőségek közül a hozam (belső megtérülési ráta, IRR) alapján választa-nak. Ennek számos gyenge pontja van.6 Általános szabály: ne az IRR, hanem az NPV alapján rangsorol- junk, illetve fogadjunk el befektetési lehet ő ségeket! Ennek egyik oka, hogy az IRR feltételezi, hogy a hozamgör- be vízszintes, ami komoly torzításokhoz vezethet, ha nem ez a helyzet. [Az NPV-t számolhatjuk a(15) képletből, az IRR-t csak a (15a)-ból.] A másik ok, hogy az IRR feltételezi, hogy a menet közbeni

jövedelmeket az IRR-nek megfelelő rátán lehet újrabefektetni .

4. EX POST HOZAM

Ex post (utólagos) hozam: a beváltott szelvényeket a mindenkori piaci kamatlábnak megfelelően újrabe-fektetve kiszámítjuk a befektetés lejáratkori értékét, majd a lejáratkori érték és a kezdő érték hányado-sából kiszámítjuk, milyen átlagos éves növekedési ütemnek (kamatlábnak) megfelelően növekedett atőkénk.

29. példa Az alábbi befektetés belső megtérülési rátája 60%:0. –1,000 = –1,0001. 800*1.6 = 1,2802. 200*1.62 = 512 A befektető az 1. évi 1,280 és 2. évi 512 forintot r=0.60 kamatlábbal diszkontálva kapja aP=1,000 jelenértéket. Az IRR=0.60=60% értéket úgy értelmezi, hogy befektetésének várható hozama 60%.Ha a piaci kamatláb r=10%, akkor a 2. év végén5122 + 1.10*1,2801 = 1,9202

azaz a befektetés a 2 év alatt 1,920/1,000 = 1.92-szeresére növekedett, ami1.920.5 –1 = 0.386 = 38.6%

éves utólagos hozamnak felel meg.

A számpéldánkban akkor lett volna az utólagos hozam is 60%, ha az első évi jövedelmet is 60% mel-lett lehetett volna újrabefektetni. Az IRR-számítás feltételezi, hogy a kamatláb nagysága időben válto-zatlan, és minden futamidőre azonos.

5. ADÓZÁS UTÁNI HOZAM

A befektetőket az adózás utáni hozamok érdeklik.

30. példa A betéti kamatláb évi 10%, a kamatadó 20%. Mennyi az adózás utáni hozam? A befektetés a következő átváltást jelenti:1000 › 1101 – 0.2*101 = 1081

Az adózás utáni hozam tehát 8%.

6 Részletesebben lásd Brealey-Myers: Modern vállalati pénzügyek. 5. fejezet

43





Ha az adókulcsot T-vel (Tax), az adózás előtti hozamot r*-gal jelöljük, akkor a (15)-ös jelenértékkép-letet az

(r r Tt t= −* 1 ) (17)

módon kell értelmezni, azaz adózás utáni kulcsokat kell behelyettesíteni a képletbe. Az eltérő adókulcsú befektetéseket csak az adózás utáni helyzetet figyelembe véve lehet összeha-

sonlítani.

31. példa Tegyük fel, hogy valamely országban a bankbetétek kamatlába 15%, a betétek utáni kamatadókulcsa 20%. Adott két kötvény, mindkettő 2 év múlva kerül törlesztésre, az egyik önkor-mányzati kötvény, névleges kamatlába 5%, és a jövedelme után nem kell adót fizetni, a másikkötvény névleges kamatlába 20%, és a kamatszelvény után 25% adót kell fizetni, de az árfo-lyamnyereség adómentes. Mekkora a két kötvény árfolyama?

A bankbetét adózás utáni hozama (1–0.2)*15%=0.8*15=12% Adózás után ugyanazt a hozamot (12%-ot) kell hozni mind a három kötvénynek, hiszenmindhárom kockázatmentes. A kötvényárfolyamok:P = 5/1.12 + 105/1.122 = 88.17, illetveP = -0.75*20/1.12 + (100+0.75*20)/1.122 =_15/1.12 + 115/1.122 = 105.07

Ha nem a befektető, hanem pl. a hitelfelvev ő vállalat szempontjából nézzük az adózás kérdését, ak-kor figyelembe kell venni, hogy míg a vállalat a részvény osztalékát az adózás utáni nyereségéből, ad-dig a kötvény kamatát az adózás előtti nyereségéből fizeti. A vállalat által megvalósítandó beruházási

projekt vagy a teljes vállalati CF jelenértékének kiszámításánál figyelembe kell venni ezt az adómegta-karítást, ami a kamat adózás előtti fizetéséből ered. Ezeket a módosított tőkeköltség-formulákat nemtárgyaljuk.7

6. A VÁLTÓ ÁRFOLYAMA ÉS HOZAMA

A váltó esetében a kamat tömegének szokásos vetítési alapja nem a folyósított, hanem a visszafize-tendő (a váltón feltüntetett) összeg. Ezt az arányszámot – a kamatlábtól való megkülönböztetésül –diszkontlábnak nevezik.

A régi magyar szaknyelvben az előbbit utólagos kamatozásnak, a diszkontláb használatát előlegeskamatozásnak nevezték.

7 Részletesebben lásd Brealey–Myers: Modern vállalati pénzügyek. 15–16. fejezet.

44





32. példaPéldául 1 évre számolva 6%-os kamatláb esetén 100 Ft folyósításához 106 Ft visszafizetéstartozik, 6%-os diszkontláb esetén a 100 Ft viszszafizetéshez 94 Ft folyósítás tartozik. A 6%-os diszkontláb ez esetben 6/94 = 6.4%-os kamatlábat jelent.

Ha egy t ( ≤1) év múlva esedékes C összegről szóló váltót vásárolunk, akkor a váltó árfolyama:

( )PV dt C= −1 (18)

ahol d az éves diszkontláb nagysága. A váltó esetében az év 360 napból áll, tehát az eltelt hónapokat30 nappal kell számításba venni.

33. példa Váltó árfolyama: C, d, t › PVMennyit ér május 14-én egy december 20-án lejáró váltó, amely 100,000 Ft kifizetését ígéri,

ha az irányadó diszkontláb 32%? A napok száma: 7*30+6 = 216C = 100,000 Ftd = 32% = 0.32t = 216/360 = 0.60 év, innenPV = (1–0.32*0.6)*100,000 = 80,800 Ft

A (18) képlet alapján nemcsak adott diszkontlábhoz határozható meg az árfolyam, hanem fordítva is:adott árfolyamhoz milyen diszkontláb (d) tartozik.

34. példa Váltó hozama: C, PV, t › dEgy 3,400 Ft-ról szóló váltót, amely 39 nap múlva lejár, eladtak 3,358 forinton; a kérdés,hány százaléknyi kamat vonatott le?[Forrás: Weninger: Politikai számtan (Bp., Athenaeum 1875) 11.o.]C = 3,400 FtPV = 3,358 Ftt = 39/360 = 0.11 évk = 42/3,358 * 360/39 = 11.55% névleges kamatlábd = 42/3,400 * 360/39 = 11.40% diszkontláb

45





7. KAMATLÁB ÉS DISZKONTLÁB

A diszkontláb (d) átszámítása kamatlábra (k) és fordítva a (t≤1) esetben:

( )d

k

kt

=

+1

(19)

( )k

d

dt=

−1 (20)

35. példaEgy 3 hónapos váltót évi 24% diszkontlábnak megfelelően diszkontálnak. Hány százalékéves (névleges) kamatlábnak felel ez meg? A 24/4 = 6% diszkont levonása azt jelenti, hogy 94 Ft-ért vesszük meg a 3 hónap múlvai100 Ft-ot, azaz:

694 ⎯→ 100

d = 24% = 0.24t = 3/12 = 1/4k = 0.24/(1–0.24/4) = 0.24/0.94 = 0.2553 = 25.53%

Általában a diszkontálásra használt kamatlábat (illetve elvárt hozamot) is diszkontlábnak nevezik a rö- vidség kedvéért (meglehetősen pongyolán és félreérthetően).

8. SZABÁLYOS PÉNZÁRAMLÁSOK ÁRFOLYAMA

a) Az örökjáradék képlete:

PVC

r = (21)

ahol C az évenkénti kifizetések nagysága.

36. példaMennyi pénzt érdemes adni 4% kamatláb mellett évi 16,000 Ft örökjáradékért?PV = 16,000/0.04 = 400,000 Ft,ugyanis 400,000 Ft-ot kell betétbe helyezni ahhoz 4% kamatláb mellett, hogy évi 16,000 Ftkamatot kapjunk.

46





A folytonos örökjáradék képlete8:

( )PV

C

r

C

i=

+ =

ln 1 (21a)

ahol i a folytonos kamatláb, r az effektív kamatláb.

36. példa (folytatás)Mennyi pénzt kell betétbe helyezni ahhoz 4% kamatláb mellett, hogy évi 16,000 Ft folytonosörökjáradékot (kb. napi 44 Ft-ot) kapjunk?PV = 16,000/ln1.04 = 407,948 Ft,azaz kb. 8,000 forinttal többet kell elhelyezni, ha nem az év végén egy összegben, hanem na-pi bontásban akarjuk felvenni az évi 16,000 forintot.

b) Az annuitás képlete:

( )PV

C

r r n= −

+

⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟1

1

1 (22)

mivel az annuitás két örökjáradék különbsége.

37. példa

Mennyi hitelt kapunk az OTP-től évi 20% kamatláb mellett, ha évenként egyszeri 10,000 Ftkifizetését vállaljuk 8 évre?PV = 10,000/0.2 * (1–1/1.28) = 50,000 *0.7674 = 38,371.6 Ft. A teljes örökjáradék értéke 50,000 Ft, annak 76.7%-át képviseli az első 8 év kifizetése. A 9.évtől kezdődő évi 10,000 Ft-okat a magas (20%-os) kamatláb értékeli le ennyire.

8 A szokásos jelenérték képlet a következőképpen is felírható a folytonos kamatozással:

( ) ( )PV

C

r C r C et

t t

t

tit=

+= + =

− −∑∑1

1

(16a)Ez a képlet diszkrét (nem folytonos) pénzáramlásokra vonatkozik, lényegében ugyanaz, mint a (16) képlet. A folytonos

pénzáramlásokra felírt változat:

Ha a C(t) helyére C-t írunk és az integrálást nem a 0,T idő-intervallumra, hanem a (0,∞ ) intervallumra végezzük,akkor kapjuk a (21a) képletet.

( )PV C t e dtitT

= −∫0

47





A (22a) képlettel megadott értéket szokás annuitásfaktornak ( AF ) nevezni, ami nem más, mint az néven át fizetett évi 1 Ft jelenbeni pénzben kifejezett árfolyama.

( ) (PV

r r AF n r n= −

+

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ =

11

1

1, ) (22a)

n r 2% 5% 10% 11% 12% 15% 20%1 98.04 95.24 90.91 90.09 89.29 86.96 83.332 194.16 185.94 173.55 171.25 169.01 162.57 152.783 288.39 272.32 248.69 244.37 240.18 228.32 210.654 380.77 354.60 316.99 310.24 303.73 285.50 258.875 471.35 432.95 379.08 369.59 360.48 335.22 299.06

10 898.26 772.17 614.46 588.92 565.02 501.88 419.2515 1284.93 1037.97 760.61 719.09 681.09 584.74 467.5520 1635.14 1246.22 851.36 796.33 746.94 625.93 486.9625 1952.35 1409.39 907.70 842.17 784.31 646.41 494.76

3.3. táblázat Annuitásfaktorok

100*AF(n,r): n éven át kapott évi 100 Ft jelenértéker kamatláb mellett

Zérus kamatláb mellett az n éven keresztüli 1 Ft-ok értéke n mostani forint:

AF(n,0) = n

c) A növekv ő tagú örökjáradék értéke:

( )

( )PV

C g

r

C

r g

t

tt

= +

+ =

−=

∞

∑ 0 1

1

1

1 (23)

38. példaMennyi pénzt érdemes adni 10% kamatláb mellett évi 5%-kal növekv ő örökjáradékért, ame-

lyik az első évben 8 Ft-ot fizet?PV = 8/(0.10–0.05) = 8/0.05 = 160 Ft

A (23) képletből a g=0 esetben a (21)-et kapjuk vissza. A (23) képlet a részvények árfolyamának meg-határozásakor használatos.

48





9. A KÖTVÉNYEK ÁRFOLYAMA ÉS HOZAMA

A lejáratkor egy összegben törlesztő kötvény árfolyamképlete nem más, mint az állandó nagyságú ka-matfizetések alkotta annuitás értéke plusz a törlesztés diszkontált értéke, ha c jelöli a kötvény névle-ges kamatlábát (coupon):

( ) ( ) ( ) ( )PV

c

r r

c

r r r t

t

n

n n=

+

⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

+= −

+

⎛

⎝ ⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ +

+=∑

1

100

11

1

1

100

11n (24)

azaz:

( ) ( )PV c AF n r DF n r = +, 100 , (24a)

39. példaMennyi az árfolyama annak a kötvénynek, amelyet 10 év múlva törlesztenek, ha névleges ka-matlába 12%, és a pillanatnyi piaci kamatláb 15%?P = 12*AF(10 év,15%) + 100*DF(10 év,15%) =

12 * 5.0188 + 24.72 = 60.223 + 24.72 = 84.943

A kötvényhozamok alábbi fajtái ismeretesek:

1) A névleges kamatláb (coupon rate): a névérték százalékában fejezi ki az éves kamatfizetés nagyságát.2) A szelvényhozam (coupon yield, current yield; egyszer ű hozam): a névleges kamatláb és a pillanatnyi nettó

piaci árfolyam hányadosa, azaz:

CY cP

= (25)

40. példaLegyen a névleges kamatláb c=8%, az árfolyam PV=80%. A szelvényhozam:CY = 8/80 = 0.10 = 10.0%

Ha az árfolyam kisebb a névértéknél, akkor a szelvényhozam nagyobb a névleges kamatlábnál, mert aCY számítása figyelembe veszi, hogy (az előző példában szereplő ) 8 Ft kamatot nem 100 Ft-ért ves-szük, hanem csak 80 Ft-os árfolyamon.

3) Az egyszer ű lejáratig számított hozam (simple yield to maturity – SYTM; korrigált hozam): a szel- vényhozam + a lejáratig számított árfolyamnyereség (-veszteség) egy évre jutó nagysága. Mivel ezutóbbit a pénz időértékét figyelmen kívül hagyva, leegyszerűsítve kalkulálja a formula, innen az elne- vezés.

49





( )SYTM

c

P

P n

P= +

−100 / (26)

40. példa (folytatás)Legyen a névleges kamatláb 8%, az árfolyam 80%. A lejáratig hátralev ő idő 5 év. A lejáratig 20 Ft árfolyamnyereségre teszünk szert, azaz átlagban évi 4 Ft-ra.

( )SYTM = +

−= + =

8

80

100 80 5

8010% 5% 15%

/

A SYTM képlete figyelmen kívül hagyja, hogy a 20/80=25% árfolyamnyereséget egy összegben a le-járatkor realizáljuk, vagy résztörlesztéses konstrukció esetén egyes részeit már korábban is.

4) A lejáratig számított hozam (redemption yield, yield to maturity – YTM; tényleges hozam ): a kötvény belső megtérülési rátája a pillanatnyi (bruttó) piaci árfolyam és a még be nem váltott szelvények alapján szá-mítva.

( )P

C

YTMt

tt

n

=+=

∑11

(27)

40. példa (folytatás) Az előző példa adataival:

Év Ct

0. –801. 82. 83. 84. 85. 108IRR = 13.8%

5) Ex post hozam: a beváltott szelvényeket a mindenkori piaci kamatlábnak megfelelően újrabefek-

tetve kiszámítjuk a befektetés lejáratkori értékét, majd kiszámítjuk, milyen átlagos éves növekedésiütemnek (kamatlábnak) megfelelően növekedett a tőkénk.

50





40. példa (folytatás) Az előző példa adataival, feltételezve, hogy a piaci újrabefektetési ráta 10%:

év Ct Beváltott szelvények értéke

0. -801. 8 8.02. 8 8+ 8.0*1.1 = 16.83. 8 8+16.8*1.1 = 26.54. 8 8+26.5*1.1 = 37.15. 108 108+37.1*1.1 = 148.8

148.8/80 = 1.860

5 év alatt a 80 Ft 148.8 Ft-ra növekedett, azaz 1.86-szorosára. Ez évi:1.86(1/5) = 1.132 → 13.2%

Az ex post és a befektetéskor a lejáratig számított hozam akkor egyezik meg, ha utólag tényleg azIRR-nek megfelelő rátán lehetett újrabefektetni a szelvényjövedelmeket.

A zérókupon-kötvény esetén a névleges kamatláb és a szelvényhozam zérus, az SYTM és az YTMegyaránt csak árfolyamnyereséget tükröz, és igen egyszerűen számítható.

41. példaLegyen egy 5 éves kamatszelvény nélküli kötvény árfolyama 80.SYTM = (100–80)/80/5 = 0.25/5 = 5.00% YTM = (100/80)(1/5) –1 = 1.25(1/5) – 1 = 4.56%

Ez esetben az általában bonyolult IRR-számítás egyetlen gyökvonásból áll. Megjegyzendő, hogy abelső megtérülési ráta (IRR-) számítás csak a zérókupon-kötvény kötvény típusú befektetés eseténhelyes elméletileg, itt ugyanis nem merül fel az újrabefektetési rátával kapcsolatos probléma, mivelcsak egyetlen jöv őbeni kifizetésről van szó.

