Vectores duales y tensoreswebdelprofesor.ula.ve/ciencias/hector/prontuario/metodos1/Cap3V1.pdffunciones pueden considerarse que actu´an sobre vectores en R3 y podemos extender esta

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Capıtulo 3Vectores duales y tensores

La ruta de este capıtulo

Este capıtulo completa el esfuerzo de formalizacion de conceptos que comenzamos en el capıtulo anterior.Iniciamos con el estudio de los funcionales lineales, extendiendo el concepto de funcion al de una aplicacionentre elementos de espacios vectoriales, lo cual nos llevara a la definicion de los espacios vectoriales duales.Incorporamos el concepto de 1�forma como ese conjunto de funcionales que forman al espacio vectorial dual.Ahora el producto interno se definira entre 1�formas y vectores. En la seccion 3.2 definiremos una nuevaclase de objetos matematicos, los tensores, los cuales pueden verse como arreglos multilineales y constituyenuna extension de objetos ya conocidos: los escalares, los vectores y las 1�formas. Desarrollaremos el algebratensorial y sus leyes de transformacion. Ejemplificamos la utilizacion de este concepto en Fısica cuandodiscutimos, en la seccion 8, el tensor de inercia y el de esfuerzos (strees). En la seccion 3.3 incursionaremosen los espacios pseudoeuclidianos para mostrar una situacion en la cual podemos diferenciar 1�formas devectores, aprovechamos ademas para introducir algunas nociones basicas de la teorıa especial de la relatividad.Para finalizar, el la seccion 3.4 extenderemos los conceptos de espacios vectoriales y bases discretas a espaciosde funciones y bases continuas y en ese contexto discutimos algunos rudimentos de teorıas de distribuciones.

3.1. Funcionales lineales

En los cursos mas elementales de calculo se estudiaron funciones de una y mas variables reales. Estasfunciones pueden considerarse que actuan sobre vectores en R3 y podemos extender esta idea para otras quetengan como argumento vectores de un espacio vectorial abstracto. Comenzaremos con las mas sencillas, laslineales, que tambien son conocidas como operadores lineales.

Definiremos funcionales lineales como aquella operacion que asocia un numero complejo (o real) 2 K aun vector |vi 2 V, es decir:

8 |vi 2 V ) F [|vi] 2 C ,

y cumple con:

F [↵ |v1i+ � |v2i] ⌘ ↵ F [|v1i] + � F [|v2i] , 8 |v1i , |v2i 2 V y 8 ↵,� 2 K .

156

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3.1. FUNCIONALES LINEALES

En otras palabras, un funcional lineal (o forma lineal) es un morfismo1 del espacio lineal V a un espaciounidimensional K.

Notemos que cuando se escoge una base {|eii} de un espacio vectorial V de manera que para cualquiervector |vi 2 V se especifican sus componentes {⇠1} respecto a esa base, es decir, |vi = ⇠i |eii, entonces lo quese tiene para cada componente es un funcional lineal, como por ejemplo, F [|vi] = ⇠1. Algo parecido ocurrecon el producto interno, cuando en un espacio vectorial V se define el producto escalar hv |v0i, del vector |vicon un vector fijo |v0i, lo que tenemos es un funcional lineal F [|vi] = hv |v0i = ↵ 2 K.

Otro ejemplo sencillo de un funcional lineal es la integral de Riemann que podemos interpretar de lamanera siguiente:

I [|fi] =

Zb

a

f0(x)f(x)dx ,

donde f(x), f0(x) 2 C[a,b], es decir, pertenece al espacio vectorial de funciones reales y continuas en el intervalo[a, b] y f0(x) es una funcion que se toma como fija.

3.1.1. Espacio vectorial dual

El conjunto de funcionales lineales {F1,F2,F3, · · · ,Fn, · · · } constituyen a su vez un espacio vectorial, elcual se denomina espacio vectorial dual de V –que es el espacio directo– y se denotara como V

? (aquı ? noes complejo conjugado). Si V es de dimension finita n, entonces dimV = dimV

? = n.Es facil convencerse que los funcionales lineales forman un espacio vectorial ya que, dados F1,F2 2 V

?

se tiene:(F1 + F2) [|vi] = F1 [|vi] + F2 [|vi]

(↵ F) [|vi] = ↵ F [|vi]

9=

; 8 |vi 2 V .

A este espacio lineal se le llama espacio de formas lineales y, a los funcionales se les denomina 1�formas ocovectores.

Como ya lo mencionamos, en aquellos espacios lineales con producto interno definido, el mismo productointerno constituye la expresion natural del funcional. Ası tendremos que:

Fa [|vi] ⌘ ha |vi 8 |vi 2 V ^ 8 ha| 2 V? .

Es claro comprobar que el producto interno garantiza que los {Fa,Fb, · · · } forman un espacio vectorial:

(Fa + Fb) [|vi] = Fa [|vi] + Fb [|vi] = ha |vi+ hb |vi

(↵ Fa) [|vi] = h↵a |vi = ↵⇤ha |vi = ↵⇤

Fa [|vi]

9=

; 8 |vi 2 V .

Esta ultima propiedad se conoce como antilinealidad.Se establece entonces una correspondencia 1 a 1 entre kets y bras, entre vectores y funcionales lineales (o

formas diferenciales):�1 |v1i+ �2 |v2i � �⇤1 hv1|+ �⇤2 hv2| ,

que ahora podemos precisar de la siguiente forma:

ha |vi = hv |ai⇤ ,

ha |�1v1 + �2v2i = �1 ha |v1i+ �2 ha |v2i ,

h�1a1+�2a2 |vi = �⇤1 ha1 |vi+ �⇤2 ha2 |vi .

1Entenderemos por morfismo a toda regla o mapa que asigne a todo vector |vi de un espacio vectorial V un vector |wi deun espacio vectorial W y usualmente se denota por F : V ) W.

157

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Mas aun, dada una base {|e1i , |e2i , · · · |eni} para V siempre es posible asociar una base para V? de tal

manera que:

|vi = ⇠i |eii � hv| = ⇠⇤i

⌦ei�� , con ⇠i =

⌦ei |vi ^ ⇠⇤

i= hv |eii , para i = 1, 2, · · · , n .

En un lenguaje arcaico (y muchos textos de mecanica todavıa lo reproducen) se denota a la base delespacio dual

�⌦ei�� como la base recıproca de la base {|eii}, este caso lo ilustraremos mas adelante.

Se puede ver tambien que si |vi = ⇠i |eii, entonces

F [|vi] = F⇥⇠i |eii

⇤= ⇠iF [|eii] = ⇠i!i , con F [|eii] ⌘ !i .

Notese que estamos utilizando la notacion de Einstein en la que ındices repetidos indican suma. Notesetambien que las bases del espacio dual de formas diferenciales

�⌦ek�� llevan los ındices arriba, los llamaremos

ındices contravariantes, mientras que los ındices abajo, seran covariantes. Por lo tanto, las componentes delas formas diferenciales en una base dada, llevan ındices abajo ha| = ai

⌦ei�� mientras que las componentes de

los vectores los llevan arriba |vi = ⇠j |eji.Observe tambien que dada una base en el espacio directo {|eii} existe una unica base canonica en el dual

definida como: ⌦ei |eji = F

i [|eji] = �ij.

Esta 1�forma al actuar sobre un vector arbitrario resulta en:

Fi [|vi] = F

i⇥⇠j |eji

⇤= ⇠jF i [|eji] = ⇠j�i

j= ⇠i

su componente contravariante. El conjunto de 1�formas {F i} sera linealmente independientes.

Si |vi = ⇠i |eii es un vector arbitrario en el espacio directo y ha| = ai⌦ei�� un vector en el espacio dual,

entonces:ha |vi =

⌦ai⌦ei�� ⇠j |eji

↵= a⇤

i⇠j⌦ei |eji = a⇤

i⇠j�i

j= a⇤

i⇠i ,

y para bases arbitrarias, no ortogonales, {|wii} de V y {⌦wi��} de V

? se tiene: ha |vi =⌦wi

|wji a⇤i ⇠j .

3.1.2. Espacios duales y bases recıprocas

Un ejemplo que ilustra las bases duales es la construccion de las llamadas bases recıprocas que mencio-namos anteriormente en los ejercicios de Aplicaciones del algebra vectorial en la pagina 30. Este ejemploilustra la pregunta de siempre: si los vectores se representan geometricamente como un segmento orienta-do, con modulo, direccion y sentido, como representamos geometricamente una forma lineal o covector. Loscristalografos lograron ejemplificar las bases duales y luego la aplicacion de la difraccion de rayos x a lacristalografıa potencio utilidad de este concepto.

Bases recıprocas

Consideremos el problema de expandir un vector |ai con respecto a una base oblicua (no es ortogonal),{|wii}, de tal forma que, |ai = ai |wii. Por simplicidad, tomemos el caso R3, de manera que a = aiwi

(i = 1, 2, 3).Al proyectar el vector a sobre los ejes de algun sistema de coordenadas, es posible resolver el sistema

de tres ecuaciones que resulta para las incognitas ai. Las bases de vectores wi y de formas o covectores wi

seran duales, y por contruccion satisfacen wi · wj = �ji. Es decir, cada uno de los vectores bases duales es

perpendicular a los otros dos de la base dual: w1 sera perpendicular a w2 y w3: w1 = ↵(w2 ⇥w3). Comow1 ·w1 = 1, entonces:

↵w1 · (w2 ⇥w3) = 1 ) ↵ =1

w1 · (w2 ⇥w3)) w1 =

w2 ⇥w3

w1 · (w2 ⇥w3),

158

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Figura 3.1: Bases directas y recıprocas. Note como los covectores representan planos perpendiculares ados vectores de la base directa. Figura tomada de https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=457850 CC BY-SA 3.0,

y en general, es facil ver que:

wi =wj ⇥wk

wi · (wj ⇥wk), (3.1)

donde i, j, k son permutaciones cıclicas de 1, 2, 3. La definicion (3.1) nos permite construir la base de 1-formas o covectores, a partir de su ortogonalidad con los vectores de la base directa. Notemos tambien queV = wi · (wj ⇥wk) es el volumen del paralelepıpedo que soportan los vectores {wi} y que ademas se puedeobtener una expresion analoga para los {wi} en termino de los {wi

}.Al ser {wi} y {wi

} duales, a = ajwj ) wi· a = wi

· (ajwj) = aj(wi·wj) = aj�i

j= ai, con i = 1, 2, 3

y equivalentemente, el covector de a: a = ajwj) a · wi = (ajwj) · wi = aj(wj

· wi) = aj�j

i= ai, con

i = 1, 2, 3. Hemos querido enfatizar el caracter dual del covector a al vector a y obviamente a · a = |a|2.De la misma ecuacion (3.1) se puede ver que la representacion grafica de una forma sera una superficie

orientada. La figura 3.1 muestra como, a partir de una base directa de vectores oblıcuos se construyenplanos perpendiculares a esos vectores y la orientacion (direccion y sentido) representan las direcciones delos vectores duales. En cristalografıa esa base dual se le representa como los ındices de Miller.

Claramente si las base directa es ortonormal su dual tambien lo sera y, mas importante aun, ambas basescoinciden ei ⌘ ei, y si la base original o directa es dextrogira su dual tambien lo sera.

3.1.3. Vectores, formas y leyes de transformacion

Tal y como hemos mencionado anteriormente (tempranamente en la seccion 1.4.3 y luego en la seccion2.3.4), un determinado vector |ai 2 V puede expresarse en una base ortonormal {|eji} como: aj |eji dondelas aj son las componentes contravariantes del vector en esa base. En general, como es muy largo decir“componentes del vector contravariante” uno se refiere (y nos referiremos de ahora en adelante) al conjunto�aj

como un vector contravariante obviando la precision de componente, pero realmente las aj son lascomponentes del vector.

Adicionalmente, en esta etapa pensaremos a las bases como distintos observadores o sistemas de referen-cias. Con ello tendremos (algo que ya sabıamos) que un vector se puede expresar en distintas bases y tendradistintas componentes referidas a esa base

|ai = aj |eji = aj |eji .

Ası una misma cantidad fısica vectorial se vera distinta (tendra distintas componentes) desde diferentessistemas de coordenadas. Las distintas “visiones” estan conectadas mediante un transformacion de sistemade referencia como veremos mas adelante.

Igualmente hemos dicho al comienzo de este capıtulo (seccion 3.1.1) que una forma diferencial o 1-forma,hb| 2 V

? es susceptible de expresarse en una base�⌦

ei�� del espacio dual V? como bi

⌦ei�� y, como el espacio

159

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esta equipado con un producto interno, entonces:

ha |bi = hb |ai = biaj⌦ei |eji = bia

j�ij= aibi .

Con lo cual avanzamos otra vez en la interpretacion de este tipo de objetos: una cantidad fısica escalar severa igual (sera invariante) desde distintos sistemas de referencia.

Ademas sabemos que unas y otras componentes se relacionan como:

⌦ei |ai = aj

⌦ei |eji = aj�i

j= aj

⌦ei |eji

⌦ei |ai = aj

⌦ei |eji = aj�i

j= aj

⌦ei |eji

9=

; )

8<

:

ai = Ai

jaj

ai = Ai

jaj ,

donde claramente:

⌦ei |eji = Ai

j;

⌦ei |eji = Ai

jy Ai

kAk

j= �i

j() Ai

j=�Ai

j

��1.

Diremos entonces que aquellos objetos cuyas componentes transforman como: ai = Ai

jaj o, equivalente-

mente como: ai = Ai

jaj seran vectores, o en un lenguaje un poco mas antiguo, vectores contravariantes2.

Tradicionalmente, e inspirados en la ley de transformacion, la representacion matricial de las componentescontravariantes de un vector,

⌦ei |ai = aj , para una base determinada {|eji} se representan como una columna

|ai ) ai =⌦ei |ai , con i = 1, 2, 3, · · · , n ()

0

BBB@

a1

a2

...an

1

CCCA.

De la misma manera, en el espacio dual, V?, las formas diferenciales se podran expresar en termino deuna base de ese espacio vectorial como hb| = bi

⌦ei�� = bi

⌦ei��. Las {bi} seran las componentes de las formas

diferenciales o las componentes covariantes de un vector |bi, o dicho rapidamente un vector covariante ocovector. Al igual que en el caso de las componentes contravariantes las componentes covariantes transformande un sistema de referencia a otro mediante la siguiente ley de transformacion:

hb |eji = bi⌦ei |eji = bi�ij = bi

⌦ei |eji

hb |eji = bi⌦ei |eji = bi�ij = bi

⌦ei |eji

9=

; )

8<

:

bj = biAi

j

bj = biAi

j.

Otra vez, objetos cuyas componentes transformen como bj = biAi

jlos denominaremos formas diferenciales

o vectores covariantes o covectores y seran representados como matrices en un arreglo tipo fila:

hb| ) bi = hb |eii , con i = 1, 2, 3, · · · , n ()�b1 b2 · · · bn

�.

Quiza hasta este punto la diferencia de formas y vectores, de componentes covariantes y contravariantes,ası como sus esquemas de transformacion es todavıa confusa. No disponemos de ejemplos contundentesque ilustren esa diferencia. Estos seran evidentes cuando nos toque discutir las caracterısticas de los espaciospseudoeuclidianos en la seccion 3.3. Luego, en la seccion 5.1, consideraremos algunos ejemplos en coordenadasgeneralizadas.

2Algunos autores prefieren utilizar la siguiente notacion para las transformaciones: ai = Aij0a

j0 y ai0= Ai0

j aj , por lo que

�ij = Aik0Ak0

j

160

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3.1.4. Ejemplos

1. Consideremos V = R3 como el espacio vectorial conformado por todos los vectores columna

|vi =

0

@⇠1

⇠2

⇠3

1

A ,

el cual al representarse en su base canonica {|iii} resulta en:

|vi = ⇠1

0

@100

1

A+ ⇠2

0

@010

1

A+ ⇠3

0

@001

1

A = ⇠1 |i1i+ ⇠2 |i2i+ ⇠3 |i3i = ⇠i |iii .

Sea un funcional lineal F 2 V?, de manera que los vectores duales F [�] ⌘ hF | $ (w1, w2, w3), puedan

ser representados por “vectores” filas.

Notemos que la base de funcionales lineals ⇣i[�] ⌘⌦ii��, la definimos como:

⇣i [|iji] =⌦ii |iji = �i

j)⌦i1 |i1i = 1 ,

⌦i1 |i2i = 0 ,

⌦i1 |i3i = 0 ,

⌦i2 |i1i = 0 ,

⌦i2 |i2i = 1 , · · ·

En este caso: ⇣i = hii| entonces ⇣1 = (1, 0, 0), ⇣2 = (0, 1, 0), ⇣3 = (0, 0, 1) y ademas,

⇣1 [|vi] = (1, 0, 0)

0

@⇠1

⇠2

⇠3

1

A = ⇠1 , ⇣2 [|vi] = (0, 1, 0)

0

@⇠1

⇠2

⇠3

1

A = ⇠2 , ⇣3 [|vi] = (0, 0, 1)

0

@⇠1

⇠2

⇠3

1

A = ⇠3 .

2. Encontremos la base dual para el espacio vectorial V = R3, con base ortogonal:

|e1i =

0

@11

�1

1

A , |e2i =

0

@2

�11

1

A , |e3i =

0

@0

�1�1

1

A .

Todo vector de ese espacio queda representado en esa base por:

|vi = vi |eii = v1

0

@11

�1

1

A+ v2

0

@2

�11

1

A+ v3

0

@0

�1�1

1

A =

0

@v1 + 2v2

v1 � v2 � v3

�v1 + v2 � v3

1

A

Una vez mas, sea un funcional lineal F 2 V?, representa vectores duales F [�] ⌘ hF | $ (w1, w2, w3) y

la base en el dual es:⌦ei�� = (ai, bi, ci). Ademas sabemos que:

⌦ei |eji = �i

j. Por lo tanto:

⌦e1 |e1i = (a1, b1, c1)

0

@11

�1

1

A = a1 + b1 � c1 = 1

⌦e1 |e2i = (a1, b1, c1)

0

@2

�11

1

A = 2a1 � b1 + c1 = 0 )

8<

:

a1 = 13

b1 = 13

c1 = �13

⌦e1 |e3i = (a1, b1, c1)

0

@0

�1�1

1

A = �b1 � c1 = 0

161

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⌦e2 |e1i = (a2, b2, c2)

0

@11

�1

1

A = a2 + b2 � c2 = 0

⌦e2 |e2i = (a2, b2, c2)

0

@2

�11

1

A = 2a2 � b2 + c2 = 1 )

8<

:

a2 = 13

b2 = �16

c2 = 16

⌦e2 |e3i = (a2, b2, c2)

0

@0

�1�1

1

A = �b2 � c2 = 0

Y finalmente:

⌦e3 |e1i = (a3, b3, c3)

0

@11

�1

1

A = a3 + b3 � c3 = 0

⌦e3 |e2i = (a3, b3, c3)

0

@2

�11

1

A = 2a3 � b3 + c3 = 0 )

8<

:

a3 = 0b3 = �

12

c3 = �12

⌦e3 |e3i = (a3, b3, c3)

0

@0

�1�1

1

A = �b3 � c3 = 1

La base del dual es:⌦e1�� = ( 13 ,

13 ,�

13 ),

⌦e2�� = ( 13 ,�

16 ,

16 ),

⌦e3�� = (0,� 1

2 ,�12 ), de manera que:

hF | = w1

⌦e1��+ w2

⌦e2��+ w3

⌦e3�� .

Notemos que, como era de esperarse:

⌦e1 |vi =

✓1

3,1

3,�

1

3

◆0

@v1 + 2v2

v1 � v2 � v3

�v1 + v2 � v3

1

A = v1 ,⌦e2 |vi =

✓1

3,�

1

6,1

6

◆0

@v1 + 2v2

v1 � v2 � v3

�v1 + v2 � v3

1

A = v2

⌦e3 |vi =

✓0,�

1

2,�

1

2

◆0

@v1 + 2v2

v1 � v2 � v3

�v1 + v2 � v3

1

A = v3 .

3. Dados los vectores: u1 = i+ j+2k, u2 = i+2j+3k, y u3 = i� 3j+4k. Revisaremos si estos vectoresson mutuamente ortogonales. Encontraremos la base recıproca ui, el tensor metrico en ambas bases ypara el vector a = 3u1 + 2u2 + u3 encontraremos sus componentes covariantes.

Para saber si son ortogonales simplemente calculamos el producto escalar entre ellos: u1 · u2 = 9 ,u1 · u3 = 6 y u2 · u3 = 7, por lo tanto no son ortogonales y adicionalmente sabemos que:

ui =uj ⇥ uk

ui · (uj ⇥ uk)

Procederemos a calcular primero el denominador:

V = u1 · (u2 ⇥ u3) ) (i+ j+ 2k) · ([i+ 2j+ 3k]⇥ [i� 3j+ 4k]) = 6 .

162

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En general:

ui =uj ⇥ uk

V)

8>>>><

>>>>:

u1 = u2⇥u3V

= 176 i� 1

6 j�56k

u2 = u3⇥u1V

= �53 i+

13 j+

23k

u3 = u1⇥u2V

= �16 i�

16 j+

16k

Notemos que:

V = u1· (u2

⇥ u3) )

✓17

6i�

1

6j�

5

6k

◆·

✓�5

3i+

1

3j+

2

3k

�⇥

�1

6i�

1

6j+

1

6k

�◆=

1

6.

163

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3.1.5. Practicando con Maxima

1. Tenemos para el espacio vectorial V = R3, la base ortogonal:

|e1i = (1, 1,�1), |e2i = (2,�1, 1), |e3i = (0,�1,�1) .

Con F 2 V? donde F [�] ⌘ hF | $ (w1, w2, w3) y

⌦ei�� = (ai, bi, ci), con

⌦ei |eji = �i

j.

Comencemos introduciendo los vectores como listas:

(%i1) e1:[1,1,-1];e2:[2,-1,1];e3:[0,-1,-1];

(%o1) [1, 1,�1]

(%o2) [2,�1, 1]

(%o3) [0,�1,�1]

Efectivamente son mutuamente ortogonales:

(%i4) e1.e2;e1.e3;e2.e3;

(%o4) 0

(%o5) 0

(%o6) 0

Para fines practicos del calculo que vamos a realizar, construiremos una matriz con los vectores comofilas:

(%i7) E:matrix([1,1,-1],[2,-1,1],[0,-1,-1]);

(%o7)

0

@1 1 �12 �1 10 �1 �1

1

A

De manera que:

(%i8) M1:E.[a1,b1,c1];

(%o8)

0

@�c1+ b1+ a1

c1� b1+ 2 a1�c1� b1

1

A

De esta forma es sencillo calcular todas las combinaciones de⌦ei |eii, con las condicion

⌦ei |eji = �i

j, y

resolver los sistemas de ecuaciones para los diferentes {ai, bi, ci}. Veamos:

(%i9) ec1:M1[1,1]=1;ec2:M1[2,1]=0;ec3:M1[3,1]=0;

(%o9) � c1+ b1+ a1 = 1

(%o10) c1� b1+ 2 a1 = 0

164

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(%o11) � c1� b1 = 0

(%i12)linsolve([ec1,ec2,ec3],[a1,b1,c1]);

(%o12)

a1 =

1

3, b1 =

1

3, c1 = �

1

3

�

(%i13)M2:E.[a2,b2,c2];

(%o13)

0

@�c2+ b2+ a2

c2� b2+ 2 a2�c2� b2

1

A

(%i14)ec1:M2[1,1]=0;ec2:M2[2,1]=1;ec3:M2[3,1]=0;

(%o14) � c2+ b2+ a2 = 0

(%o15) c2� b2+ 2 a2 = 1

(%o16) � c2� b2 = 0


(%o17)

a2 =

1

3, b2 = �

1

6, c2 =

1

6

�

(%i18)M3:E.[a3,b3,c3];

(%o18)

0

@�c3 + b3 + a3

c3 � b3 + 2 a3�c3 � b3

1

A

(%i19)ec1:M3[1,1]=0;ec2:M3[2,1]=0;ec3:M3[3,1]=1;

(%o19) � c3+ b3+ a3 = 0

(%o20) c3� b3+ 2 a3 = 0

(%o21) � c3� b3 = 1


(%o22)

a3 = 0, b3 = �

1

2, c3 = �

1

2

�

De manera que la base dual⌦ei�� es:

(%i23)d1:[1/3,1/3,-1/3];d2:[1/3,-1/6,1/6];d3:[0,-1/2,-1/2];

(%o23)

1

3,1

3,�

1

3

�

(%o24)

1

3,�

1

6,1

6

�

165

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(%o25)

0,�

1

2,�

1

2

�

Y son mutuamente ortogonales:

(%i26)d1.d2;d1.d3;d2.d3;

(%o26) 0

(%o27) 0

(%o28) 0

Originalmente tenıamos que:

|vi = vi |eii = v1 |e1i+ v2 |e2i+ v3 |e3i

Si construimos la siguiente matriz:

(%i29)V:transpose(matrix(v1*e1,v2*e2,v3*e3));

(%o29)

0

@v1 2 v2 0v1 �v2 �v3

�v1 v2 �v3

1

A

Podremos comprobar que efectivamente:⌦ei |vi = vi

(%i30)d1.V;d2.V;d3.V;

(%o30)�v1 0 0

�

(%o31)�0 v2 0

�

(%o32)�0 0 v3

�

(%i33)kill(all)$

2. En este ejercicio veremos la manera de construir la matriz de transformacion entre bases y el calculode las bases recıprocas.

Si tenemos la siguiente transformacion entre bases:

|e1i = |ji+ |ki , |e2i = |ii+ |ki , |e3i = |ii+ |ji .

Para calcular la matriz de transformacion:

|eii = Aj

i|iji ,

podemos trabajar de la manera siguiente. Primero introducimos los vectores como una matriz y luegocalculamos la transpuesta:

(%i1) v1:[0,1,1]$v2:[1,0,1]$v3:[1,1,0]$

166

Borrador Preliminar


(%i2) Aij:transpose(matrix(v1,v2,v3));

(%o2)

0

@0 1 11 0 11 1 0

1

A

La matriz de transformacion inversa |iii = Aj

i|eji, es simplemente la matriz inversa:

(%i3) A_ji:invert(%);

(%o3)

0

@�

12

12

12

12 �

12

12

12

12 �

12

1

A

Es claro que Aj

kAk

i= �j

i

(%i4) A_ij.A_ji;

(%o4)

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A

(%i5) kill(all)$

3. Con el uso del paquete vect podemos hacer algunos calculos sencillos con vectores, como por ejemplo,el calculo de las bases recıprocas.

(%i1) load(vect)$

Dado el siguiente conjunto de vectores:

b1 = e1 = i+ j+ 2k , b2 = e2 = �i� j� k , b3 = e3 = 2i� 2j+ k

Calcularemos la base recıproca a traves de:

ei =ej ⇥ ek

ei · (ej ⇥ ek),

(%i2) b1:[1,1,2];

(%o2) [1, 1, 2]

(%i3) b2:[-1,-1,-1]

(%o3) [�1,�1,�1]

(%i4) b3:[2,-2,1];

(%o4) [2,�2, 1]

167

Borrador Preliminar


Podemos comprobar si la base original bi es ortogonal calculando sus productos escalares:

(%i5) b1.b2; b1.b3; b2.b3;

(%o5) � 4

(%o6) 2

(%o7) � 1

Por lo tanto, no son ortogonales.

