Upload
doantruc
View
225
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Physics 1
Vật lý neutron và lò phản ứng
Neutron and Reactor Physics
Vật lý Hạt nhân
HUS – 9/2009
2
Vật lý neutron và lò phản ứng
1. Giảng viên:PGS. TS Phạm Quốc HùngThS. Vũ Thanh Mai
2. Thời lượng: 45 tiết
3. Khung tính điểm: Bài tập: 30%Giữa kỳ: 20%Cuối kỳ: 50%
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
3
Tài liệu
1. Giáo trình:Vật lý lò phản ứng hạt nhân – Ngô Quang Huy - NXB. ĐHQG HNIntroduction to nuclear reactor theory – Lamarsh
2. Tài liệu tham khảo:Nuclear reactor physics – DuderstadtLò phản ứng hạt nhân – Phạm Quốc Hùng – NXB. ĐHQG HN
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
4
1. Giới thiệu chung
1.1 Nhà máy điện hạt nhân
1.2 Vật lý lò và lý thuyết lò PƯ
2. Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tắc cấu tạo lò PƯ
2.1 Neutron
2.2 Tán xạ và hấp thụ
2.3 Phân hạch hạt nhân
2.4 Phản ứng dây chuyền
2.5 Phân loại lò PƯ 3. Làm chậm và khuếch tán neutron3.1 Cơ chế làm chậm3.2 Khuếch tán neutron3.3 PT khuếch tán 1 nhóm neutron3.4 PT khuếch tán 2 nhóm neutron3.5 PT vận chuyển neutron
Nội dung
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
5
Nội dung
4. Trạng thái tới hạn của lò PƯ4.1 Hệ số nhân hiệu dụng4.2 Công thức 4 thứa số4.3 Công suất lò PƯ
5. Động học lò PƯ5.1 Độ PƯ5.2 Vai trò của neutron tức thời và neutron trễ trong PƯ dây chuyền5.3 PT động học lò PƯ
6. Sự thay đổi độ PƯ trong quá trình làm việc của lò6.1 Sự nhiễm độc Xenon và Samari6.2 Sự cháy nhiên liệu và tạo xỉ trong lò PƯ6.3 Hiệu ứng nhiệt độ6.4 Hiệu ứng công suất6.5 Độ hiệu dụng của các thanh nhiên liệu
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
6
1.1 Nhà máy điện hạt nhân
1 Giới thiệu chung
< Giản đồ cấu hình của nhà máy điện PWR >
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
7
< Giản đồ cấu hình lõi lò PƯ PWR>
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
8V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
9
1. Thanh nhiên liệu (Fuel rod)
2. Vỏ nhiên liệu (Fuel cladding) là một ống Zircaloy-4 dày 0.025 inch (0.635 mm).
3. Viên UO2 (UO2 pellet) được nén lõm cả 2 đầu để điểu chỉnh thích hợp cho sự dãn nở vì nhiệt và sự phồng lên của nhiên liệu.
SPRING
UO2 PELLETS
FUEL CLADDING
Al2O3 SPACERDISC
LONG LOWER END CAP
UPPEREND CAP
< Giản đồ thanh nhiên liệu>
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
10
• Ví dụ : Lõi lò VHTR
Coolant
Graphite Block
C-matrix
Fuel kernel
REPLACEABLE CENTRAL& SIDE REFLECTORS
CORE BARREL
ACTIVE CORE102 COLUMNS10 BLOCKS HIGH
PERMANENTSIDEREFLECTOR
36 X OPERATINGCONTROL RODS
BORATED PINS (TYP)
REFUELINGPENETRATIONS
12 X START-UPCONTROL RODS
18 X RESERVE SHUTDOWNCHANNELS
REPLACEABLE CENTRAL& SIDE REFLECTORS
CORE BARREL
ACTIVE CORE102 COLUMNS10 BLOCKS HIGH
PERMANENTSIDEREFLECTOR
36 X OPERATINGCONTROL RODS
BORATED PINS (TYP)
REFUELINGPENETRATIONS
12 X START-UPCONTROL RODS
18 X RESERVE SHUTDOWNCHANNELS
Fuel Kernel
Buffer Layer
Inner Pyrocarbon
Silicon Carbide
Outer Pyrocarbon
TRISO Particles
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
11
1.2 Lò phản ứng hạt nhân và vật lý lò
• Lò phản ứng hạt nhân là một thiết bị kỹ thuật, trong đó nhiên liệu hạt nhân và các vật liệu cấu trúc được sắp đặt sao cho phản ứng dây chuyền tự duy trì có thể điều khiển được.
• Năng lượng hạt nhân (dưới dạng động năng của các mảnh phân hạch, neutron, tia gamma) giải phóng trong quá trình phản ứng dây chuyền được sử dụng.
• Vật lý lò hay phân tích lò phản ứng là sự xác định về nguyên lý của phân bố neutron trong lò phản ứng dưới các cấu hình và điều kiện vận hành cân bằng khác nhau:
- neutron sinh ra do phân hạch và
- neutron mất đi do phản ứng bắt (capture) hoặc dò dỉ neutron (leakage).
• Kết quả của phân tích lò PƯ:- Sự phân bố năng lượng (Power distributions)
- Hệ số nhân hiệu dụng (Effective multiplication factors) - keff
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
12
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tắc cấu tạo lò PƯ
• Hạt nhân: do các proton và neutron, các hạt có khối lượng gần bằng nhau và có cùng mômen góc (spin) bằng 1/2.
• Proton là hạt mang một đơn vị điện tích dương trong khi neutron không có điện tích. Thuật ngữ nucleon được sử dụng cho cả proton và neutron.
• Một hạt nhân được nhận dạng bởi nguyên tử số, Z (nghĩa là số proton), số neutron, N và số khối, A, trong đó A=Z+N.
2.1 Neutron
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
14
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.1 Neutron
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
15
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.1 Neutron
1. Neutron được tạo lên bởi 1 quark up và 2 quark down.
2. 1 trong 2 quark down chuyển thành 1 quark up. Vì quark down có điện tích bằng -1/3 và quark up có điện tích bằng 2/3, quá trình này được trung gian bởi 1 hạt ảo W-, hạt này mang điện tích -1 (để điện tích được bảo toàn).
