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CALCULO MATRICIALDE CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gomez, J. Parıs

GMNI — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

Departamento de Metodos Matematicos y de RepresentacionEscuela Tecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos

Universidad de A Coruna, Espana

e-mail: [email protected] web: http://caminos.udc.es/gmni

UNIVERSIDAD DE A CORUNA — GRUPO DE METODOS NUMERICOS EN INGENIERIA

mailto:[email protected]

http://caminos.udc.es/gmni

INDICE

I Ejemplo

I Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad

I Ecuaciones de Equilibrio

I Numeracion Global: Matriz de Conectividad

I Equilibrio Elemental en Numeracion Global

I Equilibrio Global

I La Matriz de Rigidez es Semi-Definida Positiva

I La Matriz de Rigidez Coaccionada es Definida Positiva


Ejemplo (I)

DATOS (*):

Materiales:

Cable Resistencia (Ω)

1, 4 484.00

2, 3 242.00

5 1210.00

GDL Coaccionados:

E = 220 V (generador)

V0 = 0 V (potencial de tierra)

Casos de Carga:

I) F2 = 0.00 AII) F2 = 2.00 A

(*) Vease la codificacion de este problema en el archivo ejemplo.dat.


Ejemplo (II)

Algunas variables importantes. . .

npoin=4 (4 nodos)

nelem=5 (5 elementos→ conductores)

nnode=2 (2 nodos por elemento)

nprop=1 (1 propiedad por material→ resistencia electrica)

. . .

NOTA: El sentido de la intensidad en cada elemento se elige de forma arbitraria.



Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (I)

Vector de desplazamientos (potenciales) elementales:

ue =

u1,e

u2,e

.


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (II)

Vector de deformaciones (gradientes de potencial) elementales:

εe = u2,e − u1,e .

ECUACION DE COMPATIBILIDAD:

εe = B˜ eue, B˜ e = [−1 +1 ] .


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (III)

Vector de tensiones (intensidades circulantes) elementales:

σe = Ie .

ECUACION CONSTITUTIVA (Ley de Ohm):

σe = D˜ eεe, D˜ e = [ 1Re

] .


Ecuaciones Constitutivas y de Compatibilidad (IV)

NOTA IMPORTANTE:

Observese que en esta formulacion, el signo de la intensidad es elcontrario del habitual (*).

Lo anterior debera tenerse en cuenta tanto al introducir los datos comoal interpretar los resultados.

(*) Se ha hecho ası para que la matriz De e sea definitiva positiva, como sucede con lasrestantes formulaciones que se presentan durante este curso.


Ecuaciones de Equilibrio (I)

Vector de fuerzas (intensidades salientes) elementales:

fe =

I1,e

I2,e

=−Ie

+Ie

.

ECUACION DE EQUILIBRIO:

fe = B˜Te σe, B˜T

e =[−1+1

].


Ecuaciones de Equilibrio (II)

Luego,

εe = B˜ eue

σe = D˜ eεe

fe = B˜Te σe

=⇒

σe = D˜ e

(B˜ eue

)=

S˜e︷︸︸︷(D˜ eB˜ e

)ue,

fe = B˜Te

(S˜eue

)=(B˜T

e S˜e

)︸︷︷︸K˜ e

ue.

Matriz de Rigidez de Elemento:

K˜ e = B˜Te D˜ eB˜ e =

[+ 1

Re− 1

Re

− 1Re

+ 1Re

].

ECUACION ELEMENTAL (Constitutiva+Compatibilidad+Equilibrio):

K˜ eue = fe.


Numeracion Global: Matriz de Conectividad (I)

Vector de Desplazamientos (Potenciales) Nodales:

u =

u1

u2

u3

u4

.

CAMBIO DE NUMERACION LOCAL A NUMERACION GLOBAL

Matriz de Conectividad: lnods(nnode,nelem)

ipoin=lnods(inode,ielem) =⇒

8>><>>:ielem = elemento

inode = numeracion local 1,2 del nodo

ipoin = numeracion global del nodo


Numeracion Global: Matriz de Conectividad (II)

En el ejemplo que estamos utilizando (*) . . .

lnods(1,1)=1 lnods(2,1)=2







Equilibrio Elemental en Numeracion Global (I)

ielem=1

K˜ 1u1 = f1 =⇒ K˜ 1u = f1.

[+ 1

R1− 1

R1

− 1R1

+ 1R1

]u1,1

u2,1

=

I1,1

I2,1

=⇒

+ 1

R1− 1

R10 0

− 1R1

+ 1R1

0 00 0 0 00 0 0 0

u1

u2

u3

u4

=

I1,1

I2,1

00

.


Equilibrio Elemental en Numeracion Global (II)

ielem=2

K˜ 2u2 = f2 =⇒ K˜ 2u = f2.

[+ 1

R2− 1

R2

− 1R2

+ 1R2

]u1,2

u2,2

=

I1,2

I2,2

=⇒

0 0 0 00 + 1

R2− 1

R20

0 − 1R2

+ 1R2

00 0 0 0

u1

u2

u3

u4

=

0

I1,2

I2,2

0

.


Equilibrio Elemental en Numeracion Global (III)

ielem=3

K˜ 3u3 = f3 =⇒ K˜ 3u = f3.

[+ 1

R3− 1

R3

− 1R3

+ 1R3

]u1,3

u2,3

=

I1,3

I2,3

=⇒

+ 1

R30 0 − 1

R30 0 0 00 0 0 0

− 1R3

0 0 + 1R3

u1

u2

u3

u4

=

I1,3

00

I2,3

.


