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Circuitos Eléctricos I
Unidad V.RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS CIRCUITOS RL Y RC.
Circuito RC sin fuentes. Circuito RL sin fuentes. Función excitatriz escalón unidad. Funciones. Excitatrices
escalón de tensión y de corriente. Pulsos rectangulares detensión y de corriente.
Circuitos RC con fuentes. Circuitos RL con fuentes. Respuesta completa, forzada y natural
Unidad V.RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS CIRCUITOS RL Y RC.
Circuito RC sin fuentes. Circuito RL sin fuentes. Función excitatriz escalón unidad. Funciones. Excitatrices
escalón de tensión y de corriente. Pulsos rectangulares detensión y de corriente.
Circuitos RC con fuentes. Circuitos RL con fuentes. Respuesta completa, forzada y natural
Circuitos Eléctricos I
Unidad VI.RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS CIRCUITOS RLC.
Circuito RC sin fuentes. Circuito RLC en paralelo sin fuentes. Respuesta sobre
amortiguada. Sub – amortiguada. Con amortiguamiento critico. Circuito RLC en serie sin fuentes. Circuito RLC con fuentes.
Unidad VI.RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS CIRCUITOS RLC.
Circuito RC sin fuentes. Circuito RLC en paralelo sin fuentes. Respuesta sobre
amortiguada. Sub – amortiguada. Con amortiguamiento critico. Circuito RLC en serie sin fuentes. Circuito RLC con fuentes.
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Eléctricos I
dttvLR
tvtititi LR )(
1)()()()(
)()()(
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tvL
R
dt
tdv
dt
tdiRtv
LR
tdv
dt
tdi
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R
dt
tdvtg
dt
tdvC
R
tvtititi CR
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)(1)(
)(1
tvRCdt
tdvti
C
)(1)(
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tdvtg
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Eléctricos I
DPST
SPDT
SPST
DPDT
RL
C
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Eléctricos I
V(t)
Transitorio: Evolución debida a cambios topológicos en el circuito. Transición entre unrégimen permanente y otro, tras un cambio en las condiciones del estado del circuito.
Introducción. Concepto de transitorio
t=0
Los transitorios son debidos aelementos que almacenan energía:Bobinas y condensadores.
Circuitos Eléctricos I
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, hapermanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio deposición del interruptor.
Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Sedesea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en lainductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
El circuito se halla en régimen permanente continuo, ya que lafuente es continua.
La figura muestra la situación del circuito para todo t tal que- ∞ ≤ t ≤ 0, y, en particular, para t = 0-.
Ejemplo de cálculo de condiciones iniciales y finales
La capacitancia es un circuito abierto en continua (corrientenula).
La corriente de la fuente circula por la resistencia en paralelocon el condensador, ya que éste es un circuito abierto.Las tensiones en ambos elementos son iguales por estar enparalelo.
La inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula).No hay corriente en la inductancia porque no está conectada a laexcitación.
No hay corriente en la inductancia porque no está conectada a laexcitación.
Circuitos Eléctricos I
La figura muestra la situación del circuito para todo t tal que0 < t < ∞, y, en particular, para t = 0+.
El circuito entra en transitorio porque han cambiado lascondiciones de excitación en algunos elementos.
La tensión en la capacitancia y la corriente en la inductancia nopueden variar bruscamente.
Ecuación de nudo.
Ecuación de malla.
Circuitos Eléctricos I
La figura adjunta muestra la situación del circuitopara todo t tal que 0 ≤ t ≤ ∞, y, en particular, para t = ∞.
La capacitancia es un circuito abierto en continua (corrientenula).La inductancia es un cortocircuito en continua (tensiónnula).
Circuitos Eléctricos I
ORDEN DEL CIRCUITO: número de elementos almacenadores de energía (Leq o Ceq) quetenga el circuito.
Circuitos de primer orden Circuitos de segundo orden
Introducción. Orden del circuito
Circuitos Eléctricos I
Circuito RC sin fuentes
t=0
Aplicando LCK en el nodo superior:
0 RC ii t
t
v
vdt
RCv
dv00
1
0R
v
dt
dvC
RC
v
dt
dv
0 RC ii
dtRCv
dv 1
t
t
v
vdt
RCv
dv00
1
)(1
)0()( 0ttRC
LnvtLnv
)(1
)(
)( 0
0
ttRC
t
t ev
v
)(1
)0()(
0ttRC
t evv
Circuitos Eléctricos I
ResistenciasC
VC(t)
Req vista desde elcondensador
eR q C Cte de tiempo
Transitorios de primer orden. Respuesta natural (Respuesta en ausencia de fuentes)
Respuesta natural
Circuito RC sin fuentes
)(1
)0()(
0tt
t evv
El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo unaevolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞
Para un t=τ se alcanza un63% del ΔV=V0-V∞
Circuitos Eléctricos I
2
3
44
5
Circuitos Eléctricos I
Ejemplo
El interruptor de la figura ha estado cerrado durante mucho tiempo y hasido abierto en t=0. Encontrar v(t) para t>0
La clave para trabajar con un circuito sin fuente RC es encontrar la tensióninicial v(0) = V0 a lo largo del capacitor y la constante de tiempo delcircuito.
