Contenido: 9.3.1 Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones

cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones.

Intenciones didácticas: Que los alumnos formulen ecuaciones cuadráticas de la forma ax

2+bx+c=0 y que las resuelvan mediante procedimientos ya conocidos.

Consigna. Organizados parejas, encuentren las ecuaciones que modelan los siguientes problemas y resuélvanlas.

a) Un terreno rectangular mide 2 m más de largo que de ancho y su área es de 80 m2 ¿Cuáles son sus dimensiones?

b) Erick es dos años mayor que su hermano. Si la suma de los cuadrados de sus edades es 340, ¿cuántos años tiene Erick?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Para reafirmar lo anterior se puede dejar lo siguiente:

Determina los valores de a, b y c de las siguientes ecuaciones y resuélvelas usando la fórmula general.

Ecuación a b c2x2 + 2x + 3 = 05x2 + 2x = 036x – x2 = 62

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en binas calculen el valor numérico de b² - 4ac (discriminante) y las soluciones de cada ecuación. Luego contesten lo que se pide:

ECUACIÓN VALOR DEL DISCRIMINANTE

b² - 4ac

SOLUCIONES

3x² - 7x + 2 = 0 x1= _____, x2 = _____4x² + 4x + 1 = 0 x1= _____, x2 = _____3x2 -7x +5 = 0 x1= _____, x2 = _____

a) Si el valor del discriminante es mayor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ______________________________

b) Si el valor del discriminante es igual a cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ______________________________

c) Si el valor del discriminante es menor que cero, ¿cuántas soluciones tiene la ecuación? ______________________________

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Consigna: Organizados en parejas, resuelvan el siguiente problema: Si el área de un terreno, como el indicado en la figura, mide 207 m2, ¿cuáles son sus dimensiones?

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Con el fin de consolidar el uso de la fórmula general se puede plantear, como tarea, la resolución de las siguientes ecuaciones:

a) 3x2-5x+2=0 b) X2+11x+24=0 c) 9x2-12x+4=0 d) 6x2=x+222 e) 8x+5=36x2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 9.3.2. Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas.Intenciones didácticas. Que los alumnos usen los criterios de congruencia de triángulos, al resolver problemas.Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.1. Sea ABCD un cuadrilátero, ¿qué condiciones debe cumplir para que al trazar

una de sus diagonales resulten dos triángulos congruente? ____________________________________________________________________

2. Se tienen dos triángulos con el mismo perímetro; los lados del Δ LMN miden LM=5x+3, LN=2x+2 y MN=8X-1; y los lados del ΔRST miden RS=3x+13, RT=4x-8, y, ST=6x+9a) ¿Los triángulos LMN y RST son congruentes? ________ ¿Por qué?

______________________________________________________________________________________________________________________________________

X²X²X²

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna. Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas.

1. Analicen los siguientes casos y determinen si se trata o no de triángulos semejantes, argumenten sus respuestas:

a) Dos triángulos isósceles ABC y MNL en los que el ángulo desigual mide 45°.

b) Dos triángulos rectángulos cualesquiera.

2. El siguiente dibujo representa una parte lateral de una piscina, la cual tiene 2.3 m de ancho. Con base en la información de la figura, contesten lo que se pide.

¿Qué profundidad (x) tiene la piscina?

¿Cuál es la distancia que hay desde el punto G hasta H?

3. Dos caminos que son paralelos entre sí, se unen por dos puentes, los cuales se cruzan por un punto O, como se muestra en la figura.Considerando las medidas que se muestran, ¿cuál es la longitud total de cada puente?

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Contenido: 9.3.3 Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales.

Intención didáctica. Que los alumnos determinen el teorema de Tales mediante el análisis de las relaciones entre segmentos.

Consigna: Trabajen en equipo con el problema siguiente:El dibujo corresponde a un portón hecho por un herrero. Su ayudante dice que existe relación entre los segmentos (ED’, D’C’, C’B’, B’A’) de la barra reforzadora (EA’) y la medida del ancho de cada lámina (ED, DC, CB, BA) que forma el portón. ¿Cuánto deben medir de ancho las láminas que hay en los extremos? ________________________

3 3

1.83.6

3.6

1.8

a) Describan en forma breve qué relación existe entre esas

medidas._________________________________________________

b) Observen y comenten qué otras relaciones encuentran, además de las

que señala el ayudante del herrero. Justifícalas

___________________________________________________________

_____________________________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1. Organizados en parejas señalen los puntos donde el segmento corta a las rayas de la hoja de un cuaderno.

a) ¿Cuántos puntos obtuvieron? ________________________________

b) ¿En cuántas partes quedó dividido el segmento? _________________

c) ¿Por qué se puede asegurar que todas esas partes son iguales? _________________________________________________________________

_______________________________________________________________

Consigna 2. Enseguida, dividan el segmento que aparece abajo en 7 partes iguales; pueden usar escuadras y compás.