10. A RÉSZVÉNYEK ÁRFOLYAMA

A (9) képlettel értelmeztük a részvény hozamát, a (14) képlettel megadtuk a kockázat függvényében arészvény hozamának elvárt nagyságát, a kettő összekapcsolásából meghatározhatjuk azt a részvényár-folyam-nagyságot, amely biztosítja a kívánt hozamot. Ehhez tételezzük fel, hogy a vállalat által fizetett

osztalékok egyenletesen, évi g százalékkal nőnek. Ekkor az árfolyam is évi g%-kal nő. A (9)-ben ekkor el- végezhetjük a P1=P0(1+g) helyettesítést:

( )r

D

P

P P

P

D

P

g P P

P

D

Pg= +

−= +

+ −= +1

0

1 0

0

1

0

0 0

0

1

0

1 (9a)

51





Ebből azt kapjuk, hogy

( )P

D

r g

D g

r g01 0 1

=−

= +

− (28)

Valamely részvény árfolyamának kiszámítása tehát a következő séma szerint történik:

rf , rm, béta → rr, g, D1 → P

42. példaMennyi az elvárt hozama és az árfolyama az A részvénynek, haa kockázatmentes kamatláb: 6%,az átlagos részvényhozam: 10%,a bétája: 0.8,utolsó osztaléka: 100 Ft,növekedési üteme: 4.2%? A részvény elvárt hozama = 6 + 0.8*(10–6) = 9.2% árfolyama= 100*1.042/(0.092–0.042) = 104.2/0.05 = 2,084

Ugyanezt a képletet kapjuk abban az esetben is, ha a növekv ő tagú örökjáradék értékét megadó (23)képletbe a C1 helyére behelyettesítjük a D1-et mint első cash flow-elemet, és a kamatláb helyett a rész- vény elvárt hozamát:

( )

( )P

C

k g

D

r g

D g

r r r f m f 0

1 1 0 1

= − → − =

+

+ − −β g

Ha a növekedési ütem nem állandó, akkor nem használhatjuk az ezen alapuló (23) formulát, csak azáltalános diszkontképletet:

( ) ( )P

C

k

D

r t

tt

ttt

n

011 1 1

=+

→+=

∞

=∑∑

ahol k = kamatlábr = részvénytől elvárt hozam

A részvények értékelésénél is alkalmazható tehát a kötvények beárazására is használt (14a) általánosdiszkont formula. Mivel sikerült (a CAPM révén) elméletileg is megalapozott diszkontrátát találni,tudjuk, hogy milyen mértékben kell megemelni a kamatlábat a kockázatnak megfelelően.

52






1. Egy olyan kifizetéssorozatot kell értékelnie, ahol 6 éven át évente 100 forintot kap minden év vé-gén. Az elvárt hozam évi 25%. Mekkora a követelés jelenértéke? (AF: annuitásfaktor, DF: disz-kontfaktor)

a) 100 * DF (6 év, 25%) = 26.2 Ftb) 100 * AF (6 év, 25%) = 295.1 Ftc) 100 * 1.256 = 381.5 Ftd) 100 * 1.0625 = 429.2 Ft

2. Egy három hónapos váltó diszkontálásához használt diszkontláb évi 24%. Hány százalékos ka-matlábnak felel ez meg?

a) 24.00%

b) 6.00%c) 24/(100–6)*100 = 24/0.94 = 25.53%d) 6/(100–24)*100 = 6/0.76 = 7.89%

3. A Bambi-kötvényt négyéves időtartamra, 10,000 Ft-os névértékkel bocsátották ki. Kamatlába fix20%, törlesztése 40-60%-os arányban a két utolsó évben várható. Három évvel a kibocsátás után,közvetlenül az idei kifizetések után vagyunk. A kötvény Bobó brókernél 6,200 Ft, a piacon az el- várt hozam 25%. Mekkora a kötvényvásárlás nettó jelenértéke?

a) +4,560

b) +5,760c) +1,000d) – 440

4. Az ABC társaság elsőbbségi részvényei után változatlanul 15% osztalékot fizet. A piaci kamatláb30%, a részvény névértéke 10,000 Ft. A osztalékkifizetések jelenértékei alapján mekkora a rész- vény árfolyama?

a) 15,000 Ftb) 7,000 Ft

c) 12,000 Ftd) 5,000 Ft

53





5. Április 20-án egy olyan váltót szeretnénk megvásárolni, amely június 20-án 40 ezer forintot fizet. A diszkontláb évi 30%. Mekkora a váltó reális árfolyama?

a) PV = 40,000/1.3(1/6) = 38.289 Ftb) PV = 40,000/(1.3/1.25) = 38,461 Ft

c) PV = 40,000*0.95 = 38,000 Ftd) PV = 40,000/1.05 = 38,095 Ft

HELYES VÁLASZOK: 1 – b, 2 – c, 3 – d, 4 – d, 5 – c

54





V. A Z Á R F O LYA M K A M A T L Á B - É R Z É K E N Y S É G E

A (15a) diszkontképletet eddig arra használtuk, hogy adott kamatláb (r) és időtartam (t) értékekhezmegállapítsuk a méltányos árfolyam (fair price) számszerű értékét. Most viszont nem a kapott ered-mény nagysága érdekel bennünket elsősorban, hanem az, hogy miként változik az értékpapír árfolya-ma, ha változik az r , illetve a t értéke. Ehhez a P(r,t) függvény vizsgálata szükséges, tehát az értékpa-pír-árfolyamot most nem egy számként kezeljük, hanem olyan értékként, amely változik az idő és apiaci kamatláb függvényében.

Az értékpapír árfolyamváltozása a matematikusok számára a P(r,t) függvény teljes differenciáljátjelenti:

( ) ( ) ( )

dP r tdP r t

dr dr

dP r t

dtdt,

, ,= + (29)

ahol dP/dr az árfolyam kamatláb szerinti parciális deriváltja, és dr a kamatláb (r) kis megváltozása. A (29) jelentése alapján az árfolyam két okból változik:1) változik a kamatláb, illetve2) változik a hátralev ő időtartam.Ebben az alpontban nem foglalkozunk az idő múlásával (dt=0), csak azt vizsgáljuk, hogy mi törté-

nik az árfolyammal, ha a kamatláb hirtelen megválto-_zik. A

( )( )

P r tC

r t

t

tt

n

, =+=

∑11

forma vizsgálata helyett gyakran a vele ekvivalens, ám matematikailag kényelmesebben kezelhető

( )P i t C etit, = −∑

formát fogjuk vizsgálni, ahol i=ln(1+r).

A diszkontgörbéhez húzott érint ő meredeksége :9

( )dP i t

dit C et

it,= − −∑ (30a)

( ) ( )dP r t

dr

t C r

r t

t,=

− +

+

−∑ 1

1 (30)

9 A közvetett függvény deriválási szabályából adódóan:

( ) ( ) ( )dP r t

dr

dP r t

di

di

dr

dP r t

di r

, , ,= =

+1

1

mivel i=ln(1+r) és ln'(x) = 1/x, ezért di/dr = 1/(1+r).

55





Ismervén az érintő meredekségét, könnyen kiszámolhatjuk az adott nagyságú kamatlábváltozáshoztartozó árfolyamváltozást.

rfolyamÁrfolyam

Hozam

P

r

3.17. ábra Az árfolyam változása a hozam függvényében

43. példaMekkora egy C=1,000 $ névérték ű zérókupon-kötvény árfolyama 4 év és 3 hónappal a lejá-rat előtt (t=4.25 év), ha a piaci kamatláb (elvárt hozam) évi 22%?PV(r,t) = 1,000/1.224.25= e-4.25*0.19885 = 429.51Mennyi az 1% kamatlábváltozáshoz (dr=0.01) tartozó árfolyamváltozás (dP)?dP/dr = –4.25*429.5/1.22 = –1,469.2dP = –1,496.2*0.01 = –14.96 Ha kiszámítjuk az r=23%-os kamatlábhoz tartozó árfolyamot, akkor az új árfolyamP=414.86, azaz az árfolyamváltozás dP = -14.65.

A nem túl jelentős eltérés oka a 3.17. ábráról leolvasható: a (30) képlet alapján számolva anagyon kicsi kamatlábváltozáshoz tartozó árfolyamváltozást kapjuk meg. Az eltérés annálnagyobb, minél nagyobb a kamatláb változása.

56





1. KÖTVÉNY DURATION ÉS VOLATILITÁS

Duration (hátralev ő átlagos futamidő ): az egyes kifizetésekig hátralev ő id ő tartamok súlyozott számtani átlaga. A súlyokat (v ) az egyes kifizetések jelenértékeinek relatív súlyai adják az összjelenértéken belül,t azaz:

( )

( )D t v ahol v

C r

C r t t

t

t

t

t= =

+

+∑

∑

−

−

1

1 (31)

amiből behelyettesítéssel adódik:

( )

( )D

t C r

C r

t

t

t

t=

+

+

−

−

∑∑

1

1 (31a)

A duration értéke a kifizetések idő

beli súlypontját mutatja. A zérókupon-kötvénynél nem igényel semmiféle számítást a duration meghatározása: egyetlen kifi-zetési időpont van, az addigi időtartamot kellene átlagolni, így a hátralev ő átlagos futamidő természe-tesen megegyezik a hátralev ő futamidő vel. Tehát az n éves zérókupon-kötvény duration-je n év, mivelez az egyetlen átlagolandó időtartam. A többi esetben ki kell számítani, hogy az árfolyamon (jelenér-téken) belül milyen részarányt képviselnek az egyes kifizetések.

44. példaMennyi a duration értéke annak a kötvénynek, amelynek névleges kamatlába k=12% és fu-tamideje n=5 év, ha a piaci kamatláb r= 20%?

t Ct PV(Ct ) v t tv t1 12 10.0 13.1% 0.132 12 8.3 11.0% 0.223 12 6.9 9.1% 0.274 12 5.8 7.6% 0.305 112 45.0 59.2% 2.96

76.1 100.0% 3.89

Látható, hogy a 4. évi 12 Ft súlya (7.6%) alig több mint fele az első évi 12 Ft-nak (13.1%).Ez az arány annál kisebb, minél nagyobb a piaci kamatláb.

Első pillanatban meglepő dolog, hogy a kifizetések relatív nagyságaival súlyozott átlagos futamid ő függ a piaci kamatláb szintjét ő l. Ez a jelenérték-számításból következik, és minél magasabb a piaci kamatláb, rela-tíve annál jobban leértékelődnek a távolabbi kifizetések, így a duration csökken.

Két kötvény közül, amelyek csak a névleges kamatlábukban különböznek, annak nagyobb a duration- értéke, amelyiknek kisebb a névleges kamatlába: a közeli időpontok relatív súlyai kisebbek.

57





Az örökjáradék duration-je:

( )D

r

r =

+1 (32)

azaz ha 10% a piaci kamatláb, akkor az örökjáradék átlagos futamideje 1.1/0.1 = 11 év, ha r=20%,akkor D=1.2/0.2= 6 év, vagyis rövidebb, mint egy 12, illetve 6 éves zérókupon-kötvényé! Az árfolyamváltozás és a duration kapcsolata a (29) és (31) alapján:

( )dP

dr P

D

r =

+*

1 (33)

A képletből látható, hogy ha a 3.17. ábrán szereplő érintő meredeksége nem is azonos a duration ér-tékével, minél nagyobb a D értéke, annál jobban csökken a papír árfolyama a hozam növekedésekor.

A 3.18. ábrán szereplő két kötvény árfolyama és hozama azonos, az átlagos futamidejük azonbaneltérő. A piaci kamatláb csökkenésére számítva az A papírt érdemes vásárolni, ennek jobban változikaz árfolyama. A piaci hozam emelkedésére számítva viszont a kisebb átlagos futamidejű B papírt kell választani, ennek a hozam emelkedésekor kevésbé csökken az árfolyama (3.18. ábra).

rfolyamrfolyam

Piacikamatláb

AB

A kötvényB kötvény

r

P0

0

3.18. ábra

A duration felhasználása két kötvényközötti választáskor

A portfólió duration -je a portfólióban szereplő értékpapírok durationjeinek az árfolyamértékekkel súlyo-zott számtani átlaga.

A (30) képlet az árfolyam pénzben (forintban, dollárban stb.) mért változását mutatja a hozam

függvényében. Az árfolyam abszolút nagyságú változása mellett fontos az árfolyam relatív (százalé-kos) változása. Ezt méri a kötvény volatilitása.Kötvények volatilitása: a kötvényárfolyam kamatláb-érzékenysége, vagyis a piaci kamatláb 1 száza-lékpontos változása hány százalékkal változtatja meg a kötvény árfolyamát?

Szokásos közelítő számítása: megnöveljük 0.1 százalékponttal a kamatlábat, majd kiszámítjuk, hogyhány százalékkal csökkent a kötvény árfolyama. Ennek tízszerese a kamatláb-érzékenység.

58





A volatilitás és a duration közötti kapcsolat:

( )( )

( )

VolatilitásD

r

miveldP

P Ddr

r

% =+

= − +

1

1

44. példa (folytatás) Az előző példában az r=20% hozamhoz tartozó árfolyam P=76.08 volt. Az r=20.1% hozamhoz tartozó árfolyam P=75.83. A százalékos eltérés a két árfolyam kö-zött:(P1 –P0 )/P0 = (75.83–76.08)/76.08 = –0.32% Volatilitás: 10*0.32% = 3.2%

A duration alapján számolva: 3.89/1.20 = 3.2%

2. KÖTVÉNY KONVEXITÁS

Konvexitás (Cx): a kötvényárfolyam hozam szerinti második deriváltja. A 3.17. ábra érintőjének változik a meredeksége, ha változik a piaci kamatláb. Ezt a változást méri

a konvexitás. Ez egyben az árfolyamgörbe gömböly ű ségének a mérőszáma is. Ha az árfolyamgörbe egyeneslenne, akkor egységnyi kamatláb-növekedéshez ugyanakkora árfolyamcsökkenés tartozna, mint amek-kora az árfolyam növekedése lenne a kamatláb csökkenésekor. Az árfolyamgörbe azonban nem egye-nes: az árfolyam csökkenése kisebb, mint az árfolyam növekedése ugyanolyan abszolút érték ű, de el-lentétes irányú kamatlábváltozáskor: kötvények esetében annál jobb, minél nagyobb az árfolyamgörbekonvexitása.

rfolyam

r

+-

Árfolyam

r

+-Pu

Pd

r r ur dr d r r u

Pu

Pd

Árfolyam

3.19. ábra A konvexitás: az árfolyamnövekedés és -csökkenés

eltérése

59





A nagyobb konvexitás nagyobb árfolyamnyereséget és kisebb árfolyamveszteséget jelent a long pozí-cióban lev ő befektetőnek. Számára az árfolyamgörbe nagyobb gömböly űsége kívánatos.

AB

B

A

rfolyamÁrfolyam

r

P

r

0

0

3.20. ábra

A konvexitás felhasználása két kötvény

közötti választáskor

A 3.20. ábrán az (r0,P0 ) pontban az A és B kötvények árfolyama, hozama és durationje azonos, azegyetlen eltérés, hogy az A kötvény konvexitása nagyobb. Ebből viszont az is következik, hogy akár-milyen irányba változik a kamatláb, az A kötvény a jobb befektetés!

Az árfolyam hozam szerinti második deriváltja:

( )Cx

d P i t

dit C et

it= = −∑2

22,

(34)

Szokásos közelítő számítása (legalább 7 tizedesre kell számolni):

( ) ( )[ ]Cx

P P P P

P

P P P

Pu d u d=

− − −=

+ −10 10

28 8 (35)

ahol P: az árfolyam az r kamatlábnál,Pu: az árfolyam az ru = r+0.01% kamatlábnál,Pd: az árfolyam az rd = r–0.01% kamatlábnál.

A portfólió konvexitása a portfólióban lév ő papírok konvexitásának az árfolyamértékekkel súlyo-

zott átlaga. Annál nagyobb valamely papír vagy portfólió konvexitása, minél nagyobb a bennük megtestesülő

kifizetéssorozat időbeni szórása.

60





45. példa A piaci kamatláb legyen 10%. Adott két kötvényportfólió, mindkettő értéke 100 egység, ésmindkettő hozama 10%. Az A portfólió 1 db 8 éves zérókupon-kötvényből áll, amelynek árfolyamértéke 100. A B portfólió 50 árfolyamérték ű 4 éves zérókupon-kötvényből és 50 árfolyamérték ű 12 éves

zérókupon-kötvényből áll.Mindkét portfólió durationje is azonos: 8 év (0.5*4+0.5*12 = 8).

FVÉv A portfólió B portfólió4. 73.28. 214.412. 156.9

Duration: 8 év 8 év

Hozam (r): 10.00 % 10.00 % Árfolyam (P): 100.00 100.00

Hozam (ru ): 10.01% 10.01% Árfolyam (Pu ): 99.9273025 99.9273091

Hozam (rd ): 9.99% 9.99% Árfolyam (Pd): 100.0727570 100.0727637

Konvexitás (Cx): 59.50 72.73

A példából is látható, hogy a B portfólió árfolyama jobban emelkedik, illetve kevésbé csökken, mintaz A portfólióé, mivel kevésbé koncentrálódnak a kifizetések a 8. év körül.

3. A RÉSZVÉNYÁRFOLYAM KAMATLÁB-ÉRZÉKENYSÉGE

A részvény árfolyama a P=D1/(r–g) formula alapján számítható, ahol r=rf +béta(rm –rf ). A képletbőllátható, hogy az elvárt hozam (r) 1 százalékpontos emelkedése ugyanolyan mértékben csökkenti arészvény árfolyamát, mint a hosszú távú növekedési kilátások (g) 1 százalékpontos csökkenése. Az r– g különbségtől függ, hogy az r növekedése vagy a g csökkenése milyen mértékben csökkenti a rész- vény árfolyamát.

46. példaEgy részvény várhatóan 5 dollár osztalékot fizet, a kockázatát tükröző elvárt hozam 11%, a

hosszú távú növekedési ütem 7%. Hány százalékkal változik meg a részvény árfolyama, ha akamatláb növekedése miatt 1%-kal megnő az elvárt hozam? Az új árfolyam (P1 ) és az eredeti árfolyam (P0 ) hányadosa:

61





( )( )

P

P1

0

5 012 0 07

5 011 0 07

11 7

12 708 80%=

−

− =

−−

= =/ . .

/ . ..

