Upravljanje u Robotici

Industrijska robotika Dinamika

8 UPRAVLJANJE U INDUSTRIJSKOJ ROBOTICI

8.1 DEFINISANJE PROBLEMA UPRAVLJANJA

Da bi smo razmotrili i pravilno razumeli problem upravljanja u robotici, podsetićemo se

najpre osnovnih pojmova, definicija i koncepata upravljanja koji vuku poreklo iz teorije

automatskog upravljanja. Ovde će biti izloţene samo osnovne postavke, onoliko koliko je

to potrebno za razumevanje materije upravljanja u robotici. S obzirom na to da je teorija

automatskog upravljanja dobro razvijena, za detaljniju analizu, čitaoci se upućuju na bogatu

literaturu iz ove oblasti.

Posmatrajmo jedan sistem, šematski prikazan na slici 8.1a). Prema najširoj definiciji, sistem

je skup elemenata povezanih u cilju postizanja efekata koji se ne mogu postići ni sa jednim

elementom pojedinačno. Sistem deluje u nekoj okolini, koja na njega utiče, a istovremeno, i

sistem utiče na okolinu. Ako se paţljivo analizira meĎusobna interakcija okoline i sistema,

njihovo meĎudejstvo moţe se predstaviti signalima: okolina deluje na sistem posredstvom

ulaznih signala, dok sistem deluje na okolinu poredstvom izlaznih signala. Ovi signali

predstavljeni su na slici 8.1 strelicama, čije usmerenje pokazuje smer dejstva signala. U

najopštijem slučaju, sistem sa slike 8.1a) predstavlja primer sistema sa više ulaza i više

izlaza.

Slika 67. Šematski prikaz sistema: a) opšti prikaz sistema i meĎusobnog dejstva sa okolinom,

b) sistem automatskog upravljanja sa jednim ulazom i jednim izlazom

Ako se radi o sistemu automatskog upravljanja, onda se ulazni signali u sistem mogu

podeliti u dve kategorije. Jednu grupu ulaznih signala moţemo direktno da kontrolišemo, i

time ostvarujemo ţeljene uticaje na sistem. Takvi signali nazivaju se upravljačkim

signalima. Drugu grupu ulaznih signala predstavljaju signali na koje ne moţemo ostvariti

Dinamika Industrijska robotika

direktan uticaj, šta više, njihovo dejstvo najčešće je unapred nepoznato. Ovakve ulazne

signale nazivamo spoljašnjim poremećajima. Signali na izlazu sistema nazivaju se izlaznim

signalima ili veličinama, odnosno kontrolisanim ili upravljanim veličinama.

Mi ćemo na dalje razmatrati najprostiji tip sistema, a to su sistemi sa jednim ulazom i

jednim izlazom, koji se šematski mogu predstaviti kao na slici 8.1b). Glavni uticaj okoline

na sistem odvija se posredstvom upravljačkog signala u , dok je odziv sistema predstavljen

izlaznim signalom c . Pored toga, okolina moţe da deluje na sistem na nepredvidiv način,

putem spoljašnjih poremećaja, koji se šematski mogu prikazati delovanjem signala d .

Primetimo da signal poremećaja ne brojimo kao ulazni signal, tako da kaţemo da sistem

ima jedan ulaz i jedan izlaz, iako na slici 8.1b) dve strelice ulaze u blok koji simbolizuje

sistem.

U sistemima automatskog upravljanja, mi kao projektanti sistema, ili njegovi korisnici,

najčešće ţelimo da se izlaz iz sistema ponaša na ţeljeni, unapred poznati ili specificirani

način. Matematički, to se moţe iskazati kao

)()( trtc , (68)

gde je sa )(tc označena promena izlaznog signala tokom vremena, dok )(tr predstavlja

ţeljeni zakon ove promene. Funkcija )(tr , često se naziva i referentni signal, tako da

moţemo reći da jednačina (69) predstavlja ţelju ili teţnju, da izlazni signal prati referentni

signal.

Sada moţemo lako definisati problem upravljanja, a to je kako na osnovu referentnog

signala )(tr , odrediti, ili formirati upravljački signal )(tu , kojim će se delovati na ulaz

sistema tako da izlazni signal bude jednak referentnom, odnosno, bude ispunjena jednačina

(70).

U teoriji automatskog upravljanja se, u odnosu na vrstu ulaznog signala )(tr , vrši

klasifikacija problema upravljanja. Naime, ako je referentni signal )(tr konstantan tokom

vremena, radi se o problemu regulacije. Ako je referentni signal promenljiv u vremenu, radi

se o problemu upravljanja. Pri tome, zakon promene referentnog signala moţe biti unapred

poznat, što je jednostavniji slučaj, ili potpuno nepoznat, što je, naravno, komplikovaniji

slučaj za upravljanje.

S obzirom na to da se sistem automatskog upravljanja moţe sastojati od više komponenata

ili podsistema, na dalje ćemo podsistem koji ţelimo da upravljamo nazivati objektom

upravljanja, dok ćemo pod pojmom sistem podrazumevati celokupan sistem automatskog

upravljanja.

Zadatak upravljanja, moţe se konceptualno rešiti na dva načina. Jednostavniji pristup

šematski je prikazan na slici 71. Ovaj način upravljanja naziva se upravljane bez povratne

sprege. Ako posedujemo dobro znanje o ponašanju objekta upravljanja, stečeno na primer

posmatranjem, ili poznavanjem fundamentalnih fizičkih principa koji u njemu vladaju, ta

znanja predstavljaće model njegovog ponašanja. Na osnovu poznavanja modela objekta

upravljanja, mi moţemo konstruisati upravljački ureĎaj tako da iskoristi to znanje o

ponašanju, i generiše upravljački signal )(tu .


Slika 8.2. Upravljanje bez povratne sprege

Osnovna mana ovakvog pristupa upravljanju je u tomo što upravljački ureĎaj nije svestan

trenutne vrednost izlazne veličine )(tc . Drugim rečima, upravljački signal generiše se samo

na osnovu referentnog signala i generalnog znanja o ponašanju objekta upravljanja. Uspeh

upravljanja, direktno zavisi od kvaliteta modela ponašanja objekta upravljanja. Ako model

na kome je zasnovan upravljačli ureĎaj dobro predstavlja realno ponašanje, onda će i

izlazni signal u znanoj meri pratiti referentni signal, odnosno biti veoma blizak referentnom

signalu. MeĎutim, praktično je nemoguće napraviti kvalitetan model koji bi obuhvatio sve

aspekte ponašanja objekta upravljanja, tako da u najvećem broju slučajeva ne moţemo

ostvariti teţnju da izlazni signal verno prati referentni.

Postoji i drugi, značajniji problem kod upravljanja bez povratne sprege, a to je delovanje

spoljašnjih poremećaja. Kao što je već rečeno, spoljašnji poremećaji predstavljaju dejstvo

okoline na sistem, odnosno objekat upravljanja, koje se ne moţe unapred predvideti. Kao

takvo, ono se ne moţe ni kvalitetno modelirati, niti uzeti u obzir, prilikom generisanja

upravljačkog signala. Zbog toga je izvesno, da izlazni signal, u slučaju dejstva spoljašnjih

poremećaja, moţe značajno odstupati od vrednosti referentnog signala.

Zbog svega navedenog, upravljanje bez povratene sprege primenjuje se samo kod sistema

koji ispunjavaju sledeće uslove:

1. objekat upravljanja je manje sloţenosti, tako da se se relativno jednostavno moţe

dobiti kvalitetan model njegovog ponašanja,

2. dejstvo spoljašjnih poremećaja je malo, ili se moţe zanemariti,

3. zahtevane preformanse sistema nisu prevelike.

Ovakav način upravljanja naziva se još i programsko upravljanje, jer je upravljački ureĎaj

"progamiran" da generiše upravljački signal po unapred zadatom mehanizmu.

Najbolji način da se prevaziĎu svi problemi upravljanja bez povratne sprege jeste, da se za

generisanje upravljačkog signala, iskorisi i informacija o trenutnoj vrednosti izlazne

veličine. To nas dovodi do koncepta upravljanja sa povratnom spregom, koji je šematski

prikazan na slici 8.3.

Slika 8.3. Upravljanje sa povratnom spregom


Trenutna vrednost izlaznog signal )(tc prati se posredstvom mernog ureĎaja, i vraća na

ulaz upravljačkog ureĎaja, kao signal merene vrednosti )(tcm . Ovaj povratak signala sa

izlaza na ulaz zasluţan je za naziv povratna sprega. Blok predstavljen kruţićem na slici 8.3,

naziva se detektor greške. U njemu se obavlja poreĎenje referentnog signala sa izmerenim

signalom na izlazu, i formira se signal greške )(te . Primetimo da se poreĎenje signala

moţe izvesti kao operacija oduzimanja, odnosno,

)()()( tctrte m , (72.2)

otuda su i signali koji ulaze u detektor greške označeni znacima plus i minus. Primetimo još

da merena vrednost ulazi u detektor greške sa znakom minus, tako da se ovde radi o

upravljanju sa negativnom povratnom spregom.

Razmotrimo sada zadatak upravljanja, odnosno generisanje upravljačkog signala )(tu tako

da izlazni signal )(tc prati referentni signal )(tr . Bez ulaţenja u detalje, i gubitka

generalnosti izlaganja, pretposavićemo da je merni ureĎaj takav, da idealno i verno meri

signal na izlazu sistema, odnosno,

)()( tctcm . (8.73)

Tada moţemo smatrati da je signal greške nastao poreĎenjem referentnog i izlaznog

signala, odnosno,

)()()( tctrte . (74)

Pretpostavimo da je vrednost izlaznog signala manja od vrednosti referentnog signala. Tada

je signal greške pozitivan. Pozitivan signal greške treba da u upravljačkom ureĎaju

proizvede generisanje takvog upravljačkog signala, koji će naterati sistem da izlazni signal

)(tc počne da raste.

Pretpostavimo sada da je vrednost izlaznog signala veća od vrednosti referentnog signala.

Tada je signal greške negativan. Negativan signal greške treba u upravljačkom ureĎaju

transformisati u takav upravljački signal, koji će dovesti do smanjenja izlaznog signala.

Konačno, ako su izlazni signal i referentni signal jednaki, tada je signal greške jednak nuli,

pa upravljački ureĎaj treba da prestane sa generisanjem promene upravljačkih signala, jer je

zadatak upravljanja ostvaren.

Iz navedene analize moţemo zaključiti da je zadatak upravljačkog ureĎaja da na osnovu

signala greške proizvede takve upravljačke signale, koji će dovesti do smanjenja greške,

odnosno, u idealnom slučaju svesti signal greške na nulu.

Upravljački ureĎaj, kao i u slučaju upravljanja bez povratne sprege, moţe biti konstruisan

na osnovu poznavanja modela ponašanja objekta upravljanja. MeĎutim, zbog prisustva

povratne sprege, ovo znanje ne mora biti toliko precizno i detaljno. Šta više, upravljanje sa

povratnom spregom zasniva se na signalu greške, za čije dobijanje nije potrebno nikakvo

poznavanje modela objekta. Prema tome, moţemo zaključiti da prisustvo povratne sprege

smanjuje potrebu za preciznim poznavanjem modela objekta upravljanja. Drugim rečima,

greške u odzivu sistema nastale zbog nepoznavanja tačnog modela ponašanja, biće

značajno smanjenje usled dejstva povratne sprege.

I uticaji spoljašnjih poremećaja na sistem, u slučaju upravljanja sa povratnom spregom biče

značajno smanjeni. Pretpostavimo da izlazni signal verno prati referentni signal. Ako u

jednom trenutku, usled delovanja poremećaja doĎe do odstupanja izlazne veličine od


reference, pojaviće se signal greške na ulazu upravljačkog ureĎaja. Postojanje signala

greške dovešće do formiranja novog upravljačkog signala, koji će delovati tako da će teţiti

da se greška smanji.

Prema tome, moţemo zaključiti da je zatvaranje povratne sprege, odnosno, vraćanje signala

sa izlaza sistema na njegov ulaz, univerzalni mehanizam koji olakšava problem upravljanja,

jer se generisanje upravljačkog signala zasniva na aktuelnom stanju izlaza sistema,

odnosno, postojanju signala greške, te se upravljanje sa negativnom povratnom spregom

najčešće koristi u praksi.

Iako upravljanje sa negativnom povratnom spregom unosi mnogo značajnih pozitivnih

osobina u ponašanje sistema, zatvaranje povratne sprege moţe dovesti do problema

stabilnosti sistema, čak iako je objekat upravljanja pre zatvraranje povratne sprege bio

stabilan. Teorija stabilnosti dinamičkih sistema je prilično široka materija, dobro proučena

u teoriji automatskog upravljanja. Mi se nećemo upuštati u detalje stabilnosti sistema,

smatrajući da je kod svih sistema koje posmatramo stabilnost osigurana, a da je naglasak na

ostvarivanju drugih performansi sistema.

Primetimo da je dosadašnje izlaganje bilo prilično uopšteno, bez ulaţenja u previše detalja i

matematičkih opisa. Ipak, u više navrata, spominje se model ponašanja objekta upravljanja,

a pri tome, on nije preciznije definisan sa matematičkog stanovišta. Da bi izlaganje dobilo

neophodnu matematičku formu, razmotrićemo na dalje, problem upravljanja linearnih

sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom.

8.1.1 LINEARNI SISTEMI SA JEDNIM ULAZOM I JEDNIM IZLAZOM

Linearni sistemi sa jednim ulazom i jednim izlazom su klasa sistema sa jednim ulazom i

jednim izlazom, koji zadovoljavaju uslov linearnosti. Šematski, takav sistem moţe biti

predstavljen kao na slici 8.4.

Slika 8.4. Linearni sistem sa jednim ulazom i jednim izlazom

Osobina linearnosti sistema utvrĎuje se, kao i u matematici, postojanjem osobina

homogenosti i aditivnost. Neka je ulaz sistema doveden signal )(1 tu , i neka je tom

prilikom na izlazu sistema zabeleţen signal )(1 tc . Neka je zatim na ulaz sistema doveden

signal )(2 tu , a pri tome se na izlazu pojavio signal )(2 tc .

Sistem je linearan, ako se pri dovoĎenju linearne kombinacije signala na ulazu

)()()( 21 tututu , na njegovom izlazu dobije linearna kombinacija signala

)()()( 21 tctctc , gde su i proizvoljne konstante.

Primetimo odmah da većina realnih sistema nije linearna, ali se sa više ili manje uspeha

moţe aproksimirati nekim linearnim sistemom. Zbog toga je izučavanje linearnih sistema

vaţno ne samo za razumevanje osnovnih koncepata upravljanja, već se mnoge tehnike

upravljanja linearnih sistema mogu primeniti i kod nelinearnih.

Ono što linearne sistem čini posebno interesantnim je to što se njihovo ponašanje opisuje

linearnim diferencijalnim jednačinama. Kao što je poznato iz matematike, na linearne


diferencijalne jednačine moţe se primeniti Laplasova transformacija, i tako se iz

diferencijalnih jednačina u vremenskom domenu prelazi na algebarske jednačine u

Laplasovom domenu. Rešavanje i analiza algebarskih jednačina, relativno je jednostavnije

od rešavanja i analize diferencijalnih jednačina, pa su mnoge tehnike iz teorije automatskog

upravljanja razvijene upravo na bazi Laplasove transformacije.

Osnovni koncept zasniva se na pojmu funkcije prenosa. Neka na ulazu sistema deluje neki

signal )(tu , kojem odgovara kompleksi lik Laplasove transformacije )(sU . Neka je tom

prilikom, na izlazu sistema zabeleţen signal )(tc , čiji je kompleksini lik ).(sC

Funkcija prenosa linearnog sistema definiše se kao odnos kompleksnih likova, odnosno

Laplasovih transformacija, signala na izlazu i ulazu sistema, pri nultim početnim uslovima:

)(

)()(

sU

sCsW . (8.5)

Funkcija prenosa omogućava da sisteme posmatramo sa stanovišta ulaz-izlaz, dakle, kao

crne kutije čiji nas sadrţaj ne interesuje. Čitavo ponašanje sistema modelirano je preko

funkcije prenosa (8.5). Zaista, na osnovu jednačine (8.5), vidimo da se izlazni signal,

odnosno njegov kompleksni lik, dobija kao:

)()()( sUsWsC , (8.6)

odnosno, ako poznajemo funkciju prenosa sistema )(sW , i signal koji deluje na njegovom

ulazu )(sU , lako moţemo odrediti signal na izlazu sistema )(sC . Oblik signala na izlazu u

vremenskom domenu )(tc odreĎujemo primenom inverzne Laplasove transformacije.

Uopšte, s obzirom na to da postoji obostrano jednoznačno preslikavanje izmeĎu signala u

vremenskom domenu i njegovog kompleksnog lika, na dalje ćemo vrlo često upotrebljavati

ili samo jedan ili drugi oblik, ili oba istovremeno, podrazumevajući da se drugi izraz uvek

moţe lako odrediti, i da ne postoji mogućnost zabune.

Razmotrimo sada jedan prost primer linearnog mehaničkog sistema. Telo mase m , moţe

da se kreće po podlozi. Prilikom kretanja, javlja se viskozno trenje, koje je proporcionalno

brzini kretanja, a koeficijent proporcionalnosti označićemo sa b . Telo je oprugom

pričvršćeno za nepomični oslonac, pri čemu ćemo smatrati da je deformacija opruge

linearna sa primenjenom silom, a koeficijent krutosti opruge je c . Na telo deluje spoljašnja

sila )(tF , koja predstavlja ulaz u sistem. Za izlaznu veličinu proglasićemo trenutni poloţaj

tela )(tx . Opisani mehanički sistem prikazan je na slici 8.5.

Slika 8.5. Mehanički linearni sistem

U skladu sa osnovnim principima mehanike, lako moţemo postaviti diferencijalnu

jednačinu koja opisuje ponašanje ovog mehaničkog sistema:

)()()()( tFtcxtxbtxm , (8.7)


gde je x poloţaj, x brzina, a x ubrzanje tela. Uočavamo da je u pitanju linearna

diferencijalna jednačina drugog reda sa konstantnim koeficijentima, pa na nju moţemo

primeniti Laplasovu transformaciju, i tako odrediti funkciju prenosa mehaničkog sistema u

obliku:

1

1

1

)(

)()(

22

sc

bs

c

mc

cbsmssF

sXsWo . (8.8)

Vidimo da je izraz za funkciju prenosa mehaničkog sistema dat u obliku realne racionalne

funkcije po kompleksnoj promenljivoj s , odnosno kao količnik polinoma po s u brojiocu i

imeniocu. Stepen polinoma u imeniocu je 2n , pa kaţemo da je sistem drugog reda, dok

je stepen polinoma u brojiocu je 0m , pa kaţemo da sistem nema konačnih nula.

Sistemi drugog reda čija funkcija prenosa ima oblik (8.8), vrlo su vaţni za proučavanje

ponašanja sistema, jer se ponašanje mnogih sistema moţe vrlo dobro aproksimirati

ovakvim sistemima. U najopštijem obliku, funkcija spregnutog prenosa sistema drugog

reda bez konačnih nula moţe se predstaviti u obliku:

2222 212

)(nn

ns

ss

K

TssT

KTsW

, (8.9)

gde je K pojačanje sistema, T vremenska konstanta sistema, relativni faktor prigušenja

sistema, a Tn 1 sopstvena prirodna neprigušena učestanost sistema. PoreĎenjem

konstanti uz odgovarajuće stepene po s u izrazima (8.8) i (8.9), lako moţemo utvrditi

zavisnost relativnog faktora prigušenja i sopstvene prirodne neprigušene učestanosti u

funkciji parametara mehaničkog sistema.

mc

Kmc

b

m

cn

1,

2

1,

2

(8.10)

Smisao relativnog faktora prigušenja i sopstvene prirodne neprigušene učestanosti sistema,

najlakše je shvatiti analizom vremenskog odziva sistema. Neka je signal sile na ulazu

sistema jedinični odskočni signal, definisan kao:

0,1

0,0)()(

t

tthtf , (8.11)

tada je njegov kompleksni lik dat izrazom

s

sH1

)( . (8.12)

Pretpostavimo, radi lakše analize, da je pojačanje sistema 1K . Odziv sistema drugog

reda dobija se na osnovu izraza (8.6), koji sada postaje

sss

sCnn

n 1

2)(

22

2

. (8.13)

Odziv sistema u vremenskom domenu dobija se primenom inverzne Laplasove


transformacije kao

)()( 1 sCLtc . (8.14)

Podsetimo se da u procesu traţenja inverzne Laplasove transformacije vaţnu ulogu imaju

polovi funkcije čija se transformacije traţi, odnosno nule imenioca razlomka, čija se

inverzna Laplasova transformacija računa. U izrazu (8.13), polinom po kompleksnoj

promenljivoj s u imeniocu razlomka poseduje tri nule. Prva je odreĎena izrazom

0s , (8.15)

i potiče od ulaznog signala, dok su druge dve odreĎene izrazom

02 22 nnss , (8.16)

koji predstavlja karakterističnu jednačinu sistetema, čija su rešenja data sa

2

2/1 1 nn js. (8.17)

U zavisnosti od vrednosti faktora relativnog prigušenja , vidimo da rešenja data izrazom

(8.17) mogu biti čisto imaginarna za 0 , konjugovano kompleksna za 10 , realna

i meĎusobno jednaka za 1 , odnosno realna i različita za 1 .

Poloţaj polova datih izrazom (8.17) u funkciji parametra moţemo skicirati u s -ravni,

kao na slici 8.6, gde je poloţaj polova označen oznakom "x". Svi polovi nacrtani su za istu

vrednost n .

Slika 8.6. Zavisnost poloţaja polova od faktora relativnog prigušenja

Konjugovano kompleksni polovi pomeraju se po kruţnici sa centrom u koordinatnom

početku, a čiji poluprečnik iznosi n . Tačan poloţaj na kruţnici odreĎen je uglom kao

na slici, a njegova vrednost direktno zavisi od faktora relativnog prigušenja:

)arccos( . (8.18)

Napomenimo da argument arccos funkcije ne moţe biti veći od jedan, tako da se za

vrednosti 1 , dobijaju polovi koji se nalaze na realnoj osi.


Nakon ove analize, primenimo inverznu Laplasovu transformaciju u cilju odreĎivanja

odziva u vremenskom domenu. Izraz koji se dobije moţe se napisati u obliku:

1),1(1

10),1sin(1

1

0),cos(1

)( 2

2

te

te

t

tc

nt

n

tn

n

n

, (8.19)

za vrednosti faktora prigušenja izmeĎu nula i jedan, što odgovara konjugovano

kompleksnim polovima na kruţnici sa slike 8.6.

Ako je relativni faktor prigušenja veći od jedan, polovi su realni, pa se odziv moţe dobiti u

obliku:

btat e

ab

ae

ab

btc

1)( , (8.20)

gde su a i b realni polovi odreĎeni izrazima:

1

1

2

2

nn

nn

b

a. (8.21)

Vremeski odzivi sistema drugog reda bez konačnih nula za različite vrednosti relativnog

faktora prigušenja prikazane su na slici 8.7.

U skladu sa relacijom (8.19), kada je 0 , odziv je prostopreriodična oscilatorna funkcija

vremena, pri čemu je frekvencija oscilacija upravo n . Takav sistem nazivamo

neprigušenim, s obzirom na to da je faktor prigušenja jednak nuli. Kada je 10 , odziv

sistema su oscilacije čija amplituda prati envelopu koja eksponencijalno opada sa protokom

vremena. Za male vrednosti prigušenja, odziv pravi nekoliko oscilacija, pre nego što se

smiri oko jedinice. Sa porastom faktor prigušenja, oscilacije se sve brţe smiruju, i već za

vrednosti 5.0 primećujemo samo jednu periodu oscilacija.

Kod svih ovih odziva moţemo uočiti zajedničku karakteristiku, a to je da postoje oscilacije

oko vrednosti u stacionarnom stanju. Sa grafikona vidimo da mogu postojati značajna

premašenja ţeljene vrednosti, takozvani preskoci, praćeni takoĎe značajnim podbačajima.

Tek posle nekoliko oscilacija, odziv sistema se smiruje oko vrednosti u stacionarnom

stanju.

Odziv sistema kada je 1 naziva se kritični aperiodični odziv. Vidimo da nema

preskoka u odzivu sistema. Ako je 1 , sistem nazivamo preterano prigušenim. Sa slike

uočavamo da odziv nema preskoke, ali je vreme potrebno da odziv dostigne referentnu

vrednost duţe nego kod kritično prigušenog sistema.

Iz prikazanih grafikona odziva sistema moţemo izvući sledeći zaključak. Što je sistem

manje prigušen, odziv će pre dostići referentni nivo, meĎutim, nastaće veći preskoci, i

postojaće oscilacije. Što je sistem prigušeniji, preskoci su manji, ali je i sistem sporiji. Ako

je sistem preterano prigušen, preskoka neće biti, ali je odziv izuzetno spor.


Slika 8.7. Odzivi sistema drugog reda za različite vrednosti faktora relativnog prigušenja

Cela ova diskusija izvedena je za različite vrednosti faktora relativnog prigušenja, i

pokazuje kakav karakter će posedovati odziv sistema. Ako ţelimo da izvršimo analizu

uticaja vrednosti parametra n na odziv sistema, dobićemo sledeće rezultate. Kao što se

vidi sa slike 8.6, n odreĎuje poluprečnik kruţnice na kojoj se nalaze konjugovano

kompleksni polovi, odnosno, udaljenje polova od koordinatnog početka. Ako fiksiramo

vrednost , a menjamo parametar n tako što ga na primer, lagano povećavamo, onda se

polovi udaljuju od koordinatnog početka, duţ linije odreĎene uglom , kao na slici 8.6.

Ova linija često se naziva -prava. Analiza izraza (8.19) pokazjue, da sa povećanjem n

envelopa odziva brţe opada, a takoĎe se povećava i frekvencija oscilacija. Drugim rečima,

raste brzina odziva. To zapravno znači, da će za iste vrednosti , odziv sistema imati

kvalitativno isti oblik, ali će on biti sabijen ili razvučen po vremenskoj osi, u zavisnosti od

n : veće n znači brţi odziv, i obrnuto. Ova zavisnost prikazana je na slici 8.8.


Slika 8.8. Odzivi sistema drugog reda za različite vrednosti

sopstvene prirodne neprigušene frekvencije

Podsetimo se da je ova analiza u vremenskom domenu započeta posmatranjem mehaničkog

sistema sa slike 8.5. S obzirom na to da smo u analizi pretpostavili da je 1K , ordinate

grafikona sa slike 8.7 i 8.8 trebalo bi pomnoţiti vrednošću pojačanja mcK /1 da bi se

dobile prave vrednosti. Bez obzira na ovu promenu razmere, karakter ponašanja sistema,

kao i njegova brzina, prema relaciji 8.10, odreĎeni su parametrima mehaničkog sistema.

Sistem je utoliko brţi što je masa manja, a opruga kruća. Faktor relativnog prigušenja

sistem zavisi od sva tri parametra, ali ako trenja nema, 0b , onda je sistem neprigušen.

Nakon ove analize ponašanja sistema drugog reda bez konačnih nula, podsetimo se još

jednom da se ponašanje mnogih sistema moţe uspešno aproksimirati ponašanjem sistema

drugog reda. Pri tome, polovi fukncije prenosa koji opisuju ponašanje sistema se nazivaju

dominantnim parom polova.

Vratimo se sada problemu upravljanja linearnog sistema sa jednim ulazom i jednom

izlazom. Naravno, radi se o upravljanju sa negativnom povratnom spregom. Izgled

upravljačkog sistema dat je na slici 8.9, gde je sa )(sWo označena funkcija prenosa objekta

upravljanja, sa )(sWmu funkcija prenosa mernog ureĎaja, a sa )(sWreg funkcija prenosa

upravljačkog ureĎaja.


