UNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ - SKOPJE Prirodno ...ukim.edu.mk/e-izdanija/PMF/Matematika_II_za_studentite_po_biologija.pdfKiril i Metodij\, Prirodno-matematiqki fakultet, 2018. -

$Page 1: UNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ - SKOPJE Prirodno ...ukim.edu.mk/e-izdanija/PMF/Matematika_II_za_studentite_po_biologija.pdfKiril i Metodij\, Prirodno-matematiqki fakultet, 2018. -$
UNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ\ - SKOPJE

Prirodno-matematiqki fakultet

Dragan Dimitrovski

Vesna Manova-Erakovik

Gorgi Markoski

MATEMATIKA II

(ZA STUDENTITE PO BIOLOGIJA)

Skopje, 2017

Izdavaq:

Univerzitet Sv. Kiril i Metodij\ vo Skopje

Bul. Goce Delqev br. 9, 1000 Skopje

[email protected]

Urednik za izdavaqkata dejnost na UKIM:

prof. d-r Nikola Jankulovski, rektor

Urednik na publikacijata:

Dragan Dimitrovski , Vesna Manova-Erakovik, Gorgi Markoski,

Prirodno-Matematiqki fakultet, Skopje

Recenzenti:

1. Prof. d-r Nikita Xekutkovski, Redoven profesor na PMF,

Skopje

2. Prof. d-r Valentina Miovska, Vonreden profesor na PMF,

Skopje

3. Prof. d-r Dana Prelik, Redoven profesor na PMF, Skopje

Tehniqka obrabotka: Avtorite

Lektura na makedonski jazik: Violeta Jovanovska

CIP - Katalogizacija vo publikacija

Nacionalna i univerzitetska biblioteka Sv. Kliment Ohridski\, Skopje

517.3(075.8)

519.9(075.8)

519.2(075.8)

DIMITROVSKI, Dragan

Matematika II: (za studentite po biologija) / Dragan Dimitrovski, Vesna

Manova-Erakovik, Gorgi Markoski. - Skopje: Univerzitet Sv. Kiril i Metodij\,

Prirodno-matematiqki fakultet, 2018. - 364 str.: ilustr.; 25 sm

Bibliografija: str. 358-359

ISBN 978-9989-43-407-5

1. Manova-Erakovik, Vesna [avtor] 2. Markoski, Gorgi [avtor]

a) Integralno smetaǌe - Visokoxkolski uqebnici b) Diferencijalni ravenki - Vi-

sokoxkolski uqebnici v) Verojatnost i statistika - Visokoxkolski uqebnici

COBISS.MK-ID 106748682

PREDGOVOR

Ovaa kniga, pred se e nameneta za predmetot matematika za stu-

dentite po biologija. Megutoa, moe da ja koristat i studentite

od tehniqkite fakulteti, i site onie koi go izuquvaat materi-

jalot opfaten vo ovaa kniga.

Knigava e rezultat na povekegodixnite predavaǌa i vebi koi

gi odruvale avtorite na studentite po biologija i studiite kade

se predava ovoj materijal.

Opfateni se temite integralno smetaǌe, diferencijalni rave-

nki, verojatnost i statistika.

Pritoa, teoretskite sodrini se ilustrirani so golem broj

primeri.

Niz celata kniga, posebno vnimanie e posveteno na zadaqi koi

se sretnuvaat vo prirodata, osobeno vo biologijata.

Osobeno im se zablagodaruvame na recenzentite na ovaa kniga,

koi so svoite komentari i zabelexki mnogu pridonesoa za nejzino

podobruvaǌe.

Ke bideme blagodarni na site qitateli koi so svoite sugestii

ke pridonesat za idni podobruvaǌa na ovaa kniga.

Na site qitateli im posakuvame uspexno navleguvaǌe vo tajnite

na matematikata, preku ovaa kniga i uspexno sovladuvaǌe na nej-

zinite sodrini.

Skopje, 2017 Avtorite


1

INTEGRALNO SMETAǋE

1.1 Neopredelen integral

1.1.1 Primitivna funkcija i neopredelen integral

Da ja razgledame funkcijata f(x) = x3. Taa e neprekinata i

diferencijabilna funkcija, za sekoj x ∈ R. Izvodot od f(x) = x3

e f ′(x) = 3x2. Lesno se proveruva deka i funkciite x3 + 3, x3 −√

2,

x3 + e isto taka imaat izvod ednakov na 3x2.Problemot na naogaǌe

na funkciite, qij izvod e ednakov na 3x2 ima beskoneqno mnogu

rexenija. Site tie rexenija gi narekuvame primitivni funkcii

na funkcijata 3x2. Opxto, ako e dadena nekoja funkcija g(x), i

ako postoi funkcija f(x) takva xto f ′(x) = g(x), togax postojat

beskoneqno mnogu funkcii t.e. site funkcii hc(x) = f(x) + c, c ∈R, takvi xto h′

c(x) = g(x).

Site ovie funkcii se narekuvaat primitivni funkcii na

f(x).

Definicija. Neka funkcijata y = g(x), x ∈ D e neprekinata

na intervalot (a, b) ⊆ D. Velime deka funkcijata f(x) defini-

rana na (a, b) e primitivna funkcija na funkcijata g(x) ako e

diferencijabilna na (a, b) i ako vai

f ′(x) = g(x), ∀x ∈ (a, b).

5

6 Dragan Dimitrovski, Vesna Manova-Erakovik, Gorgi Markoski

Primer 1. Funkcijata f(x) = sinx e primitivna funkcija na

funkcijata g(x) = cosx, ∀x ∈ R bidejki

f ′(x) = (sin x)′ = cosx = g(x), ∀x ∈ R.

No, i za sekoj c ∈R, fc(x) = sinx + c, x ∈ R, se primitivni funkcii

za g(x).

Primer 2. Funkcijata f(x) = ex e primitivna funkcija na

g(x) = ex, ∀x ∈ R bidejki f ′(x) = (ex)′ = ex = g(x), ∀x ∈ R.

No, i za sekoj c ∈R, i funkciite fc(x) = ex+c, c ∈ R, se primitivni

funkcii za g(x).

Primer 3. Funkcijata f(x) =xr+1

r + 1, r 6= −1 e primitivna funk-

cija na g(x) = xr, ∀x ∈ R bidejki

f ′(x) =(

xr+1

r+1

)′= (r+1)xr+1−1

r+1= xr = g(x), ∀x ∈ R.

No, i ovde, za sekoj c ∈R, funkciite fc(x) =xr+1

r + 1+ c, c ∈R se

primitivni funkcii za g(x).

Zabeleuvame, ako f(x) e primitivna funkcija za g(x), za x ∈ D,

togax i f(x) + c, kade c ∈ R e proizvolno izbran, se primitivni

funkcii za g(x), (na D), t.e. vai slednata teorema.

Teorema 1. Ako f(x) e primitivna funkcija na funkcijata g(x),

x ∈ D, togax i f(x) + c e primitivna funkcija na g(x), x ∈ D, za

sekoj proizvolno izbran realen broj c. Ako funkciite f(x) i h(x),

x ∈ D se primitivni funkcii na g(x), togax postoi realen broj c

taka xto vai

f(x) − h(x) = c, ∀x ∈ D.

Definicija. Mnoestvoto od site primitivni funkcii na

funkcijata g(x) se narekuva neopredelen integral na funkcijata

g(x) i se oznaquva so∫

g(x)dx.

Matematika II (za studenti po biologija) 7

Funkcijata g(x) se narekuva podintegralna funkcija, a g(x)dx

se narekuva podintegralen izraz.

Imajki ja predvid definicijata za neopredelen integral i teo-

remata se dobiva deka∫

g(x)dx = f(x) + c | c ∈ R, kade f(x) e

primitivna funkcija za g(x) t.e. f ′(x) = g(x), x ∈ D. Pokratko ke

zapixuvame:∫

g(x)dx = f(x) + c, c ∈ R, kade

f ′(x) = g(x), x ∈ D.

Operacijata so koja doagame do primitivna funkcija, odnosno

do neopredelen integral se vika integriraǌe.

Teorema 2. (a)

∫

g′(x)dx = g(x) + c, x ∈ D.

(b) Integral od zbir na dve funkcii ednakov na zbirot od

integralite na tie funkcii t.e.

∫

[f(x) + g(x)] dx =

∫

f(x)dx +

∫

g(x)dx, x ∈ D.

(v)

∫

[αf(x)dx] dx = α

∫

f(x)dx, α ∈R, x ∈ D.

Zabelexka. Vo gornata teorema se pretpostavuva deka neopre-

delenite integrali postojat.

Dokaz. (a) Tvdeǌeto sleduva direktno od definicijata na neo-

predeln integral.

(b) Neka F (x) i G(x) se primitivni funkcii za f(x) i g(x),

soodvetno na D, t.e. F ′(x) = f(x), x ∈ D i G′(x) = g(x), x ∈ D.

Togax, (F + G)(x) = F (x) + G(x) e primitivna funkcija na (f +

g)(x) = f(x) + g(x), x ∈ D, bidejki: (F + G)′(x) = (F (x) + G(x))′ =

F ′(x) + G′(x) =

= f(x) + g(x) = (f + g)(x), x ∈ D.


Od definicijata na neopredelen integral imame

∫

[f(x) + g(x)]dx = (F (x) + G(x)) + c =

∫

f(x)dx +

∫

g(x)dx.

(v) Neka F (x) e primitivna funkcija na f(x) za x ∈ D t.e.

F ′(x) = f(x), x ∈ D. Togax za α ∈ R, imame:

(αF )′(x) = (αF (x))′ = αF ′(x) = αf(x)

t.e. (αF )(x) = αF (x) e primitivna funkcija za (αf)(x) = αf(x),

x ∈ D.

Od definicijata za neopredelen integral, imame

∫

αf(x)dx = αF (x) + c = α(

F (x) +c

α

)

=

= α(F (x) + c1) = α

∫

f(x)dx.

Znaqi, za funkciite od primerite 1,2 i 3 imame:∫

cos xdx = sin x + c, x ∈R bidejki

(sinx)′ = cosx, ∀x ∈ R.

∫

exdx = ex + c, x ∈ R bidejki (ex)′ = ex, ∀x ∈ R.∫

xrdx =xr+1

r + 1+ c, x ∈ R (r 6= −1) bidejki

(xr+1

r+1

)′= (r+1)xz+1−1

r+1=

xr, ∀x ∈ R.

Primer 4.

∫1

1 + x2dx = arctgx + c, x ∈ R bidejki

(arctgx)′ =1

1 + x2, ∀x ∈R.

Primer 5.

∫x2

1 + x2dx =

∫x2 + 1 − 1

1 + x2dx =

∫ (x2 + 1

1 + x2− 1

1 + x2

)

dx =

=

∫ (

1 − 1

1 + x2

)

dxT.2=

∫

1 · dx−∫

1

1 + x2dx =

∫

x0dx−∫

1

1 + x2dx =

=

(x0+1

0 + 1− arctgx

)

+ c = x− arctgx + c.


1.1.2 Tablica na nekoi osnovni integrali

Imajki gi predvid izvodite na osnovnite elementarni fun-

kcii i definicijata za neopredelen integral se dobiva slednata

tablica na neopredeleni integrali.

10.

∫

xrdx =xr+1

r + 1+ c, (r 6= −1)

20.

∫1

xdx = ln |x| + c

30.

∫

ex = ex + c

40.

∫

sinxdx = − cosx + c

50.

∫

cos xdx = sinx + c

60.

∫1

cos2 xdx = tgx + c

70.

∫1

sin2 xdx = −ctgx + c

80.

∫1

1 + x2dx = arctgx + c

90.

∫1√

1 − x2dx = arcsinx + c

100.

∫

axdx =ax

ln a+ c, (a > 0, a 6= 1)

110.

∫

sinh xdx = cosh x + c

120.

∫

cosh xdx = sinh x + c

130.

∫1

cosh2 xdx = − tanh x + c

140.

∫1

sinh2 xdx = cothx + c


150.

∫1√

1 + x2dx = ln(x +

√1 + x2) + c

160.

∫1√

x2 − 1dx = ln(x +

√x2 − 1) + c

170.

∫1

1 − x2dx =

1

2ln

1 + x

1 − x+ c, |x| < 1

180.

∫1

1 − x2dx =

1

2ln

x + 1

x − 1+ c, |x| > 1

Zabelexka. Vo tablicata 10−180, c e proizvolen realen broj,

i istite vaat vo definicionata oblast na funkcijata kade pod-

integralnata funkcija e neprekinata, a primitivnata funkcija e

diferencijabilna.

Toqnosta na formulite 10 − 180 neposredno se proveruva. Za

ilustracija ke ja dokaeme 170.

Navistina, za |x| < 1,1 + x

1 − x> 0 bidejki

1 + x

1 − x> 0 ⇔ 1−x2 > 0 ⇔

x2 < 1 ⇔ |x| < 1.

Ponatamu imame(

1

2ln

1 + x

1 − x

)′=

1

2

11 + x

1 − x

(1 + x)′(1 − x)− (1 + x)(1 − x)′

(1 − x)2=

=1

2

1 − x

1 + x

1 − x + 1 + x

(1 − x)2=

1

2

1 − x

1 + x

2

(1 − x)2=

1

(1 + x)(1 − x)=

=1

1 − x2.

1.1.3 Integriraǌe so metod na zamena

Teorema 1. Neka funkcijata ϕ(t) definirana na (a, b) e pri-

mitivna na funkcijata f(t), t ∈ (a, b) i neka g : x 7→ g(x), x ∈ (c, d) ⊆(a, b) e diferencijabilna funkcija, ∀x ∈ (c, d). Togax postoi prim-

itivna funkcija na f(g(x))g′(x), ∀x ∈ (c, d) i pritoa vai


∫

f(g(x))g′(x)dx = ϕ(g(x)) + c

t.e. ∫

f(g(x))dg(x) = ϕ(g(x)) + c.

Zabelexka. Stavajki: g(x) = t, dobivame

∫

f(t)dt = ϕ(t) + c.

Dokaz. (ϕ g)(x) = ϕ(g(x))

Od (ϕ g)′(x) = (ϕ(g(x))′ = ϕ′(g(x))g′(x) = f(g(x))g′(x) sleduva

toqnosta na teoremata.

Primer 1.∫

(x + 2)5dx.

Rexenie. Ovde f (x) = x5 i ϕ (x) = x + 2. Znaqi voveduvame

smena x + 2 = t. Togax x = t− 2. Diferencirajki gi levata strana

po x a desnata po t, dobivame dx = dt. Zamenuvajki vo integralot

imame:∫

(x + 2)5dx =∫

t5dt = t6

6+ C = (x+2)6

6+ C.

Primer 2.∫

dx2x+7

.

Rexenie. Voveduvame smena 2x+7 = t. Togax x = t−72

i dx = 12dt.

Zamenuvajki vo integralot dobivame:∫

dx2x+7

= 12

∫dtt

= 12ln |t| + C = 1

2ln |2x + 7| + C.

Primer 3.∫

2xdx1+x2 .

Rexenie. Voveduvame smena 1 + x2 = t. Togax 2xdx = dt. Za-

menuvajki vo integralot dobivame:∫

2xdx1+x2 =

∫dtt

= ln |t| + C = ln(1 + x2) + C.

Primer 4.∫

dx4√

(3+4x)3.

Rexenie. Voveduvame smena 4

√

(3 + 4x)3 = t. Togax x = t43 −34

i

dx = 13t

13 dt. Zamenuvajki vo integralot dobivame:

∫dx

4√

(3+4x)3=∫ 1

3t13 dt

t= 1

3

∫t−

23 dt = t

13 + C = 4

√3 + 4x + C.

Primer 5.∫

exdx1+e2x .


Rexenie. Voveduvame smena ex = t. Togax exdx = dt. Zamenu-

vajki vo integralot dobivame∫

exdx1+e2x =

∫dt

1+t2= arctg t + C = arctg(ex) + C.

Primer 6.∫

ax4x3dx, a > 0, a 6= 1.

Rexenie. Voveduvame smena x4 = t. Togax 4x3dx = dt, odnosno

x3dx = 14dt. Zamenuvajki vo integralot dobivame:

∫ax4

x3dx = 14

∫atdt = 1

4 lnaat + C = 1

4 lnaax4

+ C.

Primer 7.∫

cosxdx4+sin x

.

Rexenie. Voveduvame smena 4 + sinx = t. Togax cos xdx = dt.

Zamenuvame vo integralot i dobivame∫

cosx4+sinx

dx =∫

dtt

= ln |t| + C = ln (4 + sinx) + C.

Primer 8.∫

sin2xdx.

Rexenie.∫

sin2xdx =∫

12(1 − cos 2x) dx = 1

2

∫dx − 1

2

∫cos 2xdx =

12x− 1

2· 1

2sin 2x+C. Pritoa vo posledniot integral stavivme smena

t = 2x, od xto dobivame dx = 12dt.

Primer 9.∫

cos3xdx.

Rexenie.∫

cos3xdx =∫

cos2x cos xdx =∫

(1 − sin2x) cosxdx. Vove-

duvame smena sinx = t. Togax cosxdx = dt. Zamenuvajki vo posled-

niot integral dobivame:∫

(1 − sin2x) cosxdx =∫

(1 − t2)dt =

=∫

dt −∫

t2dt = t− 13t3 + C = sin x− 1

3sin3x + C.

Primer 10.∫

dx√b2−a2x2 , a, b > 0.

Rexenie. Integralot ke go dovedeme vo oblikot∫

dt√1−t2

.∫

dx√b2−a2x2 =

∫dx

r

b2“

1−(axb )

2”

= 1b

∫dx

q

1−(axb )

2 .

Voveduvame smena axb

= t. Togax dx = badt. Zamenuvajki vo

integralot, dobivame:1b

∫dx

q

1−(axb )

2 = 1b· b

a

∫dt√1−t2

= 1aarcsin t + C = 1

aarcsin ax

b+ C.

Primer 11.∫

dx√a2x2±b2

, a, b > 0.


dt√t2±1

. Imame∫

dx√a2x2±b2

=∫

dxr

b2“

(axb )

2±1”

= 1b

∫dx

q

(axb )

2±1. Voveduvame smena ax

b= t.

Togax dx = badt. Zamenuvajki vo integralot, dobivame:

1b

∫dx

q

(axb )

2±1= 1

b· b

a

∫dt√t2±1

=


= 1aln∣∣t +

√t2 ± 1

∣∣ + C = 1

aln

∣∣∣∣axb

+√(

axb

)2 ± 1

∣∣∣∣+ C.

Primer 12.∫

dxb2+a2x2 , a, b > 0.


dtt2+1

. Imame∫

dxb2+a2x2 =

∫dx

b2“

1+(axb )

2” = 1

b2

∫dx

1+(axb )

2 . Voveduvame smena axb

= t, pa

dx = badt. Zamenuvajki vo posledniot integral dobivame:

1b2

∫dx

1+(axb )

2 = 1b2· b

a

∫dt

1+t2= 1

abarctg t + C = 1

abarctg ax

b+ C.

Primer 13.∫

1x2−1

dx.

Rexenie.∫

1x2−1

dx = 12

∫ (1

x−1− 1

x+1

)dx = 1

2(ln |x − 1| − ln |x + 1|) + C =

= 12ln∣∣x−1x+1

∣∣ + C.

Primer 14.∫

dxa2x2−b2

, a, b > 0.

Rexenie.∫

dxa2x2−b2

=∫

dx

b2“

(axb )

2−1” = 1

b2

∫dx

(axb )

2−1. Ke vovedeme

smena axb

= t, pa dx = badt. Ottuka imame

1b2

∫dx

(axb )

2−1= 1

b2· b

a

∫dx

t2−1=

= 1ab

ln∣∣ t−1t+1

∣∣ + C = 1

abln∣∣∣

axb−1

axb

+1

∣∣∣ + C = 1

abln∣∣ax−bax+b

∣∣+ C

Primer 15.∫

dxax2+bx+c

, a > 0

a) ako b2 − 4ac > 0,

b) ako b2 − 4ac < 0.

Rexenie. Integralot ke go dovedeme vo eden od oblicite∫

dtt2+1

ili∫

dtt2−1

.∫

dxax2+bx+c

=∫

dx

(√

ax)2+2 b

2√

a

√ax+

“

b2√

a

”2−“

b2√

a

”2+c

=∫

dx“√

ax+ b2√

a

”2− b2−4ac

4a

a)∫

dx“√

ax+ b2√

a

”2− b2−4ac

4a

= 1b2−4ac

4a

·∫

dx √

ax+ b2√

a√b2−4ac

4a

!2

−1

. Voveduvame smena

t =√

ax+ b2√

aq

b2−4ac4a

, pa dx =

q

b2−4ac4a√a

dt i posledniot integral go dobiva

oblikot


√b2−4ac

4a√a

∫dt

t2 − 1=

√b2−4ac

4a√a

1

2ln

∣∣∣∣

t − 1

t + 1

∣∣∣∣+ C =

=

√

b2 − 4ac

4a2· 1

2· ln

∣∣∣∣∣∣∣∣

√ax+ b

2√

aq

b2−4ac4a

− 1

√ax+ b

2√

aq

b2−4ac4a

+ 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

+ C =

=

√

b2 − 4ac

4a2· 1

2· ln

∣∣∣∣∣∣

√ax + b

2√

a−√

b2−4ac4a

√ax + b

2√

a+√

b2−4ac4a

∣∣∣∣∣∣

+ C.

b)∫

dx“√

ax+ b2√

a

”2− b2−4ac

4a

=∫

dx“√

ax+ b2√

a

”2+ 4ac−b2

4a

= 14ac−b2

4a

·∫

dx √

ax+ b2√

a√4ac−b2

4a

!2

+1

.

Voveduvame smena t =√

ax+ b2√

aq

4ac−b2

4a

. Togax dx =√

4ac−b2

4a2 dt, pa dobi-

vame1

4ac−b2

4a

·q

4ac−b2

4a√a

∫dt

t2+1= 1

4ac−b2

4a

·√

4ac−b2

4a2 arctg t + C =

= 4a4ac−b2

√4ac−b2

4a2 arctg√

ax+ b2√

aq

4ac−b2

4a

+ C.

Primer 16.∫

dxx2+2x+2

.

Rexenie.∫

dxx2+2x+2

=∫

(x+1)′dx

(x+1)2− 22−4·24

=∫

(x+1)′dx

(x+1)2+1=

=∫ (x+1)′dx

(x+1)2+1= arctg(x + 1) + C.

Primer 17.∫

dxx2+2x+1

.

Rexenie.∫

dxx2+2x+1

=∫

(x+1)′dx

(x+1)2− 22−4·14

=∫

(x+1)′dx

(x+1)2= − 1

(x+1)+ C.

Primer 18.∫

a1x+b1ax2+bx+c

dx, a, a1 6= 0.

Rexenie.∫

a1x+b1ax2+bx+c

dx = a112a

∫ 2ax+b+2ab1a1

−b

ax2+bx+cdx =

= a1

2a

∫2ax+b

ax2+bx+cdx + a1

2a

(2ab1a1

− b) ∫

1ax2+bx+c

dx = a1

2aI1 + a1

2a

(2ab1a1

− b)

I2.

Vo I1 voveduvame smena t = ax2 + bx + c i se sveduva na integral

od oblikot∫

dtt, a I2 e od oblikot

∫1

ax2+bx+cdx.

Primer 19.∫

Pn(x)ax2+bx+c

dx, kade Pn (x) e polinom so realni koe-

ficienti i stepen n ≥ 2 i a 6= 0.

Rexenie. Polinomot Pn (x) go delime so ax2 +bx+c i dobivame


koliqnik Qn−2 (x) i ostatok R (x). Pritoa koliqnikot e polinom

so stepen n − 2, a ostatokot e polinom so stepen 0 ili 1. Znaqi

Pn (x) = Qn−2 (x)(ax2 + bx + c

)+ R (x) .

Togax

∫Pn (x)

ax2 + bx + cdx =

∫

Qn−2 (x) dx +

∫a1x + b1

ax2 + bx + cdx,

pa∫

Qn−2 (x) dx e zbir od tabliqni integrali, a∫

a1x+b1ax2+bx+c

dx e ili

od oblikot∫

a1x+b1ax2+bx+c

dx, a1, a 6= 0 ili od oblikot∫

1ax2+bx+c

dx.

Primer 20.∫

5x6+7x5+2x4+3x+92x2+4x+6

dx.

Rexenie. Po deleǌeto na polinomite dobivame 5x6 + 7x5 +

2x4 + 3x + 9 =(

52x4 − 3

2x3 − 7

2x2 + 23

2x − 25

2

)(2x2 + 4x + 6) − 16x + 84 pa

∫5x6+7x5+2x4+3x+9

2x2+4x+6dx =

∫ (52x4 − 3

2x3 − 7

2x2 + 23

2x− 25

2

)dx +

∫ −16x+842x2+4x+6

dx =

= 12x5 − 3

8x4 − 7

6x3 + 23

4x2 − 25

2x + I1.

Natamu, imame

I1 =

∫ −16x + 84

2x2 + 4x + 6dx =

= −4

∫4x + 4 − 4 − 21

2x2 + 4x + 6dx = −4

∫4x + 4

2x2 + 4x + 6dx + 100

∫dx

2x2 + 4x + 6=

= −4 ln∣∣2x2 + 4x + 6

∣∣ + 100

∫dx

(√2x)2

+ 2 1√22√

2x +(

2√2

)2

− 2 + 6=

= −4 ln∣∣2x2 + 4x + 6

∣∣ + 100

∫dx

(√2x +

√2)2

+ 4= −4 ln

∣∣2x2 + 4x + 6

∣∣+

+100

4

∫dx

(√2x+

√2

2

)2

+ 1=

= −4 ln∣∣2x2 + 4x + 6

∣∣ +

100

4· 2√

2arctg

√2x +

√2

2+ C.

Spored toa∫

5x6+7x5+2x4+3x+92x2+4x+6

dx = 12x5− 3

8x4− 7

6x3+ 23

4x2− 25

2x−4 ln |2x2 + 4x + 6|+

+ 50√2arctg

√2x+

√2

2+ C.


Primer 21.∫

dx√4−x2 .

Rexenie.∫

dx√4−x2 =

∫ (x2 )

′dx

q

1−(x2 )

2 =arcsin x2

+ C.

Primer 22.∫

dx√3−x2 .

Rexenie.∫

dx√3−x2 =

∫“

x√3

”′dx

r

1−“

x√3

”2=arcsin x√

3+ C.

Primer 23.∫

dx√x2+25

.

Rexenie.∫

dx√x2+25

=∫ (x

5 )′dx

q

1+(x5 )

2 = ln∣∣x +

√x2 + 25

∣∣ + C.

Primer 24.∫

dx√x2−3

.

Rexenie.∫

dx√x2−3

=∫

“

x√3

”′dx

r

“

x√3

”2−1

= ln∣∣x +

√x2 − 3

∣∣ + C.

Primer 25.∫

dx√ax2+bx+c

a) ako a > 0;

b) ako a < 0.

Rexenie. Ovoj integral se sveduva na integrali od oblikot∫

dt√t2±1

,∫

dt√1±t2

, vo zavisnost od znakot na a i b2 − 4ac.

a)∫

dx√ax2+bx+c

=∫

dxr

(√

ax)2+2 b

2√

a

√ax+ b2

4a− b2

4a+c

= =∫

dxr

“√ax+ b

2√

a

”2− b2−4ac

4a

i) Ako b2−4ac > 0, togax∫

dxr

“√ax+ b

2√

a

”2− b2−4ac

4a

= 1q

b2−4ac4a

·∫

dxv

u

u

t

√ax+ b

2√

a√b2−4ac

4a

!2

−1

,

pa so voveduvaǌe na smenata t =√

ax+ b2√

aq

b2−4ac4a

se sveduva na integral od

tipot∫

dt√t2−1

.

ii) Ako b2−4ac < 0, togax∫

dxr

“√ax+ b

2√

a

”2− b2−4ac

4a

= 1q

4ac−b2

4a

∫dx

v

u

u

t

√ax+ b

2√

a√4ac−b2

4a

!2

+1

,

pa so voveduvaǌe na smenata t =√

ax+ b2√

aq

4ac−b2

4a

se sveduva na integral od

tipot∫

dt√t2+1

.

b) Vo ovoj sluqaj podintegralnata funkcija e definirana samo

za b2−4ac > 0 i nejzinata definiciona oblast e(

−b−√

b2−4ac2a

, −b+√

b2−4ac2a

)

.

Pritoa b2 − 4ac = b2 + 4 |a| c. Spored toa imame∫

dx√ax2+bx+c

=∫

dx√−|a|x2+bx+c

=∫

dx√−(|a|x2−bx−c)

=

=∫

dxs

−„

“√|a|x

”2−2 b

2√

|a|

√|a|x+ b2

4|a|−b2

4|a|−c

«

=∫

dxv

u

u

t−

„√|a|x− b

2√

|a|

«2

− b2+4|a|c4|a|

!

=


= 1r

b2+4|a|c4|a|

∫dx

v

u

u

u

u

u

t

1−

0

B

B

@

√|a|x− b

2√

|a|s

b2+4|a|c4|a|

1

C

C

A

2

So voveduvaǌe na smenata t =

√|a|x− b

2√

|a|r

b2+4|a|c4|a|

se sveduva na oblikot

∫dt√1−t2

.

Primer 26.∫

dx√−x2+3x+2

.

Rexenie.∫

dx√−x2+3x+2

=∫ (x− 3

2)′dx

q

32+4·24

−(x− 32)

2 = =∫ (x− 3

2 )′dx

q

174−(x− 3

2)2 = arcsin

x− 32√

172

+

C = arcsin 2x+3√17.

+ C.

Primer 27.∫

dx√x2+3x+2

.

Rexenie.∫

dx√x2+3x+2

=∫ (x+ 3

2)′dx

q

(x+ 32 )

2− 32−4·24

=∫ (x+ 3

2 )′dx

q

(x+ 32)

2− 14

=

= ln

∣∣∣∣x + 3

2+√(x + 3

2

)2 − 14

∣∣∣∣+ C = ln

∣∣x + 3

2+ 2

√x2 + 3x + 2

∣∣ + C.

Primer 28.∫

px+q√ax2+bx+c

dx, a 6= 0, p 6= 0.

Rexenie. Dadeniot integral ke go pretstavime kako zbir na

integralite od oblik∫

dt√ti∫

dt√at2+bt+c

. Imame

∫px + q√

ax2 + bx + cdx = p

∫x + q

p√ax2 + bx + c

dx = p1

2a

∫2ax + b − b + 2a q

p√ax2 + bx + c

dx =

= p1

2a

∫2ax + b√

ax2 + bx + cdx + p

1

2a

∫ −b + 2a qp√

ax2 + bx + cdx =

= p1

2aI1 + p

1

2a

(

−b + 2aq

p

)

I2

Vo I1 voveduvame smena t = ax2 + bx + c. Ottuka dt = (2ax + b) dx,

pa I1 =∫

dt√t= 2

√t + C = 2

√ax2 + bx + c + C. Integralot I2 e od

oblikot∫

dx√ax2+bx+c

, koj e presmetan prethodno.

Primer 29.∫

3x+5√−4x2+2x+5

dx.

Rexenie. I =∫

3x+5√−4x2+2x+5

dx = 3 12(−4)

∫ −8x+2−2+ 5·(−8)3√

−4x2+2x+5dx =


= −38

∫ −8x+2√−4x2+2x+5

dx +(−3

8

) (−2 − 40

3

) ∫dx√

−4x2+2x+5= −3

8I1 + 23

4I2.

Vo I1 voveduvame smena t = −4x2 +2x+5, pa dt = −8x+2. Spored

toa I1 =∫

dt√t= 2

√t + C = 2

√−4x2 + 2x + 5 + C. Za I2 imame

I2 =∫

dx√−4x2+2x+5

=∫

dx√14+2 1

22x−(2x)2+5− 1

4

=∫

dxq

( 12−2x)

2+ 19

4

=

=√

419

∫dx

v

u

u

t

12−2x√

194

!2

+1

=√

419

∫dx

r

“

1√19

− 4√19

x”2

+1

Voveduvame smena y = 1√19

− 4√19

x. Togax dy = − 4√19

dx, pa

I2 = −√

4

19

√19

4

∫dy

√

y2 + 1= −1

2ln∣∣∣y +

√

y2 + 1∣∣∣+ C1 =

= −1

2ln

1√19

− 4√19

x +

√(

1√19

− 4√19

x

)2

+ 1

+ C1

Koneqno,

I = 2√−4x2 + 2x + 5− 1

2ln

(

1√19

− 4√19

x +

√(

1√19

− 4√19

x)2

+ 1

)

+C2.

Primer 30.∫

sin ax cos bxdx, a, b 6= 0, a + b, a − b 6= 0.

Rexenie.∫

sin ax cos bxdx = 12

∫(sin (a + b)x + sin (a − b)x) dx =

= 12

∫sin (a + b)xdx − 1

2

∫sin (a − b)xdx =

= − 12(a+b)

cos (a + b)x + 12(a−b)

cos (a − b)x + C.

Primer 31.∫

cos ax cos bxdx, a, b 6= 0, a + b, a − b 6= 0.

Rexenie.∫

cos ax cos bxdx = 12

∫cos (a + b)xdx+ 1

2

∫cos (a − b)xdx =

= 12(a+b)

sin (a + b)x + 12(a−b)

sin (a − b)x + C.

Primer 32.∫

cos 3x cos 5xdx.

Rexenie.∫

cos 3x cos 5nxdx = 12

∫[cos 2x + cos 8x]dx =

= sin 2x4

+ sin 8x16

+ C.

Primer 33.∫

sin 2x cos 3xdx.

Rexenie.∫

sin 2x cos 3xdx = 12

∫(sin (−x) + sin 5x) dx = cosx

2− cos 5x

10+ C.

Primer 34.∫

sin 4x sin 7xdx.

Rexenie.∫

sin 4x sin 7xdx = 12

∫(cos 3x − cos 11x) dx = sin 3x

6− sin 11x

22+ C.

Primer 35.∫

sin23xdx.


Rexenie.∫

sin23xdx = 12

∫[1 − cos 6x]dx = x

2− sin 6x

12+ C.

Primer 36.∫

cos24xdx.

Rexenie.∫

cos24xdx = 12

∫[1 + cos 8x]dx = x

2+ sin 8x

16+ C.

Primer 37.∫

lnaxx

dx, a 6= 0.

Rexenie. Voveduvame smena t = lnx. Togax dt = dxx, pa

∫lnax

xdx =

∫tadt =

ta+1

a+1+ C, a 6= −1

ln |t|+ C, a = −1=

lna+1xa+1

+ C, a 6= −1

ln |lnx| + C, a = −1.

Primer 38.∫

1+x2

1+x4 dx.

Rexenie.∫

1+x2

1+x4 dx =∫ 1

x2 +1

x2+ 1x2

dx =∫ 1

x2 +1

x2−2+ 1x2 +2

dx =∫ 1

x2 +1

(x− 1x)

2+2

dx.

Voveduvame smena t = x − 1x. Ottuka dt =

(1 + 1

x2

)dx, pa posled-

niot integral se transformira vo∫

dtt2+2

. Natamu imame∫

dtt2+2

= 12

∫dt

“

t√2

”2+1

=√

22

arctg t√2

+ C =√

22

arctg 1√2

(x− 1

x

)+ C.

Primer 39.∫

x2−11+x4 dx.

Rexenie.∫

x2−11+x4 dx =

∫ 1− 1x2

x2+ 1x2

dx =∫ 1− 1

x2

x2+2+ 1x2 −2

dx =∫ 1− 1

x2

(x+ 1x)

2−2dx.

Voveduvame smena t = x + 1x, pa dt =

(1 − 1

x2

)dx. Natamu,

∫1 − 1

x2

(x + 1

x

)2 − 2dx =

∫dt

t2 − 2=

1

2

∫dt

(t√2

)2

− 1=

1

2

(∫

dtt√2− 1

−∫

dtt√2

+ 1

)

=

=1

2

√2 ln

t −√

2

t +√

2+ C =

√2

2ln

x + 1x−

√2

x + 1x

+√

2+ C.

Primer 40.∫

1+x2

x4+3x3+3x2−3x+1dx.

Rexenie.∫

1+x2

x4+3x3+3x2−3x+1dx =

∫ 1+ 1x2

x2+3x+3− 3x+ 1

x2dx =

=∫ 1+ 1

x2

(x2−2+ 1x2 )+3(x− 1

x)+3+2dx =

∫ 1+ 1x2

(x− 1x)

2+3(x− 1

x)+5dx.

Od smenata t = x − 1x

dobivame dt =(1 + 1

x2

)dx, pa

∫ 1+ 1x2

(x− 1x)

2+3(x− 1

x)+5dx =

∫dt

t2+3t+5=∫

dt

t2+2t 32+( 3

2)2− 9

4+5

=

=∫

dt

(t+ 32)

2+ 11

4

= 411

∫dt

t+32√114

!2

+1

= 411

√114

arctgt+ 3

2√114

+ C =


= 2√11

arctg2(x− 1

x)+3√

11+ C.

Primer 41.∫ √

b2 − a2x2dx, a, b > 0.

Rexenie.∫ √

b2 − a2x2dx = b∫√

1 −(

axb

)2dx. Prvo ke vovedeme

smena t = axb, od kade xto dobivame dx = b

adt, pa b

∫√

1 −(

axb

)2dx =

b2

a

∫ √1 − t2dt. Sega voveduvame smena t = sin u. Ottuka dt = cosudu,

pa∫ √

1 − t2dt =∫ √

1 − sin2u cos udu =∫|cosu| cos udu. Bidejki −1 ≤

u = arcsin t ≤ 1 sleduva deka cos u > 0, pa |cosu| = cosu. Spored toa∫|cosu| cos udu =

∫cos2udu = sin 2u

4+ u

2+ C =

= 2 sin(arcsin t) cos(arcsin t)4

+ arcsin t2

+ C =

=t√

1−sin2(arcsin t)

2+ arcsin t

2+ C = t

√1−t2

2+ arcsin t

2+ C =

=axb

q

1−(axb )

2

2+

arcsin axb

2+ C.

1.1.4 Integriraǌe so metod na parcijalna integracija

Teorema 1. Neka funkciite u(x) i v(x) se diferencijabilni

i neka postoi primitivna funkcija za funkcijata u′(x)v(x). To-

gax postoi primitivna funkcija i na funkcijata u(x)v′(x) i vai:∫

u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)−∫

u′(x)v(x)dx.

Dokaz. Od (u(x) · v(x))′ = u′(x)v(x) + u(x)v′(x), imame

∫

[u(x)v(x)]′dx =

∫

[u′(x)v(x) + u(x)v′(x)]dx.

Koristejki gi svojstvata na neopredeleniot integral, od posled-

noto se dobiva

u(x)v(x) =

∫

u′(x)v(x)dx +

∫

u(x)v′(x)dx

od kade sleduva tvrdeǌeto na teoremata.

Primer 1.∫

x lnxdx.

Rexenie. Stavame u = lnx i dv = xdx. Togax du = dxx

i v = x2

2,

od kade dobivame deka∫

x lnxdx = x2 lnx2

− 12

∫xdx = x2 lnx

2− x2

4+ C = x2

4(2 ln x − 1) + C.

Primer 2.∫

xexdx.


Rexenie. Stavame u = x i dv = exdx. Togax du = dxi v = ex, od

kade dobivame deka∫

xexdx = xex −∫

exdx = xex − ex + C = (x − 1)ex + C.

Primer 3.∫

x arctg xdx.

Rexenie. Stavame u = arctg x i dv = xdx. Togax du = dx1+x2i

v = x2

2, od kade xto dobivame deka∫

x arctg xdx = x2 arctgx2

− 12

∫x2

1+x2 dx = x2 arctgx2

− 12

∫1+x2−11+x2 dx =

= x2 arctgx2

− 12

(∫dx −

∫dx

1+x2

)= x2 arctgx

2− 1

2(x − arctg x) + C =

= x2+12

arctg x− x2

+ C.

Primer 4∫

x sinxdx.

Rexenie. Stavame u = x i dv = sinxdx. Togax

du = dx i v = − cos x, od kade dobivame deka∫

x sinxdx = −x cos x +∫

cos xdx = −x cosx + sinx + C.

Primer 5.∫

x2 cos xdx.

Rexenie. Stavame u = x2 i dv = cos xdx. Togax

du = 2xdx i v = sinx, od kade dobivame deka∫

x2 cos xdx = x2 sinx − 2∫

x sinxdx.

Na integralot od desnata strana na ravenstvoto primenuvame

parcijalna integracija i zaradi primerot 4, dobivame∫

x sinxdx = −x cos x + sin x + C.

Spored toa,∫

x2 cos xdx = x2 sinx − 2(−x cos x + sin x) + C =(x2−2) sin x+2x cosx+

C.

Primer 6.∫

x sin 3xdx.

Rexenie. Stavame u = x i dv = sin 3xdx. Togax du = dxi v =

− cos 3x3

, od kade dobivame deka∫

x sin 3xdx = −x cos 3x3

+ 13

∫cos 3xdx = −x cos 3x

3+ 1

9sin 3x + C.

Primer 7.∫

ex sinxdx.

Rexenie. Stavame u = ex i dv = sin xdx. Togax

du = exdx i v = − cos x,

od kade dobivame deka∫

ex sinxdx = −ex cos x +∫

ex cos xdx.

Na integralot od desnata strana na ravenstvoto primenuvame

parcijalna integracija u1 = ex i dv1 = cosxdx i dobivame∫

ex cosxdx = ex sin x−∫

ex sinx + C.


Spored toa,∫

ex sinxdx = −ex cos x + ex sinx −∫

ex sinxdx, od kade

xto sleduva deka∫

ex sinxdx = ex(sinx−cosx)2

+ C.

Primer 8.∫

(x2 + 2x + 3)e5xdx.

Rexenie. Dadeniot integral ke go zapixeme vo oblikot∫

(x2 + 2x + 3)e5xdx =∫

x2e5xdx + 2∫

xe5xdx + 3∫

e5xdx.

Stavame I1 =∫

x2e5xdx, I2 =∫

xe5xdx I3 =∫

e5xdx. Ako na sekoj

od integralite I1 i I2 oddelno primenime parcijalna integracija

dobivame

I1 =∫

x2e5xdx = 25x2−10x+2125

e5x + C I2 =∫

xe5xdx = 5x−125

e5x + C.

Bidejki, I3 =∫

e5xdx = e5x

5+ C, za dadeniot integral koneqno

dobivame∫

(x2 + 2x + 3)e5xdx =I1 + 2I2 + 3I3 =(

x2

25+ 3

25x + 22

125

)

e5x + C.

Primer 9.∫

xdxsin2x

.

Rexenie. Voveduvame parcijalna integracija u = x, dv = 1sin2x

dx.

Ottuka du = dx, v = − ctg x, pa∫

xdxsin2x

= −x ctg x+∫

ctg xdx = −x ctg x+∫

cosxsinx

dx = −x ctgx+ln |sinx|+C.

Primer 10.∫

x2dx√1−x2 .

Rexenie. Neka I =∫

x2dx√1−x2 . Togax I =

∫x x√

1−x2 dx. Stavame

u = x i dv = x√1−x2 dx. Ottuka du = dxi v = −

√1 − x2, od kade xto

dobivame deka

I = −x√

1 − x2 +∫ √

1 − x2dx = −x√

1 − x2 +∫ (1−x2)dx

√1−x2 =

= −x√

1 − x2 +∫

dx√1−x2 −

∫x2√1−x2 dx = −x

√1 − x2 +

∫dx√1−x2 − I.

Spored toa I =∫

x2dx√1−x2 = 1

2

(−x

√1 − x2 + arcsin x

)+ C.

Primer 11.∫ √

b2 − a2x2dx, a, b > 0.

Rexenie. Imame∫ √

b2 − a2x2dx = b∫√

1 −(

axb

)2dx, pa stavame

smena t = axb. Ottuka dx = b

adt. Spored toa

∫ √b2 − a2x2dx =

b2

a

∫ √1 − t2dt. Da oznaqime I =

∫ √1 − t2dt. Togax

I =∫

1−t2√1−t2

dt =∫

dt√1−t2

−∫

t2√1−t2

dt = arcsin t−12

(−t

√1 − t2 + arcsin t

)+

C = 12t√

1 − t2 + arcsin t2

+ C.

Koneqno∫ √

b2 − a2x2dx = b2

a·(

12· ax

b

√

1 −(

axb

)2+

arcsin axb

2

)

+ C.

Primer 12.∫

x2√

1+x2 dx


Rexenie. Voveduvame parcijalna integracija na sledniov naqin

u = x, dv = x√1+x2 dx. Togax du = dx, v =

√1 + x2, pa

∫x2

√1 + x2

dx = x√

1 + x2 −∫ √

1 + x2dx =

= x√

1 + x2 −∫

1 + x2

√1 + x2

dx =

= x√

1 + x2 −∫

1√1 + x2

dx −∫

x2

√1 + x2

dx

Ottuka 2∫

x2√

1+x2 dx = x√

1 + x2 −∫

1√1+x2 dx, t.e.

∫x2

√1+x2 dx = 1

2

(x√

1 + x2 − ln∣∣x +

√1 + x2

∣∣)

+ C.

Primer 13.∫ √

a2x2 ± b2dx, a, b > 0.

Rexenie. Na sliqen naqin kako prethodno stavame smena t = axb

i dx = badt, pa

∫ √a2x2 ± b2dx = b2

a

∫ √t2 ± 1dt.

Natamu

∫ √t2 ± 1dt =

∫t2 ± 1√t2 ± 1

dt =

∫t2√

t2 ± 1dt ±

∫1√

t2 ± 1dt =

= ln∣∣∣t +

√t2 ± 1

∣∣∣+

1

2

(

t√

t2 ± 1 − ln∣∣∣t +

√t2 ± 1

∣∣∣

)

+ C =

=1

2

(

t√

t2 ± 1 + ln∣∣∣t +

√t2 ± 1

∣∣∣

)

+ C

Koneqno,∫ √

b2 + a2x2dx = b2

a12

(

axb

√

1 +(

axb

)2+ ln

∣∣∣∣axb

+√

1 +(

axb

)2

∣∣∣∣

)

+ C.

Primer 14∫ √

4 − x2dx.

Rexenie.∫ √

4 − x2dx =∫

4−x2√

4−x2 dx = 4∫

dx√4−x2 −

∫x2dx√4−x2 =

= 4arcsin x2

+ x√

4 − x2 −∫ √

4 − x2dx, t.e.∫ √

4 − x2dx = 2arcsin x2

+ x√

4−x2

2+ C.

Primer 15.∫ √

3 − x2dx.

Rexenie.∫

1√t2−1

dt =


= 3arcsin x√3

+ x√

3 − x2 −∫ √

3 − x2dx,

t.e.∫ √

3 − x2dx = 32arcsin x√

3+ x

√3−x2

2+ C.

Primer 16..∫ √

x2 + 16dx.

Rexenie.∫ √

x2 + 16dx =∫

x2+16√x2+16

dx =∫

x2dx√x2+16

+ 16∫

dx√x2+16

=.

= x√

x2 + 16 −∫ √

x2 + 16dx + 16∫

dx√x2+16

, otkade sleduva deka∫ √

x2 + 16dx = x√

x2+162

+ 8 ln∣∣x +

√x2 + 16

∣∣ + C,

pritoa za rexavaǌe na integralot∫

x2dx√x2+16

se primenuva parci-

jalna integracija u = x i dv = xdx√x2+16

.

Primer 17.∫ √

x2 − 3dx.

Rexenie. Od∫ √

x2 − 3dx =∫

x2−3√x2−3

dx =∫

x2dx√x2−3

− 3∫

dx√x2−3

=

= x√

x2 − 3 −∫ √

x2 − 3dx − 3∫

dx√x2−3

, sleduva deka∫ √

x2 − 3dx = x√

x2−32

− 3 ln|x+√

x2−3|2

+ C.

Primer 18.∫ √

ax2 + bx + cdx, a 6= 0.

Rexenie. 1) Neka a > 0. Togax imame

ax2 + bx + c =(√

ax)2

+ 2b

2√

a

√ax +

(b

2√

a

)2

− b2

4a+ c =

=

(√ax +

b

2√

a

)2

+4ac − b2

4a,

pa

∫ √ax2 + bx + cdx =

∫√(√

ax +b

2√

a

)2

+4ac − b2

4adx =

=

√∣∣∣∣

4ac − b2

4a

∣∣∣∣

∫

√√√√√

√ax + b

2√

a√∣∣4ac−b2

4a

∣∣

2

± 1 dx.

So smenata t =√

ax+ b2√

ar

˛

˛

˛

4ac−b2

4a

˛

˛

˛

posledniot integral se sveduva na ob-


likot∫ √

t2 ± 1dt.

2) Neka a < 0. Togax

ax2 + bx + c = − |a|x2 + bx + c =

= −

(√

|a|x)2

− 2b

2√

|a|√

|a|x +

(

b

2√

|a|

)2

+b2

4 |a| + c =

= −(√

|a|x − b√

a

2

)2

+4 |a| c + b2

4 |a| =4 |a| c + b2

4 |a| ·

1 −

√

|a|x− b2√

a√

4|a|c+b2

4|a|

2

pa∫ √

ax2 + bx + cdx =√

4|a|c+b2

4|a| ·∫

√√√√√1 −

√|a|x− b

2√

ar

4|a|c+b2

4|a|

2

dx.

So smenata t =

√|a|x− b

2√

ar

4|a|c+b2

4|a|

dadeniot integral se sveduva na ob-

likot∫ √

1 − t2dt.

Primer 19.∫ √

−x2 − 5x + 3dx.

Rexenie.∫ √

−x2 − 5x + 3dx =

=∫√

(−5)2+4·34

−(

x − (−5)2

)2(

x− (−5)2

)′dx =

∫√

374−(x + 5

2

)2dx =

= 378

arcsin 2x+5√37

+ 14(2x + 5)

√3 − 5x − x2 + C.

Primer 20.∫ √

x2 + 4x + 3dx..

Rexenie.∫ √

x2 + 4x + 3dx =∫√(x + 4

2

)2 − 42−4·34

(x + 4

2

)′dx =

=∫√

(x + 2)2 − 1 dx = (x+2)

√x2+4x+32

− 12ln∣∣x + 2 +

√x2 + 4x + 3

∣∣+ C.

Primer 21. In =∫

dx(ax2+b)n , n ∈ N\ 1, a, b 6= 0.

Rexenie. So parcijalna integracija ke go namalime stepenot

na imenitelot za eden. Imame


In =

∫dx

(ax2 + b)n =1

b

∫ax2 + b − ax2

(ax2 + b)n dx =

=1

b

∫dx

(ax2 + b)n−1 − a

b

∫x2

(ax2 + b)n =

1

bIn−1 −

a

bJ.

Natamu vo J =∫

x2

(ax2+b)n voveduvame parcijalna integracija

u = x, dv = x(ax2+b)n dx.

Ottuka du = dx, v = 12a

· 11−n

· 1(ax2+b)n−1 , pa

J = x · 1

2a· 1

1 − n· 1

(ax2 + b)n−1 − 1

2a· 1

1 − n

∫1

(ax2 + b)n−1 dx =

=1

2a (1 − n)· x

(ax2 + b)n−1 − 1

2a (1 − n)In−1.

Koneqno,

In = 1bIn−1 − a

bJ = 1

bIn−1 − a

b

(1

2a(1−n)· x

(ax2+b)n−1 − 12a(1−n)

In−1

)

=

= 1b

(

1 + 12(1−n)

)

In−1 − 12b(1−n)

· x

(ax2+b)n−1 . Ovaa postapka se pri-

menuva na In−1, ponatamu na In−2, itn. se dodeka ne se dobie in-

tegral od oblikot∫

dxax2+b

.

Primer 22. In =∫

1(ax2+bx+c)n dx; n ∈ N\ 1, a 6= 0.

Rexenie. 1) a > 0

In =∫

1(ax2+bx+c)n dx =

∫1

“

(√

ax)2+2 b

2√

a

√ax+ b2

4a− b2

4a+c”n dx =

=∫

1„

“√ax+ b

2√

a

”2− b2

4a+c

«n dx =∫

1„

“√ax+ b

2√

a

”2− b2−4ac

4a

«n dx.

Ako b2−4ac4a

> 0, togax so smenata t =√

ax+ b2√

aq

b2−4ac4a

se sveduva na ob-

likot∫

dt(t2−1)n .

Ako, pak, b2−4ac4a

< 0 so smenata t =√

ax+ b2√

ar

˛

˛

˛

b2−4ac4a

˛

˛

˛

se sveduva na oblikot

∫dt

(t2+1)n . Za b2−4ac4a

= 0 se dobiva oblikot∫

dt(st+k)2n .

2) a < 0. Na sliqen naqin integralot se transformira vo


oblikot∫

dt(at2+b)n .

Primer 23. In =∫

a1x+b1(ax2+bx+c)n dx, n ∈ N\ 1,a1, a 6= 0.

Rexenie.

In =∫

a1x+b1(ax2+bx+c)n dx = a1

12a

∫ 2ax+b+2ab1a1

−b

(ax2+bx+c)n dx =

=a1

2a

∫2ax + b

(ax2 + bx + c)n dx +a1

2a

(2ab1

a1− b

)∫dx

(ax2 + bx + c)n =

=a1

2aJ1 +

a1

2a

(2ab1

a1

− b

)

J2.

Vo J1 stavame smena t = ax2 + bx + c. Ottuka dt = (2ax + b) dx, pa

integralot dobiva oblik∫

dttn

.

Integralot J2 e od oblik koj prethodno go presmetavme.

Primer 24.∫

3x+5(4x2+7x−3)3

dx.

Rexenie.

∫3x+5

(4x2+7x−3)3dx = 3

∫ 8x+7+8 53−7

(4x2+7x−3)3dx =


= 3

∫8x + 7

(4x2 + 7x − 3)3 dx + 3

(40

3− 7

)∫1

(4x2 + 7x − 3)3 dx =

= 3J1 + 19

∫1

(

(2x)2 + 2742x +

(74

)2 − 4916

− 3)3dx =

= 3J1 + 19

∫1

((2x + 7

4

)2 − 9716

)3dx =

= 3J1 + 191

(9716

)3

∫1

((

2x+ 74√

9716

)2

− 1

)3dx =

= 3J1 + 19

(16

97

)3 ∫1

((8x+7√

97

)2

− 1

)3 dx =

= 3J1 + 19

(16

97

)3

I.

Vo J1 ke stavime smena t = 4x2 + 7x − 3. Ottuka dt = (8x + 7) dx,

pa

J1 =∫

dtt3

= − 12t2

+ C = − 1

2(4x2+7x−3)2+ C.

Vo I stavame smena y = 8x+7√97

, pa dx =√

978

dx i I =√

978

∫dy

(y2−1)3=

√978

I3.

Za I3 imame

I3 =∫

dy

(y2−1)3= −

∫y2−1−y2

(y2−1)3dy = −

∫y2−1

(y2−1)3dy +

∫y2

(y2−1)3dy =

= −∫

1(y2−1)2

dy +∫

y2

(y2−1)3dy.

Vo posledniot integral voveduvame parcijalna integracija

u = y, dv = y

(y2−1)3dy. Ottuka

du = dy, v = − 1

4(y2−1)2, pa

∫y2

(y2−1)3dy = − y

4(y2−1)2+ 1

4

∫dy

(y2−1)2.

Spored toa

I3 = −∫

dy

(y2−1)2− y

4(y2−1)2+ 1

4

∫dy

(y2−1)2= − y

4(y2−1)2− 3

4

∫dy

(y2−1)2=


= − y

4(y2 − 1)2 +3

4

∫y2 − 1 − y2

(y2 − 1)2 dy =

= − y

4(y2 − 1)2 +3

4

∫y2 − 1

(y2 − 1)2dy − 3

4

∫y2

(y2 − 1)2 dy =

= − y

4(y2 − 1)2 +3

4

∫1

y2 − 1dy − 3

4

∫y2

(y2 − 1)2dy =

= − y

4(y2 − 1)2 +3

4· 1

2ln

∣∣∣∣

y − 1

y + 1

∣∣∣∣− 3

4

∫y2

(y2 − 1)2 dy.

Vo integralot∫

y2

(y2−1)2dy voveduvame parcijalna integracija

u = y, dv = y

(y2−1)2dy.

Ottuka du = dy, v = − 12(y2−1)

, pa

∫y2

(y2−1)2dy = − y

2(y2−1)+ 1

2

∫dy

y2−1= − y

2(y2−1)+ 1

4ln∣∣∣y−1y+1

∣∣∣.

Sega,

I3 = − y

4(y2 − 1)2 +3

4· 1

2ln

∣∣∣∣

y − 1

y + 1

∣∣∣∣− 3

4

∫y2

(y2 − 1)2 dy =

= − y

4(y2 − 1)2 +3

8ln

∣∣∣∣

y − 1

y + 1

∣∣∣∣− 3

4

(

− y

2 (y2 − 1)+

1

4ln

∣∣∣∣

y − 1

y + 1

∣∣∣∣

)

=

= − y

4(y2 − 1)2 +3y

8 (y2 − 1)+

3

16ln

∣∣∣∣

y − 1

y + 1

∣∣∣∣.

Koneqno,


∫3x + 5

(4x2 + 7x − 3)3dx = 3J1 + 19

(16

97

)3

I =

= − 3

2(4x2 + 7x − 3)2 +

+ 19

(16

97

)3√97

8

(

− y

4(y2 − 1)2 +3y

8 (y2 − 1)+

3

16ln

∣∣∣∣

y − 1

y + 1

∣∣∣∣

)

+ C =

= − 3

2(4x2 + 7x − 3)2−

− 19 · 83√

97

973

8x+7√97

4

((8x+7√

97

)2

− 1

)2 −38x+7√

97

8

((8x+7√

97

)2

− 1

) − 3

16ln

∣∣∣∣∣

8x+7√97

− 18x+7√

97+ 1

∣∣∣∣∣

+ C.

Primer 25. In =∫

sinnxdx, n ∈N.

Rexenie. Vo In =∫

sinnxdx =∫

sinn−1x sin xdx voveduvame par-

cijalna integracija u = sinn−1x, dv = sinxdx. Ottuka

du = (n − 1) sinn−2x cos xdx, v = − cos x, pa

In = −sinn−1x cos x + (n − 1)∫

sinn−2xcos2xdx =

= −sinn−1x cos x + (n − 1)∫

sinn−2x(1 − sin2x

)dx =

= −sinn−1x cos x + (n − 1)∫

sinn−2xdx − (n − 1)∫

sinnxdx =

= −sinn−1x cos x + (n − 1) In−2 − (n − 1) In.

Spored toa, In = − 1nsinn−1x cos x + n−1

nIn−2. Znaqi poqetniot in-

tegral e sveden na integral so stepen na sinx ponizok za dva.

Prodoluvajki ja ovaa postapka natamu, stepenot se namaluva

uxte za dva, itn. Taka, ako n e paren broj postapkata ke zavr-

xi so∫

dx, a ako n e neparen ke zavrxi so∫

sin xdx.

Primer 26∫

xn lnxdx, n ∈R.

Rexenie. 1) Neka n 6= −1. Stavame parcijalna integracija

u = lnx, dv = xndx. Ottuka du = dxx

, v = xn+1

n+1, pa


∫

xn lnxdx =1

n + 1xn+1 lnx − 1

n + 1

∫

xndx =

=1

n + 1xn+1 lnx − 1

n + 1· xn+1

n + 1+ C.

2) n = −1. Povtorno so parcijalnata integracija u = lnx, dv =1xdx dobivame du = dx

x, v = ln |x|, pa

∫lnxx

dx = lnx ln |x| −∫ ln|x|

xdx.

No x > 0 (samo za tie x funkcijata lnx e definirana) imame

ln |x| = lnx, pa 2∫

ln xx

dx = ln2x + 2C, t.e.∫

lnxx

dx = 12ln2x + C.

1.1.5 Presmetuvaǌe na nekoi vani tipovi integrali

I. Ako

∫

f(x)dx = ϕ(x) + c, togax za a, b ∈ R, a 6= 0, vai

∫

f(ax + b)dx =1

aϕ(ax + b) + c.

Primer 1.

∫

(ax + b)rdx =1

a

(ax + b)r+1

r + 1+ c, a 6= 0, r 6= −1.

Primer 2.

∫1

ax + bdx =

1

aln |ax + b|+ c.

Primer 3.

∫1

x2 + 2x + 2dx =

∫1

x2 + 2x + 1 + 1dx =

=

∫1

(x + 1)2 + 1dx = arctg(x + 1) + c.

II. Ako f : D → F e diferencijabilna funkcija na D, f(x) 6= 0,

za sekoj x ∈ D, togax

∫f ′(x)

f(x)dx = ln |f(x)|+ c.


Primer 4.

∫

tgxdx =

∫sinx

cos xdx = −

∫ − sinx

cos xdx =

= −∫

(cos x)′

cosxdx = − ln | cosx| + c.

III. Pri integriraǌe na nekoi trigonometriski funkcii, qesto

se koristat slednive ravenstva:

cos α cos β =1

2[cos(α − β) + cos(α + β)]

sinα sinβ =1

2[cos(α − β)− cos(α + β)]

sinα cos β =1

2[sin(α − β) + sin(α + β)]

Primer 5.

∫

sin2 xdx =

=

∫

sinx sinxdx =

∫1

2[cos(x − x) − cos(x + x)]dx =

=1

2

∫

(cos 0 − cos 2x)dx =1

2

∫

(1 − cos 2x)dx =

=1

2

[∫

dx −∫

cos 2xdx

]

=1

2

[

x − sin 2x

2

]

+ c.

Primer 6.

∫

cos2 xdx =

∫

cosx cos xdx =

=

∫1

2cos(x − x) + cos(x + x)]dx =

∫1

2(cos 0 + cos 2x)dx =

=

∫1 + cos 2x

2dx =

1

2

(

x +sin 2x

2

)

. (Prethodno veke go imame

rexeno).

Primer 7.

∫

sin 3x cos 2xdx =

=

∫1

2[sin(3x − 2x) + sin(3x + 2x)]dx =

1

2

∫

(sinx + sin 5x)dx =

=1

2

∫

sinxdx +1

2

∫

sin 5xdx =

=1

2(− cos x) +

1

2· 1

5(− cos 5x) + c =

− cosx

2− cos 5x

10+ c.


IV. Pri integriraǌe na trigonometriskite funkcii qesta smena

e i t = tgx

2.

Vo toj sluqaj, vo podintegralnata funkcija sinx i cos x se izrazu-

vaat preku tgx

2i se koristi smena t = tg

x

2.

Koristejki deka: sinx = 2 sinx

2cos

x

2, cos x = cos2 x

2− sin2 x

2i sin2 x

2+

cos2 x

2= 1, ∀x ∈ R, dobivame

sinx =sinx

1=

2 sinx

2cos

x

2

sin2 x

2+ cos2 x

2

=

2 sinx

2cos

x

2

cos2x

2

sin2 x

2+ cos2 x

2

cos2x

2

=

=

2sin

x

2

cosx

2

sin2 x

2

cos2x

2

+cos2 x

2

cos2x

2

=2tg

x

2

tg2 x

2+ 1

t.e. sinx =2t

t2 + 1i

cos x =cos x

1=

cos2 x

2− sin2 x

2

sin2 x

2+ cos2 x

2

=

cos2 x

2− sin2 x

2

cos2x

2

sin2 x

2+ cos2 x

2

cos2x

2

=

=

cos2 x

2

cos2x

2

−sin2 x

2

cos2x

2

sin2 x

2

cos2x

2

+cos2 x

2

cos2x

2

=1 − tg2 x

2

tg2 x

2+ 1

t.e. cos x =1 − t2

1 + t2.

Uxte, tgx =sinx

cos x=

2t

t2 + 11 − t2

t2 + 1

=2t

1 − t2t.e. tgx =

2t

1 − t2

i ctgx =cosx

sinxt.e. ctgx =

1 − t2

2t


Od t = tgx

2imame

x

2= arctgt pa dx = 2

1

1 + t2dt.

Primer 8.

∫dx

sinx=

∫12t

1 + t2

· 2 1

1 + t2dt =

=

∫1

tdt = ln |t|+ c = ln

∣∣∣tg

x

2

∣∣∣+ c.

1.2 Opredelen integral

1.2.1 Opredelen integral kako narasnuvaǌe na primitivna

funkcija

Neka g(x) i h(x) se dve proizvolni primitivni funkcii na

dadena funkcija f(x), na [a, b]. Togax zaradi teoremata, imame

deka g(x)− h(x) = c, ∀x ∈ [a, b], kade c e konstanta. Toa znaqi deka i

g(a)−h(a) = c i g(b)−h(b) = c, od kade, odzemajki gi dvete ravenstva,

se dobiva:

g(b) − h(b) − (g(a) − h(a)) = 0

g(b) − h(b) − g(a) + h(a) = 0, t.e.

g(b) − g(a) = h(b) − h(a)

Poslednoto znaqi deka narasnuvaǌeto na koi bilo dve pri-

mitivni funkcii, koga argumentot se menuva od x = a do x = b,

e ednakvo.


Geometriski gledano:

Zaradi pogornata diskusija, sega moe da ja dademe slednata

definicija.

Definicija. Narasnuvaǌeto na koja bilo primitivna funk-

cija na funkcijata f(x), koga argumentot se menuva od x = a do

x = b, se vika opredelen integral. Se koristi slednata oznaka:

b∫

a

f(x)dx

i qitame ”integral od a do b, ef od iks de iks”.

Od definicijata na opredelen integral sleduva formula za

presmetuvaǌe na opredelen integral t.e.

b∫

a

f(x)dx = g(b)− g(a),

kade g(x) e primitivna funkcija za f(x), a e dolna granica na

integriraǌe, a b e gorna granica na integriraǌe.

Qesto, pixuvame

g(b) − g(a) = g(x)∣∣∣

b

a.

Znaqi, za da presmetame

b∫

a

f(x)dx, potrebno e:


1) da se najde primitivna funkcija g(x) za f(x)

2) vo primitivnata funkcija namesto x, da se zamenat vrednos-

tite na gornite i dolnite granici t.e. g(b) i g(a)

3) da se odzemat dobienite rezultati t.e. da se presmeta g(b)−g(a).

Primer 1.

2∫

1

x2dx =

(x3

3

) ∣∣∣

2

1=

23

3− 13

3=

8

3− 1

3=

7

3.

1.2.2 Opredelen integral kako graniqna vrednost na zbir

Definicija. Za [a, b] ⊆ R mnoestvoto toqki

P = x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn,

takvi xto

a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b

se narekuva podelba na segmentot [a, b].

Najgolemiot od pozitivnite broevi xi − xi−1 se narekuva di-

jametar na podelbata i go oznaquvame so d.

Geometriski:

Definicija. Neka f : x 7→ f(x), x ∈ [a, b] e ograniqena funkcija.

Zbirotn∑

i=1

f(ξi)(xi − xi−1),

kade xto P = x0, x1, . . . , xn e nekoja podelba na segmentot [a, b]

i ξi ∈ [xi−1, xi], i ∈ 1, 2, . . . , n se proizvolno izbrani toqki, se

narekuva Rimanov integralen zbir.


Jasno e deka, Rimanoviot integralen zbir zavisi od brojot

na podintervali t.e. od n, na podelbata P = x0, x1, . . . , xn i od

broevite ξi.

Teorema 1. Ako postoi

limd→0

n∑

i=1

f(ξi)(xi − xi−1)

za sekoja podelba P = x0, x1, . . . , xn na segmentot [a, b] za sekoj

izbor na broevi ξi ∈ [xi−1, xi], i ∈ 1, 2, . . . , n, togax taa graniqna

vrednost e opredelen integral na funkcija f(x) na [a, b] t.e.

g(b) − g(a) =

b∫

a

f(x)dx = limd→0

n∑

i=0

f(ξi)(xi − xi−1)

kade g(x) e primitivna funkcija za f(x), i formulata vai za

sekoja podelba P na [a, b] i sekoj izbor na toqki ξi od [xi−1, xi].

Funkcijata koja ima opredelen integral na [a, b] se narekuva

integrabilna na [a, b].

Integrabilni funkcii na [a, b] se:

1) neprekinati funkcii na [a, b]

2) monotoni funkcii na [a, b]

3) ograniqeni funkcii so koneqen broj prekini na [a, b].

1.2.3 Svojstva na opredelen integral

Svojstvo 1. Neka f(x) e integrabilna na [a, b], λ ∈R. Togax λf e

integrabilna na [a, b], i vai

b∫

a

λf(x)dx = λ

b∫

a

f(x)dx.


Svojstvo 2. Neka f(x), g(x) se integrabilni na [a, b]. Togax i

f + g e integrabilna na [a, b] i vai

b∫

a

[f(x) + g(x)]dx =

b∫

a

f(x)dx +

b∫

a

g(x)dx.

Svojstvo 3.

b∫

a

f(x)dx = −a∫

b

f(x)dx.

Svojstvo 4.

a∫

a

f(x)dx = 0.

Svojstvo 5. Neka f(x) e integrabilna na [a, b] i neka c ∈ (a, b).

Togaxb∫

a

f(x)dx =

c∫

a

f(x)dx +

b∫

c

f(x)dx.

Svojstvo 6.

b∫

a

dx = b − a.

Svojstvo 7. Neka f(x), g(x) se integrabilni na [a, b] i neka

f(x) ≤ g(x), ∀x ∈ [a, b]. Togax

b∫

a

f(x)dx ≤b∫

a

g(x)dx.

1.2.4 Geometrisko znaqeǌe na opredeleniot integral

Neka Γf = (x, f(x) | x ∈ [a, b] e grafik na funkcijata y = f(x) i

A(a, f(a)), B(b, f(b)).