Az új árfolyam a régi árfolyam 80%-a, tehát ez esetben a kamatláb egy százalékpontos emel-kedéséhez az árfolyam 20%-os csökkenése tartozik. Látható, hogy a százalékos változásnagysága független az osztalék szintjétől.


1. Mit jelent, ha A és B kötvénynek ugyanaz az árfolyama, de A-nak nagyobb a konvexitása?

a) A-nak nagyobb a hátralév ő átlagos futamideje, így ugyanazzal a hozammal értékelve kisebb a

kockázata.b) Ha a hozam 1%-kal változik, akkor a B papír árfolyama kisebb arányban változik, mint az A-é.c) Ha a hozam emelkedik, A értéke kevésbé csökken; ha a hozam csökken, A értéke jobban nő,mint a B-é.d) A portfóliók halmaza konvex görbe, ezért B biztos, hogy nem fekszik a portfóliófelhő bal felső burkoló görbéjén, így nem hatékony.

2. Egy értékpapír árfolyama 15%-os kamatlábnál 8,100 Ft. A kamatláb 15.1%-ra emelkedik. Mekkoralesz a papír új árfolyama, ha árfolyam-érzékenysége 2.1%?

a) 8,100 (1 – 0.0021) = 8,082.99 Ftb) 8,100 (1 – 0.021) = 7,929.90 Ftc) 8,100/1.21 = 7,933.40 Ftd) 8,100/1.0021 = 8,083.03 Ft

3. Egy papír 3 év múlva 100,000 Ft-ot fizet vissza. A piaci kamatláb 20%, a papír árfolyama 57,870Ft, amikor 21%-ra nő a piaci kamatláb, amelynek következtében az értékpapír árfolyama 56,447Ft-ra csökken. Mekkora a papír árfolyam-érzékenysége?

a) 1.27%

b) 3.14%c) 1.83%d) 2.45%

62







V I . K Ö T V É N Y E K É S R É S Z V É N Y E K

Á R F O L YA M Á N A K I DŐB E L I A L A K U L Á S A

A (29) képlet alapján két összetev őre bontottuk az értékpapírok árfolyamváltozását: az r , illetve a t megváltozásából adódó komponensekre. Az V. fejezetben a dr hatását vizsgáltuk egy adott pillanat-ban (dt=0), most változatlan kamatlábat feltételezve (dr=0) vizsgáljuk az árfolyam alakulását az idő megváltozásával.

1. A KÖTVÉNYEK NETTÓ ÁRFOLYAMÁNAK IDŐBELI ALAKULÁSA

Az idő múlása kétféleképpen jelenik meg a kötvények árfolyamképletében: – ha egy szelvény beváltásra kerül, az adott C t eltűnik a képletből (a pénzáramlás egyre kevesebb

elemből áll);

– két beváltás között egyszerűen folyamatosan csökken a t értéke. A 3.21. ábra mutatja a nettó árfolyamok időbeli alakulását. Lejáratkor a nettó árfolyam megegyezik a név-

értékkel. Ha a névleges kamatláb kisebb, mint a piaci kamatláb, akkor a nettó árfolyam alulról, ha nagyobb, akkor felülr ő l közelít a névértékhez.

80 81 82 83 84 85Idõ

Nett rfolyam

20%

15%

10%

116.8

83.2

20%

100

Nettó árfolyam

3.21. ábra A nettó árfolyamok időbeli alakulása 10%, 15% és 20% névleges

kamatláb, valamint k=15% piaci kamatláb mellett

1980. júl.31.

1981. júl.31.

1982. júl.31.

1983. júl.31.

1984. júl.31.

1985. júl.31.

Cash flow :

10.0 10.0 10.0 10.0 110.015.0 15.0 15.0 15.0 115.020.0 20.0 20.0 20.0 120.0

Nettó árfolyam:83.2 85.7 88.6 91.9 95.7 100.0100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0116.8 114.3 111.4 108.1 104.3 100.0

A feltételezett piaci kamatláb: 15%

64





2. A KÖTVÉNYEK NETTÓ ÉS BRUTTÓ ÁRFOLYAMA

A bruttó árfolyam = nettó árfolyam + felhalmozódott id ő arányos kamat.

Közvetlenül a kamatfizetést követően a két árfolyam átmenetileg megegyezik. A nettó árfolyamot

szokták még tiszta árfolyamnak ( clean price ) is nevezni. A felhalmozódott kamat számításánál 365 nappalés a névleges kamatlábbal számolnak.

47. példaMennyi a tiszta árfolyama annak a kötvénynek, amelynek névleges kamatlába 12%, kamatfi-zetési időpontja március 31., és június 16-án a jegyzett árfolyama 94? Tiszta árfolyam = 94 – 12*(77/365) = 94 – 2.53 = 91.47 A felhalmozódott kamat tehát 2.53.

A bruttó árfolyamok alakulása:

83.2

100

b) n=5 év, c=10%, k=15%

80 81 82 83 84 85Idõ

110

Árfolyam

a) n=5 év, c=15%, k=15%

80 81 82 83 84 85Idõ

100

115 115

Árfolyam

80 81 82 83 84 85 Idõ

116.8

100

c)n=5év, c=20%, k=15%

Árfolyam

120

3.22. ábra

A bruttó árfolyamok alakulása

1980.aug. 1

1981.júl. 31

1981.aug. 1.

1982júl.31.

1982.aug. 1.

1983.júl.31.

1983.aug. 1.

1984.júl.31.

1984.aug. 1.

1985.júl.31.

Cash flow :10.0 10.0 10.0 10.0 110.015.0 15.0 15.0 15.0 115.020.0 20.0 20.0 20.0 120.0

Bruttó árfolyam:83.2 95.7 85.7 98.6 88.6 101.9 91.9 105.7 95.7 110.0

100.0 115.0 100.0 115.0 100.0 115.0 100.0 115.0 100.0 115.0116.8 134.3 114.3 131.4 111.4 128.1 108.1 124.3 104.3 120.0

Nettó árfolyam:

83.2 85.7 85.7 88.6 88.6 91.9 91.9 95.7 95.7 100.0100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0 100.0116.8 114.3 114.3 111.4 111.4 108.1 108.1 104.3 104.3 100.0

A feltételezett piaci kamatláb: 15%

65





A magyar kötvényekre nem alkalmazható a (24) formula a résztörlesztések és a kamatprémiumok mi-att, így itt többnyire nem marad más, mint formula nélkül elemenként (kamat és törlesztő szelvényen-ként) számolni és azt összegezni. A magyar kötvényárfolyam-jegyzés két sajátosságát kell kiemelni:

– a jegyzés nem az eredeti, hanem a pillanatnyilag fennálló névértéket tekinti 100%-nak; – a vállalati kötvényeknél a közölt árfolyam tartalmazza a legutolsó kifizetés óta felhalmozódott ka-

matot is (azaz a bruttó árfolyamot jegyzik).

48. példa1988. május 5-én a Szegedi Telefonkötvény árfolyama 74% volt. Érdemes volt-e aznap ebbea papírba fektetni, amelynek névleges kamatlába 7% volt, ha más lehetőségeink 12%-os ho-zamot biztosítottak volna? A kötvény még meglev ő szelvényíve a kibocsátáskori névértéket 100-nak tekintve:

Dátum Fennállónévérték

Törlesztés + Kamat = Pénzmoz-gás (Ct)

1989.03.31. 80 10 5.60 15.601990.03.31. 70 10 4.90 14.901991.03.31. 60 10 4.20 14.201992.03.31. 50 10 3.50 13.501993.03.31. 40 10 2.80 12.801994.03.31. 30 10 2.10 12.101995.03.31. 20 10 1.40 11.401996.03.31. 10 10 0.70 10.70

A legközelebbi szelvénydátum (365-35)/365 = 0.904 év múlva lett volna esedékes, a többiegy-egy évvel később. A 12% kamatlábbal diszkontált értékek:

Időtáv Kifizetés Diszkontálva

T Ct Ct /1.12t

0.85 15.60 14.081.85 14.90 12.012.85 14.20 10.223.85 13.50 8.674.85 12.80 7.345.85 12.10 6.206.85 11.40 5.217.85 10.70 4.37

68.10

Figyelembe kell még venni, hogy az így kapott árfolyam az eredeti névértékre, a jegyzett pe-

dig a még fennálló névértékre vonatkozik. A jegyzett árfolyam az eredeti névértékre vetítve74*0.8 = 59.20, ami alacsonyabb a 68.10-nél, azaz a 74-es jegyzett árfolyamnál a szelvényívhozama magasabb 12%-nál.

66





3. A RÉSZVÉNYÁRFOLYAM-ALAKULÁS BINOMIÁLIS MODELLJE

Amit a fentiekben elmondtunk a részvényárfolyamokról a (28) képlettel a várható hozamok alapján, azaz összefüggések csontváza, az árfolyam-alakulás centruma. A rövid távú tényleges árfolyamváltozások vélet- lenszer ű ek e körül a „fundamentális érték” körül. A részvényárfolyam-alakulás egy bolyongási folyamat

(random walk). Ennek oka, hogy a pillanatnyi árfolyam minden rendelkezésre álló információt tük-röz, ami a részvény jöv őjét illetően pillanatnyilag rendelkezésre áll (racionális várakozások). Az árfo-lyam változását új hírek váltják ki, amelyek definíciószerűen véletlen jelleg űek: ellenkező esetben nemlennének hírek.

A szabályozott piacokon az egymást követő részvényárfolyam-változásoknak megvan a standardmértéke (pl. a NYSE-n ez 1/8 $). Az egyszerűség kedvéért vegyük ezt 1 $-nak: az árfolyam a megelő-zőtől 1 $-ral térhet el fölfelé vagy lefelé.

Az árfolyamok lehetséges nagyságai az egymást követő változások sorozatában, ha az induló árfo-lyam 100, az alábbiak:

Változás: 0 1 2 3 4 5 …105104

103 103102 102

101 101 101100 100 100

99 99 9998 98

97 97

96 95

Ha minden árfolyam-emelkedés q valószín ű séggel következik be, akkor annak valószínűsége, hogy n egy-mást követő árfolyamváltozásból pontosan k esetben emelkedjen és n–k esetben csökkenjen az árfo-lyam:

( )q n

k q q k

k =⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠⎟ − −1 n k

(36)

azaz binomiális eloszlást követ. Valószínűség-számításból tudjuk, hogy ha az n értéke nagy, akkor a (36)jól közelíthető a normális eloszlással, különösen jól, ha a q értéke 0.5 körüli. (Esetünkben a q értéketöbbnyire 0.5 körüli – a részvényekben meglev ő hosszú távú növekedés miatt annál egy kicsivel na-gyobb szám.)

Az árfolyamváltozást nemcsak úgy képzelhetjük el, hogy azonos dollárösszeggel változhat fölfelé vagy lefelé az árfolyam, hanem úgy is, hogy a növekedés százaléka állandó, tehát az árfolyam vagy u- szorosára nő, vagy u-ad részére csökken. Ha a felfelé változás ( up) együtthatója u=1.25, akkor a lefelé( down ) változás együtthatója d=1/u=1/1.25=0.8, és a fenti folyamat a következőképpen alakul:

67





Változás (n): 0 1 2 3 4 5 …305

244195 195

156 156

125 125 125100 100 100

80 80 8064 64

51 5141

33

Pusztán a szemléletesség kedvéért választottunk ilyen nagy számot (25%-os változás), valójában itt isaz u 1-nél nem sokkal nagyobb szám.

E multiplikatív folyamat annyiban reálisabb az additív folyamatnál, hogy az előzőnél pl. egy idő után törvényszerűen szembe kellene nézni a negatív árfolyamok kérdésével. A (36) képlet most is ér- vényben marad, és az eloszlás ugyanúgy normális eloszlással közelíthető, csak az egyes oszlopokbanszereplő árfolyamértékek mások. Ekkor nem az árfolyamok, hanem a logaritmusuk közelíthető nor-mális eloszlással, azaz az árfolyam pillanatnyi értékét adottnak véve (példánkban P=100) egy adott jöv ő - beni id ő pontra várható árfolyamok lognormális eloszlást követnek. Emlékeztetünk arra a valószínűség-számí-tásban ismeretes tényre, hogy a normális eloszlással általában akkor találkozunk, ha nagyszámú vélet-len tényező együttes hatására alakul a folyamat. A jöv őbeni árfolyamok a fenti séma szerint sok egye-di, egymástól független kis árfolyamváltozások eredőjeként alakulnak ki. Ezt jelenti a bolyongási fo-lyamat, és teljesen összhangban van a hatékony piacok feltételezésével.

A fenti leírást az árfolyamok alakulásáról – történetesen hogy az elő

ttünk álló rövid idő

szakban azárfolyam csak két dolgot tehet: meghatározott mértékben nő vagy csökken – binomiális modell nek nevezik. Ennek segítségével határozzuk meg, hogy kit tekintünk kockázatérzéketlen (kockázatsemleges)befektetőnek.

4. A KOCKÁZATÉRZÉKETLEN BEFEKTETŐ

49. példaLegyen a kamatláb évi 10%, valamely részvény azonnali (prompt) árfolyama legyen 100. Azelkövetkező időszak végére vagy u=1.25-szörösére nő, vagy d=1/u=0.8-szorosára csökken arészvény árfolyama. A részvényárfolyamnak milyen valószínűséggel kell emelkednie, hogy a részvény várható ho-zama megegyezzék a kötvény hozamával?

A kötvénybefektetés: biztos befektetés.

100 1100 1→

68





A részvénybefektetés: bizonytalan befektetés.

1251

q

1000

1-q

801

Amennyiben q=0.6, akkor a várható jöv őbeni érték:

0.6*125+0.4*80 = 75+32 = 1071

ami tehát a lehetséges veszteség ellenére várhatóan nyereséges lesz, de nem vonzó befektetés, hiszena kockázatvállalás ellenére még annyit sem hoz, mint a biztos befektetés.

Amennyiben q=0.8, akkor a várható jöv őbeni érték:

0.8*125+0.2*80 = 100+16 = 1161

azaz a kockázati prémium nagysága 6. Vízválasztó szerepe van annak a valószínűségnek, ahol a koc-kázati prémium zérus, azaz ahol a várható részvényhozam megegyezik a kötvényhozammal. Jelöljükezt a számított (implikált) valószínűséget p-vel, megkülönböztetésül a szubjektív valószínűségbecslés-sel (vagy más módon) adott q valószínűségtől.

Nagysága:

S(1+r)=pSu+(1–p)Sd1+r=p(u–d)+d

ahol S a részvény jelenlegi árfolyama

( ) p

r d

u d=

+ −

−

1 (37)


( ) p

r d

u d=

+ −

− =

−−

= −

− = =

1 110 080

125 0 80

110 80

125 80

30

45

2

3

. .

. .

Ha tehát 2/3 valószínűséggel megy fel az árfolyam, akkor a várható értéke 2/3*125+1/3*80

= 110.Ha pedig például az u=2 (azaz d=0.5), akkorp = (1.1–0.5)/(2–0.5) = 0.6/1.5 = 0.40a várható érték: 0.4*200+0.6*50 = 110

A kockázatérzéketlen befektető nem lát különbséget az alábbi 3 befektetés között:

69





125 2002/3 0.4

1.0100 110 = 100 = 100

1/3 0.680 50

A várható árfolyam:110 110 110

Az árfolyam szórása:0 21.2 73.5

Mint látni fogjuk, sokszor eléggé meglepő módon nem a q , hanem a számított p értékkel fogunk kal-

kulálni. Így járunk majd el az opciók értékelésénél, amikor kockázatmentes (fedezett) pozíciót hozunklétre, így a kockázat figyelmen kívül hagyható, a befektetőt kockázatérzéketlennek lehet tekinteni.


1. Melyik állítás igaz az alábbiak közül? Ha a szelvénykamat kisebb, mint a piacon más befektetésiformákkal elérhető hozam, akkor:

a) az ár egyenlő a névértékkel.b) az ár nagyobb, mint a névérték.c) az ár kisebb, mint a névérték.d) az ár lehet kisebb is és nagyobb is, mint a névérték.

2. Egy kötvény negyedévente fizet kamatot, évi 24%-ot. Az előző kamatfizetés óta egy hónap telt el.Nettó árfolyama 96%, névértéke 20,000 Ft, az elvárt piaci hozam 22%. Mennyi a kötvény reálisadásvételi árfolyama?

a) 98%

b) 26,000/(1+0.22/6) = 25,080 Ftc) 19,200 Ftd) 96 + 22/12 = 97.833%

3. Melyik állítás igaz az alábbiak közül? Valamely kötvényen a felhalmozódott kamat (a bruttó és atiszta árfolyam eltérése):

70





a) kifizetése megváltoztatja a szelvényhozamot.b) a kamatfizetést követően a legnagyobb.c) negatív, ha a piaci kamatláb nagyobb a névleges kamatlábnál.d) erős piaci túlkereslet esetén nagyobb a szokásosnál.

4. Egy kötvény bruttó árfolyama 98.2%. Az utolsó kamatfizetés óta 93 nap telt el, a kötvény éves ka-mata 25%. Mekkora a tiszta árfolyama?

a) 91.54%b) 90.96%c) 92.17%d) 91.83%

5. Egy kötvény augusztus 1-jén fizet 15% kamatot. 93 nappal a kamatfizetés után a kötvény nettó ár-

folyama 87%. Mekkora a bruttó árfolyama?

a) 83.18%b) 90.82%c) 98.18%d) 102.0%

HELYES VÁLASZOK: 1 – c, 2 – a, 3 – a, 4 – d, 5 – b

71





V I I . H AT Á R I DŐS Á R F O L YA M O K

1. AZONNALI DEVIZAÁRFOLYAMOK

A devizaárfolyamokat 4 tizedes pontosságig szokás jegyezni. A bid (vételi) árfolyam az az árfolyam,

amelyen az árfolyamot jegyző vásárolni, az offer (eladási) árfolyam pedig amin eladni hajlandó. A kettő különbsége a devizakereskedő haszna, a spread (marge). A két árfolyam átlaga a középárfolyam.

bid offer1.6620 – 1.6690 EUR/USD (Frankfurt)0.5992 – 0.6017 USD/EUR (New York)

Látható, hogy a reciprok jegyzésnél a bid és az offer felcserélődik, mert a dollár vásárlási árfolyamaegyben a euró eladási árfolyama.