Slika 8.9. Linearni sistem upravljanja sa jednim ulazom i jednim izlazom

Uočimo da je delovanje poremećaja na sistem predstavljeno signalom d koji se oduzima

od upravljačkog signala u koji dolazi iz upravljačkog ureĎaja. Konceptualno, delovanje

spoljašnjih poremećaja moţe se shvatiti kao "kvarenje" upravljačkog signala koji deluje na

ulazu objekta upravljanja.

Pre nego što se upustimo u dalju analizu linearnog sistema upravljanja, učinićemo još jedno

uprošćenje. Naime, ponovo ćemo pretpostaviti da je merni ureĎaj takav, da je mereni signal

jednak izlaznom signalu, odnosno da je funkcija prenosa mernog ureĎaja 1)( sWmu . Ova

pretpostavka je vrlo često opravdana u realnim sistemima. Čak i kada pretpostavka nije

zadovoljena, sistem moţemo transformisati na sledeći način. Moţemo smatrati da izlaz iz

sistema, koji ţelimo da kontrolišemo, nije signal )(tc , već mereni signal )(tcm , tako da se

novi izlazni signal direktno vraća na ulaz sistema.

U svakom slučaju, pojednostavljeni model sistema ima izgled kao na slici 8.10. Zbog toga

što se signal sa izlaza vraća direkno na ulaz sistema, ovakav sistem naziva se sistem sa

jediničnom negativnom povratnom spregom.

Slika 8.10. Linearni sistem upravljanja sa jediničnom negativnom povratnom spregom

S obzirom na to da je sistem linearan, primenom principa superpozicije i pravila algebre

blokova, lako se moţe dobiti izraz za izlazni signal sistema u obliku:

)()()(1

)()(

)()(1

)()()( sD

sWsW

sWsR

sWsW

sWsWsC

oreg

o

oreg

oreg

, (8.22)

gde je )(sC komplekni lik izlaznog signala, a )(sR i )(sD su kompleksni likovi

referentnog i signala poremećaja, respektivno.

Već smo videli da je upravljački zadatak definisan tako da izlazni signal prati referentni, ili,

što je ekvivaletno, da signal greške bude jednak nuli. Primenom slične analize, lako se

moţe odrediti izraz za signal greške u kompleksnom domenu:

)()()(1

)()(

)()(1

1)( sD

sWsW

sWsR

sWsWsE

oreg

o

oreg

. (8.23)


Rešavanje zadatka upravljanja svodi se sada na izbor strukture i parametara upravljačkog

ureĎaja koji će obezbediti da signal greške tokom vremena bude jednak nuli.

Kod analize odziva sistema drugog reda, videli smo da je odzivu, u zavisnosti od karaktera

sistema, potrebno neko vreme pre nego što se ustali. Zbog toga odziv sistema moţemo

podeliti na dva dela. Prvi deo, u kojem se odziv menja tokom vremena, nazvaćemo

prelaznim procesom, a drugi deo, nakon dovoljno dugo vremena, kada promena odziva više

nema, nazivaćemo stacionarnim stanjem.

Tokom prelaznog procesa, od interesa je dinamičko ponašanje sistema, pre svega odreĎeno

poloţajem para dominantnih polova. Na osnovu ţeljenog ponašanja sistema, biramo

karakter odziva sistema, odnosno usvajamo faktor relativnog prigušenja . Na osnovu

ţeljene brzine odziva, usvaja se sopstvena prirodna neprigušena učestanost n .

Upravljački sistem projektuje se tako što se bira njegova struktura i parametri u skladu sa

ţeljenim poloţajem polova funkcije spregnutog prenosa.

U stacionarnom stanju, interesuje nas veličina greške koja u sistemu postoji, a mi ţelimo da

ona bude što je moguće manja, odnosno jednaka nuli. Greška u sistemu moţe se odrediti iz

izraza (8.23). S obzirom na to da nas interesuje vrednost u stacionarnom stanju, odnosno,

nakon dovoljno dugo vremena, moţemo se posluţiti graničnom teoremom Laplasove

transformacije, čime se dobija

)(lim)(lim0

ssEtest

, (8.24)

pa je analiza greške značajno pojednostavljena. Analiza greške u stacionarnom stanju

takoĎe utiče na strukturu i parametre regulatora.

Razmotrimo sada nekoliko tipova linearnih regulatora koji su najčešće u upotrebi.

8.1.2 LINEARNI UPRAVLJAČKI ZAKONI

Iskustvo je pokazalo da se mnogi upravljački problemi u praksi mogu uspešno rešiti

primenom samo tri osnovna linearna upravljačka zakona: proporcionalnog, diferencijalnog

i integralnog, kao i njihovim kombinacijama.

Proporcionalni zakon upravljanja odreĎen je izrazom

)()( teKtu P , (8.25)

odnosno, funkcijom prenosa regulatora

PrP KsW )( , (8.26)

u kojoj je sa PK označeno pojačanje proporcionalnog dejstva.

Na sličan način, diferencijalni zakon upravljanja odreĎen je izrazom

)()()( tedt

dKteKtu DD , (8.27)

odnosno funkcijom prenosa

sKsW DrD )( , (8.28)

gde je DK pojačanje diferencijalnog dejstva.


Konačno, integralni zakon upravljanja dat je izrazom u vremenskom domenu

t

I

t

I deT

deKtu

00

)(1

)()( , (8.29)

odnosno funkcijom prenosa

I

IrI

Tss

KsW

1)( , (8.30)

u kojoj je IK pojačanje integralnog dejstva, a IT vrenenska konstanta integralnog dejstva.

Recimo odmah da se diferencijalni upravljački zakon nikada ne primenjuje samostalno, jer

on proizvodi upravljačko dejstvo samo kada postoji promena greške, pa ne deluje u

stacionarnom stanju. TakoĎe se i integralni regulator vrlo retko samostalno primenjuje.

Najčešća primena ova dva tipa upravljačkih zakona je u kombinaciji sa proporcionalnim

zakonom.

Proporcionalno-diferencijalni zakon, ili PD upravljanje, kombinacija je dva zakona

)()()( teKteKtu DP , (8.31)

odnosno, funkcija prenosa regulatora data je sa

)1()( sTKsKKsW DPDPrPD , (8.32)

gde je sa PDD KKT / označena vremenska konstanta diferencijalnog dejstva.

Na sličan način se definiše i proporcionalno-integralni zakon upravljanja, ili PI regulator,

kao

t

IP deKteKtu

0

)()()( , (8.33)

odnosno, funkcija prenosa PI regulatora odreĎena je sa

s

sTK

s

KKsW PI

PII

PrPI

1)( , (8.34)

gde je IPI KK pojačanje, a IPPI KKT / vremenska konstanta PI regulatora.

Konačno, u industrijskoj automatizaciji, najčešće se sreću takozvani PID regulatori, koji su

kombinacija sva tri upravljačka dejstva

)()()()(

0

tedt

dKdeKteKtu D

t

IP , (8.35)

čija je funkcija prenosa data sa

s

KssKKsK

s

KKsW DPI

DI

PrPID

2

)(

. (8.36)

Napomenimo da se podešavanjem pojačanja PID regulatora, odnosno, postavljanjem nekog

od parametara pojačanja na nulu, moţe ostvariti i P, PD, ili PI regulator, što se u praksi

često koristi.


Postupak podešavanja parametara regulatora moguće izvesti analitički, kada je poznat

model objekta upravljanja. MeĎutim, u industrijskim primenama vrlo često ne poznajemo

tačne modele, niti se moţe organizvati eksperiment u cilju kvalitetne identifikacije modela.

Zbog toga su razvijene su različite metode za pribliţno podešavanje regulatora. Parametri

regulatora mogu se takoĎe podesiti i na osnovu iskustva, poznavanjem uticaja svakog od

parametara na karakteristike odziva sistema. Uticaji povećanja pojačanja regulatora na

odziv sistema predstavljenji su u tabeli 8.2.

Vidimo da su brzina reagovanja sistema, i preskok i oscilatornost, u direktnoj vezi. Što je

brzina reagovanja veća, veća je i mogućnost da doĎe do preskoka i oscilacija i obrnuto.

TakoĎe vidimo da diferencijalno dejstvo ne utiče na grešku sistema u ustaljenom stanju,

dok povećanje proporcionalnog i integralnog dejstva smanjuje greške ustaljenog stanja.

Tabela 8.2. Uticaj povećanja parametara regulatora na odziv sistema

porast

dejstva

greška u

stacionarnom

stanju

brzina

reagovanja

preskok i

oscilatornost

P

I

D -

Mi ćemo sada razmotriti analitiču metodu podešavanja regulatora, da bismo sagledali

opcije koje su nam na raspolaganju.

Pretpostavićemo da je regulator PID tipa, čija funkcija prenosa je data izrazom (8.36).

Pretpostavićemo takoĎe da je objekat upravljanja dat funkcijom prenosa oblika

cbss

sWo

2

1)( . (8.37)

Izraze ćemo izvesti u opštem slučaju, a onda ćemo razmotriti nekoliko mogućnosti. Analizu

ćemo izvršiti za P, PD, PI i PID regulator, svodeći odgovarajuća pojačanja regulatora na

nulu, kada je to potrebno.

Potraţimo sada funkciju spregnutog prenosa od referentnog ulaza do izlaza sistema, na

osnovu izraza (8.22):

oreg

oregRs

WW

WW

sR

sCsW

1)(

)()( . (8.38)

Smenom izraza (8.36) i (8.37) u (8.38), nakon nekoliko manipulacija dobija se

IPD

IPDRs

KKcsKbss

KsKKssW

)()()(

23

2

. (8.39)

Potraţimo takoĎe i funkcije prenosa po grešci, u odnosu na referntni ulaz i poremećaj, na

osnovu izraza (8.23). U odnosu na referentni ulaz sistema, dobija se funkcija prenosa

oreg

RE

WWsR

sEsW

1

1

)(

)()( , (8.40)


dok se u odnosu na poremećaj dobija funkcija prenosa oblika

oreg

oDE

WW

W

sD

sEsW

1)(

)()( . (8.41)

Smenom izraza (8.36) i (8.37) u (8.40), odnosno (8.41) dobijaju se sledeći izrazi:

IPD

RE

KKcsKbss

csbsssW

)()(

)()(

23

2

, (8.42)

IPD

DE

KKcsKbss

ssW

)()()(

23. (8.43)

Razmotrimo sada ponašanje sistema sa različitim tipovima regulatora.

a) P regulator

Regulator P tipa okarakterisan je parametrima 0DK i 0IK . Smenom ovih vrednosti

u opšte izraze (8.39),(8.42), i (8.43), oni se pojednostavljuju i postaju

)(

)(2

P

PRs

Kcsbs

KsW

, (8.44)

)(

)(2

2

P

RE

Kcsbs

csbssW

, (8.45)

)(

1)(

2P

DE

KcsbssW

. (8.46)

Iz izraza (8.44), vidimo da je funkcija spregnutog prenosa sistema u odnosu na referentni

ulaz drugog reda bez konačnih nula. Takvu funkciju prenosa smo već podrobno ispitali, i

videli smo da karakter prelaznog reţima zavisi od poloţaja korena karakteristične jednačine

(8.16) koja je ovde ponovo data

02 22 nn ss . (8.47)

PoreĎenjem koeficijenata karakteristične jednačine i imenioca izraza (8.44), uočavamo da

dinamiku sistema ne moţemo proizvoljno odrediti. Naime, s obzirom na to da u sistemu

postoji samo jedan podešljiv parametar PK , ne moţemo istovremeno izabrati proizvoljan

faktor prigušenja i učestanost n . Zaista, izjednačavanjem koeficijenata dobija se

PnnP KcKc 2

, (8.48)

odnosno,

P

nKc

bb

22 (8.49)

Na primer, ako izaberemo PK u skladu sa (8.48) tako da podesimo n , onda je fiksno,

i odreĎeno sa (8.49), i obrnuto.


Moţemo prema tome zaključiti da primena P regulatora sa objektom drugog reda ne

dozvoljava proizvoljno podešavanje dinamike sistema u prelaznom reţimu.

Razmotrimo sada greške u stacionarnom stanju u ovom sistemu. Pretpostavimo da su i

referentni signal, i signal poremećaja konstantni. Primena granične teoreme Laplasove

transformacija (8.24) tada daje izraz za grešku u odnosu na referentni signal

rKc

c

s

rssWe

P

RE

s

R

)(lim)(

0, (8.50)

gde je r vrednost konstantnog referentnog signala. Vidimo da je greška konačna,

proporcionalna veličini ulaznog signala, a obrnuto proporcionalana pojačanju

proporcionalnog dejstva PK . Greška u stacionarnom stanju, u odnosu na referentni signal,

moţe se eliminisati samo ako je pojačanje beskonačno veliko, što naravno nije ostvarivo.

Slična analiza za signal greške u odnosu na signal poremećaja daje izraz

dKcs

dssWe

P

DE

s

D

1)(lim)(

0, (8.51)

gde je sa d označena veličina konstantnog signala poremećaja. Vidimo da se dejstvo

konstantnih poremećaja ne moţe u potpunosti eliminisati, a da greška opada sa povećanjem

pojačanja.

Ako na ulazu sistema deluje signal koji nije konstantntan, odnosno, rastuća je finkcija

vremena, regulator ne moţe da eliminiše grešku, šta više, greška će tokom vremena rasti.

To takoĎe vaţi i za dejstvo signala poremećaja koji su rastuće funkcije vremena.

Prema tome, moţemo zaključiti da primena P regulatora ne samo što ne omogućava

potpuno definisanje dinamike prelaznog procesa, već dovodi do grešaka u stacionarnom

stanju, čak i bez dejstva poremećaja. Greške se mogu donekle smanjiti, povećanjem

pojačanja. U konačnom, primena P regulatora obezbeĎuje sistemu ograničene perfomanse,

kako u pogledu prelaznog procesa, tako i u pogledu stacionarnog stanja.

b) PD regulator

Regulator je sada PD tipa, odnosno 0IK . Smenom u opšte izraze (8.39),(8.42), i (8.43),

dobija se

)()(

)(2

PD

PDRs

KcKbss

KsKsW

, (8.52)

)()(

)(2

2

PD

RE

KcKbss

cbsssW

, (8.53)

)()(

1)(

2PD

DE

KcKbsssW

. (8.54)

Vidimo da je imenilac funkcije prenosa (8.52) drugog reda, a da koeficijenti zavise od dva

parametra regulatora. To znači da se karakter i brzina prelaznog procesa mogu proizvoljno

podesiti izborom odgovarajućeg para polova, odnosno faktora relativnog prigušenja i

učestanosti n . PoreĎenjem koeficijenata imenioca (8.52), sa karakterističnom jednačinom


sistema drugog reda (8.47), vidimo da se parametri regulatora mogu izabrati u skladu sa

cK nP 2 , (8.55)

bK nD 2 . (8.56)

Analiza signala greške u stacionarnom stanju za konstantan referentni signal i konstantne

poremećaje daće isti rezultat kao i u slučaju P regulatora, odnosno, postojaće greške u

ustaljenom stanju.

Moţemo zaključiti, da dodavanje diferencijalnog dejstva uopšte ne utiče na ponašanje

sistema u ustaljenom stanju, odnosno ne moţe se smanjiti greška. Ipak, s obzirom da sada

prelazni proces moţemo podesiti po ţelji, PD dejstvo je napredak u odnosu na P regulator.

c) PI regulator

Neka je regulator sada PI tipa, odnosno 0DK . Smenom u izraze (8.39),(8.42), i (8.43),

dobija se

IP

IPRs

KKcsbss

KsKsW

)()(

23, (8.57)

IP

RE

KKcsbss

cbssssW

)(

)()(

23

2

, (8.58)

IP

DE

KKcsbss

ssW

)()(

23. (8.59)

Vidimo da je sada imenilac funkcije prenosa (8.57) trećeg reda, a da koeficijenti zavise od

dva parametra regulatora. Napišimo izraz za karakterističnu jednačinu sistema trećeg reda u

obliku

0)2)(( 22 nnsss , (8.60)

gde je, kao i ranije, poloţaj dva pola odreĎen parametrima i n , dok je poloţaj trećeg,

realnog pola odreĎen parametrom . Da bi se osiguralo da prelazni proces ima karakter

odreĎen poloţajem dominantnih polova odreĎenih sa i n , obično se usvaja n 5 .

Mnoţenjem faktora u zagradama izraza (8.60), i izjednačavanjem sa koeficijentima

imenioca izraza (8.57) dobijamo sledeće tri jednačine

2nIK , (8.61)

cK nnP 22, (8.62)

bn 2 . (8.63)

Iz poslednje jednačine zaključujemo da tri projektna parametra, , n i nisu

meĎusobno nezavisna, pa se dinamika prelaznog procesa ovog sistema ne moţe proizvoljno

podesiti. Na osnovu izabrana dva od tri prarametra, izračuvana se treći, kao i koeficijenti

pojačanja regulatora.


Razmotrimo sada greške u sistemu, najpre ako su i referentni ulaz i signal poremećaja

konstantne veličine. Izraz za grešku u stacionarnom stanju usled dejstva referentnog signala

sada postaje

0)(lim)( 0

0

s

rssWe R

Es

R , (8.64)

odnosno, sistem moţe idealno, bez greške, da prati konstantan ulazni signal. Greška je

jednaka nuli zahvaljujući činjenici da se u izrazu (8.58) pojavljuje faktor s u brojiocu, a on

je direktna posledica postojanja integralnog dejstva u regulatoru.

Na sličan način, i greška usled dejstva poremećaja postaje

0)(lim)( 0

0

s

dssWe D

Es

D , (8.65)

odnosno dejstvo konstantnih poremećaja moţe se u potpunosti otkloniti. Vrednost greške u

stacionarnom stanju na nulu svodi ponovo faktor s u brojiocu izraza (8.64), koji je takoĎe

posledica integralnog dejstva PI regulatora.

Dopustimo sada da na referentnom ulazu sistema deluje nagibni signal. Tada je greška u

sistemu u stacionarnom stanju data sa

12

1

0lim)( r

K

c

s

rsWe

I

RE

s

R

, (8.66)

gde je sa 1r označen nagib referentnog signala trtr 1)( . Vidimo da je greška praćenja

konačna, i obrnuto proporcionalna pojačanju integralnog dela regulatora.

Na sličan način, ako pretpostavimo da je i signal poremećaja nagibna funkcija, greška u

sistemu postaje

12

1

0

1)(lim)( d

Ks

dssWe

I

DE

s

D

, (8.67)

gde je 1d nagib signala poremećaja. Vidimo da je greška konačna, i postaje sve manje sa

povećanjem pojačanja integralnog dejstva.

Moţemo dakle zaključiti da PI regulator primenjen na sistem drugug reda obezbeĎuje

idealno praćenje konstantnog ulaznog signala, i u potpunosti otklanja dejstvo konstantnih

poremećaja. MeĎutim, dinamika prelaznog procesa ne moţe se u potpunosti proizvoljno

podesiti.

d) PID regulator

U prethodnim analizama videli smo da u slučaju objekta upravljanja drugog reda, P

regulator nije dovoljan ni za podešavanje prelaznog procesa, niti za eliminisanje grešaka u

stacionarnom stanju. Dodavanjem D dejstva, uspeli smo da uspostavimo potpunu kontrolu

samo nad prelaznim procesom. Dodavanjem I dejstva, eliminisali smo greške u ustaljenom

stanju za konstantne signale reference i poremećaja.

To nas dovodi do logičnog pitanja da li će PID regulator objediniti dobre osobine koje

pojedinačno poseduju PD i PI regulatori. Analizirajmo zato direktno izraze (8.39),(8.42), i

(8.43), koji su izvedeni za PID regulator i objekat drugog reda.


Iz izraza (8.39) vidimo da je dinamika sistema ponovo trećeg reda. PoreĎenjem

koeficijenata imenioca izraza (8.39), sa koeficijentima karakteristične jednačine sistema

trećeg reda (8.60), dobijamo tri relacije

2nIK , (8.68)

cK nnP 22 , (8.69)

bK nD 2 . (8.70)

S obzirom na to da sada imamo tri nepoznata pojačanja regulatora, i tri parametra koja

karakterišu prelazni proces, , n i , dinamika prelaznog procesa se moţe proizvoljno

podesiti.

Za analizu greške u odnosu na referentni signala, razmotrimo izraz (8.42). Vidimo da on

poseduje faktor s u brojiocu, tako da će, kao i kod PI regulatora, greška u stacionarnom

stanju za konstantan referentni signla biti jednaka nuli. TakoĎe i izraz za grešku u fukciji

poremećaja, izraz (8.43), poseduje faktor s u brojiocu, pa PID regulator, kao i PI, uspešno

otklanja dejstvo konstantnih poremećaja.

Uopšte govoreći, vidimo da PID regulator zaista omogućuje i podešavanje dinamike

prelaznog procesa, kao i eliminaciju grešaka u ustaljenom stanju za konstantne signale

pobude, odnosno kombinuje dobre osobine PD i PI regulatora pojedinačno, kad je objekat

upravljanja drugog reda.

Kao što je već rečeno, mnogi sistemi višeg reda mogu se uspešno aproksimirati sistemima

drugog reda, te iz tog razloga je PID regulator našao veliku primenu u industrijskoj praksi.

Da bi ovo izlaganje bilo kompletno, moramo još napomenuti, da kada funkcija spregnutog

prenosa, pored para dominantnih polova u imeniocu, poseduje još i konačne nule, i/ili treći

pol, prelazni proces nije u potpunosti odreĎen poloţajem dominantnih polova. Drugim

rečima, i konačne nule, i treći pol, utiču i na karakter i na brzinu prelaznog procesa. Mi smo

u našem izlaganju tu činjenicu zanemarili, a čitaoci koje ova materija dublje interesuje

upućuju se na odgovarajuću literatutu iz oblasti automatskog upravjanja.

8.2 UPRAVLJANJE KRETANJA ROBOTA

Nakon što smo razmotrili osnovne koncepte upravljanja, moţemo se sada posvetiti

centralnoj temi ovog poglavlja, a to je upravljanje slobodnog kretanja robota. Pod

slobodnim kretanjem podrazumevamo činjenicu da vrh robota nije u kontaktu sa okolinom,

već se slobodno kreće u prostoru. Za razliku od ovog reţima, postoji i problem upravljanja

robotom u kontaktnim zadacima, kada vrh robota ostvaruje kontakt sa okolinom, pri čemu

se javljaju kontaktne sile, pa se, pored upravljanja pozicije, javlja i problem upravljanja sile

koju robot ostvaruje. Problemi upravljanja robota u kontaktnim zadacima, kao sloţeniji,

neće biti obraĎivani u ovoj knjizi, a zainteresovani čitaoci se upućuju na bogatu literaturu.

Iako su osnovne ideje iste, upravljanje slobodnog kretanja u robotici je značajno sloţeniji

problem od ranije navedenih primera linearnih sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom.

Pa ipak, problemi upravljanja kretanja robota u praksi su uspešno rešeni, što potvrĎuju

brojne instalacije industrijskh robota u različitim okruţenjima široma sveta.

Kroz prethodna poglavlja videli smo kako se mogu izvesti modeli kinematičkog i


dinamičkog ponašanja robota. U kontekstu problema upravljanja, ovi modeli predstavljaće

objekat upravljanja. Konkretno, upravljanje se zasniva na modelu dinamike robota, koji će,

radi preglednosti, biti ovde ponovo zapisan u obliku:

)(),()( qGqqCqqM , (8.71)

gde je, )(qM matrica inercija, ),( qqC vektor centripetalnih/centrifugalnih i Koriolisovih

sila, )(qG vektor gravitacionih sila, q je vektor generalisanih koordinata, q vektor

generalisanih brzina, q vektor generalisanih ubrzanja, a je vektor generalisanih sila

odnosno momenata.

U ovakvom modelu objekta upravljanja smatraćemo da je upravljački ulaz, da je izlaz iz

objekta upravljanja q , odnosno ostvarena pozicija zglobova.

TakoĎe smo u prethodnom poglavlju razmotrili i različite načine za planiranje trajektorija,

što u kontekstu problema upravljanja, predstavlja način za generisanje referentih vrednosti

na ulazu u sistem.

Sada ćemo se skoncentrisati na rešavanje problema upravljanja, odnosno, na odreĎivanje

upravljačkog signala )(t koji će dovesti do toga da ostvarena pozicija zglobova robota

)(tq verno prati ţeljene referentne vrednosti )(trefq .

Na ovom mestu potrebno je uočiti nekoliko specifičnosti problema upravljanja kretanja

robota, a koje se baziraju na osobinama modela dinamike (8.71). Pre svega, radi se o

matričnoj diferencijalnoj jednačini drugog reda, u kojoj su i izlazna veličina )(tq , i

upravljačka veličina )(t vektori dimenzija 1n , gde je n broj stepeni slobode, odnosno

broj zglobova robota. To znači da je objekat upravljanja multivarijabilan, odnosno,

poseduje n izlaznih veličina nqqq ,, 21 , i isto toliko upravljačkih veličina n ,, 21 .

Dalje, model (8.71) je izrazito nelinearan. Ova nelinearnost ogleda se u nekoliko činjenica.

Najpre, ako robot poseduje rotacione zglobove, onda koeficijenti u matricama )(qM ,

),( qqC i )(qG obavezno sadrţe trigonometrisjke izraze u funkciji trenutnog poloţaja

zglobova. Pored toga, vektor ),( qqC sadrţi faktore tipa ji qq , odnosno proizvode brzina

zglobova, koji predstavljaju centrifugalne/centripetalne sile, za ji , odnosno, Koriolisove

sile, za ji .

I na kraju, ali ne po vaţnosti, model (8.71) je spregnut, u smislu da kretanje bilo kog zgloba

robota moţe da utiče na kretanje svakog od preostalih zglobova. Ovaj uticaj oseća se kako

kroz vandijagonalne elemente matrice inercije )(qM , tako i kroz komponente vektora

),( qqC , odnosno vektora )(qG .

Prema tome, bavićemo se problemom upravljanja mulitvarijabilnog nelinearnog spregnutog

sistema, što prestavlja jedan od najteţih zadataka upravljanja uopšte. Na sreću, specifična

struktura modela dinamike (8.71), čini da model poseduje i neke osobine koje ga čine

lakšim za upravljanje u odnosu na generalne nelinearne multivarijabilne sisteme, te su na

bazi tih osobina razvijene različite tehnike upravljanja.

Pre nego što se upustimo u detalje tehnika upravljanja, razmotrimo najpre dve generalne

strategije upravljanja. Kao što je već rečeno, za obavljanje zadatka robota od interesa je

kretanje njegovog vrha, bez obzira da li se na vrhu nalazi neki alat kojim robot obavlja

zadatak, ili se prenosi radni predmet sa mesta na mesto. Sa tog stanovišta, opisivanje, ili


zadavanje zadatka, najprirodnije je vršiti u spoljašnjim koordinatama u radnom prostoru

robota. Sa druge strane, kretanje se odvija u zglobovima robota, za koje je vezan prostor

unutrašnjih koordinata, pa je najprirodnije da se upravljanje kretanja vrši u ovom prostoru.

Mi smo već proučili veze izmeĎu prostora unutrašnjih i spoljašnjih koordinata, tako da

prelazak iz jednog prostora u drugi formalno ne predstavlja veći problem. Stoga se nameću

dve upravljačke strategije, upravljanje u unutrašnjim ili upravljanje u spoljašnjim

koordinatama. U obe upravljačke strategije, mora postojati neki mehanizam prevoĎenja

kretanja robota iz jednog prostora u drugi.

Principijelna šema upravljanja kretanja robota u unutrašnjim koordinatama prikazana je na

slici 8.11. Primetimo da su svi signali na slici označeni debljim strelicama, što treba da

simbolizuje njihovu vektorsku prirodu. Zadatak, odnosno kretanje robota, zadaje se preko

vektora referentnog kretanja u spoljašnjim koordinatama refr . Preko bloka inverzne

kinematike, zadatak se zatim prevodi u prostor unutrašnjih koordinata, u kome će se i

izvršavati. Na osnovu vektora signala greške )(te upravljački ureĎaj formira vektor

upravljačih signala )(t , koji proizvodi kretanje zglobova manipulatora )(tq odnosno,

njegovog vrha )(tr .

