Osjecki matematicki list 8(2008), 1928

19

Vedska matematikaMarija Miloloa z

Saetak. Ovim lankom, koji je gradivom i pristupom prilagoden z c prvim razredima srednjih kola prikazuju se drugaiji naini mnoenja s c c z i kvadriranja brojeva pomou formula vedske matematike. Ti naini su c c opisani rijeima i dani su njihovi algebarski dokazi. c Kljune rijei: vedska matematika, sutre, mnoenje, kvadriranje c c z Vedic mathematics Abstract. This article, which is in content and approach adapted for the rst-year high school students, presents dierent ways of multiplication and squaring of numbers by using formulas of the Vedic mathematics. These ways are described in words and their algebraic proofs are given. Key words: vedic mathematics, sutras, multiplication, squaring

1.

Uvod

Vedska matematika (5) je ime dano drevnom sustavu matematike koji je izmed u 1911. i 1918. Sri Bharati Krsna Tirthaji (1884.-1960.) otkrio u Vedama. Prema njegovom istraivanju, sva matematika temelji se na 16 sutri ili formula izraenih z z rijeima. Jednostavnost vedske matematike znai da se raunanja mogu obavljati c c c mentalno, to stvara kreativnije i zainteresiranije uenike. s c Poetkom 20. stoljea, dok je u Europi vladalo veliko zanimanje za sanskrtske c c tekstove, neki znanstvenici odbacili su odred ene tekstove pod nazivom Ganita sutre - to znai matematika - jer u prijevodu nisu mogli pronai nikakvu matematiku. s c c Med utim, Bharati Krsna, koji se bavio sanskrtom, matematikom, povijeu i lozosc jom, prouio je te tekstove i nakon dugog i paljivog istraivanja uspio rekonstruirati c z z matematiku Veda. Svoja istraivanja objavio je u knjizi Vedska matematika obz javljenoj 1965. godine. Tih 16 sutri, ili jednostavnih sanskrtskih formula izraenih z rijeima, rjeavaju mnoge poznate matematike probleme u granama aritmetike, alc s c gebre, geometrije i diferencijalnog rauna. One su lako razumljive, lako primjenjive c i lako pamtljive. Odjel za matematiku, Sveuilite u Osijeku, Trg Ljudevita Gaja 6, HR-31 000 Osijek, c s mmiloloz@mathos.hr

20

Marija Miloloa z

2.

Sutre1. Sve od devetke, a zadnju od desetke 2. Sa jedan vie od prethodnog s 3. Okomito i dijagonalno 4. Premjesti i primijeni 5. Ako je Samuccaya jednaka, rezultat je nula 6. Ako je jedan u omjeru, drugi je nula 7. Sa zbrajanjem i oduzimanjem 8. Sa dopunom i bez dopune 9. Diferencijalni raun c

10. Sa manjkom 11. Specian i openit c c 12. Ostaci sa zadnjom znamenkom 13. Zadnji i dvostruki predzadnji 14. Sa jedan manje od prethodnog 15. Produkt sume 16. Svi mnoitelji z U daljnjem tekstu bit e prikazana primjena nekoliko sutri i to na nekoliko c specinih vrsta raunskih zadataka. Vedska matematika omoguava raunanje c c c c razliitih raunskih zadataka u jednom retku, koji se moe zapisati ili zamiljati. c c z s Rezultat raunanja se dobije u nekoliko koraka, a poto se rauna u jednom retku c s c ti e se dijelovi rezultata u daljnjem tekstu odvajati znakom / . c

2.1.

Sve od devetke, a zadnju od desetke

Zelimo li oduzeti 5783 od 10000 jednostavno primijenimo sutru Sve od devetke, a zadnju od desetke. Svaku znamenku u broju 5783 oduzmemo od 9, a zadnju oduzmemo od 10 i dobivamo 4217. Primjer 1. Izraunajmo 1000 - 429. Svaku znamenku u umanjitelju oduzmimo c od 9, a zadnju od 10. Stoga je 1000 - 429 = 571. Primjer 2. U primjeru 1000 - 64, u kojemu imamo vie nula u umanjeniku, s nego to umanjitelj ima znamenaka samo pretpostavimo da je 64 zapravo 064. Tako s 1000 64 postaje 1000 064 = 936.

