Trabajo Optimización

OptimizacinIndustrialResolucindeunproblemacaso:

EnsambledeAutomviles

JosebaLpezVidarteUxueTornosSola

19/12/2014

OptimizacinIndustrial:FormulacinyresolucindeunproblemacasoJosebaLpezVidarteyUxueTornosSola

1

Ensamblajedeautomviles:LamarcadeautomvilesdelujoalemanaMercedesBenzensambladosdesusmodelosen

la planta de VitoriaGasteiz. El primer modelo se trata del MercedesBenz Clase A, uncompactode4puertasdelsegmentoC.SepromocionacomounacompradecochePremiumorientado a un pblico general, concompetidores como el Audi A3 o el BMWSerie 1. Cada unidad del modelo del Clase Aproducidoen laplantadeVitoriaGasteiz, tieneun precio de venta al pblico de 26.500 (IVAincluido).

El segundo modelo es el MercedesBenzClase C coup, un turismo 2 puertas msorientado a un pblico de carcter juvenil ydeportivo, perteneciente al segmento D y concompetidoresdel estilodelAudiA5o elBMWSerie4.Sevendecomounvehculodecategoraexclusiva,elcualtieneunpreciodeventaalpblicode37.800(IVAincluido).

El ingeniero de produccin de la planta de ensamble debe decidir el programa deproduccinparaelprximomes,enespecial,debedeterminarcuntasunidadesdelClaseAycuntasunidadesdelClaseCsetienenqueensamblarenlaplantaparamaximizarlagananciade la compaa. La planta de ensamblado cuenta con 250 empleados, trabajando a unajornada de 8h diaria con 24 das laborables al mes. Adems, el ingeniero sabe que paraensamblarunClaseAseemplean6hy10,5hparaelClaseCconuncosteenmanodeobrade10/hporempleado.CadaunidaddelMercedesBenzClaseAproducida,tieneuncostefijode7.900,mientrasquecadaunidaddelClaseCtieneuncostefijode6.150yaquealtratarsedeun vehculodospuertas, lamaquinarianecesaria yelprocesoesms sencilloqueenelprimercaso.

Laplantadeensamble sededicaaensamblar laspuertasen losvehculos, como losdoscochesusanelmismotipodepuerta,elsuministrodepuertassetienequedividirentrelosdosmodelos.Adems,debidoaunahuelgaporpartedeunode losproveedores,el ingenieroencuestinsabequeelsiguientemesslopodrobtener20.000puertasentotal.

Resolucindelproblemaplanteado:Considerados losdatosdelproblema sedeterminaque laplanta tieneuna capacidadde

manodeobrade48.000horas/mesdestinadasalensamblaje.Porotrolado,alconocerdelpreciofinaldeventa,elcostefijounitarioylamanodeobra,

sepuededeterminarelbeneficiounitariodecadamodelo.

26.500 7.900 6 10 250 3.600

37.800 6.150 10,5 10 250 5.400


2

A) Formulacin del problema de programacin lineal para determinar el nmero deunidadesdelMercedesdeClaseA (XA) yClaseC (XC)que sedebenensamblarparaobtenerelmximobeneficio,sisepronosticaquelademandadelaventadelClaseCselimitara3.500unidades:

XA=UnidadesdecochesClaseAquesedebenensamblarXC=UnidadesdecochesClaseCquesedebenensamblar

max: 3.600 5.400

6 10,5 48.0004 2 20.000 3.500 , 0

Elresultadodelafuncinobjetivo,elmximobeneficio,esde26,64millonesdeeuros,ensamblando3.800unidadesdelmodeloClaseA (XA) y2.400unidadesdelmodeloClaseC(XC).Sianalizamoslasolucin,vemosquesehaceusotantodetodaslashorasde trabajocomode todas laspuertasdisponibles.Tambinpodemosobservarcmoafectara al beneficio aumentar o disminuir tanto las horas como el nmero depuertas.Elhechodeaumentarenunaunidad lashorasde lamanodeobra,estaramejorandoen480elbeneficio final.Porotro lado,en casodehaberdispuestodems puertas, por cada 2 puertas ms a disposicin de la planta se mejorara elbeneficioen360.

