Embed Size (px)
Citation preview
CA
B
α
β
090
Znamo da je zbir unutrašnjih uglova u svakom trouglu 0180 , a kako je naš trougao pravougli ,jedan njegov ugao je 090 , tako da ostaje da zbir ostala dva takođe mora biti 090 . Postavimo sistem:
0
0
00 0
0 0 0 0 0 0
90
22
1122 112 56
2
90 56 90 90 56 34
α β
α β
α α α
α β β β β
+ =
− =
= → = → =
+ = → + = → = − → =
α β
A B
C
036γ =
Znamo da je zbir unutrašnjih uglova u svakom trouglu 0180 :
0
0 0
0 0
0
180
36 180
180 36
144
α β γ
α β
α β
α β
+ + =
+ + =
+ = −
+ =
Dobili smo jednu jednačinu, a drugu ćemo dobiti prateći tekst zadatka: njihov zbir je tri puta veći od njihove razlike:
0
0
0
3 ( )
144 3 ( )
144
3
48
α β α β
α β
α β
α β
+ = ⋅ −
= ⋅ −
− =
− =
Sada možemo postaviti sistem:
0
0
00 0
0
0 0 0 0 0
144
48
1922 192 96
2
144
96 144 144 96 48
α β
α β
α α α
α β
β β β
+ =
− =
= → = → =
+ =
+ = → = − → =
Zbir unutrašnjih uglova u svakom četvorouglu je 0360 , a kako znamo zbir tri ugla da je 0268 , četvrti ugao ćemo naći kad :
0 0
0
360 268
92
δ
δ
= −
=
a
b
cc
α α
γ γ
Znamo da je zbir unutrašnjih uglova kod svakog trapeza 0360 . Kako je naš trapez jednakokraki , to nam govori da su uglovi na osnovicama jednaki( vidi sliku). Još znamo da je zbir naspramnih uglova 0180 . Formiramo sistem:
0
0
00 0
0
0 0
0 0
0
30
180
2102 210 105
2
180
105 180
180 105
75
γ α
γ α
γ γ γ
γ α
α
α
α
− =
+ =
= → = → =
+ =
+ =
= −
=
Ovde ćemo koristiti činjenicu da je zbir unutrašnjeg i spoljašnjeg ugla 0180 .
α
80
40
130
140o o
oo o50
Za spoljašnji ugao od 0130 odgovarajući unutrašnji je 0 0 0180 130 50− = ( vidi sliku) Za spoljašnji ugao od 040 odgovarajući unutrašnji je 0 0 0180 40 140− = ( vidi sliku) Sad znamo tri unutrašnja ugla, i znamo da je zbir sva četiri 0360 . Dakle:
0 0 0 0
0 0
0
360 (50 80 140 )
360 270
90
α
α
α
= − + +
= −
=
Uočimo na slici označeni ( žuti) trougao.
30o
26o
40o
50o
δ110
o
70o
Kako je zbir unutrašnjih uglova u svakom trouglu 0180 , nalazimo da je treći njegov ugao 0110 , a njegov odgovarajući spoljašnji je onda 070α = . Uočimo dalje na slici označeni ( plavi ) trougao.
o
30
26o
40o
50o
δ
70o
o
60
oo120
Njegov treći ugao je očigledno β = 0 0 0 0 0 0180 (70 50 ) 180 120 60− + = − = Onda je njegov spoljašnji 0120 . I konačno , uočimo crveni trougao:
30
26
50
oo
o
o
o
40o
δ
120
δ = 0 0 0 0 0 0180 (120 26 ) 180 146 34− + = − =
Kako su uglovi na osnovici po 072 , treći , nepoznati ugao gama ćemo izračunati:
0 0 0 0 0 0180 (72 72 ) 180 144 36γ = − + = − =
Kako u zadatku kaže da je AD simetrala ugla na osnovici od 072 , a znamo da simetrala deli ugao na dva jednaka dela to je:
0
07236
2δ = =
Onda zaključujemo da je i ugao 036BAD =∡ . Naravno , onda je ugao beta:
0 0 0 0 0 0180 (36 72 ) 180 108 72β = − + = − =
A B
D
C
72o
β
δ
γ=36
=72
=36
o
o
o
6cm
6cm
6cm
Trougao ABD je jednakokraki, dakle BA = DA = 6cm. Trougao ADC je takodje jednakokraki , pa je AD = DC = 6 cm Dužina BADC će biti : 6 + 6 + 6 = 18cm Napomena: Trougao sa uglovima od 072 , 072 i 036 zove se ZLATNI TROUGAO.
Posmatrajmo trouglove ABD i MBD.