Slika 8.11. Strategija upravljanja u unutrašnjim koordinatama

Kao što se sa slike 8.11 vidi, merni ureĎaji mere poloţaje zglobova, odnosno registruju

stanje unutrašnjih koordinata, na osnovu njih se zatvara povratna sprega, odnosno, formira

signal greške.

Ovakav pristup upravljanju razlaţe problem upravljanja na dva podzadatka: najpre

rešavanje inverzne kinematike, a zatim formiranje upravljačkih signala u prostoru

unutrašnjih koordinata. Na taj način, problem upravljanja je olakšan, jer se rešava u

prostoru u kome je njegovo opisivanje prirodno.

Sa slike 8.11 lako se moţe uočiti i potencijalna mana ovakvog prisupa upravljanju. Naime,

izlazna veličina, vektor poloţaja vrha robota )(tr , ne meri se direktno, i ne učestvuje u

formiranju signala greške. To znači da se oslanjamo na modele invezne i direktne

kinematike za preslikavanje iz prostora spoljašnjih u prostor unutrašnjih koordinata, i

obrnuto. Sve netačnosti modela kinematike, koje neminovno postoje, direktno će se odraziti

na netačnosti u praćenju referentnih signala. TakoĎe, i efekti koji nisu obuhvaćeni modelom

kinematike, kao što su elastičnosti u prenosnim mehanizmima, zazori u reduktorima,

elastičnosti segmenata robota itd, mogu u značajnoj meri uticati na tačnost rada robota.

Sve ove neţeljene efekte moguće je odstraniti primenom strategije upravljanja u

spoljašnjim koodinatama, kao što je to prikazano na slici 8.12.


Slika 8.12. Strategija upravljanja u spoljašnjim koordinatama

Kod ove upravljačke strategije, signal greške formira se na osnovu zadatog referentnog

kretanja, i izmerenog ostvarenog kretanja vrha robota. Na taj način, povratna sprega je

zatvorena direktno po upravljanim promenljivama, pa se, zbog zatvaranja povratne sprege,

u znatnoj meri smanjuju greške usled nepreciznosti i netačnosti modela kinematike.

MeĎutim, upravljački ureĎaj sada mora biti znatno kompleksniji, jer on u sebi mora sadrţati

mehanizam za prevoĎenje greške iz prostora spoljašnjih koordinata u upravljačke veličine

koje deluju u prostoru unutrašnjih koordinata. Drugim rečima, proces rešavanja inverzne

kinematike obuhvaćen je povratnom spregom.

Na ovom mestu treba još naglasiti da se kod većine robota danas, poloţaj njegovog vrha ne

meri direktno, kako je to prikazano na slici 8.12, već posredno, preko merenja poloţaja

zglobova, a zatim izračunavanja direktne kinematike. Na taj način, smanjene su mogućnosti

za eliminaciju grešaka modela kinematike. MeĎutim, ovakva upravljačka strategija je

prirodan izbor kada se radi o problemima upravljanja u kontaktnim zadacima.

Pre nego što u narednim odeljcima podrobnije razmotrimo različite tehnike upravljanja

kretanja robota, kako u prostoru unutrašnjih, tako i u prostoru spoljašnjih koordinata,

potrebno je malo više paţnje posvetiti dinamičkom modelu robota.

8.2.1 KOMPLETAN MODEL DINAMIKE ROBOTA

Kod obe strategije upravljanja, prinicipijelno prikazane na slikama 8.11 i 8.12, model

dinamike robota predstavljen je jednim blokom, pri čemu je pretpostavljeno da je

matematički model tog bloka dat jednačinom (8.71). To je do neke mere pojednostavljen

pogled na problematiku matematičkog modeliranja dinamičkog ponašanja robota.

Naime, model predstavljen jednačinom (8.71) obuhvata samo dinamičko ponašanje

mehaničke strukture manipulatora. Ulaz u model su pogonske sile i momenti, a izlaz iz

modela pozicije zglobova. Ne treba zaboraviti činjenicu da se za generisanje pogonskih sila

koriste aktuatori, bilo u vidu električnih motora, ili pneumatskih ili hidrauličnih aktuatora.

Aktuatori su takoĎe dinamički sistemi, čije se ponašanje moţe opisati odgovarajućim

matematičkim modelom.

TakoĎe, u mnogim praktičnim realizacijama konstrukcije robota, teţi se da se aktuatori

postavljaju što bliţe osnovi robota, da bi se smanjila teţina koju robot mora da nosi. U tom

slučaju potrebni su posebni mehnizmi za transmisiju pogonskih sila i momenata od mesta

aktuacije do samog zgloba robota, na primer, kaišni ili lančani prenos, navojno vreteno, i

slično. Mehanizmi za transmisiju takoĎe predstavljaju dinamičke sisteme, sa svojim

matematičkim modelom.

Prema tome, matematički model ponašanja robota, treba, pored modela dinamike

manipulatora, da obuhvati i modele aktuatora i transmisije, kao što je to prikazano na slici

8.13. Upravljačka veličina označena je sada sa )(tu , dok je izlaz iz modela robota vektor


pozicija zglobova )(tq . Veličine, odnosno signali, koji se javljaju izmeĎu pojednih

podsistema nisu posebno označeni, ali jasno je da se unutar modela pojavljuju momenti

)(t koji deluju na manipulator.

Slika 8.13. Principijelna struktura matematičkog modela robota

Razmotrićemo sada jedan način da se objedine modeli aktuatora, transmisije i

manipulatora, i tako dobije kompletan model dinamike robota. Pretpostavićemo da su kao

aktuatori zglobova upotrebljeni motori jednosmerne struje sa permanentnim magnetima.

Detaljan opis, i izvoĎenje matematičkog modela motora jednosmerne struje, biće dat u

poglavlju koje se bavi aktuatorima. Pretpostavićemo dalje, da su motori postavljeni

direktno u zglobovima, te da se prenos energije od motora do zgloba vrši samo preko

mehničkog reduktora sa zupčanicima. O načinima za prenos energije od aktuatora do

zgloba, govorili smo ranije, u poglavlju o načinima transmisije mehaničke energije.

Neka je model dinamike manipulatora dat u sledećoj formi:

)(),()( qGqFqqCqqM v , (8.72)

gde je, u odnosu na jednačinu (8.71), modelu pridruţeno i viskozno trenje, dato izrazom

qF v , gde je vF dijagonalna matrica koja sadrţi koeficijente viskoznog trenja za svaki

zglob manipulatora.

Model (8.72) moţe se zapisati i u kompaktnijoj formi, u obliku:

),()( qqnqqM , (8.73)

pri tome, poreĎenjem članova u izrazima (8.72) i (8.73), lako zaključujemo da vaţi

)(),(),( qGqFqqCqqn v . (8.74)

Drugim rečima sabirak ),( qqn sadrţi sve komponente dinamičkog modela manipulatora

osim inercijanih sila.

Posmatrajmo sada samo jedan zglob robota, na primer, i -ti. Jednačina koja opisuje

dinamiku ovog zgloba zapravo je i -ta vrsta matrične jednačine (8.73), i moţe se napisati u

obliku

ii

ij

jijiii nqMqM

),( qq , (8.75)

gde smo indeksom i označili koeficijente i -te vrste, dok indeks j označava kolone. Prvi

sabirak u jednačini predstavlja komponentu inercijalne sile usled ubrzavanja zgloba.

Koeficijent iiM je dijagonalni element matrice inercije, i predstavlja sopstvenu inerciju

posmatranog zgloba. Drugi sabirak jednačine (8.75) je suma inercijalnih sila koje ostali

zglobovi svojim ubrzanim kretanjem proizvode na posmatranom zglobu, pri čemu


koeficijenti ijM predstavljaju unakrsne inercije. Poslednji sabirak sa leve strane jednačine

(8.75) sadrţi centrifugalne, Koriolisove i gravitacione sile, kao i sile trenja koje deluju u

posmatranom zglobu. Sila odnosno momenat i koji se razvija u posmatranom zglobu

robota mora savladati sve sile odnosno momente sa leve strane jednačine (8.75).

Neka sada u posmatranom zglobu deluje motor jednosmerne struje. Njegovo dinamičko

ponašanje moţe se opisati preko jednačine za ravnoteţu električnog kola motora:

)()(

)()( , tKdt

tdiLtiRtu iiem

iiiii , (8.76)

gde je )(tu napon na rotoru motora, )(ti struja rotora, R i L otpornost, odnosno

induktivnost rotorskih namotaja, emK naponska konstanta motora, a je ugaona brzina

obrtanja rotora. Indeks i uz svaku veličinu označava da se radi o motoru smeštenom u i -

tom zglobu. Jednačina (8.76) nam kazuje da se napon priključen na rotor motora

jednosmerne struje troši jednim delom za savadavanje otpora i induktivnosti rotora, a

drugim za savladavanje indukovane elektromotorne sile, izraţene proizvodom iiemK , .

Prethodnoj jednačini treba pridruţiti i jednačinu za mehanički deo sistema, koja predstavlja

ravnoteţu momenata na vratilu motora:

)()(

)()(, tTdt

tdJtBtiK i

iiiiiime

, (8.77)

gde je meK konstanta momenta, B koeficijent viskoznog trenja, J moment inercije

rotora motora, a )(tT mehanički momenat koji se predaje opterećenju motora. Indeks i uz

veličine ponovo označava pripadnost zglobu. Proizvod )(tiK me predstavlja zapravo

elektromehanički momenat koji razvija motor jednosmerne struje. Taj momenat troši se

jednim delom za savladavanje inercije i trenja u samom rotoru motora, a drugim delom se

predaje mehaničkom opterećenju koje je povezano na motor, a to je u ovom slučaju zglob

robota.

Veza izmeĎu motora i zgloba ostvarena je putem mehaničkog reduktora. Mi ćemo

pretpostaviti da je reduktor idealan, odnosno da neme zazora izmeĎu zupčanika, kao i da

nema gubitaka pri prenosu energije kroz reduktor. U tom slučaju, veza izmeĎu pozicije

vratila motora i pozicije zgloba data je relacijom

iiri qN ,, (8.78)

gde je rN prenosni odnos reduktora. Primetimo da je obično 1rN , odnosno, motor se

obrće brţe od zgloba robota. Veza izmeĎu momenta koji se razvija na osovini motora, i

momenta koji se javlja na izlaznoj osovini reduktora, odnosno u zglobu robota, data je

relacijom

iir

iN

,

1 . (8.79)

Vidimo da je moment na izlazu reduktora uvećan rN puta u odnosu na momenat koji

proizvodi motor.


Da bi smo dobili kompletan model dinamike robota, potrebno je objediniti jednačine

(8.75),(8.76),(8.77),(8.78), i (8.79). Najpre ćemo iz jednačine (8.76) izračunati struju rotora

)(tii , smatrajući da se induktivnost rotora moţe zanemariti, što je najčešće zaista slučaj kod

kvalitetnih motora jednosmerne struje sa stalnim magnetom. Tako dobijeni izraz,

ubacićemo u jednačinu (8.77), koja nakon sreĎivanja postaje

)()()()()( ,,,

tuR

KtTt

R

KKB

dt

tdJ

i

imeii

i

iemimei

ii

. (8.80)

U ovoj jednačini sve veličine su izraţene u odnosu na vratilo motora, odnosno na ulaznu

osovinu reduktora. Da bismo jednačinu udruţili sa jednačinom dinamike zgloba robota,

potrebno je da iskoristimo veze (8.78) i (8.79), čime se dobija

)()(1

)()()(,

,,

,,, tu

R

Kt

NtqN

R

KKBtqNJ

i

imei

iriir

i

iemimeiiiri

, (8.81)

odnosno, nakon mnoţenja cele jednačine sa irN ,

)()()()()(,,2

,,,2

, tuR

KNttqN

R

KKBtqNJ

i

imeiriiir

i

iemimeiiiri . (8.82)

Vidimo da se moment inercije rotora, kao i koeficijenat viskoznog i električnog trenja

preslikavaju kroz reduktor uvećani 2,irN puta.

Sada moţemo iz jednačine dinamike zgloba robota (8.75) zameniti izraz za momenat i

koji se predaje zglobu robota robota, čime se dobija

)(),()(

)()()(

,,

2,

,,2,

tuR

KNnqMtqM

tqNR

KKBtqNJ

i

imeiri

ji

jijiii

iiri

iemimeiiiri

qq

(8.83)

Nakon grupisanja članova uz izvode po iq , jednačina postaje

)(

),()()(

)()(

,,

2,

,,

2,

tuR

KN

ntqNR

KKB

qMtqNJM

i

imeir

iiiri

iemimei

ji

jijiiriii

qq

(8.84)

Moţemo uočiti da jednačina (8.84) ima istu strukturu kao i jednačina (8.75) pa se moţe

zapisati u obliku

)(),()(,,

tuR

KNnqMtqM

ij i

imeirijijiii

qq , (8.85)

gde je


iiriiii JNMM 2,

, (8.86)

odnosno,

iiri

iemimeiii qN

R

KKBnn

2

,,,

),(),( qqqq (8.87)

Vidimo da je sopstveni moment inercije iiM zgloba uvećan za preslikanu inerciju rotora

motora, a preslikano mehaničko i električno trenje motora dodato je preostalim

komponentama dinamike zgloba: centripetalnim i Koriolisovim silama, viskoznom trenju

samog zgloba, i gravitacionim silama.

Ako se jednačina (8.85) napiše za sve zglobove, odnosno za ni ,,1 , onda se i

kompletan model dinamike robota moţe dobiti u matričnoj formi

)(),()( tuKqqnqqM (8.88)

gde je )(qM modifikovana matrica inercije data sa

jiM

jiJNMM

ij

iiriiij

,)(

2,qM , (8.89)

dok je

iir

i

iemimeiii qN

R

KKBnn 2

,,,

),( qqn , (8.90)

a matrica K predstavlja konstante proporcionalnosti

niR

KNK

i

imeiri ,,1),diag()diag(

,, K . (8.91)

Primetimo da jednačina kompletnog modela dinamike robota sa aktuatorima i transmisijom

(8.88) ima potpuno isti oblik kao i jednačina (8.73), s tim što je sada ulazna veličina u

model vektor napona dovedenih na rotore motora. To znači, da na dalje, pri razmatranju

problema upravljanja moţemo ravnopravno baratati, bilo modelom mehanike manipulatora

(8.73) odnosno (8.72), bilo modelom kompletne dinamike sa aktuatorima (8.88), smatrajući

da se, ukoliko je potrebno, model mehanike manipulatora uvek lako moţe modifikovati

tako da obuhvati i model aktuatora i transmisije.

Na ovom mestu potrebno je istaći da postoje i aktuatori i transmisije, kod kojih se, prilikom

objedinjavanja modela sa modelom manipulatora, ne moţe dobiti jednačina oblika (8.88),

pre svega zato što u modelu aktuatora postoje i druge veličine koje se dinamički menjaju, a

takoĎe, veza izmeĎu pozicija, brzina i momenata sa aktuatorske strane transmisije i sa

strane zgloba robota poseduje odreĎenu dinamiku. Tada se model dinamike objedinjuje

tako što se pišu jednačine u prostoru stanja, i uvode nove promenljive stanja, koje će

obuhvatiti ove dinamičke veze. U svakom slučaju, ta materija izlazi iz domena ove knjige, a

zainteresovani čitaoci se upućuju na bogatu literaturu iz ove oblasti.


8.2.2 UTICAJ REDUKTORA NA LINEARIZACIJU I RASPREZANJE MODELA

Već smo rekli da je dinamika robota opisana nelinearim spregnutim diferencijalnim

jednačinama drugog reda. Kada smo modelu mehanike robota pridruţili model motora

jednosmerne struje sa reduktorom, dobili smo takoĎe sistem nelinearnih spregnutih

diferencijalnih jednačina drugog reda, jednačina (8.88), dok su koeficijenti ove jednačine

dati izrazima (8.89) i (8.90).

Razmotrimo sada malo paţljivije izraz za modifikovanu matricu inercije (8.89). Vidimo da

modifikacija nastaje tako što se koeficijenti na glavnoj dijagonali matrice inercije uvećavaju

za preslikanu inerciju rotora motora, dok vandijagonalni elementi ostaju nepromenjeni.

Podsetimo se da vandijagonalni elementi matrice inercije u nekoj vrsti predstavljaju

meĎusobne uticaje ubrzanja ostalih zglobova na posmatrani zglob, dok dijagonalni element

predstavlja sopstvenu inerciju tog zgloba. S obzirom na to da je dijagonalni element sada

uvećan, njegov doprinos ukupnoj inercijalnoj komponenti sile odnosno momenta, biće

značajniji u odnosu na ostale, vandijagonalne sabirke. Ovo će biti posebno izraţeno, ako je

prenosni odnos redukora veliki, na primer veći od 30. S obzirom na to da se inercija rotora

motora preslikava sa 2,irN na stranu zgloba, ona moţe biti uvećana i preko 1000 puta, i

tako postati najznačajniji sabirak u izrazu. To zapravo znači, da se značajno smanjuje uticaj

ubrzanja ostalih zglobova na posmatrani zglob, a takoĎe se smanjuje i zavisnost od

trenutnog poloţaja, jer sabirak iiM koji zavisi od poloţaja, relativno manje utiče u odnosu

na preslikanu inerciju rotora motra.

Sličan zaključak moţe se izvesti i analizom izraza (8.90). Modifikovani model dobija se

tako što se originalnom koeficijentu in , koji sadrţi i meĎusobne uticaje drugih zglobova

(centrifugalne i Koriolisove sile), i nelinearnosti (svi koeficijenti, a naročito gravitacione

komponente, zavise od trenutnog poloţaja robota), dodaje trenje motora, uvećano 2,irN

puta. Ponovo, ako je prenosni odnos reduktora veliki, ovaj sabirak moţe postati

dominantan. Kako on ne zavisi od kretanja drugih zglobova, u velikoj meri je došlo do

rasprezanja modela dinamike. TakoĎe dolazi i do izvesnog smanjenja zavisnosti od

trenutnog poloţaja, ali gravitacioni elementi i dalje nisu do kraja kompenzovani.

Prema tome, moţemo zaključiti, da primena reduktora, naročito sa velikim prenosnim

odnosima, moţe dovesti do linearizacije i rasprezananja modela dinamike. Drugim rečima,

dinamika samog motora postaje dominantna u odnosu na dinamiku zglobova manipulatora.

Iz ovog razmatranja mogao bi se izvesti zaključak da je onda dobro imati što veći stepen

redukcije. To naravno nije tačno, pre svega zato što je u prethodnom razmatranju

zanemaren zazor, i gubici energije u reduktoru. Obe zanemarene veličine rastu sa

povećanjem stepena redukcije, tako da je potreban kompromis pri odabiru reduktora. O

načinu izbora reduktora već je diskutovano u poglavlju koje se bavi aktuatorima i

transmisijama.

Sada se moţemo posvetiti izučavanju upravljačjih strategija, najpre u unutrašnjim

koordinatama, a zatim i u spoljašnjim koordinatama robota.

8.3 UPRAVLJANJE U UNUTRAŠNJIM KOORDINATAMA

Model dinamike robota, na osnovu kojeg ćemo vršiti upravljanje dat je jednačinom (8.72),


koju ćemo, radi preglednosti, ovde ponovo napisati:

)(),()( qGqFqqCqqM v , (8.92)

Već je rečeno, da model (8.92) opisuje spregnuti nelineatni sistem drugog reda. MeĎutim,

pogodnom transformacijom modela, sistem moţemo predstaviti kao kompoziciju dva

podsistema, od kojih je jedan linearan i raspregnut, a drugi sadrţi sve nelinearne efekte, kao

i efekte sprezanja sistema.

U tom cilju, podsetimo se da matrica inercija )(qM na glavnoj dijagonali sadrţi sopstvene

inercije zglobova, dok vandijagonalni elementi predstavljaju sprezanje izmeĎu ubrzanja

zglobova. TakoĎe, ako robot poseduje rotacione zglobove, elementi matrice inercije, pa i

dijagonalni elementi, sadrţe trigonometrijske izraze koji zavise od trenutnog poloţaja

zglobova.

Matricu inercije moţemo sada predstaviti na sledeći način:

)()( qMMqM , (8.93)

gde je M konstantna dijagonalna matrica koja sadrţi "usrednjene" vrednosti sopstvenih

inercija zglobova, odnosno dijagonalnih elemenata matrice )(qM , dok matrica )(qM

sadrţi sve vandijagonalne elemente, kao i promenljivi deo dijagonalnih elemenata polazne

matrice.

Smenom izraza (8.93) u model (8.92), i preureĎenjem redosleda sabiraka dobija se izraz

)(),()( qGqqCqqMqFqM v , (8.94)

u kojem koeficijenti matrica prva dva sabirka ne zavise od trenutnog poloţaja i brzine, pa

predstavljaju linearne komponente, a takoĎe, matrice M i vF su dijagonalne, pa nema

sprege izmeĎu zglobova. Preostala tri sabirka predstavljaju nelinearni i spregnuti deo

sistema. Označimo taj deo sistema sa

)(),()(),,( qGqqCqqMqqqd , (8.95)

tako da se se sada model dinamike moţe napisati u obliku

),,( qqqdqFqM v , (8.96)

odnosno,

),,( qqqdqFqM v . (8.97)

Model dinamike (8.96), odnosno (8.97), zajedno sa (8.95) moţemo konceptualno

predstaviti kao na slici 8.14.


Slika 8.15. Model dinamike robota kao sprega linearnog raspregnutog i nelinearnog spregnutog podsistema

Linearni deo sistema sastoji se od dve kaskadno povezane grupe integratora, i lokalne

povratne sprege po brzni. Ulaz u ovaj podsistem je upravljački signal )(t , a izlaz iz

sistema pozicija zglobova )(tq . Nelinearni deo sistema prima na ulazu informacije o

tekućoj vrednosti pozicije, brzine i ubrzanja zglobova, a na izlazu se se formira signal

),,( qqqd . Formalno, moţemo smatrati da signal ),,( qqqd predstavlja zapravo

poremećaj za linearni deo sistema.

Na osnovu ove analize, moţemo na različite načine pristupiti problemu upravljanja u

prostoru unutrašnjih koordinata. Ako zanemarimo delovanje poremećaja, onda se problem

upravljanja robota sa n zglobova, odnosno upravljanaje multivarijabilnog sistema, svodi

na n problema upravljanja pojedinačnih zglobova, odnosno n sistema sa jednim ulazom i

jednim izlazom, s obzirom na to da je linearni deo sistema raspregnut. Ako su regulatori

dobro projektovani, oni treba da eliminišu dejstvo poremećaja koji deluju na svaku od

upravljačkih petlji zglobova.

Ovakav pristup naziva se decentralizovano upravljanje, i naročito je opravdan, ukoliko su

za prenos mehaničke energije primenjeni reduktori sa velikim stepenom redukcije. Već smo

pokazali da u tom slučaju dinamika aktuatora dominira nad dinamikom manipulatora, pa je

i signal poremećaja mali, odnosno, njegov uticaj je smanjen.

Ako prenosni odnosi reduktora nisu veliki, ili, ako reduktora ni nema, kao što je to slučaj

kod robota sa direktnim pogonom, tada zanemarivanje poremećaja moţe dovesti do

značajnih grešaka u praćenju referentnih signala. S obzirom na to da je nama poznata

struktura signala poremećaja, jer poznajemo model dinamike robota, moţemo pokušati da

ove poremećaje kompenzujemo primenom znanja o modelu. To bi trebalo da dovede do

boljih rezultata, s obzirom na to da se otklanjaju poremećaji, a ne posledice njihovog

dejstva. Imajući u vidu da model poremećaja, nelinearni podsistem sa slike 8.14, zahteva

poznavanje stanja celog robota, zglobovi se ne mogu upravljati više pojedinačno, već je

potrebna neka vrsta centralizovanog upravljanja.

Napomenimo još jednom da kod oba tipa upravljanja, i kod decentralizovanog i kod


centralizovanog, značajnu ulogu u formiranju upravljačkih signala imaće povratna sprega,

zbog svih dobrih osobina koje povratna sprega unosi u sistem upravljanja.

8.3.1 NEZAVISNO UPRAVLJANJE KRETANJA ZGLOBOVA

U ovom odeljku razmotrićemo koncepte nezavisnog upravljanja kretanja zglobova.

Proučićemo najpre principski pristup nezavisnom upravljanju, na osnovu izvedenog modela

razloţenog na linearni raspregnuti i nelinearni spregnuti model, pri čemu ćemo za

upravljanje iskoristiti samo linearni raspregnuti deo modela dinamike robota. Nakon toga,

razmotrićemo konkretnije jedno moguće rešenje nezavisnog upravljanja zgloba robota

pogonjenjog motorom jednosmerne struje sa reduktorom.

a) Principi nezavisnog upravljanja zgloba

Razmotrimo sada slučaj nezavisnog upravljanja zglobova robota. Model robota dat je

jednačinom (8.96), odnosno (8.97), pri čemu smatramo da je ),,( qqqd poremećaj, koji

zanemarujemo. Tada model (8.96), odnosno (8.97), predstavalja linearan raspregnuti

sistem, pa smo originalni problem upravljanja robota, sveli smo na n pojedinačnih

problema upravljanja jednog zgloba. Struktura sistema za jedan, na primer i -ti zglob,

prikazana je na slici 8.15. Na slici se pojavljuju koeficijenti matrice M i vF iz i -te vrste

modela, ali je zbog pojednostavljenja izraza koji slede, indeks i izostavljen.

Povratna sprega zatvorena je po izlaznom signalu, ostvarenoj poziciji zgloba )(tq .

Referenta veličina je ţeljena pozicija zgloba )(tqref , a na sistem deluje poremećaj )(td .

Deo sistema uokviren isprekidanom linijom predstavlja zapravo objekat upravljanja.

Funkcija prenosa regulatora označena je sa )(sWreg , i naš zadatak je sada da odredimo

strukturu i parametre regulatora tako da obezbedimo da izlazna veličina )(tq verno prati

referencu )(tqref .

Slika 8.15. Strukurna blok šema linearnog modela jednog zgloba

Potraţimo najpre funkciju prenosa objekta upravaljanja ).(sWo Primenom neke od tehnika

za redukciju strukturnih blok dijagrama sistema, lako se moţe ustanoviti da je

)1(

)(o

oo

sTs

KsW

, (8.98)


gde je

v

oF

K1

, (8.99)

pojačanje objekta upravljanja, a

v

oF

MT (8.100)

njegova vremenska konstanta.

S obzirom na činjenicu da je objekat upravljananja linearan, i drugog reda, da bismo imali

punu kontrolu nad poloţajem para dominantnih polovoa, regulator mora posedovati

najmanje PD strukturu,

DPreg KsKsW )(, (8.101)

gde je kao i ranije, PK pojačanje proporcionalnog dejstva, a DK pojačanje

diferencijalnog dejstva.

Funkcija povratnog prenosa za ovaj sistem data je sa:

)1(

)()()()(

o

DPooregp

sTs

KsKKsWsWsW

(8.102)

tako da funkcija spregnutog prenosa u odnosu na referentni ulaz sada postaje

o

Po

o

Do

P

D

o

Po

p

pRs

T

KK

T

KKss

K

Ks

T

KK

sW

sWsW

1

1

)(1

)()(

2

. (8.103)

Vidimo da je imenilac funkcije spregnutog prenosa drugog reda, a da koeficijenti zavise od

parametara PD regulatora. PoreĎenjem sa koeficijentima ţeljene karakteristčne jednačine

02 22 nnss , (8.104)

lako se mogu odrediti parmetri regulatora

o

onP

K

TK 2 , (8.105)

odnosno,

o

onD

K

TK

12

, (8.106)

gde parametar , faktor relativnog prigušenja, odreĎuje karakter prelaznog reţima odziva,

dok parametar n , sopstvena prirodna neprigušena učestanost, odreĎuje brzinu odziva.