Zadaqa. Da se presmeta ploxtinata na delot od ramninata

xto e ograniqen so delot od funkcijata pomegu A i B, pravata

x = a, x = b i x−oskata.

Rexenie. Neka P = x0, x1, x2, . . . , xn e podelba na [a, b] i neka

ξi ∈ (xi−1, xi), i ∈ 1, 2, . . . , n. Togax f(ξi)(xi − xi−1) pretstavuva

ploxtina na pravoagolnik so visina f(ξi) i osnova (xi − xi−1), a

zbirotn∑

i=1

f(ξi)(xi−xi−1) pretstavuva ploxtinata na figurata, do-

biena od site vaka formirani pravoagolnici. Na slikata toa e

xrafiraniot del. Znaqi, integralniot zbir na f(x) na [a, b] e

ploxtinata na del od ramninata ograniqen so poligonalnata

linija M0N1M1N2M2N3M3 . . .Nn−1Mn−1Nn, pravata x = a, x = b i

x−oskata. Ako brojot na toqkite od podelbata P = x0, x1, x2, . . . , xnt.e. brojot n se zgolemuva, togax dijametarot d se namaluva i od

crteot e vidlivo deka poligonalnata linija se pomalku se raz-

likuva od delot na funkcijata megu A i B t.e. ako puxtime n → ∞t.e. d → 0, dobivame

limd→0

n∑

i=1

f(ξi)(xi − xi−1) = baranata ploxtina,


t.e.

b∫

a

f(x)dx = barana ploxtina.

1.2.5 Primena na opredelen integral

I. Presmetuvaǌe ploxtina

Neka y = f(x), x ∈ [a, b] e integrabilna i pozitivna t.e. f(x) >

0, ∀x ∈ [a, b]. Togax

PG =

b∫

a

f(x)dx,

kade

G = (x, y) | a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x).

Primer 1. Da se presmeta ploxtina na krug so radius r.

Rexenie. Ravenkata na krunica so radius r i centar vo (0, 0)

e x2 + y2 = r2, t.e. y2 = r2 − x2, pa f(x) =√

r2 − x2.

Spored formulata, baranata ploxtina e P = 2

r∫

−r

√r2 − x2dx.

So metodot na zamena dobivame x = r sin t, dx = r cos tdt i za

x = −r, t = arcsin

(−r

r

)

= arcsin (−1) =−π

2a za

x = r, t = arcsin(r

r

)

= arcsin (1) =π

2.

Znaqi, baranata ploxtina e

P = 2

∫ π2

−π2

√

r2 − r2 sin2 t r cos tdt


= 2r2

∫ π2

−π2

cos t cos tdt = 2r2

∫ π2

−π2

1 + cos 2t

2dt = =

2r2

2

[

t +sin 2t

2

]∣∣∣∣∣

π2

−π2

=

= r2

[π

2+

1

2sin(

2π

2

)

−[(

−π

2

)

+1

2sin

(

2

(−π

2

))]]

=

= r2[π

2+ 0 +

π

2− 0]

= r22 · π

2= r2π.

II. Presmetuvaǌe na volumen na vrtlivo telo

Neka y = f(x), x ∈ [a, b] e neprekinata i pozitivna funkcija. Ako

krivoliniskiot trapez, qii strani se segmentot [a, b], delovi od

pravite x = a i x = b i krivata y = f(x), a ≤ x ≤ b, se vrti okolu

x−oskata se dobiva vrtlivo telo.

Negoviot volumen e

V = π

b∫

a

f2(x)dx.

Primer 1. Da se presmeta volumen na topka so radius r.

Rexenie. Topkata se dobiva so vrteǌe na f(x) =√

r2 − x2 okolu


x−oskata i toa na delot [−r, r]. Pa,

V = π

r∫

−r

f2(x)dx = π

r∫

−r

(r2 − x2)dx =

= π

r∫

−r

r2dx −r∫

−r

x2dx

= π

[

r2x∣∣∣

r

−r− x3

3

∣∣∣

r

−r

]

=

= π

[

r2 · r − r2(−r) −(

r3

3− (−r)3

3

)]

=

= π

[

r3 + r3 −(

r3

3+

r3

3

)]

= π

[

2r3 − 2

3r3

]

=

=4

3πr3.

1.3 Nesvojstven integral

Neka funkcijata f : [a,∞) →R e integrabilna na sekoj zatvoren

interval [a, b]. Togax funkcijata

F (x) =

x∫

a

f(t)dt

e neprekinata na [a,∞).

Definicija. Ako granicata limx→+∞

F (x) postoi i e koneqen broj,

velime deka funkcijata f(x) e integrabilna na [a,∞) vo nesvoj-

stvena (neprava) smisla, a realniot broj limx→∞

F (x) se narekuva

nesvojstven integral na f(x) na [a,∞).

Znaqi,∞∫

a

f(x)dx = limx→∞

F (x) = limx→∞

x∫

a

f(t)dt

Ako f : (−∞, b] →R e integrabilna na sekoj interval [a, b], togax


funkcijata F (x) =b∫

x

f(t)dt e neprekinata na (−∞, b].

Definicija. Ako granicata limx→−∞

F (x) postoi i e koneqen broj,

velime deka funkcijata f(x) e integrabilna na (−∞, b] vo nesvoj-

stvena (neprava) smisla, a realniot broj limx→−∞

F (x) se narekuva

nesvojstven (neprav) integral na f(x) na (−∞, b]. Znaqi,

b∫

−∞

f(x)dx = limx→−∞

F (x) = limx→−∞

b∫

x

f(t)dt.

Definicija. Ako funkcijata f(x) e opredelena na (−∞,∞) i

integrabilna na intervalite (−∞, a] i [a,∞) za nekoj realen broj

a, togax+∞∫

−∞

f(x)dx =

∞∫

a

f(x)dx +

a∫

−∞

f(x)dx

Primer 1. I =

∞∫

0

e−xdx = limx→∞

x∫

0

e−tdt =

= limx→∞

(−e−t)∣∣∣

x

0= lim

x→∞(−e−x + e0) = lim

x→∞(1 − e−x) = 1 − 0 = 1.

Nesvojstveniot integral na (−∞,∞) na funkcijata f(x) se ra-

zlikuva od takanareqenata glavna vrednost (V.P.), koja se opre-

deluva na sledniot naqin:

(V.P.)

+∞∫

−∞

f(x)dx = limx→∞

+x∫

−x

f(t)dt.

Primer 2. Neka f(x) =x

1 + x2.


(V.P.)

+∞∫

−∞

x

1 + x2dx = lim

x→∞

+x∫

−x

t

1 + t2dt = lim

x→∞

1

2

+x∫

−x

2t

1 + t2dt =

=1

2limx→∞

(ln (1 + t2)

)∣∣∣

x

−x=

1

2limx→∞

[ln(1 + x2) − ln(1 + (−x)2)] =

=1

2limx→∞

ln1 + x2

1 + x2=

1

2lim

x→∞ln 1 =

1

2limx→∞

0 =1

2· 0 = 0.

Nesvojstveniot integral

+∞∫

−∞

x

1 + x2dx ne postoi, bidejki

∞∫

0

x

1 + x2dx

ne postoi. Navistina:

∞∫

0

x

1 + x2dx = lim

x→∞

x∫

0

t

1 + t2dt =

= limx→∞

1

2(ln(1 + t2))

∣∣∣

x

0=

1

2limx→∞

[ln(1 + x2) − ln 1] =

=1

2· ∞ = ∞.

Definicija. Ako funkcijata f(x) e opredelena na poluotvore-

niot interval [a, b), integrabilna na sekoj zatvoren interval so-

dran vo [a, b) i ako postoi koneqna granica limx→b−

∫ x

a

f(t)dt, togax

ovoj realen broj se narekuva nesvojstven (neprav) integral na

f(x) na [a, b) i se oznaquva so

b−∫

a

f(x)dx. Znaqi,

b−∫

a

f(x)dx = limx→b−

x∫

a

f(t)dt.

Definicija. Ako funkcijata f(x) e opredelena na poluotvore-

niot interval (a, b], integrabilna na sekoj zatvoren interval so-

dran vo (a, b] i ako postoi koneqna granica limx→a+

∫ b

x

f(t)dt, togax


ovoj realen broj se narekuva nesvojstven (neprav) integral na

f(x) na (a, b] i se oznaquva so

b∫

a+

f(x)dx. Znaqi,

b∫

a+

f(x)dx = limx→a+

b∫

x

f(t)dt.

Definicija. Za funkcijata f(x) opredelena na (a, b) i inte-

grabilna na (a, c] i [c, b)

b−∫

a+

f(x)dx =

c∫

a+

f(x)dx +

b−∫

c

f(x)dx.

Primer 3.

1∫

0+

lnxdx = limx→0+

1∫

x

ln tdt =

= limx→0+

(t ln t − t)∣∣∣

1

x= lim

x→0+[1 ln 1 − 1 − (x lnx − x)] =

= limx→0+

(−1 − x lnx + x) = −1 − limx→0+

lnx1

x

+ 0 =

= −1 − limx→0+

1

x

− 1

x2

= −1 + limx→0+

x2

x= −1 + lim

x→0+x = −1 + 0 = −1.

Ne e texko da se vooqi i geometriskoto tolkuvaǌe na nesvoj-

stvenite integrali, dokolku postojat. Na crteot, ploxtinite

na xrafiranite delovi se vsuxnost posoqenite nesvojstveni in-

tegrali.


2

DIFERENCIJALNI RAVENKI

2.1 Opxti poimi na obiqni diferencijalni ravenki

2.1.1 Definicija na obiqni diferencijalni ravenki

Neka y e nepoznata funkcija od nezavisna promenliva x, a

y, y′, y′′, . . . , y(n)

se nejzinite izvodi po x. Ravenkata

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 (1)

F (x, y(x), y′(x), y′′(x), . . . , y(n)(x)) = 0 (1′)

F

(

x, y,dy

dx,d2y

dx2, . . . ,

dny

dxn

)

= 0 (1′′)

se narekuva obiqna diferencijalna ravenka.

Sekoja funkcija y = f(x) koja ja zadovoluva diferencijalnata

ravenka (1) se narekuva rexenie ili integral na ravenkata (1).

Grafikot na funkcijata y = f(x) se narekuva integralna kriva.

Da se rexi ravenkata (1) znaqi da se najdat site funkcii y koi

identiqki ja zadovoluvaat ravenkata (1).

Najvisokiot izvod koj se pojavuva vo diferencijalnata ravenka

47


se narekuva red na ravenkata. Taka, ravenkata (1) e od n−ti red.

Zabelexka. Mono e vo edna diferencijalna ravenka od n−ti

red, da ne se pojavuvaat nezavisno promenlivata x, funkcijata y

ili nekoi od nejzinite izvodi osven n−tiot izvod.

Primer 1. Ravenkata y(4) =√

y′′′ pretstavuva edna diferenci-

jalna ravenka od 4−ti red. Da se rexi ovaa ravenka, znaqi da

se najdat site funkcii y = f(x) takvi xto kvadratniot koren od

nivniot 3−ti izvod e ednakov na nivniot 4−ti izvod.

Da proverime deka

y =8

60

x5

25+

x2

2+ x (∗)

e edno rexenie na dadenata ravenka.

Navistina,

y′ =x4

48+ x + 1, y′′ =

x3

12+ 1, y′′′ =

x2

4, y(4) =

x

2,√

y′′′ =x

2

t.e. (∗) ja zadovoluva y(4) =√

y′′′.

Sliqno se proveruva deka funkciite:

y =8

60

(x

2+ c1

)5

+ c2x2

2+ c3x + c4 (4)

kade c1, c2, c3, c4 se proizvolni realni broevi ja zadovoluvaat raven-

kata yIV =√

y′′′ t.e. beskoneqno mnogu funkcii, site zadadeni so

(4), se rexenija na dadenata ravenka.

Mnogu problemi od prirodnite nauki se sveduvaat na rexa-

vaǌe na diferencijalni ravenki.

Primer 2. Vo delot diferencijalno smetaǌe, (od kniga 1),

razgledavme eden primer na razmnouvaǌe na kolonija mikro-

organizmi. Pritoa, ako poqnuvajki od vreme x do vreme x + ∆x

(izminatoto vreme na nabǉuduvaǌe na procesot e ∆x) brojnosta na


mikroorganizmite od m0 = m(x) (brojnost vo momentot na vremeto

x) se zgolemi na m1 = m(x + ∆x) (brojnost vo moment na vremeto

x + ∆x), srednata brzina na razmnouvaǌe na mikroorganizmite e

koliqnik od promenite na brojnosta na mikroorganizmite i vremeto

na nabǉuduvaǌe na procesot ∆x t.e.

V razmnouvaǌe =∆m

∆x=

m(x + ∆x) − m(x)

∆x.

Vidovme deka brzinata na razmnouvaǌe vo momentot na vreme-

to x, pri brojnost m(x), se dobiva so matematiqkiot proces na

graniqna vrednost koga ∆x → 0 i e

Vmoment = lim∆x→0

∆m

∆x= m′(x) =

dm

dx.

Taka, ako go znaeme zakonot na razmnouvaǌe m(x), ke ja pres-

metame i momentnata brzina na razmnouvaǌeto.

No, vo vakvi sluqai, najqesto e poznata poqetnata brojnost na

mikroorganizmite t.e. m0 = m(x) i od interes e presmetuvaǌeto

na brojnosta m1 = m(x + ∆x) po nekoe izminato vreme ∆x, t.e. se

bara da se opredeli funkcijata m(x) koja ja dava zavisnosta na

brojnosta na mikroorganizmite od izminato vreme x.

Bidejki razgleduvame edna kolonija mikroorganizmi koja ivee

vo idealni uslovi, brojot

m(x + ∆x) − m(x) = M − N,

kade N e broj na novorodeni, a M e broj na umreni mikroorga-

nizmi vo period od ∆x vreme.

Brojot N na novorodenite zavisi od vremeto ∆x i od brojot

na roditelite m(x) i vo opxt sluqaj e nekoja funkcija F od tie

veliqini t.e. N = F (∆x, m(x)). No, od iskustvo, e poznato deka

e najqest linearniot sluqaj t.e. N da e pravoproporcionalno

so vremeto i brojnosta t.e. N = k1 · ∆x · m(x), kade k1 e koefi-

cient na razmnouvaǌe i toj e posebna karakteristika za sekoj

vid. Analogno, M = k2 · ∆x · m(x), kade k2 e koeficient na izumi-


raǌeto za toj vid i obiqno k2 < k1. Taka, dobivame

∆m = N − M = k1 · ∆x ·m(x) − k2 · ∆x · m(x) =

= (k1 − k2)∆x · m(x).

Razlikata k1 − k2 = k se narekuva koeficient na prirasnuva-

ǌeto na vidot. ili koeficient na prirodno rasteǌe na vidot.

Dobivame,∆m

∆x= k ·m(x), od kade zaradi diskusijata na poqetokot

imame:

V razmnouvaǌe =∆m

∆x= k · m(x) i

Vmoment = lim∆x→0

∆m

∆x= lim

∆x→0k · m(x) t.e.

Vmoment = m′(x) =dm

dx= k · m(x) t.e.

m′(x) = k · m(x) ili kratko m′ = k · m,

ako nezavisno promenlivata x ja ispuxtime vo zapixuvaǌeto.

Dobienata ravenka m′ = k ·m ili

(dm

dx= k · m

)

pretstavuva edna

diferencijalna ravenka, po nepoznata funkcija m(x), i taa go

opixuva procesot na idealno rasteǌe. Ravenkata e od prv red

i se proveruva deka nejzinoto rexenie e m(x) = m0ekx, kade m0 e

poqetnata brojnost na mikroorganizmite t.e. vo x = 0, a m(x) e

brojnost po izminato vreme ∆x = x.

Navistina, za m(x) = m0ekx, m′(x) = m0 · kekx = k · m0e

kx = km(x)

t.e. m′(x) = k · m(x), (m′ = k · m).

Zabelexka. Rexenieto na dobienite ravenki e poznato pod

imeto Maltusov zakon i veke go sretnavme vo nekoi prethodni

primeri t.e. do nego dojdovme na drug naqin (vidi brojot e).

Primer 3. Da se najde zakonot za pominat pat s, vo zavis-

nost od vremeto x, na nekoe telo koe se dvii pravoliniski i

neramnomerno, i za koe se znae deka brzinata e dadena funkcija


od vremeto, t.e. brzinata na dvieǌeto na teloto vo zavisnost od

vremeto x e poznata funkcija f(x).

Od ona xto dosega sme go nauqile ([7])

V =∆s

∆xt.e. Vmoment = lim

∆x→0

∆s

∆x= s′(x) =

dx

dx.

Vo naxiot primer zakonot za Vmoment e daden t.e. Vmoment =

f(x) pa dobivame s′(x) = f(x) t.e.ds

dx= f(x) e ravenkata koja go

opixuva procesot na edno pravolinisko i neramnomerno dvieǌe.

So rexavaǌe na ravenkata se dobiva deka:

s(x) = s0 +

x∫

x0

f(x)dx,

kade s0 e poqetnata poloba na teloto, koja odgovara na poqetnoto

vreme x0.

Postojat uxte mnogu primeri od prirodnite nauki, no isto

tolku i od ekonomskite ili nekoi drugi opxtestveni nauki. Voop-

xto, sekade kade xto ima nekoi zavisnosti na edna od druga veli-

qina, t.e. funkcija koja go opixuva nekoj proces i ako taa funk-

cija e nepoznata, najqesto nejzinoto naogaǌe e so pomox na rexa-

vaǌe na diferencijalni ravenki koi go opixuvaat toj proces.

2.1.2 Integrali na diferencijalni ravenki

Neka e dadena diferencijalnata ravenka od n−ti red,

f(x, y, y′, y′′, . . . , y(n)) = 0 (1)

Se pokauva deka postoi edna familija na krivi linii vo

ramninata definirani so ravenkata

y = ϕ(x, c1, c2, . . . , cn) (2)

ili vo oblik

Ψ(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0 (3)


koja sodri n proizvolni konstanti c1, c2, . . . , cn, takvi xto iden-

tiqki ja zadovoluvaat ravenkata (1) za proizvolni vrednosti na

konstantite c1, c2, . . . , cn.

Ravenkite (2) i (3) pretstavuvaat opxt integral na diferen-

cijalna ravenka (1), odnosno integralna kriva koja zavisi od

n−parametri c1, c2, . . . , cn. Ako vo (2) ili (3) edna ili poveke od

proizvolnite konstanti c1, c2, . . . , cn dobijat odredeni (konkretni)

vrednosti, togax ravenkata (2) ili (3) pretstavuva partikularen

integral na ravenkata (1).

Znaqi, partikularnite integrali na nekoi diferencijalni ra-

venki se dobivaat od opxtiot integral so davaǌe na konkretni

vrednosti na konstantite c1, c2, . . . , cn. Konstantite c1, c2, . . . , cn se

narekuvaat integracioni konstanti.

Proizvolnite konstanti c1, c2, . . . , cn vo (2) ili (3) moe da se

odredat od uslovot funkcijata y i nejzinite izvodi y′, y′′, . . . , y(n−1)

da dobijat odredeni vrednosti y0, y′0, y

′′0 , . . . , y

(n−1)0 za x = x0. Ovie

vrednosti y0, y′0, . . . , y

(n−1)0 za x = x0, se narekuvaat poqetni vred-

nosti ili poqetni uslovi.

2.1.3 Formiraǌe na diferencijalna ravenka

Neka e dadena familijata krivi linii vo ramninata, defini-

rani so ravenkite:

f(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0, (1)

koja zavisi od n−proizvolni konstanti, parametri c1, c2, . . . , cn.

Ako vo (1) zemame izvod po x n−pati, smetajki deka y e funkcija od

x, ke dobieme n−ravenki. So eliminacija na c1, c2, . . . , cn od n−te

dobieni ravenki i od (1) ke dobieme ravenka od oblik:

ϕ(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 (2)

Pritoa, od naqinot na dobivaǌe, jasno e deka (1) ke pretstavuva


rexenie na diferencijalna ravenka (2).

Primer 1. Site pravi koi minuvaat niz toqkata (a, b), se

dadeni so ravenkata y − b = k(x − a), k ∈R.

Ako pobarame izvod vo gornata ravenka po x, dobivame

y′ − 0 = k(1 − 0) t.e. y′ = k.

Od sistemot ravenki

y − b = k(x − a)

y′ = k

so eliminacija na k, se dobiva, y−b = y′(x−a), t.e. diferencijalna

ravenka od prv red, koja gi opixuva site pravi xto minuvaat niz

edna toqka (a, b) i qij opxt integral (rexenie) e y − b = k(x − a).

Primer 2. Familijata na krunici definirani so ravenkata

(x − a)2 + (y − b)2 = r2 (∗)

zavisi od tri parametri a, b, r.

Zatoa, vo ravenkata (∗) ke presmetame izvod po x, (smetajki

deka y e funkcija xto zavisi od x) do 3−ti red. Na toj naqin gi

dobivame slednite tri ravenki:

2(x − a) + 2(y − b)y′ = 0 t.e. (x − a) + (y − b)y′ = 0 (1′)

1 + y′ · y′ + (y − b)y′′ = 0 t.e 1 + y′2 + (y − b)y′′ = 0 (2′)

2y′ · y′′ + y′y′′ + (y − b)y′′′ = 0 t.e. 3y′y′′ + (y − b)y′′′ = 0. (3′)


So eliminacija na b od (3′) i zamena vo (2′), dobivame diferen-

cijalna ravenka y′′′(1 + y′2) − 3y′y′′2 = 0, qie rexenie se site kru-

nici zadadeni so (∗).

2.2 Obiqni diferencijalni ravenki od prv red

Vo ovoj del ke navedeme nekoi vani vidovi na diferencijalni

ravenki koi moe da se rexat so pomox na obiqni integracii,

bez da se vpuxtime vo egzistencija na rexenie na diferencijalna

ravenka.

2.2.1 Metod na razdvojuvaǌe na promenlivite

Za da moe edna diferncijalna ravenka da se integrira (rexi)

na ovoj naqin, prvo mora da se razdvojat promenlivite, t.e. raven-

kata se zapixuva taka xto na ednata strana na ravenkata se naoga

ednata promenliva i nejziniot diferncijal, a na drugata strana

drugite promenlivi i nejziniot diferencijal.

I. Diferencijalnata ravenka

dy

dx= f(x)

moe da se napixe vo oblikot

dy = f(x)dx.

Ako poslednata ravenka ja integrirame, dobivame

∫

dy =

∫

f(x)dx + c, t.e. y =

∫

f(x)dx + c

e rexenieto na dadenata diferencijalna ravenka.

Primer 1. Da se rexi y′ = 2x2 + 3.


Rexenie. y′ = 2x3 + 3 ⇔ dy

dx= 2x2 + 3 ⇔ dy = (2x3 + 3)dx. Pa,

y =

∫

(2x2+3)dx = 2x3

3+3x+c e rexenie na dadenata diferencijalna

ravenka.

II. Diferencijalnata ravenka

dy

dx= f(y)


dy

f(y)= dx.

Nejziniot opxt integral se dobiva od

∫dy

f(y)=

∫

dx + c t.e. e∫ dy

f(y)= x + c.

Primer 2. Da se rexi y′ − y = 0.

Rexenie. y′ − y = 0 ⇔ dy

dx= y ⇔ dy

y= dx. Pa,

∫dy

y=

∫

dx, t.e.

ln y = x + c t.e. y = ex+c = ex · ec, od kade so zamena ec = c1, dobivame

y = c1ex e rexenie na dadenata diferencijalna ravenka.

III. Diferencijalnata ravenka

dy

dx= f(x)g(y)


dy

g(y)= f(x)dx,

od kade se dobiva nejziniot opxt integral∫dy

g(y)=

∫

f(x)dx + c.

Primer 3. Da se rexi (1 + x2)y′ − y2 − 1 = 0.


Rexenie. (1 + x2)y′ − y2 − 1 = 0 ⇔ (1 + x2)dy

dx= 1 + y2 ⇔

⇔ dy

dx=

1 + y2

1 + x2⇔ dy

1 + y2=

dx

1 + x2.

So integracija na poslednata ravenka, dobivame∫ dy

1 + y2=

∫dx

1 + x2t.e. arctgy = arctgx + c t.e. y = tg(arctgx + c)

e rexenie na dadenata diferencijalna ravenka.

IV. Ako e dadena diferencijalna ravenka od oblikot

dy

dx= f(ax + by + c) kade a, b, c ∈R

togax voveduvame smena u = ax + by + c, kade u e nova nepoznata

funkcija. So diferenciraǌe na u = ax + by + c po x, dobivame

u′ = a + b · y′, t.e. y′ =1

b(u′ − a),

pa dadenata diferencijalna ravenka go dobiva oblikot1

b(u′−a) =

f(u), t.e.

u′ = b · f(u) + a ⇔ du

dx= b · f(u) + a.

Vo poslednata ravenka moe da se razdvojat promenlivite, pa

taa e ekvivalentna so

du

b · f(u) + a= dx,

a nejziniot integral e

∫du

b · f(u) + a= x + c,

od kade posle integriraǌe so smena u = ax + by + c, treba da se

vratime na prvobitnata funkcija y.

Primer 4. Da se rexi ravenkata y′ = (x + y)2.

Rexenie. Stavame smena u = x + y, od kade so diferenciraǌe

se dobiva u′ = 1 + y′, pa


y′ = (x + y)2 ⇔ u′ − 1 = u2 ⇔ du

dx= u2 + 1 ⇔ du

u2 + 1= dx.

Sleduva

∫du

u2 + 1=

∫

dx, t.e. arctgu = x + c ili u = tg(x + c).

Koneqno, y = u − x = tg(x + c) − x e rexenie na dadenata dife-

rencijalna ravenka.

2.2.2 Homogena diferencijalna ravenka od prv red

Diferencijalnata ravenka

dy

dx= f

(y

x

)

se narekuva homogena diferencijalna ravenka od prv red.

Zabelexka. Dadenata diferencijalna ravenka ne se menuva

ako vo nea x se zameni so kx, a y so ky.

Za da se rexi ovaa ravenka, se vrxi smena:

y

x= u ⇔ y = u · x,

kade u e nova nepoznata funkcija od x.

So diferenciraǌe na y = u · x po x dobivame

y′ = u′x + u.

So zamena na y′ = u′x + u iy

x= u vo dadenata diferencijalna

ravenka se dobiva

u′x + u = f(u) t.e. xdu

dx= f(u) − u.

So razdvojuvaǌe na promenlivite vo poslednata ravenka, se

dobiva

du

f(u) − u=

dx

xpa

∫ du

f(u) − u= lnx + ln c.


Po rexavaǌe na integralot, so smenatay

x= u, treba da se vratime

na prvobitnata funkcija y.

Primer 1. Da se rexi diferencijalna ravenka

x(y − x)y′ − y2 = 0.

Rexenie. x(y − x)y′ − y2 = 0 ⇔ y′ =y2

x(y − x)⇔ dy

dx=

(y

x

)2

y

x− 1

.

Stavame smena u =y

x, pa y′ = u′x + u, od kade se dobiva

du

dx=

(y

x

)2

y

x− 1

⇔ u′x + u =u2

u − 1⇔ x

du

dx=

u2

u − 1− u ⇔

⇔ xdu

dx=

u

u − 1⇔ u− 1

udu =

1

xdx.

So integriraǌe, dobivame:

∫ (u − 1

u

)

du =

∫1

xdx, t.e.

∫ (

1 − 1

u

)

du =

= lnx + ln c t.e. u − lnu = lnx + ln c = ln(cx)

u = lnu + ln cx = ln(ucx), t.e. cux = eu.

Ako vo poslednata ravenka, stavime xu = y, se vrakame na pr-

vobitnata funkcija y i go dobivame rexenieto

c · y = e

y

x .

2.2.3 Linearna diferencijalna ravenka od prv red

Diferencijalnata ravenka od oblik

dy

dx+ f(x)y + g(x) = 0 (1)


kade f(x) i g(x) se funkcii od nezavisno promenliva x, se narekuva

linearna diferencijalna ravenka od prv red.

Za da se rexi ovaa ravenka, prvo ja zapixuvame vo oblikot

y′

y+ f(x) +

g(x)

y= 0 (2)

i stavamey′

y+ f(x) =

z′

z, (3)

kade z e nova nepoznata funkcija.

Ako poslednata diferencijalna ravenka ja integrirame po x,

dobivame ∫y′

ydx +

∫

f(x)dx =

∫z′

zdx t.e.

ln y +

∫

f(x)dx = ln z t.e. ln y − ln z = −∫

f(x)dx

t.e.

ln(y

z

)

= −∫

f(x)dx,

pa

y = ze−R

f(x)dx. (4)

So zamena na (4) i (3) vo (2), se dobiva

z′

z+

g(x)

ze−R

f(x)dx= 0, t.e.

dz

dx+ g(x)e

R

f(x)dx = 0,

od kade so razdvojuvaǌe na promenlivite i integriraǌe, dobi-

vame:

z = c −∫

g(x)eR

f(x)dxdx (5)

Od (4) i (5), koneqno dobivame rexenie na (1) t.e.

y =

(

c −∫

g(x)eR

f(x)dxdx

)

e−R

f(x)dx (6)

Primer 1. Da se rexi ravenkata

y′ + y cos x− sinx cos x = 0.


Rexenie. Ova e linearna ravenka, kade f(x) = cosx, a g(x) =

− sinx cos x. Stavajkiy′

y+ cosx =

z′

z, qie rexenie, zaradi (4) e

y = ze−R

cos xdx = ze− sinxdx, dadenata ravenka go dobiva oblikot

dz

dx+ (− sin x cosx)e

R

cosxdx = 0 t.e.

dz

dx− sinx cos xesinx = 0.

So razdvojuvaǌe na promenlivite, vo poslednata ravenka, i

integriraǌe, se dobiva

z + c =

∫

sinx cos xesinxdx.

Posledniot integral, so smenata t = sinx, dt = cos xdx go dobiva

oblikot ∫

sin x cosxesinxdx =

∫

tetdt.

So parcijalnata integracija

u = t, dv = etdt

du = dt, v = et

dobivame

∫

sinx cos xesinxdx =

∫

tetdt = tet −∫

etdt = tet − et = sinxesinx − esinx.

Sleduva z = −c+sinxesinx − esinx, a bidejki y = ze− sinx, dobivame

deka rexenieto na dadenata ravenka e

y = −ce− sinx + sinx − 1.

2.2.4 Bernulieva diferencijalna ravenka

Ravenkatady

dx+ f(x)y + g(x)yn = 0, (1)

kade f(x) i g(x) se funkcii od x, a n e konstanta razliqna od 0 i

1, se narekuva Bernulieva ravenka. Za da se rexi ravenkata (1),


prvo ja zapixuvame vo oblikot

y′

y+ f(x) +

g(x)yn

y= 0, (2)

i stavamey′

y+ f(x) =

z′

z, (3)

kade z e nova nepoznata funkcija. Posle integracija, kako vo

delot 2.2.3, dobivame

y = ze−R

f(x)dx. (4)

So zamena na (3) i (4) vo (2) se dobiva

z′

z+ g(x)

(

ze−R

f(x)dx)n−1

= 0 t.e.

z′

z+ zn−1g(x)e(1−n)

R

f(x)dx = 0 t.e.

dz

dx+ zng(x)e(1−n)

R

f(x)dx = 0.

Vo poslednata ravenka, po razdvojuvaǌe na promenlivite i in-

tegriraǌe go dobivame rexenieto z. So zamena na rexenieto z vo

(4) se dobiva rexenieto y.

Primer 1. Da se rexi ravenkata xy′ + y − y2 log x = 0.

Rexenie. xy′ + y − y2 lnx = 0 ⇔ y′ +1

xy − lnx

xy2 = 0.

Stanuva zbor za Bernulieva ravenka vo koja f(x) =1

x, g(x) =

− lnx

xi n = 2.

So smenatay′

y+

1

x=

z′

z, dobivame y = ze−

R

1xdx = ze− ln x =

z

x, pa

dadenata ravenka go dobiva oblikot

z′

z=

lnx

xy t.e.

z′

z=

lnx

x· z

xt.e.

dz

dx= z2 lnx

x2


Od ovde so razdvojuvaǌe na promenlivite i integriraǌe, imame

dz

z2=

lnx

x2dx t.e.

∫dz

z2=

∫lnx

x2dx

t.e.

−1

z+ c =

∫lnx

x2dx.

Posledniot integral go rexavame so parcijalna integracija, stavajki

u = lnx, dv =1

x2dx i du =

1

xdx, v = −1

x.

∫lnx

x2dx = −1

xlnx −

∫

−1

x· 1

xdx = −1

xlnx +

∫1

x2dx =

= −1

xlnx− 1

x.

Sleduva

−1

z+ c = −1

xlnx − 1

x

t.e.1

z=

1

xlnx +

1

x+ c =

lnx + 1 + cx

x

pa

z =x

lnx + cx + 1.

Zaradi y =z

x, dobivame

y =1

lnx + cx + 1

e baranoto rexenie.

3

ELEMENTARNA KOMBINATORIKA I VEROJATNOST

3.1 Elementarna kombinatorika

3.1.1 Voved

Kombinatorikata izuquva rasporeduvaǌe na elementi vo ne-

koe dadeno mnoestvo. Vo kombinatorikata se prouquvaat diskre-

tni mnoestva t.e. mnoestva sostaveni od odvoeni, izolirani

elementi. Vo najgolem broj na sluqai, tie mnoestva se koneqni,

no se prouquvaat i beskoneqni mnoestva. Vo ovoj del ke raz-

gledame dve kombinatorni zadaqi. Prvata zadaqa e da se ispita

dali postoi ili ne postoi zamislen raspored na elementite od

dadenoto mnoestvo. Problemi od ovoj vid se narekuvaat prob-

lemi na postoeǌe - egzistencija. Drugata zadaqa podrazbira

deka postoeǌeto na odreden raspored e poznat ili oqigleden fakt

i se bara da se presmeta brojot na takvite rasporedi ili nivno

klasificiraǌe spored nekoe svojstvo. Problemite od ovoj vid se

narekuvaat problemi na prebrojuvaǌe.

3.1.2 Dva osnovni principa vo kombinatorikata

Pri izveduvaǌe na dokazi vo kombinatorikata qesto se prime-

63


nuvaat dvata osnovni principa (ili samo eden od niv) na prebro-

juvaǌe. Prviot od tie principi e sugeriran od sledniot primer.

Primer 1. Dve kocki se frlaat istovremeno. Na kolku naqini

moe da se dobie zbir 9 ili zbir 11.

Rexenie. Zbirot 9 se dobiva na eden od slednite naqini:

(6, 3), (5, 4), (4, 5) i (3, 6), kade prviot broj vo malata zagrada oz-

naquva kolku toqki se dobieni na prvata kocka, a vtoriot broj oz-

naquva kolku toqki se dobieni na vtorata kocka. Od druga strana,

zbirot 11 se dobiva na eden od slednite naqini: (6, 5), (5, 6). Bro-

jot na baranite naqini se dobiva so sobiraǌe na brojot na naqini

na koi moe da se dobie 9 (niv gi ima 4) i brojot na naqini na

koi moe da se dobie 11 (niv gi ima 2). Zakluquvame deka 9 ili

11 moe da se dobie na vkupno 6 naqini.

Princip na zbir. Ako objektot P moe da se izbere na m

naqini, a opjektot Q na n naqini, togax izborot na bilo objektot

P bilo objektot Q moe da se izvrxi na m + n naqini. Drugiot

princip e sugeriran od sledniot primer.

Primer 2. Od mestoto A do mestoto B vodat 4 razliqni pata, a

od mestoto B do mestoto C vodat 3 razliqni pata. Kolku razliqni

pata vodat od mestoto A do mestoto C?

Rexenie. Ke se posluime so sledniot crte.

Ako sakame da stigneme od A do B moe da izbereme eden od

4-te pata, obeleani so 1, 2, 3 ili 4. Ako na primer sme go izbrale

patot 1 i stigneme vo B, imame 3 monosti za prodoluvaǌe na

patot (so cel da stigneme do C). Ako prodolime po patot oznaqen

so 1′, togax patot od A do C go obeleuvame so 1, 1′.

Zabeleuvame deka ako sme go izbrale patot 1 od A do B, sega

imame 3 monosti da stigneme do C i toa: 1, 1′; 1, 2′; 1, 3′. Sliqno,


ako sme go izbrale patot 2 od A do B, imame novi tri monosti:

2, 1′; 2, 2′; 2, 3′. Sliqno, ako sme go izbrale patot 3, imame mo-

nosti: 3, 1′; 3, 2′; 3, 3′, a pri izborot 4 od A do B, imame monosti:

4, 1′; 4, 2′; 4, 3′. Znaqi, vkupen broj na monosti e 4 · 3 = 12, t.e. ima

12 moni naqini da se stigne od A do C.

Princip na proizvod. Ako objektot P moe da se izbere na

m naqini i ako, posle sekoj takov izbor, objektot Q moe da se

izbere na n naqini, togax izborot na parot (P, Q), vo naznaqeniot

redosled, moe da se izvrxi na m · n naqini.

Ovie dva principa, zaradi pojasnuvaǌe, ke gi iskaeme i na

drug naqin. Pritoa, pretpostavuvame deka zborot ”nastan” ima

dovolno odredeno znaqeǌe kaj qitatelot. Pokasno, ke se zadrime

malku poveke kaj ovoj poim.

Princip na zbir. Ako P i Q se dva nastana koi ne moe da se

pojavat (sluqat) istovremeno i ako nastanot P moe da se sluqi

na m naqini, a nastanot Q moe da se sluqi na n naqini, togax,

ima m + n naqini da se sluqi bilo nastanot P bilo nastanot Q.

Princip na proizvod. Ako nastanot P moe da se sluqi na

m naqini i otkako nastanot P se sluqil, nastanot Q moe da se

sluqi na n naqini, togax dvata nastana, P i Q (zemeni vo toj

redosled) moe da se sluqat na m · n naqini.

Dvata principa moe da se obopxtat. Ke go iskaeme samo

obopxteniot princip na proizvod.

Obopxten princip na proizvod. Ako nastanot A1 moe da se

sluqi na m1 razliqni naqini, i otkako A1 se sluqil, nastanot A2

moe da se sluqi na m2 razliqni naqini, itn., i najposle, otkako

site nastani A1, A2, . . . , Ak−1 se sluqile, ako nastanot Ak moe da

se sluqi na mk razliqni naqini, togax nastanite A1, A2, . . . , Ak

(zemeni vo toj redosled) moe da se sluqat na m1·m2·...·mk raliqni

naqini.


3.1.3 Voveduvaǌe na dvata osnovni poimi vo kombinatori-

kata: permutacija i kombinacija

So pomox na slednite dva primera ke gi vovedeme dvata os-

novni poimi vo kombinatorika t.e permutacija i kombinacija.

Za taa cel, neka pod ”zbor” ja podrazbirame sekoja koneqna niza

od bukvi vo nekoja azbuka na primer, makedonskata, napixani edna

pozadi druga, kako xto pixuvame vo naxata azbuka. Taka, AKT e

zbor formiran od bukvite A, K i T, no soglasno naxata defini-

cija i KTA e zbor, iako nema znaqeǌe vo naxiot jazik. Jasno,

AKT i KTA se razlikuvaat megu sebe.

Primer 1. Kolku zborovi od tri bukvi moe da se formiraat

od bukvite A, K, M i T, zemajki deka niedna bukva ne smee da se

pojavuva vo zborot poveke od ednax?

Primer 2. Vo ramninata se dadeni qetiri toqki A, K, M i

T takvi xto nikoi tri od niv ne leat na ista prava. Kolku

razliqni triagolnici formiraat ovie toqki?

Na prv pogled se qini deka odgovorite na ovie dve praxaǌa

se isti, t.e. deka formirame koneqni nizi od 3 od dadenite 4

bukvi. No, toa ne e toqno. Taka, zborovite KAM i MAK se dva

razliqni zbora, dodeka 4KAM e ist so 4MAK t.e. vo prviot

primer megusebniot raspored na elementi e vaen dodeka vo vto-

riot primer megusebniot raspored na elementi ne e vaen, t.e.

4KAM i 4MAK se vsuxnost eden ist triagolnik. Velime, vo

prviot primer imame podreden izbor na tri objekti (bukvi)

od 4, a vo vtoriot primer imame nepodreden izbor na 3 objekti

(bukvi) od 4 t.e. izbirame podmnoestvo so 3 elementi od dadeno

mnoestvo od 4 elementi. Taka, odgovorot na Primer 1 e:

AKM AKT ATM TKM

AMK ATK AMT TMK

KMA TKA MTA KMT


KAM TAK MAT KTM

MAK KAT TAM MTK

MKA KTA TMA MKT

t.e. vkupno 24 zborovi.

Xto se odnesuva na praxaǌeto od vtoriot primer, zabeleu-

vame deka site triagolnici od prvata kolona se eden ist triagol-

nik, site od vtorata se eden ist triagolnik, i sliqno zakluquvame

za triagolnicite od tretata i qetvrtata kolona.

Znaqi, odgovorot na vtoroto praxaǌe e 4 triagolnici.

Objektite od prviot primer se permutacii, a od vtoriot pri-

mer se kombinacii.

Kaj permutacii e vaen megusebniot raspored na elementite

vo nizata. Ako A × A × · · · × A︸︷︷︸

k

= e direkten proizvod na mnoes-

tvoto A zemeno k pati, t.e.

A × A × · · · ×A︸︷︷︸

k

= (a1, a2, . . . , ak) | ai ∈ A

i ako oznaqime

(a1, a2, a3 . . . , ak) ≡ a1a2a3 . . . ak,

togax permutacijata a1, a1, ..., ak e element na direktniot pro-

izvod A × A × · · · ×A︸︷︷︸

k

.

Kaj kombinaciite ne e vaen megusebniot raspored. Ako za

ai ∈ A, oznaqime

a1, a2, . . . , ak ≡ a1a2 . . . ak,

togax kombinacijata a1, a1, ..., ak e podmnoestvo od mnoestvoto

A.


3.1.4 Varijacii i presmetuvaǌe na broj na site varijacii

na dadeno mnoestvo

Neka A e mnoestvo so n razliqni elementi. Sekoj element na

direktniot proizvod A ×A × · · · × A︸︷︷︸

k

(A zemeno k pati) se narekuva

k permutacija so povtoruvaǌe od n elementi ili varijacija

so povtoruvaǌe od klasa k od n elementi.

Taka, ako vo prviot primer, dopuxtavme da se formiraat i

zborovi vo koi bukvite se pojavuvaat i poveke od ednax, t.e. zboro-

vi od oblikot AAK, AKA, AAA, itn ..., ke dobieme mnoestvo od

varijacii so povtoruvaǌe od klasa 3 od 4 elementi.

So Vk

n go oznaquvame brojot na varijacii so povtoruvaǌe od

klasa k od n elementi.

Teorema 1. Vk

n = nk.

Taka, noviot Primer 1. (so dopuxtaǌe na poveke od edno po-

javuvaǌe na bukvi vo zbor), ke sodri 43 = 64 zborovi.

Sekoja varijacija od klasa k od n elementi, vo koja site ele-

menti se razliqni, se vika varijacija bez povtoruvaǌe od klasa

k od n elementi.

Primer 1 e primer na varijacija bez povtoruvaǌe od klasa 3

od 4 elementi.

So V kn go oznaquvame brojot na varijacii bez povtoruvaǌe od

klasa k od n elementi.

Teorema 2. V kn = n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1), k ≤ n.

Vo Primer 1, V 34 = 4(4 − 1)(4 − 2) = 4 · 3 · 2 = 24, (n − k + 1 =

4 − 3 + 1 = 4 − 2).


3.1.5 Permutacii i presmetuvaǌe broj na site permutacii

na dadeno mnoestvo

Sekoja varijacija bez povtoruvaǌe od klasa k od k elementi se

nareluva permutacija bez povtoruvaǌe od k elementi.

Primer 1. Da se formiraat site zborovi od 4 bukvi, A, K, M

i T i pritoa sekoja bukva se javuva, toqno ednax vo zborot.

Primer 2. Da se formiraat site qetiricifreni broevi od

cifrite 1, 2, 3 i 4 pri xto cifrite ne se povtoruvaat.

Imame:

AKMT AKTM ATMK TKMA

AMKT ATKM AMTK TMKA

KMAT TKAM MTAK KMTA

KAMT TAKM MATK KTMA

MAKT KATM TAMK MTKA

MKAT KTAM TMAK MTKA

t.e. vkupno 24.

Primer 3. Da se formiraat site permutacii bez povtoruvaǌe

od DNA sekvencata AGTC.

AGTC GTCA TCAG CAGT

AGCT GTAC TCGA CATG

ACGT GACT TAGC CTAG

ACTG GATC TACG CTGA

ATCG GCAT TGAC CGAT

ATGC GCTA TGCA CGTA

Brojot na permutacii bez povtoruvaǌe e ednakov na

P4 = 4 · (4 − 1) · (4 − 2) · (4 − 3) = 4! = 24

Primer 4. Da se formiraat site permutacii od RNA sekven-

cata AUCG.


So Pk - go oznaquvame brojot na permutacii bez povtoruvaǌe

od k elementi.

Teorema 1. Pk = k! = k(k − 1)(k − 2) . . . 2 · 1.

Dokaz.

V kk = Pk = k(k − 1)(k − 2) . . . (k − k + 1) = k(k − 1)(k − 2) . . . 1 = k!.

Vo permutaciite bez povtoruvaǌe site elementi vo permutaci-

jata se razliqni. Moe da se sluqi nekoi od elementite da se ed-

nakvi. Taka dobivame permutacija so povtoruvaǌe. Na primer,

neka se dadeni elementite a, a, a, b. Ako tie bea razliqni megu

sebe, ke imavme 4! = 24 permutacii. No vo ovoj sluqaj gi imame

samo 4-te permutacii

aaab, aaba, abaa, baaa

bidejki 3! = 6 permutacii na 4 razliqni elementi a, b, c, d se svedu-

vaat na edna permutacija na a, a, a, b. (bidejki elementite a, b, c se

permutiraat na 3! = 6 razliqni naqini koixto ne se razliqni za

a, a, a). Taka, brojot se dobiva koga brojot 4! na permutacii, koga

tie se razliqni se podeli so 3! t.e.4!

3!= 4 e broj na permutacii

so povtoruvaǌe od naxiot primer.

Vo opxt sluqaj vai slednava teorema.

Teorema 2. Neka A e mnoestvo koexto ima k elementi od koi

k1 se ednakvi megu sebe, k2 se ednakvi megu sebe,. . . , kp se ednakvi

megu sebe i k1 + k2 + · · · + kp = k. Togax brojot na permutacii so

povtoruvaǌe e

Pk(k1, k2, . . . , kp) =k!

k1!k2! · kp!.

Primer 5. Kolku permutacii moe da se formiraat od bukvite

na zborovite:

a) KIKIRIKI


b) ROZOVO?

Rexenie. a) k = 8, k1 = 3, k2 = 4, k3 = 1

3 + 4 + 1 = 8

P8(3, 4, 1) =8!

3!4!1!=

8 · 7 · 6 · 5 · 4!3 · 2 · 1 · 4! = 8 · 35 = 280

b) k = 6, k1 = 1, k2 = 3, k3 = 1, k4 = 1

1 + 3 + 1 + 1 = 6

P6(1, 3, 1, 1) =6!

1!3!1!1!= 6 · 5 · 4 = 120.

Primer 6. Kolku permutacii moat da se formiraat od

a) povtoruvaqkata sekvenca TATAATATAT

b) PLAZMA

Rexenie. a) k = 10, k1 = 5, k2 = 5

P10 (5, 5) =10!

5!5!=

10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5!5! · 5 · 4 · 3 · 2 = 252

b) k = 6, k1 = 2, k2 = k3 = k4 = k5 = 1,

P6 (2) =6!

2!= 360

Primer 7. Kolku permutacii moat da se formiraat od

a) ADRENALIN

b) ERITROCITI

3.1.6 Kombinacii i presmetuvaǌe broj na site kombinacii

na dadeno mnoestvo

Sekoj izbor na k elementi od mnoestvo od n razliqni ele-

menti, bez ogled na nivniot meguseben redosled, se vika kombi-

nacija bez povtoruvaǌe od klasa k od n elementi.


Ili, sekoe podmnoestvo xto se sostoi od k elementi, od dadeno

mnoestvo od n razliqni elementi, e kombinacija bez povtoru-

vaǌe od klasa k od n elementi.

Teorema 1. Brojot na kombinacii bez povtoruvaǌe od klasa k

od n-elementi e ednakov na

Ckn =

n!

k!(n − k)!.

Primer 1. Na eden turnir uqestvuvale 6 kluba. Sekoj od

niv treba da odigra so drugite po eden natprevar. Kolku vkupno

natprevari ke se odigraat?

Rexenie. C26 =

6!

2!(6 − 2)!=

6!

2!4!=

6 · 5 · 4!2 · 4! = 3 · 5 = 15.

3.2 Teorija na verojatnost

3.2.1 Sluqaen eksperiment. Sluqaen nastan

Mnogu pojavi vo prirodata i opxtestvoto se sluquvaat po to-

qno opredeleni zakoni i sekogax koga opredeleno mnoestvo uslo-

vi e ispolneto. Zakonite od ovoj vid se narekuvaat determini-

rani. Takvi se, na primer, Maltusov zakon vo biologija, ǋut-

novi zakoni vo fizika i mnogu drugi zakoni koi se otkrieni so

nabǉuduvaǌe na pojavite.

Megutoa, vo prirodata i opxtestvoto postojat pojavi za koi ne

vaat zakoni od ovoj tip, t.e. postojat pojavi kaj koi pri ispol-

nuvaǌe na odredeni uslovi, nekoj nastan nekogax se realizira,

a nekogax ne se realizira. Vakvite nedeterminirani pojavi se

predmet na izuquvaǌe na teorijata va verojatnost.

Qest poim vo teorijata na verojatnost e poimot eksperiment.

Za da go objasnime ovoj poim ke navedeme nekolku primeri.

Primer 1. Ako frlame moneta na tvrda, horizontalna i mazna

podloga, na gornata strana od monetata ke se pojavi ili grb\ ili


pismo\. So frlaǌeto na monetata sme izvrxile eden eksperiment

qij xto rezultat (ishod) moe da bide eden od nastanite:

a) Na gornata strana na monetata se pojavil grb\,

b) Na gornata strana na monetata se pojavilo pismo\.

Primer 2. Neka eksperimentot se sostoi vo istovremeno fr-

laǌe na bela i crvena kocka za igraǌe na tvrda, horizontalna i

mazna povrxina. Eden od naqinite za opixuvaǌe na rezultatot

od ovoj eksperiment e rezultatot da se pretstavi kako podreden

par (x, y), kade x e brojot na toqkite xto se pojavile na belata

kocka, a y e brojot na toqkite xto se pojavile na crvenata kocka.

Da zabeleime deka x, y ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6.Primer 3. Felingovata proba se koristi za dokauvaǌe na

jaglehidrati (monosaharidi). Ako vo rastvor so nepoznata so-

drina dademe Felingov reagens moni se dva nastani:

a) rastvorot da ne ja promeni bojata;

b) rastvorot da se oboi crveno.

Primer 4. Benzidinskata proba se koristi za detekcija na

malo koliqestvo na krv, najqesto se koristi vo sudskata medic-

ina. Dobieniot primerok se tretira so benzidin, moni se dva

nastani:

a) da se oboi primerokot sino zeleno;

b) primerokot da ne ja promeni bojata;

Sekoja realizacija na opredeleno mnoestvo uslovi ja nareku-

vame eksperiment, E. Sekoj rezultat od eksperimentot E go

narekuvame nastan xto e vo vrska so eksperimentot E.

Nastanite, voobiqaeno, gi oznaquvame so golemite bukvi od

latinskata azbuka.

Neka E e eksperiment i neka A e proizvolen nastan vo vrska so

eksperimentot E. Ke pretpostavime deka:

1) Eksperimentot E moe da se povtori pri ednakvi uslovi

neograniqen broj pati.

Neka brojot na povtoruvaǌa na eksperimentot e n, i neka, pri-

toa, nastanot A se pojavil (nastapil) k pati. Brojot k se narekuva

qestota (frekvencija) na nastanot A, a koliqnikot kn

se narekuva


relativna qestota (frekvencija) na nastanot A.

2) Pri koi bilo serii od po n1, odnosno n2 izveduvaǌa (pov-

toruvaǌa) na eksperimentot E, pri dovolno golemi vrednosti na

n1 i n2, relativnite qestoti k1

n1i k2

n2, soodvetno, neznaqitelno se

razlikuvaat edna od druga.

Za eksperimentot E za koj se ispolneti uslovite 1) i 2) ke

velime deka e sluqaen eksperiment, a za sekoj nastan xto e vo

vrska so vakov eksperiment ke velime dka e sluqaen nastan.

Vo prodolenie ke se zadrime na relacii i operacii vo mno-

estvoto na sluqajnite nastani xto se vo vrska so ist eksperi-

ment.

Ako pri sekoe nastapuvaǌe na nastanot A, nastapuva i nastanot

B, velime deka nastanot A go povlekuva nastanot B i oznaquvame

A ⊂ B.

Nastanite A i B se ekvivalentni ako A ⊂ B i B ⊂ A.

Zbir na nastanite A i B e nastan koj nastapuva koga nastapuva

barem eden od nastanite A ili B, i nego go oznaquvame so A + B

ili A ∪ B.

Proizvod na nastanite A i B e nastan koj nastapuva koga

istovremeno nastapuva sekoj od nastanite A i B, i nego go oz-

naquvame so A · B, AB ili A ∩ B.

Za nastanite A i B velime deka zaemno se iskluquvaat (t.e.

se disjunktni) ako nastapuvaǌeto na edniot nastan ja iskluquva

monosta za nastapuvaǌe na drugiot nastan. Znaqi, disjunktnite

nastani A i B ne moat da nastapat vo isto vreme.

Razlika na nastanie A i B e nastan koj nastapuva koga is-

tovremeno nastapuva nastanot A, a ne nastapuva nastanot B, i

nego go oznaquvame so A \ B.

Sprotiven nastan na nastanot A nastapuva sekogax koga nas-

tanot A nema da nastapi. Sprotivniot nastan na nastanot A go

oznaquvame so A.

Vo sluqajot na disjunktni nastani A i B, imajki ja pred-

vid definicijata za proizvod na nastani, lesno vooquvame deka

nivniot proizvod AB ne postoi. Ovaa nezgodna situacija se nad-


minuva so voveduvaǌe na takanareqen nevozmoen nastan.

Nevozmoen nastan e nastan koj nikogax ne moe da nastapi,

i nego go oznaquvame so ∅.Dualno na nevozmoen nastan e t.n. siguren nastan.

Siguren nastan e nastan koj nastapuva sekogax koga ke se

realizira eden eksperiment, i nego go oznaquvame so Ω.

Taka, vo eksperimentot od primer 2, ako gi razgleduvame nas-

tanite A i B, kade

A : Zbirot na toqki xto se pojavile na dvete kocki e pogolem

od 12

B : Zbirot na toqki xto se pojavile na dvete kocki e najmnogu

12

lesno se vooquva deka A = ∅ i B = Ω.

Primer 5. Qetiri strelci gagaat vo edna meta. Neka, za

i ∈ 1, 2, 3, 4,Ai: i−tiot strelec ja pogodil celta,

B: toqno dva strelci ja pogodile celta,

C: barem eden strelec ja pogodil celta,

D: samo eden strelec ja pogodil celta,

Da gi pretstavime nastanite B, C i D so pomox na nastanite

A1, A2, A3 i A4.

Rexenie. Nastanot B nastapuva koga dva od qetirite strelci

ja pogodile celta, a dva ne ja pogodile. Taka, na primer, edna

monost e prviot i vtoriot strelec da ja pogodat celta, a tre-

tiot i qetvrtiot da ne ja pogodat, t.e. istovremeno da nastapat

nastanite A1, A2, A3 i A4. Znaqi, da nastapi proizvodot na ovie

nastani A1 · A2 · A3 · A4. Ako gi zememe predvid site monosti,

dobivame deka

B = A1 · A2 · A3 · A4 + A1 · A2 · A3 · A4 + A1 · A2 · A3 ·A4 +

A1 · A2 · A3 · A4 + A1 ·A2 · A3 · A4 + A1 · A2 · A3 · A4.

Nastanot C = A1 +A2 +A3 +A4 bidejki C nastapuva ako nastapi

barem eden od nastanite A1, A2, A3 ili A4.

Sliqno se dobiva deka

D = A1 ·A2 ·A3 ·A4 +A1 ·A2 ·A3 ·A4 +A1 ·A2 ·A3 ·A4 +A1 ·A2 ·A3 ·A4.


Primer 6. Na pacient vo edna laboratorija mu e utvrdena

serumska glukoza od 6,32 mM. Pacientot go izvrxil istoto testi-

raǌe i vo dve drugi laboratorii koi mu izdale rezultat za istiot

parametar od 4,56 mM. Priqini zaradi koi nastanala grexkata

se:

1. Prisustvo na hemoglobin vo serumot

2. Prisustvo na proteini vo serumot

3. Pacientot prethodno konsumiral glukoza

4. Prisustvo na masti vo serumot

Moni nastani:

Ai: Grexkata se sluqila zaradi edna od spomenatite priqini

B: Toqno dve priqini moat da dovedat do pogrexen rezultat

C: Barem edna od priqinite vodi do pogrexen rezultat

D: Grexkata nastanala zaradi samo edna priqina

Da se pretstavat nastanite B, C i D so pomox na nastanite

A1, A2, A3, A4.

B = A1 · A2 · A3 · A4 + A1 · A2 · A3 · A4 + A1 · A2 · A3 ·A4+

+A1 ·A2 · A3 · A4 + A1 · A2 · A3 · A4 + A1 · A2 · A3 · A4

C = A1 + A2 + A3 + A4

D = A1·A2·A3·A4+A1·A2·A3·A4+A1·A2·A3·A4+A1·A2·A3·A4+A1·A2·A3·A4

Primer 7. Kaj pacient na 40 godixna vozrast mu e dijagnos-

ticirana ciroza na crn drob. Moni priqini za bolesta se:

1. Genetska predispozicija

2. Virusna infekcija

3. Alkoholizam

4. Kontinuirana izloenost na ksenobiotici ili pesticidi

Moni nastani:

Ai: Bolesta e predizvikana od eden spomenat priqinitel

B: Ima dva priqiniteli

C: Bolesta e predizvikana samo od eden priqinitel.


D: Bolesta e predizvikana barem od eden priqinitel

Da se pretstavat nastanite B, C i D so pomox na nastanite

A1, A2, A3, A4.

Vo prodolenie ke dademe geometrisko-mnoestvena interpre-

tacija na nastanite.

Neka sevkupnosta na uslovite e vnatrexnosta na nekoja geomet-

riska figura, na primer kvadrat, Ω. Eksperimentot e proizvolno

izbiraǌe na edna toqka od Ω. Na sledniov crte

zatemnetiot del go oznaquva nastanot

A: izbranata toqka se naoga vo geometriskata figura A.

Imajki gi predvid definiciite na A ⊂ B, A+B, A·B, A\B, A, ∅,i Ω za nastani vo vrska so eden eksperiment, za niv ja imame sled-

nava geometrisko-mnoestvena interpretacija


3.2.2 Statistiqka verojatnost

Vo prethodniot del definiravme qestota i relativna qestota

na sluqaen nastan A vo serija od n povtoruvaǌa na daden eksper-

iment E pri isti uslovi. Taka, ako nastanot A se pojavil k pati

vo ovaa serija od n povtoruvaǌa na eksperimentot E, brojot k go

narekovme qestota, a brojot kn

go narekovme relativna qestota na

nastanot A.

Neka eksperimentot se sostoi od izvlekuvaǌe edno topqe od

neprovidna kutija vo koja se naogaat edno belo i devet crveni

topqiǌa. So A ke go oznaqime nastanot

A: Izvleqeno e belo topqe.

Ako napravime poveke serii od 10 povtoruvaǌa na eksperimen-

tot, vo nekoi serii moe da se sluqi da nema nitu edno belo topqe,

odnosno nastanot A da ne se pojavi nitu ednax, vo nekoja serija

pak moe nastanot A da se pojavi ednax, vo druga mono e A da

se pojavi 2 ili poveke pati.


No, ako napravime serii so golem broj na povtoruvaǌa na ekspe-

rimentot, ke zabeleime deka priblino vo 10% od tie povtoru-

vaǌa na eksperimentot se pojavil nastanot A. Vo slednava tabela,

vo prvata kolona e naveden brojot na povtoruvaǌa na eksperimen-

tot, n, vo serijata, vo vtorata kolona e brojot na pojavuvaǌa na

nastanot A vo taa serija, t.e. qestotata k, vo tretata kolona e

relativnata qestota kn

i vo qetvrtata kolona e dadeno pribli-

noto decimalno zaokruuvaǌe (na edna decimala) na relativnata

qestota.

Zabeleuvame deka relativnata qestota, osven xto zavisi od

nastanot A, zavisi i od serijata odnosno taa e razliqna za ra-

zliqna serija. No, bidejki A e sluqaen nastan (za nego vai pret-

postavkata 2 od prethodniot paragraf) so zgolemuvaǌe na brojot

na povtoruvaǌa n na eksperimentot, soodvetnite relativni qe-

stoti se pomalku se razlikuvaat od serija do serija, i se pri-

blino ednakvi na brojot 0,1 t.e. se natrupuvaat okolu realniot

broj 0,1.

Statistiqka verojatnost na nastanot A e realniot broj okolu

koj se natrupuvaat relativnite qestoti na sluqajnioit nastan A,

i se oznaquva so P (A).

Statistiqkata verojatnost e mera\ za monosta za nastapu-

vaǌe na nastanot A. Imeno, ako A i B se dva sluqajni nastani

vo vrska so eden eksperiment i ako P (A) < P (B), togax pri re-

aliziraǌeto na eksperimentot, vo serii so golem broj na pov-


toruvaǌa na eksperimentot, poqesto ke nastapuva nastanot B od

nastanot A.

Da zabeleime nekolku osnovni svojstva na statistiqkata vero-

jatnost.

P.1. Za koj bilo sluqaen nastan A, P (A) ≥ 0.

P.2. P (Ω) = 1.

P.3. Za dva disjunktni sluqajni nastani A i B, vai P (A+B) =

P (A) + P (B).

P.1. i P.2. lesno moe da se vooqat od samata definicija. Da

go objasnime P.3. Neka A i B se nastani vo vrska so eksperimentot

koj e povtoren n pati i neka pritoa, A se pojavil k1 pati, a B se

pojavil k2 pati. Bidejki nastanite A i B se disjunktni, nastanot

A+B vo serijata od n povtoruvaǌa na eksperimentot ke se pojavi

k1 + k2 pati, pa relativnata qestota ke bide zbir od relativnite

qestoti na A i B, od kade sleduva P.3.

So pomox na P.1.-P.3. moe da se dokae slednava teorema

Teorema 1. (i) P (∅) = 0.

(ii) P (A) = 1 − P(A), za sekoj sluqaen nastan A.

(iii) Ako A ⊆ B togax P (A) ≤ P (B).

(iv) Za sekoj sluqaen nastan A vai 0 ≤ P (A) ≤ 1.

(v) Za koi bilo dva sluqajni nastani A i B vai P (A + B) =

P (A) + P (B) − P (A · B).

3.2.3 Prostor od elementarni nastani

Da go razgledame uxte ednax primerot 2 od delot 3.2.1. Mo-

nite rezultati od eksperimentot vo ovoj primer, gi opixavme so

mnoestvoto Ω = (x, y) |x, y ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pritoa,

nastanot: na belata kocka se pojavile x, toqki a na crvenata

kocka se pojavile y toqki

go identifikuvame so elementot (x, y) ∈ Ω.

Zabeleuvame deka pri sekoe izveduvaǌe na eksperimentot:

a) Mora da nastapi nekoj od nastanite (x, y) koj se sodri vo

Ω.


b) Nikoi dva od nastanite od Ω ne moe da nastapat istovre-

meno.

Ova mnoestvo Ω xto go opixuva eksperimentot od primer 2 i

gi zadovoluva a) i b) se narekuva prostor od elementarni nastani.

Mnoestvoto Ω od poedineqni nastani koe opixuva daden ekspe-

riment, i pritoa, pri sekoe izveduvaǌe na eksperimentot nastapu-

va eden i samo eden od tie nastani se narekuva prostor (mno-

estvo) od elementarni nastani.

Za elementarnite nastani, voobiqaeno, se koristi oznakata w,

ili wi vo sluqaj mnoestvoto da sodri poveke od eden element.

Zabelexka. Za daden eksperiment, mono e da odgovaraat

poveke prostori od elementarni nastani. Taka vo primerot 2,

i mnoestvoto

Ω1 = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

e mnoestvo od elementarni nastani za eksperimentot od ovoj

primer, kade

wj: Zbirot na toqkite xto se pojavile na dvete kocki e j

za sekoj j ∈ Ω1.

Koj prostor ke go izbereme zavisi od zadaqata xto treba da se

rexi i od toa koj od niv e poinformativen t.e. koj od niv podobro

go opixuva dadeniot eksperiment.

Sekoj sluqaen nastan xto e vo vrska so daden eksperiment e

opredelen so nekoe podmnoestvo od mnoestvoto ne elementar-

nite nastani Ω za toj eksperiment. Znaqi, sluqajnite nastani

gi identifikuvame so nekoi podmnoestva od Ω. Pritoa, ke ve-

lime nastanot A nastapil ako se pojavil nekoj od elementarnite

nastani so koi toj e opredelen, odnosno ako se realiziral ele-

mentaren nastan w za koj vai w ∈ A, i pritoa uxte velime deka

w e povolen za sluqajniot nastan A.

Imajki go predvid gorenavedenoto i delot 3.2.1 zakluquvame

deka relaciite i operaciite megu sluqajnite nastani vsuxnost

se sveduvaat na relacii i operacii so mnoestva.


A ⊂ B A e podmnoestvo od B

A + B A + B = A ∪ B = w |w ∈ A ∨ w ∈ BA · B A · B = A ∩ B = w |w ∈ A ∧ w ∈ BA\B A\B = A\B = w |w ∈ A ∧ w /∈ B A A = Ω\A = w |w /∈ A

Vo slednive eksperimenti ke go najdeme prostorot od elemen-

tarni nastani i nekoi nastani vo vrska so dadeniot eksperiment.

Primer 1. Vo primerot 1 od delot 3.2.1 vo koj frlame moneta,

prostorot od elementarni nastani e Ω = G, P kade

G: na gornata strana od monetata se pojavil grb\

P : na gornata strana od monetata se pojavilo pismo\

Primer 2. Ako frlame edna kocka za igraǌe i, pritoa go

nabǉuduvame brojot na toqki xto se pojavuvaat na gornata strana

od kockata, togax Ω = k |k ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6, kade za k ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6,k: na gornata strana od kockata se pojavile k toqki.

Neka

A: na gornata strana od kockata se pojavil paren broj toqki

B: na gornata strana od kockata se pojavil neparen broj toqki

C: brojot na toqki na gornata strana od kockata e prost.

Togax A = 2, 4, 6, B = 1, 3, 5 i C = 2, 3, 5.Zabeleuvame deka A i B se disjunktni nastani. Ako sakame

da go zapixeme, na primer, nastanot

D: se pojavil neparen i prost broj toqki

togax D = B · C = 1, 3, 5 ∩ 2, 3, 5 = 3, 5.Primer 3. Ako frlame moneta tripati ednopodrugo i ja nabǉu-

duvame nizata od grb\-pismo\ xto se pojavuva, togax

Ω = GGG, GGP, GPG, GPP, PGG, PGP, PPG, PPP.Neka

A: grb\ se pojavil najmalku 2 pati

B: Vo trite ednopodrugi frlaǌa se pojavil samo grb\ ili

samo pismo\.

Togax A = GGG, GGP, GPG, PGG a B = GGG, PPP.Vo sekoj od primerite xto dosega gi razgleduvavme, prostorot


od elementarni nastani e koneqen.

Primer 4. Da frlame moneta se dodeka ne se pojavi grb\ i

pritoa broime kolku pati monetata bila frlena do prvoto pojavu-

vaǌe na grb\. Togax Ω = 1, 2, 3, . . .∞. Simbolot ∞ se odnesuva

na sluqajot koga grb\ nema da se pojavi nikogax, odnosno koga

monetata se frla bezbroj pati.

Ova e primer na prostor od elementarni nastani kojxto ne e

koneqen, tuku beskoneqen, no prebroiv.

Primer 5. Puxtame penkalo da paga vertikalno vo kutija i ja

zabeleuvame toqkata na dnoto na kutijata kade penkaloto prv pat

doprelo. Togax Ω se sostoi od site toqki na dnoto na kutijata.

Neka pravoagolnikot od sledniot crte gi pretstavuva tie toqki

i neka A i B se sluqajni nastani koi oznaquvaat deka penkaloto

padnalo na zasenqenite povrxini, soodvetno oznaqen.

Ova e primer na prostor od elementarni nastani kojxto e bes-

koneqen, no ne e prebroiv, t.e. e neprebroiv.

Zabelexka 1. Ako prostorot od elementarni nastani Ω e koneqen

ili beskoneqen no prebroiv, togax sekoe podmnoestvo od Ω e

sluqaen nastan.

So Φ ke ja oznaquvame familijata od site sluqajni nastani,

vkluquvajki gi i nevozmoniot ∅, i sigurniot nastan Ω. Znaqi,

vo sluqaj koga prostorot na elementarni nastani Ω e koneqen ili

beskoneqen no prebroiv, familijata Φ od sluqajni nastani se sos-

toi od site podmnoestva na Ω vkluquvajki gi ∅ i Ω.