3. Quark up mới bật ra khỏi hạt W-. Neutron giờ trở thành 1 proton.
4. Một electron và 1 phản hạt neutrino hình thành từ hạt ảo W-
5. Proton, electron và hạt phản neutrino tách khỏi nhau.
•Phân rã beta của neutron:
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
16
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.1 Neutron
•Phân loạineutron: 3 loại theo 3 miền năng lượng
1. Neutron nhiệt (thermal neutron): 0<E≤0.1 eV
2. Neutron trung gian (epithermal neutron): 0.1<E≤100 KeV
3. Neutron nhanh (fast neutron): 100 KeV<E≤10 MeV
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
17
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.2 Tán xạ và hấp thụ neutron
• PƯ (n,n) : Sự tán xạ neutron (scattering of neutron)
Tán xạ đàn hồi (Elastic scattering): tổng động năng của các hạt tương tác trước và sau va chạm không thay đổi:
n+ZA -> ZA+1 -> n+ZA
Tán xạ không đàn hồi (Inelastic scattering): Một phần đông năng chuyển thành năng lượng kích thích của hạt nhân sau va chạm. Năng lượng này sau đó được phat ra dưới dạng lượng tử :
n+ZA -> ZA+1 -> n+ZA+
• PƯ (n, ) and (n, f) : Sự hấp thụ neutron (absorption of neutron)
Bắt bức xạ (radiative capture): n+ZA -> ZA+1 -> ZA+1
Phân hạch (fission): n+ZA -> ZA+1 -> ZB+ ZC (B+C=A+1)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
18
Hạt nhân hợp phần (Compound Nucleus)
10 n
+
AZ X
10 n
+
AZ X
: Tán xạ thế (potential scattering)
- phản xạ sóng neutron từ bề mặt hạt nhân
Tán xạ đàn hồi (elastic scattering)
Tán xạ không đàn hồi (inelastic scattering)
PƯ bắt (capture)
Phân hạch (fission)
( )A+1Z X
∗
Hạt nhân hợp phần14~10 sec−
10 n
+
AZ X
Ví dụ: Neutron tương tác với U-2351 2350 92n U+
1 2
1 2
1 2350 92
23692
10
: scattering
: (radiative) capture
: fission
+
+
+ +A AZ Z
n U
U
X X n
γν
(2.4)
(2.5)
(2.6)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
19V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
20
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.3 PƯ phân hạch hạt nhân
235 U + 1n -> fission products + neutrons + energy (~200 MeV)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
21
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.3 PƯ phân hạch hạt nhân
Cơ chế và năng lượng
• Mẫu giọt
• Năng lượng tới hạn
(Critical energy)
,critical qE E Q= −2
1 2
1 2q
Z Z eE
R R=
+
trong đó (2.7)
: Thế năng Coulomb
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
22
• Năng lượng kích thích (excitation energy) của hạt nhân hợp phần:
• A-1
A-1
If with 10 : Z , fissionable
If : Z , fissile
excitation c critical c
critical
E B E E E MeV
B E
= + > <∼
>
,excitation cE B E= +
B = Năng lượng liên kết (binding energy) của neutron cuối cùng trong hạt nhân hợp phần (ZA)*,
cE = Động năng (kinetic energy) của neutron.
(2.8)
trong đó:
Nếu
Nếu
với có thể phân hạch
phân hạch
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
23V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
24
Phân loại hạt nhân nhiên liệu:
• Hạt nhân phân hạch
(Fissile nuclides)
• Hạt nhân có ngưỡng
(Fissionable nuclides)
• Nguyên liệu hạt nhân
(Fertile nuclides)
– phân hạch bởi các neutron chậm
– U233 , U235 , Pu239 , Pu241
– phân hạch bởi cácneutron nhanh
– Th232 , U233 , U235 , U238 , Pu239 , Pu241 , ...
– được chuyển hóa thành hạt nhân phân hạch nếu một neutron được hấp thụ
– Th232 , U238
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
25
Ví dụ 1 phản ứng phân hạch
•
γ-RaysA AZ Zn U X X nν+ → + + +1 2
1 2
1 235 10 92 0
Fig. 3-7. Fission product yields: thermal and 14-MeV fission of U235 .
Các mảnh phân hạch
Các tia γ tức thời
2 nhóm khối lượng 80÷110 và 125÷155 có suất ra lớn nhất.
• Giàu neutron: hoạt tính beta (β -decay)
• Các sản phẩm phân hạch: các mảnh phân hạch
+ con cháu
( ),A AZ ZX X1 2
1 2
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
26
Phản ứng phân hạch U235 giải phóng năng lượng cỡ 200 Mev
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
27
• Neutron tức thời và neutron trễ:
Neutron tức thời (prompt neutrons) : sinh ra tại thời điểm phân hạch :
Neutron trễ (delayed neutrons) : sinh ra từ nhóm các con cháu phân rã beta (=hạt nhân tiền tố Ci), do đó bị trễ lại bằng với thời gian bãn rã beta:
νβ )1( −
,6,,2,1, =iiνβ
.6
1∑
==
iiββ
Các neutron phân hạch gồm 2 loại:
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
28V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
29
Số liệu của neutron trễ trong PƯ nhiệt hạch của 235 U
Nhóm Thời gian bán rã
(sec)
Hằng số bán rã(λ i,sec-1)
Năng lượng(keV)
Suất ra, Neutron/ phân
hạch
β i
1 (Br87 ) 55.72 0.0124 250 0.00052 0.000215
2 (I137 ) 22.72 0.0305 560 0.00346 0.001424
3 6.22 0.111 405 0.00310 0.001274
4 2.30 0.301 450 0.00624 0.002568
5 0.610 1.14 - 0.00182 0.000748
6 0.230 3.01 - 0.00066 0.000273
Tổng suất ra: 0.0158
β : 0.0065
Trung bình số neutron/phân hạch (ν ) : 2.43
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
30
Các neutron tạo thành từ PƯ phân hạch
• Tính trung bình, ν (>2) neutron được sinh ra trong 1 PƯ phân hạch
Số trung bình các neutron phân hạch ν
Năng lượng neutron gây ra PƯ phân hạch
3.042.93Pu239
2.512.42U235
2.582.49U233
1 MeV0.025 eV
Hạt nhân
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
31
Tiết diện phản ứng (cross section) và tốc độ phản ứng (reaction rate)
• Độ (“xác suất”) của phản ứng hạt nhân xảy ra giữa 1 neutron và một hạt nhân nào đó.
