UNIVERZITET UNION NIKOLA TESLA

Cara Dušana 62 - 64, 11000 Beograd

Operaciona istraživanja

Elaborat

Tema: Transportne metode

Mentor: Student:

Prof.Kazimir Kurij Đorđe Milić 22/2013

Beograd, 2015 godine

Operaciona istraživanja

Značajne osobine razvoja moderne nauke je činjenica da se u neegzaktnim naukama sve više i uspešnije koriste kvantitativne metode istraživanja, odnosno da se te nauke sve više matematiziraju. Primena matematičkih metoda u prirodnim naukama izazvala je interes za njihovu primenu i u društvenim naukama. Međutim, primenu matematičkih metoda u društvenim naukama sprečavale su brojne okolnosti: - još je sporno da li je u društvenim naukama moguć takav stupanj primene matematike kao u prirodnim naukama - pojave i odnosi u privredi su kompleksni i isprepletani te sigurno ne mogu biti opisani jednostavnim matematičkim formulama - sa druge strane, ni sama matematika nije dovoljno u tom smislu razvijena da bi dovoljno tačno proučavala kompleksnije privredne pojave; teorijska matematika je razvila odlične metode za proučavanje prirodnih pojava, ali te metode nisu dovoljne za proučavanje društvenih pojava. Prvi pokušaji uvođenja matematike u društvene nauke potiču sredinom XIX veka. Walras, Jevons, Pareto i drugi pokušali su da matematiziraju teorijsku ekonomiju po uzoru na pokušaj u nebeskoj mehanici.

U matematičkoj formulaciji društvenih nauka i odnosa postignuti su znatni formalni uspesi, ali su njihove matematičke formulacije ostale nekvantificirane. Zbog nemogućnosti kvantificiranja matematički formulisanih društvenih odnosa na tadašnjem stepenu razvoja matematike, upotreba matematičkih metoda nije imala rezultata. Međutim, i pored početnih neuspeha nije nestalo želje za matematiziranjem društvenih nauka. Stvaranjem povoljnijih uslova i u matematici i u društvenim naukama, rad je uspešno nastavljen. Matematika je razvila nove grane, kao: račun verovatnoće kao osnova za statistiku, teorija igara koja pokušava rešavanje konfliktnih situacija, kibernetika...

Neke modernije grane matematike razvijaju se u sasvim novom smeru, zanemarujući brojeve i baveći se nekvantitativnim kategorijama, kao: matematička logika, teorija skupova, topologija... Na drugoj strani, razvile su se neke nove grane društvenih nauka, kao: psihologija rada, teorija organizacije, operaciona istraživanja... Velika prepreka uspešnom prodoru matematičkih metoda u društvenim naukama je kompleksnost tih nauka. Pojave koje pročavaju društvene nauke su mnogo kompleksnije od prirodnih pojava. U njima se pored kvantitativnih javljaju i brojne nekvantitativne kategorije, koje je matematičkim metodama teško obuhvatiti.. Takva priroda društvenih nauka postavlja određene granice primeni matematičkih metoda Iz želje da se donošenje odluka temelji na naučnim osnovama, nikla je nova grana primenjene matematike - operaciona istraživanja.

Kao naučna metoda, operaciona istraživanja su se pod tim nazivom javila za vreme II svetskog rata na problemima vojne prirode u Velikoj Britaniji, kada su vojni rukovodioci pozvali naučnike da pomognu u rešavanju strateških i taktičkih problema. Zbog svoje praktične primene, ona su se brzo proširila i na druga područja. Operaciona istraživanja su posebna metodološka i normativna delatnost, u kojoj se intenzivno i sistematski upotrebljavaju kvantitativne matematičke i statističke metode. U prve pokušaje upotrebe operacionih istraživanja možemo ubrojiti istraživanje F.W.Taylora, koji je 1895. godine proučavao koliko bi velikom lopatom trebalo da radi radnik da bi njegov učinak u propisanom vremenu bio najveći. Naročito povoljno razdoblje za razvoj operacionih istraživanja počeo je posle II svetskog rata, posebno u privredno razvijenijim zemljama. Toj su atmosferi doprineli brzi tehnološki napredak, moderna organizacija rada itd. što se opet pripisuje revolucionarnom razvoju teorije organizacije, elektronike, automatizacije i računarske tehnologije. Računarska tehnologija je prvi uslov za razvoj i uspešnu primenu operacionih istraživanja

Kriterijumi za klasifikaciju problema operacionih istraživanja-

- prema upotrebljenim metodama razlikujemo sledeće tipove problema: - probleme linearnog programiranja, probleme nelinearnog programiranja, probleme mrežnog programiranja, probleme koji se određuju metodom Monte Carlo...