Describan el procedimiento utilizado y justifíquenlo: _____________________________________________________________________________________

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1: Reunidos en equipos, realicen las siguientes actividades:

a) Dividan el segmento AB en dos partes, de tal forma que la razón entre las medidas de las dos partes sea 2:3

B

A

b) Dividan los segmentos en partes cuya razón sea la indicada.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Contenido: 9.3.4 Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas.

Intenciones didácticas: Que el alumno, a través de la observación de un experimento, tenga un primer acercamiento hacia la homotecia.

Consigna: Organizados en equipos realicen el siguiente experimento:1. Utilizando la pared como pantalla o fondo, coloquen un objeto (por ejemplo:

un vaso, el borrador, un lápiz, una vela, un CD o una de tus manos) a 1 m de distancia de ella. Después, iluminen dicho objeto con una lámpara de mano a 50 cm de distancia de él en línea recta, de tal forma que se proyecte la sombra del objeto en la pared.

2. Enseguida, acerquen y alejen la lámpara del objeto, y observen qué sucede en ambos casos.

3. Dejen fija la lámpara a 1 m de la pared, acerquen y alejen el objeto de ella. Expliquen lo que sucede en ambos casos.

4. Midan las distancias entre la lámpara y el objeto y entre éste y la sombra. También midan la longitud del objeto y la de la sombra. Verifiquen que la razón entre las distancias es igual a la razón entre las longitudes.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1: En equipos, analicen la siguiente figura y contesten las preguntas planteadas.El foco alumbra un pino y éste proyecta una sombra de mayor tamaño sobre la pared. Los segmentos de recta unen todos los vértices del arbolito con los de su sombra y la prolongación de éstos hacia la izquierda coincide en un punto O.

A

A’E

DCB

a) ¿Cuál es la razón entre OA’ y OA?______________________________b) Elijan otro par de segmentos, sobre una misma recta, y verifiquen que

guardan la misma razón que OA’ y OA.c) Comparen la altura de la sombra con la del pino y anoten la relación entre

ambas medidas.________________________________________

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos, realicen la siguiente actividad.Tomen el punto O como centro de homotecia y únanlo con el punto A, prolónguenlo una distancia igual a OA para ubicar el punto A’; hagan lo mismo con los puntos: B, C, y D para encontrar los puntos B’, C’ y D’, Después, unan los cuatro puntos obtenidos para formar el polígono A’B’C’D’ y contesten las preguntas.

5 cm

3 cm2 cm

D

C

B

A

a) ¿Qué relación existe entre la medida de los lados de ambos polígonos?_________________________________________________

b) ¿Cómo son los ángulos de las dos figuras?_______________________c) ¿Qué relación existe entre los perímetros de ambas figuras?

_______________________________________________d) ¿Qué relación existe entre las áreas de ambas figuras?

___________________________________________________e) ¿Cuál es la razón de homotecia? _____________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipo realicen la siguiente actividad:Tomen como centro de homotecia el punto O, tracen los segmentos AO, BO, CO y prolónguenlos hacia la izquierda la misma distancia. Ubiquen los puntos A’, B’, C’ y únanlos para formar un nuevo triángulo.

a) ¿En qué posición está el nuevo triángulo con respecto al original?________________________________________________

b) ¿Dónde quedó el punto de homotecia con respecto de las dos figuras?_________________________________________________

c) ¿Cuál es la distancia OA?__________________________________d) ¿ Y cuál la de OA’?________________________________________e) Si consideran el punto de homotecia O, como origen en una recta

numérica, ¿cuál es el sentido que tiene la distancia OA?________________ ¿Y el sentido de OA’?__________________

f) ¿Cuál es la razón de homotecia? ___________________________ g) ¿Cuál es el perímetro de ambas figuras?_______________ ¿Cuál es su

área?_________________________--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6

108

C

B

A

O

Consigna: Organizados en parejas, analicen el siguiente dibujo y contesten las preguntas.La figura 1 es la original, la figura 2 es la primera figura homotética (sombra 1) y la figura 3 es la segunda figura homotética (sombra 2). Se sabe que OP = 4 cm, OP’ = 8 cm, P’P’’ = 8 cm y QR = 3cm.