Razmotrimo sada greške koje će se javiti u sistemu. Imajući u vidu opšti izraz za grešku u

sistemu, dat relacijom (8.23), i smenom izraza za funkcije prenosa regulatora i objekta

upravljanja, moţemo izraz za grešku napisati u obliku


)()()( sEsEsE DR , (8.107)

gde su )(sE R i )(sE D delovi signala greške usled delovanja referentnog signala i

poremećaja, definisani kao

)()1(

)1()(

2sR

KKKKsTs

sTssE

DoDoo

oR

, (8.108)

)()1(

)(2

0 sDKKKKsTs

KsE

PoDoo

D

. (8.109)

Iz izraza za )(sE R vidimo da će greška u sistemu u stacionarnom stanju, zbog prisustva

faktora s u brojiocu, za konstantan ulazni signal biti jednaka nuli, dok će u slučaju

nagibnog referentnog signala greška biti

0

1)( r

KKe

Po

, (8.110)

gde je 0r nagib referentnog signala.

Ukoliko na sistem deluje konstantan poremećaj, postojaće greška definisana izrazom

)(sE D , a vrednost u stacionarnom stanju odreĎena je izrazom

0

1)( d

Ke

P

, (8.111)

gde je 0d veličina poremećaja.

Vidimo da greške u sistemu opadaju sa porastom pojačanja PK , ali PD regulator nije

naročito uspešan u otklanjanju dejstva poremećaja.

Pokušajmo sada da eliminišemo dejstvo poremećaja primenom PID regulatora, čija je

struktura data jednačinom

s

sKsKKsK

s

KKsW DPI

DI

Preg

2

)(

, (8.112)

gde je sa IK obeleţeno pojačanje integralnog dejstva.

Funkcija povratnog prenosa za ovaj sistem sada postaje

)1(

)()()()(

2

2

o

DPIooreqp

sTs

sKsKKKsWsWsW

(8.113)

tako da funkcija spregnutog prenosa u odnosu na referentni ulaz sada postaje

o

Io

o

Po

o

Do

IPDo

o

p

pRs

T

KK

T

KKs

T

KKss

KsKKsT

K

sW

sWsW

1)(1

)()(

23

2

. (8.114)


Vidimo sada da je imenilac funkcije spregnutog prenosa trećeg reda, a da koeficijenti

zavise od parametara PID regulatora. Ţeljenu karakterističnu jednačinu moţemo sada

usvojiti u obliku

0)2)(( 22 nnsss , (8.115)

gde, kao i ranije, i n odreĎuju poloţaj para dominantnih polova sistema, a odreĎuje

poloţaj trećeg pola.

PoreĎenjem koeficijenata imenioca funkcije spregnutog prenosa, sa koeficijentima ţeljene

karakteristične jednačine nakon sreĎivanja, lako dobijamo sledeće zavisnosti:

o

onP

K

TK )21( , (8.116)

o

onI

K

TK 2 , (8.117)

0

1)2(

K

TK no

D

. (8.118)

Razmotrimo ponovo greške koje će se javiti u sistemu sa PID regulatorom. Signal greške

ponovo je odreĎen izrazom

)()()( sEsEsE DR , (8.119)

gde je

)()1(

)1()(

23

2

sRKKKsKKKsTs

sTssE

IoPoDoo

oR

(8.120)

uticaj referentnog signala na signal greške, a

)()1(

)(23

sDKKKsKKKsTs

sKsE

IoPoDoo

oD

(8.121)

uticaj poremećaja.

Vidimo da brojilac izraza (8.120) poseduje faktor 2s , pa će u sistemu u stacionarnom

stanju, greška biti jednaka nuli, ne samo za konstantan ulazni signal već i u slučaju

nagibnog referentnog signala.

TakoĎe, faktor s pojavio se sada i u brojiocu izraza (8.121), tako da PID regulator moţe

efikasno da eliminiše dejstvo konstantnih poremećaja.

Navedena analiza navodi na zaključak da primenom PID regulatora moţemo uspešno rešiti

problem nezavisnog upravljanja zglobovima. Pri tome, imamo čak slobodu da proizvoljno

biramo i karakter odziva sistema, i njegovu brzinu. Primetimo meĎutim, da sa porastom

ţeljene brzine sistema, rastu i sva pojačanja regulatora.

Na ovom mestu, potrebno je reći da prethodna analiza poseduje čisto akademski karakter.

Naime, analiza je sprovedena za čisto linearan model objekta upravljanja, pri čemu smo

smatrali da su sve veličine kontinualne, i mogu uzimati proizvoljne vrednosti. U praksi

meĎutim, unutar svakog sistema postoje nelinearnosti tipa zasićenja. Drugim rečima,


postoje granice do kojih se izvesne veličine mogu povećavati. Na primer, naponi u

upravljačkim konturama ograničeni su naponom napajanja, ostvariva ubrzanja ili brzine

ograničeni su izborom motora, itd. Ako su pojačanja u sistemu velika, veoma je verovatno

da će neka, ili više veličina dostići graničnu vrednost iznad koje ne moţe dalje da se

povećava. Od tog trenutka, sistem više ne moţemo smatrati linearnim, pa model

upotrebljen za odreĎivanje pojačanja regulatora prestaje da vaţi.

TakoĎe, ma koliko se trudili, model dinamike nikada ne moţe da obuhvati sve efekte koji u

realnom sistemu postoje. Ponekad se neki efekti namerno zanemaruju, a ponekada nismo ni

svesni da postoje. Na primer, suvo trenje, elastičnosti i zazori u reduktorima, zanemarena

dinamika i kašnjenja u pojačavačima, itd. Pri velikim pojačanjima, svi ovi efekti mogu

dovesti do neţeljenog ponašanja robota. Ovo ponašanje uglavnom se manifestuje kroz

oscilacije robota, pri čemu je frekvenciju tih oscilacija 0 moguće eksperimentalno

utvrditi. Ova učestanost naziva se strukturna rezonantna učestanost.

Da bi se izbeglo pobuĎivanje oscilacija robota, prilikom izbora parametara regulatora mora

se voditi računa da vaţi

05.0 n . (8.122)

Na taj način, propusni opseg servostrukture ograničava se značajno ispod strukturne

rezonantne učestanosti. Ograničenje za maksimalnu vrednost n implicira i ograničenje za

maksimalne vrednosti pojačanja PD ili PID regulatora. To takoĎe znači i da se veličina

greške za neke klase ulaznih signala ili poremećaja, ne moţe neograničeno smanjiti.

Razmotrima sada način izbora faktora relativnog prigušenja . Već smo videli da njegova

vrednost direktno odreĎuje karakter odziva u prelaznom reţimu. U robotici, od interesa su

samo odzivi bez preskoka, iz prostog razloga, što postojanje preskoka moţe značiti sudar

vrha robota sa objektima u radnom prostoru. S obzirom na to da nas takoĎe interesuje da

servosistem radi što je moguće brţe, izbor pada na kritično aperiodično prigušenje 1 ,

koje obezbeĎuje najbrţi odziv bez preskoka.

Konačno, treba reći da integralno dejstvo, pored svoje dobre osobine da eliminiše greške u

stacionarnom stanju, kao i dejstvo konstantnih poremećaja, moţe u kombinaciji sa

zanemarenim nelinearnostima, dovesti do pojave oscilacija u sistemu. Oscilacije mogu

nastati, kada na primer, usled dejstva suvog trenja sistem stane, a greška i dalje postoji.

Integralno dejstvo će se akumulirati sve dok upravljanje ne postane dovoljno veliko da

savlada suvo trenje. Sistem će se tada pomeriti, ali zbog inercije, nagomilanog dejstva

integratora i suvog trenja, verovatno je da će se zaustaviti tako da greška bude suprotnog

znaka. Ceo proces se ponavlja, i sistem osciluje oko ravnoteţne vrednosti. Ovakav reţim

rada naziva se engleskim izrazom "stick and slip motion".

Drugi problem koji integralno dejsvo moţe prouzrokovati, u vezi je sa nelinearnostima tipa

zasićenja. Naime, ako bilo koja veličina unutar upravljačke petlje uĎe u zasićenje, sistem

radi na granici svojih mogućnosti. To znači da su greške velike, a da njihova eliminacija

moţe potrajati duţe vreme. Za to vreme, integralno dejstvo se akumulira, pa moţe postati

dominatno upravljačko dejstvo. Nakon što se greška smanji, i upravljačka veličina izaĎe iz

zasićenja, sistem će, gonjen nagomilanim integralnim dejstvom, nastaviti da se i dalje kreće

na istu stranu. Zbog toga moţe nastupiti značajan preskok, sve dok greška suprotnog znaka

ne "isprazni" inegralno dejstvo. Tada nastaje suprotan proces, i ako ponovo nastupi

zasićenje, oscilacije su neminovne. Opisana pojava naziva se inegratorski zamah (integral

wind-up) i razvijene su različite metode koje sprečavaju da do nje doĎe. Metode za


sprečavanje inegratorskog zamaha, naravno izlaze van okvira ove knjige, pa neće biti dalje

razmatrane.

Da bi naša analiza nezavisnog upravljana zglobovima bila kompletna, podsetimo se da je

ona izvedena za linearizovani i raspregnuti model dinamike manipulatora. Već smo govorili

o tome, da je modelu dinamike manipulatora potrebno pridruţiti i modele aktuatora i

transmisije, i videli smo kako se model modifikuje tako da u sebe uključi model motora

jednosmerne struje i reduktora. TakoĎe smo konstantovali da prisustvo reduktora, a

naročito sa velikim prenosnim odnosima, u značajnoj meri moţe dovesti do linearizacije i

rasprezanja modela dinamike, jer dinamika samog motora dominira u odnosu na dinamiku

manipulatora.

b) Nezavisno upravljanje zgloba sa motorom jednosmerne struje

Razmotrimo zato sada podrobnije nezavisno upravljanje zgloba robota koji je aktuisan

motorom jednosmerne struje sa reduktorom. Govorimo dakle o problemu regulisanog

elektromotornog pogona, što predstavlja posebnu naučnu i tehničku disciplinu. U skladu sa

tim, razvijene su brojne metode za regulaciju elektromotornog pogona, a mi ćemo

razmotriti samo jedan, najprostiji pristup ovom problemu.

Polazna osnova sada je kompletan model dinamike, dat jednačinom (8.88), odnosno, za

posmatrani zglob, jednačinom (8.85), koja je ovde ponovo data,

)(),()(,,

tuR

KNnqMtqM

ij i

imeirijijiii

qq . (8.123)

Primetimo da jednačina izraţava ravnoteţu momenata na zglobu robota, odnosno na

izlaznoj osovini reduktora. S obzirom na to da je sada naglasak na upravljanju motora, čija

dinamika je dominantna, jednačinu ţelimo da transformišemo tako da izraţava ravnoteţu

momenata na osovini motora. Iz tog razloga, podelićemo jednačinu sa prenosnim odnosom

reduktora, i iskoristićemo veze izmeĎu pozicije, brzine i ubrzanja na vratilu motora i

izlaznoj osovini reduktora (8.78), čime se dobija

)(),(1

)(,

,,,2,

tuR

K

N

n

N

M

Nt

N

M

ij i

ime

ir

ij

jr

ij

iri

ir

ii

qq . (8.124)

Ovaj izraz moţemo napisati i u obliku

)(),()(,

tuR

KnMtM

i

imei

ij

jijiii

qq , (8.125)

gde su koeficijenti jednačine dati

jiN

M

jiJN

M

M

ir

ij

i

ir

ij

ij

2,

2, , (8.126)

ii

iemimei

ir

ii

R

KKB

N

nn

,,

,

),(),(

qqqq (8.127)


Ako su prenosni odnosi reduktora veliki, vidimo da je dinamika motora zaista dominantna

u odnosu na dinamiku manipulatora čiji koeficijenti su podeljeni faktorom 2,irN , odnosno

irN , .

Zbog toga se problem upravljanja zgloba robota sa jednosmernim motorom i reduktorom,

moţe prestaviti blok šemom kao na slici 8.16. U poreĎenju sa prethodnom upravljačkom

šemom, slika 8.15, vidimo da je objekat upravljanja istog tipa, dvostruki integrator sa

lokalnom spregom po brzini, s tim što su u šemi na slici 8.16, konstante objekta upravljanja

odreĎene prvenstveno parametrima motora jednosmerne struje. Pri tome je pretpostavljeno

da je parametar električnog trenja motora značajno veći od viskoznog trenja u vratilu

motora, odnosno,

BR

KK emme , (8.128)

a signal poremećaja, koji inače predstavlja momenat, izvučen je na ulaz motora i

transfomisan u ekvivaletni napon koji se oduzima od upravljačkog napona.

Druga značajna razlika u odnosu na opštu šemu nezavisnog upravljanja zglobom primećuje

se u strukturi regulatora. Ovde je primenjena takozvana kaskadna regulacija, kada se u

objektu upravljanja moţe uočiti više veličina koje se mogu upravljati, a zatim se po njima

zatvaraju povratne sprege koje kaskadno obuhvataju jedna drugu. Ovakav pristup čest je u

regulaciji elektromotornih pogona. U šemi na slici 8.16, unutrašnja, ili podreĎena povratna

sprega zatvorena je po brzini vratila motora )(t , a regulaciju brzine obavlja regulator

označen sa )(sWrb . Spoljašnja, ili nadreĎena povratna spega zatvorena je po poziciji

motora )(t , a regulaciju obavlja regulator označen sa )(sWrp .

Slika 8.16. Blok šema nezavisnog upravljanja jednog zgloba robota sa motorom jednosmerne struje i reduktorom. Upravljačka struktura je sa kaskadnom regulacijom

Konceptualno, kaskadnu regulaciju moţemo zamisliti na sledeći način. Regulator u

spoljašnjoj petlji, na osnovu signala greške formira referentnu vrednost za unutrašnju

upravljačku petlju. U našem slučaju, to je referentna brzina )(tref . Regulator unutrašnje

petlje, sada na osnovu novog signala greške, razlike referentne i ostvarene brzine, formira


upravljački napon koji se dovodi na motor.

U upravljačkoj strukturi uočavamo još i dva nelinearna elementa tipa zasićenja. Unutrašnji,

koji deluje na signal napona, prirodno ograničava napon na motoru, jer on ne moţe biti veći

od napona napajanja sistema. Spoljašnji, koji ograničava vrednost referentne brzine, moţe

biti i prirodno prisutan, a referentna brzina moţe biti i veštački ograničena na vrednosti

manje od maksimalne. U svakom slučaju, postojanje ovih blokova zasićenja ne sme se

ispustiti iz vida, jer kad god neka od veličina dostigne zasićenje, model prestaje da bude

linearan, i uslovi analize više ne vaţe.

Konačno, signali povratne sprege po brzini i poziciji ne vraćaju se direktno na ulaze

diskriminatora grešake kao što je to do sada bio slučaj u upravljačkim šemama, već su

pomnoţeni odgovarajućim konstantama. Ove konstante imaju za cilj da modeliraju

ponašanje senzora. Za merenje pozicije moţe se iskoristiti potenciometar, za dobijanje

analognih vrednosti, ili inkrementalni enkoder, za dobijanje digitalnih vrednosti. U svakom

slučaju, psk predstavlja konstantu proporcionalnosti pozicionog senzora. Za merenje

brzine moţe se iskoristi tahogenerator (analogni), ili obraĎeni signal sa inkrementalnog

enkodera (digitalni). U svakom slučaju, konstanta tgk predstavlja faktor proporcionalnosti

senzora brzine.

Kod kaskadne regulacije, teţi se da unutrašnje petlje imaju najbrţu i najkvalitetniju

regulaciju, a kako se ide ka spoljašnjim petljama, brzina regulacije opada. To se ostvaruje

delimično tako što se struktura unutrašnjih regulatora bira tako da u funkciji prenosa dolazi

do skraćivanja velikih vremenskih konstanti. Zbog toga je opšte prihvaćeno da brzinski

regulator bude PI tipa, a pozicioni regulator P tipa:

s

sTKsW V

Vrb

1)( , (8.129)

Prp KsW )(, (8.130)

gde je PI regulator dat u formi sa vremenskom konstantom, umesto inegralnog pojačanja.

Funkcija prenosa objekta upravljanja, odnosno motora jednosmerne struje od ulaznog

napona do pozicije kao izlaza, moţe se dobiti u obliku sličnom (8.98),

)1( m

mo

sTs

kW

, (8.131)

dok je funkcija prenosa motora od napona kao ulaza do brzine vratila motora data sa

m

mvo

sT

ksW

1)( , (8.132)

gde je

em

mK

k1

, (8.133)

konstanta pojačanja motora, a

meem

mKK

JRT , (8.134)


vremenska konstanta motora.

Razmotrimo najpre unutrašnju regulacionu konturu. Funkcija spregnutog prenosa ove

konture dobija se u obliku

)1(

)1(1

)1(

)1(

1

m

vmVtg

m

vmV

vorbtg

vorbv

s

sTs

sTKKk

sTs

sTKK

WWk

WWW

. (8.135)

Prethodni izraz moţemo značajno uprostiti ako se izaberemo

mV TT , (8.136)

čime se u izrazu skraćuje vremenska konstantna motora, tako da se dobija

mVtg

mVvs

KKks

KKsW

)( . (8.137)

Vidimo da je dobijena funkcija spregnutog prenosa unutrašnje konture prvog reda. Ona,

zajedno sa preostalim integratorom čini sada objekat upravljanja za nadreĎenu upravljačku

konturu. Funkcija spregnutog prenosa spoljašnje konture sada se moţe dobiti u obliku

)(1

)(

1)()(1

1)()(

)(

mVtg

mVPps

mVtg

mVP

vsrpps

vsrp

s

KKkss

KKKk

KKkss

KKK

ssWsWk

ssWsW

sW

. (8.138)

Nakon eliminisanja dvostrukih razlomaka dobija se izraz

mVPpsmVtg

mVPs

KKKkKKsks

KKKsW

2)( , (8.139)

koji predstavlja sistem drugog reda bez konačnih nula. Preostale parametre regulatora sada

moţemo odrediti poreĎenjem imenioca funkcije spregnutog prenosa sa ţeljenom

karakterističnom jednačinom

02 22 nnss , (8.140)

odakle se direktno dobija

mtg

nV

KkK

2 , (8.141)

odnosno,

ps

tgnP

k

kK

2. (8.142)

Analizirajmo sada signal greške po glavnoj povratnoj sprezi u funkciji referentnog ulaza i

poremećaja. Kao i ranije, signal greške moţemo predstaviti zbirom dve komponente

)()()( sEsEsE DR , (8.143)


gde se uticaj referentnog signala, nakon niza manipulacija izrazima, moţe dobiti u obliku

)()(

)(2

sRKKKkKKsks

KKksssE

mVPpsmVtg

mVtgR

, (8.144)

dok je uticaj poremećaja na signal greške dat izrazom

)(1

)(2

sDK

R

sTKKKkKKsks

KsKsE

memmVPpsmVtg

mpsD

. (8.145)

Vidimo da obe komponente greške sadrţe faktor s u brojiocu, pa posmatrana kaskadna

struktura regulacije bez greške u ustaljenom stanju prati konstante referentne ulaze, a

takoĎe otklanja i dejstvo konstantih poremećaja.

Prilikom izbora para dominantnih polova, i kod kaskadne regulacione strukture vodimo se

kriterijumima koji su već objašnjeni, a takoĎe vaţe i sve napomene u vezi integratora i

blokova zasićenja.

Izloţene metode projektovanja regulatora za nezavisno upravljanje zgloba manipulatora,

daleko su od toga da budu sveobuhvatne. Moguće su naravno i razne druge tehnike

upravljanja, koje svakako izlaze izvan okvira ove knjige.

Podsetimo se još jednom, da tehnika nezavisnog upravljanja zgloba deli model robota na

linearni raspregnuti deo sa jedne, i spregnuti nelinearni deo s druge strane. Regulatori su

projektovani samo na osnovu linearnog raspregnutog modela, uz pretpostavku da će dobro

projektovani regulatori eliminisati dejstvo poremećaja. Kada robot poseduje reduktore sa

značajnim prenosnim odnosom u zglobovima, onda je to najčešće slučaj. MeĎutim, ako su

prenosni odnosi reduktora mali, ili motori direktno pokreću zglobove, dejstvo poremećaja

moţe doprineti pojavi značajnih grešaka, i tokom prelaznog perioda, i u stacionarnom

stanju, bez obzira na kvalitet projektovanih regulatora.

S obzirom na to da mi donekle poznajemo model, odnosno strukturu poremećaja, moţemo

pokušati da te informacije iskoristimo tako da kompenzujemo, u potpunosti ili bar

delimično poremećaje, a ne da otklanjamo posledice njihovog dejstva. To nas dovodi do

centralizovanog upravljanja zglobova, što je tema narednog odeljka.

8.3.2 CENTRALIZOVANO UPRAVLJANJE KRETANJA ZGLOBOVA

Pokušajmo sada da iskoristimo poznavanje modela dinamike robota, u cilju poboljšanja

karakteristika upravljačkog sistema. Kada bi model dinamike u potpunosti, i sa

besprekornom tačnošću obuhvatao sve apekte ponašanja realnog sistema, mogao bi da se

konstruiše regulator koji bi delovao kao sistem sa slike 25. S obzirom na to da ni jedan

model nije idealan opis realnog sistema, to se naravno ne moţe ostvariti. MeĎutim, to ne

mora da nas spreči, da bar delimično iskoristimo poznavanje modela objekta upravljanja.

Razmotrićemo dva načina da se znanje o modelu iskoristi za centralizovano upravljanje

kretanja zglobova: upravljanje sa nominalom i linearizaciju putem povratne sprege. Iako

dovode do sličnih jednačina, konceptualno, i po načinu implementacije ova dva metoda su

dosta različita, na šta ćemo obratiti posebnu paţnju u izlaganju.


a) Upravljanje sa nominalom

Pokušajmo najpre da znanje o modelu dinamike iskoristimo putem prenosne kompenzacije,

odnosno nominalnog upravljanja, konceptualno prikazanog na slici 8.17.

Slika 8.17. Koncept upravljanja robota sa prenosnom kompenzacijom

Blok sa slike 8.17, označen kao nominalno upravljanje, na osnovu poznatog modela

dinamike, i zadatog referentnog kretanja robota )(trefq , izračunava nominalno upravljanje

)(tn . U odsustvu grešaka modeliranja, i spoljašnjih poremećaja, ovo upravljanje proizvelo

bi kretanje robota )(tq koje je dnako zahtevanom. U realnosti, postojaće odstupanje

izmeĎu traţenog i ostvarenog kretanja, odnosno pojaviće se signal greške ).(te Na osnovu

signala greške, upravljački ureĎaj formira dodatno, greškom voĎeno upravljanje )(te koje

deluje tako da teţi da grešku svede na nulu.

Primetimo da nominalno upravljanje, ako je dobro odreĎeno, treba da čini dominantan deo

ukupnog upravljačkog signala )(t . Drugim rečima, nominalno upravljanje treba da

dovede sistem u okolinu zahtevane trajektorije, a male greške u okolini kompenzovaće

regulator u zatvorenoj povratnoj sprezi.

Sa teorijskog stanovišta, nominalno upravljanje trebalo bi da poboljša rezultate rada sistema

u pogledu tačnosti, jer je većina nelinearnih efekata, koje smo kod nezavisnog upravljanja

zglobova zanemarivali, sada uračunata kroz nominal. Ne treba zaboraviti da je pri tome,

potrebno poznavanje modela dinamike celog robota, pa nominalno upravljanje ne moţe da

se izračunava decentralizovano, odnosno, nezavisno za svaki zglob robota.

Razmotrimo sada malo detaljnije matematički aspekt upravljanja sa nominalom.

Pretpostavićemo da je model robota opisan jednačinom (8.73), koja je ovde ponovo data,

),()( qqnqqM , (8.146)

u kojoj je )(qM matrica inercije, a vektor ),( qqn obuhvata centripetalne/centrifugalne i

Koriolisove sile, viskozno trenje i gravitacione sile. Primetimo da ovaj model moţe

predstavljati i kompletan model dinamike, odnosno u sebi sadrţati i modele aktuatora i

transmisija.

Nominalno upravljanje, prema slici 8.17, izračunava se na osnovu referentnog kretanja

zglobova kao

),(ˆ)(ˆ)( refrefrefrefn t qqnqqM

, (8.147)

gde smo sa M̂ i n̂ označili činjenicu da nam je model samo donekle poznat, i po strukturi


i po pravoj vrednosti parametara.

S obzirom na to da je

)()()( ttt en , (8.148)

smenom izraza (74) i (74) u (74) dobija se

erefrefrefref ),(ˆ),()(ˆ)( qqnqqnqqMqqM , (8.149)

koja zajedno sa jednačinom dinamike regulatora predstavlja model ponašanja sistema.

Pretpostavimo zato, da je regulator u zatvorenoj povratnoj sprezi PD tipa, odnosno da vaţi

)()()( ttt DPe eKeK , (8.150)

gde je PK dijagonalna matrica proporcionalnih pojačanja, a DK takoĎe dijagonalna

matrica diferencijalnih pojačanja.

Dakle, jednačina (8.149) zajedno sa jednačinom (8.150) predstavljaju model ponašanja

sistema sa nominalnim upravljanjem. Iz jednačine (8.147) i jednačine (8.149) mogu se

izvući zaključci o osobinama ovog modela.

Analizirajmo najpre jednačinu nominalnog upravljanja (8.147). Vidimo najpre, da je za

izračunavanje nominala, potrebno poznavanje ne samo referente pozicije, već i referentnih

brzina i ubrzanja. Ovo nije naročiti problem, pogotovu ako je referentna trajektorija poznata

unapred, odnosno dobijena na osnovu planiranja kretanja. Ako se trajektorija generiše u

realnom vremenu (on-line), potrebno je na neki način estimirati brzine i ubrzanja. Dalje,

zaključujemo da se nominal izračunava samo na osnovu referentne trajektorije i poznatog

modela. Drugim rečima, ako je trajektorija unapred poznata, moguće je i nominalno

upravljanje izračunati unapred, pre izvršavanja trajektorije. Zbog toga se u literaturi ovakvo

upravljanje naziva i "computed torque control". Mogućnost da se nominal izračuna unapred

nekada je bila naročito vaţna, s obzirom na to da je za izračunavanje modela moglo biti

potrebno veoma dugo vreme. Sa razvojem procesorske snage, problem dugog

izračunavanja nominala je izgubio na značaju.

Najveće mane ovakvog pristupa upravljanju mogu se sagledati analizom jednačine (8.149).

Vidimo da se u izrazu sa leve strane pojavlju razlika izmeĎu stvarne matrica inercije M i

modela M̂ , kao i izmeĎu stvarnog vektora dinamike n i modela. n̂ . Kada bi model bio

potpun i apsolutno tačan, matrica inercije mogla bi da se izvuče kao zajednički faktor ispred

razlike referentnog i ostvarenog ubrzanja, a komponente vektora dinamike bi se u dobroj

meri poništile. Pojednostavljeno govoreći, zbog nepoznavanja tačnog modela, mi imamo

pogrešnu računicu. MeĎutim, čak i kada bi model bio prefektan, nominal se izračunava za

referentne vrednosti trajektorije, a dinamika barata sa ostvarenim poloţajem, koji se moţe

razlikovati od referentnog. To bi praktično značilo, da vršimo tačnu računicu, ali sa

netačnim podacima. U svakom slučaju, jednačina (8.149) predstavlja izuzetno sloţenu

dinamičku jednačinu.

MeĎutim, u velikom broju praktičnih slučajeva pokazuje se ono što zdrava logika sugeriše,

a to je da dodavanje nominalnog upravljanja, pa makar ono i ne bilo sasvim tačno

izračunato, moţe dovesti do rezultata zadovoljavajućeg kvaliteta.

Napomenimo još da kod formiranja nominala, jednačina (8.147), moţemo i namerno učiniti

pojednostavljenje modela dinamike. Na primer, za robote koji se kreću umerenim brzinama

i ubrzanjima, dovoljno je formirati nominale samo na bazi gravitacionog opterećenja.