Elanlisisde sensibilidadnosdicequeaunqueaumentsemoselpreciodelClaseAa los30.000,esdecir,aumentamoselbeneficiounitarioen3.500,permaneciendodentrodelintervalodesensibilidad,lacantidaddecochesaensamblarseralamisma,noaselbeneficioobtenido,queobviamentesermayor.Porelcontrariotambinsepodra optar por rebajarlo de 26.500 a 26.000 ensamblando elmismo nmero deunidades.

ApartadoA)

ApartadoA)


3

EnelcasodelClaseC,laposibilidaddeaumentarelpreciodeventasermenor,hasta900mientrasque ladedisminuirloesmayor:hasta3.499pordebajodelpreciodeventaactual.Otro de los resultados que nos arroja el anlisis, es que en caso de aumentar elnmerodehorasdelamanodeobrahastaunincrementomximode8.250horas/mes,labasenocambiara,esdecir,seguiramosagotandoelnmerodehorasdelamanodeobra y la cantidaddepuertas,aunque sque variaran lasunidadesaensamblardecadamodelo.

B) Antesde tomar lasdecisionesdeproduccin,el ingeniero seplanteaexplorarotrasalternativas.Unaprimera ideaesrealizaruna inversinpublicitariade500.000parapromocionar elmodelo Clase C, estima que esta campaa elevar la demanda delClaseCenun20%.Aumentar lademandaun20%suponepasardeunademandade3.500unidadesaunade4.200,porloquehayunincrementode700unidades.

: 3.600 5.400 500.000

6 10,5 48.0004 2 20.000 4.200 , 0

En Lindo no se pueden introducir constantes en la funcin objetivo, por tanto alresultadoobtenidodedichafuncinseledebenrestarlos500.000euros.

26,64 0,5 26,14Apesarde la inversinpublicitariayelaumentode lademandadelClaseCsepuedeapreciar que el nmero de unidades ptimas a ensamblar de cada modelo paraobtener el mximo beneficio de la empresa no vara, es el mismo que en el casoanterior (3.800deClaseA,y2.400deClaseC),por loque la inversinenpublicidadsera un coste aadido al beneficio final. De todos modos, es obvio que si en elapartadoanterior sedeterminabaque lacantidadptimadeunidadesdelClaseCaensamblarerade2.400,unacifrainferiorallmitesuperiordelos3.500estimados,unaumento en su demanda hara disminuir el valor de la funcin objetivo, es decir,obtendramosunmenorbeneficioproduciendomsunidadesdeestemodelo,yaqueel anlisis de sensibilidad precisamente nos daba una cota infinita para estarestriccin.

ApartadoB)


4

La escasez de puertas en este mes debido a la huelga de los proveedores y lacapacidaddehorasdetrabajodelaempresalimitabastantelaproduccin.Esunadelas razones por la que a pesar de aumentar en 700 unidades el valor lmite de lademanda(b3),elvalordelafuncinobjetivonovara.Del anlisis de sensibilidad del apartado (A) podemos ver que aumentando en 700unidadeselvalordeb3(restriccinrelacionadaconlademanda),elvalordelafuncinobjetivono ibaa sufrirningncambio,yaque seencuentradentrodel intervalodesensibilidad(2.400,),yelpreciodualdelavariabledeholgurarelacionada(h3)es0.Alrealizaruncambioenb3(estrelacionadoconlavariabledeholgurah3),losvaloresdeXAyXCnovaran,yaquealserh3unavariablebsicaelcambioafectanicamenteadichavariable,quenoparticipaenlafuncinobjetivo.Sinembargo,sivarisemoslosvaloresdeb1yb2(capacidaddelaplantaynmerodepuertas),alestarrelacionadosconlasvariablesdeholguranobsicasseproducirancambiosqueafectarantambinal restodevariables, loquesepuede traducirenuncambioenelnmerocochesaensamblar.

