UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO 02. Concetti basilari.pdf · Università degli Studi di Bergamo Facoltà di Ingegneria Risk Management 2009/2010 Concetti basilari pag 3 CAGR =

Università degli Studi di BergamoFacoltà di Ingegneria

Risk Management2009/2010

Concetti basilaripag 1

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

Facoltà di Ingegneria

Corso di Risk Management

Prof. Filippo Stefanini

Concetti basilari

A.A. 2009/2010

Corso 60012 – Corso di Laurea Specialistica in Ingegneria Edile




Performance nette mensili di un portafoglio

111

1

t

t

t

ttt NAV

NAVNAV

NAVNAVR

Sia NAVt il patrimonio netto di un portafoglio di strumenti finanziari al tempo t. Il rendimento mensile del portafoglio è:




CAGR = Compounded Annual Growth Rate, tasso di crescita medio composto. Se Vf è il valore finale e Vi è il valore iniziale ed n è il numero di anni che intercorrono tra i due valori, il tasso di crescita medio composto è dato dalla seguente formula:

1 n

i

f

VV

CAGR

CAGR




Performance cumulate

1)1(1

t

iit RCP

La performance cumulata è data dalla seguente formula:

Su un orizzonte di 12 mesi la performance cumulata è definita YTD (Year To Date)




Variabile casuale

Possiamo pensare al rendimento di un portafoglio come ad una variabile casuale.




Distribuzione empirica

-2% -1% 0% 1% 2% 3% 4%0

2

4

6

8

10

12

14

-3%

Rendimenti mensili

Num

ero

di o

sser

vazi

oni




Moda

La moda è il valore di una distribuzione caratterizzato dalla massima frequenza.

MODA

-2% -1% 0% 1% 2% 3% 4%0

2

4

6

8

10

12

14

-3%Rendimenti mensili

Num

ero

di o

sser

vazi

oni




Mediana

La mediana è il valore che occupa la posizione centrale nella distribuzione (il 50% dei dati sono a destra ed il 50% dei dati a sinistra della mediana).

-2% -1% 0% 1% 2% 3% 4%0

2

4

6

8

10

12

14

-3%

20 osservazioni 20 osservazioni

MEDIANA

Rendimenti mensili

Num

ero

di o

sser

vazi

oni




Funzione densità di probabilità

La funzione di densità di probabilità è la distribuzione di probabilità di una variabile casuale




Funzione ripartizione dei rendimenti

xdttfxF )()(

Si dice funzione di ripartizione o funzione cumulativa delle frequenze dei rendimenti




Percentile

Il percentile è quel valore x per il quale la funzione di ripartizione è uguale al valore p.

pxF )(

La mediana è il valore di x per il quale p=0.5Il primo quartile è il valore di x per il quale p=0.25Il primo decile è il valore di x per il quale p=0.1




x

Significato grafico del percentile

F(x)=p

x

f(x)




1. Media2. Varianza3. Asimmetria4. Curtosi

Momenti di un campione di dati




Data una serie storica di n performance Rt, la performance media è data dalla seguente formula:

Media

Analogia con il baricentro di una distribuzione di masse.

n

ttR

nR

1

1




Varianza = è una misura della dispersione dei rendimenti attorno alla loro media.

Varianza

1

ˆ 1

2

2

n

RRn

tt

Analogia con il momento di inerzia di una distribuzione di masse.




Varianza

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

-4 -2 0 2 4

Varianza = 0,25

Varianza = 1

Varianza = 4

x

f(x)




Asimmetria = è il terzo momento standardizzato della distribuzione e misural’asimmetria della distribuzione di probabilità di una variabile casuale

Asimmetria (Skewness)

Se l’asimmetria è:>0 la coda destra è più lunga della sinistra<0 la coda sinistra è più lunga della destra=0 la distribuzione è simmetrica

Asimmetria negativa

Asimmetria positiva

x

f(x)

x

f(x)




Curtosi = è il rapporto tra il momento standardizzato di ordine 4 e il quadrato dellavarianza

Curtosi

Se la curtosi è:

>3 la distribuzione si definisce leptocurtica, cioè più "appuntita" di una normale

<3 la distribuzione si definisce platicurtica, cioè più "piatta" di una normale

=3 la distribuzione si definisce normocurtica, cioè "piatta" come una normale




Curtosi

Curtosi di 7 distribuzioni conosciute

Nell’esempio seguente confrontiamo alcune distribuzioni conosciute che hanno i primi tre momenti uguali:

Media = 0Varianza = 1Asimmetria = 0

La figura mostra la funzione di densità di probabilità di 7 distribuzioni:• D: Laplace distribution, a/k/a double exponential distribution, red curve, kurtosis 6

(leptokurtic) • S: hyperbolic secant distribution, orange curve, kurtosis 5 (leptokurtic) • L: logistic distribution, green curve, kurtosis 4.2 (leptokurtic) • N: normal distribution, black curve, kurtosis 3 (mesokurtic) • C: raised cosine distribution, cyan curve, kurtosis 2.4 (platykurtic) • W: Wigner semicircle distribution, blue curve, kurtosis 2 (platykurtic) • U: uniform distribution, magenta curve, kurtosis 1.8 (platykurtic)




Curtosi

654.232.421.8




La distribuzione normale standardizzata

x

t dtex 2/2

21)(

La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale normale standardizzata:




Una distribuzione normale ha:

Media = 0Varianza = 1Asimmetria = 0Curtosi = 3

La funzione di densità normale standardizzata

0,0

0,1

0,1

0,2

0,2

0,3

0,3

0,4

0,4

0,5

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

f(x)




Se una distribuzione ha

Media = 0Varianza = 1Asimmetria = 0Curtosi = 3

posso concludere che è una distribuzione normale standardizzata ?

No! Devo prima fare un test di normalità e calcolare la significatività osservata.

La funzione di densità normale standardizzata




La funzione di ripartizione normale standardizzata

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

F(x)




Distribuzione normale

In una distribuzione normale circa il 68% delle osservazioni sono compresetra ± 1 standard deviation (σ) dalla media (µ); circa il 95% dei valori sonocompresi tra ± 2 σ e circa il 99.7% tra ± 3 σ.

68%

+ σ - σ x

f(x)




Rendimento e volatilità

Possiamo misurare un rendimento in relazione alla volatilità e dire che uncerto rendimento è pari ad n volte la volatilità di quello strumento finanziario.Per cui potremo dire che un certo rendimento è stato pari a -2σ o a - 3σ.




1

)(1

2

n

RRn

tt

Standard deviation = radice quadrata della varianza:

con n > 1

La deviazione standard è una misura della volatilità di uno strumento finanziario.

Standard deviation




Fonte: Bloomberg, dati al 09/03/2010

s dei membri dell’indice DAX

Name s30gg s60gg s90ggAdidas AG 26.4% 24.0% 26.4%Allianz SE 18.4% 19.1% 23.4%BASF SE 25.0% 24.6% 26.1%Bayer AG 24.8% 25.9% 25.7%Bayerische Motoren Werke AG 28.9% 24.8% 28.3%Beiersdorf AG 17.7% 20.2% 21.5%Commerzbank AG 37.4% 38.9% 41.5%Daimler AG 34.9% 29.3% 32.8%Deutsche Bank AG 33.0% 34.8% 37.3%Deutsche Boerse AG 25.0% 24.7% 26.6%Deutsche Lufthansa AG 26.9% 27.9% 27.6%Deutsche Post AG 30.6% 27.8% 28.7%Deutsche Telekom AG 16.4% 18.4% 20.6%E.ON AG 19.1% 19.5% 20.7%Fresenius Medical Care AG & Co KGaA 21.9% 20.1% 20.0%Fresenius SE 24.9% 21.9% 24.8%Henkel AG & Co KGaA 21.0% 20.0% 22.7%Infineon Technologies AG 37.4% 38.8% 45.0%K+S AG 28.2% 31.9% 34.2%Linde AG 20.5% 22.3% 24.0%MAN SE 26.1% 22.5% 27.0%Merck KGaA 37.0% 28.3% 26.8%Metro AG 21.2% 20.4% 23.1%Muenchener Rueckversicherungs AG 13.2% 14.3% 16.4%RWE AG 18.9% 17.0% 17.3%Salzgitter AG 26.5% 26.6% 29.0%SAP AG 22.6% 22.5% 21.7%Siemens AG 26.8% 24.8% 29.0%ThyssenKrupp AG 31.2% 30.2% 30.6%Volkswagen AG 33.0% 31.7% 47.8%




Esempio di titoli con volatilità molto diverse

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

01/01/2006 11/04/2006 20/07/2006 28/10/2006 05/02/2007 16/05/2007 24/08/2007 02/12/2007 11/03/2008 19/06/2008

Tenaris S.A. Terna - Rete Elettrica Nationale SpA

La volatilità a 260 giorni di Tenaris è 33.0% mentre quella a 260 giorni di Terna è 19.1%. Il grafico della storia dei prezzi mostra visivamente la differenza.