A B
M
D N C
Visina trougla AMB je polovina visine trougla ABD. Površina trougla ABD je 2ABD
AB hP
⋅=
△, a površina trougla
AMD je 12
2 2AMD AMB
hAB
P P
⋅= =
△ △.
Na sličan način zaključujemo da je 12
2 2BND BCD
hCD
P P
⋅= =
△ △
Šta nam ovo govori? Pa da je osenčeni deo ustvari baš polovina od površine četvorougla ABCD, pa je :
21 124 12
2 2BNDM ABCDP P cm= = =▱ ▱
18
?
?u
O cm
P
r
=
=
=
2 2
2
3
18 3
18
36
3 6 3 36 39 3
4 4 4
3 6 33
6 6u
O a
a
a
a cm
aP cm
ar cm
=
=
=
=
= = = =
= = =
Najpre da nacrtamo odgovarajuću sliku:
A B
CD M
12cm
6cmh
Uočimo da je visina trougla jednaka stranici BC pravougaonika , dakle h = 6cm. Sada nije teško naći površinu trougla:
2
2
212 6
2
36
a hP
AB hP
P
P cm
⋅=
⋅=
⋅=
=
△
12
9
6
?a
b
a cm
b cm
h cm
h
=
=
=
=
Nepoznatu visinu ćemo naći kombinujući formule za površinu trougla:
i 2 2
pomnožimo sve sa 22 2
odavde izrazimo
12 6
98
a b
a b
a b b
ab
b
b
a h b hP P
a h b h
a h b h h
a hh
b
h
h cm
⋅ ⋅= =
⋅ ⋅=
⋅ = ⋅
⋅=
⋅=
=
Nacrtajmo najpre sliku:
6cm
3cm
Uočavamo da je visina trougla ABS jednaka polovini visine celog trougla , dakle 3cm.
2
2
214 3
2
21
a hP
AB hP
P
P cm
⋅=
⋅=
⋅=
=
△
A BS
C
h
A S
C
h
BS
C
h
Najpre uočimo da je visina h celog trougla ABC , istovremeno i visina trouglova ASC i SBC. Krenućemo od datog odnosa površina trouglova i naći traženi odnos:
: 12 :8
: 12 :8 (kratimo h i 2)2 2: 12 :8 (skratimo sa 4)
: 3 : 2
ASC BSCP P
AS h SB h
AS SB
AS SB
=
⋅ ⋅=
=
=
△ △
Kako su svi trouglovi podudarni( imaju jednake površine) , naći ćemo površinu jednog. Kako? Pa jednostavno prebrojimo koliko ih ima , 16 , i podelimo površinu celog trougla sa brojem malih trouglova.
248 :16 3cm= to je površina jednog malog trougla. Dalje prebrojimo osenčene trougliće, ima ih 10, i to pomnožimo sa 3.
2. 10 3 30os delaP cm= ⋅ =
Tačka A je mesto gde prava y = -x +3 seče x osu. Znači, u datoj jednačini stavimo y = 0 i izračunamo x.
3
0 3
0 3
3
y x
x
x
x
= − +
= − +
+ =
=
Dakle, tačka A ima koordinate A( 3,0). Tačka B je mesto preseka pravih y = -x +3 i y = 2x . Presek ćemo naći rešavajući sistem jednačina od te dve prave:
3
2
3 2
2 3
3 3
1
Kako je y = 2x y=2
y x
y x
x x
x x
x
x
= − +
=
− + =
− − = −
− = −
=
→
Tačka B ima koordinate B(1,2)
1 A
B
y=-x+3
y=2x
3
3
2
h
0x
y
Trougao OAB ima osnovicu dužine 3 i visinu 2, pa je:
23 2
23
a hP
P
P
⋅=
⋅=
=
△
A B
CD
O S
3cm 3cm7cm
3cm
3cm
10cm
6cm
Duža stranica pravougaonika je 3 + 7 + 3 = 13cm Kraća stranica pravougaonika je 3 + 3 = 6cm
2
13 6
78
P a b
P
P cm
= ⋅
= ⋅
=
1
2
1 2
2
7
12
?
Samo upotrebimo formulu:
27 12
2
42
d cm
d cm
P
d dP
P
P cm
=
=
=
⋅=
⋅=
=
A B
CD
a
a
d
d
1
2
a =
d2_2
a
Trougao ABD je prema podacima jednakostraničan, a njegova visina je polovina duže dijagonale, znači 3 cm. Upotrebićemo formulu za visinu jednakostraničnog trougla i tako naći stranicu a .
1
3
2
33
2
3 6
6 racionališemo
3
6 3
3 3
6 3
3
2 3
2 3
ah
a
a
a
a
a
a cm
d a cm
=
=
=
=
= ⋅
=
=
= =
△
△
1 2
2
Samo upotrebimo formulu:
2
2 3 6
2
6 3
d dP
P
P cm
⋅=
⋅=
=
2
9
5
?
