Upload
widyaiswari
View
247
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Relativitas Elektrodinamika dan Pengaruh Medan Elektromagnetik pada Partikel Bermuatan
Citation preview
BAB I
PENDAHULUAN
Mulanya, elektromagnetisme dan optik dikaitkan dan dijelaskan dengan teori
gelombang berdasarkan persamaan Maxwell. Sejak dulu, eksperimen tentang pergerakan
gelombang selalu melibatkan medium untuk perambatan gelombang, sehingga para fisikawan
berasumsi bahwa cahaya membutuhkan medium untuk merambat. Berdasarkan hal tersebut,
timbul asumsi tentang keberadaan ether di semesta sebagai medium perambatan cahaya yang
kerapatannya dan interaksinya dengan bahan diabaian.
Hipotesis keberadaan ether membuat fenomena elektromagnetik berbeda dari fenomena
fisika lainnya. Untuk waktu yang lama diketahui bahwa hukum mekanik yang digunakan
adalah sama dalam sistem koordinat yang bergerak relatif satu dengan lainnya. Hukum
mekanik invarian dalam transformasi galileo. Untuk memperjelas perbedaan antara mekanika
klasik dan elektromagnetik, tinjau secara eksplisit persamaan relativitas galileo untuk
masing-masing. Untuk dua kerangka acuan K dan K’ dengan koordinat (x, y, z, t) dan (x’, y’,
z’, t’), bergerak dengan kecepatan relatif v, koordinat ruang dan waktu pada dua kerangka
berdasarkan relativitas Galileo memiliki hubungan sebagai berikut:
x '=x−v t
t '=t(1.1)
Pada mekanika klasik, persamaan gerak dalam kerangka acuan K’ ditunjukkan
persamaan (2), dan dengan hubungan relativitas Galileo, persamaan gerak tersebut dapat
bertransformasi menjadi persamaan gerak Newton dalam kerangka acuan K, yang
ditunjukkan persamaan (3), yang ternyata hasilnya invarian.
mi
d v 'i
dt '=−∇ 'i∑
j
V ij (|x 'i−x ' j|) (1.2)
mi
d v i
dt '=−∇i∑
j
V ij (|xi−x j|) (1.3)
Pada elektromagnetik, persamaan gelombang dalam kerangka acuan K’ ditunjukkan
persamaan (4).
(∑i
∂2
∂ x ' i2−
1c2
∂2
∂ t '2 )ψ=0 (1.4)
Dan dengan menggunakan transformasi Galileo, persamaan gelombang dalam koordinat
kerangka acuan K menghasilkan persamaan (5).
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 1
(∇2− 1c2
∂2
∂ t2 −2c2 v .∇ ∂
∂t− 1
c2 v .∇ v .∇)ψ=0 (1.5)
Persamaan (5) menunjukkan bahwa persamaan gelombang tidak invarian jika dikerjakan
transformasi Galileo. Untuk gelombang suara, kondisi invarian tidak dipenuhi jika dilakukan
transformasi Galileo karena ada angin yang mengganggu (menghamburkan) suara yang
dihasilkan.
Pada eletromagnetik, medium berupa ether ditinjau sebagai medium untuk perambatan
tanpa memberikan manifestasi atau fungsi lainnya. Einstein memikirkan kemungkinan yang
menyebabkan perbedaan hasil relativitas Galileo pada kasus mekanika klasik dan
elektromagnetik, diantaranya:
1. Persamaan Maxwell tidak benar. Teori elektromagnetik yang benar seharusnya
invarian dalam transformasi Galileo.
2. Relativitas Galileo dapat diterapkan pada mekanika klasik, tapi elektromagnetisme
mempunyai kerangka acuan istimewa, dimana ether dalam keadaan diam.
3. Ada prinsip relativitas lain selain relativitas Galileo yang berlaku untuk mekanika
klasik dan elektromagnetik. Artinya, hukum mekanika memerlukan suatu
modifikasi.