- prema sadržaju problema razlikujeme sledeće tipove problema: - proizvodne probleme, transportne probleme, probleme zaliha, probleme redova čekanja...

Potrebni uslovi za primenu metoda operacionih istraživanja:

- da se problem koji se rešava može predstaviti pogodnim matematičkim modelom (skupom matematičkih funkcija kojima se opisuju karakteristike problema

– funkcija cilja i sistem ograničenja)

- timski rad na rešavanju problema

- brojni i pouzdani polazni podaci

- korišćenje informacionih tehnologija

Operaciona istraživanja imaju sledeće faze rada:

- formulisanje problema - ova faza podrazumeva tačno formulisanje problema i jasno postavljanje cilja koji se želi postići, kao i sagledavanje uslova pod kojima će se cilj ostvariti.

- istraživanje svih činjenica i podataka - u ovoj fazi se sagledavaju svi faktori koji utiču na dati problem, kako bi se neki od njih mogli zanemariti pri postavljanju modela. Pri tome se javljaju brojne teškoće. Od svih, najvažnija je ta što nismo u stanju da uzmemo u obzir sve momente ispitivane pojave. Sa jedne strane zato što bismo morali da operišemo sa tako velikim brojem promenljivih da bi

rešavanje i na računaru postalo nemoguće, a sa druge zato što bi se pri ispitivanju javio veliki broj momenata zavisnih samo od slučaja, što bi opet prikrilo suštinu problema. Ovim se objašnjava činjenica da smo u stvarnosti prisiljeni da pribegavamo izvesnim ograničavajućim pretpostavkama. Suština je da iz niza podataka odaberemo bitna, ona koja ispitivanu pojavu karakterišu, a ostala u interesu omogućavanja analize, zanemarimo. Radi se o pretpostavkama koje samo uprošćuju problem, ali u odnosu na suštinu problema ne prouzrokuju znatna odstupanja od stvarnosti.

- postavljanje matematičkog modela- ova faza podrazumeva prevođenje problema na jezik matematike. U odnosu na matematičke modele, postavljaju se dva zahteva:

+ da sa gledišta cilja razmatranja što vernije odražavaju stvarnost

+ da i računsko-tehnički budu pogodni za obradu Gotov model je, po pravilu, rezultat zajedničkog rada većeg broja stručnjaka iz raznih oblasti: ekonomisti, matematičari, inženjeri i stručnjaci koji dobro poznaju praktičnu stranu problema.

To su obično operaciono-istraživačke grupe,koje su, ako su pravilno organizovane, garancija uspešne konstrukcije modela. Puna pažnja se posvećuje postavljanju modela, jer se može desiti da je model ispravno postavljen sa matematičkog gledišta, ali je njegovo rešenje neupotrebljivo na stvarni problem, jer model ne prikazuje dovoljno dobro sam problem.

Znači, model mora biti tako formulisan da zadržava osnovna, bitna svojstva problema i da se matematičkim metodama može rešiti.

- rešavanje modela- odgovarajućim matematičkim metodama

- provera modela i rešenja - ova faza podrazumeva još jednom proveru modela i njegovog rešenja u smislu verodostojnosti sa realnim problemom

- donošenje odluke - što znači da se donošenje odluke zasniva na naučnim metodama

Osobine operacionih istraživanja:

- sistemski pristup

- kontinualno istraživanje

- optimizacija rešenja

- kompleksno istraživanje

Tipične grupe problema za rešavanje:

- upravljanje zalihama

- raspoređivanje resursa

- remonti i zamene mašina

- masovno opsluživanje

- planiranje i upravljanje

- izbor maršrute

FORMULACIJA TRANSPORTNOG ZADATKA

Iz određenog broja izvora (mesta proizvodnje) sa fiksiranom ponudom, treba prevesti isti proizvod u nekoliko odredišta (mesta potrošnje) sa fiksnom potražnjom.

Odrediti količine robe koje treba prevesti iz svakog izvora u svako odredište, a da:

-ponuda nijednog izvora ne bude premašena

- potražnja svakog odredišta bude podmirena, i uz to UKUPNI TRANSPORTNI TROŠKOVI BUDU MINIMALNI.

FUNKCIJA CILjA I OGRANIČENjA

Kriterijum optimalnosti definisan funkcijom cilja jeste minimizacija cene transporta.

Ograničenja su definisana dnevnom proizvodnjom, kapacitetom skladišta, magacinskim prostorom prodavnice... Sve promenljive moraju biti nenegativne.