3.2.4 Aksiomi na verojatnost

Neka Ω e prostor od elementarni nastani za daden eksperiment,

a Φ e familijata sluqajni nastani. Funkcijata P : Φ →R za koja

vai

P.1. Za sekoj A ∈ Φ, P (A) ≥ 0;

P.2. P (Ω) = 1;

P.3. Ako A, B ∈ Φ i A · B = ∅, togax P (A + B) = P (A) + P (B);

P.4. Ako A1, A2, . . .An, An+1, · · · ∈ Φ i Ai · Aj = ∅ za i 6= j, togax

P (A1 + A2 + · · · + An + An+1 + . . . ) =

= P (A1) + P (A2) + · · · + P (An) + P (An+1) + . . .

se narekuva verojatnostna funkcija, a brojot P (A) se narekuva

verojatnost na nastanot A ∈ Φ.

Zabelexka. Koristejki go P.3. i PMI se dokauva deka za

A1, A2, . . . An ∈ Φ i za Ai · Aj = ∅ za i 6= j vai

P (A1 + A2 + · · · + An) = P (A1) + P (A2) + · · · + P (An). (∗)

Iako (*) vai za sekoj n ∈N, P.4. ne sleduva od P.3. Dokolku

prostorot Ω e koneqen, togax P.4. moe da se otfrli.

Vo prodolenie, ke dademe nekoi osnovni svojstva na verojat-

nosta.

Teorema 1. P (∅) = 0.

Dokaz. Za sluqaen nastan A ∈ Φ, razliqen od nevozmoniot

vai A = A + ∅ i A · ∅ = ∅, pa koristejki go P.3. dobivame deka

P (A) = P (A + ∅) = P (A) + P (∅), t.e. P (∅) = 0.

Teorema 2. Za sekoj A ∈ Φ vai P (A) = 1 − P(A).

Dokaz. Od Ω = A + A, A · A = ∅, P.2. i P.3. dobivame 1 = P (Ω) =

P(A + A

)= P (A) + P

(A), t.e. P (A) = 1 − P (A).


Teorema 3. Ako A ⊆ B togax P (A) ≤ P (B).

Dokaz. Od A ⊆ B, B = A + B\A, A · (B\A) = ∅ i P.3. dobivame

P (B) = P (A) + P (B\A). Zaradi P.1., P (B\A) ≥ 0, pa mora P (A) ≤P (B).

Teorema 4. Za A, B ∈ Φ, P (A\B) = P (A)− P (A · B).

Dokaz. Od A = (A\B)+ (A ·B), (A\B) · (A ·B) = ∅ i P.3. dobivame

deka P (A) = P (A\B) + P (A · B) t.e. P (A\B) = P (A) − P (A · B).

Teorema 5. Za proizvolni A, B ∈ Φ, vai

P (A + B) = P (A) + P (B) − P (A · B)

Dokaz. Od A + B = (A\B) + B, (A\B) · B = ∅ , P.3. i teorema 4

dobivame deka P (A + B) = P (A\B) + P (B) = P (A) − P (A · B) + P (B),

t.e. P (A + B) = P (A) + P (B)− P (A · B).

Posledica. Za proizvolni A, B, C ∈ Φ vai

P (A+B+C) = P (A)+P (B)+P (C)−P (A·B)−P (A·C)−P (B·C)+P (A·B·C)

Teorema 6. Za A ∈ Φ, P (A) ≤ 1.

Dokaz. Od A ⊆ Ω, T.3. i P.2. dobivame deka P (A) ≤ P (Ω) = 1,

t.e. P (A) ≤ 1.


3.2.5 Klasiqna definicija na verojatnost

Neka daden eksperiment ima koneqno mnogu ishodi, t.e.

Ω = w1, w2, ..., wn.

Togax familijata Φ e mnoestvoto od site podmnoestva na Ω,

t.e.

Φ = ∅, w1, w2, ..., wn, w1 + w2, ..., w1 + w2 + ... + wn

i niv gi ima vkupno 2n. Vo mnogu sluqai moe da se pretpostavi

deka site oddelni ishodi se ednakvoverojatni\, t.e.

P (w1) = P (w2) = ... = P (wk) = ... = P (wn).

Bidejki P (Ω) = 1 i w1 + w2 + ... + wn = Ω zaradi (*), dobivame deka

1 = P (Ω) = P (w1 + w2 + ... + wn) =

= P (w1) + P (w2) + ... + P (wk) + ... + P (wn) =

= P (wk) + P (wk) + ... + P (wk) + ... + P (wk)︸︷︷︸

n pati

= nP (wk)

t.e. P (wk) = 1n

za sekoj wk ∈ Ω. (∆)

Neka A ∈ Φ e proizvolen sluqaen nastan i neka

wk1 , wk2, ..., wkm

se elementarni nastani koi se povolni za A. Togax

A = wk1 + wk2 + ...+wkm.

Od disjunktosta na elementarnite nastani, (*) i (∆) dobivame

deka

P (A) = P (wk1 + wk1 + ... + wkm)(∗)= P (wk1) + P (wk2) + ... + P (wkm) =

(∆)=

1

n+

1

n+ ... +

1

n︸︷︷︸

mpati

= mn


t.e.

P (A) =m

n.

Dobivme deka verojatnosta na nastan A e ednakva na koliqnikot

na brojot na povolni nastani za A i brojot na site nastani, t.e.

P (A) =broj na povolni nastani za A

broj na elementarni nastani.

Primer 1. Vo neprovidna kutija ima 5 beli, 3 crveni i 2

olti topqiǌa. Znaeme deka topqiǌata se so isti svojstva, a se

razlikuvaat samo po bojata. Eksperimentot se sostoi vo izvleku-

vaǌe topqe bez gledaǌe. Koja e verojatnosta na nastanot

A: izvleqeno e crveno topqe?

Rexenie. Brojot na elementarni nastani e 5 + 3 + 2 = 10, t.e.

n = 10. Bidejki ima 3 crveni topqiǌa, izvlekuvaǌeto na koe

bilo od niv e povolen nastan za nastanot A, pa brojot na povolni

nastani za A e m = 3. Ottuka, P (A) = 310

.

Primer 2. Vo eksperimentot istovremeno frlaǌe na crvena i

bela kocka za igraǌe, odredi ja verojatnosta na nastanot

A: zbirot na toqki koi se pojavile na dvete kocki iznesuva 5.

Rexenie. Vo ovoj primer, vidovme deka

Ω = (x, y) |x, y ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6.Ako Ω go zapixeme tabelarno dobivame

Ω = (1, 1) , (1, 2) , (1, 3) , (1, 4) , (1, 5) , (1, 6) ,

(2, 1) , (2, 2) , (2, 3) , (2, 4) , (2, 5) , (2, 6) ,

(3, 1) , (3, 2) , (3, 3) , (3, 4) , (3, 5) , (3, 6) ,

(4, 1) , (4, 2) , (4, 3) , (4, 4) , (4, 5) , (4, 6) ,

(5, 1) , (5, 2) , (5, 3) , (5, 4) , (5, 5) , (5, 6) ,

(6, 1) , (6, 2) , (6, 3) , (6, 4) , (6, 5) , (6, 6)

t.e. Ω sodri 36 nastani t.e. n = 36. Da zabeleime deka 36 = 62

t.e. brojot na elementi vo Ω e broj na varijacii so povtoruvaǌe

od 6 elementi od klasa 2, t.e. V 26 .

Od site elementarni nastani, povolni nastani za A se: (1, 4),


(2, 3), (3, 2) i (4, 1), t.e. vkupno 4. Znaqi m = 4 i ottuka

P (A) =4

36=

1

9.

Primer 3. Od grupa od 9 uqenici od koi 5 se momqiǌa, a 4 se

devojqiǌa, treba da se izberat 3 uqenici. Kolkava e verojatnosta

na nastanot

A: izbranite uqenici da bidat momqiǌa?

Rexenie. Bidejki redosledot na izbranite uqenici ne e biten,

brojot na site moni elementarni nastani e n = C39 = 84, a brojot

na povolnite nastani za nastanot A, spored principot na proiz-

vod e m = C35 · C0

4 = 10 · 1 = 10. Znaqi, P (A) = mn

= 1084

.

Primer 4. (Klasiqen rodendenski problem) Najdi ja verojat-

nosta p, k luge da imaat razliqni rodendeni. Pri rexavaǌe na

problemot ne razgleduvame prestapni godini i pretpostavuvame

deka site denovi vo godinata se ednakvoverojatni da bidat roden-

deni.

Rexenie. Bidejki ima k luge i 365 razliqni denovi vo godi-

nata, postojat 365k naqini na koi k luge moe da imaat rodendeni.

Znaqi, n = 365k. Od druga strana, za da k-te luge imaat razliqni

rodendeni, prviot moe da bide roden vo koj bilo od 365-te dena

vo godinata, vtoriot da bide roden vo koj bilo od ostanatite

364 dena, tretiot da bide roden vo nekoj od ostanatite 363 dena

itn. Znaqi, soglasno principot na proizvod postojat 365 · 364 ·363 · · · (365−k+1) naqini na koi k luge ke bidat rodeni vo razliqni

denovi, t.e. m = 365 · 364 · 363 · · · (365 − k + 1). Spored toa,

p =m

n=

365 · 364 · 363 · · · (365 − k + 1)

365k.

3.2.6 Geometriska verojatnost

Primer 1. Neka zadaqata e da se predvidi prinosot na pqenica

od edna niva. Treba da se izmeri gustinata na rasporedot na

korenite pqenica na 1m2, brojot na zrnata vo klasot, kako i niv-

nata teina, a i drugi biometriski podatoci: visinata i tei-


nata na rastenieto. Za taa cel nivata se deli na eksperimen-

talni kvadrati, i se izbiraat 3 do 5 mesta vdol nivata kako

eksperimantalni mesta, koi potpolno se obrabotuvaat (i so toa

se unixtuvaat). Se naoga deka sreden prinos po kvadraten metar

iznesuva na primer a kg, sredna brojnost na zrnata vo klasot n

edinki. Sega treba istoto da se napravi za celata niva. Ne bi

bilo mono da se broi i meri celata niva, klas po klas, zrno po

zrno. Zatoa xiroko se koristi prognozata, analogijata, verojat-

nosta. Se koristi masovnosta na pojavata, ekvivalentosta megu

mal i golem del od nivata, t.e. i sekoj del od nivata e niva so

isti osobini na rodot: gustina, raspored, teina, kvalitet, xto

doveduva do slednava proporcionalnost:

Ako na pm2 ima teina na rodot od g kg

togax na P m2 ke ima teina na rodot od Gkg

ili p : g = P : G

od kade naogame

G = Pp· g

i pritoa na ovoj naqin sme izvrxile prognoza na prinosot.

Ako ovaa proporcija ja napixeme vo oblikot gG

= pP

qitame

deka odnosot megu teinata na rodot na eksperimentalniot teren

i celiot rod se odnesuvaat kako ploxtinata na eksperimentalniot

del so celata ploxtina na nivata. Ako nivata bi bila zaseana so

drugi kulturi: pqenka, xekerna repka, bi imale drugi vrednosti

za g, G, no odnosot pP

ostanuva kako geometriski postojan za celata


niva. Zatoa odnosot na ploxtinite se vika verojatnost na rodot

na pqenica po 1m2 na daden teren ili geometriska verojatnost.

Edinstvenite beskoneqni, neprebroivi prostori na elementar-

ni nastani Ω koi ke gi razgleduvame vo ovaa kniga se onie koi

imaat nekoja koneqna geometriska mera\, kako xto se dolina,

ploxtina ili volumen, i vo koi sluqajno se izbira toqka. Zna-

qi, Ω moe da se pretstavi so nekoja kriva so koneqna dolina,

figura so koneqna ploxtina ili telo so koneqen volumen.

i) Neka Ω e pretstaven so nekoja kriva MN (postoi biekcija

megu toqkite od krivata MN i Ω). Ako A e nekoj sluqaen nas-

tan (podmnoestvo od Ω), toj moe da se prettavi so del EF od

krivata MN . Togax verojatnosta P (A) na nastanot A e

P (A) =m(EF )

m(MN)

kade m(EF ) e dolinata na EF , a m(MN) e dolinata na MN .

Znaqi,

P (A) =dolina na EF

dolina na MN.

ii) Sliqno, ako Ω moe da se pretstavi so nekoja ramninska figura

S, togax koj bilo sluqaen nastan A e druga ramninska figura L

sodrana vo S, pa

P (A) =ploxtina na L

ploxtina na S.


iii) Vo sluqaj Ω da e pretstaven so prostorno telo T , sluqajniot

nastan A so drugo telo K, togax

P (A) =volumen na K

volumen na T.

Primer 2. (Sredba) Dvajca prijateli se dogovorile da se

sretnat na opredeleno mesto vo vremeto od 8 do 9 qasot. Sekoj

od niv, otkako ke dojde na dogovorenoto mesto, treba da go poqeka

prijatelot toqno 20 minuti, a ako ne dojde do sredba, po 20 minuti

treba da si odi. Kolku e verojatnosta da dojde do sredba, ako

vremeto na pristignuvaǌe na sekoj od prijatelite e sluqajno?

Rexenie. Neka x e vremeto na pristignuvaǌe na edniot od

prijatelite, a y na drugiot. Ako za edinica merka zememe 1 mi-

nuta, imajki predvid deka megu 8 i 9 qasot ima 60 minuti, ele-

mentarnite nastani moeme da gi opixeme so podredeni parovi

(x, y), kade x, y ∈ [0, 60], t.e. Ω = (x, y) |x, y ∈ [0, 60]. Vo odnos na

izbran pravoagolen Dekartov koordinaten sistem, Ω moe da se

pretstavi so kvadrat S. So A go oznaquvame nastanot da dojde

do sredba. Nastanot A ke nastapi ako e zadovoleno neravenstvoto

|y − x| ≤ 20, t.e. −20 ≤ y − x ≤ 20, odnosno y ≤ x + 20 i y ≥ x − 20.

Taka, na nastanot A mu odgovara xrafiraniot del L od kvadratot

S.


Dobivame P (A) = ploxtina na Lploxtina na S

=602−2· 40·40

2

602 = 59.

3.2.7 Uslovna verojatnost i nezavisnost na nastani

Pri izuquvaǌe na pojavite, qesto pati se javuva potreba da

se ima soznanija za odnosite megu razni nastani povrzani so taa

pojava. Taka, prirodno se javuva zadaqa za presmetuvaǌe na mo-

nosta na nastapuvaǌe na daden nastan B ako e poznato deka veke

nastapil drug nastan A.

Verojatnosta na sluqajniot nastan B pri pretpostavka deka

nastapil nastanot A, kojxto ne e nevozmoen (P (A) > 0) se nare-

kuva uslovna verojatnost i se oznaquva so PA(B).

Primer 1. Vo neprovidna kutija se naogaat 5 beli i 7 crveni

topqiǌa koi se razlikuvaat samo po bojata. Eksperimentot se

sostoi vo dve vleqeǌa na topqe od kutijata, pri xto po prvoto

vleqeǌe, izvleqenoto topqe ne se vraka nazad vo kutijata. Neka

so A i B gi oznaqime nastanite

A: izvleqeno e belo topqe vo prvo vleqeǌe

B: izvleqeno e belo topqe vo vtoro vleqeǌe.

Najdi ja P (B) ako

i) Nastanot A nastapil

ii) Nastanot A ne nastapil.

Rexenie. i) Ako nastanot A nastapil, t.e. vo prvoto vleqeǌe

e izvleqeno belo topqe, togax vo kutijata ostanale 4 beli i 7

crveni topqiǌa, t.e. vkupno 11 topqiǌa od koi 4 beli, pa PA(B) =411

.


ii) Ako nastanot A ne nastapil, t.e nastapil A, pa vo prvoto

vleqeǌe e izvleqeno crveno topqe, togax vo kutijata ostanale 5

beli i 6 crveni topqiǌa, ili vkupno 11 topqiǌa od koi 5 beli pa

imame P (B) = PA(B) = 511

.

Zabelexka. Vo ovoj eksperiment, oqigledno e deka verojat-

nosta na nastanot B zavisi od toa dali nastanot A nastapil ili

ne(

411

6= 511

).

Neka (Ω, Φ, P ) e koneqen prostor na verojatnost, pri xto el-

ementarnite nastani se ednakvoverojatni. Neka A i B se dva

sluqajni nastani pri xto nastanot A ne e nevozmoen, t.e. P (A) >

0. Ako pretpostavime deka nastapil nastanot A, znaqi deka nasta-

pil nekoj od elementarnite nastani povolni za nastanot A. Nas-

tanot B ke nastapi ako nastapi nekoj od elementarnite nastani

povolni za nastanot B, a bidejki A veke nastapil, zalkuquvame

deka B ke nastapi ako nastapi nekoj od elementarnite nastani

xto se zaedniqki za A i B, t.e. povolni za A · B. Spored kla-

siqnata definicija na verojatnosta, dobivame deka PA(B) = nA·BnA

,

kade nA·B e broj na povolni nastani za A ·B, a nA e broj na povolni

nastani za A. Ako n e brojot na site elementarni nastani, imajki

predvid deka P (A) = nA

ni P (A · B) = nA·B

ndobivame deka

PA(B) =nA·BnA

=nA·B

nnA

n

=P (A · B)

P (A),

t.e. PA(B) = P (A·B)P (A)

.

Formulata

PA(B) = P (A·B)P (A)

(*)

xto ja dokaavme vo sluqaj koga moe da se primeni klasiq-

nata definicija na verojatnost moe da se zeme za definicija na

uslovna verojatnost vo site sluqai, t.e. vai slednava teorema.

Teorema 1. Neka (Ω, Φ, P ) e prostor na verojatnost i neka A ∈ Φ

e takov xto P (A) > 0. Togax preslikuvaǌeto P1 : Φ →R opredeleno

so P1(B) = PA(B), za sekoj B ∈ Φ, kade PA(B) = P (A·B)P (A)

pretstavuva

verojatnost na Φ takva xto P1(A) = 1.

Primer 2. Vo pogolema grupa na tatkovci i sinovi e utvrdeno


deka

a) tatkovci so temni oqi i sinovi so temni oqi imalo 5%;

b) tatkovci so temni oqi i sinovi so svetli oqi imalo 7,9%;

v) tatkovci so svetli oqi i sinovi so temni oqi imalo 8,9%;

g) tatkovci so svetli oqi i sinovi so svetli oqi imalo 78,2%.

Smetajki deka postoi statistiqka stabilnost vo odnos na vrska-

ta megu bojata na oqite na tatkovcite i nivnite sinovi, presmetaj

gi verojatnostite:

i) Pri sluqaen izbor na eden od sinovite, izbraniot da ima

temni oqi znaejki deka negoviot tatko ima temni oqi.

ii) Pri sluqaen izbor na eden od sinovite, izbraniot da ima

temni oqi ako se znae deka negoviot tatko ima svetli oqi.

Rexenie. Neka so A i B gi oznaqime nastanite

A: tatkoto ima temni oqi,

B: sinot ima temni oqi.

Togax

A: tatkoto ima svetli oqi,

B: sinot ima svetli oqi.

Treba da gi presmetame uslovnite verojatnosti:

i) PA(B) i ii) PA(B).

Od navedenite podatoci imame deka P (A · B) = 0, 05, P(A · B

)=

0, 079, P(A ·B

)= 0, 089 i P

(A · B

)= 0, 782.

Od A ⊆ Ω imame A = A · Ω, a pak od druga strana Ω = B + B, pa

A = A · B + A · B, i P (A) = P (A ·B) + P (A · B) = 0, 05 + 0, 079 = 0, 129,

P (A) = 1 − P (A) = 1 − 0, 129 = 0, 871.

Koneqno, koristejki ja formulata za uslovna verojatnost, do-

bivame deka:

i) PA (B) = P (A·B)P (A)

= 0,050,129

= 0, 39;

ii) PA (B) = P (A·B)P (A)

= 0,0890,871

= 0, 10.

Za da se presmeta uslovna verojatnost potrebno e da se znae

verojatnosta na proizvodot na nastanite A i B, t.e. P (A · B).

No, vo mnogu sluqai, polesno e da se presmeta uslovnata vero-

jatnost otkolku verojatnosta na proizvodot na nastanite. Zatoa,

formulata za uslovna verojatnost, vsuxnost qesto se koristi za


presmetuvaǌe na verojatnost na proizvod na nastani. Direktno

od formulata za uslovna verojatnost sleduva slednava teorema.

Teorema 2. Za nastanite A i B xto se vo vrska so ist eksper-

iment, vai:

i) P (A · B) = P (A) · PA(B), pri P (A) > 0;

ii) P (A · B) = P (B) · PB(A), pri P (B) > 0.

Za nastanot B ke velime deka e nezavisen od nastanot A ako

na verojatnosta za nastapuvaǌe na nastanot B ne vlijae faktot

dali nastanot A se pojavil ili ne se pojavil. So drugi zborovi,

verojatnosta na nastanot B e ednakva na uslovnata verojatnost na

B pri uslov A, t.e. P (B) = PA(B). Zamenuvajki vo i) vo teorema 2,

dobivame deka P (A · B) = P (A) · P (B).

Od ii) i poslednoto sleduva deka P (B) · PB(A) = P (A) · P (B),

pri P (B) > 0, t.e. deka P (A) = PB(A), xto znaqi deka i nastanot

A e nezavisen od nastanot B. Poradi toa, vo prodolenie ke

zboruvame za zaemno nezavisni nastani.

Teorema 3. Sluqajnite nastani A i B, za koi P (A) > 0 i P (B) >

0, se nezavisni ako i samo ako P (A · B) = P (A) · P (B).

So pomox na principot na matematiqka indukcija moe da se

obopxti teorema 2, t.e. vai slednava teorema.

Teorema 4. Za nastanite A1, A2, . . . An xto se vo vrska so ist

eksperiment, takvi xto P (A1 · A2 · · ·An−1) > 0, vai

P (A1·A2 · ... · An) = P (A1) · PA1 (A2) · PA1 ·A2 (A3) · ... · PA1·A2·...·An−1 (An) .

Primer 3. Student doxol da polaga ispit znaejki 40 od 50

praxaǌa od predvidenata programa od predmetot. Studentot do-

biva praxaǌe otkako ke odgovori na prethodnoto praxaǌe. Najdi

ja verojatnosta p studentot da odgovori na 3 praxaǌa.

Rexenie. Neka A, B i C se nastanite

A: studentot odgovoril na prvoto praxaǌe

B: studentot odgovoril na vtoroto praxaǌe

C: studentot odgovoril na tretoto praxaǌe.


Se bara da se presmeta p = P (A · B · C). Od teorema 4,

p = P (A · B · C) = P (A) · PA(B) · PA·B(C).

Jasno e deka P (A) = 4050

= 45. Nastanot B zavisi od nastanot A, i

otkako nastapil nastanot A, ostanuvaat 49 praxaǌa, a od niv

studentot znae 39, pa PA(B) = 3949

. Sliqno, PA·B(C) = 3848

= 1924

,

bidejki otkako nastapil A · B, t.e. A i B istovremeno, ostanale

48 praxaǌa, a od niv studentot znae da odgovori na 38.

Koneqno, p = P (A · B ·C) = 45· 39

49· 19

24≈ 0, 5.

Vo prodolenie ke ja obopxtime definicijata za nezavisnost

od dva na proizvolen koneqen broj sluqajni nastani. Za sluqa-

jnite nastani A1, A2, ..., An velime deka se nezavisni vo celina

ako se zadovoleni slednive uslovi:

Ai 6= Aj, za i 6= j

P (Ai · Aj) = P (Ai) · P (Aj) , za i 6= j, i, j ∈ 1, 2, ..., nP (Ai · Aj · As) = P (Ai) · P (Aj) · P (As) ,

za i 6= j 6= s 6= i, i, j, s ∈ 1, 2, ..., n.

.

.

P (A1 · A2 · ... · An) = P (A1) · P (A2) · ... · P (An)

3.2.8 Totalna verojatnost. Formula na Bajes

Teorema 1. (Formula za totalna verojatnost) Neka Ω e mno-

estvoto na elementarni nastani za daden eksperiment i neka

A1, A2, ..., An se sluqajni nastani takvi xto:

i) Ai · Aj = ∅, za i 6= j, t.e. koi bilo dva razliqni nastani ne

moe da nastapat istovremeno;

ii) A1 + A2 + ... + An = Ω.

Togax, za proizvolen sluqaen nastan B koj moe da nastapi


pod uslov da nastapi nekoj od nastanite A1, A2, ..., An, vai

P (B) = P (A1) · PA1 (B) + P (A2) · PA2 (B) + ... + P (An) · PAn (B) .

Dokaz. Od B ⊆ Ω i ii), dobivame deka

B = B · Ω = B · (A1 + A2 + ... + An) = B · A1 + B · A2 + ... + B ·An,

t.e.

B = B · A1 + B ·A2 + ... + B · An = A1 · B + A2 · B + ... + An · B.

Od i) dobivame deka za i 6= j i (Ai · B) · (Aj · B) = ∅. Koristejki

teoremite od prethodnite delovi, imame

P (B) = P (A1 · B + A2 · B + ... + An · B) =

= P (A1 · B) + P (A2 · B) + ... + P (An · B) =

= P (A1) · PA1 (B) + P (A2) · PA2 (B) + ... + P (An) · PAn (B)

xto trebaxe da se dokae.

Primer 1. Vo edna kutija ima 4 beli i 2 crni topqiǌa, a vo

druga kutija ima 3 beli i 5 crni topqiǌa. Topqiǌata vo dvete

kutii se isti vo se, osven vo bojata, taka xto na dopir so raka ne

se razlikuvaat. Od prvata kutija sluqajno se biraat 2 topqiǌa

i bez da se poglednat se prefrlaat vo vtorata kutija. Potoa od

vtorata kutija sluqajno se bira edno topqe. Najdi ja verojatnosta

poslednoto izvleqeno topqe da bide belo.

Rexenie. Neka e

B: poslednoto izvleqeno topqe e belo

A1: dvete prefrleni topqiǌa se beli

A2: ednoto prefrleno topqe e belo a drugoto crno

A3: dvete prefrleni topqiǌa se crni.

Da zabeleime deka pri vleqeǌeto na dve topqiǌa od prvata

kutija, nema druga monost osven eden od A1, A2 ili A3, i deka

A1 · A2 = ∅, A1 · A3 = ∅ i A2 · A3 = ∅, t.e. koi bilo dva od A1, A2 i


A3 ne moe da nastapat istovremeno. So primena na formulata

za totalna verojatnost, dobivame

P (B) = P (A1) · PA1 (B) + P (A2) · PA2 (B) + P (A3) · PA3 (B) =

=C2

4 ·C02

C26

· 2+32+8

+C1

4 ·C12

C26

· 1+32+8

+C0

4 ·C22

C26

· 0+32+8

= 1330

.

Primer 2. Poznato e deka od dve vreki semenski materijal,

90% od zrnata od prvata vreka i 70% od zrnata od vtorata vreka

se plodni. Najdi ja verojatnosta pri sluqaen izbor na vreka (bez

gledaǌe) da bide izbrano plodno zrno.

Rexenie. Neka e

B: izbranoto zrno e plodno

A1: vleqeǌeto na zrno e od prvata vreka

A2: vleqeǌeto na zrno e od vtorata vreka.

Togax, od formulata za totalna verojatnost, dobivame

P (B) = P (A1) · PA1 (B) + P (A2) · PA2 (B) =1

2· 0, 9 +

1

2· 0, 7 = 0, 8.

Sluqajnite nastani A1, A2, ..., An vo formulata za totalna vero-

jatnost se vikaat hipotezi. Nivnite verojatnosti gi presmetu-

vame direktno. Ponekogax, pri sproveduvaǌeto na nekoj ekspe-

riment vo koj nastapil nastanot B, moe da ima potreba da se

presmetaat verojatnostite PB(Aj), za j ∈ 1, 2, ..., n, koi vo opxt

sluqaj se razlikuvaat od P (Aj). Za nivno presmetuvaǌe se koristi

slednava teorema.

Teorema 2. (Formula na Bajes) Neka Ω e mnoestvo na ele-

mentarni nastani za daden eksperiment, B e sluqaen nastan so

pozitivna verojatnost, a A1, A2, ..., An se sluqajni nastani takvi

xto Ai 6= Aj, za i 6= j i A1 + A2 + ... + An = Ω. Togax vai

PB (Aj) =P (Aj) · PAj

(B)

P (A1) · PA1 (B) + P (A2) · PA2 (B) + ... + P (An) · PAn (B),

za j ∈ 1, 2, ..., n.


Dokaz. Za j ∈ 1, 2, ..., n imame

PB (Aj)df= P (Aj ·B)

P (B)

df=

P (Aj )·PAj(B)

P (B)

T.1.=

=P (Aj )·PAj

(B)

P (A1)·PA1(B)+P (A2)·PA2

(B)+...+P (An)·PAn(B),

xto trebaxe da se dokae.

Primer 3. Tri maxini A1,A2 i A3 proizveduvaat 50%, 30% i

20 %, soodvetno, od vkupniot broj proizvodi vo fabrikata. Poz-

nato e deka procentite na defektni proizvodi na maxinite se 3%,

4% i 5%, soodvetno.

a) Pri sluqaen izbor na proizvod, presmetaj ja verojatnosta

izbraniot proizvod da e defekten.

b) Najdi ja verojatnosta deka sluqajno izbran proizvod, za koj

potoa e utvrdeno deka e defekten, e proizveden od maxinata A1.

Rexenie. Neka

B: izbraniot proizvod e defekten

Aj: izbraniot proizvod e proizveden od maxinata Aj, za j ∈1, 2, 3.

Jasno e deka se ispolneti uslovite od teorema 1 i teorema 2,

t.e. Ai ·Aj = ∅, za i 6= j i A1 + A2 + A3 = Ω.

a)

P (B) = P (A1) · PA1 (B) + P (A2) · PA2 (B) + P (A3) · PA3 (B) =

= 0, 5 · 0, 03 + 0, 3 · 0, 04 + 0, 2 · 0, 05 = 0, 037.

b) Vo ovoj sluqaj sluqajno se bira proizvod i potoa e utvrdeno

deka e defekten. Se bara da se presmeta verojatnosta deka ovoj

proizvod e proizveden od maxinata A1, t.e. se bara da se presmeta

PB(A1). Od teorema 2 imame

PB (A1) =P (A1)·PA1

(B)

P (A1)·PA1(B)+P (A2)·PA2

(B)+P (A3)·PA3(B)

=

= 0,5·0,030,5·0,03+0,3·0,04+0,2·0,05

= 1537

.


3.2.9 Serii od nezavisni eksperimenti

3.2.9.1 Xema na Bernuli

Neka E e daden eksperiment i A e sluqaen nastan xto e vo vrska

so E. Za serijata od povtoruvaǌa na eksperimentot E, pri isti

uslovi, velime deka e xema na Bernuli ako:

i) Brojot na povtoruvaǌa na eksperimentot e koneqen, i neka

go oznaqime so n;

ii) Pri sekoe povtoruvaǌe na eksperimentot imame samo dva

rezultati:

a) Se pojavil nastanot A

b) Ne se pojavil nastanot A, t.e. se pojavil sprotivniot

nastan A;

iii) Site povtoruvaǌa na eksperimentot se nezavisni eden od

drug, t.e. verojatnosta da nastapi nastanot A vo dadeno povtoru-

vaǌe ne zavisi od rezultatite vo prethodnite ili slednite pov-

toruvaǌa na eksperimentot;

iv) Verojatnosta za nastapuvaǌe na nastanot A, vo sekoe od

povtoruvaǌata na eksperimentot, e ista i da ja oznaqime so p,

t.e. p = P (A) i q = P (A) = 1 − p.

So Pj,n(A) = Pn(j) ja oznaquvame verojatnosta vo celata se-

rija od n nezavisni povtoruvaǌa na eksperimentot, nastanot A

da nastapil j−pati.

Teorema 1. Pn (j) =

(

n

j

)

pjqn−j, j ∈ 0, 1, 2, ..., n

Primer 1. Najdi ja verojatnosta pri 8 frlaǌa na moneta, grb

da se pojavi 4 pati.

Rexenie. Ova e primer na xema na Bernuli, vo koja imame:

A: pojava na grb na gornata strana od monetata,

n = 8, j = 4, p = P (A) = 12

i q = 1 − p = 1 − 12

= 12.

Znaqi,

P8 (4) =

(

8

4

)

·(

1

2

)4

·(

1

2

)8−4

= 0, 27.


Primer 2. Statistiqki e utvrdeno deka od 1000 novorodeni

deca, 512 se maxki a 488 se enski deca. Najdi ja verojatnosta,

vo familija od 3 deca, da ima edno maxko dete.

Rexenie. Neka e

A: vo familijata se rodilo maxko dete.

Od formulata za statistiqka verojatnost imame

p = P (A) =512

1000= 0, 512,

pa q = 1−p = 1−0, 512 = 0, 488. Pri pretpostavka deka verojatnosta

za ragaǌe na maxko dete vo familija ne zavisi od toa kakvi deca

se rodile prethodno vo familijata, nitu pak od toa kakvi deca ke

se rodat vo idnina, i deka stanuva zbor za stabilen sistem (p e

isto), moe da se iskoristi formulata od xemata na Bernuli, vo

koja n = 3, j = 1, pa dobivame

P3 (1) =

(

3

1

)

(0, 512)1(0, 488)3−1 = 0, 366.

Primer 3. Vo edna fabrika, verojatnosta da se proizvede

artikl so grexka e 0,005. Najdi ja verojatnosta vo edna serija od

10000 proizvodi:

i) 40 od niv da se so grexka

ii) ne poveke od 75 od niv da bidat so grexka.

Rexenie. Vo primerov, p = 0, 005, q = 0, 995 i n = 10000.

i) Ovde j = 40, pa

P10000 (40) =

(

10000

40

)

(0, 005)40(0, 995)10000−40.

ii) Neka e

Ak: k od 10000-te proizvodi se so grexka, za k ∈ 0, 1, 2, ..., 10000B: Ne poveke od 75 od 10000 proizvodi se so grexka.

Togax B = A0 + A1 + A2 + ... + A75, pa


P (B) = P (A0) + P (A1) + P (A2) + ... + P (A75) =

= P10000 (0) + P10000 (1) + P10000 (2) + ... + P10000 (75) =

=75∑

j=0

P10000 (j) =75∑

j=0

(

10000

j

)

(0, 005)j(0, 995)

10000−j.

Koristejki ja teorema 1 i ǋutnovata formula za razvoj na

binomot (q + px)n za x = 1 se dobiva slednava teorema.

Teorema 2. Pn (0) + Pn (1) + Pn (2) + ... + Pn (n) = 1.

3.2.9.2 Najverojaten broj (moda)

Neka e dadena xema na Bernuli i neka n e fiksen broj. Ako

postoi j takov xto Pn(j) e najgolema megu site verojatnosti od toj

vid, togax j se narekuva najverojaten broj ili moda. Slednava

teorema dava naqin za presmetuvaǌe na modata.

Teorema 1. Neka p e verojatnosta na sluqajniot nastan A vo

xemata na Bernuli so n nezavisni povtoruvaǌa na daden eksper-

iment, i neka q = 1 − p. Togax:

i) ako np − q = k0 e cel broj, k0 i k0 + 1 ke bidat najverojatni

broevi (modi) za nastapuvaǌe na nastanot A vo celata serija od

n povtoruvaǌa na dadeniot eksperiment.

ii) ako np− q ne e cel broj, najverojatniot broj za nastapuvaǌe

na nastanot A vo serijata od n povtoruvaǌa na eksperimentot ke

bide najmaliot priroden broj k0 xto e pogolem od np − q.

Primer 1. Vo edna fabrika tehnoloxkiot proces e takov xto

obezbeduva 30% od izrabotenite proizvodi da bidat so podobar

kvalitet od standardniot. Najdi go najverojatniot broj na pred-

meti so podobar kvalitet vo edna sluqajno izbrana serija od 75

izraboteni predmeti.

Rexenie. Jasno, stanuva zbor za xema na Bernuli, kade vero-

jatnosta predmetot da bide so podobar kvalitet e p = 0, 3 i n = 75.

Togax q = 1−p = 0, 7, pa np−q = 21, 8. Spored teorema 1, ii) najvero-

jatniot broj e k0 = 22, xto znaqi deka najverojatno vo sluqajnata

serija od 75 izbrani proizvodi, 22 ke bidat so podobar kvalitet


od standardniot.

3.2.9.3 Posledici od teoremite na Laplas

Pri presmetuvaǌeto na verojatnostite Pn(j) vo xemata na Ber-

nuli, qesto nastapuvaat tehniqki potexkotii zaradi dolgite pres-

metki. Ke dademe, bez dokaz, dve posledici (od lokalnata i in-

tegralnata teorema na Laplas) za priblino presmetuvaǌe na

verojatnostite Pn(j) xto se javuvaat vo xemata na Bernuli.

Teorema 1. Ako verojatnosta p za nastapuvaǌe na sluqajniot

nastan A vo sekoj od n−te nezavisni povtoruvaǌa na daden eksperi-

ment e razliqna od 0 i 1, togax za dovolno golemi vrednosti na

n vai priblinoto ravenstvo

Pn (j) ≈ φ (x)√npq

kade φ (x) = 1√2π

e−x2

2 , x = j−np√npq

.

Zabelexka 1. Priblinite vrednosti za Pn(j) od teorema 1 se

podobri za pogolemi vrednosti na p blisku do 12.

Zabelexka 2. Iako priblinata formula za Pn(j) od teorema

1, na prv pogled izgleda sloeno, presmetuvaǌata se olesneti

bidejki se izraboteni tablici (dadeni vo prilog na uqebnikov)

za presmetuvaǌe na vrednosti na φ(x).

Teorema 2. Ako p 6= 0 i p 6= 1 vo xemata na Bernuli so n

nezavisni povtoruvaǌa i ako k1 = np+a√

npq, k2 = np+b√

npq, a < b,

togax za dovolno golemi vrednosti na n vai

P (k1 < j < k2) ≈ϕ (b) − ϕ (a)

2

kade ϕ (x) = 2√2π

x∫

0

e−t2

2 dt.

Zabelexkite 1 i 2 vaat i vo ovoj sluqaj.


3.2.9.4 Posledica od teoremata na Puason

Teorema 1. Neka p e verojatnosta na sluqaen nastan A vo xe-

mata na Bernuli od n nezavisni povtoruvaǌa na daden eksperi-

ment. Ako p ima vrednost bliska do 0, togax za dovolno golemi

vrednosti na n vai

Pn (k) ≈ ak

k!e−a

kade a = np.

Zabelexka. Se proveruva deka priblinata formula vo teo-

rema 1 vai i za vrednosti na p bliski do 1.

3.2.10 Sluqajna promenliva

Vo razni pojavi i procesi od sekojdnevniot ivot se srekavame

so veliqini qii vrednosti se menuvaat od sluqaj do sluqaj, t.e.

veliqini koi vo daden moment na procesot moe da primat edna

vrednost (broj) a odnapred ne e poznato koja vrednost ke ja pri-

mat. Niv gi narekuvame sluqajni promenlivi i istite se tesno

povrzani so sluqajni nastani.

Sluqajna promenliva ξ na prostor od elemntarni nastani Ω e

funkcija f od Ω vo R takva xto inverznata slika na sekoj interval

od R e nastan od Ω.

Za podobro razbiraǌe na sluqajnata promenliva ne e dovolno

da se znaat samo nejzinite vrednosti (vrednostite koi gi prima)

tuku e potrebno da se znae i so koi verojatnosti veliqinata gi

prima oddelnite vrednosti.

Nastanot: ξ da primi vrednost x, e sluqaen nastan i so P (ξ = x)

ke ja oznaquvame verojatnosta na ovoj nastan.

Vo zavisnost od toa kakvo e mnoestvoto na vrednosti (pre-

broivo ili neprebroivo) koi sluqajnata promenliva gi prima,

razlikuvame dva tipa: diskretni i neprekinati, i vo prodole-

nie oddelno ke gi razgledame.


3.2.10.1 Poim za diskretni sluqajni promenlivi

Da razgledame nekolku primeri.

Primer 1. Neka frlame dve metalni moneti, istovremeno. So

G da oznaqime pojavuvaǌe na grb, so P pojavuvaǌe na pismo, a so

GP pojavuvaǌe na grb na prvata moneta i pismo na vtorata, pri

edno istovremeno frlaǌe na monetite. So ξ da go oznaqime brojot

na pojavuvaǌe na pisma pri edno frlaǌe na monetite. Togax,

moni se qetiri sluqai, t.e. Ω = GG, GP, PG, PP. Od ovde,

zakluquvame deka brojot na pojavuvaǌe na pisma pri edno frlaǌe

moe da bide edna od vrednostite 0,1,2, t.e. ξ = 0, ξ = 1 ili ξ = 2.

Da gi presmetame verojatnostite so koi veliqinata ξ gi prima

ovie vrednosti.

p0 = P (ξ = 0) = 12· 1

2= 1

4

p1 = P (ξ = 1) = 12· 1

2+ 1

2· 1

2= 1

2

p2 = P (ξ = 2) = 12· 1

2= 1

4

Zabeleuvame deka

p0 + p1 + p2 =1

4+

1

2+

1

4= 1.

Primer 2. Neka frlame dve kocki za igraǌe, istovremeno,

i neka so ξ go oznaqime zbirot na toqkite xto se pojavuvaat na

dvete kocki. Lesno moe da se vidi deka ξ moe da primi edna od

vrednostite: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, so verojatnosti,

1

36,

2

36,

3

36,

4

36,

5

36,

6

36,

5

36,

4

36,

3

36,

2

36,

1

36,

soodvetno.

Zabeleuvame deka i ovde

1

36+

2

36+

3

36+

4

36+

5

36+

6

36+

5

36+

4

36+

3

36+

2

36+

1

36= 1

t.e. zbirot na verojatnostite so koi xto ξ gi prima site vred-


nosti, e ednakov na 1.

Primer 3. Neka izvrxime serija od n nezavisni povtoruvaǌa

na daden eksperiment vo sekoj od koi nastanot A nastapuva so

verojatnost p (xema na Bernuli). So ξ da go oznaqime brojot na

nastapuvaǌe na nastanot A vo celata serija od n povtoruvaǌa na

eksperimentot. Veke vidovme deka ξ moe da prima edna od vred-

nostite 0, 1, 2, . . . , k, . . . , n, pri xto verojatnosta ξ = k (nastanot A

nastapil k pati) e ednakva na Cknpkqn−k, q = 1 − p, t.e.

pk = P (ξ = k) = Cknpkqn−k.

Bidejki p + q = 1, koristejki ja binomnata formula dobivame

deka

1 = 1n = (p + q)n

=

n∑

k=0

Cknpkqn−k =

n∑

k=0

P (ξ = k)

t.e. zbirot na verojatnostite so koixto ξ gi prima site vrednosti

e ednakov na 1.

Vo sekoj od gornite primeri sretnuvame po edna veliqina ξ

koja xto moe da primi vrednosti od nekoe (vo naxite primeri,

koneqno) mnoestvo. Dodatno, za veliqinata ξ da bide dobro

opixana, bea dadeni (presmetani) i verojatnostite so koi veliqi-

nata ξ gi prima vrednostite. Vo sekoj od primerite, zabeleavme

deka zbirot od verojatnostite so koixto ξ gi prima site vred-

nosti e ednakov na 1. Isto taka, se zabeleuva deka nastanot ξ da

primi nekoja opredelena vrednost, e sluqaen, i poradi toa samata

veliqina ξ ja narekuvame sluqajna.

Da rezimirame, za edna sluqajna promenliva ξ ke smetame deka

e potpolno opredelena, ako se dadeni site vrednosti xto taa

moe da gi primi, zaedno so soodvetnite im verojatnosti, i pri-

toa zbirot na site tie verojatnosti e ednakov na 1.

Pokraj sluqajnite promenlivi so koixto se sretnavme vo pri-

merite 1, 2 i 3, qesto se sretnuvaat i takvi sluqajni promenlivi

koixto primaat vrednosti od nekoe beskrajno mnoestvo. Ke raz-

gledame eden primer.


Primer 4. Neka ξ e sluqajna promenliva xto gi prima vred-

nostite: 0, 1, 2, . . . , k, . . . so verojatnosti

pk = P (ξ = k) =ak

k!e−a

kade a > 0 e nekoja konstanta. Pritoa, koristejki deka

∞∑

k=0

ak

k!= ea

se dobiva deka ∞∑

k=0

pk = ea · e−a = 1.

Razlikata megu sluqajnite promenlivi od ovoj primer i sluqa-

jnite promenlivi od prethodnite primeri e vo toa xto, dosega

imavme sluqajni promenlivi koixto primaat vrednosti od edno

koneqno mnoestvo, dodeka vo primer 4 sluqajnata promenliva gi

prima site vrednosti od celoto proxireno mnoestvo od prirodni

broevi N0=N∪0, t.e. od beskoneqno prebroivo mnoestvo.

Zaedniqko na site sluqajni promenlivi, dosega razgledani, e

toa xto zbirot od verojatnostite so koi xto sluqajnata promen-

liva gi prima site vrednosti, e ednakov na 1.

Dosega razgledanite sluqajni promenlivi se narekuvaat di-

skretni sluqajni promenlivi. Znaqi, edna sluqajna promenliva

ξ koja xto prima vrednost od nekoe koneqno mnoestvo, beskoneqno

prebroivo mnoestvo (mnoestvo qii xto elementi moe da bidat

zapixani vo oblik na edna beskoneqna niza x1, x2, . . . , xn, . . . ) so

verojatnosti pk, soodvetno, i pritoa∞∑

k=1

pk = 1, se narekuva diskre-

tna sluqajna promenliva.

Ako ξ e diskretna sluqajna veliqina, koja prima vrednosti:

x1, x2, . . . , xn, so verojatnosti p1, p2, . . . , pn, soodvetno, pixuvame

ξ =

xi, pi,

n∑

i=1

pi = 1

.


Ako ξ e diskretna sluqajna veliqina, koja prima vrednosti:

x1, x2, . . . , xn, . . . so verojatnosti p1, p2, . . . , pn, . . . , soodvetno, pixu-

vame

ξ =

xi, pi,

∞∑

i=1

pi = 1

.

Vo dvata sluqai, xi se narekuvaat tekovni vrednosti a pi =

P (xi) = p (ξ = xi) se narekuvaat zakon na raspredelba na sluqaj-

nata promenliva ξ.

Ako sluqajnata promenliva ξ moe da ja primi koja bilo vred-

nost od nekoj interval od realnite broevi, se narekuva nepre-

kinata sluqajna promenliva.

Primer 5. Ako ja ξ oznaquva sluqajnata promenliva: tempera-

turata na vozduhot vo tekot na eden den, togax ξ e primer na

neprekinata sluqajna promenliva.

Primer 6. Sluqajnata promenliva ξ: teina na zrno pqenica

vo sluqajno izbran klas od edna niva, e isto taka neprekinata

sluqajna promenliva.

Neprekinatite sluqajni promenlivi posebno ke gi razgledame

posle izuquvaǌeto na diskretnite sluqajni promenlivi.

3.2.10.2 Grafiqko pretstavuvaǌe na zakonot na raspredelba

na verojatnostite na diskretna sluqajna promenliva

Neka

ξ =

xi, pi,∞∑

i=1

pi = 1

e diskretna sluqajna promenliva. Qesto pati zakonot na raspre-

delba na verojatnostite na ξ go zadavame vo vid na tabela:

Grafiqki, zakonot za raspredelba na verojatnostite na ξ moe


da se prikae vo oblik na kriva, poligon ili histogram na vero-

jatnostite.

Ako vo koordinaten sistem xOy, na apscisnata oska (x-oskata)

go naneseme mnoestvoto na tekovnite vrednosti xi a na ordinat-

nata oska (y-oskata) go naneseme mnoestvoto vrednosti pi, dobi-

vame mnoestvo toqki Ai(xi, pi). Vaka dobienoto mnoestvo toqki

Ai se narekuva punktuelen grafik (grafik toqka po toqka) na

verojatnostite.

Ako toqkite (xi, pi) se spojat so edna kriva linija, se dobiva

kriva na verojatnostite.

Ako toqkite (xi, pi) i (xi+1, pi+1) se spojat so otseqki, se narekuva

poligon na verojatnostite.

Ako nacrtame pravoagolnici so visini pi i osnovi ednakvi na

ediniqnite intervali vo qii srednini se naogaat tekovnite vred-

nosti xi, dobivame histogram na verojatnostite.

Korisen prikaz na zakonot na raspredelba na verojatnostite

e i so nanesuvaǌe na otseqki od sekoja toqka xi vo pozitivnata

nasoka na ordinatnata oska so dolini ednakvi na vredostite na

soodvetnite verojatnosti pi.

Primer 1. Neka ξ e sluqajna promenliva, qijxto zakon na

raspredelba na verojatnostite e zadaden so slednava tabela:

Grafiqki, ξ moe da se pretstavi na sledniov naqin:


3.2.10.3 Funkcija na raspredelba na verojatnostite na di-

skretna sluqajna promenliva

Qesto pati sluqajnata promenliva se zadava preku nejzinata

funkcija na raspredelba na verojatnostite, namesto dosegax-

niot naqin na zadavaǌe preku zakonot na raspredelba na vero-

jatnostite. Vo prodolenie ke ja definirame ovaa funkcija i ke

dademe nekolku primeri.

Verojatnosta na nastanot, sluqajnata veliqina ξ da primi vred-

nost pomala od realniot broj x, e funkcija F (x) od x, i ja nareku-

vame funkcija na raspredelba na verojatnostite na sluqajnata

promenliva ξ. Znaqi,

F (x) = P (ξ < x) = P (−∞ < ξ < x)

kade x e proizvolen relen broj.

Zabelexka. Zaradi pokratko iskauvaǌe, vo prodolenie ke

velime zakon na verojatnostite i funkcija na raspredelba namesto

zakon na raspredelba na verojatnostite i funkcija na raspre-

delba na verojatnostite, soodvetno.

Primer 1. Da ja razgledame sluqajnata promenliva ξ od pri-

merot 1 vo 3.2.10.1.


Da ja najdeme nejzinata funkcija na raspredelba.

F (0) = P (ξ < 0) = 0, bidejki nastanot

A: ξ prima vrednosti pomali od 0

e nevozmoen.

F (1) = P (ξ < 1) = P (ξ = 0) = 14

F (2) = P (ξ < 2) = P (ili ξ = 0ili ξ = 1) = P (ξ = 0) + P (ξ = 1) =

= 14

+ 12

= 34.

Znaqi, F (0) = 0, F (1) = 14

i F (2) = 34.

Opxto,

1 Za x ≤ 0, F (x) = P (ξ < x) = P (ξ < 0) = 0.

2 Za 0 < x ≤ 1, F (x) = P (ξ < x) = P (ξ < 1) = 14.

3 Za 1 < x ≤ 2, F (x) = P (ξ < x) = P (ξ < 2) = 34.

4, Za x > 2, F (x) = P (ξ < x) = P (ili ξ = 0 ili ξ = 1ili ξ = 2) =

= 14

+ 12

+ 14

= 1.

Grafiqki, funkcijata na raspredelba na ξ e:

Vo prodolenie, ke navedeme nekoi svojstva na funkcijata na

raspredelba.

1 Funkcijata na raspredelba e ograniqena funkcija, i pritoa

vai


0 ≤ F (x) ≤ 1, ∀x ∈ R.

Svojstvoto 1 sleduva od faktot xto funkcijata na raspre-

delba pretstavuva verojatnost, a toa znaqi broj megu 0 i 1.

2 Verojatnosta na nastanot: ξ da primi vrednost megu x1 i x2,

x1 < x2, e ednakva na narasnuvaǌeto na funkcijata na raspredelba

F (x) vo intervalot (x1, x2), t.e.

P (x1 ≤ ξ < x2) = F (x2) − F (x1) .

Dokaz. Da gi razgledame slednive tri nastani:

A: ξ prima vrednost pomala od x2

B: ξ prima vrednost pomala od x1

C: ξ prima vrednost pogolema ili ednakva na x1 i pomala od

x2.

Togax e A = B ∪C i B ∩C = ∅, pa P (A) = P (B)+P (C), odnosno

P (C) = P (A) − P (B). Bidejki

P (C) = P (x1 ≤ ξ < x2) ,

P (A) = P (ξ < x2) = F (x2) ,

P (B) = P (ξ < x1) = F (x1) ,

dobivame deka P (x1 ≤ ξ < x2) = F (x2) − F (x1).

3 Funkcijata na rapredelba e monotono neopagaqka funkcija

na (−∞,∞).

Dokaz. Neka x1 < x2. Zaradi 2 imame deka

P (x1 ≤ ξ < x2) = F (x2) − F (x1) .

Bidejki verojatnosta e nenegativen broj sleduva deka

P (x1 ≤ ξ < x2) ≥ 0.

Ottuka dobivame deka F (x2) − F (x1) ≥ 0, t.e. funkcijata F (x) e


monotono neopagaqka funkcija.

4 a) F (−∞) = P (ξ < −∞) = limx→−∞

F (x) = 0

b) F (∞) = P (ξ < ∞) = limx→∞

F (x) = 1

Dokaz. a) vai bidejki nastanot ξ < −∞ e nevozmoen, a b)

vai bidejki nastanot ξ < ∞ e siguren (toa e nastan koj se sostoi

vo toa sluqajnata veliqina, pri realizacija na razgleduvaniot

eksperiment, da primi proizvolna vrednost).

Zabelexka. Graniqnite vrednosti limx→−∞

F (x) i limx→∞

F (x) pos-

tojat zaradi monotonosta i ograniqenosta na F (x).

5

P (ξ = x1) = limx2→x1

P (x1 ≤ ξ < x2) = limx2→x1

(F (x2) − F (x1)) =

= limx2→x1

F (x2) − F (x1)

Kako posledica od 5 gi dobivame svojstvata:

5.1 Ako funkcijata na rasperedelba e neprekinata vo toqkata

x = x1 (toa se site toqki od R koi xto ne se tekovni vrednosti na

diskretnata sluqajna veliqina), togax verojatnosta sluqajnata

veliqina da bide x1 e ednakva na 0.

Dokaz. Zaradi 5 vai

P (ξ = x1) = limx2→x1

(F (x2) − F (x1)) ,

pa od neprekinatosta na F vo x1 dobivame

P (ξ = x1) = limx2→x1

(F (x2) − F (x1)) = F (x1) − F (x1) = 0.

5.2 Vo toqkite xi, koixto se tekovni vrednosti na diskretnata

sluqajna veliqina ξ, funkcijata F (x) ima skok, qija dolina e

ednakva na verojatnosta so koja ξ ja prima taa vrednost xi.


6 Za diskretnata sluqajna veliqina

ξ =

xi, pi,∑

i

pi = 1

vai:

F (x) = P (ξ < x) =∑

xi<x

P (ξ = x) =∑

xi<x

pi.

7 Za diskretnata sluqajna veliqina

ξ =

xi, pi,∑

i

pi = 1

vai:

P (x1 ≤ ξ < x2) = F (x2) − F (x1) =∑

x1≤xi<x2

pi.

Koneqno, od se xto pogore kaavme okolu funkcijata na raspre-

delba, moe da se zakluqi deka, grafiqki, funkcijata na raspre-

delba na diskretnata sluqajna veliqina izgleda kako na sledniov

crte:

3.2.10.4 Povekedimenzionalni diskretni sluqajni promenlivi

Dvodimenzionalna diskretna sluqajna promenliva (sluqaen

vektor) go narekuvame podredeniot par (X, Y ), kade X i Y se


diskretni sluqajni promenlivi nad ist prostor na verojatnost

(Ω, Φ, P ) koi primaat vrednosti x1, x2, ..., xn, ... i y1, y2, ..., yn, ..., sood-

vetno, pri xto podredeniot par (X, Y ) prima vrednosti

(xi, yj), i, j ∈ N (1)

so verojatnosti

pij = P (xi, yj) = P (X = xi, Y = yj) , i, j ∈ N (2)

soodvetno, i pritoa vai

∞∑

i=1

∞∑

j=1

pij = 1. (3)

Vrskata megu vrednostite na dvodimenzionalnite sluqajni pro-

menlivi i nivnite verojatnosti go narekuvame zakon na raspre-

delba na dvodimenzionalna sluqajna promenliva.

Zakonot na raspredelba na dvodimenzionalna sluqajna promen-

liva moe da se pretstavi so slednava tabela

Primer 1. Moneta se frla dva pati, pri xto sekoj od ele-


mentarnite nastani PP, PG, GP, GG ima verojatnost 14. So X da go

oznaqime brojot na padnatite pisma, a so Y brojot na padnatite

grbovi. Zaedniqkiot zakon na raspredelba na (X, Y ) e daden vo

slednava tabela:

Primer 2. Se vkrstuvaat dve edinki so heterozigotna forma

(Aa) na genot X, vo F1 generacija. So A e oznaqen dominantniot

alel, dodeka so a e oznaqen recesivniot alel.

Odredi ja verojatnosta da se dobie homozigot po dvata dom-

inantni ili recesivni aleli, i verojatnosta da se dobie hete-

rozigot po vkrstuvaǌeto.

A a

A AA Aa

a Aa aa


na genot X (Aa) i homozigotna recesivna forma na genot Y (bb), vo

F1 generacija. So A i B se oznaqeni dominantnite aleli, dodeka

so a i b se oznaqeni recesivnite aleli. Odredi ja verojatnosta

po vkrstuvaǌeto da se dobie recesiven homozigot za dvete aleli.


na genot X (Aa) i Y (Bb), vo F1 generacija. So A i B se oz-

naqeni dominantnite aleli, dodeka so a i b se oznaqeni rece-

sivnite aleli.

Odredi ja verojatnosta po vkrstuvaǌeto, da se dobie dominan-

ten ili recesiven homozigot za dvete aleli.


Neka (X, Y ) e dvodimenzionalna sluqajna promenliva, koja prima

vrednosti (1) so verojatnosti (2). Funkcijata

F (x0, y0) =∑

xi≤x0

∑

yj≤y0

P (xi, yj) (4)

se narekuva funkcija na raspredelba na (X, Y ).

Spored (4), F (x0, y0) = P (x ≤ x0, y ≤ y0).

Analogno moe da se definira n-dimenzionalna diskretna

sluqajna promenliva (n-dimenzionalen vektor) (X1, X2, ..., Xn),

kade Xi, i ∈ 1, 2, ..., n se diskretni sluqajni promenlivi defini-

rani nad ist prostor na verojatnost (Ω, Φ, p) koi primaat vred-

nosti xi1, xi2, ..., xiki, ... za i ∈ 1, 2, ..., n, soodvetno.

Pritoa, podredenata n-torka (X1, X2, ..., Xn) prima vrednosti

(x1j1, x2j2, ..., xnjn), ji ∈ 1, 2, ..., ki, ..., i ∈ 1, 2, ..., n (5)

so verojatnosti

P (Xi = xiji, i ∈ 1, 2, ..., n) = pj1j2j3...jn, ji = 1, 2, ..., ki..., i ∈ 1, 2, ..., n

(6)

i pj1j2j3...jn ≥ 0 i

∑

j1,j2,...,jn

pj1j2j3...jn = 1. (7)

Neka (X, Y ) e dvodimenzionalna sluqajna promenliva koja prima

vrednosti (1) so verojatnosti (2). Bidejki za sekoj i ∈ 1, 2, ..., nnastanite (X = xi, Y = yj) i (X = xi, Y = yk) za j 6= k se disjunk-

tni, zaradi svojstvata na verojatnosta, dobivame deka verojat-

nosta P (xi) sluqajnata promenliva X da ja primi vrednosta xi,

bez razlika koja vrednost istovremeno ke ja primi Y , se presme-

tuva na sledniov naqin:

P (xi) = P (xi, y1)+P (xi, y2)+ ... +P (xi, ym)+ ... = pi1 + pi2 + ... + pim + ...


t.e.

P (xi) =∑

j

pij . (8)

Zabelexka. P (xi) pretstavuva zbir na broevite (verojatnos-

tite) vo i-tata kolona.

Sliqno, za j ∈ 1, 2, ..., m, ..., verojatnosta P (yj) sluqajnata promen-

liva Y da primi vrednost yj, bez razlika koja vrednost ke ja primi

X, se presmetuva spored formulata

Q (yj) =∑

i

P (xi, yj) =∑

i

pij (9)

Zabelexka. Q(yj) pretstavuva zbir na broevi (verojatnosti)

vo j-tata redica.

Raspredelbata na sluqajnata promenliva X koja prima vred-

nosti x1, x2, ..., xn so verojatnosti (8) se narekuva marginalna ra-

spredelba na sluqajnata promenliva X.

Raspredelbata na sluqajnata promenliva Y koja prima vred-

nosti y1, y2, ..., ym, ... so verojatnosti (9) se narekuva marginalna

raspredelba na sluqajnata promenliva Y .

Ako ne interesira zakon na raspredelba na sluqajnata promen-

liva X, pod pretpostavka deka sluqajnata promenliva Y prima

nekoja vrednost yj, togax od svojstvoto na uslovna verojatnost

imame:

P (xi |yj ) = P (X = xi |Y = yj ) =P (X = xi, Y = yj)

P (Y = yj)=

P (xi, yj)

Q (yj). (10)

Za sekoj j ∈ 1, 2, ..., m, ..., rasperedelbata na X koja prima vred-

nosti x1, x2, ..., xn, ... so P (xi |yj ) dadeni so (10) se narekuva uslovna

raspredelba na X pri uslov Y = yj.

Sliqno, za sekoj i ∈ 1, 2, ..., n, ... raspredelbata na Y koja prima

vrednosti y1, y2, ..., ym, ... so

P (yj |xi ) = P (Y = yj |X = xi ) =P (X = xi, Y = yj)

P (X = xi)=

P (xi, yj)

P (xi)(11)


se narekuva uslovna raspredelba na Y pri uslov X = xi.

3.2.10.5 Funkcii od diskretni sluqajni promenlivi

Neka X (X : Ω → R) e diskretna sluqajna promenliva, zada-

dena so nejzinata funkcija na raspredelba ili so nejziniot zakon

na raspredelba, a g : R → R e dadena realna funkcija. Togax

funkcijata Y : Ω → R opredelena so

Y (w) = g(X(w)), w ∈ Ω (1)

e diskretna sluqajna promenliva.

Neka X e zadadena so zakonot na raspredelba:

a) Neka g : R → R e strogo monotona. Togax g ima inverzna

funkcija x = g−1(y), pa na sekoja vrednost yi = g(xi), i = 1, 2, ... i

soodvetstvuva edinstvena vrednost xi = g−1(yi), i = 1, 2, ..., i za-

konot na raspredelba na sluqajnata promenliva Y e daden so

b) Neka g : R → R ne e monotona. Ako, na primer, postojat

toqno dve vrednosti xi i xj, xi 6= xj za koi g(xi) = g(xj), togax

nastanot (Y = g(xi)) e ekvivalenten so nastanot (X = xi ∨ X = xj),

a bidejki nastanite (X = xi) i (X = xj) se disjunktni, dobivame

P (Y = g (xi)) = P (X = xi ∨ X = xj) = P (X = xi)+P (X = xj) = pi +pj .

Primer 1. Sluqajnata promenliva X e zadadena so zakonot na

raspredelba:


Da go najdeme zakonot na raspredelba na sluqajnata promen-

liva Y = 2X − 1.

Rexenie. Funkcijata g(x) = 2x−1 e strogo monotono rasteqka.

Bidejki g(0) = 2 · 0 − 1 = −1, g(1) = 2 · 1 − 1 = 1, g(2) = 2 · 2 − 1 = 3,

g(3) = 2 · 3 − 1 = 5 i g(4) = 2 · 4 − 1 = 7 dobivame deka mnoestvoto

vrednosti na sluqajnata promenliva Y e −1, 1, 3, 5, 7. Zakonot na

raspredelba na Y e:

Primer 2. Sluqajnata promenliva X e zadadena so zakonot na

raspredelba:

Da go najdeme zakonot na raspredelba na sluqajnata promen-

liva Y = X2.

Rexenie. Funkcijata g(x) = x2 ne e monotona na segmentot

[−1, 1], i pritoa g(−1) = 1 = g(1). Mnoestvoto vrednosti na

sluqajnata promenliva Y e 0, 1 bidejki g(−1) = g(1) = 1 i g(0) = 0.

Togax P (Y = 0) = P (X = 0) = 12, a

P (Y = 1) = P (X = −1 ∨ X = 1) = P (X = −1)+P (X = 1) =1

3+

1

6=

1

2,

pa zakonot na raspredelba na Y e:


3.2.10.6 Matematiqko oqekuvaǌe na diskretna sluqajna pro-

menliva

Neka X e diskretna sluqajna promenliva koja prima vrednosti

x1, x2, ..., xn so verojatnosti p1, p2, ..., pn, soodvetno. Matematiqko

oqekuvaǌe na sluqajnata promenliva X, so oznaka E(X), e zbirot

od proizvodite na tekovnite vrednosti na X i soodvetnite vero-

jatnosti, t.e.

E (X) = x1p1 + x2p2 + ... + xnpn =n∑

k=1

xkpk.

Ako mnoestvoto vrednosti koi sluqajnata promenliva X gi

prima e beskoneqno, t.e. ako X prima vrednosti x1, x2, ..., xn, ... so

verojatnosti p1, p2, ..., pn, ..., soodvetno, togax

E (X) =

∞∑

k=1

xkpk,

pri pretpostavka deka∞∑

k=1

xkpk apsolutno konvergira.

Primer 1. Da go najdeme matematiqkoto oqekuvaǌe na sluqa-

jnata promenliva od primer 1 od 3.2.10.1, t.e. na

Rexenie. E (X) = 0 · 14

+ 1 · 12

+ 2 · 14

= 1.

Vo prodolenie ke navedeme, bez dokaz, nekoi svojstva na mate-

matiqkoto oqekuvaǌe.

1 Matematiqkoto oqekuvaǌe od konstanta C e C, t.e. E(C) =

C, pri xto konstantata se razgleduva kako diskretna sluqajna

promenliva koja prima samo edna vrednost C so verojatnost 1.

2 Neka X e diskretna sluqajna promenliva so matematiqko

oqekuvaǌe E(X) i neka g e realna funkcija qij domen gi sodri


vrednostite na X. Togax matematiqkoto oqekuvaǌe na sluqajnata

promenliva Y = g(X) e dadeno so formulata

E (Y ) =∑

i

g (xi) pi,

pri pretpostavka deka redot apsolutno konvergira.

Kako posledica na svojstvoto 2 go dobivame slednovo svojstvo:


oqekuvaǌe E(X) i neka a, b ∈R. Togax

E(aX + b) = aE(X) + b.

4 Neka X i Y se diskretni sluqajni promenlivi definirani

nad ist prostor od elementarni nastani. Togax

E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

So pomox na principot na matematiqka indukcija se dobiva

slednovo svojstvo:

5 Neka X1, X2, ..., Xn se diskretni sluqajni promenlivi defini-

rani nad ist prostor od elementarni nastani. Togax

E(X1 + X2 + ... + Xn) = E(X1) + E(X2) + ... + E(Xn).

Moda na sluqajnata promenliva X se narekuva vrednosta,

moX, na X so najgolema verojatnost.

Medijana na sluqajnata promenliva X se narekuva vred-

nosta, meX, na X za koja vai

P (X ≤ meX) ≥ 0, 5 i P (X ≥ meX) ≥ 0, 5

Primer 2. Da gi najdeme moX i meX, za


Rexenie. Od tabelata so koja e zadaden X, zabeleuvame deka

najgolema verojatnost e 0,40 i toa e verojatnosta so koja X ja

prima vrednosta 40, pa moX = 40.

Za X = 30, od tabelata imame: P (X ≤ 30) = 0, 20 + 0, 15 + 0, 25 =

0, 60 > 0, 5 i P (X ≥ 30) = 0, 25 + 0, 40 = 0, 65 > 0, 5, pa, soglasno

definicijata za medijana, zakluquvame deka meX = 30.

Neka X e n-dimenzionalna sluqajna promenliva

X = (X1, X2, ..., Xn).

Podredenata n-torka

E(X) = (E(X1), E(X2), ..., E(Xn)

ja narekuvame matematiqko oqekuvaǌe na sluqajnata promen-

liva X.

3.2.10.7 Momenti od povisok red. Disperzija i standardna

devijacija

Neka e dadena diskretna sluqajna promenliva X koja prima

vrednosti x1, x2, ..., xn, ... so verojatnosti p1, p2, ..., pn, ..., soodvetno.

Matematiqkoto oqekuvaǌe na sluqajnata promenliva Xn,

E (Xn) =∑

k

xnkpk

go narekuvame n-ti moment na sluqajnata promenliva X.

Apsoluten n-ti moment na X e matematiqkoto oqekuvaǌe na

sluqajnata promenliva |X|n, t.e.

E (|X|n) =∑

k

|xk|npk.

Centralen n-ti moment na X e matematiqkoto oqekuvaǌe


E ((X − E (X))n) =∑

k

(xk − E (X))npk.

Apsoluten n-ti moment na X e

E (|X − E (X)|n) =∑

k

|xk −E (X)|npk.

Centralniot vtor moment na X se narekuva disperzija na

sluqajnata promenliva X i se oznaquva so D(X).

Znaqi,

D (X) = E((X − E (X))2

).

Kvadratniot koren od disperzijata√

D (X) se oznaquva so σ

ili σx i se narekuva sredno kvadratno otstapuvaǌe na sluqaj-

nata promenliva X ili standardna devijacija na X.

Matematiqkoto oqekuvaǌe E(X), na X, vo nekoja smisla ja meri

srednata vrednost\ na X, a standardnata devijacija σ e merka za

otstapuvaǌe na sluqajnata promenliva od nejzinoto matematiqko

oqekuvaǌe.