Kemungkinan pertama dirasa tidak mungkin, melihat keberhasilan persamaan Maxwell
dalam menggambarkan peristiwa kelistrikan dan kemagnetan. Kemungkinan kedua juga tidak
mungkin, karena hasil eksperimen berikutnya menunjukkan bahwa ether tidak ada. Sehingga
kemungkinan ketiga adalah yang paling mungkin dan yang menjadi dasar dari teori relativitas
khusus yang dikemukakan Einstein.
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 2
BAB II
RELATIVITAS ELEKTRODINAMIKA DAN PENGARUH MEDAN
ELEKTROMAGNETIK PADA PARTIKEL BERMUATAN
Hasil percobaan Michelson-Morley menunjukkan bahwa ether tidak ada. Jika ether
tidak ada, artinya tidak ada kerangka acuan universal di alam semesta. Hal ini menjadi dasar
bagi Einstein untuk mengemukakan teori relativitas yang baru.
2.1. Teori Relativitas Khusus
Teori relativitas khusus didasarkan pada dua postulat yang diajukan oleh Einstein.
Postulat pertama menyatakan bahwa semua hukum fisika (kecuali hukum gravitasi)
dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama berlaku untuk semua sistem yang
inersia. Postulat kedua menyatakan bahwa kecepatan cahaya di ruang hampa besarnya
sama, tidak bergantung pada gerak sumber cahaya relatif terhadap pengamat atau
gerak pengamat relatif terhadap sumber.
Teori relativitas khusus yang dikemukakan Einstein mengakibatkan adanya
dilatasi waktu dan kontraksi panjang, juga berdampak pada munculnya tinjauan
terhadap massa relativistik yang berbeda dari massa diamnya dan menyebabkan
muncul istilah momentm relativistik, energi relativistik, hingga muncul persamaan
yang menyatakan kesetaraan massa dan energi.
Karena transformasi Galileo yang telah ada sebelumnya tidak taat terhadap
postulat Einstein, diperlukan sebuah persamaan transformasi baru yang dapat
meramalkan berbagai efek relativistik dan mampu memberikan hasil yang sama
dengan transformasi Galileo jika laju relatif antara dua kerangka acuan rendah, karena
transformasi Galileo berlaku untuk sistem dengan laju rendah. Transformasi yang
memenuhi persyaratan tersebut adalah transformasi Lorentz.
a. Transformasi Lorentz
Tinjau dua buah sistem inersia tiga dimensi ∑ dan ∑’. Keduanya bergerak dalam
garis lurus relatif antara yang satu dengan yang lainnya, sehingga ∑’ dikatakan
bergerak dengan kecepatan konstan v sepanjang sumbu x sistem ∑. Koordinat
waktu dan ruang untuk kedua sistem adalah t dan (x, y, z) serta t’ dan (x’, y’, z’).
Saat t = t’ = 0, pusat O dan O’ serta sumbu x dan x’ dari kedua sistem inersia
berhimpit, dan saat t posisi relatif keduanya digambarkan pada Gambar 2.1.
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 3
Gambar 2.1. Sistem ∑’ bergerak sepanjang sumbu x sistem ∑
Sesuai dengan kesepakatan, dikenal dua besaran
β= vc
(2.1)
γ= 1
√1−β2 (2.2)
Dimana v=|v|.
Seperti yang ditunjukkan Einstein, kedua postulat relativitas khusus menghendaki
koordinat khusus dan waktu yang diukur oleh pengamat di ∑ dan ∑’,
dihubungkan oleh persamaan transformasi berikut:
c t'=γ (ct−xβ ) (2.3)
x '=γ ( x−vt ) (2.4)
y '= y (2.5)
z '=z (2.6)
Selisih antara kuadrat persamaan (2.3) dan (2.4) diperoleh:
(2.7)
Karena koordinat y dan z tidak terpengaruh oleh gerak sistem inersia ∑’ sepanjang
sumbu x sistem ∑, maka (2.7) dapat digeneralisasi menjadi
(2.8)
Artinya, jika gelombang cahaya dipancarkan dari pusat O dan O’ yang berhimpit
saat t = t’ = 0, gelombang cahaya akan sampai pada pengamat di ∑ pada (x, y, z)
saat t, dan pada pengamat di ∑’ pada (x’, y’, z’) saat t’ sedemikian rupa sehingga
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 4
kedua pengamat menyimpulkan bahwa kelajuan cahaya pada ruang hampa adalah
sama, yaitu c.