Ako je ukupna ponuda jednaka ukupnoj potražnji, reč je o zatvorenom transportnom problemu, koji se naziva i standardni model. U suprotnom, transportni problem je otvoren .

1. Zadatak

Distribucija crepa iz četiri stovarišta Sj (j=1,4) ide prema tri gradilišta Pi (i=1,3). U tabeli je data količina crepa u stovarištima ( izvorima ), potreba količine crepa nna gradilistima i cena transporta jedinice robe iz određenog izvora ka cilju.

Potrebno je:

- napisati početno rešenje koristeći metodu severozapadnog ugla,

- rešiti transportni problem tako da ukupni troškovi budu minimalni,

- odrediti uštede koje se postižu u odnosu na početno rešenje.

Pi

Sj

P1

(140)

P2

(35)

P3

(105)

S1 ( 70 )50

60 0

S2 (105)40

20

15

S3 ( 70 )30 45 20

S4 ( 35 )35 40 25

2. Rešavanje zadatka

Transportni problemi su specijalan slučaj zadataka LP, iako su neki od njih ranije postavljeni i rešeni. Specifičnost transportnih problema je u skupu ograničenja L gde se pojavljuju izvesna uprošćenja koeficijenata matrice [A] skupa ograničenja, a izražavaju se vrednostima nula ili jedan.

Transportni problem linearnog programiranja je problem minimizacije ukupnih troškova

transporta:

U osnovnom modelu je pretpostavka da su poznati:

· količina resursa koje poseduju izvorišta (stovarista crepa)

· količina resursa koja je potrebna odredištima (gradilišta),

koju je potrebno distribuirati (nehomgena)

· cene transporta po jedinici robe od izvora do odredišta.

Dancingova modifikovana simpleks metoda (Mo – Di metoda) pomoću koje rešavamo Transportni problem :

Pi

Sj

P1

(140)

P2

(35)

P3

(105)

S1 ( 70 )50 -

70

60 0 +

S2 (105)40

70

20

35

15

S3 ( 70 )30 + 45 20 -

70

S4 ( 35 )35 40 25

35

Početno rešenje je degenerisano (r=m+n-1) gde je:

r - broj bazno dopustivih rešenja

m - broj kolona matricen - broj redova matrice

Težimo da dobijemo nedegenerisano rešenje, tj. da bi se ispunila ravnoteža r=m+n-1 pristupa se rešavanju problema. Uzima se jednačina sa najnižom cenom transporta, a to je u našem slučaju polje c13, kako bi odredili sve potencijale.

Početni transportni troškovi iznose:

F (X0 )=50∗70+40∗70 ++20∗35++20∗70+20∗35=9275

Određuju se potencijali za bazna i diferencijala za nebazna polja na sledeći način:

Za bazna polja: cij = ui + vj; Za nebazna polja : Δij = cij – ui – vj;

c11 = u1 + v1 = 50 = > v1 = 50

c21 = u2 + v1 = 40 = > u2 = -10

Δ12 = c12 – u1 – v2 = 60 – 0 – 30 = 30

Δ23 = c23 – u2 – v3 = 15 + 10 – 0 = 25

c22 = u2 + v2 = 20 = > v2 = 30

c33 = u3 + v3 = 20 = > u3 = 20

c43 = u4 + v3 = 25 = > u4 = 25

v3 = 0

c13 = u1 + v3 = 0 = > u1 = 0

Δ31 = c31 – u3 – v1 = 30 – 20 – 50 = -40

Δ32 = c32 – u3 – v2 = 45 – 20 – 30 = -5

Δ41 = c41 – u4 – v1 = 35 – 25 – 50 = -40 = > = 70

Δ42 = c42 – u4 – v2 = 40 – 25 – 30 = -15

Za bazna polja potencijal koji se najčešće javlja izjednačava se sa nulom, u ovom slučaju je v3 = 0. Nakon toga se po datoj formuli izračunavaju diferencijali za nebazna polja. Pošto smo dobili više negativnih vrednosti za nebazna polja to nam ukazuje da postoji bolji transportni program ako se uvede nova promenljiva u odgovarajuće polje. Više smisla ima ići preko polja Δ41. Sada u to polje stavljamo neodređeni broj . Ovaj neodređeni broj određujemo na osnovu izraza:

70 - = 0 = > = 70

Za se uzima manja vrednost ukoliko oba nisu ista (kao što je u našem slučaju). Polje Δ41 sada ulazi u bazu sa vrednošću +. Onda vršimo preraspodelu transporta preko + i -. Dodavanje i oduzimanje vrši se sve dok se ne zatvori krug ( ovo je prikazano strelicama u početnom problemu ). U ovom koraku vodimo računa da nam pri zatvaranju kruga obuhvati i polje c13 koje smo proglasili na početku za bazno.