Koristejki gi tekovnite vrednosti i soodvetnite verojatnosti

na X, D(X) moe da se zapixe i vo oblikot

D (X) =∑

k

(xk − E (X))2pk (∗)

kade desnata strana vo (*) e koneqen zbir ako mnoestvoto vred-

nosti na X e koneqno ili e beskoneqen zbir (red) ako mnoestvoto

vrednosti na X e beskoneqno.

Primer 1. Da gi najdeme D(X) i σ za sluqajnata promenliva

od primerot 1 vo 3.2.10.1, t.e. na

Rexenie. Veke najdovme deka E(X) = 1. Sluqajnata promen-

liva X − E(X) = X − 1 e


pa sluqajnata promenliva (X −E(X))2 = (X − 1)2 prima vrednosti

02 = 0 i (−1)2 = 1 = 12 so verojatnosti 12

i 14

+ 14

= 12, t.e.

i

D (X) = E((X −E (X))2) = 0 · 1

2+ 1 · 1

2=

1

2.

Poednostavno, koristejki ja (*), imame

D (X) =3∑

k=1

(xk − 1)2pk = (0 − 1)2 · 1

4+ (1 − 1)2 · 1

2+ (2 − 1)2 · 1

4=

1

2.

Vo prodolenie ke navedeme, bez dokaz, nekoi svojstva na dis-

perzijata.

1 D (X) = E (X2) − (E (X))2 =∑

k

x2kpk − (E (X))2

Svojstvoto 1 dava alternativna, i ponekogax pokorisna for-

mula za presmetuvaǌe na disperzijata na sluqajnata promenliva.

2 Neka X e diskretna sluqajna promenliva so disperzija D(X)

i a, b ∈ R. Togax vai

D(aX + b) = a2D(X).

Kako posledica od svojstvoto 2, go dobivame slednovo tvr-

deǌe.


oqekuvaǌe E(X) i disperzija D(X). Togax za sluqajnata promen-

liva

X∗ =X − E(X)√

D (X)=

X − E (X)

σX


vai

E (X∗) = 0 i D (X∗) = 1.

Zabelexka. Sluqajnata promenliva X∗ se narekuva normi-

rana (standardizirana) sluqajna promenliva za sluqajnata

promenliva X (koja soodvetstvuva na X).

3.2.10.8 Nezavisnost na sluqajni promenlivi

Neka (X, Y ) e dvodimenzionalna diskretna sluqajna promen-

liva koja prima vrednosti

(xi, yj), i, j ∈ N

so verojatnosti

pij = P (xi, yj), i, j ∈ N,

soodvetno.

Za sluqajnite promenlivi X i Y se veli deka se nezavisno

raspredeleni (nezavisni) ako za sekoi i, j ∈ N vai

P (xi, yj) = P (xi)Q(yj) (∗)

kade

P (xi) =∑

j

P (xi, yj) , Q (yj) =∑

i

P (xi, yj)

se marginalnite raspredelbi na sluqajnite promenlivi X i Y ,

soodvetno.

Primer 1. So tabelata

e zadadena dvodimanzionalna sluqajna promenliva (X, Y ) i se pres-

metani marginalnite raspredelbi na X i Y . Lesno se proveruva


deka za sekoi xi i yj vai (*), xto znaqi deka X i Y se nezavisni

sluqajni promenlivi.

Primer 2. So tabelata

e zadadena dvodimenzionalna sluqajna promenliva (X, Y ) i, isto

taka, se presmetani marginalnite raspredelbi na X i Y . Zabeleu-

vame deka

P (1) Q (1) =1

4· 11

40=

11

1606= 3

40= P (1, 1) ,

xto znaqi deka (*) ne vai za x1 i y1, pa, spored toa, X i Y ne se

nezavisni sluqajni promenlivi.

Vo prodolenie ke navedeme, bez dokaz, nekolku tvrdeǌa.

1 Sluqajnite promenlivi X i Y se nezavisni ako i samo ako

za sekoi x, y ∈ R vai

F(X,Y ) (x, y) = FX (x)FY (y)

kade F(X,Y ) (x, y), FX (x) i FY (y) se funkciite na raspredelba na

(X, Y ), X i Y , soodvetno.

Neka e dadena neprazna familija od diskretni sluqajni promen-

livi. Se veli deka sluqajnite promenlivi od familijata se neza-

visni vo celina, ako za sekoj k ≥ 2 i za sekoj izbor na sluqajni

promenlivi X1, X2, ..., Xk od dadenata familija vai

P (x1, x2, ..., xk) = P (X1 = x1, X2 = x2, ..., Xk = xk) =

= P (X1 = x1) · P (X2 = x2) · ... · P (Xk = xk) =

= P (x1)P (x2) · ... · P (xk)


kade xi ∈ Vi, i ∈ 1, 2, ..., k, a Vi, i ∈ 1, 2, ..., k se mnoestvata

vrednosti na sluqajnite promenlivi Xi, i ∈ 1, 2, ..., k, soodvetno.

2 Sluqajnite promenlivi X1, X2, ..., Xn se nezavisni ako i samo

ako

F (x1, x2, ..., xk) = FX1(x1) · FX2(x2) · ... · FXk(xk)

kade F (x1, x2, ..., xk), FX1(x1), FX2(x2),..., FXk(xk) se funkciite na ras-

predelba na (X1, X2, ..., Xk), X1, X2,...,Xk, soodvetno.

3 Diskretnite sluqajni promenlivi X i Y se nezavisni ako i

samo ako za sekoi funkcii f i g za koi

|E(f(X))| < ∞ i |E(g(Y ))| < ∞

vai

E(f(X)g(Y )) = E(f(X))E(g(Y )).

4 Sluqajnite promenlivi X1, X2, ..., Xk se nezavisni vo celina

ako i samo ako za sekoi funkcii f1, f2, ..., fk za koi

|E(fi(Xi))| < ∞, i ∈ 1, 2, ..., k

vai

E(f1(X1)f2(X2) . . . fk(Xk)) = E(f1(X1))E(f2(X2)) . . . E(fk(Xk)).

Kako posledica na 4 se dobiva slednovo tvrdeǌe.

5 Ako sluqajnite promenlivi X i Y se nezavisni, togax

E(XY ) = E(X)E(Y ).

Tvrdeǌeto 5 moe da se obopxti, i se dobiva

6 Ako sluqajnite promenlivi X1, X2, ..., Xk se nezavisni vo celi-

na, togax

E(X1X2 . . . Xk) = E(X1)E(X2) . . . E(Xk).

7 Ako sluqajnite promenlivi X i Y se nezavisni, togax

D(X + Y ) = D(X) + D(Y ).


8 Ako sluqajnite promenlivi X1, X2, ..., Xk se nezavisni vo celi-

na, togax

D(X1 + X2 + · · · + Xk) = D(X1) + D(X2) + · · · + D(Xk).

3.2.10.9 Primeri na korisni diskretni sluqajni promenlivi

3.2.10.9.1 Binomna raspredelba

Neka E e daden eksperiment i A e eden sluqaen nastan vo vrska

so eksperimentot.

i) Eksperimentot E go povtoruvame n pati pri isti uslovi i

pritoa, rezultatot pri koja bilo realizacija na eksperimentot

ne zavisi od rezultatite vo drugite realizacii na E.

ii) Pri sekoja realizacija na E nastanot A nastapuva so ista

verojatnost p (zaradi i)) i taa se narekuva verojatnost na uspeh.

Togax q = 1−p e verojatnosta na A, t.e. verojatnosta da pri reali-

zacija na E ne nastapi nastanot A i taa se narekuva verojatnost

na neuspeh.

Ova e primer na sproveduvaǌe na edna serija od n nezavisni

povtoruvaǌa na daden eksperiment, poznata i kako xema na Ber-

nuli.

Za xemata na Bernuli vai slednovo tvrdeǌe.

1 Verojatnosta nastanot A da se pojavi (nastapi) toqno k pati

vo serija od n nezavisni povtoruvaǌa na daden eksperiment, t.e.

verojatnosta na toqno k uspesi vo n povtoruvaǌa e oznaqena i

dadena so

Pn,p (k) =

(

n

k

)

pkqn−k

kade

(

n

k

)

= Ckn e binomniot koeficient.

Za dadena xema na Bernuli, n i p se konstanti, pa funkcijata

Pn,p(k) ja dava slednava diskretna sluqajna promenliva B(n, p).


Se narekuva Binomna raspredelba bidejki za k = 0, 1, 2, ..., n,

verojatnostite so koi B(n, p) gi prima tekovnite vrednosti se

posledovatelni qlenovi vo razvojot na

(q + p)n

= qn +

(

n

1

)

qn−1p + ... +

(

n

k

)

qn−kpk + ... + pn.

Uxte se narekuva i Bernulieva distribucija.

Osobinite na ovaa distribucija gi dava slednovo svojstvo.

2 Ako sluqajnata promenliva X ima binomna distribucija

B(n, p), togax

i) E(X) = np,

ii) D(X) = npq.

Primer 1. Poznato e deka edna maxina proizveduva 6% de-

fektni proizvodi. Kolkava e verojatnosta vo sluqajno izbrani 5

proizvodi da ima 2 defektni?

Rexenie. Brojot na defektnite proizvodi vo 5 izbrani pro-

izvodi e sluqajna promenliva so binomna raspredelba B(n, p),

kade n = 5, a p = 6100

= 0, 06. Spored toa,

P5;0,06 (2) =

(

5

2

)

0, 062(1 − 0, 06)5−2 = 0, 0318096.

Zabelexka. Ako dobienite proizvodi od ovaa maxina gi paku-

vame vo kutii koi sodrat po 5 proizvodi, bez pritoa da gi od-

deluvame defektnite od ispravnite proizvodi, togax priblino

vo 3,2% od kutiite ke imame po toqno 2 defektni proizvodi.

Primer 2. Pri vkrstuvaǌe na dve edinki od maxki i en-

ski pol, so genotip za krvni grupi IAIA i IAi, soodvetno, koja e

verojatnosta da 2 od 6 potomci imaat genotip IAi.


IA

i

IA

IA

IA

IA

i

IA

IA

IA

IA

i

Verojatnosta da se dobie heterozigot vo F1 generacija iznesuva

50%, odnosno

n = 6; p = 50100

= 0, 5; k = 2?

P6;0,5 (2) =

(

6

2

)

0, 52(1 − 0, 5)6−2

= 15 · 0, 25 · 0, 54 = 0, 2344.

Primer 3. Pri vkrstuvaǌe na dve edinki od maxki i en-

ski pol, so genotip za krvni grupi IAIB i IAi, soodvetno, koja e

verojatnosta 2 od 3 potomci da imaat A krvna grupa?

3.2.10.9.2 Poasonova raspredelba

Neka a > 0. Funkcijata X koja prima vrednosti k = 0, 1, 2, 3, ...

so verojatnosti

P (k) =ak

k!e−a, k = 0, 1, 2, 3, ...

i za koi vai

∞∑

k=0

P (k) =

∞∑

k=0

ak

k!e−a = e−a

∞∑

k=0

ak

k!= e−aea = 1

e diskretna sluqajna promenliva, za koja se veli deka ima Poa-

sonova raspredelba so parametar a i se oznaquva so P (a).

Toqno e slednovo svojstvo.

1 Ako sluqajnata promenliva X ima Poasonova raspredelba

P (a), togax

i) E(X) = a,

ii) D(X) = a.


Zabelexka. Se dokauva deka sledniov matematiqki model,

koj e dosta qest vo razliqni primeni, e tesno povrzan so Poa-

sonovata rasperdelba.

Da pretpostavime deka vo vreme [0,∞) registrirame oprede-

leni momenti, kako na primer, zvoneǌe na telefon, doagaǌe na

klienti na xalter vo nekoja institucija, pominuvaǌe na avto-

mobili pokraj opredelen objekt i sliqno. Znaqi, imame eden

protok na nastani\. Pritoa, zborot nastan\ ne e vo smisla na

sluqaen nastan, tuku oznaquva edna sluqajna toqka na vremenska

poluoska. So X[a, b] ja oznaquvame sluqajnata promenliva koja go

dava brojot na nastanite\ vo vremenskiot interval [a, b]. Ova e

diskretna sluqajna promenliva koja prima vrednosti od mnoes-

tvoto 0, 1, 2, 3, .... Golem broj sluqai vo praktikata moe da se

opixat so slednive pretpostavki.

- homogenost: raspredelba na verojatnostite na sluqajnata

promenliva X[a, b] ne zavisi od polobata na intervalot [a, b],

tuku samo od negovata dolina b − a.

- nezavisnost: ako intervalite [a, b] i [c, d] se disjunktni, togax

nastanite (X[a, b] = k1) i (X[c, d] = k2) se nezavisni za sekoi k1, k2 =

0, 1, 2, 3, ....

- separabilnost:

lim∆t→0

P (X [t, t + ∆t] > 1)

∆t= 0

xto praktiqno znaqi deka ne e mono vo koj bilo moment t da se

realizira\ poveke od eden nastan\.

Se dokauva deka pri vakvi pretpostavki sluqajnata promen-

liva X[0, t] = X(t) ima P (at) raspredelba, kade a > 0 e fiksiran

parametar koj go karakterizira intenzitetot na protokot na nas-

tani\, t.e. a e broj na nastani\ vo edinica vreme.

Primer 1. Spored podatocite od edna banka, vo prosek 5 kli-

enti na qas podnesuvaat baraǌe za kratkoroqen kredit. Ako pret-

postavime deka klientite doagaat vo bankata nezavisno i so ista

verojatnost vo tekot na sekoj qas, kolkava e verojatnosta bankata


da ima

a) 3 klienti

b) poveke od 7 klienti?

Rexenie. Brojot na klienti koi sekoj den vo tekot na eden

qas od rabotnoto vreme doagaat vo bankata e diskretna sluqajna

promenliva koja ima Poasonova raspredelba so parametar a = 5,

t.e.

P (k) =5k

k!e−5, k = 0, 1, 2, ...

pa baranite verojatnosti se:

a) P (3) = 53

3!e−5 ≈ 0, 14037

b) P (X > 7) = 1 −7∑

k=0

P (k) ≈ 1 − 0, 8666 = 0, 1334.

3.2.10.9.3 Hipergeometriska raspredelba

Raspredelba na belite topqiǌa X pri izbor na k topqiǌa

odednax od kutija vo koja ima m beli i n − m crni topqiǌa e

dadena so

P (j) =

(

n

j

)(

n − m

k − j

)

(

n

k

) , j = 0, 1, 2, ..., s,

kade s = minm, k, se narekuva hipergeometriska raspredelba

i se oznaquva so H(n, m, k).

Vai slednovo svojstvo.

1 Ako sluqajnata promenliva X ima hipergeometriska raspre-

delba H(n, m, k), togax

i) E(X) = mkn

ii) D(X) = mk(n−m)(n−k)n2(n−1)

.


3.2.10.9.4 Ramnomerna raspredelba

Neka N e daden priroden broj. Za funkcijata X koja prima

vrednosti m = 1, 2, ..., N so verojatnosti

P (X = m) =1

N, m = 1, 2, ..., N

vain∑

m=1

P (X = m) =n∑

m=1

1

N= N · 1

N= 1

pa X pretstavuva diskretna sluqajna promenliva, za koja se veli

deka e ramnomerna raspredelba na mnoestvoto 1, 2, ..., N.1 Ako sluqajnata promenliva X ima ramnomerna raspredelba,

togax

i) E(X) = N+12

ii) D(X) = N2−112

.

3.2.10.9.5 Geometriska raspredelba

Neka p e realen broj takov xto 0 < p < 1. Za funkacijata X

koja prima vrednosti 0, 1, 2, 3, ... so verojatnosti

P (k) = p(1 − p)k, k = 0, 1, 2, ...

vai

∞∑

k=0

P (k) =∞∑

k=0

p(1 − p)k = p∞∑

k=0

(1 − p)k = p1

1 − (1 − p)= 1,

pa X pretstavuva diskretna sluqajna promenliva za koja se veli

deka ima geometriska raspredelba so parametar p.

1 Ako sluqajnata promenliva X ima geometriska raspredelba,

togax

i) E(X) = qp

ii) D(X) = qp2 ,

kade q = 1 − p.


Primer 1. Vo edna fabrika, sekoj proizvod podlei na te-

stiraǌe vednax po izrabotuvaǌeto. Verojatnosta testiraniot

proizvod da e ispraven, t.e. testot da e pozitiven e 45, a da e

neispraven, t.e. testot da e negativen e 15. Neka X e brojot na

testiraǌata zakluqno so prviot pozitiven test. Najdi ja raspre-

delbata na verojatnostite na sluqajnata promenliva X i verojat-

nosta na nastanot

A: testiraǌeto zavrxuva posle paren broj testovi.

Rexenie. Sluqajnata promenliva X prima vrednosti 1, 2, 3, ....

Nastanot (X = n) se realizira ako i samo ako prvite n − 1 testi-

raǌa se negativni, a n-toto e pozitivno, pa spored toa

P (X = n) =1

5· 1

5· ... · 1

5︸︷︷︸

n−1 pati

·45

=4

5

(1

5

)n−1

, n = 1, 2, 3, . . . .

Znaqi, X ima geometriska raspredelba so parametar p = 45.

Nastanot A se realizira ako i samo ako vrednosta na sluqaj-

nata promenliva X e paren broj, t.e. mnoestvoto A = 2, 4, 6, ....Spored toa,

P (A) =∞∑

k=1

P (2k) =∞∑

k=1

45

(1 − 4

5

)2k−1= 4

5

∞∑

k=1

(15

)2k−1=

= 45

∞∑

k=1

(15

)2k(15

)−1= 4

5· 5 ·

∞∑

k=1

(15

)2k= 4 · 1

25· 1

1− 125

= 16.

3.2.10.9.6 Paskalova raspredelba

Verojatnosta da se pojavi nastan A vo daden eksperiment e p 6= 0

i e ista pri sekoe povtoruvaǌe na eksperimentot. Pritoa, rezul-

tatite pri povtoruvaǌe na eksperimentot se nezavisni. Eksperi-

mentot go povtoruvame se dodeka nastanot A se realizira k pati.

So X go oznaquvame brojot na povtoruvaǌa na eksperimentot za

da nastanot A se realizira k pati. Jasno e deka X moe da primi

vrednost koj bilo od broevite k, k + 1, k + 2, ....

Ako X prima vrednost n, t.e. ako eksperimentot treba da se


povtori n pati, toa znaqi deka vo prethodnite n− 1 povtoruvaǌa,

nastanot A se realiziral k−1 pati i deka A se realizira i vo n-

tiot eksperiment. Spored binomnata raspredelba, verojatnosta

A da se realizira k−1 pati vo n−1 povtoruvaǌa na eksperimentot

e dadena so

(

n − 1

k − 1

)

pk−1qn−1−(k−1) =

(

n − 1

k − 1

)

pk−1qn−k,

kade q = 1 − p, pa verojatnosta X da primi vrednost n, t.e. P (n) e

dadena so

P (n) =

(

n − 1

k − 1

)

pk−1qn−kp,

t.e.

P (n) =

(

n − 1

k − 1

)

pkqn−k.

Imajki predvid deka

(

n − 1

k − 1

)

=

(

n − 1

n − 1 − (k − 1)

)

=

(

n − 1

n − k

)

dobivame deka

P (n) =

(

n − 1

n − k

)

pkqn−k, n = k, k + 1, k + 2, ....

Se dokauva deka∞∑

n=k

P (n) = 1, od kade sleduva deka sluqajnata

promenliva X koja prima vrednosti k, k+1, k+2, ... so verojatnosti

P (n) =

(

n − 1

n − k

)

pkqn−k,

soodvetno, e diskretna sluqajna promenliva, i za nea se veli deka

ima Paskalova raspredelba so parametri k i p.

1 Ako sluqajnata promenliva X ima Paskalova raspredelba

so parametri k i p, togax


E(X) =k

p.

3.2.10.10 Neprekinati sluqajni promenlivi

Za razlika od diskretnata sluqajna promenliva, neprekinatata

sluqajna promenliva ξ moe da gi primi site vrednosti od nekoj

interval (a, b) a funkcijata na raspredelba F (x) da bide nepreki-

nata funkcija na toj interval. Vo toj sluqaj, za nekoj x ∈ (a, b)

imame P (ξ = x) = 0. Poradi toa, neprekinatata sluqajna promen-

liva ne moe da se okarakterizira so verojatnostite (site tie se

ednakvi na nula, no nieden od sluqajnite nastani ξ = x, x ∈ (a, b)

ne e nevozmoen, a za razliqni x1, x2 ∈ (a, b), ξ moe edniot od

dvata broja da go primi poqesto od drugiot). Zatoa, vo sluqaj

na neprekinata sluqajna promenliva se bara drug naqin na zada-

vaǌe na sluqajnata promenliva, koj gi zadruva analogiite so

verojatnostite vo diskretniot sluqaj.

Neka ξ e neprekinata sluqajna promenliva so funkcija na ras-

predelba F (x), za koja pretpostavuvame deka e neprekinata i dife-

rencijabilna funkcija. Kako i kaj diskretnata sluqajna promen-

liva, i ovde

P (x < ξ < x + ∆x) = F (x + ∆x) − F (x)

t.e. verojatnosta ξ da prima vrednosti od intervalot (x, x + ∆x)

e ednakva na narasnuvaǌeto na funkcijata na raspredelba na toj

interval.

Izrazot

P (x < ξ < x + ∆x)

∆x=

F (x + ∆x) − F (x)

∆x

se narekuva sredna gustina na verojatnostite na ξ na ∆x.

Graniqnata vrednost na srednata gustina na verojatnostite,


pri ∆x → 0, t.e.

lim∆x→0

P (x < ξ < x + ∆x)

∆x= lim

∆x→0

F (x + ∆x) − F (x)

∆x

postoi zaradi pretpostavkata za diferencijabilnost na funkci-

jata F (x) i e ednakov na F ′(x).

Graniqnata vrednost

lim∆x→0

P (x < ξ < x + ∆x)

∆x

ja oznaquvame so ϕ (x) i ja narekuvame gustina na verojatnostite

ili zakon na verojatnostite na sluqajnata promenliva ξ.

Znaqi,

ϕ (x) = F ′ (x) .

Grafikot na ϕ(x) se narekuva kriva na raspredelba na vero-

jatnostite.

Da navedeme nekoi svojstva na ϕ(x).

1 ϕ(x) ≥ 0, ∀x ∈R.

Dokaz. ϕ(x) = F ′(x) ≥ 0 bidejki F (x) e monotono neopagaqka

funkcija.

2 ϕ(x) e neprekinata, osven moebi vo koneqen broj na izoli-

rani toqki na prekin vo sekoj proizvolno zemen koneqen interval.

3

P (x1 < ξ < x2) =

x2∫

x1

ϕ(x)dx


Dokaz.

P (x1 < ξ < x2) = F (x2) − F (x1) =

x2∫

x1

F ′(x)dx =

x2∫

x1

ϕ(x)dx.

Geometriski, verojatnosta ξ da primi vrednosti od intervalot

(x1, x2) e ednakva na ploxtinata na krivoliniskiot trapez ABCD.

4

F (−∞) = limx→−∞

F (x) = 0

F (∞) = limx→∞

F (x) = 1∞∫

−∞ϕ(x)dx = 1

Dokaz.

∞∫

−∞ϕ(x)dx = lim

b→−∞

0∫

−b

ϕ(x)dx + lima→∞

a∫

0

ϕ(x)dx =

= limb→−∞

0∫

b

F ′(x)dx + lima→∞

a∫

0

F ′(x)dx =

= limb→−∞

(F (0) − F (b)) + lima→∞

(F (a)− F (0)) =

= F (0) − F (−∞) + F (∞) − F (0) = −F (−∞) + F (∞) = −0 + 1 = 1.

5

F (x) = P (x < ξ) =

x∫

−∞

ϕ (t) dt

Dokaz. 5 neposredno sleduva od relacijata kojaxto ja izrazu-

va gustinata na verojatnostite na ξ preku funkcijata na raspre-

delba.

Zabelexka. 1) 5 ja izrazuva funkcijata na raspredelba na ξ

preku gustinata na raspredelba na ξ.

2) Geometriski, F (x) e ploxtina na zatemnetiot del od crteot,

oznaqen so T .


6 Ako ϕ(x) = 0, x < a, x > b, togax

∞∫

−∞

ϕ (t) dt =

b∫

a

ϕ (t) dt.

7 Od se pogore kaano, neprekinatata sluqajna promenliva, ξ,

moe da ja zapixuvame na sledniov naqin

ξ =

x, ϕ (x) ,

∞∫

−∞

ϕ (x) dx = 1, F (x) =

x∫

−∞

ϕ (t) dt

.

Zaradi 4 funkcijata na raspredelba, F (x), ima dve horizon-

talni asimptoti:

y = 0, pri x → −∞ i

y = 1, pri x → ∞.

Znaeme i deka F (x) e monotono neopagaqka funkcija, pa koneqno,

grafikot na F (x) na neprekinatata sluqajna promenliva ξ, izgleda

kako na sledniov crte

Primer 1. Sluqajnata veliqina ξ ima zakon na verojatnostite

ϕ (x) =

a cos x, −π2

< x < π2

0, x ≤ −π2, x ≥ π

2

Opredeli go a, nacrtaj go grafikot na ϕ(x) i na F (x). Pres-

metaj ja verojatnosta ξ da primi vrednosti od intervalot(0, π

4

).


Rexenie. Od∞∫

−∞ϕ (x) dx = 1, dobivame deka

π2∫

−π2

a cos xdx = 1 ⇔ a sinx

∣∣∣∣∣

π2

−π2

= 1 ⇔ a(sin π

2− sin

(−π

2

))= 1 ⇔

⇔ a (1 − (−1)) = 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = 12.

Da ja opredelime F (x).

1) Neka x ∈(−∞, π

2

]. Togax

F (x) =

x∫

−∞

ϕ (t)dt =

x∫

−∞

0 · dt = 0.

2) Neka x ∈(−π

2, π

2

). Togax

F (x) =x∫

−∞ϕ (t) dt =

−π2∫

−∞ϕ (t)dt +

x∫

−π2

ϕ (t) dt =

=−π

2∫

−∞0 · dt +

x∫

−π2

12costdt = 0 + 1

2sin t

∣∣∣∣∣

x

−π2

=

= 12

(sinx − sin

(−π

2

))= 1

2(sinx + 1.)

.

3) Neka x ∈[

π2,∞). Togax

F (x) =x∫

−∞ϕ (t) dt =

−π2∫

−∞ϕ (t) dt +

π2∫

−π2

ϕ (t) dt +x∫

π2

ϕ (t) dt =

=−π

2∫

−∞0 · dt +

π2∫

−π2

12cos tdt +

x∫

π2

0 · dt =

= 0 + 1 + 0 = 1.


Znaqi,

F (x) =

0, x ∈(−∞,−π

2

]

12(sinx + 1) , x ∈

(−π

2, π

2

)

1, x ∈[

π2,∞)

P(0 < ξ < π

4

)=

π4∫

0

ϕ (x) dx = F(

π4

)− F (0) =

= 12

(sin π

4+ 1)− 1

2(sin 0 + 1) = 1

2

(√2

2+ 1)

− 12(0 + 1) =

√2

4.

3.2.10.11 Funkcii od neprekinati sluqajni promenlivi ∗

Bez dokaz ke ja navedeme slednava teorema.

Teorema. Neka X e neprekinata sluqajna promenliva koja prima

vrednosti od intervalot (a, b) i neka ϕX (x) e gustina na X i e

neprekinata funkcija. Ako g(x) e strogo monotona funkcija na

(a, b) so neprekinat izvod na (a, b), togax gustinata na sluqajnata

promenliva Y = g(X) e dadena so

ϕY (x) = ϕX

(g−1 (x)

)∣∣∣

(g−1 (x)

)′∣∣∣ .


3.2.10.12 Brojni karakteristiki na neprekinati sluqajni pro-

menlivi ∗

Neka X e neprekinata sluqajna promenliva so gustina ϕ(x).

Ako integralot∞∫

−∞|x|ϕ (x) dx konvergira, togax brojot

E (x) =

∞∫

−∞

xϕ (x) dx

e matematiqko oqekuvaǌe na sluqajnata promenliva X.

Koristejki ja teoremata od prethodniot del, se dokauva sled-

nava teorema.

Teorema. Neka X e neprekinata sluqajna promenliva so kone-

qno matematiqko oqekuvaǌe E(X) i neprekinata gustina ϕ(x) i

neka g(x) e neprekinata funkcija so domen xto gi sodri vrednos-

tite na X. Togax matematiqkoto oqekuvaǌe na sluqajnata promen-

liva Y = g(X) e dadeno so

E (Y ) =

∞∫

−∞

g (x)ϕ (x) dx.

Direktno od poslednava teorema sleduva slednava posledica.

Posledica. Neka X e neprekinata sluqajna promenliva so

koneqno matematiqko oqekuvaǌe, E(X), i neka a, b ∈R. Togax

i) E(X − E(X)) = 0

ii) E(aX + b) = aE(X) + b.

Primer 1. Za sluqajnata promenliva X od primer 1 od delot

3.2.10.10, t.e. X so

ϕ (x) =

12cosx, x ∈

(−π

2, π

2

)

0, x /∈(−π

2, π

2

)


matematiqkoto oqekuvaǌe E(X) e

E (X) =

∞∫

−∞

xϕ (x) dx =

∞∫

−∞

x · 1

2cos xdx =

1

2

∞∫

−∞

x cos xdx = 0.

Toqni se slednive svojstva.

1 Ako X i Y se neprekinati sluqajni promenlivi nad ist pro-

stor od elementarni nastani i za koi postojat matematiqki oqeku-

vaǌa E(X) i E(Y ), soodvetno, togax

E(X + Y ) = E(X) + E(Y ).

Neka X e neprekinata sluqajna promenliva so gustina ϕ(x).

Matematiqkoto oqekuvaǌe

E((X − E (X))2) =

∞∫

−∞

(x− E (X))2ϕ (x) dx

e disperzija na sluqajnata promenliva X, i, kako i vo sluqa-

jot na diskretnata sluqajna promenliva, se oznaquva so D(X),

a σ =√

D (X) e sredno kvadratno otstapuvaǌe na sluqajnata

promenliva X ili standardna devijacija na X.

Neka X e neprekinata sluqajna promenliva so koneqno matema-

tiqko oqekuvaǌe E(X) i koneqna disperzija D(X). Togax

1 D(X) ≥ 0, i D(X) = 0 ako i samo ako postoi konstanta C

takva xto D(X = C) = 1.

2 Za a, b ∈R, D(aX + b) = a2D(X)

3 D(X) = E(X2) − (E(X))2

4 D

(

X−E(X)√D(X)

)

= 1.


3.2.10.13 Primeri na neprekinati sluqajni promenlivi

3.2.10.13.1 Ramnomerna raspredelba

Definicija. Za sluqajnata promenliva X ke velime deka ima

ramnomerna raspredelba na intervalot [a, b] ako nejzinata gustina

e

ϕ (x) =

c, a ≤ x ≤ b

0, x /∈ [a, b]

Ke oznaquvame U([a, b]).

Od

1 =

∞∫

−∞

p (x) dx = c

b∫

a

dx = c (b − a)

sleduva c = 1b−a

.

Znaqi, gustinata na raspredelba na sluqajnata promenliva X

e

ϕ (x) =

1

b−a, a ≤ x ≤ b

0, x /∈ [a, b](1)

Za funkcijata na raspredelba na sluqajnta promenliva X do-

bivame

F (x) = P (X ≤ x) =

x∫

−∞

ϕ (t)dt =

0, x ≤ a

1b−a

x∫

a

dt, a < x < b

1, x ≥ b


pa

F (x) =

0, x ≤ ax−ab−a

, a < x < b

1, x ≥ b

.

Od (1) i definiciite za matematiqko oqekuvaǌe i disperzija

dobivame

E (X) =

∞∫

−∞

xϕ (x) dx =1

b − a

b∫

a

xdx =b2 − a2

2 (b− a)=

a + b

2,

E(X2)

=

∞∫

−∞

x2ϕ (x) dx =1

b − a

b∫

a

x2dx =b3 − a3

3 (b − a)=

b2 + ba + a2

3

i

D (X) = E(X2)− (E (X))2 =

b2 + ba + a2

3− (a + b)2

4=

(b − a)2

12.

3.2.10.13.2 Normalna raspredelba

Neka a ∈R i σ > 0. Za funkcijata

ϕ (x) =1√2πσ

e−12 (

x−aσ )

2

, x ∈ R (1)

vai deka ϕ (x) > 0, za sekoj x ∈R i se dokauva deka

∞∫

−∞

ϕ (x) dx = 1.

Definicija. Za sluqajnata promenliva X velime deka ima

normalna (Gausova) raspredelba so parametri a i σ2 ako taa

ima gustina (1).

Zabelexka. Normalnata raspredelba e ednoznaqno opredelena

so parametrite a i σ2, pa zatoa vo natamoxnite razgleduvaǌa

istata ke ja oznaquvame so N(a; σ2). Normalnata raspredelba so

parametri a = 0 i σ2 = 1 ja narekuvame standardna i nejzinata


gustina na raspredelba e

ϕ (x) =1√2π

e−x2

2 .

Od (1) sleduva deka krivata na gustinata na normalnata raspre-

delba e simetriqna vo odnos na pravata x = a i taa ima oblik kako

na sledniov crte.

Na sledinov crte se prikaani dve normalni raspredelbi

N (16; 4) i N (16; 1).

Zabelexka. Normalnata raspredelba ima golemo znaqeǌe vo

teorijata na verojatnosta i statistikata, pa zatoa ovde ke navede-

me uxte nekolku nejzini svojstva. Za standardnata normalna ras-


predelba, funkcijata na raspredelba e dadena so

F0 (x) =1√2π

x∫

−∞

e−t2

2 dt

i ja narekuvame normalna funkcija na raspredelba. Taa e nepre-

kinata, strogo monotono rasteqka i vai

limx→−∞

F0 (x) = 0, limx→∞

F0 (x) = 1.

Od parnosta na funkcijata ϕ(x) sleduva deka za sekoj x ∈R vai

F0 (−x) = 1 − F0 (x) .

Teorema. Ako sluqajnata promenliva X ima normalna raspre-

delba N(a; σ2), togax nejzinoto matematiqko oqekuvaǌe e

E(X) = a

a disperzijata e

D(X) = σ2.

Zabelexka. a) Za a = 0 i σ2 = 1 ja dobivame standardnata

normalna raspredelba N(0; 1), za koja imame E(X) = 0 i D(X) = 1.

b) Neka Xe sluqajna promenliva so normalna raspredelba N(a; σ2).

Verojatnosta P (x1 ≤ X ≤ x2) sluqajnata promenliva X da primi

vrednosti od intervalot [x1, x2] ja izrazuvame so formulata

P (x1 ≤ X ≤ x2) =

x2∫

x1

1√2πσ

e−12(

x−aσ )

2

dx.

Ako vo integralot od desnata strana ja vovedeme smenata u = x−aσ

dobivame

P (x1 ≤ X ≤ x2) =1√2π

x2−a

σ∫

x1−a

σ

e−u2

2 du.


Od poslednoto ravenstvo i od svojstvata na integralot na Laplas

sleduva:

- Ako x1, x2 > a, togax

P (x1 ≤ X ≤ x2) = F0

(x2 − a

σ

)

− F0

(x1 − a

σ

)

.

- Ako x1 < a < x2, togax

P (x1 ≤ X ≤ x2) = F0

(x2−a

σ

)− F0

(x1−a

σ

)=

= F0

(x2−a

σ

)− F0

(−a−x1

σ

)= F0

(x2−a

σ

)+ F0

(a−x1

σ

)

- Za x1, x2 < a imame

P (x1 ≤ X ≤ x2) = F0

(x2−a

σ

)− F0

(x1−a

σ

)=

= F0

(−a−x2

σ

)− F0

(−a−x1

σ

)= F0

(a−x1

σ

)− F0

(a−x2

σ

)


- Ako x > a, togax

P (X ≤ x) = P (X ≤ a) + P (a ≤ X ≤ x) =1

2+ F0

(x − a

σ

)

- Za x > a imame

P (X ≥ x) = 1 − P (X ≤ x) =1

2− F0

(x− a

σ

)

- Ako x < a, togax

P (X ≤ x) = P (X ≤ a) − P (x ≤ X ≤ a) =1

2− F0

(a − x

σ

)


- Ako x < a togax

P (x ≤ X) = 1 − P (X ≤ x) =1

2+ F0

(a − x

σ

)

3.2.10.13.3 Gama raspredelba

Neka α > 0 i λ > 0. Da ja razgledame funkcijata

ϕ (x) =

0, x < 0λαxα−1

Γ(α)e−λx, x ≥ 0

(1)

kade Γ (α) e gama funkcijata zadadena so

Γ (α) =

+∞∫

0

e−xxα−1dx.

Definicija. Za sluqajnata promenliva X ke velime deka ima


gama raspredelba so paramerti α > 0 i λ > 0 ako taa ima gustina

na raspedelba ϕ(x), dadena so (1).

Oznaquvame so Γ(α, λ).

Teorema. Ako sluqajnata promenliva X ima gama raspredelba

Γ(α, λ), togax nejzinoto matematiqko oqekuvaǌe e

E (X) =α

λ

a disperzijata e

D (X) =α

λ2.

Zabelexka. Ako vo (1) stavime α = 1 od gama raspredelbata ja

dobivame eksponencijalnata raspredelba so parametar λ. Sega,

od prethodnata teorema dobivame deka za sluqajna promenliva so

eksponencijalna raspredelba vai

E (X) =1

λ, D (X) =

1

λ2.

Zabelexka. Ako vo gustinata (1) stavime λ = 12

i α = k2, k ∈N,

togax ja dobivame gustinata Γ(

k2, 1

2

)na takanareqenata χ2-raspre-

delba so k stepeni na sloboda koja ja oznaquvame so χ2k i koja

ima vana uloga vo statistikata. Matematiqkoto oqekuvaǌe i

disperzijata na χ2k-raspredelbata se:

E(χ2

k

)=

k212

= k, D(χ2

k

)=

k2(

12

)2 = 2k.

Kako xto rekovme χ2-raspredelbata e edna od poznaqajnite ra-

spredelbi vo statistikata, za xto ke stane zbor podocna. Ova se

doli na nejzinata povrzanost so normalnata raspredelba, koja

zazema centralno mesto vo teorijata i primenite na statistikata.

Na sledniov crte dadeni se graficite na gustinite na χ2k-

raspredelba za razliqni vrednosti na k.


3.2.10.13.4 Studentova t-raspredelba

Neka n ∈N i neka

ϕ (x) =Γ(

n+12

)

√nπ Γ

(n2

)

(

1 +x2

n

)−n+12

. (1)

Definicija. Za sluqajnata promenliva X se veli deka ima

Studentova t-raspredelba so parametar n, ako taa ima gustina

na raspredelba ϕ(x), dadena so (1).

Zabelexka. Od (1) sleduva deka studentovata t-raspredelba e

ednoznaqno opredelena so parametarot n, koj go narekuvame ste-

peni na sloboda.

Matematiqkoto oqekuvaǌe na sluqajna promenliva X koja ima


studentova t-raspredelba so n stepeni na sloboda e

E (X) =

∞∫

−∞

xϕ (x) dx =Γ(

n+12

)

√nπΓ

(n2

)

∞∫

−∞

x

(

1 +x2

n

)−n+12

dx = 0

bidejki podintegralnata funkcija e neparna.

Za n > 2 moe da se dokae deka disperzijata na sluqajnata

promenliva X postoi i

D (X) =n

n − 2.

4

STATISTIKA

4.1 Odnosot na teorijata na verojatnosta i matematiqkata

statistika

Teorijata na verojatnost se zanimava so zakonite na raspre-

delbata i brojnite karakteristiki na sluqajnite golemini.

Matematiqkata statistika se zanimava so priblinite metodi

na otkrivaǌe na zakonite na raspredelbata i na brojni karakte-

ristiki spored rezultatite od nekoi eksperimenti.

Matematiqkata statistika e del od primenetata matematika

koja neposredno se potpira vrz teorijata na verojatnosta. Sepak,

megu niv postoi golema razlika. Dodeka vo teorijata na verojat-

nosta rabotime so verojatnosta a priori, vo statistikata ovie

verojatnosti odnapred ne gi znaeme, a niv moeme da gi sogledame,

i toa samo priblino, a posteriori, vo nekoi eksperimenti.

Razrabotkata na metodite na registracija, opis i analiza na

eksperimentalnite podatoci, dobieni vo tekot na posmatraǌeto

na masovnite sluqajni pojavi e predmet na matematiqkata statis-

tika. Vo procesite na prouquvaǌeto na ovie pojavi statistikata

se slui so opredeleni metodi. Po odnapred postaven plan taa

sobira podatoci za ovie pojavi (po pat na popis, anketa, kon-

statacii, zabeleuvaǌe, mereǌe, eksperimentiraǌe, itn.) pa po-

155


toa istite gi obrabotuva i vrz osnova na ovaa obrabotka od niv

izvlekuva opredeleni zakluqoci, znaqajni za teorijata i prime-

nata.

No, vo praktikata sekogax imame rabota samo so ograniqeno

koliqestvo eksperimentalni podatoci. Bidejki eksperimentot e

skap, trae dolgo vreme, a i besmisleno e toj da trae predolgo,

i zatoa mora da bide ograniqen. Zatoa rezultatite od eksperi-

mentite i nivnata obrabotka sodrat pogolem ili pomal element

na sluqajnost. Pri toa e neophodno da se opredeli, kakvi karak-

teristiki na razgleduvanata pojava se postojani i navistina se

vrzani za nea, a kakvi se sluqajni i se javuvaat vo dadena serija

eksperimenti samo poradi ograniqeniot obem na eksperimentot i

maliot broj na podatocite.

Teorijata na verojatnosta i matematiqkata statistika zaemno

se isprepletuvaat. Vo teorijata na verojatnosta spored dadenite

verojatnosti i funkcii na raspredelba se naogaat drugi, novi

verojatnosti i funkcii na raspredelba. Se praxuvame, xto e

sosema prirodno, od kade se zemeni poqetnite vrednosti na vero-

jatnostite i poqetnite funkcii na raspredelbata? Ako, da re-

qeme, ni treba pod dadeni uslovi raspredelbata na prodolu-

vaǌa na sigurnata rabota na nekoi maxini, kako moeme istata

da ja opredelime? Ili drug primer sakame da ja najdeme vero-

jatnosta na ragaǌeto na maxko dete pri opredeleni opxtestveni

uslovi. Kako da se napravi ova? Samo apriornite rasuduvaǌa ne

se dovolni.

Neophodni se eksperimeti i specijalni isleduvaǌa. Pri ova

se pretpostavuva deka eksperimentite se nezavisni eden od drug.

Matematiqkata statistika raspolaga so metodi, koi dozvolu-

vaat od rezultatite na nekoi eksperimenti da napravime sood-

vetni zakluqoci.


4.2 Za raznovidnosta na zadaqite na matematiqkata statis-

tika

Vo svojata osnovna zadaqa ispituvaǌe na zakonitostite vo

masovnite pojavi, statistikata ima ogromen broj konkretni i mno-

gu vani zadaqi.

I. Nastanot ima verojatnost p, qija vrednost ne ja znaeme. Se

bara od eksperimentalnite rezultati da se oceni vrednosta p. Vr-

xime red nezavisni eksperimenti, vo sekoj od koi nastanot moe

da nastapi. Kako da ja proverime hipotezata, deka verojatnosta

na nastanot bila podednakva za site opiti.

II. Vrxime dve nizi od nezavisni eksperimenti, pri sekoj od

koi nastanot moe da se pojavi so verojatnosti P1 ili P2. Se

praxuvame kako da ja proverime hipotezata deka ovie verojat-

nosti se ednakvi megu sebe?

III. Vrxime niza opiti. Kako da proverime deka ovie opiti se

nezavisni?

Da gi ilustrirame ovie tri osnovni praxaǌa so eden prost

primer. Neka nastanot se sostoi od ragaǌeto na maxko dete. Nie

ne ja znaeme verojatnosta i sakame da ja ocenime niz nabǉudu-

vaǌa. Dali taa verojatnost e nepromenliva? Dali pak istata

se menuva vo tekot na edno denonokie? Dali ragaǌata na ma-

xki deca od edna majka se nezavisni, ili pak, otkako se rodile

nekolku maxki deca po red, verojatnosta na novo ragaǌe na maxko

dete se zgolemuva? I na krajot, sakame da razjasnime zavisi li

verojatnosta za novo ragaǌe na maxko dete od uslovite vo koi se

naoga majkata. Na primer, zavisi li taa verojatnot od klimata,

ishranata, geografskata xirina, karakterot na profesijata na

majkata i tatkoto, itn. Jasno e deka ovoj primer e ilustrativen

i deka brojot na sliqni ilustracii e ogromen.

Da naglasime deka ovde sekade stanuva zbor ne za opredeluvaǌe

na verojatnosta na A, tuku za nejzinata ocenka. Ova ne e toqen

izraz a e najpravilen izraz, bidejki eksperiment ne moe da dade


apsolutno toqna vrednost na razgleduvanata promenliva.

Uxte poveke, rezultatite na opitot se sluqajni, zatoa i ocen-

kata, koja xto ke ja dobieme so nivnata pomox, e isto taka sluqaj-

na. So pomox na statistikata i nejzinite pravila nie dobivame

priblina vrednost na nepoznatiot parametar vo nekoja obopxte-

na smisla: postojanata promenliva priblino ja opredeluvame

niz sluqajnata promenliva, konstruirana so pomox na dadeno prav-

ilo po rezultatite od eksperimentot.

Po ovaa vana konstatacija, go prodoluvame opisot na os-

novnite zadaqi na Statistikata:

IV. Mnogu e vaen i interesen problemot za brojot na eksperi-

mentite koi treba da se izvrxat, za ocenkata na verojatnosta na

nastanot koj ne interesira da bide dovolno bliska do vistinskata

vrednost. Ova praxaǌe moe da proizleze i pri drugi statis-

tiqki zadaqi. Zadaqite vrzani so ocenka na verojatnosta se vani

i raznoobrazni, no se samo del od praxaǌata koi se postavuvaat

pred matematiqkata statistika.

V. Druga xiroka klasa problemi e povrzana so ocenkata na

nepoznatata funkcija na raspredelba. Ima sluqai koga nie nixto

ne znaeme za funkcijata na raspredelbata koja ne interesira.

Kako taa da ja ocenime? Moe da se sluqi od nekoi priqini

da sostavime hipoteza, deka baranata funkcija na raspredelbata

e toqno Φ(x). Kako da proverime dali ovaa hipoteza e toqna?

VI. Moe da se sluqi da ni e poznat vidot na funkcija na ra-

spredelbata Φ(x; α, β, γ), no ne ni se poznati parametrite α, β, γ od

koi zavisi ovaa funkcija. Ovaa zadaqa se sveduva na sostavuvaǌe

na pravilata za ocenka na nepoznatite parametri od eksperimen-

talnite rezultati.

VII. Qestopati proizleguva i slednata zadaqa: Napraveni se

dve ili nekolku serii nezavisini eksperimenti, qii rezultati se

x1, x2, ...xn i y1, y2, ..., yn. Se praxuvame dali sme razgleduvale

sluqajni golemini so edna ista funkcija na raspredelba. Ova

praxaǌe e od golemo znaqeǌe za mnogute praktiqni zadaqi.

VIII. Vo vrska so proverkata na kvalitetot na izrabotkata na


produktite, ili nivnata upotreblivost i dolgotrajnost, nastanu-

vaat drugi tipovi problemi. Obiqno nie moeme da gi razgledu-

vame samo onie vrednosti na dadenata sluqajna promenliva, koi

se naogaat na nekoj interval od a do b (a < b). Na primer, ako

eksperimentite se vrxat vo tekot na vreme T , moeme da garan-

tirame za dolgotrajnosta samo na onie proizvodi, za koi istata

bila pomala ili ramna na T . Kako da gi ocenime nepoznatite

parametri vo ovie sluqai?

IX. Vana grupa zadaqi e povrzana vo postavuvaǌeto na statis-

tiqki zavisnosti megu nastanite i goleminite. Poznato e deka vo

medicinskata dijagnostika simptomite na zaboluvaǌeto obiqno

ne se apsolutni. So drugi zborovi, moe simptomot karakteri-

stiqen za edna bolest da bide prisuten, a pacientot da bole-

duva od druga bolest, qii simptomi ne se pojavile i koja spo-

red toa ostanala nepoznata. Ili moe da se sluqi bolesta da e

jasna i vidliva, bez da se javile karakteristiqnite za nea simp-

tomi. Moe da stane zbor samo za verojatnosta na simptomot

pri dadeno zaboluvaǌe, ili za verojatnosta na zaboluvaǌeto pri

daden moment. Praktiqno e mnogu vano da moeme da ja oprede-

lime silata na vrska megu simptomot i zaboluvaǌeto.

X. Sliqni se zadaqite od agrokompleksot, vo vrska so zgole-

muvaǌeto na prinosot vo zavisnost od obrabotkata na poqvata,

ili vo vrska so quvaǌe na dobitok. Vo ovie sluqai obiqno ne

moeme da dobieme sosema ednoznaqen odgovor. Se sluquva duri

i pri merki, prezemeni kako polezni, prinosot da se namali ili

da ostane ist, poradi redica drugi okolnosti, koi ne se zemeni

predvid. Pri golem broj opiti sepak moe da se konstatira ten-

dencija kon zgolemuvaǌeto na prinosite.

XI. Edna golema i vana grupa problemi e povrzana so upra-

vuvaǌeto na procesite. Da ja razgledame slednata konkretna

zadaqa. Daden e nekoj opredelen tehnoloxki proces, na primer,

obrabotka na metalite. Strugot e dobro naxteluvan i podgotven

vo poqetokot, no vo tekot na vremeto se rasxteluva, a zaedno so

toa opaga i kvalitetot na rabotata. Rezniot instrument, noot,


se zatapuva, i verojatnosta na xkartot raste. Zadaqata se sos-

toi vo toa da go opredelime onoj moment, vo koj treba da zapre

strugot, da se reprogramira instrumentot i da se smeni noot.

Pri ovaa situacija imame samo eden edinstven naqin da doneseme

rexenie − da izvrxime razgleduvaǌe na kvalitetot na dobienite

produkti. Ako poqneme da go xteluvame i menuvame noot mnogu

qesto, znaqitelno ke go namalime rabotnoto vreme na strugot i

ke go zgolemime brojot na istroxenite alati. Ako pak, poqneme

namerno da docnime so prekin na rabotata na strugot poradi pre-

strojuvaǌe, verojatnosta za proizvodstvo na xkartot ke narasne.

Taka proizleguva mnoestvo praxaǌa za koi vo statistikata

se javuvaat posebni oblasti, koi se posveteni na nivnoto rexa-

vaǌe.

Ovoj oddaleku potpoln i iscrpen opis na zadaqite na statis-

tikata slui samo da ni ja dolovi vanosta i xiroqinata na ovaa

disciplina.

4.3 Statistiqka masa. Egzemplar

Karakteristika na prirodnite pojavi e nivnata masovnost. Vo

sekoja prirodna pojava uqestvuvaat nebroeno mnogu uqesnici, po-

agajki od joni ili molekuli vo hemiskata reakcija, atomi vo

kristalnata rexetka, pa se do ivi suxtestva qlenovi na bi-

oloxki ili socioloxki zaednici.

Statistiqkoto mnoestvo na site elementi (qlenovi, edinki,

posebnosti, objekti) na nekoja masovna pojava se vika statistiqka

masa ili opxto (generalno, osnovno) statistiqko mnoestvo. Za

generalnoto mnoestvo qesto pati se koristi izrazot populacija.

Teoretski, toa e bezbrojno mnoestvo ili pak mnoestvo qija

brojnost se blii kon beskrajnost. Da zamislime, na primer,

deka edna statistiqka masa e mnoestvoto na site iteli na grad

ǋujork, ili edna populacija ribi koja ivee vo razgleduvaniot

zaliv, ili mnoestvo na site bolni od ista dijagnoza, ili site


zrna pqenica so ista teina vo mg od edna prouquvana regija.

Statistiqkata masa znaqi e sostavena od golem broj izoli-

rani elementi. Sepak, postoi nexto xto niv gi obedinuva, edna

zaedniqka osobina, nexto xto gi oddeluva od nekoja druga statis-

tiqka masa. Ovaa osobina se vika obeleje ili karakteristika.

Velime deka elementite se od ist vid.

Vo bioloxkata i medicinskata statistika, statistiqkata masa

e najqesto edno mnoestvo oddelni objekti koi eden od drug se ra-

zlikuvaat kako posebni individui, no vo isto vreme imaat nekoi

bliski suxtinski osobenosti. Na primer, statistiqkata masa se

site deca koi se ragaat vo edna populacija vo tek na mesecot ili

godinata.

Oddelnite elementi, koi vleguvaat vo statistiqkata masa, se

vikaat qlenovi na statistiqkata masa, a brojot na site qlenovi

(ako postoi) e nejzina dimenzija.

Elementite na statistiqkata masa ne se identiqni eden na

drug tuku samo imaat edno (ili poveke) zaedniqki osobini, koi

gi povrzuvaat vo edna celina. Bidejki ako elementite na statis-

tiqkata masa bi bile identiqni, bi bilo dovolno da se razgle-

duva samo eden element kako pretstavnik na celoto generalno mno-

estvo, i nikakva statistika tuka ne bi bila potrebna. Sluqai

koga samo eden pretstavnik e dovolen se izvonredno retki. (na

primer ako sakame da utvrdime estetski kvaliteti na rexeni-

eto na oblikuvaǌeto na monetata od 1 denar, dovolno e da ze-

meme od kup pari samo eden nov primerok moneta). Vo beskraj-

nata masa bioloxki i statistiqki suxtestva megu sekoi dva ele-

menti ima nekoja razlika, pa duri i vo ona osnovnoto obeleje

koe gi obedinuva. Priqinite za pojava na neidentiqnosta na dva

promenelivi elementi od istata statistiqka masa ne se predmet

na statistikata, tie bitno zavisat od prirodata na razgleduva-

nite elementi, i se opredeluvaat so metodite na drugite, sood-

vetni nauki (fizika, hemija, biologija, patologija, itn.) Duri

potoa matematiqkata statistika go prouquva kaj ovie elementi

nivnoto barano kvalitativno ili kvantitativo obeleje (na primer


standardnosta na dimenziite e kvantitativna osobina (obeleje)

na eden proizvod (alat, konfekcija, maxina); a standardnosta na

materijalot (boja, tvrdina, izdrlivost, postojanost) e kvalita-

tivna osobina.

Elementite na statistiqkata masa ne se identiqni vo odnos

na karakteristikata koja se ispituva pri ovie elementi, tuku

taa osobenost se iskauva vo razni varijanti, ili, kako xto se

veli, vo modaliteti. Ako vo dadenoto statistiqko mnoestvo se

prouquva nekoja osobina, koja se menuva pri preminot od eden

qlen na mnoestvoto kon drug, taa promena na ovaa osobina se

vika varijacija, a brojnata vrednost x na dadeniot qlen na stati-

stiqkata masa se vika negovata varijanta x.

Primer 1. Pri novorodenite deca, teinata x e varijanta,

koja se menuva od dete na dete. Taa e tolku vaen indikator,

xto e eden od prvite podatoci koi se zemaat za novorodenqeto.

Pri ova, generalnata statistiqka masa, t.e. brojot na site deca

vo svetot rodeni vo opredelen vremenski period, ne moe da se

utvrdi.

Primer 2. Pri mereǌe na visinata (h = obeleje, karakte-

ristika, koja ne interesira) na mnoestvoto 7 160 vojnici (stati-

stiqka masa), utvrdeni se slednite podatoci:

Vo vtoriot red se dadeni broevi-elementi vo sekoe od pod-

mnoestvata na dadenata statistiqka masa od 7 160 vojnici: sekoe

od ovie podmnoestva odgovara na edna varijanta na visinata h -

karakteristikata koja vo ovaj sluqaj nas ne interesira.

I ovde ne raspolagame so generalnata statistiqka masa - toa

bi bile site vojnici od ovaa armija. Konstatirame deka texko

moe da se operira so generalnata statistiqka masa vo najopxt

sluqaj.

Na takov naqin, ispituvaqot na pojavata, osobeno bioloxkiot

medicinar, skoro nikogax nema da ima monost da raspolaga so

generalnoto mnoestvo, bidejki:


1. Generalnoto mnoestvo e tolku ogromno brojno (ili bezbroj-

no), skoro nikogax da ne moe da bide koncentrirano, dofateno,

podredeno, prebrojano.

2. Objektite na generalnoto mnoestvo qestopati se texko

pristapni.

3. Brojot na monite povtoruvaǌa na poveketo eksperimenti

qestopati ne e ograniqen.

Zatoa obiqno se proquva samo nekoj del od elementite na ge-

neralnoto statistiqko mnoestvo X, t. e. so cel da se najde

zakonot na raspredelbata ili eksperimentalno da se proveri hi-

potezata za toa, dali promenlivata X e podlona na ovoj ili

onoj zakon, i da se najdat brojnite karakteristiki na sluqaj-

nata promenliva. Za taa cel se izbira del Y od opxtata statis-

tiqka masa X, i nad sluqajnata promenliva Y se vrxat posle-

dovatelni nezavisni obidi, po koi istata prima opredeleni vred-

nosti. Mnoestvoto na dobieni vrednosti na sluqajnata promen-

liva Y pretstavuva prvostepen statistiqki materijal koj e pod-

loen na analiza, obrabotka i osmisluvaǌe. Obiqno izbraniot

del e

Y ⊂ X.

Ova podmnoestvo se vika primerok ili egzemplar. Mnoes-

tvoto Y e formirano so metod na sluqajno odbiraǌe, oddeluvajki

od X eden, xto e mono pobroen negov del (za da moat da se za-

pazat i iskaat site bitni osobini na negovata karakteristika).

Brojot na elementite na N na statistiqkata masa X se vika di-

menzija na masata, a brojot na elementite n na primerokot Y ,

podmnoestvoto Y , se vika dimenzija na egzemplarot. Obiqno e

N >> n

Na primer, vo demografijata N se meri so milioni ili de-

setici milioni, a ne od 500 do 10 000.

Na primer pri bioloxki ispituvaǌa na vodite od ezeroto se

zemaat primeroci postaveni na razliqni dlaboqini, i na razni


mesta, i site tie primeroci se statistiqki primeroci na vodata.

Se ispituva bakterioloxkiot ili organskiot ili planktonskiot

sostav na toj primerok, i vrz osnova na toa se nosat zakluqoci za

nadenosta na monoto ribno proizvodstvo.

I taka celata statistiqka minuva vo znakot na soodnosot od

dve mnoestva: generalnata masa X i izbraniot egzemplar Y :

Y ⊂ X. Ova dava ton na celata ovaa nauka.

4.4 Nekoi naqini na formiraǌe na egzemplari

Na koj naqin treba da se odbere podmnoestvoto Y za istoto

da moe da ja pretstavuva celata ogromna statistiqka masa X;

kako ovaa masa X se prouquva samo vrz osnova na osobinite na

odbraniot primerok Y , i kako se procenuva toqnosta na dobi-

enite rezultati - toa se osnovnite praxaǌa so koi se zanimava

matematiqkata statistika. Od ovie tri praxaǌa se razvile site

statistiqki metodi.

Bidejki odbiraǌeto elementi Y na primerokot Y ⊂ X e sluqaen

nastan, sleduva deka zakluqocite dobieni so ispituvaǌe na nekoja

statistiqka masa niz metod na primeroci se samo verojatni. Za-

toa potrebata za se poxirokata primena na statistikata vo razni

oblasti na nauqnata i praktiqnata dejnot mnogu vlijaexe vrz raz-

vivaǌeto na teorijata na verojatnost i na formiraǌe na siot

matematiqki aparat na statistikata.

Oqigledno e deka centralno praxaǌe e uspexeniot izbor na

primerokot, za da moe vrz prouquvaǌeto na primerokot da izvle-

qeme dovolno sigurni zakluqoci za karakteristikite na celata

statistiqka masa, ako site qlenovi imaat ednakva verojatnost da

bidat izbrani. Osven toa, primerokot mora da ima i dovolna

dimenzija, t. e. dovolen broj n na elementi.

Primerokot se formira so izbiraǌe na negovite elementi.

Pri ova ima dve osnovni monosti: generalnata statistiqka masa

da ne se razlouva na delovi, i istata da se ralouva na delovi.


Ako izbiraǌe se vrxi bez masata prethodno da se razdeluva, a

site elementi se biraat od statistiqkata masa na ist naqin do-

bivame prost primerok. Tuka se moni:

a) Prost primerok bez povtoruvaǌe;

b) Prost primerok so povtoruvaǌe.

Ako sekoj izvleqen i razgledan primerok-element se vraka vo

masata X i spored toa moe povtorno da uqestvuva vo formira-

ǌeto na Y primerokot, se vika prost primerok so povtoruvaǌe.

Ako ednax izbraniot y ∈ X ne se vraka povtorno vo X tuku os-

tanuva kako y ∈ Y samo ednax, imame rabota so prost primerok

bez povtoruvaǌe.

Ke razgledame eden od opxto prifatenite naqini na organi-

zacija na formiraǌeto na prost primerok.

1) Za sekoj element x ∈ X na generalnata masa se voveduva kar-

tiqka so opredelen reden broj. Vkupno, ima N kartiqki. Site

kartiqki so sovrxeno ist izgled od nadvorexnata strana, se me-

xaat.

2) Sluqajno se vleqe edna kartiqka, i po reguliraǌeto na

nezjiniot broj taa se vreka vo masata itn. Vleqeǌata se vrxat n

pati. Taka imame primerok Y , edno prodmnoestvo od n elementi.

Ova e primerok so povtoruvaǌe.

3) Ako sekoe od n−te izvleqeni kartiqki se stava na strana,

takov primerok se vika bez povtoruvaǌe.

No, ako brojot N na elementite vo X e mnogu golem, ili beskra-

en, togax ovoj metod ne doaga predvid, bidejki ispixuvaǌeto na

livqiǌata nema nikogax da zavrxi. Zatoa se koristat tabeli na

sluqajni broevi, koi sodrat prirodni broevi podredeni vo nekoj

sluqaen poredok. Ako sakame, na primer, primerok od n = 100

elementi, togax na sreka se otvora ovaa tablica i taka se bira

strana, a od nea po red se prepixuvaat prvite 100 broevi, a potoa

od elementite na X koi se oznaqeni so tie broevi se formira Y ,

ako veke sme oznaqile prethodno dovolen broj qlenovi od X.

No, ne e sekogax neophodno da se primenuva ovaa postapka na

formiraǌe na primerokot. Na primer, ako se ispituvaat mali


predmeti (zrna, tabletki i sl.), dovolno e na sreka da se zemat

50-tina zrna (tableti) za da sudime za karakteristikite na odnos

na celata masa. Vo praktika obiqno se koristi primerok bez

povtoruvaǌe. Pri golemi vrednosti N na generalnata masa i

pri mali vrednosti n na primerokot razlikite vo formulite koi

gi opixuvaat dvata primeroci spored tehnikata na izbiraǌe se

mali.

Ako pred da se vrxi izbor na primerokot, statistiqkata masa

od nekoi priqini se deli na delovi, togax razlikuvame:

a) tipiqen primerok;

b) mehaniqki primerok;

v) seriski primerok.

Primerokot se vika tipiqen, ako negovite elementi se zemeni

od sekoj tipiqen sostaven del na osnovnata statistiqka masa. Na

primer, ako ispituvame pqenica od poveke parceli so razliqen

kvalitet na zemjixteto, togax zamame ist broj zrna od sekoja

parcela. Ili ako treba da ispitame statistiqki dovolno golem

broj artikli proizvedeni na nekolku maxini od ist tip a ra-

zliqen kvalitet, togax izborot na elementite se vrxi taka xto

se zemaat elementi od produkcijata na sekoja maxina oddelno, a

ne od celata statistiqka masa. Produkcija na sekoja maxina e

eden tipiqen del na taa masa.

Ako statistiqkata masa se razdeli mehaniqki na onolku delovi

kolku elementi treba da bidat vo primerokot, i od sekoj del od

masata proizvolno se bira po eden element, togax taka dobien

primerok se vika mehaniqki. Taka, na primer, za da formirame

primerok od 2% elementi na celata produkcija, so oddeluvaǌe na

sekoj pedesetti element se dobiva mehaniqki primerok.

Ako od site delovi na dadenata statistiqka masa se zeme po

edna serija elementi, i od site tie serii se formira egzemplar,

takov egzemplar se vika seriski. Na primer, ako nekoj artikl

se prizveduva vo edna fabrika na poveke maxini od ist tip i

priblien kvalitet, togax site primeroci proizvedeni na site

maxini za opredeleno vreme (prv raboten qas vo ist den) formi-


raat seriski primerok. Seriski primeroci se biraat od statis-

tiqkata masa obiqno ako razlikite vo varijantite na karakteris-

tikite koi se ispituvaat vo razni serii se zanemarlivo mali.

Vo praktikata qestopati primerokot na statistiqkata masa se

formira so kombiniraǌeto na dva ili poveke prethodno opixani

naqini. Na primer, ponekogax statistiqkata masa se razdeluva

na poveke delovi so ista dimenzija, i od tie delovi so prosto

sluqajno odbiraǌe se zemaaat nekolku serii, od ovie serii pro-

izvolno se biraat poedini elementi na egzemplarot.

4.5 Biometrija - statistika na biotehniqkite nauki

Prvata zadaqa na biometrijata e voveduvaǌe na matematiqkite

merni metodi vo biologijata, i matematiqkoto formuliraǌe na

bioloxkite zakonitosti. Toa e mono bidejki pojavite vo bi-

ologijata se masovni. Zatoa, sekade kade xto vo biologijata ima

mereǌe, ima i statistika. Statistikata primeneta vo biologi-

jata opxto, i vo site nejzini granki- biotehniqkite nauki, se vika

biometrija.

Samoto ime biometrija znaqi: mereǌe na ivata materija, i

ima samo tradicionalno-istorisko znaqeǌe. Denes biometrijata

ne e samo mereǌe, tuku e mnogu poveke od toa. Sliqno kako xto i

geometrijata denes ne e mereǌe i premeruvaǌe na zemjata, tuku e

edna nauka so univerzalno znaqeǌe i mnogu primeni vo site nauki,

taka i biometrijata gi nadmina svoite poqetni zadaqi. biometri-

jata ne e samo nauka koja konstatira i registrira i meri nekoi

sostojbi, toa ne e samo statistika vo onaa najstatiqna smisla

samo da sobira podatoci, taa ne e nauka post festum, tuku taa

ima mnogu poxiroko znaqeǌe, vrz osnova na statistiqkite zakoni

da predviduva bioloxki nastani.

Biometrijata ne e samo prosta registratorka na bioloxkite

fakti, isto kako xto biologijata ne znaqi inventarisuvaǌe na

prirodata, tuku e orudie za analiza na ivite pojavi, so cel


istite da sluat na opxtoto dobro na qovextvoto. Biologi-

jata e samo vo svojot pomal del zapisniqka, registratorka i sis-

tematizatorka na iviot svet, a nejziniot pogolem del slui

na posloenata cel - odruvaǌe i podobruvaǌe na site mani-

festacii na ivotot kako najgolema vrednost na Vselenata.

Biologijata zapoqnuva so sistematikite, i toa e prv nejzin

neophoden materijal koj slui kako materijalna osnova za nej-

zinite povisoki delovi: genetikata, evolucijata, biohemijata,

fiziologijata, itn., vrz osnova na koi denes se razvieni mnogute

specijalni disciplini koi neposredno pomagaat vo mnogute podo-

bruvaǌa na ivotot. Da ja spomneme samo selekcijata, genetskiot

inenering, kosmiqkata biologija i medicinata, itn. Paralelno

so toa i potpolno analogno na toa, i biometrijata zapoqnuva

so sobiraǌe na numeriqkiot materijal od bioloxkiot eksperi-

ment, koj slui kako osnova za primenite na nejzinite statistiqki

metodi. A krajna cel na biometrijata e da dade matematiqka prog-

noza za iviot nastan, da modelira, prvo matematiqki, a potoa

neposredno i efektivno, nekoj bioloxki proces, da pomogne vo

sovladuvaǌeto na tajnite na ivotot, da izvrxi nekoe soodvetno

podobruvaǌe na ivotniot proces. Na primer, biometrijata in-

tervenira vo analizata i selekcijata na lekovitite rastenija, po-

toa pomaga vo nivnata prefabrikacija vo lekovi, i na kraj preku

medicinskata statistika pomaga vo konstatiraǌeto na nivnata

efikasnost. Ili, na primer, site podobruvaǌa na kvalitetot na

pqenkata (i drugi prinosi) se vrz osnova na tipiqni biometrisko-

statistiqki metodi. Vo svetlinata na ova, biometrijata ima

osnovna i univerzalna uloga na site bioloxki, biotehniqki i

biomedicinski nauki.


4.6 Biometriski podatoci, osnoven tretman

Biometrijata moe da dojde do izraz samo ako ima brojni poda-

toci od nekoe mereǌe, nekoj eksperiment. Osnova na biometrijata

e nekoja generalna statistiqka masa, od koja se sobira eden pri-

merok.

Primer 1. Neka statistiqka masa bidat site lisja od nekoe

drvo. Za nekoi rastitelno-fizioloxki istrauvaǌa ni trebaat

podatoci za dimenziite na listovite. Izbirame eden statistiqki

primerok od granki na razna visina. Merni objekti se edna serija

razni listovi.