Equilibrio Elemental en Numeracion Global (IV)

ielem=4

K˜ 4u4 = f4 =⇒ K˜ 4u = f4.

[+ 1

R4− 1

R4

− 1R4

+ 1R4

]u1,4

u2,4

=

I1,4

I2,4

=⇒

0 0 0 00 0 0 00 0 + 1

R4− 1

R4

0 0 − 1R4

+ 1R4

u1

u2

u3

u4

=

00

I1,4

I2,4

.


Equilibrio Elemental en Numeracion Global (V)

ielem=5

K˜ 5u5 = f5 =⇒ K˜ 5u = f5.

[+ 1

R5− 1

R5

− 1R5

+ 1R5

]u1,5

u2,5

=

I1,5

I2,5

=⇒

+ 1

R50 − 1

R50

0 0 0 0− 1

R50 + 1

R50

0 0 0 0

u1

u2

u3

u4

=

I2,5

0I1,5

0

.


Equilibrio Global (I)

El equilibrio de cada nodoesta gobernado por laLEY DE KIRCHOFF:

La Intensidad saliente decada nodo es igual a lasuma de las aportaciones(intensidades salientes)de todas las resistenciasque confluyen en el.


Equilibrio Global (II)

Vector de Fuerzas (Intensidades Forzadas) Nodales:

f =

F1

F2

F3

F4

.

ECUACIONES DE EQUILIBRIO GLOBAL (Leyes de Kirchoff):∑lnods(inode,ielem)=ipoin

Iinode,ielem = Fipoin

⇓∑ielem

fielem = f .


Equilibrio Global (III)

Las ecuaciones de equilibrio global pueden reescribirse en la forma matricial

K˜ ielemu = fielem∑ielem

fielem = f

=⇒

(∑ielem

K˜ ielem

)︸︷︷︸

K˜u = f .

Matriz de Rigidez Global:

K˜ =

(∑ielem

K˜ ielem

)︸︷︷︸

ENSAMBLAJE DE LAS Ke ielem

.

ECUACION DE EQUILIBRIO GLOBAL:

K˜ u = f .


Equilibrio Global (IV)

Luego, el sistema que hay que resolver es el siguiente:2666666664

“1

R1+ 1

R3+ 1

R5

”− 1

R1− 1

R5− 1

R3

− 1R1

“1

R1+ 1

R2

”− 1

R20

− 1R5

− 1R2

“1

R2+ 1

R4+ 1

R5

”− 1

R4

− 1R3

0 − 1R4

“1

R3+ 1

R4

”

3777777775

8>>>>>>><>>>>>>>:

u1

u2

u3

u4

9>>>>>>>=>>>>>>>;=

8>>>>>>><>>>>>>>:

0

F2

0

0

9>>>>>>>=>>>>>>>;+

8>>>>>>><>>>>>>>:

0

0

F R3

F R4

9>>>>>>>=>>>>>>>;m

K˜ u = f + R, K˜ = K˜ T ,

con las condiciones de vinculacion

u3 = Eu4 = 0

ff⇐⇒ uV = pV ,

donde V es cada uno de los grados de libertad coaccionados.


La Matriz de Rigidez es Semi-DEF. POS.

uTK˜ u =∑

e

uT K˜ eu con K˜ =∑

e

K˜ e

=∑

e

uTe K˜ eue donde K˜ e = B˜T

e D˜ eB˜ e

=∑

e

uTe

(B˜T

e D˜ eB˜ e

)ue

=∑

e

(B˜ eue)T

D˜ e (B˜ eue)

=∑

e

εTe D˜ eεe con εe = B˜ eue

≥ 0, pues D˜ e = [1/Re] es SEMI-DEF +.

Luego uTK˜ u ≥ 0 ∀u =⇒ K˜ es SEMI-DEFINIDA POSITIVA.


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (I)

Sea K˜ V la matriz que se obtiene al ignorar las filas y columnas de la matrizK˜ correspondientes a g.d.l. coaccionados.

K˜ =

kv,v

, K˜ V =

.


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (II)

Sea u 6= 0 un vector en el que todos los componentes correspondientes ag.d.l. coaccionados son nulos.

Sea uV 6= 0 el vector que se obtiene al ignorar las filas del vector ucorrespondientes a g.d.l. coaccionados.

u =

0

, uV =

.

En estas condiciones uTV K˜ V uV = uTK˜ u, pues. . .


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (III)

uTV K˜ V uV = [ ]

,

uTK˜ u = [ 0 ]

kv,v

0

.


La Matriz Coaccionada es DEF. POS. (IV)

REDUCCION AL ABSURDO:

Supongamos que K˜ V no es definida positiva. . .

Luego ∃uV 6= 0 tal que uTV K˜ V uV = 0.

Entonces uTK˜ u = 0 con u 6= 0.

Luego (ver el apartado anterior) εTe D˜ eεe = 0 ∀e =⇒ u1,e = u2,e ∀e.

Por tanto, todos los componentes de u son iguales(SI EL CIRCUITO ESTA CORRECTAMENTE CONECTADO).

Pero los componentes de u correspondientes a los g.d.l. coaccionadosson nulos, por lo que uV = 0 =⇒ CONTRADICCION.

Por tanto, K˜ V es DEFINIDA POSITIVA.


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