Ahora, los vectores recıprocos ei se calculan de la manera siguiente:

(%i8) e1:express(b2~b3)/(b3.(express(b1~b2)));

(%o8)

�3

4,�

1

4, 1

�

(%i9) e2:express(b3~b1)/(b3.(express(b1~b2)));

(%o9)

�5

4,�

3

4, 1

�

(%i10)e3:express(b1~b2)/(b3.(express(b1~b2)));

(%o10)

1

4,�

1

4, 0

�

La base recıproca es entonces:

e1 = �3

4i�

1

4j+ k , e2 = �

5

4i�

3

4j+ k , e3 =

1

4i�

1

4j

Que tampoco es ortogonal:

(%i11)e1.e2; e1.e3; e2.e3;

(%o11)17

8

(%o12) �1

8

(%o13) �1

8

El tensor metrico para la base original gij = ei · ej lo podemos construir de la manera siguiente:

(%i14)gb:matrix([b1.b1,b1.b2,b1.b3],[b2.b1,b2.b2,b2.b3],[b3.b1,b3.b2,b3.b3]);

(%o14)

0

@6 �4 2�4 3 �12 �1 9

1

A

168

Borrador Preliminar


Para la base recıproca gij = ei · ej

(%i15)ge:matrix([e1.e1,e1.e2,e1.e3],[e2.e1,e2.e2,e2.e3],[e3.e1,e3.e2,e3.e3]);

(%o15)

0

@138

178 �

18

178

258 �

18

�18 �

18

18

1

A

De manera que: ei · ej = gij= �i

j:

(%i16)gb.ge;

(%o16)

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A

3.1.6. Ejercicios

1. Encuentre las bases duales para los siguientes espacios vectoriales:

a) R2, donde: |e1i $

✓21

◆y |e2i $

✓41

◆.

b) R3, donde: |e1i $

0

@113

1

A , |e2i $

0

@01�1

1

A y |e3i $

0

@210

1

A.

2. Si V es el espacio vectorial de todos los polinomios reales de grado n 1, y definimos:

⇣1 [|pi] =

Z 1

0p(x)dx ^ ⇣2 [|pi] =

Z 2

0p(x)dx ,

donde {⇣1, ⇣2} 2 V

?. Encuentre una base {|e1i , |e2i} 2 V que resulte ortogonal a la dual a {⇣1 , ⇣2}.

3. Si V es el espacio vectorial de todos los polinomios reales de grado n 2. Y si ademas definimos

⇣1 [|pi] =

Z 1

0p(x)dx = 1 , ⇣2 [|pi] =

dp(x)

dx

��x=2

^ ⇣3 [|pi] = p(1)

donde {⇣1, ⇣2, ⇣3} 2 V?. Encuentre una base {|e1i , |e2i , |e3i} 2 V que resulte ortogonal a la dual a

{⇣1 , ⇣2, ⇣3}.

4. Sean |v1i y |v2i 2 V y supongamos que F [|v1i] = 0 implica que F [|v2i] = 0 8 F 2 V?. Muestre que|v2i = ↵ |v1i con ↵ 2 K.

5. Sean F1 y F2 2 V? y supongamos que F1 [|vi] = 0 implica que F2 [|vi] = 0 8 |vi 2 V. Muestre queF2 = ↵F1 con ↵ 2 K.

6. En el caso 3D tenemos que si {ei} define un sistema de coordenadas (dextrogiro) no necesariamenteortogonal, entonces, demuestre que:

169

Borrador Preliminar

3.2. TENSORES Y PRODUCTO TENSORIAL

a)

ei =ej ⇥ ek

ei · (ej ⇥ ek), i, j, k = 1, 2, 3 y sus permutaciones cıclicas

b) si los volumenes: V = e1 · (e2 ⇥ e3) y V = e1 · (e2 ⇥ e3), entonces V V = 1.

c) ¿Que vector satisface a · ei = 1? Demuestre que a es unico.

d) Encuentre el producto vectorial de dos vectores a y b que estan representados en un sistema decoordenadas oblicuo: Dada la base: w1 = 4i+2j+k , w2 = 3i+3j , w3 = 2k. Entonces encuentre:

1) Las bases recıprocas {ei}.

2) Las componentes covariantes y contravariantes del vector a = i+ 2j+ 3k.

7. Resuelva los problemas anteriores utilizando Maxima.

3.2. Tensores y producto tensorial

Las funciones mas simples que se pueden definir sobre un espacio vectorial son los funcionales lineales yestos nos permiten extendernos al concepto de tensor. Para llegar a la nocion de tensores ampliaremos la ideade funcionales lineales, que actuan sobre un unico vector, al de funcionales bilineales (o formas bilineales)que tienen dos vectores en su argumento. Como veremos mas adelante este tipo de funcionales nos revelaranun contenido geometrico de gran riqueza. Es conocido que presentar el concepto de tensores para estudiantesde pregrado o, estudiantes graduados de ingenierıa tiene algunas barreras3 y, la principal barrera quiza seala notacion. En esta capıtulo presentaresmos la notacion que mas nos sedujo desde las epocas de estudiantes,es tomada de dos libros clasicos4, que han marcado una huella en nuestra generacion y que creemos permitesu aplicacion a variados campos.

3.2.1. Tensores, una definicion funcional

Definiremos como un tensor a un funcional lineal (bilineal en este caso) que asocia un elemento del campoK, complejo o real, a un vector |vi 2 V, a una forma hu| 2 V

?, o ambas, y cumple con la linealidad. Estoes:

8 |vi 2 V ^ hu| 2 V?! T [hu| ; |vi] 2 C .

Entonces se debe cumplir:

T [hu| ;↵ |v1i+ � |v2i] ⌘ ↵T [hu| ; |v1i] + � T [hu| ; |v2i] 8 |v1i , |v2i 2 V ^ hu| 2 V?.

T [µ hu1|+ ⌫ hu2| ; |vi] ⌘ µ⇤T [hu1| ; |vi] + ⌫⇤T [hu2| ; |vi] 8 |vi ,2 V ^ hu1| , hu2| 2 V

?.

En pocas palabras: un tensor es un funcional generalizado cuyos argumentos son vectores y/o formas5, loque significa que T [�; •] es una cantidad con dos “puestos” y una vez “cubiertos” se convierte en un escalar(complejo o real).

Las combinaciones son muy variadas:

3Tal y como lo plantea Battaglia, Franco, y Thomas F. George. ”Tensors: A guide for undergraduate students.”American

Journal of Physics 81 (2013): 498-5114Misner, C. W., K. S. Thorne, and J. A. Wheeler. Gravitation. Princeton University Press, 2017; y Cohen-Tannoudji, C.,

Diu, B. and Laloe, F., 1977. Quantum Mechanics vol 1 (Paris: Hermann).5Una presentacion interesante y detallada de la utilizacion del concepto de tensor para el manejo de datos en computacion

la pueden encontrar en: Lu, H., Plataniotis, K. N., & Venetsanopoulos, A. N. (2011). A survey of multilinear subspace learningfor tensor data. Pattern Recognition, 44(7), 1540-1551.

170

Borrador Preliminar


Un tensor, con un argumento correspondiente a un vector y un argumento correspondiente a una forma,lo podremos representar de la siguiente manera:

T

2

4|vi#� ;

hu|#•

3

5 2 C ◆ tensor de tipo

✓11

◆.

Un tensor con dos argumentos correspondientes a vectores y uno a una forma serıa:

T [�, �; •] ◆ T

2

4|v1i#� ,

|v2i#� ;

hu|#•

3


✓12

◆,

Un tensor con dos argumentos correspondientes a formas y uno a un vector:

T [�; •, •] ◆ T

2

4|vi#� ;

hu1|#• ,

hu2|#•

3


✓21

◆.

En general:

T

2

4|v1i#� ,

|v2i#� , · · · ,

|vni#� ;

hu1|#• ,

hu2|#• · · · ,

hum|#•

3


✓mn

◆.

En esta notacion el punto y coma (;) separa las “entradas” formas de las “entradas” vectores. Es impor-tante recalcar que el orden si importa, no solo para las cantidades separadas por el punto y coma, sino elorden de los “puestos” vectores y “puestos” formas separados por coma, y repercutira en las propiedades delos tensores. Por ejemplo: si el orden de las “entradas” vectores no importa, podremos permutarlas sinalterar al tensor, tendremos entonces tensores simetricos respecto a esos “puestos” o “entradas”;del mismo modo, seran tensores antisimetricos aquellos en los cuales el orden si importa y al permutaresos “puestos” o “entradas” hay un cambio de signo en el tensor. Todos estos casos seran tratados con detallemas adelante, pero vale la pena recalcar que en general, para un tensor generico el orden de la “entradas” o“puestos” si importa pero no necesariamente se comporta como los casos resenados anteriormente.

Notemos que en el caso general un tensor es basicamente un aplicacion multilineal T sobre V?⇥V:

T : V?m⇥V

n = V?⇥V

?· · ·V

?⇥V

?

| {z }m

⇥V⇥V · · ·V⇥V| {z }n

) C ,

con n el orden covariante y m el orden contravariante. Hay que hacer notar que por simplicidad hemosconstruido el espacio tensorial a partir de una solo espacio vectorial V y su conjugado V

?, pero muy biencada espacio vectorial puede ser diferente.

Por lo tanto, un tensor

✓mn

◆es un funcional multilineal que asocia m 1�formas y n vectores con C.

Un ejemplo sencillo de un funcional bilineal sobre un espacio vectorial Vn con una base |eii es:

T [|v1i , |v2i] = aij⇠i⇣j (i, j = 1, 2, . . . , n) ,

donde:|v1i = ⇠i |eii ^ |v2i = ⇣i |eii .

171

Borrador Preliminar


son vectores arbitrarios 2 Vn y los aij son numeros. Notemos que:

T [|v1i , |v2i] = T⇥⇠i |eii , ⇣

j|eji⇤= ⇠i⇣jT [|eii , |eji] = ⇠i⇣jaij .

Diremos que esta sera la representacion del funcional bilineal para Vn.

Obviamente las formas pueden ser representadas por tensores ya que son funcionales lineales de vectores.Para finalizar, notemos lo siguiente:

Un vector es un tensor del tipo:

✓10

◆◆ T

2

4hu|#•

3

5 2 C.

Los vectores constituyen un caso especial de tensores.

Una forma es un tensor del tipo:✓

01

◆◆ T

2

4|vi#�

3

5 2 C,

porque son funcionales lineales para las formas diferenciales.

Un escalar es un tensor del tipo: ✓00

◆2 C.

3.2.2. Producto tensorial

Como sera evidente mas adelante, los tensores (simples) pueden provenir del producto tensorial (exterioro directo) de espacios vectoriales. Esto es, consideraremos E1 y E2 dos espacios vectoriales con dimensionesn1 y n2, respectivamente y vectores genericos, |'(1)i y |�(2)i pertenecientes a estos espacios vectoriales:|'(1)i 2 E1 y |�(2)i 2 E2.

Definiremos el producto tensorial (exterior o directo) de espacios vectoriales, E = E1 ⌦E2, si a cada par

de vectores |'(1)i y |�(2)i le asociamos un tensor tipo

✓20

◆y si se cumple que:

|'(1)�(2)i ⌘ |'(1)i ⌦ |�(2)i , T

2

4h (1)|

#• ,

h�(2)|#•

3

5 = h (1) |'(1)i h�(2) |�(2)i 2 C ,

y si ademas se cumplen las siguientes propiedades:

1. La suma entre tensores de E viene definida como:

|'(1)�(2)i+ |⇣(1)⇠(2)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i+ |⇣(1)i ⌦ |⇠(2)i = |'(1) + ⇣(1)i ⌦ |�(2) + ⇠(2)i .

2. El producto tensorial es lineal respecto a la multiplicacion con numeros reales � y µ:

[|�'(1)i]⌦ |�(2)i = [� |'(1)i]⌦ |�(2)i = � [|'(1)i ⌦ |�(2)i] = � |'(1)�(2)i ,

|'(1)i ⌦ [|µ�(2)i] = |'(1)i ⌦ [µ |�(2)i] = µ [|'(1)i ⌦ |�(2)i] = µ |'(1)�(2)i .

172

Borrador Preliminar


3. El producto tensorial es distributivo respecto a la suma:

|'(1)i ⌦ [|�1(2)i+ |�2(2)i] = |'(1)i ⌦ |�1(2)i+ |'(1)i ⌦ |�2(2)i

[|'1(1)i+ |'2(1)i]⌦ |�(2)i = |'1(1)i ⌦ |�(2)i+ |'2(1)i ⌦ |�(2)i .

Notese que las etiquetas (1) y (2) denotan la pertenencia al espacio respectivo.

3.2.3. Espacios tensoriales

Es facil convencerse que los tensores |'(1)�(2)i 2 E = E1 ⌦E2 forman un espacio vectorial y la demos-tracion se basa en comprobar los axiomas o propiedades de los espacios vectoriales tal y como lo describimosen la seccion 2.1.3:

1. La operacion suma � es cerrada en V : 8 |vii , |vji 2 V ) |vki = |vii� |vji 2 V.

Esto se traduce en demostrar que sumados dos tensores |'(1)�(2)i y |⇣(1)⇠(2)i 2 E el tensor sumatambien pertenece a E, con ↵ y � pertenecientes al campo del espacio vectorial

↵ |'(1)�(2)i+ � |⇣(1)⇠(2)i = |↵'(1) + ⇣(1)i ⌦ |�(2) + �⇠(2)i ,

y esto se cumple siempre ya que, el producto tensorial es lineal respecto a la multiplicacion con numerosreales, y por ser E1 y E2 espacios vectoriales se cumple:

|↵'(1) + ⇣(1)i = ↵ |'(1)i+ |⇣(1)i 2 E1

|'(2) + �⇣(2)i = |'(2)i+ � |⇣(2)i 2 E2

9=

; ) |'(1) + ⇣(1)i ⌦ |�(2) + ⇠(2)i 2 E .

2. La operacion suma � es conmutativa y asociativa.

Conmutativa: 8 |vii , |vji 2 V ) |vii� |vji = |vji� |vii.

Esta primera es clara de la definicion de suma:

|'(1)�(2)i+ |⇣(1)⇠(2)i = |'(1) + ⇣(1)i ⌦ |�(2) + ⇠(2)i

|⇣(1)⇠(2)i+ |'(1)�(2)i = |⇣(1) + '(1)i ⌦ |⇠(2) + �(2)i ,

por ser E1 y E2 dos espacios vectoriales.

Asociativa: 8 |vii , |vji , |vki 2 V ) (|vii� |vji)� |vki = |vji� (|vii� |vki)

Una vez mas, esto se traduce en:

(|'(1)�(2)i+ |⇣(1)⇠(2)i) + |{(1)(2)i = |'(1)�(2)i+ (|⇣(1)⇠(2)i+ |{(1)(2)i) ,

con lo cual, por la definicion de suma, la expresion anterior queda como:

(|'(1) + ⇣(1)i ⌦ |⇠(2) + �(2)i) + |{(1)(2)i = |'(1)�(2)i+ (|⇣(1) + {(1)i ⌦ |⇠(2) + (2)i)

|('(1) + ⇣(1)) + {(1)i ⌦ |(⇠(2) + �(2)) + (2)i = |'(1) + (⇣(1) + {(1))i ⌦ |⇠(2) + (�(2) + (2))i .

3. Existe un unico elemento neutro: 9 |0i / |0i� |vji = |vji� |0i = |vji 8 |vji 2 V.

Es decir:

|'(1)�(2)i+ |0(1)0(2)i = |'(1) + 0(1)i ⌦ |�(2) + 0(2)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i = |'(1)�(2)i .

173

Borrador Preliminar


4. Existe un elemento simetrico para cada elemento de V: 8 |vji 2 V 9 |�vji / |vji� |�vji = |0i.

|'(1)�(2)i � |'(1)�(2)i = |'(1)� '(1)i ⌦ |�(2)� �(2)i = |0(1)i ⌦ |0(2)i = |0(1)0(2)i .

5. ↵ (� |vii) = (↵�) |vii:

↵ (� |'(1)�(2)i) = ↵ (|��(2)i ⌦ |'(1)i) = |↵��(2)i ⌦ |'(1)i = (↵�) |�(2)i ⌦ |'(1)i = (↵�) |'(1)�(2)i .

6. (↵+ �) |vii = ↵ |vii+ � |vii:

(↵+ �) |'(1)�(2)i = |'(1)i ⌦ |(↵+ �)�(2)i = |'(1)i ⌦ |↵�(2) + ��(2)i

= |'(1)i ⌦ [(↵ |�(2)i+ � |�(2)i)]

= ↵ |'(1)i ⌦ |�(2)i+ � |'(1)i ⌦ |�(2)i .

7. ↵ (|vii� |vji) = ↵ |vii� ↵ |vji:

↵ (|'(1)�(2)i+ |⇣(1)⇠(2)i) = ↵ (|'(1) + ⇣(1)i ⌦ |⇠(2) + �(2)i) = |↵ ('(1) + ⇣(1))i ⌦ |⇠(2) + �(2)i

= |↵'(1) + ↵⇣(1)i ⌦ |⇠(2) + �(2)i = |↵'(1)�(2)i+ |↵⇣(1)⇠(2)i

= ↵ |'(1)�(2)i+ ↵ |⇣(1)⇠(2)i .

Equivalentemente, podemos construir un producto tensorial entre espacios de formas diferenciales. SiE?

1 y E?

2 son dos espacios vectoriales duales a E1 y E2, con dimensiones n1 y n2, respectivamente. A estosespacios pertenecen las formas diferenciales genericas h⇣(1)| 2 E

?

1 y h⇠(2)| 2 E?

2.Definiremos el producto tensorial de espacios vectoriales duales, E? = E

?

1 ⌦ E?

2, si a cada par de formas

diferenciales h⇣(1)| 2 E?

1 y h⇠(2)| 2 E?

2 le asociamos un tensor tipo

✓02

◆. Esto es: h⇣(1)⇠(2)| = h⇣(1)| ⌦

h⇠(2)| .Es importante aclarar que el numero h'(1)�(2) |'(1)�(2)i = h'(1) |'(1)i · h�(2) |�(2)i , NO representa

el producto interno entre los tensores, h'(1)�(2)| y |'(1)�(2)i. Tal y como hemos descrito arriba,

T [|'(1)i , |�(2)i] ⌘ T⇤ [h'(1)| , h�(2)|] = h'(1) |'(1)i · h�(2) |�(2)i ,

representa las evaluaciones de los funcionales T [�] y T⇤ [•], respectivamente.

3.2.4. Bases para un producto tensorial

Si {|ui(1)i} y {|vi(2)i} son, respectivamente, bases discretas para E1 y E2 entonces podremos construirel tensor:

|ui(1)vj(2)i = |ui(1)i ⌦ |vj(2)i 2 E ,

el cual funcionara como una base para E y, por lo tanto, podremos construir un tensor generico de E:

|'(1)�(2)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i = 'i�j|ui(1)vj(2)i ,

donde 'i y �j son las componentes de |'(1)i y |�(2)i en sus respectivas bases. En otras palabras, lascomponentes de un tensor en E corresponden a la multiplicacion de las componentes de los vectores en E1

y E2. Recuerde que estamos utilizando la convencion de Einstein de suma tacita en ındices covariantes ycontravariantes, en la cual ck |vki ⌘

Pn

k=1 ck|vki.

174

Borrador Preliminar


Es importante senalar que si bien un tensor generico | i 2 E siempre se puede expandir en la base|ui(1)vj(2)i no es cierto que todo tensor de E provenga del producto tensorial de E1 y E2. Es decir, E tienemas tensores de los que provienen el producto tensorial. Esta afirmacion puede intuirse del hecho que si| i 2 E entonces:

| i = cij |ui(1)vj(2)i ,

por ser {|ui(1)vj(2)i} base para E. Es claro que dados dos numeros ↵1 y ↵2 habra cij que no provienen dela multiplicacion de ↵1↵2.

El conjunto de todas funciones bilineales T [hu| ; |vi] forman un espacio vectorial sobre el espacio directoE. Este espacio vectorial de funciones tendra una base dada por:

|ui(1)vj(2)i = |ui(1)i ⌦ |vj(2)i .

3.2.5. Tensores, sus componentes y sus contracciones

Hemos mencionado anteriormente, ubicandonos en R3, que un escalar es una cantidad que se puedeespecificar, independientemente del sistema de coordenadas, por un solo numero. Los vectores geometricosque dibujabamos con flechas los sustituimos ahora por tres numeros respecto a una base seleccionada, esdecir, a traves de sus tres componentes. Los escalares y los vectores son casos particulares de objetos masgenerales que denominamos tensores, tensores de orden o rango k y cuya especificacion en cualquier sistemade coordenadas requerira de 3k numeros, llamadas las componentes del tensor. Esto significa que un escalares un tensor de orden 0 (30 = 1 componente) y un vector un tensor de orden 1 (31 = 3 componentes). Si elespacio vectorial es de dimension n, entonces un tensor de orden k tendra nk componentes6.

Como veremos mas adelante, los tensores son mucho mas que simples numeros respecto a un sistemade coordenadas y la clave radica en la “ley de transformacion” de sus componentes, es decir, en la relacionque existe entre las componentes de un tensor en un sistema de coordenadas y las componentes del mismotensor en otro sistema de coordenadas diferente. Lo que hay detras de todo esto es el hecho de que lasleyes matematicas que describen los fenomenos fısicos deben ser “invariantes” bajo transformaciones decoordenadas, como por ejemplo: traslaciones (el espacio es homogeneo) y rotaciones (el espacio es isotropo).

Componentes de un tensor

Consideremos un espacio tensorial V = E?

1 ⌦ E?

2 ⌦ E?

3 ⌦ E1 ⌦ E2. Denominaremos componentes de untensor, aquellos numeros que surgen al evaluar los funcionales (formas diferenciales o vectores) con la bases delos espacios que lo constituyen. Ası, si {|ui(1)i} y {|xi(1)i} son base para E1, mientras {|vj(2)i} y {|yj(2)i}

lo son para E2 y finalmente {|tk(3)i} para E3, entonces las componentes de un tensor

✓23

◆seran:

Smn

ijk= S

2

4hxm(1)|

#• ,

hyn(2)|#• ;

|ui(1)i#� ,

|vj(2)i#� ,

|wk(3)i#�

3

5 ) S = Smn

ijk

⇥xm(1), yn(2);u

i(1), vj(2), tk(3)⇤,

donde hemos denotado⇥xm(1), yn(2);ui(1), vj(2), tk(3)

⇤como el tensor base

⇥xm(1), yn(2);u

i(1), vj(2), tk(3)⇤= |xm(1)i ⌦ |yn(2)i ⌦

⌦ui(1)

��⌦⌦vj(2)

��⌦⌦tk(3)

�� .6Existen varias presentaciones operativas de estos conceptos para Fısica e Ingenierıa, pueden consultar:

Battaglia, F., & George, T. F. (2013). Tensors: A guide for undergraduate students. American Journal of Physics, 81(7),498-511.

Comon, P. (2014). Tensors: a brief introduction. IEEE Signal Processing Magazine, 31(3), 44-53.

175

Borrador Preliminar


Podemos comentar varias cosas:

Por simplicidad hemos considerado un espacio tensorial de la forma V = E?

1 ⌦ E?

2 ⌦ E?

3 ⌦ E1 ⌦ E2,pero claramente pudimos haberlo construido mas general, W = E

?

1 ⌦E?

2 ⌦E?

3 ⌦E4 ⌦E5.

En este ejemplo, en la base del espacio tensorial⇥xm(1), yn(2);ui(1), vj(2), tk(3)

⇤, hemos colocado

primero su “parte” vectorial y luego su “parte” forma. Los ındices de las componentes heredan estaconvencion Smn

ijk: primero iran los contravariantes y luego los covariantes. Pero lo importante es que

los ındices etiqueten el espacio al cual corresponde.

Nuestra notacion sera:

• | (1),�(2)i ⌘ | (1)i ⌦ |�(2)i = Cij|ui(1), vj(2)i = Cij

|xi(1), vj(2)i = Cij|ui(1), yj(2)i. Es decir

un tensor pertenciente a un espacio tensorial conformado por dos espacios vectoriales y que sepueden expresar en varias de las bases de esos espacios.

• h (1),�(2)| ⌘ h (1)| ⌦ h�(2)| = Kij

⌦ui(1), vj(2)

�� = Kij

⌦xi(1), vj(2)

�� = Kij

⌦ui(1), yj(2)

��. Igualque para el caso anterior pero a partir de 1-formas.

• [ (1),�(2)] ⌘ h (1)| ⌦ |�(2)i = M j

i

⇥ui(1); vj(2)

⇤= M j

i

⇥xi(1); vj(2)

⇤= M j

i

⇥ui(1); yj(2)

⇤. Un

tensor mixto

Es importante convenir el orden en el cual se presenten los espacios con los cuales se realiza el productotensorial

Es de hacer notar que la seleccion de las bases no es arbitraria sino que deben corresponderse, entre elespacio directo, E, y su dual E?, i.e.

{|ui(1)i , |vj(2)i , |wk(3)i}⌦ {hxm(1)| , hyn(2)|} , {|xp(1)i , |yq(2)i}⌦�hua(1)| ,

⌦vb(2)

�� , hwc(2)| .

Si consideramos un tensor como resultado de un producto tensorial y consideramos las bases: {|ui(1)i , hxm(1)|},sus componentes se pueden expresar {'m(1)�i(1)}, vale decir:

✓11

◆() |'(1)i ⌦ h�(1)| ) hxm(1) |'(1)i ⌦ h�(1)| ui(1)i ) {'m(1)�i(1)} .

Combinaciones lineales de tensores

Es claro que podremos sumar (componentes) de tensores como lo hemos hecho con la suma de (compo-nentes) de vectores:

a+ b = (ax + bx) i+ (ay + by) j+ (az + bz)k =�a1 + b1

�i+�a2 + b2

�j+�a3 + b3

�k =

�ai + bi

�|iii ,

esto es:R ij

kl= ↵Q ij

kl+ �P ij

kl.

Producto tensorial de tensores

Podemos extender aun mas la idea del producto directo y extenderla para tensores. Ası, para dos tensores,uno tipo:

✓20

◆) |'(1)�(2)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i = T

2

4h⇣(1)|

#• ,

h⇠(2)|#•

3

5 |µ(1)(2)⇥(1)i ,

176

Borrador Preliminar


y el otro tipo:✓

21

◆) |µ(1)i ⌦ |(2)i ⌦ h⇥ (1)| = P

2

4|ui(1)i

#� ;

h"(1)|#• ,

h�(2)|#•

3

5 ,

el producto directo es:

|'(1)�(2)i ⌦ |µ(1)(2)⇥(1)i = |'(1)i ⌦ |�(2)i ⌦ |µ(1)i ⌦ |(2)i ⌦ h⇥ (1)|

= T

2

4h⇣(1)|

#• ,

h⇠(2)|#•

3

5⌦ P

2

4|ui(1)i

#� ;

h"(1)|#• ,

h�(2)|#•

3

5

= R

2

4|ui(1)i

#� ;

h"(1)|#• ,

h�(2)|#• ,

h⇣(1)|#• ,

h⇠(2)|#•

3

5 .

En componentes sera como se muestra a continuacion:

Rij lm

k= T ijP lm

k.

Un vez mas, note que los puestos de los ındices en las componentes de los tensores heredan las posiciones delos vectores y formas que construyeron el espacio tensorial a partir del producto directo o tensorial.

Contraccion de un tensor

Denominaremos una contraccion cuando sumamos las componentes covariantes y contravariantes, estoes, si tenemos 'i(1)�i(1), entonces se genera un escalar independiente de la base. Esta situacion sera masevidente cuando definamos metricas y contraccion de tensores. Por analogıa y considerando un caso mas

general, dada las componentes Smn

ijkcorrespondiente a un tensor

✓23

◆podremos construir un nuevo tensor

✓12

◆a partir de una contraccion. Las componentes de este nuevo tensor seran: S mn

ijk) S in

ijk⌘ S n

jk.