1.¿

Cuál es la razón de homotecia de la figura 2 con respecto de la 1? 2. ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 2? 3. ¿Cuál es la razón de homotecia de la figura 3 con respecto a la 1? 4. Si el segmento QR mide 2.6cm, ¿Cuánto mide el segmento Q’’R’’? --------------------------------------------------------------------------------------------------------------Conocimientos y habilidades: Interpretar, construir y utilizar gráficas de relaciones funcionales no lineales para modelar diversas situaciones o fenómenos.

Intenciones didácticas: Que los alumnos construyan gráficas de relaciones lineales y no lineales y analicen sus características.

Consigna: Reunidos en equipos tracen las gráficas que se indican, posteriormente contesten lo que se pide. Para el primer caso consideren (g = 9.81 m/s2). Pueden utilizar su calculadora.

d = gt 2

2t (s) d (m) (x ,y)0 0 (0,0)1

0 5

100

90

20

Dis

tanc

ia (m

etro

s)

50

60

70

80

30

40

2345

d = vt

¿Qué fenómeno representa cada gráfica?___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________¿Qué diferencias y semejanzas tienen las gráficas?_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________¿Qué relación encuentran entre las expresiones algebraicas y sus gráficas?_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos analicen la siguiente gráfica, la cual representa el área de un rectángulo en función de la medida de la base, cuando el perímetro es constante (10 cm). Posteriormente contesten lo que se pide.

¿Por qué la curva no inicia en el origen del plano?

0 5

100

90

20

Dis

tanc

ia (m

etro

s)

50

60

70

80

30

40

40

30

80

70

60

50

Distancia (km)

20

321Tiempo (horas)

4

90

100

10

50

Area (cm2)

7

6.5

6

5.5

5

4.5

4

3.5

3

2.5

Rectángulos de perímetro = 10 cm

t (h) d (km) (x, y)0 0 (0,0)12345

¿Cuántos rectángulos de 10 cm de perímetro pueden formarse? ¿Por qué?

¿Cuánto puede medir la base cuando el área es igual a 4 cm2?¿Entre qué valores enteros de la base se encuentra el rectángulo de área máxima?¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de área máxima?

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en equipos analicen la siguiente gráfica, la cual representa la relación entre el área de la imagen proyectada sobre la pantalla y la distancia a la que se coloca el proyector. Posteriormente contesten lo que se pide.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1: Organizados en parejas, comenten sobre las diferencias que hay en las expresiones algebraicas de las siguientes funciones y cómo se manifiestan esas diferencias en sus gráficas. Posteriormente contesten lo que se pide.

1) y = x2 2) y = 2x2 3) y = x2+2

área de la imagen (m2)

distancia (m)11109876543210

43.93.83.73.63.53.43.33.23.1

32.92.82.72.62.52.42.32.22.1

21.91.81.71.61.51.41.31.21.1

10.90.80.70.60.50.40.30.20.1

0

a) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5 m?

b) ¿A qué distancia deberá colocarse el proyector con respecto a la pantalla para que la imagen tenga un área de 4 m2?

c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la imagen proyectada en función de la distancia a que se coloca el proyecto?

d) ¿Cuál es el área de la imagen en la pantalla si el proyector se encuentra a una distancia de 5.5 m?

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

1. ¿Qué diferencia hay entre la primera y segunda gráfica? ¿Cómo afecta el valor de a en las gráficas de estas funciones?

2. ¿Qué diferencia hay entre la primera y la tercera gráfica? ¿Cómo afecta el valor de b a las gráficas de estas funciones?

Consigna 2: En el siguiente plano cartesiano se ubican las tres gráficas de la consigna anterior, relacionen cada gráfica con su respectiva expresión algebraica. Después contesten lo que se indica

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40123456789

10111213141516171819

¿Qué relación encuentran entre las expresiones algebraicas y el vértice de las gráficas?------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Integrados en equipos completen las tablas y en un mismo plano, grafiquen las siguientes funciones. Después contesten las preguntas. y = x2 y = 2x2 y = 3x2

x y x Y x Y

-2 -2 -2

y = x2

y =2 x2 y =x2+2

-1 -1 -1

0 0 0

1 1 1

2 2 2

1. ¿Qué semejanzas observan en las tres gráficas?________________________________________________________________________________

2. ¿Qué diferencias encuentran en ellas?________________________________________________________________________________

3.¿A qué creen que se deban esas diferencias?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Organizados en parejas, discutan sobre las diferencias que hay en las expresiones algebraicas de las siguientes funciones y cómo se manifiestan éstas en sus gráficas. Posteriormente contesten lo que se pide.

