TUGAS

MATA KULIAHANALISIS MATEMATIKA TEKNIK

“Interpolasi Kuadratik”

Oleh :

SITI ANISAHNPM : 1525011005

Dosen:

Dr. Ahmad Herison, ST.,MT

PROGRAM STUDI MAGISTER TEKNIK SIPILFAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS LAMPUNGBANDAR LAMPUNG

2015

1

INTERPOLASI KUADRATIK

Interpolasi Kuadratik merupakan metode yang digunakan untuk mengetahui nilai

dari sesuatu yang berada dalam sebuah interval atau diantara 3 buah titik dengan

menggunakan pendekatan fungsi kuadrat

Interpolasi kuadratik adalah interpolasi yang memakai sarana polinom

berderajat paling tinggi dua yang kurvanya melalui 3 titik

Polinomial kuadratik yang melalui ketiga titik tersebut adalah :

dengan dan

Dapat dibuktikan bahwa :

dan

2

Misal diberikan tiga buah titik data, (x0, y0), (x1, y1), dan (x2, y2). Polinom yang

menginterpolasi ketiga buah titik itu adalah polinom kuadrat yang berbentuk:

f (x) = a0 + a1x + a2x2 —————- Persamaan (P1)

Bila digambar, kurva polinom kuadrat berbentuk parabola.

Fungsi kuadratik f (x) dapat dicari dengan langkah berikut;

Langkah 1

Sulihkan atau substitusikan koordinat ke-1, (xi, yi) ke dalam persamaan (P.1). Dari

langkah ini kita memperoleh tiga buah persamaan dengan tiga buah parameter

yang tidak diketahui, yaitu :

a0, a1, dan a2:

3

a0 + a1x + a2x2 = y0

a0 + a1x + a2x2 = y1

a0 + a1x + a2x2 = y2

Langkah 2

Hitung a0, a1, dan a2 dari sistem persamaan tersebut dengan metode eliminasi

Gauss.

Langkah 3

Hasil dari nilai koefisien a0, a1, dan a2 tuliskan kembali dalam persamaan (P1)

f (x) = a0 + a1x + a2x2

Langkah 4

Dari persamaan (P1), dapatkan nilai f(x) dari titik yang ditentukan.

 

Polinomial kuadratik dapat pula dicari dengan langkah berikut:

Langkah 1

Dibentuk persamaan kuadrat yang melalui 3 titik koordinat yang diketahui, yaitu: 

(x0,  y0), (x1,  y1), dan (x2,  y2).

Persamaannya kuadrat adalah sebagai berikut:

y  =  a0    +   ( a1. (x – x0) )    +    ( a2 . (x – x0) . (x – x1) )

4

Langkah 2

Mencari nilai a0,  a1  dan a2  dengan cara:

Mencari a0

x = x0 maka y  =  y0

y  =  a0    +   a1. (x – x0)    +    a2 . (x – x0) . (x – x1)y0  =  a0    +   ( a1. (x0 – x0) )    +    a2 . (x0 – x0) . (x0 – x1)y0  =  a0    +   ( a1. 0 )    +    a2 . 0 . 0y0  =  a0

a0  = y0

Mencari a1

x = x1 maka y  =  y1

y  =  a0    +   a1. (x – x0)    +    a2 . (x – x0) . (x – x1)y1  =  y0    +  a1. (x1 – x0)   +    a2 . (x1 – x0) . (x1 – x1)y1  =  y0    +   a1. (x1 – x0)    +    a2 . (x1 – x0) . 0 y1  =  y0    +   a1. (x1 – x0)a1 = (y1- y0) / (x1 - x0)

Mencari a2

x = x2 maka y  =  y2

y  =  a0    +   a1. (x – x0)    +    a2 . (x – x0) . (x – x1)y2  =  a0    +   a1. (x2 – x0)    +    a2 . (x2 – x0) . (x2 – x1)

Karena

a0  = y0

Sehingga:

y2  =  a0    +   a1. (x2 – x0)    +    a2 . (x2 – x0) . (x2 – x1)

5

Atau

Kesimpulan:

Jika diketahui, persamaan kuadrat yang melalui 3 titik (x0,  y0), (x1,  y1), dan (x2, y2).

Fungsi kuadratik f (x) dapat ditentukan dengan persamaan:y  =  a0    +   ( a1. (x – x0) )    +    ( a2 . (x – x0) . (x – x1) )a0  = y0

a1 = (y1- y0) / (x1 - x0)

Contoh soal:

6

Jika =2.0794, =2.1972 dan =2.2513, carilah

Penyelesaian :

= 8.0 = 2.0794

= 9.0

= 9.5

= 0.6762 + 0.2266 x – 0.0064 x2

→ eksak sampai 4 desimal, karena ternyata:

Contoh soal :

Hitunglah interpolasi kuadratik pada titik 1.5 jika diketahui f(1)=4, f(2)=9 dan

f(3)=16

Penyelesaian:

= 1 = 4

= 2

= 3

= 1 + 2x + x2

7

P2(1.5) = 6.25

8