b. Ruang Lorentz
Definisikan empat bilangan riil, yang dilambangkan dengan indeks atas = 0, 1,
2, 3, dimana komponen ke-0 adalah ct (c adalah kelajuan cahaya, dan t adalah
waktu), dan komponen lainnya adalah komponen posisi vektor x.
xμ=( x0 , x1 , x2 , x3 )= (ct , x , y , z )≡(ct , x ) (2.9)
Agar xμ merepresentasikan besaran fisis yang dapat diamati, xμ harus
bertransformasi sebagai komponen pembentuk vektor empat dimensi dari posisi
dalam vektor ruang empat dimensi yang real dan linier. Digunakan ruang
Riemannian sebagai ruang 4-D, sebuah ruang matrik dimana jarak dan produk
skalar didefinisikan. Dalam ruang ini, didefinisikan juga tensor matrik yang
disebut gv.
1. Vektor Posisi dalam bentuk Kontravarian dan Kovarian
4-vektor posisi yang didefinisikan pada persamaan (2.9) adalah vektor dalam
bentuk komponen kontravarian. Bentuk kovarian yang merupakan pasangan
vektor posisi tersebut adalah xμ=gμv x μ.
2. Scalar Product
Skalar produk dari xμ didefinisikan sebagai:
gμv xv x μ=xμ xμ (2.10)
Skalar produk tersebut berperan sebagai jarak yang invarian.
3. Tensor Matrik
Dalam ruang Riemannian 4-D, tensor marik gμv dapat dibuat dalam bentuk:
gμv=ημv={ 1−10
jika μ=v=0jika μ=v=i= j=1,2,3
jika μ≠ v(2.11)
Dalam representasi matrik:
(2.12)
Dalam representasi matrik, penurunan indeks dari xμ menjadi:
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 5
(2.13)
Dalam notasi empat-tensor, daapt ditulis:
(2.14)
Sehingga skalar produk dari xμ diperoleh:
xμ xμ= (ct , x )⋅ ( ct ,−x )=c2t 2−x2− y2−z2 (2.15)
Persamaan (2.15) menunjukkan bahwa transformasi Lorentz invarian.
Sehingga dapat dikatakan bahwa ruang 4-D yang digunakan adalah ruang
Lorentz yang dinotasikan sebagai L4. Hubungan antara tensor kontravarian,
kovarian, dan tensor campuran ditunjukkan oleh persamaan berikut:
(2.16)
Versi 4D dari delta Kronecker, δ vμ, memenuhi:
(2.17)
Dalam representasi matrik:
(2.18)
4. Elemen Garis yang Invarian dan Proper Time
Selisih jarak yang sangat kecil, ds, antara dua titik xμ dan xμ+d xμ dalam L4
dapat dihitung dari bentuk kuadrat diferensial.
(2.19)
Akar kuadrat dari persamaan (2.19) menunjukkan elemen garis yang invarian.
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 6
(2.20)
Dimana
dτ=dt /γ (2.21)
dτ mengukur waktu saat tidak ada perubahan spasial, dengan mengambil
waktu yang relatif tetap terhadap kerangka acuan, dτ disebut sebagai proper
time. Proper time dari benda yang bergerak selalu lebih kecil dari rentang
waktu yang bersesuain dalam sistem yang diam. Dapat dikatakan bahwa
waktu yang ditinjau benda yang bergerak lebih lambat dari yang ditinjau
pengamat diam. Inilah yang dikenal dengan dilatasi waktu, sebagai salah satu
dampak dari teori relativitas khusus.