Vedska matematika

21

Slika 1: Oduzimanje od 1000 Ova sutra je takod vrlo uinkovita kod mnoenja brojeva koji su blizu baze 10, er c z 100, 1000,. . . , tj. potencije broja 10. Razlika izmed broja i baze zove se devijacija. u Ona moe biti pozitivna (tzv. viak) i negativna (tzv. manjak). Ukoliko je deviz s jacija pozitivna, ne stavlja se znak + ispred nje, a ukoliko je negativna stavlja se znak . Primjeri su dani u tablici: Broj 12 6 89 108 986 1005 Baza 10 10 100 100 1000 1000 Broj-Baza 12 10 6 10 89 100 108 100 986 1000 1005 1000 Devijacija 2 4 11 08 014 005

Ukoliko imamo broj 89 kojemu je baza 100, njegovu devijaciju moemo izraunati z c pomou sutre Sve od devetke, a zadnju od desetke i dobivamo 11. Devijacija c treba imati onoliko znamenki koliko baza ima nula; u suprotnom nadopiemo nule s ispred znamenki devijacije. Pogledajmo primjer mnoenja 7 s 8. Ovdje je baza 10, a devijacije od 7 i 8 z su redom 3 i 2. Graki bi to zapisali na sljedei nain: brojeve 7 i 8 piemo c c c s

Slika 2: Mnoenje brojeva 7 i 8 z u lijevom stupcu, a njihove devijacije u desnom. Rezultat e se sastojati od dva c dijela: 1. dio dobit e se zbrajanjem jednog broja s devijacijom drugog: npr. 7 +(2) = c 5, 2. dio mnoenjem devijacija: (3) (2) = 6. z Dakle, 7 8 = 5/6 = 56. Drugi dio treba sadravati onoliko znamenki koliko ima nula u bazi. U ovom z

22

Marija Miloloa z

sluaju 6 ostaje kako jest. Ukoliko drugi dio rezultata ima manje znamenki nego c baza nula, onda se dodaju nule ispred znamenki drugog dijela rezultata tako da drugi dio ima jednako znamenki koliko i baza nula. Ukoliko drugi dio rezultata ima vie znamenki nego baza nula, onda se dogad prijenos znamenki u prvi dio s a rezultata. Openito, mnoenje bi mogli prikazati na sljedei nain: c z c c Neka su N1 i N2 brojevi koji su blizu neke baze, potencije broja 10, a D1 i D2 redom njihove devijacije. Tada se njihov umnoak moe prikazati na sljedei nain: z z c c

Slika 3: Mnoenje brojeva N1 i N2 z

a) Mnoenje brojeva koji su manji od baze z Primjer 3. Zelimo pomnoiti 88 s 98. Njihova baza je 100, a devijacije su 12 z za 88 i 02 za 98. Moemo rei i da je manjak od 88 broj 12, a od 98 broj 2. To z c zapiemo kao na slici 4. Umnoak dobijemo u dva dijela. Prvi dio je zbroj jednog s z broja s devijacijom drugog. Moemo rei i da od jednog broja oduzmemo manjak z c drugog: 88 2 = 86 (ili 98 12 = 86; svejedno je jer emo uvijek dobiti isti broj). c Drugi dio umnoka je umnoak devijacija (tj. umnoak manjaka: 12 2 = 24). s z z Dakle, 88 98 = 86/24 = 8624.

Slika 4: Mnoenje brojeva 88 i 98 z

b) Mnoenje brojeva koji su vei od baze z c Primjer 4. Zelimo pomnoiti 102 sa 107. Baza je 100. Devijacija od 102 je 02, z a od 107 je 07. Rezultat je u dva dijela: jednom broju dodamo devijaciju drugog

Vedska matematika broja, a zatim tom zbroju prilijepimo umnoak viaka. Pa imamo: z s (102 + 7)/(2 7) = 109/14 = 10914

23

c) Mnoenje brojeva kod kojih je jedan vei od baze, a drugi manji od z c baze Pomnoimo 13 sa 7. Baza je 10. Devijacija od 13 je 3, a od 7 je 3. Prvi dio z rezultata e biti 13 + (3) = 10, a drugi dio 3 (3) = 9. Dakle, od prvog dijela c morat emo oduzimati 9. Pogledajte sliku 5: c

Slika 5: Mnoenje brojeva 13 i 7 z Imamo: 13 7 = 10/(9) = 100 9 = 91. Pojasnimo oznaku: 10/(9). Upotrebom sutre Sve od devetke, a zadnju od desetke, od 10 (tj. od baze) oduzimamo apsolutnu vrijednost umnoka devijacija i s dobivamo drugi dio traenog rezultata. Pogledajte sljedee primjere: z c 8 = 1/(2) 97 = 100 3 = 10/(3) 14/(6) = 140 6 = 134 Primjer 5. Pomnoimo 108 s 94. z

Slika 6: Mnoenje brojeva 108 i 94 z Slijede dokazi tvrdnji za mnoenje brojeva blizu neke baze, potencije broja 10. z

24 Dokaz :

Marija Miloloa z

a) Neka su N1 i N2 brojevi blizu baze B, ali oba manja od B. Tada N1 moemo z zapisati kao N1 = B a, a N2 kao N2 = B b, gdje su a i b njihove devijacije. Raunamo N1 N2 : c N1 N2 = = = = (B a)(B b) B 2 Ba Bb + ab B(B a b) + ab B(N1 b) + ab = B(N2 a) + ab.