Indice di Sharpe = Rappresenta una misura di rendimento corretto per il rischiobasato sul confronto del “maggior rendimento” (excess return) di un portafoglio distrumenti finanziari rispetto al rendimento di un’attività senza rischio (ad es. Euribor3m, Libor 3m), con la misura del rischio (deviazione standard) del maggiorrendimento.Ad esempio, date le serie storiche dell’andamento del valore del portafoglio edell’andamento del Libor 3m si calcola il rendimento del portafoglio, il rendimentodell’attività risk free e la deviazione standard della serie ottenuta dalla differenza delledue serie storiche.In formule:

er

rfhf

Sharpe di Indice

dove:rhf è il rendimento medio del portafoglio,rrf è il rendimento medio dell’attività risk freeser è la deviazione standard dell’excess return.

Indice di Sharpe




Fairfield Sentry Ltd

Lo Sharpe Ratio del fondo Fairfield Sentry Ltd era di 2.4.Ma il giorno 11 dicembre 2008 Bernard Madoff, 70 anni, è stato arrestatocon l’accusa di frode. Lui era insolvente ed lo era stato per anni ed avevaideato un “Ponzi scheme”. Le perdite causate dalla sua frode si aggiranointorno ai $50 miliardi di dollari. È stato poi riconosciuto colpevole econdannato a 150 anni di prigione.




Portafoglio APortafoglio B

Distribuzioni di rendimenti per due portafogli A e B

Pro

babi

lità

Rendimento %

Omega




Portafoglio A Portafoglio BMedia 14,0 14,0

Varianza 25,0 25,0

Sharpe Ratio = 0,36*

I due portafogli hanno lo stesso indice di Sharpe ma siamo veramente indifferenti tra i due portafogli ?

* Assumendo Risk Free Rate = 5%

I due portafogli hanno la stessa media e la stessa varianza. Si noti che il portafoglio B ha la coda destra più alta di quella sinistra.

Omega




La maggior parte degli investitori non è indifferente tra i due portafogli !!!

Analizziamo meglio i momenti delle due distribuzioni:Portafoglio A Portafoglio B

Media 14,0 14,0Varianza 25,0 25,0

Asimmetria 0,0 1,0Curtosi 3,0 4,9

Apparentemente il portafoglio A ha rendimenti distribuiti normalmente, mentre il portafoglio B ha asimmetria positiva, ossia una probabilità maggiore di produrre rendimenti a destra del picco della distribuzione rispetto alla sinistra. Il portafoglio B ha una Curtosi maggiore del portafoglio A, ossia una maggior probabilità di generare rendimenti estremi. La scelta tra i due portafogli dipende dalla funzione di utilità dell’investitore.

Omega




Pro

babi

lità

Rendimento %Omega è il rapporto tra l’area bianca e l’area colorata

(usando una soglia di perdita uguale a zero)

Se definiamo “perdite inaccettabili” tutti i rendimenti negativi, possiamoporre uguale a zero la “soglia di perdita”. Il grafico seguente mostra lafunzione di densità di probabilità del portafoglio B.

Omega




Fonte: A Universal Performance Measure, Con Keating and William F. Shadwick

Se usiamo una “soglia di perdita” parametrica r otteniamo la funzioneOmega:

Dove (a,b) è l’intervallo dei rendimenti e F(x) è la funzione di ripartizionedei rendimenti.Per ogni livello di rendimento r, Ω(r) è il rapporto tra la probabilità dei guadagni e la probabilità delle perdite, relativi alla soglia r.

Omega




Om

ega

Le funzioni Omega rivelano che il portafoglio B è superiore al portafoglio A per quasi tutte le “soglie di perdita” che un

investitore può realisticamente considerare.

Portafoglio APortafoglio B

Infatti A è superiore a B solo per soglie di perdita inferiori a -40% o comprese tra +14% e +19%.

Soglia di perdita %

Omega




• È calcolata direttamente dalle distribuzioni dei rendimenti e nonrichiede stime

• Permette agli investitori di calcolare distribuzioni di rendimentiradicalmente diverse in un modo oggettivo

• È semplice da visualizzare• Omega tiene conto di tutti i momenti di una distribuzione perché

è una trasformazione della distribuzione stessa• Evita di prendere decisioni introducendo la funzione di utilità• Omega vale 1 in corrispondenza del rendimento medio.