Del mismo modo, dadas las componentes de dos tensores, P lm y Q ij

zkgeneraran componentes de nuevos

tensores R lij

k= P lmQ ij

mk. Ası:

✓20

◆) P lm

✓22

◆) Q ij

zk

9>>=

>>;)

✓31

◆) R lij

k= P lmQ ij

mk.

Es claro que si dos tensores derivan de productos tensoriales y si {|ui(1)i} , {hum(1)|} y {|vi(2)i} sonbases ortonormales para E1, E

?

1 y E2, entonces sus productos tensoriales podran ser expresados como:

|�(1); �(2)i =��i(1)�j(2)

�| {z }

P ij

|ui(1)i ⌦ |vj(2)i , [↵(1); �(1)] =�↵l(1)�m(1)

�| {z }

Q lm

|ul(1)i ⌦ hum(1)| ,

177

Borrador Preliminar


entonces:

��↵l(1)�m(1)

�|ul(1)i ⌦ hum(1)|

� ��i(1)�j(2)

�|ui(1)i ⌦ |vj(2)i

�

= ↵l(1)�m(1)��i(1)�j(2)

�{hum(1) |ui(1)i}| {z }

�mi

|vj(2)i ⌦ |ul(1)i

= ↵l(1)�k(1)��k(1)�j(2)

�|vj(2)i ⌦ |ul(1)i

= P ijQ l

i|ul(1); vj(2)i

= Rjl|ul(1); vj(2)i .

Pero mas aun, si |ui(1)vj(2)i = |ui(1)i⌦ |vj(2)i 2 E es base de E entonces se puede demostrar lo anteriorsin circunscribirnos a tensores cuyas componentes provengan de multiplicacion de las componentes en cadaespacio vectorial.

Simetrizacion de tensores

Un tensor (las componentes) sera simetrico respecto a dos de sus ındices si su permutacion no cambia suvalor:

Sij = Sji , Sij = Sji , Sij···kl···mn = Sij···lk···mn , Sij···kl···mn = Sij···lk···mn ,

y sera antisimetrico si:

Aij = �Aji , Aij = �Aji , Aij···kl···mn = �Aij···lk···mn , Aij···kl···mn = �Aij···lk···mn .

Un tensor de rango 2, viene representado por una matriz que tendra 32 = 9 componentes. Si la matriz essimetrica tendra como maximo 6 componentes distintas.

Si

j= Sj

i=

0

@S11 S1

2 S13

S21 S2

2 S23

S31 S3

2 S33

1

A =

0

@S11 S2

1 S31

S12 S2

2 S32

S13 S2

3 S33

1

A .

Mientras que un tensor antisimetrico de segundo orden tendra, cuando maximo, tres componentes con valorabsoluto distintos de cero,

A i

j= �A j

i=

0

@0 A1

2 A13

�A21 0 A2

3

�A31 �A3

2 0

1

A .

Siempre es posible construir tensores simetricos y antisimetricos a partir de un tensor generico. Esto es:

Sij =1

2(Tij + Tji) ⌘ T(ij) () Sij···kl···mn =

1

2(Tij···kl···mn + Tij···lk···mn) = Tij···(kl)···mn

Aij =1

2(Tij � Tji) ⌘ T[ij] () Aij···kl···mn =

1

2(Tij···kl···mn � Tij···lk···mn) = Tij···[kl]···mn .

Es evidente que las componentes de un tensor generico, Tij , pueden expresarse como una combinacion de suparte simetrica y antisimetrica:

Tij = Sij +Aij .

Obviamente que algo equivalente se puede realizar para componentes contravariantes de tensores.

178

Borrador Preliminar


3.2.6. Tensor metrico, ındices y componentes

Para una base generica, {|uji}, no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial con producto interno,

podemos definir la expresion de un tensor simetrico,

✓02

◆que denominaremos “tensor metrico”, de la

siguiente manera:

g

2

4|uii#� ,

|uji#�,

3

5 = g [|uii , |uji] = gij ⌘ gji , g

2

64

hui|

#• ,

huj|

#•

3

75 = g⇥⌦ui�� ,⌦uj��⇤ = gij ⌘ gji ,

con gij = (gij)�1. Notese que las gij ⌘ gji son las componentes del tensor g

h�, �iuna vez que la base {|uji}

ha actuado. Esto hace que podamos definir una forma a partir del tensor metrico como g [|uii , �] =⌦ui�� y

equivalentemente un vector como g⇥⌦uj�� , •⇤= |uji. Ambas definiciones nos llevan a pensar que el tensor

metrico esta asociado a una funcion del producto interno, vale decir g⇥⌦ui�� ,⌦uj��⇤ = gij ⌘ gji = F [

⌦ui

|uji],que preserve la idea de metrica: F 2 R, que sea simetrico respecto a los ındices i, j y que cumpla con ladesigualdad triangular. Es decir, la denominacion de tensor metrico, no es gratuita, g cumple con todaslas propiedades de la metrica definida para un espacio vectorial euclidiano expuestas en la seccion 2.2.1,vale decir:

1. g [|uii , |uji] = gij ⌘ gji � 0 8 |uji , y si g [|uii , |uji] = 0 ) i = j .

2. g [|uii , |uji] = g [|uji , |uii] ) gij ⌘ gji .

3. g [|uii , |uji] g [|uii , |uki] + g [|uki , |uji]: La desigualdad Triangular.

Si la base generica es ortonormal, {|uii} ! {|eii}, entonces tendremos, de manera natural:

g [�, �] ⌘ gij⌦ei��⌦⌦ej�� ⌘ gji

⌦ej��⌦⌦ei�� y g [•, •] ⌘ gij |eii ⌦ |eji ⌘ gji |eji ⌦ |eii , (3.2)

con lo cual sus componentes seran matrices simetricas gij = gji, e igualmente gij = gji.En general impondremos que:

�gij⌦ui��⌦⌦uj�� gkm |uki ⌦ |umi

�= gijg

km⌦ui

|uki⌦uj

|umi = gijgkm�i

k�jm

= gijgji = �i

i= n ,

ya que i, j = 1, 2, 3, · · · , n. Con lo cual gij es la matriz inversa de gij , es decir, hemos definido las componentes

contravariantes del tensor de modo que cumplan con gikgkj = �ji.

Tambien es claro que si |ai = ak |uki, entonces:

�gij⌦ui��⌦⌦uj�� |ai = ak

�gij⌦ui��⌦⌦uj�� |uki = akgij

⌦uj

|uki⌦ui�� = akgij�

j

k

⌦ui�� = akgik

⌦ui�� ⌘ ai

⌦ui�� ,

con lo cual ai = akgik.De la misma forma:

ha|�gij |uii ⌦ |uji

�= ha|

�gij |uii ⌦ |uji

�= gij ha |uii ⌦ |uji = akg

ij⌦uk

|uii |uji = akgkj

|uji ⌘ aj |uji ,

otra vez aj = akgkj , ahora subimos el ındice correspondiente.De esta manera, el tensor metrico nos permite asociar formas con vectores, componentes covariantes

(formas) a componentes contravariantes (vectores) y dicho rapido y mal, pero de uso muy frecuente: el

179

Borrador Preliminar


tensor metrico nos “permite subir y bajar ındices”. Otra forma de verlo es combinando las propiedades delproducto directo de tensores y contraccion de ındices:

gij |uii ⌦ |uji ⌦ P lmn

k|uli ⌦ |umi ⌦ |uni ⌦

⌦uk�� ) gijP lmn

k|uji ⌦ P lmn

k|uli ⌦ |umi ⌦ |uni ⌦

⌦uk�� uii

gijP lmn

k|uji ⌦ |uli ⌦ |umi ⌦ |uni ·

⌦uk�� uii| {z }�ki

= P jlmn|uji ⌦ |uli ⌦ |umi ⌦ |uni ) gijP lmn

i⌘ P jlmn .

Adicionalmente, el tensor metrico permite la contraccion de ındices. Ası, dado un producto tensorial dedos vectores que se pueden expresar en una base ortonormal {|eii}:

|a, bi = |ai ⌦ |bi = akbm |eki ⌦ |emi

+�gij⌦ei��⌦⌦ej�� ak |eki ⌦ bm |emi

�= akbmgij�

i

k�jm

= akbmgkm = akbk = hb |ai = ha |bi .

Es decir, el producto interno de dos vectores involucra, de manera natural, la metrica del espacio,

hb |ai = ha |bi = akbk = akbk = akbmgkm = akbmgkm .

Obviamente la norma de un vector, tambien incluira al tensor metrico:

k|aik2 = ha |ai = aiaj⌦ei |eji = aia

i = aiaj gij = aiaj gij .

Finalmente, sera util especificar la forma de construir el tensor metrico para para los espacios euclideanos(y pseudo-euclideanos que nos ocuparan en la seccion 3.3) definir la metrica a traves del producto escalarentre vectores de la forma

g [|uii , |uji] = gij ⌘ gji = ui · uj , g [hui| , huj |] = gij ⌘ gji = ui· uj

Donde · representa el producto escalar estandar de Rn. Claramente g j

i⌘ g i

j= ui

·uj = � i

j. En los ejemplos

expuestos en la seccion 3.2.10, haremos uso de estas definciones.

3.2.7. Metrica, elemento de lınea y factores de escala

El caso mas emblematico lo constituye la norma de un desplazamiento infinitesimal. Para una basegenerica, {|uii}, no necesariamente ortogonal de un espacio vectorial con producto interno, el desplazamientoinfinitesimal puede expresarse como:

ds2 ⌘ hdr |dri =�dxk

⌦uk�� (dxm

|umi) =⌦uk

|umi dxk dxm = dxm dxm = gkm dxkdxm . (3.3)

Si las bases de formas y vectores son ortogonales, {|eii}, (cosa mas o menos comun pero no necesariamentecierta siempre) la metrica sera diagonal y como en general: k|eiik 6= 1, entonces surgen los llamados factoresde escala hi =

pgii:

gii =1

gii) (ds)2 =

�h1 dx1

�2+�h2 dx2

�2+�h3 dx3

�2, (3.4)

donde hi =pgii, con i, j = 1, 2, 3 (aquı no hay suma).

En la seccion 5.1 discutiremos con detalle la construccion y el significado de los factores de escala parasistemas de coordenadas tridimensionales, por ahora los mencionamos destacando sus consecuencias en latransformacion de las componentes covariantes y contravariantes entre distintas bases de vectores.

180

Borrador Preliminar


De esta manera, las componentes covariantes y contravariantes estaran relacionadas, a traves de losfactores de escala como:

aj = gjkak

) ai = h[i]a[i] . (Aquı h[i]a

[i] NO indica suma).

En otras palabras, en aquellos sistemas de coordenadas en los cuales la metrica es diagonal pero no vienerepresentada por la matriz unidad, subir y bajar indices puede incluir los cambios de escala. Obviamente, sila base {|iii} es la canonica, es facil ver que:

(ds)2 ⌘ hdr |dri = �kmdxk dxm = dxmdxm.

es decir: g11 = g22 = g33 = 1 , gij = 0 si i 6= j , esto significa que en coordenadas cartesianas el desplaza-miento infinitesimal es la ya conocida expresion: ds2 = dx2 + dy2 + dz2.

3.2.8. Teorema del cociente

Al igual que existe el producto directo entre tensores, cabe preguntarse si es posible multiplicar un tensorarbitrario (de cualquier rango) por un “objeto” desconocido ¿Ese producto sera un tensor?

Existe importantes situaciones fısicas en las cuales es aplicable esta pregunta. Si Tij son las componentesde un tensor de rango 2 y el producto TijV i = Bj es un objeto representado por un solo ındice ¿Este objetoV i sera un vector? La respuesta es siempre afirmativa, y puede ser utilizada como un criterio para identificarcomponente de tensores. Este criterio se denomina el Teorema del Cociente.

La respuesta a esta pregunta surge de la respuesta a una pregunta distinta pero equivalente. Supongamosque nos dan n2 numeros aij y un (una componente de un) vector generico V i, si la cantidad aijV iV j es un

escalar entonces la parte simetrica a(ij) =12 (aij + aji) sera un (una componente de) tensor del tipo:

✓02

◆.

La demostracion involucra algunas de las ideas antes expuestas y la haremos para fijar conceptos.Dados dos sistemas de coordenadas xi = xi (xm) y xj = xj (xm) (con i, j = 1, 2, 3, · · · , n) se cumple que:

aij xixj = = = aij xixj , donde = constituye un escalar ,

y por lo tanto, derivando y utilizando la regla de la cadena:

xi = xi�xj (xm)

�)

@xi

@xm=@xi

@xj

@xj

@xm= �i

m,

por lo que:

aij xixj� aij xixj

⌘

✓aij � akl

@xk

@xi

@xl

@xj

◆xixj = 0 ,

como hay una suma en ij no se puede afirmar que la cantidad del parentesis se anula. Como esta afirma-cion vale para cualquier sistema de coordenadas, seleccionaremos las componentes coordenadas en la basecanonica.

x1 = (1, 0, 0, · · · , 0) , x2 = (0, 1, 0, · · · , 0) , · · · · · ·xn = (0, 0, 0, · · · , 1) ,

con lo cual:

a11 � akl@xk

@x1

@xl

@x1= 0 , a22 � akl

@xk

@x2

@xl

@x2= 0 , · · · , · · · ann � akl

@xk

@xn

@xl

@xn= 0 ,

181

Borrador Preliminar


Como siempre podemos hacer: a(kl) =12 (akl + alk) y a[kl] =

12 (akl � alk) y separar el tensor:

akl = a(kl) + a[kl] ) a(mm) ��a(kl) + a[kl]

� @xk

@xm

@xl

@xm= 0 ) a(mm) = a(kl)

@xk

@xm

@xl

@xm.

La parte simetrica del tensor transforma siguiendo la regla: amn = ⇤k

m⇤l

nakl y es lo que de ahora en

adelante denominaremos un tensor de segundo orden. En este caso, la parte simetrica de un tensor transformacomo un verdadero tensor una vez que se contrae con un par de vectores.

3.2.9. Vectores, formas, tensores y leyes de transformacion

En esta seccion discutiremos la importancia de caracterizar objetos identificando las leyes de transforma-cion. La invariancia bajo determinadas leyes de transformacion es clave en Fısica y nos permite identificarpropiedades fundamentales. Ya hemos visto, en la seccion 1.4.4, como los esquemas de transformacion decoordenadas nos han permitido diferenciar escalares y pseudoescalares y vectores de pseudovectores. En estaseccion puntualizaremos como transforman vectores y formas y como esos esquemas de transformaciones losheredan los tensores.

En general las afirmaciones anteriores se pueden generalizar considerando que las coordenadas que definenun determinado punto, P, expresado en un sistema de coordenadas particular, son

�x1, x2, · · · , xn

�y las

coordenadas de ese mismo punto P, expresado en otro sistema de coordenadas son�x1, x2, · · · , xn

�. Ambas

coordenadas estaran relacionadas por:

x1 = x1�x1, x2, · · · , xn

�

x2 = x2�x1, x2, · · · , xn

�

...xn = xn

�x1, x2, · · · , xn

�

9>>>=

>>>;()

8>>><

>>>:

x1 = x1�x1, x2, · · · , xn

�

x2 = x2�x1, x2, · · · , xn

�

...xn = xn

�x1, x2, · · · , xn

�

En una notacion mas compacta lo que tenemos es:

xi = xi�xj�

() xi = xi�xj�, con i, j = 1, 2, 3, · · · , n . (3.5)

Retomemos lo que discutimos en la seccion 3.1.3, pero ahora en el lenguaje de coordenadas. En esaoportunidad mostramos como transformaban las bases y las componentes de formas y vectores. Ahora logeneralizaremos a los tensores. Otra vez, solo exigiremos (y es bastante) que:

1. Las funciones xi = xi (xm) y xj = xj (xm) sean al menos C2 (funcion y derivada continua)

2. Que el determinante de la matriz jacobiana sean finito y distinto de cero, esto es

det

��@xi (xm)

@xj

�� 6= 0 )

��

@x1

@x1@x

1

@x2 · · ·@x

1

@xn

@x2

@x1@x

2

@x2 · · ·@x

2

@xn

......

...@x

n

@x1@x

n

@x2 · · ·@x

n

@xn

��

6= 0 ) xi = xi (xm) () xj = xj (xm) .

Ahora bien, una vez mas, derivando y utilizando la regla de la cadena:

xi = xi�xj (xm)

�)

@xi

@xm=@xi

@xj

@xj

@xm= �i

m) dxi =

@xi

@xjdxj ,

como hemos comprobado para los dos casos particulares estudiados con anterioridad.De ahora en adelante tendremos las siguientes ReDefiniciones:

182

Borrador Preliminar


Un conjunto de cantidades�a1, a2, · · · , an

se denominaran componentes contravariantes de un vector

|ai 2 V en un punto P de coordenadas�x1, x2, · · · , xn

�, si:

1. dada dos bases ortonormales de vectores coordenados: {|e1i , |e2i , · · · , |eni} y {|e1i , |e2i , · · · , |eni},se cumple que:

|ai = ai |eii = ai |eii )

⇢ ⌦ei�� ai = ai⌦

ei�� ai = ai

�) ai = aj

⌦ei |eji .

2. o equivalentemente, bajo una transformacion de coordenadas: xi = xi�xj�, con i, j = 1, 2, 3, · · · , n,

estas cantidades transforman como:

ai =@xi

@xkak () ai =

@xi

@xkak , con:

@xi

@xk

@xk

@xl= �i

l, (3.6)

y donde las cantidades @xi

@xk y @xi

@xk deberan ser evaluadas en el punto P .

Un conjunto de cantidades {b1, b2, · · · , bn} se denominaran componentes covariantes de un vectorhb| 2 V? en un punto P de coordenadas

�x1, x2, · · · , xn

�, si:

1. dada dos bases de formas:�⌦

e1�� ,⌦e2�� , · · · , hen|

y�⌦

e1�� ,⌦e2�� , · · · , hen|

se cumple que:

hb| = bi⌦ei�� = bi

⌦ei�� )

⇢hb| ei

↵= bi

hb| ei↵= bi

�) bi = bj hej

��ei↵.

2. o equivalentemente, bajo una transformacion de coordenadas xi = xi�xj�(con i, j = 1, 2, 3, · · · , n)

estas cantidades transforman como:

bk =@xi

@xkbi () bk =

@xi

@xkbi , con:

@xi

@xk

@xk

@xl= �i

l, (3.7)

y donde las cantidades: @xi

@xk y @xi


Generalizamos los conceptos anteriores de la siguiente manera. Dado un conjunto bases para las formasdiferenciales {hxm(1)| , hyn(2)|}, hemos definido las componentes contravariantes de un tensor:

T ij = T

2

64

hxi(1)|

#• ,

hyj(2)|

#•

3

75 ()�T ij ⌘�T 11, T 12, · · · , T 1n, T 21, T 22, · · · , T 2n, · · · , Tnn

,

en esta vision, las componentes contravariantes en un punto P de coordenadas�x1, x2, · · · , xn

�, xi =

xi�xj�(con i, j = 1, 2, 3, · · · , n) transforman como:

T ij =@xi

@xk

@xj

@xmT km

() T ij =@xi

@xk

@xj

@xmT km , con:

@xi

@xk

@xk

@xl= �i

l,

donde @xi

@xk y @xi


Esto nos permite construir el caso mas general.

183

Borrador Preliminar


Si {|ti(1)i , |uj(2)i , · · · , |vk(m)i} y�hxe(1)| ,

⌦yf (2)

�� , · · · , hzg(n)|

son bases para los vectores y lasformas, respectivamente, las componentes de un tensor:

T mn

ijk= T

2

64|ti(1)i

#� ,

|uj(2)i#�, , · · · ,

|vk(m)i#� ;

hxe(1)|#• ,

hyf (2)|

#• , · · · ,

hzg(n)|#•

3

75 ,

seran un conjunto de cantidades:�T 1···11···1 , T 2···1

1···1 , · · · , T ···11···1 , T n···1

1···1 , T n···12···1 , · · · , T 1···1

m···1 , · · · , T n···nm···m

que se denominaran las componentes contravariantes y covariantes respectivamente, de un tensor mixtoen un punto P de coordenadas

�x1, x2, · · · , xn

�.

Bajo una transformacion de coordenadas xi = xi�xj�(con i, j = 1, 2, 3, · · · , n) estas cantidades trans-

forman como:

T i···ke···g =

@xi

@xp· · ·

@xk

@xq

@xa

@xe· · ·

@xd

@xgT p···qa···d () T i···k

e···g =@xi

@xp· · ·

@xk

@xq

@xa

@xe· · ·

@xd

@xgT p···qa···d , (3.8)

nuevamente con: @xi

@xk@x

k

@xl = �ily donde las cantidades @x

i

@xk y @xi


3.2.10. Ejemplos

1. Productos tensoriales, vectores y matrices: Para fijar los conceptos que hemos desarrollado enlas secciones 3.2.2, y 3.2.5 consideremos dos espacios vectoriales V1, V2 y sus duales V?

1 y V?

2 cuyosvectores y formas pueden ser representados como

|vi =

0

@v1

v2

v3

1

A 2 V1, hv| = (v1 v2 v3) 2 V?

1 y |ui =

0

BB@

u1

u2

u3

u4

1

CCA 2 V2, hu| = (u1 u2 u3 u4) 2 V?

2

Para ejemplificar las componentes y bases de los espacios tensoriales a partir de los espacios vectoriales ysus duales previamente identificados, podemos entonces definir la siguiente operacion, como el productotensorial:

|v(1)i⌦hu(2)| ⌘ [v(1)u?(2)] =

0

@v1

v2

v3

1

A⌦(u1 u2 u3 u4) =

0

@v1u1 v1u2 v1u3 v1u4

v2u1 v2u2 v2u3 v2u4

v3u1 v3u2 v3u3 v3u4

1

A 2 V3 = V1⌦V?

2.

y del mismo modo el dual del producto anterior

hw(1)|⌦ |z(2)i ⌘ [w⇤(1)z(2)] = (w1 w2 w3)⌦

0

BB@

z1

z2

z3

z4

1

CCA =

0

BB@

z1w1 z1w2 z1w3

z2w1 z2w2 z2w3

z3w1 z3w2 z3w3

z4w1 z4w2 z4w3

1

CCA 2 V?

3 = V?

1 ⌦V2.

Notemos que tanto [v(1)u?(2)] como [v?(1)u(2)] son funcionales bilineales tal y como lo definimos en3.2.2. Es facil convencerse que [v(1)u⇤(2)] y [v⇤(1)u(2)] son tensores duales uno del otro.

Consideremos que si {|e1(1)i , |e2(1)i , |e3(1)i} es una base para V1 con {⌦e1(1)

�� ,⌦e2(1)

�� ,⌦e3(1)

��} y sudual en V

?

1, entonces, estas pueden ser definidas como:

|e1(1)i =

0

@100

1

A , |e2(1)i =

0

@010

1

A , |e3(1)i =

0

@001

1

A ,⌦e1(1)

�� = (1 0 0) ,⌦e2(1)

�� = (0 1 0) ,⌦e3(1)

�� = (0 0 1) .

184

Borrador Preliminar


De igual forma las bases para V2 y V?

2 pueden ser definidas como

|e1(2)i =

0

BB@

1000

1

CCA , |e2(2)i =

0

BB@

0100

1

CCA , |e3(2)i =

0

BB@

0010

1

CCA , |e4(2)i =

0

BB@

0001

1

CCA ,

y repectivamente:

⌦e1(2)

�� = (1 0 0 0) ,⌦e2(2)

�� = (0 1 0 0) ,⌦e3(2)

�� = (0 0 1 0) ,⌦e4(2)

�� = (0 0 0 1) ,

Entonces con el producto tensorial previamente definido, podemos construir la siguiente base para elespacio tensorial V3 = V1 ⌦V?

2:

⇥e1(1) ; e

1(2)⇤= |e1(1)i⌦

⌦e1(2)

�� =

0

@1 0 0 00 0 0 00 0 0 0

1

A ,⇥e1(1) ; e

2(2)⇤= |e1(1)i⌦

⌦e2(2)

�� =

0

@0 1 0 00 0 0 00 0 0 0

1

A ,

⇥e1(1) ; e

3(2)⇤= |e1(1)i⌦

⌦e3(2)

�� =

0

@0 0 1 00 0 0 00 0 0 0

1

A ,⇥e1(1) ; e

4(2)⇤= |e1(1)i⌦

⌦e4(2)

�� =

0

@0 0 0 10 0 0 00 0 0 0

1

A ,

⇥e2(1) ; e

1(2)⇤= |e2(1)i⌦

⌦e1(2)

�� =

0

@0 0 0 01 0 0 00 0 0 0

1

A ,⇥e2(1) ; e

2(2)⇤= |e2(1)i⌦

⌦e2(2)

�� =

0

@0 0 0 00 1 0 00 0 0 0

1

A ,

⇥e2(1) ; e

3(2)⇤= |e2(1)i⌦

⌦e3(2)

�� =

0

@0 0 0 00 0 1 00 0 0 0

1

A ,⇥e2(1) ; e

4(2)⇤= |e2(1)i⌦

⌦e4(2)

�� =

0

@0 0 0 00 0 0 10 0 0 0

1

A ,

⇥e3(1) ; e

1(2)↵= |e3(1)i⌦

⌦e1(2)

�� =

0

@0 0 0 00 0 0 01 0 0 0

1

A ,⇥e3(1) ; e

2(2)⇤= |e3(1)i⌦

⌦e2(2)

�� =

0

@0 0 0 00 0 0 00 1 0 0

1

A ,

⇥e3(1) ; e

3(2)↵= |e3(1)i⌦

⌦e3(2)

�� =

0

@0 0 0 00 0 0 00 0 1 0

1

A ,��e3(1) ; e4(2)

⇤= |e3(1)i⌦

⌦e4(2)

�� =

0

@0 0 0 00 0 0 00 0 0 1

1

A .

Invocando la correspondencia entre kets y bras que expresamos en 3.1.1 construimos la base tensorialdual

⇥ei(1) ; ej(2)

⇤=⌦ei(1)

��⌦ |ej(2)i 2 V?

3 y tendremos

⇥e1(1) ; e1(2)

⇤=

0

BB@

1 0 00 0 00 0 00 0 0

1

CCA ,⇥e1(1) ; e2(2)

⇤=

0

BB@

0 0 01 0 00 0 00 0 0

1

CCA ,⇥e1(1) ; e3(2)

⇤=

0

BB@

0 0 00 0 01 0 00 0 0

1

CCA ,

⇥e1(1) ; e4(2)

⇤=

0

BB@

0 0 00 0 00 0 01 0 0

1

CCA ,⇥e2(1) ; e1(2)

⇤=

0

BB@

0 1 00 0 00 0 00 0 0

1

CCA ,⇥e2(1) ; e2(2)

⇤=

0

BB@

0 0 00 1 00 0 00 0 0

1

CCA ,

185

Borrador Preliminar


⇥e2(1) ; e3(2)

⇤=

0

BB@

0 0 00 0 00 1 00 0 0

1

CCA ,⇥e2(1) ; e4(2)

⇤=

0

BB@

0 0 00 0 00 0 00 1 0

1

CCA ,⇥e3(1) ; e1(2)

⇤=

0

BB@

0 0 10 0 00 0 00 0 0

1

CCA ,

⇥e3(1) ; e2(2)

⇤=

0

BB@

0 0 00 0 10 0 00 0 0

1

CCA ,⇥e3(1) ; e3(2)

⇤=

0

BB@

0 0 00 0 00 0 10 0 0

1

CCA ,⇥e3(1) ; e4(2)

⇤=

0

BB@

0 0 00 0 00 0 00 0 1

1

CCA .

