Trasformata e Wavelet di Haar - webalice.it · Trasformata e Wavelet di Haar Quarto incontro del Progetto Lauree Scienti che 2010 Stefano De Marchi Dipartimento di Matematica Pura

Trasformata e Wavelet di HaarQuarto incontro del Progetto Lauree Scientifiche 2010

Stefano De Marchi

Dipartimento di Matematica Pura ed ApplicataUniversita di Padova

http://www.math.unipd.it/~demarchi

Piove di Sacco, 16 aprile 2010

Stefano De Marchi Trasformata e Wavelet di Haar

http://www.math.unipd.it/~demarchi

Segnali discreti

E una funzione del tempo i cui valori si ottengono in corrispondenza adistanti finiti di tempo

f = (f1, . . . , fN), N ∈ 2N, fi ∈ R

Ad esempio, fi = g(ti ), con g segnale analogico campionato negli istantitemporali equispaziati ti = t1 + (i − 1)h, i = 1, ...,N.Esempi.

.wav (audio files su un PC)

valori dell’intensita di un suono memorizzati su un CD

g sia un elettrocardiogramma


Segnali discreti


f = (f1, . . . , fN), N ∈ 2N, fi ∈ R






Segnali discreti


f = (f1, . . . , fN), N ∈ 2N, fi ∈ R






Segnali trasformati

Dato il segnale f, esso viene trasformato

f = t + d

con t che indica la tendenza (in inglese, trend) e d che indica il dettaglioo differenza (in inglese, difference). t, d sono sotto-segnali di lunghezzameta del segnale originale.Se indichiamo con tk e fk , la tendenza e il dettaglio al (passo) livello k,allora al primo livello

t1i =

f2i−1 + f2i

2

√2, d1

i =f2i−1 − f2i

2

√2, i = 1, . . . ,N/2 .

Si moltiplica per√

2, come vedremo, per la conservazione dell’energia delsegnale.

Esempio. f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo t1 = (5√

2, 11√

2, 7√

2, 5√

2),

d1 = (−√

2,−√

2,√

2,0).


Segnali trasformati


f = t + d


t1i =

f2i−1 + f2i

2

√2, d1

i =f2i−1 − f2i

2

√2, i = 1, . . . ,N/2 .




2, 11√

2, 7√

2, 5√

2),

d1 = (−√

2,−√

2,√

2,0).


Segnali trasformati


f = t + d


t1i =

f2i−1 + f2i

2

√2, d1

i =f2i−1 − f2i

2

√2, i = 1, . . . ,N/2 .




2, 11√

2, 7√

2, 5√

2),

d1 = (−√

2,−√

2,√

2,0).


Trasformata di Haar

Definizione

Si chiama Trasformata di Haar la sequenza di passi o livelli, tendenza +dettaglio

f −→︸︷︷︸H1

(t1|d1) −→︸︷︷︸H1

(t2|d2|d1) · · ·

Proprieta fondamentale: piccole fluttuazioni nel vettore dettagli.

Proposizione

∑Ni=1 |fi |N

�∑N/2

i=1 |d1i |

N/2(1)

Esercizio. Prendendo la funzioneg(x) = 20x2(1− x)4 cos(12πx), x ∈ [0, 1), la si campioni su 210 punti(equispaziati o random). Calcolare t1, su [0, 1/2) e d1 su [1/2, 1).Facendone i plot si notera come d1 abbia valori quasi nulli mentre t1

assomigliera al vettore iniziale.


Trasformata di Haar

Definizione


f −→︸︷︷︸H1

(t1|d1) −→︸︷︷︸H1

(t2|d2|d1) · · ·


Proposizione

∑Ni=1 |fi |N

�∑N/2

i=1 |d1i |

N/2(1)




Trasformata di Haar

Definizione


f −→︸︷︷︸H1

(t1|d1) −→︸︷︷︸H1

(t2|d2|d1) · · ·


Proposizione

∑Ni=1 |fi |N

�∑N/2

i=1 |d1i |

N/2(1)




Trasformata di Haar

Definizione


f −→︸︷︷︸H1

(t1|d1) −→︸︷︷︸H1

(t2|d2|d1) · · ·


Proposizione

∑Ni=1 |fi |N

�∑N/2

i=1 |d1i |

N/2(1)




Soluzione dell’esercizio assegnato nella slide precedente


Trasformata di Haar

La Proposizione 1 e importante nella compressione di un segnale, ovverola sua trasmissione con meno informazione (bit). Come realizzare questo?