Najpre ćemo naći srednju liniju:
9 5 147
2 2 2Kako su srednja linija i visina jednaki , mora biti: h=7cm
7 7
49
a cm
b cm
h m
P
a bm cm
P m h
P
P cm
=
=
=
=
+ += = = =
= ⋅
= ⋅
=
2
9
12
36
) ? ?
) ?
Iskoristićemo površinu i naći visinu trapeza:
P=m h
36=9 h
36h=
94
Iz srednje linije ćemo naći drugu osnovicu:
212
92
12 9 2
12 18
6
m cm
a cm
P cm
A h b
B c
h cm
a bm
b
b
b
b cm
=
=
=
= =
=
⋅
⋅
=
+=
+=
+ = ⋅
+ =
=
Primenom Pitagorine teoreme dolazimo da kraka c:
22 2
2
2 2
2 2
2
2
2
12 64
2
16 3
16 9
25
25
5
a bc h
c
c
c
c
c
c cm
− = +
− = +
= +
= +
=
=
=
45o
45o
Sa slike jasno uočavamo jednakokrako pravougli trougao sa katetama h i a – b. Onda je h = a-b = 4cm Stranicu c možemo naći primenom Pitagorine teoreme, a možemo razmišljati da je to dijagonala kvadrata stranice
4cm, i odmah dobijamo da je 4 2c cm=
12 8 4 2 4
24 4 2 ( ili ako izvučemo 4 ispred zagrade)
4(6 2)cm
O a b c h
O
O
O
= + + +
= + + +
= +
= +
Nadjimo najpre dužinu srednje linije trapeze:
28 6
214
27
a bm
m
m
m cm
+=
+=
=
=
Dakle XY= 7cm
A B
CD
E FX Y
a=8cm
b=6cm
3cm
Uočimo na slici trougao ACD ( plavi). Kod njega je XE srednja linija trougla, pa je jednaka polovini paralelne stranice:
63
2 2
CDXE cm= = =
A B
CD
E FX Y
a=8cm
b=6cm
3cm
Posmatrajmo sada trougao BCD.
FY je srednja linija ovog trougla :
63
2 2
CDFY cm= = =
A B
CD
E FX Y
a=8cm
b=6cm
3cm3cm1cm
Našli smo da je XZ = 7cm, XE = 3cm i FY = 3cm. Odavde: EF = 7 - 3- 3 = 1cm
Nađimo najpre srednju liniju trapeza, pa će njena polovina biti visina:
216 8
224
212
a bm
m
m
m cm
+=
+=
=
=
12
2 26
mh
h cm
= =
=
Dalje nam je neophodna slika:
A B
CD
P Q
X
Y
a=16cm
b=8cm
h=3cm
h=3cm
h=6cm
Visine trouglova PQX i PQY su jednake polovini visine trapeze, dakle po 3cm. Površinu traženog četvorougla ćemo naći kao zbir površina ova dva trougla, čija je osnovica PQ ustvari srednja linija trapeza dužine 12 cm a visine po 3cm:
2
12 3 12 3
2 218 18
36
PQX PQYP P P
P
P
P cm
= +
⋅ ⋅= +
= +
=
▱ △ △
▱
▱
▱
Iskoristićemo činjenicu da težište deli težišnu duž u odnosu 2: 1. Evo slike:
A B
C
D
S
T
X
2X
Y
2Y
O
Ako dužinu SO obeležimo sa x, onda će DS biti 2x. ( 2SO x DS x= → = ) Ako dužinu TO obeležimo sa y, onda će BT biti 2y. ( 2TO y BT y= → = ) Cela duž BD je
24 2 2
24 3 3 sve podelimo sa 3
x + y = 8
BD BT TO OS SD
y y x x
x y
= + + +
= + + +
= +
Dakle, traženo rastojanje je TS = 8cm.
Proučimo najpre crtež:
x
y
1 3 4 5
1
2
3
4
0 6 7 8 9
A(1,2)
D(5,3)
C(9,2)
B(2,0)
h=1
h=2
Vidimo da se četvorougao ABCD sastoji od dva trougla čija je osnovica ista AC = 9-1 = 8, i visina koje su 3-2=1( žuti trougao) i 2-0=2( plavi trougao).
8 14
2ACDP⋅
= =△
Nadjimo i površinu trougla ABC
8 28
2ABCP⋅
= =△
Površina četvorougla ABCD jednaka je zbiru površina ova dva trougla:
4 8
12
ABCD ABC ACD
ABCD
ABCD
P P P
P
P
= +
= +
=
▱ △ △
▱
▱
WWW.MATEMATIRANJE.IN.RS