Caratteristiche della funzione Omega




Indice di Sortino = è un indicatore di rischio molto simile all’indice diSharpe, anche se al denominatore usa la deviazione standard degliexcess return negativi

Indice di Sortino

L’indice di Sortino nasce dall’esigenza di distinguere tra volatilità buona (quella dei rendimenti positivi) e volatilità cattiva (quella dei rendimenti negativi).

dove:Rhf è il rendimento medio del portafoglioRrf è il rendimento medio dell’attività risk freeser neg è la deviazione standard degli excess return negativi

neger

rfhf RR

Sortino di Indice




Consideriamo adesso un portafoglio di strumenti finanziari. Costruiamola retta di regressione a partire dai rendimenti del portafoglio disegnati infunzione dei rendimenti del mercato di riferimento.

Alpha = extrarendimento di portafoglio. Statisticamente è rappresentatodall’intercetta sull’asse delle ordinate della retta di regressione nel pianorendimento del portafoglio (in ordinate) rendimento di mercato (in ascissa)

Beta = esposizione del portafoglio al rischio sistematico. Statisticamente è la pendenza della retta di regressione nel piano rendimento del portafoglio (in ordinate) rendimento di mercato (in ascissa). Il beta misura la sensibilità della variazione del rendimento di un portafoglio alla variazione del rendimento di mercato:

• se b>1 la sensibilità del rendimento del portafoglio è maggiore di quella di mercato

• se b=1 la sensibilità del rendimento del portafoglio è uguale a quella di mercato

• se b<1 la sensibilità del rendimento del portafoglio è inferiore a quella di mercato

Alpha e Beta




Rendimento del portafoglio

di titoli

Rendimento dell’indice del

mercato di riferimento

AlphaBeta

Retta di regressione

lineare

Significato grafico di Alpha e Beta




Beta dei membri dell’indice DAX

Name bAdidas AG 0.90 Allianz SE 1.15 BASF SE 1.10 Bayer AG 0.80 Bayerische Motoren Werke AG 1.04 Beiersdorf AG 0.63 Commerzbank AG 1.40 Daimler AG 1.28 Deutsche Bank AG 1.44 Deutsche Boerse AG 1.05 Deutsche Lufthansa AG 1.00 Deutsche Post AG 1.01 Deutsche Telekom AG 0.72 E.ON AG 0.96 Fresenius Medical Care AG & Co KGaA 0.54 Fresenius SE 0.77 Henkel AG & Co KGaA 0.78 Infineon Technologies AG 1.45 K+S AG 1.02 Linde AG 0.81 MAN SE 1.12 Merck KGaA 0.74 Metro AG 1.05 Muenchener Rueckversicherungs AG 0.78 RWE AG 0.85 Salzgitter AG 1.28 SAP AG 0.86 Siemens AG 1.08 ThyssenKrupp AG 1.20 Volkswagen AG 0.91

Fonte: Bloomberg, dati al 09/03/2010




EsempioAlfa e beta del fondo Arca Azioni Italia rispetto all’indice Italy Stock Market BCI Comit




Indice di Treynor

Indice di Treynor = è una misura del extra-rendimento di un portafogliorispetto ad un’attività priva di rischio diviso per il rischio sistematico delportafoglio

hf

rfhf RR

Treynor di Indice




Alpha di Jensen

Alpha di Jensen = misura l’extra-rendimento di un portafoglio rispetto alrendimento spiegato dal modello Capital Asset Pricing Model.

rfmrfhf RRRRJensen diAlpha




Maximum uninterrupted loss = Il ribasso generato dalla peggior serie storica di rendimenti negativi consecutivi.

Maximum uninterrupted gain = Il rialzo generato dalla miglior serie storica di rendimenti positivi consecutivi.

Maximum uninterrupted loss, Maximum uninterrupted gain




Esempio

Calcoliamo il ribasso generato dalla peggior serie storica di rendimentinegativi consecutivi.

Maximum uninterrupted loss = -4.45%




Drawdown = Il ribasso da un picco ad una valle. Il minimo seguente non è determinato finché il portafoglio non raggiunge un nuovo massimo.

Maximum Drawdown = Massimo valore del declino da qualsiasi picco a valle in un determinato periodo.

