USO DE ECUACIONES PARA RESOLVER PROBLEMAS

Las ecuaciones que estudiamos anteriormente nos pueden ayudar a resolver problemas de nuestro diario vivir. Cada problema requiere el planteamiento de una ecuación. Por tal razón, es muy importante expresar la información dada en palabras en lenguaje algebraico. Ejemplos:

1. Un número aumentado dos veces: n + 22. Un número disminuído en tres: n – 33. El doble de un número: 2n4. El triple de un número: 3n5. Un número par: 2n6. Un número c dividido por ocho: c ÷ 87. Cinco veces un número: 5n8. Dos terceras partes de un número: ⅔ n9. La tercera parte de un número: ⅓ n ó n ÷ 310. El cuadrado de un número: n2

También tenemos varias frases que representan alguna operación matemática o símbolos matemáticos.

Frases Verbales Símbolo MatemáticoLa suma de, aumentado, mayor que, más, más que, y, sobrepasa

+

Disminuído, menos, resta, menos que, diferencia entre, - Producto, multiplicado por, veces xCociente, dividido por, la razón de ÷

Igual, es, son, es igual a, será, da = Ejercicio: Expresa las siguientes frases verbales en lenguaje algebraico: 1. La suma de x y tres.2. El producto de ocho y un número x.3. La suma de la mitad de a y la mitad

de b.4. Siete veces un número.

5. Cinco veces la suma de un número n y dos.

6. Un salario anual x dividido por cincuenta y dos.

7. La diferencia entre trece y el triple de un número n.

Para resolver problemas se recomienda seguir una serie de pasos que nos ayudan a organizar la información, entender y analizar el problema y finalmente resolverlo. Estos son: Leer el problema cuidadosamente.

1. Expresar la información dada en forma algebraica.2. Planteamiento de la ecuación.3. Resolver la ecuación.4. Verificación.5. Escribir la respuesta en una forma adecuada.

PLANTEO DE ECUACIONESFORMA VERBAL

FORMA SIMBÓLICA

FORMA VERBALFORMA

SIMBÓLICA2 veces A A excede a B en 5

N veces x A es a B como 5 es a 3

A es tanto como B M es a 5 como N es a 3

El duplo de A, disminuido en B La suma de dos números consecutivos

El cuadrado de x, disminuido en z La suma de tres número consecutivos

El duplo de A disminuido en B ¿Qué parte de A es B?

El cuadrado de x disminuido en z ¿Qué parte es A de B?

La mitad del cuadrado de x A es 9 más que B

El cuadrado de la mitad de x El cuadrado de la sume de dos números

Suma de los cuadrados de dos números Tres impares consecutivos

Mi edad es 5 años más que la suma de las edades de José y Manuel

Un número aumentado en su cuarta parte

Tres pares consecutivos Se resta 18 a un número

El doble de tu estatura aumentado en 10 centímetros

Se le resta la suma de cifras a un número de dos cifras

Tu edad equivale a la suma de tres pares consecutivos

La quinta parte de a excede en 5 a la sétima parte de b

Diez veces la diferencia entre tu edad y el triple de la mía

La diferencia de cuadrados de dos números consecutivos es 25

03.- Hallar la edad de Juan, si sabemos que al multiplicarla por 5 y añadirle 14, para luego a dicha suma dividirla entre 4, obtendremos finalmente 21 años.

04.- Hallar un número, tal que ocho veces el mismo disminuido en 20 equivale a su séxtuplo aumentado en 140.

05.- La suma de dos números consecutivos es 31. Hallar el menor de ellos.

06.- Se tiene cuatro números consecutivos cuya suma es igual a 102. Hallar el mayor de ellos.

07.- Hallar dos números consecutivos, tales que el cuádruple del mayor disminuido en el triple del menor nos da 23.

08.- Hallar tres números consecutivos, tales que si al séxtuplo del menor le disminuimos el cuádruplo del intermedio y le agregamos el mayor obtendremos 241.

09.- Hallar cuatro números consecutivos, tales que si al triple de la suma de los dos mayores le disminuimos el doble de la suma de dos menores resultaría 53.

10.- La suma de dos números impares consecutivos es cien. Hallar el menor de ellos.

11.- La suma de cuatro números impares es consecutivos es 304. Hallar el mayor de ellos.

12.- Se sabe que la suma de tres números pares consecutivos da como resultado 132. Hallar el menor de ellos.

13.- Si sumamos cinco números pares consecutivos obtendremos 360. Hallar el número par intermedio.

14.- Si a la suma de dos números pares consecutivos le sumamos los dos números impares siguientes resulta 58. ¿el menor impar es?

REGLA DE TRESRegla De Tres Simple Y DirectaSe apl ica cuando dadas dos cant idades correspondientes a magnitudes directamente proporcionales , hay que calcular la cant idad de una de estas magnitudes correspondiente a una cant idad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la apl icaremos cuando entre las magnitudes se establecen las re lac iones:

A más más .

A menos menos .

