Embed Size (px)
Citation preview
Trigonometrija pravouglog trougla
-Ako je trougao pravougli gde je C = 90, A = , B =, a, b katete i c hipotenuza, tada važe sledeće definicije:
-Osnovni trigonometrijski identiteti:
sin2 + cos2 = 1
tg = sinαcosα
ctg = cosαsin α
tg * ctg = 1
sin = tg α
√1+tg2α
cos = 1
√1+tg2α
-Vrednosti nekih trigonometrijskih funkcija:
1 . Date su katete pravouglog trougla a=8 cm i b= 6 cm. Odrediti vrednost svih trigonometrijskih funkcija uglova i .
c2= a2 + b2 = 82 + 62 = 64 +36 = 100 c=10
sin = ac= 810
=45 cos =
bc= 610
=35
sin = bc= 610
=35 cos =
ac= 810
=45
tg = ab=86=43 ctg =
ba=34
tg = ba=34 ctg =
43
2. Dat je pravougaonik ABCD čije su stranice a=4 i b= 3 cm. Odrediti odgovarajuće vrednosti svih trigonometrijskih funkcija ugla koji dijagonala obrazuje sa:
a) manjom stranicom
b) većom stranicom pravougaonika.
a) d2 = a2 + b2= 42+ 32 = 16 + 9 = 25 d=5
sin = ad=45 tg =
ab=43
cos = bd ¿35 ctg =
ba=34
b) sin = bd ¿35 tg =
ba=34
cos = ad=45 ctg =
ab=43
3. Izračunati vrednost trigonometrijskoh funkcija nagibnog ugla dijagonale kocke prema osnovi.
d= a √2
D= a√3
sin = aD
= aa√3
= 1√3
=√33
tg = ad= 1
√2=√22
cos = dD ¿
a√2a√3
=√ 23 ctg = da=√2
4. U pravouglom trouglu hipotenuza c= 24 cm i sin = 0,8. Izračunati katete.
sin = 0,8 = ac a= 0,8 * c = 0,8 * 24 = 19,2
c2= a2 + b2
b2 = c2 – a2 = 242- 19,22= 576 – 368,64 = 207,36
b= 14,4
5. Tangns jednog od oštrih uglova pravouglog trougla iznosi 0,75, a manja kateta je 18 cm. Odrediti drugu katetu i hipotenuzu.
tg = 0,75
b= 18
Neka je ugao tj. tg =ab=0,75 a= 0,75*18=13,5 u zadatku piše da je b manja tangenta pa ovo
nije rešenje
Onda je preostalo da je ugao , tj. tg =ba=0,75 b= 0,75*a a =
b0,75
= 180,75
=24
c2= a2 + b2 = 242 + 182 = 576 + 324 = 900 c= 30
6. Proveriti tačnost jednakosti:
a) sin 54 = cos 36
b) cos 7530’ = sin 14 30’
c) cos (30 - )= sin (60 + ), 0 30
a) sin 54 = cos (90 - 54) = cos 36
b) domaći
c) domaći
7. Ako je =30, dokazati da je 4−sinα1−sinα
− 254c os2α
+ 21+sinα
=0
4+4 sinα−sinα−sin2α+2−2 sinα1−sin2α
− 254cos2α
=0
4 (6+sinα−sin 2α )−254cos2α
=0 24+4 sinα−4 sin2α−25
4cos2α=0
4 sinα−4 sin2α−1=0 cos2α 0
Uvedimo smenu :sinα=t
4t – 4t2 – 1 = 0
4t2-4t+1=0 t = 12 sin =
12 = 30
8. Ako je =30, izračunati vrednost izraza:
a) cos 2 +sin = cos60+sin30 = 12+ 12=1
b) sin2 - cos = sin 60 - cos 30 = √32
−√32
=0
c) tg 2 - tg = tg 60 - tg 30 = √3− 1√3
= 2√33
d) ctg 2 + ctg = ctg 60 + ctg 30 = √33
+√3= 4√33
9. Ako je 9 sinα−3cosα2 sinα+cosα
=2, odrediti tg i ugao (0 90).
9 sinα−3cosα2 sinα+cosα
=2 9 sinα−3cosα=¿2 (2 sinα+cosα) 9 sinα−3cosα=¿4sinα+2cosα
9 sinα−4 sinα=2 cosα+3 cosα 5 sinα=5cosα sinαcosα
=1 tg =1 = 45
10. Dokazati jednakost: sin4α+cos2α+sin2α cos2α = 1
sin 4α+sin 2α cos2α +cos2α = 1 sin2α (sin 2α+cos2α )+cos2α = 1 sin2α+cos2α=1
1= 1
11. Dokazati jednakost: sin2α=cos2α−cos4α+sin4α
sin2α=cos2α−cos4α+sin4α sin2α=cos2α (1−cos2α )+sin 4α
sin2α=cos2α sin2α+sin4α sin2α=sin 2α (cos2α+sin2α) sin2α=sin2α
12. Dokazati jednakost: tg2α−sin2α=tg2α sin 2α
tg2α (1−sin2α )=sin2α tg2α cos2α=sin2α tg2α= sin2α
cos2α tg2α= tg2α
13. Dokazati jednakost: ctg2α−cos2α=cos2α ctg2α - Domaći
14. Dokazati jednakost: sinα1−cosα
=1+cosαsinα - Domaći
15. Dokazati jednakost: (1+tg + 1cosα
¿(1+tgα− 1cosα )=2 tgα
(1+tg + 1cosα
¿(1+tgα− 1cosα )=2 tgα
(1+tgα ) 2 - 1
cos2α = 2 tgα
1+2tg + tg2 - 1
cos2α=2tgα
1+ tg2 - 1
cos2α=0
1+tg2 - cos2α+sin2αcos2α
=¿ 0
1+ tg2 - 1 - tg2 = 0
0= 0
16. Ako je x = acosα
+btgα i y= a tg + bcosα , dokazati da je x2- y2 = a2 – b2.