• Hàm phụ thuộc rất lớn vào:
i) năng lượng neutron
ii) hạt nhân
iii) loại phản ứng
• Tiết diện vi mô (Microscopic cross section), σ : đơn vị tiết diện: cm2, barn (1 barn = 10-24 cm2)
• Tiết diện vĩ mô (Macroscopic cross section), Σ : Σ = σ N, N = mật độ hạt nhân, đơn vị : cm-1
σ
σg = πR2
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
32
• Tốc độ phản ứng (Reaction rates)
Σ α φ : Số các phản ứng loại α/cm3.sec
φ (E) =n(E) υ(E)
= Số các neutron đi qua 1 đơn vị diện tích trên 1 đơn vị
thời gian, có vận tốc υ (hoặc năng lượng E=1/2mυ2)
n(E)dE = Số neutron/cm3 có năng lượng nằm giữa E và E+dE
Trong đó:
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
33
Tra cứu số liệu tiết diện hạt nhân:
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
34
Ví dụ: Tiết diện phân hạch của U-235
Energy (eV)
C
ross section (barns)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
35
Ví dụ: Tiết diện hấp thụ (bắt) của U-238
Energy (eV)
C
ross section (barns)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
36
Ví dụ : Tiết diện đàn hồi/tiết diện tổng của Hydrogen
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
37
Ví dụ : Tiết diện đàn hồi/tiết diện tổng của Oxygen
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
38
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.4 PƯ dây chuyền và nguyên tắc làm việc của lò PƯ hạt nhân
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
39
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.4 PƯ dây chuyền và nguyên tắc làm việc của lò PƯ hạt nhân
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
40
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.4 PƯ dây chuyền và nguyên tắc làm việc của lò PƯ hạt nhân
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
41
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.4 PƯ dây chuyền và nguyên tắc làm việc của lò PƯ hạt nhân
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
• Hệ số nhân k:
k= n2/n1
Trong đó: n1 và n2 là các mật độ neutron trong hai thế hệ kế tiếp nhau
k=1: Trạng thái tới hạn
k<1: Trạng thái dưới tới hạn, PƯ dây chuyền tự tắt
k>1: Trạng thái trên tới hạn, PƯ dây chuyền phát triển
42
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
Tên Chức năng Đặc điểm yêu cầu Vật liệu
Nhiên liệu hạt nhân
Phân hạch hạt nhân bởi các neutron
• Các đặc tính hạt nhân tốt•Độ dẫn nhiệt cao•Bền hóa học và bức xạ
UO2, UO2/PuO2, U-Zr, …
Chất làm chậm
Giảm năng lượng neutron bằng tán xạ và các neutron không bị bắt đáng kể
• Tiết diện tán xạ lớn• Tiết diện hấp thụ nhỏ•Số khối nhỏ
H2O, D2O, Be, C
Chất tải nhiệt Chuyển nhiệt từ các nguồn nhiệt chính nhue lõ lò hoặc vỏ tái sinh
• Sức bơm cần thiết nhỏ• Bền bức xạ• Dồi dào & giá thành rẻ
H2O, D2O, CO2, He, Na lỏng, Pb-Bi lỏng
Chất điều chỉnh hoạt độ
Điều chỉnh thông lượng neutron trong lò bằng PƯ hấp thụ neutron
• Thanh điều khiển: B, B4C, Cd, …• Chất dập tắt (Burnable poision): Eu2O3, Gd2O3 …
Vật liệu cấu trúc
Duy trì hình học lò • Độ cứng và tính mềm dẻo cao• Tiết diện hấp thụ nhỏ• Bền nhiệt và phóng xạ• Ít bị bào mòn
Zicarloy, Al và hợp kim …
Các thành phần chính của lò PƯ
43
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
2.5 Phân loại lò PƯ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
• Năng lượng neutron• Nhanh/Trung gian/Nhiệt• Hầu hết các lò PƯ đang vận hành là lò neutron nhiệt
• Ứng dụng• Năng lượng/Nghiên cứu/…
• Chất tải nhiệt, chất làm chậm hoặc nhiên liệu• Tải nhiệt bằng nước, khí hoặc kim loại lỏng• Làm chậm bằng graphite, nước nặng, …• Chất tải nhiệt là yếu tố dầu tiên để phân loại lò PƯ
• Hệ số tái sinh• Đốt nhiên liệu, nhân nhiên liệu
44
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
Các loại lò PƯ chính
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
45
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
Các loại lò PƯ chính
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
46
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
Các loại lò PƯ chính
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
47
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
Các loại lò PƯ chính
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
48
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
Các loại lò PƯ chính
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
49
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
Các loại lò PƯ chính
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
50
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
Các loại lò PƯ chính
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
51
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
52
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
53
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
54
2 Tương tác của neutron với vật chất và nguyên tác cấu tạo lò PƯ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
55
3. Làm chậm và khuếch tán neutron
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
3.1 Cơ chế làm chậm neutron
• Neutron sinh ra do phân hạch chủ yếu là neutron nhanh (~2MeV),
nhưng tiết diện phân hạch thì cao đối với neutron nhiệt (~0.1 eV).
• Do đó, chúng ta cần làm chậm neutron để thiết kế lò PƯ tới hạn với một
lượng nhiện liệu tối thiểu.