Como no tenemos definido un producto interno entre tensores y sus duales no podemos afirmar queesta base sea ortogonal, pero es claro que ambos conjuntos de vectores {[ek(1) ; em(2)]} y sus duales�⇥ei(1) ; ej(2)

⇤ son linealmente independientes en V3 y V?

3, respectivamente. Por lo tanto, cualquiertensor, [v(1) ; u⇤(2)] 2 V3 se puede expresar como combinacion lineal de esta base

|v(1)i ⌦ hu(2)| ⌘ [v(1) ; u⇤(2)] = viuj

⇥ei(1) ; e

j(2)⇤⌘ U i

j

⇥ei(1) ; e

j(2)⇤,

donde los U i

j= viuj son las componentes del tensor en esta base.

Equivalentemente, el tensor [w⇤(1) ; z(2)] 2 V?

3, tambien podra expresarse en la base dual

hw(1)|⌦ |z(2)i ⌘ [w⇤(1) ; z(2)] =⇥ei(1) ; ej(2)

⇤zjwi ⌘

⇥ei(1) ; ej(2)

⇤W j

i.

Otra vez, los W j

i= zjwi son las componente del tensor [w⇤(1) ; z(2)] en la base

⇥ei(1) ; ej(2)

⇤.

2. Bases recıprocas y tensores metricos.En este punto analizaremos dos ejemplos en los cualesconstruiremos los tensores metricos a partir de dos bases para el R3.

a) Bases oblicuas, bases recıprocas y tensores metricos. Consideremos una base genericaoblicua para R3, formada por los vectores: u1 = i+ j+ 2k, u2 = i+ 2j+ 3k, y u3 = i� 3j+ 4k.Revisaremos si estos vectores son mutuamente ortogonales. Encontraremos la base recıproca ui, eltensor metrico en ambas bases y para el vector a = 3u1+2u2+u3 encontraremos sus componentescovariantes.

Para saber si son ortogonales simplemente calculamos el producto escalar entre ellos: u1 ·u2 = 9 ,u1 · u3 = 6 y u2 · u3 = 7, por lo tanto no son ortogonales y adicionalmente sabemos que:

ui =uj ⇥ uk

ui · (uj ⇥ uk),

que no es otra cosa que la receta para construir la base recıproca, que en el lenguaje de formas yvectores coincide con la base dual, es decir la base del espacio de 1-formas.

En general la base dual sera:

ui =uj ⇥ uk

V)

8>>>><

>>>>:

u1 = u2⇥u3V

= 176 i� 1

6 j�56k

u2 = u3⇥u1V

= �53 i+

13 j+

23k

u3 = u1⇥u2V

= �16 i�

16 j+

16k ,

donde V = u1 · (u2 ⇥ u3) ) (i+ j+ 2k) · ([i+ 2j+ 3k]⇥ [i� 3j+ 4k]) = 6 . Notemos que elvolumen unitario del espacio dual se construye:

V = u1· (u2

⇥ u3) )

✓17

6i�

1

6j�

5

6k

◆·

✓�5

3i+

1

3j+

2

3k

�⇥

�1

6i�

1

6j+

1

6k

�◆=

1

6.

186

Borrador Preliminar


Construimos entonces el tensor metrico para la base recıproca como:

gij = gji = ui⌦ uj =

0

@u1

· u1 u1· u2 u1

· u3

u2· u1 u2

· u2 u2· u3

u3· u1 u3

· u2 u3· u3

1

A =

0

@354 �

163 �

712

�163

103

13

�712

13

112

1

A ,

mientras que para la base original:

gij = gji = ui ⌦ uj =

0

@u1 · u1 u1 · u2 u1 · u3

u2 · u1 u2 · u2 u2 · u3

u3 · u1 u3 · u2 u3 · u3

1

A =

0

@6 9 69 14 76 7 26

1

A .

Y, como debe ser,

ui ⌦ uj = gji=

0

@6 9 69 14 76 7 26

1

A

0

@354 �

163 �

712

�163

103

13

�712

13

112

1

A =

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A .

Entonces, para un vector dado por: a = 3u1 + 2u2 + u3, podemos calcular sus componentescovariantes de la manera siguiente:

ai = gijaj =

8<

:

a1 = g11a1 + g12a2 + g13a3 = (6)(3) + (9)(2) + (6)(1) = 42a2 = g21a1 + g22a2 + g23a3 = (9)(3) + (14)(2) + (7)(1) = 62a3 = g31a1 + g32a2 + g33a3 = (6)(3) + (7)(2) + (26)(1) = 58

Esto es: a = a1i+ a2j+ a3k = 42u1 + 62u2 + 58u3.

b) Bases ortogonales, bases recıprocas y tensores metricos. El segundo ejemplos sera cons-truir una base dual a una base de vectores mutuamente ortogonales, para ello consideraremos lossiguientes vectores

w1 = i+ j+ 2k , w2 = �i� j+ k , w3 = 3i� 3j .

Ortogonalidad: w1 ·w2 = 0 , w1 ·w3 = 0 y w2 ·w3 = 0 . Son ortogonales.

La base recıproca se construye a partir de:

wi =wj ⇥wk

wi · (wj ⇥wk),

donde el denominador es:

V = w1 · (w2 ⇥w3) ) (i+ j+ 2k) · ([�i� j+ k]⇥ [3i� 3j]) = 18 ,

y por lo tanto:

wi =wj ⇥wk

V)

8>>>><

>>>>:

w1 = w2⇥w3V

= 16 i+

16 j+

13k

w2 = w3⇥w1V

= �13 i�

13 j+

13k

w3 = w1⇥w2V

= 16 i�

16 j

El volumen recıproco, como era de esperarse:

V = w1· (w2

⇥w3) )

✓1

6i+

1

6j+

1

3k

◆·

✓�1

3i�

1

3j+

1

3k

�⇥

1

6i�

1

6j

�◆=

1

18,

187

Borrador Preliminar


mientras que el tensor metrico para la base recıproca es:

gij = gji = wi⌦wj =

0

@w1

·w1 w1·w2 w1

·w3

w2·w1 w2

·w2 w2·w3

w3·w1 w3

·w2 w3·w3

1

A =

0

@16 0 00 1

3 00 0 1

18

1

A

y para la base original

gij = gji = wi ⌦wj =

0

@w1 ·w1 w1 ·w2 w1 ·w3

w2 ·w1 w2 ·w2 w2 ·w3

w3 ·w1 w3 ·w2 w3 ·w3

1

A =

0

@6 0 00 3 00 0 18

1

A .

Entonces el vector a = 3w1 + 2w2 + w3 = a1w1 + a2w2 + a3w3, tendra como componentescovariantes

ai = gijaj =

8<

:

a1 = g11a1 = (6)(3) = 18a2 = g22a2 = (3)(2) = 6a3 = g33a3 = (18)(1) = 18

Esto es: a = a1i+ a2j+ a3k = 18w1 + 6w2 + 18w3.

Notemos que si la base original hubiese sido ortonormal:

w1 = (i+ j+ 2k)/p

6 , w2 = (�i� j+ k)/p

3 , w3 = (3i� 3j)/p

18 ,

entonces:

gij = gij =

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A )

8<

:

a1 = a1

a2 = a2

a3 = a3

3. Un ejemplo detallado de transformacion de tensores Ilustremos ahora las transformaciones detensores bajo cambios de la base del espacio tensorial. Esta vez, consideraremos que un tensor tendracomponentes T i

jcuando se expresa como combinacion lineal de la base

⇥ei(1); ej(2)

⇤= |ei(1)i⌦

⌦ej(2)

��donde la base {|e1i , |e2i , |e3i} ⌘ {|ii , |ji , |ki} son los vectores unitarios cartesianos para el espaciovectorial R3. Esto es

|e1i = |ii =

0

@100

1

A ; |e2i = |ji =

0

@010

1

A , |e3i = |ki =

0

@001

1

A

y su base dualhe1| = hi| = (1 0 0), he2| = hj| = (0 1 0), he3| = hk| = (0 0 1),

Consideremos un tensor en la base tensorial⇥ei(1); ej(2)

⇤se expresa como:

T i

j=

0

@2 1 32 3 41 2 2

1

A .

Este ejercicio consiste en ver como calcular las expresiones de los siguientes tensores: T j

i, Tij y T ij , si

consideramos una nueva base:

|w1i = |ii , |w2i = |ii+ |ji y |w3i = |ii+ |ji+ |ki , hw1| = hi| , hw2| = hi|+ hj| y hw3| = hi|+ hj|+ hk| ,

188

Borrador Preliminar


Notese que la nueva base no es ortogonal ,⌦wk

|wii 6= �ki, con lo cual no se cumplen muchas cosas,

entre ellas: |wki⌦wk�� 6= 1. Pero sin duda se cumple que para transformar componentes de un tensor

tendremos siempre la relacion

T k

m=@xk

@xi

@xj

@xmT i

j.

Tenemos que identificar las matrices de transformacion @xk

@xi y @xj

@xm . Estas matrices de transformacion sonlas mismas que transforman componentes (contravariantes) de vectores y las componentes (covariantes)de covectores o formas, i.e.

ai =@xi

@xkak , ak =

@xm

@xkam

y ademas son las mismas matrices que devuelven el cambio de un sistema de coordenadas a otro:

ai =@xi

@xkak , ak =

@xm

@xkam.

Adicionalmente, estas matrices son una la inversa de la otra @xi

@xk@x

k

@xj = �ij.

Para identificar esas matrices recordamos que un vector generico transforma de la siguiente manera:|ai = aj |eji = aj |wji , por lo tanto:

|ai = aj |eji = a1 |w1i+ a2 |w2i+ a3 |w3i = a1 |e1i+ a2 (|e1i+ |e2i) + a3 (|e1i+ |e2i+ |e3i) ,

donde hemos sustituido la expresion de la base�� ˜wi

↵ en terminos de la base {|eji} con lo cual:

|ai = a1 |e1i+ a2 |e2i+ a3 |e3i =�a1 + a2 + a3

�|e1i+

�a2 + a3

�|e2i+ a3 |e3i .

Lo que nos lleva al siguiente sistema de ecuaciones:

a1 = a1 + a2 + a3

a2 = a2 + a3

a3 = a3

9=

; ) ai =@xi

@xkak )

8>>>>><

>>>>>:

@x1

@x1 = 1; @x1

@x2 = 1; @x1

@x3 = 1

@x2

@x1 = 0; @x2

@x2 = 1; @x2

@x3 = 1

@x3

@x1 = 0; @x3

@x2 = 0; @x3

@x3 = 1

Es de hacer notar que dado que la base: {|e1i , |e2i , |e3i} ⌘ {|ii , |ji , |ki} es ortonormal, se tiene que:

|ai = aj |eji = ai |wii )⌦ei�� ai = aj

⌦ei |eji = aj�i

j= ai = ak

⌦ei |wki )

@xi

@xk=⌦ei |wki .

Este mismo procedimiento se puede aplicar para expresar el vector |ai como una combinacion linealde los vectores |wji:

|ai = aj |eji = aj |eji = a1 |e1i+ a2 |e2i+ a3 |e3i = a1 |w1i+ a2 (|w2i � |w1i) + a3 (|w3i � |w2i) ,

esto es:

a1 = a1 � a2

a2 = a2 � a3

a3 = a3

9=

; ) ak =@xk

@xiai )

8>>>>><

>>>>>:

@x1

@x1 = 1; @x1

@x2 = �1; @x1

@x3 = 0

@x2

@x1 = 0; @x2

@x2 = 1; @x2

@x3 = �1

@x3

@x1 = 0; @x3

@x2 = 0; @x3

@x3 = 1

189

Borrador Preliminar


Notese que, como era de esperarse:

@xi

@xk

@xk

@xj= �i

j)

0

@1 1 10 1 10 0 1

1

A

0

@1 �1 00 1 �10 0 1

1

A =

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A .

Con las expresiones matriciales para las transformaciones, estamos en capacidad de calcular, compo-nente a componente, las representacion del tensor dado en la nueva base:

T k

m=@xk

@xi

@xj

@xmT i

j.

Veamos:

T 11 =

@x1

@xi

@xj

@x1T i

j

=@x1

@x1

✓@x1

@x1T 11 +

@x2

@x1T 12 +

@x3

@x1T 13

◆+@x1

@x2

✓@x1

@x1T 21 +

@x2

@x1T 22 +

@x3

@x1T 23

◆

+@x1

@x3

✓@x1

@x1T 31 +

@x2

@x1T 32 +

@x3

@x1T 33

◆,

es decir:

T 11 = 1 ·

�1 T 1

1 + 0 T 12 + 0 T 1

3

�� 1 ·

�1 T 2

1 + 0 T 22 + 0 T 2

3

�+ 0

�1 T 3

1 + 0 T 32 + 0 T 3

3

�

= T 11 � T 2

1 = 2� 2 = 0 .

Del mismo modo para T 12 :

T 12 =

@x1

@xi

@xj

@x2T i

j

=@x1

@x1

✓@x1

@x2T 11 +

@x2

@x2T 12 +

@x3

@x2T 13

◆+@x1

@x2

✓@x1

@x2T 21 +

@x2

@x2T 22 +

@x3

@x2T 23

◆

+@x1

@x3

✓@x1

@x2T 31 +

@x2

@x2T 32 +

@x3

@x2T 33

◆,

resultando:

T 12 = 1 ·

�1 T 1

1 + 1 T 12 + 0 T 1

3

�� 1 ·

�1 T 2

1 + 1 T 22 + 0 T 2

3

�+ 0

�1 T 3

1 + 1 T 32 + 0 T 1

3

�

=�T 11 + T 1

2

��T 21 + T 2

2

�= (2 + 1)� (2 + 3) = �2 .

Se puede continuar termino a termino (el lector debe terminar los calculos) o realizar la multiplicacionde las matrices provenientes de la transformacion de componentes de tensores. Vale decir:

T k

m=

✓@xk

@xi

◆�T i

j

�✓ @xj

@xm

◆,

0

@1 �1 00 1 �10 0 1

1

A

0

@2 1 32 3 41 2 2

1

A

0

@1 1 10 1 10 0 1

1

A =

0

@0 �2 �31 2 41 3 5

1

A .

Hay que resaltar el especial cuidado que se tuvo en la ubicacion de las matrices para su multiplicacion.

Si bien en la expresion T k

m= @x

k

@xi@x

j

@xm T i

jlas cantidades @x

k

@xi son numeros y no importa el orden con

190

Borrador Preliminar


el cual se multipliquen, cuando se escriben como matrices debe respetarse la “concatenacion internade ındices”. Esto es, cuando queremos expresar T k

mcomo una matriz, donde el ındice contravariante k

indica filas y el ındice covariante m las columnas, fijamos primero estos ındices y luego respetamos la“concatenacion de ındices” covariantes con los contravariantes. Esta es la convencion para expresar lamultiplicacion de matrices en la notacion de ındices7. Esto es:

T k

m=@xk

@xi

@xj

@xmT i

j)

⇣T k

m

⌘=

✓@xk

@xi

◆�T i

j

�✓ @xj

@xm

◆.

Los objetos @xk

@xi , T i

jy @x

j

@xm fueron sustituidos (en sus puestos correspondientes) por su representacion

matricial. Con lo cual hemos encontrado la representacion matricial T j

ide las componentes del tensor

T en la base {|w1i , |w2i , |w3i}

T j

i=

0

@T 11 T 1

2 T 12

T 21 T 2

2 T 23

T 31 T 3

2 T 33

1

A =

0

@0 �2 �31 2 41 3 5

1

A .

Para encontrar la expresion de Tij (Tij = gikT k

j), requeriremos las componentes covariantes y contra-

variantes del tensor metrico gik que genera esta base. Para ello recordamos que para una base generica,{|wji}, no necesariamente ortogonal, de un espacio vectorial con producto interno, podemos definir laexpresion de un tensor que denominaremos tensor metrico como:

un tensor del tipo

✓02

◆) gij =

@xm

@xi

@xn

@xjgmn ⌘ hem |wii he

n|wji gmn .

Recordemos que la metrica covariante gij generada por una base ortonormal {|eii} ⌘ {|iii} es:

g11 = 1 , g22 = 1 , g33 = 1 , g12 = g21 = g13 = g31 = g23 = g32 = 0 .

Es decir:

gij = gij = gij

()

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A .

Con lo cual, para el caso de la base generica no ortonormal {|wji} tenemos dos formas de calcular lascomponentes covariantes y contravariantes del tensor metrico.

La primera es la forma directa: gij = hem |wii hen |wji gmn. Esto es:

g11 = hen |w1i hem |w1i gnm =⌦e1 |w1i

⌦e1 |w1i+

⌦e2 |w1i

⌦e2 |w1i+

⌦e3 |w1i

⌦e3 |w1i

=⌦e1 |w1i

2 = 1g12 = hen |w1i hem |w2i gnm =

⌦e1 |w1i

⌦e1 |w2i+

⌦e2 |w1i

⌦e2 |w2i+

⌦e3 |w1i

⌦e3 |w2i

=⌦e1 |w1i

⌦e1 |w2i = 1


⌦e1 |w3i+

⌦e2 |w1i

⌦e2 |w3i+

⌦e3 |w1i

⌦e3 |w3i

=⌦e1 |w1i

⌦e1 |w3i = 1

7Quiza una forma de comprobar si los ındices estan bien concatenados se observa si se “bajan” los ındices contravariantespero se colocan antes que los covariantes. Esto es, T i

j ! Tij . Ası, la multiplicacion de matrices queda representada de la siguiente

forma: Cij = Ai

kBkj ! Cij = AikBkj y aquı es claro que ındices consecutivos estan “concatenados” e indican multiplicacion.

191

Borrador Preliminar



⌦e1 |w1i+

⌦e2 |w2i

⌦e2 |w1i+

⌦e3 |w2i

⌦e3 |w1i

=⌦e1 |w2i

⌦e1 |w1i = 1


⌦e1 |w2i+

⌦e2 |w2i

⌦e2 |w2i+

⌦e3 |w2i

⌦e3 |w2i

=⌦e1 |w2i

⌦e1 |w2i

⌦e2 |w2i

⌦e2 |w2i = 2


⌦e1 |w3i+

⌦e2 |w2i

⌦e2 |w3i+

⌦e3 |w2i

⌦e3 |w3i

=⌦e1 |w2i

⌦e1 |w3i+

⌦e2 |w2i

⌦e2 |w3i = 2


⌦e1 |w1i+

⌦e2 |w3i

⌦e2 |w1i+

⌦e3 |w3i

⌦e3 |w1i

=⌦e1 |w3i

⌦e1 |w1i = 1


⌦e1 |w2i+

⌦e2 |w3i

⌦e2 |w2i+

⌦e3 |w3i

⌦e3 |w2i

=⌦e1 |w3i

⌦e1 |w2i+

⌦e2 |w3i

⌦e2 |w2i = 2


⌦e1 |w3i+

⌦e2 |w3i

⌦e2 |w3i+

⌦e3 |w3i

⌦e3 |w3i

=⌦e1 |w3i

⌦e1 |w3i+

⌦e2 |w3i

⌦e2 |w3i+

⌦e3 |w3i

⌦e3 |w3i = 3

De manera que:

gij ) g11 = 1 , g12 = 1 , g13 = 1 , g21 = 1 , g22 = 2 , g23 = 2 , g31 = 1 , g32 = 2 , g33 = 3 .

Consecuentemente podemos “arreglarlo como una matriz”8 de la siguiente forma:

gij ⌘ gji ()

0

@1 1 11 2 21 2 3

1

A ) gij ⌘ gji = (gij)�1

()

0

@2 �1 0

�1 2 �10 �1 1

1

A .

Notese que tambien podrıamos haber procedido, y en terminos “matriciales”, de la siguiente forma:

gkm =@xi

@xkgij

@xj

@xm)

0

@1 0 01 1 01 1 1

1

A

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A

0

@1 1 10 1 10 0 1

1

A =

0

@1 1 11 2 21 2 3

1

A .

Nuevamente es bueno aclarar que para conservar la convencion de ındices y poder representar lamultiplicacion de matrices, los ındices deben estar consecutivos, por lo tanto, hay que trasponer larepresentacion matricial para multiplicarlas. Es por eso que en el calculo anterior aparece como primeramatriz la transpuesta de la ultima. El calculo se debe hacer como se muestra a continuacion:

gkm =@xi

@xkgij

@xj

@xm�! gkm = ⇧ik gij ⇧jm �! gkm = ⇧ki gij ⇧jm .

Finalmente, estamos en capacidad de obtener las representaciones matriciales para los tensores: T j

i, Tij , T ij .

T j

i= (T i

j)T () T j

i=

0

@0 �2 �31 2 41 3 5

1

AT

=

0

@0 1 1�2 2 3�3 4 5

1

A .

Tkm = gknTn

m() Tkm =

0

@1 1 11 2 21 2 3

1

A

0

@0 �2 �31 2 41 3 5

1

A =

0

@2 3 64 8 155 11 20

1

A .

T kn = Tn

mgmk

() T kn =

0

@0 �2 �31 2 41 3 5

1

A

0

@2 �1 0

�1 2 �10 �1 1

1

A =

0

@2 �1 �10 �1 2

�1 0 2

1

A .

8Recordemos que hemos insistido que las matrices representan tensores mixtos

192

Borrador Preliminar


Quisieramos ejemplificar una forma “rapida y furiosa” (pero sucia) de calcular la metrica generada poruna determinada base generica. La idea es que, violentando toda nuestra notacion e idea de tensores,construimos la metrica a partir de los vectores base definiendola como gij = hwi |wii, de esta manera:

gij =

0

@hw1 |w1i hw1 |w2i hw1 |w3i

hw2 |w1i hw2 |w2i hw2 |w3i

hw3 |w1i hw3 |w2i hw3 |w3i

1

A

=

0

@hi |ii hi| [|ii+ |ji] hi| [|ii+ |ji+ |ki]

[hi|+ hj|] |ii [hi|+ hj|] [|ii+ |ji] [hi|+ hj|] [|ii+ |ji+ |ki][hi|+ hj|+ hk|] |ii [hi|+ hj|+ hk|] [|ii+ |ji] [hi|+ hj|+ hk|] [|ii+ |ji+ |ki]

1

A =

0

@1 1 11 2 21 2 3

1

A .

Dejamos al lector, la reflexion si esta forma “rapida de calcular la metrica” a partir de unos vectoresbase es general o, si en su defecto, es una coincidencia unicamente valida para este caso.

4. Otros ejemplos con tensores cartesianos

a) Dado los tensores:

Tij =

0

@1 0 23 4 11 3 4

1

A , Ei =

0

@143

1

A .

La parte simetrica de Tij es:

Sij =1

2[Tij + Tji] =

1

2

2

4

0

@1 0 23 4 11 3 4

1

A+

0

@1 3 10 4 32 1 4

1

A

3

5 =1

2

0

@2 3 33 8 43 4 8

1

A .

Para la parte antisimetrica de Tij :

Aij =1

2[Tij � Tji] =

1

2

2

4

0

@1 0 23 4 11 3 4

1

A�

0

@1 3 10 4 32 1 4

1

A

3

5 =1

2

0

@0 �3 13 0 �2�1 2 0

1

A .

Por lo tanto:

Tij = Sij +Aij =1

2

2

4

0

@2 3 33 8 43 4 8

1

A+

0

@0 �3 13 0 �2�1 2 0

1

A

3

5 =

0

@1 0 23 4 11 3 4

1

A .

Para calcular TijEj hacemos lo siguiente:

Ci = Ti1E1+Ti2E

2+Ti3E3 =

8<

:

C1 = T11E1 + T12E2 + T13E3 = (1)(1) + (0)(4) + (2)(3) = 7C2 = T21E1 + T22E2 + T23E3 = (3)(1) + (4)(4) + (1)(3) = 22C3 = T31E1 + T32E2 + T33E3 = (1)(1) + (3)(4) + (4)(3) = 25

b) Dados T i

j, ai y bi 2 R3 con:

T i

j=

0

@1 0 33 4 13 1 4

1

A , a =

0

@52

�5

1

A y b =

0

@�254

1

A .

193

Borrador Preliminar


Supongamos que T i

j, a y b estan expresados en coordenadas cartesianas.

Vamos a calcular: Aijaibj , Sijaiaj y Aijbibj , donde Sij y Akl son, respectivamente, las partessimetrica y antisimetrica del tensor T i

j.

La metrica en coordenadas cartesianas viene dada por:

gij =

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A .

Tendremos que:

Sij =1

2(Tij + Tji) =

1

2

0

@

0

@1 0 33 4 13 1 4

1

A+

0

@1 3 30 4 13 1 4

1

A

1

A =1

2

0

@2 3 63 8 26 2 8

1

A .

Notese que la expresion matricial para Tij ⌘ gikT k

jes la misma que para T i

jdebido a la forma de

la metrica en este espacio. Del mismo modo:

Aij =1

2(Tij � Tji) =

1

2

0

@

0

@1 0 33 4 13 1 4

1

A�

0

@1 3 30 4 13 1 4

1

A

1

A =1

2

0

@0 �3 03 0 00 0 0

1

A ,

por lo tanto:

aiAijbj =

1

2

�5 2 �5

�0

@0 �3 03 0 00 0 0

1

A

0

@�254

1

A = �87

2,

aiSijaj =

1

2

�5 2 �5

�0

@2 3 63 8 26 2 8

1

A

0

@52�5

1

A = 1 ,

biAijbj = 0 .

5. Sistema generico de coordenadas. Dado un sistema generico de coordenadas oblicuas:

|e1i = a |ii+ b |ji , |e2i = c |ii+ d |ji .

a) Para una base arbitraria, {|eii}, la metrica viene definida por:

gij ⌘ gji = g [|eii , |eji] ⌘⌦ei |eji

gij =

✓ ⌦e1 |e1i

⌦e1 |e2i⌦

e2 |e1i⌦e2 |e2i

◆=

✓a2 + b2 ac+ bdac+ bd c2 + d2

◆.

b) Un vector generico: |vi = vx |ii+ vy |ji, en estas coordenadas se escribe como:

|e1i = a |ii+ b |ji

|e2i = c |ii+ d |ji

9=

; ,

8<

:

|ii = 1� (d |e1i � b |e2i)

|ji = 1� (�c |e1i+ a |e2i)

194

Borrador Preliminar


con � = ad� bc, por lo cual:

|vi = vx |ii+ vy |ji =vx�

(d |e1i � b |e2i) +vy�

(�c |e1i+ a |e2i)

=⇣dvx�

� cvy�

⌘|e1i �

⇣bvx�

� avy�

⌘|e2i .

c) Consideremos ahora una base y un tensor de manera concreta.

|e1i = |ii , |e2i =

p2

2|ii+

p2

2|ji , T i

j=

✓4 21 4

◆.

Encontremos primero la expresion matricial para el tensor Tij9.

En general:

Tij = gikTk

j= gik

@xk

@xmTm

n

@xn

@xj,

Identificando:

vx = v1 =@x1

@xjvj =

@x1

@x1v1 +

@x1

@x2v2 =

d

�vx �

c

�vy ,

vy = v2 =@x2

@xjvj =

@x2

@x1v1 +

@x2

@x2v2 = �

b

�vx +

a

�vy ,

donde: @x1

@x1 = d

� , @x1

@x2 = �c

� , @x2

@x1 = �b

� y @x2

@x2 = a

� .

Como a = 1, b = 0, c =p22 , d =

p22 , entonces:

gik )

1

p22p

22 1

!,

@xk

@xm)

✓1 �10

p2

◆,

@xn

@xj=

✓@xn

@xj

◆�1

)

1 1p

2

0 1p2

!.

Finalmente:

Tij =

1

p22p

22 1

!✓1 �10

p2

◆✓4 21 4

◆ 1 1p

2

0 1p2

!=

✓4 3

p2

5p2

112

◆.