( acosα
+btgα )2
−(a tg+ bcosα
)2
= a2 – b2
a2
cos2α+ 2∗ab tgα
cosα+b2 tg2α−a2tg2α−2∗ab tgα
cos α− b2
cos2α=¿ a2 – b2
1cos2α
(a2 – b2) + tg2α (b2−a2 )=¿ a2 – b2
1cos2α
(a2 – b2) −tg2α (a2−b2 )=¿ a2 – b2
1cos2α
−tg2α=1 1
cos2α− sin
2αcos2α
=1 1−sin2αcos2α
=1 cos2αcos2α
=1 1 = 1
17. Ako je x = cosαcos β
, y= cos tg , z= sin izračunati A = x2- y2 + z2 .
( cosαcos β
)2
−(cos tg)2+sin 2α=cos2α( 1cos2β
− sin2β
cos2 β )+sin2α=cos2α 1−sin2 βcos2β+sin2α=cos2α cos
2βcos2β
+sin2α=cos2α+sin2α=1
18. Dokazati identitet: (tg3α+ 1−tg αctg α ) : ( 1−ctg αt gα + ctg3α ) = tg4α
(tg3α+ 1ctg α
− tgαctg α ) : (
1tgα
−¿ ctg αtg α + ctg3α ) = tg4α
(tg3α+tg α−tg2α ) : ( 1tgα
−¿ 1tg αtg α
+ 1tg3α
) = tg4α
tg (tg2α+1 – tg α ) : ( 1tgα
−¿
1tg αtg α1
+ 1tg3α
) = tg4α
tg (tg2α – tg α+1 ) : ( 1tgα
−¿ 1tg2α
+ 1tg3α
) = tg4α
tg (tg2α – tg α+1 ) : 1tg3α
( tg2α – tg α+1 ) = tg4α
tg (tg2α – tg α+1 ) * tg3αtg2α – tgα+1
= tg4α
tg4α = tg4α
19. Dokazati identitet: 1+sinα cos αcos3α – sin3α
+ 1sinα+cos α
+ sin2α−2cosα−1cos2α−sin2α
= 1tg2α−1
1+sin α cos αcos3α – sin3α
+cos α−sin α+¿ sin2α−2 cosα−1cos2α−sin2α
= 1tg2α−1
¿
1+sin α cos αcos3α – sin3α
+−sinα+¿ sin 2α−cosα−1cos2α−sin2α
= 1tg2α−1
¿
1+sin α cos αcos3α – sin3α
− sin α−¿ sin2α+cosα+1cos2α−sin2α
= 1tg2α−1
¿
1+sin α cos αcos3α – sin3α
− sin α+¿cos2α+cosαcos2α−sin2α
= 1tg2α−1
¿
1+sin α cosα(cos α−sinα )(cos2α+cos α sinα+sin2α )
−sinα+¿cos2α+cosαcos2α−sin2α
= 1tg2α−1
¿
1+sinα cosα(cos α−sinα)(1+cos α sinα)
− sinα+¿cos2α+cosαcos2α−sin2α
= 1tg2α−1
¿
1cosα−sin α
– sinα+¿cos2α+cosαcos2α−sin 2α
= 1tg2α−1
¿
cos α+sin α− sin α−¿cos2α−cosαcos2α−sin2α
= 1tg2α−1
¿
−c os2αcos2α−sin2α
= 1tg2α−1
cos2α
sin2α−cos2α= 1tg2α−1
1
tg2α−1= 1tg2α−1
20. Dokazati identitet : sin3α+cos3α
(sinα−cosα )(1−sinα cosα)– 1+2cos2αcos2α (tg2α−1)
= 2tgα+1
(cos α+sin α )(cos2α−cos α sinα+sin2α )( sinα−cosα )(1−sinα cosα)
− 1+2cos2α
cos2α( sin2α
cos2α−1)
= 2tgα+1
(cos α+sin α )(1−cos α sin α)( sinα−cosα )(1−sinα cosα )
− 1+2cos2α(sin 2α−cos2α)
= 2tgα+1
cosα+sinα(sinα−cosα )
− 1+2cos2α( sinα−cosα )(sinα+cos α )
= 2tgα+1
sinαcosα+cos2α+sin2α+sinαcosα−1−2cos2α( sinα−cosα )(sinα+cos α )
= 2tgα+1
2 sinαcosα−2cos2α(sinα−cosα )(sinα+cosα )
= 2tgα+1
2cosα (sinα−cosα )(sinα−cosα )(sinα+cosα )
= 2tgα+1
2cosα(sinα+cosα )
= 2tgα+1
2tgα+1
= 2tgα+1
21. Dokazati identitet: sin α
cosα+sin α– cosαcosα – sinα = tg
2α+1tg2α−1
sinα (cos α – sinα )−cos α(cosα+sinα)¿¿
= tg2α+1tg2α−1
sin α cos α−sin2α−cos2α−cos α sin α¿¿
= tg2α+1
tg2α−1
−sin2α−cos2αcos2α−sin2α
= tg2α+1tg2α−1
sin2α+cos2αsin2α−cos2α
= tg2α+1tg2α−1
tg2α+1tg2α−1
= tg2α+1
tg2α−1