• Cơ chế làm chậm: Tán xạ neutron trong môi trường chất làm chậm
• Tán xạ không đàn hồi với các hạt nhân nặng
• Tán xạ đàn hồi với các hạt nhân nhẹ
56
Các neutron phân hạch (cỡ MeV)
( Hấp thụ cộng hưởng hoặc rò rỉ)
Các neutron nhiệt dưới-eV(rò hoặc bắt)Phân hạch
ν
E : Làm chậm thông qua tán xạ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
57
,Ωur
EE′
′Ωuur
Tỷ lệ tán xạ đến :, Ωur
E ( , ) ( , )′ ′ ′ ′ ′ ′Ω Σ → Ω Ω Ω∫ ∫uur uur ur uur
gsdE d E E Eψ
Tỷ lệ tán xạ ra khỏi :,′ ′Ωuur
E ( , ) ( , ) ( ) ( , )′ ′ ′ ′ ′ ′ ′Ω Σ → Ω Ω Ω = Σ Ω∫ ∫ur uur ur uur uur
gs sdE d E E E E Eψ ψ
Trong đó ( ) ( , )
( ) ( , )
′ ′ ′Σ = Ω Σ → Ω Ω
′ ′ ′ ′= Ω Ω
∫ ∫∫
ur uur urg
uur uurs sE dE d E E
E d Eφ ψ
Tỷ lệ tán xạ ra khỏi :
′E ( ) ( , ) ( ) ( ),′ ′ ′ ′ ′ ′Ω Σ Ω = Σ∫uur uur
s sd E E E Eψ φ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
58
Tán xạ đàn hồi (Elastic Scattering)
• Hệ quy chiếu phòng TN -Laboratory System (LS) :
Neutron
m
Hạt nhân bia
MCM
Ev ,
CMv 0=V
Ev ′′,
Lθ
φ
V ′
(3.1)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
( )2
2
2 cos 1
1CA AE
E A
θ ′ + + = +
59
• Hệ khối tâm - Center of Mass System (CMS) :
21 1 1
cos , where2 2 1C
E A
E A
α α θ α′ + − − = + = +
Neutron
m
Hạt nhân bia
MCM
CM
Cv
CV
CV ′
Cv ′
Cθ
(3.2)
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 sin
2 sin 4
(1 )
s L L L
s
s C C C s C
s s
dP E E dE
dP E E
E
πσ θ θ θσ
πσ θ θ θ πσ θσ α σ
′ ′→ = −
′= − → → =−
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
60
• Nếu là tán xạ đẳng hướng trong hệ quy chiếu tâm quán tính,
-
- Năng lượng trung bình của neutron tán xạ đàn hồi:
- Năng lượng trung bình mất đi sau 1 va chạm:
- ξ : Độ tăng trung bình của lethargy (u) trên 1 va chạm, : Độ mất năng lượng theo thang logarit trên 1 va chạm.
(1 )
2
EE
α+′ =
(1 )
2
EE E E
α−′∆ = − =
ln lnE
uE
αξ αα
= ∆ = = +′ −
11
1,
(1 )( )
0, ,
E E EEP E E
E E E E
αα
α
′< <′ −→ = ′ ′< >
1
(1 )E α−
( )P E E ′→
Eα EE′
(2.11)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
61
Lethargy: Mức độ làm chậm của neutron
Lethargy tăng khi E giảm
ξ : Độ tăng trung bình của lethargy (u) trên 1 va chạm, : Độ mất năng lượng theo thang logarit trên 1 va chạm.
ln lnE
uE
αξ αα
= ∆ = = +′ −
11
(3.6)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
( ) lnE
u EE
=′
(3.7)
62
• Thông số va chạm của một số hạt nhân
• Khả năng làm chậm = ,sΣξ Hệ số làm chậm=a
s
ΣΣξ
Hạt nhân H1 D2 He4 Be9 C12 O16 Na23 U238
α 0 0.111 0.357 0.640 0.716 0.779 0.840 0.983
ξ 1 0.726 0.425 0.207 0.158 0.120 0.0825 0.0083
Số va chạm(2MeV 1eV)
14.5 20 43 70 92 121 171 1747
Chất làm chậm H2O D2O He Be C U238
1.53 0.170 0.176 0.064
71 5670 83 143 192 0.0092
][ 1−Σ cmsξ
a
s
ΣΣξ
5106.1 −×
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
63
Tán xạ không đàn hồi (Inelastic Scattering)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
64
Tán xạ không đàn hồi
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
Nếu năng lượng của neutron tới có động năng chỉ đủ để kích thích một vài
mức trong hạt nhân: các neutron không đàn hồi xuất hiện trong một vài nhóm
năng lượng rời rạc.
Nếu năng lượng của neutron tới đủ cao để kích thích nhiều mức
Xác suất neutron không đàn hồi sẽ được phát ra với năng lượng trong
khoảng từ E’ đến E’+dE’:
( ) /2
E TEP E E dE e dE
T′−′′ ′ ′→ =
Trong đó, T là nhiệt độ của hạt nhân
3.2 /T E A=
(3.8)
(3.9)
65
Tán xạ không đàn hồi
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
Năng lượng trung bình của neutron không đàn hồi:
( )0
2
E E P E E dE
T
∞′ ′ ′ ′= →
=∫
Ví dụ: U238 bị đập bởi các neutron 10 MeV, T= 0.66 MeV, năng lượng
trung bình của neutron tán xạ không đàn hồi:
1.32E MeW′ =
(3.10)
66
Ví dụ : U-238
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
67V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
68
Mật độ làm chậm (Slowingdown density)
-Mật độ va chạm:
-Mật độ làm chậm: q(E) số neutron/cm3 trên toàn vùng năng lượng chuyển xuống dưới E trên 1 sec do tán xạ
( ) ( ) ( )tF E E Eφ= Σ (3.11)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
69
Chất làm chậm không hấp (Slowingdown in hydrogen (A=1))
30 neutrons/cm sec of energy S E⋅
( ) ( ) ( ),tF E E Eφ= Σ
(3.12)
(3.13)
0
0
0
0
( ) ( ) ( )
( )
E
sE
E
E
S dE dEF E dE E E dE
E E
S dE dEF E dE
E E
φ′ ′ ′= + Σ′
′ ′= +′
∫
∫
0
0
( )( ) :
E
E
S F EF E dE
E E
′ ′= +′∫ Phương trình làm chậm
Trạng thái ổn định (và không hấp thụ):
Triệt tiêu ,dE
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
70
-Nghiệm của (2.17),
( ) ,
( ) ( )s
SF E
ES
EE E
φ
=
=Σ
(3.14)
(3.15)
-Sử dụng khái niệm mật độ làm chậm,
-So sánh(2.20) với (2.17),
(3.16)
(3.17)
0
0
( ) ( )E
E
S E Eq E F E dE
E E′ ′= +
′∫
( ) ( )q E E F E=
Và từ (2.18),
( )q E S=
nghĩa là,
(3.18)
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
71
Hấp thụ cộng hưởng (Resonance Absorption)
• Trong biểu đồ tiết diện hấp thụ cộng hưởng của U-238 có một dãy hấp thụ cộng hưởng đối với neutron có năng lượng
.101 keVEeV <<
• Trong thiết kế lò phản ứng, cần phải giới hạn sự hấp thụ cộng hưởng, tuy nhiên, không nên quá nhỏ:
hấp thụ cộng hưởng phản hồi theo nhiệt độ của hoạt độ là âm→
• Nhiên liệu ma trận trong (Inert-matrix fuel) : rất khó để có thể thiết kế nhiên liệu không bao gồm U-238.
