UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANOFACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

1º TRABAJO ENCARGADOTEMA: EJERCICIOS PROPUESTOS CINEMATICA DE PARTICULAS

CURSO DINAMICA

PRESENTADO POR:

QUISPE MALMA, Paul Roger………… 130821 LUQUE QUISPE, Luis Ángel………….. 130381

DOCENTE: Ing. DARWIN QUENTA FLORES

FECHA: 05/10/15

Puno-2015

Problemas Harry Nara

2.1. Una partícula se mueve sobre la curva y=htan (kx ) , z=0, donde h y k son constantes. Si y= yo es una constante, hallar la aceleración de la partícula.

SOLUCION

DATOS

Ecuación de la trayectoria: y=htan (kx )… (1) h, k y y= yo son constantes, entonces y=0 z=0, entonces z=0 a= x i+ y j+ z k (Incógnita)… (2)

I. Derivamos la ecuación (1) respecto al tiempo:

y=hsec (kx)2 k x, y= yo

Entonces

yo=hsec (kx )2k x

Despejamos x

x=yo

hk sec (kx )2

x=yo cos (kx )

2

hk…(3)

II. Derivamos la ecuación (3) respecto al tiempo:

x=y o

hk2cos ( kx ) (−sen ( kx ) )k x

Reemplazamos el valor de x

x=y o

hk2cos ( kx ) (−sen ( kx ) )k ( yo cos (kx )2

hk )Reduciendo:

x=−2yo2

k h2[cos (kx )3 ] sen (kx )…(4)

III. Reemplazando la ecuación (4) en (2), además z=0 y y=0

a=−2yo2

k h2[cos ( kx )3 ] sen (kx ) i+0 j+0k

a=−2yo2

k h2[cos ( kx )3 ] sen (kx ) i…Respuesta

2.15. El aparato que se muestra se utiliza para comprimir aire. La manivela gira en el sentido de las manecillas del reloj a 150 rpm. La carrera es de 60 cm. Determinar la aceleración del embolo cuando x=10cm.

Datos:

ω=θ=150 rpm Diámetro es 60 cm, por lo tanto r=30cm x=10cm

I. Transformando el valor de θ=150 rpm

θ=150 rpm=150 revmin

min60 s

2 πradrev

θ=5 revs

Como θ es constante θ=0

II. Hallando el vector posición r

r=30cm…constante

Entonces r=0 y r=0

III. Reemplazando en la ecuación: a=( r−r θ2 )er+(r θ+2 r θ)eθ

a=−750 π2er

Descomponiendo la aceleración en su componente horizontal obtenemos la aceleración del embolo

aembolo

10= a30

aembolo=−750 π2

3i

aembolo=−250π2 i…Respuesta

Problemas I. Shames11.8. Las partículas A y B están limitadas a moverse en la acanaladura circular de 1.5 m de radio. Al mismo tiempo estas partículas deben estar también en una ranura en forma de parábola. La ranura se muestra en la línea discontinua para t=0, si la ranura se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 1m/s. ¿Cuál es la velocidad y la aceleración con las que se acercan las partículas entre sí para t=1s?

Solución

Para t=1 y V x=1m/ s

La ecuación de la parábola respecto a los ejes xy varia con el tiempo:

x= y2+h

Donde h= (1m/s)t

x= y2+t ……………………(1)

Además se debe cumplir para la partícula

x2+ y2=1.52…………………(2)

Resolviendo (1) y (2) para t=1

x1=1.37m

y1=0.61m

La velocidad de A

Derivando la ecuación (1) respecto al tiempo

x=2 y y+1…… (3)

Derivando la ecuación (2) respecto al tiempo

x x+ y y=0……..(4)

Para las condiciones del problema t=1 las ecuaciones 3 y 4 son

x−1.22 y=1

1.37 x+0.61 y=0

De donde

y=−0.6m /s Velocidad de A

La velocidad con la que se acercan las partículas es 1.2 m/s………..respuesta 1

Aceleración de A

Derivando 3 y 4 respecto al tiempo

x=2 y2+2 y y

x2+ x x+ y2+ y y=0

En las condiciones del problema x=1.37, y=0.61, x=0.267 , y=−0.6

x−1.22 y=0.72

1.37 x+0.61 y=−0.431

Resolviendo y=−0.62

La aceleración con La que se aproximan A y B es 1.24 m/s2… Respuesta

11.24. Se muestra un cañón de largo alcance para el cual la velocidad de disparo es de 1000m/s. si se desprecia el rozamiento ¿a qué velocidad x,y golpeara el proyectil al terreno?