6. Cartesianas y polares, otra vez

El ejemplo mas simple, y por ello clasico y emblematico de cambio de coordenadas, lo constituye lasexpresiones de un mismo vector en dos sistemas de coordenadas en el plano: Cartesianas {|ii , |ji} ypolares {|uri , |u✓i}. Esto es, para un vector |ai:

|ai = ax |ii+ ax |ji = a1 |e1i+ a2 |e2i y |ai = ar |uri+ a✓ |u✓i = a1 |e1i+ a2 |e2i .

Al expresar una base en terminos de la otra obtenemos:

|uri = cos(✓) |ii+ sen(✓) |ji y |u✓i = �sen(✓) |ii+ cos(✓) |ji ,

9Ayuda: dada una matriz generica Aij =

✓A BC D

◆, su inversa sera

D

AD�BC � BAD�BC

� CAD�BC

AAD�BC

!.

195

Borrador Preliminar


con lo cual:

⌦ei |eji = Ai

j() Ai

j=

✓hur |ii hur |jihu✓ |ii hu✓ |ji

◆⌘

✓cos(✓) sen(✓)�sen(✓) cos(✓)

◆.

Para la transformacion inversa se tiene:

⌦ei |eji = Ai

j() Ai

j=

✓hi |uri hi |u✓ihj |uri hj |u✓i

◆⌘

✓cos(✓) �sen(✓)sen(✓) cos(✓)

◆.

y por lo tanto:

|ii = cos(✓) |uri � sen(✓) |u✓i y |ji = sen(✓) |uri+ cos(✓) |u✓i .

Cumpliendo ademas con:✓

cos(✓) �sen(✓)sen(✓) cos(✓)

◆✓cos(✓) sen(✓)�sen(✓) cos(✓)

◆=

✓1 00 1

◆() Ai

kAk

j= �i

j.

Por otro lado, si:

|ai = ar |uri+ a✓ |u✓i ⌘ a1 |e1i+ a2 |e2i = ax |ii+ ax |ji ⌘ a1 |e1i+ a2 |e2i ,

tendremos que:

ai = Ai

jaj ()

✓ara✓

◆=

✓cos(✓) sen(✓)�sen(✓) cos(✓)

◆✓axay

◆=

✓ax cos(✓) + aysen(✓)�axsen(✓) + ay cos(✓)

◆,

con lo cual:ar = ax cos(✓) + aysen(✓) y a✓ = �axsen(✓) + ay cos(✓) .

Del mismo modo:

ai = Ai

jaj ()

✓axay

◆=

✓cos(✓) �sen(✓)sen(✓) cos(✓)

◆✓ara✓

◆=

✓ar cos(✓)� a✓sen(✓)arsen(✓) + a✓ cos(✓)

◆

yax = ar cos(✓)� a✓sen(✓) y ay = arsen(✓) + a✓ cos(✓) .

7. Pensando en componentes

Arriba consideramos los cambios de base entre cartesianas y polares. A partir de cambios de la baseconstruimos la matriz de transformacion entre sus componentes. Ahora pondremos la atencion en lascomponentes. En general, podemos pensar que las componentes de los vectores pueden ser funcionesde las otras. Consideremos el ejemplo anterior con esta vision para estudiarlo con mas detalle en dosy tres dimensiones.

Caso bidimensional

Tendremos que un punto en el plano viene representado en coordenadas cartesianas por dosnumeros (x, y) y en coordenadas polares por otros dos numeros (r, ✓). Siguiendo el ejemplo anteriorun punto P , en el plano lo describimos como:

|P i = rP |uri = xP |ii+ yP |ji .

196

Borrador Preliminar


Veamos como estan relacionadas estas dos descripciones, para este caso en el cual las ecuacionesde transformacion son:

xP = xP (r, ✓) = x1 = x1�x1, x2

�

yP = yP (r, ✓) = x2 = x2�x1, x2

��

()

⇢rP = rP (x, y) = x1 = x1

�x1, x2

�

✓ = ✓P (x, y) = x2 = x2�x1, x2

�

y explıcitamente:

xP = rP cos(✓) ) x1 = x1 cos(x2)yP = rP sen(✓) ) x2 = x1 sen(x2)

�y

8<

:rP =

px2P+ y2

P) x1 =

q(x1)2 + (x2)2

✓ = arctan⇣

yP

xP

⌘) x2 = arctan

⇣x2

x1

⌘

Es claro que ambas coordenadas estan relacionadas y que se puede invertir la relacion.

x1 = x1�x1, x2

�

x2 = x2�x1, x2

��

()

⇢x1 = x1

�x1, x2

�

x2 = x2�x1, x2

� .

Se debe pedir, eso si, dos cosas razonables:

a) que las funciones xi = xi (xm) y xj = xj (xm) sean al menos C2 (funcion y derivada continua)

b) que el determinante de la matriz Jacobiana sea finito,

det

��@xi

�xk�

@xj

�� 6= 0 .

Mas aun, si:

xi = xi�xj�xk��

)@xi

@xk=@xi

@xj

@xj

@xk= �i

k) dxi =

@xi

@xjdxj ,

con lo cual intuimos dos cosas:

a) que las componentes de un vector, |P i, deben transformar bajo un cambio de coordenadascomo:

pi =@xi

�xk�

@xjpj .

b) Las matrices jacobianas @xi

@xk y @xi

@xk son una la inversa de la otra.

Veamos si es cierto para el caso de vectores en el plano. Para ello calculamos la matriz jacobiana:

@xi�x1, x2

�

@xj)

0

B@

@x1(x1

,x2)

@x1

@x1(x1

,x2)

@x2

@x2(x1

,x2)

@x1

@x2(x1

,x2)

@x2

1

CA =

✓cos(x2) �x1sen(x2)sen(x2) x1 cos(x2)

◆,

y seguidamente, identificando |P i = xP |ii+ yP |ji = rP |uri

pi =@xi

�x1, x2

�

@xjpj )

✓p1

p2

◆=

✓cos(x2) �x1sen(x2)sen(x2) x1 cos(x2)

◆✓p1

0

◆.

Igualmente, si calculamos la inversa de la matriz jacobiana:

@xi

�x1, x2

�

@xj

!�1

=

cos(x2) sen(x2)�sen(x2)

x1cos(x2)

x1

!=

0

@x1

p(x1)2+(x2)2

x2

p(x1)2+(x2)2

�x2

(x1)2+(x2)2x1

(x1)2+(x2)2

1

A ,

197

Borrador Preliminar


tendremos:

✓p1

0

◆=

0

@x1

p(x1)2+(x2)2

x2

p(x1)2+(x2)2

�x2

(x1)2+(x2)2x1

(x1)2+(x2)2

1

A✓

p1

p2

◆) pi =

@xi�x1, x2

�

@xjpj .

Caso tridimensional

Consideremos nuevamente dos sistemas de coordenadas: uno cartesiano�x1 = x, x2 = y, x3 = z

�

y otro esferico�x1 = r, x2 = ✓, x3 = �

�.

Tal y como hemos supuesto anteriormente el punto P vendra descrito por:

|P i = rP |uri = xP |ii+ yP |ji+ zP |ki ,

de nuevo

x = x (r, ✓,�) = x1 = x1�x1, x2, x3

�

y = y (r, ✓,�) = x2 = x2�x1, x2, x3

�

z = z (r, ✓,�) = x3 = x3�x1, x2, x3

�

9=

; ()

8<

:

r = r (x, y, z) = x1 = x1�x1, x2, x3

�

✓ = ✓ (x, y, z) = x2 = x2�x1, x2, x3

�

� = � (x, y, z) = x3 = x3�x1, x2, x3

�

Las ecuaciones de transformacion seran:8<

:

xP = rP sen(✓) cos(�) ) x1 = x1sen(x2) cos(x3)yP = rP sen(✓)sen(�) ) x2 = x1sen(x2)sen(x3)zP = rP cos(✓) ) x3 = x1 cos(x2)

y las transformaciones inversas:8>>>><

>>>>:

rP =px2P+ y2

P+ z2

P) x1 =

q(x1)2 + (x2)2 + (x3)2

� = arctan⇣

yP

xP

⌘) x2 = arctan

⇣x2

x1

⌘

✓ = arctan

✓px2P+y

2P

zP

◆) x3 = arctan

✓p(x1)2+(x2)2

x3

◆

Con lo cual la matriz de las derivadas para esta transformacion en particular sera:

@xi�x1, x2, x3

�

@xj=

0

@sen (✓) cos (�) �rsen (✓) sen (�) r cos (✓) cos (�)sen (✓) sen (�) rsen (✓) cos (�) r cos (✓) sen (�)

cos (✓) 0 �rsen (✓)

1

A

=

0

@sen�x2�cos�x3�

�x1sen�x2�sen�x3�

x1 cos�x2�cos�x3�

sen�x2�sen�x3�

x1sen�x2�cos�x3�

x1 cos�x2�sen�x3�

cos�x2�

0 �x1sen�x2�

1

A .

Mientras que la inversa es:

@xi�x1, x2, x3

�

@xj=

0

B@sen (✓) cos (�) sen (✓) sen (�) cos (✓)

�sen(�)rsen(✓)

cos(�)rsen(✓) 0

cos(✓) cos(�)r

cos(✓)sen(�)r

�sen(✓)

r

1

CA

=

0

BB@

xpx2+y2+z2

ypx2+y2+z2

zpx2+y2+z2

�y

x2+y2x

x2+y2 0

xz

(x2+y2+z2)p

x2+y2

yz

(x2+y2+z2)p

x2+y2

�p

x2+y2

(x2+y2+z2)

1

CCA .

198

Borrador Preliminar


Dejaremos al lector comprobar que, efectivamente,

pi =@xi

�x1, x2, x3

�

@xjpj () pi =

@xi�x1, x2, x3

�

@xjpj .

8. Algunos tensores en Fısica: Esfuerzos, Inercia y Energıa libre de un medio elastico En estepunto vamos a ejemplificar la utilizacion de los tensores en varios ambitos de la Fısica, en particular dela Mecanica. Para comenzar consideraremos el tensor de esfuerzos para describir las tensiones internasde cuerpos sometidos a fuerzas externas10. Haremos el analisis tanto para el caso de dos como de tresdimensiones. Luego a continuacion consideraremos el tensor de inercia y su impacto en la dinamica decuerpos en movimiento.

a) El tensor de esfuerzos (stress) caso 2D Supongamos un cuerpo que se encuentra en equilibrioy esta sometido a un conjunto de fuerzas externas. Para facilitar las cosas consideremos el efectode esas fuerzas sobre un plano que contiene a un determinado punto P (ver figura 3.2 cuadranteIa). Es decir, vamos a considerar los efectos de las componentes de todas las fuerzas sobre eseplano y obviaremos el efecto del resto de las componentes.

Como observamos en la figura 3.2 Ib y Ic, si cortamos la superficie en dos lıneas (AB y A0B0),podemos ver que el efecto del conjunto de fuerzas externas es distinto sobre P , en la direccionperpendicular a cada una de esas lıneas. De hecho, al “cortar” la superficie las fuerzas que aparecensobre las lıneas AB (y A0B0) eran fuerzas internas y ahora son externas al nuevo cuerpo “cortado”.Ası, estas fuerzas por unidad de longitud11 sobre el punto P existen como un conjunto de fuerzasque generan esfuerzos (stress). Por lo tanto, es claro que los esfuerzos sobre un punto dependendel punto, de las fuerzas externas y de la direccion del efecto.

Para irnos aclarando consideremos un elemento de area infinitesimal ds sobre la cual actua unconjunto de fuerzas externas, las cuales podemos descomponer como normales y tangenciales a lalınea sobre la cual estan aplicadas (ver figura 3.2 cuadrante II). Es costumbre denotar los esfuerzosnormales y tangenciales por � y ⌧ respectivamente.

dA = dxdy )

8>>>><

>>>>:

" Y2 = �2dx �! X2 = ⌧2dx

Y3 = ⌧3dy "

X3 = �3dy !

dxdy ds dy

dx

" Y1 = ⌧1dy! X1 = �1dy

" Y4 = �4dx ! X4 = ⌧4dx

Consideramos la segunda ley de Newton aplicada a cada diferencial de masa dm y obtendremos:

XFext

i= dm a = 0 )

8<

:

⌧1dy + �2dx+ ⌧3dy + �4dx = 0 = (�2 + �4) dx+ (⌧1 + ⌧3) dy

�1dy + ⌧2dx+ �3dy + ⌧4dx = 0 = (⌧2 + ⌧4) dx+ (�1 + �3) dy

con lo cual:�2 = ��4 , ⌧1 = �⌧3 , ⌧2 = �⌧4 , �1 = ��3 .

10Una presentacion mas contemporanea del tensor de esfuerzos la pueden encontrar en De Prunele, E. (2007). Linear straintensor and di↵erential geometry. American Journal of Physics, 75(10), 881-887.

11En el caso tridimensional, las fuerzas que generan los esfuerzos seran definidas como fuerzas por unidad de area. Ese casolo veremos en la proxima seccion.

199

Borrador Preliminar


Figura 3.2: Tensor de Esfuerzos (stress) en 2 dimensiones

Como se trata de una situacion en equilibrio, tambien la sumatoria de torques se tendra queanular. Esto significa que:

(⌧1dy)dx2 � (⌧2dx)

dy2 = 0

(⌧3dy)dx2 � (⌧4dx)

dy2 = 0

9=

; ) ⌧1 = ⌧2 = ⌧3 = ⌧4 ,

entonces, nos damos cuenta que existen solo tres cantidades independientes: dos esfuerzos normales�1 y �2; y un esfuerzo tangencial ⌧1. Adicionalmente notamos que los esfuerzos tienen que vercon la direccion de la fuerza y la superficie sobre la cual va aplicada. Con ello podemos disenarla siguiente notacion para los esfuerzos: �ij . El primer ındice indica la direccion de la fuerza y elsegundo la direccion de la normal de la superficie donde esta aplicada. Ası, tal y como muestra lafigura (ver figura 3.2 cuadrante II)

�1 ⌘ �xx , ��4 ⌘ �yy , ⌧2 ⌘ �xy ⌘ �yx .

El cambio de signo se debe a lo incomodo de la notacion: �4 ⌘ �y�y ya que la normal de lado 4apunta en la direccion �y. Es importante tambien senalar que los esfuerzos en cualquier punto

200

Borrador Preliminar


contenido en el diferencial de area dA = dxdy deben ser considerado constantes, o lo que es lomismo, que podemos hacer tender a cero el area del diferencial y con ello asociar los esfuerzos �ija un punto P contenido en dA sobre la cual hemos calculado los esfuerzos.

En esta misma lınea de razonamiento, nos podemos preguntar cual es la expresion de los esfuerzoscuando se miden respecto a una superficie generica, definida por un vector normal n (ver figura 3.2cuadrante III). Es decir, queremos conocer los esfuerzos medidos en el punto P y en la direccionn, es decir, �nn.

Por lo tanto, tendremos que:

x ! �xxdy + �xydx = �nnds cos(�) + �snds sen(�)

y ! �yydx+ �yxdy = �nnds sen(�)� �snds cos(�)

Ahora bien, dado que dy = ds cos(�) y dx = ds sen(�), entonces podemos expresar:

�nn = �xx cos2(�) + �xysen(�) cos(�) + �yxsen(�) cos(�) + �yysen

2(�)

�sn = �xxsen(�) cos(�) + �xysen2(�)� �yx cos

2(�)� �yysen(�) cos(�)

y si ahora nos damos cuenta que si construimos una matriz:

Ai

j=

✓Ax

nAx

s

Ay

nAy

s

◆=

✓cos(�) sen(�)sen(�) � cos(�)

◆,

entonces:

�nn = Ax

nAx

n�xx +Ax

nAy

n�xy +Ay

nAx

n�yx +Ay

nAy

n�yy ) �nn = Ai

nAj

n�ij coni, j = x, y

�sn = Ax

sAx

n�xx +Ax

sAy

n�xy +Ay

sAx

n�yx +Ay

sAy

n�yy ) �sn = Ai

sAj

n�ij coni, j = x, y

es decir:�kl = Ai

kAj

l�ij , con i, j, k, l = n, s .

Como ya hemos mencionado, y veremos mas adelante con mas detalle, cualquier objeto quetransforme como �kl = Ai

kAj

l�ij lo llamaremos tensor de segundo orden.

b) El tensor de esfuerzos (caso 3D) Podemos proceder como en el caso anterior estableciendo lassiguientes condiciones de equilibrio:

XFext

i= 0 y

X⌧ ext

i= 0 ,

con ello construimos un volumen (cubico) diferencial y construimos los esfuerzos normales ytangenciales, los cuales seran:

�xxdydz , �yydxdz , �zzdxdy , �xzdxdy , �yzdxdy , �xydxdz .

Siguiendo el mismo proceso que involucra imponer el equilibrio, es facil demostrar que al igualque el caso anterior, el tensor de esfuerzos �ij cumple con:

�xz = �zx , �yz = �zy , �xy = �yx .

Tendremos 6 componentes (tres normales y tres tangenciales) independientes. Es decir, si bien eltensor de esfuerzos �ij viene representado por una matriz 3⇥ 3 y por lo tanto tiene 9 elementos,solo 6 son independientes.

201

Borrador Preliminar


Figura 3.3: Tensor de Esfuerzos en 3 dimensiones

Vayamos ahora el caso general para un tensor de esfuerzos en un medio elastico. Para ello cons-truimos un tetraedro regular tal y como muestra la figura 3.3, y sobre su cara generica asociadaa un vector normal n una fuerza F:

F = F iii = Fxi+ Fyj+ Fzk )

8>>>><

>>>>:

Fx = �xndSn

Fy = �yndSn

Fz = �zndSn

9>>>>=

>>>>;

) F i = �i

jnjdS ) F = � · dS .

De esta manera se especifica como la fuerza actua sobre un determinado elemento de superficie.Es claro que la condicion de equilibrio se traduce en:

XFxi = 0 ) �xndSn �

1

2�xxdy dz �

1

2�xydx dz �

1

2�xzdx dy = 0 ,

XFyi = 0 ) �yndSn �

1

2�yxdy dz �

1

2�yydx dz �

1

2�yzdx dy = 0 ,

XFzi = 0 ) �zndSn �

1

2�zxdy dz �

1

2�zydx dz �

1

2�zzdx dy = 0 .

Si consideramos la proyeccion de dSn sobre cada uno de los planos del sistema cartesiano tendre-mos:

dSn cos (i;n) = 12dy dz = dSn Ax

n

dSn cos (j;n) = 12dx dz = dSn Ay

n

dSn cos (k;n) = 12dx dy = dSn Az

n

9>>>>=

>>>>;

) �xn = �xxAx

n+ �xyA

y

n+ �xzA

z

n,

y equivalentemente:

�yn = �yxAx

n+ �yyA

y

n+ �yzA

z

ny �zn = �zxA

x

n+ �zyA

y

n+ �zzA

z

n,

202

Borrador Preliminar


las cuales se conocen como las relaciones de Cauchy. Estas relaciones representan los esfuerzossobre la superficie con normal n.

Ahora bien, dado que: F = �dS es una relacion vectorial podemos proyectar en la direccion um:

um · F = um · (�dS) ) Fm = �m

ndSn =

��m

iAi

n

�dSn =

��m

iAi

n

�dSn ,

por lo tanto:

�mndSn =

��miA

i

n

�dSn

) �mndSn =

��kiA

k

mAi

n

�dSn , con i, j = x, y, z .

Una vez mas, podemos ver que transforma como un tensor.

c) El Tensor de inercia Consideremos el caso de un sistema de n partıculas. La cantidad de movi-miento angular para este sistema vendra dada por:

L =X

i

m(i)

�r(i) ⇥ v(i)

�,

donde hemos indicado que la i�esima partıcula que esta en la posicion r(i) tiene una velocidadv(i).

Si las distancias entre las partıculas, y entre las partıculas con el origen de coordenadas, esconstante, podremos expresar la velocidad de cada una de ellas como:

v(i) = ! ⇥ r(i) , ¿Por que?

Donde ! es la velocidad angular instantanea del sistema. Entonces tendremos que:

L =X

i

m(i)

⇥r(i) ⇥

�! ⇥ r(i)

�⇤=X

i

m(i)

⇥!�r(i) · r(i)

�� r(i)

�! · r(i)

�⇤,

y para cada partıcula se cumple que las componentes de la cantidad de movimiento angular seran:

Lk =X

i

m(i)

h!k

⇣rm(i)r(i)m

⌘� rk(i)

�!mr(i)m

�i.

Si vemos que !k

(i) = �kl!l

(i) entonces:

Lk =X

i

m(i)

h�kl!l

⇣rm(i)r(i)m

⌘� rk(i)

�!mr(i)m

�i= !l

(i)

"X

i

m(i)

⇣�kl

⇣rm(i)r(i)m

⌘� rk(i)

�r(i)l

�⌘#

| {z }Ikl

es decir:Lk = !l

(i)Ik

l, donde: Ik

l=X

i

m(i)

⇣�kl

⇣rm(i)r(i)m

⌘� rk(i)

�r(i)l

�⌘.

El objeto Ikl

se conoce como el tensor de inercia y corresponde a 9 cantidades (solo 6 son in-dependientes porque es un tensor simetrico). En coordenadas cartesianas se vera de la siguienteforma:

Ikl=

0

BBBB@

Ixx Ixy Ixz

Iyx Iyy Iyz

Izx Izy Izz

1

CCCCA=

0

BBBBBBB@

Pim(i)

⇣y2(i) + z2(i)

⌘�P

im(i)

�x(i)y(i)

��P

im(i)

�x(i)z(i)

�

�P

im(i)

�x(i)y(i)

� Pim(i)

⇣x2(i) + z2(i)

⌘�P

im(i)

�y(i)z(i)

�

�P

im(i)

�x(i)z(i)

��P

im(i)

�y(i)z(i)

� Pim(i)

⇣x2(i) + y2(i)

⌘

1

CCCCCCCA

203

Borrador Preliminar


Por ahora, nos contentaremos con esta construccion y en los ejercicios le propondremos que mues-tre que es un tensor.

d) Energıa libre para un medio elastico

Consideremos el siguiente par de tensores provenientes de la teorıa de elasticidad:

uik =1

2(@k ui + @i uk) ⌘

1

2

✓@ui

@xk+@uk

@xi

◆,�ui

k

�0= ui

k�

1

3um

m�ik,

y construyamos el tensor de esfuerzos como: pij= 2�

�ui

j

�0+Kul

l�ij.

Calculemos la energıa libre para el medio elastico, definida como: F = 12p

i

juj

i.

Tenemos que:

pij= 2�

�ui

j

�0+Kul

l�ij= 2�

✓ui

j�

1

3um

m�ij

◆+Kul

l�ij= 2�ui

j+ ul

l�ij

✓K �

2�

3

◆,

donde: um

m= 1

2 (@m um + @m um) = @m um, con lo cual:

F =1

2pijuj

i=

1

2

✓2�ui

j+ ul

l�ij

✓K �

2�

3

◆◆uj

i=

✓�ui

juj

i+ ul

l�ijuj

i

✓1

2K �

�

3

◆◆

= ��ui

1u1i+ ui

2u2i+ ui

3u3i

�+

✓1

2K �

�

3

◆�ul

l

�2

= ��u11u

11 + u2

1u12 + u3

1u13

�+�u12u

21 + u2

2u22 + u3

2u23

�+�u13u

31 + u2

3u32 + u3

3u33

��+

✓1

2K �

�

3

◆�ul

l

�2

= �⇣�

u11

�2+�u22

�2+�u33

�2+ 2

�u12u

21 + u2

3u32 + u3

1u13

�⌘+

✓1

2K �

�

3

◆�ul

l

�2

=

✓1

2K +

2�

3

◆�ul

l

�2+ 2�

�u12u

21 + u2

3u32 + u3

1u13

�

=

✓1

2K +

2�

3

◆(@xux + @yuy + @zuz)

2 + 2� (@xuy@yux + @yuz@zuy + @zux@xuz) .

204

Borrador Preliminar



Tensores y Maxima

Maxima presenta dos paquetes para la manipulacion de tensores, paquetes en constante desarrollotodavıa. Estos paquetes son ctensor, manipulacion de componentes y el paquete itensor, manipulacionindexada. En la manipulacion por componentes los tensores se representan por arreglos o matrices. En lamanipulacion indexada los tensores se representan por funciones de sus ındices covariantes, contravariantesy de derivadas.

Los ındices covariantes se especifican mediante una lista que sera el primer argumento del objeto indexado,siendo los ındices contravariantes otra lista que sera el segundo argumento del mismo objeto indexado. Sial objeto indexado le falta cualquiera de estos grupos de ındices, entonces se le asignara al argumentocorrespondiente la lista vacıa [ ]. Ası, g([a, b], [c]) representa un objeto indexado llamado g, el cual tiene dosındices covariantes (a, b), un ındice contravariante (c) y no tiene ındices de derivadas, es decir, gc

ab

(%i1) load(itensor)$

(%i2) imetric(g);

(%i3) ishow(g([j,k],[])*g([i,l],[])*a([],[i,j]))$

(%t3) ai j gj k gi l

(%i4) ishow(contract(%))$

(%t4) ak l

(%i5) ishow(kdelta([i],[k])*a([k,l],[]))$

(%t5) �kiak l

(%i6) ishow(contract(%))$

(%t6) ai l

La identidad �ji�ij= 3

(%i7) ishow(contract(kdelta([i], [j])*kdelta([j], [i])))$

(%t7) kdelta

(%i8) ishow(ev(%,kdelta))$

(%t8) 3

El sımbolo de Levi-Civita:

(%i9) levi_civita([1, 2, 3]);levi_civita([1, 3, 2]);levi_civita([3, 3, 2]);

(%o9) 1(%o10) � 1(%o11) 0

(%i12)expr:ishow(’levi_civita([],[i,j,k])*’levi_civita([i,j,k],[]))$

205

Borrador Preliminar


(%t12) "i j k "i j k

Aquı es necesario utilizar la funcion lc2kdt( ) que simplifica expresiones que contengan el sımbolo deLevi-Civita, para convertirlas en expresiones con la delta de Kronecker siempre que esto sea posible.12

(%i13)ishow(lc2kdt(expr))$

(%t13)��ki�ij� 3 �k

j

��jk+⇣�ji�kj� 3 �k

i

⌘�ik� 3 �j

i�ij+ 27

(%i14)ishow(contract(expand(%)))$

(%t14) 27� 7 �

(%i15)ishow(ev(%,kdelta))$

(%t15) 6

(%i16)kill(all)$

Transformacion de tensores y Maxima

Como ya mencionamos,Maxima contiene un paquete para manipular componentes de tensores: ctensor.La manipulacion en componentes se realiza en terminos de matrices. La metrica se almacena en la matriz lgy la metrica inversa se obtiene y almacena en la matriz ug.

En un ejemplo visto con anterioridad se especificaba las componentes de un tensor en coordenadascartesianas, esto es:

To = T i

j=

0

@2 1 32 3 41 2 2

1

A , en la base: {|e1i , |e2i , |e3i} ⌘ {|ii , |ji , |ki} .

Para luego representarlo en la nueva base: |w1i = |ii, |w2i = |ii + |ji y |w3i = |ii + |ji + |ki. Entoncesnecesitamos calcular:

T k

m=@xk

@xi

@xj

@xmT i

j) Tn = ↵�To =

Como vimos cuando hacıamos los calculos:

↵ =@xk

@xi=

0

@1 �1 00 1 �10 0 1

1

A , � =@xi

@xk=

0

@1 1 10 1 10 0 1

1

A .

Respetando “la concatenacion interna de ındices” podemos realizar la multiplicacion de matrices.