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
72
-Mô hình lý tưởng:
-Nguồn phân bố đồng nhất S neutron/cm3.sec với năng lượng E0
-Hỗn hợp đồng nhất, vô hạn,
-Phương trình làm chậm cho mật độ làm chậm
Chất làm chậm có chất hấp thụ
i) hydrogen (A=1); tán xạ đàn hồi, không hấp thụ
và
ii) Chất hấp thụ U-238; không làm chậm
0,α =
0
0
0
0
1( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
E
sE
Es
Es a
SF E dE dE E E dE dE
E E
ES dE dEF E dE
E E E E
φ′ ′ ′= + Σ′′Σ′ ′= +
′ ′ ′Σ + Σ
∫
∫
(3.20)
Do đó:0
0
( )( )( )
( ) ( )
Es
Es a
ES F E dEF E
E E E E
′′ ′ Σ= +′ ′ ′Σ + Σ∫
( ) ( ) ( )tF E E Eφ= Σ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
73
-Nghiệm của (2.23),
-Viết lại theo định nghĩa của mật độ làm chậm,
Nghĩa là:
0 ( )( ) exp : (2.18)
( ) ( )
Ea
Es a
ES dEF E
E E E E
′ ′Σ= − ⇐ ′ ′ ′Σ + Σ ∫ (3.21)
0 ( )( ) exp : (2.19)
( ) ( ) ( )
Ea
Et s a
ES dEE
E E E E Eφ
′ ′Σ= − ⇐ ′ ′ ′Σ Σ + Σ ∫ (3.22)
So sánh (2.26) với (2.23),
(3.23)
( ) ( ): (2.21)q E E F E= ≈
Và bởi (2.24),0
( ) expE
a
Es a
dEq E S
E
′Σ= − ′Σ + Σ ∫
( )q E
S
0( )( ) exp
Ea
Es a
q E dEp E
S E
′Σ= = − ′Σ + Σ ∫
(3.24)
(3.25)
(3.26)
0
0
( )( ) ( )
( ) ( )
Es
Es a
ES E Eq E F E dE
E E E E
′Σ′ ′= +′ ′ ′Σ + Σ∫
: Xác suất neutron nguồn không bị hấp thụ khi bị làm chậm từ E0 xuống E0
: xác suất tránh hấp thụ cộng hưởng p(E) bởi thường hấp thụ là hấp thụ cộng hưởng:
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
74
< Thông lượng neutron sau 1 hấp thụ cộng hưởng >
-PT. (3.22) : thông lượng giảm tại vùng cộng hưởng (hiệu ứng tự che chắn - energy self-shielding)
φ
Σa
E
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
75
- : đỉnh cộng hưởng thấp hơn và độ rộng rộng hơn
Hiệu ứng Doppler đối với hấp thụ cộng hưởng
( ) ( , )E E Tγγσ σ→
rυ
urV
neutronnucleus
• Khi nhiệt độ môi trường tăng,
0 at 0
0 at 0
= =
≠ ≠
ur
urV T
V T
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
76
-Thông lượng giảm ít hơn (tự che chắn giảm)
-Hấp thụ cộng hưởng tăng (p giảm)
<Các hiệu ứng trên phổ thông lượng và tỷ số hấp thụ>
φ
Σa
1 2<T T1φ
1TE
1φ2φ
1T 2T
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
77
Hiệu ứng tự che chắn
Nhiên liệu + chất làm chậm →
Nhiên liệu (U235 +U238 )
Chất làm chậm
•Lò đồng nhất – không đồng nhất
(H2O)
-Nếu nhiện liệu là một khối, sự hấp thụ cộng hưởng giảm (p tăng).
( , )fissionr Eφ
( , )resr Eφ
( , )thr Eφ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
78
3.1 Tổng quan• Trong thực tế , lò phản ứng thường bao gồm các cấu trúc không đồng
nhất, do đó yêu cầu phân tích bằng lý thuyết vận chuyển (transport theory)
• Lý thuyết vận chuyển:- Xem xét thông lượng góc của neutron để thu được chính xác hơn giá
trị vô hướng , trong đó:
- Phương trình chủ yếu cho : phương tình vận chuyển Boltzmann
- Phương trình vận chuyển Boltzmann thì chính xác nhưng khó khăn và
tốn thời gian để giải
• Một lò phản ứng trong thực tế thường có hình học đachiều.
3 Khuếch tán neutron
( )rrφ
( ) ( , ).= Ω Ω∫r uur r urr d rφ ψ (3.1)
( , )Ωr urrψ
( , )Ωr urrψ
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
79
• Tính toán thiết kế lò phản ứng theo 3 tầng:
Φ=Φ Fk
M1
Global diffusion calculation :
AB
12A
B 12
AB
12A
A
A
A C
C 12
C
C
C 12
C
C
B 12
B 12
A
A A
A
B 8
B 8
B 8
Diffusion calculationHomogenized
Condensed
Local transport calculation
Multigroup library
generation
AB
12A
B 12
AB
12A
A
A
A C
C 12
C
C
C 12
C
C
B 12
B 12
A
A A
A
B 8
B 8
B 8
Core Assembly CellLõi lò Bó nhiên liệu
,
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
80
3.2 Phương trình liên tục của neutron (Neutron Continuity Equation)• Các quá trình quan trọng khi 1 neutron tương tác với vật liệu lò:
- Tán xạ (dẫn tới khuếch tán và làm chậm neutron)
- Phản ứng bắt
- Phân hạch
• Dữ liệu của các phản ứng cơ bản (σ s, σ γ , σ f ) được đo đạc, đánh giá và lưu giữ trong thư viện hạt nhân.• Tốc độ phản ứng: Số một loại phản ứng nhất định trên 1 đơn vị thể tích, trong 1 giây.
Ví dụ : aφΣ
Trong đó ( )a fγσ σ σ= +: macroscopic absorption cross section
: neutron fluxa a N
n
σφ υΣ =
=
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
81
• Sự cân bằng của neutron đơn năng trong một thế tích bất kỳ:
A
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )aV V V A
dn r t dV S r t dV r t r t dV J r t ndA
dtφ= − Σ − ⋅∫ ∫ ∫ ∫
r r r r rr r
V
( , )
: neutron current
J d rψ≡ Ω Ω Ω∫ur ur r urr
aV V V V
ndV SdV dV JdV
tφ∂ = − Σ − ∇ ⋅
∂∫ ∫ ∫ ∫r
:a
nS J
tφ∂ = − Σ − ∇ ⋅
∂r
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.1b)
( , ) :n r tr
Mật độ neutron tại điểm r, thời gian tTrong đó:
Phương trình liên tục của neutron
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
82
3.3 Lý thuyết khuếch tán (Diffusion Theory)• If we use the Fick’s law
t,coefficiendiffusion, =∇−= DDJ φ
Eq.(3.3) becomes
equationdiffusion:1 φφφ ∇⋅∇+Σ−=
∂∂
DStv a (3.6)
(3.5)
D : i) measured in early days of reactor physics
ii) now calculated from the transport theory that uses
only basic nuclear data
S : neutron source
• For steady state,
; Boundary Conditions on aD Sφ φ φ∇ ∇ − Σ + = 0g (3.7)
• The Fick’s law is not valid in highly absorbing media or near the boundary.