Ejemplo: Un automóvi l recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos k i lómetros habrá recorr ido en 2 horas?. Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a menos horas recorrerá menos k i lómetros.

240 km 3 h

x km 2 h

Ejemplo: Ana compra 5 kg de patatas, s i 2 kg cuestan 0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a más k i los , más euros.

2 kg 0.80 €

5 kg x €

Regla de tres s imple inversaConsiste en que dadas dos cant idades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales , ca lcular la cant idad de una de estas magnitudes correspondiente a una cant idad dada de la otra magnitud.

La regla de tres inversa la apl icaremos cuando entre las magnitudes se establecen las re lac iones:

A más menos .

A menos más .

Ejemplo: Un gr i fo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14 horas en l lenar un depósito. ¿Cuánto tardar ía s i su caudal fuera de 7 l por minuto. Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a menos l i t ros por minuto tardará más en l lenar e l depósito.

18 l/min 14 h

7 l/min x hEjemplo: 3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construir lo 6 obreros. Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros x h

REGLA DE TRES COMPUESTALa regla de tres compuesta se emplea cuando se re lac ionan tres o más magnitudes , de modo que a part i r de las re lac iones establec idas entre las magnitudes conocidas obtenemos la desconocida.Una regla de tres compuesta se compone de var ias reglas de tres s imples apl icadas suces ivamente.Como entre las magnitudes se pueden establecer re lac iones de proporcional idad directa o inversa , podemos dist inguir tres casos de regla de tres compuesta :

Regla de tres compuesta directa

EjemploNueve gr i fos abiertos durante 10 horas d iar ias han consumido una cant idad de agua por valor de 20 €. Aver iguar e l prec io del vert ido de 15 gr i fos abiertos 12 horas durante los mismos días .

A más gr i fos , más euros Directa .

A más horas, más euros Directa .

9 gr i fos 10 horas 20 €

15 gr i fos 12 horas x €

Regla de tres compuesta inversa

Ejemplo5 obreros trabajando, trabajando 6 horas d iar ias construyen un muro en 2 d ías . ¿Cuánto tardarán 4 obreros trabajando 7 horas d iar ias?

A menos obreros, más d ías Inversa .

A más horas, menos días Inversa .

5 obreros 6 horas 2 d ías

4 obreros 7 horas x d ías

Regla de tres compuesta mixta

EjemploSi 8 obreros real izan en 9 d ías trabajando a razón de 6 horas por d ía un muro de 30 m. ¿Cuántos d ías neces itarán 10 obreros trabajando 8 horas d iar ias para real izar los 50 m de muro que fa l tan?

A más obreros, menos días Inversa .

A más horas, menos días Inversa .

A más metros, más días Directa .

8 obreros 9 d ías 6 horas 30 m

10 obreros x d ías 8 horas 50 m

11 obreros labran un campo rectangular de 220 m de largo y 48 de ancho en 6 d ías . ¿Cuántos obreros serán necesar ios para labrar otro campo análogo de 300 m de largo por 56 m de ancho en c inco días?

220 · 48 m² 6 d ías 11 obreros

300 · 56 m² 5 d ías x obreros

Seis gr i fos , tardan 10 horas en l lenar un depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas horas tardarán cuatro gr i fos en l lenar 2 depósitos de 500 m³ cada uno?

6 gr i fos 10 horas 1 depósito 400 m³

4 gr i fos x horas 2 depósitos 500 m³

REGLA DE TRES COMPUESTA

Esta se caracteriza por tener 3 o más variables y una incógnita. Para este tipo de problemas se puede utilizar el siguiente método

Método de las Rayas: se debe tener en cuenta:a) Causa: obreros o acciónb) Circunstancia: días, horas, semanas,

tiempo.c) Efecto: el trabajo realizado, la obra, las

medidas, la dificultad

Ejemplo1: Para hacer una zanja de 30 metros de largo por 10 de ancho, 20 obreros han trabajado 6 días a razón de 12 horas diarias. ¿Cuántos días trabajarán 15 obreros a 9 horas diarias en hacer una zanja de 45 metros de largo por 20 de ancho?

 

Ejemplo2: Para hacer una zanja de 30 metros de largo por 10 de ancho, 15 obreros han trabajado 6 días a razón de 12 horas diarias. ¿Cuántos días trabajarán 18 obreros a 9 horas diarias en hacer una zanja de 45 metros de largo por 20 de ancho?

x = 20.6.12.45.20/15.9.30.10x = 32 días

FÓRMULAS COMBINATORIA, VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

Fórmulas combinatoria, formas de agrupar un conjunto de elementos, variaciones, permutaciones y combinaciones con y sin repetición

Combinatoria

La Combinatoria es la parte de las Matemáticas que estudia las diversas formas de realizar agrupaciones con los elementos de un conjunto, formándolas y calculando su número.

Existen distintas formas de realizar estas agrupaciones, según se repitan los elementos o no, según se puedan tomar todos los elementos de que disponemos o no y si influye o no el orden de colocación de los elementos.

Fórmulas combinatoria