1.1. A keresztárfolyam

Középárfolyamokból könny ű keresztárfolyamot számolni. Ha:1 USD = 1.8000 EUR, és1 USD = 1.6000 SFR,

akkor:1 SFR = 1.8/1.6 = 1.1250 EUR

(Az eredménynek 1-nél nagyobbnak kell lennie, hiszen az euróból a dollárért is többet kellett adni,mint a svájci frankból.)

Amennyiben a vételi és eladási árfolyamokból kívánjuk kiszámítani a keresztárfolyamokat, akkorkülön figyelmet érdemel, hogy melyik valutát vesszük éppen, és melyiket adjuk el. Az árfolyamjegyző

szempontjából nézve az adásvételt a vásárlást (+), az eladást (–) módon jelölve tegyük fel, hogy a dol-lár árfolyama

euróban: 1.7500 – 1.8500 EUR/USDsvájci frankban: 1.5500 – 1.6500 SFR/USD,

akkor a közvetlen svájci frank/ euró konverziók árfolyamai:EUR/SFR: 1.0606 – 1.1936,

mivel árfolyamjegyzőként úgy vehetnénk frankot euróért, hogy vennénk 1.75 euróért 1 dollárt, eztpedig eladnánk 1.65 frankért. Tehát a frank vásárlási ára:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

SFR EUR

USDSFR

USD EUR

SFR

EUR/0606.1

65.1

75.1=→

−+

+−=

+

−

A frank eladási árát megfordítva kapjuk:( )( )

( ) ( )( ) ( )

SFR EURUSDSFR

USD EUR

SFR

EUR/1936.1

55.1

85.1=→

+−−+

=−+

72





1.2. A valutakosár

A valutakosár a kosárban szereplő valuták és a hozzájuk tartozó súlyok együttese. A forintot régeb-ben az export és az import valutaszerkezetének megfelelő kosárhoz rögzítették, amelynek pontos ös-szetétele nem volt nyilvános. Később, 1991. december 9-e után az 50% ECU – 50% USD immár

nyilvánosan ismert kosarat használták. Ezt váltotta fel az 50% EUR – 50% USD-kosár 1993. augusz-tus 1-jétől. 1994. május 16. óta a 70% ECU – 30% USD-kosár, 1997. január 1. óta pedig a 30% USD – 70% EUR összetételű kosár volt használatban. 1999. január 1-jétől a forint valutakosarának tartal-ma 70% euró és 30% USD. 2000. január 1-jétől gyakorlatilag azonban megszűnik a forint valutako-sárhoz történő rögzítése, mivel az 100%-ban eurót fog tartalmazni.10

A forint leértékelése (vagy felértékelése) a kosárhoz képest történik, és nem változtatja meg a fo-rintban kifejezett árfolyamok egymás közti arányait. A rögzítés olyan mindennapos forintárfolyam-ki-igazítást jelent, hogy az új árfolyamok tükrözzék az új keresztárfolyamokat, de összességében az árfo-lyamszint ne változzon a kosárhoz képest. Számtani átlagolást alkalmazva és Di-vel jelölve a kosárbanszereplő n valuta közül az i-dik valutát, vi-vel ennek a súlyát, és a dollárt választva kulcsvalutának, arögzítés formulája:

v

Ft

DFt

D

ii

i

i

n1

1

0

0

1

1==

∑ (38)

azaz a tárgyidőszaki és a bázisidőszaki árfolyamok hányadosainak súlyozott átlaga 1 kell legyen. A(38) összefüggésből a tárgyidőszaki Ft/USD-árfolyamot kell kifejeznünk, a többi árfolyam már adó-dik a tárgyidőszaki keresztárfolyamokból.

v

FtDFt

D

Ft USDD USD

Ft

D

Ft

USDv

Ft

D

D

USD

ii

i

i

i

i

n

i

i

ii

n

i

n

1

1

0

0

1 1

1 1

0

0

1

1

1 0

0

1

1

11

11= =

= ==∑ ∑∑ =

Átosztással kapjuk a számtani átlag alapú kosárrögzítés képletét, amelyet 1991. december 19-e előtt aFt esetében is használtak:

Ft

USDv Ft

D

D

USD

ii

n

i

i

1

1

1 0

0

1

1

1

1=

=∑

(40)

10 Ez természetesen azóta már bekövetkezett. Az utóbbi évek fejleményeinek leírása a Közgazdaságtanimodulrészben található meg, az értékpapírszámtani fejezetben a valutakosarakra vonatkozó számítást azonbantovábbra is a forint példájával közöljük (a szerk.).

73





A keresztárfolyamokra:

Ft

USD

Ft

USD

D

USDi1

1

1

1

1

1

= :

50. a) példaLegyen a kosár fele euró, fele dollár, és a bázisidőszaki árfolyamok:1 USD = 1.5 EUR, valamint 1 USD = 75 Fta tárgyidőszaki keresztárfolyam:1 USD = 2.0 EUR.Milyen tárgyidőszaki Ft árfolyamok mellett nem változik a Ft árfolyamszintje?

Ft EUR

Ft

Ft USD

Ft

8571.42000.2

7143.85

7143.85

75

1

100

12

75

5.0

2*50

5.01

1

1

1

1

==

=

+

=

+

=

Látható, hogy a EUR-árfolyam csökkent (50 → 42.9), és a dollárárfolyam nőtt (75 → 85.7).Ha a kosár kizárólag dollárból állna, akkor a dollárárfolyam nem változna. (75), és a Ft job-ban erősödne a gyengülő EUR-hez képest (75/2=37.5).Ha a kosár kizárólag euróból állna, akkor a euróárfolyam nem változna. (50), és a Ft együttgyengülne a euróval a dollárhoz képest (50*2 = 100.0). Az eredményeket a (39) képletbe visszahelyettesítve:

USD EURBázis 50 75 Tárgy 42.8571 85.7143 Tárgy/bázis 42.8571/50= 85.7143/75=

0.8571 1.1429

0.5* 0.8571 + 0.5 * 1.1429 = 1

74





1991. december 19-e óta mértani átlagolással számolják ki Magyarországon a valutakosár alapján a va-lutaárfolyamot. A mértani átlagolás általános képlete:

i

USD

D

D

Ft

USD

Ft i

i

γ ∏ ⎥

⎦

⎤⎢

⎣

⎡=

1

1

0

0

1

1 (40a)

ahol γi hatványkitev ő az egyes valuták aránya.

A (40a) képlet konkrét formája a mai magyar kosárrögzítés esetére (figyelembe véve a csúszó leérté-kelést is):

( 10017.0

1

1

0

03.0

0

0

1

1 α +⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ =

USD

EUR

EUR

Ft

USD

Ft

USD

Ft ) (40b)

ahol a jelölések megegyeznek a korábbiakkal, és α a tárgynaphoz tartozó leértékelési mérték százalék-ban.

50. b) példa A bázisidőszaki Ft/EUR-árfolyam 108, az EUR/USD-árfolyam 1.824. A tárgyidőszakiEUR/USD-keresztárfolyam 1.830. Mekkora a tárgyidőszaki Ft/USD-árfolyam, ha a kosár-ban 30% dollár és 70% euró van?Ft/USD1 = (197)0.3 *(108 * 1.83)0.7 = 197.447

2. A HATÁRIDŐS DEVIZAÁRFOLYAMOK ÉS A KAMATPARITÁS

A határidős forint/dollár konverzió keretében jöv őbeni forintot váltunk át jöv őbeni dollárra a jelen-ben rögzített árfolyamon. Kétféleképpen tehetünk szert előre ismert árfolyamon 1 év múlva 1 dollár-ra.

a) prompt dollárvásárlás és dollárbetét-elhelyezés:

Ft0

USD0 USD1

75





b) Ft-betételhelyezés és határidős dollárvásárlás:

Ft0 Ft0

USD1

Az a) esetben nem kell most 1 dollárt vásárolni, elég 1/(1+r$t) dollárt, hiszen ez t idő alatt éppen 1dollárra kamatozódik fel.

A b) esetben ahhoz hogy lejáratkor F forinttal rendelkezzünk, elégséges, ha a jelenben F/(1+rFtt)forintunk van. Mivel mindkét esetben a lejáratkor végül is 1 dollárral rendelkezünk, a két megszerzésimód költsége azonos kell hogy legyen:

F

r t

S

r tFt1 1+ =

+ $

(41)

ahol S: a spot piaci árfolyam,F: a határidős árfolyam,rFt: a forintkamatláb,r$: a dollárkamatláb.

Ebből átrendezéssel kapjuk a határidős devizaárfolyam képletét:

F Sr t

r tFt=

+

+

1

1 $

(42)

51. példaLegyen S=200 Ft/USD, r$=8% és rFt=20% egy évre. Mennyi a féléves Ft/USD termin árfo-lyam?F = 200*1.10/1.04 = 211.538 HUF/USD

192.307 Ft0 211.538 Ft1

S F

0.9615 USD0 1.0000 USD1

Ahhoz, hogy határidőre 1 dollárunk legyen, nem kell most 1 dollárt vásárolni, csak1/1.04=0.9615-et. Ehhez 192.3 Ft kell. Az S=200 Ft/$ árfolyamban megfizetjük az időszak végén keletkező 0.08 $ kamatot is, az F árfolyamon a határidős vásárlással ezt nem kapjukmeg.

76





A (42) képletet úgy is értelmezhetjük, mint amelynek bal oldala egy tényleges (outright) határidős ügy-let, a jobb oldala egy szintetikus határidős ügylet. Ha a (42) képlet nem teljesülne, akkor arbitrázs-lehetőség keletkezne.


Ha a határidős árfolyam pl. 215 Ft/$ lenne, akkor érdemes lenne – 1 dollárt határidőre eladni, – 192.307 Ft hitelt felvenni, – ezt 0.9615 dollárra spot átváltani, – ezt dollárban kamatoztatni.Lejáratkor van 1 dollárunk a betétből és az érte kapott 215 Ft-ból törlesztés, és kamat címénkifizetünk 211.538 Ft-ot, a maradék a tiszta profit.Ha ellenkezőleg, a határidős árfolyam kisebb lenne, mint 211.538 Ft, akkor az előbbi 4 ügy-letet az ellenkező irányba megkötve jutnánk kockázatmentes profithoz.

A 3.23. ábra mutatja, hogy ugyanazon alapösszefüggésből miként állíthatók elő az egyszerű egyenlet-rendezés szabályait követve új megfogalmazásai a (41), illetve (42) képletnek.

HUFa) HUF HUF

=

0 01

USD1 USD USD0 1

HUFb) HUF

=

01

USD0

USD USD0 1

c) HUF HUFc)

=

1

USD1 USD USD0 1

HUF

0

USD1

1 Szintetikushatáridõsügylet

Szintetikusdollár betét

3.23. ábra

A 3.23. c) ábra jobb oldala egy dollár betét, a bal oldala egy forintbetéttel előállított szintetikus dollár-betét. Az ennek megfelelő képlet az ún. kamatparitás:

11

+ = +

r t Sr t

FFt

$ (43)

77





A kamatparitás nem a különböző devizanembeli kamatlábak szükségszerű azonosságát mondja ki, ha-nem azt, hogy a kamatláb-különbözetnek tükröződnie kell a termin és a prompt árfolyam százalékoseltérésében. Másképp fogalmazva: a külföldi befektetőt nemcsak a forintkamatláb érdekli, hanem aforint megszerzési és eladási árának viszonya, azaz a külföldi a (43) jobb oldala alapján számol. A (43)nem teljesülése esetén lép életbe a kamatarbitrázs: hitelfelvétel az egyik, hitelkihelyezés a másik devizá-

ban, kiegészítve az át- és visszaváltással. Ezek hiányában csak a két hitelmű velet nem ad zárt hurkot,nem arbitrázs az ügylet, hanem nyitott pozíciót kapunk.

HUF

USD

0

0 USD

1

HUF1

3.24. ábra A kamatarbitrázs

3. ÉRTÉKPAPÍROK HATÁRIDŐS (FORWARD) ÁRFOLYAMA

Az értékpapírok birtoklása jövedelmet (osztalék, kamat stb.) biztosít, amelyet vagy:a) abszolút összeg ben (Ft-ban, dollárban) adhatunk meg egy adott időszakra (részvény osztaléka, köt-

vény kamatszelvénye), vagyb) százalékos hozam formájában adhatunk meg (deviza kamatozása, részvényindex osztalékkifizeté-

sei).

A határidős árfolyam meghatározásakor most nem foglalkozunk a tárolási költségekkel, illetve azún. kényelmi hozammal, ami az azonnali felhasználhatóságból ered (long Brent olaj futures kötésselnem lehet elmenni a legközelebbi benzinkútig) – ezt a két tényezőt elsősorban az árucikkeknél (com-modity) nehéz figyelmen kívül hagyni.

Legyen:0 – a jelenlegi időpont,t – a határidős ügylet lejáratának időpontja (a t–0 különbséget években mérjük),S – az azonnali árfolyam,St – a lejáratkori prompt árfolyam,K – a határidős kötésben rögzített árfolyam (teljesítési árfolyam – delivery price): az ügylet megkö-

tésekori forward árfolyam, amin a forward ügylet végül is lebonyolódik majd,

F – a jelenlegi forward árfolyam,f – a forward ügylet értéke,q – a papír által a (0, t) időszakban biztosított jövedelmek százalékos hozama,r – a folytonos kamatláb a (0, t) időtartamra.

78





3.1. A határid ő s árfolyam nagysága a lejáratig adott összeg ű jövedelmet_biztosító papírra

Ha a jelenben megvesszük a papírt, akkor: – a jelenben S forintot kell fizetni, – a t időpontban rendelkezünk a papírral, – a t időpontig kapjuk a papírból eredő (osztalék, kamat stb.) jövedelmet. Jelölje ezek jelenértékét I.Ha határidőre vesszük meg a papírt, akkor: – az F forintba kerül, amely a t időpontban fizetendő, – a t időpontban rendelkezünk a papírral, – a t időpontig nem kapjuk a papírból eredő jövedelmet. A papír prompt megvásárlásával valójában két dolgot veszünk meg: – I forintért a t időpontig esedékes kifizetéseket, – S–I forintért a t időpont után esedékes kifizetéseket.

Az (S–I) értéket szokták korrigált prompt árfolyam nak is nevezni. Az (S–I) a t időpontbeli papír jelen-beni árfolyama, az F ugyanennek t időpontbeli árfolyama. Csak a fizetés időpontjában van különbség, így fenn kell állnia az

( )F S I e r t= − (44)

összefüggésnek. Hasonló eredményre jutunk, ha a következő két portfóliót tekintjük a 0 időpontban: A portfólió: egy long forward kötés + Ke –rt összeg ű pénzB portfólió: egy db papír, amelynek megvásárlásához I összeg ű hitelt vettünk fel. A lejáratkorra (t időpontra) az A portfólió pontosan 1 db akkori papírral lesz azonos, hiszen a Ke –rt

összeg ű pénz és a K határidős vásárlási szerződés birtokában biztos, hogy az akkori árfolyamtól füg-getlenül pontosan 1 papírunk lesz. A B portfólió is pontosan 1 db papír birtoklását jelenti lejáratkor,mivel az addigi jövedelmek révén visszafizetjük a tartozást. Így a két portfólió jelenértéke is azonos:

f K e S Irt+ =− − (45)

Innen a forward kötés értéke:

( ) ( )f S I K e F K ert rt= − − = −− − (45a)

Látható, hogy az az F határidős árfolyam, amelyet K helyébe helyettesítve az f értéke nullának adódik,megegyezik a (44) képlettel. A határidős ügylet megkötésének pillanatában a forward ügylet értéke zé-rus, ezért nem fizetnek egymásnak a partnerek. A forward ügylet hátralev ő időtartama alatt az f érté-ke pozitív, illetve negatív is lehet, a pillanatnyi árfolyamtól függ ően. (K az a rögzített árfolyam, aminmi kötöttük meg a határidős ügyletet, az F a mindenkori forward árfolyam.) A lejáratkor az f értéke aforward ügylet nyeresége/vesztesége, azaz a lejáratkori prompt árfolyam és az eredeti forward árfo-lyam (K) különbsége.

79





52. példa Adott egy 4 éves futamidejű kötvény, árfolyama 92%, névértéke 10,000 Ft, névleges kamat-lába 20%, félévenkénti kamatfizetéssel. (Ez 24.5% hozamnak felel meg.) Mennyi a 9 hóna-pos határidős árfolyama a kötvénynek, ha az 1 évnél rövidebb hitelek kamatlába évi 23%(ami 20.7% folytonos kamatlábnak felel meg), és a soron következő kamatfizetés fél év múl-

va esedékes?I= 1,000*e –0.5*0.207 = 901.68S–I= 9,200–901.68 = 8,298.32F= 8,298.32*e075*0.207 = 8,298.32*1.168 = 9,692.03

Mennyi ennek a forward kötésnek az értéke 3 hónap múlva, ha akkor a prompt árfolyamS=93%, és a kamatláb nem változik? Mekkora lesz ez esetben az akkori 6 hónapos forwardárfolyam?

I= 1,000*e –0.25*0.207 = 949.57S–I= 9,300–949.57 = 8,350.43F= 8,350.43*e0.5*0.207 = 8,350.43*1.109 = 9,261.01

f= 8,350.43 – 9,692.03*e –0.5*0.207 = 8,350.43 – 8,739.07 = –388.64 Azért vált negatív érték ű vé a forward értéke, mert a prompt árfolyam csak kevéssé emelke-dett. Ha 3 hónap múlva a prompt árfolyam

92*e0.25*0.207 = 96.89lenne, akkor az ehhez tartozó 6 hónapos forward árfolyam megegyezne az eredeti 9 hónaposforward árfolyammal, és a forward pozíció értéke továbbra is zérus lenne.Megjegyzendő, hogy a short forward pozíció értéke: +388.64

Általában a kötvényeket, részvényeket szokás úgy kezelni, mint amelyek előre ismert összeg ű jövedel-met biztosítanak a határidős ügylet lejáratáig. A devizákat és a részvényindexet szokás úgy tekinteni,

mint amelyek folyamatos jövedelmet biztosítanak (az indexben szereplő sokféle részvény osztalékfi-zetése időben szétszóródott), és inkább százalékos nagyságukkal, mint abszolút öszszegükkel számol-hatunk.