Esempio. Supponiamo di spedire solo il trend t, considerando i valori delvettore d come zero. Pertanto otteremo un’approssimazione del segnaleoriginale con lunghezza meta del segnale f e quindi con una compressionedel 50%.


Trasformata di Haar

La Proposizione 1 e importante nella compressione di un segnale, ovverola sua trasmissione con meno informazione (bit). Come realizzare questo?

Esempio. Supponiamo di spedire solo il trend t, considerando i valori delvettore d come zero. Pertanto otteremo un’approssimazione del segnaleoriginale con lunghezza meta del segnale f e quindi con una compressionedel 50%.


Energia di un vettore

Definizione

Energia di un segnale f.

Ef := f 21 + f 2

2 + · · ·+ f 2N . (2)

Ef si chiama energia perche in fisica la somma di quadrati indica sempreun’energia.

Esempio

Una particella di massa m con vettore velocita v=(v1, v2, v3), ha energia

cinetica E = 12 m∑3

i=1 v 2i . L’energia cinetica risulta proporzionale

all’energia Ev = v 21 + v 2

2 + v 23 del vettore velocita.

Esempio

Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Allora Ef = 446. Essendo(t1|d1) = (5

√2, 11√

2, 7√

2, 5√

2| −√

2,−√

2, 0√

2, 0) eEt1 = 25 · 2 + 121 · 2 + 49 · 2 + 25 · 2 = 440 Ed1 = 2 + 2 + 2 + 0 = 6.Allora Ef = Et1 + Ed1 .



Definizione


Ef := f 21 + f 2

2 + · · ·+ f 2N . (2)


Esempio






Esempio


√2, 11√

2, 7√

2, 5√

2| −√

2,−√

2, 0√




Definizione


Ef := f 21 + f 2

2 + · · ·+ f 2N . (2)


Esempio






Esempio


√2, 11√

2, 7√

2, 5√

2| −√

2,−√

2, 0√




Definizione


Ef := f 21 + f 2

2 + · · ·+ f 2N . (2)


Esempio






Esempio


√2, 11√

2, 7√

2, 5√

2| −√

2,−√

2, 0√



Conservazione dell’energia

Proposizione

La trasformata di Haar di 1-livello conserva l’energia. Ovvero

Ef = Et1 + Ed1 . (3)

Altra cosa interessante e la redistribuzione dell’energia del segnalerispetto ai sotto-segnali, tendenza e dettaglio. Questo fenomeno sichiama la compattazione dell’energia.

Esempio

Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Essendo Ef = 446, Et1 = 440 e

Ed1 = 6. AlloraEt1

Ef≈ 98, 7% e

Ed1

Ef≈ 1, 3%.

Proposizione

L’energia del vettore trend rappresenta la percentuale maggioredell’energia di (t1|d1).



Proposizione


Ef = Et1 + Ed1 . (3)


Esempio


Ed1 = 6. AlloraEt1

Ef≈ 98, 7% e

Ed1

Ef≈ 1, 3%.

Proposizione




Proposizione


Ef = Et1 + Ed1 . (3)


Esempio


Ed1 = 6. AlloraEt1

Ef≈ 98, 7% e

Ed1

Ef≈ 1, 3%.

Proposizione




Proposizione


Ef = Et1 + Ed1 . (3)


Esempio


Ed1 = 6. AlloraEt1

Ef≈ 98, 7% e

Ed1

Ef≈ 1, 3%.

Proposizione



Trasformata di Haar: piu livelli

La procedura e:

f −→︸︷︷︸H1

(t1|d1) −→︸︷︷︸H1

(t2|d2|d1) −→︸︷︷︸H1

(t3|d3|d2|d1) · · ·

Esempio

Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Avremo

t1 = (5√

2, 11√

2, 7√

2, 5√

2)

t2 = (16, 12)

Con d1 che deriva da f e d2 da t1:

d2 = (−6, 2) .