Elanlisisdesensibilidadenestenuevoapartadonosofreceademslaposibilidaddeaumentar lashorasde lamanodeobrahasta casi las13.500 horas/mes.Equivalente aincrementarlashorashastalascasi61.500horas/mes.

C) Elingenierodeproduccinsabequepuedeaumentarlacapacidaddeproduccindelaplantaelprximomessihaceusodehorasextra.Elaumentodelashorasadicionalesen la mano de obra de la planta se estima en un 25%. Por tanto pasar de unalimitacinde48.000horasmensualesaunalimitacinde60.000horas.

: 3.600 5.400

6 10,5 60.0004 2 20.000 3.500 , 0

ApartadoB)


5

Elnuevonmerodecochesdecadamodeloquesepodrnensamblarparaoptimizarbeneficiosesde3.250unidadesdeClaseAy3.500deClaseC.Lanuevabaseobtenidanosdicequeestavezlalimitacinvienedadapor,ademsdelacantidaddepuertas,por laprevisindeunidadesdelClaseCque sepueden llegaravender, limitadasa3.500unidades.Elvalordelbeneficioobtenidodeestaformaesde30,6millonesdeeuros,portanto,podemos considerar quemerece la pena el aumento de la capacidad de la plantamedianteelusodehorasextra,yaqueseganan3,96millonesdeeurosmsqueconlalimitacinhorariaplanteadaen loscasosanteriores.Sinembargo,hayque tenerencuenta que esas horas extras deben ser pagadas a los trabajadores, por lo quedeberemos restar la cantidad adicional que suponen al beneficio de la funcinobjetivo. Adems, se debe observar que no se hace uso de todas las horas extradebidoaquelasexistenciasdepuertassehanagotadoporcompleto.

D) Determinarlacantidadmximaqueelingenierodeproduccindebeestardispuestoapagarportodoeltiempoextraadicional:La cantidad mxima que debe estar dispuesto a pagar es 30,6 26,64 3,96millonesdeeuros,yaquedeestaformaobtiene losmismosbeneficiosquesinhorasextras.Enestasituacinlmite,lacantidadtotaldecochesensambladosparaobtenerelmismobeneficioqueenelprimerapartadoaumentaen550unidadesconlamismalimitacindeexistenciasdepuertas,debidoaquelacantidaddeunidadesdelmodeloClaseAdisminuyeyladeClaseCaumenta,yalserunmodelode2puertas,sepuedenensamblarmsnmerodecochesClaseCquelosquesedejandefabricardeClaseA(concretamente el doble). Adems, al estar trabajando como hora extra, debemospagarmspor lamanodeobra,por loque loscochesensambladoseneseperiodotienenunbeneficiounitarioinferioraquesitodosseensamblasena10lahora.

ApartadoC)

ApartadoC)


6

Aunqueelenunciadodelapartadoanteriorestimeenun25%lashorasextra,esdecir,en12.000horasadicionales, los resultadosnosarrojanque3.750deesashorassondesperdiciadasdebidoalagotamientodelaspuertas,porloqueslo8.250sonhorasdemanodeobraextraefectiva.

3,968250 480

Sinembargo,esta sumadedinerohade repartirseentre los250 trabajadoresde laplanta de ensamblado, con lo que cada trabajador solamente obtendra 1,92adicionales, es decir, estara cobrando la hora extra a 11,92/hextra. La cantidad deunidadesaensamblardecadamodeloserlamismaqueenapartadoanterior,3.250para elClaseA y3.500para elClaseC,noobstante sabemosque algunosde ellossernensambladoshaciendousodelashorasextra.Enestanueva situacin, losbeneficiospor cadamodelo sern inferiores,yaque lashoras extra se pagarn a mayor precio. Los beneficios de cada modelo sern lossiguientes:

26.500 7.900 6 11,92 250 720

37.800 6.150 10,5 11,92 250 360

Apartirdeestosresultadospodemosdeterminarque1.375unidadesdelClaseA(XAA)sernensambladasen lashoraspagadascomoextra,mientrasquenoseensamblarningunaunidaddelClaseC(XCC)enestas8.250horasadicionales.