Primer 2. Se prouquva prinosot na perkijata (kostrexot) od

Dojranskoto Ezero. Generalna statistiqka masa se site perkii na

Ezeroto. Lovime so mrea opredelen broj pati, go razdeluvame

ulovot spored vozrasnata struktura. Sluqajno odbrani ribi vaka

formiraat godixen odbran primerok. Se meri nivnata dolina

za da se sporedi ednogodixnoto rasteǌe.

Primer 3. Merime fosilni koski od nekoe paleontoloxko

naogalixte. Poznato e deka od edna koska moe da se izvrxi


rekonstrukcija na celoto ivotno. Najdeni se golem broj koski

(os femur). Nivnata dolina e predmet na biometrisko istrau-

vaǌe. Imame eden sluqaen primerok sostaven od dolini.

Primer 4. Se opredeluva zgolemuvaǌe na masata kaj labora-

toriski ivotni (gluvci). Pred poqetok na eksperimentot iv-

otnite se na ista vozrast od 8 nedeli i se biraat edinki od ra-

zliqni legla. Po administracija na visoko-masna hrana, koja e

so vremetraeǌe od 18 nedeli se zabeleuva porastot na masata na

ivotnite.

m (g) пред

третман

m (g) по

третман

34,404 51,730

29,854 49,673

39,333 60,232

37,518 54,784

34,725 57,901

39,647 63,146

28,985 53,587

33,812 49,116

Zaokruuvaǌe na dve decimali:


m (g) пред

третман

m (g) по

третман

34,40 51,73

29,85 49,67

39,33 60,23

37,52 54,78

34,73 57,90

39,65 63,15

28,99 53,59

33,81 49,12

Opredeluvaǌe na brojnosta i dimenzijata na eksperimentot:

xmin = 49, 12g

xmax = 63, 15g

Se presmetuva varijabilata:

∆x = xmax − xmin = 63, 15 − 49, 12 = 14, 03

Podreduvaǌe po golemina:

m (g) пред

третман

m (g) по

третман

28,99 49,12

29,85 49,67

33,81 51,73

34,4 53,59

34,73 54,78

37,52 57,9

39,33 60,23

39,65 63,15

Opredeluvaǌe na klasi:

Класа 49-53 54-58 59-63

Бројност 3 3 2

Ako N e brojot na ivotni, a n e brojot na klasi imame xi-

roqina na sekoja klasa xk da e:

qekor= ∆xk = xmin−xmax

n= ∆x

n.


Primer 5. Se opredeluva namaluvaǌe na apsorbancata po

serisko razreduvaǌe na standard na vitamin C (askorbinska kise-

lina). Vo tabelata se dadeni vrednostite za koncetracijata i

apsorbancata za razliqnite razreduvaǌa.

AA (200 µg/mL) Abs

200,00 1,0699

183,33 0,9318

166,67 0,8363

150,00 0,7285

133,33 0,6205

116,69 0,5296

100,00 0,4183

83,33 0,2858

66,67 0,1908

50,00 0,1200

33,33 0,0571

Se presmetuva sredna vrednost za apsorbancite i koncentraci-

ite, se zaokruuvaat rezultatite soodvetno i se izgotvuva grafik

za da se pokae linearnata zavisnost na koncentracijata vs. ap-

sorbancata.

Kakvo i da e mereǌeto, direktno ili indirektno, negoviot

rezultat e edna prosta statistiqka niza, dadena vo vid na niza od

realni broevi, koja matematiqki go opixuva statistiqkiot pri-

merok:

x1, x2, x3, . . . , xn.

Po zavrxuvaǌeto na laboratoriskata rabota, potrebno e da

izvrxime nekolku prethodni operacii so dobieniot numeriqki

materijal.

I-va operacija. Zaokruuvaǌe na decimalite.

Vo zavisnost od mernata tehnika i od stepenot na neposred-

nosta na mereǌeto, dobienite rezultati ne se site so ista toqnost


i so ist broj decimali. Potrebno e numeriqkiot materijal da se

unificira.

Na primer, dobieni se slednite vrednosti:

5, 29986; 5, 1241; 5, 12; 5, 3894; ...

Niv gi zaokruuvame na dve decimali, bidejki se tolkavi po-

trebite na toqnosta na eksperimentot, po princip na naizmeniqno

ponixtuvaǌe na grexkata, t. e. ednax zemame pogolema prib-

lina vrednost, a vednax potoa pomala priblina vrednost.

Zaokruuvame:

5, 30+; 5, 12−; 5, 12; 5, 39+, ..........

Za zaokruuvaǌeto se koristi najbliskata pogolema ili po-

mala vrednost, vovedeni kako aproksimacii po nedostig ili po

dodatok ([2]). Dobivame taka mnoestvo od podatoci ili niza

eksperimentalni podatoci ili set

x1, x2, x3, . . . , xN ,

kade xto rezultatite se zapixuvaat po onoj redosled po koj se

mereni. Ili simboliqki

xN.

II-ra operacija. Opredeluvaǌe na brojnosta i dimenzijata

na eksperimentot.

Megu elementite xk ima eden najgolem

xmax

i eden najmal

xmin.

Razlikata


xmax − xmin = ∆x

se vika interval na promena na podatocite (varijabilata) ili

dimenzija.

Brojot na site podatoci N se vika brojnost, ili brojnost na

nizata, ili brojnost na primerokot.

III-ta operacija. Podreduvaǌe po golemina.

Mnogu qesto e potrebno rezultatite na mereǌeto da bidat po-

dredeni po golemina, zaradi podelba na podmnoestva - klasi,

podgrupi so sliqni osobini, biometriski presmetki i tabeli.

Rezultatite dobieni vo eksperimentalnata niza

x1, x2, x3, . . . , xn

se podreduvaat po golemina, taka xto xmin e prv, a xmax e posle-

den. Vaka podredeni po golemina rezultatite sega moeme da gi

prenumerirame (preoznaqime) po rasteqki redosled na indeksite,

t.e.

y1 = xmin, y2, y3, y4, ..., yN = xmax.

Ovaa operacija se vika prenumeracija, ili preindeksacija.

Prednosta i e vo toa xto pomali po golemina elementi imaat

pomal indeks, a pogolemite - povisoko mesto vo ova brojna hie-

rarhija.

IV-ta operacija. Opredeluvaǌe na klasi.

Pri nizata podredena po golemina, mnogu qesto moat so obiq-

no razgleduvaǌe da se vooqat nekoi grupiraǌa na goleminite

h, i toa mnogu qesto vo pravilni ednakvi intervali. Taka se

zabeleuva deka rezultatite

xmin, y2, y3, ..., yk

se bliski megu sebe i se naogaat vo intervalot [y1, yk] koj e nekoj

del od [xmin, xmax].


yk+1, yk+2, ..., yl se bliski megu sebe i se vo intervalot [yk+1, yl] so

ista dolina kako i prviot, itn. Taka ja dobivame situacijata

kako na slikata podolu

Prvoto podmnoestvo [y1, yk] se vika I klasa, vtoroto [yk+1, yl]

vtora klasa, itn., pa celiot primerok e podelen na klasi. Poelno

e klasite da bidat site so ista dolina (i so razliqna brojnost).

Ako e N brojnosta na populacijata, a n e brojot na klasite,

togax xiroqinata (dimenzijata) na sekoja klasa xk e

qekor = ∆xk = xmax−xmin

n= ∆x

n

a nejzinata brojna vrednost iznesuva nk, pri xto vai

N =n∑

k=1

nk,

kade nk e brojot na elementi od primerokot koi se naogaat vo

k−tata klasa.

Primer. Vrxeni se mereǌa na visinata na 150 studenti.

Rezultatite se zapixani vo tabelata, onaka kako se dobieni. Da

se podredat po golemina, da se opredeli xmin, xmax, N, ∆x. Da se

predloi edna podelba na klasi so qekor ∆x1 = 2, ili 3, ili 5.

Da se opredeli koj broj na klasi n e najdobar, da se opredeli

brojnosta na sekoja klasa. Koja klasa ke bide najbrojna?

168 169 156 171 175 159 167 170 156 157 168 164 164 172 171 174

176 173 171 163 169 155 174 176 160 172 172 163 187 172 161 176

164 166 168 162 172 175 156 165 164 167 177 183 163 172 173 181

163 166 171 163 166 178 169 167 172 171 175 171 179 186 165 164

163 173 173 177 156 173 160 176 171 169 163 163 163 163 169 164

164 170 176 163 179 176 169 159 163 179 178 183 169 169 166 167

173 170 170 169 164 177 173 166 162 190 160 165 156 157 174 168

176 173 168 164 164 172 170 164 173 165 173 184 163 179 161 162


158 171 177 166 171 175 174 170 174 169 161 170 174 164 170 182

174 167 173 171 164 178

4.7 Frekvencija. Statistiqka raspredelba

na frekvenciite

Vo posledniot primer zabeleuvame deka mnogu od merenite

visini se povtoruvaat. Taka visinata od 166 sm se javuva 5 pati,

a uxte poveke se povtoruvaat visinite od 170, 172, 174 sm itn.

Vsuxnost, strogo gledano, niedna od visinite ne se povtoruva,

bidejki visinite se zaokruuvani i taka se napraveni isti. Na

primer, visinata od 166 sm znaqi vo nea da se staveni site visini

od 165, 5 sm do 166, 5 sm. Obiqno tehnikata na mereǌeto ne pri-

nuduva na vakvi kompromisi i zaokruuvaǌa.

Taka, vo opxt sluqaj imame situacija:

Vrednosta x1 se javuva f1 pati

Vrednosta x2 se javuva f2 pati...

Vrednosta xn se javuva fn pati.

Broevite fk se vikaat frekvencii (zaqestenosti) na soodvet-

nite karakteristiki xk ili uxte apsolutni frekvencii (za raz-

lika od relativnite frekvencii), i igraat vana uloga vo biome-

trijata, odnosno vo celata Statistika. Tabelata

dava statistiqka raspredelba na karakteristikata Q.

Megu ovie broevi fk ima eden najgolem broj, max fk = F , pri

xto F e frekvencija na nekoj xk, t.e. xk se javuva


F = najgolem broj pati= max fk,

a pritoa, ima i eden najmal f = min fk.

Ako e N brojnosta na site xk, togax e oqigledno deka vai

N = f1 + f2 + ... + fn =n∑

i=1

fi

t. e. brojnosta e zbir od frekvenciite.

Zboruvajki vo glavata Verojatnost za statistiqkata verojat-

nost (a posteriori), nie naglasivme deka verojatnosta na sretnu-

vaǌeto so nekoja karakteristika xi e dotolku pogolema, dokolku e

pogolema brojnosta na celata populacija.

Statistiqka verojatnost karakteristikata xi da se javi vo edno

mnoestvo od N elementi iznesuva

P (xi) =fi

N

ili

P (xi) =fi

f1 + f2 +... + fn

.

Vo opxt sluqaj, ako brojot na eksperimentite e dovolno golem,

so drugi zborovi ako dimenziite na egzempilarot se dovolno go-

lemi, togax, kako xto porano e pokaano, relativnata frekven-

cija na nekoja varijanta xk na sluqajnata promenliva X malku se

razlikuva od verojatnosta xk da se javi nk pati vo N eksperimenti;

taka xto relativnata frekvencija moe da se zeme kako priblina

vrednost na verojatnosta. So toa se opravduva imeto statistiqka

ili empirska verojatnost za relativnata frekvencija.

Znaqi terminite verojatnost (a posteriori), statistiqka vero-

jatnost, i relativna frekvencija se identiqni. Taka, sekoja od

karakteristikite

x1, x2, x3, ..., xn

se javuva so svojata relativna frekvencija


f1

N,

f2

N,

f3

N, . . . ,

fn

N

koja se izednaquva so verojatnosta na nejzinata pojava vo ekspe-

rimentot

P (x1) , P (x2) , P (x3) , . . . , P (xn) .

Togax najgolemata verojatnost iznesuva

Pmax =F

N< 1

i najmalata verojatnost iznesuva

Pmin =f

N≥ 0.

Ako karakteristikata xn se javuva samo ednax, togax nejzinata

verojatnost iznesuva

Pn =1

N.

Od strukturata na formulata za P (xk) gledame deka site re-

lativni frekvencii se takvi xto

0 ≤ P (xk) < 1.

So vovedeniot termin na statistiqkata verojatnost moeme

sega da formirame so pomox na istite podatoci uxte edna tabela

koja se vika statistiqka raspredelba na verojatnostite.

Primer 1. Od nekoja statistiqka masa so obeleje X e zemen

eden egzemplar od N = 21 elementi, pri xto brojot fi na javuva-

ǌata na sekoj element xk e daden vo tabelata


Gi naogame relativnite frekvencii po formulata, t.e.

N =∑

fi = 21

P1 = 121

, P2 = 221

, P3 = 521

, P4 = 421

, P5 = 621

, P6 = 321

i taka ja konstruirame i vtorata tabela

Primer 2. Prouquvajki ja brzinata na molekulite vo 1cm3

od nekoj gas, fiziqarot Maksvel ja otkril statistiqkata raspre-

delba na brzinite na ovie molekuli, t. e. statistiqkata raspre-

delba na eden egzemplar zemen od masata molekuli sodrani vo

1cm3:

Bidejki vo ovoj sluqaj stanuva zbor za golem broj molekuli, to-

gax vrz osnova na zakonot na golemite broevi relativnata frekven-

cija na brzinite xk moe da se zeme kako verojatnost vo N real-

izacii na eksperimentot brzinata na molekulot da ima nk pati

vrednost xk.


4.8 Grafici na raspredelba

4.8.1 Empiriska funkcija na raspredelba

Konstatirame deka sekoja vrednost xk na karakteristikata e

pridruena so svojata apsolutna frekvencija fk. Taka imame n

dvojki podredeni vrednosti:

(x1, f1), (x2, f2), ... , (xn, fn) .

Ako ovie dvojki gi pretstavime kako toqki vo Dekartov pravoa-

golen koordinaten sistem, dobivame edna koneqna niza od n od-

delni (diskretni) toqki, koja formira eden vid grafik na ovaa

statistiqka pojava. Ovoj grafik se vika punktuelen grafik (ili

grafik toqka po toqka) na raspredelbata na frekvenciite.

Obiqno ovie toqki se povrzuvaat so otseqkite Mk−1 Mk i taka

ja dobivame poligonalnata linija

M1 M2 M3 ... Mn−1 Mn,

koja se vika poligonalen grafik na raspredelbata na frekvenci-

ite.

Ako pak na sekoja vrednost na karakteristikata xk i ja pridru-

ime nejzinata relativna frekvencija P (xk), t. e. ako sekoja

frekvencija f ja podelime so N , dobivame serija od novi toqki(

x1,f1

N

)

,(

x2,f2

N

)

,(

x3,f3

N

)

, ...,(

xn,fn

N

)


koi formiraat nov grafik, sliqen na prviot.

Ovoj grafik se vika punktuelen grafik na statistiqkata raspre-

delba na frekvenciite. Toqkite so koordinati

Mk (xk, Pk) = Mk

(

xk,fk

N

)

se povrzuvaat so otseqki M∗kM∗

k+1, i taka se dobiva analogna polig-

onalna linija

M∗1 M∗

2 M∗3 , ..., M∗

n−1M∗n

koja se vika poligonalen grafik (ili kratko poligon) na statis-

tiqkata raspredelba na frekvenciite. Povrzuvaǌeto na ovie to-

qki se vrxi spored poznatata vo matematikata konvencija, vred-

nosta na neprekinatata funkcija megu dve bliski vrednosti, da ne

se oddalequva mnogu od pravata koja gi povrzuva bliskite vred-

nosti (linearna interpolacija).

Pri poligonalen grafik vana uloga igra i ploxtinata P (x)

na poligonot od poqetnata vrednost na karakteristikata do nekoja

vrednost x. Taa ploxtina moe da se presmeta so elementarni

geometriski metodi i formuli za povrxina na trapez.


So pomox na statistiqkata raspredelba na karakteristikata

X moeme da konstruirame takanareqena empiriska (ili stati-

stiqka) funkcija na raspredelba, koja na sekoja vrednost xk na

promenlivata X i korespondira soodvetna empiriski utvrdena

vrednost Pk na relativnata frekvencija. Neka dimenzijata na

egzemplarot bide N .

Ako vo nekoi N eksperimenti

vrednosta na promenlivata X pomala od x1 se javuva n1 pati

vrednosta na promenlivata X pomala od x2 se javuva n2 pati

i opxto

vrednosta na promenlivata X pomala od xs se javuva ns pati

togax relativnata frekvencija F ∗(x) na nastapuvaǌeto na onaa

vrednost na promenlivata X koja e pomala od x glasi

F ∗(x) =ns

N

i ovaa funkcija e empiriska funkcija na raspredelbata.

Primer. Neka statistiqkata raspredelba na nekoja promen-

liva X e dadena so slednava tabela

Dimenzijata na egzemplarot iznesuva N = 12 + 16 + 32 = 60 i

xmin = 1, xmax = 9. Bidejki nema nitu edno x pomalo od 1, vai

F ∗(1) = 0.

Vrednosta X < 5 se javuva 12 pati, pa

F ∗(5) =12

60= 0, 2.

Vrednosta X < 9 se javuva 12 + 16 = 28 pati, pa

F ∗(9) =28

60≈ 0, 47.


Vrednosta X < 10 se javuva 12 + 16 + 32 = 60 pati, pa

F ∗(10) =60

60= 1.

So drugi zborovi, definirame edna prekinata funkcija so ana-

litiqki izraz

F ∗(x) =

0, x < 1

0, 2, 1 ≤ x < 5

0, 47, 5 ≤ x < 9

1, 9 ≤ x

Grafikot na ovaa funkcija e daden na sledniov crte.

Konstatirame deka grafikot na funkcijata F ∗(x) e prekinata

stepenesta linija so koneqni skokovi vo sekoja toqka xk, kade

funkcijata skoka za Pk = nk

N. Ako toqkite od grafikot so apscisi

xk gi spoime so poligonalna linija dobivame priblien grafik

na empiriskata funkcija na raspredelbata.

Podocna ke dokaeme deka postoi toqen analitiqki izraz za

sekoja empiriska funkcija na opredeleni najvani raspredelbi i

posebno za takanareqenata Gausova kriva. I ovde od golem in-

teres e povrxinata zagradena so krivata i delot od x-oskata do

nekoja vrednost na karakteristikata x, t.e. integralot od funkci-

jata f(x).


4.9 Statistiqki nizi. Histogram

Ako brojot na eksperimentite e mnogu golem, na primer poveke

stotici eksperimenti, i ako nema mnogu bukvalni povtoruvaǌa,

t.e. nema mnogu identiqnosti vo mereǌeto xj = xk, j 6= k, tuku

ima samo bliski rezultati xj ≈ xk ≈ xm, xto e obiqno sluqaj,

togax formiraǌeto na site dvojki vrednosti (xj, fj) ne samo xto

e dolgotrajno, nepraktiqno i odzema poveke vreme otkolku site

podgotovki i mereǌa, tuku i ne pridonesuva mnogu kon kvalitetot

na statistiqkata obrabotka na problemot, bidejki od ovaa tabela

ne moeme neposredno da zabeleime kako se menuvaat varijantite

xj na ovaa karakteristika X i nivnite relativni frekvencii.

Za dobivaǌe podobra preglednost i za poefikasna obrabotka,

vo takvite sluqai celiot interval [xmin, xmax] vo koj se naogaat

vrednostite x1, x2, . . . , xN na sluqajnata promenliva X se deli na

klasi (podintervali) taka xto sekoja klasa da sodri dovolno

bliski vrednosti xk.

Neka prvata klasa sodri f1 razliqni no bliski vrednosti

xk. Od niv ke izbereme eden konkreten element x1 (na primer so

metod na sredina) i so nego ke gi zamenime site bliski xk. Taka

imame situacija x1 da e pretstavnik na cela klasa. Togax imame

eden element x1 so edna frekvencija f1 (t.e. frekvencija na celata

klasa). Ako ova go napravime vo site n sogledani klasi, imame n

intervali

I II III ... n

[xmin, xk] , [xk, xl] , [xl, xm] , ... [xp, xn]


so po eden pretstavnik

x1, x2, x3, ... xn

i so po edna frekvencija

f1, f2, f3, ... fn

(ovde imame graniqni elementi xk, xj, ... megu dvete klasi, i za da

bide toqno opredeleno vo koja od klasite pripagaat, go postavu-

vame sledniov dogovor: za sosednite elementi xk−1, xk, xk+1, ako

rastojanieto xk − xk−1 e pomalo od rastojanieto xk+1 − xk, xk go

stavame vo klasata I, a vo sprotivno vo klasata II).

Ovie frekvencii fi se apsolutni frekvencii na sekoja od kla-

site. Ako gi presmetame relativnite frekvencii

Pk = P (xk) =fk

N

za niv vai, kako xto veke rekovme, deka pri golem broj eksperi-

menti tie se izednaquvaat so verojatnostite na pojavata na ele-

mentot xk so dadenata frekvencija fi. Bidejki

f1 + f2 + · · · + fn = N

toa e zbirot na site verojatnosti po intervalite

P1 + P2 + ... + Pn =f1 + f1 + ... + fn

N= 1.

Ako ∆xim e dolina na i−tiot interval [xi, xm], t.e.

∆xim = xm − xi = ∆xi

togax odnosot

δim = δi =Pi

∆xi=

fi

N · ∆xi,

kojxto e relativna frekvencija presmetana na edinica dolina,


se vika gustina na relativnata frekvencija fi.

Ako formirame tabela so site klasi na dadeniot osnoven in-

terval [xmin, xmax], nivnite pretstavnici i nivnite frekvencii,

imame

Ovaa tabela se vika statistiqka niza (ili serija).

Gustinata na relativnata frekvencija geometriski se pretsta-

vuva so figura koja se vika histogram na relativnata frekven-

cija. Toj se sostoi od niza pravoagolnici so osnova ednakva na

xirinata ∆xi na klasata [xi, xm] i visina ednakva na gustinata δi

na relativnata frekvencija Pi.

Ploxtinata na sekoj od pravoagolnicite xto go sostavuvaat

histogramot iznesuva

pi = δi∆xi =Pi

∆xi

∆xi = Pi, i = 1, 2, ..., n

a ploxtinata na celiot histogram iznesuva

P =

n∑

i=1

pi = P1 + P2 + ... + Pn = 1


t.e. ploxtinata na histogramot na gustinata na relativnata frek-

vencija e ednakva na eden.

Ako dolinite na site podintervali se ednakvi megu sebe, t.e.

ako

∆xim = ∆xi = l =xmax − xmin

n

togax visinite δi na pravoagolnicite se proporcionalni so sood-

vetnite relativni frekvancii

δi =Pi

∆xi

=n

N (xmax − xmin)fi.

Poradi ova mnogu praktiqno svojstvo, duri i bez ogled na

bliskosta na soodvetnite xk intervalot [xmin, xmax] qesto go delime

na ednakvi podintervali. Qestopati se zemaat ovie intervali da

imaat xiroqina 1, t. e qekorot e ∆xi = 1. Visinite se togax

proporcionalni so relativnite frekvencii. I vo ovoj sluqaj do-

bivame figura koja e geometriska slika na statistiqka niza, i

koja se vika histogram.

Ako brojot na eksperimentite e mnogu golem, se zemaat potesni

klasi. Zatoa stepenesta figura na histogramot se poveke i poveke

se dobliuva kon nekoja kriva L, koja zaedno so poqetnata i kraj-

nata ordinata i del od x-oskata megu krajnite toqki formira

edna povrxina, koja za histogramot na gustinata na relativnata

frekvencija ima vrednost 1.


4.10 Sredini

4.10.1 Potreba za voveduvaǌe sredini

Vo biotehniqkite nauki ima dva osnovni metodoloxki prob-

lemi. Toa se problemot na identifikacija i problemot na mere-

ǌeto. Za nivnoto rexavaǌe postojat dva naqini: razgleduvaǌe i

eksperiment. Dodeka razgleduvaǌeto e osnoven biotehniqki metod

vo site granki na bioloxkite i prirodnite nauki, bioloxkiot

eksperiment e pospecifiqen. Sekoj biotehniqki eksperiment e

pred se metriqki, t. e. najqesti biotehniqki eksperimenti se

onie vo koi nexto se meri, se opredeluva kvantitivno.

Pritoa goleminite koi se merat se najqesto sluqajni t. e.

tie se posledica na dejstvuvaǌe na golem broj raznorodni vli-

janija. Zatoa mereǌata na ista golemina, vo ista merna toqka,

no vo razliqno vreme, vo sekoj povtoruvan obid davaat razliqni

rezultati.

Primer 1. Telesnata temperatura e varijabilna na edno isto

mesto na teloto i zavisi od bioloxkiot vid, metabolizmot, tele-

snoto napregaǌe, emocionalnata sostojba, nadvorexnata tempe-

ratura, itn. Ako se meri temperaturata vo delot od teloto na

nekoe eksperimentalno ivotno, kade taa e najstabilna, sepak vo

tekot na denot i taa pokauva nekoi oscilacii. Razni mereǌa

pokauvaat razni vrednosti. Eve nekolku mereǌa vo interval od

1 qas

36, 7C ; 36, 9C ; 36, 0C ; 35, 9C ; 36, 4C ; 36, 6C ; 36, 4C ; 36, 8C

Se praxuvame koja temperatura e karakteristiqna za toa i-

votno na toa mesto niz celiot den? Toa e srednata temperatura.

Toa e zbirot na site temperaturi podelen so brojot na mereǌata

t = t =t1 + t2 + t3 + t4 + t5 + t6 + t7 + t8

8=

8∑

i=1

ti

8=

291, 70

8= 36, 48C.


Primer 2. Za identifikacija na ivotno se koristat karak-

teristiqni koski za procenka na goleminata i teinata na ivot-

nite. Obiqno goleminata se opredeluva spored najgolemite koski.

Taka, vo edna grupa fosili najdeni se izvesen broj butni koski-

femori, od edna grupa ivotni od ist vid. Tie imaat razliqna

dolina-rezultat na vozrasta na edinkite, nivnata uhranetost,

polot. Nie obiqno formirame pretstava za edna sredna edinka, so

metod na rekonstrukcija. So mereǌe gi naogame slednite dolini

na femorite:

l1 = 58cm, l2 = 62cm, l3 = 73cm, l4 = 81cm, l5 = 59cm, l6 = 67cm.

Taka sredniot femor ima dolina

l = l = l1+l2+l3+l4+l5+l66

=

6P

i=1li

6= 400

6= 66, 6cm

i od ovaa sredna vrednost zakluquvame za goleminata i teinata

na proseqnata edinka od ovoj izoliran vid.

Vo rabotata i praktikata retki se goleminite koi se neizmen-

livi. Postojat i nepromenlivi golemini koi se obiqno od mrtva

priroda. A dodeka imame rabota so iva materija, xto e osnovno

vo biotehniqkite nauki, morame da smetame so postojana izmen-

livost, bidejki dinamikata na ivotnite procesi nosi postojani

promeni, niz koi vsuxnost se odviva ivotot. Bidejki karakte-

ristikata H vo biotehniqkite nauki e promenliva, ne e mono so

edno mereǌe da se konstatira nejziniot kvalitet, bidejki veke vo

sledniot moment taa ista golemina pri novo mereǌe ke dade druga

vrednost, poradi mnogute sluqajni vlijanija. Zatoa se neophodni

poveke mereǌa (vo tekot na denot, godinata, ako fluktuira, itn.).

Taka obiqno se sobiraat masa podatoci za edna ista sluqajna

promenliva. Bidejki operiraǌeto so masa podatoci e texko, neko-

gax neopredeleno, se postavuva praxaǌeto za proseqna vrednost.

Za sluqajnite promenlivi se bara pretstavnik (reprezent), t. e.

element koj najdobro ke ja pretstavuva promenlivata veliqina, i

za koja ke bideme sigurni deka nema mnogu da otstapuva od sluqaj-

nata vrednost na vrednosta x vo toj moment.


Taka se doaga do potrebata za sredina, sredna vrednost, prosek.

4.10.2 Aritmetiqka sredina. Prosek

Primer. Vo mnoestvoto edinki izbroeni se starosti na 5

edinki:18, 19, 21, 23, 20 godini. Proseqnata starost e

18 + 19 + 21 + 23 + 20

5=

101

5= 20, 2.

Ova se vika aritmetiqka sredina.

Ovoj poim e moen i pri najmal broj mereǌa. Ako imame dve

mereǌa na promenlivata x, qii mereni vrednosti se najdeni i se

x1 i x2, srednata vrednost e

Geometriski xs e srednata toqka na otseqkata qii krajni toqki

se x1 i x2.

Ako imame tri mereǌa: x1, x2, x3, togax srednata vrednost na

mereǌeto se opredeluva kako

Definicija. Ako imame razni vrednosti na nekoja karakte-

ristika X

x1, x2, x3, x4, ..., xn

nivna sredna vrednost e brojot

x = xs =x1 + x2 + x3 + .... + xn

n

ili


x = xs =

n∑

i=1

xi

n=

∑xi

n.

Aritmetiqkata sredina e eden mnogu vaen poim bidejki celo

edno mnoestvo karakteristiki xi na cela sluqajna promenliva

H se zamenuva so eden pretstavnik x. Na slikata

mnoestvata

x1, x2, x1, x2, x3, ...., x1, x2, x3, ..., xN

se zameneti so eden broj xi. Vo prviot sluqaj toa e toqno sredix-

nata toqka na otseqkata x1x2. Vo vtoriot toa e toqka megu krajnite

toqki x1, x3, no so otklon i streme kon pogolemite x2, x3. Vo op-

xt sluqaj x se naoga vnatre vo masata na broevite xk, no e retko

vo samata sredina na otseqkata, tuku e povleqena kon pogolemite

vrednosti.

4.10.3 Momenti. Masa na eksperimentot.

Opxta formula za aritmetqkata sredina

Mnoestvoto mereni vrednosti xk, e retko, sluqajno i nepra-

vilno vo biotehniqkite nauki. Obiqno pri mereǌata se sluquva

edno prirodno grupiraǌe na rezultatite. Retko rezultatite se

striktno oddeleni, t.e. obiqno se grupirani vo klasi so mnogu

bliski vrednosti.

Primer 1. Sobrani se izvesen broj edinki-crvi, so cel da se

meri nivnata teina. Najdeno e deka

7 edinki imaat teina od 5 grama





6 edinki imaat teina od 1 gram

Se postavuva praxaǌeto, kolkava e togax nivnata proseqna

teina? Vkupno edinki ima 7+16+13+5+6 = 47. Tie formiraat 5

grupacii po teini i sekoja grupacija na svoj naqin pridonesuva

kon opxtata teina:

I grupacija ; 7 · 5 = 35 grama

II grupacija ; 16 · 4 = 64 gramovi

III grupacija ; 13 · 3 = 39 grama

IV grupacija ; 5 · 2 = 10 grama

V grupacija ; 6 · 1 = 6 grama

Najmalku pridonesuva vo opxtata teina poslednata, pettata

grupacija samo so 6 grama, a najmnogu vtorata grupacija, so 64

grama. Onoj pridones zavisi kako od vrednosta (goleminata) na

karakteristikata xl, taka i od soodvetnata frekvencija fl, znaqi

zavisi od nezavisni golemini.

Definicija. Proizvod od karakteristikata xl i soodvetnata

frekvencija fl se vika moment, i se belei so

ml = xl · fl

Ako x1 se javuva f1 pati, momentot iznesuva m1 = x1f1

Ako x2 se javuva f2 pati, momentot iznesuva m2 = x2f2

.

.

.

Ako xk se javuva fk pati, momentot iznesuva mk = xkfk.

Definicija. Zbirot od momentite

m1 + m2 + m3 + . . . + mk =

=k∑

1

mk = f1x1 + f2x2 + f3x3 + . . . + fkxk = G


se vika vkupna masa na eksperimentot, i toj go pokauva kvan-

titativniot obem na eksperimentot.

Ako se xl teini, G e vkupna teina, ako se xl troxoci, G e

vkupniot troxok. Se razbira deka G e mnogu vaen poim. Toa e

vkupnata masa od ona xto rabotime. Momentot ml = xlfl e del od

G i pokauva kolku sekoj del karakteristikata xl uqestvuva vo

vkupnata masa. Brojot

N = f1 + f2 + . . . + fk =k∑

t=1

ft

se vika masa na edinkite, i ja pokauva brojnosta na mnoestvoto

edinki, bez ogled na nivnite karakteristiki. Taka imame dve

masi vo sekoj eksperiment: G i N .

Vo gorniot primer e G = 154g i toa e vkupnata teina na site

crvi. Nivniot broj e N = 47. Ako sakame da ja dobieme proseqnata

teina na crv, togax

xsr = x =7 · 5 + 16 · 4 + 13 · 3 + 5 · 2 + 6 · 1

47=

154

47= 3, 28g

t. e. sporeduvame dve masi: G so N . Masa vo grama, so masa

edinki

x =G

N.

Ovde oqigledno imame rabota so vidoizmeneta aritmetiqka

sredina, vo sporedba so taa od toqkata 4.10.2. Ovde imame grupi-

raǌe na rezultati so ista vrednost koi se povtoruvaat izvesen

broj pati, t. e. grupiraǌe po klasi. Taka aritmetiqkata sre-

dina e sredina od momenti. Vsuxnost, toa moe da se izvede i od

osnovnata definicija na sredinata

x =

n∑

i=1

xi

n


pa ako se oddelat povtoruvaǌata po frekvenciite

x =

f1︷︸︸︷

x1 + x1 + . . . + x1 +

f2︷︸︸︷

x2 + x2 + . . . x2 + . . . +

fk︷︸︸︷

xk + . . . + xk

f1 + f2 + . . . + fk

pa dobivame

x =x1f1 + x2f2 + ... + xkfk

f1 + f2 + ... + fk=

G

N.

Definicija. Aritmetiqka sredina na karaketiristikite xi

koi se javuvaat so poedineqni frekvencii fi se opredeluva kako

odnos megu vkupnata masa na eksperimentot so masata na brojnosta

x = xsr =G

H=

k∑

i=1

fixi

k∑

i=1

fi

=

k∑

i=1

fixi

N

Poradi ova masena (teinska) karakteristika na sredinata,

istata se vika mnogu qesto teixte. Imeto oqigledno doaga od

fizikata i geometrijata.

Primer 2. Ako imame dve masi m1 i m2 na rastojanie x1 i x2

od nekoja toqka O na istata prava, tie moat da bidat zameneti

so edna masa m1 + m2 no na rastojanie od O

x =m1x1 + m2x2

m1 + m2

Toqkata x se naoga megu dvete masi, i pretstavuva napadna

toqka na rezultantata na silata na zemjinata tea (teixte na

dve masi, ili teixte na praqka). Pri toa x e poblisku kon

pogolemata masa.

Primer 3. Geometriskoto teixte T na triagolnikot vo ra-


mnina, ako negovite temiǌa se dadeni so svoite kordinati: (x1, y1),

(x2, y2), (x3, y3) se presmetuva, kako xto e poznato, so pomox na

teoremata za teixnite linii, koi teixteto T gi deli vo odnos

2:1, so formulata

xT =2 · x1+x2

2+ 1 · x3

2 + 1=

x1 + x2 + x3

3= x

yT =2 · y1+y2

2+ 1 · y3

2 + 1=

y1 + y2 + y3

3= y

I spored ova koordinatite na teixteto se aritmetiqki sre-

dini od koordinatite na temiǌata.

Primer 4. Fiziqkoto teixte na tri masi vo prostorot se

definira kako

xT =m1x1 + m2x2 + m3x3

m1 + m2 + m3

yT =m1y1 + m2y2 + m3y3

m1 + m2 + m3

zT =m1z1 + m2z2 + m3z3

m1 + m2 + m3


t. e. so aritmetiqkite sredini kade geometriski elementi-koordi-

nati xk, yk, zk se karekteristiki, a nivnite masi ml igraat uloga

na frekvencii.

4.10.4 Dobri i loxi strani na aritmetiqkata sredina

Aritmetiqkata sredina e najqesto upotrebuvaniot pretstavnik

vo biometrijata. Nejzinata dobra strana e xto zamenuva celo

edno mnoestvo, i toa go pravi uspexno, ako rezultatite se ras-

poredeni homogeno po intervalot na mereǌeto, ili ako postoi

takanareqenata normalna raspredelba. No, aritmetiqkata sre-

dina moe da ima slabosti i nedostatoci.

I Sredina xto ne postoi moe da pretstavuva primerok

Neka merime nekoi dolini na konkretni objekti (ribi, ste-

bla, itn.), i barame nivna sredina. Taa moe da bide broj x koj

ne e ednakov nitu na eden od xk. Pa kakov e toj pretstavnik, ako

toj ne postoi vo samoto mnoestvo? Velime deka e apstrakten

pretstavnik na mnoestvoto x1, x2, . . . , xn.


II Nerealna sredina

Ako barame sredini od mnoestvoto karakteristiki koi sami

se grupirani vo dve klasi, edna so mali vrednosti, a druga so

golemi, sredinata ke bide toqno megu klasite, i nema da odgovara

nitu na ednata, nitu na drugata klasa. Vo ovoj sluqaj podobro

e da barame sredina samo za malata klasa, i samo za golemata

klasa.

III Sredina pri nedovolno reprezentativen primerok

Ako primerokot ne e dovolno dobro izbran moni se golemi

grexki ako ne se vnimava so sredinata.

Primer. Merena e brojnosta na familijata midii (vid

xkolki) na 10 merni mesta vo Crnoto More. Najdeni se slednite

rezultati:

Sredna golemina na jatoto midii na edno merno mesto (od

okolu 1000m2) e


A =1 + 4 + 8 + 14 + 24 + 30 + 48 + 143 + 5291 + 57235

10= 6780 primeroci.

Od iskustvo se znae deka proseqno nema poveke od stotina midii

na edno mesto. Rezultatot e oqigledno netoqen, bidejki mnogu

golemata brojnost na poslednoto, desetto merno mesto, vlijae ”te-

inski” vrz aritmetiqkata sredina i mnogu ja zgolemuva srednata

vrednost. Taa brojnost doaga taka xto sluqajno edno golemo jato

se naxlo na desettoto merno mesto, xto e izvonredno retko. Za-

toa sredinata e zgolemena stotina pati. Primerokot oqigledno

ne e reprezentativen. Zatoa namesto A, se voveduva eden drug vid

sredina-geometriska sredina.

IV Sredina pri heterogeni karakteristiki

Pri obopxtenite usrednuvaǌa kade xto karakteristikite se

mnogu opxti, aritmetiqkata sredina moe da bide mnogu nere-

alna. Kako na primer, vo ekonomijata pri presmetuvaǌe na razni

opxti indeksi. Na primer, velat: luksuznata stoka poskape za

90%, benzinot za 40%, lebot za 30%, lokomotivite za 5%, a za

proizvodite na metalnata i oboenata industrija, sosema mnogu-

brojni, samo za 3%. Sredno, aritmetiqki presmetano, poskapuvan-

jeto iznesuva 20%. Sredinata oqigledno ne e realna bidejki obiq-

niot qovek ne go interesira nitu luksuzot nitu pak golemata in-

dustrija. Ovde e neverodostojno loxo da se zboruva za sredinata-

ili e toa netoqno, ili e xpekulacija. Vakvi opxti sredini vsux-

nost nixto ne znaqat. Zatoa, vo princip se baraat sredini samo

od xto e mono po voednaqeni karakteristiki po kvalitet.

4.11 Geometriska sredina

Slabostite na aritmetiqkata sredina dovele do potreba za

voveduvaǌe na novi sredini.

Primer 1. Vo biologijata i voopxto vo biotehniqkite nauki


mnogu qesto rabotime so broevi od ekponencijalen tip. Tie se

karakteristiqni za ivite procesi. Neka, na primer, pri pres-

metuvaǌeto na sostojbata na rasteǌe na populacija po formulata

mn = m0

(

1 +p

100

)n

se presmetuvaat dve vrednosti za vreme od n = 8 godini, na dve

razni merni mesta. So mereǌe se dobieni podatoci, pa

m1 = 16 · (1, 07)8; m2 = 25 · (1, 12)8

kako i nivnata sredina

m =m1 + m2

2=

16 · (1, 07)8 + 25 · (1, 12)8

2.

Ovie zbirovi texko se presmetuvaat bez logaritam ili pomoxni

sredstva.

Voveduvame geometriska sredina

g = gm1,m2 =√

m1 · m2.

Imame

g =√

16(1, 07)8 · 25(1, 12)8 = 4 · 5(1, 07)4(1, 12)4 = 20(1, 07 · 1, 12)4

xto e veke mnogu polesno za presmetuvaǌe.

Vo geometrijata e odamna poznata geometriskata sredina kako

otseqka koja se konstruira so pomox na dve otseqki i lak od

polovina krunica nad zbirot od ovie otseqki. Poznata e Evkli-

dovata teorema koja veli deka vo pravoagolen triagolnik proizvo-

dot od otseqkite na hipotenuzata, formirani od podnojeto na

visinata e ednakov na kvadratot na visinata, t.e. visinata na

pravoagolniot triagolnik e geometriska sredina od otseqkite na

hipotenuzata, t.e. h =√

p · q.


Definicija. Ako se x1, x2 nekoi dve merni vrednosti, pod geo-

metriska sredina go podrazbirame brojot g koj e kvadraten koren

od nivniot proizvod

gdef=

√x1x2.

Analogno, ako se x1, x2, x3 nekoi tri merni vrednosti na ista

karakteristika X, pod geometriska sredina podrazbirame kuben

koren od nivniot proizvod

gdef= 3

√x1x2x3.

itn, ako imame n mereǌa, vai:

Definicija. Geometriska sredina od n merni vrednosti od

nekoe mereǌe se opredeluva kako n-ti koren od nivniot proizvod

gdef= n

√x1x2x3 · ... · xn = n

√√√√

n∏

k=1

xk.

Ako imame prisutni frekvencii, taka xto

karakteristikata x1 da se povtoruva f1 pati

karakteristikata x2 da se povtoruva f2 pati

.

.

.

karakteristikata xn da se povtoruva fn pati

togax, spored gornata definicija dobivame


G =N

√x1x1...x1︸︷︷︸

f1 pati

·x2x2...x2︸︷︷︸

f2 pati

·... · xnxn...xn︸︷︷︸

fn pati

=N

√

xf11 xf2

2 · ... · xfnn

kade

N =

n∑

k=1

fk

ili

Primer 2. So podatocite od primerot 1 vo 4.10.3 ja dobivme

nivnata geometriska sredina

G =47√

57 · 416 · 313 · 25 · 16 =

= 47√

(78125)(4294967296)(1594323)(32)(1) = 2, 97.

Bidejki A iznesuvaxe 3, 28 gledame deka e G < A. Zabeleuvame

deka presmetuvaǌeto na G na vakov naqin e mnogu texko.

Presmetuvaǌe na geometriskata sredina

Toa retko se vrxi direktno, a najqesto so logaritmiraǌe.

Imame

logb G =1

Nlogb

n∏

k=1

xfk

k =1

N(f1 logb x1 + f2 logb x2 + ... + fn logb xn)

ili

logb G =1

N

n∑

i=1

fi logb xi = M

pa

G = bM .

Primer 3. Vo primerot so brojnosta na midii vo Crnoto

More, naogame


i

G =10√

1 · 4 · 8 · 14 · 24 · 30 · 48 · 143 · 5291 · 57235

pa

lg G = 110

(lg 1 + lg 4 + lg 8 + lg 14 + lg 24 + lg 30 + ... + lg 57235) =

= 110

10∑

k=1

lg xk ≈ 17,826310

= 1, 78263..

Sleduva deka

G ≈ 101,78263 ≈ 60, 62.

Sporedbata G ≈ 60, 62 << A = 6780 pokauva ogromna razlika

megu A i G. Megutoa, od praktika znaeme deka G e porealna vred-

nost, i rekovme zoxto.

Ovde priqinite za neednakvosta G << A ne se statistiqki.

Vai slednata

Teorema. Geometriskata sredina e sekogax pomala od arit-

metiqkata za istite merni rezultati xk

G < A.

Vo biologijata geometriskata sredina se koristi osobeno vo

onie sluqai kade xto imame geometriski progresii, operacii so

eksponenti, a toa e dosta qesto. Na primer, site problemi na ras-

teǌe na populacijata ili kombinirani problemi vo genetikata,

itn.


4.11.1 Harmoniska sredina

Ako imame dve brojni karakteristiki x1, x2, na primer, pogole-

mi od 1, so reciproqnite vrednosti

1

x1,

1

x2

goleminite x1, x2 gi prenesuvame vo intervalot [0, 1], bidejki 1x1

, 1x2

se megu 0 i 1.

Ako od nekoi priqini rabotime samo vo intervalot [0, 1], na

primer ako se x1, x2 golemi ili rabotime samo so verojatnosti,

relativni frekvencii, togax go zamenuvame intervalot [x1, x2] so[1x1

, 1x2

]

.

Vo intervalot [0, 1] naogame aritmetiqka sredina od nivnite

sliki, i taa iznesuva

a =1x1

+ 1x2

2.

Ako sega sakame da se vratime na vistinskite vrednosti, vr-

xime obratno preslikuvaǌe so istata inverzija, i dobivame nov

broj

Hdef=

1

a=

11

x1+ 1

x2

2

=2

1x1

+ 1x2

.

Definicija. Neka se x1, x2 dve merni vrednosti. Harmoniska

sredina od dve mereǌa e reciproqna vrednost od aritmetiqkata

sredina od reciproqnite vrednosti na mereǌata.

Na ist naqin, harmoniskata sredina od tri mereǌa x1, x2, x3

glasi

Hdef=

11

x1+ 1

x2+ 1

x3

3

=3

1x1

+ 1x2

+ 1x3

.


Definicija. Za n merni vrednosti x1, x2, x3, ..., xn

Hdef=

11

x1+ 1

x2+...+ 1

xn

n

=n

n∑

i=1

1xi

i vo najopxt sluqaj, ako xk se javuvaat so frekvencija fk, imame

H =1

f1· 1χ1

+f2· 1χ2

+....+fn· 1χn

f1+f2+....+fn

t. e.

Hdef=

n∑

i=1

fi

n∑

i=1

fi

xi

=N

n∑

i=1

fi

xi

.

Primer. Da sporedime so primerot 1 od 4.10.3. Dobivame

H =1

7· 15+16· 1

4+13· 1

3+5· 1

2+6· 1

1

47

= 2, 56

gledame deka vai H = 2, 56 < G = 2, 97 < A = 3, 28.

No, i vo opxt sluqaj vai sporedbata.

Teorema. Za isti merni vrednosti vai

H < G < A.

4.11.2 Drugi vani poimi vo vrska so sredini

Sredina od sredini. Ako nekoe mnoestvo podatoci

x1, x2, . . . , xk, . . . , xt, . . . , xN

zaradi nekoi priqini go preredime vo n grupacii

x1, x2, . . . , xk , y1, y2, . . . , yl , ..., z1, z2, . . . , zs

qiixto aritmetiqki sredini, soodvetno, se

x, y, . . . , z,


togax sredina od sredini se opredeluva kako

¯x =x + y + ... + z

n

ili

¯x =x1+x2+...+xk

k+ y1+y2+...+yl

l+ ... + z1+z2+...+zs

s

n

Sredina od sredini e razliqna od obiqnata aritmetiqka sre-

dina, bidejki aritmetiqki gledano slednite sumi se neednakvi

n∑

kt=1

ktP

i=1xi

kt

n6=

N∑

i=1

xi

N.

Sredina od sredinite x se koristi qesto vo biometrijata, pri

vremensko grupiraǌe na rezultatite (na primer x = rezultati

sobrani vo eden mesec, y = rezultati sobrani vo drug mesec, itn.)

Medijana (sredna vrednost na karakteristikata),∧x = Me (x) e

onaa vrednost megu site podatoci xt, taka xto levo i desno od

nejze da ima ist broj podatoci xt, t.e.

x1, x2, ..., xm︸︷︷︸

ist broj

, x, xm+1, |x ..., xn︸︷︷︸

x 6=x ist broj

.

Medijanata∧x e najqesto razliqna od aritmetiqkata sredina x,

bidejki sredinata se stremi i se dobliuva kon pogolemata i poe-

fektivnata karakteristika (kon potexkata), dodeka medijana e ge-

ometriska brojna sredina koja bara levo i desno od nea da ima ed-

nakov broj elementi, no toa ne znaqi deka sekogax e zadolitelno∧x ≤ x.

Moda e najfrekventniot podatok,^x = Mo(x), i se vika uxte i

tipiqna vrednost, a se oznaquva i so^x = xf , ft = f (xt) = Maxft.

Primer. Dolinata na listovite na edno rastenie vo mm

dadena vo klasi iznesuva


Lesno naogame:

x = 61.42 Me(x) =∧x = 63, Mo (x) =

^x = 59.5

Ako formirame grafik na frekvenciite, gledame deka Mo (x) e

vrvot na grafikot y = f (x):

4.11.3 Otstapuvaǌe od aritmetiqka sredina

Neka imame dve mnoestva so ista aritmetiqka sredina no so

razliqna struktura na podatocite.

Oqigledno e deka prvoto mnoestvo e pokompaktno, so mali vna-

trexni razliki; dodeka vtoroto sodri elementi koi poveke se

razlikuvaat i divergiraat od sredinata. Oqigledno e deka pr-

voto e statistiqki poreprezentativno, poubedlivo se zamenuva so


svojata sredina x, otkolku xto vtoroto se zamenuva so istata taa

sredina x. Bidejki vakvi primeri ima mnogu, se praxuvame xto

ke bide kriterium za reprezentativnosta na sredinata, t. e. dali

taa e dovolno dostoen pretstavitel na mnoestvoto. So taa cel

voveduvame:

Otstapuvaǌe na elementot xi od aritmetiqkata sredina x e

razlikata

∆xi = ∆i = xi − x

Geometriski, toa e otseqka megu toqkite xi i x. Taa moe da

bide i pozitivna i negativna. Vai ∆xi > 0 ako e xi desno (ili

nad) sredinata x; i vai ∆xi < 0, ako e xi levo (ili pod) sredinata

x.

Na ovoj naqin, na nizata podatoci

x1 , x2 , x3 , . . . , xk , . . . , xn

i odgovara edna niza otstapuvaǌa

x1 − x , x2 − x , x3 − x , . . . . , xk − x , . . . , xn − x

ili

∆x1 , ∆x2 , ∆x3 , . . . , ∆xk , . . ., ∆xn

Sredinata x e dotolku podobar pretstavnik na mnoestvoto

podatoci xi, dokolku sekoe otstapuvaǌe e pomalo po apsolutna

vrednost, t. e. poelno e goleminite

|∆xi| = |xi − x|

da se mali. No poradi sluqajnata priroda na podatocite, megu

∆xi prirodno ima i pogolemi i pomali. Zatoa e vano sumata na

otstapuvaǌata da e xto pomala, t. e. sevkupno otstapuvaǌata da


bidat xto pomali. No zbirot na site otstapuvaǌa iznesuva

n∑

k=1

∆xk =n∑

i=1

(xi − x) = (x1 − x) + (x2 − x) + ... + (xn − x)

= x1 + x2 + ... + xn − (x + x + ... + x)

= x1 + x2 + ... + xn − nx = nx − nx = 0.

Teorema. Zbirot od site otstapuvaǌa na podatocite od niv-

nata aritmetiqka sredina e ednakov na nula

n∑

i=1

(∆xi) = 0.

Ova znaqi deka ne moeme vkupnoto otstapuvaǌe da go ocenu-

vame so obiqen zbir na poedini otstapuvaǌa, bidejki toj zbir

e sekogax ednakov na nula, bez ogled na goleminite na poedinite

otstapuvaǌa. Teoremata kauva deka vo odnos na sredinata x ima

podednakov kvantum pozitivni i negativni otstapuvaǌa koi taka

se ponixtuvaat.

Ostanuva praxaǌeto na opredeluvaǌeto na pokazatel za uspex-

nosta na sredinata x kako pretstavnik na mnoestvoto. Istovre-

meno, barame kriterium za statistiqki kvalitet na mnoestvoto

xi bidejki e oqigledno deka mnoestvoto e statistiqki pokom-

paktno dokolku vkupnoto otstapuvaǌe e xto pomalo. Pa xto moe

da bide toa vkupno otstapuvaǌe? Ako zememe zbir od apsolutni

vrednosti

n∑

i=1

|xi − x| =

n∑

i=1

|∆xi|.

Ovaa vrednost nema da bide ednakva na nula, no bidejki ope-

racijata apsolutna vrednost negativnite broevi gi pretvora vo

pozitivni, brojotn∑

i=1

|∆xi| moe da bide pogolem. Zatoa se vove-

duva


Sredno apsolutno ostapuvaǌe e brojot

∣∣∆∣∣ =

n∑

i=1

|∆xi|

n

koj pokauva kolku sredno nekoj element xi otstapuva od sredinata

na mnoestvo.

4.12 Standardna devijacija. Definicija i formula

Razgleduvame dve mnoestva 9, 11 i 1, 19 sostaveni od po 2

elementi. Tie imaat ista sredina x = 10. No, otstapuvaǌata na

prvoto mnoestvo se samo −1, 1, a vo vtoroto se −9, 9. Oqi-

gledno, sredinata x = 10 nema ednakvo mesto vo dvete mnoestva.

Zbirot od otstapuvaǌata i vo dvete mnoestva e ramen na nula, a

srednoto apsolutno otstapuvaǌe pri prvoto mnoestvo e |−1|+12

= 1,

a pri vtoroto |−9|+92

= 9.

Se praxuvame xto ke bide merka za otstapuvaǌe od aritmetiq-

kata sredina na celoto mnoestvo, kako celina, od sopstvenata

aritmetiqka sredina. Ili, xto ke bide merka za statistiqkata

vrednost na sredinata kako reprezent vo ramkite na mnoestvoto.

Dokaavme deka ne moe da bide toa obiqniot zbir na otstapuva-

ǌata, bidejki toj e sekogax ramen na nula za koi bilo podatoci.

Ponixtuvaǌe na ovaa suma doaga poradi ramnomeren raspored na

znacite ” + ” i ” − ”, vo presmetanite razliki. Znakot ” − ” moe

da se odbegne so kvadriraǌeto na sekoe otstapuvaǌe (xi − x)2 > 0.

Taka sega, ako gi sobereme site (xi − x)2, nema da ima ponixtu-

vaǌe. No so kvadriraǌeto moeme mnogu da se oddaleqime od mer-

nite vrednosti i razliki, odnosno kvadriraǌeto mnogu ja menuva

slikata na otstapuvaǌata.

Zatoa, voobiqaeno e da se postapuva vaka: sekoe otstapuvaǌe

se kvadrira, tie kvadrati se sobiraat, i se delat so brojot na

otstapuvaǌata. Potoa od seto toa se vadi kvadraten koren. Taka

presmetano proseqnoto otstapuvaǌe se vika standardna devijacija.


Zborot znaqi sredno otstapuvaǌe na izbraniot primerok xi.Postapkata, so koja e presmetano ova otstapuvaǌe, e sosema oprav-

dana. Za da izbegneme pozitivni i negativni otstapuvaǌa da se

ponixtuvaat megusebno, nie niv gi kvadrirame, i na toj naqin do-

bivame pozitivni broevi. Ako niv gi sobereme, dobivame vkupna

masa od kvadratni otstapuvaǌa. Za da dobieme sredno otstapuvaǌe

na kvadrat, delime so brojot na otstapuvaǌata n, i dobivame

prosek od toj zbir na kvadrati. No ovoj prosek moe da bide mnogu

golem, poradi kvadratite. Vadejki kvadraten koren, se sveduvame

na prvata dimenzija, i na takov naqin imame pozitivno linearno

otstapuvaǌe.

Vaka presmetana devijacija ni pokauva osobeno dobro kolku

e silno rasturaǌeto na poedini elementi, i zatoa vaka formi-

raniot realen broj go narekuvame merka na disperzija na mernite

vrednosti od nivnata sredna vrednost. Ovaa postapka, objasneta

verbalno-logiqki, moeme sega lesno matematiqki da ja formuli-

rame.

Neka se x1, x2, x3, ..., xn eksperimentalni podatoci na primero-

kot, i neka e x nivnata aritmetiqka sredina. Togax otstapuvaǌa-

ta od x se

x1 − x, x2 − x, x3 − x, ..., xn − x

i megu niv ima i pozitivni i negativni. Nivnite kvadrati

(x1 − x)2, (x2 − x)2, ..., (xn − x)2

se site pozitivni no i oddaleqeni. Zbirot od ovie kvadrati

glasi:

n∑

i=1

(xi − x)2 = (x1 − x) + (x2 − x)2 + ... + (xn − x)2

i toj se vika kvadratna masa od site otstapuvaǌa. Sredno kvadratno

otstapuvaǌe se opredeluva kako


n∑

i=1

(xi − x)2

n=

(x1 − x)2 + (x2 − x)2 + ... + (xn − x)2

n

i standardnata devijacija se opredeluva so realniot broj

σ =

√√√√

n∑

i=1

(xi − x)2

n=

√

(x1 − x)2+ (x2 − x)

2+ ....... + (xn − x)

2

n

Sluqaj na frekvencii. Ako podatocite xi se javuvaat so nekoi

frekvencii fi, soodvetno, togax so istite tie zaqestenosti se

javuvaat i otstapuvaǌata na sekoj element od sredinata, pa i

nivnite kvadrati. Zatoa, zbirot na kvadratite iznesuva

n∑

i=1

fi(xi − x)2 = f1(x1 − x)2 + f2(x2 − x)2 + ......fn(xn − x)2

Bidejki N =n∑

i=1

fi, za kvadratot na srednoto otstapuvaǌe imame

σ2 =

n∑

i=1

fi(xi − x)2

n∑

i=1

fi

=f1(x1 − x)2 + f2(x2 − x)2 + ........+ (xn − x)2

f1 + f2 + f3 + ..... + fn

taka xto standardnata devijacija sega glasi

σ =

√

f1(x1 − x)2+ f2(x2 − x)

2+ ..... + fn(xn − x)

2

f1 + f2 + f3 + ......fn

ili kratko

σ =

√√√√

n∑

i=1

fi(xi − x)2

N.

Standardnata devijacija e osnoven kriterium vo biometrijata

i nejzinoto presmetuvaǌe mora da se veba i vrxi so sigurnost.

Za poqetok, da go zememe poznatiot primer:


za koi sredinata e x = 3, 27.

Otstapuvaǌata od sredinata glasat:

5 − 3, 28 = 1, 72; 4 − 3, 28 = 0, 72; 3 − 3, 28 = −0, 28; 2 − 3, 28 = −1, 28;

1 − 3, 28 = −2, 28

Standardnata devijacija glasi:

σ =

√

7 · 72342 + 16 · 0, 72342 + 13 · 0, 27662 + 5 · 1, 27662 + 6 · 2, 27662

47

=

√

7 · 2, 9701 + 16 · 0, 5233 + 13 · 0, 0765 + 5 · 1, 6297 + 6 · 5, 182947

= 1, 4767

t.e.

σ =√

1, 4767 = 1, 215

a ova znaqi deka tolku vo prosek iznesuvaat ostapuvaǌata od

aritmetiqkata sredina, i vo edna, i vo druga strana.

Primer. Vo uvodniot primer so dve mnoestva od po dva ele-

menta, standardnite devijacii iznesuvaat:

σ1 =

√

12 + 12

2= 1, σ2 =

√

81 + 81

2= 9

xto e i prirodno. Vtoroto ima devetpati pogolemo sredno otstapu-

vaǌe od prvoto.

Drug oblik na formulata za standardna devijacija

Za da se izbegne maqnoto presmetuvaǌe na razlikite xi − x

koe gi prepovtoruva operaciite so decimalite od mereǌeto na

xi, a moe i da gi zgolemi grexkite. Gornata formula za stan-

dardna devijacija qestopati se dava vo vidoizmenet oblik, kade

nema kvadrati od razliki, tuku samo edna razlika od kvadrati.

Vo mnogu uqebnici po Biometrija se dava tokmu ovaa formula

koja se smeta za praktiqna, dodeka prvata se smeta za definici-

ona. Zatoa nie treba i nea paralelno da ja znaeme.


Definicionata formula

σdef=

√

f1(x1 − x)2 + f2(x2 − x)2 + . . . + fn(xn − x)2

N

ke ja kvadrirame i ja pixuvame vo oblikot

σ2 =1

N

[f1(x1 − x)2 + f2(x2 − x)2 + . . . + fn(xn − x)2] .

Ako sekoja vnatrexna zagrada ja kvadrirame, dobivame tri-

nomi koi gi podreduvame:

σ2 =1

N

[f1x

21 − 2f1x1x + f1x

2+

+f2x22 − 2f2x2x + f2x

2+

+f3x23 − 2f3x3x + f3x

2+

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+fnx2n − 2fnxnx + fnx2

]

Ako sega gi sobereme vertikalnite koloni i gi grupirame,

imame

σ2 = 1N

((f1x21 + f2x

22 + . . . + fnx2

n) − 2x (f1x1 + f2x2 + . . . + fnxn)+

+x2 (f1 + f2 + . . . + fn)) .

Bidejki e

f1x1 + f2x2 + . . . + fnxn = Nx; f1 + f2 + . . . + fn = N

dobivame

σ2 =1

N

n∑

i=1

fix2i −

1

N2xNx +

1

Nx2 · N

ili

σ2 =

(

1

N

n∑

i=1

fix2i

)

− 2x2 + x2


ili

σ2 =

(

1

N

n∑

i=1

fix2i

)

− x2

t. e. dobivame nova formula za standardnata devijacija

σ =

√√√√

(

1

N

n∑

i=1

fix2i

)

− x2

kade nemame rabota so (∆xi)2, no samo so x2

i . Znaqi, ∆xi se iskluqe-

ni od smetkite, pa za tolku vakvoto presmetuvaǌe na δ e poe-

fikasno.

Primer. Formulata ke ja primenime na ist numeriqki primer,

za da izvedeme komparacija, kako vo pogled na brzinata na presme-

tuvaǌeto, taka i vo pogled na toqnosta. Niz praktika se pokauva

deka i ednata i drugata formula imaat svoi vrednosti. Imame

za pette teini so nivnite frekvencii:

σ2 =7 · 52 + 16 · 42 + 13 · 32 + 5 · 22 + 6 · 12

47− 3, 27662 =

=7 · 25 + 16 · 16 + 13 · 9 + 5 · 4 + 6 · 1

47− 10, 7361 =

=547

47− 10, 736 = 12, 2128 − 10, 7361 = 1, 4767

σ =√

1, 4767 = 1, 215.

Dobivame ist rezultat kako i so prvata formula, no ovde pres-

metuvaǌeto bexe polesno, bidejki kvadrirame celi broevi 5, 4, 3,

2, 1; a ne dropki: 1, 2734;0, 7234 itn.

Beselova popravka

Bidejki formulata za standardnata devijacija e edna artime-

tiqko-logiqka konstrukcija, formulirana da prikae edno sredno

otstapuvaǌe za celoto mnoestvo, taa e quvstvitelna na broj-

nosta na egzemplarot, vproqem kako i sekoj statistiqki element.

Bidejki ako brojnosta e mala, ili nedovolna, zakonite izvedeni


od nea moat da bidat nesigurni.

Nie ja izvedovme formulata za σ koristejki samo eden mal

egzemplar, edna relativno mala populacija xi so brojot N , koja

e mnogu pomala od brojnosta na celata statistiqka masa, qestopati

neprebroiva.

Vo sluqajov nie ja izednaqivme sredinata na egzemplarot so

sredinata na celata masa, a tie se retko identiqni. Tie samo

prikauvaat tendencija na izednaquvaǌe. Moe teoriski da se

pokae, ako formulata za σ se izvede na pogorniot naqin, delejki

vo imenitelot so brojnosta N na egzemplarot deka se dobiva naj-

mala mona vrednost za standardnata devijacija, i toa onaa vred-

nost koja bi se dobila ako sredinata x na egzemplarot i χ na

statistiqkata masa bi bile isti, t.e. ako x = χ. No iako e

skoro sekogax x 6= χ, so tendencija na izednaquvaǌe spored za-

konot na golemite broevi ako N → ∞, σ treba da se zeme vo prak-

tika pogolema od najmalata. Zatoa treba da se izvrxi popravka

na formulata za σ, i da se zeme edno σ popraveno.

Toa novo σ popraveno se dobiva ako izvedenoto σ se pomnoi

so nekoj koeficient na popravka:

σpopraveno = σ · λ

Poznatiot matematiqar Besel dokaal deka potoqna vrednost

na otstapuvaǌeto ke se dobie ako standardnata devijacija dobiena

so gornata formula se pomnoi so koeficientot λ,

λ =

√

N

N − 1

t. e.

σpopraveno = σ

√

N

N − 1.

Ako go zamenime teoriskoto σ dobivame


σpopraveno =

√√√√

n∑

i=1

fi(xi − x)2

N

√

N

N − 1

ili

σpopraveno =

√√√√√

n∑

i=1

fi(xi − x)2

N − 1

Gledame deka popravenata formula se razlikuva od izvedenata

po naxata teorija po toa xto imenitelot namesto brojnosta N , so-

dri brojnost namalena za edinica: N−1. Kako pri pomal imeni-

tel dropkata e pogolema, sleduva deka poslednata Beselova for-

mula dava pogolemi vrednosti za standardnata devijacija otkolku

naxata formula so N . Ova e osobeno vano pri mal broj eksperi-

menti N . Ako e N ≤ 30 zadolitelno se koristi σ popraveno. Ako

e N mnogu golemo, seedno e koja formula se koristi. Togax vo

ramnopravna upotreba se i ednata i drugata, so taa zabelexka

xto ako se koristi ednata vo nekoj problem, taa treba da se ko-

risti do kraj vo istiot problem, i tie ne treba da se mexaat.

4.13 Koeficient na varijacija

Ako ja nabǉuduvame formulata za standardnata devijacija,

konstatirame deka σ e proporcionalna so podatocite xi. Toa zna-

qi ako imame zadaqa da merime vo edno bioloxko mnoestvo, vo

koe elementite se opredeleni so golemi broevi, togax i stan-

dardnata devijacija ke bide golem broj. Ako nasproti toa imame

bioloxko mnoestvo so elementi izrazeni so mali vrednosti, i

nivnata standardna devijacija ke bide mala. Spored toa, ima

texkotii pri sporedbata na edna populacija so druga, so ogled

na standardnata devijacija, bidejki taa ja definirame kako apso-

lutna merka.

Primer 1. Merime dve vozrasni strukturi na ribi, od ist


vid, vo ist ekosistem (ribnik), so cel da go presmetame prinosot.

Prirodno, tie ke se razlikuvaat po nivnata dolina i teina.

σ1 =

√√√√

n∑

i=1

(xi − x)2

N, σ2 =

√√√√√

n∑

i=1

(Xi − X

)

N

2

Bidejki za rastot na ribite vo eksperimentot vai

Xi > xi

pri isto N , togax i za sredinite ke vai

X > x

pa moe da se oqekuva deka i za soodvetnite otstapuvaǌa (barem

vo pogolemiot broj) ke vai

(Xi − X

)2> (xi − x)2

kako i

fi

(Xi − X

)2> fi(xi − x)2


od kade, delejki so N , i kvadrirajki, ke dobieme

σ2 > σ1.

Gledame, bidejki vtorata grupacija ribi e pogolema, deka i

soodvetnata standardna devijacija e pogolema. No nie rabotime

so ribi od ist vid, na isto mesto, samo vo razliqni vremiǌa,

i zatoa ni treba nekoj matematiqki instrument koj nema da za-

visi od goleminite xi i Xi na merenite objekti, tuku od niv-

nata bioloxka gustina. Poradi osobinata σ2 > σ1 standardnata

devijacija σ nema komparativna vrednost, tuku samo vnatrexna,

lokalna vrednost, vo edno isto mnoestvo i vo eden eksperiment.

Razlikite megu xi i Xi koi vlijaat vrz soodvetnite σ1, σ2 moat

da se ublaat, ako ovie poslednive se podelat so soodvetnite sre-

dini x i X:

Pogolemata σ2 podelena so pogolema sredina X se namaluva, a

pomalata σ1 podelena so pomalata sredina x se nagolemuva.

Taka koliqnikot σ1

xraste, a σ2

Xopaga, pa vo opxt sluqaj imame

tendencija daσ1

x≈ σ2

X.

Definicija. Koeficient na varijacija e odnos megu stan-

dardnata devijacija i soodvetnata aritmetiqka sredina na mere-

noto mnoestvo

C.V. =σ

x

i toj pokauva kolku e srednoto otstapuvaǌe vo odnos na prosekot.

Taka standardnata devijacija e napravena nezavisna od samata

golemina na objektite i moe da se koristi vo gornata forma

na koeficientot C.V. vo bioloxkite eksperimenti, kade ivite

objekti se promenlivi so tek na vremeto.

Mnogu e korisno, i voobiqaeno, C.V. da se izrazuva vo pro-

centi, znaqi sporedbeno so osnovnoto mnoestvo od 100 edinki.

Definicija. Koeficient na varijacija vo procenti e brojot

C.V.% =σ

x· 100%


i vo eksplicitna forma ovoj pokazatel glasi

C.V. =

√nP

i=1(xi−x)2

nnP

i=1xi

n

=

√√√√√√√

n ·

n∑

i=1

(xi − x)2

(n∑

i=1

xi

)2

ili so ogled na frekvenciite

C.V. % =

√nP

i=1fi(xi−x)2

NnP

i=1fixi

N

· 100%.

Primer 2. Pri podatocite od primerot 1 od 4.10.3 dobivame

C.V. =1, 215

3, 2766= 0, 37

i

C.V.% = 37%.

Ova znaqi deka proseqnoto otstapuvaǌe od sredinata iznesuva

37%, t.e. od 100 mereni edinki 37 otstapuvaat od nivnata pro-

seqna vrednost a 63 se vo ramkite na prosekot.