3.2. A határid ő s árfolyam nagysága a lejáratig adott százalékos hozamú_(q) jövedelmet biztosító pa- pírra

Tekintsük a két következő portfóliót a 0 időpontban: A portfólió: egy long forward kötés + Ke –rt összeg ű pénz,B portfólió: e –qt db papír, és a folyamatosan realizált jövedelmet folyamatosan a papírba fektetjük.

Láttuk, hogy lejáratkorra (t időpontra) az A portfólió pontosan 1 db akkori papírral lesz azonos. AB portfólió is pontosan 1 db papír birtoklását jelenti lejáratkor, mivel az addigi folyamatos újrabefek-tetés révén az állomány eqt-szeresére növekszik (ezért választottuk az induló állományt e-qt nagyságú-nak). Így a két portfólió jelenértéke is azonos:

f K e Sert qt+ =− − (45b)

Innen a forward kötés értéke:

80





( )f Se K e F K eqt rt rt= − = −− − − (45c)

a határidős árfolyam pedig:

( )

F Ser q t

= −

(44a)

Ha az I=0 illetve a q=0, azaz az értékpapír a határidőig nem biztosít jövedelmet, akkor a (44) és (44a)egyaránt az

F Se rt= (44b)

formulára egyszerűsödik: ekkor a határidős ügylet csak annyit jelent, hogy később fizetünk, és annyi- val többet, amilyen mértékben a bankban kamatozna a pénzünk.

A devizák esetén a q helyébe a külföldi, az r helyébe a belföldi kamatlábat helyettesítve a kamatpa-ritás összefüggését kapjuk, így erre most nem hozunk újabb példát.

4. A HATÁRIDŐS ÁRFOLYAM ÉS A VÁRHATÓ JÖV ŐBENI PROMPT ÁRFOLYAM

Első lépésben tekintsünk el a lejáratig esedékes jövedelmektől (I=0). A kockázatos eszközök árfolya-ma ekkor várhatóan az elvárt hozam nagyságának megfelelően nő. Legyen ennek nagysága k. A jelen-beni prompt árfolyam és a határidős árfolyam a kockázatmentes hozamnak (r) megfelelő százalékkaltér el egymástól, a jelenbeni prompt árfolyam és a jöv őbeni várható prompt árfolyam pedig a kocká-zatos hozamnak ( k ) megfelelő százalékkal.

53. példa Valamely részvény árfolyama 60 $. Az elkövetkező fél éven belül nem fizet osztalékot. A

részvény elvárt névleges hozama évi 20%. Mennyi a 6 hónapos termin árfolyama, ha a ka-matláb évi 10%?F = 60*1.05 = 63 $ Mennyi a fél év múlva várható azonnali árfolyama?S1 = 60*1.10 = 66 $ Felvetődik a kérdés, hogy nincs-e 3 dollárnyi arbitrázslehetőség?Nincs, mert a részvényvásárlás + a short forward kockázatmentes befektetés (ismerjük a vé-telárat és az eladási árat) hozama csak a kockázatmentes kamatláb lehet. A részvényvásárlás + a lejáratkori azonnali árfolyamon való eladás viszont kockázatos befek-tetés. Míg a 63 fix szám, addig a 66 lehet akár 56 vagy 76 is.

Mennyi a forward árfolyam és a lejáratkorra várható prompt árfolyam, ha a részvény fél évmúlva 1 $ osztalékot fizet? A 60 dollárnyi befektetés féléves kockázatmentes hozama ekkor is 3 $ kell hogy legyen, arészvény kockázatának megfelelő befektetés pedig 6 $. Mivel ebből 1 $ az osztalék, az árfo-lyamnyereség 2 $, illetve várhatóan 5 $ kell hogy legyen.F = 60*1.05–1 = 63–1 = 62 $ S1 = 60*1.10–1 = 66–1 = 65 $

81







Látható, hogy a különbség az ismeretlen 1r2 és az ismert 1f 2 használatából ered.

54. példaLegyen az 1 éves kamatláb 20%, a 2 éves 24%. Mi a célszerű befektetési stratégia a rövid, il-letve hosszabb távra befektetőnek, ha a második évre várható 1 éves kamatláb magasabb, il-

letve alacsonyabb, mint a határidős kamatláb? A kamatparitás alapján a határidős kamatláb a második évre 28.1%.Legyen a második évre várható 1 éves kamatláb 29%. Az 1 évre befektet ő az első év végén a várhatóan magas kamatláb miatt csak alacsony árfolyamon tudja majd eladni a kétéves köt- vényét, így eredő hozama alacsony: 1.24*1.24/1.29–1= 19.2%. Ha a várható kamatláb ala-csonyabb, mint a határidős kamatláb, mondjuk 27%, akkor érdemes az első évben a kétéveskötvényt birtokolni, mert az év végén várhatóan jó áron lehet majd eladni: 1.24*1.24/1.27– 1= 21.1%. Az 1 éves kötvény alternatíva 20% hozamot biztosít mindkét esetben. A két évre befektető akkor választja a kétéves kötvény helyett a két egymást követő 1 éveskötvényt, ha a második évre várható kamatláb nagyobb, mint a határidős kamatláb.

1.20*1.281 = 1.24*1.24 = 1.538, azaz évi 24.0% hozam1.20*1.290 = 1.548, azaz évi 24.4% hozam1.20*1.270 = 1.524, azaz évi 23.5% hozam

A hosszabb távra befektető akkor fog rövid lejáratú kötvényt vásárolni, ha a jöv őbeni várható kamat-láb magasabb, mint a határidős kamatláb.

A rövid távra befektető akkor fog hosszú lejáratú kötvényt vásárolni, ha a jöv őbeni várható kamat-láb alacsonyabb, mint a határidős kamatláb.

Mindkét esetben a jöv őbeni kamatláb alkalmas viszonyítási értéke a határidős kamatláb. A kamat-paritást ez esetben arra használtuk, hogy segítségével kifejezhessük az 1f 2 értékét, ami az 1r2-vel köz-

vetlenül összehasonlítható formában tartalmazza az r1-ben és r2-ben rejlő információt. Az ún. várakozási elmélet szerint a hozamgörbe alakjából a rövid lejáratú kamatláb jöv őbeni alakulá-sára lehet következtetni. Az érvelés két láncszeme:

1) A különböző lejáratú kamatlábakból kiszámítható a határidős kamatláb.2) A határidős kamatláb a jöv őbeni prompt kamatláb előrejelzése.

Az emelkedő hozamgörbéből ez alapján a rövid kamatláb jöv őbeni emelkedése olvasható ki. Afordított állású hozamgörbéből számított határidős kamatláb kisebb a jelenlegi rövid kamatlábnál, ígya jöv őbeni kamatláb is várhatóan kisebb lesz. Ezzel a logikával egybeesik az a magyarázat, hogy ha azinfláció csak átmenetileg nő meg, akkor a rövid kamatlábak nagyobbakká válnak a hosszú kamatlá-baknál – hiszen ez utóbbiakba nem épül bele a teljes futamidőre a jelenlegi kamatszint –, és együtt jára rövid kamatlábak várható visszaesése a fordított állású hozamgörbével. A vízszintes hozamgörbe akamatlábak változatlanságát jelzi előre.

83





6. A HOZAMGÖRBE KISZÁMÍTÁSA KÖTVÉNYADATOKBÓL

55. példa Adott 6 kötvény árfolyama: három kötvény névleges kamatlába 10%, a másik háromé 20%.

Futamidejük rendre 1, 2, 3 év. Árfolyamaik:

Futamidő 10% 20%

1 év 93.220 101.6952 év 83.606 98.9113 év 75.882 96.694

Ez alapján a hozamaik (IRR):

Futamidő 10% 20%

1 év 18.0% 18.0%2 év 20.8% 20.7%3 év 21.8% 21.6%

Vízszintes hozamgörbe esetén mind a 6 hozam azonos lenne. Akármilyen meglepőnek istűnhet, ez a 6 árfolyam, illetve hozam konzisztens. Kérdés, miként állapítható meg, hogy mi-lyen hozamgörbét tükröznek?Először a 3 éves kamatlábat határozzuk meg. 2 db 10%-os szelvény ű kötvény az első 2 év-ben azonos 1 db 20%-os szelvény ű kötvénnyel, a 3. évben pedig 100-zal több a cash flow-elem. Az árkülönbözet ennek a 3. évbeli 100 Ft-nak az ára:

2*75.882–96.694 = 55.070(100/55.070)1/3 = 1.8161/3 = 1.220 Azaz a 3 éves kamatláb 22%. Hasonlóan a 2 éves kamatláb:2*83.606–98.911 = 68.301(100/68.301)1/2 = 1.4641/2 = 1.210 Azaz a 2 éves kamatláb 21%. Az 1 éves kamatláb 18%. Könnyen utána lehet számolni, hogy a 18%, 21%, 22% sorozatból álló hozamgörbével disz-kontálva a 6 kötvényt, pont a fenti árfolyamokat kapjuk.

Amennyiben elfogadjuk, hogy a számpéldában szereplő 3 éves kamatláb egyensúlyban van a 2 éveskamatlábbal – azaz egyformán jó befektetés 2 évre befektetni 21% mellett, illetve 3 évre a 22% mel-lett –, akkor csak látszatra ígér magasabb hozamot a 10% szelvény ű 3 éves kötvény, mint a 20% név-leges kamatozású. A köztük lev ő 0.2% hozamtöbblet az eltérő durationből adódik: a kisebb névlegeskamatozású papír átlagos futamideje valamivel hosszabb, a hozamtöbblet ez esetben kizárólag ebbőlfakad, a két kötvénybefektetés egyformán jó. Az IRR alapján való sorolás ez esetben is félrevezető.

84





55. példa (folytatás) A 3 éves futamidőre a 75.882, illetve 96.694 árfolyamok a 10%, illetve 20% szelvény ű köt- vényre azonos hozamgörbét tükröznek. (Az IRR-mutatók 21.8%, illetve 21.6%.)Ha a 20% szelvény ű papír árfolyama kisebb lenne, mint az egyensúlyi érték (96.694 helyettmondjuk 96.690), akkor egyértelműen ez jobb befektetés, de az IRR mutatója még mindig

alatta maradna a 10% szelvény űnek.


1. Mennyi a határidős árfolyama a féléves dollárnak, ha a prompt árfolyam 100 Ft, a Ft-kamatláb 6hónapra évi 24%, a dollárkamatláb 8%?a) 100*1.24/1.08

b) 100*1.12/1.04c) 100*1.08/1.24d) 100*1.04/1.12

2. Mit tenne, ha a dollár azonnali árfolyama decemberben 197.11 HUF/USD lenne, 25%-os éves ka-mat mellett forinthitelt, 6.5%-os kamat mellett dollárhitelt vehetne fel, és ugyanilyen kamatlábakmellett hitelt is nyújthatna, és a tőzsdén a júniusi dollár-futures éppen 216.5 HUF/USD-árfolya-mon állna?

a) Forintban hat hónapos hitelt venne föl 25%-os éves kamat mellett, a spot piacon átváltaná dol-

lárra, dollárban kihelyezné 6 hónapra évi 6.5%-os kamat mellett, és a dollárját határidőre eladnáforint ellenében a tőzsdén.b) Nem tenne semmit, ez a határidős árfolyam egyensúlyinak tekinthető.c) Dollárban hat hónapos hitelt venne föl 6.5%-os kamatlábra, majd ezt befektetné forintban egyazonnali átváltást követően 25%-os kamatláb mellett.d) Forintját átváltaná dollárra, és várná a forint leértékelését, hiszen a kamatkülönbözet ezt indo-kolja.

3. Önnek néhány hónap múlva várhatóan 10 MFt körüli összeg ű bevétele lesz, és ezt az összegetszeretné kb. 1 évre befektetni úgy, hogy már most pontosan ismerje befektetése hozamát. Az aláb-

biak közül mit tehet?

a) Nem tehet semmit.b) A BÉT-en a bevétel várható időpontjára eső lejáratra 10 kötésnyi long pozíciót nyithat állam-kötvényre.c) A BÉT-en a bevétel várható időpontjára eső lejáratra 10 kötésnyi short pozíciót nyithat állam-kötvényre.d) A BÉT-en egyéves lejáratra 10 kötésnyi short pozíciót nyit államkötvényre.

85





4. Mennyi a 9 hónap múlva kibocsátandó 3 hónapos diszkont kincstárjegy határidős árfolyama, ha az1 éves kamatláb 24%, a 9 hónapos hitelek kamatlába is évi 24%?

a) 100

b) 100/1.24c) 100/1.18d) 118/1.24

5. A 12% névleges kamatozású, 20 év futamidejű államkötvényre szóló jöv ő decemberi futures árfo-lyam 90%, miközben most decemberben e kötvény prompt árfolyama 88%. Mennyi a pénzpiaconaz egyéves fontkamatláb, ha nincs arbitrázslehetőség?

a) 2.27%b) 15.91%

c) 14.27%d) 3.91%

HELYES VÁLASZOK: 1 – b, 2 – a, 3 – b, 4 – d, 5 – b

86





V I I I . O P C I Ó K Á R A Z Á S A

A váltók és kötvények árazásánál az id ő , a részvényeknél ezen túlmenően a kockázat megfelelő méréseés figyelembevétele játszotta a f őszerepet. Az opciók vásárlásával feltételes jövedelmekre teszünkszert, mivel az opció értéke az opció tárgyának értékétől függ. A határidős ügyletek értéke ugyanúgy ahatáridős ügylet tárgyának árfolyamától függ. Ezért szokták a határidős, opciós és az egyéb hasonlóügyleteket származtatott (derivatív) ügyletek nek nevezni. A

– biztos jöv őbeni, – bizonytalan jöv őbeni, – feltételes jöv őbeni

jövedelmeknél más és más szerepet játszik a kockázat. A biztos jöv őbeni jövedelmeknél (kötvény) el-tekintettünk a kockázattól. A részvénynél sok forrásból eredt a kockázat, ezek a diverzifikációvalcsökkenthetők voltak, kivéve a gazdaság egészének működéséből fakadó szisztematikus kockázatot.

A származékos ügyleteknél – a jelen könyvben tárgyalt eseteknél – egyetlen forrása van a kockázat-nak, és ez a származékos ügylet tárgyának árfolyamából fakad. Innen ered – amint azt hamarosan lát-ni fogjuk –, hogy ezekben az esetekben a kockázat nemcsak csökkenthető, hanem megfelelő arány-ban párosítva az opció tárgyát és az opciós pozíciót, a kockázat meg is szüntethető, így a diszkontá-láshoz a kockázatmentes kamatláb használható. Előbb azonban lássuk az opciókkal kapcsolatos alap-fogalmakat.

1. VÉTELI ÉS ELADÁSI OPCIÓ

A vételi opció (call option) olyan kétoldalú ügylet, amelyben az egyik fél az opciós díj (option premium)jelenbeni megfizetése fejében jogot szerez arra, hogy egy meghatározott jöv őbeni napon valamely ter-

mék megadott mennyiségét előre megállapított árfolyamon, az ún. kötési árfolyamon (exercise price,strike price) megvehesse. Az opciós ügylet másik résztvev őjét, aki a díj ellenében kötelezettséget vállal,az opció kiírójá nak (writer) nevezik. A vételi opció sémája:

díj (C)jogosult ⎯⎯⎯→ kötelezett

(kiíró) vásárolhat E árf.-on el kell adnia E árf.-on

Az opció tárgya (underlying asset) lehet pénzügyi termék is: deviza, értékpapír, arany, részvényindex, il-letve ezekre szóló határidős pozíció is.

Az opció lehívásá nak (exercise) nevezik, ha az opció jogosultja él a jogával. Európai nak nevezik azolyan opciókat, amelyeket csak a lejárat napján lehet lehívni, amerikai nak azokat, amelyeket a lejáratig bármikor le lehet hívni. Lejárat után már nem lehet lehívni az opciót.

Az eladási opció nál ( put option) a jogosult a díj ellenében arra szerez jogot, hogy lejáratkor a kötésiárfolyamon adhassa el az opció tárgyául szolgáló árut az opció kiírójának.

Bevett szóhasználat, hogy a jogosult long (hosszú), a kötelezett short (rövid) pozícióban van az opci-ós piacon azzal összefüggésben, hogy maga az opció is lehet adásvétel tárgya (traded options).

87





LC: long call = vételi jogSC: short call = eladási kötelezettségLP: long put = eladási jogSP: short put = vételi kötelezettség

A vételi opció vev ője vásárolhat , az eladási opció kiírója köteles vásárolni a kötési áron. Az előbbire a kö-tési árnál magasabb, az utóbbira a kötési árnál alacsonyabb prompt árfolyam mellett kerül sor.