(%i1) To:matrix([2,1,3],[2,3,4],[1,2,2]);

(%o1)

0

@2 1 32 3 41 2 2

1

A

(%i2) alpha:matrix([1,-1,0],[0,1,-1],[0,0,1]);

12En ocaciones, la funcion lc2kdt( ) hace uso del tensor metrico. Si el tensor metrico no fue previamente definido con imetric,se obtiene un mensaje de error.

206

Borrador Preliminar


(%o2)

0

@1 �1 00 1 �10 0 1

1

A

(%i3) beta:matrix([1,1,1],[0,1,1],[0,0,1]);

(%o3)

0

@1 1 10 1 10 0 1

1

A

(%i4) Tn:alpha.To.beta;

(%o4)

0

@0 �2 �31 2 41 3 5

1

A

Una vez que hemos calculado el nuevo tensor Tn = T j

ien la nueva base, podemos calcular: T ij , Tij .

Pero podemos utilizar la metrica para las coordenadas nuevas y con el paquete ctensor hacer las respectivascontracciones.

(%i5) load(ctensor)$

(%i6) ct_coordsys(cartesian3d)$

Introducimos la metrica gik:

(%i7) lg:matrix([1,1,1],[1,2,2],[1,2,3]);

(%o7)

0

@1 1 11 2 21 2 3

1

A

Para tener la metrica inversa gik escribimos:

(%i8) cmetric()$

(%i9) ug;

(%o9)

0

@2 �1 0�1 2 �10 �1 1

1

A

Para calcular Tij = gikT k

jhacemos lo siguiente:

(%i10)lg.Tn;

(%o10)

0

@2 3 64 8 155 11 20

1

A

Y para calcular T ij = T i

kgkj procedemos ası:

(%i11)Tn.ug;

(%o11)

0

@2 �1 �10 �1 2�1 0 2

1

A

207

Borrador Preliminar


(%i12)kill(all)$

Es posible, y a manera de completar esta primer acercamiento con la librerıa de tensores, calcular lametrica a partir de una transformacion de coordenadas, como vimos en la seccion anterior, ejemplo 7.Escribimos las coordenadas que queremos utilizar, en este caso esfericas, utilizando la funcion ct coordsys.

(%i1) load(ctensor)$

(%i2) ct_coordsys([r*sin(theta)*cos(phi),r*sin(theta)*sin(phi),r*cos(theta),[r,theta,phi]])$

Y le pedimos al programa que calcule el tensor metrico, al que le asigna el nombre lg.

(%i3) cmetric()$

El tensor metrico gij es entonces

(%i4) lg:trigsimp(lg);

(%o4)

0

@1 0 00 r2 00 0 r2 sin2 ✓

1

A

Y la metrica inversa gij , el programa la identifica con la etiqueta ug

(%i5) trigsimp(ug);

(%o5)

0

@1 0 00 1

r20

0 0 1r2 sin2 ✓

1

A

3.2.12. Ejercicios

1. Si Aijk es un tensor covariante de orden 3 y Blmno un tensor contravariante de orden 4, pruebe queAijkBjkno es un tensor mixto de orden 3.

2. Dados los tensores:

Ri

j=

0

@1/2 1 3/22 5/2 3

7/2 4 9/2

1

A , T i =

0

@1/32/31

1

A , gij= gij = gij =

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A .

Encuentre:

a) La parte simetrica Si

jy antisimetrica Ai

jde Ri

j.

b) Rkj = gikRi

j, Rki = gjkRi

j, Tj = gijT i ¿Que se concluye de estos calculos?

c) Ri

jTi, Ri

jT j , Ri

jTiT j .

d) Ri

jSj

i, Ri

jAj

i, Aj

iT i, Aj

iT iTj .

e) Ri

j� 2�i

jRl

l, (Ri

j� 2�i

jRl

l)Ti, (Ri

j� 2�i

jRl

l)TiT j .

208

Borrador Preliminar


3. Demuestre que si Si

jrepresenta un tensor simetrico y Ai

juno antisimetrico, entonces, Si

jAj

i= 0.

4. Dado Fijk un tensor totalmente antisimetrico respecto a sus ındices ijk, demuestre que el rotor de Fijk

definido como sigue, tambien sera un tensor.

rot [Fijk] = @mFijk � @iFjkm + @jFkmi � @kFmij ⌘@Fijk

@xm�@Fjkm

@xi+@jFkmi

@xj�@kFmij

@xk.

5. Consideremos un tensor B con componentes Bj

i, un tensor A con componentes Ai y el producto:

Bj

iAj = Ci .

Esta ultima expresion se puede interpretar como la accion de B sobre A que consiste en producir unnuevo tensor C que tendra una magnitud y una direccion diferente a A. Podremos estar interesadosen encontrar todos los vectores que NO son rotados por B, es decir, que estarıamos interesados enresolver la ecuacion:

Bj

iAj = �Ai , donde � es un escalar.

Si estos vectores existen se denominan vectores caracterısticos o “autovectores” de B y sus direcciones:direcciones principales o caracterısticos. Mas aun, los ejes determinados por las direcciones principalesse denominan ejes principales de B. Los valores de las componentes Bj

ien el sistema de coordenadas

determinado por los ejes principales se denominan valores caracterısticos o “autovalores” de B.

Ahora, como lo ilustramos en los ejemplos, consideremos un sistema conformado por n partıculas demasas iguales: m1,m2, . . .mn = m, distribuidas en el plano xy, y sea Iij el tensor de inercia conrespecto a un sistema rectangular de coordenadas. Por ser un caso en 2D, el tensor de inercia tendrasolamente cuatro componentes.

a) Encuentre: I11 = Ixx, I22 = Iyy y I12 = Ixy = I21 = Iyx.

b) Si un vector A coincide con el eje principal de Ijientonces debe satisfacer la ecuacion:

IjiAj = �Ai ) (Ij

i� ��j

i)Aj = 0 )

⇢(I11 � �)A1 + I12A2 = 0I12A1 + (I22 � �)A2 = 0

Encuentre la solucion (no trivial) para �, es decir, resuelva: �2��(I11+ I22)+ I11I22� (I12)2 = 0.

c) ¿Como se interpreta el hecho de que I12 = 0?

d) Si I12 6= 0 y �1 6= �2, entonces, para cada valor de � se puede encontrar un vector (autovector)A(�1) y A(�2) resolviendo el sistema de dos ecuaciones. Demuestre que las direcciones de estosvectores tienen pendientes, respecto al sistema de coordenada, dadas por:

tan(✓1) =�1 � I11

I12, tan(✓2) =

�2 � I11I12

.

e) Demuestre que:

tan(2✓1) = tan(2✓2) =2I12

I11 � I22, donde ✓2 = ✓1 +

⇡

2,

es decir: A(�1) ? A(�2).

f ) ¿Cuales son las componentes del tensor de inercia en el sistema de coordenadas determinado porlos ejes principales?

209

Borrador Preliminar


6. En este ejercicio generalizamos la definicion del momento de inercia para cuerpos continuos, el cual sedefine como:

Iij=

Z

V

dv⇢ (r)��ij

�xkxk

�� xixj

�, con xi = {x, y, z} y dv = dx dy dz .

a) Muestre que Iijes un tensor.

b) Considere un cubo de lado l y masa total M tal que tres de sus aristas coinciden con un sistemade coordenadas cartesiano. Encuentre el tensor momento de inercia, Ii

j.

7. Dados dos sistemas de coordenadas ortogonales O ⌦ (x, y, z) y O ⌦ (x, y, z), donde el sistema decoordenadas O se obtiene rotando a O, ⇡/6 alrededor del eje z y ⇡/2 alrededor del eje x, con lo cuallos ejes y y z coinciden.

a) Si tenemos los vectores:A = i+ 2j+ 3k , B = 2i+ j+ 3k .

Expreselos en el sistema de coordenadas O ⌦ (x, y, z).

b) El tensor de esfuerzos (tensiones normales y tangenciales a una determinada superficie) se expresaen el sistema O ⌦ (x, y, z) como:

P i

j=

0

@P1 0 P4

0 P2 00 0 P3

1

A .

¿Cual sera su expresion en el sistema de coordenadas O ⌦ (x, y, z)?

8. Suponga un sistema de coordenadas ortogonales generalizadas�q1, q2, q3

�las cuales tienen las siguiente

relacion funcional con las coordenadas cartesianas13:

q1 = x+ y; q2 = x� y; q3 = 2z .

a) Compruebe que el sistema�q1, q2, q3

�conforma un sistema de coordenadas ortogonales

b) Encuentre los vectores base para este sistema de coordenadas.

c) Encuentre el tensor metrico y el elemento de volumen en estas coordenadas.

d) Encuentre las expresiones en el sistema�q1, q2, q3

�para los vectores:

A = 2j , B = i+ 2j , C = i+ 7j+ 3k .

e) Encuentre en el sistema�q1, q2, q3

�las expresiones para las siguientes relaciones vectoriales :

A⇥B , A ·C , (A⇥B) ·C .

¿Que puede decir si compara esas expresiones en ambos sistemas de coordenadas?

f ) Considere los siguientes tensores y vectores en coordenadas cartesianas :

Ri

j=

0

@1/2 1 3/22 5/2 37/2 4 9/2

1

A , T i =

0

@1/32/31

1

A , gij= gij = gij =

0

@1 0 00 1 00 0 1

1

A .

y encuentre sus expresiones para el nuevo sistema de coordenadas�q1, q2, q3

�.

13Estes tipo de transformaciones a coordenadas generalizadas sera analizado, con todo detalle, en la seccion 5.1 de la pagina347.

210

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3.3. VECTORES, TENSORES Y ESPACIOS PSEUDOEUCLIDIANOS

3.3. Vectores, tensores y espacios pseudoeuclidianos

Hasta este punto la descripcion de formas representadas por un bra: ha| ⌘ ak⌦ek�� ha sido casi estetica.

Hemos insistido que las componentes de las formas tienen subındices, mientras que sus vectores bases,⌦ek��,

deben tener superındices, pero no hemos visto clara la necesidad de esa definicion. Un ejemplo, un tantotımido lo desarrollamos en en la seccion 3.1.2, 158, donde mencionamos que las bases recıprocas de vectorespodrıan jugar el papel de bases para el espacio dual. Quiza el ejemplo mas emblematico y simple, donde seobserva la diferencia entre formas (bras) y vectores (kets) es el caso de los espacios minkowskianos. Estosespacios, tambien llamados pseudoeuclidianos, presentan una variante en la definicion de producto interno, detal forma que: hx| xi no es necesariamente positivo, y si hx| xi = 0 no necesariamente implica que |xi ⌘ |0i.

La consecuencia inmediata es que la definicion de norma N (|vii) ⌘ k|viik, que vimos anteriormente, noes necesariamente positiva. Vale decir que tendremos vectores con norma positiva, k|viik > 0, pero tambienvectores con norma negativa o cero: k|viik 0. Con lo cual la definicion de distancia, entendida como lanorma de la resta de vectores, d (|xi , |yi) ⌘ k|xi � |yik, tampoco sera necesariamente positiva. Esto es, quelas distancias seran negativas, positivas o nulas: d (|xi , |yi) < 0, d (|xi , |yi) = 0 y d (|xi , |yi) > 0.

Si extendemos la nocion de distancia para que albergue las posibilidades de distancias nula y negativas,entonces la definicion del tensor metrico para espacios pseudoeuclidianos tambien debe cambiar.

g [|xii , |xji] = gij ⌘ gji

8<

:

< 0= 0> 0

En resumen

hx| xi =

8<

:

< 0= 0> 0

9=

; ) d (|xi , |yi) =

8<

:

< 0= 0> 0

9=

; ) g [|xii , |xji] =

8<

:

< 0= 0> 0

Este tipo de espacios luce como un excentricidad mas de los matematicos y una curiosidad de estudio esver como organizar los conceptos que aprendimos de los espacios euclidianos y extenderlos a otros espacios.Quiza se hubiera quedado ası, como una curiosidad matematica si los fısicos no hubieran sacado partido deestas particularidades para describir el comportamiento de la naturaleza. En la proxima seccion analizaremosel caso de espacios minkowskianos de dimension 4, que denominaremos M4.

3.3.1. Espacios minkowskianos

Consideremos un espacio tetradimensional expandido por una base ortonormal: {|e0i , |e1i , |e2i , |e3i}.Los vectores {|e1i , |e2i , |e3i} corresponden con la base canonica de R3.

Este espacio vectorialM4 tendra asociado un espacio dual:�⌦

e0�� ,⌦e1�� ,⌦e2�� ,⌦e3�� a traves de una metrica:

⌘↵� he↵|⌦⌦e�� ⌘ ⌘�↵

⌦e��⌦ he↵| y ⌘↵� |e↵i ⌦ |e�i ⌘ ⌘�↵ |e�i ⌦ |e↵i ,

con ↵,� = 0, 1, 2, 3, y donde: ⌘00 = ⌘00 = 1, ⌘11 = ⌘11 = �1, ⌘22 = ⌘22 = �1, ⌘33 = ⌘33 = �1 (con ⌘↵� = 0para ↵ 6= �). Se dice que ⌘ tiene signo �2.14

Tal y lo como presentamos en la seccion 3.2, podemos asociar componentes covariantes y contravariantesa traves de la metricas. Si |ai = a� |e�i, entonces:�⌘↵� he

↵|⌦⌦e�� |ai = a�

�⌘↵� he

↵|⌦⌦e�� |e�i = a�⌘↵�

⌦e� |e�i he

↵| = a�⌘↵��

�

�he↵| = a�⌘↵� he

↵| ⌘ a↵ he

↵| .

14Realmente el signo �2 es una convencion, se puede tambien considerar ⌘µ⌫ de signo +2, con ⌘00 = �1, ⌘11 = +1, ⌘22 = +1,⌘33 = +1.

211

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Lo interesante del caso es que:

a↵ = a�⌘�↵ ) a0 = a0 , a1 = �a1 , a2 = �a2 , a3 = �a3.

Es decir, en este caso, porque la metrica tiene signo �2, bajar los ındices espaciales (µ = i = 1, 2, 3) escambiar el signo a las componentes15. Dicho con mas propiedad, las componentes espaciales contravariantes(µ = i = 1, 2, 3) tienen signos contrarios a las componentes covariantes.

De la misma manera que se expuso anteriormente en la seccion 3.2:

ha|�⌘↵� |e↵i ⌦ |e�i

�= a� he

�|�⌘↵� |e↵i ⌦ |e�i

�= a�⌘

↵�he� |e↵i |e�i = a�⌘

↵��↵|e�i = a�⌘

��|e�i ⌘ a� |e�i .

y otra vez, a� = ⌘�↵a↵, y habrıa cambio de signo cuando se bajan los ındices 1, 2, 3 para la metrica consigno �2 que hemos considerado anteriormente.

Del mismo modo se “suben” y se “bajan” ındices para componentes de tensores:

⌘↵�P ��✏↵

⌘ P ��✏ .

Por su parte, el producto interno de dos vectores en un espacio de Minkowski involucra, de maneranatural, la metrica del espacio. Esto es:

ha |bi = hb |ai = a↵b↵ = b↵a↵ = a↵b�⌘↵� = a↵b�⌘↵� = a0b0�a1b1�a2b2�a3b3 = a0b0�a1b1�a2b2�a3b3 .

Una vez mas, la norma de un vector, tambien incluira al tensor metrico:

k|aik2 = ha |ai = a↵a�he↵ |e�i = a↵a

↵ = a↵a� ⌘↵� = a↵a� ⌘↵� = a0a0 � a1a1 � a2a2 � a3a3 .

El caso mas conocido lo constituye la norma de un desplazamiento infinitesimal, en un espacio tetradi-mensional, el cual puede expresarse como:

ds2 ⌘ hdr |dri = (dx↵ hw↵|)�dx� |w�i

�= dx� dx� = ⌘↵� dx↵dx� = dt2 � dx2 ,

con: dx2 =�dx1�2

+�dx2�2

+�dx3�2.

3.3.2. Un toque de Relatividad Especial

La genialidad de Albert Einstein fue haber entendido que tenıa que incorporar el tiempo como otracoordenada mas, vale decir, que los eventos que ocurren en la naturaleza estan etiquetados por cuatronumeros: (t, x, y, z) ⌘ (x0, x1, x2, x3)16. El rapido desarrollo de la comprension de las ideas relativistasmuestra que estaban en el ambiente de la epoca de comienzos de 1900, y una vez mas la simplicidad comoprejuicio se impuso.

Solo dos suposiciones estan en el corazon de la Relatividad Especial:

1. El principio de la Relatividad: Las leyes de la Fısica son identicas en todos los sistemas de referenciainerciales.

2. La universalidad de la velocidad de la luz en el vacıo: La velocidad de la luz en el vacıo es siempre lamisma, y es independiente de la velocidad de la fuente de luz respecto a un observador en particular.

15Otra vez, para la metrica con signo �2, el cambio de signo entre componentes covariantes y contravariantes se da para lacomponente, µ = 0

16Una discusion sobre la necesidad de incorporar los conceptos de relatividad especial en los programas de estudio de Fısicamediante la utilizacion del algebra geometrica la pueden encontrar en Baylis, W. E. (2004). Relativity in introductory physics.Canadian journal of physics, 82(11), 853-873.

212

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En terminos matematicos estas dos audaces suposiciones se concretan en una simple suposicion ma-tematica: el producto interno entre dos elementos de este espacio tetradimensional, debe conservarse parauna familia de vectores base. Luego vendra la asociacion de observadores fısicos -o sistemas de coordenadas-con los miembros de la familia de vectores base, pero la idea es la misma que planteamos para los espacioseuclidianos en 2.2.3: el producto interno -y consecuentemente, la norma de los elementos del espacio vectorialy la distancia entre estos- es el mismo independientemente de la base en la cual expanda el espacio vectorial.

La primera de las interpretaciones es el como representamos los eventos en el espacio-tiempo. Supongamosel caso unidimensional en el espacio, vale decir los eventos ocurren en un punto de la recta real x = x1, y enun tiempo determinado, por lo tanto podremos asociar al evento un vector evento: ! (x0, x1).

A continuacion nos preguntamos que representan las distancias (espacio-temporales) entre estos doseventos. Tal y como vimos, las distancias entre dos elementos de un espacio vectorial puede ser construida apartir de la norma (de la resta de coordenadas) y la norma a partir del producto interno:

|| |y � xi ||2 ⌘ hy � x |y � xi

8>>>><

>>>>:

< 0 conexion tipo espacio: eventos desconectados causalmente.

= 0 conexion tipo luz: posible conexion causal a traves de rayos de luz.

> 0 conexion tipo tiempo: posible conexion causal.

Con esta primera interpretacion de los valores de la norma y la vision tetradimensional, el espacio-tiempo,dividido en pasado, presente y futuro, se puebla de eventos que pueden estar o no relacionados causalmentetal y como muestra la figura 3.4.

La preservacion del producto interno para todoslos observadores era intuitiva en los espacios eu-clidianos y, al mantenerla para los pseudoeucli-dianos nos traera consecuencias nada intuitivasen nuestra idea intuitiva de “realidad”.Para el caso de la formulacion de la RelatividadEspecial, anadimos un supuesto mas: las com-ponentes del tensor metrico son invariantes bajotransformaciones de coordenadas, esto es:

g [|eµi , |e⌫i] ⌘ g [|eµi , |e⌫i] , ⌘↵� = ⌘↵� ,

con: {|eµi} y {|eµi} dos bases que se conectan atraves de una transformacion de coordenadas:

xµ = xµ (x↵) , xµ = xµ (x↵) .Figura 3.4: Cono de luz, espacio-tiempo y eventos.

Construyamos ahora el tipo de transformacion de coordenadas que mantiene estos dos supuestos17:

1. El producto interno de dos vectores es independiente de la base que expande el espacio vectorial.

2. Las componentes del tensor metricos son invariantes bajo transformaciones de coordenadas.

Si el producto interno de dos vectores es independiente de la base que expanda el espacio vectorial,tendremos:

hx |yi = hx |yi , x↵y↵ = x↵y↵ , x↵y�⌘↵� = x↵y� ⌘↵� ,

17Estamos suponiendo que observadores, sistemas de coordenadas y sistemas de referencia son conceptos equivalentes.

213

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y como lo vimos en 3.2.9 las componentes de vectores, bajo cambio de coordenadas, transforman como:

ai =@xi

@xkak ) x↵y↵ = x↵y↵ , x↵y�⌘↵� =

@x⌫

@x↵x↵@xµ

@x�y� ⌘⌫µ = x↵y�

@x⌫

@x↵@xµ

@x�⌘⌫µ ,

con lo cual concluimos que:

⌘↵� =@x⌫

@x↵@xµ

@x�⌘⌫µ ⌘

@x⌫

@x↵@xµ

@x�⌘⌫µ . (3.9)

Ahora bien, si derivamos (3.9) respecto a x� tendremos que:

0 = ⌘⌫µ

✓@2x⌫

@x↵@x�@xµ

@x�+@x⌫

@x↵@2xµ

@x�@x�

◆.

Como la cantidad dentro del parentesis se anula podemos jugar con esta para descubrir algunas consecuen-cias ocultas. Es de hacer notar que esa cantidad tiene tres ındices libres y por lo tanto son 64 ecuaciones quese anulan. Eso significa que le podemos anadir y sustraer cualesquiera otras con los ındices intercambiados.

Supongamos que al parentesis anulado le anadimos una con los ındices ↵ y � intercambiados y, adicional-mente, le sustraemos una con los ındices � y � intercambiados. Claramente, estamos anadiendo y sustrayendoceros.

0 = ⌘⌫µ

✓@2x⌫

@x↵@x�@xµ

@x�+@x⌫

@x↵@2xµ

@x�@x�+

@2x⌫

@x�@x↵@xµ

@x�+@x⌫

@x�@2xµ

@x�@x↵�

@2x⌫

@x↵@x�@xµ

@x��@x⌫

@x↵@2xµ

@x�@x�

◆.

Con este truco, vemos que el ultimo termino anula el segundo y el penultimo el cuarto, de forma y maneraque nos queda:

0 = 2⌘⌫µ@2x⌫

@x↵@x�@xµ

@x�,

Con lo cual la unica posibilidad que resulta es la siguiente:

0 =@2x⌫

@x↵@x�) x⌫ = ⇤⌫

µxµ + a⌫ , (3.10)

con: ⇤⌫µy a⌫ constantes.

Las transformaciones lineales (3.10) se conocen como las transformaciones, inhomogeneas, de Lorentz otambien las transformaciones de Poincare. Estas transformaciones forman un grupo y, uno de los posiblessubgrupos lo constituye el conjunto de transformaciones propias de Lorentz de la forma:

⇤00 = 1, ⇤i

0 = ⇤0j= 0, y ⇤i

j= Ri

j,

con: i, j = 1, 2, 3, y donde Ri

jes una matriz de rotacion.

Supongamos el caso mas sencillo de este grupo de transformaciones: a⌫ = 0, en la ecuacion (3.10).Explıcitamente hemos identificado una transformacion de la forma:

x↵ = ⇤↵0 x0 + ⇤↵1 x

1 + ⇤↵2 x2 + ⇤↵3 x

3 ,

la cual, por construccion, deja invariante el intervalo tetradimensional:

ds2 = c2dt2 � dx1� dx2

� dx3 = ⌘µ⌫dxµdx⌫ ,

con ⌘µ⌫ el tensor metrico. Aquı c es la constante que representa la velocidad de la luz en el vacıo. Por razonesde conveniencia se escoge un sistema de unidades donde c = 118.

18Un sistema de unidades denominado sistema de unidades geometrizado en el cual la velocidad de la luz y la constante degravitacion universal se toman como la unidad: c = G = 1.

214

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Es inmediato demostrar que este tipo de transformaciones deja invariante el intervalo. Primero, notemosque:

⌘µ⌫ = ⇤µ

↵⇤⌫�⌘↵� ) ⌘µ⌫⌘⌫� = �µ

�= ⇤µ

↵⇤⌫�⌘↵�⌘⌫� ) ⇤µ

↵⇤↵�= �µ

�

y como dxµ = ⇤µ

↵dx↵, entonces:

ds2 = ⌘µ⌫dxµdx⌫ ⌘ ⌘µ⌫⇤

µ

↵dx↵⇤⌫

�dx� = ⌘↵�dx

↵dx� = ds2 .

Para construir una de las expresiones mas utilizadas del grupo de Lorentz consideramos la siguientesituacion: un observador, xµ, ve moverse una partıcula con una velocidad v, mientras que un segundoobservador, xµ, la percibe en reposo. Entonces, para el observador que registra la partıcula en reposo resultaque dxi = 0, y:

dxµ = ⇤µ

↵dx↵ )

8<

:

dt = ⇤00 dt

dxi = ⇤i

↵dx↵ = ⇤i

0 dt con i = 1, 2, 3.

Ahora bien, las ecuaciones anteriores nos imponen:

v =dx

dt) vi =

dxi

dt) ⇤i

0 = vi ⇤00 .

Ademas, tenemos que:

⌘↵� = ⇤µ

↵⇤⌫�⌘µ⌫ ) 1 = ⇤µ

0⇤⌫

0⌘µ⌫ =�⇤00

�2��⇤10

�2��⇤20

�2��⇤30

�2,

con una solucion de la forma:⇤00 = � , ⇤i

0 = � vi ,

donde:

� =1p

1� (v)2⌘

1p1� vivi

⌘1r

1�h(v1)2 + (v2)2 + (v3)2

i ,

los otros terminos ⇤i

jno quedan unıvocamente determinados porque esta de por medio la arbitrariedad de

una rotacion Ri

j. Por ello, una seleccion arbitraria pero razonable de todos los terminos ⇤i

jes:

⇤i

j= �i

j+ vivj

� � 1

(v)2⌘ �i

j+ vivj

� � 1

vkvk.

De esta forma quedan determinados todos los elementos de las transformaciones de Lorentz.Los observadores lorentzianos son los equivalentes a los observadores galileanos en las teorıas newtonianas:

son observadores que se mueven uno respecto al otro con una velocidad constante y, desempenan el mismopapel que los observadores inerciales. Quiza la consecuencia mas impactante de la necesidad de vincularmediciones de distintos observadores lorentzianos a traves de transformaciones de Lorentz, lo ilustra laevolucion distinta del tiempo medido por los diferentes observadores. Un observador en reposo respecto aun reloj, ve avanzar el tiempo con tic separados por dt = �t, ya que su reposo respecto al reloj implica:dxi = 0, por lo tanto la separacion espacio temporal sera:

ds2 = dt2 � (dxi)2 = (�t)2 ) dt = �t ,

mientras que un segundo observador, en movimiento, tendra el mismo elemento de lınea pero expresadocomo:

ds2 = dt2 � (dxi)2 =�1� v2

�dt ) dt =

�tp1� v2

,

y esta ultima ecuacion claramente indica que el tiempo evoluciona mas lento para relojes en movimiento.

215

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3.3.3. Ejemplos

1. En este ejemplo vamos a repetir, para el caso bidimensional, lo expuesto de manera general en la seccionanterior. Como vimos, las transformaciones de Lorentz relacionan las coordenadas del espacio-tiempomedidas por un observador O de un evento, con las coordenadas medidas por otro observador O delmismo evento. El observador O lo representaremos por las coordenadas {t, x, y, z} = {x0, x1, x2, x3

},mientras que el observador O por {t, x, y, z} = {x0, x1, x2, x3

}. Para lo que sigue, supondremos quecuando los observadores coincidan los relojes de ambos marcaran t = t0 = 0.

