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3. Übung
Aufgabe 0.1 Bilden Sie den Di�erenzenquotienten für die folgenden Funktio-nen und berechnen Sie dessen Grenzwert an der angegebenen Stelle anhand derDe�nition!
a) f(x) =√
x an der Stelle x = 4
b) f(x) = tgx an der Stelle x = π4
c) f(x) = 1x an der Stelle x = 3
Beispiel: Wenn f(x) = x + 1x , dann ist der Di�erenzenquotient:
f(x + h)− f(x)h
=
(x + h + 1
x+h
)−
(x + 1
x
)h
= 1− 1x(x + h)
Der Grenzwert des Di�erenzenquotienten ist die Ableitung (oder Di�erentialquo-tient) der Funktion f :
f ′(x) = limh→0
f(x + h)− f(x)h
= limh→0
1− 1x(x + h)
= 1− 1x2
Ist eine Stelle, z.B. x = −2 vorgeschrieben, so kann sie eingesetzt werden:
f ′(−2) = 1− 1(−2)2
=34.
Aufgabe 0.2 Bestimmen Sie die Ableitungfunktion folgender Funktionen!
a) f(x) = |x2 − 1| b) f(x) =√|x| c) f(x) = |3x− 1| − x
Beispiel: Wenn f(x) = |2x + 4| + 3x, dann schreibt man diese Funkion nachder De�nition des Betrags als
f(x) ={−(2x + 4) + 3x = x− 4 falls x < −2(2x + 4) + 3x = 5x + 4 falls x ≥ −2
Wir haben also
f ′(x) ={
(x− 4)′ = 1 falls x < −2(5x + 4)′ = 5 falls x > −2
bzw. an der Stelle x = −2 ist f(x) = |2x + 4|+ 3x nicht di�erezierbar.
Aufgabe 0.3 Bestimmen Sie f ′(x) mit Hilfe der Ableitungsregeln!
a) f(x) = 3x3 − x2 + 2x− 1
b) f(x) = (x + 1)(x2 + 2x)
c) f(x) = x2 − 1x
d) f(x) = (x2 − x) sinx
1
e) f(x) =√tgx
f) f(x) = x−2x2−2x
g) f(x) = sin2 xcos x
h) f(x) = arctg(√
x− 1)
i) f(x) = 21x
j) f(x) = ln√
x2 − 2x + 1
Beispiel:Wenn f(x) = 3
√x4 − 3x7 − 1
4x2 , dann
f ′(x) =(
x43 − 3x7 − 1
4x−2
)′=
43x
13 −3·7x6− 1
4·(−2)x−3 =
4 3√
x
3−21x6+
12x3
Wenn f(x) = x2
5−3x , dann nach der Quotientenregel für die Ableitung:
f ′(x) =(x2)′(5− 3x)− (x2)(5− 3x)′
(5− 3x)2=
2x(5− 3x)− (x2)(−3)(5− 3x)2
=10x + 3x2
(5− 3x)2=
Wenn f(x) = arcsin(√
1− x2), dann nach der Kettenregel für die Ableitung:
f ′(x) =1√
1− (√
1− x2)2·(
√1− x2)′ =
1x· 12√
1− x2·(1−x2)′ =
12x√
1− x2·(−2x) =
−1√1− x2
2