¿Cómo es la forma de las cuatro gráficas?________________________________

1. ¿Por qué cada parábola se ubica en diferente posición?_____________________

_____________________________________________________________________2. ¿Qué relación hay entre la posición de las curvas y sus expresiones algebraicas?

________________________________________________________________________

y

x

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Integrados en equipos, discutan sobre las diferencias que hay en las expresiones algebraicas de las siguientes funciones y cómo se manifiestan esas diferencias en sus gráficas. Posteriormente contesten lo que se pide.

1. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola de la función y=(x+3)2?2. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola de la función y=(x-7)2?3. ¿Cómo se determinan las coordenadas del vértice de la gráfica de una función de

la forma y = (x+b)2? 4. ¿Cuáles son las coordenadas del vértice de la parábola de la función y = (x - 5)2?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: Integrados en equipos grafiquen en el mismo plano las funciones del tipo y=(x+b)2+c donde el valor de b es 1 y permanece constante y c toma los valores de –1, 3 y 5. Después contesten las preguntas.

y

x

1. ¿Qué efecto tiene en las gráficas el hecho de que el valor de b sea constante, en este caso 1?

2. ¿Qué relación hay entre los valores de los parámetros b y c y las coordenadas del vértice de las parábolas?

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna: organizados en parejas, construyan las gráficas de las funciones y=x3 y y=1/x, utilizando para x los valores que se indican en las tablas. Después contesten lo que se pide.

y = x3

x y

-3

-2

-1

0

1

2

3

y = 1/xx y

-3

-2

-1

0

1

2

3

1. Describan la gráfica obtenida con y=x3 ______________________________________________________________________________________________________________________________________________2. Describan la gráfica obtenida con y=1/x

______________________________________________________________________________________________________________________________________________3. ¿Qué diferencias y semejanzas observan entre una parábola y cada una de las

que construyeron?

y

x

y

x

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Conocimientos y habilidades: Interpretar y elaborar gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etc.Intención didáctica: Que los estudiantes analicen gráficas con secciones rectas y curvas y las asocien con la situación que representan.Consigna 1. En equipos, seleccionen el texto que mejor describe la siguiente gráfica:

a) Ricardo salió a caminar cerca de una pendiente y le tomó menos tiempo bajar por el lado más bajo que por el más alto.

b) Maribel manejaba su coche a cierta velocidad, un policía le dijo que se detuviera y después de recibir una infracción y de que el policía se retiró, ella manejó más rápido, llegó a una velocidad

mayor a la que venía circulando y mantuvo esa velocidad durante cierto tiempo para recuperar el tiempo perdido por la infracción.

c) En un tanque había cierta cantidad de agua que quedó de la noche anterior. Pedro se empezó a bañar e hizo que la velocidad del flujo de salida de agua se redujera a cero. Tiempo después llegó el agua al tanque hasta que quedó lleno.

d) Beatriz vive en una casa a desniveles. Se encuentra sentada en la cocina de su casa durante cierto tiempo. Sube las escaleras hacia la sala de su casa y se queda viendo la televisión durante algún tiempo, finalmente sube las escaleras hacia su recámara y se queda dormida.

Consigna 2. Con el mismo equipo, ahora relacionen cada una de las siguientes gráficas con el texto que mejor describe su información.

a) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de una inyección.

Tiempo

m(t)

I)

Tiempo

m(t)

II

Tiempo

m(t)

III

b) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de píldoras cada cierto tiempo.

c) La permanencia de una medicina en el cuerpo de un paciente, la cual es administrada por medio de una mezcla del medicamento con suero y vía intravenosa.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Consigna 1. La gráfica que aparece a continuación representa el comportamiento de la temperatura de cierta solución (compuesto químico) en diferentes instantes. Organizados en parejas, hagan lo que se indica.

Describan y argumenten:

A. QUÉ OCURRIÓ DEL INICIO A LOS 5 MINUTOS

B. De los 5 minutos a los 8 minutos.

C. De los 8 a los 9 minutos.

Consigna 2. Las siguientes gráficas representan el llenado de recipientes conforme varía la altura que va alcanzando el líquido en relación con el tiempo. Asocien cada uno de los 4 recipientes con su respectiva gráfica. Justifiquen sus respuestas.

54321

(Grado

(Minutos)

t t

t t

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Consigna: Organizados en equipos, bosquejen una gráfica que represente cada una de las siguientes situaciones:

a) La altura de los rebotes de una pelota que cae desde la azotea de una casa con respecto al tiempo.

b) La altura con respecto al tiempo de izar manualmente una bandera en un asta.c) La altura que alcanza el líquido en el recipiente que se muestra en relación con el

tiempo.

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------