Amennyiben a lejárati napon a prompt (azonnali) árfolyam vételi opciónál alacsonyabb, illetve el-adási opciónál magasabb, mint a kötési árfolyam, akkor a vételi opció jogosultja nem köteles vásárol-ni, az eladási opció jogosultja pedig eladni a kötési árfolyamon. Ez döntő különbség az opciós (régimagyar elnevezéssel: díjügylet ) és a határidős (forward vagy futures) ügylet között: utóbbinál ugyanis alejáratkori prompt árfolyamtól függetlenül megtörténik az adásvétel, emiatt viszont nincs is díjfizetésegyik fél részéről sem a másiknak az ügyletkötéskor. A várakozások változása miatti kereslet-kínálatingadozás a határidős piacokon a határidős árfolyam változásában jelentkezik. Az opciós ügyleteknéla kötési árfolyamok rögzítettek, itt az opció vásárlója által fizetett díj, a prémium nagyságának válto-

zása hozza összhangba a keresletet a kínálattal. Tőzsdén kívül tetszőleges kötési árfolyamra lehet ügyletet kötni. Az opciós tőzsdéken is egyszerretöbb (jellemzően 5) kötési árfolyamot jegyeznek, amelyek egyenlő lépésközökben növekedve fogják közreaz aktuális prompt árfolyamot. Ha a prompt árfolyam drasztikusan elmozdul, akkor új kötési árfolya-mot vesznek fel a listára. Attól függ ően, hogy a jelenlegi árfolyam mellett a jelenben nyereséggel, veszteséggel vagy hozzávetőlegesen zérus eredménnyel lehetne érvényesíteni az opciós jogot, beszél-nek:

– ITM : in-the-money, – OTM : out-of-the-money, – ATM : at-the-money

opcióról. Tehát egy opció ITM, ha vételi opció esetén a kötési árfolyam alacsonyabb (eladási opciónálpedig magasabb), mint a pillanatnyi prompt árfolyam. Az OTM-opció díja nyilván kisebb, mint azITM-opcióé. OTM-opciót azért vásárolnak, mert ha az árfolyam kellő mértékben javul (vételi opció-nál ha nő, eladási opciónál ha csökken), akkor a jogot az adott kötési árfolyam mellett is nyereségesenlehet érvényesíteni. Ennek a reménynek a beteljesüléséhez viszont idő kell.

88





2. AZ OPCIÓK ÉRTÉKE LEJÁRATKOR

Az opciók értékelésének előfeltétele, hogy tudjuk, mennyit érnek a lejáratkor, hiszen a lejárat előtt –az opciós ügylet megkötésekor – az opció lejáratkori értékét adjuk-vesszük, ezt kell tudni beárazni.

A kötési árfolyamot E-vel, a call-ért fizetett díjat C -vel, a put-ért fizetett díjat P -vel jelöljük a to-

vábbiakban. A pillanatnyi árfolyam jele S (vagy S 0 ), a lejáratkori prompt árfolyam S 1.

56. példaLegyen az ABC részvény árfolyama S=56 $. A úr fizet B úrnak 400 $-t, hogy 1 év múlva ve-hessen tőle 100 darab ABC részvényt darabonként E=55 $-ért. Mennyi az opciós díj? Mitörténik a lejáratkori prompt árfolyam különböző értékeinél?C = 400/100 = 4 $/db A vételi opció lehívás nélkül jár le:

Árfolyam$

Opcióértéke

Jogosultnyeresége

Kiírónyeresége

45 0 -4 450 0 -4 455 0 -4 4

Élve a vételi joggal:

Árfolyam$

Opcióértéke

Jogosultnyeresége

Kiírónyeresége

60 5 1 -165 10 6 -670 15 11 -11

A táblázatban a nyereség/veszteség számok 1 db részvényre vonatkoznak, így 100-zal szor-zandók. Ezenfelül még korrigálni kell a fizetett díjra jutó kamattal.Ha a kamatláb r=10%, akkor a táblázatban a jogosultnál mindenhol le kell vonni, a kötele-zettnél hozzá kell adni darabonként 0.4 $-t a feltüntetett értékekhez.S1=70, r=10% esetén tehát a jogosultárfolyamnyeresége: 100*15fizetett díja: 100*4ennek kamata: 100*0.4

összesen: 100*(15 – 4.4)=1,060 $ a teljes nyeresége.

A 3.25. ábra a call és a put opció értékét , a 3.26. ábra az opciós pozíciók nyereségét mutatja a lejáratkoriprompt árfolyam függvényében. A 3.27. a) ábra a vételi jog révén elérhető vásárlási , a 3.27. b) ábra azeladási jog révén elérhető eladási árakat ábrázolja, a lejáratkori prompt árfolyam függvényében, ösz-szevetve a jöv őbeni prompt piaci, illetve határidős piaci ügyletekkel.

89





V t r

E

E

E

E

S

S

S

S

eli opci t ke Eladási opció értéke

Longcall Longput

Short call Short put

Vételi opció értéke

3.25. ábra A call és put opció értéke

Megjegyzendő, hogy az opció értéke sohasem negatív, mert nem kötelező lehívni.

Longcall nyeres ge

E ES S

E

S

E

S

Longput nyereségeLong call nyeresége

Short call n gyeres e Short put nyereségeShort call nyeresége

3.26. ábra Az opciós pozíciók nyereségfüggvénye

Akármennyi is a lejáratkori prompt árfolyam, a jogosult maximális vesztesége a fizetett díj . Ennyi a kiíró

maximális nyeresége. A nyereségküszöb (break even) – ahol sem a jogosult, sem a kötelezett nem nyer és nem veszít – ott van, ahol az árfolyamnyereség megegyezik a fizetett díj felkamatoztatott értékével. Vételi jognál:

S1 –E = C(1+rt) azaz S1 = E+C(1+rt)

Eladási jog nyereségküszöbe:

90





E–S1 = P(1+rt) azaz S1 = E–P(1+rt)

V tel r

S

E=F

E+C

C

c

a

b

Eladási ár

S

E=FE-P

ca

b

E=F E=F

Vételár

3.27. a) ábra 3.27. b) ábra Vételár call opcióval (a), határ- Eladási ár put opcióval (a), határ-

idős (b) és jöv őbeni prompt ügylettel (c) idős (b) és jöv őbeni prompt ügylettel (c)

A 3.27. ábrákról látható, hogy az opciós ügylettel szinte mindig a legjobb árhoz közeli árat érhetjük el,akár magas, akár alacsony a lejáratkori prompt árfolyam, és akár vételről, akár eladásról van szó. En-nek a széles tartományon érvényesül ő biztonság nak viszont ára van: nincsen olyan lejáratkori prompt árfo-lyam, amely mellett az opciós ügylettel lebonyolított vásárlás vagy eladás lenne a legjobb megoldás.

3. OPCIÓS ALGEBRA

Hasznos jelölést vezetünk be, hogy az összetett opciós pozíciókkal is könnyen lehessen számolni.

LC: (0,1) (E)

Jelentése: a jobb oldali zárójelben megadjuk az opció kötési árfolyamát, a bal oldali zárójelben az op-ciós pozíció lejáratkori nyereségfüggvényének meredekségét a töréspont előtt és után. 3 db E=60-askötési árfolyamú vételi jog esetén ennek értelmezése:

3 LC60: (0,3) (60)

Ha lejáratkor az árfolyam pl. 50 $, akkor nem nyerünk többet vagy kevesebbet, ha az árfolyam egy-ségnyivel nagyobb vagy kisebb lenne, ellenben ha 60 $ fölött van, akkor 1 $ árfolyam-növekedés a

prompt árfolyamban 3 $ többletnyereséget jelent az opciós pozícióban.Ha egyértelmű, hogy éppen milyen kötési árfolyamra gondolunk, akkor a jobb oldali zárójelet el ishagyhatjuk. A négy opciós alappozíció nyereségfüggvényének meredekségei lejáratkor:

vételi jog LC: (0, 1)eladási kötelezettség SC: (0,-1)eladási jog LP: (–1, 0) vételi kötelezettség SP: (1, 0)

91





Ha különböző kötési árfolyamú opciókat akarunk együtt kezelni, akkor nem spórolhatjuk meg a jobboldali zárójelet, mivel a

LC60: (0,1,1) (60,70)LC70: (0,0,1) (60,70)

felírás mutatja, hogy különböző kötési árfolyamú vételi jogok nyereségfüggvényeinek eltérő helyeken van a töréspontja.

Amennyiben több kötési árfolyam is szerepel egyidejűleg, akkor változhat egyazon pozíció felírásimódja:

LC60: (0,1)(60) = (0,1,1) (60,70) = (0,0,1) (50,60)

57. példaElő lehet-e állítani put opciókból is azt az eredő pozíciót, amit 60-as long call és 70-es shortcall jelent?

LC60: (0,1,1) (60,70)SC70: (0,0,–1) (60,70)

(0,1,0) (60,70)Ugyanez put opciókból:LP60: (–1,0,0) (60,70)SP70: (1,1,0) (60,70)

(0,1,0) (60,70)

Ezzel a pozícióval a későbbiekben mint függ ő leges különbözet (vertical spread) pozícióval találkozunk.

4. A FUTURES MINT ÖSSZETETT OPCIÓ Az európai opciókra vonatkozó következő összefüggés alapvető fontosságú:LC: (0,1) vételi jogSP: (1,0) vételi kötelezettségLF: (1,1) vétel határidőn

azaz:

long futures = long call + short put

Ez alapján beárazhatjuk a put opciókat:

long put = long call + short futures

azaz az eladási jog (LP) olyan határidős eladás, amelytől visszaléphetünk, tehát egy biztos (feltétel nél-küli) határidős eladás (SF) és egy vételi jog (LC) együttese.

92





5. PARITÁSOK ÉS ARBITRÁZS AZ OPCIÓS PIACOKON

1) A put-call paritás azon alapul, hogy egy vételi jog és egy vételi kötelezettség együttesével szinteti-kusan előállítható egy long futures. Emiatt létezik arbitrázslehetőség a piaci futures és a szintetikusfutures között: például határidőre vásárolunk (mindenképpen!) az opciós piacon, és az ezzel egyidejű-

leg létesített short futures révén eladunk a futures piacon.Egy E kötési árfolyamú (devizára vagy hitelügyletre vonatkozó) európai call opció vétele és egy

ugyancsak E kötési árfolyamú európai put eladása biztos, E árfolyamon történő vásárlást jelent lejá-ratkor. Ha a lejáratkori prompt árfolyam (S1 ) nagyobb a kötési árfolyamnál, akkor mi érvényesítjük acall opciónkat, ellenkező esetben velünk szemben használják fel a kiírt put opciót. Ugyanerre az idő-pontra futures ügylettel F árfolyamon eladva a szóban forgó instrumentumot, F–E bevételünk lesz alejáratkor. Befektetésünk a jelenben a vásárolt és kiírt opciók prémiumának a különbözete: C–P. Ebefektetésünk kockázatmentes, így profitunk a kamatlábnak megfelelő lehet csak:

( ) (F E C P rt− = − +1 ) (46)

A (46) összefüggést put-call paritás nak nevezik, mert megadja az európai vételi és az európai eladásiopció prémiumának egyensúlyi viszonyát. Eszerint az azonos (E) kötési árfolyamú vételi és eladásiopció díja akkor egyezik meg egymással, ha a futures piaci árfolyam (az adott határnapra vonatkozó-an) megegyezik ezzel a kötési árfolyammal.

58. példaMi a teendő, ha egy papír futures árfolyama F=121 Ft, a vételi opció díja C=13 Ft, az eladásiopció díja P=5 Ft, a kötési árfolyam E=110 Ft, a kamatláb 1 évre 10%, az opció lejárata 1

év? Mennyi pénzt lehet keresni 100 db papírra szóló opcióval lebonyolított arbitrázzsal? Most: 1) Veszünk 100 db vételi jogot: 1,300 Ft kiadás.2) Kiírunk 100 db eladási jogot: 500 Ft bevétel.3) Felveszünk 800 Ft hitelt 10%-ra.4) 100 db-ra vonatkozó short futures pozíciót hozunk létre.1 év múlva: 1) Vagy mi élünk a vételi joggal, vagy velünk szemben élnek az eladási joggal: vásárolunk 100db papírt, kiadásunk 11,000 Ft.2) Leszállítjuk a 100 papírt a futures piacon, bevételünk 12,100 Ft.

3) Visszafizetjük a hitelt (800), és megfizetjük a kamatot (80), kiadásunk 880 Ft. Tiszta nyereségünk: 12,100–11,000–880 = 220 Ft.

2) A konverzió (nem azonos a devizakonverzióval) szintén az európai put és call díjának egymáshoz való viszonyát adja meg, azonban az opciós és a prompt piac közötti arbitrázs alapján. Ha egy prompt vá-sárlást opciós határidős eladással párosítunk (short call + long put + long prompt), akkor költségünka jelenben a pillanatnyi prompt árfolyam (S0 ) és a vásárolt, illetve kiírt opciók prémiumának az össze-ge: S0+P–C.

93





Bevételünk határidőn E, függetlenül az akkori prompt árfolyamtól (S1 ). Így:

( )( E rt C PS ×+−+ 10 ) (47)

59. példa

Mi a teendő, ha egy papír prompt árfolyama S=100 Ft, a vételi opció díja C=18 Ft, az eladásiopció díja P=6 Ft, a kötési árfolyam E=110 Ft, a kamatláb 1 évre 10%, az opció lejárata 1év? Mennyi pénzt lehet keresni 100 db papírra szóló opcióval lebonyolított arbitrázzsal? Most: 1) Veszünk 100 db papírt: 10,000 Ft kiadás.2) Kiírunk 100 db vételi jogot: 1,800 Ft bevétel.3) Veszünk 100 db eladási jogot: 600 Ft kiadás.4) Felveszünk 8,800 Ft hitelt 10%-ra.1 év múlva: 1) Vagy mi élünk az eladási joggal, vagy velünk szemben élnek a vételi joggal: eladunk 100

db papírt, bevételünk 11,000 Ft.2) Visszafizetjük a hitelt (8,800), és megfizetjük a kamatot (880), kiadásunk 9,680 Ft. Tiszta nyereségünk: 11,000–9,680 = 1,320 Ft.

3) A box ügylet a különböz ő kötési árfolyamú , de azonos időpontra vonatkozó európai opciók közötti ar- bitrázs ügylet. Amennyiben határidőre opciók segítségével X kötési árfolyamon vásárolunk (longcall+short put) és Y kötési árfolyamon eladunk (short call+long put), a prémiumköltség (az általunkés nekünk fizetett díjak egyenlege) a jelenben Cx –Px –Cy +Py . A bevétel határidőn: Y–X. Mivel nincsárfolyamkockázat:

( ) ( )C P C P rt Y Xx x y y− − + + = −1 (48)

Mind a három, opciókkal kapcsolatos arbitrázsra (opció-futures, opció-prompt, opció-opció) jellem-ző, hogy nem egyetlen opciós ügyletre, hanem mindig egy azonos kötési árfolyamú vételi és eladásiopciós ügyletpárra vonatkoznak annak érdekében, hogy a jöv őbeli árfolyamtól való függetlenség bizto-sítva legyen.

60. példaMi a teendő, ha a kamatláb 1 évre 10%, a 75 Ft-on való vételi jog ára 19 Ft, a 100 Ft-on való

vételi jogé pedig 9 Ft, a 75 Ft-on való eladási jog díja 2 Ft, a 100-on való eladásé 11 Ft? Azopciók lejárata 1 év. Mennyi pénzt lehet keresni 100 db papírra szóló opcióval lebonyolítottarbitrázzsal? Most: 1) Veszünk 100 db vételi jogot 75-ön: 1,900 Ft kiadás.2) Kiírunk 100 db eladási jogot 75-ön: 200 Ft bevétel.3) Kiírunk 100 db vételi jogot 100-on: 900 Ft bevétel

94





4) Veszünk 100 db eladási jogot 100-on: 1,100 Ft kiadás.5) Felveszünk 1,900 Ft hitelt 10%-ra.1 év múlva: 1) Vagy mi élünk a 75 Ft-os vétel jogával, vagy nekünk adnak el 75 Ft-on: vásárolunk 100 dbpapírt, kiadásunk 7,500 Ft.

2) Vagy mi élünk a 100 Ft-on való eladási joggal, vagy velünk szemben érvényesítik a vételijogukat: eladunk 100 db papírt, bevételünk 10,000 Ft.3) Visszafizetjük a hitelt (1,900), és megfizetjük a kamatot (190), kiadásunk 2,090 Ft. Tiszta nyereségünk: 10,000–7,500–2,090 = 410 Ft.

6. ÖSSZETETT OPCIÓS POZÍCIÓK

Mielőtt bemutatnánk a több opcióból álló pozíciókat, nézzük meg, miként fest egymás mellett két kü-lönböző kötési árfolyamú call, illetve put opció.

3.28. ábra

50, illetve 70 kötési árfolyamú opciók

Látható, hogy a magasabb kötési árfolyamú call díja kisebb, a put díja viszont nagyobb, mint a kisebbkötési árfolyamhoz tartozó call, illetve put opció díja‚ természetesen azonos alapterméket és azonoslejáratot feltételezve.

61. példaLegyen az E1=50-es kötési árfolyamú call opció díja C50=8, az E2=70-es call opció díjaC70=3. Milyen lejáratkori prompt árfolyam mellett lesz a két stratégia nyeresége azonos?Ha lejáratkor az árfolyam 50 alatt van, akkor egyik opciót sem hívják le, mindkettő vesztesé-

ges. Az 50-es opció vesztesége 8, ami 5-tel több, mint a másik. Az 50-70-es árfolyamtarto-mányon a 70-es opció vesztesége változatlanul 3, az 50-es opció vesztesége viszont minden1 Ft-nyi árfolyam-emelkedésnél 1 Ft-ot javul. Az 55-ös árfolyamnál az 5 egységnyi árfolyam-nyereség pont kiegyenlíti a díjtöbbletet, így az 55-ös árfolyamnál egyezik meg a két opciósstratégia nyereségfüggvénye. (Vizuálisan úgy is okoskodhatunk, hogy az alsó görbe egységnyimeredekség ű szakaszán 5 egységet kell jobbra menni ahhoz, hogy 5 egységgel feljebb jus-sunk – tehát az árfolyamnak 5-tel kell meghaladnia az 50-es értéket.)

95





A 3.29. ábra mutatja, hogy miként változik meg a call nyereségprofilja, ha többet veszünk belőle (haönmagával kombináljuk).