U sledećem koraku pristupamo prvoj iteraciji i crtamo novu matricu.

Pi

Sj

P1

(140)

P2

(35)

P3

(105)

S1 ( 70 )50

60 0

70

S2 (105)40 -

70

20

35

15 +

S3 ( 70 )30

70

45 20

S4 ( 35 )35 + 40 25 -

35

Pošto je i u ovim koraku rešenje degenerisano (r=m+n-1), pristupa se rešavanju problema na već opisan način. Jednačina sa najnižom cenom transporta uzima se iz polja c23.

Transportni troškovi posle prve iteracije iznose:

F (X1)=6475

Ponavlja se postupak za određivanje potencijala baznih i diferencijala nebaznih polja na već opisan način.

Za bazna polja: cij = ui + vj; Za nebazna polja: Δij = cij – ui – vj;

c13 = u1 + v3 = 0 = > u1 = 0

c21 = u2 + v1 = 40 = > v1 = 25

c22 = u2 + v2 = 20 = > v2 = 5

c31 = u3 + v1 = 30 = > u3 = 5

c43 = u4 + v3 = 25 = > u4 = 25

v3 = 0

c23 = u2 + v3 = 15 = > u2 = 15

Δ11 = c11 – u1 – v1 = 50 – 0 – 30 = 25

Δ12 = c12 – u1 – v2 = 60 – 0 – 0 = 55

Δ32 = c32 – u3 – v2 = 45 – 5 – 50 = 45

Δ33 = c33 – u3 – v3 = 20 – 5 – 30 = 25

Δ41 = c41 – u4 – v1 = 35 – 25 – 50 = -15 = > = 35

Δ42 = c42 – u4 – v2 = 40 – 25 – 30 = 10

Izračunavanjem diferencijala za nebazna polja, dobili smo jednu negativnu vrednosti za nebazno polje i to nam ukazuje da postoji još uvek bolji transportni program. Postupak se ponavlja i za drugu iteraciju.

Pi

Sj

P1

(140)

P2

(35)

P3

(105)

S1 ( 70 )50

60 0

70

S2 (105)40

35

20

35

15

35

S3 ( 70 )30

70

45 20

S4 ( 35 )35

35

40 25

Dobija se nedegenerisano rešenje i ispunjen je uslov da je r=m+n-1.

Posle ove iteracije Transportni troškovi iznose:

F (X2)=5950

Ponovo se ponavlja postupak računanja za određivanje potencijala baznih i diferencijala nebaznih polja.

Za bazna polja : cij = ui + vj; Za nebazna polja: Δij = cij – ui – vj;

c13 = u1 + v3 = 0 = > u1 = -15

c21 = u2 + v1 = 40 = > v1 = 40

c22 = u2 + v2 = 20 = > v2 = 20

c23 = u2 + v3 = 15 = > v3 = 15

c31 = u3 + v1 = 30 = > u3 = -10

c41 = u4 + v1 = 35 = > u4 = - 5

u2 = 0

Δ11 = c11 – u1 – v1 = 50 + 15 – 40 = 25

Δ12 = c12 – u1 – v2 = 60 + 15 – 20 = 55

Δ32 = c32 – u3 – v2 = 45 +10 – 20 = 35

Δ33 = c33 – u3 – v3 = 20 + 10 – 15 = 15

Δ42 = c42 – u4 – v2 = 40 + 5 – 20 = 25

Δ43 = c43 – u4 – v3 = 25 + 5 – 15 = 15

3. Rezultati

Kako je svako Δij≥0 ,dobijeno rešenje je optimalno:

X= [ 0 0 7035 35 3570 0 035 0 0

]

Transportni program je optimalan sa minimalnim troškovima koji iznose:

F (X2)=F ( X )=5950

U odnosu na početno rešenje ušteda je: ΔF (X )=F (X )−F (X0)=9275-5950=3325

4. Zaključak

Optimalno rešenje transportnog problema je da se iz prvog stovarišta snabdeva treće gradiliste, iz drugog sva tri, a iz trećeg i četvrtog samo prvo gradilište. Takođe se prvo gradilište snabdeva iz drugog trećeg i četvrtog stovarista, drugo iz drugog a treće iz prvog i drugog stovarišta. Ako bi se ostvario ovaj program snabdevanja troškovi transporta bi bili minimalni. Za svaki drugi put transpota troškovi bi bili veći.