1

5.4 Poazejev zakon

zSFv Δ

Δv

p1 p2x R

S S

l

21 pp

2

dx

dvlxF 2

212 ppxFp

02212

dx

dvxlppx

xl

pp

dx

dv

221

2221

4xR

l

ppv

3

• Odavde se vidi da je brzina tečnosti u cevi maksimalna duž ose cevi (x=0) a opada po kvadratnoj funkciji

udaljenja od ose cevi

vR

4

Prema izrazu (5.4.5) vidi se da je razlika pritisaka proporcionalna dužini cevi. Drugim rečima, u horizontalnoj

cevi konstantnog prečnika pritisak opada linearno sa

dužinom cevi.

H

5

Opadanje pritiska duž cevi može se posmatrati i sa gledišta energije. Tečnost ima konstantnu brzinu duž cevi, te se

njena kinetička energija ne može menjati duž cevi. Pošto je kretanje tečnosti u horizontalnom pravcu, tečnost ne dobija

nikakav rad od gravitacionog polja. Međutim, da bi se tečnost kretala, mora se savlađivati sila trenja i time vršiti rad. Prema opisanim uslovima ovaj rad može da se vrši

samo na račun energije pritiska, te on mora opadati.

2221

4xR

l

ppv

21

4

8pp

l

R

dt

dV

2RS 0x

Svdt

dV

6

5.5 Turbulentno kretanje i Rejnoldsov broj

• Međutim, pri većim brzinama strujanja fluida javlja se mešanje strujnica, pri čemu ne postoji više kretanje po slojevima, već se slojevi međusobno mešaju formirajući veoma složene oblike koji su mahom nepravilni i ne mogu se lako posmatrati. Takvo strujanje se naziva turbulentno strujanje. Do koje će granice postojati laminarno strujanje i kada će nastupiti turbulentno kretanje zavisi od vrlo mnogo okolnosti, koje se jednostavnom teorijom ne mogu predvideti. Uglavnom se turbulentno strujanje javlja pri većim brzinama, ali granica brzine zavisi i od prečnika mlaza, oblika suda i obrade površine suda kroz koji struji tečnost. U nekim okolnostima i mali potresi ili beznačajni uzroci mogu da izazovu prelaz laminarnog kretanja u turbulentno.

7

ba

Dламинарно

турбулентно

8

Rejnoldsov kriterijum ili Rejnoldsov (Osborne Reynolds) broj:

• Skoro uvek turbulentno kretanje

• U granicama od 2000 do 3000 kretanje može biti i turbulentno i laminarno što zavisi od pomenutih složenih faktora čije se gradacije ustanovljuju empirijskim putem i obično izražavaju pomoću tablica. Iz izraza za Rejnoldsov broj dobija se kritična brzina za vodu kada protiče kroz cev prečnika a pri temperaturi od

vlvl

Re

3000eR

C20

9

• vazduh kritična brzina

s

cm20kv

s

cm1850kv

10

Primer: Cisterna, visine , napunjena je uljem (slika 5.5.3). Na dnu ove cisterne nalazi se otvor na koji je postavljena cev dužine i poluprečnika . Kolika je:a) najveća brzina isticanja ulja kroz cev?b) protok ulja?

Koeficijent viskoznosti ulja je , a njegova gustina

p2

H

l

p1

m 10H

m 2l cm 1R

Pas 5,0

3m

kg 900

11

Najveća brzina

l

pRvm 4

2

gHp

s

m 2,2

4

2

l

gHRvm

s

L 345,0

288

244

mvR

l

RgH

l

RpQ

s

kg 312,0 QQ

12

Primer: Metalna cev, dužine i poluprečnika spojena je na javnu vodovodnu mrežu, u kojoj je pritisak vode . Voda na drugom kraju ističe slobodno. Atmosferski pritisak je , a viskoznost vode . Koliki je protok vode kroz cev?

m20l cm 20R

mbar 31 pmbar 1010ap

mPas 8,0

13

• Primer: Da bi se odredila viskoznost alkohola, meri se masa isteklog alkohola kroz horizontalnu kapilarnu cev, dužine i prečnika

, pod dejstvom pritiska stuba alkohola visine . Za vreme istekne količina alkohola čija je masa . Kolika je viskoznost alkohola prema ovim podacima ako je njegova gustina ?

s

m 6,0

8

3

1

4

appl

R

dt

dVQ

cm 12l mm1dm 5,1h

s 100tg 200m

3m

kg 800

14

• Primer: Kroz cev, dužine i poluprečnika , protiče tečnost gustine i viskoznosti . Brzina proticanja tečnosti

određena je relacijom:

gde je brzina tečnosti na sredini cevi, a poluprečnik uočenog cilindričnog sloja tečnosti.

• a) Koliki je protok tečnosti kroz cev?• b) Kolika je kinetička energija tečnosti u cevi?• c) Kolika je sila trenja između cevi i tečnosti?• d) Kolika je razlika pritisaka na krajevima cevi?

mPas 1128

42

t

ml

ghd

2

22

0R

rRvv

15

Rr

dr

v0

v

-R Rr

v(r)

16

a) Protok tečnosti kroz elementarnu poprečnu površinu je

• b)Kinetička energija jednog sloja tečnosti, mase , čija je brzina , je

SvQ dd

rrS d2d

20

02

3

0 2

12 Rvdr

R

rrvQ

R

dmv

mvEk d2

1d 2

17

• v) Prema Njutnovom zakonu unutrašnjeg trenja je

rlrVm d2dd

220

0

42244

20

6

1d2 RlvrrrRR

R

lvE

R

k

r

vSFtr d

d

r

R

rv

RlFtr d

1d

22

2

0

18

• d) Prema Poazjeovom zakonu je

Rr

204R

rlvRFtr

04 lvFtr

l

pRQ

8

4

202

1RvQ

204

R

lvp

19

1. Pritisak u fluidu2. Protok fluida i jednačina kontinuiteta

• 1. Strujnom cevi protiče voda (gustine 1000 kg/m3). Na jednom poprečnom preseku, čiji centar se nalazi na visini 2m iznad horizonta, brzina proticanja je 2 m/s, a pritisak koji na njemu vlada 1,4105 Pa. Kolika je brzina proticanja tečnosti na drugom poprečnom preseku koji se nalazi na visini 1m iznad horizonta a na kome vlada pritisak 1,2105 Pa? Za ubrzanje sile Zemljine teže uzeti 10 m/s2 .

• 2. Kugla, načinjena od homogene supstancije gustine , pliva između dve tečnosti koje se ne mešaju. Gustina gornje tečnosti je , a donje . Koliki deo kugle je potopljen u gornju, a koliki u donju tečnost?

1 2