Dengan meninjau transformasi Lorentz yang ditunjukkan persamaan (2.8) dan
bandingkan dengan persamaan (2.19), diperoleh bahwa
(2.22)
adalah invarian, tetap tidak berubah, selama dilakukan transformasi Lorentz.
Interval yang ditunjukkan ds pada sistem inersia memiliki arti fisis yang
berbeda-beda dan ditunjukkan sebagai berikut:
ds adalah time-like interval jika: (2.23)
ds adalah space-like interval jika: (2.24)
ds adalah light-like interval jika:(2.25)
Hal tersebut dapat digambarkan sebagai light cone, dan ditunjukkan pada
Gambar 2.2.
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 7
Gambar 2.2. World line of a system and the light cone. Light cone
menunjukkan light-like interval.
5. Medan Vektor Empat
Medan vektor empat kontravarian dalam L4 secara umum dinotasikan sebagai
aμ=(a0 , a), medan vetor empat kovarian diperoleh:
(2.26)
Skalar produk antara medan vektor empat kovarian dan medan vektor empat
kontravarian bμ ( xκ ) adalah:
(2.27)
Persamaan (2.27) merupakan medan skalar, besaran skalar invarian α ( xκ ) yang
bergantung ruang dan waktu, digambarkan sebagai xκ=(ct , x , y , z ).
6. Matrik Transformasi Lorentz
Transformasi Lorentz koordinat dari sistem ∑ ke sistem ∑’ dapat dituliskan
sebagai:
(2.28)
Dengan Λ vμ adalah matrik transformasi Lorentz yang direpresentasikan sebagai
berikut:
(2.29)
2.2. Mekanika Klasik Kovarian
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 8
Sifat invarian dari definisi proper time dan diferensial jarak ds dalam L4 dapat
digunakan dalam mendefinisikan kecepatan dalam 4D.
(2.30)
Jika persamaan (2.30) dikalikan dengan besaran skalar invarian m0, massa diam, akan
menghasilkan momentum dalam 4D.
(2.31)
Sehingga dapat dituliskan p=m v=γ m0 v , dimana:
(2.32)
Dengan mengalikan komponen ke-0 dari momentum 4D dengan besaran skalar
invarian c, diperoleh:
(2.33)
Karena persamaan (2.33) memiliki dimensi energi, dan c p0 diinterpretasikan sebagai
energi total, maka:
(2.34)
Perkalian skalar dari vektor c pμ akan menghasilkan:
(2.35)
Karena invarian, persamaan (2.35) berlaku pada semua kerangka acuan inersia,
khususnya pada kerangka dimana p = 0. Sehingga diperoleh rumusan kesetaraan
massa dan energi.
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 9
E=m0 c2 (2.36)
2.3. Elektrodinamika Klasik Kovarian
Tinjau rapat muatan sistem inersia dalam keadaan diam sebagai ρ0. Maka vektor
empat (dalam bentuk komponen kontravarian) yang merepresentasikan arus
didefinisikan sebagai:
(2.37)
Dengan
ρ=γ ρ0 (2.38)
Bentuk kontravarian dari operator del 4D adalah ∂μ=∂ /∂ x μ=( 1
c∂
∂ t,−∇), dan bentuk
kovariannya adalah ∂μ=∂ /∂ x μ=( 1c
∂∂ t
,∇). Hasil perkalian skalar antara operator del
dalam bentuk kontravarian dan kovarian akan menghasilkan operator d’Alembert
sebagai berikut:
(2.39)
Karena operator tersebut memiliki sifat four-scalar, maka operator d’Alembert
bersifat invarian, sehingga persamaan gelombang homogen memenuhi persamaan
□2 f (t , x )=0 yang merupakan kovarian Lorentz.
