Variacion de Parametros

Jesus Ivan Herrera Lopez

28 de octubre de 2015

Ecuacion Diferenciald2y

dx2+ 4

dy

dx+ 5y = e2x secx

El polinomio caracterstico de la ecuacion diferencial es:

P (r) = r2 + 4r + 5 = 0

r =4

(4)2 (4)(1)(5)

2(1)= r = 2 i

Con races reales e imaginarias las soluciones son y1 = e2x cosx y y2 = e2x sinx.

Luego la solucion complementaria sera:

yC = C1e2x cosx + C2e2x sinx

Determinamos la solucion particular para ello determinamos el Wroskiano:

W =

e2x cosx e2x sinx(2e2x cosx e2x sinx) (e2x cosx 2e2x sinx)

W = e4x cos2 x 2e4x sinx cosx + 2e4x sinx cosx + e4x sin2 x

W = e4x(cos2 x + sin2 x

)= W = e4x

Puesto que la solucion particular toma la forma

yP = u1y1 + u2y2

Derivando dos veces con el fin de obtener la expresion de la ecuacion diferencial originaly considerando que: u1y1 + u

2y2 = 0 obtenemos dos ecuaciones, es decir obtenemos un

sistema de ecuaciones de la forma:{u1y1 + u

2y2 = 0

u1y1 + u

2y2 = f(x)

1

El sistema de ecuaciones sera:

{u1e2x cosx + u2e

2x sinx = 0

u1(2e2x cosx e2x sinx) + u2(e2x cosx 2e2x sinx) = e2x secx

La solucion del sistema sera:

u1 =

0 e2x sinxe2x secx (e2x cosx 2e2x sinx)

W= e

2x sinx e2x secxe4x

u1 = tanx = u1 =

tanxdx = Ln [cosx]

u2 =

e2x cosx 0(2e2x cosx e2x sinx) e2x secx

W=e2x cosx e2x secx

e4x

u2 = 1 = u2 =dx = x

Entonces la solucion general de la ecuacion diferencial sera:

y = yC + yP

y = C1e2x cosx + C2e2x sinx + Ln [cosx] e2x cosx + xe2x sinx

2

Ecuacion Diferenciald2y

dx2 2dy

dx+ y = ex sin1 x

El polinomio caracterstico de la ecuacion diferencial es:

P (r) = r2 2r + 1 = 0

P (r) = (r 1)2 = 0 = r = 1Con races reales r = 1 las soluciones son y1 = e

x y y2 = xex.

Luego como la raz es de multiplicidad 2 la solucion complementaria sera:

yC = C1ex + C2xe

x

Determinamos la solucion particular para ello determinamos el Wroskiano:

W =

ex xexex ex(x + 1)

W = xe2x + e2x xe2x

= W = e2xPuesto que la solucion particular toma la forma

yP = u1y1 + u2y2

Derivando dos veces con el fin de obtener la expresion de la ecuacion diferencial originaly considerando que: u1y1 + u

2y2 = 0 obtenemos dos ecuaciones, es decir obtenemos un

sistema de ecuaciones de la forma:{u1y1 + u

2y2 = 0

u1y1 + u

2y2 = f(x)

El sistema de ecuaciones sera:{u1e

x + u2xex = 0

u1ex + u2e

x(x + 1) = ex sin1 x

La solucion del sistema sera:

u1 =

0 xexex sin1 x ex(x + 1)

W= xe

x ex sin1 xe2x

u1 = x sin1 x = u1 =

x sin1 xdx

Esta ultima integral se resuelve por integracion por partes, su resultado sera:

u1 =1

4

[x

1 x2 + (2x2 1) sin1 x]3

u2 =

ex 0ex ex sin1 x

W=ex ex sin1

e2x

u2 = sin1 x = u2 =

sin1 xdx

Esta otra integral se resuelve por integracion por partes, su resultado sera:

u2 =

1 x2 + x sin1 x

Entonces la solucion general de la ecuacion diferencial sera:

y = yC + yP

y = C1ex + C2xe

x +ex

4

[x

1 x2 + (2x2 1) sin1 x]+ xex (1 x2 + x sin1 x)

4

Ecuacion Diferencial

x2d2y

dx2+ x

dy

dx+ 4y = 2xLnx

Dado que y1 = x y y2 = xLnx forman un conjunto fundamental de soluciones para laEDO homogenea asociada.

Decimos entonces que la solucion particular sera:

yP = u1y1 + u2y2

Entonces:

yP = u1x + u2xLnx

yP = u1x + u1 + u2xLnx + u2(1 + Lnx)Consideramos que: u1x + u

2xLnx = 0

Entonces:

yP = u1 + u2(1 + Lnx)

yP = u1 + u2(1 + Lnx) + u2x1Sustituyendo en la EDO

x2yP + xyP + 4yP = 2xLnx

x2[u1 + u

2(1 + Lnx) + u2x

1]+ x [u1 + u2(1 + Lnx)] + 4 [u1x + u2xLnx] = 2xLnx[x2u1 + u

2(x

2 + x2Lnx) + u2x]

+ [xu1 + u2(x + xLnx)] + [4u1x + 4u2xLnx] = 2xLnx

x2u1 + u2(x

2 + x2Lnx) + u2 [x + x + xLnx + 4xLnx] + u1 [x + 4x] = 2xLnx

x2u1 + u2(x

2 + x2Lnx) + u2 [2x + 5xLnx] + 5xu1 = 2xLnx

Decimos que: u2 [2x + 5xLnx]+5xu1 = 0, entonces procedemos a determinar el Wros-kiano, teniendo el siguiente sistema de ecuaciones:{

u1x + u2xLnx = 0

u1x2 + u2(x

2 + x2lnx) = 2xLnx

Que es igual a esto, es decir dividimos entre x y x2{u1 + u

2Lnx = 0

u1 + u2(1 + lnx) = 2x

1Lnx

5

El Wroskiano sera:

W =

1 Lnx1 1 + Lnx

W = 1 + Lnx Lnx

= W = 1

Luego encontramos u1 y u2

u1 =

0 Lnx2x1Lnx 1 + Lnx

W= 2x1Ln2x

u1 = 2

Ln2xdx

x= u1 = 2

3Ln3x

u2 =

1 01 2x1Lnx

W= 2x1Lnx

u2 = 2

Lnxdx

x= u2 = Ln2x

Tomando los valores de u1 y u2 encontramos la solucion particular

yp = u1x + u2xLnx

yp = 23xLn3x + xLn2xLnx

yp = xLn3x[1 2

3

]La solucion particular es:

yp =x

3Ln3x

Como la solucion general es la suma de la particular y la complementaria la respuestasera:

y = C1x + C2xLnx +x

3Ln3x

6