Uopšte govoreći, poznavajući model dinamike robota, i ţeljeni način rada robota, mogu se

u modelu (8.147 ) identifikovati dominantne pojave, i nominal formirati samo na osnovu

njih. Na taj način, smanjuje se kompleksnost modela, a samim tim i vreme potrebno za

izračunavanje nominala.

b) Linearizacija putem povratne sprege

Već smo istakli da je osnovni nedostatak upravljanja sa prenosnom kompenzacijim taj što

se nominalno upravljanje izračunava na osnovu referentne, a ne aktuelne trajektorije. Način

da se ovaj problem prevaziĎe, nalazimo u teoriji upravljanja nelinearnih sistema, konkretno,

radi se o metodi linearizacije putem povratne sprege (feedback linearization).

Razmotrimo sada problem upravljanja kretanja zglobova robota. Model dinamike dat je i

dalje jednačinom (8.146)

),()( qqnqqM , (8.151)

u kojoj su sve veličine već poznate. Pretpostavimo sada da se upravljanje formira po

zakonu

),()( qquq , (8.152)

gde su )(q i ),( qq neke, za sada nepoznate funkcije trenutnog stanja robota, a u je

nova upravljačka veličina.

Ideja uvoĎenja upravljačkog zakona oblika (8.152), jeste da se izvrši rasprezanje i

linearizacija sistema, tako da on bude linearan i raspregnut po novom upravljanju u .

Smenom izraza (8.152) u (8.151) dobija se

),()(),()( qquqqqnqqM . (8.153)

Očigledno, izborom

),(),( qqnqq , (8.154)

doći će do skraćivanja drugog sabirka sa obe strane jednačine (8.153), pa ona postaje

uqqqM )()( . (8.155)

Ako se sada usvoji

)()( qMq , (8.156)

onda, s obzirom na to da je matrica inercije uvek regularna, nakon mnoţenja cele jednačine

sa )(1qM

model sistema postaje

)(tuq . (8.157)

Dobijeni model predstavlja model linearnog sistema po novom upravljačkom signalu u ,

koji je prikazan na slici 8.18. Model je drugog reda, i sastoji se od dve grupe kaskadno

vezanih integratora. Vidimo da smo uvoĎenjem upravljanja oblika (8.152), uspeli da model

nelinearnog spregnutg sistema svedemo na linearni raspregnuti sistem po novom signalu

upravljanja.


Slika 8.18. Ekvivalentan linearizovan i raspregnut sistem

Primetimo da u izrazu za upravljanje učestvuju koeficijenti i funkcije koje zavise od

trenutnog stanja robota. Drugim rečima, da bi se formiralo upravljanje oblika (8.152), mora

se pratiti i meriti stanje robota, a zatim ta informacija iskoristit za formiranje upravljanja.

To zapravo predstavlja vrstu povratne sprege, koja omogućava linearizaciju i rasprezanje

modela dinamike. Konceptualno, linearizacija primenom povratne sprege prikazana je na

slici 8.19.

Na slici uočavamo da se povratna sprega zatvara kroz nelinearne blokove, označene se M̂ i

n̂ , a za posledicu ima linearizaciju celog sistema. Primetimo da elementi u povratnoj

sprezi imaju oznaku "^", jer predstavljaju naše ograničeno znanje pravih vrednosti

parametara i strukture modela dinamike.

Slika 8.19. Linearizacija modela dinamike robota uvoĎenjem povratne sprege

Razmotrimo sada ponovo zakon upravljanja (8.152). Prema oznakama sa slike 8.19, zakon

postaje

),(ˆ)(ˆ qqnuqM . (8.158)

Vidimo da je zakon upravljanja (8.158) vrlo sličan zakonu nominalnog upravljanja (8.147),

ako novi upravljačli signal u izjednačimo sa referentnim ubrzanjem. Osnovna razlika je u

tome što se koeficijenti matrica u izrazu (8.158) izračunavaju u odnosu na trenutno stanje

robota, dok se nominalno upravljanje računa u odnosu na referentnu trajektoriju. To je bitna

razlika: dok se nominalno upravljanje moţe izračunati unapred, off-line, zakon upravljanja

(8.158) mora se računati on-line, unutar petlje povratne sprege. To još jednom naglašava

potrebu za efikasnim, odnosno brzim algoritmima za izračunavanje modela dinamike.

TakoĎe, moţemo primetiti da izraz (8.158) na neki način predstavlja izračunavanje

inveznog modela dinamike, pa se ovakav način upravljanja ponekad naziva i upravljanje

inverznim dinamičkim modelom.

S obzirom na to da je, nakon uvoĎenja povratne sprege oblika (8.158), model sistema dat

jednačinom (8.157), linearan i raspregnut, novi upravljački signal moţemo formirati na bazi

poznatih upravljačkih strategija za linearne sisteme, na primer pomuću PD regulatora. S

obziroma na to da signal upravljanja u u (8.158) treba da sadrţi informaciju o ubrzanju na

duţ trajektorije, formirajmo linearni upravljački zakon na sledeći način

)()()()( tttt PDref eKeKqu

, (8.159)


gde su DK i PK dijagonalne matrice diferencijalnog i proporcionalnog pojačanja, a sa

)(te smo označili grešku praćenja trajektorije

)()()( ttt ref qqe

, (8.160)

dok je )(te izvod greške po vremenu. Smenom izraza (8.159) u modeli linearnog sistema

(8.157) dobijamo

0)()()( ttt PD eKeKe , (8.161)

diferencijalnu jednačinu ponašanja greške sistema, pa izborom koeficijenata pojačanja u

matricama DK i PK biramo karakter i brzinu prelaznih procesa.

Zakoni upravljanja (8.159) i (8.158) mogu se predstaviti kao na slici 8.20.

Slika 8.20. Koncept upravljanja sa inverznim dinamičkim modelom

Na slici moţemo uočiti unutrašnju povratnu spregu, koja polazni nelinearni spregnuti

sistem transformiše u raspregnuti linearni sistem, i oko nje zatvorenu spoljašju povratnu

spregu, koja ima za cilj generisanje odgovarajućeg upravljanja za ovako linearizovani

sistem.

Primetimo još da je diferencijalna jednačina koja opisuje ponašanje greške (8.161) dobijena

pod pretpostavkom potpunog poklapanja modela korišćenog za generisanje upravljanja

(8.158) i modela sistema (8.151). U realnosti, model sistema je poznat samo sa

ograničenom tačnošću. Moţe se pokazati da je greška praćenja trajektorije tada odreĎena

izrazom

)(ˆ 1nqMMeKeKe

PD , (8.162)

gde su sa M i n označene razlike izmeĎu stvarne dinamike sistema i modela. Kao i u

slučaju nominalnog upravljanja, jednačina (8.162) pokazuje sloţenu zavisnost signala

greške u funkciji neodreĎenosti modela. Ipak, u mnogim slučajevima PD upravljanje moţe

dati dovoljno dobre rezultate.

Ako poznavanje modela ipak nije dovoljno dobro, tako da PD regulatori ne zadovoljavaju

u pogledu zahtevanih performansi sistema, potrebno je primeniti bolje regulatore, ili se

osloniti na neku od tehnika robusnog upravljanja, kod kojih je osnovni cilj obezbediti

kvalitetno upravljanje, uprkos nepoznavanju tačnog modela, ili značajnim varijacijama

parametara modela tokom rada. Metode robusnog upravljanja izlaze van okvira ove knjige,

a zainteresovani čitaoci upućuju se na literaturu za dalje samostalno proučavanje.


8.4 UPRAVLJANJE U SPOLJAŠNJIM KOORDINATAMA

Sve upravljačke strategije, koje smo do sada razmatrali, pretpostavljale su da je referentna

trajektorija koju treba ostvariti zadata u unutrašnjim koordinatama. Šta više, mnoge

upravljačke strategije, pored referentnih pozicija, zahtevaju i referentne brzine i ubrzanja.

Sa druge strane, imamo na umu da se zadavanje zadatka robotu obično vrši u spoljašnjim

koordinatama, jer je od interesa kretanje njegovog vrha. Prema tome, pre rešavanja

problema upravljanja, potrebno je rešiti inverznu kinematiku, da bi se odredile referentne

vrednosti pozicija, brzina i ubrzanja zglobova robota.

Kao što je u uvodu ovog poglavlja rečeno, mogu se osmisliti upravljačke strategije u kojima

se povratna sprega zatvara direktno po spoljašnjim koordinatama, odnosno poziciji i

orijentaciji vrha robota. Ovakav pristup konceptualno je bio prikazan na slici 8.12. Kao što

je već rečeno, kod većine savremenih industrijskih robota, poloţaj vrha se ne meri direktno,

već posredno, preko izmerenih pozicija zglobova, a zatim izračunate direktne kinematike

robota. To bi značilo, da u praktičnoj realizaciji upravljačke strukture, na izlazu iz sistema

upravljanja se pojavljuju pozicije zglobova, a u povratnoj grani se izračunava funkcija

direktne kinematike.

Razmotrimo sada funkciju upravljačkog ureĎaja sa slike 8.12. Signal greške formira se na

osnovu razlike ţeljenog i ostvarenog poloţaja vrha robota, dakle u spoljašnjim

koordinatama. Zadatak upravljačkog ureĎaja je sada da ovaj signal greške transformiše u

upravljačke momente, koji će delovati tako da teţe da ponište greške u sistemu. Dakle,

greške iz domena spoljašnjih koordinata, treba transformisati u momente u domenu

unutrašnjih koordinata.

Ovo se inutitivno moţe izvesti na dva načina. Prema prvom pristupu, najpre se greška iz

domena spoljašnjih koordinata prevede u domen unutrašnjih koordinata, a zatim se tako

dobijene veličine transformišu u momente. Prema drugom pristupu, najpre na osnovu

grešaka u spoljašnjim koordinatama izračunaju sile koje su potrebne da bi se greške

anulirale, a zatim se ove sile transformišu u momente u domenu unutrašnjih koordinata.

Slika 8.21. Koncept upravljanja u spoljašnjim koordinatama primenom inverzije jakobijana

Prvi pristup konceptualno je predstavljen šemom sa slike 8.21. Signal greške u spoljašnjim

koodrinatama označen je sa r . Pod pretpostavkom da je upravljanje relativno kvalitetno,

greška ne bi trebala da bude velika. Drugim rečima, pretpostavićemo da moţemo iskoristiti

vezu iz diferencijalne kinematike

qqJr )( , (8.163)

odnosno, pod pretpostavkom da robot nije redundantan, i da jakobijan nije singularan,

rqJq )(1 , (8.164)

gde smo infinitezimalne priraštaje pozicija u unutrašnjim i spoljašnjim koordinatama


zamenili konačnim, ali nadamo se malim, greškama.

Ovako dobijene greške u unutrašnjim koordinatama mnoţimo odgovarajućim pojačanjima

da bi formirali upravljačke momente, koji će delovati u zglobovima robota, i tako

eliminisati greške pozicioniranja vrha robota.

Odmah se uočava da je regularnost jakobijana neophodan uslov da bi upravljačka šema sa

inverzijom jakobijana mogla biti primenjena. Podsetimo se da jakobijan nije regularna

matrica u singularnim tačkama, a da problemi mogu nastati i u okolini singulariteta, gde će

se generisati prevelike greške u unutrašnjim koordinatama, odnosno momenti u zglobovima

koji nisu fizički ostvarivi. To sve moţe dovesti do problema sa stabilnošću upravljačkog

sistema. Drugi potencijalni problem, je potreba za stalnim izračunavanjem jakobijana

unutar upravljačke petlje, na osnovu ostvarene pozicije. Ne samo što odreĎivanje jakobijana

moţe biti računski intenzivan postupak, nego se još zahteva i njegova inverzija unutar

upravljačke petlje, što moţe predstavljati ozbiljan zadatak za upravljački hardver.

Slika 8.22. Koncept upravljanja u spoljašnjim koordinatama primenom transpozicije jakobijana

Drugi pristup prikazan je, takoĎe konceptualno, na slici 8.22. Signal greške u spoljašnjim

koordinatama mnoţi se odgovarajućim pojačanjima, da bi se odredile sile u prostoru koje

treba da deluju na vrh robota, tako da se greške smanje. Primenom poznate relacije iz

statike manipulatora

FqJ )(T , (8.165)

sile iz prostora spoljašnjih koordinata prevode se u momente u zglobovima robota, i dovode

kao upravljački signal na ulaz manipulatora.

I ovde je potrebno izračunavati jakobijan u realnom vremenu, ali sada se računa njegova

transpozicija, što je neuporedivo lakše od inverzije. TakoĎe, sa ovakvim pristupom donekle

su eliminisani problemi singularnosti.

Primetimo na ovom mestu da su obe upravljačke šeme izvedene intuicijom, i njihov rad

moţe se objasniti pod pretpostavkom da su greške male, uz izvesna dalja uprošćenja. To

znači da praktično nema garancija da bi ovakve upravljačke šeme u praksi dale

zadovoljavajuće rezultate u pogledu grešaka u praćenju trajektorije, ili stabilnosti

algoritama.

Sa ovim napomenama zaključujemo izlaganje o problemima upravljanja slobodnog kretanja

robota.

8.5 LITERATURA

[9] Milosavljević Č.: Osnovi Automatike, I deo, Linearni vremenski kontinulani sistemi upravljanja,

Elektronski fakultet, Niš, 2001.


[10] Milosavljević Č.: Osnovi Automatike, III deo, Komponente sistema automatskog upravljanja,

Elektronski fakultet, Niš, 2002.

[11] Stojić M.: Kontinulani sistemi automatskog upravljanja, Nauka, Beograd, 1993.

[12] Stojić M.: Digitalni sistemi upravljanja, Nauka, Beograd, 1990.

[13] Vučković V.: Električni pogoni, Elektrotehnički fakultetNauka, Beograd, 1993.

[14] Dorf. R and Bishop R.: Modern Control Systems, Addison-Wesley, 1995.

[15] Sciavicco L. and Siciliano B.: Modeling and Control of Robot Manipulators, The McGraw-Hill Company, 1996.

[16] Craig J.: Introduction to Robotics: Mechanics & Control, Addison-Wesley, 1986.

[17] Arimoto S.: Control theory of Non-Linear Mechanical Systems: A Passivity-Based and Circuit-

Theoretic Approach, Oxford University Press, 1996.

[18] Asada H. and Slotine J.J.: Robot Analysis and Control, John Wiley and sons, 1985.

[19] An C., Atkenson C, and Hollerbach J.: Model-Based Control of a Robot Manipulator, The MIT Press, 1998.

[20] Robotics and Automation Handbook, edited by Kurfess T., CRC Press, 2005.

[21] The Mechanical Systems Design Handbook, edited by Nwokah O., and Hurmuzlu Y., CRC Press, 2002.

[22] Fu K., Gonzales R., and Lee C.: Robotics: Control, Sensing, Vision and Intellignece, McGraw-Hill Book Company, 1987.

224

9 PROGRAMIRANJE INDUSTRIJSKIH ROBOTA

9.1 UVOD

Posebno vaţan zadatak u okviru primene robota u praksi predstavlja njegovo

programiranje. Programiranjem se nedvosmisleno odreĎuje ponašanje robota u svim

situacijama tokom realizacije zadatka tako da zadatak bude što uspešnije realizovan.

MeĎutim, pošto robot deluje u “stvarnom svetu” i tokom realizacije zadatka mogu nastupiti

i nepredviĎeni ili neočekivani dogaĎaji. Programom treba da se specificira ponašanje robota

i u takvim situacijama.

U ovom poglavlju će biti razmotrena problematika programiranja robota sa aspekta glavnih

zadataka koji programiranjem treba da budu rešeni. Pored toga će biti reči i o očekivanim

pravcima razvoja ove oblasti.

9.2 PROGRAMIRANJE I VRSTE PROGRAMSKIH JEZIKA

Programiranjem se moraju specificirati sve akcije koje robot rokom realizacije zadatka

treba da izvrši kao i da se odredi njegovo ponašanje u nepredviĎenim situacijama.

Jedna od osnovnih podela načina programiranja robota je prema tome da li je za

programiranje potreban programski jezik ili nije. Najjednostavniji način programiranja

robota je “obučavanje pokazivanjem” tj. njegovim provoĎenjem putanjom koju treba da

ostvari, njenim pamćenjem i naknadnom reprodukcijom. Najčešća primena ove vrste

programiranja (mada polako izlazi iz upotrebe) je kod robota koji treba da ostvare putanje

koje nije lako matematički opisati u svim detaljima, kao što je npr. bojenje prskanjem.

Umesto na pravom robotu, “pokazivanje” trajektorija koje treba ostvariti se moţe

realizovati pomoćnim ureĎajem koji geometrijski odgovara robotu, ali u zglobovima nema

motore već samo senzore za detekciju vrednosti uglova. Pokretanje ovakvog mehanizma i

njegovo proveĎenje ţeljenom trajektorijom je značajno lakše nego kada bi se koristio pravi

robot.

Drugi, suštinski drugačiji, način programiranja robota je korišćenjem jezika za

programiranje. Obzirom da je broj zadataka koji se programiraju na ovaj način znatno veći

od broja zadataka kod kojih je robot moguće programirati obučavanjem, nadalje ćemo

razmatrati samo problematiku programiranja upotrebom programskog jezika.

Dva su osnovna načina kako se programski jezik moţe formirati. Prvi je da se iskoristi

potencijal koji pruţaju neki od već postojećih viših programskih jezika za programiranje

računara kao što su FORTRAN, PASCAL ili C, s tim što je potrebno da se dodaju

neophodne rutine za pogon robota.

Drugi način je da se napravi poseban jezik za programiranje robota koji bolje odgovara

problematici manipulacije objektima. Mnogi proizvoĎači robota su i realizovali programske

Programiranje Industrijska robotika

225

jezike za programiranje “svojih” robota tako da danas postoji veliki broj “fabričkih”

programskih jezika koji zahtevaju odreĎeni hardver i vaţe samo za odreĎenu “vrstu” robota

koje dotična fabrika proizvodi. Stoga korisnici robota uvek treba da imaju na umu da, u

praksi, promena proizvoĎača od kojeg se robot nabavlja znači i promenu jezika za

programiranje. Pored ostalih nepogodnosti (obuka za novi programski jezik, …) to znači da

programe koji su bili dotle korišćeni treba ponovo realizovati sa novim programskim

jezikom koji koristi novi robot.

Postoji više načina na koje program moţe da se formira. Jedan način je da programer

specificira i u programu napiše sve akcije koje robot treba da izvrši, čak i one koje ne

moraju neizostavno da budu izvršene svaki put, već samo u slučaju kada se za to steknu

odgovarajući uslovi (ovo se najčešće odnosi na situacije kada nastupi neka greška u

realizaciji zadatka, a potrebno je da se uticaj greške eliminiše i realizacija zadatka nastavi).

Kod robota starijih generacija ta specifikacija je bila tako detaljna da je u programskom

kodu programer trebalo da specificira kretanje svakog pojedinačnog zgloba kao i redosled

njihovog aktiviranja. Zatim su se pojavili programski jezici kod kojih se specificira putanja

robotske hvataljke tokom realizacije zadatka, a kretanje zglobova automatski generiše

programski sistem čime je programiranje, sa aspekta programera, postalo značajno

olakšano ali treba reći da je programiranje i dalje ozbiljan i sloţen zadatak čija realizacija

dugo traje. I dalje, programer treba da definiše sve pokrete veoma precizno, da vodi računa

o odzivu sa senzora i akcijama koje na bazi ovih informacija treba realizovati. MeĎutim,

iako odreĎene sličnosti postoje, treba napomenuti da se programiranje robota ne moţe

poistovetiti sa programiranjem računara. Osnovna razlika je u tome što je tokom

izvršavanja programa robot u kontaktu sa realnim, a ne virtuelnim okruţenjem. Tako, na

primer, odreĎena sekvenca programa (tj. odreĎena robotska akcija) moţe mnogo puta da

bude realizovana besprekorno, da bi u jednom trenutku njena korektna realizacija bila

onemogućena malom razlikom u dimenzijama objekta kojim robot rukuje. Prema tome,

obzirom da akcije robota nisu u potpunosti (idealno) ponovljive, a da nije moguće da se

obezbedi ni potpuno isto početno stanje okoline robota (scene u kojoj robot radi) na

početku svakog ponovnog izvršavanja zadatka, mogu se javiti greške pri realizaciji zadatka.

Stoga je potrebno da se pre industrijske implementacije programa što više ovakvih situacija

otkrije i definiše odgovarajući način reagovanja robota, što se postiţe detaljnim testiranjem

programa. Prema tome, programiranje robota i testiranje razvijenog programa predstavlja

dugotrajan i zamoran proces. Testiranje je oteţano činjenicim da je pri svakom ponavljanju

testirane sekvence neophodno fizički reinicijalizovati scenu.

Imajući na umu veliku šarolikost postojećih jezika za programiranje robota, njihovu podelu

je najpogodnije uraditi, ne na bazi sintakse, već na osnovu nivoa apstrakcije na kojem se

piše kod programa. Stoga robotske jezike moţemo da podelimo na četiri osnovne grupe:

- jezici kojima se programiranje vrši na nivou zglobova zahtevaju da se programira

pokretanje svakog zgloba pojedinačno kako bi se ostvarilo ţeljeno kretanje hvataljke.

Ovo su jezici najniţeg nivoa. Jedino je kod robota pravougle ili Dekartove

konfiguracije ovo prirodan način programiranja. Predstavnici ove vrste jezika su

Olivetti-jeva SIGLA i HELP kompanije DEA.

- jezicima nivoa manipulacije se opisuje poloţaj i orijentacija hvataljke robota tokom

realizacije zadatka, dok kretanja pojedinačnih zglobova koji ovakvo kretanje hvataljke

treba da obezbede sistem odreĎuje automatski. Najpoznatiji jezikci ove klase je su

VAL firme Unimation koji se koristi za programiranje PUMA robota. Najveći broj

savremenih programskih jezika za robote pripada upravo ovoj grupi.

Industrijska robotika Programiranje

226

- kod jezika nivoa objekata se u program direktno unosi informacija o radnoj sceni na

kojoj robot deluje tj. okolini robota. Zadatak se opisuje nizom uzastopnih poloţaja

objekata (umesto poloţaja robotske hvataljke), a program sam generiše sve što je

neophodno da se ovakvo kretanje ostvari. Osnovna prednost ovih jezika nad jezicima

nivoa manipulacije je u tome što je pri rearanţiranju scene za odreĎeni zadatak

(promena poloţaja objekata) potrebno samo promeniti koordinate objekata dok sam

program kojim se realizuje zadatak nije potrebno ponovo pisati. Osim toga, ovi jezici,

u načelu, dozvoljavaju da jedan program bude primenljiv na različite robote bez

izmena osnovnog dela programa. Predstavnici ove grupe jezika su AL (i jezici koji su

se javili kasnije LM i SRL) gde su objekti prikazani sa jednim ili više koordinatnih

sistema, kao i RAPT, AUTOPASS i LAMA gde su korišćeni mnogo sloţeniji

geometrijski modeli. PROFESORE KOLIKO SAM JA RAZUMEO KAD SMO BILI

U BEČU RAPID PROGRAMSKI JEZIK FIRME ABB UPRAVO RADI NA OVOM

PRINCIPU I MISLIM DA TREBA PAŢLJIVO DA POGLEDAMO OVO JER

JEZICI NA NIVOU OBJEKTA NISU VIŠE U RAZVOJU NEGO SU U PRIMENI.

- grupi jezika nivoa zadatka pripadaju sistemi koji bi trebalo da razumeju i izvrše

zadatak opisan u najopštijoj formi (npr. montiraj leţaj u kućište motora), tako što bi

sami planirali potrebne zahvate, njihov redosled, neophodne putanje hvataljke robota

u okviru scene, i generisao odgovarajuće akcije reda izvršenja zadatka. Ne postoji

kompletan sistem koji obezbeĎuje programiranje robota na ovom nivou.

Druga podela programskih jezika je prema tome da li je neophodno da prilikom formiranja

programskog koda programeru bude raspoloţiv “pravi” robot ili ne. Ukoliko se u procesu

programiranja koristi “pravi” robot (npr. da bi se hvataljka robota dovela u ţeljenu poziciju

u okviru “prave” scene i da se odgovarajući uglovi u zglobovima mehanizma zapamte),

takav način se naziva on/line programiranjem. To praktično znači da robot treba da bude

izuzet iz procesa proizvodnje tokom razvoja programa i stavljen na raspolaganje

programeru (programiranje je on/line u odnosu na robot i odatle potiče ovaj naziv ne

razumem ovo u zagradi). U slučajevima kada su roboti delovi sloţenih industrijskih

automatizovanih sistema ovo veoma teško moţe, ili uopšte ne moţe da se obezbedi, pa tada

programiranje mora da se realizuje bez korišćenja robota u toku razvoja programa. Pravi

robot i prave radne predmete je jedino moguće i neophodno koristiti za završna

podešavanja. Ovakav način programiranja bez korišćenja robota u toku razvoja programa se

naziva off/line programiranjem. Pošto se pri formiranju programskog koda, umesto

stvarnog i fizički prisustnog robota, koristi njegov vituelni model nameće se zaključak da bi

bilo korisno da se i realna scena zameni virtuelnom. To ima za posledicu da je pri off/line

programiranju moguće proveriti simulacijom proces robotizacije odreĎenog zadatka pre

nego što su svi elementi koji u njemu učestvuju fizički dostupni. Prema tome, kvalitetan

sistem za off/line programiranje treba da ispuni nekoliko vaţnih uslova: CAD baza

podataka robotskih manipulatora i raznih alata koje robot koristi, CAD baza podataka o

radnim predmetima mora da je dostupna za korišćenje, mora da postoji mogućnost da se

valjanost napisanog programa proveri simulacijom njegovog izvršavanja i da se na osnovu

toga proces poboljša optimizacijom vremena trajanja ciklusa, podešavanjem rasporeda

objekata koji učestvuju u procesu ili izmenom redosleda izvršavanja operacija. Vaţno je da

se uoči da pri off/line programiranju čak nije neophodno da radni predmet stvarno postoji

već je programiranje moguće realizovati koristeći CAD modele. To je veoma pogodno jer

je poboljšanja konstrukcije radnog predmeta moguće predloţiti još u fazi projektovanja,

ukoliko se u toku simulacije ukaţe potreba za izmenama.


227

Naravno, off/line programiranje ima i odreĎene mane. Programi razvijeni na ovaj način su u

većoj meri nepouzdani i podloţni pojavi grešaka. Najveći broj problema se javlja zbog

nemogućnosti pouzdane simulacije senzora. Osim toga, nemoguće je eliminisati odreĎeno

odstupanje modela okoline robota i njegove stvarne okoline. Veoma je vaţno uočiti ta

odstupanja kako bi bilo moguće preduzeti odgovarajuće korektivne akcije bez učešća

čoveka.

9.3 OSNOVNI PROBLEMI PROGRAMIRANJA ROBOTA

Tri su osnovna izvora problema sa kojima se programeri robota danas susreću:

- Sasvim je izvesno da informacija o okolini u kojoj robot radi mora biti uključena u

program, direktno ili indirektno. U mnogim programskin jezicima je informacija o

okolini data posredno kroz vrednosti različitih parametara. Tako je npr. informacija o

veličini predmeta koji robot prenosi sadrţana u vrednosti parametra kojim se definiše

otvor hvataljke, dok eksplicitne informacije o samom objektu nema.

- Drugi problem predstavlja opisivanje trodimenzionalnih pokreta robota (npr. prskalice

sa bojom) i programiranje operacija koje su bazirane na senzorskin informacijama.

Odgovarajuće vrednosti praga osetljivosti senzora, krutosti, … je najčešće jedino

moguće pouzdano odrediti probanjem. Osim toga, većina programskih jezika čak i ne

obezbeĎuje instrukcije za rad sa senzorima.

- Treći problem predstavlja oporavak od grešaka. Obzirom da sistem ima samo

parcijalnu informaciju o okolini, veoma je teško realizovati sistem koji bi bio u stanju

da reaguje na adekvatan način i samostalno se oporavi u slučaju da doĎe do

poremećaja u realizaciji zadatka, makar i kod grešaka koje se najčešće javljaju.