Pertanto la trasformata di secondo livello, H2, del segnale originale e

(t2|d2|d1) = (16, 12| − 6, 2| −√

2,−√

2,√

2, 0) .


Trasformata di Haar: piu livelli

La procedura e:

f −→︸︷︷︸H1

(t1|d1) −→︸︷︷︸H1

(t2|d2|d1) −→︸︷︷︸H1

(t3|d3|d2|d1) · · ·

Esempio

Sia f = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5). Avremo

t1 = (5√

2, 11√

2, 7√

2, 5√

2)

t2 = (16, 12)

Con d1 che deriva da f e d2 da t1:

d2 = (−6, 2) .

Pertanto la trasformata di secondo livello, H2, del segnale originale e

(t2|d2|d1) = (16, 12| − 6, 2| −√

2,−√

2,√

2, 0) .


Esercizi

Esercizio

Calcolare tra trasformata di terzo livello del segnalef = (4, 6, 8, 10, 12, 8, 6, 5, 5).

Verificare che Et3 = 392 e che l’energia di t3 e circa 88% di quella dif nonostante il t3 sia lungo solo otto volte di meno di f.

Esercizio

Si prenda un generico segnale f e si costruisca la trasformata disecondo livello H2 del segnale.

Costruire la sequenza, detta profilo cumulativo dell’energia, sia delsegnale f che della trasformata H2. Nel caso del segnale f, taleprofilo e ovvero (

f 21

Ef,

f 21 + f 2

2

Ef, . . . , 1

).

Cosa si nota?



Esercizio. Prendiamo in considerazione la seguente funzione non banale

h(x) =

50x2(1− x)6 cos(12πx) , x ∈ [0, 1)

80(1− x)2(2− x)8 sin(20πx) , x ∈ [1, 2]


Wavelets di Haar

Le wavelets di Haar di primo livello sono definite come segue

W 11 =

(1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)W 1

2 =

(0, 0,

1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)...

...

W 1N/2 =

(0, . . . , 0,

1√2,− 1√

2

)Alcune proprieta.

1 Hanno tutte energia uguale a 1.

2 Consistono della fluttuazione dei valori ±1/√

2 con media nulla.Ecco da dove deriva il nome wavelet o ondina.

3 Come si nota, sono tutte ottenute per traslazione di W 11 in avanti di

un numero pari di intervalli.


Wavelets di Haar


W 11 =

(1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)W 1

2 =

(0, 0,

1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)...

...

W 1N/2 =

(0, . . . , 0,

1√2,− 1√

2

)Alcune proprieta.







Wavelets di Haar


W 11 =

(1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)W 1

2 =

(0, 0,

1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)...

...

W 1N/2 =

(0, . . . , 0,

1√2,− 1√

2

)Alcune proprieta.







Wavelets di Haar


W 11 =

(1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)W 1

2 =

(0, 0,

1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)...

...

W 1N/2 =

(0, . . . , 0,

1√2,− 1√

2

)Alcune proprieta.







Wavelets di Haar


W 11 =

(1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)W 1

2 =

(0, 0,

1√2,− 1√

2, 0, . . . , 0

)...

...

W 1N/2 =

(0, . . . , 0,

1√2,− 1√

2

)Alcune proprieta.







Wavelets di Haar e vettore dettaglio

Ricordando che il prodotto scalare di due vettori f e g di lunghezza N, e

(f, g) = f1g1 + · · ·+ fNgN =N∑

i=1

figi .

Allora il vettore dettaglio d1, che ha N/2 componenti, di , si ottengonousando le wavelets W 1

i :

di = (f,W 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .


Wavelets di Haar e vettore dettaglio

Ricordando che il prodotto scalare di due vettori f e g di lunghezza N, e

(f, g) = f1g1 + · · ·+ fNgN =N∑

i=1

figi .

Allora il vettore dettaglio d1, che ha N/2 componenti, di , si ottengonousando le wavelets W 1

i :

di = (f,W 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .


Wavelets di Haar e vettore del trend

I vettori

V 11 =

(1√2,

1√2, 0, . . . , 0

)V 1

2 =

(0, 0,

1√2,

1√2, 0, . . . , 0

)...

...

V 1N/2 =

(0, . . . , 0,

1√2,

1√2

)si chiamano segnali scalati di Haar. Usando questi vettori, possiamoottenere le componenti del trend t1 come segue:

ti = (f,V 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .

Osservazione. I segnali scalati di Haar sono simili alle wavelets di Haar:

hanno energia uguale a 1 e supporto che consiste ancora di 2 intervalli

consecutivi. Ora la media non e piu zero!



I vettori

V 11 =

(1√2,

1√2, 0, . . . , 0

)V 1

2 =

(0, 0,

1√2,

1√2, 0, . . . , 0

)...

...

V 1N/2 =

(0, . . . , 0,

1√2,

1√2


ti = (f,V 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .






I vettori

V 11 =

(1√2,

1√2, 0, . . . , 0

)V 1

2 =

(0, 0,

1√2,

1√2, 0, . . . , 0

)...

...

V 1N/2 =

(0, . . . , 0,

1√2,

1√2


ti = (f,V 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .






I vettori

V 11 =

(1√2,

1√2, 0, . . . , 0

)V 1

2 =

(0, 0,

1√2,

1√2, 0, . . . , 0

)...

...

V 1N/2 =

(0, . . . , 0,

1√2,

1√2


ti = (f,V 1i ), i = 1, 2, . . . ,N/2 .





Wavelets di Haar: secondo livello

Definiamo i vettori N dimensionali V 2i ,W

2i , i = 1, . . . ,N/4

V 21 =

(12 ,

12 ,

12 ,

12 , 0, . . . , 0

)W 2

1 =(

12 ,

12 ,−

12 ,−

12 , 0, . . . , 0

)V 2

2 =(0, 0, 0, 0, 1

2 ,12 ,

12 ,

12 , 0, . . . , 0

)W 2

2 =(0, 0, 0, 0, 1

2 ,12 ,−

12 ,−

12 , 0, . . . , 0

)...

...V 2

N/4 =(0, . . . , 0, 1

2 ,12 ,

12 ,

12

)W 2

N/4 =(0, . . . , 0, 1

2 ,12 ,−

12 ,−

12

)Allora i vettori t2 e d2, che hanno N/4 componenti, si ottengono comesegue:

t2 =(

(f,V 21 ), . . . , (f,V 2

N/4))

d2 =(

(f,W 21 ), . . . , (f,W 2

N/4))


Wavelets di Haar: secondo livello

Definiamo i vettori N dimensionali V 2i ,W

2i , i = 1, . . . ,N/4

V 21 =

(12 ,

12 ,

12 ,

12 , 0, . . . , 0

)W 2

1 =(

12 ,

12 ,−

12 ,−

12 , 0, . . . , 0

)V 2

2 =(0, 0, 0, 0, 1

2 ,12 ,

12 ,

12 , 0, . . . , 0

)W 2

2 =(0, 0, 0, 0, 1

2 ,12 ,−

12 ,−

12 , 0, . . . , 0

)...

...V 2

N/4 =(0, . . . , 0, 1

2 ,12 ,

12 ,

12

)W 2

N/4 =(0, . . . , 0, 1

2 ,12 ,−

12 ,−

12

)Allora i vettori t2 e d2, che hanno N/4 componenti, si ottengono comesegue:

t2 =(

(f,V 21 ), . . . , (f,V 2

N/4))

d2 =(

(f,W 21 ), . . . , (f,W 2

N/4))


Analisi MultiRisoluzione (MRA)

Ci servono due operazioni sui vettori f e g.

Addizione e sottrazione: f + g = (f1 + g1, . . . , fN + gN),f − g = (f1 − g1, . . . , fN − gN).

Moltiplicazione per una costante: cf = (cf1, . . . , cfN).