3.29. ábra Az LC50 és a 3 LC50 nyereségfüggvényei

Ezek után nézzük meg azokat a nevezetesebb összetett pozíciókat, amelyek kizárólag opciókból épül-nek fel. Ezeket két alapvető csoportba szokták sorolni:

– különbözeti (spread) stratégiák, amelyek kizárólag call, vagy kizárólag put opciókból állnak, vala-mint – kombinációk, amelyekben szerepel call és put opció is.

A különbözet (spread) esetén az eltérés a szóban forgó opciók között vagy – a kötési árfolyamok (függ őleges különbözet – vertikális spread), vagy – a lejáratok (vízszintes különbözet – horizontális spread, más néven calendar spread), vagy – a kötési árfolyam és a lejárat (átlós különbözet – diagonális spread) között van. A függ őleges különbözet nyeresége a lejáratkori árfolyam függvényében vagy növekv ő (bull

spread), vagy csökkenő (bear spread). Két függ őleges különbözet különbözete a másodrendű diffe-

rencia, mű vésznevén butterfly (pillangó).

1. Növekv ő különbözet: LC50 + SC70 (0, 1, 1) (50,70)(0, 0,–1) (50,70)

(Elsőrendű vertikális spread) (0, 1, 0) (50,70)

2. Pillangó: LC50 + 2 SC70 + LC90 (0, 1, 1, 1) (50,70,90)(0, 0,–2,–2) (50,70,90)(0, 0, 0, 1) (50,70,90)

(Másodrendű vertikális spread) (0, 1,–1, 0) (50,70,90)

3. Vízszintes különbözet: SC50 JUN + LC50 SEPT

4. Átlós különbözet: SC50 JUN + LC70 SEPT

96





Ugyanez put opciókból felépítve:

1. Növekv ő különbözet: LP50 + SP70 (–1, 0, 0) (50,70)( 1, 1, 0) (50,70)( 0, 1, 0) (50,70)

2. Pillangó: LP50 + 2 SP70 + LP90 (–1, 0, 0, 0) (50,70,90)( 2, 2, 0, 0) (50,70,90)(–1,–1,–1,0) (50,70,90)( 0, 1,–1, 0) (50,70,90)

3. Vízszintes különbözet: SP50 JUN + LP50 SEPT

4. Átlós különbözet: SP50 JUN + LP70 SEPT

A pillangóról egyszerűen belátható, hogy két szomszédos különbözet különbözete. Figyelembe véve,hogy LC = –SC:

LP50 + 2 SP70 + LP90 = (LP50 + SP70 ) – (LP70 + SP90 )

Ezeket az ügyleteket természetesen az ellenkező irányba is meg lehet kötni. Így például a növekv ő kü-lönbözet (bull spread) megfordítása a csökkenő különbözet (bear spread). Ezek nyereségfüggvényeiegyszerűen a vízszintes tengelyre való tükrözéssel nyerhetők.

Csökkenő különbözet: SC50 + LC70 (0,–1,–1) (50,70)(0, 0, 1) (50,70)(0,–1, 0) (50,70)

A növekv ő különbözet kifizetés- és nyereségfüggvénye:árfolyam LC1 SC2 összesen nyereség

St < E1 0 0 0 - C1+C2

E1 < St < E2 St - E1 0 St - E1 St - E1 - C1+C2

E2 < St St - E1 E2 - St E2 - E1 E2 - E1 - C1+C2

97





3.30. ábraFügg őleges különbözetek (vertikális spreadek) nyereségei

a lejáratkori árfolyam függvényében

62. példaLegyen az E1=50-es kötési árfolyamú call opció díja C50=8, az E2=70-es call opció díja

C70=3. Milyen lejáratkori prompt árfolyam mellett lesz a növekv ő különbözeti stratégia nye-resége zérus? Mekkora a maximális veszteség, illetve nyereség? A fizetett díj: 8–3 = 5. A maximális veszteség 5 Ft, ha St<50.Ha St>70, akkor 20 egységnyi árfolyamnyereségünk lesz: mi vásárolhatunk 50-es, tőlünk vá-sárolhatnak 70-es árfolyamon. A maximális nyereség 20–5 = 15 Ft, ha St>70.Ha az árfolyam 50 és 70 között van, nyereségünk:St –50–5 = St –55Ez akkor nulla, ha St=55, így ez a nyereségküszöb.

A nevezetesebb kombinációk :

1. Szintetikus long futures: vételi jog + vételi kötelezettségLC50 + SP50 (0,1) (50)

(1,0) (50)(1,1) (50)

2. Straddle (terpesz): vételi jog (E1 ) + eladási jog (E1 )LC50 + LP50 ( 0,1) (50)

(–1,0) (50)(–1,1) (50)

3. Strangle (széles terpesz): vételi jog (E2 ) + eladási jog (E1 )LC70 + LP50 ( 0,0,1) (50,70)

(–1,0,0) (50,70)(–1,0,1) (50,70)

98





4. Strip LC50 + 2 LP50 ( 0,1) (50)(–2,0) (50)(–2,1) (50)

5. Strap 2 LC50 + LP50 ( 0,2) (50)

(–1,0) (50)(–1,2) (50)

A strangle olyan straddle, ahol nem esik egybe a két kötési árfolyam, a strip és a strap pedig aszim-metrikus straddle. Természetesen ezeket a kombinációkat is meg lehet kötni ellenkező irányba. A terpesz kifizetés- és nyereségfüggvénye:

árfolyam LC LP összesen nyereségSt < E 0 E - St 0 E - St -C-PE < St St - E 0 St - E St - E -C-P

Nyereség

S50

E

b) Terpesz(straddle) (-1,1)

Nyeres g

S50

F

a) Szintetikuslongfutures(1,1)

Nyeres g

S50

c) Sz lesterpesz (strangle)(-1,0,1)

Nyeres g

S50

d)Strip (-2,1)

Nyereség

S50

e) Strap(-1,2)

70

NyereségNyereség

3.31. ábra A kombinációk nyereségei a lejáratkori

árfolyam függvényében

63. példaLegyen az E=50-es kötési árfolyamú call opció díja C=8, az ugyancsak E=50-es put opciódíja P=2 Ft. Milyen lejáratkori prompt árfolyam mellett lesz a terpesz stratégia nyeresége zé-rus? Mekkora a maximális veszteség, illetve nyereség ? A fizetett díj: 8+2 = 10.

99





A maximális veszteség 10 Ft, ha St=50.Ha St<50, akkor élhetünk az 50-es árfolyamon való eladás jogával, ebben az irányban akkora legnagyobb a nyereségünk, ha a lejáratkori árfolyam (közel) zérus. Árfolyamnyereségünk50, össznyereségünk 50–10=40.Ha St>50, akkor élhetünk az 50-es árfolyamon való vétel jogával, ebben az irányban a poten-

ciális nyereségünk korlátlan. A nyereségküszöbök: 50+10 = 60, illetve 50–10 = 40.

7. A BINOMIÁLIS OPCIÓÉRTÉKELÉS

A részvényekre szóló európai call opció értékének meghatározásakor eltekintünk a tranzakciós költségek-től, az adóktól, az esetleges piaci tökéletlenségektől, illetve az opció időtartama alatti osztalékfizetés-ből származó bonyodalmaktól. Az árfolyam-alakulást úgy kezeljük, ahogyan a részvények időbeni ala-kulásával foglalkozó pontban leírtuk: minél tovább tekintünk előre, annál nagyobb lehet az eltérés ajelenlegi árfolyamtól a folyamatos kis árfolyamváltozások eredőjeként. Az illusztráció kedvéért most

is felnagyított változásokkal dolgozunk.Legyen valamely részvény prompt árfolyama S=100 Ft. Az elkövetkező időszak végére az árfolyam

vagy 200 Ft, vagy 50 Ft. Mennyi annak a vételi jognak az értéke, amely 1 év múlva az E =110 árfolya-mon való vásárlási jogot biztosítja számunkra, feltéve, hogy a kamatláb évi r=25%?

Az opció lejáratkori értéke 200–110 = 90 Ft vagy nulla:

2001 (901 )

1000

501 (01 )

Az opció vásárlás tehát a következő befektetést jelenti:

200-110 901

C azaz C0

0 01

Az opció által ígért kifizetéshez (pay-off) hasonlatossá tehetjük a részvénybefektetést, ha részben hi-telből vásároljuk meg a részvényt. Ha annyi hitelt veszünk fel, hogy 1 év múlva a lejáratkor kamattalegyütt pont 50 Ft-ot (a részvény jöv őbeni lehetséges alsó értékét) kelljen visszafizetni, akkor most sa-ját zsebből 50/1.25 = 40 Ft-tal kevesebbet kell fizetni a részvényért.

100





A 40 Ft hitellel történ ő részvényvásárlás a következő befektetést jelenti:

200-50 1501

100-40 azaz 600

50-50 01

Ez a befektetés pontosan ugyanakkor ér 150-et, amikor az opció 90-et, és akkor 0-t, amikor az opcióis. Ha nem egy részvényt veszünk, hanem csak

delta = ∆ = (90–0)/(150–0) = 0.6

darabot (azaz pl. egy 100 db részvényre szóló opciós pozíciót egy 60 db-os részben hitelből vásároltrészvénybefektetéssel vetünk egybe), akkor a két befektetés azonos:

200-110 0.6*(200-50)

C = 0.6*(100-40)

0 0.6*(50-50)

azaz

901 901

C0 azaz 360 01 01

Következésképpen C0 = 36 Ft, azaz a vételi jog értéke 36 Ft.Ezt a vételi jogot úgy sikerült beárazni, hogy: – megfelelő nagyságú hitelfelvétellel és – a vásárlandó részvények számának alkalmas megválasztásával

lemásoltuk, szintetikusan előállítottuk a vételi jog által ígért lejáratkori pozíciót. Ezután azt használtukfel, hogy azonos termékeknek az ára azonos.

Írjuk fel általánosan is a követett eljárást. Az alkalmazott jelölések:Cu = a vételi jog értéke lejáratkor, ha az árfolyam emelkedett (up),Cd = a vételi jog értéke lejáratkor, ha az árfolyam csökkent (down),B = az 1 db részvény vásárlásához igénybe vett hitel,∆ = delta: az 1 db opció előállításához szükséges részvények száma.Definíciószerűen:Cu = max(uS–E, 0) és Cd = max(dS–E, 0).

101





Az árfolyam emelkedésének valószínűségét q -val jelölve, a két befektetés egyezőségéből meghatá-rozható a két ismeretlen.

Cu ∆uS-∆B(1+rt)q q

C = ∆(S-B)

1-q 1-qCd ∆dS-∆B(1+rt)

A lejáratkori értékek egyezősége alapján:Cu = ∆uS - ∆B(1+rt)Cd = ∆dS - ∆B(1+rt)

amelyet ∆-ra és B-re megoldva:

( )∆ =

−−

=+

−−

C C

u d SB

S

rt

C d C u

C Cu d u d

u d1

képleteket kapjuk. Ezek segítségével felírhatjuk a vételi jog értékét a jelenértékek egyezősége alapján:

( )( ) ( )

( ) [ ]( )( ) ( )

C S BC C

u d

C d C u

rt u d

rt d C u rt C

rt u du d u d u d

= − = −

− −

−

+ − =

+ − + − +

+ −∆

1

1 1

1

Felelevenítve a részvényeknél a kockázatérzéketlen befektetőkkel kapcsolatban bevezetett (37) jelö-

lést:

( ) ( ) p

rt d

u d p

u r

u d=

+ −

− − =

− +

−

11

1 t

A vételi jog értéke képletszerűen:

( )C

p C p C

rtu=

+ −

+

1

1d

(49)

ami nem más, mint az opció várható lejáratkori értékének jelenértéke, a várható értéket olyan súlyozással szá-molva, amely a kockázatos befektetéseknek is a kockázatmentes kamatlábbal egyező hozamot bizto-sít.

A formula sajátossága, hogy: – nem szerepel benne a q , az árfolyam-emelkedés előre adott nagysága, csak a számított p, amit va-

lószínűségként értelmezhetünk [l. a (37) levezetését]; – nem játszik benne szerepet a befektetők kockázati preferenciája, így a kockázatmentes kamatlá-

bat használhatjuk.

102





Számpéldánkban a vételi jog díja hitelfelvétellel számolva:

( )C =

− −

− −⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠⎟ = =

200 110 0

200 50100

50

1250 6 60 36*

.. *

A vételi jog díja az ún. kockázatérzéketlen módszerrel számolva:

p C= −

− = =

+= =

125 50

200 500 5

0 5 90 0 5 0

125

45

1 2536.

. * . *

. .

Nézzük meg, hogyan módosul az előző számszerű eredmény, ha nem a vételi, hanem az eladási jogértékére vagyunk kíváncsiak, illetve ha más a kötési árfolyam, valamint ha több periódusra kiterjedő opciónk van.

64. példa E=110-es eladási jog díjaMennyi az E=110-es kötési árfolyamú eladási jog díja (P), ha t=1, u=2, S=100, r=25%?

Pu= 0 Pd= 110–50 = 60 p=(125–50)/(200–50)=0.5P= (0.5*60+0)/1.25 = 24.0

65. példa E=125-ös vételi jog díjaMennyi az E=125-ös kötési árfolyamú vételi jog díja, ha t=1, u=2, S=100, r=25%?Cu= 200–125 = 75 Cd= 0 p=(200–125)/(200–50)=0.5c= (0.5*75+0)/1.25 = 30.0

Ha több periódusra szól az opció , akkor az opció lejáratkori lehetséges értékeitől lépésről lépésre visszafelé haladva kell értékelni az opciós jogot.

66. példa 2 éves E=80-as vételi jog díjaMennyi az E=80-as kötési árfolyamú vételi jog díja, ha t=2, u=2, S=100, r=25%? A részvényárfolyamok és az opció értéke az egyes időszakok végén:0. 1. 2. 0. 1. 2. év

400 Cuu = 320 200 Cu=?

100 100 C=? Cud = 20 50 Cd=?

25 Cdd = 0

Mivel p = (125–50)/(200–50) = 0.5ezért az opciók értéke az 1. év végén:Cu = (0.5*320+0.5*20)/1.25 = 136Cd = 0.5*20/1.25 = 8

103





0. 1. 2. 0. 1. 2. év400 Cuu= 320

200 Cu =136 100 100 C=? Cud = 20

50 Cd = 8

25 Cdd = 0

Innen az opció értéke a 0. évben:C = (0.5*136+0.5*8)/1.25 = 57.6

Hasonlítsuk össze a részvényvásárlást mint befektetést a vételiopció-vásárlással a t=2 éves periódus-ra:

Befektetés1 db részvénybe: 1 db opcióba:

400 320

200 136 100 100 57.6 20

50 8 25 0

100 Ft befektetéserészvénybe: vételi opcióba:

400 555.6 200 236.1

100 100 100.0 34.7

50 13.9 25 0.0

Mindkét befektetés várható hozama a kamatlábbal egyező évi 25%, de az opció esetén sokkal na-gyobb szórással. (Számpéldánkban a részvényvásárlásnál 25% a valószínűsége, hogy veszítünk, az op-cióvásárlásnál ez 75% – igaz, ha nyerünk, akkor többet.)

104





8. A BLACK–SCHOLES-KÉPLET

Ha tovább folytatjuk az előző gondolatmenetet, és kellően sok (rövid, kis árfolyam-elmozdulásokkalbíró) periódust veszünk figyelembe, akkor az árfolyamok lehetséges értékei lognormális eloszlást kö- vetnek (3.32. a) ábra).

S r s g

rfolyam

Nyereség

S

a) A b) Nyereségek ésveszteségek azopcióspozíción

lej ratkori rfolyamokeloszl sa

-- - -- --- ---

-- -++

+

++

+

+

+

+

Sűrűség

A lejáratkori árfolyamok

eloszlása

3.32. ábra

Az S1 különböző értékeinek valószínűségével (3.32. a) ábra) súlyozva a hozzájuk tartozó opciós pozí-ciós nyereség nagyságát, a 3.32. b) ábrán a vízszintes tengely alatti területnek meg kell egyeznie a ten-gely feletti területtel.

Mint láttuk, a vételi opció értékét meghatározó tényezők (közvetlenül, vagy a Cu, Cd, p értékeken

keresztül): – az árfolyam (S), – a kötési árfolyam (E), – a kamatláb (r), – a lejáratig hátralev ő idő (t), – a részvényárfolyam változékonysága (u). A folytonos modellben egyrészt az e –rt formájú diszkontálás a szokásos az 1/(1+rt) helyett, így a

kötési árfolyam jelenértékét a

PV(E) = Ee –rt ≠ E/(1+rt)

módon számoljuk és jelöljük, másrészt az árfolyam változékonyságát (u) is átszámítjuk a folytonoskamatozással számított éves hozam szórására ( σ ) az alábbi képlettel:

( ) t euamegfordítvut

σ σ == ,ln

ahol t a periódus hossza az év törtrészében kifejezve.

105







A 3.33. ábrán a jelenlegi árfolyam S=450. Az S1=520-as árfolyam egy adott (pl. 95%-os) valószínűsé-gi szinten elképzelhetetlen 1 hónapon belül, de könynyen lehetséges mondjuk 4 hónap múlva. Ha na-gyobb az árfolyam volatilitása (szaggatott vonal), akkor ez az árfolyam már jóval hamarább is reálislehet.

Az opció értéke az árfolyam adott szintje mellett végül is két dologtól függ:

– mennyire kedvező a kötési árfolyam a pillanatnyi árfolyamhoz viszonyítva: S és az Ee –rt viszonya, – mennyire változékony az árfolyam: σ2t.

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

20.000

40.000

60.000

80.000

100.000

120.000

a) b)

3.34. ábra Árfolyam, kötési árfolyam, volatilitás

A 3.34. a) ábrán látható vételi jogért az eddigi tapasztalatok alapján semmit nem érdemes adni, a b)esetben már van esély. Az a) ábrán vagy a kötési árfolyam túl magas, vagy a volatilitás túl kicsi.

A vételi jog értékét megadó képlet, amelyet Black és Scholes vezetett le 1973-ban:

( ) ( ) ( ) ( )C S t S N d PV E N d, = −1 2 (50)

ahol:

( )( )d

S PV E

tt1 0 5= +

ln.