Circuito sin fuente RC
Ejemplo
El interruptor de la figura ha estado cerrado durante mucho tiempo y hasido abierto en t=0. Encontrar v(t) para t>0
Circuitos Eléctricos I
Circuito RL sin fuentes
t=0
0 Ridt
diL
0 RL vv
t
t
i
idt
L
R
i
di00
0 Ridt
diL
0 iLR
dtdi
dtLR
idi
t
t
i
idt
L
R
i
di00
)()0()( 0ttL
RLnitLni
)(
0
0
)()( tt
L
R
etiti
)(1
0
0
)(tt
RCeIti
Circuitos Eléctricos I
0(0)Li I
Respuesta natural
Condiciones iniciales
)(1
0
0
)(tt
L eIti
eqR
L
Circuito RL sin fuentes
La bobina se descarga sobre la resistenciasiguiendo una evolución exponencial desde elvalor inicial I0 hasta 0
Para un t=τ se alcanza un63% del ΔI=I0-I∞
Circuitos Eléctricos I
La clave para trabajar con un circuito sin fuente RL es encontrar lacorriente inicial i(0) = I0 a través del inductor y la constante de tiempo del circuito
Circuito sin fuente RL
EjemploEl interruptor de la figura ha estado cerrado durante mucho tiempo y hasido abierto en t=0. Encontrar i(t) para t>0 y calcular la energía inicialalmacenada en el inductor.
EjemploEl interruptor de la figura ha estado cerrado durante mucho tiempo y hasido abierto en t=0. Encontrar i(t) para t>0 y calcular la energía inicialalmacenada en el inductor.
Circuitos Eléctricos I
CRF iii
dt
dvC
R
vi CCF Ecuación diferencial
de primer orden
R
vi CR
dt
dvCi C
C 0II f R
0tt
0tt
C v0V
Respuesta al escalón de un circuito RC. (Circuito RC con fuentes)
C
I
RC
v
dt
dv F
t
tF
tv
v
dtRCRIv
dv
00
1
)(
)(
C
I
RC
v
dt
dv F
RC
v
C
I
dt
dv F
)(1
FRIvRCdt
dv
)(1
FRIvRCdt
dv
dtRCRIv
dv
F
1
)(
t
tF
tv
v
dtRCRIv
dv
00
1
)(
)(
)(1
)(
))((0
0
ttRCRIv
RItvLn
F
F
)(1
0
0
)(
))(( ttRC
F
F eRIv
RItv
F
ttRC
F RIeRIvtv )(
1
0
0
)()(
Circuitos Eléctricos I
CircuitoActivo
CVC(t)
Thévenin visto desde elcondensador
ResistenciasY Fuentes
0(0)cv V
e e
( ) 1 1( )
R Rc
cq q
dv tv t V
dt C C
/0( ) ( ) t
cv t V V V e
eR q C Cte de tiempo
( )cv V Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
El condensador evoluciona desde su valor inicialhasta el nuevo régimen permanente siguiendo unaexponencial
Única para el circuito
/ /0( ) (1 )t t
cv t V e V e
Transitorios de primer orden. Respuesta en continua
/0( ) ( ) tX t X X X e
Cualquier otra variable del circuito tieneuna evolución temporal de la misma formaque la de la tensión del condensador.
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
El condensador evoluciona desde su valor inicialhasta el nuevo régimen permanente siguiendo unaexponencial
Para un t=τ se alcanza un63% del salto (ΔV=V∞-V0)
Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero
Circuitos Eléctricos I
LRF vvv
dt
diLRiVF Ecuación diferencial
de primer orden
iRvR
dt
diLvL L
Respuesta al escalón de un circuito RL. (Circuito RL con fuentes)
0Vv f
R
L 0I
0tt
0tt
L
Vi
L
R
dt
di F
t
t
ti
i F
dtL
R
R
Vi
di
00
)(
)(L
Vi
L
R
dt
di F
dtR
Vi
L
Rdi F )(
)()/(
)/()(0
0
ttL
R
RVi
RVtiLn
F
F
dtL
R
R
Vi
di
F
)(
t
t
ti
i F
dtL
R
R
Vi
di
00
)(
)(
)(
0
0
)/(
)/()( ttL
R
F
F eRVi
RVti
)(
0
0
)/()(tt
L
R
FF eRVi
R
Vti
Circuitos Eléctricos I
CircuitoActivo
L
Norton visto desde labobina
ResistenciasY Fuentes
iL(t)
0(0)Li I
e e
( ) 1 1( )L
cq q
di tv t I
dt G L G L
Cte de tiempo
/0( ) ( ) t
Li t I I I e
iL(t)
I∞
La bobina evoluciona desde su valor inicial hastael nuevo régimen permanente siguiendo unaexponencial
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio( )Li I
/ /0( ) (1 )t t
li t I e I e
Única para el circuito eqG L
/0( ) ( ) tX t X X X e
I0
I∞
La bobina evoluciona desde su valor inicial hastael nuevo régimen permanente siguiendo unaexponencial
Respuesta forzada=permanenteRespuesta natural=transitorio
Para un t=τ se alcanza un63% del valor salto
Respuesta a entrada ceroRespuesta a estado cero
Cualquier otra variable del circuito tieneuna evolución temporal de la misma formaque la de la intensidad de la bobina.