Solución

Datos

V 0=1000m/ s

Ecuación de la trayectoria y=10−6 x2m…(1)

El proyectil va a describir un movimiento parabólico, obtenemos las ecuaciones rectangulares de V 0 y a

V 0 x=1000cos45

V 0 y=1000 sen45

ax=0

a y=−9.81

Tenemos:

x=V 0 x t

x=1000cos 45 t=500√2 t… (2)

En la ecuación

y=V 0 y t+a2t 2

y=1000 sen45 t−9.812

t 2

y=500 √2 t−4.905 t 2… (3)

Reemplazamos las ecuaciones (2) y (3) en (1)

y=10−6 x2

500√2t−4.905 t2=10−6(500√2t )2

Resolviendo para t encontramos:

t=130.825 s

Reemplazando el valor de t en las ecuaciones (2) y (3)

x=500√2(130.825)

x=92507m…. Respuesta

y=500 √2(130.825)−4.905(130.825)2

y=8557.5m…Respuesta

11.43. Un avión de pasajeros se está moviendo con una velocidad constante de 55 m/s a lo largo de una trayectoria de altura constante. En el instante de interés, el ángulo β entre el vector velocidad y el eje x es de 30º. Mediante la instrumentación giroscópica de a bordo se sabe que dicho vector está cambiando a cambiando a un ritmo de β de -5º/s ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria en ese instante?

Solución

Datos

V=dsdt

=55ms,constante

β=−5 º / s

Analizando:

Para la curvatura tenemos

k=1p=dβ

ds

p= dsdβ

Aplicando la regla de la cadena

p=dsdt

dtdβ

p=dsdt

1dβdt

… (1)

Como β=−5 º / s transformando a rad/s β=π36

rad /s y dsdt

=55 ms

, reemplazando en (1)

tenemos:

p=55 1π36

p=630.25m…Respuesta

11.54. Una barra vertical gira de acuerdo con:

ω=3 sen (0.1t ) rad /s

Con t en segundos. Fijado a la barra CD tenemos un sistema de bielas HI y FG de 200 mm de longitud cada una articulada entre sí en sus puntos medios K. Además GA e IA de 100 mm de longitud están articuladas entre sí tal como se muestra. En el extremo A se encuentra un marcador que marca una curva sobre la placa J. El ángulo β del sistema, viene dado por:

β=1.3− t10

rad

Con t en segundos. ¿Cuáles son las componentes radial y transversal respecto al eje N-N de la velocidad y de la aceleración del marcador para el instante t = 5 segundos? (Nota: el pasador F está fijo, pero el pasador H se mueve verticalmente a lo largo de una ranura tal como se muestra).

Solución

I. Ubicamos los vectore unitarios y tambien el vector posicion r

r=40+200cosβ+100cosβmm

r=40+300cosβmm

Derivando:

r=−300 senβ β

r=−300cosβ β2−300 senβ β

También:

θ=ω=3 sen (0.1 t )

θ=3cos (0.1t )

β=1.3− t10

β=−110

β=0

Para el instante t=5 s

θ=3 sen (0.5 )=1.438

θ=3cos (0.5 )=¿0.263¿

β=1.3− 510

=0.8 rad

β=−110

rad / s

β=0

r=40+300cos (0.8 rad )=249mm

r=−300 sen (0.8 rad )(−110 )=21.52mm/ s

r=−300cos (0.8 rad )(−110 )2

−300 sen (0.8 rad ) (0 )=−2.09mm/ s2

II. Para la velocidad en el punto A:

V= r er+r θ eθ

V=21.52er+(249 )(1.438)eθ

V=21.52er+358.062eθ…Respuesta

III. Para la aceleración en el punto A:

a=( r−r θ2 )er+(2 r θ+r θ)eθ

a=(−2.09−(249)1.4382 )er+(2 (21.52 ) (1.438 )+249 (0.263 ) )eθ

a=−516.98er+127.38eθ…Respuesta