Universidad Tecnolgica del PerFacultad de IngenierasCarrera de Ingeniera Industrial

APLICACIN DE LA RELACION DE RECURRENCIA A FRACTALES Y LA GEOMETRIA UNA COMBINACION PRODUCTIVALA UTP, AREQUIPA, 2014.

Trabajo de Investigacin en el curso de Matemticas discretas

ALUMNOS: APAZA HUISA, TSAIGAVINO MONTES, JOSUEQUISPE VARGAS, PAULDocenteIng. Julio Postigo

AREQUIPAPER2015

1. INTRODUCCIN

Los fractales, inicialmente desarrollados por Mandelbrot (1977, 1982) son conjuntos matemticos con un alto grado de complejidad que puede n modelar muchos fenmenos naturales. Desde hace u n tiempo el modelado de fractales y sus conceptos asociado s se han convertido en importantes herramientas en diversas reas de las ciencias naturales, principalmente debido a que el modelado de fractales no supone que los objetos estudiados tienen buenas propiedades de continuidad y suavidad. Una de las caractersticas ms importantes de la geometra fractal es que permite la caracterizacin de irregularidades que no pueden tratarse mediante la geometra euclidiana.. Como resultado, se definen varias caractersticas fractales, entre las cuales la dimensin fractal es una de las ms importantes. Se han desarrollado diversos mtodos para estimar la dimensin fractal en el anlisis de imgenes. Pentland (1984) propuso un mtodo para estimar la dimensin fractal usando la transformacin de Fourier aplicada al espectro de potencia de la superficie de intensidad de la imagen suponiendo que eran modeladas como superficies de movimiento browniano fractal. Peleget al. (1984) adoptaron la idea de Mandelbrot del mtodo -blanket y la extendieron al clculo de superficie de un rea. Clarke (1986) calcul la dimensin fractal de superficies topogrficas usando el concepto de un rea de superficie formada por prismas triangulares. El mtodo de conteo de cajas fue desarrollado por Gangepain y Roques-Carmes (1986) y mejorado posteriormente por Voss (1986) al incorporar la teora de la probabilidad. Ms tarde, en 1989, Kelleretal . Contribuyeron con un refinamiento por medio de la interpolacin lineal. Sarkar y Chaudhuri ( 1992, 1994) propusieron el mtodo diferencial de conteo de cajas para calcular la dimensin fractal adems de comparar diferentes mtodos. En 1995, Jinetal. proponen una mejora a los trabajos de Sarkar y Chaudhuri y lo aplican al anlisis de imgenes digitales.

La geometra fractal permite el estudio de objetos fragmentados que presentan invariancia respecto al cambio de escala, pues permite describir matemticamente objetos que se consideran demasiado complejos.En los fractales se puede observar la propiedad de auto-similitud. En principio esta auto-similitud es infinita, pero slo en el caso de los fractales matemticos. Los fractales naturales slo presentan un nmero finito de niveles auto-similares. Adems, aunque parecidos, no poseen una semejanza totalmente exacta. A esta propiedad de invarianza estadstica del escalado se le denomina auto- similitud estadstica. Ciertos objetos naturales poseen un nmero finito de grados de auto-similitud, y pueden ser considerados como fractales naturales. Debido al lmite infinito de su construccin es difcil determinar la tangente en ninguno de sus puntos. En el presente trabajo se pretender analizar la aplicacin de la relacin de recurrencia a fractales y la geometra una combinacin productiva.

1. Problema de la investigacin

Dar a conocer la aplicacin de la relacin de recurrencia a fractales y la geometra, una combinacin productiva, y lo ms importante es analizar la relacin de la recurrencia.Presentar la nocin del concepto de fractal y las bases de la geometra fractal. Dar una breve explicacin de algunos de los mtodos de anlisis fractal. Mencionar algunas de las mltiples aplicaciones de los fractales y los mtodos de anlisis basados en esta tcnica. Mostrar un panorama de la tendencia en la utilizacin de las herramientas derivadas de la geometra fractal. Teniendo en cuenta siempre de que punto partimos para poder realizar una buena investigacin desde su historia hasta la aplicacin de estos fractales en la vida real y como tambin en el estudio de las leyes como la ley de recurrencia y tambin el estudio de la geometra una combinacin productiva, la cual parte de muchos temas importantes que dan lugar a una descripcin y un gran estudio tambin desde sus principios, historia hasta su aplicacin en el presente.

a) Caracterizacin del problema:

Los mtodos de anlisis fractal han demostrado ser una herramienta con un gran potencial para el estudio de datos y la obtencin de informacin en distintas ramas del conocimiento.Una relacin de recurrencia de grado k con coeficientes constantes es una relacin de recurrencia de la forma: an= c1an-1 + c2an-2 + . +ckan-k . Donde c1, c2, . ck son nmeros reales, y ck0. Nota: la relacin de recurrencia en la definicin es lineal puesto que el lado derecho es una suma de mltiplos de los trminos previos de la secuencia. Es homognea puesto que ninguno de los trminos no son mltiplos de los aj .(Los coeficientes de los trminos son todos constantes (no dependen de n .El grado es k porque es expresada en trminos de los k trminos previos de la secuencia. Segn B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.A menudo se citan descripcin que Mandelbrot publicada para describir, geomtrico es "una forma geomtrica spera o hecha fragmentos que se puede dividir en partes, cada una de las cuales es una copia de tamao reducido de la totalidad", lo que es generalmente til, pero limitado. Las autoridades no estn de acuerdo sobre la definicin exacta del fractal, pero la mayora suele exponer en detalle las ideas bsicas de auto-similitud y una relacin inusual con el espacio de un fractal est incrustado pulg Un punto de acuerdo es en que los patrones fractales se caracterizan por dimensiones fractales, pero mientras que estas cifras cuantifican complejidad, describen ni nica ni especifica los detalles de cmo construir determinados patrones fractales. En 1975, cuando Mandelbrot acu el trmino "fractal", lo hizo para referirse a un objeto cuya dimensin de Hausdorff-Besicovitch es mayor que su dimensin topolgica. Se ha observado que este requisito dimensional no se cumple por las curvas que llenan el espacio fractales tales como la curva de Hilbert.Auto-similitud, que puede manifestarse como:Exact auto-similitud: idntico en todas las escalas, por ejemplo, Copo de nieve de KochCuasi auto-similitud: se aproxima el mismo patrn en diferentes escalas; puede contener pequeas copias de todo el fractal en distorsionada y formas degeneradas, por ejemplo, los satlites del sistema de Mandelbrot son aproximaciones de todo el conjunto, pero no copias exactas.Estadstica de auto-similitud: se repite un patrn de medidas estocsticamente tan numricos o estadsticos se conservan a travs de escalas, por ejemplo, fractales generados al azar, el ejemplo bien conocido de la costa de Gran Bretaa, por lo que uno no esperara encontrar un segmento reducido y se repite como limpiamente como la unidad repetida que define, por ejemplo, el copo de nieve de KochCualitativo auto-similitud: como en una serie de tiempoEscala Multifractal: se caracteriza por ms de una dimensin fractal o regla de escala.b) Formulacin del problema:

Dada la base y el nombramiento del tema, lo cual se describe como aplicacin de la relacin de recurrencia a fractales y la geometra una combinacin productiva, en la formulacin del problema generalmente nos basamos en Qu es lo que queremos de la investigacin? Y basndonos en nuestro tema queremos la extraccin de una aplicacin de la relacin de recurrencia a fractales y a la geometra, y el termino de relacin de recurrencia se basa en lo siguiente, Una relacin de recurrencia de grado k con coeficientes constantes es una relacin de recurrencia de la forma:an= c1an-1 + c2an-2 + . +ckan-k .Donde c1, c2, . ck son nmeros reales, y ck0.Y para la descripcin de un fractal lo siguiente, Puede definirse en trminos del mnimo nmero de bolas de radio necesarias para recubrir el conjunto, como el lmite: O en funcin del recuento del nmero de cajas de una cuadrcula de anchura que intersecan al conjunto: Se demuestra que ambas definiciones son equivalentes, y que son invariantes bajo isometras.

2. Objetivos de la investigacin:

a) Objetivo general

Anlisis de la aplicacin de la relacin de recurrencia a fractales y la geometra una combinacin productiva.

b) Objetivos especficos

Conocer en que consiste la relacin de recurrencia y los fractales. Determinar la aplicacin de los fractales. Determinar la relacin de los fractales con la geometra. Analizar si la combinacin de conceptos de recurrencia, fractales y geometra es productiva. Determinar qu reas de aplicacin tiene este tema.

3. Marco Terico:

a) Antecedentes de la investigacin:En los aos sesenta B. Mandelbrot recopil un bestiario de monstruos geomtricos y procesos naturales bajo un marco global que denomin fractales. Un ejemplo de fractal es la curva creada en 1904 por el matemtico sueco N. F. H. von Koch, la curva se alcanza tras un proceso de iteraciones sucesivas, en realidad tras infinitas iteraciones. La curva exhibe claramente un concepto clave en los fractales: es auto similar. Toda la informacin geomtrica de la figura est contenida en cualquier trozo por minsculo que sea. Es fcil comprobar que en el lmite infinito de esta construccin, su longitud diverge. Para acabar de retar nuestra intuicin geomtrica, esta curva es continua en todos sus puntos y no derivable en ninguno de ellos. Es decir, somos incapaces de determinar la tangente en ninguno de sus puntos. B. Mandelbrot estuvo acertado al escoger el nombre de fractal para estas criaturas geomtricas.