U tekstu koji sledi ćemo se detaljnije pozabaviti ovim problemima.

9.3.1. MODELI OKOLINE

Jezici kod kojih se informacije o objektima koji sačinjavaju okolinu robota ne pojavljuju

nazivaju se eksplicitnim jezicima. Jezici koji sadrţe informacije o okolini se nazivaju

implicitnim jezicima. Ovde ćemo pomenuti i uporediti samo dva načina modeliranja

okoline: pomoću koordinatnih sistema (jezik AL) i definisanjem površina objekata i

njihovih meĎusobnih poloţaja (jezik RAPT).

a) Modeliranje okoline u jeziku AL

AL je kompletan programski jezik koji omogućava upravljanje radom više robota različite

konfiguracije koji istovremeno rade na istom zadatku, i komunikaciju sa različitim

perifernim ureĎajima kao što je npr. sistem za mašinsku viziju.

Scena (raspored i poloţaj objekata na njoj) se opisuju nizom koordinatnih sistema. Na Sl.

9.1.a je dat primer dva objekta koji su definisani koordinatnim sistemima CAP_GRASP, CAP_APP i CAP_FIN. MeĎusobni relativni poloţaj koordinatnih sistema je definisan na Sl.

9.1.b dok je njihov apsolutni poloţaj dat u odnosu na referentni koordinatni sistem koji je

označen sa REFERENCE.


228

Sl. 9.1. Izgled radnog mesta i njegov prikaz nizom koordinatnih sistema

Odgovarajuće instrukcije deklarativnog AL programa su date na Sl. 9.2. dok se u

proceduralnom delu programa umesto kretanja robota opisuje niz kretanja

FRAME REFERENCE;

REFERENCE: -FRAME (NILROTN, VECTOR, (5.38, 34.1,.216)*INCHES);

FRAME CAP_ GRASP;

AFFIH CAP_ GRASP TO REFERENCE AT TRANS

(ROT (YHAT, 180.*DEGREES)* ROT (ZHAT, -179.3*DEGREES),

VECTOR(2.67,9.22,1.08)*INCHES) NONRIGIDLY;

FRAME CAP_ APP;

AFFIH CAP_ GRASP TO REFERENCE AT TRANS

(ROT (YHAT, 180.*DEGREES)* ROT (ZHAT, -180*DEGREES),

VECTOR(10.2,3.71,3.11)*INCHES) NONRIGIDLY;

FRAME CAP_ FIN;

AFFIH CAP_ FIN TO CAP_ APP AT TRANS

(ROT (ZHAT, 45.*DEGREES),3* ZHAT) RIGIDLY;

SCALAR WIDTH;

WIDTH : -2.4;

Sl. 9.2. Opis modela okoline u AL programu

Iako u veoma ograničenom obliku, ovakav opis okoline ima odreĎene prednosti. Pošto se u

programu eksplicitno definišu poloţaji objekata, a ne pozicije hvataljke robota, ovakav

program se moţe koristiti za realizaciju istog zadatka različitim robotima. Osim toga se,

npr. isti montaţni program moţe koristiti ukoliko se i model okoline promeni u smislu da

objekti koji učestvuju u montaţi promene svoje poloţaje u okviru radne scene. U tom

slučaju je potrebno samo preračunati nove poloţaje objekata, dok ostatak programa ostaje

neizmenjen.

b) Modeliranje okoline u jeziku RAPT

Drugi primer modeliranja okoline se moţe naći u jeziku RAPT koji je baziran na sintaksi

jezika APT koji je široko korišćen jezik za programiranje numerički upravljanih mašina. U

jeziku RAPT se objekti opisuju tako što se specificiraju sve relevantne stranice (površine)

objekata (one koje direktno učestvuju u realizaciji zadatka, vidi Sl. 9.3) i njihovi finalni

relativni poloţaji.


229

Sl. 9.3. Objekat sa svojim sastavnim delovima i usvojeni geometrijski entiteti

against/head of pin, top of flange 1

fits/shaft of pin, hole of flange 1

fits/shaft of pin, hole of flange 2

against/bottom of flange 1, top of flange 2

Sl. 9.4. Relacije izmeĎu delova montiranog objekta

Relativni poloţaji površina na različitim objektima koje dolaze u kontakt mogu biti

definisani kao: upravan na (perpendicular to) i paralelan sa (parallel to). Elementarni

geometrijski entiteti koje sistem prepoznaje su: ravan (plane), cilindar (cylinder) i sfera

(sphere).

Pošto su svi pojedinačni objekti opisani na odgovarajući način, programer treba da definiše

njihov meĎusobni poloţaj kada je objekt potpuno montiran. Za to mu na raspolaganju stoje

sledeće relacije: pasuje u (fits), koaksijalan (coaxial), koplanaran (coplanar), ravan

nasuprot ravni (against plane to plane, označeno kao agpp na Sl. 9.3), ravan nasuprot

cilindru (against plane to cylinder), ravan nasuprot sferi (against plane to sphere), sfera

nasuprot sfere (against sphere to sphere). Linearno (linear) znači da jedno telo moţe da se

translatorno pomera u odnosu na drugo u jednom pravcu, rotaciono (rot) označava da jedno

telo moţe da rotira oko jedne ose u odnosu na drugo, fiksirano (fix) označava da dva tela

imaju nepromenljiv relativan poloţaj, linearno-linearno (linlin) znači da je mogućnost

relativnog kretanja dva tela ograničena na ravan bez rotacije. Relativni odnosi pojedinih

sastavnih delova ukupnog proizvoda na primeru šarke su prikazani na Sl. 9.3.a, a relativni

odnosi geometrijskih entiteta i relativna pokretljivost pojedinih sastavnih delova na Sl.

9.3.b.

Treba napomenuti da RAPT omogućava formiranje podsklopova – trajnih ili privremenih

koji u jednom trenutku postoje dok se kasnije moţe deklarisati da ne postoje. Kada su dva

tela povezana u podsklop (moţemo ih povezati i radi realizacije zajedničke akcije) oni

realizuju isti pokret. Primera radi, ukoliko je neki objekat povezan sa hvataljkom robota, on

će se kretati zajedno sa njom prateći njenu promenu poloţaja i orijentacije i zadrţavajući

uvek zadati relativni poloţaj. Osim toga, da bi se zadatak realizovao nije dovoljno samo da

se definiše meĎusobni poloţaj sastavnih delova kada je objekt potpuno montiran, već

programer treba da propiše redosled izvoĎenja pojedinih akcija kojima se stiţe do konačno

montiranog proizvoda.


230

I kod ovog jezika postoji nekoliko otvorenih i nerešenih problema. Pre svega treba

napomenuti da modeli tela nisu ograničeni i nije moguće proveriti da li će tokom

izvršavanja zadatka doći do sudara. Zatim, RAPT ne podrţava rad sa senzorima.

Pretpostavlja se da su sva kretanja ostvarena na nivou nominala i sve odluke se na tome

baziraju. I na kraju, RAPT program moţe biti samo niz bezuslovnih komandi i nisu

dozvoljena uslovna grananja.

c) Budući trendovi u modeliranju okoline

Obzirom da su CAD sistemi našli svoje mesto u savremenom svetu i da će njihova uloga

sve više rasti, logično se nameće zaključak da bi bilo svrsishodno da se ovi sistemi u što

većoj meri koriste pri programiranju robota. MeĎutim, u ovom trenutku postoje izvesni

problemi koji stoje na tom putu.

Prvi problem koji treba razrešiti je da se obezbedi da se ponašanje objekata u okviru

robotskog sistema simulira, a ne da se objekti samo animiraju. Naravno, ovo se odnosi na

sve elemente sistema scene, kako one koji su aktivni (tj. koji su osnaţeni motorima i na čije

ponašanje moţemo aktivno uticati, kao što su na primer roboti), tako i na one koji nisu.

Primera radi, ako je objekat postavljen na strmu ravan, u slučaju isuviše velikog nagiba

treba da se javi proklizavanje, na isti način na koji bi se to dogodilo u stvarnosti. Problem je

što CAD sistemi “ne znaju” ništa o fizici. Ovakvi sistemi koji se koriste u robotici mogu da

simuliraju robote, ali ne mogu da simuliraju ostatak sistema.

Osim toga, potrebno je da roboti bolje “razumeju” svoju okolinu. Skoro svaki zadatak

zahteva računarsku interpretaciju objekata kojima se manipuliše. Obzirom da robot deluje u

sloţenoj okolini u načelu su modeli objekata nepotpuni i nedovoljno tačni. Stepen

sloţenosti modela zavisi od njegove namene. Potpuni opis objekata (geometrija + fizičke i

mehaničke osobine) je sigurno nepotreban, jer pruţa više informacija nego što nam je

potrebno. Da bi objekat preneli robotom jedino je potrebno da se specificiraju površine gde

treba da se izvrši hvatanje (to su najčešće naspramne i paralelne stranice) i ciljna pozicija.

MeĎutim, u slučaju da se dogodi greška prilikom realizacije zadatka (npr. prilikom

prenošenja objekat je ispao iz hvataljke), ovaj model postaje nedovoljan da bi sistem

samostalno ispravio grešku. Tada postaju vaţne i ostale informacije, kao na primer: o

poloţaju teţišta objekta, alternativnim pozicijama za hvatanje, kvalitetu površina

(koeficijent trenja, osobine refleksije ukoliko se koristi vizija), a ukoliko postoji više

mogućih načina hvatanja objekta potrebno je da se donese odluka o tome na koji način

objekat treba da bude uhvaćen i na koji način da se takav hvat ostvari ukoliko nije moguće

objekat direktno uhvatiti na ţeljeni način (npr. ukoliko se predmet posle ispuštanja iz

hvataljke otkotrljao na mesto na kojem nije direktno dohvatljiv).

9.3.2. OPISIVANJE ZADATAKA

Svaki robotski program predstavlja opis (spisak) akcija koje robot treba da ostvari da bi

izvršio postavljeni zadatak. Prvi način na koji to moţe da bude uraĎeno je da se sve akcije

specificiraju veoma detaljno, sa svim pojedinostima šta robot treba da uradi i gde da bude u

svakom trenutku. Drugi način, koji se još naziva i planiranje zadataka, se sastoji u tome da

se opiše gde se nalaze objekti i kako sa njima treba rukovati. Ovde se ne specificiraju akcije

robota koje treba realizovati.

Mi ćemo se ovde osvrnuti samo na problematiku planiranja zadataka uz napomenu da ovi


231

problemi još uvek nisu rešeni i da su i dalje predmet istraţivanja. Problematiku moţemo da

podelimo na tri glavne grupe:

- kako generisati putanje robota u okviru scene pri realizaciji zadataka, tako da ne doĎe

do sudara sa drugim objektima (planiranje trajektorija),

- kako odrediti pozicije za hvatanje objekta. Ovaj problem se usloţnjava ukoliko se

koristi kompleksna hvataljka (veštačka šaka) kojom je moguće realizovati više

različitih hvatova, pa je najpre potrebno odrediti vrstu hvata, a zatim je potrebno

odrediti i mesto na objektu gde se takav hvat moţe primeniti,

- kako generisati program za fina kretanja za čiju realizaciju je potrebno koristiti

informacije sa senzora.

Kratko ćemo se osvrnuti na svaki od ovih problema.

a) Planiranje trajektorija

Uopšteno govoreći, kod planiranja trajektorija je moguće postaviti jedan od dva sledeća

zadatka: gde objekat A moţe biti postavljen u oblasti R tako da ne doĎe do sudara (kolizije)

sa bilo kojim drugim objektom B koji se nalazi u R, i kako odrediti putanju pomeranja

objekta A kroz oblasr R od jedne do druge pozicije tako da tokom pomeranja ne doĎe do

sudara sa drugim objektima. Scena, za koju će biti izloţen jedan od pristupa planiranja

trajektorije, se smatra statičkom i dvodimenzionalnom, dok se objekti i prepreke

aproksimiraju poligonalnim linijama.

Najćešće se rešavanju ovog problema prilazi tako što se objekat A smanjuje do veličine

tačke, a prepreke se uvećavaju da bi se izvršila kompenzacija originalne veličine objekta.

Zatim se odreĎuje skup svih mogućih pravolinijskih putanja izmeĎu uvećanih objekata, a

kao rešenje se bira najkraća.

Osnovna prednost ovog prilaza se ogleda u olakšanom sračunavanju preseka kontura

objekata i prepreka tj. odreĎivanju situacija kada dolazi do sudara objekta i prepreka.

Mnogo se lakše odredi presek tačke sa objektom nego jedne konture objekta sa drugom.

Osim toga, u slučaju dvodimenzionalnog problema, i ukoliko se razmatra samo translatorno

kretanje objekta, na ovaj način se dolazi do optimalnog rešenja. Mana ovakvog prilaza je to

što veličina objekta A treba da je poznata unapred i ne moţe se menjati. U slučaju različitih

objekata koje treba pomeriti na istu lokaciju u okviru scena, kompletnu proceduru treba

ponoviti za svaki predmet. Druga mana je što ovakav prilaz daje rešenja koja su veoma

blizu preprekama, što svakako nije poţeljno.

Ukoliko je dozvoljeno da predmet tokom kretanja i rotira računarska sloţenost se značajno

uvećava. Slična metodologija se moţe primeniti i u slučaju trodimenzionalnog problema

mada dobijeno rešenje u ovom slučaju ne mora da bude optimalno.

Ovaj problem je rešavan i drugačijim prilazima, kao što je, na primer, eksplicitni opis

slobodnog prostora izmeĎu objekata na sceni. Slobodan prostor U je opisivan nizom

generalisanih cilindara, a putanja je dobijena spajanjem njihovih centara. Iako ovakva

putanja nije optimalna, pruţa dodatnu sigurnost da neće doći do sudara jer se objekat kreće

sredinom slobodnog prostora. Osim toga, ovaj način ima prednost da opis prostora i

generisana putanja nisu zavisni od objekta koji se prenosi i mogu da se koriste za više njih.

Rešavanje zadatka obilaţenja prepreka obavlja se na nivou upravljačkog sistema robota.

TakoĎe se razmatra dvodimenzionalna scena, ali se identifikacija objekata vrši kamerom

koja se nalazi iznad, tako da objekti mogu da budu na nepoznatim lokacijama. Oko svakog

objekta na sceni se definiše potencijalno polje koje deluje na robotsku hvataljku odbojnom


232

silom koja raste sa smanjivanjem rastojanja izmeĎu objekta (prepreke) i hvataljke. Pre

početka kretanja potrebno je zadati početnu P i krajnju K poziciju objekta. Ciljna lokacija

na objekat deluje privlačnom silom. Sistem započinje kretanje od P ka K po pravoj liniji.

Obzirom da se scena snima kamerom, stalno je dostupna informacija o rastojanju hvataljke

i susednih objekata, pa se i odbojna sila moţe sračunati u svakom trenutku. Kretanje

hvataljke je rezultanta delovanja odbojnih sila od objekata pored kojih hvataljka robota

prolazi. Ovaj prilaz daje dobre rezultate čak i u slučaju pokretnih prepreka. Problemi mogu

nastati ukoliko robot zakloni scenu, pošto sistem za viziju stalno mora da ima jasnu

vidljivost kako bi mogao da bude odreĎen meĎusobni poloţaj svih objekata.

Jasno je da je planiranje putanja na sceni, posebno ukoliko objekti (prepreke) nisu statički,

još daleko od industrijski primenljivog rešenja. Čini se da bi najbolje rezulatate dala

kombinacija planiranja trajektorija na visokom hijerarhijskom nivou sa adekvatnim

upravljanjem na niskom hijerarhijskom nivou.

b) Hvatanje

Razvijeni metodi za odreĎivanje mesta za hvatanje objekata se najčešće baziraju samo na

geometrijskim karakteristikama predmeta. Sloţenost algoritma svakako zavisi od sloţenosti

same hvataljke i njenih sposobnosti za realizaciju različitih hvatova, ali se u industrijskoj

robotici najčešće koriste hvataljke jednostavne konstrukcije. Algoritam za nalaţenje

pozicija za hvatanje dvoprstom paralelnom hvataljkom bi mogao da ima sledeću formu:

- Eliminišite iz razmatranja sve površine koje će biti aktivne tokom realizacije zadatka

tj. koje će biti u kontaktu sa drugim objektima,

- Razmotrite simetriju objekta,

- Naći dve pribliţno paralelne površine dovoljne veličine za oslanjanje prstiju, a čije

meĎusobno rastojanje omogućava da objekat bude obuhvaćen prstima i uhvaćen,

- Ako nije moguće pronaći dve površine koje ispunjavaju uslove pod 3. treba da se

pokuša da se pronaĎe jedna površina i jedna ivica,

- Ako nije moguće ispuniti uslov 4. treba ponoviti proceduru i pokušati da se pronaĎu

dve ivice, ili jedna ivica i jedna izvodnica ili dve ili više izvodnica.

Ukoliko postoji više potencijalnih hvatova koji su odreĎeni na osnovu geometrije objekta,

izbor hvata koji će biti primenjen se realizuje na osnovu dodatnih kriterijuma baziranih na

dodatnim informacijama: znanju o zadatku, opštih ograničenja, … Ovakav prilaz je

posebno pogodan ukoliko isti objekat treba hvatati više od jednom. Kada se jednom odrede

svi mogući hvatovi za odreĎenu hvataljku i odreĎeni objekat, novi hvat je moguće odrediti

znatno brţe selekcijom meĎu postojećim hvatovima.

Naravno, problematika hvatanja se znatno usloţnjava ukoliko je predmet sloţenije

geometrije ili isuviše teţak, pa je za njegovu manipulaciju potrebno koristititi kooperativni

rad dva ili više robota, a pogotovo ukoliko se radi o “nestandardnim” objektima kao što su

sunĎerasti ili lako lomljivi objekti, tkanine, …

c) Fina kretanja

Kada objekti kojima robot manipuliše doĎu u kontakt, obzirom da je nemoguće ostvariti

apsolutno tačno meĎusobno pozicioniranje, mogu se pojaviti neočekivano velike kontaktne

sile koje su veoma nepoţeljne, jer mogu da spreče dalju realizaciju zadatka, ili da uzrokuju

lom nekog od objekata u kontaktu. U ovakvim slučajevima postaju veoma vaţna kretanja

objekata u kontaktu kojima se obezbeĎuje da situacija ne krene neţeljenim tokom i da se


233

realizacija zadatka nastavi. Ovakva kretanja se nazivaju finim kretanjima (fine motion), za

razliku od kretanja kojima se ostvaruje prenošenje objekta u radnom prostoru (gross

motion).

Osnova za uspešnu realizaciju ovakvih situaciju je senzorska informacija o silama koje se

javljaju na kontaktu, kao i podatljivo ponašanje samog objekta koji treba lako da se adaptira

na pozicione netačnosti objekata u kontaktu. Veoma je pogodno ukoliko senzor kojim se

mere sile istovremeno predstavlja i elemenat koji obezbeĎuje podatljivo ponašanje objekta.

Tipičan primer zadatka gde su fina ponašanja izuzetno vaţna je ubacivanje cilindričnog

objekta u otvor (peg-in-hole) ukoliko meĎu njima vlada mali zazor. Sasvim je moguće da

su zazori izmeĎu objekta i otvora manji od rezolucije komandovanog kretanja robota. Treba

napomenuti moţda ono što smo čuli sad u ABB-u da industrijski senzori sile ne montiraju u

hvataljci nego izmeĎu hvataljke i poslednjeg stepena slobodi robota do sada nisu ulazili u

standardne primene. A oni koji su sad u upotrebi su skupi.

Treba pomenuti da se rešavanju ovog problema prilazi na nekoliko načina. Jedan je učenje.

Na osnovu pokušaja i ostvarenih rezultata u tim pokušajima sistem uči i poboljšava svoj

stepen uspeha. Posle završenog obučavanja realizovani program se reprodukuje, ali se ne

moţe garantovati potpuni uspeh. Za druge radne predmete obučavanje treba ponoviti.

Drugi način je formiranje algoritma koji će realizovati fina kretanja samo na osnovu

senzorskih informacija. Mana ovog prilaza je da u fazi testiranja programa treba proveriti

što više delikatnih situacija, kao i da treba često vršiti kalibraciju jer se karakteristike

senzora tokom vremena mogu menjati.

9.5 LITERATURA

An C., Atkenson C, and Hollerbach J.: Model-Based Control of a Robot Manipulator, The MIT Press, 1998.

Angeles J.: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Theory, Methods and Algorithms, Springer-Verlag,

2003.

Asada H. and Slotine J.J.: Robot Analysis and Control, John Wiley and sons, 1985.

Ben-Zion Sandler, Robotics- designing the Mechanisms for Automated machinery, Prentice – Hall, Inc., 1991

Bruyninckx H. and De Schutter J.: Introduction to Inteligent Robotics, Katholieke Universteit Leuven, 2001.

Craig J.: Introduction to Robotics: Mechanics & Control, Addison-Wesley, 1986.

Dorf. R and Bishop R.: Modern Control Systems, Addison-Wesley, 1995.

Eugene I. Rivin, Mechanical design of robots, McGraw-Hill, Inc., 1987

Fu K., Gonzales R., and Lee C.: Robotics: Control, Sensing, Vision and Intellignece, McGraw-Hill Book

Company, 1987.

Fu K., Gonzales R., and Lee C.: Robotics: Control, Sensing, Vision and Intellignece, McGraw-Hill Book Company, 1987.

J.M.Selig, Introductory Robotics, Prentice – Hall, Inc., 1992

John Iovine, PIC Robotics, McGraw-Hill Companies, Inc., 2004

John M. Holland, Designing Autonomous Mobile Robots, Elsevier, Inc., 2004

Jorge Angeles, Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Springer-Verlag, New York, Inc., 2003

Lewin A.R.W.Edwards, Open-Source Robotics and Process Control Cookbook, Elsevier, Inc., 2005

Nwokah O., and Hurmuzlu Y., Editors, The Mechanical Systems Design Handbook, CRC Press, 2002.


234

Paul E. Sandin, Robot mechanisms and mechanical devices, McGraw-Hill, Inc., 2003

Rade L., and Westergren B.: Mathematics Handbook for Science and Engineering, Studentlitteratur, Lund,1995.

Sciavicco L. and Siciliano B.: Modeling and Control of Robot Manipulators, The McGraw-Hill Company, 1996.

Thomas R. Kurefess Robotics and Automation Handbook, CRC Press LLC, 2005

Yoram Koren, Robotics for Engineers McGraw-Hill, 1985

Hollerbach, J.M., ’ A Survey of Kinematic Calibration’, The Robotics Review 1, Khatib, Craig, and Lozano-Perez,

eds. MIT Press, pp. 207-242 (1989).

Kirchner, H., Gurumoorihy, B., Prinz, F., ’ A Perturbation Approach to Robotic Calibration’, In. Journal of Robotics Research, Vol. 6, No. 4, pp. 47-59 (1987)

Bernhardt, R., Albright, S.L., eds., Robot Calibration, Chapman and Hall, London, (1992)

Qian, G.Z., Kazerounain, K., ’Statistical Error Analysis and Calibration of Industrial Robots for Precision Manufacturing’. Int. Jo. Adv. Manufacturing Technology, Vol. 11, pp. 300-308 (1996)

Hayati, S., Mirmirani, M., ’Improving the Absolute Positioning Accuracy of Robot Manipulators’, Jo. Robotic Systems, Vol. 2, No. 4, pp. 397-413 (1985)

Zak, G. Fenton, R.G., Benhabib, B. ’A Generalized Calibration Method for Robots in Manufacturing Applications’, IEEE, 1988, pp. 266-272.

Zhuang, H., Roth, Z., Camera-Aided Robot Calibration, CRC Press, 1996.

Keck, B.W., Smith, R.K., Matone, R. ’Calibration and Accuracy for Precision Manufacturing’, Handout for Stanford Robotics Class: ME319, Spring 1995

Fu, K.S. , Gonzalez, R.C., Lee, C.S.G., Robotics: Control, Sensing, Vision and Intelligence, McGraw Hill (1987).

Nakamura, Y. Advanced Robotics - Redundancy and Control, Addison-Wesley (1991).

Whitney, D., Sharma, J.S., ’Comments on: An Exact Kinematic Model of the PUMA 600 Manipulator’, IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, SMC-16, pp. 182-4 (1986)

http://www.amazon.com/exec/obidos/search-handle-url/002-0167158-9144869?%5Fencoding=UTF8&search-type=ss&index=books&field-author=Yoram%20Koren


235

10 NEKE SPECIFIČNOSTI PRIMENE ROBOTA

10.1 NABAVKA ROBOTA

Nabavka robota mora biti zasnovana na detaljnoj analizi radnog procesa, proceni

mogućnosti njegove efikasne robotizacije i, naravno, ekonomskoj opravdanosti.

Posmatrano uopšteno, robotizacija je uspešna ukoliko:

- smanjuje cenu proizvodnje obzirom da je rad robota jeftiniji od ljudskog, i obzirom da

je robot fleksibilniji od namenski projektovane mašine,

- povećava produktivnost smanjenjem vremena potrebnog za obavljanje radnog ciklusa.

Instalacijom robota se moţe uštedeti i do 25% vremena,

- poboljšava kvalitet proizvoda jer je ponovljivost pokreta daleko bolja nego kod

čoveka, pa su i odstupanja manja,

- poboljšava kvalitet ţivota zaposlenih jer je obavljanje opasnih i monotonih poslova

prebačeno na robote. Ne treba izgubiti iz vida da robot da radi neprekidno i po tri

smene tokom radnog dana.

Pri nabavci robota treba voditi računa o dodatnim elementima robotizacije radnog mesta. Ti

troškovi lako mogu dostići cenu samog robota i nikako se ne smeju zanemariti. Navedimo

nekoliko primera. Hvataljka robota se nabavlja odvojeno, nekada i od drugog proizvoĎača.

Zbog bezbednog i pouzdanog rada moraju biti instalisani dodatni senzori, naročito ukoliko

robot dolazi u kontakt sa okolinom. Troškovi intstalacije robota uključuju pripremu poda,

izradu postolja, dovod električne energije i vazduha pod pritiskom. Da bi se postigao visok

stepen struktuiranosti radnog mesta neophodna je njegova posebna priprema (namenski

projektovan radni sto, razni pribori, palete, …). Troškovi odrţavanja se procenjuju na 10%

cene robota, godišnje. I na kraju, potrebna je spoljašnja kalibraciona aparatura rdi

identifikacije stvarnih parametara robota čime su programiranje i upravljanje robotom

olakšani.

Osvrnimo se ukratko na ekonomske razloge i objasnimo samo neke osnovne ideje za

procenu ekonomske isplativosti robotizacije radnog mesta.

Obeleţimo trošak kupovine robota i njegovog upravljačkog ureĎaja sa R, troškove pripreme

radnog okruţenja sa D, troškove nabavke hvataljke sa G, troškove nabavke pribora za

ureĎenje radnog mesta (doturači materijala, palete, …) sa F, troškove nabavke senzora sa S,

godišnje troškove odrţavanja sa M. Godišnje uštede se ostvaruju kroz smanjene izdatke za

plate radnika L, poboljšanom kvalitetu Q, povećanju proizvodnje I. Prema tome, ukupna

kapitalna investicija iznosi:

C = R + G + S + D + F

Dok je ukupna godišnja ušteda

A = L + Q + I

Imajući sve ovo u vidu moţe se analizirati ekonomska opravdanost robotizacije na dva

načina: a) kroz period isplativosti i b) kroz period povraćaja investicije. Analizirajući period

236

isplativosti menadţment ţeli da zna koji period vremena je potreban da se isplati početna

investicija. Period P, u godinama, je ukupna investicija podeljena sa ukupnom neto

ušteĎevinom

C

PA M

OdreĎivanje perioda povratka investicije omogućava upravi da uporedi predviĎeni povraćaj

sa drugim, alternativnim investicijama. Ako se robotizacija mora obaviti kreditiranjem, lako

je uporediti predviĎeni povraćaj sa cenom novca. Uvode se dve nove promenljive: n - broj

godina tokom koga ţelimo da posmatramo investiciju, kao i i - kamatna stopa.