V.T.Mai Vật lý neutron và lò phản ứng
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 83
• If the neutron source is from fission, then
and Eq. (3.7) becomes an eigenvalue problem,
,fS ν φ= Σ
(3.8)
; Boundary conditions on ,∇ ∇ − Σ + Σ =g a fDk
φ φ ν φ φ10
multiplication factor,=k-1
= : reactivityk
kρ
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 84
• Vacuum boundary conditions
(3.8a)
1 1 i) , to represent ( ) ,
from approximation, with
. from a higher transport theory ii)
1
0
22
30 71
s
t
t
dJ x
dn d
d D P
d
φφ
λ
λ
−= − =
= = =
( ) iii) ( )
00
s
s
x dx
φφ
+ ==
(3.8b)
(3.8c)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 85
Solutions of Diffusion EquationsExample 1 : Infinite planar source in homogeneous medium:
S isotropic neutrons/cm2·sec
From Eq. (3.7),( )
2
2 a
dD S x
dx
φ φ δ− Σ = − (3.9)
Eq. (3.9) is equivalent to
, , where a
d Dx L
dx L
φ φ− = ≠ =Σ
22
2 2
10 0 (3.10a)
[ ]lim ( ) : source conditionx
J x S→
=0
2 (3.10b)
The solution is
( )x
LSL
x eD
φ−
=2
(3.11)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 86
Example 2 : Point source in an infinite medium: S isotropic neutrons/sec
From Eq. (3.7),
( )22 22a
D d d Sr r
r dr dr r
φ φ δπ
− Σ = − (3.12)
Eq. (3.12) is equivalent to
, d d
r rr dr dr L
φ φ− = ≠22 2
1 10 0 (3.13a)
lim ( ) : source conditionr
r J r Sπ→
= 2
04 (3.13b)
The solution is
( )r
LS er
Drφ
π
−
=4
(3.14)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 87
Example 3 : Infinite planar source in a bare slab: slab thickness 2a, extrapolation distance d, planar source at center, S isotropic neutrons/cm2·sec
, d
xdx L
φ φ− = ≠2
2 2
10 0 (3.15a)
[ ]lim ( ) : source conditionx
J x S→
=0
2 (3.15b)
The solution is( )
( )( )
a d xSinh LSL
xa dD Cosh L
φ
+ − =
+
2(3.16)
( ) ( ) : boundary conditionsa d a dφ φ+ = − − = 0 (3.15c)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 88
Example 4 : Bare slab reactor (thickness a, extrapolation distance neglected)
,
where f a
dB
dx
BD k
φ φ
ν
+ =
= Σ − Σ
22
2
2
0
1 1
(3.18)
From Eq. (3.8),
a, B.C.:
2a f
dD
dx k
φ φ ν φ φ − Σ + Σ = ± =
2
2
10 0 (3.17)
Eq. (3.17) is rewitten as
(3.19)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 89
To find the solution to Eq. (3.18), consider the following eigenfunction expansion method:
a, B.C.: .
2G
dB
dx
ψ ψ ψ + = ± =
22
20 0 (3.20)
( ) cos sin
cos ,Gn Gn
Gn
x A B x C B x
A B x
ψ = += (3.21)
Therefore, the positive solution to Eq. (3.18) can be taken as
The solution can be represented byψ
with , , , ,Gn
nB n
a
π= = 1 3 5 L (3.22)
( ) cos : fundamental eigenfunction,Gx A B xφ = 1 (3.23a)
where
: materials buckling = geometrical bucklingGB B=2 21 (3.23b)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 90
From Eq. (3.23b),
ff a
a
kD k a
Da
νπνπ
Σ Σ − Σ = → = + Σ
2
2
1 1(3.23c)
( ),R fP E dV rφ= Σ∫r
where fissionjoules102.3fission200 11−×== MeVER
The constant A in Eq.(3.23a) is determined from the power level of the reactor,
If k=1, critical;
k>1, supercritical;
k<1, subcritical.
(3.24)
Reactivity: k
kρ −= 1
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 91
Example 5 : Rectangular parallelepiped reactor (thickness a, b, c)
, = Σ − Σ f aB
D kν2 1 1
(3.25c)
is substituted into Eq. (3.25a), leading to
From Eq. (3.8),
,∂ ∂ ∂+ + + =∂ ∂ ∂
Bx y z
φ φ φ φ2 2 2
22 2 2
0
(3.25b)
where
d X d Y d ZB
X dx Y dy Z dz+ + + =
2 2 22
2 2 2
1 1 10 (3.27)
Using the method of separation of variables,
( , , ) ( ) ( ) ( )x y z X x Y y Z zφ = (3.26)
a b c B.C.: , , , , , , .
2 2 2 ± = ± = ± =
y z x z x yφ φ φ 0
(3.25a)
X
Y
Z
b
c
a
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 92
.Bα β γ+ + =2 2 2 2(3.29)
Then we should let
, , ,d X d Y d Z
X dx Y dy Z dzα β γ= − = − = −
2 2 22 2 2
2 2 2
1 1 1(3.28)
with
From Eqs (3.30c) and (3.25b),
f
a
k
Da b c
ν
π π π
Σ=
+ + + Σ
2 2 2 (3.30d)
Due to symmetry, boundary conditions, and for positive solution,
, , ,
( , , ) cos cos cos ,
.
a b cx y z
x y z Aa b c
Ba b c
π π πα β γ
π π πφ
π π π
= = =
=
+ + =
2 2 22
(3.30a)
(3.30b)
(3.30c)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 93
( , ) , ( , )H
R z rφ φ= ± =0 02
Solution of Eq.(3.31) is.
( , ) cos ,r z
r z AJR H
πφ = 0
2 405 (3.32a)
.