Primer 3. Neka srednata vrednost na holesterol kaj hiper-

holesterolemiqni pacienti iznesuva 7,3 mM, a proseqnoto otsta-

puvaǌe iznesuva 0,8. Da se opredeli koeficientot na varijacija

CV vo %.

CV (%) =σ

x· 100 =

0, 8

7, 3· 100 = 10, 95.

Znaqi, 10,95% od ispitanicite otstapuvaat od proseqnata vred-

nost, a 89,05% se vo ramkite na srednata vrednost.

Primer 4. Neka srednata vrednost na kreatinin vo serum kaj

zdravi ispitanici iznesuva 86 µM , a proseqnoto otstapuvaǌe iz-

nesuva ±20. Da se opredeli koeficientot na varijacija vo %.


Biometriska tabela

Za edno dadeno statistiqko mnoestvo xi so frekvencii fi poka-

zatelite

x,n∑

i=1

fi = N, ∆xi, (∆xi)2, fi(∆xi)

2, σ, C.V., C.V.%

najdobro se prikauvaat i se presmetuvaat preku slednava tabela

Ovaa tabela se formira skoro pri sekoja biometriska zadaqa,

bidejki taa sodri parametri neophodni za sekoja statistika. Na

eden broen primer ke ja prikaeme ovaa tabela.

Primer 1. Dadeni se sredni dolini na petgodixna pastrmka,

so soodvetni frekvencii po klasi

Opredeli gi N, x, ∆xi, σ, C.V.

Rexenie. Imame


Bidejki e N =10∑

i=1

fi = 1000 naogame

x =47712

1000= 47, 712 cm

xto pretstavuva sredna dolina na petgodixna pastrmka. Ja for-

mirame tabelata, qii prvi dve koloni se sostaveni od podatocite,

a drugite qetiri gi popolnuvame so ednostavni aritmetiqki ope-

racii (so kalkulator).

Presmetuvame

σ =

√

Q

N=

√

350039

100000=

591, 64

100= 5, 91 ≈ 6.

Znaqi, sekoja riba otstapuva proseqno od srednata dolina

samo za 6cm, xto e priliqno dobro statistiqko odnesuvaǌe, a i

od gledna toqka na eksploatacijata. Natamu, varijacijata e

C.V. =σ

x=

5, 91

47, 712= 0, 12 i C.V.% = 12%.

Ova znaqi: na 100 pastrmki od 5 godini od niv 12 proseqno

otstapuvaat od nivnata sredna dolina a 88 se vo ramkite na

prosekot. Eksperimentot so 1000 probi dava tolku.

Primer 2. Tabelarno se prikaani sredni vrednosti na kon-

centracija na glukoza vo plazma kaj 100 maxki individui na voz-


rast od 30 godini so soodvetnite frekvencii po klasi.

x (mM) 4,25 4,7 4,9 5,2 5,35 5,5

f(x) 2 15 35 31 11 6

Presmetaj gi x, σ i C.V.

Primer 3. Tabelarno se prikaani sredni vrednosti na kon-

centracija na vkupen bilirubin vo serum kaj 100 maxki indi-

vidui na vozrast od 30 godini so soodvetnite frekvencii po klasi.

x (µM) 4,2 5,4 6,3 8,1 9,3 11,7

f(x) 2 15 35 31 11 6

Presmetaj gi x, σ i C.V.

4.14 Normalna raspredelba vo praktikata

Vo biologijata, isto kako i vo celata statistika voopxto, os-

novna uloga igra vrskata

karakteristika ↔ zaqestenosta na nejzinata pojava

ili

vrskata megu brojnata vrednost na nekoe obeleje, so frekven-

cijata na javuvaǌeto na toa obeleje, koe go beleime, kako xto

veke znaeme

x ↔ f(x).

Ova vrska se vika raspredelba na frekvenciite i e baza na

sekoja statistika. Od nea direktno zavisi verojatnosta na nekoja

pojava x.

Grafiqki, ako broevite x i y = f(x) gi smetame za koordinati

na toqki vo eden Dekartov koordinaten sistem, dobivame geomet-

riska slika ili grafik na ovaa raspredelba.


Niz praktikata se pokauva deka vakvi tipovi raspredelbi

nema mnogu vo prirodata, i deka megu niv ima edna najvana i

najqesta.

Demografski primer. Merena e teinata pri ragaǌeto na

9465 maxki deca. Dobienite vrednosti na teinite so soodvet-

nite frekvencii naneseni se kako toqki vo kordinatniot sistem.

Tie toqki se povrzani i se dobiva eden poligonalen grafik.

Ako soodvetnite toqki gi spoime so otseqki, dobivame linija

so karakteristiqni svojstva: mnogu golem broj deca se ragaat so

nekoja sredna teina, od 3500g, i dokolku se oddalequvame od taa

teina od, desno ili levo, brojot na decata so mnogu pogolemi

ili mnogu pomali teini od proseqnata drastiqno se namaluva.

Imame takanareqena edna tipiqna normalna raspredelba na

frekvenciite. Najqesta e edna sredna pojava, a oddaleqenite od

srednata pojava se se poretki i poretki. Gorniot crte prika-

uva karaktristiki - teini vo skokovi od 700g i pretstavuva

priliqno gruba poligonalna linija.

Dokolku bi broele uxte poveke deca, vo pogolem broj godini,

bi imale uxte potoqni podatoci, i pogolem broj toqki na crteot.

Tie toqki bi bile rasporedeni pogusto, po najkratki rastojanija,

i bi se dobliuvale do edna neprekinata kriva. Niv bi gi dobile

so namaluvaǌe na intervalot od 700g na 350g, pa na 100g, na 50g,


na 10 grama, i taka bi imale edna serija od se positno iskrxeni

poligonalni linii, koi bi se slile vo edna neprekinata kriva,

koja e sliqna za site vakvi pojavi, takanareqenata kriva na nor-

malnata raspredelba, tolku karakteristiqna, za iviot svet i vo

biologijata.

Na istiot ovoj primer, so proxiruvaǌe na podatocite, ke go

prikaeme znaqeǌeto na brojnosta na eksperimentite za opredelu-

vaǌe na zakonot za raspredelbata. Ke se vidi deka biologijata

qestopati bara golem broj eksperimenti. Na ordinatnata oska

se nanesuvani frekvenciite od istiot primer pogore: Teinata

na decata pri ragaǌeto, ednax pri brojnosta od samo 25 deca,

vtorpat od 100 deca, tretpat od 500 deca, i qetvrtipat od 2000

deca.

Intervali na teinata se ∆x = 350g. Ke vidime deka prirod-

nata normalna raspredelba na frekvenciite moe da se naseti

poqnuvajki od N = 500 mereǌa, a veke sosema jasen grafik na nor-


malna raspredelba dobivame pri N = 2000 mereǌa. Mal broj

eksperimenti N = 25 i N = 100 dava nejasna slika. Za dobra dis-

tribucija na frekvencii treba pogolem broj elementi, t. e. eden

pobroen primerok.

Zgolemuvajki ja uxte poveke brojnosta na eksperimentot ke do-

bieme edna gusto rasporedena serija na toqki bliska do nepre-

kinata kriva.

Sliqno odnesuvaǌe na disperzija na merni vrednosti imaat i

bioloxkite mnoestva ako gi razgleduvame po edna, za niv karak-

teristiqna osobina. Mnogu qesto pritoa se sogleduva mnogu go-

lema pravilnost, koja se sogleduva vo koncentracijata na golem

broj individui f okolu nekoja sredna karakteristika x, a mal

broj individui so frekvencii f okolu vrednosti x koi se odd-

alequvaat od srednata vrednost. Ova pretstaveno grafiqki, preku

kooordinati na toqki, dava edna pravilna slika koja se karakter-

izira so izrazena simetriqnost, i istaknat del na najfrekvent-

niot del. Od iskustvo i sami znaeme poveke normalni raspre-

delbi. Praktikata pokauva deka vakvi raspredelbi se srekavaat

na sekoj qekor.

Primer 1.

- Lisja od edno steblo mereni po nivnata dolina se grupiraat

po ovaa raspredelba.


- Zrna grav po nivnata teina.

- Kolektiv luge po nivnata visina.

- Zrna pqenica po nivnata sodrina na skrob.

- Fosilen skelet spored dolinata na qerepite.

Vo praktikata, do normalna raspredelba, doagame najqesto ako

se razgleduvaat nekoi osobini na poedineqni kolektivi vo koi

ima izvesno prirodno rasturaǌe (otklonuvaǌe, otstranuvaǌe, ot-

stapuvaǌe) od nekoi sluqajni priqini. Toa se kolektivi so golema

brojnost, i kade golem broj edinki se odnesuva sliqno na svojot

prosek, a eden pomal del otstapuva poveke ili pomalku od pros-

ekot.

Tipiqno vakvi se bioloxkite populacii.

Iskustvoto ne uqi deka vai sledniot zakon:

Vo 80% pojavi vo biologijata vai normalnata raspredelba,

a samo vo 20% od preostanatite pojavi vaat site drugi raspre-

delbi zaedno.

Toa znaqi deka normalnata raspredelba e vrzana so samiot

ivot.

Deka postojat i drugi raspredelbi, moeme da se uverime so

eden ist primer:

Primer 2. Vo meta, strela proseqen strelec.

Nastanuva edno prirodno rasturaǌe na zrnoto. Najmnogu pogo-

doci se vo okolinata 5 − 6 − 7. Malku niv gi ima vo 8 i 9; kako i

4 − 3. Sosema malku vo centarot 10, kako i vo 2 − 1.


Edna tabela

dava tipiqna normalna raspredelba.

Vo meta, strela eden majstor. Negova specijalnost se desetki

i devetki, po nekoja osumka, drugo skoro i da nema.


Registrirame pogodoci.

Ovaa raspredelba znaqitelno se razlikuva od normalnata, i

mnogu e pomalku sluqajna. Majstorstvoto na strelecot ovde eli-

minira golem broj sluqajnosti.

Za pojavata na normalnata raspredelba e razraboten matema-

tiqki aparat koj ovzmouva mnogu matematiqki predviduvaǌa vo

ovoj vid pojavi, verojatnosti i sigurnosti na nastani, kako i na

formuliraǌe na striktni bioloxki zakoni.

Matematiqka formula za normalnata raspredelba

Ako se obideme da najdeme formula za funkcijata y = f(x) po

koja se rasporedeni frekvenciite od prethodnata toqka, kako i

formulata za site drugi sliqni sluqai, se ispravame pred seri-

ozen teoriski problem. Toj problem e uspexno rexen od german-


skiot matematiqar Karl Fridrih Gaus, koj otkril deka normal-

nata raspredelba se vrxi po eden prost eksperimentalen zakon od

vid

y = f(x) = Ae−k(x−x0)2

kade

A = 1σ√

2π, k = 1

2σ2 , x0 = x

y = f(x) =1

σ√

2πe−

(x−x)2

2σ2

koj se vika Gausov zakon za gustina na raspredelbata na verojat-

nostite pri normalna raspredelba.

Vo ovaa formula e

x− brojna vrednost na karakteristikata

x− aritmetiqka sredina na karakteristikata x

σ− standardna devijacija

e, π− poznati osnovni matematiqki konstanti.

Grafikot na gornata funkcija se vika teoriska kriva na gusti-

nata na raspredelbata na verojatnostite pri normalna raspre-

delba.

Toa znaqi deka sekoj set podatoci xi ima svoja teoriska kriva

na raspredelba, koja moe malku da se razlikuva od ekperimen-

talnata kriva. Ova ke go prikaeme uxte na eden primer, xto ke

go obrabotime numeriqki i teoriski.

Primer. Za potrebite na industrijata (konfekcija na obleka

i qevli, dimenzii na kreveti, modeliraǌe na mebel, liqno vooru-

uvaǌe, itn.) potrebni se sigurni statistiqki podatoci bazi-

rani vrz golem broj individualni mereǌa. Vo SAD po Prvata

svetska vojna mereni se visinite na 28 595 luge, tie se podredeni

po klasi intervali od ∆x = 2cm, i toa od xmin = 153cm do xmax =

193cm. (Rezultat od x = 174cm, znaqi deka se opfateni site visini

x za koi vai 173cm ≤ x ≤ 175cm).


Dobiena e slednata tabela:

(Prvite dve koloni se eksperimentalni rezultati):

N = 21 klasa

xmin = 153

xmax = 193

nempiriska = 28595

nteoriska = 28595

Ako pretstavime grafiqki toqki qiixto koordinati se broe-

vite od prvite dve koloni na gornata tabela:

(153, 124), (155, 222), (157, 405), .....

niv vkupno 21, dobivame toqkasta kriva L1, takanareqena empiriska

kriva na normalna raspredelba na frekvenciite.

Ako od empiriskite podatoci formirame biometriska tabela

i so nejzina pomox presmetame


x = 171cm, σ = 6, 82cm

moeme da formirame konkretna Gausova funkcija na gustina na

normalnata raspredelba na verojatnostite za ovoj sluqaj

f(x) =1

6, 82√

6, 28e− (x−171)2

2·(6,82)2

Ovaa funkcija f(x) e gustina na raspredelbata na verojatnos-

tite, i ne ja dava relativnata frekvencija, nitu pak n · f(x).

Znaqeǌe na frekvencija ima integralot vo mal interval

xk+1∫

xk

nf(x)dx =

xk+1∫

xk

28595

6, 82√

6, 28e− (x−171)2

2·(6,82)2 dx

i za vakvi mali intervali vai priblino

xk+1∫

xk

nf(x)dx = ∆k · nf(x)

kade

x =xk + xk+1

2

Na crteot, frekvencijata e presmetana so pomox na ploxti-

nata

Na primer, za x = 171 ke zememe interval [xk, xk+1] = [170, 172] i

taka imame frekvencija

f∗(171): f∗(171) = ∆xk· f(171) · n = 2 · 28595

6,82√

6,28e− (171−171)2

2(6,82)2 = 3346, 22

kade x = 171 e sredina na intervalot [170, 172]; x = 173 e sredina


na intervalot [172, 174], itn.

Ako sega na istiot koordinaten sistem na koj e skicirana kri-

vata L1 naneseme novi toqki

(x, f∗(x))

kade f∗(x) se dobiva na naqin pogore opixan, i kade x e broj od

intervalot 153 ≤ x ≤ 193, zemen vo ramnomerni sredni toqki do

podintervalite, dobivame vtora kriva L2, koja se vika teoriska

kriva na normalna raspredelba na frekvenciite. Konstatirame

deka krivata L2, dobiena po postapka na integriraǌe na nf(x) kako

vo gorniot primer, e mnogu bliska do krivata L1.

Moe da se pokae deka teoriskata kriva y = f∗(x) nacrtana

so integral od Gausovata funkcija e najdobra priblina nepreki-

nata kriva do nizata toqki Mn(xn, yn) dobiena od eksperimentalni

rezultati.

Isto kako i vo ovoj primer, i sekoja druga normalna raspre-

delba ima svoja matematiqka formula vo vid na eksponencijalna

funkcija, koja zavisi od osnovnite statistiqki parametri na eg-

zemplarot n, x, σ. Da izbereme dve mnoestva so ista brojnost n

i isti sredini x1 = x2 no so razni standardni devijacii σ1 = σ2.

Formulata bitno zavisi od σ.

Mala standardna devijacija nastanuva ako poveketo od rezul-

tatite se grupiraat okolu sredinata, a samo mal broj od niv bega

levo ili desno. Otstapuvaǌata ∆xi = xi − x se mali, i taka e

σ1 mala. Grafiqki, Gausovata kriva e tesna, strmna i visoka.


Bidejki σ1 e malo, i intervalot (x − σ1, x + σ1) okolu sredinata e

mal, no sepak vo nego se skoro site golemi frekvencii, a nadvor

od nego se mal broj frekvencii i mali po golemina. Eksperimen-

tot e uspexen i statistiqkata slika e dobra. Moni se sigurni

zakluqoci.

Golema standardna devijacija na stanuva ako se otstapuvaǌata

∆xi = xi−x golemi. Togax nema tolku izraziti frekvencii okolu

x, tuku se tie dekoncentrirani po celiot interval po x. Inter-

valot (x − σ2, x + σ2) e xirok i zafaka dosta frekvencii, no zatoa

ima i dosta frekvencii nadvor od ovoj interval. Statistiqka

slika na pojavata e disperzirana, i ne e najpovolna za donesu-

vaǌe zakluqoci.

Verojatnosta na pojavata na frekvencijata pri normalnata

raspredelba

Ako pojdeme od Gausovata funkcija na gustina na raspredelba

na verojatnostite

f (x)=1

σ√

2πe-

(x−x)2

2σ2

vidovme deka frekvencijata za toqkata x moe da se presmeta so

integral vo edel mal interval okolu taa toqka x:

frekvencija =

∫ xk+1

xk

nf (x)dx.

Pod verojatnost na pojavata na nekoja frekvencija ja podrazbi-

rame nejzinata relativna frekvencija


P (x, so frekvencija f) =frekvencija

brojnost=

n∫ xk+1

xkf (x) dx

n=

=

∫ xk+1

xk

f (x) dx =1

σ√

2π

∫ xk+1

xk

e−(x−x)2

2σ2 dx.

Ako sakame verojatnost na pojava na opredeleni frekvencii

vo site toqki x na eden interval [A, B], taka istiot interval ke

go razdelime na mnogu posledovatelni mali intervali takvi xto

U [xk, xk+1] = [A, B] i togax vkupnata verojatnost

P (site x ∈ [A, B]) =

=1

σ√

2π

∫ x1

x0

e−(x−x)2

2σ2 dx + ... +

∫ xk+1

xk

e−(x−x)2

2σ2 dx + ... +

xn∫

xn−1

e−(x−x)2

2σ2 dx

=

= 1σ√

2π

∫ B

Ae−

(x−x)2

2σ2 dx.

Za presmetuvaǌe na ovie integrali se vrxi transformacija

na koordinati koja gi uprostuva presmetuvaǌata. Ako namesto x

vovedeme nova nezavisna promenliva t so zamenata:

x − x

σ= t

dobivame

f(x + σt) = f1 (t) =1

σ

1√2π

e−t2

2

kade gustinata na verojatnosta e sega izrazena samo preku stan-

dardnata devijacija, i edna funkcija od t koja posebno se na-

glasuva:

ϕ (t) =1√2π

e−t2

2

i se vika Gausova kriva na verojatnost. So nejzinata pomox

gustinata na raspredelbata na verojatnostite pri normalnata


raspredelba pri dadena karakteristika x iznesuva

f1 (t) =1

σϕ (t)

kade t = x−xσ

.

So smenata x−xσ

= t intervalot po x, [A, B], se transformira vo

interval [a, b] po t. Vo nego verojatnosta na pojavata na frekven-

cijata f1 (t) vo edna toqka t ke ja opredelime so interval od tk do

tk+1 okolu toqkata t kako sredna toqka

P (t) =

∫ tk+1

tk

f1 (t) dx

kade maliot interval dx treba da se zameni so soodveten mal dt.

Ako sakame verojatnost na pojavata na frekvencii ne vo edna

toqka, tuku vo cel eden interval: a ≤ t ≤ b, treba oqigledno

da gi presmetame site verojatnosti vo toqkite t1, t2, t3, ..., tk od toj

interval t. e. za site ordinati megu a i b. Zakluquvame deka ovie

ordinati formiraat edna povrxina zagradena so Gausovata kriva

na verojatnosta, del od t- oskata megu toqkite a i b i ordinatite

vo krajnite toqki.

( )

1 2 30t a t t t b

P a t b

=

£ £

. . .

Ovaa ploxtina e merka na verojatnosta na pojavata na site

frekvencii za karakteristiqni t megu a i b, i kako xto prethodno

znaeme e integral. Znaqi,

Ptotalna =n∑

k−1

Pk =n∑

k−1

∫ tk+1

tk

f1 (t)dx =

∫ b

a

f1 (t)dx.


Ako krajnata toqka b = t e promenliva, a poqetnata toqka a = 0,

togax e i verojatnosta promenliva, pa imame

x − x

σ= t, x =x + σ, dx =σdt

i taka e

P (t)=

∫ t

0

1

σ

1√2π

e−t2

2 σdt =

∫ t

0

1√2π

e−t2

2 dt =

∫ t

0

ϕ (t) dt.

Funkcijata xto se dobiva na ovoj naqin se belei so

Φ(t) =

∫ t

0

ϕ (t)dt =

∫ t

0

1√2π

e−t2

2 dt

i se vika interval na verojatnosta. Za operiraǌe so nego ne treba

poznavaǌe na vixata matematika, bidejki istata e tabelirana, i

tabelata moe da ja koristi sekoj xto e malku upaten. Tabelata

e ednostavna

Taa se koristi vo prognozi na verojatnostite.

Interval na doverba

Formiranata funkcija na normalnata raspredelba moe da slu-

i da presmetame frekvencii za ovie karakteristiki x koi ne se


mereni, a koi se naogaat megu dve mereni karakteristiki xk i xk+1

(takanareqenata interpolacija), ili da otkrieme frekvencii za

onie x koi se nadvor od intervalot na razgleduvanoto mnoestvo

(ekstrapolacija); potoa da opredelime verojatnost na pojavata na

nekoja frekvencija, vo toqka ili vo interval; no toa e samo del

od primenata na normalnata raspredelba. Edno drugo praxaǌe,

mnogu suxtestveno vo teorijata na eksperimentot, se nalouva.

Za praktikata qestopati e vano praxaǌeto koja e verojat-

nosta nekoe otstapuvaǌe da se naoga vo opredeleni granici. Ako

merenata goleminata e x, sredinata x, togax otstapuvaǌeto e x−x.

Vano e ova otstapuvaǌe da ne e nitu pregolemo, nitu premalo,

t. e. da se naoga vo opredeleni granici, megu −l i +l:

−l ≤ x−x ≤ +l.

Ako vo funkcijata na normalnata raspredelba izvrxime trans-

formacija na koordinatniot sistem stavajki

t =x− x

σ

dobivame

f1 (t) =1

σ√

2πe−

t2

2 .

Ako neravenkata koja go ograniquva otstapuvaǌeto ja podelime

so σ, dobivame

−l

σ≤ x − x

σ≤ + l

σ

ili

−l

σ≤ t ≤ + l

σ

Verojatnosta otstanuvaǌeto x−x da e megu −l i +l, xto se

pixuva simboliqki

P (x, |x− x| < l)


e dadena so integralot:

P (x, |x− x|) < l) = P (−l < x− x < +l) = P (x − l < x < x + l) =

=

∫ x+l

x−l

1

σ√

2πe−

(x−x)2

2σ2 dx.

Ako vo nego ja izvrxime spomnatata smena x−xσ

= t, dobivame

P (t, |t| <l

σ) =

+ lσ∫

− lσ

1

σ√

2πe

−t2

2 σdt =

+ lσ∫

− lσ

1√2π

e−t2

2 dt

ili

P (t, |t| <l

σ) =

+ lσ∫

− lσ

ϕ(t)dt = Φ(t)∣∣∣+ l

σ

− lσ

kade ϕ(t) e veke spomnatata Gausova funkcija, a Φ(t) e zakon na

verojatnosta. Poradi parnosta na funkcijata ϕ(t) vai

+ lσ∫

− lσ

ϕ (t) dt = 2

lσ∫

0

ϕ (t) dt = 2Φ(t)

∣∣∣∣∣

lσ

0

t. e.

P (t, |t| <l

σ) = 2Φ

(l

σ

)

− 2Φ(0),

kade soodvetnite vrednosti na funkcijata Φ(t) gi naogame od tabli-

cata dadena vo prethodnata lekcija.

Praktiqki e najvano praxaǌeto: koja e verojatnosta nekoe

otstapuvaǌe da e samo vo ramkite na edna standardna devijacija,

t. e.

−σ ≤ x − x ≤ +σ

Ovde −l = −σ, +l = +σ, pa vai −l/σ = −1 i l/σ = +1.

Toa znaqi deka treba da gi presmetame intervalite


P (t, |t| ≤ 1) = 2Φ(1) − 2Φ(0).

Od tablicata naogame

Φ(1) = 0.34234 i Φ(0) = 0

i dobivame odgovor

P (x, |x − x| < 1 · σ) = 0.68268

Taka imame vano tvrdeǌe:

Verojatnosta otstapuvaǌeto x− x da se naoga megu −σ i +σ, t.

e. vo ramkite na edna standardna devijacija iznesuva

P (x, |x − x| < 1 · σ) = 68%.

Znaqi, ako imame normalna raspredelba, i ako sakame rezul-

tatite na mereǌata da bidat gusto rasporedeni vo eden mal in-

terval na otstapuvaǌa, verojatnosta za golem broj frekvencii e

se uxte nezadovolitelna.

Ovoj rezultat znaqi, ako se mernite karakteristiki vo inter-

val so xiroqina σ okolu x

x− σ ≤ x ≤ x + σ,

samo 68% od frekvenciite ke gi pridruuvaat ovie x, a drugite

frekvencii, niv 32%, ke pridruuvaat vrednosti nadvor od ovoj

interval.

Ako go zgolemime ovoj interval od edna standardna devijacija,

na xiroqina od dve standardni devijacii, so elba vo nego da vk-

luqime xto poveke frekvencii, postavuvame praxaǌe koja e vero-

jatnosta otstapuvaǌeto |x − x| da e vo granicite na dve standardni

devijacii:

|x − x| ≤ 2σ


−2σ ≤ x − x ≤ +2σ.

Oqigledno treba da se presmeta integralot

P (x, |x − x| < 2σ) = 2

2∫

0

1√2σ

e−t2

2 dt = 2Φ(2) = 2 · 0, 47725 = 0.95450

ili ako zaokruime vo procenti:

P (x, |x − x| < 2σ) = 95%.

Na onoj naqin ja dobivame slednata vana:

Teorema. Pri normalnata raspredelba verojatnosta P otsta-

puvaǌeto |x − x| da se naoga megu dve standardni devijacii okolu

sredinata x, iznesuva

P (x, |x− x| < 2σ) = 95%

xto znaqi deka 95% od frekvenciite pripagaat na ovoj interval

okolu sredinata, samo 5% od frekvenciite se nadvor od ovoj in-

terval.

Gledame, ako go proxirime intervalot na naogaǌeto na karak-

teristikata dvojno, verojatnosta na naogǌeto na frekvenciite na

ovoj interval mnogu se zgolemuva.

Qekor poveke, ako sakame da ja presmetame verojatnosta otsta-

puvaǌeto da bide vo tripati pogolem interval od edna standardna

devijacija, t.e. −3σ ≤ x−x ≤ +3σ, treba da presmetame P (x, |x − x| <

3 · σ) i toa se pravi na ist naqin kako prethodno, t.e.

P (x, |x − x| < 3σ) = 2

3∫

0

2√2π

et2

2 dt = 2Φ(3) = 0.9973 = 99.7%.

Znaqi, skoro site frekvencii, 99,7% se vo ovoj interval, a


samo 0,3% od niv se nadvor od nego, xto moe da se zanemari i

otfrli.

Ovoj rezutat e mnogu interesen i vaen i za teoriska i za

praktiqna interpretacija i na standardnata devijacija i dava

istaknata uloga pri statistiqkite metodi.

Da go razgledame primerot od prethodnata toqka: bioloxki

kolektiv se luge mereni po nivnata visina x. Ima luge so visina

pogolema od proseqnata, i ima luge so visina pomala od pro-

seqnata. Xto poveke se oddalequvame od prosekot, ke bide pomal

brojot na luge so mala visina, a isto taka ke bide pomal brojot

na visoki luge. Soodnosot megu x, standardnata devijacija σ i

procentot na verojatnosta na naogaǌeto na taa visina e daden so

prethodnite teoremi.

Konvencija. Voobiqaeno e da se uvauvaat samo otstapuvaǌa-

ta koi se vo granicite megu −2σ i +2σ, bidejki niv gi ima najveke,

95%, a onie otstapuvaǌa koi gi nadminuvaat ovie granici, ne se

smetaat za vani (niv gi imame mnogu malku, i bidejki verojat-

nosta na ovie sluqai e se na se najveke 5%).

Znaqi, za da bide

−2σ ≤ x − x ≤ 2σ

t. e. za

x − 2σ ≤ x ≤ x + 2σ

vai

P (x, |x − x| ≤ 2σ) = 95%

i

P (x, |x − x| ≤ 2σ) = P (x, |x − x| ≥ 2σ) = 5%.

Primer. Da go zavrxime primerot so n = 28595 regruti.

Naogame na poznat naqin


x = 171cm σ = 6, 82

Vo intervalot

x − σ ≤ x ≤ x + σ

t. e. megu

171 − 6, 82 ≤ x ≤ 171 + 6, 82

164, 18cm ≤ x ≤ 177, 82cm

se naogaat 68% od regrutite, t. e.

68100

· 28595 = 19444 regruti.

Vo intervalot

x − 2σ ≤ x ≤ x + 2σ

t. e.

171 − 2 · 6, 82 ≤ x ≤ 171 + 2 · 6, 82

t. e.

157, 36cm ≤ x ≤ 184, 64cm

se naogaat 95% od regrutite t. e.

95100

· 18595 = 27165 regruti.

Site visini x pomali od 157,36 i pogolemi od 184,64 se poma-

lku od 5%. I navistina, od tabelata gledame deka takvi sluqai

ima 1218 xto e pomalo od 5%.

Vo intervalot

x − 3σ ≤ x ≤ x + 3σ

t. e. vo

171 − 3 · 6, 82 ≤ x ≤ 171 + 3 · 6, 82

t. e. megu

150, 54cm ≤ x ≤ 191, 46cm

se skoro site frekvencii.

Definicija. Intervalot merni vrednosti na x:


−2σ ≤ x − x ≤ 2σ

t. e.

x − 2σ ≤ x ≤ x + 2σ

se vika interval na doverba (ili interval na sigurnost) bidejki

95% od frekvenciite se odnesuvaat do vrednostite na karakter-

istikite od ovoj interval, a samo 5% od frekvenciite se nadvor

od ovoj interval.

Grafiqki, toa izgleda vaka

Za vanosta na intervalot na doverbata pri tolerantnosta

na grexkata.

Znaqeǌeto na standardnata devijacija pri mereǌata bilo ot-

krieno i dokaano od golemiot matematiqar Karl Fridrih Gaus

(1777-1885). Toa bilo pronajdeno pri prouquvaǌe na grexkite

pri mereǌeto. Potoqno, celata teorija xto pogore ja objasnivme

bila otkriena na sledniot naqin.

Ako vrxime nekoi mereǌa, pri tie mereǌa redovno ke ima

nekoi grexki. Priqinata za niv e od subjektivna priroda, bidejki

onoj koj vrxi mereǌe ne moe istoto da go sproveduva sosema

toqno, poradi netoqnosta na instrumentot, kako i poradi netoqno-

sta na otqituvaǌeto. Zatoa zadolitelno pri sekoe mereǌe ke

ima grexki. Pri toa zabeleano e deka malite grexki |x − x| se


i najqesti, a golemite grexki |x− x| se relativno retki i spored

toa imaat mala verojatnost.

Se pokauva deka za verojatnosta na grexkata pri mereǌata

vai istata ovaa verojatnost dobiena pri normalnata raspre-

delba. Ako pri nekoe mereǌe znaeme prosek, togax moeme da

procenime dali nekoi grexki pri mereǌata se vani ili ne se.

Ako za nekoe mereǌe najdeme deka grexkata se naoga vnatre vo

granicite [x − 2σ, x + 2σ] na dvojnata standardna devijacija okolu

x, togax taa grexka moe da se tolerira. Nasproti toa, ako pri

nekoe mereǌe nekoja grexka e pogolema od 2σ ili eventualno od

3σ, toa mereǌe ne se uvauva, smetajki deka takva pojava e mnogu

malku verojatna i se raboti za otstapuvaǌe koe mnogu retko nas-

tanuva.

Mereǌata pri koi grexkite se naogaat vnatre vo granicite od

dve standardni devijacii okolu sredinata gi smetame za dobri,

bidejki za takvi mereǌa so takvi mali grexki imame verojatnost

od 95%. Samo 5% od grexkite se pogolemi i se nepoelni.

Taka, istite termini na doverlivnosta od teorijata na nor-

malnata raspredelba na frekvenciite vo bioloxkite problemi

vaat i vo teorijata na grexkite na mereǌata.

Ova e edna verifikacija na univerzalnosta na matematiqkite

postapki i zakoni.

4.15 Standardna grexka i metod na odbrani primeroci

Mnoestvata vo biologijata se mnogubrojni, no sepak koneqni.

Na primer:

- broj na site kletki vo edno tkivo

- broj na site lisja na edno drvo

- broj na site mikroorganizmi vo edna populacija na edinica

volumen.

Obiqno e


N >> 103

xto e golema brojnost za manipulativna i tehniqka obrabotka.

Zatoa nie ne sme vo monost da go obrabotime celoto toa mno-

estvo elementi, pa sme prinudeni da obrabotime eden odbran

primerok, eden mal izbor od golemiot broj N , edna mostra, eden

egzemplar, izbirajki gi elementite na eden sluqaen naqin. Mora-

me da se sluime so metod na primeroci (odbrani primeroci).

Osven problemot so golemata brojnost, nie ne moeme i od

drugi priqini da rabotime so celoto mnoestvo XN-statisti-

qkata masa, bidejki toa qestopati mora da se unixti, na primer,

cela rezerva eksperimentalni ivotni samo za eden eksperiment.

Taka, se sooquvame so samata suxtina na statistikata.

Primer 1. Pri popisot, 22 milioni Romanci se popixuvaat

samo za osnovni podatoci, iskaani so usmena izjava. Bi bilo

mnogu skapo vo popisot da se zemaat i drugi egzaktni podatoci,

na primer antropoloxki meri: visinata, teinata i drugi de-

tali i tie da se obrabotuvaat. Zatoa od tie 22 milioni Romanci

se izbiraat 10 000 od razni mesta vo site regioni od godixni

vozrasti vo interval 2-3 godini, i tie se merat. Znaqi, odbran

primerok se tie 10000.

Taka sega se postavuva slednoto:

Osnovno praxaǌe. Dali od pomaloto mnoestvo egzemplari

moe de se zakluqi deka i pogolemata statistiqka masa se odne-

suva na ist naqin. Dali prosekot na pomaloto mnoestvo e ist so

prosekot na celata masa, i dali pravilnostite vo raspredelbata

vo maloto mnoestvo se isti i se zapazuvaat kako pravilnosti i

zakoni vo celata statistiqka masa.

Ova e centralen problem na biometrijata i na statistikata.

Odgovorot na ova praxaǌe, ako e pozitiven, dava pravo na

eksperiment, na donesuvaǌe zakluqoci od eksperiment, na sigur-

nost. Toa dava pravo na indukcija, na premin od maloto mno-

estvo kon pogolemoto.

Odgovor na ova praxaǌe, dava biometrijata (t. e. statis-


tikata) i toj e negativen. Pri toa, osnovna uloga igra vidot na

raspredelbata i standardnata devijacija.

Odgovorot se dobiva na sledniot naqin:

Neka statistiqkata masa bide sostavena od golem broj prime-

roci:

X1, X2, ..., Xn, Xn+1, ..., Xp, ..., XN

Praktiqno, za nas e

N = ∞

bidejki nikogax site Xk ne ke moeme da gi ”dopreme”, podredime,

izmerime. Na nekoj sluqaen naqin izbirame od ovaa masa nekoe

podmnoestvo

X2, X5, ..., Xk, ..., Xm

koe sodri n elementi vo nekoj redosled. Ako prenumerirame, go

dobivame sledniot egzemplar:

x1, x2, ..., xn so brojnost n << N.

Taka imame dve mnoestva

xn ⊂ XN .

koi imaat svoi aritmetiqki sredini i standardni devijacii,

x, σx i soodvetno X, Σx.

Nie moeme lesno da ja presmetame sredinata x i standard-

nata devijacija σx na izbraniot primerok, bidejki n e koneqen; no

ne moeme da gi najdeme X i ΣX , bidejki N e ogromen ili ne e

koneqen, pa aritmetiqkite operacii vo sumite na X i ΣX ne moat

da se izvrxat. Zatoa se praxuvame moe li (x, σx) da se upotre-

buvat za prognoza na(X, ΣX

)i ima li vrska megu ovie osnovni

parametri. Dali na primer vai


X = x? i ΣX = σx?

Odgovorot na ova praxaǌe go dava statistikata, so slednata

Teorema. Pri statistiqki soodnosi koga od edna statistiqka

masa se oddeluva podmnoestvoto

xn ⊂ XN

kade vladee normalna raspredelba i kade n << N moe da se zeme

priblino

X = x i ΣX = σx.

Definicija. Brojot

σn =σx√n

kade σx e standardna devijacija na primerokot, a n e brojnosta na

primerokot, se vika standardna grexka na procenkata, i istiot

ja pretstavuva najgolemata grexka na priblinoto ravenstvo

X ≈ x

t. e. σn e edna gorna granica za razlikata megu dvete aritmetiqki

sredini

∣∣X − x

∣∣ ≤ σn.

So ovie parametri x i σx moe da se izvrxi i procenka na

intervalot na signifikantnosta na golemata statistiqka masa so

normalna raspredelba, imeno

X − 2ΣX ≤ X ≤ X + 2ΣX

Ako zamenime X = x, Σx = σx, imame

x − 2σx < X < x + 2σx

i ja dobivame prognozata:


95% od statistiqkata masa X se vo intervalot

(x − 2σx, x + 2σx)

i samo 5% elementi se nadvor od ovoj interval.

Sredinata X (koja xto ne moe da ja presmetame) na celoto

statistiqko mnoestvo se dobiva so pomox na dobienata sredina

na primerokot x so grexka 2σn i taa se naoga na intervalot

x− 2σn ≤ X ≤ x + 2σn

t. e.

x − 2σx√n

≤ X ≤ x +2σx√

n

t. e.

X ∈[

x− 2σx√n

, x +2σx√

n

]

.

Primer 2. Prognoza na starosta na populacijata. Izbrani se

sluqajno 130 rodilki koi ragaat za prvpat, i nivnata starost e

broena vo momentot na ragaǌeto na prvoto dete. Najdena e sred-

nata starost na rodilkitte x = 21, 8 godini. Standardnata de-

vijacija na tie 130 rodilki e presmetana i iznesuva 4,8 godini.

Kolkava e proseqnata starost na site eni rodilki od taa popu-

lacija, od koja e izbran primerokot, vo moment na ragaǌeto na

prvoto dete?

Rexenie. Imame

n = 130, x = 21, 8; σx = 4, 8.

Ottuka naogame

σn = 4,8√130

= 0, 42; 2σn = 0, 84.

Pa intervalot na prosekot na prvorodilkite e

21, 8 − 2σn ≤ X ≤ 21, 8 + 2σn

20, 96god. ≤ X ≤ 22, 64 god.


Znaqi, ako vo celata populacija X ima na primer 100 000

rodilki, nivnata proseqna starost pri ragaǌeto na prvoto dete

ke bide megu 20,9 i 22,6 godini.

Primer 3. Problem na insekti koi texko se lovat. Se prouqu-

va mnoestvo od golem broj insekti, no koi mnogu texko se lovat.

Uloveni se samo 25 od tie insekti so cel da se meri nivnata

dolina. Taka se izvrxeni 25 mereǌa. Dolinite se grupirani

po klasi so opredeleni frekvencii, so qekor od 0, 3mm. Taka e

dobiena slednata tabela:

ix

tf

ix x-

2

ix x-

2

i if x x-

3,4 mm 2 - 0,6 0,36 0,72

3,7 8 - 0,3 0,09 0,72

4,0 5 0,0 0,00 0,00

4,3 8 + 0,3 0,09 0,72

4,6 mm 2 + 0,6 0,36 0,72

4x = 25n = 0i

xD =å / ( )2

2,88i if xD =

=å

Se postavuva osnovnoto praxaǌe, moe li ovoj egzemplar od 25

edinki da bide signifikaten i da ja zamenuva celata ovaa ogromna

populacija insekti?

Ova bi moelo da bide suxtinsko praxaǌe pri ispituvaǌe na

tie vidovi.

Naogame: x = 4, 0 ; σx = 0, 3394; C.V. = 0, 085; C.V.% = 8, 5% i

standardnata grexka na procenkata iznesuva

σn =σx√n

=0, 34√

25=

0, 34

5= 0, 07

Intervalot na proseqnata dolina e


x− 2σn ≤ X ≤ x + 2σn

4, 0 − 0, 14 ≤ X ≤ 4, 0 + 0, 14

3, 86 mm ≤ X ≤ 4, 14 mm

t. e. moe da se oqekuva 95% od site insekti od ovoj vid da

imaat sredni dolini koi se vo ovoj interval, a samo 5% moat

da bidat so sredni dolini nadvor od ovoj interval.

Primer 4. Procenka na kvalitetot na stokata. Pret-

prijatie naraquva volneni vlakna so debelina od 28 mikroni, vo

golemo koliqestvo. Koga stokata e dojdena vo bali, treba da se

proveri dali taa e so toj baran kvalitet, t. e. so debelina od 28

mikroni. Toa moe da se konstatira samo so metodot na sluqajno

odbrani primeroci.

Vrxeni se 110 mereǌa na debelinata na vlaknata sluqajno

izvleqeni od sekoja bala, na razni mesta od balata, sluqajno

izbrani (xtih-probi). Taka e najdena aritmetiqkata sredina na

egzemplarot x = 27, 6 mikroni, i e presmetana standardnata de-

vijacija koja iznesuva 3 mikroni. Dali moe da se pretpostavi

deka otstapuvaǌeto od 27,6 mikroni do 28 mikroni e sluqajno t.

e. vo ramkite na dozvolenoto; ili otstapuvaǌeto ne moe da se

dozvoli, i stokata ne e kvalitetna ?

Odgovor. n = 110, X = 28µ ; σx = 3µ, x = 27, 6µ

σn =σx√n

=3√110

= 0, 286µ

Intervalot na sredinata na populacijata e

X − 2σn ≤ x ≤ X + 2σn

28 − 0, 572 ≤ x ≤ 28 + 0, 572


27, 428 ≤ x ≤ 28, 572

Bidejki e izmerena sredna debelina x = 27, 60 i taa e megu ovie

vrednosti, t.e.

27, 428 < 27, 60 < 28, 572

i bidejki razlikata megu dvete sredini X i x

∣∣X − x

∣∣ = 28 − 27, 6 = 0, 4 < 2σn = 0, 572

e pomala od dvojna standardna grexka na procenkata toa znaqi

deka srednoto vlakno e vo intervalot na doverlivosta, xto znaqi

deka stokata e ispravna, i moe da se primi. Otstapuvaǌata se

sluqajni i se dozvoleni.

4.16 Poim za korelacija

Vo biologijata nixto ne se sluquva nezavisno edno od drugo.

Sekoja pojava ima svoj priqinitel, i svoi posledici. Nema izd-

voeni, izolirani, nezavisni pojavi. Ako se razgleduva i meri

nekoja karakteristika X, togax sekogax postoi barem uxte edna

karakteristika Y , na nekoj naqin povrzana so X. A gi ima obiqno

poveke, koi se vo pogolema ili pomala merka povrzani so X. Vakvi

vrski i zavisnosti megu X i Y vo matematikata gi vikame fun-

kcii. Vo biologijata gi ima tolku mnogu, xto ne moat da bidat

site opixani. Nie vo knigava veke imavme mnogu rabota tokmu so

funkciite.

Primer. Pri sekoe mereǌe karakteristikata e pridruena

od svojata frekvencija. Taka ja imame slednata dobro poznata

tabela:


Taa opredeluva tabelarno edna funkcija y = f(x) t. e. zavis-

nosti megu karakteristiki i nivnite frekvencii. Vidovme deka

ovaa funkcija vo sluqaj na normalnata raspredelba moe mnogu

toqno da se prikae i analitiqki, so formula, preku Gausovata

normalna funkcija na raspredelbata:

y = f(x) =n

σ√

2πe

−(x−x)2

2σ2

Taka imame dva oblika za edna ista funckija. Prviot oblik-

tabelaren, e dobien od mereǌeto, od eksperimentot, na najneposre-

den i najpriroden pat. No, qestopati toj ne ja pokauva dovolno

jasno zavisnosta, t.e. taa treba da se otkriva so analiza. Vto-

riot oblik - formulata, e dobien so matematiqka generalizacija,

niz razgleduvaǌe na golem broj vakvi pojavi.

Edna od zadaqite na matematikata i statistikata e da otkriva

zakonitosti ako se raspolaga so podatoci dobieni od nekoj eksperi-

ment. Po monost, poelno e toj zakon da bide daden vo kratka

forma, kakvi xto se obiqno golemite fiziqki i hemiski zakoni.

No toa ne e sekogax mono, bidejki za biologijata se karak-

teristiqni vrskite megu poveke golemini, koi se texki za matema-

tiqko opixuvaǌe. Pritoa, edna golemina zavisi od poveke od niv,

ili od site, i istovremeno i site zavisat megu sebe. Taka imame

sekogax vsuxnost funkcii od poveke promenlivi.

Primer. Vo toqkata za normalna raspredelba imavme tabela

vo koja visinite na lugeto se vo vrska so nivnata frekvencija

f(x), i toa bexe edna tipiqna funkcija od edna nezavisna promen-

liva od gorniot oblik (tabelaren i analitiqki). No, istite luge

imaat i teina, a od iskustvo znaeme deka povisokite luge imaat

pogolema teina t. e. teinata e pravoproporcionalna so visi-

nata. Ovde terminot proporcionalnost ne e vo bukvalna smisla,

no treba da se sfati samo naqelno, vo masa pojavi i podatoci.

Tokmu ovoj vid porporcionalnost vo opxta smisla e najvaen

vid na funkcionalna zavisnost vo biologijata, koja se vika ko-

relacija. Taa moe matematiqki da se formulira na sledniot

naqin:


Neka e x visinata na lugeto vo cm, i neka e f(x) frekvencijata

na lugeto spored visinite x. Neka e y teinata na lugeto i neka e

F (y) frekvencija na lugeto spored nivnata teina, pri xto f i F ,

vo opxt sluqaj, se sosema razliqni funkcii. Se postavuva sega

osnovno praxaǌe, kakva vrska postoi megu visinata x, teinata

y, frekvenciite f(x) i F (y), i ima li edna zaedniqka frekvencija

i po visina i po teina t. e. funkcija od dve nezavisni promen-

livi (x, y). Na sliqen naqin moat vo biologijata da se otvorat

praxaǌa vo vrska vo funkciite od poveke promenlivi: x, y, z, ..., t:

W = W (x, y, z, ..., t)

Nie na poqetokot ke se zadrime samo na funkcii od dve neza-

visni promenlivi, t. e. ke razgledame zaedniqki frekvencii

f(x, y) od dve mereni karakteristiki, koi ne se sosema nezavisni

vo matematiqka smisla.

So nekoi mereǌa na visinite i teinite konstatirani se sled-

nive podatoci:

Ako ja razgledame tabelata, moeme da go konstatirame sled-

noto:


Prvo, karakteristikite x i y se odnesuvaat do klasi rezultati.

Na primer, visinata x = 157, 5cm znaqi vo taa klasa site visini

x se megu 155, 5 cm i 159, 5cm;

Sliqno, x = 161, 5 znaqi ova x da gi opfaka i gi zamenuva site

visini megu 159, 5 i 163,5:

x = 161, 5 ⇔ 159, 5 ≤ x ≤ 163, 5cm

Sliqno, y = 54kg znaqi:

51, 5kg ≤ y ≤ 56, 5kg itn.

Vtoro, normalnata distribucija na frekvenciite, na koja sme

sviknale, ima samo po horizontala, t. e. za edna teina y ima

normalna distribucija na x. No za edna visina x ima razliqni

teini y qija raspredelba na frekvenciite ne e od prouqeniot

tip. Ako formirame dvojki:

(visina, teina)= (x, y)

i barame frekvencija vo odnos na par podatoci, ke dobieme tret

odgovor. Gledame deka praxaǌeto sega ne e taka ednostavno: i

ima i nema normalna distribucija. Osven toa, moeme da barame

posredno, preku frekvenciite, i vrska megu x i y. Se praxuvame,

moe li od tabelata da se zakluqi koja pravilnost postoi megu

x i y, bidejki nie od prosto iskustvo znaeme deka takva mora da

postoi. No, da se odgovori na toa ne e taka ednostavno: na edna

visina i odgovara ne edna teina, tuku poveke, i obratno. Zatoa

nie nemame izbor tuku na sekoja visina da i opredelime proseqna

teina, so pomox na aritmetiqka sredina. Na primer, ako na

visinata x = 157, 5cm i odgovaraat

teini y ∈ 54, 59, 64so frekvencii f(y) ∈ 9, 10, 3od niv ja dobivame proseqnata teina

y =9 · 54 + 10 · 59 + 3 · 64

22= 57, 64.


Na vakov naqin, na sekoja poedineqna visina x opredeluvame

proseqna teina

Ako formirame toqki so koordinati (x, y) i gi pretstavime

grafiqki dobivame eden raspored na toqki koj e skoro linearen,

t. e. toqkite se rasporedeni skoro po edna prava.

Zabeleuvame deka vrskata megu visinite i soodvetnite pro-

seqni teini za sekoja visina e skoro linearna xto od tabelata

ne moeme vednax da uvidime. Ovoj grafik znaqi deka sepak pos-

toi pravilnost megu goleminite x i y i nadvor od normalnata

raspredelba.

Na ist naqin moeme da barame vrska, obratno megu teinata

y i visinata x. Za edna teina y imame poveke visini. Na primer

za teinata y = 54kg imame soodvetni

visini x ∈ 157, 5; 161, 5; 165, 5; 169, 5; 173, 5


so frekvencii f(x) ∈ 9; 23; 13; 4; 1pa nivnata aritmetiqka sredina e proseqnata visina:

x1 =9 · 157, 5 + 23 · 161, 5 + 13 · 165, 5 + 4 · 169, 5 + 1 · 173, 5

9 + 23 + 13 + 4 + 1= 162, 70.

Ako na ovoj naqin za sekoja edna teina presmetame sredni

proseci na visinite, imame dvojni vrednosti:

Ako formirame toqki so koordinati (x, y), i gi pretstavime

grafiqki dobivame eden raspored na toqki koj e skoro linearen,

t. e. toqkite se rasporedeni skoro po edna prava.

Ako sega posebno pretstavime sekoj par mereni vrednosti:

(visina, teina)= (xkg, ycm)


kako edna toqka, i toa go napravime so sekoja dvojka, bez da barame

sredini, ke dobieme eden oblak toqki, ograniqen so dimenziite na

tabelata.

Ako na ovoj ist koordinaten sistem gi naneseme istite dobi-

eni pravi, zaradi sporedba tie ke bidat razliqni. Toa znaqi deka

vrskata megu xi i soodvetni sredini yi i ne e ista so vrskata megu

xi i yi. Znaqi, edno nexto e funkcijata megu teinata na teloto

i soodvetnite visini, a drugo nexto e vrskata megu visinata na

teloto i soodvetnite teini. Ovaa pojava e karakteristiqna za

takanareqenite stohastiqki procesi. Vo niv vrskite xi ↔ yi se

vikaat korelacii, ili korelacioni vrski, i se osnovni matemati-

qki tipovi funkcii vo biologijata. Tie zasluuvaat popodrobno

da gi objasnime.

4.17 Stohastiqki procesi. Linearna korelacija

Vo egzaktnata matematika, pri funkciite opredeli so stro-

giot znak =, so strogata formula y = f(x) e opredeleno edno ge-

ometrisko mesto na toqki (x, y), vo koe x e prva koordinata, a y e

vtorata. Toa e nekoja linija (kriva ili prava L) na koja toqno

leat site toqki (x, y). Ako se iskoristi inverznata funkcija,

koja se dobiva koga ravenstvoto y = f(x) ke se rexi po x : x = x(y)


i vaka sega se formiraat parovi toqki so koordinati (y, x(y)),

nivnoto geometrisko mesto ke bide istata taa kriva linija L. Na

primer, ako funkcijata e parabola y = x2, inverznata funkcija ke

bide x =√

y a toa e istata taa parabola, samo sega prvata koor-

dinata neka e y, a vtorata x(y), taka xto parabolata ima druga

poloba. Vo ovoj sluqaj imame direktna funkcija y(x) i inverzna

funkcija x(y), koi ne gi smetame za razliqni, bidejki se zadadeni

so istata formula.

Ako vo bioloxkite proquvaǌa merime nekoi zavisnosti, naj-

qesto dobivame tabeli so frekvencii kako vo gorniot primer. Ako

sekoj meren par vrednosti (xi, yj) go naneseme kako toqka vo koor-

dinatniot sistem, ke go dobieme veke spomnatiot oblak od toqki

vo XOY ramninata. Toa e edno koneqno, ograniqeno i diskretno

mnoestvo. Toa mnoestvo prikauva (tabelarno i grafiqki)

edna ”funkcija”, isto kako funkciite od strogata matematika

opredeleni so strogoto ravenstvo. Ovie ”funkcii” se oqigledno

eden sosema nov vid funkcii, edni nestrogo matematiqki opre-

deleni funkcii so mnoestvo diskretni (oddelni) podatoci, koi

gi vikame stohastiqki funkcii. Jasno e deka postoi bioloxka

vrska megu vrednostite x i y, no toa ne moe taka prosto mate-

matiqki da se iskae. Bioloxki proces koj doveduva do pojava,

vrska i promena na zaemno povrzanite veliqini, matematiqki nosi

ime stohastiqki proces, a samata vrska x ↔ y stohastiqka funk-

cija. (Zborot ”stohastiqki” doaga od eden grqki zbor koj znaqi

nasetuvam). Vo gornoto mnoestvo od toqki (xi, yj) (oblak, masa)

se oddeluvaat kako posebni funkcii vrskite megu xi i soodvetni

sredini yi i vrskite megu sredinite xi i soodvetni yi. Toa se

pravite L1(xi, yi) i L2(xi, yi). Tie so svojata razliqnost oznaqu-

vaat deka edna e vrskata megu toqkite (xi, yi), a druga megu toqkite

(xi, yi). Gledame deka pri stohastiqkite procesi direktnata i in-

verznata funkcija bitno se razliqni, i poznavaǌeto na ednata ne

znaqi poznavaǌe i na vtorata; tuku i dvete moat da se osoznaat

samo ako se znae celiot stohastiqki proces. Gledame deka sto-

hastiqka vrska ne e isto xto i funkcionalen odnos od egzaktnata


matematika, no sepak toa e jasno odbeleana vrska, vo ovoj sluqaj

so pomox na dve pravi. Ovaa stohastiqka vrska se vika uxte i

korelacija (toa e latinski zbor xto znaqi vrska, povrzuvaǌe).

Vo naxiot primer imame korelacija megu visini x i soodvetni

teini y, i druga korelacija megu teini y i soodvetni visini

x. Ako taa korelacija se opredeluva so dve pravi

L1 : (xi, yi) ↔ (xi, yi) : L2

taa se vika linearna korelacija. No ne sekogax grupiraǌeto

po sredini dava zadolitelno linearni vrski. Moni se i qesti

se i nelinearnite vrski. Togax velime deka imame rabota so ne-

linearna ili krivoliniska korelacija. Vo biologijata najqesta

e linearna korelacija, i zatoa nie ovde ke razgleduvame samo li-

nearna korelacija.

Primerot so teini i visini ke go formulirame matematiqki

vo opxt sluqaj:

Neka imame kolektiv vo koj merime dve razni obeleja x i y,

megusebno zavisni. Na edno odbrano xi, i = 1, 2, . . . , k mu pripagaat

poveke razni yij :

xi ↔ yij , i = 1, 2, . . . , k; j = 1, 2, . . . , l

ili

yi1, yi2, yi3, . . . , yil

pri xto sekoj yij

se javuva so nekoja svoja frekvencija fij , sood-

vetno, t.e.

fi1, fi2, fi3 , . . . fil.

Ako sega presmetame aritmetiqka sredina na site ovie yij koi

soodvetuvaat na edno izbrano xi imame

yi =

l∑

j=1

yij · fij

li= Yi, li =

l∑

j=1

fij


i stavime ednoznaqna korespondencija

xi so soodvetno Yi.

Dobivame geometrisko mesto na toqki koe go narekovme kriva

na korelacija, no koe se vika i kriva na regresija, opredelena so

toqkite

Mi(xi, Yi), i = 1, 2, ..., k

(vo opxt sluqaj toa e nelinearna regresija). Vo naxiot primer

toa e pravata L1. Sliqno, neka na edno odbrano yj, j = 1, 2, 3, . . . , l

mu pripagaat poveke razni xji

yj ↔ xji, j = 1, 2, . . . , l, i = 1, 2, . . . , k

ili

xj1, xj2, xj3, . . . , xjk

pri xto sekoj xjise javuva so nekoja svoja frekvencija fji

, sood-

vetno, t.e.

fj1, fj2 , fj3, . . . , fjk.

Ako pak sega presmetame aritmetiqka sredina na ovie xji, imame

xj =

k∑

s=1

fjs · xjs

kj= Xj , kj =

k∑

s=1

fis

i dobienata sredina Xj ja stavime vo korespondencija so yj, pa

imame ednoznaqna vrska

Xj ↔ yj

xto ja narekovme korelacija, a geometriskoto mesto opredleno so

novite toqki

Nj(Xj , yj), j = 1, 2, ..., l


go narekuvame kriva na regresija. Vo naxiot primer toa e vtorata

prava L2. Vidovme i praktiqno deka geometriskite mesta oprede-

leni so Mi i Nj ne se isti, i deka e komplicirano da se bara

nivnata priqinska vrska.

Istrauvaǌeto na korelacionite vrski e edno od osnovnite

matematiqki praxaǌa vo biometrijata.

Primer. Zabeleana e vrskata megu pojavata na tumorni kletki

na edno rastenie, i karakeristiqni crveni fleki na stebloto od

drvoto na istoto rastenie. Neka x bide zabeleuvaǌe na simp-

tomite na kancer na eden primerok rastenie, a y pojava na ci-

janizirani fleki vrz stebloto (0−znaqi otsustvo na simptomite,

1−pojava na simptomite vo osnovata na stebloto, 2−pojava na

simptomite podolu od polovinata na stebloto, 3−pojava na simp-

tomite nad polovinata ili po celoto steblo). Dobieni se sled-

nite podatoci od sluqajno izbrani n = 100 stebla:

Ako gi podredime ovie rezultati po frekvencii na otsustvo na

pojavata, so slabi ili silni simptomi, dobivame:


Da se najdat pravite L1 i L2 na ovaa korelacija.

Zadaqa. Izmerena e dolinata na najgolemiot list na ste-

bloto, koja xto e vo korelacija so visinata na rastenieto.

Da se opredelat korelacionite zakoni (x, y) = L1 i (x, y) = L2.

4.18 Momenti

Stohastiqkite procesi i krivite na regresija vo biometrijata

se prouquvaat so pomox na momenti. Kako xto znaeme, momenti se

vidovi sumi od proizvodi koi se formiraat na sledniot naqin:

Ako imame nekoi obeleja (brojni karakteristiki):

xi yj

i nivni sredini

x y,


togax otstapuvaǌa od sredinata se

xi − x yj − y.

Ako ovie ravenki gi stepenuvame soodvetno so r, s dobivame

(xi − x)r, (yj − y)s r, s-prirodni broevi

i ako formirame dvojki (xi , yj), frekvencijata na ovie dvojki e

fij = fij (xi , yj) .

Definicija. Moment od red r, s e zbir od proizvodi od stepeni

na otstapuvaǌata pomnoen so soodvetni frekvencii, i podelen

so vkupnata brojnost:

µr,s =1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(xi − x)r(yj − y)s

Moment e spored toa eden vid proseqno otstapuvaǌe od sredi-

nata od red r, s.

(Imeto mu e dadeno po analogija so mehanikata, kade moment

na silata e proizvod megu silata i rastojanieto). Ovie momenti

µr,s se mnogu vani poimi vo biometrijata i statistikata, i ke

vidime deka skoro site dosegaxni biometriski pokazateli se eden

vid momenti.

No pred se treba da go objasnime simbolot za operacija dvojna

suma.

Simbolot

l∑

j=1

k∑

i=1

xiyj

znaqi deka treba da zememe edno i, na primer i = 1, i x1 da go

mnoime so site moni yj, j = 1, 2, 3, ..., l, i da gi sobereme ovie

proizvodi, t.e.

x1y1 + x1y2 + x1y3 + ... + x1yl = x1(y1 + ... + yl).


Potoa da zememe i = 2 i x2 da go pomnoime so site yj, t.e.

x2y1 + x2y2 + x2y3 + ... + x2yl = x2(y1 + y2 + ... + yl)

itn, se do kraj, pa za i = k, xk go mnoime so site yj, t.e.

xky1 + xky2 + xky3 + ... + xkyl = xk(y1 + y2 + ... + yl)

i na kraj site ovie sumi gi sobirame. Taka dobivame

l∑

j=1

k∑

i=1

xiyj = x1

l∑

j=1

yj + x2

l∑

j=1

yj + ... + xk

l∑

j=1

yj =

= (x1 + x2 + ... + xk)l∑

j=1

yj =

= x1y1 + ... + x1yl + ... + x2yl + ... + xky1 + xky2 + ... + xkyl

xto znaqi deka dvojnata suma go sodri zbirot od semonite pro-

izvodi xiyj.

Primer 1.

5∑

n=1

3n(5 − n) = 31 (5 − 1) + 32(5 − 2) + 33(5 − 3) + 34(5 − 4)+35(5 − 5) =

= 3 · 4 + 9 · 3 + 27 · 2 + 81 · 1 + 243 · 0 = 12 + 27 + 54 + 81 = 174.

Primer 2.

4∑

j=1

3∑

i=1

2i3j = 21(31 + 32 + 33 + 34) + 22(31 + 32 + 33 + 34)+

+23(31 + 32 + 33 + 34) = (2 + 4 + 8)(3 + 9 + 27 + 81) = 14 · 120 = 1680.

Vo ovie primeri dvojnata suma se raspaga na proizvod od obiqni

sumi. Vo opxt sluqaj, koga imame koeficienti koi zavisat od i

i j bez da se vid na nezavisni proizvodi, kako vo sluqajot na

pogornite frekvencii, moment vo vid na dvojna suma se razviva

na sledniot naqin:

Zemame edno i : i = 1 i taka imame prv mnoitel:


(x1 − x)r pri postojano r

i ova go mnoime so site

(y1 − y)s, (y2 − y)s, ..., (yl − y)s

so soodvetni frekvencii

f11 f12, ..., f1l

i ovie proizvodi gi sobirame. Taka dobivame suma

(x1 − x)r [f11(y1 − y)s + f12(y2 − y)s + ... + f1l(yl − y)s]

Potoa zemame vtoro i : i = 2, i qlen

(x2 − x)r

i mnoime soodvetno so site

(y1 − y)s, (y2 − y)s, ..., (yl − y)s

qii frekvencii se

f21, f22, ..., f2l.

Taka dobivame vtora suma

(x2 − x)r [f21(y1 − y)s + f22(y2 − y)s + ... + f2l(yl − y)s]

itn.

Vaka odime do kraj: poslednoto i = k dava qlen

(xk − x)r

koj go mnoime po red so site

(y1 − y)s, (y2 − y)s, ...., (yl − y)s

taka xto frekvenciite na ovie proizvodi se

fk1, fk3 ..., fkl


i dobivame i k-ta po red suma

(xk − x)r [fk1(y1 − y)s + fk2(y2 − y)s + .... + fkl(yl − y)s] .

Taka momentot glasi

µr,s =1

N

(x1 − x)r ·l∑

j=1

f1j(yj − y)s+

+(x2 − x)r ·l∑

j=1

f2j(yj − y)s+

............................................

+(xk − x)r ·l∑

j=1

fkj(yj − y)s

Primer 4. Ako imame korelacija

kade sekoj xi e vo relacija so sekoj yj, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3, 4;

imame pojava na parovi so soodvetni frekvencii:

Ako se x i y aritmetiqki sredini od podatocite xi i yj momentot,

pri N =4∑

j=1

3∑

i=1

fij, e


µr,s = 1N

4∑

j=1

3∑

i=1

fij(xi − x)r(yj − y)s =

= 1N(x1 − x)r[f11(y1 − y)s + f12(y2 − y)s + f13(y3 − y)s + f14(y4 − y)s]+

+(x2 − x)r[f21(y1 − y)s + f22(y2 − y)s + f23(y3 − y)s + f24(y4 − y)s]+

+(x3 − x)r[f31(y1 − y)s + f32(y2 − y)s + f33(y3 − y)s + f34(y4 − y)s] .

Vo prvo vreme vo biometrijata se raboti samo so najobiqni

momenti. Toa se takanareqenite (za mali vrednosti na r,s)

Osnovni momenti:

1. Neka e r = 1,s = 0. Dobivame

µ1,0 = 1N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(xi − x)1(yj − y)0 =

= 1N

k∑

i=1

fi(xi − x)1 = 1N

k∑

i=1

(∆xi) = 0

t. e. momentot µ1,0 e zbir na site otstapuvaǌa na podatocite x od

nivnata sredina

2. Neka e r = 0,s = 1. Dobivame

µ0,1 = 1N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(xi − x)0(yj − y)

1=

= 1N

l∑

j=1

fj(yj − y)1 = 1N

l∑

j=1

(∆yj) = 0

t. e. momentot µ0,1 e zbir na site otstapuvaǌa na y od svojata

sredina y, kojxto teoretski e ramen na nula.

3. Neka r = 2,s = 0. Dobivame

µ2,0 = 1N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(xi − x)2(yj − y)0 =

=1

N

k∑

i=1

fi(xi − x)2 = σ2x

t. e. momentot µ2,0 e standardna devijacija na podatocite na x

dignata na kvadrat.


4. Neka e r = 0, s = 2. Dobivame

µ0,2 =1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(xi − x)0 (yj − y)2 =

=1

N

l∑

j=1

fj(yj − y)2 = σy2

t. e. momentot µ0,2 standardna devijacija na podatocite po y,

dignata na kvadrat.

5. Neka e r = 1, s = 1. Imame

µ1,1 =1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(xi − x)1(yj − y)

1

=1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij (∆xi) (∆yj)

t. e. momentot µ1,1 e zbir od proizvodi od otstapuvaǌata ∆xi ·∆yj.

Taka imame

µ2,0 = σx2 ; µ0,2 = σy

2 ; µ1,1 = 1N

∑

i,j

(∆xi) (∆yj) .

4.19 Metod na najmali kvadrati

Opredeluvaǌe na korelacijata

Neka mnoestvoto karakteristiki X i Y se vo korelacija:

X ↔ Y

Toa znaqi deka sekoj xi e vo korelacija so nekoi golemini

yij;i = 1, 2, . . . , k; j = 1, 2, . . . , l.


Taka imame edno mnoestvo toqki;

Mi (xi, yij) , i = 1, 2, . . . , k; j = 1, 2, . . . , l

koe formira oblak toqki vo ramninata, i koj grafiqki ja pretsta-

vuva gornata korelacija. So cel da ja matematizirame ovaa sto-

hastiqka funkcija, na sekoe edno xi mu pridruuvame sredina Yi

od site soodvetni yij

xi ↔ Yi =1

N

l∑

j=1

fijyij

i taka dobivame geometrisko mesto na toqki, L1 (kriva na regre-

sija) opredelena so toqkite

Mi (xi, Yi)

koe e najqesto prava.

Naxa zadaqa ke bide da ja opredelime ovaa prava L1. Ravenkata

na sekoja prava e

y = ax + b

kade parametrite a i b treba da gi opredelime taka xto toqkite

(xi, Yi) da leat ili na pravata, ili xto e mono poblisku do

pravata. Praktiqno sakame da vai

Yi = axi + b

kade Yi e sredina. No, na edno xi mu korespondiraat poveke sood-

vetni vrednosti yij (korelacioni vrednosti), gi ima l na broj

yi1, yi2, yi3, . . . , yil.

Ovie vrednosti se naogaat vo okolinata na pravata L1, imaat

ista apscisa xi, no otstapuvaat od L1 poveke ili pomalku vo + ili

− nasoka. Obiqno zbirot na otstapuvaǌata e


l∑

j=1

(yij − Yi) = 0

t.e. bi bil ednakov na nula, kako xto znaeme, bidejki pozitivnite

bi se ponixtile so negativnite otstapuvaǌa. Zatoa so nego ne

moeme da rabotime (t. e. so momentot µ1,0). Barame takva prava

L1, od koja site otstapuvaǌa

yij − Yi

ke bidat xto e mono pomali. Zatoa otstapuvaǌata ke bidat na-

jmali, ako e zbirot od kvadratite na tie otstapuvaǌa najmal.

Matematiqka postapka koja utvrduva uslovi zbirot na kvadratite

na otstapuvaǌata da bide najmal se vika metod na najmali kvadrati

i e osnoven metod na minimalizacija i optimizacija vo biometri-

jata.

Zbirot na kvadratite na otstapuvaǌata po y se opredeluva

kako pozitivna funkcija

S2y =

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(yij − Yi)2

i spored toa e eden vid moment. No, bidejki Yi = axi + b, so zamena

vo S2y dobivame

S2y =

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij (yij − axi − b)2.

Vo ovaa suma ke zememe parametarot a privremeno da e fik-

siran. Bidejki se xi, yij, fij dadeni postojani vrednosti, S2y e funk-

cija samo od edna promenliva b. Od matematiqkata analiza e

poznata teoremata (Princip na Ferma na ekstremi), pa za da gi

dobieme monite ekstremi (minimum ili maksimum), treba da gi

najdeme vrednostite vo koi nejziniot izvod e ednakov na nula, t.

e. da ja rexime ravenkata


(S2

y

)′b= 0

za edno fiksno a. Ako pobarame izvod od S2y po b, dobivame

(S2

y

)′b=

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

2fij(yij − axi − b)1 · (−1) = 0

od kade, ako skratime so (−2), dobivame ravenka

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij (yij − axi − b) = 0.