Usando le due operazioni possiamo scrivere

f = (f1, 0, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , fN)

f = f1(1, 0, . . . , 0) + · · ·+ fN(0, . . . , 1)

Se definiamo V 01 = (1, 0, . . . , 0), . . . ,V 0

N = (0, 0, . . . , 1) allora

f =N∑

i=1

fiV0i . (4)

La (4) e l’espansione naturale di un segnale nella base naturale

V 01 , . . . ,V

0N .







f = (f1, 0, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , fN)

f = f1(1, 0, . . . , 0) + · · ·+ fN(0, . . . , 1)

Se definiamo V 01 = (1, 0, . . . , 0), . . . ,V 0

N = (0, 0, . . . , 1) allora

f =N∑

i=1

fiV0i . (4)


V 01 , . . . ,V

0N .







f = (f1, 0, . . . , 0) + · · ·+ (0, . . . , fN)

f = f1(1, 0, . . . , 0) + · · ·+ fN(0, . . . , 1)

Se definiamo V 01 = (1, 0, . . . , 0), . . . ,V 0

N = (0, 0, . . . , 1) allora

f =N∑

i=1

fiV0i . (4)


V 01 , . . . ,V

0N .



Facciamo vedere che la MRA con wavelets di Haar consente di esprimere un segnale f come somma delle waveletsdi Haar e segnali scalati di Haar.

1

f =

(t1√

2,

t1√2,

t2√2,

t2√2, . . . ,

tN/2√2,

tN/2√2

)︸︷︷︸

T1

+

(d1√

2,−

d1√2,

d2√2,−

d2√2, . . . ,

dN/2√2,−

dN/2√2

)︸︷︷︸

D1

ovvero f = T 1 + D1, con T 1 che indica la prima media del segnale e D1 il primo dettaglio del segnale.

2

T 1 =

N/2∑i=1

ti V1i =

N/2∑i=1

(f , V 1i )V 1

i (5)

D1 =

N/2∑i=1

di W1i =

N/2∑i=1

(f ,W 1i )W 1

i (6)

... che dicono: T 1 e la combinazinone di segnali scalati di Haar con i valori del primo trend mentre D1 e lacombinazione dei wavelets di Haar con coefficienti che sono i valori della prima fluttuazione.




1

f =

(t1√

2,

t1√2,

t2√2,

t2√2, . . . ,

tN/2√2,

tN/2√2

)︸︷︷︸

T1

+

(d1√

2,−

d1√2,

d2√2,−

d2√2, . . . ,

dN/2√2,−

dN/2√2

)︸︷︷︸

D1


2

T 1 =

N/2∑i=1

ti V1i =

N/2∑i=1

(f , V 1i )V 1

i (5)

D1 =

N/2∑i=1

di W1i =

N/2∑i=1

(f ,W 1i )W 1

i (6)





1

f =

(t1√

2,

t1√2,

t2√2,

t2√2, . . . ,

tN/2√2,

tN/2√2

)︸︷︷︸

T1

+

(d1√

2,−

d1√2,

d2√2,−

d2√2, . . . ,

dN/2√2,−

dN/2√2

)︸︷︷︸

D1


2

T 1 =

N/2∑i=1

ti V1i =

N/2∑i=1

(f , V 1i )V 1

i (5)

D1 =

N/2∑i=1

di W1i =

N/2∑i=1

(f ,W 1i )W 1

i (6)



Analisi MultiRisoluzione (MRA): esempio

Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo

1 t1 = (5√

2, 11√

2, 7√

2, 5√

2) eT 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5

√2V 1

1 +11√

2V 12 +7√

2V 13 +5√

2V 14 .

NB: la posizione dei valori ripetuti corrisponde precisamente colsupporto dei segnali scalati

2 d1 = (−√

2,−√

2,√

2, 0) eD1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) = −

√2W 1

1 −√

2W 12 +√

2W 13 +0W 1

4 .

3 Infine

f = T 1 + D1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) .



Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo

1 t1 = (5√

2, 11√

2, 7√

2, 5√

2) eT 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5

√2V 1

1 +11√

2V 12 +7√

2V 13 +5√

2V 14 .


2 d1 = (−√

2,−√

2,√

2, 0) eD1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) = −

√2W 1

1 −√

2W 12 +√

2W 13 +0W 1

4 .