Σ=
+ + Σ
f
a
k
DR H
ν
π2 22 405
Example 6 : Bare cylindrical reactor
Eq.(3.8) becomes
( , ) ( , )( , ) , f a
r z r zr B r z B
r r r z D k
φ φ φ ν∂ ∂ ∂ + + = = Σ − Σ ∂ ∂ ∂
22 2
2
1 1 10 (3.31a)
B.C. : (3.31b)
(3.32b)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 94
with ( )i) B.C.:
ii) Flux and current continuity conditions at
ra b
ax
φ ± + = = ±
02
2
Example 7 : Reflected slab reactor
Core region:
,c c ac c fc cDk
φ φ ν φ∇ − Σ + Σ =2 10 (3.33a)
Reflector region:
(3.33b)
corereflector reflector
( )ba +− 2 2a− 2a ba +2
,r r ar rD φ φ∇ − Σ =2 0
2a ba +2
cφ
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 95
3.4 Multigroup Diffusion Equations• In Sections 3.2 and 3.3, we assumed that all neutrons are of same energy,
but in reality neutrons take energy of continuous variable.
• In Section 2.4, we found neutron spectrum in an infinite homogeneous medium consisting of hydrogen and U-238.
• In real practice, as a first step, the neutron spectrum is found for a simplified medium, that is representative of the reactor under design.
< Neutron spectrum with a resonance absorption in a typical LWR >
( )Eϕ
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 96
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 97
• Then, we generate multigroup cross sections as
( ) : evaluated nuclear data for nuclide for
reaction type with neutrons of energy ,
( ) : scattering cross section for nuclide of
ne
′ →
j
js
E j
E
E E j
ασα
σutrons from energy to energy ,
( ) : neutron flux spectrum in the medium,
: energy group index.
′E E
E
g
ϕ
( ) ( ) ( ) ( ), ,
( ) ( )
′− − −
′
′− −
′
′→
′ ′ ′→= =
′ ′
∫ ∫ ∫∫ ∫
g g g
g g g
g g
g g
E E Ej jsE E Ej j
g sg gE E
E E
dE E E dE dE E E E
dE E dE E
α
α
σ ϕ σ ϕσ σ
ϕ ϕ
1 1 1
1 1(3.34)
where
• Macroscopic multigroup cross sections are then
j j jg gNα ασΣ = (3.35)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 98
• We can write multigroup diffusion equations discretizing the energy variable into a number of groups. For water reactors, two-group approximation is usually used :
( ) ,0)(1
2211121111 =Σ+Σ+Σ+Σ−∇∇ → φνφνφφ ffsa kD (3.36a)
,01212222 =Σ+Σ−∇∇ → φφφ saD (3.36b)
with appropriate boundary conditions.
MeV10
eV1~
0
0E
1E
2E
Fφφ =1
Tφφ =2
WR : 2~4 groups
HTGR : 5~10
FBR : 20~30
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 99
Example : Two-group flux distributions of a reflected slab reactor
corereflector reflector
( )ba +− 2 2a− 2a ba +2
Core region :
( ) ,0)(1
2211121112
1 =Σ+Σ+Σ+Σ−∇ → ccfccfccscacc kD φνφνφφ (3.37a)
,01212222
2 =Σ+Σ−∇ → ccsccaccD φφφ (3.37b)
Reflector region :
( )21 1 1 1 2 1 0,r r a r s r rD φ φ→∇ − Σ + Σ = (3.37c)
,01212222
2 =Σ+Σ−∇ → rrsrrarrD φφφ (3.37d)
with i) BC:
ii) Flux and current continuity conditions at
( )[ ] ( )[ ] 022 21 =+±=+± baba rr φφ2ax ±=
2a ba +2
1φ
2φ
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 100
Table : Representative two-group data for LWRs
D1
(cm)
Σa1
(cm-1)
Σs 1→2
(cm-1)
νΣf 1
(cm-1)
D2
(cm)
Σa2
(cm-1)
νΣf 2
(cm-1)
UO2 fuel cell 1.2 0.010 0.020 0.0050 0.4 0.100 0.125
MOX fuel cell 1.2 0.015 0.015 0.0075 0.4 0.250 0.375
Water reflector 1.2 0.001 0.050 0 0.2 0.040 0
Control rod cell 1.2 0.040 0.010 0 0.4 0.800 0
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 101
• In multi-region reactors, we resort to numerical methods to solve two-group diffusion equations; rewriting Eq. (3.36) in an iterative form as
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
,
,
21 1
1 1 1 11
1 1 12 2 2 2 1 2 1
1t t tr fg gt
g
t t tr s
Dk
D
φ φ ν φ
φ φ φ
+ +
=
+ + +→
−∇⋅ ∇ + Σ = Σ
−∇⋅ ∇ + Σ = Σ
∑ (3.38a)
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
,
,
21 1
112
1
1
: power method,
t tfg g fg g
gt t
t tfg g fg g
g
k k
ν φ ν φ
ν φ ν φ
+ +
=+
+
=
Σ Σ=
Σ Σ
∑
∑
(3.38b)
(3.40)
with
Eqs. (3.38a) and (3.38b) are in a same form of
.rD Qφ φ−∇⋅ ∇ + Σ =
Eq. (3.40) can be discretized by a finite difference method (FDM) for numerical solution.
(3.39)
where is iteration index, t , , , , .0 1 2 3 Lt =
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 102
Example : Cell-centered FDM for a one-dimensional slab problem
( ) ,− −
−
∆ +− =+
i i i i ii
i i
d dx
d d
φ φφ 1 1
12 (3.41)
By balancing neutrons in a cell ( integrating Eq. (3.24) over cell i ) and enforcing continuities of flux and current at the cell interface, we have in terms of cell-average flux,
1φ iφ Nφ
i∆0 0d = 1d 1
1
4Nd + =Ndi
ii
Dd≡
∆reflective
B.C.vacuum
B.C.
( )( ) −−
−
∆− = − −+
i i ii i i
i i
d dJ x
d dφ φ1
11
2
2 (3.42)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 103
, , , ,1 1 1 1i i i i i i i i i i ia a a Qφ φ φ− − + ++ + = ∆ (3.43)
and Eq. (3.24) becomes,
where, ,
, ,
,
,
,
.