a. Potensial 4-D
Definisikan potensial 4D sebagai:
(2.40)
Dimana ϕ adalah potensial skalar dan A adalah potensial vektor, dengan
□2 ϕ=ρ /ε0 dan □2 A=μ0⋅ J, sehingga persamaan gelombang tidak homogen
dinyatakan sebagai:
(2.41)
Dari persamaan di atas, persamaan elektrodinamika secara kovarian dapat
diturunkan. Untuk persamaan kontinuitas, diperoleh:
∂ ρ∂t
+∇ . J=0 (2.42)
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 10
Persamaan untuk kondisi Lorentz gauge dapat dituliskan:
1
c2
∂ ϕ∂ t
+∇ . A=0 (2.43)
Transformasi gauge dalam bentuk kovarian adalah:
ϕ '=ϕ−∂ Γ∂ t
A '=A+∇ Γ } (2.44)
Jika kontraksi Lorentz hanya dala satu dimensi, maka elemen volume ruang 3D
menjadi:
(2.45)
Dimana d V 0 menunjukkan elemen volume saat sistem dalam keadaan diam,
sehingga persamaan (2.38) menjadi:
ρdV = ρ0 d V 0 (2.46)
Dari persamaan (2.46) terlihat bahwa muatan dalam volume tertentu kekal.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa muatan listrik adalah sebuah konstanta
universal.
b. Potensial Lienard-Wiechert
Potensial pada kerangka yang diam dinyatakan sebagai:
(2.47)
Dimana |x−x '|0 adalah jarak dari titik sumber dan titik medan dihitung dalam
sistem yang diam.
Posisi relatif 4D antara titik sumber dan titik medan didefinisikan sebagai:
(2.48)
Lakukan perkalian skalar sehingga diperoleh:
(2.49)
Pada ruang hampa, medan dari muatan q’ pada x ' μ merambat ke xμ dengan
kecepatan cahaya c, sehingga:
(2.50)
Substitusi persamaan (2.50) ke (2.49), maka diperoleh:
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 11
(2.51)
Dan persamaan (2.48) dapat dituliskan sebagai:
(2.52)
Pada kerangka diam berlaku:
(2.53)
(2.54)
(2.55)
Sehingga diperoleh persamaan
(2.56)
Pada kondisi Rμ Rμ=0 dan sistem dalam keadaan diam, solusi yang diperoleh
sama dengan solusi pada persamaan (2.47).
Berdasarkan persamaan (2.30) dan (2.48) pada kerangka yang bergerak berlaku:
(2.57)
Dengan menggeneralisasi persamaan (2.1):
(2.58)
Dan
(2.59)
Maka persamaan (2.57) dapat ditulis:
(2.60)
Dan
(2.61)
Sehingga solusi (2.56) dapat ditulis menjadi:
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 12
(2.62)
Dapat disimpulkan bahwa untuk muatan volume yang terlokalisasi dan bergerak
relatif terhadap pengamat dengan kecepatan v, potensial skalar dan vektornya
dapat dituliskan dalam persamaan (2.63) dan (2.64) yang dikenal sebagai potensial
Lienar-Wiechert.
(2.63)
(2.64)
c. Tensor Medan Elektromagnetik
Cross product dari dua vektor akan menghasilkan besaran vektor baru yang tegak
lurus kedua vektor yang di-cross-kan.
(2.65)
komponen ke-k vektor c dapat dinyatakan sebagai:
(2.66)
dengan kata lain, vektor semu c = a x b dapat dianggap sebagai tensor antisimetrik
rank dua. Begitu pula untuk operasi curl yang bekerja pada vektor polar, sehingga
persamaan Maxwell:
(2.67)
dapat dinyatakan dalam notasi tensor sebagai berikut:
(2.68)
Karena medan dapat diturunkan dari potensial elektromagnetik seperti berikut:
(2.69)
(2.70)
maka komponennya dapat dinyatakan sebagai:
(2.71)
(2.72)
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 13
Untuk menyatakan medan listrik dan medan magnet dalam bentuk tensor dimana
komponennya adalah fungsi dari potensial 4D dalam bentuk kovarian.