Ako pomnoime so fij i razloime na tri sumi, dobivame

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fijyij − a · 1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fijxi − b · 1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij = 0.

Bidejki, spored prethodnite definicii

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fijyij = y;1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fijxi = x;1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij =1

N· N = 1

dobivame

y − ax− b · 1 = 0

od kade go opredeluvame nepoznatiot parametar

b = y − a · x

a ova znaqi deka e y = ax + b t. e. na pravata y = ax + b lei

toqkata (x, y). Ako sega vaka opredelenoto b go zamenime povtorno

vo sumata od kvadratni otstapuvaǌa po y : S2y , dobivame


S2y =

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(yij − axi − y + ax)2 =

=1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij [(yij − y) − a (xi − x)]2.

Taka sega S2y e funkcija samo od a : S2

y = S2y (a), pri dadeni

xi, yij, x, y, fij. Nepoznatoto a ke go opredelime po ist princip,

sumata na kvadratite S2y na otstapuvaǌata po y da e najmala. Spo-

red istiot Ferma-ov princip, izvodot, sega po a, mora da e ramen

na nula:

(S2

y

)′a

= 0

od kade

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij · 2 [(yij − y) − a (xi − x)]1 (−1) (xi − x) = 0.

Ako skratime so (−2) izmnoime so (xi − x), i razlikata ja ra-

zloime na dve sumi, dobivame

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij (yij − y) (xi − x) − a · 1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(xi − x)2

= 0.

Spored definicijata na momentite

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij (∆yj) (∆xi) = µ1,1;1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij (xi − x)2 = σx2

dobivame


µ1,1 − a · σx2 = 0

od kade go opredeluvame i a, t.e.

a =µ1,1

σx2.

Zamenuvajki gi vaka opredelenite a i b vo ravenkata na pra-

vata, dobivame prava na regresija L1:

Y − y =µ1,1

σx2

(x − x) .

Od site moni pravi vo oblasta na rezultatite na mereǌeto,

ovaa prava e najbliska kon toqkite so sredinite (xi, yi) vo eden

stohastiqki proces. Spored toa, taa ja opredeluva korelacijata

xi ↔ yij

vo koja na edno xi mu korespondiraat poveke yij.

Taka L1 e prosta matematiqka funkcija koja vo vid na stroga

formula priblino izrazuva edna sloena statistiqka zavisnost

na bioloxkite golemini x i y, itn.

No, ako sega barame obratna stohastiqka vrska, t. e. za edno

yi zakonot na koj mu korespondiraat poveke xij, vidovme na primer

deka toa nema da bide funkcijata L1. Zatoa morame rabotata za

nejzinoto opredeluvaǌe da ja izvedeme posebno.

Neka se yj nekoi merni karakteristiki, na koi im odgovaraat

setovi drugi korelaciono vrzani golemini xij koi imaat sredini

xj = Xj. Geometriskoto mesto na toqki (xi, yj) neka bide nova prava

L2 so novi parametri A i B:

y = AX + B

Na nea ili blisku do nea lei toqkata (Xj , yj) i zatoa vai,

toqno ili priblino

yj = AXj + B.


Soodvetnite korelacioni vrednosti xij otstapuvat od pravata

L2 i tie otstapuvaǌa iznesuvaat

xij −Xj .

Ako na ist naqin formirame zbir od kvadratite na otstapuvaǌata

S2x =

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(xij − Xj)2

i vo nego zamenime Xj od ravenkata na pravata

Xj =1

Ayj −

B

A

dobivame

S2x =

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij

(

xij +B

A− 1

Ayj

)2

.

Smetajki deka A e privremeno konstantno, od uslovot za ek-

strem

(S2

x

)

B

′= 0

naogame

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij

(

xij +B

A− 1

Ayj

)2

A= 0

ili

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fijxij +B

A· 1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij −1

A· 1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fijyj = 0

ili

x +B

A· 1

N· N − 1

A· y = 0

od kade go naogame B


B = y − Ax.

Zamenuvajki go ova B vo S2x, imame funkcija samo od A, pri

drugi elementi konstantni:

S2x =

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij

(

xij +y − Ax− yj

A

)2

ili

S2x =

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij

(

(xij − x) − 1

A(yj − y)

)2

.

Po istiot princip na Ferma, izvodot e ramen na nula:

(S2

x

)′A

=1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

2fij

(

(xij − x) − 1

A(yj − y)

)′(1

A2

)

(yj − y) = 0.

Kratejki so 2 · 1A2 , mnoejki so (yj − y), i razdeluvajki na dve

sumi, dobivame ravenka

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij (xij − x) (yj − y) − 1

A

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(yj − y)2 = 0

vo koja figuriraat poznatite momenti. Dobivame

µ1,1 −1

Aσ2

y = 0

od kade naogame i A:

A =σ2

y

µ1,1

Taka dobivame ravenka na pravata L2


y = AX + B =σ2

y

µ1,1X + y −Ax

ili

y − y =σ2

y

µ1,1(X − x)

t.e. ravenkata na vtora (inverzna) korelacija.

Taka, so parot pravi L1, L2 e napolno matematizirana linear-

nata korelacija:

x ↔ y

Ovie pravi sluat za mnogubrojni statistiqki nameni.

4.20 Koeficient na korelacija

Pravite na korelacijata

Y − y =µ1,1

σ2x

(x − x) ...L1

i

y − y =σ2

y

µ1,1

(X − x) ...L2

i dvete minuvaat niz toqkata (x, y) so koordinati koi se sredini

od podatocite po x i y. Koeficientite na pravci na ovie pravi

iznesuvaat

K1 =µ1,1

σ2x

, K2 =σ2

y

µ1,1.

Koliqnikot

K1

K2=

µ1,1

σ2x

σ2y

µ1,1

=µ2

1,1

σ2xσ

2y

= r2


opredeluva koja e brzinata na rasteǌeto na edna linearna funk-

cija vo odnos na drugata.

Definicija. Brojot

r =µ1,1

σxσy

se vika koeficient na korelacijata i toj igra vana uloga vo

ocenkata na korelacionata vrska.

Za da ja vidime negovata vanost, srednoto kvadratno otstapuvaǌe

po y ke go napixeme vaka:

S2y =

1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij ((yij − y) − a (xi − x))2 =

=1

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(yij − y)2 − 2a

N

l∑

j=1

k∑

i=1

fij (yij − y) (xi − x)+

+ a2

l∑

j=1

k∑

i=1

fij(xi − x)2 = σ2y − 2aµ1,1 + a2σ2

x.

No bidejki e

a =µ1,1

σ2x

dobivame

S2y = σ2

y − 2aµ1,1 + a2σ2x = σ2

y − 2µ2

1,1

σ2x

+µ2

1,1

σ4x

σ2x =

= σ2y −

µ21,1

σ2x

= σ2y −

µ21,1σ

2y

σ2xσ

2y

= σ2y

(

1 − µ21,1

σ2xσ

2y

)

ili


S2y = σ2

y

(1 − r2

), r = 1 −

µ21,1

σ2xσ

2y

i za da bide S2y ≥ 0, treba da e 1 − r2 ≥ 0, t.e.

0 ≤ r ≤ 1

t.e. koeficient na korelacija igra uloga na verojatnost.

Diskusija. 1. Ako e r = 1, S2y = 0, t.e.

Sy = 0.

Toa znaqi deka nema otstapuvaǌe po y. Za edno xi, yij se isti,

ednakvi na sredinata yi. Taka imame ednoznaqna vrska xi ↔ yi, za

edno xi edno yi i velime deka imame mnogu silna korelacija, koja

e i funkcija.

Vo ovoj sluqaj poradi r = 1, K1 = K2 i taka nemame dve pravi,

tuku samo edna L1 = L2, koja ja vikame linearna funkcija. Uslov

za silna korelacija e

µ1,1 = σxσy

2. Ako e r = 0, imame

Sy = σy

A ova znaqi deka Sy e funkcija samo od yij, i ne zavisi od xi.

Ova znaqi deka nema nikakva korelacija megu grupnite podatoci

xij i yij. Korelacija e ednakva na nula. Toa znaqi deka poda-

tocite se nezavisni i uslov za toa e

µ1,1 = 0

3. Najqest sluqaj e

0 < r < 1

i korelacijata ja narekuvame slaba ili silna spored toa dali e


poblisku do 0 ili do 1, soodvetno.

Konvencija. Dobri korelacii x ↔ y se onie za koi e

r = 0, 60, 0, 70, 0, 80, 0, 90.

Slabi korelacii se

r = 0, 30, 0, 20, 0, 10.

Spored toa r e merka za kvalitet na vrskata.

Primer. Da opredelime r vo primerot so visini i teini.

Naogame sredini po x i y:

x = 169, 90 cm y = 65, 22kg

i potoa gi pravime site potrebni presmetuvaǌa i trite momenti,

t.e.

µ1,1 = 25, 03

µ2,0 = σ2x = 36, 23; σx = 6, 0191

µ0,2 = σ2y = 40, 99; σy = 6, 4023.

So pomox na teoriskite formuli gi dobivame i dvete pravi

linii na korelacijata:

L1 : y − 65, 22 = 0, 69(x − 169, 90)

L2 : y − 65, 22 = 1, 64(x − 169, 90)

koi moat da se smetaat za matematiqki zakoni izvedeni od tabelata.

Koeficientot na korelacijata togax moe da se presmeta


r =µ1,1

σxσy=

25, 03

38, 54= 0, 65

i toj kauva deka postoi dosta dobra korelacija megu visinite i

teinite.

4.21 Proverka na statistiqki hipotezi

Na poqetok ke spomneme nekoi poimi xto qesto ke gi koristime

vo ponatamoxnata rabota. Dosega si se zapoznal so poimite: po-

pulacija (osnovno mnoestvo), obeleje na populacijata, prime-

rok zemen od populacijata i obem (broj na elementi) na populaci-

jata i primerokot.

Edno razgleduvano obeleje na dadena populacija moe da se

javi vo razliqni vidovi, koixto se narekuvaat modaliteti na

obelejeto.

Taka, na primer, modaliteti na obelejeto pol se: maxki i

enski, modaliteti na obelejeto uspeh na uqenici se: nedo-

volen, dovolen, dobar, mnogu dobar, odliqen, koixto moe da

bidat iskaani i so brojni oceni: 1,2,3,4,5, itn.

Obelejata se promenlivi veliqini i za odreden element na

populacijata, vrednosta na edno obeleje ne moe odnapred toqno

da se opredeli. Zatoa, vo matematiqkata statistika se smeta deka

sekoe obeleje e sluqajna promenliva.

Da naglasime deka:

(i) pri zemaǌe primerok so obem n, od populacija so obem N ,

sekoj moen primerok so obem n ima ista verojatnost da bide

izbran.

(ii) vo postapkata na izborot na primerokot, elementot kojxto

sme go izbrale vo primerokot go vrakame vo populacijata pred

izborot na sledniot element vo primerokot.

Vani pokazateli za obelejata na populacijata se aritme-

tiqkata sredina (proseqnata vrednost), standardnata devijacija,

kako i relativnata qestota na elementite od populacijata koixto


imaat nekoja barana osobina. Tie se konstanti za dadenata po-

pulacija i gi narekuvame parametri na populacijata ili samo

parametri, i pritoa aritmetiqkata sredina na populacijata ja

oznaquvame so µ, standardnata devijacija so σ, a relativnata

qestota so π. Aritmetiqkata sredina na primerokot ja oznaqu-

vame so X, standardnata devijacija so S, relativnata qestota so

Pr i gi narekuvame statistiki na primerokot ili samo statis-

tiki. Bidejki primeroci so ist obem megusebno se razlikuvaat,

vrednostite na ista statistika na primerokot ke se razlikuvaat

od primerok do primerok.

Da ja razgledame statistikata X. Neka (X1, X2, ..., Xn) e eden

primerok od n elementi, zemen od populacijata. Pred izvleku-

vaǌeto na prviot element od primerokot ne moeme so sigurnost

da odredime koj element od populacijata ke bide izbran, pa po-

radi toa prviot element, X1, od primerokot pretstavuva sluqajna

promenliva. Istoto vai i za ostanatite elementi na primerokot,

t. e. sekoj element na primerokot pretstavuva edna sluqajna

promenliva. Spored toa, aritmetiqhkata sredina na primerokot,

kako funkcija od n sluqajni promenlivi, e

X =X1 + X2 + ... + Xn

n

i samata e edna sluqajna promenliva.

Za matematiqkoto oqekuvaǌe i disperzijata na aritmetiqkata

sredina na primerokot vai:

1. E(X)

= E (X)

2. D(X)

= D(X)n

= σ2

n.

Znaqi, statistikata na primerokot, X, e sluqajna promenliva,

a nejzinata realizirana vrednost, x, e konstanta. Na ist naqin

se pokauva deka i standardnata devijacija, S, i relativnata

qestota, Pr, se sluqajni promenlivi, a nivnite realizirani vred-

nosti se konstanti i gi oznaquvame so s i p, soodvetno.

Zakluquvame deka parametrite na populacijata se konstanti,

a statistikite na primerokot se sluqajni promenlivi.


Da pretpostavime deka sme izbrale eden primerok od popu-

lacijata. Elementite na izbraniot primerok pretstavuvaat re-

alizirana vrednost na sluqajnite promenlivi Xi, i ∈ 1, 2, ..., n vo

dadeniot eksperiment i neka nivnite brojni vrednosti se xi, i ∈1, 2, ..., n, soodvetno. Aritmetiqkata sredina na izbraniot pri-

merok e

x =x1 + x2 + ... + xn

n

i taa e konstanta. Ako realiziranite vrednosti na primerokot se

povtoruvaat, t. e. ako vrednosta x1 se javuva f1 pati, x2 se javuva

f2 pati, . . . , xk se javuva fk pati, togax

f1 + f2 + ... + fk = n

i reliziranata vrednost na aritmetiqkata sredina na primerokot

e

x =x1f1 + x2f2 + ... + xkfk

f1 + f2 + ... + fk=

x1f1 + x2f2 + ... + xkfk

n

a za standardnata devijacija ja koristime formulata za poprave-

nata standardna devijacija

s =

√

f1x12 + f2x2

2 + ... + fkxk2 − nx2

n − 1.

Predmetot na interesiraǌe se sekogax parametrite na popu-

lacijata, a ne statistikite na primerokot. No, vo praksa, za-

radi goleminata na populacijata, nepristapnost do site elementi

na populacijata ili nekoi drugi priqini, ne sme vo monost da

ja presmetame toqnata vrednost na odreden parametar, tuku samo

moeme da ja ocenime vrz osnova na statistikite na primerokot.

4.22 Metodi na statistiqko zakluquvaǌe

Kako xto veke spomnavme, vo praktikata raspolagame so prime-

roci zemeni od dadena populacija, a ne so celata populacija.

Pritoa, donesuvame zakluqok za populacijata (nekoj nejzin para-


metar, raspredelba na verojatnosti na obeleje ili verojatnost

na nastani, povrzani so nea) vrz osnova na podatocite xto gi

imame od primerokot, zemen od taa populacija. Postapkata na

donesuvaǌe na vakov zakluqok se narekuva metod na statistiqko

zakluquvaǌe. Pod metodi na statistiqko zakluquvaǌe se podrazbi-

raat metodot na statistiqko ocenuvaǌe i metodot na proverka na

statistiqka hipoteza. Koj od ovie dva metoda ke go primenime za-

visi od raspoloivite informacii za populacijata, pred izborot

na primerokot.

-Ako nemame podatoci vrz osnova na koi moeme da ja pret-

postavime vrednosta na nekoj parametar na populacijata, taa vred-

nost ja ocenuvame so metodot na statistiqko ocenuvaǌe. Pritoa,

vrednosta na parametarot ja ocenuvame vrz osnova na podatocite

od primerokot, pa zaradi toa, napraveniot zakluqok ne e potpolno

siguren, tuku e so odredena verojatnost, pomala od 1.

-Ako nekoja karakteristika (vrednosta na nekoj parametar ili

raspredelbata na verojatnosti) na populacijata ni e poznata ili

ja pretpostavuvame, primenuvame metod na proverka na statis-

tiqka hipoteza. Pritoa, vrz osnova na podatocite od primerokot

ispituvame dali doxlo do promena na vrednosta na parametarot

ili raspredelbata, t. e. dali naxata poqetna pretpostavka za

karakteristikata (xto ja ispituvame) na populacijata e prifa-

tliva ili ne. I vo ovoj sluqaj, doneseniot zakluqok e vrz osnova

na podatocite od primerokot, pa ne moeme da bideme potpolno

sigurni vo ispravnosta na doneseniot zakluqok, t. e. poqetnata

pretpostavka za karakteristikata na populacijata ja prifakame

ili otfrlame so odreden rizik deka sme pogrexile.

Vo prodolenie ke ja ilustrirame razlikata pomegu metodot

na statistiqko ocenuvaǌe i metodot na proverka na statistiqka

hipoteza.

Na primer, da pretpostavime deka go analizirame uspehot na

priemniot ispit po predmetot matematika na Ekonomskiot fakul-

tet vo Skopje.

Ne interesira proseqniot broj na bodovi od priemniot ispit.


Namesto popis na populacijata (utvrduvaǌe na bodovi na sekoj

kandidat koj xto go polagal priemniot ispit), zaradi golemi-

nata na populacijata, ke primenime metod na statistiqko ocenu-

vaǌe: ke izbereme eden primerok od populacijata, potoa ke go

presmetame proseqniot broj na bodovi vo ovoj primerok i vrz

osnova na ovaa informacija ke go ocenime proseqniot broj na

bodovi vo celata populacija. Ako, na primer, proseqniot broj

na bodovi vo primerokot e x = 78, 5, moeme grubo da prifatime

deka proseqniot broj na bodovi vo populacijata e µ = 78, 5. No,

bidejki x po pravilo se razlikuva od µ, namesto so eden broj,

parametarot µ go ocenuvame so intervalna vrednost okolu vred-

nosta x, t. e. velime, na primer, deka baranata vrednost na para-

metarot µ, so odredena verojatnost, se naoga vo intervalot (76, 81).

Znaqi, rezultatot od statistiqkoto ocenuvaǌe e oceneta vrednost

na nepoznatiot parametar na populacijata, vo vid na eden broj ili

eden interval, i pritoa, zakluqokot e so odredena verojatnost.

Od druga strana, da pretpostavime deka imame vakov sluqaj:

imame podatok za uspehot od polouvaǌeto na priemniot ispit od

prethodnite godini, i neka, na primer, 87% od prijavenite kan-

didati go polouvaat priemniot ispit. Pritoa, se somnevame

deka doxlo do promena vo uspehot od polouvaǌeto na priemniot

ispit. Dali naxeto somnevaǌe e opravdano ili ne, se proveruva

so metodot na proverka na statistiqka hipoteza. Od populaci-

jata zemame primerok i za ovoj primerok go presmetuvame procen-

tot na kandidatite koi go poloile priemniot ispit. Neka, na

primer, toj procent iznesuva 85. Postoi razlika pomegu doto-

gaxnata vrednost, 87%, i vrednosta na segaxniot primerok, 85%.

Ovaa razlika moe da se doli na dve priqini: sluqajniot iz-

bor na elementite od primerokot ili pak moebi na faktot deka

procentot na polouvaǌe na priemniot ispit ne e veke 87. Ako

razlikata od 2% ne moeme da ja opravdame so sluqajniot izbor

na elementite od primerokot, togax prifakame hipoteza deka pro-

centot na polouvaǌeto na priemniot ispit se promenil, t.e. ja

nema pretpostavenata vrednost. Rezultatot od metodot na prove-


rka na statistiqka hipoteza e zakluqok za prifakaǌe ili otfr-

laǌe na hipotezata za pretpostavena vrednost na nekoj parametar

na populacijata, no so odreden rizik deka sme pogrexile.

Zabelexka. Slednata xema pokauva kako postapuvame pri

odreduvaǌe na koj metod na statistiqko zakluquvaǌe ke go pri-

menime.

4.23 Hipoteza: Nulta i alternativna, prosta i sloena.

Grexki.

Pri ispituvaǌeto na obelejeto na nekoja populacija qestopati,

vrz osnova na dobienite podatoci od primerok zemen od populaci-

jata, se pravat razliqni pretpostavki za obelejeto.

Na primer, vo medicinata za ispituvaǌe na dejstvoto na nov

lek za nekoe zaboluvaǌe, lekot se primenuva na edna grupa od n pa-

cienti. Ako, pritoa, e konstatirano podobruvaǌe kaj k pacienti


i ako relativnata qestota kn

e pogolema otkolku pri lekuvaǌeto

so stariot lek za ova zaboluvaǌe, prirodno se postavuva praxa-

ǌeto: dali noviot lek moe da se proglasi za znaqajno podobar?

Vo ovoj primer, elementite na populacijata se zabolenite luge

od konkretnata bolest, a sakame da proverime dali nastanot pa-

cientot e izlekuvan so noviot lek ima pogolema verojatnost od

nastanot ”pacientot e izlekuvan so stariot lek”.

Sliqno, vo zemjodelieto se ispituva, na primer, dali prime-

nata na edna kombinacija na poveke vextaqki gubriva na parceli

zasadeni so nekoja zemjodelska kultura dava podobri rezultati

od primenata na druga kombinacija na vextaqki gubriva. Vo

ovoj sluqaj, populacijata ja soqinuvaat site parceli zasadeni

so konkretnata zemjodelska kultura, obelejeto e prinosot na

zemjodelskata kultura, a sakame da proverime dali proseqnata

vrednost (matematiqkoto oqekuvaǌe) na prinosot pri upotreba

na edna kombinacija na vextaqki gubriva e pogolema otkolku pri

upotreba na druga kombinacija na vextaqki gubriva.

Sliqni praxaǌa se postavuvaat i vo industrijata, koga treba

da se proveri dali odredena nova tehnologija dava proizvodi so

podobar kvalitet, dali proizvodstvoto na nekoja maxina gi zado-

voluva standardite itn.

Vo site ovie, a i drugi, primeri se razgleduva obeleje na

dadena populacija, koexto e sluqajna promenliva, i se postavu-

vaat tvrdeǌa ili pretpostavki za obelejeto.

Statistiqka hipoteza e precizno formulirano tvrdeǌe ili

pretpostavka za nekoe obeleje na populacijata (za vrednosta na

nekoj negov parametar, zakonot na raspredelba na verojatnosti na

obelejata ili verojatnosti na nastani povrzani so nego).

Postapkata so kojaxto, vrz osnova na podatocite od primerokot,

ja proveruvame prifatlivosta na hipotezata se narekuva metod na

proverka na statistiqka hipoteza.

Nie, vo ovoj del, ke zboruvame za metodi na proverka na statis-

tiqka hipoteza, koga hipotezata se odnesuva za vrednosta na nekoj

parametar na obelejeto na populacijata, pa od tie priqini site


ponatamoxni definicii i primeri ke se odnesuvaat samo na vakov

vid na hipotezi.

Nulta hipoteza e hipoteza za vrednosta na nekoj parametar α na

obelejeto na populacijata, kojaxto so postapkata na testiraǌe

nastojuvame da ja osporime.

Vo praktika za nulta hipoteza obiqno se izbira onaa pret-

postavka za vrednosta na parametarot, kojaxto ja odrazuva sostoj-

bata do izveduvaǌeto na poslednoto ispituvaǌe ili odgovara na

postojnite standardi.

Nultata hipoteza ja oznaquvame so H0. Taa moe da bide prosta

i sloena.

Nultata hipoteza e prosta ako, so nea, se tvrdi deka para-

metarot θ e ednakov na edna, odnapred zadadena numeriqka vred-

nost, takanareqena hipotetiqna vrednost, θ0. Vo toj sluqaj pixu-

vame H0 : θ = θ0 i qitame ”nultata hipoteza glasi deka param-

etarot θ e ednakov na θ0”.

Nultata hipoteza e sloena ako, so nea, za parametarot θ se

tvrdat poveke od edna mona vrednost. Taka, na primer, hipote-

zata H0 : θ ≤ θ0, so koja xto za parametarot θ se pretpostavuvaat

site vrednosti pomali ili ednakvi na θ0 (a takvite da gi ima

poveke od edna), e sloena hipoteza.

Alternativna hipoteza e sprotivnata hipoteza na nultata hi-

poteza, t. e. taa gi sodri site vrednosti koi parametarot θ moe

da gi ima, a koixto ne se opfateni so nultata hipoteza. Alterna-

tivnata hipoteza ja oznaquvame so H1 i taa moe da bide prosta

i sloena. Kako i nultata, alternativnata hipoteza e prosta ako

so nea za parametarot θ se tvrdi samo edna numeriqka vrednost,

a sloena ako so nea za parametarot θ se opfateni poveke od edna

vrednost.

Najqesto, no ne sekogax, ako nultata hipoteza e prosta, alter-

nativnata e sloena i obratno.

Alternativnata hipoteza e hipotezata kojaxto so postapkata

na proverka nastojuvame da ja potvrdime.

Zakluqok. Nultata i alternativnata hipoteza pretstavuvaat


dve precizni tvrdeǌa ili pretpostavki za vrednosta na nekoj

parametar na populacijata, koixto megusebno se iskluquvaat.

Najqesto ke gi razgleduvame sluqaite, koga nultata i alter-

nativnata hipoteza se od vidovite:

(I) H0 : θ = θ0 H1 : θ 6= θ0

(II) H0 : θ ≤ θ0 H1 : θ > θ0

(III) H0 : θ ≥ θ0 H1 : θ < θ0

Primer 1. Edna firma, kojaxto se zanimava so trgovija na

proizvodi, kupila odredena koliqina od eden proizvod. Propi-

xanata teina na pakuvaǌeto na toj proizvod e 500g.

a) Sopstvenikot na trgovskata firma se posomneval deka pro-

seqnata teina na pakuvaǌeto na toj proizvod otstapuva od propi-

xanata teina od 500g.

b) Proizvoditelot na proizvodot tvrdi deka proseqna teina

na proizvodot iznesuva najmalku 498g.

Postavi gi nultata i alternativnata hipoteza i utvrdi koja e

prosta, a koja e sloena hipoteza?

Rexenie. Vo ovoj primer, obelejeto X e teinata na paku-

vaǌeto na razgleduvaniot proizvod, i e sluqajna promenliva.

a) Osnovanosta na somnevaǌeto na sopstvenikot na trgovskata

firma se proveruva so postavuvaǌe i proverka na hipoteza od

vidot (I):

H0 : E (X) = 500g H1 : E (X) 6= 500g,

bidejki sakame da proverime dali matematiqkoto oqekuvaǌe na

sluqajnata promenliva X e 500g, kako xto e propixano so stan-

dardite na toj proizvod.

Ovde H0 e prosta, a H1 e sloena hipoteza.

Ako, so postapkata za proverka na statistiqka hipoteza, za-

kluqime deka H0 treba da ja otfrlime, prifakame deka proseq-

nata teina na razgleduvaniot proizvod e razliqna od 500g, t. e.

ja prifakame alternativnata hipoteza, no so nea ne e odredena

nasokata na otstapuvaǌe na proseqnata teina od propixanata,

odnosno prifakame deka proseqnata teina na proizvodot moe da

bide pogolema ili pomala od propixanata. Vakvata alternativna


hipoteza se narekuva dvonasoqna ili dvostrana.

Alternativnata hipoteza so kojaxto monite otstapuvaǌa na

parametarot θ od hipotetiqnata vrednost θ0 gi sledime vo dvete

nasoki se narekuva dvonasoqna ili dvostrana hipoteza.

Proverkata na hipotezi od vidot (I) se narekuva dvonasoqna

ili dvostrana proverka.

b) Vo ovoj sluqaj ke postavime hipotezi od vidot (III):

H0 : E (X) ≥ 498g H1 : E (X) < 498g.

Ovde i H0 i H1 se sloeni hipotezi.

Ako analizata pokae deka H0 treba da ja otfrlime, togax

prifakame deka proseqnata teina na proizvodot e pomala od

498g. Vo ovoj primer, so prifakaǌe na alternativnata hipoteza,

odredena e nasokata na otstapuvaǌata na proseqnata teina od

propixanata, odnosno pretpostavenata teina. Vakvata alterna-

tivna hipoteza se narekuva ednonasoqna ili ednostrana.

Primer 2. Fabrika za proizvodstvo na avtomobili, marka

A, saka da ja proveri svojata tehnologija na proizvodstvo, preku

proseqnata potroxuvaqka na benzin na proizvedeniot avtomobil.

a) Proizvoditelot, spored svoite pretpostavki za tehnologi-

jata na proizvodstvo, smeta deka proseqnata potroxuvaqka na ben-

zin na 100km treba da iznesuva 8,4 litri, no sepak, vrz osnova na

nekoi informacii, poqnuva da se somneva vo toa i saka da proveri

dali navistina e taka.

b) Proizvoditelot povtorno spored svoite pretpostavki za te-

hnologijata na proizvodstvo, smeta deka proseqnata potroxuvaqka

na benzin na 100km treba da bide pomala od 8,5 litri, no vrz os-

nova na nekoi informacii, poqnuva da se somneva vo toa i saka

da proveri dali navistina e taka.

Postavi gi nultata i alternativnata hipoteza i utvrdi koja e

prosta, a koja e sloena hipoteza.

Rexenie. Vo ovoj primer obelejeto Xe potroxuvaqka na ben-

zin na 100km kaj avtomobilite, marka A.

a) Postavuvame hipotezi od vidot (I):


H0 : E (X) = 8, 4l H1 : E (X) 6= 8, 4l.

Ovde H0 e prosta, a H1 e sloena hipoteza i stanuva zbor za

dvonasoqna (dvostrana) alternativna hipoteza.

b) Postavuvame hipotezi od vidot (II):

H0 : E (X) ≤ 8, 5l H1 : E (X) > 8, 5l

Ovde H0 i H1 se sloeni hipotezi.

Ako analizata pokae deka H0 treba da ja otfrlime, togax

prifakame deka proseqnata potroxuvaqka na benzin, kaj ovoj vid

na avtomobili i so ovaa tehnologija na proizvodstvo, e pogolema

od 8,5 litri na 100km. Vo ovoj primer, so prifakaǌe na alterna-

tivnata hipoteza, odredena e nasokata na otstapuvaǌata na pros-

eqnata potroxuvaqka od pretpostavenata proseqna potroxuvaqka.

Znaqi, i ovaa alternativna hipoteza e ednonasoqna ili ednos-

trana.

Primer 3. Koncentracijata na standarden rastvor na BSA

(bovine serum albumin), iznesuva 100 mg/ml. Po izveduvaǌe na Bi-

uretna proba na standardot, izmerena e apsorbanca od 0,4421

na 550 nm. Propisno, vo upatstvoto dadeno od komercijalniot

proizvoditel apsorbancata iznesuva 0,45.

H apsorbanca

N0 : E(H) = 0, 45

N1 : E(H) 6= 0, 45

Dokolku N0 se otfrli, vrednosta na ne standardot iznesuva

0,45, odnosno ja prifakame alternativnata hipoteza.

N0 : E(H) ≥ 0, 45 N1 : E(H) < 0, 45

Primer 4. Koncetracijata na vitamin B12 vo kontrolen serum

so normalni vrednosti dadena od proizvoditelot iznesuva 110

pmol/L. So drug enzimski set izmerena e koncentracija na vitamin

B12 od 116 pmol/L vo istiot serum.

Postavi gi nultata i alternativnata hipoteza.

Zabelexka. Alternativnite hipotezi od vidot (I) se nareku-

vaat dvonasoqni ili dvostrani hipotezi, a testovite so koixto

gi proveruvame ovoj vid hipotezi se narekuvaat dvonasoqni ili

dvostrani testovi. Hipotezite od vidovite (II) i (III) se nareku-


vaat ednonasoqni ili ednostrani hipotezi, a testovite so koixto

gi proveruvame ovoj vid hipotezi se narekuvaat ednonasoqni ili

ednostrani testovi.

Vo postapkata za proverka na hipoteza, nultata hipoteza ke

ja otfrlime ako podatocite od primerokot protivreqat na tvr-

deǌeto koe e sodrano vo nultata hipoteza. Togax, kako xto

veke vidovme vo primerite, bez proverka ja prifakame alterna-

tivnata hipoteza. Vo sprotivno, ako podatocite od primerokot

ja poddruvaat nultata hipoteza, t. e. se soglasni so tvrdeǌeto

sodrano vo nultata hipoteza, togax nultata hipoteza ne ja ot-

frlame.

Nultata hipoteza moe da bide toqna ili netoqna, podatocite

od primerokot moe da bidat soglasni so nultata hipoteza ili

da i protivreqat. Ottuka, moni se slednite sluqai:

a) podatocite od primerokot ja poddruvaat toqnata nulta hi-

poteza;

b) podatocite od primerokot protivreqat na netoqna nulta hi-

poteza;

v) podatocite od primerokot protivreqat na toqnata nulta hi-

poteza;

g) podatocite od primerokot ja poddruvaat netoqnata nulta

hipoteza.

Vo sluqaite a) i b) donesuvame pravilen zakluqok. Vo sluqaite

v) i g) donesuvame pogrexen zakluqok, t. e. pravime grexka. No, i

ovie sluqai se moni, bidejki zakluqocite xto gi donesuvame vo

postapkata na proverka na hipoteza se vrz osnova na podatocite

od eden izbran sluqaen primerok.

Grexkata xto ja pravime vo sluqajot v), t. e. otfrlaǌeto na

nultata hipoteza koga taa e toqna, se narekuva grexka od prv tip,

a grexkata xto ja pravime vo sluqajot g), t. e. neotfrlaǌeto na

nultata hipoteza koga taa e netoqna, se narekuva grexka od vtor

tip.

Jasno e deka vo donesuvaǌeto na zakluqokot moeme da napra-

vime samo edna grexka, a ne istovremeno i dvete, i, pritoa, ako


sme zakluqile deka nultata hipoteza ne ja otfrlame postoi mo-

nost da pravime grexka od vtor tip, a ako sme zakluqile deka

nultata hipoteza ja otfrlame togax postoi monost deka pravime

grexka od prv tip. Bidejki rexenieto za prifakaǌe na edna od

hipotezite go donesuvame vrz osnova na realizacija na primerok

za obelejeto na populacijata, xto vsuxnost opredeluva sluqaen

nastan, sleduva deka so sekoe rexenie e povrzana odredena vero-

jatnost. Vo postapkata na proverka na hipoteza, nastojuvame da

gi odredime verojatnostite na pojavuvaǌe na navedenite grexki,

i, ako e mono, da gi namalime.

Verojatnosta da ja otfrlime nultata hipoteza koga taa e toqna

se narekuva verojatnost na grexka od prv tip ili rizik za grexka

od prv tip, i se oznaquva so α.

Verojatnosta da ne ja otfrlime nultata hipoteza koga taa e

netoqna se narekuva verojatnost na grexka od vtor tip ili rizik

za grexka od vtor tip, i se oznaquva so β.

Kako xto veke kaavme, prirodno e da nastojuvame i dvata

tipovi na grexki da bidat xto poretki, t. e. verojatnostite α i

β da bidat xto pomali. Megutoa, namaluvajki ja α, ja namaluvame

monosta za otfrlaǌe na nultata hipoteza, a so toa se zgolemuva

monosta taa da bide prifatena za toqna koga e netoqna, t. e.

se zgolemuva β. Vo klasiqnata postapka za proverka za hipoteza

odnapred se opredeluva najgolemata dozvolena vrednost na α, a

potoa se izbira kriterium, kojxto ja zadovoluva izbranata vred-

nost na α i obezbeduva najmala mona vrednost na β.

Najgolemata dozvolena vrednost na α se narekuva nivo na zna-

qajnost na testot, i se oznaquva isto taka so α. Za nea, obiqno,

se zemaat vrednostite 0, 05, 0, 01, 0, 005 ili 0, 001.

Ako, na primer, nivoto na znaqajnost na testot e α = 0, 05, toa

znaqi deka vo najmnogu 5 od 100 sluqai, pri utvrdena postapka,

moe da se sluqi da ja otfrlime nultata hipoteza koga taa e

toqna, t. e. prifakame deka podatocite od najmnogu 5% od prime-

rocite pogrexno ke gi protolkuvame kako dokazi protiv nultata

hipoteza.


Verojatnosta na pravilno otfrlaǌe na nultata hipoteza, t. e.

otfrlaǌe na nultata hipoteza koga taa e netoqna i prifakaǌe

na alternativnata hipoteza koga taa e toqna se narekuva mokta

testot, a se oznaquva so p. Koga nultata hipoteza e netoqna, moe

da se donesat dva zakluqoci: nultata hipoteza da ne se otfrli (so

verojatnost β) i nultata hipoteza da se otfrli (so verojatnost

p), pa zatoa za p i β, vai β + p = 1.

Vo tabelata dadeni se verojatnostite na zakluqocite vo zavis-

nost od toqnosta na hipotezite.

4.24 Izbor na test veliqina (test statistika). Kritiqen

domen.

Proverkata na statistiqkite hipotezi za parametrite na popu-

lacijata, kako xto veke kaavme, se izvrxuva so pomox na statis-

tikite na primerokot.

Statistikata kojaxto se koristi za sproveduvaǌe na opredelen

test se narekuva test-veliqina ili test-statistika.

Taka, na primer, ako proveruvame hipoteza za proseqnata vred-

nost (aritmetiqkata sredina) na populacijata, kako test-veliqi-

na ke ja koristime aritmetiqkata sredina na primerokot, X, ili

nekoja druga statistika formirana so X. Ako pak, proveruvame

hipoteza za standardnata devijacija na populacijata, kako test-

veliqina ke ja koristime standardnata devijacija na primerokot,

S ili nekoja druga statistika formirana so S. Proverkata na

hipoteza za verojatnost na nastani se izvrxuva so statistika, ko-

jaxto ja sodri relativnata qestota na soodvetniot nastan itn.

Prv qekor pri proverkata na nultata nasproti alternativnata

hipoteza, so nivo na znaqajnost α, e izborot na test-veliqinata.


Neka izbranata test-veliqna ja oznaqime so Z. Vidovme deka

taa pretstavuva sluqajna promenliva, pa kako takva prima vred-

nosti od mnoestvoto na realni broevi. Vrz osnova na zemeniot

primerok od populacijata se presmetuva realniot broj z, kojxto

pretstavuva realizirana vrednost na test-veliqinata.

Vtor qekor pri proverkata na nultata nasproti alternativ-

nata hipoteza, so nivo na znaqajnost α, e presmetuvaǌe na rea-

liziranata vrednost na test-veliqinata, vrz osnova na podatocite

od primerokot.

Potoa se opredeluvaat mnoestva B ⊂ R, taka xto, koga Z

ke primi vrednost od toa mnoestvo (realiziranata vrednost na

test-veliqinata e element na B) se donesuva zakluqok da se ot-

frli nultata hipoteza, so verojatnost na grexka od prv tip ne

pogolema od α. Ovoj uslov za mnoestvata B se zapixuva na sled-

niot naqin

P (Z ∈ B/H0) ≤ α (∗)

Mnoestvto B ⊂ R, za koe e ispolnet uslovot (*) se narekuva

oblast na otfrlaǌe na nultata hipoteza, ili kritiqen domen za

nultata hipoteza pri nivo na znaqajnost α.

Mnoestvoto R\B se narekuva oblast na prifakaǌe na nultata

hipoteza.

Realnite broevi koixto ja razdvojuvaat oblasta na prifakaǌe

od oblasta na otfrlaǌe na nultata hipoteza se narekuvaat kri-

tiqni vrednosti ili pragovi na znaqajnosta.

Ako megu kritiqnite domeni, za dadeno nivo na znaqajnost

α, postoi kritiqen domen B∗, koj ima najmala verojatnost β na

grexka od vtor tip, a toa znaqi najgolema mok na testot, togax

toj se narekuva optimalen kritiqen domen, ili najmoken kritiqen

domen za nultata hipoteza pri nivo na znaqajnost α.

Tret qekor pri proverkata na nultata nasproti alternativ-

nata hipoteza, so nivo na znaqajnost α, e opredeluvaǌe na kritiq-

niot domen B, ili, dokolku postoi, najmokniot kritiqen domen B∗.

Na krajot na proverkata se pravi sledniot zakluqok.


Zakluqok. Ako realiziranata vrednost z ∈ B (z ∈ B∗), to-

gax nultata hipoteza se otfrla, so verojatnost na grexka od prv

tip ne pogolema od α. Vo sprotiven sluqaj, ako z /∈ B (z /∈ B∗)

togax nultata hipoteza ne se otfrla i se veli deka, vrz osnova

na napravenite ispituvaǌa, nema priqini nultata hipoteza da se

otfrli pri dadenoto nivo na znaqajnost α.

Primer 1. Napravena e statistiqka obrabotka na site odi-

grani kola vo edna godina vo igrata loto. Konstatirano e deka

relativnata qestota na sekoj od broevite 1,2,3,5 e 0, 10, relativ-

nata qestota na sekoj od broevite 4,6,7,8,9 e 0, 06, a relativnata

qestota na sekoj od broevite 10,11,12,13,...,38,39 e 0, 01. Izvleku-

vaǌeto vo igrata loto se smeta za regularno ako verojatnosta

na izvlekuvaǌe na sekoj od broevite 1,2,3,...,39 e ednakva na 139

.

Se proveruva hipotezata za neregularnost na izvlekuvaǌeto, pri

nivo na znaqajnost na testot α = 0, 10.

a) Dali B = 1, 2, 3 e kritiqen domen?

b) Da se opredeli maksimalniot broj na elementi vo kritiq-

nite domeni.

v) Koi kritiqni domeni se optimalni?

Rexenie. Vo primerot stanuva zbor za sluqajna promenliva

X: broj izvleqen vo igrata loto, a monite vrednosti na X se

broevite 1,2,3,...,39. Bidejki se somnevame vo regularnosta na

izvlekuvaǌeto, a regularnosta e opredelena so zakonot na raspre-

delba na verojatnosti na sluqajnata promenliva X,

P (X = x) =1

39, x ∈ 1, 2, ..., 39

postavuvame nulta i alternativna hipoteza od vidot:

H0 : P (X = x) =1

39, x ∈ 1, 2, ..., 39

i

H1 : P (X = x) =

0, 10 x ∈ 1, 2, 3, 50, 06 x ∈ 4, 6, 7, 8, 90, 01 x ∈ 10, 11, 12, ..., 39


Da zabeleime deka i nultata i alternativnata hipoteza se

prosti hipotezi.

a) Bidejki

P (X ∈ 1, 2, 3 /H0) =

= P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) =1

39+

1

39+

1

39=

3

39= 0, 077 < α

zakluquvame deka mnoestvoto B = 1, 2, 3 e kritiqen domen.

b) -Ako pretpostavime deka B1 = a , a ∈ 1, 2, ..., 39, togax

P (X ∈ B1/H0) = P (X = a) =1

39< α;

-Ako pretpostavime deka B2 = a, b , a, b ∈ 1, 2, ..., 39, togax

P (X ∈ B2/H0) = P (X = a) + P (X = b) =1

39+

1

39=

2

39< α;

-Ako pretpostavime deka B3 = a, b, c , a, b, c ∈ 1, 2, ..., 39, togax

P (X ∈ B3/H0) = P (X = a) + P (X = b) + P (X = c) =

=1

39+

1

39+

1

39=

3

39< α;

-Ako pretpostavime deka B4 = a, b, c, d , a, b, c, d ∈ 1, 2, ..., 39,togax

P (X ∈ B4/H0) = P (X = a)+P (X = b)+P (X = c)+P (X = d) =4

39> α.

Zakluquvame deka kritiqnite domeni moat da sodrat naj-

mnogu 3 elementi.

v) Ako alternativnata hipoteza e toqna, togax elementite 1, 2,

3 i 5 imaat najgolema verojatnost, pa znaqi uqestvoto na tie ele-

menti vo kritiqniot domen obezbeduva najgolema mok na testot.

Bidejki kritiqniot domen moe da sodri najmnogu 3 elementi,

zakluquvame deka sekoe trielementno podmnoestvo od mnoes-

tvoto B = 1, 2, 3, 5 e optimalen kritiqen domen. Znaqi, ima 4

optimalni kritiqni domeni: 1, 2, 3 , 1, 2, 5 , 1, 3, 5 , 2, 3, 5.


Mokta na sekoj od niv iznesuva 0, 30, bidejki, na primer, za

1, 2, 3, imame

P (X ∈ 1, 2, 3 /H1) = P1 (X = 1) + P1 (X = 2) + P1 (X = 3) =

= 0, 10 + 0, 10 + 0, 10 = 0, 30.

4.25 Testovi za proseqna vrednost

Najqest vid na zadaqi xto se javuvaat vo praktikata se zada-

qite povrzani so proveruvaǌe na pretpostavenata ili propixa-

nata proseqna vrednost na nekoe obeleje na dadena populacija.

Bidejki obelejeto e sluqajna promenliva so svoja raspredelba,

a proseqnata vrednost e matematiqkoto oqekuvaǌe na raspredel-

bata na sluqajnata promenliva, testovite za proverka na hipo-

tezi za proseqnata vrednost se vsuxnost testovi za proverka na

hipotezi za matematiqkoto oqekuvaǌe na ispituvanoto obeleje.

Postojat nekolku vidovi na ovie testovi. Vo prodolenie ke ja

objasnime postapkata na proverka na sekoj od ovie testovi, pogod-

nosta na izborot na sekoj test, kako i konkretno sproveduvaǌe na

testot niz soodvetno izbrani primeri.

4.25.1 Test za matematiqkoto oqekuvaǌe pri poznata dis-

perzija (Z -test)

Neka se razgleduva obeleje X na dadena populacija. So E (X)

go oznaquvame matematiqkoto oqekuvaǌe na X, a so D (X) = σ2 ja

oznaquvame disperzijata na X. Neka zakluqocite za obelejeto

se donesuvaat vrz osnova na primerok od dadenata populacija qij

obem (broj na elementi vo primerokot) e n. Aritmetiqkata sre-

dina na primerokot e sluqajna promenliva, ja oznaqivme so X, i

za nea vai:

1. E(X)

= E (X)

2. D(X)

= D(X)n

= σ2

n.

Da se potsetime: ako realiziranite vrednosti na primerokot


se povtoruvaat, t. e. ako vrednosta x1 se javuva f1 pati, x2 se

javuva f2 pati, . . . , xk se javuva fk pati, togax f1 + f2 + ... + fk = n i

reliziranata vrednost na aritmetiqkata sredina na primerokot

e

x =x1f1 + x2f2 + ... + xkfk

f1 + f2 + ... + fk

=x1f1 + x2f2 + ... + xkfk

n

a na standardnata devijacija e

s =

√

f1x12 + f2x2

2 + ... + fkxk2 − nx2

n − 1.

Ke razgleduvame nulta i alternativna hipoteza od slednite

tri vida:

(I) H0 : E (X) = µ0 H1 : E (X) 6= µ0

(II) H0 : E (X) ≤ µ0 H1 : E (X) > µ0

(III) H0 : E (X) ≥ µ0 H1 : E (X) < µ0

kade xto µ0 e pretpostavenata ili propixanata proseqna vred-

nost na obelejeto X, t. e. taa e zadadena brojna vrednost.

Pred da pristapime na objasnuvaǌe na postapkata na proverka

na vidot na hipotezi koixto ke gi razgleduvame, ke gi dademe

uslovite koixto treba da bidat ispolneti za primena na ovoj

test.

Uslovi za primena na testot:

1. Disperzijata na sluqajnata promenliva X, D (X), e poznata,

t. e. D (X) = σ2 e zadadena vrednost.

2. Obemot na primerokot e dovolno golem, t. e. n ≥ 30.

Prvo treba da izbereme test-veliqina. Da go objasnime izbo-

rot na test-veliqinata. Neka, na primer, gi imame hipotezite

od vidot (I). Realiziranata vrednost na aritmetiqkata sredina

na izbraniot primerok, x, vo najgolem broj na primeri ke se

razlikuva od µ0, duri i ako nultata hipoteza e toqna, odnosno,

ako vistinskata vrednost na matematiqkoto oqekuvaǌe na X e µ0.

Togax apsolutnata grexka na ocenkata na matematiqkoto oqeku-

vaǌe, dobiena vrz osnova na konkretniot primerok e |x − µ0|. Ovaa


grexka ja sporeduvame so oqekuvanata grexka na X, a toa e stan-

dardnata devijacija na X, kojaxto ja oznaquvame so σX i spome-

navme deka iznesuva√

D(X)

= σ√n. Taka go dobivame brojot

|x − µ0|σX

=|x − µ0|

σ√n

.

Ottuka, zakluquvame deka kako test-veliqina ke go koristime trans-

formiraniot oblik na aritmetiqkata sredina X, t. e.

Z =X − µ0

σX

=X − µ0

σ√n

.

Pri toqna nulta hipoteza oqekuvame x malku da se razlikuva

od µ0. Vo sprotiven sluqaj, koga nultata hipoteza ne e toqna,

oqekuvame otstapuvaǌata na x od µ0 da bidat pogolemi.

Do koga ke smetame deka apsolutnata grexka se doli na sluqaj-

niot izbor na elementite vo primerokot zavisi od oqekuvanata

grexka na X i nivoto na znaqajnost na testot, α, koexto e odnapred

izbrano. So sekoe izbrano nivo na znaqajnost na testot, α, se

opredeluva kritiqniot domen i kritiqnite vrednosti na Z. I

vo ovoj del, potrebno e da napravime razgraniquvaǌe za vidot na

hipotezite:

a) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot (I), t. e.

H0 : E (X) = µ0, H1 : E (X) 6= µ0, togax stanuva zbor za dvostran

test. Kaj ovoj vid na testovi, imame dve kritiqni vrednosti, i ako

ednata ja oznaqime so zα/2 , drugata e −zα/2 , a kritiqniot domen

e mnoestvoto B =(−∞,−zα/2

)∪(zα/2 ,∞

). Gledano na brojnata

oska, kritiqniot domen se naoga od dvete strani na nulata.

Zakluqok. Nultata hipoteza treba da se otfrli ako brojot z,

kade

z =x − µ0

σX

=x − µ0

σ√n

pripaga na mnoestvoto

B =(−∞,−zα/2

)∪(zα/2 ,∞

),


odnosno ako z > zα/2 ili ako z < −zα/2 .

Pritoa, verojatnosta na grexkata od prv tip ne e pogolema

od α. Vo sprotivno nultata hipoteza ne treba da se otfrli i

dobienoto otstapuvaǌe na x od µ0 ne e statistiqki znaqajno.

Vo slednata tabela, ke gi dademe kritiqnite vrednosti na Z

za najqesto koristeni vrednosti za α.

Da go rexime sega konkretno primerot 1. a), od delot 4.24.

Primer 1. Edna firma, kojaxto se zanimava so trgovija na

proizvodi, kupila odredena koliqina od eden proizvod. Propi-

xanata teina na toj proizvod e 500g. Dozvolenoto otstapuvaǌe

(standardnata devijacija) iznesuva 3g. Sopstvenikot na trgov-

skata firma, kako xto rekovme, se posomneval deka proseqnata

teina na pakuvaǌeto na toj proizvod otstapuva od propixanata

teina od 500g. Zatoa, so cel da ja proveri teinata, sopstvenikot

na trgovskata firma, od kupenite proizvodi, zel sluqaen prime-

rok od 200 proizvodi. Pritoa, po mereǌeto na nivnite teini,

gi dobil slednite rezultati:

Pri nivo na znaqajnost 0, 01 da se proveri dali moe da se pri-

fati pretpostavkata deka proseqnata teina na ovoj vid na pro-

izvod ne e 500g, odnosno deka e razliqna od propixanata vrednost.

Rexenie. Osnovanosta na ova somnevaǌe se proveruva so po-

stavuvaǌe i proverka na hipoteza od vidot (I):

H0 : E (X) = 500g H1 : E (X) 6= 500g,

kade xto obelejeto X e teinata na ispituvaniot vid na pro-

izvod.


Prvo da gi proverime uslovite za primena na testot:


t. e. D (X) = 32 = 9.

2. Obemot na primerokot e dovolno golem, t. e. n = 200 > 30.

Uslovite se zadovoleni, pa moe da pristapime kon testot.

Ovde µ0 = 500, a σX =√

D(X)

= σ√n

= 3√200

= 0, 21.

Potoa ja presmetuvame vrednosta x:

x =x1f1 + x2f2 + ... + x8f8

f1 + f2 + ... + f8=

496 · 5 + 497 · 12 + ... + 503 · 10200

= 499, 66.

Sega moeme da ja presmetame i vrednosta na Z za ovoj prime-

rok. Taa e

z =x − µ0

σX

=x − µ0

σ√n

=499, 66 − 500

0, 21= −1, 62.

Ednata kritiqnata vrednost pri ova nivo na znaqajnost, 0,01,

proqitano vo tabelata 1, e 2,58. Bidejki z = −1, 62 > −2, 58 hipo-

tezata ne ja otfrlame, t. e. donesuvame zakluqok deka, vrz osnova

na zemeniot primerok, nema priqini da smetame deka nultata hi-

poteza ne e toqna. Dali ke zakluqix deka proizvoditelot e qesen?

b) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot (II), t.

e.

H0 : E (X) ≤ µ0, H1 : E (X) > µ0,

togax stanuva zbor za ednostran test. Kaj ovoj vid na testovi,

imame edna kritiqna vrednost, ja oznaquvame so zα, a kritiq-

niot domen e mnoestvoto B = (zα,∞). Gledano na brojnata oska,

kritiqniot domen se naoga od desnata strana na nulata.


kade z = x−µ0

σX= x−µ0

σ√n

, pripaga na mnoestvoto B = (zα,∞), odnosno

ako z > zα. Pritoa, verojatnosta na grexkata od prv tip ne e

pogolema od α. Vo sprotivno, nultata hipoteza ne treba da se

otfrli i dobienoto otstapuvaǌe na x od µ0 ne e statistiqki zna-

qajno.




Da go rexime sega konkretno primerot 2, od delot 4.26.

Primer 2. Fabrika za proizvodstvo na avtomobil, marka A,

saka da ja proveri svojata tehnologija na proizvodstvo, preku

proseqnata potroxuvaqka na benzin na proizvedeniot avtomobil.

Sluqajno se izbrani 100 avtomobili od taa marka i testirana

e potroxuvaqkata na benzin na 100km, kaj sekoj od niv. Pritoa,

dobieni se slednite rezultati:

Poznato e deka dozvolenoto otstapuvaǌe iznesuva√

122, 1l. Pri

nivo na znaqajnost na testot 0, 05 oceni dali moe da se prifati:

a) hipotezata deka proseqnata potroxuvaqka na benzin na 100km

ne e 8,4 litri;

b) hipotezata deka proseqnata potroxuvaqka na benzin na 100km

e pogolema od 8,5 litri.

Rexenie. Vo ovoj test obelejeto X e potroxuvaqkata na ben-

zin na 100km kaj ispituvanata marka na avtomobili.



t. e. D (X) =(√

122, 1)2

= 122, 1.



a) Ovde, proizvoditelot, spored svoite pretpostavki za tehno-

logijata na proizvodstvo, smeta deka proseqnata potroxuvaqka


na benzin na 100km treba da iznesuva 8,4 litri, no sepak, vrz os-

nova na nekoi informacii, poqnuva da se somneva vo toa i saka

da proveri dali navistina e taka. Za proverka vo ovoj sluqaj, ke

postavime hipotezi od vidot

(I):H0 : E (X) = 8, 4l , H1 : E (X) 6= 8, 4l.

Ovde µ0 = 8, 4, a

σX =√

D(X)

=σ√n

=

√122, 1√100

= 1, 11.

Potoa, za da ja presmetame vrednosta x, ja pravime slednata tabela:

Ottuka

x =x1f1 + x2f2 + ... + x5f5

f1 + f2 + ... + f5=

5 · 8 + 7 · 22 + ... + 13 · 10100

= 8, 24.


rok. Taa e

z =x − µ0

σX

=x − µ0

σ√n

=8, 24 − 8, 4

1, 11= −0, 144.

Ednata kritiqna vrednost pri ova nivo na znaqajnost, 0, 05, pro-

qitano vo tabelata 1, e 1,96. Bidejki z = −0, 144 > −1, 96 nultata

hipoteza ne ja otfrlame, t. e. donesuvame zakluqok deka, vrz

osnova na zemeniot primerok, ne ja prifakame hipotezata deka

proseqnata potroxuvaqka na benzin na 100km ne e 8,4 litri.

b) Ako proizvoditelot povtorno spored svoite pretpostavki za

tehnologijata na proizvodstvo, smeta deka proseqnata potroxu-

vaqka na benzin na 100km treba da bide pomala od 8,5 litri, no

vrz osnova na nekoi informacii, poqnuva da se somneva vo toa i

saka da proveri dali navistina e taka, togax ke postavime hipo-

tezi od vidot

(II):H0 : E (X) ≤ 8, 5l, H1 : E (X) > 8, 5l.


Znaqi, stanuva zbor za ednostran test.

I ovde

σX =√

D(X)

=σ√n

=

√122, 1√100

= 1, 11,

x = 8, 24, a µ0 = 8, 5. Sega moeme da ja presmetame i vrednosta na

Z za ovoj primerok. Taa e

z =x − µ0

σX

=x− µ0

σ√n

=8, 24 − 8, 5

1, 11= −0, 23.

Kritiqna vrednost, zα, ja qitame od tabelata 2, i taa e zα = 1, 645.

Bidejki z = −0, 23 < 1, 645, hipotezata ne ja otfrlame, t. e. done-

suvame zakluqok deka, vrz osnova na zemeniot primerok, ne ja

prifakame hipotezata deka proseqnata potroxuvaqka na benzin

na 100km e pogolema od 8,5 litri.

v) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot (III), t.

e. H0 : E (X) ≥ µ0, H1 : E (X) < µ0, toga povtorno stanuva zbor za

ednostran test. I kaj ovoj vid na testovi, imame edna kritiqna

vrednost, ja oznaquvame so −zα, a kritiqniot domen e mnoestvoto

B = (−∞,−zα). Gledano na brojnata oska, kritiqniot domen se

naoga od levata strana na nulata.

Zakluqok. Nultata hipoteza treba da se otfrli ako brojot

z, kade z = x−µ0

σX= x−µ0

σ√n

, pripaga na mnoestvoto B = (−∞,−zα),

odnosno ako z < −zα. Pritoa, verojatnosta na grexkata od prv

tip ne e pogolema od α. Vo sprotivno nultata hipoteza ne treba

da se otfrli i dobienoto otstapuvaǌe na x od µ0 ne e statistiqki

znaqajno.



Primer 3. So mereǌe na teinata na 100 sluqajno izbrani

pakuvaǌa na eden vid na proizvod, dobieni se slednite rezultati:


Ako dozvoleneto otstapuvaǌe iznesuva 20g, pri nivo na znaqaj-

nost na testot 0,05 oceni dali moe da se prifati hipotezata

deka proseqnata teina na pakuvaǌeto na ovoj proizvod e pomala

od 800g.

Rexenie. Vo ovoj test obelejeto X e teinata na pakuvaǌeto

na dadeniot proizvod.



t. e. D (X) = 202 = 400.



Ovde postavuvame hipotezi od vidot

(III):H0 : E (X) ≥ 800g, H1 : E (X) < 800g.

Povtorno, stanuva zbor za ednostran test, no sega od tipot v).

Ovde µ0 = 800,

σX =√

D(X)

=σ√n

=20√100

= 2,

a aritmetiqkata sredina na primerokot e

x =x1f1 + x2f2 + ... + x7f7

f1 + f2 + ... + f7

=780 · 5 + 790 · 7 + ... + 820 · 14

100= 801, 6.


rok. Taa e

z =x− µ0

σX

=x − µ0

σ√n

=801, 6 − 800

2= 0, 8.

Kritiqna vrednost, zα, ja qitame od tabelata 3, i taa e −zα =

−1, 645. Bidejki z = 0, 8 > −1, 645, hipotezata ne ja otfrlame, t. e.

donesuvame zakluqok deka, vrz osnova na zemeniot primerok, ne ja

prifakame hipotezata deka proseqnata teina na pakuvaǌeto na


ovoj proizvod e pomala od 800g.

Testot za proverka na hipotezi za matematiqkoto oqekuvaǌe na

nekoe obeleje, vo sluqaj koga e ispolnet uslovot 1, t. e. koga e

poznata disperzijata na obelejeto se narekuva z-test.

Primer 4. Referentna vrednost za Na+ vo serum kaj humana

populacija e 140 mM so prifatlivo otstapuvaǌe (standardna de-

vijacija) ±4. Kaj 100 zdravi ispitanici utvrdeno e nivoto na

Na+. Dobienite vrednosti se prikaani vo slednata tabela:

Na+

mM, xi 132 136 137 139 140 142 144 145

Број на испитаници, fi 4 8 14 28 23 15 6 2

Pri nivo na znaqajnost na testot 0,01 oceni dali moe da se

prifati hipotezata deka proseqnata vrednost za Na+ vo serum kaj

humana populacija e 140 mM.

Rexenie.

N0 : E(H) = 140

N1 : E(H) 6= 140

1. Disperzijata na sluqajnata promenliva H, D(X), e poznata,

t.e. D(X) = 42 = 16.

2. Brojot na ispitanici e dovolno golem, t.e. n = 100 > 30.

Uslovite se zadovoleni, pa moe da se pristapi po testot.

µ0 = 140

σx =√

D(X)

= σ√n

= 4√100

= 0, 4

x = 132·4+136·8+137·14+139·28+140·23+142·15+144·6+145·24+8+13+27+23+15+6+4

= 13930100

= 139, 3mM

Sega moe da ja presmetame vrednosta na z

z =x− µ0

σx=

x − µ0

σ√n

=139, 3 − 140

0, 4= −1, 75

Ниво на значајност, α 0,1 0,05 0,01 0,005 0,002

Критични вредности, ± zα/2 ± 1,645 ± 1,96 ± 2,58 ± 2,81 ± 3,08

Pri nivo na znaqajnost od 0,01, soodvetno od tabelata (±2,58),

so kritiqen domen B (zα,∞), ako z = −1, 75 > −2, 58, hipotezata ne


ja otfrlame, odnosno moe da zakluqime deka vrz osnova na prime-

rocite za analiza, ja potvrduvame nultata hipoteza, pokonkretno

dobienata otstapka na od µ0 nema statistiqka signifikantnost.

Primer 5. Referentnite vrednosti za triacilgliceroli (TAG)

kaj humana populacija e 1,7 mM, so prifatlivo otstapuvaǌe (stan-

dardna devijacija) ±0,5. Kaj 100 zdravi ispitanici utvrdeno e

nivoto na TAG. Dobienite vrednosti se prikaani vo slednata

tabela:

Na+

mM, xi 1,26 1,38 1,56 1,8 1,85 1,92 2,12 2,38

Број на испитаници , fi 4 8 14 28 23 15 6 2

Pri nivo na znaqajnost na testot 0,05 oceni dali moe da se

prifati hipotezata deka proseqnata vrednost za triacilgliceroli

(TAG) kaj humana populacija e 1,7 mM.

4.25.2 Test za matematiqko oqekuvaǌe pri nepoznata dis-

perzija (t - test)

Vo praktikata, vo zadaqite za proverka na hipotezi za vred-

nosta na matematiqkoto oqekuvaǌe, E (X), na obelejeto X koe se

ispituva, mnogu e poqest sluqajot disperzijata, D (X) = σ2, da ne

e poznata. Toa znaqi deka prviot uslov za primena na testot 1,

kojxto ni ovozmouva da ja presmetame standardnata grexka σX,

ne e ispolnet. Bidejki σX ne moe da go presmetame, ne moeme

da ja presmetame nitu test-veliqinata Z. Vo ovoj sluqaj, stan-

dardnata devijacija σ ke ja ocenime vrz osnova na standardnata

devijacija s na primerokot X.

I ovde, posebno ke gi razgledame trite vida na nultata i al-

ternativnata hipoteza:

(I) H0 : E (X) = µ0 H1 : E (X) 6= µ0

(II) H0 : E (X) ≤ µ0 H1 : E (X) > µ0

(III) H0 : E (X) ≥ µ0 H1 : E (X) < µ0

kade xto µ0 e pretpostavenata ili propixanata proseqna vrednost

na obelejeto X, t. e. taa e zadadena brojna vrednost.





test.


1. Disperzijata na sluqajnata promenliva X, D (X), ne e poz-

nata.

2. Raspredelbata na obelejeto X e simetriqna (relativnite

qestoti na vrednostite na obelejeto ramnomerno opagaat ili

rastat poqnuvajki od aritmetiqkata sredina) i unimodalna (samo

edna vrednost na obelejeto e so najgolema relativna qestota).

3. Obemot na primerokot e n ≥ 8.

Da pristapime kon izborot na test-veliqinata. Kako xto na

poqetokot spomnavme, standardnata devijacija σ ke ja ocenime

vrz osnova na standardnata devijacija s na primerokot X, t. e.

namesto σX = σ√n

ke ja koristime sX = s√n, kade

s =

√

f1x12 + f2x2

2 + ... + fkxk2 − nx2

n − 1

pa ja dobivame test-veliqinata

t =X − µ0

sX

=X − µ0

s√n

.

Realiziranata vrednost od primerokot e brojot

t =x − µ0

sX

=x − µ0

s√n

.

Povtorno ke napravime razgraniquvaǌe za vidot na hipotezite:

a) Nultata i alternativnata se od vidot (I);

b) Nultata i alternativnata se od vidot (II);

v) Nultata i alternativnata se od vidot (III).


H0 : E (X) = µ0, H1 : E (X) 6= µ0, togax stanuva zbor za dvostran

test. Kaj ovoj vid na testovi, imame dve kritiqni vrednosti, i


ako ednata ja oznaqime so tn−1;α/2 , drugata e −tn−1;α/2 , a kritiqniot

domen e mnoestvoto

B =(−∞,−tn−1;α/2

)∪(tn−1;α/2 ,∞

).

Kritiqnite vrednosti se qitaat od tabela I, dadena na krajot na

uqebnikot. Gledano na brojnata oska, kritiqniot domen se naoga

od dvete strani na nulata.

Zakluqok. Nultata hipoteza treba da se otfrli ako brojot t,

kade

t =x − µ0

sX

=x− µ0

s√n


B =(−∞,−tn−1;α/2

)∪(tn−1;α/2 ,∞

)

odnosno ako t > tn−1;α/2 ili ako t < −tn−1;α/2 .

Pritoa, verojatnosta na grexkata od prv tip ne e pogolema

od α. Vo sprotivno nultata hipoteza ne treba da se otfrli i

dobienoto otstapuvaǌe na x od µ0 ne e statistiqki znaqajno.

Primer 1. Postoi somne deka maxinata kojaxto pakuva odreden

proizvod, qijaxto propixana teina e 1kg, ne e veke precizna pa

bi trebalo da se izvrxi nejzin remont. Za da se donese odluka

za remont, izbiran e primerok od 16 pakuvaǌa na toj proizvod i

dobieni se slednite rezultati:

1,020; 1,010; 1,050; 1,015; 1,002; 1,008; 1,025; 0,998;

1,012; 1,033; 1,017; 1,001; 1,008; 1,011; 1,024; 1,006.

Pri nivo na znaqajnost 0,05, proveri dali na osnova na poda-

tocite dobieni od primerokot, somneot za preciznosta na maxi-

nata e opravdan.

Od iskustvo e poznato deka teinata na pakuvaǌata na eden

proizvod go zadovoluvaat vtoriot uslov za primena na testot.

Rexenie. Bidejki otstapuvaǌeto od propixanata teina (µ0 =

1) ne e dozvoleno vo nitu edna nasoka, ke postavime hipotezi od

vidot


(I) H0 : E (X) = 1 H1 : E (X) 6= 1.

Da ja presmetame vrednosta

t =x − µ0

sX

=x− µ0

s√n

za konkretniot primerok:

So zamena na

x =x1 + x2 + ... + xn

n=

1, 020 + 1, 010 + ... + 1, 006

16= 1, 015

i

sX =s√n

=1√n

√

x12 + x2

2 + ... + xn2 − nx2

n − 1=

=√

x12+x2

2+...+xn2−nx2

n(n−1)=√

1,0202+1,0102+...+1,0062−16·1,0152

16·15= 0, 0032,

vo t, dobivame

t =x − µ0

sX

=1, 015 − 1

0, 0032= 4, 6875.

Za n = 16, α = 0, 05, kritiqnata vrednost tn−1;α/2 , proqitana od

tabelata I, e

tn−1;α/2 = t15;0,025 = 2, 1315.

Bidejki

t = 4, 6875 > 2, 1315 = t15;0,025

zakluquvame deka nultata hipoteza treba da ja otfrlime, pa zna-

qi ja prifakame alternativnata hipoteza, t. e. prifakame deka

proseqnata teina na pakuvaǌata na ovoj proizvod se razlikuva

od propixanata teina od 1kg. Pritoa, postoi rizik od 0,05 deka

sme otfrlile toqna nulta hipoteza.

b) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot (II),

t. e. H0 : E (X) ≤ µ0, H1 : E (X) > µ0, togax stanuva zbor za

ednostran test. Kaj ovoj vid na testovi, imame edna kritiqna

vrednost, ja oznaquvame so tn−1;α, a kritiqniot domen e mnoe-

stvoto B = (tn−1;α,∞). I ovde kritiqnite vrednosti se qitaat od


tabelata I, dadena na krajot na uqebnikot. Gledano na brojnata

oska, kritiqniot domen se naoga od desnata strana na nulata.


kade

t =x − µ0

sX

=x− µ0

s√n

pripaga na mnoestvoto B = (tn−1;α,∞), odnosno ako t > tn−1;α.