Jednačina koja povezuje n, i, C, A i M mora biti rešena po i

(1 )

(1 ) 1

n

n

i iA M C

i

Istaknimo činjenicu da instalacija prvog robota u fabrici nije uvek zasnovana samo na

ekonomskim razlozima. Često je neophodno uvesti u proizvodni proces robot da bi se

menadţment i radnici privikli na prisustvo ove vrste mašina i uvideli njene performanse.

Ponekad je, zbog izričitih zahteva trţišta za poboljšanjem kvaliteta, u nekim segmentima

proizvodnje neophodna primena robota pa se u cilju očuvanja celog posla uprava odlučuje

da ih nabavi iako ona nije neposredno potaknuta ekonomskim razlozima. Te prve instalacije

često postavljaju osnovu za dalju robotizaciju i potrebno im je posvetiti posebnu paţnju.

Još jednom treba da se napomene da je pri kupovini robota veoma je vaţno da se shvate svi

zahtevi koje robotizacija zadatka nameće. Primera radi, potrebno je sagledati veličinu i

oblik potrebnog radnog prostora kao i sve moguće modifikacije zadatka koje mogu uticati

na radni prostor. Po pravilu, i nosivost i tačnost pozicioniranja drastično opadaju kako se

robot pribliţava granicama fizički dohvatljivog radnog prostora. Tek kada je sve ovo

adekvatno sagledano treba pristupiti izboru robota imajući u vidu da proizvoĎači danas

nude veliki broj varijanti koje su omogućene modularnošću konstrukcije čime se robot

moţe dodatno prilagoditi svim nametnutim ograničenjima, posebno ograničenjima radnog

prostora.

10.1 INSTALACIJA I KORIŠĆENJE ROBOTA

Robot se proizvodi i isporučuje tako da odmah po instalaciji moţe biti operativan. Njegova

konfiguracija, raspored zglobova, dimenzije, poloţaji graničnih prekidača, tip i rezolucija

senzora, priključni alati, kao i sve ostalo što je definisano u procesu naručivanja, već je

identifikovano kod proizvoĎača i smešteno u konfiguracioni fajl u kontroleru. Naravno,

prilikom montaţe i dalje, prilikom korišćenja, taj konfiguracioni fajl moţe biti izmenjen od

strane ovlašćenog korisnika.

Tokom procesa instalacije je neophodno realizovati dodatna podešavanja i prilagoĎavanja

robotskog sistema konkretnim uslovima. Postavljanje robota moţe biti realizovano na

različite načine. Osim na namenski projektovano postolje koje je čvrsto povezano za pod,

robot moţe biti postavljen i na kliznu šinu čime sistem dobija još jedan stepen slobode

kretanja, ili na i na policu ili čak na tavanicu pri čemu se predmetu rada pristupa odozgo.

Postavljanje robota neminovno zahteva obezbeĎenje od sudara sa okolinom. Naime, radni


237

prostor robota ima prepreke (zidovi, pod, plafon, drugi objekti i mašine, …) pa je potrebno

uvesti posebna mehanička ograničenja u zglobove minimalne konfiguracije opseg kretanja

zgloba smanjuje i time sprečava kolizija. I na kraju, posebno je vaţno da se za tako

postavljen robot, na radnom poloţaju, izvrši precizna kalibracija senzora robota,

identifikacija stalno postavljenog alata i slično. Neka od tih pitanja će biti obraĎena u

narednim poglavljima.

10.1.1 POSTAVLJANJE ROBOTA NA KLIZNI MEHANIZAM

U specifičnim slučajevima kao što su procesne operacije koje zahtevaju veliki zahvat (npr.

elektrolučno zavarivanje po pravolinijskoj putanji), opsluţivanje dve ili više mašina u nizu

jednim robotom, realizacija operacija obrade na pokretnim predmetima rada (karoserija na

konvejeru), robot se postavlja na klizni mehanizam – motorizovanu šinu koja pomera robot

sa postoljem na zahtevanu poziciju, kako je prikazano na Sl. 10.1.

Sl. 10.1. Robot postavljen na klizni mehanizam

Karakteristike tipičnog kliznog mehanizma su:

- nosivost: do 2 tone,

- duţina: do 8 m,

- pozicioniranje: ±0.1mm,

- brzina: do 2 m/s,

238

- max. ubrzanje: 1.5 m/s2.

Struktura upravljačkog sistema kliznog mehanizma je identična strukturi upravljačkog

sistema za bilo koji od stepeni slobode, tj. za bilo koji zglob. Kontroler robota omogućava

pridruţivanje upravljačkom sistemu dodatnog stepena slobode pa je zbog toga je integracija

ovog dodatnog stepena slobode veoma jednostavna. Po inicijalizaciji sistema, robot i

mehanizam postaju jedinstvena operativna celina čime se i programiranje svodi na već

postojeće programske sekvence na koje se superponiraju komande za pozicioniranje

mehanizma za translaciju.

10.1.2 OGRANIČAVANJE RADNOG PROSTORA

Dodatno ograničavanje radnog opsega robota u skladu sa ograničenjima radne sredine

obavlja se postavljanjem mehaničkih ograničenja u zglobovima minimalne konfiguracije i,

eventualno, još u četvrtom zglobu robota. Uobičajeno je da se na svakih deset stepeni na

prva dva stepena slobode ostavi prostor za smeštanje mehaničkih graničnika koje se

učvršćuju vijcima. Mehanički graničnici prva dva stepena slobode robota ABB IRB6400 su

prikazani na Sl. 10.2.

Sl. 10.2. Mehanički graničnici prve i treće ose na robotu. Slika je nejasna. Ne vide se granicnici na drugoj slici a na prvoj je komentar na engleskom i nije citljivo.

Da bi ova mehanička ograničenja mogla biti integrisana u upravljački softver, moguće je da

se na posebno projektovane lokacije postave dodatni mehanički prekidači, dva ili više u

jednom od prva tri zgloba, i po dva na naredna tri. Ovim prekidačima će dostizanje novih

graničnih poloţaja biti detektovano i kontroler obavešten

10.1.3 BEZBEDNOSNI SISTEM I ZAUSTAVLJANJE

U dosadašnjoj praksi, postoj nekoliko slučajeva u kojima radnici-posluţioci robota stradali

od sudara ili udarca robota. Industrijski robot, još uvek nije u stanju da uoči promene u

okolini koje nastaju mimo njegovg uticaja, tj. one o kojima njegov ili nadreĎeni kontroler

nisu informisani. Robot ne vidi čoveka niti moţe predvideti njegovu nameru pa se u cilju

zaštite radnika postavljaju se dodatni senzori (kao što su 3D kamere ili senzorske zavese)

kojima se detektuje ukoliko je neko ušao u radni prostor i trenutno obustavljaju aktivnosti

robota. Kada se uslovi za nesmetan rad ponovo steknu robot nastavlja rad.

Pored detekcije "uljeza" u radnom prostoru postoji (Sl. 10.3) čitav niz sigurnosnih

prekidača: granični prekidači na krajevima bezbednog prostora u svakom zglobu, spoljašnji

bezbednosni prekidač (nije sastavni deo robota) i bezbednosni prekidač na kontroleru i na


239

konzoli. Uobičajeno je da se LED indikacijom na upravljačkom ormanu i na konzoli za

upravljanje ukaţe da je ukinuta dozvola rada motora. Postoji posebna procedura nastavka

rada koja podrazumeva uklanjanje svih uzroka prekida.

Osnovu ovog bezbednosnog sistema čini dvostruki niz električnih komponenti koje su

povezane sa upravljačkim sistemom robota i na osnovu čijeg stanja se dozvoljava rad

motorima. Svaki od bezbednosnih krugova se sastoji od nekoliko prekidača, od kojih svaki

mora biti zatvoren pre nego što se izda dozvola rada motorima. Ako je bilo koji od

prekidača otvoren, svi motori ostaju bez dozvole za rad, što znači da im je prekinuto

napajanje preko releja i aktivirane su kočnice.

Sl. 10.3. Primer kola zaštite za izdavanje dozvole rada motorima (ABB).

LS: Granični prekidač; GS: Bezbednosni prekidač pri ručnom radu;

TPU En: Prekidač dozvole rada na konzoli za ručno upravljanje; AS: Bezbednosni prekidač pri automatskom radu; ES: bezuslovni prekid rada.

Nagli prestanak rada je uslovljen nastankom ili predviĎanjem opasnosti po ljude ili opremu.

Posebni prekidači za prekide, karakterističnog pečurkastog oblika i jarko crvene boje, sa

zaključavanjem, se nalaze na operatorskom mobilnom panelu (konzoli) kao i na

upravljačkom ormanu. Ovi prekidači sastavni su deo lanca bezbednosti i moraju

zadovoljavati sve uslove koji se odnose na pouzdanost i jednoznačnost rada, moraju biti

otporni na udar i slično. (moţda bi bilo zanimljivo reći nešto o dosadašnjim propisima EU

da robot ne sme da bude u automatskom modu u slučajevima interakcije robota i čoveka)

Prilikom aktiviranja kola zaštite, kontroler robota započinje manevar odstupanja od zadate

trajektorije kojim se pokušava ublaţavanje sudara sa okolinom.

10.2 KALIBRACIJA

Bilo da je reč o off-line programiranju ili o upravljanju kretanjem robota jedan od ključnih

elemenata ovakvog sistema je njegov model koji u što većoj meri treba da odgovara

stvarnom robotu. Osim toga, na zahteve kupaca za nabavkom robota koji najbolje odgovara

njihovim potrebama proizvoĎači odgovaraju pokušajem da se sa samo nekoliko tipova

robota a uz mnogobrojne varijacije po svakom tipu, pokrije što veći broj zahteva. Ovo

dovodi do modularnog prilaza u konstrukciji robota što je ilustrovano (Sl. 10.4) slikom

jedne familije robota. MeĎutim, iako su nominalne dimenzije i ostali parametri svih

240

segmenata i ostalih elemenata robotskog sistema unapred propisani prilikom izrade i

montaţe dolazi do odstupanja pa tako svaki konkretni robot ima "svoje sopstvene"

parametre. Svaka varijanta robota se po sklapanju mora posebno identifikovati za svaki

konkretan robot se moraju izračunati ili proveriti, barem geometrijski parametri.

Izvor netačnosti (što je ilustrovano na Sl. 10.5) već sklopljenog robota moţe biti

geometrijske netačnosti (netačna duţina segmenata, greška u orijentaciji osa robota,

netačan poloţaj osnove robota u prostoru) ili druge prirode (ekscentričnost reduktora, zazor

u reduktorima, elastičnost u transmisiji i zglobovima). Prema tome, cilj kalibracije je da se

.

Sl.. 10.4. Primer modula jedne familije robota za veliku nosivost.


241

X

Z

zahtevana pozicija

ostvarena pozicija

Legenda

Y

malo pove anjeć~mm

A) B)

C)

Sl. 10.5.Nekoliko primera potrebe za kalibracijom. (Mislim da ova slika nije baš najprikladnija)

utvrde realni parametri svakog konkretnog robota jer će nepravilno kalibrisan robot

zauzimati netačne pozicije u prostoru, a moţe doći i do kolizije sa okolinom. Robot pri

isporuci stiţe kalibrisan.

Postoji nekoliko specifičnih vidova kalibracije. Prvi je kalibracija unutrašnjih senzora

pozicije u zglobovima robota (enkoderi, rizolveri), odnosno utvrĎivanje njihovog

referentnog poloţaja. Drugi je kalibracija geometrijskih karakteristika, zbog odstupanja

koja su nastala kao posledica tolerancija pri izradi. Treći je kalibracija dinamičkih

parametara, odnosno njihova identifikacija. Sve ove aktivnosti imaju za cilj da se robot,

naročito pod opterećenjem, u radnom prostoru ponaša u skladu sa deklarisanom tačnošću.

Postupak kalibracije podrţan je sistemskim softverom koji proizvoĎači isporučuju uz robot.

Za podršku kalibraciji se koristi laserski daljinar na upravljanom postolju sa dva stepena

slobode (rotacije). Robot nosi karakterističan predmet sa reflektujućom površinom koju

laserski daljinar moţe detektovati. Sistemski deo softvera, tokom kalibracije, komanduje i

robotu i daljinaru zauzimanje odreĎenog poloţaja u prostoru. Po zauzimanju poloţaja, robot

javlja da je završio operaciju i čeka da daljinar odmeri rastojanje do reflektujuće površine.

Poznavajući geometriju predmeta, njegov poloţaj u hvataljci (obično je jednoznačan), i

pretpostavljajući DH parametre i kinematski model robota, oko stotinu merenja biće

dovoljno da se u relativno malom delu radnog prostora dobije kompetentan kinematski

model za korekciju stvarnih karakteristika tako da se dobije visoka tačnost pozicioniranja.

Uobičajeno je da se kalibracija obavlja posebno u onim delovima radnog prostora koji

sadrţe većinu, ili sve, procesne operacije, a da se u ostalim delovima prostora, gde robot

samo prolazi, obavi manje detaljna kalibracija.

242

Rezultat kalibracije čine kompenzacioni parametri koji se pridruţuju dokumentu koji je

jedinstven za svaki proizvedeni robot.

Odavde je izbačena 1 slika. Treba povesti računa o narednim brojevima slika.

10.2.1 KALIBRACIJA POLOŽAJA I IDENTIFIKACIJA DH PARAMETARA

Osnovni zadatak kalibracije je da odredi matrice kalibracije, obeleţimo je sa C, iz velikog

broja merenja stvarnog i komandovanog poloţaja. Matrica C obično se odreĎuje fitovanjem

metodom najmanjih kvadrata velikog broja merenja poloţaja, orijentacije, sile koje sile,

brzine.

Prvi, veoma vaţan postupak kalibracije je inicijalna kalibracija odmah po završenom

sklapanju robota. Odnosi se na kalibraciju DH parametara kao i na kalibraciju dinamičkih

parametara samog robota, bez opterećenja. Tako identifikovani parametri se smeštaju u

sistemsku memoriju kontrolera i čine ličnu kartu robota.

Osnovna ideja izloţena je u daljem tekstu.

Pretpostavimo da je direktna kinematika robota poznata i data jednačinom.

( ),x f (10.1)

gde je skup svih DH parametara dat vektorom

[ ].a d (10.2)

Veoma je vaţno da se svi DH parametri obuhvate kalibracijom – ni jedan od njih ne sme se

unapred proglasiti nulom, iako idealne vrednosti sadrţe dosta nula u DH tabeli.

Posmatrajmo prvi izvod vektora poloţaja vrha robota.

f f f f

x a da d

(10.3)

Pojednostavljujući zapis, dobija se

f f f f

xa d

(10.4)

Ovi parcijalni izvodi predstavljaju jakobijan, koji u sebi sadrţi i običan jakobijan kao

osnovnu matricu koja opisuje propagaciju unutrašnjih brzina na brzine vrha robota. Upravo

je jakobijan iz jednačine (10.3), naša kalibraciona matrica C .

x C (10.5)

Ovime su povezane greške pozicije sa greškama DH parametara. Uzmimo sada najmanje

četiri različite tačke u prostoru, od kojih svaka ima svoju matricu C i postavimo jednačinu

1 1

2 2

n n

x C

x C

x C

(10.6)

ili, pojednostavljeno,


243

b D . (10.7)

Otkud sada i zašto b i D. Pri tome, greška u DH parametrima moţe se dobiti

pseudoinverzijom.

1( )T TD D D b (10.8)

gde je 1( )T TD D D pseudoinverzija matrice D .

Konačno, nove vrednosti DH parametara dobijaju se modifikovanjem početnih vrednosti

(10.9)

Sve dok se ne postigne konvergecija rešenja do stvarnih vrednosti DH parametara, postupak

se ponavlja. Slična procedura, uz drugačiju polaznu jednačinu i matricu , moţe biti

izvedena i za kalibraciju zatvorenih kinematičskih lanaca, kalibraciju inercijalnih

parametara i masa segmenata i opterećenja, kalibraciju senzora sile, i kalibraciju masa

potrebnih za kompenzaciju gravitacije.

10.2.2 KALIBRACIJA SENZORA POLOŽAJA U ZGLOBOVIMA

Drugi skup postupaka kalibracije odnosi se na instalaciju robota, kasnije premeštanje u

drugo radno okruţenje ili na redovne i vanredne (havarijske) postupke odrţavanja. Ovi

postupci su prilagoĎeni su samostalnom radu korisnika. Za njih je obično potrebno nekoliko

dodatnih alata koji će se povezati na kontroler. (koji su to alati? U narednom tekstu se

pominje samo merni štap i namenski senzor) U daljem tekstu izloţićemo samo dva

kalibraciona procesa: kalibraciju ofseta inkremetalnih senzora u zglobovima i kalibraciju

poloţaja vrha robota u radnom prostoru. (Ovo nije napisano)

Merni sistem robota minimalno se sastoji iz jednog senzora po osi i merne kartice koja

kontinualno prati tekući poloţaj robota tako da se, i posle kratkotrajnog ili duţeg

zaustavljanja moţe pouzdano i bezbedno nastaviti kretanje. Kartica takoĎe ima i memoriju

dovoljnu da robot, i posle gašenja, moţe nastaviti sa kretanjem bez potrebe da se

referencira senzor po svakoj od osa. Ovo je napredak u odnosu sa ranija rešenja kada je

svaka osa robota, kao kod numeričke mašine, imala jedan inkrementalni senzor pozicije,

optički enkoder ili rizolver, i odreĎeni broj prekidača nepohodan za definiciju fizički

dozvoljenog kretanja, radnog prostora i dovoĎenje u referentni (home) poloţaj. Robot se pri

tome, prilikom svakog početka radnog ciklusa ili posle nekog neplaniranog dogaĎaja morao

referencirati tako što se po dovoĎenju u početni (home) poloţaj sadrţaj brojača koji

dobijaju takt sa senzora proglašavao nulama.

Merni sistem se obavezno pri tome mora kalibrisati onako kako je definisano u prethodnom

poglavlju, (U prethodnom poglavlju se kalibriše model a ne merni sistem) naročito ako bilo

koji rizlover pretrpi neku izmenu. To se obično moţe desiti kada: delovi koji čine

kalibracioni sistem promene svoj ploţaj na robotu ili bivaju zamenjeni drugima, ili kada se

sadrţaj memorije izmeni ili isprazni (baterija je ispraţnjena, javi se greška na rizolveru,

prekinut je tok signala rizolvera i merne kartice, ose robota bile su pomerene bez učešća

upravljačkog sistema).

Kalibracija započinje zauzimanjem kalibracionih, tzv. nultih, pozicija svakog od zglobova.

Kalibracija osa se odvija po redosledu, počev od prvog pa do poslednjeg, šestog zgloba. Na

svakom zglobu su postavljene oznake koje olakšavaju pripremu robota za kalibraciju.

244

Kalibracija senzora se obavlja ručnim pomeranjem sa konzole pojedinačnih zglobova

(jedan po jedan) malim brzinama, sve dok se merni štap prethodnog segmenta, po jedan za

svaku osu, ne postavi u jedan od tri otvora narednog segmenta. (trebala bi slika jer je teško

da se zamisli i štap i otvor) Potom se postavljaju namenski projektovani senzori na

referentni poloţaj. (i ovo je teško da se zamisli: kakvi su to senzori koji se postavljaju

eksterno, kako se postavljaju i šta očitavamo kada u zglobovima već postoje senzori)

Očitane vrednosti sa senzora predstavljaju vrednosti koje se upisuju u merni sistem i odatle

na dalje rizolveri nastavljaju sa radom.

10.2.3 NEKE SPECIFIČNOSTI KALIBRACIJE KOD ZAVARIVANJA

Karakterističan kalibracioni alat koristi se kod alata za elektrolučno zavarivanje, obzirom

na oblik čega koji ne dozvoljava klasičan, mehanički način kalibracije uparivajnem

komplementarnih geometrijskih oblika (ovo ne znam šta je). Naime, završetak alata za

elektrolučno zavarivanje je tanka ţica za zavarivanje, prečnika reda veličine milimetra i

veoma je teško pronaći TCP na klasičan način, posebno i zbog toga što ţica osno

simetrična. Kalibracioni alat sastoji se iz precizno izraĎenog i pozicioniranog drţača u

obliku slova U kroz koji moţe proći alat za zavaraivanje, Sl. 10.7.

Sl. 10.6.Kalibracija robota za elektrolučno zavarivanje.

Na vrhovima slova U nalaze se optički prekidački par koji detektuje prisustvo alata na liniji.

U podnoţju slova U nalazi se induktivni senzor koji moţe detektovati prisustvo tanke ţice.

Poznavajući pribliţnu geometriju alata za zavarivanje kao i duţine ţice, robot sa alatom

moţe zauzeti pribliţan poloţaj u kome aktivira induktivni senzor istovremeno presecajući

svetlnosni snop. U tom slučaju, za poznatu pozu robota i poznat poloţaj i orijentaciju ţice,

dobija se jedan od niza parova neophodnih za kalibraciju. Preračunavanjem novih

parametara geometrije i smeštanjem u memoriju kontrolera, nastavlja se sa radom.

10.3 IDENTIFIKACIJA TERETA I DETEKCIJA KOLIZIJE

Funkcija identifikacije tereta sreće se samo kod robota velike nosivosti. Ručno

izračunavanje opterećenja je sloţena procedura i ne preporučuje se kao standardna opcija

kontrolera. MeĎutim, rad robota sa netačnim parametrima opterećenja, ne samo sa netačnim


245

masama već i sa netačnim centrom mase i momentima inercija, svakako utiče na vreme

izvršenja komandi i na tačnost kretanja, a u ekstremnim situacijama ima i uticaja na

bezbednost robota i okoline. Stoga se postupcima identifikacije opterećenja prepoznaju svi

bitni parametri opterećenja (masa, centar mase, tri komponente inercije), ali i alata koji nosi

teret.

Početni poloţaj robota bira korisnik tako da se izbegne kolizija sa okolinom, pri čemu se

robot dovodi u poloţaj u kome je podlaktica pribliţno horizontalna, a šesta osa šestog

zgloba je paralelna sa osom četvrtog. (Da li je svo ovo slučaj za antropomorfnu

konfiguraciju?). Identifikaciona procedura sastoji se iz unapred zadatih pokreta u osama 3,

5 i 6, tokom nekoliko minuta. Tokom identifikacije, sukcesivnim pokretanjem zadatih osa

mere se naprezanja u senzoru sile i momenta instaliranog izmeĎu alata i/ili hvataljke i

šestog segmenta robota. Tim merenjima moţe se utvrditi tačan poloţaj centra mase

opterećenja, momenti inercija po tri ose i sama masa opterećenja. U postupku

indentifikacije mase alata, recimo alata za elektrolučno zavarivanje, posebno treba voditi

računa o tome da se spreţni kablovi ne dovedu u takav poloţaj da utiču na očitavanje

senzora sile i momenta. Po pravilu, tada je potrebno rastaviti alat od kabla. Ukoliko posle

identifikacije greška procene tereta ostaje velika, proceduru treba ponoviti još jednom. Po

fitovanju merenih veličina, teret se moţe identifikovati sa veoma velikom tačnošću (obično

bolje od 5%).

Detekcija kolizije obavlja se putem detekcije prekomerne struje svakog od motora robota.

Robot se odmah zaustavlja i potom se povlači u suprotnom smeru, po svim osama,

izvršavajući komande kretanja unazad tokom kratkog perioda vremena.

10.5 PRIMENA ROBOTA

Roboti se uvode u radne procese u kojima su uobičajeno pre uvoĎenja robota bili an-

gaţovani radnici. Stoga se kvalitet rada robota uvek procenjuje uporeĎivanjem sa rezultati-

ma koje su ostvarivali radnici.

Uobičajeno se navode sledeći razlozi za uvoĎenje robota: podizanje kvaliteta proiz-voda,

zamena čoveka na za njega neodgovarajućim radnim mestima, sniţenje troškova po jedinici

proizvoda i povećanje fleksibilnosti proizvodnog sistema.

Podizanje kvaliteta se moţe ostvariti u zadacima gde se zahteva: visoka tačnost pozi-

cioniranja, visoka ponovljivost, dugački periodi visoke koncetracije radnika i visoko preciz-

na inspekcija i merenje korišćenjem senzora. Tako na primer, uobičajeno odstupanje prili-

kom pozicioniranja alata za elektrootporno zavarivanje kod radnika iznose 10-30 mm, a pri

primeni robota 0,5-1 mm, ugaono udstupanje alata za zavarivanje u slučaju ručnog zavari-

vanja je 10o-20

o a pri upotrebi robota oko 1

o. Za otkrivanje grešaka na bojenim površinama

(čestice prašine ili bilo koja druga vrsta greške) u Nissan-u [1] je uveden robotizovani

sistem koji koristi lasersku detekciju grešaka i procenat uspešnisti je 100%.

Radna mesta na kojima je potrebno rukovati velikim teretima, radna mesta gde su poslovi

monotoni, ili su radna mesta kontaminirana (isparenja, velika buka, toplota i praši-na) kao i

radna mestima gde se kontinualno javlja potreba za visokom stepenom koncetra-cije takoĎe

treba robotizovati.

Radna mesta na kojima suma tereta koji treba podići tokom smene [1] prelazi 20 t ili gde

broj ponavljanja pojedinačne akcije po smeni prelazi 4000, se u Nissan-u po pravilu

robotizuju. Na primer, robotizovano je radno mesto za montiranje točkova na automobile

gde masa jednog točka iznosi 20-30 kg a tokom smene se montira oko 1000 točkova.

Kontaminacija radnog prostora se javlja u mnogim radnim zadacima: u odeljenjima za

246

bojenje se javlja visoka koncetracija rastvarača koji isparavaju posle nanošenja boje, u

odelenjima sa presama vlada velika buka koja moţe šteti sluhu, livnice i odelenja za zavari-

vanje su po pravilu kontaminirane prašinom, produktima sagorevanja i toplotom. Robotima

se veoma uspešno moţe zameniti čovek u svim ovim zadacima.

Prethodno pomenuti zadatak inspekcije kvaliteta bojenih površina predstavlja tipičan

primer radnog zadatka koji je monoton i zahteva produţenu koncetraciju.

Generalno govoreći, sa tehničkog aspekta posmatrano primena robota je uslovljena

njihovim performansama. Osnovne karakteristike savremenih robota koje su značajno bolje

od čovekovih su veoma visoka tačnost i ponovljivost ostvarivanja zadate pozicije i orijenta-

cije u prostoru i veoma visoka tačnost i ponovljivost praćenja predefinisanih trajektorija.

Prema tome, svaka aplikacija kod koje su glavni zahtevi tačno pozicioniranje ili tačno pra-

ćenje trajektorije, a gde performanse robota zadovoljavaju ili prevazilaze postavljene zahte-

ve, moţe biti uspešno robotizovana.

Postoji čitav niz veoma uspešnih primena robota u realizaciji industrijskih zadataka koje

moţemo svrstati u nekoliko nivoa prema sloţenosti zadataka:

U zadatke Nivoa 1 spadaju primene kod kojih su sve komponente i alati na pozna-tim

lokacijama. Da bi se to obezbedilo koriste se palete, pozicioneri i dodavači. U zadacima

ovog nivoa ne postoji potreba za dodatnim senzorima. Primeri zadataka koji ovde pripadaju

je elektrootporno (tačkasto) zavarivanje, polaganje zaptivne mase, bojenje, … Sve

komponente koje se ugraĎuju moraju biti u granicama zahtevanih tolerancija, kao i tačnost i

ponovljivost samog robita.