(2.73)
Sehingga tensor 4D dapat didefinisikan sebagai:
(2.74)
Tensor antisimetrik 4D rank dua dalam persamaan di atas dikenal sebagai tensor
medan elektomagnetik atau tensor Faraday. Dalam representasi matrik, tensor
medan kontravarian dapat ditulis sebagai berikut.
(2.75)
Terlihat bahwa tensor medan adalah hasil operasi curl empat dimensi dari vektor
potensial Aμ.
Tensor medan dalam bentuk kovarian dinyatakan dengan:
(2.76)
Dan dalam representasi matrik dapat ditulis sebagai berikut.
(2.77)
Dua persamaan Maxwell dengan sumber dapat dituliskan sebagai berikut:
∂μ Fμv=∂μ (∂μ Av−∂v Aμ )=□ Av−∂v (∂μ Aμ )=μ0 j v (2.78)
Jika v = 0, yang bersesuaian dengan kolom pertama pada representasi matrik
tensor medan elektromagnetik dalam bentuk kontravarian, diperoleh:
(2.79)
Dengan ε 0 μ0=1/c2, maka:
∇⋅ E= ρε 0
(2.80)
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 14
Yang dikenal sebagai persamaan Maxwell untuk medan listrik dengan sumber.
Untuk v = 1, yang bersesuaian dengan kolom kedua pada representasi matrik
tensor medan elektromagnetik dalam bentuk kontravarian, diperoleh:
(2.81)
Yang dapat ditulis sebagai berikut:
(2.82)
(2.83)
Cara yang sama berlaku untuk v = 2, 3. Sehingga persamaan (2.82) dapat
dinyatakan dalam bentuk vektor tiga dimensi sebagai berikut:
(2.84)
Yang dikenal sebagai persamaan Maxwell untuk medan magnet dengan sumber.
Dengan bantuan tensor semu antisimetrik rank 4,
ϵ μvκλ={ 10
−1
jika μ , v , κ , λ adalah permutasi genapdari 0,1,2,3jika sedikitnya dua dari μ , v ,κ , λ nilainya sama
jika μ , v , κ , λ adalah permutasi ganjil dari 0,1,2,3(2.85)
yang dapat dipandang sebagai generalisasi tensor Levi-Civita, didapatkan
pasangan tensor elektromagnetik:
(2.86)
dengan sifat
(2.87)
Dalam representasi matrik, dual tensor medan dapat dinyatakan sebagai:
(2.88)
Bentuk kovarian dari persamaan Maxwell untuk medan berikut
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 15
(2.89)
dapat ditulis sebagai berikut:
(2.90)
yang berkorespondensi dengan persamaan (2.91)
(2.91)
yang disebut identitas Jacobi. Sehingga dapat disimpulkan bahwa persamaan
(2.78) dan (2.91) merupakan persamaan Maxwell dalam formalisme empat
dimensi.
2.4. Pengaruh Medan Elektromagnetik pada Partikel Bermuatan
a. Persamaan Gerak Kovarian
Persamaan gerak yang benar untuk partikel bermuatan dalam medan
elektromagnetik dapat diturunkan dari fungsi 4 dimensi L4 dengan sifat yang
mirip dengan fungsi Lagrangian untuk 3D kemudian diterapkan prinsip variasi.
Fungsi tipe Hamilton dalam 4D dapat dicari dan diselesaikan dengan persamaan
yang sesuai untuk memperoleh formulasi kovarian dari elektrodinamika klasik.
1. Formalisme Lagrangian
Definisikan gerak umum 4D
(2.92)
Dimana dτ adalah proper time, dan L4 berperan sebagai generalisasi
Lagangian 3D yang umum. Diperoleh prinsip variasi:
(2.93)
dengan ujung tetap τ0 dan τ1 harus dipenuhi.