Circuitos Eléctricos I
0Vv f
R
L 0I
0tt
0tt
0Ii f R
0tt
0tt
C v0V
00 IR
v
dt
dvC 00 VRi
dt
diL
Respuesta al escalón de un circuito RC Ó RL. (Circuito RC Ó RL con fuentes)
00 Iii RC00 Vvv RL
00 IR
v
dt
dvC
C
I
RC
v
dt
dv 0
00 VRidt
diL
LV
LRi
dtdi 0
Kx
dt
dx
Circuitos Eléctricos I
SOLUCION GENERAL PARA LA RESPUESTA NATURAL Y LA RESPUESTA AL ESCALON
Las ecuaciones diferenciales que rigen la respuesta natural y la respuesta a unescalón de un circuito de primer orden (bien RC, bien RL) son análogas y tienenla forma:
Donde:K: constante que puede ser 0τ: constante de tiempo
Kx
dt
dx
Kx
dt
dx
)(
0
0
)()(tt
ff extxxtx
Kx
dt
dx
)()( fxxKx
dt
dx
dtxx
dx
f 1
)(
t
t
tx
x f
dtxx
dx
t 0
1
)(
)(
)(
0
0
)()(tt
ff extxxtx
Circuitos Eléctricos I
En resumen el proceso de cálculo de transitorios en un circuito de primer orden sigue lossiguientes pasos:
1. Dibujar el circuito para t<0 y calcular el valor de régimen permanente de la corriente enla bobina (o tensión en terminales del condensador) en este circuito. Determinarentonces este valor en t = 0. Se obtiene así iL(0-) o vC(0-)
2. Aplicar el principio de continuidad y determinar los valores iL(0+) = iL(0-) o vC(0+) = vC(0-
).3. Dibujar el circuito para t > 0 y calcular la resistencia de Thevenin (RTH) vista desde los
terminales de la bobina o el condensador. Con ello se determina la constante detiempo de la respuesta natural: = L/RTH o = RTHC.
4. Calcular la respuesta en régimen permanente (corriente en la bobina o tensión en elcondensador) en el circuito para t > 0.
Sustituir antes la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.5. Escribir la solución completa para t > 0 aplicando la ecuación:
6. Utilizando la respuesta calculada en el apartado anterior, determinar otras variables deinterés en el circuito.
Resolución sistemática de circuitos en régimen transitorio
En resumen el proceso de cálculo de transitorios en un circuito de primer orden sigue lossiguientes pasos:
1. Dibujar el circuito para t<0 y calcular el valor de régimen permanente de la corriente enla bobina (o tensión en terminales del condensador) en este circuito. Determinarentonces este valor en t = 0. Se obtiene así iL(0-) o vC(0-)
2. Aplicar el principio de continuidad y determinar los valores iL(0+) = iL(0-) o vC(0+) = vC(0-
).3. Dibujar el circuito para t > 0 y calcular la resistencia de Thevenin (RTH) vista desde los
terminales de la bobina o el condensador. Con ello se determina la constante detiempo de la respuesta natural: = L/RTH o = RTHC.
4. Calcular la respuesta en régimen permanente (corriente en la bobina o tensión en elcondensador) en el circuito para t > 0.
Sustituir antes la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.5. Escribir la solución completa para t > 0 aplicando la ecuación:
6. Utilizando la respuesta calculada en el apartado anterior, determinar otras variables deinterés en el circuito.
)(
)()0()(
0
)(tt
effftf
Circuitos Eléctricos I
Hay un juego de expresiones temporales para cada intervalo ti – ti+1
En cada intervalo, las expresiones temporales se obtienen como anteriormente, conlas siguientes salvedades:
Se aplican las condiciones de continuidad en cada cambio de intervalo
El instante final de cada intervalo es siempre t=.
Las expresiones del tipo et se sustituyen por expresiones del tipo et-ti
Hay un juego de expresiones temporales para cada intervalo ti – ti+1
En cada intervalo, las expresiones temporales se obtienen como anteriormente, conlas siguientes salvedades:
Se aplican las condiciones de continuidad en cada cambio de intervalo
El instante final de cada intervalo es siempre t=.
Las expresiones del tipo et se sustituyen por expresiones del tipo et-ti
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Eléctricos I
Circuitos Eléctricos I
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