Pritoa, verojatnosta na grexkata od prv tip ne e pogolema od α.

Vo sprotivno nultata hipoteza ne treba da se otfrli i dobienoto

otstapuvaǌe na x od µ0 ne e statistiqki znaqajno.

Primer 2. Ako vo prethodniot primer postoi somnevaǌe deka

pakuvaǌata na proizvodot, vo prosek, se potexki od 1kg, pri nivo

na znaqajnost 0,05, proveri dali na osnova na podatocite dobieni

od primerokot, somneot e opravdan.

Rexenie. Opravdanosta na ova somnevaǌe ke ja proverime

so primena na ednostraniot test, t. e. ke postavime hipotezi

od vidot (II), t. e. H0 : E (X) ≤ 1, H1 : E (X) > 1. Bidejki

stanuva zbor za istiot primer, vrednosta t veke e presmetana i

t = x−µ0

sX= 1,015−1

0,0032= 4, 6875. Za n = 16, α = 0, 05, kritiqnata vrednost

tn−1;α, proqitana od tabelata I, e tn−1;α = t15;0,05 = 1, 7531. Bidejki

t = 4, 6875 > 1, 7531 = t15;0,05, zakluquvame deka nultata hipoteza

treba da ja otfrlime, pa znaqi ja prifakame alternativnata hi-

poteza, t. e. prifakame deka proseqnata teina na pakuvaǌata na

ovoj proizvod e pogolema od propixanata teina od 1kg. Pritoa,

postoi rizik od 0,05 deka sme otfrlile toqna nulta hipoteza.

v) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot (III), t.

e. H0 : E (X) ≥ µ0, H1 : E (X) < µ0, togax povtorno stanuva zbor za

ednostran test. I kaj ovoj vid na testovi, imame edna kritiqna

vrednost, toa e brojot −tn−1;α, kade tn−1;α go qitame od tabelata

I, a kritiqniot domen e mnoestvoto B = (−∞,−tn−1;α). Gledano

na brojnata oska, kritiqniot domen se naoga od levata strana na

nulata.



kade

t =x − µ0

sX

=x− µ0

s√n

pripaga na mnoestvoto B = (−∞,−tn−1;α), odnosno ako t < −tn−1;α.



otstapuvaǌe na x od µ0 ne e statistiqki znaqajno.

4.25.3 Test za ednakvost na matematiqki oqekuvaǌa pri poz-

nati disperzii

Pokraj proverkata na hipotezi za vrednosta na obelejeto, vo

praktikata qestopati e potrebno da se sporedat vrednostite na

poveke obeleja, ili pak vrednostite na edno obeleje vo poveke

serii na nabǉuduvaǌa. Taka, na primer, moe da se sporeduvaat:

vrednostite na odredena karakteristika na proizvodi proizve-

deni na razliqni maxini, vrednosta na nekoe obeleje pred i po

izvrxuvaǌe na nekoi promeni vo procesot vo koj se nabǉuduva,

efektot od primena na dva preparati vo zemjodelieto, kvalitetot

na domaxni vo odnos na uvezeni proizvodi, uqestvoto na domaxni

vo odnos na stranski turisti i dr. Gledame deka predmetot na

proverka ne se vrednostite na eden parametar vo dve obeleja,

tuku sporedbata pomegu ovie dve vrednosti. Nie ke ja dademe

postapkata za proverka za ednakvost na proseqnite vrednosti na

dve obeleja.

Neka X i Y se dve obeleja. So E (X) i E (Y ) gi oznaquvame

matematiqkite oqekuvaǌa na X i Y , soodvetno, a so D (X) = σX2

i D (Y ) = σY2 gi oznaquvame disperziite na X i Y , soodvetno.

Bidejki proveruvame ednakvost na proseqnite vrednosti na dvete

obeleja, postapkata za proverka se vrxi vrz osnova na arit-

metiqkite sredini na primerocite za obelejata X i Y , koixto

gi oznaquvame so X i Y , soodvetno. Neka obemot na primerokot za

obelejeto X e nX , a na primerokot za obelejeto Y e nY i neka re-

aliziranite vrednosti na aritmetiqhkite sredini na izbranite


primeroci se x i y.

Ke gi razgledame trite najqesti sluqai, t.e. koga nultata i

alternativnata hipoteza se od vidovite:

(I) H0 : E (X) = E (Y ) H1 : E (X) 6= E (Y )

(II) H0 : E (X) ≤ E (Y ) H1 : E (X) > E (Y )

(III) H0 : E (X) ≥ E (Y ) H1 : E (X) < E (Y )




test.


1. Izbranite primeroci se megusebno nezavisni, odnosno izbo-

rot na elementite vo edniot primerok nema vlijanie na izborot na

elementite vo drugiot primerok. Toa znaqi, sluqajnate promen-

livi X i Y se nezavisno raspredeleni.

2. Disperziite na sluqajnate promenlivi X i Y , D (X) i D (Y ),

se poznati, t. e. D (X) = σX2 i D (Y ) = σY

2 se zadadeni brojni

vrednosti.

3. Obemite na primerocite se dovolno golemi, t. e. nX ≥ 30 i

nY ≥ 30.

Prvo treba da izbereme test-veliqina. Ako, na primer, ja

imame hipotezata od vidot (I), togax nultata hipoteza se sveduva

na hipoteza deka razlikata na matematiqkite oqekuvaǌa na X i Y

e ednakva na 0. Za nezavisno raspredelenite sluqajni promenlivi

X i Y vai:

1. E(X − Y

)= E

(X)− E

(Y)

= E (X) − E (Y );

2. D(X − Y

)= D

(X)

+ D(Y)

= σX2 + σY

2 = σX2

nX+ σY

2

nY.

Ottuka, sliqno kako vo testot 5.4.1., se dobiva deka test-veli-

qinata e

Z =X − Y − 0√

D(X − Y

) =X − Y

√σX

2

nX+ σY

2

nY

.

a) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot (I), t.

e. H0 : E (X) = E (Y ), H1 : E (X) 6= E (Y ), togax stanuva zbor

za dvostran test. Kaj ovoj vid na testovi, pri nivo na znaqa-


jnost α, imame dve kritiqni vrednosti, i ako ednata ja oznaqime

so zα/2 , drugata e −zα/2 , a kritiqniot domen e mnoestvoto B =(−∞,−zα/2

)∪(zα/2 ,∞

). Kritiqnite vrednosti gi qitame vo tabela

1, dadena vo testot 5.4.1.


kade

z =x − y

√σX

2

nX+ σY

2

nY


B =(−∞,−zα/2

)∪(zα/2 ,∞

)

odnosno ako z > zα/2 ili ako z < −zα/2 . Pritoa, verojatnosta

na grexkata od prv tip ne e pogolema od α. Vo sprotivno nul-

tata hipoteza ne treba da se otfrli i dobienata razlika megu

aritmetiqkite sredini, x i y, na primerocite ne e statistiqki

znaqajna.


e. H0 : E (X) ≤ E (Y ), H1 : E (X) > E (Y ) togax stanuva zbor za

ednostran test. Kaj ovoj vid na testovi, pri izbrano nivo na

znaqajnost α, imame edna kritiqna vrednost, ja oznaquvame so zα,

a kritiqniot domen e mnoestvoto B = (zα,∞). Kritiqnite vred-

nosti gi qitame vo tabela 2, dadena vo testot 5.4.1.


kade

z =x − y

√σX

2

nX+ σY

2

nY

pripaga na mnoestvoto B = (zα,∞), odnosno ako z > zα. Pri-

toa, verojatnosta na grexkata od prv tip ne e pogolema od α. Vo

sprotivno nultata hipoteza ne treba da se otfrli i dobienata

razlika megu aritmetiqkite sredini, x i y, na primerocite ne e

statistiqki znaqajna.

v) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot (III), t. e.

H0 : E (X) ≥ E (Y ), H1 : E (X) < E (Y ), togax povtorno stanuva zbor


za ednostran test. I kaj ovoj vid na testovi, pri izbrano nivo na

znaqajnost α, imame edna kritiqna vrednost, ja oznaquvame so −zα,

a kritiqniot domen e mnoestvoto B = (−∞,−zα). Kritiqnite

vrednosti gi qitame vo tabelata 3, dadena vo testot 5.4.1.


kade

z =x − y

√σX

2

nX+ σY

2

nY

pripaga na mnoestvoto B = (−∞,−zα), odnosno ako z < −zα. Pri-

toa, verojatnosta na grexkata od prv tip ne e pogolema od α. Vo

sprotivno nultata hipoteza ne treba da se otfrli i dobienata



Primer 1. Neka eden ist vid na baterii gi proizveduvaat

dva razliqni proizvoditeli A i B. Se somnevame deka bateri-

ite proizvedeni od A i B ne se so ist kvalitet. Zatoa, na sekoja

od bateriite vo zemenite primeroci od 35 baterii od proizvodi-

telot A i 30 baterii od proizvoditelot B, mereno e vremetrae-

ǌeto na bateriite. Spored poznatiot princip na presmetuvaǌe na

proseqnata vrednost, presmetano e deka proseqnoto vremetraeǌe

na bateriite od proizvoditelot A iznesuva 9,7 qasa, dodeka na

bateriite od proizvoditelot B iznesuva 10 qasa. Standardnite

devijacii se poznati i iznesuvaat 1 qas za bateriite od proi-

zvoditelot A i 1,1 qasa za bateriite od proizvoditelot B. Pri

nivo na znaqajnost 0,05 proveri dali moe da se prifati pret-

postavkata deka bateriite od dvata proizvoditeli ne se so ist

kvalitet.

Rexenie. Ke postavime hipotezi od vidot

(II) H0 : E (X) = E (Y ), H1 : E (X) 6= E (Y ),

kade obelejeto X e vremetraeǌeto na bateriite od proizvo-

ditelot A, a obelejeto Y e vremetraeǌeto na bateriite od pro-

izvoditelot B.

Oqigledno e deka uslovite za primena na testot se ispolneti.

Vo uslovite na zadaqata e dadeno deka realiziranata vrednost na


aritmetiqkata sredina X e x = 9, 7, a realiziranata vrednost na

aritmetiqkata sredina Y e y = 10. Standardnite devijacii na X

i Y se poznati i σX = 1, a σY = 1, 1. Obemite na primerocite se

nX = 35 i nY = 30. Togax brojot

z =x − y

√σX

2

nX+ σY

2

nY

=9, 7 − 10√

12

35+ 1,12

30

=−0, 3

0, 26= −1, 15.

Ovoj e dvostran test, pa za α = 0, 05, kritiqnate vrednosti se

−zα/2 = −1, 96 i zα/2 = 1, 96, i bidejki z = −1, 15 > −1, 96 = −zα/2

nultata hipoteza ne ja otfrlame pri ova nivo na znaqajnost, t. e

ne moeme da prifatime deka proizvoditelite A i B proizvedu-

vaat baterii so razliqen kvalitet.

Primer 2. Neka sluqajno se izbrani po 50 momqiǌa od qetvrta

godina vo uqilixtata A i B. Merejki gi nivnite teini, utvr-

deno e deka proseqnata teina na momqiǌata od qetvrta godina

vo uqilixteto A e 68, 2kg, a pak proseqnata teina na momqi-

ǌata od qetvrta godina vo uqilixteto B e 67, 5kg. Poznato e deka

standardnata devijacija vo sluqajot kaj uqilixteto A iznesuva

2, 5kg, a kaj B iznesuva 2, 8kg. Pri nivo na znaqajnost na testot,

0,05, proveri ja hipotezata deka proseqnata teina na momqi-

ǌata od qetvrta godina od uqilixteto A e pogolema na onie od

uqilixteto B.

Rexenie. Ke postavime hipotezi od vidot

(II) H0 : E (X) ≤ E (Y ) H1 : E (X) > E (Y ),

kade obelejeto X e teinata na uqenicite od uqilixteto A,

a obelejeto Y e teinata na uqenicite od uqilixteto B.

Oqigledno e deka uslovite za primena na testot se ispolneti.

Vo uslovite na zadaqata e dadeno deka realiziranata vrednost na

aritmetiqkata sredina X e x = 68, 2, a realiziranata vrednost na

aritmetiqkata sredina Y e y = 67, 5. Standardnite devijacii na

X i Y se poznati i σX = 2, 5, a σY = 2, 8. Togax brojot

z =x − y

√σX

2

nX+ σY

2

nY

=68, 2 − 67, 5√

2,52

50+ 2,82

50

=0, 7

0, 53= 1, 32.


Za α = 0, 05, kritiqnata vrednost e zα = 1, 645, pa bidejki z =

1, 32 < 1, 645 = zα nultata hipoteza ne ja otfrlame pri ova nivo na

znaqajnost.

4.25.4 Test za ednakvost na matematiqki oqekuvaǌa

pri nepoznati disperzii

Vo praktikata, vo zadaqite za proverka na hipotezi za ed-

nakvosta na matematiqkite oqekuvaǌa, E (X) i E (Y ), na obele-

jeta Xi Y koi se ispituvaat, mnogu e poqest sluqajot disperziite,

D (X) = σX2 i D (Y ) = σY

2, da ne se poznati. Toa znaqi deka vto-

riot uslov za primena na testot 3, kojxto ni ovozmouva da gi

presmetame standardnite grexki σX i σY , ne e ispolnet. Vo ovoj

sluqaj, ke pretpostavime deka standardnite devijacii σX i σY se

ednakvi i nivnata edinstvena vrednost ke ja ocenime vrz osnova na

standardnite devijacii sX i sY na primerocite Xi Y . Neka obe-

mot na primerokot za obelejeto X e nX, a na primerokot za obe-

lejeto Y e nY i neka realiziranite vrednosti na aritmetiqkite

sredini na izbranite primeroci se x i y.

Nultata i alternativnata hipoteza se javuvaat vo slednite tri

vida:

(I) H0 : E (X) = E (Y ) H1 : E (X) 6= E (Y )

(II) H0 : E (X) ≤ E (Y ) H1 : E (X) > E (Y )

(III) H0 : E (X) ≥ E (Y ) H1 : E (X) < E (Y ) .




test.


1. Izbranite primeroci se megusebno nezavisni, odnosno izbo-

rot na elementite vo edniot primerok nema vlijanie na izborot na

elementite vo drugiot primerok. Toa znaqi, sluqajnate promen-

livi X i Y se nezavisno raspredeleni.

2. Disperziite na sluqajnate promenlivi X i Y , D (X) i D (Y ),


ne se poznati, no se znae deka tie se ednakvi, t. e. D (X) = σX2 =

σY2 = D (Y ) = σ2.

3. Raspredelbata na obelejata X i Y se simetriqni i uni-

modalni.

4. Obemite na primerocite se nX ≥ 8, nY ≥ 8.

Da pristapime kon izborot na test-veliqinata. Standardnata

devijacija σ ke ja ocenime vrz osnova na standardnite devijacii

sX i sY na primerocite X i Y t. e. za σ ke ja koristime vrednosta

σp2 =

(nX − 1) sX2 + (nY − 1) sY

2

nX + nY − 2

kade

sX =

√

f1x12 + f2x2

2 + ... + fkxk2 − nX x2

nX − 1

sY =

√

f1′x1

2 + f2′x2

2 + ... + fm′xm

2 − nY y2

nY − 1.

So zamena na ovaa vrednost σp2 na mestoto na σX

2 i σY2, vo

statistikata

Z =X − Y − 0√

D(X − Y

) =X − Y

√σX

2

nX+ σY

2

nY

dobivame nova test-veliqina, a toa e veliqinata

t =X − Y

√σp

2

nX+ σp

2

nY

=X − Y

σp

√1

nX+ 1

nY

.

Realiziranata vrednost od primerokot e brojot

t =x − y

σp

√1

nX+ 1

nY

.

Povtorno ke napravime razgraniquvaǌe za vidot na hipotezite:

a) Nultata i alternativnata se od vidot (I);


b) Nultata i alternativnata se od vidot (II);

v) Nultata i alternativnata se od vidot (III).


H0 : E (X) = E (Y ), H1 : E (X) 6= E (Y ), togax stanuva zbor za dvos-

tran test. Kaj ovoj vid na testovi, imame dve kritiqni vrednosti,

i ako ednata ja oznaqime so tnX+nY −2;α/2 , drugata e −tnX+nY −2;α/2 , a

kritiqniot domen e mnoestvoto

B =(−∞,−tnX+nY −2;α/2

)∪(tnX+nY −2;α/2 ,∞

).

Kritiqnite vrednosti se qitaat od tabelata I, dadena na krajot na

uqebnikot. Gledano na brojnata oska, kritiqniot domen se naoga

od dvete strani na nulata.


kade

t =x− y

σp

√1

nX+ 1

nY


B =(−∞,−tnX+nY −2;α/2

)∪(tnX+nY −2;α/2 ,∞

)

odnosno ako t > tnX+nY −2;α/2 ili ako t < −tnX+nY −2;α/2 . Pritoa,

verojatnosta na grexkata od prv tip ne e pogolema od α. Vo spro-

tivno nultata hipoteza ne treba da se otfrli. i dobienata ra-

zlika megu aritmetiqkite sredini, x i y, na primerocite ne e



e. H0 : E (X) ≤ E (Y ), H1 : E (X) > E (Y ), togax stanuva zbor

za ednostran test. Kaj ovoj vid na testovi, imame edna kriti-

qna vrednost, ja oznaquvame so tnX+nY −2;α, a kritiqniot domen e

mnoestvoto B = (tnX+nY −2;α,∞). I ovde kritiqnite vrednosti se

qitaat od tabelata I, dadena na krajot na uqebnikot. Gledano na

brojnata oska, kritiqniot domen se naoga od desnata strana na

nulata.



kade

t =x− y

σp

√1

nX+ 1

nY

pripaga na mnoestvoto B = (tnX+nY −2;α,∞), odnosno ako

t > tnX+nY −2;α.


Vo sprotivno nultata hipoteza ne treba da se otfrli i dobienata



v) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot (III),

t. e. H0 : E (X) ≥ E (Y ), H1 : E (X) < E (Y ), togax povtorno

stanuva zbor za ednostran test. I kaj ovoj vid na testovi, imame

edna kritiqna vrednost, toa e brojot −tnX+nY −2;α, kade tnX+nY −2;α

go qitame od tabelata I, a kritiqniot domen e mnoestvoto B =

(−∞,−tnX+nY −2;α). Gledano na brojnata oska, kritiqniot domen se

naoga od levata strana na nulata.


kade

t =x− y

σp

√1

nX+ 1

nY

pripaga na mnoestvoto B = (−∞,−tnX+nY −2;α), odnosno ako t <

−tnX+nY −2;α. Pritoa, verojatnosta na grexkata od prv tip ne e

pogolema od α. Vo sprotivno nultata hipoteza ne treba da se

otfrli i dobienata razlika megu aritmetiqkite sredini, x i y,

na primerocite ne e statistiqki znaqajna.

Primer 1. Vo edna fabrika eden proizvod se izrabotuva na

dve maxini A i B. Mereni se ednoqasovnite proizvodstva na toj

proizvod na maxinata A i na maxinata B. Pritoa, na maxinata

A dobieni se slednite rezultati: 42, 42, 41, 42, 43, 42, 41, 43,

a na maxinata B slednite: 43, 40, 41, 42, 40, 42, 41, 39, 41, 41.

Da se proveri, pri nivo na znaqajnost na testot α = 0, 05, dali

maxinite A i B rabotat so razliqna brzina (pri pretpostavka za


ednakvost na disperziite na nabǉuduvanite obeleja).

Rexenie. Ovde obelejeto X e brojot na proizvodi, proizve-

deni na maxinata A vo tekot na eden qas, a obelejeto Y e brojot

na proizvodi, proizvedeni na maxinata B vo tekot na eden qas.

Ke postavime hipotezi od vidot

(I) H0 : E (X) = E (Y ) H1 : E (X) 6= E (Y ).

Pred da pomineme na presmetuvaǌe na potrebnite vrednosti za

primena na testot, podatocite od primerocite ke gi grupirame:

Za maxinata A:

Za maxinata B:

Vo naxiot primer nX = 8, nY = 10, a

x =x1f1 + x2f2 + x3f3

nX=

41 · 2 + 42 · 4 + 43 · 28

= 42

y =x′

1f′1 + x′

2f′2 + ... + x′

5f′5

nY=

39 · 1 + 40 · 2 + 41 · 4 + 42 · 2 + 43 · 110

= 41

i

sX =

√

f1x12 + f2x2

2 + f3x32 − nX x2

nX − 1=

=

√

2 · 412 + 4 · 422 + 2 · 432 − 8 · 422

8 − 1=√

0, 57 = 0, 76

sY =

√

f1′x1

2 + f2′x2

2 + ... + f5′x5

2 − nY y2

nY − 1=


=

√

1 · 392 + 2 · 402 + 4 · 412 + 2 · 422 + 1 · 432 − 10 · 412

10 − 1=√

1, 33 = 1, 15.

Sega

σp2 =

(nX − 1) sX2 + (nY − 1) sY

2

nX + nY − 2=

(8 − 1) 0, 57 + (10 − 1) 1, 33

8 + 10 − 2= 0, 998

a

t =x − y

σp

√1

nX+ 1

nY

=42 − 41

√0, 998

√18

+ 110

= 2, 11.

Pri nivo na znaqajnost na testot α = 0, 05,

tnX+nY −2;α/2 = t16;0,025 = 2, 12.

Bidejki

2, 11 = t < 2, 12 = tnX+nY −2;α/2 ,

zakluquvame deka nultata hipoteza ne treba da se otfrli, t. e.

prifakame deka maxinite A i B ne rabotat so razliqna brzina.

4.26 Testovi za disperzija

Kako xto znaeme disperzijata pretstavuva merka za otstapuva-

ǌe na vrednostite na edna sluqajna promenliva od nejzinoto mate-

matiqko oqekuvaǌe. Taka, disperzijata ja odrazuva toqnosta na

mereǌata, toqnosta na izrabotkata, opxto, stabilnosta na eden

proces ili homogenosta na populacijata koja xto ja nabǉuduvame

preku dadeno nejzino obeleje. Zatoa, vo statistiqkite ispitu-

vaǌa vani se proverkite na hipotezite za vrednosta na disper-

zijata i proverkite na hipotezite za ednakvost na disperziite.

Vo prodolenie ke ja objasnime postapkata na sproveduvaǌe na

ovie testovi, pogodnosta na izborot na sekoj test, kako i kon-

kretno sproveduvaǌe na testot niz soodvetno izbrani primeri.


4.26.1 Test za vrednosta na disperzijata

Neka se razgleduva obeleje X na dadena populacija. Kako i

dosega so E (X) go oznaquvame matematiqkoto oqekuvaǌe na X, a

so D (X) = σ2 ja oznaquvame disperzijata na X. Neka zakluqocite

za obelejeto se donesuvaat vrz osnova na primerok od dadenata

populacija qij obem (broj na elementi vo primerokot) e n. I ovde,

ako realiziranite vrednosti na primerokot se povtoruvaat, t. e.

ako vrednosta x1 se javuva f1 pati, x2 se javuva f2 pati, . . . , xk se

javuva fk pati, togax

f1 + f2 + ... + fk = n

i reliziranata vrednost na aritmetiqkata sredina na primerokot

e

x =x1f1 + x2f2 + ... + xkfk

f1 + f2 + ... + fk=

x1f1 + x2f2 + ... + xkfk

n

a za standardnata devijacija ja koristime formulata za poprave-

nata standardna devijacija

s =

√

f1x12 + f2x2

2 + ... + fkxk2 − nx2

n − 1.

Ako vrz osnova na podatocite od primerokot za obelejeto X e

dobiena ocenka na disperzijata, na primer, pogolema od voobiqae-

nata (pretpostavenata) ili propixanata so soodvetni standardi

vrednost, σ02, se postavuva praxaǌeto dali vo procesot ili popu-

lacijata qiexto obeleje se nabǉuduva, nastanale promeni. Naj-

qesto, se javuva potreba od zadaqa za proverka na nultata vo odnos

na alternativnata hipoteza, kade H0 : D (X) = σ02, a H1 : D (X) >

σ02. Nie, ke gi razgledame trite sluqai na proverka na hipotezi,

t. e.:

(I) H0 : D (X) = σ02 H1 : D (X) 6= σ0

2

(II) H0 : D (X) = σ02 H1 : D (X) > σ0

2

(III) H0 : D (X) = σ02 H1 : D (X) < σ0

2


Vo site sluqai, test-veliqinata e

(n − 1)S2

σ02

kojaxto pretstavuva sluqajna promenliva. Realiziranata vred-

nost od primerokot e brojot

χ2 = (n − 1)s2

σ02

(χ2 go qitame hi kvadrat). So sekoe izbrano nivo na znaqajnost

na testot, α, se opredeluva kritiqniot domen i kritiqnite vred-

nosti na χ2. Ke napravime razgraniquvaǌe za vidot na hipotezite:

a) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot (I), t.

e. H0 : D (X) = σ02, H1 : D (X) 6= σ0

2, togax stanuva zbor za dvos-

tran test. Kaj ovoj vid na testovi, imame dve kritiqni vrednosti,

ednata e χ2n−1;α/2 , drugata e χ2

n−1;1−α/2 , a kritiqniot domen e mno-

estvoto

B =(−∞, χ2

n−1;1−α/2

)∪(χ2

n−1;α/2 ,∞).

Pritoa, vrednostite χ2n−1;α/2 i χ2

n−1;1−α/2 se opredeluvaat od tabli-

cata II , dadena na krajot na uqebnikot.

Zakluqok. Nultata hipoteza treba da se otfrli ako brojot χ2,

kade χ2 = (n − 1) s2

σ02 , pripaga na mnoestvoto

B =(−∞, χ2

n−1;1−α/2

)∪(χ2

n−1;α/2 ,∞)

odnosno ako χ2 > χ2n−1;α/2 ili ako χ2 < χ2

n−1;1−α/2 . Pritoa, verojat-

nosta na grexkata od prv tip ne e pogolema od α. Vo sprotivno

nultata hipoteza ne treba da se otfrl i dobienoto otstapuvaǌe

na disperzijata od σ02 ne e statistiqki znaqajno.

b) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot

(II):H0 : D (X) = σ02, H1 : D (X) > σ0

2,

togax stanuva zbor za ednostran test. Vo ovoj sluqaj, povtorno,


od podatocite od primerokot se opredeluva vrednosta

χ2 = (n − 1)s2

σ02.

Pri nivo na znaqajnost na testot, α, imame edna kritiqna vred-

nost, ja oznaquvame so χ2n−1;α, a kritiqniot domen e mnoestvoto

B = (χ2n−1;α,∞). I ovde, vrednosta χ2

n−1;α se opredeluva od tabli-

cata II, dadena na krajot na uqebnikot.

Zakluqok. Nultata hipoteza treba da se otfrli ako brojot

χ2, kade χ2 = (n − 1) s2

σ02 , pripaga na mnoestvoto B = (χ2

n−1;α,∞),

odnosno ako χ2 > χ2n−1;α. Pritoa, verojatnosta na grexkata od

prv tip ne e pogolema od α. Vo sprotivno nultata hipoteza ne

treba da se otfrli i dobienoto zgolemuvaǌe na disperzijata ne

e statistiqki znaqajno i e rezultat na sluqajni faktori.

v) Ako nultata i alternativnata hipoteza se od vidot

(III):H0 : D (X) = σ02, H1 : D (X) < σ0

2,

i togax stanuva zbor za ednostran test. Povtorno, od podatocite

od primerokot se opredeluva vrednosta χ2 = (n − 1) s2

σ02 . Pri nivo

na znaqajnost na testot, α, imame edna kritiqna vrednost, ja oz-

naquvame so χ2n−1;1−α, a kritiqniot domen e mnoestvoto B = (−∞, χ2

n−1;1−α).

I ovde, vrednosta χ2n−1;1−α se opredeluva od tablicata II, dadena

na krajot na uqebnikot.


kade

χ2 = (n − 1)s2

σ02

pripaga na mnoestvoto B = (−∞, χ2n−1;1−α), odnosno ako

χ2 < χ2n−1;1−α.

Pritoa, verojatnosta na grexkata od prv tip ne e pogolema od

α. Vo sprotivno nultata hipoteza ne treba da se otfrli i dobi-

enoto namaluvaǌe na disperzijata ne e statistiqki znaqajno i e

rezultat na sluqajni faktori.

Primer 1. Toqnosta na rabota na edna maxina, spored stan-


dardite, e σ02 = 0, 1. Napravena e kontrolna proverka so mereǌa

na teinata na 25 sluqajno izbrani proizvodi, izraboteni na taa

maxina. Pritoa, dobieni se slednite rezultati:

Pri nivo na znaqajnost na testot, α = 0, 05, proveri ja hipo-

tezata deka maxinata ne ja obezbeduva baranata toqnost i ima

potreba od nejzin remont.

Rexenie. Neka obelejeto X e teinata na proizvodite pro-

izvedeni na dadenata maxina. Treba da se sprovede postapka za

proverka na hipotezite od vidot:

H0 : D (X) = 0, 1 H1 : D (X) > 0, 1.

Spored podatocite od primerokot, imame deka n = 25 i

x =x1f1 + x2f2 + ... + x5f5

f1 + f2 + ... + f5

=

=3, 0 · 2 + 3, 5 · 6 + 3, 8 · 9 + 4, 4 · 7 + 4, 5 · 1

2 + 6 + 9 + 7 + 1=

96, 5

25= 3, 86

s =

√

f1x12 + f2x2

2 + ... + f5x52 − nx2

n − 1=

=

√

2 · 3, 02 + 6 · 3, 52 + 9 · 3, 82 + 7 · 4, 42 + 1 · 4, 52 − 25 · 3, 862

25 − 1=

=

√

4, 74

24=√

0, 1975 = 0, 444.

Sega brojot

χ2 = (n − 1)s2

σ02

= (25 − 1)0, 1975

0, 1= 47, 4.

Pri nivo na znaqajnost na testot, α = 0, 05, vrednosta na χ2n−1;α =


χ224;0,05, proqitana vo tablicata II iznesuva 36,415. Bidejki

47, 4 = χ2 > χ224;0,05 = 36, 415

zakluquvame deka nultata hipoteza treba da se otfrli, t. e.

prifakame deka maxinata ne ja obezbeduva baranata toqnost i

ima potrba od nejzin remont.

Opixaniot test za proverka na hipoteza za vrednosta na dis-

perzijata se narekuva hi-kvadrat-test.

4.26.2 Test za ednakvost na disperzii

Kako xto vidovme, eden od uslovite za primena na t-testot za

ednakvost na matematiqkite oqekuvaǌa na dve obeleja bexe ed-

nakvosta na nivnite disperzii. Osven ovde, potrebata od pro-

verka na ednakvosta na disperziite na dve obeleja, se javuva

i vo mnogu drugi vani zadaqi od praktikata. Imajki predvid

deka disperzijata ja odrazuva toqnosta na mereǌata, toqnosta na

izrabotkata, stabilnosta na eden proces ili homogenosta na popu-

lacijata koja xto ja nabǉuduvame preku dadeno nejzino obeleje,

stanuva jasno deka potrebata od proverka na ednakvost na dis-

perziite na dve obeleja ke se javi vo zadaqite kade xto imame:

sporeduvaǌe na toqnosta na dva aparati za mereǌe, sporeduvaǌe

na toqnosta na dve metodi za analiza, sporeduvaǌe na stabilnosta

na dva procesa, sporeduvaǌe na homogenosta na dve populacii itn.

Neka se razgleduvaat dve obeleja X i Y . Kako i dosega so

E (X) i E (Y ) gi oznaquvame matematiqkite oqekuvaǌa na X i Y ,

a so D (X) = σX2 i D (Y ) = σY

2 gi oznaquvame disperziite na X

i Y , soodvetno. Neka zakluqocite za obelejeto se donesuvaat

vrz osnova na primeroci za dvete obeleja, qii obemi (broj na

elementi vo primerocite) se nX i nY , soodvetno. I ovde, ako

realiziranite vrednosti na primerocite se povtoruvaat, t. e.

ako, vo primerokot za X, vrednosta x1 se javuva f1 pati, x2 se


javuva f2 pati, . . . , xk se javuva fk pati, togax

f1 + f2 + ... + fk = nX

i, ako, vo primerokot za Y , vrednosta x′1 se javuva f ′

1 pati, x′2 se

javuva f ′2 pati, . . . , x′

l se javuva f ′l pati, togax

f ′1 + f ′

2 + ... + f ′l = nY .

Pritoa, realiziranite vrednosti na aritmetiqhkite sredini na

primerocite za X i Y se

x =x1f1 + x2f2 + ... + xkfk

nX

i

y =x′

1f′1 + x′

2f′2 + ... + x′

lf′l

nY

a za standardnite devijacii gi koristime formulite za poprave-

nite standardni devijaciii, t. e.

sX =

√

f1x12 + f2x2

2 + ... + fkxk2 − nX x2

nX − 1

i

sY =

√

f ′1x′

12 + f ′

2x′22 + ... + f ′

lx′l2 − nY y2

nY − 1.

Ako vrz osnova na podatocite od primerocite za obelejetata

X i Y se presmetani popravenite ocenki na disperziite sX2 i

sY2, soodvetno i ako pritoa, ednata od niv e pogolema, na primer,

sX2»sY

2, togax se postavuva zadaqata za proverka na nultata vo

odnos na alternativnata hipoteza, kade H0 : D (X) = D (Y ), a

H1 : D (X) > D (Y ). Ovde stanuva zbor za ednostran test. Bidejki

vo praktikata, najqesto se javuvaat zadaqi od ovoj tip, nie ke ja

razgledame samo postapkata na proverka na ovoj vid na hipotezi.

Prirodno e proverkata da se izveduva so brojot sX2

sY2 , prixto, na-


glasuvame deka vo broitelot se stava pogolemata od presmetanite

disperzii. Jasno, ako nultata hipoteza e toqna oqekuvame vred-

nostite sX2 i sY

2 da bidat priblino ednakvi. Znaqi, vo ovoj

sluqaj, koliqnikot sX2

sY2 ima pomala vrednost. Kritiqniot domen,

kako i sekogax dosega, zavisi od nivoto na znaqajnost na testot,

α, no i od obemite na primerocite.

Vo ovoj sluqaj, od podatocite od primerokot se opredeluva

vrednosta F = sX2

sY2 . Pri nivo na znaqajnost na testot, α, imame

edna kritiqna vrednost, ja oznaquvame so FnX−1,nY −1;α, a kritiq-

niot domen e mnoestvoto B = (FnX−1,nY −1;α,∞).

Vrednosta FnX−1,nY −1;α se opredeluva od tablicata III, dadena

na krajot na uqebnikot.

Zakluqok. Nultata hipoteza treba da se otfrli ako brojot,

F kade F = sX2

sY2 , pripaga na mnoestvoto B = (FnX−1,nY −1;α,∞),

odnosno ako F > FnX−1,nY −1;α. Pritoa, verojatnosta na grexkata

od prv tip ne e pogolema od α. Vo sprotivno nultata hipoteza ne

treba da se otfrli i razlikata na disperziite na obelejata ne

e statistiqki znaqajna i e rezultat na sluqajni faktori.

Primer 1. Dve maxini, A i B, od ist tip, izrabotuvaat eden

proizvod so odredena dimenzija. Da pretpostavime deka arit-

metiqkata sredina na razgleduvanite dimenzii zavisi samo od

podesenosta na maxinite, a otstapuvaǌata na dimenziite od sred-

nata vrednost zavisi od rabotnikot koj raboti so maxinata. Ze-

meni se dva primeroka, edniot od proizvodi izraboteni na ma-

xinata A, a drugiot od proizvodi izraboteni na maxinata B i

izmerena e razgleduvanata dimenzija na sekoj od niv. Dobieni se

slednite rezultati:

Za rabotnikot na maxinata A: 2,09; 2,06; 2,09; 2,04; 2,11; 2,07;

2,08; 2,10; 2,08; 2,10; 2,08; 2,09; 2,05; 2,12; 2,10; 2,05; 2,08; 2,06;

2,12; 2,09; 2,11.

Za rabotnikot na maxinata B: 2,01; 2,09; 2,04; 2,03; 2,05; 2,04;

2,02; 2,08; 2,06; 2,04; 2,07; 2,05; 2,05; 2,06; 2,04; 2,07; 2,03; 2,06;

2,05; 2,02; 2,06.

Dali vrz osnova na podatocite od primerocite, pri nivo na


znaqajnost na testot α = 0, 05, moe da se zakluqi deka edniot

rabotnik e poprecizen od drugiot rabotnik?

Rexenie. Bidejki nekoi od podatocite se povtoruvaat, prvo

ke gi grupirame:

Za rabotnikot na maxinata A:

Za rabotnikot na maxinata B:

Vo primerot nX = 21 i nY = 21,

x =x1f1 + x2f2 + ... + x9f9

nX=

=1 · 2, 04 + 2 · 2, 05 + ... + 2 · 2, 11 + 2 · 2, 12

21=

43, 77

21= 2, 0843

y =x

′1f

′1 + x

′2f

′2 + ... + x

′9f

′9

nY=

=1 · 2, 01 + 2 · 2, 02 + ... + 1 · 2, 08 + 1 · 2, 09

21=

43, 02

21= 2, 0486

sX =

√

f1x21 + f2x2

2 + ... + f9x29 − nX x2

nX − 1=

=

√

1 · 2, 042 + 2 · 2, 052 + ... + 2 · 2, 122 − 21 · 2, 08432

21 − 1=

=

√

0, 009266

20=√

0, 0004633 = 0, 0215

sY =

√

f′1x

′21 + f

′2x

′22 + ... + f

′9x

′29 − nY y2

nY − 1=


=

√

1 · 2, 012 + 2 · 2, 022 + ... + 1 · 2, 092 − 21 · 2, 04862

21 − 1=

=

√

0, 005801

20=√

0, 00029 = 0, 0170

Bidejki sX2 > sY

2, postavuvame hipotezi od vidot

H0 : D (X) = D (Y ), H1 : D (X) > D (Y ).

Brojot

F =sX

2

sY2

=0, 0004633

0, 00029= 1, 5976

a pri nivo na znaqajnost na testot α = 0, 05, kritiqnata vrednost

e

FnX−1,nY −1;α = F20,20;0,05 = 2, 12.

Bidejki

F = 1, 5976 < 2, 12 = FnX−1,nY −1;α

sleduva deka nultata hipoteza ne ja otfrlame, t. e. vrz osnova na

podatocite od primerocite zakluquvame deka dvata rabotnika se

podednakvo precizni.

Opixaniot test za proverka na hipoteza za ednakvost na dis-

perzii se narekuva F -test.

Primer 2. Da se konstatira dali insulinska terapija kaj

pacienti so dijabet tip 1 vlijae na pacientite, spored vrednos-

tite za serumska glukoza pred i po administriraǌe na terapijata

dadeni vo tabelata:


mM Глукоза пред

администрирање

mM глукоза по

администрирање

9,6 4,3

9,2 4,0

10,5 5,6

9,8 4,7

11,3 5,2

7,6 3,8

12,1 5,8

8,3 4,6

8,5 4,9

10,2 5,4

Rexenie. Nultata hipoteza pretstavuva deka nema signifi-

kantna razlika pred i po tretman so insulin kaj pacienti so di-

jabet tip 1. Se postavuva i alternativna hipoteza deka postoi

monost za znaqajna razlika po tretmanot so insulin kaj pacienti

so dijabet tip 1.

N0 : E(H) = E(Y )

N1 : E(H) 6= E(Y ).

Uslovite za izveduvaǌe na statistiqki test se ispolneti (do-

volen broj primeroci n > 8; poznata disperzija na sluqajnata

promenliva i ramnomerna raspredelba na relativnite qestoti na

vrednostite). Potrebno e da se napravi dopolnitelen test za ed-

nakvost na disperziite.

Se presmetuvaat srednata vrednost i standardnata devijacija

na nivoto na glukoza vo dvata sluqai.

x = 9,6+9,2+10,5+9,8+11,3+7,6+12,1+8,3+8,5+10,210

= 9, 71

y = 4,3+4,0+5,6+4,7+5,2+3,8+5,8+4,6+4,9+5,410

= 4, 83

Se presmetuvaat disperziite na promenlivite.

Dx = s2x = 1, 392 = 1, 9321

Dy = s2y = 0, 672 = 0, 4489.

Kritiqna vrednost za F za nivo na znaqajnost od α = 0, 05 vo

ovoj sluqaj e 3,18 po xto sleduva deka 4, 30 > 3, 18, odnosno deka

postoi znaqajna razlika pomegu dvete disperzii i se prifaka al-

ternativnata hipoteza.


Se izveduva t−test za nezavisni promenlivi so neednakvi dis-

perzii:

t =x − y

√s2x

n1+

s2y

n2

= 10, 01

Kritiqna vrednost za dvostran t−test pri nivo na znaqajnost

α = 0, 05 e 2,16 pa bidejki 10, 01 > 2, 16 se otfrla nultata hipo-

teza, odnosno se konstatira deka insulinskata terapija vlijae na

nivoto na serumska glukoza kaj pacienti so dijabet tip 1.

Primer 3. Da se konstatira dali ima znaqajna razlika vo ak-

tivnosta na katalazata vo serum kaj hiperholesterolemicni vs.

kontrolni pacienti spored vrednostite za serumska dadeni vo

tabelata:

U/mL Cat

(контролни)

U/mL Cat

(хиперхолест.)

49,3 27,3

49,5 42,7

51,6 78,6

52,4 80,5

53,7 55,4

51,9 105,9

53,5 95,3

50,8 36,4

55,2 72,8

53,6 111,7

Da se oceni dali pri nivo na znaqajnost 0,05 ima porast na

katalazata kako protektiven enzim pri vospalitelni procesi pre-

dizvikani od zgolemenoto nivo na holesterol vo cirkulacija.

Rexenie.

x = 52, 15 y = 70, 66

σ1 =

√nP

i=1(xi−x)2

n−1= 1, 91; σ2 =

√nP

i=1(yi−y)2

n−1= 29, 32


Dx = s2x = 1, 912 = 3, 67; Dy = s2

y = 29, 322 = 862, 91


Se izveduva i test za ednakvost na disperziite so nulta hipo-

teza

H0 : D(H) = D(Y )

i alternativna hipoteza

H1 : E(H) > E(Y ).

F =s2

y

s2x

=862, 91

3, 67= 235, 12.


ovoj sluqaj e 3,18 po xto sleduva deka 235, 12 > 3, 18 odnosno deka

postoi znaqajna razlika pomegu dvete disperzii i se prifaka al-

ternativnata hipoteza.

Se izveduva ttest za nezavisni promenlivi so neednakvi dis-

perzii

t =x− y

√s2x

n1+

s2y

n2

= 1, 98.


α = 0, 05 e 2,16 pa bidejki 1, 98 < 2, 16 ne se otfrla nultata hipoteza

odnosno se konstatira deka kaj hiperholesterolemicni pacienti

nema znaqajno pokaquvaǌe na aktivnosta na serumskata katalaza.

Primer 4. Se sledi nivoto na alanin aminotransferaza (ALT)

kako biomarker za oxtetuvaǌeto na crn drob kaj laboratoriski

staorci po intraperitonealna administracija na razliqna doza

na ksenobiotik (10 i 15 mg/kg).


U/L ALT

(доза 10 mg/kg)

U/L ALT

(доза 15 mg/kg)

72,4 78,3

70,5 80,7

71,3 81,6

74,6 79,5

75,1 82,4

69,4 77,9

70,3 80,3

73,5 79,4

72,8 81,8

68,6 79,7

Da se oceni dali pri nivo na znaqajnost 0,05 dozata na kseno-

biotikot znaqajno go menuva serumskoto nivoto na alanin amino-

tranferazata

Rexenie. Se presmetuvaat disperziite na promenlivite.

Dx = s2x = 2, 192 = 4, 79

Dy = s2y = 1, 492 = 2, 22

F = s2x

s2y

= 4,792,22

= 2, 17


ovoj sluqaj e 3,18 po xto sleduva deka 2, 17 < 3, 18, odnosno deka

ne postoi znaqajna razlika pomegu dvete disperzii i ne se ot-

frla nultata hipoteza. Za opredeluvaǌe statistiqka razlika se

koristi t−test za ednakvi disperzii.

t =x − y

σp

√1n1

+ 1n2

= −9, 93


α = 0, 05 e 2,1 pa bidejki 9, 93 > 2, 1 se otfrla nultata hipoteza,

odnosno se konstatira deka dozata na ksenobiotikot znaqajno go

menuva serumskoto nivoto na alanin aminotranferazata.

Primer 5. Se sledi nivoto na kisela fosfataza (AP) kako

tumor marker za kaj laboratoriski staorci po intragastralna

administracija na razliqna doza na kancerogena supstanca (10 i

20 mg/kg).


AP

(доза 10 mg/kg)

AP

(доза 20 mg/kg)

3,45 8,65

3,87 7,65

4,12 10,12

5,65 12,43

4,38 11,25

6,16 9,95

6,89 9,29

2,43 10,78

2,96 10,56

4,69 11,83

Da se oceni dali pri nivo na znaqajnost 0,05, zgolemuvaǌeto

na aktivnosta na AP e proporcionalno so zgolemuvaǌe na dozata

na kancerogenata supstanca.

Rexenie.

x = 4, 46 y = 10, 25

σ1 =

√√√√√

n∑

i=1

(xi − x)2

n − 1= 1, 42; σ2 =

√√√√√

n∑

i=1

(yi − y)2

n − 1= 1, 45


Dx = s2x = 1, 422 = 2, 02; Dy = s2

y = 1, 452 = 2, 11


ovoj sluqaj e 3,18 po xto sleduva deka 0, 957 < 3, 18, odnosno deka

ne postoi znaqajna razlika pomegu dvete disperzii i ne se otfrla

nultata hipoteza. Za opredeluvaǌe na statisticka razlika se

koristi ttest za ednakvi disperzii.

t =x − y

σp

√1n1

+ 1n2

= −9, 02



α = 0, 05 e 2,1 pa bidejki 9, 02 > 2, 1 se otfrla nultata hipoteza,

odnosno se konstatira deka zgolemuvaǌeto na dozata na kance-

rogenot znaqajno vlijae na porastot na serumskata kisela fosfa-

taza.

4.27 Test za nezavisnost na obeleja

4.27.1 Test za soglasnosta na empiriskite so oqekuvanite

qestoti

Mnogupati rezultatite dobieni vrz osnova na primerok ne se

identiqki ednakvi so teoretskite rezultati xto se oqekuvaat spo-

red pravilata na verojatnosta. Na primer, pri 100 frlaǌa na

metalna para, pretpostavuvajki deka parata e homogena, spored

pravilata na verojatnosta, treba da se pojavat 50 grba i 50 pisma.

No, vo realnosta, ako eksperimentot so 100 frlaǌa na metalna

para go povtorime nekolkupati, mono e da se dobijat 48 grba

i 52 pisma, ili pak 53 grba i 47 pisma, itn. t. e. retko ke se

postignat toqno oqekuvanite teoriski rezultati.

Razgleduvame obeleje X na nekoja populacija i neka

E1, E2, ..., Er

se monite modaliteti na obelejeto. Zemen e sluqaen primerok i

neka vo toj primerok modalitetot E1 se pojavil f1 pati, modalite-

tot E2 se pojavil f2 pati,. . . , modalitetot Er se pojavil fr pati, t.

e. empiriskite qestoti na modalitetite E1, E2, ..., Er, vo dadeniot

primerok, se f1, f2, ..., fr, soodvetno. Nultata hipoteza se odnesuva

na oqekuvanata raspredelba na modalitetite na razgleduvanoto

obeleje, a testot treba da pokae dali empiriskata raspredelba

na primerokot znaqajno se razlikuva od pretpostavenata (oqeku-

vanata) raspredelba. Po pretpostavka deka nultata hipoteza e


toqna, oqekuvanite (teoriskite) qestoti na modalitetite

E1, E2, ..., Er

spored pravilata na verojatnosta, se

f ′1, f

′2, ..., f

′r,

soodvetno. Dobivame tabela od sledniot vid:

Qestopati se postavuva praxaǌeto dali empiriskite qestoti

znaqajno se razlikuvaat od oqekuvanite.

Nie ke go razgledame testot za proverka na hipotezite za ram-

nomerna raspredelba na obelejeto, t. e. ja razgleduvame nultata

hipoteza

H0: Modalitetite E1, E2, ..., Er imaat ednakva relativna qestota

π0 = 1r

nasproti alternativnata

H1: Modalitetite E1, E2, ..., Er imaat razliqni relativni qe-

stoti.

Vo ovie sluqai, proverkata se vrxi vrz osnova na otstapuvaǌa-

ta na empiriskite od oqekuvanite qestoti, t. e. na test-veliqina-

ta

χ2 =(f1 − f ′

1)2

f ′1

+(f2 − f ′

2)2

f ′2

+ ... +(fr − f ′

r)

f ′r

=r∑

i=1

(fi − f ′i)

2

f ′i

.

Vrednosta na χ2 e 0 samo vo sluqaj na identiqnost na em-


piriskite so oqekuvanite qestoti. No, vo praksa, poradi sluqajni

faktori ne moeme da oqekuvame vakva identiqnost, duri ni koga

postavenata nulta hipoteza e toqna. Ako nultata hipoteza e toqna

razlikata megu empiriskite i oqekuvanite qestoti ke bide mala,

no do koga ke smetame deka dobienata razlika megu empiriskite i

oqekuvanite qestoti ne e statistiqki znaqajna zavisi od nivoto

na znaqajnost na testot, α, koe odnapred sme go izbrale. Kako

i dosega se opredeluvaat kritiqni toqki i kritiqen domen. Vo

sluqajot kritiqnata toqka e χ2r−1;α, xto ja qitame vo tabelata II,

a kritiqniot domen e mnoestvoto B = (χ2r−1;α,∞).


kade

χ2 =

r∑

i=1

(fi − f ′i)

2

f ′i

,

pripaga na mnoestvoto B = (χ2n−1;α,∞), odnosno ako χ2 > χ2

r−1;α.



otstapuvaǌe na empiriskite od teoriskite (oqekuvanite) qestoti

ne e statistiqki znaqajno i e rezultat na sluqajni faktori.

Primer. Vo agencijata za vrabotuvaǌe na R. Makedonija, evi-

dentirani se site lica koi se nevraboteni i nivnata obrazovna

podgotvenost. Obrazovnata podgotvenost e podelena vo 4 kate-

gorii: niska, sredna, vixa i visoka. Zemen e primerok od 2400

nevraboteni lica i ispitana e nivnata obrazovna podgotvenost.

Dobieni se slednite rezultati:

Ispitaj, vrz osnova na podatocite od primerokot i pri nivo

na znaqajnost na testot α = 0, 05, dali uqestvoto na lica so niska,


sredna, vixa i visoka podgotvenost vo mnoestvoto na nevraboteni

lica e razliqno.

Rexenie. Vo ovoj sluqaj zadaqata e da se ispita dali raspre-

delbata na nevrabotenite lica spored obrazovnata podgotvenost

se razlikuva od oqekuvanata, ramnomerna raspredelba samo vo

granicite na sluqajnite faktori. Ovde populacijata ja soqinu-

vaat nevrabotenite lica vo R. Makedonija, obelejeto e X: obra-

zovnata podgotvenost na nevrabotenite lica. Ova obeleje ima

4 modaliteti: E1-visoka obrazovna podgotvenost, E2-vixa obra-

zovna podgotvenost, E3-sredna obrazovna podgotvenost, E4-niska

obrazovna podgotvenost. Nultata i alternativnata hipoteza se:

H0: Modalitetite E1, E2, E3, E4 imaat ednakva relativna qestota

π0 = 14;

H1: Modalitetite E1, E2, E3, E4 imaat razliqni relativni qe-

stoti.

Ako nultata hipoteza e toqna, oqekuvanite qestoti se megusebno

ednakvi i iznesuvaat 24004

= 600. Sega ja postavuvame tabelata na

empiriski i oqekuvani qestoti:

Togax

χ2 =4∑

i=1

(fi − f ′i)

2

f ′i

=(−40)

2

600+

(−30)2

600+

602

600+

102

600= 10, 33.

Kritiqnata vrednost, pri nivo na znaqajnost na testot α =

0, 05, e χ24−1;0,05 = 7, 815. Bideji χ2 = 10, 33 > 7, 815 = χ2

4−1;0,05,


prifakame deka uqestvoto na lica so niska, sredna, vixa i visoka


podgotvenost vo mnoestvoto na nevraboteni lica ne e ednakvo.

Pritoa, verojatnosta za grexkata od prv tip ne e pogolema od α.

4.27.2 Tabeli na kontingencija

Qestopati vo praktika se javuvaat zadaqi za ispituvaǌe na za-

visnosta na modalitetite na dve obeleja na nekoja populacija,

od koja se zema primerok. Taka, moe da se postavi zadaqa da se

ispita dali uspehot na uqenicite na priemnite ispiti za upis na

fakultet zavisi od nivniot uspeh vo sredno uqilixte, potoa dali

brojot na deca vo semejstvoto vo nekoja drava zavisi od proseq-

nite primaǌa vo semejstvoto, dali soobrakajnite nezgodi zavisat

od starosta na vozaqite itn. Testovite so koi se proveruva neza-

visnosta na modalitetite na dve obeleja na nekoja populacija,

vo osnova se sliqni so testovite za soglasnost na empiriskite i

oqekuvanite qestoti. Vo prodolenie ke ja objasnime postapkata

na proverka na vakov vid na hipotezi.

Razgleduvame dve obeleja X i Y na nekoja populacija i neka

E1, E2, ..., Er se monite modaliteti na obelejeto X, a E′1, E

′2, ..., E

′k

se monite modaliteti na obelejeto Y . So Eij ja oznaquvame ij-ta

kombinacija na modalitetite na dvete obeleja, t. e. modalitetot

Ei na obelejeto X i modalitetot E′j na obelejeto Y . Zemen e

sluqaen primerok i neka vo toj primerok Eij se pojavil fij pati

t. e. empiriskata qestotita na Eij vo dadeniot primerok, e fij, za

site i ∈ 1, 2, ..., r , j ∈ 1, 2, ..., k. Ja dobivame slednata tabela:


Vo tabelata 2 dadeni se empiriskite qestoti na Eij. Neka

postavime nulta hipoteza

H0: Modalitetite na obelejata X i Y se megusebno nezavisni;

nasproti alternativnata hipoteza

H1: Modalitetite na obelejata X i Y se megusebno zavisni.

Pri toqna nulta hipoteza, treba da se presmetaat oqekuvanite

qestoti na Eij, a potoa da se napravi tabela sliqna na tabela 1.

Ponatamu, postapkata e kako i kaj prethodniot test.

Oqekuvanite qestoti se presmetuvaat na sledniot naqin:

f′11 =

f1∗f∗1N

, f′12 =

f1∗f∗2N

, ..., f′1k =

f1∗f∗k

N;

f′21 =

f2∗f∗1N

, f′22 =

f2∗f∗2N

, ..., f′2k =

f2∗f∗k

N

...

f′r1 =

fr∗f∗1N

, f′r2 =

fr∗f∗2N

, ..., f′rk =

fr∗f∗k

N.

Opxto:

f′ij =

fi∗f∗j

N

za site i ∈ 1, 2, ..., r , j ∈ 1, 2, ..., k , t. e. oqekuvanite qestoti se

presmetuvaat preku zbirovite vo tabela 2.

Otkako ke se presmetaat

f ′ij =

fi∗f∗j

N

za site i ∈ 1, 2, ..., r , j ∈ 1, 2, ..., k, se pravi slednata tabela:


Tabelite od vidot 3, vo koixto se dadeni empiriskite i oqeku-

vanite qestoti na Eij, za site i ∈ 1, 2, ..., r , j ∈ 1, 2, ..., k se

narekuvaat tabeli na kontingencija.

Vo sledniot qekor se presmetuva zbirot na site broevi od ob-

likot(fij − f ′

ij)2

f ′ij

t. e. se presmetuva brojot

χ2 =r∑

i=1

k∑

j=1

(fij − f ′ij)

2

f ′ij

.

Pri odbrano nivo na znaqajnost na testot α, postoi edna kri-

tiqna vrednost, toa e brojot χ2N ;α, kade N = (r − 1) (k − 1), kojxto

se qita od tablicata II, dadena na krajot na uqebnikot. Koneqno,

kritiqniot domen e mnoestvoto B = (χ2N ;α,∞).


kade

χ2 =r∑

i=1

k∑

j=1

(fij − f ′ij)

2

f ′ij

pripaga na mnoestvoto B = (χ2N ;α,∞), kade N = (r − 1) (k − 1),

odnosno ako χ2 > χ2N−1;α. Pritoa, verojatnosta na grexkata od

prv tip ne e pogolema od α. Vo sprotivno nultata hipoteza ne

treba da se otfrli i dobienoto otstapuvaǌe na empiriskite od

teoriskite (oqekuvanite) qestoti ne e statistiqki znaqajno i e

rezultat na sluqajni faktori.

Primer. So cel da ispitame dali uspehot na uqenicite na


priemen ispit na fakultet e zavisen od nivniot uspeh vo sredno

uqilixte, zemen e sluqaen primerok na 500 kandidati koixto

go poloile priemniot ispit na razni fakulteti. Uspehot na

uqenicite vo sredno uqilixte, a i na priemniot ispit, e pode-

len vo tri kategorii: odliqen, mnogu dobar i dobar, spored

odredeni principi. Po utvrduvaǌeto na uspehot vo srednoto

uqilixte i uspehot na priemniot ispit na sekoj od kandidatite

vo primerokot, dobieni se slednite rezultati:

Pri nivo na znaqajnost na testot α = 0, 05, proveri ja hi-

potezata deka uspehot na uqenicite na priemen ispit zavisi od

nivniot uspeh vo sredno uqilixte.

Rexenie. Vo naxiot primer, populacijata ja soqinuvaat kan-

didatite koi xto polagale priemen ispit na site fakulteti. Obe-

lejeto X e uspehot na uqenicite vo sredno uqilixte i ima tri

modaliteti: odliqen, mnogu dobar i dobar, a obelejeto Y e uspe-

hot na kandidatite na priemniot ispit, i toa ima tri modaliteti:

odliqen, mnogu dobar i dobar.

Postavuvame nulta hipoteza

H0: Modalitetite na obelejata X i Y se megusebno nezavisni;

nasproti alternativnata hipoteza

H1: Modalitetite na obelejata X i Y se megusebno zavisni.

Vo sledniot qekor gi presmetuvame oqekuvanite qestoti:

f′11 =

f1∗f∗1N

=200 · 220

500= 88, f

′12 =

f1∗f∗2N

=200 · 130

500= 52,


f′13 =

f1∗f∗3N

=200 · 150

500= 60

f′21 =

f2∗f∗1N

=200 · 220

500= 88, f

′22 =

f2∗f∗2N

=200 · 130

500= 52,

f′23 =

f2∗f∗3N

=200 · 150

500= 60

f′31 =

f3∗f∗1N

=100 · 220

500= 44, f

′32 =

f3∗f∗2N

=100 · 130

500= 26,

f′33 =

f3∗f∗3N

=100 · 150

500= 30.

Sega ja popolnuvame tabelata na kontingencija:

Vo sledniot qekor go presmetuvame zbirot na site broevi od

oblikot (fij−f ′ij)

2

f ′ij

, pa brojot

χ2 =r∑

i=1

k∑

j=1

“

fij−f′ij

”2

f ′ij

= (150−88)2

88+ (50−88)2

88+ (20−44)2

44+

+ (30−52)2

52+ (80−52)2

52+ (20−26)2

26+ (20−60)2

60+ (70−60)2

60+ (60−30)2

30= 185, 16.

Pri odbranoto nivo na znaqajnost na testot α = 0, 05, postoi

edna kritiqna vrednost, toa e brojot χ2N ;α, kade

N = (r − 1) (k − 1) = (3 − 1) (3 − 1) = 4


pa χ2N ;α = χ2

4;0,05 = 9, 488. Bidejki

χ2 = 185, 16 > 9, 488 = χ2N−1;α


prifakame deka uspehot na uqenicite na priemen ispit na fakul-

tet e zavisen od nivniot uspeh vo sredno uqilixte.


4.28 Statistiqki tablici












LITERATURA

[1] D. Dimitrovski, Matematika (uqebnik za 4 godina na bio-

tehniqka struka), Prosvetno delo, Skopje, 1987.

[2] D. Dimitrovski, V. Manova-Erakovik, G. Markoski, Mate-

matika I (za studentite po biologija), UKIM, Skopje, 2015.

[3] V. Djolevic, Primenjena statistika, IDP Naucna Knjiga, Beograd,

1993.

[4] M. Goldman, Introduction to probability and statistics, Harcourt,

Brace & World, inc. 1970, New York.

[5] N. Ivanovski, Matematiqka analiza I, Skopje, 1981

[6] Z. Lipschutz, Schaum’s outline series of theory and problems of prob-

ability, McGraw-Hill int. book company,1974, New York.

[7] R. Malqeski, S. Malqeski, Statistika za biznis i ekonomija,

FON, 2010.

[8] J. Mitevska, V. Manova-Erakovik, L. Gribovska-Popovik,

F. Mitruxeva, Matematika za IV godina na reformirano gim-

nazisko obrazovanie, Prosvetno delo, Skopje, 2004.

[9] M. Orovqanec, Matematika, Skopje, 2002

[10] M. Orovqanec, B. Krsteska, V. Manova-Erakovik, G. Mar-

koski, Zbirka rexeni zadaqi po matematiqka analiza I, UKIM,

Skopje, 2015

[11] M. Orovqanec, B. Krsteska, V. Manova-Erakovik, G. Mar-

koski, Zbirka rexeni zadaqi po matematiqka analiza II, UKIM,

Skopje, 2015

[12] N. Pandeski, Matematiqka analiza I, Skopje, 2000.

[13] N. Xekutkovski, Matematiqka analiza I, Skopje, 2008

[14] M. R. Spiegel, Schaum’s outline series of theory and problems of

statistics, McGraw-Hill int. book company, 1972, New York.

[15] B. Trpenovski, Elementaren uvod vo teorijata na verojat-

nosta, NIO Studentski zbor, Skopje, 1982.

[16] B. Trpenovski, Elementaren uvod vo teorijata na verojat-

nosta, Matematiqki institut so numeriqki centar pri UKIM,

Skopje, 1969.


[17] M. Zizic, M. Lovric, D. Pavlicic, Matodi statisticke analize, uni-

verzitet u Beogradu, Ekonomski fakulet, Beograd, 1995.


SODRINA

PREDGOVOR 3

1 INTEGRALNO SMETAǋE 5

1.1 Neopredelen integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Primitivna funkcija i neopredelen integral 5

1.1.2 Tablica na nekoi osnovni integrali . . . . . 9

1.1.3 Integriraǌe so metod na zamena . . . . . . . . 10

1.1.4 Integriraǌe so metod na parcijalna inte-

gracija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.1.5 Presmetuvaǌe na nekoi vani tipovi inte-

grali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.2 Opredelen integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.2.1 Opredelen integral kako narasnuvaǌe na

primitivna funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.2.2 Opredelen integral kako graniqna vrednost

na zbir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.2.3 Svojstva na opredelen integral . . . . . . . . . 37

1.2.4 Geometrisko znaqeǌe na opredeleniot in-

tegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.2.5 Primena na opredelen integral . . . . . . . . . 40

1.3 Nesvojstven integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2 DIFERENCIJALNI RAVENKI 47

2.1 Opxti poimi na obiqni diferencijalni ravenki . 47

2.1.1 Definicija na obiqni diferencijalni ravenki 47

2.1.2 Integrali na diferencijalni ravenki . . . . 51

361


2.1.3 Formiraǌe na diferencijalna ravenka . . . . 52

2.2 Obiqni diferencijalni ravenki od prv red . . . . 54

2.2.1 Metod na razdvojuvaǌe na promenlivite . . . 54

2.2.2 Homogena diferencijalna ravenka od prv red 57

2.2.3 Linearna diferencijalna ravenka od prv red 58

2.2.4 Bernulieva diferencijalna ravenka . . . . . . 60

3 ELEMENTARNA KOMBINATORIKA I VEROJAT-

NOST 63

3.1 Elementarna kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.1 Voved . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.1.2 Dva osnovni principa vo kombinatorikata . 63

3.1.3 Voveduvaǌe na dvata osnovni poimi vo kombinatori-

kata: permutacija i kombinacija . . . . . . . . 66

3.1.4 Varijacii i presmetuvaǌe na broj na site

varijacii na dadeno mnoestvo . . . . . . . . . 68

3.1.5 Permutacii i presmetuvaǌe broj na site

permutacii na dadeno mnoestvo . . . . . . . . 69

3.1.6 Kombinacii i presmetuvaǌe broj na site

kombinacii na dadeno mnoestvo . . . . . . . . 71

3.2 Teorija na verojatnost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.2.1 Sluqaen eksperiment. Sluqaen nastan . . . . 72

3.2.2 Statistiqka verojatnost . . . . . . . . . . . . . . 78

3.2.3 Prostor od elementarni nastani . . . . . . . . 80

3.2.4 Aksiomi na verojatnost . . . . . . . . . . . . . . 84

3.2.5 Klasiqna definicija na verojatnost . . . . . . 86

3.2.6 Geometriska verojatnost . . . . . . . . . . . . . . 88

3.2.7 Uslovna verojatnost i nezavisnost na nastani 92

3.2.8 Totalna verojatnost. Formula na Bajes . . . . 96

3.2.9 Serii od nezavisni eksperimenti . . . . . . . 100

3.2.10 Sluqajna promenliva . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4 STATISTIKA 155

4.1 Odnosot na teorijata na verojatnosta i matem-

atiqkata statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155


4.2 Za raznovidnosta na zadaqite na matematiqkata

statistika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.3 Statistiqka masa. Egzemplar . . . . . . . . . . . . . . 160

4.4 Nekoi naqini na formiraǌe na egzemplari . . . . . 164

4.5 Biometrija - statistika na biotehniqkite nauki . 167

4.6 Biometriski podatoci, osnoven tretman . . . . . . . 169

4.7 Frekvencija. Statistiqka raspredelba

na frekvenciite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.8 Grafici na raspredelba . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.8.1 Empiriska funkcija na raspredelba . . . . . . 180

4.9 Statistiqki nizi. Histogram . . . . . . . . . . . . . . 184

4.10 Sredini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

4.10.1 Potreba za voveduvaǌe sredini . . . . . . . . . 188

4.10.2 Aritmetiqka sredina. Prosek . . . . . . . . . . 190

4.10.3 Momenti. Masa na eksperimentot.

Opxta formula za aritmetqkata sredina . . 191

4.10.4 Dobri i loxi strani na aritmetiqkata sre-

dina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

4.11 Geometriska sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

4.11.1 Harmoniska sredina . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

4.11.2 Drugi vani poimi vo vrska so sredini . . . 204

4.11.3 Otstapuvaǌe od aritmetiqka sredina . . . . . 206

4.12 Standardna devijacija. Definicija i formula . . 209

4.13 Koeficient na varijacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

4.14 Normalna raspredelba vo praktikata . . . . . . . . . 222

4.15 Standardna grexka i metod na odbrani primeroci 244

4.16 Poim za korelacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

4.17 Stohastiqki procesi. Linearna korelacija . . . . . 257

4.18 Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

4.19 Metod na najmali kvadrati . . . . . . . . . . . . . . . . 268

4.20 Koeficient na korelacija . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

4.21 Proverka na statistiqki hipotezi . . . . . . . . . . . 280

4.22 Metodi na statistiqko zakluquvaǌe . . . . . . . . . . 282


4.23 Hipoteza: Nulta i alternativna, prosta i sloena.

Grexki. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

4.24 Izbor na test veliqina (test statistika). Kritiqen

domen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

4.25 Testovi za proseqna vrednost . . . . . . . . . . . . . . 297

4.25.1 Test za matematiqkoto oqekuvaǌe pri poz-

nata disperzija (Z -test) . . . . . . . . . . . . . 297

4.25.2 Test za matematiqko oqekuvaǌe pri nepoz-

nata disperzija (t - test) . . . . . . . . . . . . . 307

4.25.3 Test za ednakvost na matematiqki oqeku-

vaǌa pri poznati disperzii . . . . . . . . . . . 312

4.25.4 Test za ednakvost na matematiqki oqeku-

vaǌa

pri nepoznati disperzii . . . . . . . . . . . . . 317

4.26 Testovi za disperzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

4.26.1 Test za vrednosta na disperzijata . . . . . . . 323

4.26.2 Test za ednakvost na disperzii . . . . . . . . . 327

4.27 Test za nezavisnost na obeleja . . . . . . . . . . . . . 337

4.27.1 Test za soglasnosta na empiriskite so oqeku-

vanite qestoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

4.27.2 Tabeli na kontingencija . . . . . . . . . . . . . 341

4.28 Statistiqki tablici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347

LITERATURA 358


So odluka broj 02-374/6 od 10.5.2017 godina na Nastavno-na-

uqniot sovet na Prirodno-matematiqkiot fakultet vo Skopje se

odobruva koristeǌeto na ovaa kniga kako univerzitetski uqebnik.

Nitu eden del od ovaa publikacija ne smee da bide reproduci-

ran na bilo koj naqin bez prethodna pismena soglasnost na av-

torite.

E-izdanie:

http://www.ukim.edu.mk/mk content.php?meni=53&glavno=41

Documents

UNIVERZITET SV. KIRIL I METODIJ - SKOPJE Prirodno ...ukim.edu.mk/e-izdanija/PMF/Matematika_II_za_studentite_po_biologija.pdfKiril i Metodij\, Prirodno-matematiqki fakultet, 2018. -