11 1
1
11 1
1
1 1
1 1
20
20
2 20
i ii i i i
i i
i ii i i i
i i
i i i ii i ri i
i i i i
d da a
d d
d da a
d d
d d d da
d d d d
−− −
−
++ +
+
− +
− +
= − = <+
= − = <+
= Σ ∆ + + >+ +
Eq. (3.43) for all cells can be put in a matrix form,
1 1 1
1 1 1
N N N
Q
Q
Q
φφ
φ
∆ ∆ = ∆
M M(3.44)
A = QΦ
Two points to note on Eq. (3.44) :
i) Accuracy:
ii) Convergence rate:
( ) ( )− = ∆i ix Oφ φ 2
( )= − ∆Oµ 21
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 104
3.5 Power Distributions
• Once flux distributions (and ) are calculated, power distribution is obtained by
• The power distribution becomes heat source for thermal-hydraulic calculations.
• Find power peaking factor
.
• Change the reactor design parameters to obtain
i) , ii) power peaking factor design requirement.
k
2
1
, mesh cell i R fg gig
P E i iφ=
= Σ =∑
1k =
max
ave
P
P
≤
(3.45)
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 105
4.1 Prompt and Delayed Neutrons• Reactor kinetics usually refers to the time scale of minutes or less.
• In Section 2.3, we mentioned that the average number of neutrons emitted in a fission is ν and studied the mechanism of delayed neutron emission.
• Prompt neutrons :
Delayed neutrons :
• Delayed neutrons play a “dragging” role in reactor kinetics.
4 Reactor Kinetics
( )β ν−1
, , , , ,i iβν = 1 2 6L
.6
1∑
==
iiββ
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 106
4.2 Point Kinetics Equations• In a simple but insightful model, the neutron density in reactor
transients can be shown to follow the point kinetics equations* :
( )( ) ( ), ( )i i
i
dn tn t C t n n
dt
ρ β λ=
−= + =∑6
01
0l
(4.1a)
( )( ) ( ), ( ) , , , , ,i i
i i i i
dC tn t C t C C i
dt
β λ= − = =00 1 2 6Ll
(4.1b)
where
( - ) ~ seck kρ − −= ≅ 8 3reactivity 1 , neutron generation time 10 10l
• Solutions of Eq. (4.1),
inhour equation : i
i i
β ωρ ωω λ=
= ++∑
6
1
l
jω
( ) , ( ) , j jt t
j i i ijj j
n t n A e C t C B eω ω
= =
= =∑ ∑7 7
0 01 1
where are roots of
(4.2)
(4.3)
( )p pk= =where , prompt neutron lifetime .l l l
* For advanced treatment, see attachment.
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 107
pl
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 108
• Note that l does not affect ω 1 if .βρ <<
ω1
• For large t, the term dominates in the solution Eq. (4.2).
is called the “reactor period.”
ω1
T ω= 11
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 109
• For (that is, ), the inhour equation (4.3) becomes
ω λ<< 1ρ β<<
where
tA e ρ ′1
l
,
i
i i
βρ ωλ
ω=
+
′=
∑6
1
; l
l
(4.4a)
(4.4b)
i
i i
ββλ λ=
≡ ∑6
1(4.6)
with: increase of neutron generation time due to delayed neutrons
. sec for U-235= 0 0847
i
i i
βλ
βλ
=
′ = +
= +
∑6
1
l l
l
(4.5a)
(4.5b)
Therefore, the dominant term in Eq. (4.2) would become
(4.7)
• Delayed neutrons play a “dragging” role in reactor kinetics.
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 110
• A simplified model: one group of delayed neutrons( )
( ) ( ), ( ) ,
( ) ( ), ( ) ,
dn tn t C t n n
dtdC
n t C t C C ndt
ρ β λ
β βλλ
−= + =
= − = =
0
0 0
0
0
l
l l
(4.8a)
(4.8b)
where is given from e.g., Eq. (4.6).λ
• Solutions of Eq. (4.8), for not too near
( )
( )exp exp ,
( )exp exp
n tt t
n
C tt t
C
β ρλ ρ ρ ββ ρ β ρ β ρ
ρλ ρ λ ρ ββ ρ β ρ
− = − − − − − = + − −
0
20
l
ll
(4.9a)
(4.9b)
( )exp ,
( )exp
PJA
PJA
n tt
n
C tt
C
β ρλβ ρ β ρ
ρλβ ρ
= − − = −
0
0
(4.10b)
ρ ,β
(4.10a)
• Prompt jump approximation (PJA) of Eq. (4.8) for : ,dn
dt0l ;ρ β<<
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 111
n0 C0
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 112
4.3 Temperature Feedback• The reactivity (in other words, ) is affected by temperature of
the reactor medium :
• Temperature coefficients of reactivity :
( )( )
T T T T T k k
k k
T T k k
ρ ρα ∂ ∆= = − ∂ ∆ − −
=−
2 1 1 2
2 1
2 1 1 2
1 1 1; (4.11)
ρ k, ( , ) ( , )f m f mN T T T Tσ ρΣ = Σ →
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 113
5 Nuclide Transmutation and Decay
5.1 Temperature Feedback• Macroscopic cross sections:
f m
N
T T
σ( , )
Σ =Σ
(5.1a)
[ ] [ ]
, if fuel or TRU, [ ] , if fission products,
A CAA A B B a A C
A
j jA f j A
j
dNN N N N
dtN
N N
γλ λ σ φ σ φ
γ σ φ
= − + − +
=+ =∑0
j =where fuel.
5.2 Isotopic Depletion• In time scales of days and months, changes in the nuclide number
densities of the reactor medium need to be considered :
• Isotopic depletion (transmutation, burnup) equations :
jj jN σΣ =
A
B
C
decay
decay+n
+ncapture
fission (if A is fu
el)
fission yieldif A is fission pruduct
Aγ
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 114
Example 1 : I-Xe
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 115
Example 3 : Pu isotopes− −
→ → →→
→→
238 239 239 239
239
240
240 241
241
242
i) U + n U Np Pu
ii) Pu + n fission
Pu
iii) Pu + n Pu
iv) Pu + n fission
Pu
β β
−
→
→ →
235
236
236 237 237
i) U + n fission
U
ii) U + n U Npβ
Example 2 : U-235 isotopes
N.Z. Cho Introduction to Nuclear Reactor Theory 116
Eq. (5.1a) in matrix form, ( )
( , ( )) ( ), ( ) .dN t
t N t N Ndt
λ σφ= = 0A 0
rr r r
(5.1b)
• The numerical values of the elements in are widely spread: not
trivial to solve; “Stiff” system,
Computer code: ORIGEN
• “Nuclide feedback” : Coupling of nuclides and neutron flux
Transmutation (burnup) calculation is usually
done decoupled from flux calculation.
( ),N φ
A