Otras corrientes de conocimiento ampliaron el caudal fractal. El estudio de sencillas ecuaciones iteradas no lineales en el plano complejo, en combinacin con los ordenadores, nos ha mostrado las figuras geomtricas ms complejas creadas por la mente humana. El conjunto de Mandelbrot es la bandera de estos representantes de la autosimilaridad no lineal. Desde la informtica terica A. Lindenmayer desarroll los L-system. Propuso utilizar gramticas para desarrollar una axiomtica del proceso de desarrollo en organismos pluricelulares. En 1984 A. R. Smith utiliz los L-system como herramienta para la sntesis realista de plantas y estudi su relacin con los fractales. Un L-system es bsicamente un conjunto de reglas que se aplican secuencialmente sobre una sentencia inicial. Partiendo de una cadena de smbolos se generan sucesivamente cadenas ms y ms largas. Si estos smbolos se interpretan grficamente obtenemos, con una economa descriptiva sorprendente. Su potencia reside en la recurrencia, prima hermana de la iteracin. En los aos setenta la fsica descubri el caos determinista. Sistemas deterministas pueden generar dinmicas impredecibles. Cuando los fsicos y matemticos representaron la dinmica de semejantes sistemas en forma geomtrica se toparon con exticas figuras. Tan raras les resultaron estas estructuras a sus descubridores que las denominaron atractores extraos. Eran, ni ms ni menos, que fractales. El estudio topolgico de los mismos ha generado un avance terico enorme en sistemas dinmicos. En los ochenta Barnsley popularizo una ingeniosa manera de generar fractales a partir de la aplicacin iterada de contracciones afines: los denominados sistemas de funciones iteradas. La sencilla aplicacin de rotaciones, contracciones, inversiones y traslaciones permite generar una enorme gama de fractales. Los IFS se han aplicado en compresin de imgenes y son utilizados, como los L-system, por ciber artistas como herramienta de generacin de imgenes virtuales.

b) Bases Tericas:Relacin de recurrencia:Una relacin de recurrencia para la secuencia {an} es una ecuacin que expresan en trminos de uno o ms de los trminos previos de la secuencia (a0, a1,.., an-1), para todos los enteros n con nn0, donde n0 es un entero no negativo. Una secuencia es llamada una solucin de una relacin de recurrencia si sus trminos satisfacen la relacin de recurrencia. Los valores de los trminos necesarios para empezar a calcular se llaman condiciones iniciales. Se dice que una sucesin es una solucin de la relacin de recurrencia si su trmino general verifica dicha relacin.Recurrencia lineal homognea:Si: para n m, se dice que la relacin de recurrencia es lineal homognea de orden m. Llamaremos ecuacin caracterstica de la relacin de recurrencia: A la ecuacin A sus races se les llama races caractersticas.Recurrencia lineal no homognea:Si para n m, se dice que la relacin de recurrencia es lineal no homognea de orden m. A la relacin, Resultante de eliminar g(n) se le llama relacin de recurrencia lineal homognea asociada. Geometra de fractales:Mandelbrot desarroll una nueva geometra que permite el estudio de las formas naturales, identificando una familia de formas demasiado irregulares para ser descritas mediante la geometra euclidiana, a la que llam fractales. El trmino proviene del latn fractus, el correspondiente verbo es frangere y significa romper, crear fragmentos irregulares. El trmino fractal transmite la idea de que un objeto es irregular, se puede descomponer en fragmentos que son parecidos al todo y de dimensin fraccionaria.La geometra euclidiana describe por medio de frmulas, asigna dimensiones enteras a los objetos y es adecuada para describir objetos hechos por el hombre. En contraparte, la geometra fractal describe mediante algoritmos dimensiones fraccionarias y es adecuada para describir formas naturales.En general, podra decirse que los fractales son objetos ir regulares, rugosos, porosos o fragmentados y que, adems, presentan estas propiedades al mismo grado en todas las escalas, es decir que estos objetos presentan la misma forma si son vistos de lejos o de cerca. Matemticamente un fractal es subconjunto de un espacio mtrico para el cual su dimensin de Hausdorff-Besicovitch, DH-B es estrictamente mayor que su dimensin topolgica D T. La dimensin de Hausdorff-Besicovitch no est restringida a tomar valores enteros. Esta definicin, sin embargo, excluye algunos conjuntos que son considerados fractales. No existe una definicin de los fractales que sea plenamente satisfactoria.Los fractales generalmente poseen algn tipo de autosimilitud, puede decirse que estn formados por partes pequeas que se parecen al todo. Esta similitud puede ser geomtricamente estricta o bien puede ser solamente aproximada o estadstica.Caractersticas de los fractales:Auto similitud, Segn B. Mandelbrot, un objeto es auto similar o auto semejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas. (Mandelbrot, 1993) Los fractales pueden presentar tres tipos de auto similitud:Auto similitud exacta, este es el tipo ms restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS). Cuasi autosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de s mismos. Matemticamente D.Sullivan (1987) defini el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometra. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo. Autosimilitud estadstica. Es el tipo ms dbil de auto similitud: se exige que el fractal tenga medidas numricas o estadsticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo.