La ecuacion (3.10),x⌫ = ⇤⌫

µxµ ,

la podemos expandir en lo que realmente es:

t = x0 = ⇤00x

0 + ⇤01x

1 + ⇤02x

2 + ⇤03x

3

x = x1 = ⇤10x

0 + ⇤11x

1 + ⇤12x

2 + ⇤13x

3

y = x2 = ⇤20x

0 + ⇤21x

1 + ⇤22x

2 + ⇤23x

3

z = x3 = ⇤30x

0 + ⇤31x

1 + ⇤32x

2 + ⇤33x

3

Vamos a suponer que O se mueve respecto a O, con velocidad v, unicamente en la direccion x, es decir,y = y y z = z. Se supone entonces que t no dependera ni de y ni de z y que cuando x = 0 entoncesx = vt. Todo esto hace que el sistema de ecuaciones anterior se simplifique de manera significativa:

t = x0 = ⇤00x

0 + ⇤01x

1 = ⇤00t+ ⇤

01x

x = x1 = ⇤11(x

1� vt) = ⇤1

1(x� vt)

y = x2 = x2 = y

z = x3 = x3 = z

Debemos determinar los coeficiente ⇤00, ⇤

01 y ⇤1

1. Para tal fin vamos a suponer que cuando t = t = 0un pulso de luz es emitido desde el origen de coordenadas. Recordemos que en ese instante ambosobservadores coinciden. Como suponemos ademas que la velocidad de la luz es constante, la onda deluz se propagara en todas las direcciones de manera que cada observador podra describirla mediantela ecuacion de una esfera cuyo radio aumenta con el tiempo a velocidad c. Esto es:

x2 + y2 + z2 = c2t2 y x2 + y2 + z2 = c2t2 .

Por lo tanto:(⇤1

1(x� vt))2 + y2 + z2 = c2(⇤00t+ ⇤

01x)

2 .

Al desarrollar esta ultima ecuacion obtenemos:�⇤11

�2 �x2

� 2xvt+ v2t2�+ y2 + z2 = c2

⇣�⇤00

�2t2 + 2⇤0

0⇤01xt+

�⇤01

�2x2⌘

⇣�⇤11

�2� c2

�⇤01

�2⌘x2 + y2 + z2 � 2xt

⇣�⇤11

�2v + c2⇤0

0⇤01

⌘=

⇣c2�⇤00

�2� v2

�⇤11

�2⌘t2 .

Como ambos observadores registran la misma onda de luz, entonces:

�⇤11

�2� c2

�⇤01

�2= 1

�⇤11

�2v + c2⇤0

0⇤01 = 0

c2�⇤00

�2� v2

�⇤11

�2= c2 .

216

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Al resolver este sistema de tres ecuaciones con tres incognitas resulta:

⇤11 = ⇤0

0 =1q

1� v2

c2

, ⇤01 =

v

c2q1� v2

c2

.

Si definimos � = 1q1� v2

c2

, las transformaciones de Lorentz quedan entonces de la forma:

t =⇣t�

v

c2x⌘� , x = (x� vt) � , y = y , z = z .

Existen las transformaciones inversas que se pueden obtener de la misma manera que las anteriores.

t =⇣t+

v

c2x⌘� , x =

�x+ vt

�� , y = y , z = z .

Notemos que cuando el observador O se mueve a velocidades muy pequenas en comparacion a c,entonces el factor � tiende a la unidad:

v ⌧ c ) � ! 1 ,

por lo tanto:t = t , x = x� vt , y = y , z = z .

que no son mas que la transformacion de Galileo.

2. Si un observador O determina que dos eventos ocurren en el mismo lugar, pero separados en el tiempo;entonces, un observador O ¿como los apreciarıa? Veamos dos situaciones diferentes.

Consideremos a una persona sentada en un tren en movimiento, observador O, esta personaenciende y apaga rapidamente una linterna dos veces, con una diferencia de 15 minutos entre unevento y el otro. Entonces para O sera dos eventos que ocurren en el mismo lugar. Pero para elobservador O que se encuentra en tierra los eventos habran ocurrido en lugares diferentes, y estono parece tener ningun conflicto con nuestra experiencia e intuicion.

Si O sigue en su asiento del tren y observa que dos personas, uno a cada extremo del vagon (a unos30 mts), encienden las linternas al mismo tiempo, entonces para O sera un evento simultaneo,pero para el observador en tierra O que ve al tren alejarse determinara que la persona de la partetrasera encendio la linterna un poco antes que la persona apostada en la parte delantera. Esto talvez si nos resulte algo extrano.

Consideremos que el tren viaja a 36 m/s (⇡ 130 Km/h) entonces, esta pequena velocidad se refleja enel factor � de la manera siguiente:

v

c= 1,2⇥ 10�7

!v2

c2= 1,44⇥ 10�14

! � =1p

1� 1,44⇥ 10�14⇡ 1,000000000000007 .

Cuando consideramos la primera situacion, la diferencia entre un evento y el otro era de 15 minutos(900 seg), y para el observador en tierra ambos eventos ocurren en dos lugares diferentes: x1 y x2,

x1 =�x1 + vt1

�� , x2 =

�x2 + vt2

�� ,

217

Borrador Preliminar


de manera que:

x2 � x1 =�x2 + vt2

��

�x1 + vt1

�� = (x2 � x1) � +

�t2 � t1

�v� .

Pero: x2 = x1 y t2 � t1 = 15 min. Por lo tanto:

x2 � x1 = (900 s)(36 m.s�1)� = 32400m = 32,4Km .

Para la segunda situacion, el observador en tierra puede dar fe que los dos eventos ocurren en tiemposdiferentes: t1 y t2,

t1 =⇣t1 +

v

c2x1

⌘� , t2 =

⇣t2 +

v

c2x2

⌘� ,

de manera que:

t2 � t1 =⇣t2 +

v

c2x2

⌘� �

⇣t1 +

v

c2x1

⌘� =

�t2 � t1

�� + (x2 � x1)

v

c2� ,

con: t2 = t1 y x2 � x1 = 30 metros, resulta:

t2 � t1 = (30 m)

36 m.s�1

(3⇥ 108 m.s�1)2

�� = 1,2⇥ 10�14 s .

Intervalo de tiempo muy pequeno pero diferente de cero: el observador en tierra no aprecia que los eventosfueron simultaneos.

Este valor tan pequeno, obviamente, es debido a que el factor � es casi la unidad. Notemos que si el trenviajara a una velocidad cercana a c, digamos v = 0,99999999 c, entonces:

v

c= 0,99999999 !

v2

c2= 0,99999998 ! � =

1p1� 0,99999998

⇡ 7071,06780 .

por lo que:

t2 � t1 = (30 m)

36 m.s�1

(3⇥ 108 m.s�1)2

�� = 8,49⇥ 10�11 s .

En vista de lo anterior, se podrıa esperar que ocurran cosas curiosas con las longitud de los objetos.Supongamos que el observador que viaja en el tren coloca su laptop en el piso y mide su longitud. Estosignifica que la computadora esta en reposo para O y, en la direccion del eje x, la laptop mide x2 � x1 segunO. Para el observador que esta en tierra la laptop viaja a una velocidad vt, de manera que:

x2 � x1 = [(x2 � x1)� v(t2 � t1)] � ,

Para el observador que se encuentra en reposo la laptop mide x2 � x1, medida en el instante t2 = t1. Porlo tanto:

x2 � x1 =x2 � x1

�.

¡La laptop se contrae por el factor �!

218

Borrador Preliminar



1. En los grandes aceleradores de partıculas se puede producir piones cargados cuando se hace colisionarprotones de gran energıa con algun blanco preparado para este fin. Se conoce que los piones tienenuna vida media muy corta: 1,77⇥ 10�8 seg. Lo que esto significa es, que una vez que se producen lospiones, la mitad de ellos se habra desintegrado en un tiempo de 1,77⇥ 10�8 seg.

Los experimentos en el acelerador reflejan el hecho de que la intensidad del haz de piones que emergedel blanco, y que viaja a 0,99 c, se reduce a la mitad una vez que recorren 37,2 mts. Pero sucede quesi los piones viajan a 0,99 c = 2,968⇥ 108 m/s cuando estos hayan decaıdo a la mitad la distancia quehabran recorrido es d = vt:

(%i1) d:(2.968*10^8*(m/s))*(1.77*10^(-8)*s);

(%o1) 5,25336m

¿Y entonces por que el experimento mide que viajaron 37,2 mts? Bueno, no estamos considerando losefectos relativistas que estan contenidas en las transformaciones de Lorentz:

t2 � t1 = (t2 � t1)� ) �t = �t� ,

donde �t es el tiempo propio, el tiempo medido por un reloj respecto a la partıcula en movimiento, esdecir, el sistema de referencia donde el pion se encuentra en reposo.

Calculemos, primeramente el factor �:

(%i2) gamma:1/sqrt(1-(0.99)^2);

(%o2) 7,088812050083354

Por lo tanto, la vida media de los piones medida desde el laboratorio es:

(%i3) Delta_t:(1.77*10^(-8)*s)*gamma;

(%o3) 1,254719732864754⇥ 10�7 s

Segun las personas que miden el experimento, y que estan en el sistema en reposo, los piones viven⇡ 1,255⇥ 10�7 s, y por lo tanto viajan una distancia: x = (0,99c)�t

(%i4) (2.968*10^8*(m/s))*Delta_t;

(%o4) 37,24008167142589m

2. Procederemos ahora a resolver con Maxima el sistema que nos condujo a las transformaciones impro-pias de Lorentz.

Primero, escribamos una lista que contiene el sistema de ecuaciones:

(%i5) sis:[L11^2-c^2*L01^2=1,L11^2*v+c^2*L01*L00=0,c^2*L00^2-v^2*L11^2=c^2];

219

Borrador Preliminar


(%o5)⇥L11

2� c2 L01

2 = 1, v L112 + c2 L00 L01 = 0, c2 L00

2� v2 L11

2 = c2⇤

Es importante agregar la informacion de que v > 0, y que ademas v < c, para evitar solucionescomplejas. El comando assume nos permite restringir el valor de los parametros.

(%i6) assume(v>0,c>v);

(%o6) [v > 0, c > v]

Procedemos a resolver el sistema de ecuaciones, lo podemos hacer con ayuda del comando solve:

(%i7) S:solve(sis,[L11,L00,L01]);

(%o7)

L11 =

cpc2 � v2

, L00 =c

pc2 � v2

, L01 =

pc� v v

pv + c

c v2 � c3

�,

L11 =

cpc2 � v2

, L00 = �c

pc2 � v2

, L01 = �

pc� v v

pv + c

c v2 � c3

�,

L11 = �

cpc2 � v2

, L00 =c

pc2 � v2

, L01 =

pc� v v

pv + c

c v2 � c3

�,

L11 = �

cpc2 � v2

, L00 = �c

pc2 � v2

,L01 = �

pc� v v

pv + c

c v2 � c3

��

Seleccionamos la primera de las listas anteriores y factorizamos con la rutina factor:

(%i8) map(factor,S[1]);

(%o8)

L11 =

cpc2 � v2

, L00 =c

pc2 � v2

, L01 =

pc� v v

c (v � c)pv + c

�

3.3.5. Ejercicios

1. En el espacio euclidiano 3D, y en coordenadas cartesianas, no distinguimos entre vectores y 1�formasdebido a que sus componentes transforman de la misma manera. Demuestre que:

a) ai = ⇤i

jaj ^ bj = ⇤i

jbi, son la misma transformacion si la matriz ⇤i

jes igual a la transpuesta de

su inversa, es decir, si es ortogonal.

b) Considere dos observadores O : x, y $ x1, x2 y O : x, y $ x1, x2 y sus sistemas de coordenadasasociados.

1) Considere la siguiente transformacion de coordenadas de Galileo:

x1 = V 1t+

p2

2x1

�

p2

2x2 y x2 =

p2

2x1 +

p2

2x2 ,

con V 1 una constante que representa la velocidad relativa entreO�O, y t al tiempo (parametrode esta transformacion).A continuacion suponga una partıcula que describe un movimiento respecto a O siguiendo unatrayectoria recta, esto es x2 = ↵x1, donde ↵ es una constante. Encuentre como lo describirıael observador O respecto a sus coordenadas (x1, x2).

220

Borrador Preliminar


2) Considere ahora la generalizacion de la transformacion de coordenadas anterior:

x1 = V 1t+

p2

2x1

�

p2

2x2 y x2 = V 2t+

p2

2x1 +

p2

2x2 ,

con V 1 y V 2 las componentes de una velocidad relativa entre O�O, y t al tiempo. Muestre quela norma de cualquier vector queda invariante respecto a una transformacion de coordenadascomo la anterior y encuentre la matriz de transformacion.

2. Un acelerador produce partıculas que tienen una vida promedio de 5µs. Estas logran alcanzar unavelocidad de 0,6c.

a) Un observador que se encuentra en reposo en el laboratorio ¿que tiempo de vida media le atribuiraa las partıculas?

b) ¿Que distancia promedio viajan las partıculas en el acelerador?

c) Si suponemos que existe un observador en reposo con respecto a la partıcula ¿Que distancia sedesplazara este observador antes de que la partıcula se desintegre?

3. Un elemento de area cuadrada se encuentra en reposo para un observador O. Encuentre el area medidapor un observador en movimiento O si este lleva una velocidad de 0,85c a lo largo de la diagonal delcuadrado.

4. Consideremos un vehıculo se mueve con una velocidad V con respecto a un observador fijo en tierra O,y un pasajero dentro del vehıculo que se mueve con una velocidad v con respecto al vehıculo. Sabemosde los cursos basicos que la velocidad del pasajero respecto al observador fijo en tierra es simplementela suma: v = v+V . Nos podemos preguntar sobre la forma en que se suman las velocidades en la teorıaespecial de la relatividad, es decir, ¿Como se suman las velocidades si consideramos las transformacionesde Lorentz? Demuestre que se suman como:

v =v + V

1 + v V

c2

.

5. Dado un espacio minkowskiano y un observador O que describe los eventos en el espacio-tiempo respectoa un sistema de coordenadas {x↵}, donde ↵ = 0, 1, 2, y ⌘ = diag[�1, 1, 1] el tensor metrico. Considereentonces la siguiente transformacion de coordenadas:

x0 = �(x0� �x1) , x1 = �(x1

� �x0) y x2 = x2 , con � =1p

1� �2.

Donde � = v/c es la velocidad relativa entre O y O.

a) Otra vez, suponga que una partıcula describe una linea recta respecto a O: x2 = ↵x1, con ↵ iguala una constante. Encuentre como lo describirıa el otro observador O respecto a sus coordenadas(x0, x1, x2).

b) Encuentre la expresion para la transformacion de coordenadas, @x↵

@x� = ⇤↵�

(transformacion de

Lorentz) entre estos sistemas relativistas y muestre como la norma: x↵x↵ = x↵x�⌘↵� , de cualquiervector se conserva.

221

Borrador Preliminar


6. Considere el tensor de Maxwell definido como:

Fµ↵ =

0

BB@

0 Ex Ey Ez

�Ex 0 �cBz cBy

�Ey cBz 0 �cBx

�Ez cBy cBx 0

1

CCA , otra vez con: ⌘µ⌫ =

0

BB@

�1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1

CCA .

donde E = (Ex, Ey, Ez) y B = (Bx, By, Bz) son los campos electricos y magneticos (respectivamente),medidos por un observador O.

a) Si un observador mide un campo electrico E = Exi y ningun campo magnetico ¿Cuales campos,Fµ↵, medira otro observador que viaja con una velocidad respecto al primero de � = vi?

b) Muestre que las ecuaciones de Maxwell: r⇥B�@

@tE = 4⇡J , y r · E = 4⇡⇢ se pueden expresar

como:

@

@x⌫Fµ⌫

⌘ Fµ⌫ ,⌫ = 4⇡Jµ , donde Jµ = (c⇢, J1, J2, J3) y J = (J1, J2, J3) ,

c) Considere la identidad de Bianchi de la forma:

@Fµ⌫

@x�+@F⌫�@xµ

+@F�µ@x⌫

⌘ @�Fµ⌫ + @µF⌫� + @⌫F�µ ⌘ Fµ⌫ ,� + F⌫� ,µ + F�µ ,⌫ = 0 ,

y demuestre que las otras dos ecuaciones r ·B = 0 y r⇥E�@

@tB = 0, tambien estan contenidas

en las expresiones Fµ⌫ ,⌫ = 4⇡Jµ

7. El dual de un tensor B de rango 2, cuadridimensional, puede ser definido de manera que sus compo-nentes vienen dadas por:

Bij =

1

2!✏ijklBkl .

Muestre que B transforma como:

a) Un tensor de rango 2 bajo rotaciones.

b) Un pseudotensor bajo inversiones.

8. Construya Fµ↵, el dual del tensor de Maxwell Fµ↵.

9. Demuestre que c2B2�E2 es un escalar de Lorentz.

10. Resuelva los ejercicios anteriores utilizando Maxima.

222

Borrador Preliminar

3.4. ESPACIOS DE FUNCIONES

3.4. Espacios de funciones

Los conceptos de espacios vectoriales discretos que hemos estudiado hasta ahora, finitos o infinitos, sepueden extender a espacios de funciones, en donde los vectores del espacio vectorial y las bases son funciones{|Fn(x)i}. La generalizacion de bases discretas a continuas se hace transformando el ındice de las sumatoriasen la variable de una integral, de manera que los ındices se convierten en variables continuas definidas enintervalos finitos o infinitos.

Como primer paso para el estudio de estos espacios introduciremos un nuevo objeto matematico, quecomo veremos mas adelante, es de gran importancia y utilidad.

3.4.1. La funcion delta de Dirac

Recordemos que la delta de Kronecker �ij que definimos con anterioridad es una cantidad que tomavalores discretos: �ij = 1 si i = j y �ij = 0 si i 6= j. Es posible construir una extension de este objetomatematico para que los ındices puedan tomar cualquier valor real.

Veamos la siguiente sucesion de funciones gaus-sianas:

�n(x) =

rn

⇡e�nx

2

,

tal que:

Z 1

�1�n(x)dx = 1 , n > 0 .

A medida que el parametro n aumenta su valor,la curva gaussiana �n(x) sera cada vez mas altay mas angosta, y si n ! 1 la curva sera enton-ces infinitamente mas alta e infinitamente masangosta, pero siempre conservando que el areabajo la curva sera igual a la unidad. Figura 3.5: �n(x) para tres valores diferentes de n.

Esto nos permite definir la “funcion”:

�(x) = lımn!1

rn

⇡e�nx

2

)

8<

:

�(x) ! 1 si x ! 0

�(x) = 0 si x 6= 0

Por tener este comportamiento tan particular no se le suele llamar funcion, sino una distribucion, y si elpunto del maximo es un punto diferente de x = 0, podemos escribir:

�(x� x0) = lımn!1

rn

⇡e�n(x�x0)

2

,

donde x0 es el punto donde la gaussiana alcanza su valor maximo.En general, este proceso de limite puede aplicarse a funciones cuya area bajo la curva sea la unidad:

Z 1

�1G(x)dx = 1 ,

223

Borrador Preliminar


de manera que:

lımn!1

Z 1

�1nG(n(x� x0))f(x0)dx0 = lım

n!1

Z 1

�1G(n(x� x0))f (x0) d(nx0)

= lımn!1

Z 1

�1G(⌧)f

⇣x�

⌧

n

⌘d⌧ = f(x) .

Si se intercambian los procesos de lımite e integracion:

f(x) =

Z 1

�1

hlımn!1

nG(n(x� x0))if(x0)dx0

) �(x� x0) = lımn!1

nG(n(x� x0)) ⌘ �(x, x0) ,

por lo tanto:

f(x) =

Z 1

�1�(x� x0)f(x0)dx0

)

8<

:

�(x, x0) ! 1 si x ! x0

�(x, x0) = 0 si x 6= x0

La principal propiedad de la delta de Dirac, �(x� x0), es que:Z 1

�1f(x)�(x� x0)dx = f(x0) ,

es decir, actua parecido a como lo hace la delta de Kronecker cuando se contrae uno de sus ındices con lascomponentes de un vector: aj = �i

jai, en el sentido que de todos lo valores selecciona solo uno. Ademas, si

f(x) = 1 entonces: Z 1

�1�(x� x0)dx = 1 .

Existen algunas representaciones integrales basadas en el hecho de que �(x � x0) unicamente existe enx = x0, por ejemplo:

Z 1

�1f(x)�(x� x0)dx =

Zx=x0+"

x=x0�"f(x)�(x� x0)dx ,

Zb

a

f(x)�(x� x0)dx =

8<

:

f(x0) si a x0 b

0 si x0 < a o x0 > b

Y la funcion escalon de Heaviside:

H(x� x0) =

Zx

�1�(x� x0)dx =

8<

:

1 si x � x0

0 si x x0

) �(x� x0) =dH(x� x0)

dx.

Algunas de las tantas propiedades de la delta de Dirac son las siguientes:

• �(x� x0) = �(x0 � x) • �(ax) = �(x)|a|

• x�(x) = 0 • f(x)�(x� x0) = f(x0)�(x� x0)

• �(x2� a2) = 1

2|a| [�(x� a) + �(x+ a)] • xn+1 dn�(x)

dxn = 0

• �(r� r0) = �(x� x0)�(y � y0)�(z � z0) •Rf(r)�(r� r0)dV = f(r0)

224

Borrador Preliminar


3.4.2. Bases continuas

Tal y como vimos anteriormente, la representacion de un vector |ai en un espacio vectorial abstracto V

puede darse en termino de una base ortonormal de vectores (discreta y finita BDF = {|e1i , |e2i , |e3i , · · · |eni}o discreta e infinita BDI = {|e1i , |e2i , |e3i · · · |eni · · · }) de la forma:

|ai =

8<

:

ci |eii =⌦ei�� ai |eii ( BDF = {|e1i , |e2i , |e3i · · · |eni}

ci |eii =⌦ei�� ai |eii ( BDI = {|e1i , |e2i , |e3i · · · |eni · · · }

donde en ambos casos:ci =

⌦ei�� ai = cj

⌦ei |eji = cj �i

j.

Recapitulemos ahora algunos puntos que hemos tratado con anterioridad, y con el fin de aclarar conceptos,para el caso de bases discretas de funciones {|ei(x)i}.

La relacion de ortogonalidad viene dada, como hemos mencionado, por:

hen(x)|em(x)i =

Zb

a

e⇤n(x)em(x)dx = ⇥n�

n

m,

y con una norma definida como:

k|ei(x)ik2 = hen(x)|en(x)i =

Zb

a

|en(x)|2 dx = ⇥n .

La base sera ortonormal si ⇥n = 1.Con una base {|ei(x)i} definida, es posible representar cualquier funcion |f(x)i cuadrado integrable, es

decir que cumpla con: Zb

a

|f(x)|2 dx 6= 1 ,

en una combinacion lineal de la base dada:

|f(x)i = Ci|ei(x)i

Las cantidades Ci, las componentes de |f(x)i, se obtienen de la siguiente manera:

⌦ei(x)

�� f(x)i = Cj⌦ei(x)

�� ej(x)i = Cj�ij= Ci =

Zb

a

f(x)e⇤i(x)dx ,

Resulta conveniente para los calculos que vienen a continuacion cambiar i ! n y x ! x0, de manera que:

Cn =

Zb

a

f(x0)e⇤n(x0)dx0 .

Por lo tanto:

|f(x)i = Cn|en(x)i ) |f(x)i =

X

n

"Zb

a

f(x0)e⇤n(x0)dx0

#|en(x)i =

X

n

Zb

a

f(x0)e⇤n(x0)en(x)dx

0

=

Zb

a

f(x0)X

n

e⇤n(x0)en(x)dx

0 .

225

Borrador Preliminar


Utilizando la delta de Dirac:

|f(x)i =

Zb

a

f(x0)�(x� x0)dx0 =

Zb

a

f(x0)

"X

n

e⇤n(x0)en(x)

#dx0

) �(x� x0) =X

n

e⇤n(x0)en(x) .

Esta ultima relacion viene a ser una generalizacion de la relacion de cierre mencionada en la seccion2.3.4, y se conoce como condicion de completitud para la base {|ei(x)i}, ademas, tambien resulta ser unarepresentacion en serie para la delta de Dirac.

De todo esto surgen algunas propiedades fundamentales:

Se dice que el conjunto {|ei(x)i} es completo si para |f(x)i = Ci|ei(x)i, entonces se tiene que:

Zb

a

|f(x)|2 =X

n

|Cn|2 .

Si |f(x)i = Ci|ei(x)i y |g(x)i = Ei

|ei(x)i, entonces hf(x)|g(x)i = C⇤nEn.

Es posible pasar de estos espacios vectoriales discretos, donde las bases son un conjunto numerable deelementos {en(x)}, a espacios vectoriales de funciones con las bases dadas por funciones y donde el ındice npasa a ser una variable continua.

Recordemos que en la seccion 2.3.4 hablabamos de un conjunto de funciones {|e1i , |e2i , |e3i , · · · , |eni · · · }definidas por:

|e0i = 1, |e2n�1i = cos(nx) y |e2ni = sen(nx), con n = 1, 2, 3, · · · ,

la base discreta de Fourier. Base que tambien podemos escribir de la forma compleja, como se muestra acontinuacion:

|en(x)i =1

p2L

ein⇡L x =

1p2L

eikx , con n = �1 . . .1 y � L x L .

Cuando n aumenta indefinidamente, tambien lo hara la cantidad k = n⇡

L, convirtiendose entonces en una

variable continua, es decir, �k = �n⇡

L! 0. Notemos que los ındices de la delta de Kronecker �nm = �nn0

pueden tomar los valores: n = Lk

⇡, n0 = Lk

0

⇡, y en el proceso de L ! 1 se convertiran en:

�nn0 ! �

✓Lk

⇡�

Lk0

⇡

◆= �

✓L

⇡(k � k0)

◆=⇡

L� (k � k0) .

De esta manera, la base ortonormal quedara escrita en funcion de las variables continuas k y x, como semuestra a continuacion:

|e(k, x)i =1

p2⇡

eikx .

El hecho de que sean ortonormales se refleja en la siguiente condicion (que es una extension de la expresionpara el producto interno de bases discretas)

he(k, x)|e(k, x)i =

Zb

a

e(k, x)⇤e(k0, x) dx = �(k � k0) , con ↵ k � , a x b

Al ser el conjunto de funciones {|e(k, x)i} una base, toda funcion del mismo espacio vectorial se puedeexpandir en esa base como:

|f(x)i =

Z�

↵

C(k)e(k, x)dk .

226

Borrador Preliminar


En correspondencia con el caso de las bases discretas, el coeficiente C(k) viene a ser algo parecido a lascomponentes de |f(x)i. Y para calcularlas se procede como se muestra a continuacion:

he(k0, x) |f(x)i =

Zb

a

e(k0, x)⇤f(x) dx =

Z�

↵

C(k)

"Zb

a

e(k0, x)⇤e(k, x) dx

#dk =

Z�

↵

C(k)�(k�k0)dk = C(k0) .

Volvamos a cambiar la notacion para los ındices: k0 ! k, x ! x0 en la ultima ecuacion:

C(k) =

Zb

a

e(k, x0)⇤f(x0)dx0 ,

por lo tanto:

|f(x)i =

Z�

↵

C(k) |e(k, x)i dk =

Zb

a

f(x0)

"Z�

↵

e(k, x0)⇤e(k, x)dk

#dx0 =

Zb

a

f(x0)�(x� x0)dx0 ,

y la relacion: Z�

↵

e(k, x0)⇤e(k, x)dk = �(x� x0) ,

sera la relacion de cierre para el conjunto no numerable de funciones ortonormales.Una integral como la que nos permitio definir C(k), digamos, del tipo:

F (k) =

Zb

a

f(x0)e(k, x0)⇤dx0) |f(x)i =

Z�

↵

F (k)e(k, x)dk ,

es lo que se denomina una transformada de f(x). Mas adelante veremos que si la base, es por ejemploeikx/

p2⇡, la transformada sera la de Fourier.