ApartadoD)


7

E) Enestecasoseestudiautilizartantolacampaapublicitaria(aumento20%demandadel Clase C) como el aumento de la capacidad de la planta (25% de horas extra).CalcularelnmerodecochesClaseAyClaseCquedebenensamblarseparaobtenerelbeneficiomximo.

: 3.600 5.400 500.000

6 10,5 60.0004 2 20.000 4.200 , 0

Elmximobeneficioparaesteapartadoesde 32,4 0,5 31,9millonesdeeuros.Recordemos,queallanzarlacampaapublicitariasedeberrestarsucoste.

Partiendodeesteplanteamiento,sedebenensamblaruntotalde3.000unidadesdeMercedesClaseAy4.000unidadesdelMercedesClaseC,hacindoseusodetodaslashorasdetrabajoytodaslaspuertasdisponibles.

F) La campaa publicitaria tiene un coste de 500.000 euros (que ya se han tenido encuenta en el apartado anterior). En esta situacin planteada, s que se hace usocompletodelas12.000horasdemanodeobraextra,porloquerespectoalcaso(A),lacantidadmximaalaquesepagaralamanodeobraserade5,26millones,conunpreciode11,75/hextra.Sinembargo,sienlugardelos5,26millones,sedecidequeelusodelashorasextratieneuncostede1,6millonesdeeuros,lahoraextrasepagaraa10,53/hextra.Portantoelbeneficiorealtotalobtenidoeselsiguiente:

32,4 0,5 1,6 30,3

ApartadoE)


8

Observamosque elbeneficioobtenido en este apartadohaciendousode lashorasextra y de la publicidad es superior al obtenido en el apartado (A), en condicionesnormales,porloquesonmedidasquemerecelapenatomar.Elvalordelbeneficiohaaumentadoen30,3 26,64 3,66millonesdeeuros.Ademsdeporaumentar lacantidaddecochesvendidosgraciasalainversinpublicitaria,enparteelaumentodelbeneficioesdebido aqueeldineropagadopor todas lashorasextra trabajadasesinferioralaqueelingenieroestabadispuestoapagarenelapartado(D).Analizando los resultados de los apartados A (no se realiza ninguna inversin:beneficio=26.64mill), B (se realiza inversin en publicidad: beneficio=26.640.5=26.14mill),C (inversinenhorasextra:beneficio=30.61.6=29mill teniendoencuenta que pagamos a los empleados un precio total por las horas extra de 1.6millonesde euros) y la F (inversinenpublicidad yhorasextra:beneficio=32.40.51.6=30.3mill)concluimosquelamejoropcinseraaplicarlasolucindelapartadoFyrealizarambasinversiones,puessevanarecuperarylograrmayoresbeneficios.

G) En realidad los distribuidores hacen un gran descuento, y la compaa ha decididocompartirgananciasconellos,por loqueen lugarde3.600debeneficioporunidadde Mercedes Clase A, se obtendr un beneficio unitario de 2.800. El resto decondiciones se consideran lasdelprimerapartado.Determinarelnuevonmerodeunidadesdecadamodeloquesedebenensamblarparamaximizarelbeneficio.

: 2.800 5.400

6 10,5 48.0004 2 20.000 3.500 , 0

En estas condiciones los coches que se deben ensamblar son un total de 1.875unidades de Clase A y 3.500 unidades de Clase C. Como es lgico, al reducir elbeneficiounitariodelcocheClaseA,lacantidaddecochesdeClaseCaumenta(hastael lmitefijadoenestecaso),paramaximizarelbeneficio.Seobtienen24,15millonesdeeuros.