Formulasi Lagrangian dapat dicari dari selisih antara energi kinetik dan energi
potensial. Sebuah partikel bebas hanya mempunyai energi kinetik. Jika massa
partikel adalah m0, maka energi kinetik dalam 3D adalah m0v2/2. Sehingga
dalam 4D, Lagrangian untuk partikel bebas dapat dinyatakan sebagai:
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 16
(2.94)
Dengan pendekatan analitik mekanik untuk kasus 3D, persamaan umum
Lagrangian untuk menyatakan interaksi partikel dengan medan
elektromagnetik dengan menggunakan potensial 4D adalah:
(2.95)
yang disebut sebagai Lagrangian 4D.
Substitusi (2.95) ke (2.93) maka akan diperoleh:
(2.96)
Dengan kecepatan 4D adalah uμ=d xμ/dτ , maka perbedaan uμ adalah turunan
terhadap τ.
(2.97)
Sehingga persamaan (2.96) menjadi:
(2.98)
(2.99)
(2.100)
Dengan d Av /dτ dinyatakan sebagai:
(2.101)
Maka
(2.102)
Berdasarkan prinsip variaso, persamaan (2.102) harus sama dengan nol,
sedangkan nilai δ x v nilainya tidak nol dan berada di antara titik-titik ujung
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 17
yang tetap. Artinya, persamaan yang ada di dalam [ ] harus sama dengan nol,
sehingga diperoleh persamaan gerak untuk partikel bermuatan yang berada
dalam medan elektromagnetik sebagai berikut.
(2.103)
Persamaan (2.103) dapat dinyatakan dalam tensor medan elektromagnetik dan
menjadi
(2.104)
Persamaan (2.104) merupakan persamaan untuk mencari persamaan gerak
kovarian untuk partikel dalam medan elektromagnetik. Persamaan tersebut
sering disebut sebagai persamaan Minkowski.
2. Formalisme Hamiltonian
Definisikan Hamiltonian untuk 4D:
(2.105)
Persamaan diferensial partial dari persamaan Hamiltonian 4D:
(2.106)
(2.107)
Substitusi persamaan (2.95) ke persamaan (2.105), sehingga diperoleh
(2.108)
Dengan momentum 4D canonically conjugate
(2.109)
Substitusi persamaan (2.109) ke persamaan (2.108), maka didapat persamaan
(2.110)
Karena perkalian skalar kecepatan 4D dengan dirinya sendiri uμuμ=c2,
persamaan (2.110) menghasilkan besaran skalar invarian yang besarnya:
(2.111)
Dari persamaan (2.109), didapatkan hubungan aljabar:
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 18
(2.112)
Jika persamaan (2.112) disubstitusi ke persamaan (2.110) untuk
mengeliminasi uμ, maka akan diperoleh:
(2.113)
Hamiltonian 4D akan menghasilkan persamaan gerak kovarian yang benar
dengan mensubstitusi persamaan (2.113) ke persamaan Hamilton 4D (2.107)
dan menggunakan hubungan (2.112).
(2.114)
Dengan aljabar, akan diperoleh:
(2.114)
Dari persamaan (2.40) dan momentum 4D pμ=( p0 , p ), diperoleh skalar produk
berikut.
(2.115)
Substitusi persamaan (2.115) ke (2.113) dan nilai H4 pada persamaan (2.111),
akan diperoleh persamaan (2.116).
(2.116
)
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 19
(2.117
)
Yang menghasilkan dua kemungkinan solusi.
(2.118)
Dengan mengalikan persamaan (2.118) dengan c, maka diperoleh fungsi
Hamilton 3D untuk partikel yang bergerak dalam potensial skalar dan vektor
yang diasosiasikan sebagai medan listrik dan medan medan magnet.
(2.119)
Fungsi Lagrange dan Hamilton memiliki hubungan satu sama lain.