En el espacio vectorial de funciones de cuadrado integrable L2, definidas en R3, tendremos que:

|F i = ci |eii ⌘⌦ei�� F i |eii =

1X

i=0

✓Z 1

�1d3r0⇠⇤

i(r0) f (r0)

◆|eii ,

que se reescribe en terminos de funciones como:

f (r) =1X

i=0

✓Z 1

�1d3r0⇠⇤

i(r0) f (r0)

◆⇠i (r) .

Es claro que se pueden intercambiar los sımbolos deRyP

, por lo cual:

f (r) =

Z 1

�1d3r0 f (r0)

" 1X

i=0

⇠⇤i(r0) ⇠i (r)

#

| {z }G(r0,r)

,

la funcion G(r0, r), que depende de los argumentos r0 y r, vive dentro de las integrales y convierte:

f (r) =

Z 1

�1d3r0 f (r0) G(r0, r) .

227

Borrador Preliminar


Podemos ver entonces que:

f (r) =

Z 1

�1d3r0 f (r0) �(r0 � r) .

En resumen, la generalizacion de bases discretas a continuas se hace transformando el ındice de la suma-toria en la variable de una integral:

| i =

Zd↵ c (↵) |w↵i ) c (�) = hw� | i =

Zd↵ c (↵) hw� |w↵i =

Zd↵ c (↵) � (↵� �) .

Ası, para los conceptos expresados hasta ahora se tiene el siguiente tabla resumen:

Propiedad\Base Discreta ContinuaOrtogonalidad

⌦ui

|uji = �ij

hw� |w↵i = � (↵� �)Cierre 1 =

P1j=0 |uji

⌦uj�� 1 =

Rd↵ |w↵i hw↵|

Expansion |F i =P1

i=0 ci|uii | i =

Rd↵ c (↵) |w↵i

Componentes ci =⌦ui�� F i c (�) = hw� | i

Producto Interno hG| F i =P1

i=0 gi⇤ fi hG| F i =Rd↵ g⇤ (↵) f (↵)

Norma hF | F i =P1

i=0 |fi|2

hF | F i =Rd↵ |f (↵)|2

3.4.3. Bases de ondas planas y la transformada de Fourier

En las teorıas de oscilaciones es de gran importancia considerar el problema de la transformada de Fourier.Recientemente vimos que una funcion f(x) puede representarse de la forma:

|f(x)i =

Z�

↵

C(k)e(k, x)dk ,

si la funcion f(x) esta definida en (�1,1) y si tomamos al conjunto de vectores base al conjunto de funcionescontinuas y ortonormales {e(k, x)} como {eikx/

p2⇡}, entonces la integral anterior la podemos escribir de la

forma:

|f(x)i =1

p2⇡

Z 1

�1F(k)eikx dk , (3.11)

Si utilizamos la relacion de ortogonalidad: he(k, x)|e(k, x)i =Re(k, x)e(k0, x)⇤ dx = �(k � k0), resulta:

Z 1

�1ei(k�k

0)x dx = 2⇡�(k � k0) .

Donde:

|F(k)i =1

p2⇡

Z 1

�1f(x)e�ikx dx .

A las variables x y k se les denominan variables conjugadas de Fourier (no conjugadas como en variablecompleja) y a F(k) la transformada de Fourier de f(x) (y viceversa).

Notemos que si sustituimos F(k) en la otra integral, ecuacion (3.11), entonces:

1

2⇡

Z 1

�1

Z 1

�1f(x)eik(x�x

0) dk dx0) |f(x0)i =

Z 1

�1f(x)�(x� x0) dx0 .

Por otra parte, podemos ver que la integral para F(k) se puede hacer en dos partes:

|F(k)i =1

p2⇡

Z 1

�1f(x)e�ikx dx )

1p2⇡

Z 0

�1f(x)e�ikx dx+

1p2⇡

Z 1

0f(x)e�ikx dx .

228

Borrador Preliminar


Si sustituimos x ! �x, en la primera integral de la ecuacion anterior resulta:

|F(k)i =1

p2⇡

Z 1

0f(�x)eikx dx+

1p2⇡

Z 1

0f(x)e�ikx dx .

Dos casos podemos considerar:

Si la funcion es par, f(x) = f(�x):

|F(k)i =1

p2⇡

Z 1

0f(x)eikx dx+

Z 1

0f(x)e�ikx dx

�=

r2

⇡

Z 1

0f(x) cos(kx) dx ,

entonces, de la transformada al hacer F(k) = F(�k) se tiene:

|f(x)i =

r2

⇡

Z 1

0F(k) cos(kx) dk .

Estas dos funciones se conocen como las transformadas coseno de Fourier.

Si la funcion es impar, f(x) = �f(�x):

|F(k)i =1

p2⇡

Z 1

0f(�x)eikx dx�

Z 1

0f(�x)e�ikx dx

�= i

r2

⇡

Z 1

0f(x)sen(kx) dx .

Ahora al hacer F(k) = �F(�k) se tiene:

|f(x)i =

r2

⇡

Z 1

0F(k)sen(kx) dk ,

donde F (k) = iF (k). Tenemos ahora las transformadas seno de Fourier.

La generalizacion a Rn es obvia. Si f = f(r), entonces:

|f(r)i =

1

p2⇡

� 1nZ 1

�1· · ·

Z 1

�1F(k)ei(k·r) dk ,

donde dk = dk1dk2dk3 . . . dkn. Para la transformada:

|F(k)i =

1

p2⇡

� 1nZ 1

�1· · ·

Z 1

�1f(r)e�i(k·r) dr ,

donde dr = dx1dx2dx3 . . . dxn, representa el elemento de volumen en Rn.

Ondas planas

Como un ejemplo de lo anterior, consideraremos la base de las ondas planas. Si a k la llamaremos s y ala variable x el tiempo t, vale decir:

F (s) =1

p2⇡

Z 1

�1dt eist f(t) � f(t) =

1p2⇡

Z 1

�1ds e�ist F (s) .

229

Borrador Preliminar


De esta manera, a la funcion F (s) se le denomina la distribucion espectral de f(t) y a |F (s)|2 la densidadespectral, es decir, la intensidad de la onda en el intervalo [s, s+�s]. Esto significa que la energıa total es:

E =

Z 1

�1|F (s)|2ds .

Tambien podemos reescribir las transformadas en terminos de la posicion y el momento:

(x) =1

p2⇡~

Z 1

�1dp ei(px/~) (p) � (p) =

1p2⇡~

Z 1

�1dx e�i(px/~) (x) .

Hemos tenido cuidado de incluir los factores de normalizacion adecuados para el caso de las descripcionesen Mecanica Cuantica. Estas formulas pueden ser reinterpretadas en funcion de los conceptos anteriormenteexpuestos y podemos definir una base continua de la forma:

(x) =1

p2⇡~

Z 1

�1dp

✓1

p2⇡~

ei(px/~)◆

| {z }vp(x)

(p) � (p) =1

p2⇡~

Z 1

�1dx

✓1

p2⇡~

e�i(px/~)◆

| {z }v⇤p(x)

(x) ,

por lo cual:

(x) =

Z 1

�1dp vp (x) (p) � (p) =

Z 1

�1dx v⇤

p(x) (x) .

Diremos que la funcion (x) esta expresada en la base de ondas planas vp (x) =1p2⇡~e

i(px/~).Notese lo siguiente:

El ındice p de vp (x) varıa de forma continua entre �1 a 1.

Que vp (x) =1p2⇡~e

i(px/~) /2 L2, es decir, no pertenece al espacio vectorial de funciones de cuadrado

integrable ya que su norma diverge:

hvp| vpi =

Z 1

�1dx |vp (x)|

2 =

Z 1

�1dx

1

2⇡~ ! 1 .

Que las proyecciones de (x) sobre la base de ondas planas es: (p) = hvp| i.

La relacion de cierre para esta base se expresa como:

1=

Zd↵ |v↵i hv↵| �

Z 1

�1dp v⇤

p(x0) vp (x) =

Z 1

�1dp

1

2⇡~ei[p(x0�x)/~] = � (x0

� x) ,

mientras que de la definicion de producto interno se obtiene:

hvp0 | vpi =

Z 1

�1dx v⇤

p0 (x) vp (x) =

Z 1

�1dx

1

2⇡~ei[x(p0�p)/~] = � (p0 � p) .

En este mismo orden de ideas, podemos construir otra base continua⇠r0 (r) a partir de la utilizacion delas propiedades de la delta de Dirac. Esto es:

(r) =

Z 1

�1d3r0 (r0) �(r0 � r)| {z }

⇠r0 (r)

� (r0) =

Z 1

�1d3r (r) � (r� r0) ,

230

Borrador Preliminar


por lo cual la reinterpretacion es inmediata:

(r) =

Z 1

�1d3r0 (r0) ⇠r0 (r) , con: (r0) = h⇠r0 | i =

Z 1

�1d3r ⇠⇤r0 (r) (r) ,

mas aun, la ortogonalidad queda garantizada por la relacion de cierre:

h⇠r0 | ⇠r0i =

Z 1

�1d3r0 ⇠

⇤r0 (r) ⇠r0 (r

0) =

Z 1

�1d3r0 � (r� r0) � (r

0� r0) = � (r0 � r) ,

al igual que:

h⇠r0 | ⇠r00↵=

Z 1

�1d3r ⇠⇤r0 (r) ⇠r00 (r) =

Z 1

�1d3r � (r� r0) � (r� r00) = � (r00 � r0) .

3.4.4. Las representaciones |ri y |pi

A partir de las bases de ondas planas vp0 (x), y de distribuciones, ⇠r0 (r), construimos las llamadasrepresentaciones |ri y |pi de la forma siguiente.

Primero asociamos:⇠r0 (r) � |r0i ^ vp0 (x) � |p0i .

De esta forma, dada las bases {⇠r0 (r)} y {vp0 (x)} para el espacio vectorial V definiremos dos “representa-ciones”: la representacion de coordenadas, |r0i , y la representacion de momentos |p0i de V, respectivamente.De tal modo que:

hr0| r00i =

Z 1

�1d3r ⇠⇤r0 (r) ⇠r00 (r) = � (r00 � r0) ) 1 =

Zd3r0 |r0i hr0| ,

hp0| p00i =

Z 1

�1d3r v⇤

p00(r) vp0 (r) =

Z 1

�1d3r

1

2⇡~e�i(r0·p0/~) = � (p0

0 � p0) ) 1 =

Zd3p0 |p0i hp0| .

Podemos entonces expresar el producto interno para la representacion de coordenadas como:

h� | i = h�|

✓Zd3r0 |r0i hr0|

◆

| {z }1

| i =

Zd3r0 �

⇤(r0) (r0) ,

y equivalentemente para la representacion de momentos:

h� | i = h�|

✓Zd3p0 |p0i hp0|

◆

| {z }1

| i =

Zd3p0 �

⇤(p0) (p0) ,

por lo cual hemos encontrado que:

| i =

Zd3r0 |r0i hr0| i =

Zd3p0 |p0i hp0| i ,

(r0) = hr0 | i y (p0) = hp0 | i ,

que es la representacion de | i en coordenadas, (r0), y en momentos, (p0).

231

Borrador Preliminar


Adicionalmente cuando | i = |pi tendremos que:

hr0 |p0i = hr0|

✓Zd3r00 |r00i hr

00|

◆

| {z }1

|p0i =1

(2⇡~)3/2

Zd3r00 � (r

00 � r0) e

i~ (p0·r0) =

1

(2⇡~)3/2e

i~ (p0·r0) ,

con lo cual (p0) puede considerarse la transformada de Fourier de (r0), y denotaremos de ahora en adelantelas bases |r0i ⌘ |ri y |p0i ⌘ |pi.

Estos ındices continuos, r0 y p0, representan tres ındices continuos r ⌦ (x, y, z) y p ⌦ (px, py, pz). Laproyeccion de un vector abstracto | i en la representacion |ri sera considerada como su expresion en elespacio de coordenadas, igualmente su proyeccion hp | i sera su expresion en el espacio de los momentos.Eso nos permitira hacer corresponder los elementos de espacios vectoriales abstractos con elementos de unespacio vectorial de funciones. Por lo tanto todas las formulas de proyeccion quedan como:

hr | i = (r) y hp | i = (p) .

mientras que las relaciones de cierre y ortonormalizacion son:

hr| r0i = � (r0 � r) y 1 =

Zd3r |ri hr| ,

hp| pi = � (p0� p) y 1 =

Zd3p |pi hp| .

Por su parte, la relacion de cierre hara corresponder a la expresion del producto interno de dos vectores,tanto en la representacion de las coordenadas como en la representacion de momentos, en una de la forma:

h�|

✓Zd3r |ri hr|

◆| i =

Zd3r �⇤(r) (r) ^ h�|

✓Zd3p |pi hp|

◆| i =

Zd3p �⇤(p) (p) ,

donde �⇤(p) y (p) son las transformadas de Fourier de �⇤(r) y (r), respectivamente. La afirmacion anteriorqueda evidentemente demostrada del cambio entre las bases |ri y |pi. Esto es:

hr |pi = hp |ri⇤ =1

(2⇡~)3/2e

i~ (p·r) ,

por lo cual:

(r) = hr | i = hr|

✓Zd3p |pi hp|

◆| i =

Zd3p hr |pi hp| i =

1

(2⇡~)3/2

Zd3p e

i~ (p·r) (p) ,

e inversamente:

(p) = hp | i = hp|

✓Zd3r |ri hr|

◆| i =

Zd3r hp |ri hr| i =

1

(2⇡~)3/2

Zd3r e�

i~ (p·r) (r) .

232

Borrador Preliminar


3.4.5. Ejemplos

1. Una distribucion de carga electrica puede escribirse de manera sencilla utilizando la delta de Dirac atraves de la siguiente integral:

q =

Z

V

⇢(r)dV ,

de manera que para una carga puntual localizada en r = r0 se tiene que:

q = q

Z�(r� r0)dV

| {z }=1

=

Z

V

⇢(r)dV ) ⇢(r) = q�(r� r0) .

2. Demostremos que:

�(↵x) =�(x)

↵, ↵ > 0.

Entonces, haremos el siguiente cambio de variable: y = ↵x.

Z 1

�1f(x)�(↵x)dx =

Z 1

�1f⇣ y↵

⌘�(y)

1

↵dy =

1

↵

Z 1

�1f⇣ y↵

⌘�(y)dy =

f(0)

↵=

Z 1

�1f(x)�(x)dx ,

por lo tanto: �(↵x) = �(x)↵

.

La condicion ↵ > 0 es porque se debe tener en cuenta que la funcion delta de Dirac es par, es decir,�(↵x) = �(�↵x). De manera que resulta mas apropiado escribir:

�(↵x) =�(x)

|↵|.

3. Demostremos ahora que:

�(g(x)) =X

↵

�(x� ↵)

|g0(↵)|, g(↵) = 0 ^ g0(↵) 6= 0 .

Podemos ver que para la funcion g(x), en los intervalos donde se hace cero, se tiene:

g(x) ⇡ g(↵) + (x� ↵)g0(↵) , �" < ↵ < " .

De manera que si sumamos para todos esos intervalos:Z 1

�1f(x)�(g(x))dx =

X

↵

Z↵+"

↵�"f(x)� ((x� ↵)g0(↵)) dx =

Z 1

�1f(x)

X

↵

� (x� ↵)

|g0(↵)|dx ,

donde hemos utilizado el resultado del ejemplo anterior. Por lo tanto:

�(g(x)) =X

↵

� (x� ↵)

|g0(↵)|.

4. Podemos ver la transformada de Fourier de la derivada de una funcion. Si

|f(x)i =1

p2⇡

Z 1

�1F(k)eikx dk )

d

dxn|f(x)i =

(ik)np2⇡

Z 1

�1F(k)eikx dk .

233

Borrador Preliminar


5. Encontremos la transformada de Fourier de la siguiente funcion:

f(t) =

8<

:

sen(!0 t) �n⇡

!0< t < n⇡

!0

0 t < �n⇡

!0^ t > n⇡

!0

La funcion f(t) representa un tren de ondas finitocon n ciclos en el intervalo dado, como se apreciaen la figura 3.6.Por el hecho de ser f(t) una funcion impar, po-demos utilizar la transformada seno de Fourier:

|F(!)i =2

p2⇡

Z n⇡!0

0f(t)sen(!t) dt

=2

p2⇡

Z n⇡!0

0sen(!0t)sen(!t) dt .

Figura 3.6: f(t) con: n = 6 y !0 = ⇡.

Resolviendo la integral obtenemos la distribucion espectral:

|F(!)i =2 [!0 sen (⌧ !) cos (n⇡)� ! cos (⌧ !) sen (n⇡)]

p2⇡ (!2 � !0

2)=

1p2⇡

sin [⌧ (!0 � !)]

2(!0 � !)�

sin [⌧ (!0 + !)]

2(!0 + !)

�,

donde ⌧ = n⇡

!0.

Se puede demostrar que los lımites:

lım!0!1

|F(!)i = lım!!1

|F(!)i = 0 .

Se puede apreciar tambien que el primer termino, de laexpresion entre corchetes, es el de mayor relevancia debidoa que en el denominador aparece la diferencia: !0 � !.En la Figura 3.7 se muestra la funcion de distribucion yen ella podemos notar que a medida que n crece la funcion|F(!)i es una delta de Dirac en ! = !0 = ⇡.Por otro lado, es facil ver que los ceros ocurren cuando:

!0 � !

!0= ±

1

n,±

2

n,±

3

n. . .

Figura 3.7: F(!) con: n = 6 y !0 = ⇡.

234

Borrador Preliminar



Estudiaremos en este modulo como calcular transformadas integrales de Fourier con Maxima. Dispone-mos de las siguientes funciones: fourint(f,x) que calcula y devuelve la lista de los coeficientes integrales deFourier de f(x) definida en el intervalo (�1,1). La funcion fourintcos (f,x) que devuelve los coeficientesintegrales de los cosenos f(x) en (0,1) y la funcion fourintsin(f,x) que retorna los coeficientes integralesde los senos f(x) en (0,1)

Vamos a aclarar a que se refieren cuando se habla de los coeficientes integrales.Para Maxima si f(x) es una funcion definida en (�1,1) la transformada de Fourier exponencial es:

F (f, z) =1

2⇡

Z 1

�1f(x) eizxdx , f(x) =

Z 1

�1f(x) e�izxdz .

Como vimos anteriormente podemos tener los siguientes casos:

La funcion es par: f(�x) = f(x), entonces: F (f,�z) = F (f, z) y podemos utilizar la representacion entransformadas coseno de Fourier:

F (f, z) =1

2Fcos(f, z) .

La funcion es impar: f(�x) = �f(x), entonces: F (f,�z) = �F (f, z) y podemos utilizar la representa-cion en transformadas seno de Fourier:

F (f, z) =i

2Fsen(f, z) .

La funcion no es par ni impar. Pero f(x) siempre se puede escribir como la suma de una funcion parf+(x) y una impar f�(x):

f(x) = f+(x) + f�(x) =1

2[f(x) + f(�x)] +

1

2[f(x)� f(�x)] ,

de manera equivalente:

F (f, z) = F (f+ + f�, z) =1

2Fcos(f+, z) +

i

2Fsen(f�, z) .

Entonces, la librerıa fourie lo que genera es la transformada de Fourier de la forma:

F (f, z) =1

2az +

i

2bz .

Veamos algunos ejemplos:

1. Consideremos la siguiente funcion par:

f = x2e�|x| , con x 2 (�1,1) .

Podemos intentar resolver la integral que define la transformada de Fourier de manera “manual” odirecta: Z 1

�1x2e�|x| e�ikxdx .

(%i1) f:x^2*exp(-abs(x));

235

Borrador Preliminar


(%o1) x2 e�|x|

(%i2) integrate(exp(-%i*k*x)*f,x,minf,inf);

(%o2)

Z 1

�1x2 e�|x|�i k x dx

Lo que significa que el programa no supo resolverla. Intentemos ahora utilizar las funciones propias delprograma.

(%i3) load(fourie)$

(%i4) fourint(f,x);

(%t4) az =2⇣

2z6+3 z4+3 z2+1 �

6 z2

z6+3 z4+3 z2+1

⌘

⇡(%t5) bz = 0

(%o5) [%t4, %t5]

(%i6) ratsimp(%t4),factor;

(%o6) az = �4�3 z2 � 1

�

⇡ (z2 + 1)3

Esta es la notacion que el programa utiliza para decirnos que la transformada es

F (k) =1

2

"�4�3 k2 � 1

�

⇡ (k2 + 1)3

#= �

2�3 k2 � 1

�

⇡ (k2 + 1)3.

Notemos que el calculo anterior se corresponde a la transformada coseno de Fourier:

(%i17)fourintcos(f,x);

(%t7) az =2⇣

2z6+3 z4+3 z2+1 �

6 z2

z6+3 z4+3 z2+1

⌘

⇡(%o7) [%t7]

(%i8) ratsimp(%t7),factor;

(%o8) az = �4�3 z2 � 1

�

⇡ (z2 + 1)3

Podemos intentar resolver directamente la integral para la transformada coseno de Fourier. Para talfin escribimos toda la expresion a resolver.

(%i9) Fz:ratsimp(1/%pi*integrate(cos(x*z)*f,x,0,inf)),factor;

236

Borrador Preliminar


(%o9) �2�3 z2 � 1

�

⇡ (z2 + 1)3

Incluso podemos probar calculando la transformada inversa y verificar que los calculos son correctos.

(%i10)integrate(exp(-%i*z*x)*Fz,z,minf,inf);

Is x positive, negative or zero? p;

(%o10)x2 e�x


Is x positive, negative or zero? n;

(%o11)x2 ex

2. Consideremos la siguiente funcion impar:

f = xe�|x| .

(%i12)f:x*exp(-abs(x));

(%o12)x e�|x|

(%i13)fourint(f,x);

(%t13) az = 0

(%t14) bz =4 z

⇡ (z4 + 2 z2 + 1)

(%o14) [%t13, %t14]

(%i15)ratsimp(%t14),factor;

(%o15) bz =4 z

⇡ (z2 + 1)2

(%i16)fourintsin(f,x);

(%t16) bz =4 z

⇡ (z4 + 2 z2 + 1)

(%o16) [%t16]

(%i17)ratsimp(%t16),factor;

(%o17) bz =4 z

⇡ (z2 + 1)2

Esto significa que la transformada seno de Fourier es:

F (k) =i

2

"4 k

⇡ (k2 + 1)2

#=

2i k

⇡ (k2 + 1)2.

237

Borrador Preliminar


Realicemos nuevamente el calculo pero integrando para comparar.

(%i18)Fz:%i*ratsimp(1/%pi*integrate(sin(x*z)*f,x,0,inf)),factor;

(%o18)2 i z

⇡ (z2 + 1)2

Vamos a calcular la transformada inversa:



(%o19)x e�x



(%o20)x ex

3. Dada la siguiente funcion que no es par ni impar:

f(x) = (x� 1)e(�|x|) .

(%i21)f:(x-1)*exp(-abs(x));

(%o21) (x� 1) e�|x|

(%i22)fourint(f,x);

(%t22) az = �2

⇡ (z2 + 1)

(%t23) bz =4 z

⇡ (z4 + 2 z2 + 1)

(%o23) [%t22, %t23]

(%i24)az:ratsimp(%t22),factor; bz:ratsimp(%t23),factor;

(%o24) az = �2

⇡ (z2 + 1)

(%o25) bz =4 z

⇡ (z2 + 1)2

(%i26)Fz:1/2*rhs(az)+%i/2*rhs(bz),factor;

(%o26) �z2 � 2 i z + 1

⇡ (z2 + 1)2

238

Borrador Preliminar


De nuevo, la transformada inversa para verificar:



(%o27) (x� 1) e�x



(%o28) (x� 1) ex

(%i29)kill(all)$

4. Resolvamos ahora el ejemplo 5 donde la funcion era:

f(t) = sen(!0t) .

(%i1) load(fourie)$

(%i2) f:sin(w0*t);

(%o2) sin (w0 t)

Como la funcion es impar, podemos intentar:

(%i3) fourintsin(f,t);

(%t3) bz =2⇣lımt!1 �

sin(t z+w0 t)2 z+2 w0 �

sin(t z�w0 t)2 w0�2 z

⌘

⇡(%o3) [%t3]

¡Intento fallido! Podemos probar resolviendo la integral.

(%i4) tau:n*%pi/w0;

(%i5) Fw:sqrt(2/%pi)*ratsimp(integrate(sin(t*omega)*f,t,0,tau));

Is nw0 positive, negative or zero? p;

(%o5) �

p2�(w0� !) sin

�⇡ n w0+⇡ n!

w0

�+ (�w0� !) sin

�⇡ n w0�⇡ n!

w0

��p⇡�2 w02 � 2!2

�

Asignemos los valores numericos a los parametros:

(%i6) n:6$ w0:%pi$

(%i7) Fw:ev(Fw);

239

Borrador Preliminar


(%o7) �

p2⇣(⇡ � !) sin

⇣6⇡ !+6⇡2

⇡

⌘+ (�! � ⇡) sin

⇣6⇡2�6⇡ !

⇡

⌘⌘

p⇡ (2⇡2 � 2!2)

Grafiquemos ahora la transformada F (w):

(%i8) wxplot2d([Fw], [omega,0,3*%pi])$

(%o8)

3.4.7. Ejercicios

1. Si:

�n(x) =

8<

:

0 x < �12n

n �12n < x < 1

2n0 x < 1

2n

demuestre que:

f(0) = lımn!1

Z 1

�1f(x)�n(x)dx ,

para f(x) continua en x = 0.

2. Para:

�n(x) =n

⇡

1

1 + n2x2.

Demuestre lo siguiente: Z 1

�1�n(x)dx = 1 .

240

Borrador Preliminar


3. Si:�n(x) =

np⇡e�n

2x2

.

Demuestre que:

xd�(x)

dx= ��(x) .

4. Demuestre la siguiente relacion: Z 1

�1�0(x)f(x)dx = �f(0) .

5. Dadas las siguientes funciones ortonormales:

a) |e(k, x)i =

⇢1p⇡sen(kx) ,

1p⇡cos(kx)

�, con: 0 k < 1 ,�1 x < 1 .

b) |e(k, x)i =

⇢1

p2⇡

eikx�

, con: �1 k < 1 ,�1 x < 1 .

a) Escriba las condiciones de ortogonalidad y cierre.

b) Demuestre:

1)R1�1 sen(kx)sen(k0x)dx = ⇡�(k � k0).

2)R1�1 cos(kx) cos(k0x)dx = ⇡�(k � k0).

3)R1�1 sen(kx) cos(k0x)dx = 0.

6. Demuestre que si:

�n(x) =n

⇡(1 + n2x2),

entonces: Z 1

�1�ndx = 1 .

7. Dada la siguiente sucesion de funciones:

�n(x) =1

2n⇡

✓sen(nx/2)

sen(x/2)

◆2

.

Demuestre que �n(x) es una distribucion delta de Dirac al calcular

lımn!1

"1

2n⇡

Z 1

�1f(x)

✓sen(nx/2)

sen(x/2)

◆2

dx

#= f(0) .

8. Encuentre las transformadas de Fourier de las siguientes funciones:

a) f(x) =

8<

:

e�x , x > 0

0 , x < 0b) f(x) =

8<

:

h(1� a|x|) , |x| < 1a

0 , |x| > 1a

9. Dad F (k) como la transformada de Fourier, en tres dimensiones, de f(r) y Fd(k) la transformada deFourier, tridimensional, de rf(r). Demuestre que:

Fd(k) = �ik(k) .

10. Resuelva los ejercicios anteriores con Maxima.

241

Borrador Preliminar

Bibliografıa

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Vectores duales y tensoreswebdelprofesor.ula.ve/ciencias/hector/prontuario/metodos1/Cap3V1.pdffunciones pueden considerarse que actu´an sobre vectores en R3 y podemos extender esta