σ σ

( )( )d

S PV E

tt2 0 5= −

ln.

σ σ

és az N(x) függvény a standard normális eloszlás eloszlásfüggvénye.

68. példaLegyen t=1, r=22.31%, S=100, E=110 és σ=0.693.(Ez a folytonos megfelelője az eredeti példánknak, amellyel a binomiális modellt illusztráltuk:az u=2 helyett van most a σ=0.693 feltétel. Ott C=36 volt az eredmény.)

σ t = 0.693 PV(E) = 110/e0.2231 = 88d1 = 0.5310 d2 = –0.1620N(d1 ) = 0.7023 N(d2 ) = 0.4357C(100,1) = 100*0.7023 – 88*0.4357 = 70.2–38.3 = 31.9

Amennyiben a részvény változékonysága kicsi ( σ2t kicsi), de az S/PV(E)>1, akkor a d1 és d2 értékenagyon nagy, azaz az N(d1 ) és az N(d2 ) értéke 1-hez tart. Ekkor a formula:

107





( )C S PV E= − (50a)

aminek, ha mindkét oldalát megszorozzuk ert-vel, akkor azt kapjuk, hogy: – lejáratkor az árfolyam Sert, aminek oka, hogy a σ=0 esetben a részvény is kockázatmentes befek-

tetés, amelynek hozama r, és mivel kizártuk ez idő alatt az osztalék fizetését, ezért az árfolyam-nö- vekedésnek r hozamot kell biztosítania, – az árfolyamnyereség Sert –E (itt játszik szerepet az S/PV(E) > 1 feltevés, tehát az opciót le lehethívni), és – a fizetett opciós díj felkamatozódott értéke meg kell hogy egyezzen a lejáratkori árfolyamnyere-séggel.

Az (50a) tehát egy kockázatmentes esetet ír le. A kockázat figyelembevétele az N(d1 ) és N(d2 ) együtt-hatókat rendeli a két tényezőhöz az (50) képletben. Az (50) formulában is megmarad az opció értéke-lésének a binomiális modellben levezetett tulajdonsága, hogy az:

opciós díj = delta db részvény vásárlása: N(d1 )S – a hitelfelvét: N(d2 ) PV(E)

Az N(d1 ) értéke tehát a delta, azaz az opció értékének változása a prompt árfolyam változásánakfüggvényében, és ezzel összefüggésben az 1 db opció előállításához szükséges részvények száma.

A call értékét 3 tényezőcsoport határozza meg: S, PV(E), σ t , ezt azonban nem lehet jól táblá-zatba foglalni. A C helyett a C/S értéket már igen, így a C-t a C= (C/S)*S módon számíthatjuk ki,ahol a C/S értéket az OP- (Option Price) táblázatból kaphatjuk. Az oldalrovatban a σ t értékek, azoszloprovatban az S/PV(E) értékek szerepelnek.

Nézzük meg, hogy mi a jellemző opciós díj egy átlagos részvényre egy 3 hónapos, illetve egy 1 éves vételi jog esetén. Az amerikai részvényekre több mint 60 év átlagában a σ=21% a jellemző érték. Le-

gyen az árfolyam és kötési árfolyam jelenértéke azonos, ekkor azt kapjuk, hogy a szóban forgó opci-ók értéke 4%-a, illetve 8%-a a pillanatnyi árfolyamnak. Ezeket az orientációs értékeket vastagon szed-tük a 3.4. táblázatban.

σ t S/PV(E)C/S 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.600.00 0.0 0.0 0.0 0.0 16.7 28.6 37.50.05 0.0 0.0 0.0 2.0 16.7 28.6 37.50.10 0.0 0.0 0.0 4.0 16.8 28.6 37.50.20 0.0 0.0 1.5 8.0 18.5 28.9 37.50.30 0.0 0.7 4.4 11.9 21.2 30.2 38.1

0.40 0.2 2.4 8.0 15.9 24.3 32.3 39.30.50 1.0 5.1 11.8 19.7 27.6 34.8 41.11.00 14.3 23.6 31.6 38.3 44.0 48.8 52.92.00 52.5 59.7 64.6 68.3 71.1 73.4 75.33.00 79.5 82.9 85.1 86.6 87.8 88.8 89.54.00 92.9 94.2 94.9 95.4 95.8 96.2 96.4

3.4. táblázat: Az OP ( σ t , S/PV(E)) értékek: C/S százalékok A táblázat bal felső része nulla, jobb alsó része 100% körüli értékkel van tele, hiszen:

108





- ha kicsi az árfolyamváltozékonyság a hátralev ő időben (a kicsi σ, vagy a kicsi t okán), akkor azOTM opció reménytelen;

- ha nagy a változás lehetősége, akkor még OTM opciónál is (ITM-nél meg f őképp) majdnemannyit fizetünk az opcióért, mint a részvényért. Ehhez gondoljuk meg, mit jelent a σ t =1érték: az átlagos részvénynél σ=0.2, tehát a t=25 év, ami nagyon hosszú opció vagy rövidebb

opciónál arányosan nagyobb a volatilitás. Az első sor a σ t =0 eset, ahol nincs bizonytalanság: az 1.6-os oszlophoz tartozó érték (37.5%) úgyállhat elő például, hogy:

- akármekkora σ mellett zérus a t értéke, azaz lejáratkor az S=100-as árfolyam mellett a kötésiárfolyam E=62.5 (mivel 100/62.5=1.6), tehát a vételi jog értéke C=100-62.5=37.5, vagy

- a szórás zérus ( σ=0), és például egy év van hátra (t=1), a kamatláb 20% (r=0.2) és a kötésiárfolyam 75 (E=75). Ekkor a kötési árfolyam jelenértéke PV(E)=62.5. A 37.5 Ft-os opciós díjkét részre oszlik: (100-75) 25 Ft, hogy olcsóbban vehetjük a részvényt, 12.5 Ft pedig hogynem most, hanem csak 1 év múlva kell kifizetni a kötési árfolyamot.

Az opció értékét két részre szokták bontani: belső értékre és időértékre. A bels ő érték: ha a jelenlegi

árfolyam mellett érvényesíthetnénk az opciónkat, mekkora lenne az árfolyamnyereség. A belső értéknem lehet negatív: az OTM opciók belső értéke zérus. Az id ő érték: az opciós díj és a belső értékkülönbsége. Két hatásból tev ődik össze: egyrészt az árfolyam esetleges javulásából, másrészt azopcióban lev ő hitelügyletből (az E-t csak lejáratkor kell kifizetni).

Az opci rt ke

Idõ

Azopci rt ke Az opció értéke Az opció értéke

S

3.35. ábra 3.36. ábra

C(S) - Az opció értéke a prompt C (t) - Az opció értékének időbeliárfolyam függvényében alakulása

9. DELTA, GAMMA, THETA, VEGA, RHO

Delta: az opció értékének változása a prompt árfolyam függvényében. (Hány egységnyivel nő az opcióértéke, ha egységnyivel nő a jelenlegi prompt árfolyam.)Theta: az opció értékének változása az id ő (time) függvényében.Vega: az opció értékének változása a volatilitás függvényében.Rho: az opció értékének változása a kamatláb (r) függvényében.Gamma: a delta értékének változása a prompt árfolyam függvényében. (A delta deltája.)

109





A call opció esetén a delta pozitív és 1-nél kisebb. OTM esetén nullánál valamivel nagyobb, az ATM esetén 1/2 körüli, és minél inkább ITM az opció, annál jobban közelít 1-hez a delta. Ebbőleredően az erősen OTM és az erősen ITM opciók esetén viszonylag kicsi a delta változása, az ATMesetén nagyobb.

A 3.37. a) ábrán az érintők meredeksége jelzi a delta nagyságát.

Az opci rt ke

S

Gamma

S

OTM ATM

ITM

Az opció értéke

3.37. a) ábra 3.37. b) ábra Az OTM, ATM és ITM A gamma értéke a prompt

delták nagysága árfolyam függvényében

Az opció értéke egyre gyorsuló ütemben csökken, ahogy az opció közeledik a lejárathoz, mivel aBlack-Scholes képletben az idő négyzetgyökös formában szerepel. A theta értékét a 3.38. ábrán azérintők jelzik.

Az opció értéke

t

3.38. ábra

A theta változása az idôfüggvényében

10. WARRANTOK

A warrantok (opciós utalványok) olyan részvényekre (ritkábban vállalati kötvényekre) szóló vételi opciók,amelyeket a vállalat bocsátott ki . Többnyire vállalati kötvénykibocsátások járulékos eleme arészvénywarrantok (részvényutalványok) kibocsátása. Abban különböznek a szokványos opcióktól,hogy:

110





a) kibocsátásuk megnöveli a saját tőke nagyságát a warrantokért kapott összeggel, ezáltal változikaz egy részvényre jutó saját tőke érték is;b) lehívásuk megnöveli a forgalomban lev ő részvények számát és a saját tőke nagyságát;c) ha kibocsátásuk vállalati kötvénykibocsátással együtt történik, akkor ez utóbbi megváltoztatja arészvények kockázatát (hozamának szórását) - mivel megváltozik a forrásszerkezet.

A warrantok árazásánál ezt a három korrekciót kell figyelembe venni a szokásos opció értékeléshezképest.11

11. ÁTVÁLTHATÓ KÖTVÉNYEK 12

Az átváltható kötvény tulajdonosa választhat, hogy kötvényesként kamatfizetések sorozatára éstörlesztésre tart igényt, vagy papírját meghatározott számú részvényre váltja át.

Az 1 db kötvényért kapható részvények számát átváltási arány nak (conversion ratio, CR ) nevezik.Ennek tükörképe, hogy 1 db részvényért hány dollár névértéknyi kötvényről kell lemondani, ez azösszeg az átváltási árfolyam (conversion price, CP).

Mivel az amerikai gyakorlatban a kötvények szokásos címlete az 1,000 $-os névérték, az átváltásiárfolyam és az átváltási arány közötti összefüggés:

( ) ( )

( )CP db

CR db$

, $=

1000

69. példaEgy átváltható kötvény névértéke 1,000 $, piaci árfolyama 800 $, és 40 db részvényre váltható át. Az átváltási árfolyam 1,000/40=25 $, azaz 1 db részvényért 25 $ névértéknyi kötvényt kell adni.

Mivel a kötvény árfolyama 800 $, ezért a részvényekhez darabonként 20 $-ért lehet hozzájutni azátváltható kötvényen keresztül.

Az átváltási érték (conversion value, CV) az átváltható kötvény részvénykénti értéke, azaz az átváltásutáni értéke a pillanatnyi részvény árfolyamon értékelve.

A kötvényérték (bond value BV) nem más, mint a sima (átváltási opció nélküli) kötvénykénti érték.

69. példa (folytatás)Ha az előző példában a részvény árfolyam S=18 $, akkor az átváltási érték CV=40*18=720 $Ha az átváltási opció nélkül a kötvény (a névleges kamatlába és futamideje alapján) BV=680 $-t

érne, akkor minden egyes átváltható kötvényben 800-680=120 $-t kell fizetni az átváltásiopcióért. Ez 1 db részvényre átszámítva C=120/40=3 $ opciós díjat jelent.

11 Részletesebben lásd: Brealey-Myers: Modern Vállalati Pénzügyek 25. fejezet.12 Ezen értékpapírfajtát az 1988. évi VI. törvény átváltoztatható kötvény néven definiálja. Ezt a két fogalmat - azaz

az átváltható és az átváltoztatható kötvényt - ebben a fejezetben szinonímaként használjuk.

111





Külön figyelmet érdemel az a számított részvényárfolyam érték, amelynél a kötvénykénti értékmegegyezik a részvénykénti értékkel.

Számpéldánkban CV=BV, ha S = 680/40 = 17 $. Természetesen sem az átváltható kötvény tulajdonos, sem a warrant birtokosa nem jogosult a

részvény osztalékára, amíg nem élt a részvényvásárlási jogával. Az átváltható kötvény átváltása esetén

ugyanúgy nő a kibocsátott részvények száma, mint a warrant lehívásakor. Lényeges különbség a kétinstrumentum között, hogy a warrant esetében a kötési árfolyam pénzben fizetendő, az átválthatókötvénynél a kötési árfolyam az átváltási árfolyam, a vételár kötvényben fizetendő, ahol a kötvénytnévértéken fogadják el. A másik különbség, hogy a warrant kibocsátással kombinált kötvénykibocsátás esetén a kötvény és a warrant külön is forgalmazható, az átváltható kötvény azonbanegyidejűleg testesíti meg a kötvényt és a vásárlási jogot.

Az átváltható kötvény értéke legalább akkora kell, hogy legyen, mint a részvénykénti illetvekötvénykénti értéke közül a nagyobbik. (Hogy a kötvénykénti értéknél nagyobbnak kell lennie, azcsak annyit jelent, hogy az átváltási opció értéke nem lehet negatív.) A részvénykénti illetvekötvénykénti érték egymáshoz való viszonyát legcélszerűbben a vállalat értékének a függvényében

vizsgálhatjuk. Először az átváltható kötvények lejáratának időpontjában határozzuk meg e papírokminimális értékét, majd a lejárat előtt.

70. példa Tegyük fel, hogy egy vállalatnak 3 millió db részvénye és 50,000 db átváltható kötvénye vanforgalomban. Utóbbiak névértéke 1,000 $, és az átváltási árfolyam 25 $. Tegyük fel, hogy a vállalatnak nincs egyéb adóssága és az átváltható kötvények 1 év múlva járnak le.Mivel a kötvények együttes névértéke 50 millió dollár, a vállalat értékének legalább ekkoránakkell lennie lejáratkor, hogy a kötvényeket névértéken lehessen törleszteni. (3.39. a) ábra) Amennyiben a kötvényeket átváltják, akkor 2 millió új részvény kerül forgalomba. Egy részvény

értéke a vállalat értékének 5 milliomod része, egy átváltott kötvény értéke ennek 40-szerese.(3.39. b) ábra) Akkor fog egy kötvény az átváltás után 1,000 dollárt érni, ha a részvények árfolyama 25 $, azaz a vállalat értéke 125 millió dollár. Efölött az érték fölött érdemes konvertálni (3.39. c) ábra). Az50-125 millió $ vállalatérték tartomány az, ahol a kötvényesek jogai nem csorbulnak, megkapjáka névértéknek megfelelő törlesztést. Az 50 millió alatti tartományban is jobban járnakkötvényesként (bár nem kapják meg a teljes névértéket), mivel nem osztoznak a részvényesekkel.Lejárat előtt a kötvénykénti érték kisebb a 3.39. a) ábrán lev őnél, hiszen kötvényesként vételikötelezettségük van a vállalat eszközeire, és ez az opció 50 millió alatti vállalati értéknél ITMopció. A részvénykénti értéket nem befolyásolja, hogy lejárat előtt vagyunk, így a 3.39. b) és a

3.40. b) egyenesek azonos helyzetűek. A 3.40. c) ábra az átváltható kötvény minimális (bels

ő )értékét mutatja lejárat előtt.

Erre jön rá a részvényvásárlási opció időértéke, és ez adja meg az átváltható kötvény értékét a vállalat pillanatnyi értékének a függvényében (3.41. ábra).

112





V llalatrt ke

$

Vállalatértéke

$

Vállalatértéke

$

50 12550

12550

a) b)

c)

50 50

50

Vállalat

értéke

3.39. ábraKötvénykénti érték (a), részvénykénti érték (b) és az átváltható

kötvény értéke (c) lejáratkor

V llalatrt ke

$

Vállalatértéke

$

Vállalatértéke

$

50 12550

12550

a) b)

c)

50 50

50

Vállalat

értéke

3.40. ábra: Kötvénykénti érték (a), részvénykénti érték (b), és az átváltható kötvényminimális (belső ) értéke (c) lejárat előtt

Vállalatértéke

$

1 2 55 0

Alsó korlát

3.41. ábra: Az átváltható kötvény értéke lejárat előtt

113






1. Az alábbi pozíciók közül melyikben a legalacsonyabb az opció időértékének aránya az opció belső

értékéhez képest?

a) ATMb) ITM közel a kötési árfolyamhozc) OTM nagyon messze a kötési árfolyamtóld) ITM nagyon messze a kötési árfolyamtól

2. Ön eladási opciót szeretne kötni egy részvényre. Hogyan tudna eladási opciót szintetikusan, a put-call paritás alapján előállítani?

a) vételi jogot venni, részvényt venni, hitelt kockázatmentesen felvennib) vételi jogot venni, kockázatmentesen befektetni, részvényt vennic) vételi jogot venni, kockázatmentesen befektetni, részvényt eladnid) vételi jogot eladni, kockázatmentesen befektetni, részvényt eladni

3. Mit jelent egy short put + long call pozíció (azonos lejáratot, terméket és kötési árfolyamot feltéte-lezve)?

a) vételi jogb) vételi kötelezettségc) vétel határidőred) eladás határidőre

4. Ön 80 Ft díj mellett egy év lejáratra amerikai típusú put opciót vásárolt. A prompt árfolyam 300Ft, a kötési árfolyam 280 Ft. A lejárat napján végül is az árfolyam 260 Ft volt. A kamatköltségektőleltekinthet. Előzetes várakozása szerint hol volt a nyereségküszöbe?

a) 220 Ftb) 200 Ftc) 360 Ftd) 380 Ft

114





5. Vételi opciót vett 50 Ft-ért a Z. részvényre. A Z. részvény pillanatnyi árfolyama 500 Ft, az opciókötési árfolyama 520 Ft. Lejáratkor a piaci árfolyam 540 Ft lett. Hány forinttal változott az opcióbelső értéke a vásárlástól a lejáratig?

a) 40 Ft-tal nőtt

b) 50 Ft-tal nőttc) 20 Ft-tal nőttd) 10 Ft-tal csökkent

HELYES VÁLASZOK: 1– d, 2 – c, 3 – c, 4 – b, 5 – c


Documents

Tozsdei Szakvizsga Felkeszito Ertekpapirszamtani Modul