3 Infine

f = T 1 + D1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) .



Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo

1 t1 = (5√

2, 11√

2, 7√

2, 5√

2) eT 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5

√2V 1

1 +11√

2V 12 +7√

2V 13 +5√

2V 14 .


2 d1 = (−√

2,−√

2,√

2, 0) eD1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) = −

√2W 1

1 −√

2W 12 +√

2W 13 +0W 1

4 .

3 Infine

f = T 1 + D1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) .



Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Avremo

1 t1 = (5√

2, 11√

2, 7√

2, 5√

2) eT 1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) = 5

√2V 1

1 +11√

2V 12 +7√

2V 13 +5√

2V 14 .


2 d1 = (−√

2,−√

2,√

2, 0) eD1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) = −

√2W 1

1 −√

2W 12 +√

2W 13 +0W 1

4 .

3 Infine

f = T 1 + D1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5) + (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0) .


MRA: idea generale

L’idea generale della MRA e la seguente

Un segnale f e la somma di un segnale a risoluzione inferiore, omediato, T 1 e un segnale di dettagli, D1.


MRA: livelli successivi

L’algoritmo della MRA continua finche il segnale puo dividersi per 2.

1 Il passo 2 e. f = T 2 + D2 + D1 con T 1 = T 2 + D2 e

T 2 = (f ,V 21 )V 2

1 + · · ·+ (f ,V 2N/4)V 2

N/4 ;

D2 = (f ,W 21 )W 2

1 + · · ·+ (f ,W 2N/4)W 2

N/4 .

2 Il passo generale k .

f = T k + Dk + · · ·+ D2 + D1 .





T 2 = (f ,V 21 )V 2

1 + · · ·+ (f ,V 2N/4)V 2

N/4 ;

D2 = (f ,W 21 )W 2

1 + · · ·+ (f ,W 2N/4)W 2

N/4 .


f = T k + Dk + · · ·+ D2 + D1 .





T 2 = (f ,V 21 )V 2

1 + · · ·+ (f ,V 2N/4)V 2

N/4 ;

D2 = (f ,W 21 )W 2

1 + · · ·+ (f ,W 2N/4)W 2

N/4 .


f = T k + Dk + · · ·+ D2 + D1 .


Ancora sull’esercizio

Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Allora t2 = (16, 12) e

T 2 = 16(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 0, 0, 0, 0) + 12(0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2) = (8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6)

Inoltre, d2 = (−6, 2) e

D2 = −6(1/2, 1/2,−1/2,−1/2, 0, 0, 0, 0)+2(0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2,−1/2,−1/2) = (−3,−3, 3, 3, 1, 1,−1,−1) .

Verificare che f = T 2 + D2 + D1.

Esercizio. Si campioni un segnale su N = 210 punti. Sicostruiscano i 10 livelli della MRA. Dopo 10 passi, T 10 consisteradi un singolo valore ripetuto N volte con valore corrispondente allamedia di tutti i N = 210 valori del segnale.


Ancora sull’esercizio

Sia f=(4,6,10,12,8,6,5,5). Allora t2 = (16, 12) e

T 2 = 16(1/2, 1/2, 1/2, 1/2, 0, 0, 0, 0) + 12(0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2, 1/2, 1/2) = (8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6)

Inoltre, d2 = (−6, 2) e

D2 = −6(1/2, 1/2,−1/2,−1/2, 0, 0, 0, 0)+2(0, 0, 0, 0, 1/2, 1/2,−1/2,−1/2) = (−3,−3, 3, 3, 1, 1,−1,−1) .

Verificare che f = T 2 + D2 + D1.

Esercizio. Si campioni un segnale su N = 210 punti. Sicostruiscano i 10 livelli della MRA. Dopo 10 passi, T 10 consisteradi un singolo valore ripetuto N volte con valore corrispondente allamedia di tutti i N = 210 valori del segnale.



Si e utilizzata la funzione g(x) gia considerata in precedenza.


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Trasformata e Wavelet di Haar - webalice.it · Trasformata e Wavelet di Haar Quarto incontro del Progetto Lauree Scienti che 2010 Stefano De Marchi Dipartimento di Matematica Pura