(2.120)
Dengan menggunakan persamaan (2.119) dan (2.120), diperoleh fungsi umum
Lagrange 3D.
(2.121)
Jika
(2.122)
Dimana mv adalah besaran momentum, persamaan (2.121) dapat dinyatakan
sebagai persamaan kovarian Lagrangian yang telah memenuhi keadaan
relativistik untuk partikel bermuatan yang berada dalam potensial skalar dan
vektor yang diasosiasikan sebagai medan listrik dan medan magnet.
(2.123)
b. Teori Medan Kovarian
1. Formalisme Lagrange-Hamilton untuk Medan Elektromagnetik dan Interaksi
dalam Medan Elektromagnetik
Lagrangian total sistem yang ditinjau adalah:
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 20
(2.124)
Dimana bagian mekanika berkaitan dengan gerak partikel (energi kinetik).
(2.125)
Suku kedua menggambarkan interaksi antara partikel bermuatan dan medan
elektromagnetik eksternal.
(2.126)
Dan suku ketiga adalah suku yang menggambarkan perbedaan rapat energi
magnet dan listrik.
(2.127)
Sehingga rapat Lagrangian total dapat dinyatakan sebagai berikut.
(2.128)
Bagian elektromagnetik pada persamaan (2.128) berada pada suku kedua dan
ketiga rapat Lagrangian total.
(2.129)
Persamaan Lagrangian bagian elektromagnetik dapat diturunkan untuk
mendapatkan persamaan Maxwell.
(2.130)
(2.131)
Dengan
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 21
(2.132)
Dan dengan cara yang sama
(2.133)
Sehingga diperoleh
(2.134)
Dari persamaan (2.130) dan (2.134), diperoleh:
(2.135)
(2.136)
Persamaan (2.136) di atas menyatakan persamaan Maxwell dengan sumber
seperti yang ditunjukkan persamaan (2.78).
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 22
BAB III KESIMPULAN
Elektromagnetisme merupakan dasar dari munculnya teori relativitas khusus. Teori relativitas khusus muncul dari kemungkinan yang diajukan Einstein ketika diketahui bahwa relativitas Galileo tidak invarian pada kasus elektromagnetik. Teori relativitas khusus memiliki dua postulat, yaitu:
1. Semua hukum fisika (kecuali hukum gravitasi) dinyatakan dalam persamaan yang berbentuk sama berlaku untuk semua sistem yang inersia
2. Kecepatan cahaya di ruang hampa besarnya sama, tidak bergantung pada gerak sumber cahaya relatif terhadap pengamat atau gerak pengamat relatif terhadap sumber
Dengan meninjau bentuk tensor dari potensial dan medan, diperoleh persamaan Maxwell dalam formalisme empat dimensi sebagai berikut:
∂μ Fμv=μ0 jv dan ∂κ Fμv+∂μ Fvκ+∂v Fκμ=0
Partikel bermuatan yang berada dalam medan elektromagnetik akan mengalami pergerakan. Persamaan Lagrangian untuk partikel bermuatan yang bergerak dalam medan elektromagnetik, dengan koreksi relativitas dinyatakan oleh persamaan berikut.
Persamaan Maxwell dengan sumber dapat diturunkan dari bagian elektromagnetik persamaan rapat Lagrangian total.
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 23
DAFTAR PUSTAKA
Beiser, Arthur. (1990). Konsep Fisika Modern, Edisi Keempat, Alih Bahasa: The
Houw Liong. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Jackson, John David. (1999). Classical Electrodynamics, 3rd edition, [PDF]. John
Wiley & Sons, Inc.
Thide, Bo. (2012). Electromagnetic Field Theory, Second Edition, Draft Version.
Tersedia: http://www.plasma.uu.se/CED/Book.
Vanderlinde, Jack. (2004). Classical Electromagnetic Theory, Second Edition.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
Utami Widyaiswari (1406506162) Page 24