Figura. Autosimilitud exacta del copo de nieve de Koch:

Figura. Cuasiautosimilitud en el conjunto de Mandelbrot: al variar la escala obtenemos copias del conjunto con pequeas diferencias.

Figura. Autosimilitud estadstica de un fractal generado por el proceso de agregacin limitada por difusin

El principio bsico para estimar la dimensin fractal se basa en el concepto de autosimilitud. La dimensin fractal D de un conjunto cerrado A en un espacio euclidiano n dimensional se define como (ecuacin 1): D = lim log( N r ) r 0 log(1 / r )Donde Nr es el nmero ms pequeo de copias diferentes de A en la escala r. La unin de Nr copias diferentes debe cubrir completamente el conjunto A.El mtodo de conteo de cajas es uno de los ms utilizados para obtener la dimensin fractal de un objeto. Consiste en cubrir una figura con cajas y determinar cmo vara el nmero de cajas que se necesitan para cubrir la figura con respecto al tamao de las cajas. Al disminuir el tamao de las cajas, se necesitar un mayor nmero de stas para cubrir el objeto.4.- Resultados De La Investigacin:a) Problema de Aplicacin:

Se ilustra el algoritmo 7.3.2 para la entrada:

b) Descripcin de Resultados:

c) Descripcin de Resultados:El algoritmo para ordenar es (n lg n) en el peor caso. Este resultado implica, en particular, que el merge sort es (n lg n) en el peor caso. Si ya se hubiera probado este resultado, para probar que el merge sort es (n lg n) en el peor caso, sera suficiente con probar que el merge sort es O(n lg n) en el peor caso.Aun cuando el merge sort, algoritmo 7.3.8, es ptimo, tal vez no sea el algoritmo preferidoPara un problema de ordenamiento especfico. Deben tomarse en cuenta factores comoEl tiempo en el caso promedio del algoritmo, el nmero de artculos a ordenar, la memoria disponible, las estructuras de datos que se usarn, si los artculos a ordenar estn en memoria o residen en un dispositivo de almacenamiento perifrico como disco o cintas, si los artculos a ordenar estn casi ordenados y el hardware que se usar.

CONCLUSIONES:

La geometra fractal prueba que, a partir de la investigacin, es posible establecer un puente entre el pensamiento cientfico racional y la emocin esttica: estos dos modos cognicin de la especie humana estn comenzando a concurrir en su estimacin de los que constituye la naturaleza en la cual estamos inmersos.

El estudio de relacin de recurrencia a fractales sigue en desarrollo y aplicndose en un mayor nmero de ramas del conocimiento.

El avance que presenta desde su reciente aparicin como concepto matemtico, la geometra fractal encuentra aplicaciones en el diseo arquitectnico. Muchas aplicaciones se encuentran ya plasmadas en obras dispersas por todo el mundo y otras aparecen como nuevas propuestas, manifestando una tendencia en expansin.

Esta nueva perspectiva podra quizs ayudarnos a conferirle a la tecnologa, de la cual dependemos cada vez ms para nuestra supervivencia, un aspecto ms humano.

BIBLIOGRAFIA:

http://es.slideshare.net/EmmanuelOrtega/fractales-y-anlisis-fractalhttp://www5.uva.es/trim/TRIM/TRIM5_files/FRACTALES.pdfhttp://es.slideshare.net/fernandoruffino/mandelbrot-benot-la-geometra-fractal-de-la-naturalezahttp://catedu.es/matematicas_mundo/NATURALEZA/Fractales.pdfhttp://aprendeenlinea.udea.edu.co/revistas/index.php/revistaeyp/article/viewFile/5945/5355