ApartadoG)


9

Lavariacinrealizadaenelcoeficientede lafuncinobjetivosesaledel intervalodesensibilidaddelprimerapartado,de formaque labasecambia,y lasolucinptimadelnmerodecochesaensamblartambinesdiferente.

H) DebidoaunosproblemastcnicosenlacalidaddelensambladodelClaseA,elnmerode rechazos por cada lote fabricado ha aumentado. Por este motivo el ingenierodecide aumentar el nmero de horas dedicadas al ensamble de cada unidadproducida.ElingenierodeterminaqueelnuevotiempodeensamblenecesarioparaelClaseApasede6horasa7,5h.Determinarelnmerodeunidadesaensamblardecada modelo para estas nuevas condiciones, manteniendo el descuento en elMercedesClaseA:

: 2.800 5.400

7,5 10,5 48.0004 2 20.000 3.500 , 0

ApartadoA)

ApartadoG)

ApartadoH.1)


10

Debido a este incremento en el tiempo de ensamblaje, vemos que se reducen elnmerodecochesClaseAensambladosen375unidadesrespectoalanteriortiempodeproceso.

Este resultado tiene sentido,puestoque aldisponerdemenos cantidadde tiempopara fabricar los coches (se dedica ms tiempo a cada automvil) se dejan deensamblaraquellosqueproporcionanunmenorbeneficiounitarioalaempresa.

SuponiendoquelagananciaporunidaddeClaseAvendidaeslaoriginal,3.600:

: 3.600 5.400

7,5 10,5 48.0004 2 20.000 3.500 , 0

Elnmerodecochesaensamblarenestecasoeselmismoqueelcasoenelqueseaplicaba el descuento, ya que partiendo de la misma base, se realiza un pequeocambio en un coeficiente de la funcin objetivo, y dicho cambio est contempladodentrodelrangodelintervalodesensibilidad,deformaquenocambialabase,nilosvaloresdelasvariablesbsicas.Respectodelejercicio(A)vemosqueelnmerodecochesClaseCaumentamientrasqueeldeClaseAdisminuye.Elbeneficio finalesalgomenorenestecaso,debidoaque se dedicams tiempo a la fabricacin del ClaseA, por lo que se ensambla unnmerototaldecochesmenor.

ApartadoH.1)

ApartadoH.2)


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I) SepidequesecumplacontodalademandadeClaseC,porloquedebemosensamblarobligatoriamente3.500unidadesdedichaclase.Sepidequeseapliqueesteplandeproduccinnicamentesinosuponeunasprdidasmayoresque2millonesdeeuros.

: 3.600 5.400

6 10,5 48.0004 2 20.000 3.500 , 0

Esaobligatoriedaddecumplircontodalademandahacequenoseestensamblandoelnmeroptimodeautomviles,comoenelcaso(A),haciendoqueelbeneficiototaldisminuyade26,64a25,65millonesdeeuros.Ladisminucindelaganancianosuperalos2millonesdeeuros(nisiquieraalcanzaelmilln),porloqueesunamedidaqueselepuedeexigiralaplantaparatratardecaptarmsporcentajedemercadodelujo.

ApartadoH.2)

ApartadoI)


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J) Enelapartado(H)realizadoanteriormentesehacalculadoelnmerodecochesquese deberan ensamblar paramaximizar el beneficio, teniendo en cuenta que se haaplicadoundescuentoalosautomvilesdeClaseA,deformaqueelbeneficiounitarioes 2.800/unidad, y que el tiempo empleado en su ensamblaje es de 7,5 horas. Elresultadoobtenidofue:

:23,1

1.500 3.500

Elingenieroquiereanalizarelefectodelainversinenpublicidad,yelincrementodelacapacidadmedianteelusodehorasextrasobreestosdatosparadecidirculseraelmejorplandegestindelaplantadeformaquemaximiceelbeneficiototal.En primer lugar se analiza el efecto de la inversin de 500.000 en publicidad(aumentodelademandadelClaseCun20%).