U zadacima Nivoa 2 se zahteva povratna sprega sa senzora da bi se ponašanje robota

prilagodilo malim odstupanjima dimenzija radnih predmeta. Primer zadataka koji pripada

ovom nivou je elektrolučno zavarivanje, jer prilikom formiranja šava koji treba zavariti

moţe doći do odstupanja u njegovim dimenzijama koja su veća nego što je propisano pa je

potrebno modifikovati poloţaj ureĎaja za zavarivanje. Ovaj problem se prevazilazi

upotrebom senzora (sistem vizije, merenje sztuje luka, …) na osnovu čega se vrh ţice za

zavarivanje precizno pozicionira u odnosu na šav. Tačno pozicioniranje i praćenje šava je

od suštinskog značaja za mnoge primene gde se javlja zavarivanje jer povećano lokalno

zagrevanje utiče na kvalitet zavarenog spoja.

U zadacima Nivoa 3 se zahteva kompleksnija povratna informacija sa senzora, npr.

prepoznavanje oblika korišćenjem robotske vizije, na osnovu čega moţe biti neophodno i

donošenje odluka. Primer ovakvog zadatka je montiranje točkova pri-likom proizvodnje

aztomobila. Pri realizaciji ovog zadatka je neophodno pronaći točak i utvrditi orijentaciju

otvora kroz koje prolaze vijci kojima se točak montira kako bi se točak pravilno

pozicionirao i vijcima učvrstio.

Najsloţeniji su zadaci (Nivo 4) gde se javlja nepredvidljivo ponašanje bilo radnih predmeta

ili opreme u ćeliji. Tako je npr. veoma teško rukovati gumenim crevima ili podnim

oblogama kao što su tapisoni.

Posebno je vaţno da se napomene koju vrstu zadataka u ovom trenutku roboti nisu u stanju

da realizuju bolje ili na isti način kao čovek. Pre nego što damo odgovor na ovo pita-nje

napomenimo da je jedna od veoma vaţnih karakteristika savremenih robota, pored os-

tvarivanja visoke tačnosti, i veoma visoka krutost drţanja pozicije. Naime, visoka tačnost

zahteva veoma visoka pojačanja povratnih sprega po greškama pozicioniranja zglobova, što

za posledicu ima da robot veoma kruto drţi dostignutu poziciju i da se veoma intenzivno

„opire“ svakom uticaju koje bi imalo za posledicu da svojim delovanjem ugrozi dostignutu


247

tačnost pozicioniranja.

Kada je u pitanju montaţa proizvoda kod kojih su zazori delova koji se spajaju manji od

greške u pozcioniranju robota montaţa je praktično onemogućena. Naime, kada doĎe u

zahtevani poloţaj robot sa enkodera u zglobovima ima informaciju da je ostvario zahtevanu

poziciju i nastoji da tu poziciju odrţi. Ukoliko doĎe do kontakta delova koji se spajaju kon-

taktna sila deluje na objekat koji robot drţi hvataljkom i teţi da ga pomeri iz trenutne pozi-

cije, čemu se robot opire8. Stoga, male greške u meĎusobnom pozicioniranju mogu da iza-

zovu velike kontaktne i velike sile trenja koje praktično onemogućavaju nastavak montaţe.

Treba uočiti da kod montaţnog zadatka nije u pitanju apsolutno pozicioniranje robota u

prostoru već relativno pozicioniranje jednog objekta u odnossu na drugi. Obzirom da je

takvu tačnost pozicioniranja praktično nemoguće postići ova klasa zadataka9 je praktično

ostala izvan domena robotizacije. Jedini izuzetak je montaţa delova koji imaju elastične

delove (npr. elektronski čipovi koji imaju fleksibilne noţice) pa se elastičnim deformacija-

ma ovih delova automatski apsorbuju netačnosti u pozicioniranju (koje su, podsetimo se,

veoma male) pa se montaţa moţe veoma uspešno realizovati.

Kada je montaţni zadatak u pitanju treba pomenuti i zadatak spajanja delova navoj-nom

vezom. Obzirom da je u ovom slučaju potrebno veoma tačno realizovati dva spregnu-ta

kretanja (uvrtanje i aksijalno pomeranje), kao i da postoji mogućnost zaglavljivanja vijka u

delu u koji se uvrće ovi zadaci se realizuju korišćenjem posebnih ureĎaja. Kada god je to

moguće treba, pri realizaciji robotom, navojnu vezu zameniti nekom drugom vrstom spoja.

Osim toga, roboti, uopšteno govoreći, ne mogu uspešno da realizuju zadatke kod kojih je

potreban čitav niz senzora (dodir, vizija sa prepoznavanjem oblika, sluh, …), a po-sebno

ukoliko je sve te senzorske informacije potrebno integrisati. Tako, na primer, roboti teško

rukuju sa fleksibilnim materijalima kao što su tkanine ili dugačke ţice, a nisu ni po-uzdani

u procesima gde kvalitet ulaznih komponenti nije strogo kontrolisan. Radnik će veoma lako

uočiti neispravan deo i odbaciti ga dok će robot nastojati da ga ugradi.

TakoĎe treba napomenuti da mada se robotizovano radno mesto moţe veoma uspeš-no

formirati oko robota tako da se robotu omogući da realizuje predviĎenu radnu operaciju

(npr. zavarivanje) sve češće se mogu sresti slučajevi da su roboti deo radnog procesa gde je

dominantno zastupljena klasična automatizacija, a roboti se koriste samo za deo radnog

procesa. Veoma je ilustrativan primer automatizovanog odreĎivanja putem senzora klase i

robotizovanog pakovanja keramičkih pločica. Naime, klasa keramičkih pločica isključivo

zavisi od deformacija ili čak oštećenja (naprslina) koje nastaju tokom pečenja. U ručnom

8 U ovoj situaciji čovek jednostavno popusti, eliminiše veliku kontaktnu silu i silu trenja i nastavi monta-ţu. Ovakav pristup bi bilo moguće primeniti kod robota n dva načina. Prvi je projektovanjem novog upravljačkog

zakona koji bi omogućio „popustljivost“ robota pri pojavi kontakta, ali se time ugroţava visoka tačnost pozicioni-

ranja. Treba napomenuti da postoje istraţivački radovi iz ove oblasti [navesti radove iz impedansnog upravljanja]. Drugi pristup je detekcijom nastanka kontaktne sile i takvim dejstvom robota kojim bi se ova sila eliminisala. U

ovom slučaju postoje dva pro-blema. Prvi je to što kontakt nastaje iznenada i kontaktne sile mogu biti veoma

velikog intenziteta. Obzirom da su senzori za merenje sile koje komercijalno moţemo nabaviti veoma kruti (videtu str. ?????) i predviĎeni samo za odreĎeni opseg sila pojava velikih sila skoro neizostavno dovodi do njihove

havarije. Drugi problem je što zahte-vana promena pozicije hvataljke moţe biti manja od najmanjeg pokreta koji

se odgovarajućom komandom moţe realizovati. Stoga potrebnu korokciju nije moguće realizovati. 9 Postoji poseban ureĎaj (Remote Centre of Compliance – RCC) [navesti radove] koji pasivnim podešava-njem

moţe aposorbovati ovako male greške u poziciji i orijentaciji objekta koji robot nosi. MeĎutim, za svaki rad-ni

predmet treba praktično projektovati nov ureĎaj tako da ovaj prilaz vije zaţiveo u praksi.

248

načinu rada radnici vizuelno klasifikuju i prema definisanoj klasi pakuju pločice. MeĎutim,

na robotizovanoj liniji se nizom senzora10

mere deformacije, a ovaj podatak se direktno

saopštava upravljačkom ureĎaju robota koji ih onda pakuje u odgovarajuće kutije. Ovakvim

načinom je proces veoma ubrzan, kvalitet klasifikacije poboljšan i ustaljen, a potreba za

radnom snagom je smanjena.

TakoĎe treba istaći da je vaţna karakteristika primene robota u industrijskim zadaci-ma je

je nedostatak univerzalne hvataljke čije karakteristike bi bile uporedive sa peforman-sama

ljudske šake i koja bi stoga bila univerzalno primenljiva. Stoga je vaţno da se napo-mene

da je karakteristično za primenu robota i to da je u svakom zadatku neophodno pro-

jektovati posebnu specijalizovanu hvataljku potpuno prilagoĎenu specifičnostima zadatka.

Konstrukcija pouzdane hvataljke je veoma delikatan zadatak. Veliki deo problema koji se

javlja u proizvodnji nije uzrokovan robotom već hvataljkom.

Najčešće je u upotrebi hvataljka sa „prstima“ sa dva naspramna ili tri simetrično ras-

poreĎena prsta. Svi prsti obično imaju jedan zajednički pogon tako da je objekat posle hva-

tanja centriran. Dvoprste hvataljke mogu biti paralelnog ili makazastog tipa. Pored toga,

često se koriste i vakuumske hvataljke najčešće za lako lomljive i lagane a kabaste objekte.

U svakom slučaju je neophodno da objekti imaju glatku površinu koja omogućava pouzda-

no prijanjanje vakuumskih sisaljki. Prilikom projektovanja hvataljki treba voditi računa o

potrebnoj sili hvatanja prilikom čijeg odreĎivanja treba uzeti u obzir ne samo teţinu objekta

već i ubrzanja nastala usled kretanja robota. Ako nije drugačije specificirano uzima se vred-

nost od (2,5.g). Drugi vaţan elemenat o kome treba voditi računa je koeficijenat trenja iz-

meĎu hvataljke i objekta, koji se moţe povećati korišćenjem gumenih uloţaka. To, meĎu-

tim, zahteva pojačano odrţavanje zbog habanja. TakoĎe treba voditi računa o teţini same

hvataljke čija teţina ulazi u nosivost robota. Pogon hvataljki je najčepće pneumetski ili

električni.

Posebno su značajna pitanja odrţavanja robota i bezbednosti. Obzirom da svaki pro-

izvoĎač koristi svoje upravljačke i pogonske sisteme veoma često je potrebno da za odrţa-

vanje robota različitih proizvoĎača postoje posebno obučeni specijalisti, posebno obzirom

da svaki proizvoĎač ima poseban jezik za programiranje robota i operacioni softver.

Bezbednost rada robota se postavlje obzirom da se savremeni roboti veoma brzi, da njihovo

čekanje na sledeću operaciju neobučenim osobama moţe izgledati kao da su isklju-čeni.

Obzirom da roboti još uvek izazivaju radoznalost pristup robotu u radu treba biti

onemogućen ili makar zona rada robota (nebezbedna za čoveka) jasno označena.

10.6 KARAKTERISTIČNI PRIMERI (ili ZADACI) PRIMENE ROBOTA

U tekstu koji sledi ćemo navsti samo neke od karakterističnih primera primene robota u

industrijskim zadacima.

10.6.1 POSLUŢIVANJE MAŠINA

Posluţivanje mašina predstavlja jedan od prvih primera primene robota. Ovaj zada-tak je

izuzetno monoton, a zavisno od veličine i temperature radnih predmeta moţe biti i izuzetno

teţak. Na Sl. 10.8 su prikazani primeri posluţivanja prese za kovanje, alatne maši-ne,

10 Treba napomenuti da i u ovom procesu postoji čovek čiji je jedini zadatak da uoči pločice sa velikim

oštećenjima (naprslinama) i obeleţi ih fluoroscentnim markerom. Takve pločice predstavljaju škart.


249

ulivanje tečnog aluminijuma u kalup i vaĎenje odlivaka od plastike. U slučaju da proces to

dozvoljava jedan robotmoţe posluţivati i više mašina. Treba napomenuti da roboti nogu

biti montirani na horizontalnu šinu iznad mašine (Sl. 10.8.d).

a)

b)

c) d)

Sl. 10.8 Posluţivanje mašina: a) ulaganje u presu usijanih pripremaka, b) livenje

aluminijuma c) ulaganje u radnog predmeta u alatnu mašinu, d) vaĎenje odlivka od plastike

robotom koji je montiran na šini iznad mašine

10.6.2 Paletizacija, depaletizacija, pakovanje

Paletizacija i pakovanje predstavljaju veoma pogodan zadatak za robotizaciju. Mada roboti

koji se koriste u ove svrhe mogu biti različitih konfiguracija (npr. Delta robot paralel-ne

konfiguracije koji moţe izuzetno agilno da se kreće) roboti antropomorfne konfiguracije se

najčešće sreću. Robot za zadatke paletizacije imaju odreĎene specifičnosti. Treba da imaju

sposobnost zahvata predmeta velikih masa i zapremine na udaljenom mestu u odnosu

250

a)

c)

b)

d)

e)

f)

Sl. 10.9 Paletizacija: a) paketa sa voćnim sokovima, b) konzervi sa paštetama, c) gajbi sa

Mlečnim proizvodima, d) brašna i kesama, e) vreća, f) univerzalna hvataljka za

različite tipove gajbi.

na osnovu uz pojednostavljenu manipulaciju pri prilasku predmetu i po njegovom odlaga-

nju. Zbog toga, umesto masivnih zglobova i segmenata, roboti imaju produţen i ojačan


251

drugi i treći segment sa paralelogramom koji kretanja trećeg motora prenosi na dva zgloba

istovremeno, dok su prvi i drugi motor i segment kao kod običnog antropomorfnog robota.

Poslednji stepen slobode sluţi samo za orijentaciju predmeta. Veoma često se pri pakovanju

roboti kombinuju sa autonatizovanom linijom radi boljih efekata.

10.6.3 Zadaci kod kojih treba realizovati sloţen prostorni

pokret ili putanju

Kod ovih zadataka roboti realizuju veoma precizno sloţene prostorne putanje. Na Sl.

10.10.a) je prikazano isecanje laserskim alatom otvora na plastičnom odlivku. Zadaci ovog

tipa se mogu realizovati i drugim alatima, zavisno od materijala koje se seče, npr. gloda-

lom, vodom pod pritiskom, acetilenskim gorionikom, … Na Sl. 10.10.b je prikazano

umaka-nje livačkog modela od stiropora (ovaj metod livenja se na engleskom naziva „lost

foam”)

a)

b)

Sl. 10.10 Zadaci pri kojima se realizuje sloţena prostorna putanja: a) lasersko isecanje

otvora na plastičnom odlivku, b) sušenje livačkog modela od stiropora posle umakanje

u tečnost radi formiranja pokrivnog sloja

u odreĎenu tečnost i zatim njegovo sušenje. Da bi se na modelu formirao osušeni sloj pod-

jednake debljine robot tokom sušenja na programiran način obrće model da bi sprečio sliva-

nje i neravnomernu debljinu osušenog sloja.

10.6.4 Zavarivanje

Zavarivanje (pored bojenja prskanjem) predstavlja zadatak gde su roboti preuzeli ap-

solutnu dominaciju. Kod tačkastog elektrootpornog zavarivanja limova robot kleštima za

zavarivanje obuhvati limove koje zavaruje, kroz klešta se propusti struja pa se limovi na

mestu kontakta sa kleštima tope. Usled pritiska se spajaju. Osnovna prodnost robota kod

ovih zadataka je tačno pozicioniranje (veoma teškog) alata za zavarivanje čime se ostvaruje

postojan kvalitet. Kod elektrolučnog zavarivanja robot obezbeĎuje veoma tačno praćenje

zahtevane putanje šava uz ostvarivanje svih zahtevanih parametara koji utiču na kvalitet

zavarenog spoja.

252

a)

c) d)

Sl. 10.8 Posluţivanje mašina: a) ulaganje u presu usijanih pripremaka, b) livenje aluminiju-

ma c) ulaganje u radnog predmeta u alatnu mašinu, d) vaĎenje odlivka od plastike

robotom koji je montiran na šini iznad mašine

Sistem za zavarivanje koji se uobičajeno isporučuje zajedno sa robotom sadrţi izvor

napajanja, sistem za lokalno topljenje metala pri ostvarivanju spoja (zavarivanje moţe biti

elektrolučno, elektrootporno, lasersko, …) kao i odgovarajuća softverska podrška za

generisanje programa.

Treba napomenuti da je kod zavarivanja od posebne vaţnosti primena senzora

kojima se obezbeĎuje kvalitet zavarivanja. Senzore moţemo podeliti u dve grupe: senzori


253

kojima se obezbeĎuje odrţavanje tehnloških parametara (napon električnog luka, stuja

zavarivanja i brzina dovoĎenja ţice) i senzori kojima se obezbeĎuje praćenje šava i kontrola

kvaliteta zavarenog spoja. Kontrolisanje kvaliteta zavarenog spoja se vrši tokom samog

zavarivanja i mogu da se detektuju kreške kao što su: poroznost, rasprskivanje tokom

zavarivanja, nepravilan oblik ivica zavarenog spoja, preterano nadvišenje korena,

nekompletno prodiranje i progorevanje.

Dodati nešti o tome šta se uobičajeno isporučuje od pribora za zavarivanje

10.6.5 Bojenje prskanjem

Ovde nisam ništa napisao a trebalo bi o: najčešćim primenama (verovatno autoindustrija), o

vrstama obučavanja (programiranja) i o ostalim detaljima vezanim za bojenje.

a)

b)

c) d)

Sl. 10.8 Bojenje prskanjem: a) Bojenje branika automobila, b) nanošenje emajla na kade za

tuš-kabine c) bojenje unutrašnjosti automobila, d) Bojenje delova koje nosi konvejer

Ako imaš još koju aplikaciju samo dodaj

Gorane, dvoumim se da lo bi ovde trebalo dodati jedan deo o načinima montaţe robo-ta (na

zidu, plafonu, portalni robot, …), kao i o posebnim konstrukcijama kao što je TRICEPT, …

Tu bi mogle da se dodaju i lepe slike.

Razmisli pa ćemo se čuti.

254

LITERATURA

An C., Atkenson C, and Hollerbach J.: Model-Based Control of a Robot Manipulator, The MIT Press, 1998.

Angeles J.: Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Theory, Methods and Algorithms, Springer-Verlag, 2003.

Asada H. and Slotine J.J.: Robot Analysis and Control, John Wiley and sons, 1985.

Ben-Zion Sandler, Robotics- designing the Mechanisms for Automated machinery, Prentice – Hall, Inc., 1991

Bruyninckx H. and De Schutter J.: Introduction to Inteligent Robotics, Katholieke Universteit Leuven, 2001.

Craig J.: Introduction to Robotics: Mechanics & Control, Addison-Wesley, 1986.

Dorf. R and Bishop R.: Modern Control Systems, Addison-Wesley, 1995.

Eugene I. Rivin, Mechanical design of robots, McGraw-Hill, Inc., 1987

Fu K., Gonzales R., and Lee C.: Robotics: Control, Sensing, Vision and Intellignece, McGraw-Hill Book Company, 1987.

J.M.Selig, Introductory Robotics, Prentice – Hall, Inc., 1992

John Iovine, PIC Robotics, McGraw-Hill Companies, Inc., 2004

John M. Holland, Designing Autonomous Mobile Robots, Elsevier, Inc., 2004

Jorge Angeles, Fundamentals of Robotic Mechanical Systems, Springer-Verlag, New York, Inc., 2003

Lewin A.R.W.Edwards, Open-Source Robotics and Process Control Cookbook, Elsevier, Inc., 2005

Nwokah O., and Hurmuzlu Y., Editors, The Mechanical Systems Design Handbook, CRC Press, 2002.

Paul E. Sandin, Robot mechanisms and mechanical devices, McGraw-Hill, Inc., 2003

Rade L., and Westergren B.: Mathematics Handbook for Science and Engineering, Studentlitteratur, Lund,1995.

Sciavicco L. and Siciliano B.: Modeling and Control of Robot Manipulators, The McGraw-Hill Company, 1996.

Thomas R. Kurefess Robotics and Automation Handbook, CRC Press LLC, 2005

Yoram Koren, Robotics for Engineers McGraw-Hill, 1985

http://www.amazon.com/exec/obidos/search-handle-url/002-0167158-9144869?%5Fencoding=UTF8&search-type=ss&index=books&field-author=Yoram%20Koren

255

SADRŽAJ

SREDITI HEADER I FOOTER

1 Uvod 1

1.1 savremena industrijska robotika 4

1.2 Ekonomija robotike 5

1.3 Nauka i obrazovanje u robotici 8

1.5 Opšta Klasifikacija robotike 9

1.6 Literatura 12

2 Konstrukcija robota 15

2.1 Neke karakteristične robotskE konstrukcije 15

2.2 Antropomorfni robot 16

2.3 Robot za paletizaciju 17

2.4 Sferna (polarna) konfiguracija 17

2.5 Kartezijanski, pravougli ili Gantry robot 18

2.6 SCARA robot – brzo i precizno asembliranje 19

2.7 Tricept robot 20

2.8 DELTA robot 21

2.9 Definicija koordinatnih sistema 22

2.10 Parametri industrijskih robota 23

2.11 Literatura 25

3 Kinematski model robota I: poloţaj i orijentacija robota u prostoru 27

3.1 Uvod 27

3.2 Koordinatni sistemi i njihove transformacije 27

3.2.1 Elementarne rotacije 29

Primer 2.0. 31

3.2.2 Slaganje rotacija 32

3.2.3 Rotacija oko proizvoljne ose 35

3.2.4 Ojlerovi uglovi 36

I način: ZYZ Ojlerovi uglovi 36

II način: ZYX Ojlerovi uglovi 37

3.2.5 Rotacija definisana uglovima skretanja, valjanja i propinjanja 38

3.2.6 OdreĎivanje ose i ugla rotacije ako je poznata matrica rotacije 38

3.2.7 Homogeme transformacije 39

3.3 Kinematski model robotskog manipulatora 41

3.3.1 Denavit - Hartenbergova notacija 42

256

3.3.2 Direktni kinematski problem 48

Primer 2.1: 48

Primer 2.2: 50

Primer 2.3: 54

Primer 2.4: 55

3.3.3 Inverzni kinematičski problem 58

Primer 2.5. 59

Primer 2.6. 61

Primer 3.7. 62 3.3.4 Rasprezanje (podela) ukupne konfiguracije robota na minimalnu konfiguraciju i zglob

hvataljke 66

Primer 2.7. 68

4 Kinematski model robota II: Diferencijalna kinematika 71

4.1 Uvod 71

4.2 Diferencijalna kinematika 71

4.2.1 Infinitezimalne rotacije 71

4.2.2 Osnovne osobine kososimetričnih matrica 73

Primer 3.0: 75

4.2.3 Ugaone brzine i ubrzanja 76

4.2.4 Sabiranje ugaonih brzina 77

4.2.5 Propagacija brzine kroz kinematičski lanac 78

4.3 Jakobijan 80

4.3.1 Analitičko sračunavanje jakobijana 81

Primer 3.1.: 81

4.3.2 Numeričko sračunavanje jakobijana 82

Primer 3.2: 85

4.4 Numeričko rešavanje inverznog kinematskog problema 86

4.5 Pseudo inverzni jakobijan 88

4.6 Singularne konfiguracije 90

4.7 Elipsoid brzina 93

5 Dinamička analiza manipulacionih robota 97

5.1 Uvod 97

5.2 Statička analiza 97

5.2.1 Veza spoljašnjih sila koje deluju na robot i momenata u zglobovima 101

Primer 4.1: 102

5.2.2 Elipsoid sila 103

5.2.3 Popustljivost i krutost 105

5.2.4 Transformacija uticaja sila i momenata izmeĎu različitih koordinatnih sistema 106

Primer 4.2: 108

5.3 Dinamička analiza 109

5.3.1 Njutn-Ojlerova formulacija jednačina kretanja 110

Primer 4.3. 111

5.3.2 Direktni i inverzni zadatak dinamike i rekurzivni dinamički model 116

5.3.3 Algoritam formiranja dinamičkog modela 119

5.3.4 Lagranţeva formulacija jednačina kretanja 121

Primer 4.3. 125

6 Komponente industrijskih robota 127

6.1 Motori 129


257

6.1.1 Jednosmerni motori sa stalnim magnetima 129

Relationship Between Torque and Speed 129

DC Motor Control Using Pulse-Width Modulation 130

PWM Control Circuits 133

DC Motor Control for Larger Motors 134

6.1.2 Beskolektorski jednosmerni motori 136

6.2 ureĎaji za Prenos snage 143

6.2.1 Kaiševi 144

6.2.2 Lanci 145

6.2.3 Zupčanici 145

6.2.4 Reduktori 148

Planetarni reduktori 149

Harmonijski reduktori 151

Izbor prenosnog odnosa reduktora 153

6.2.5 Povezivanje primarnog i sekundarnog sistema za prenos snage 155

6.2.6 Sprezanje dve osovine157

6.2.7 Konverzija rotacionog u translatorno kretanje 159

6.3 Kočnice 161

6.4 Karakteristični primeri primene sistema transmisije u industrijskoj robotici 162

6.5 Uravnoteţenje konstrukcije robota 167

6.6 Senzori u industrijskoj robotici 168

6.6.1 Senzori unutrašnjih parametara robota 169

6.6.2 Optički enkoderi 170

6.6.3 Rizolver 177

6.6.4 Estimacija brzine iz sinus-kosinus enkoderiskih i rizolverskih signala 179

6.6.5 Granični prekidači poloţaja 180

Induktivni senzori 181

Holov senzor 181

Procedura mehaničkog referenciranja 186

6.7 Kontroler industrijskog robota 187

6.7.1 Otvoreni kontroler industrijskog robota 190

6.7.2 Operativni sistem 193

6.7.3 Izvršavanje programa 193

Literatura 194

7 Planiranje kretanja 195

7.1 Definisanje problema planiranja kretanja 195

7.2 Planiranje PTP kretanja 197

7.2.1 Linearna interpolacija 198

7.2.2 Trapezni profil brzine 199

7.2.3 Interpolacija polinomom trećeg stepena 202

7.2.4 Interpolacija polinomom petog stepena 206

7.2.5 Interpolacija polinomom sedmog stepena 209

7.2.6 Primena normalizovanih interpolacionih polinoma 209

7.2.7 Nadovezivanje trajektorija 211

7.3 Planiranje CP kretanja213

7.3.1 Parametrizovano zadavanje pozicije u prostoru 214

7.3.2 Definisanje orijentacije vrha robota u prostoru 219

7.4 Literatura 227

258

8 upravljanje u industrijskoj robotici 229

8.1 Definisanje problema upravljanja 229

8.1.1 Linearni sistemi sa jednim ulazom i jednim izlazom 233

8.1.2 Linearni upravljački zakoni 241

a) P regulator 244

b) PD regulator 245

c) PI regulator 246

d) PID regulator 248

8.2 Upravljanje kretanja robota 249

8.2.1 Kompletan model dinamike robota 252

8.2.2 Uticaj reduktora na linearizaciju i rasprezanje modela 256

8.3 Upravljanje u unutrašnjim koordinatama 257

8.3.1 Nezavisno upravljanje kretanja zglobova 260

Principi nezavisnog upravljanja zgloba 260

Nezavisno upravljanje zgloba sa motorom jednosmerne struje 265

8.3.2 Centralizovano upravljanje kretanja zglobova 270

Upravljanje sa nominalom 270

Linearizacija putem povratne sprege 272

8.4 Upravljanje u spoljašnjim koordinatama 275

8.5 Literatura 277

9 programiranje industrijskih robota 289

9.1 Uvod 289

9.2 Programiranje i vrste programskih jezika 289

9.3 Osnovni problemi u vezi programiranja robota 292

9.3.1. Modeli okoline 292

Modeliranje okoline u jeziku AL 292

Modeliranje okoline u jeziku RAPT 294

Budući trendovi u modeliranju okoline 295

9.3.2. Opisivanje zadataka 296

Planiranje trajektorija 296

Hvatanje 297

Fina kretanja298

9.4 Programiranje robota 298

9.4.1 Programiranje robota konzolom 299

9.4.2 Programiranje kroz korisnički sotfver visokog nivoa 301

9.5 literatura 302

10 Neke specifičnosti primene robota 279

10.1 Instalacija i korišćenje robota 279

10.1.1 Ograničenje radnog prostora 279

10.1.2 Bezbednosni sistem i zaustavljanje 279

10.2 Kalibracija 281

10.2.1 Kalibracija poloţaja i identifikacija DH parametara 284

10.2.2 Kalibracija senzora poloţaja u zglobovima 286

10.2.3 Neke specifičnosti kalibracije kod zavarivanja. 287

10.3 Identifikacija tereta i detekcija kolizije 287

Literatura 288

Sadrţaj 304

-

Documents

Upravljanje u Robotici