Drawdown e Maximum Drawdown

11

i

ii NAVMax

NAVDrawdown

nDrawdownnMaxDrawdow 1min




La formula per il calcolo del drawdown




80

84

88

92

96

100

gen-

02

lug-

02

gen-

03

lug-

03

gen-

04

lug-

04

gen-

05

lug-

05

gen-

06

lug-

06

gen-

07

lug-

07

Drawdown

Maximum drawdown = -7.32%

31/12/2002




Massimo Run-Up = Massimo valore del rialzo da qualsiasi valle a picco in un determinato periodo. Il massimo seguente non è determinato finché il portafoglio non raggiunge un nuovo minimo.

Maximum Run-Up = Massimo valore del rialzo da qualsiasi valle a picco in un determinato periodo.

Run-up e Maximum Run-up

11

i

ii NAVMin

NAVRunUp

nRunUpMaxRunUp 1max




• La funzione di autocorrelazione descrive la correlazione di unprocesso causale con se stesso in momenti temporali diversi.L’autocorrelazione è molto utilizzata nell’analisi dei segnali.

• Ad esempio può essere utilizzata per valutare un’inerziatemporale nelle performance o un effetto trascinamento

• Nell’analisi di regressione di una serie storica l’autocorrelazionedei residui mostra l’inapplicabilità del modello.

Autocorrelazione




• Nel confronto tra due portafogli, qualunque affermazione vatestata statisticamente per capire se è un’evidenza casuale oanche una significatività statistica.

• Per stabilire se due serie storiche di performance hanno la stessamedia non basta calcolarle e confrontarle: bisogna chiedersi se ladifferenza tra le medie è statisticamente significativa !!!

I test statistici




I test statistici

• Test F a due campioni• Il “Test F a due campioni” analizza due campioni per verificare

se hanno la stessa varianza oppure no.

• Test T a due campioni• Il “Test T a due campioni” analizza due campioni per verificare

se hanno la stessa media oppure no in due diversi casi:• le varianze dei campioni sono uguali o • le varianze dei campioni sono diverse.




Il quartetto di Anscombe

• Nel 1973 lo statistico Francis J. Anscombe costruì il “quartetto” per dimostrarel’importanza di disegnare i dati prima di analizzarli e per dimostrare l’effettodi outliers sulle proprietà statistiche

• Il quartetto di Anscombe comprende 4 insiemi di dati che hanno proprietàstatistiche identiche ma che appaiono molto diversi se sono disegnati. Ecco ivalori x e y per il quartetto di Anscombe:

I II III IVx y x y x y x y

10 8.04 10 9.14 10 7.46 8 6.588 6.95 8 8.14 8 6.77 8 5.76

13 7.58 13 8.74 13 12.74 8 7.719 8.81 9 8.77 9 7.11 8 8.84

11 8.33 11 9.26 11 7.81 8 8.4714 9.96 14 8.1 14 8.84 8 7.046 7.24 6 6.13 6 6.08 8 5.254 4.26 4 3.1 4 5.39 19 12.5

12 10.84 12 9.13 12 8.15 8 5.567 4.82 7 7.26 7 6.42 8 7.915 5.68 5 4.74 5 5.73 8 6.89





• Il quartetto di Anscombe ha le seguenti proprietà, identiche per tutte e quattrole serie di dati:

Proprietà Valore

Media di x in tutti e 4 i casi 9.000

Varianza di x in tutti e 4 i casi 11.000

Media di y in tutti e 4 i casi 7.500

Varianza di y in tutti e 4 i casi 4.120

Correlazione tra x e y in tutti e 4 i casi 0.816

Retta di regressione lineare in tutti e 4 i casi y = 3 + 0.5x





• Il quartetto di Anscombe comprende 4 insiemi di dati che hanno proprietàstatistiche identiche ma che appaiono molto diversi se sono disegnati





• La prima serie di dati sembra essere distribuita normalmente.• La seconda serie di dati non è distribuita normalmente ma c’è una relazione

lineare tra le due variabili.• La terza serie di dati la distribuzione è lineare ma con una linea di regressione

diversa che è spostata da un outlier che esercita sufficiente influenza peralterare la retta di regressione lineare.

• La quarta serie di dati mostra come un outlier è sufficiente per produrre unelevato coefficiente di correlazione anche se la relazione tra le due variabili èsecondo una diversa retta di regressione lineare.

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