: 2.800 5.400 500.000

7,5 10,5 48.0004 2 20.000 4.200 , 0

El beneficio total que se obtendra sera24,136 0,5 23,636millones de euros,mayorqueenelcaso(H)dondeelbeneficioerade23,1millones.Elnmerodecochesquesedebenensamblarson520unidadesdelClaseAy4.200unidadesdelClaseC.


13

Elbeneficiohaaumentadoen23,636 23,1 0,536millonesdeeurosalrealizar lainversin publicitaria, y en cuanto al nmero de automviles se aprecia unadisminucinenelnmerodeunidadesdecochesClaseAensamblados,mientrasquenmerodeunidadesdelClaseCaumentahastaelnuevolmiteimpuesto(incrementodel20%de lademanda,quepasade3.500a4.200).Podemosverquehayunagrancantidaddepuertasquenohansidoutilizadas,debidoalarestriccindelacapacidaddetrabajodelaempresa(horasdetrabajo).Siloqueserealizaesunincrementoenlacapacidaddelaplanta,medianteelusodehorasextra (incrementodel25%) aun costede1,6millonesdeeuros,el resultadoseraelsiguiente:

: 2.800 5.400 1.600.000

7,5 10,5 60.0004 2 20.000 3.500 , 0

El beneficio total que se obtendra sera 27,58 1,6 25,98 millones de euros.Elnmerodecochesquesedebenensamblarson3.100unidadesdelClaseAy3.500unidadesdelClaseC.Elbeneficiohaaumentadoen25,98 23,1 2,88millonesdeeurosal incrementarla capacidad de la planta e introducir horas extra. Al disponer de ms tiempo detrabajo y haber alcanzado el nmero mximo de coches Clase C a ensamblar, seaprovechadichotiempoaumentandoelnmerodecochesClaseAfabricados.Acontinuacin seestudia laaplicacin simultneade la inversinenpublicidadyelusodehoras extra. Se recuerdaque la inversin enpublicidad suponeun costede500.000ysereflejaenelincrementodel20%delademandadelMercedesClaseC,yelcostodelashorasextraesde1,6millonesdeeuros,suponiendounincrementodel25%delashorasdetrabajo.


14

El beneficio total que se obtendra sera 28,616 0,5 1,6 26,516 millones deeuros,yaqueaunqueseproduzcanmenosClaseA,squeseensamblanmsunidadesdelClaseC,queeselquemayorbeneficionosaporta.Elnmerode cochesque sedebenensamblarparamaximizarbeneficios son2.120unidadesdelClaseAy4.200unidadesdelClaseC.El beneficio ha aumentado en 26,516 23,1 3,416millones de euros al realizarambasinversiones.

Analizandotodas lasopcionesvemosque lomejorpara laempresaesrealizarambasinversiones,tanto ladepublicidadcomo ladehorasextra,yaqueel incrementoquesupone en el beneficio total es el mayor de las tres opciones. Al realizar ambasinversionesseobtieneunbeneficiomayorporlaventadeloscoches,inclusoteniendoencuentaelcostodedichasinversiones.

Conclusionesfinales:Elproblemahasidoresueltoconvariablescontinuas,perounaprimera ideanos llevaraa

tratardesolucionarloconvariablesenteras,puestoquenotienesentidofabricarcochescondecimales,sinounidadesenteras.Enestecaso,comolasolucinobtenidahasidoenteranohemosconsideradonecesariorehacerelproblemaplantendoloconvariablesenteras.Encasodehaberlosolucionadoconvariablesenteras,eltiempocomputacionaldelproblemahubiesesidoalgomayor,aunquenomucho,yaquetampocosetratadeunproblemadegrantamao.

Problemaobtenidoyadaptadode:FrederickS.HillierGeraldJ.Lieberman.2005. Introduccina la investigacinoperativa.

Octavaedicin.McGrawHill.Captulo3,pgina100101.

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