Prvi dio rezultata je zbroj jednog broja s devijacijom drugog, a drugi dio umnoak z devijacija. b) Neka su N1 i N2 brojevi blizu baze B, ali oba vea od B. Tada N1 moemo c z zapisati kao N1 = B + a, a N2 kao N2 = B + b, gdje su a i b njihove devijacije. Raunanjem N1 N2 dobivamo: c N1 N2 = B(B + a + b) + ab. c) Neka su N1 i N2 brojevi blizu baze B, ali neka je npr. N1 vei od B, a N2 c manji od B. Slinim raunanjem dobije se: c c (B + a)(B b) = B(B + a b) ab.

2.2.

Sa jedan vie od prethodnog s

Upotrebom sutre Sa jedan vie od prethodnog, moemo u jednom retku kvadrirati s z brojeve koji zavravaju s 5. Zelimo li kvadrirati 35, to moemo napraviti u dva s z koraka. Prvi je uoiti znamenku ispred 5 (ona koja prethodi 5), u ovom sluaju to c c je 3. Po formuli Sa jedan vie od prethodnog, tu uoenu znamenku pomnoimo s c z (sa u formulama znai pomnoiti) s njezinim sljedbenikom (tj. s brojem koji je c z za jedan vei), a u drugom koraku samo nadopiemo 25. U jednom retku to bi c s izgledalo: 352 = (3 4)/25 = 1225 Zelimo li kvadrirati troznamenkasti broj koji zavrava s 5 opet radimo slino samo s c to uoimo dvije znamenke ispred 5. s c s Tvrdnja 1. Kvadrat dvoznamenkastog broja a5 koji zavrava s 5 je broj a(a + 1)/25. Dokaz : Neka je zadani dvoznamenkasti broj oblika a5, gdje je a iz skupa {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Tada se broj a5 moe zapisati kao 10a + 5. Kvadriramo li taj izraz z dobivamo: (10a + 5)2 = 100a2 + 100a + 25 = 100a(a + 1) + 25.

Vedska matematika

25

Uoite da umnoak 100a(a + 1) odgovara prvom koraku, a 25 drugom. c z Napomena 1. Slino moemo raunati kvadrat troznamenkastog broja koji c z c zavrava s 5. Troznamenkasti broj ab5 zapiemo u obliku: 100a + 10b + 5 te kvadris s ramo i dobivamo kao rezultat: (ab (ab + 1))/25. Postoji poseban nain kako brzo pomnoiti dvoznamenkaste brojeve kojima je c z znamenka desetica jednaka, a zbroj znamenki jedinica jednak 10. Primjer 6. Zelimo pomnoiti 32 s 38. Brojevi odgovaraju uvjetu. Prvi korak z je da znamenku desetica pomnoimo s njezinim sljedbenikom (to daje broj stotica z s umnoka), a drugi korak je umnoak znamenki jedinica (to daje broj desetica i jes z s dinica umnoka). U jednom retku: s 32 38 = (3 4)/(2 8) = 1216 Primjer 7. Zelimo pomnoiti 81 s 89. Rezultat je u jednom retku: z 81 89 = (8 9)/0(1 9) = 7209 Uoite da smo dodali 0 jer drugi korak uvijek treba imati dvije znamenke. c Tvrdnja 2. Neka su zadani dvoznamenkasti brojevi oblika ab i ac tako da vrijedi b + c = 10. Tada je njihov umnoak jednak a(a + 1)/bc. z Dokaz : Neka su zadani dvoznamenkasti brojevi oblika ab i ac tako da vrijedi b +c = 10. Broj ab moemo pisati kao 10a+b, a broj ac kao 10a+c. Sada raunamo z c njihov umnoak: z ab ac = (10a + b)(10a + c) = 100a2 + 10ac + 10ab + bc = 100a2 + 10a(b + c) + bc = 100a2 + 100a + bc = 100a(a + 1) + bc. Uoite da umnoak 100a(a + 1) odgovara prvom koraku (imamo a(a + 1) stotica), c z a umnoak bc drugom (to daje bc desetica i jedinica). Dakle, drugi dio mora imati z s dvije znamenke (zato smo u primjeru (7) stavili 0).

2.3.

Okomito i dijagonalno

Evo kako brzo mnoimo proizvoljne dvoznamenkaste brojeve pomou sutre Okomito z c i dijagonalno. Zelimo li pomnoiti 21 s 23, napiemo ili zamislimo 23 ispod 21: z s 2 2 Rezultat dobivamo u tri koraka (slika 7): 1. okomito pomnoimo lijeve znamenke (desetice) : 2 2 = 4. Tako dobivamo z prvu znamenku (znamenke) rezultata. 2. dijagonalno pomnoimo i zbrojimo: 2 3 + 1 2 = 8. Ovako dobivamo srednju z znamenku (znamenke) rezultata. 1 3

26

Marija Miloloa z 3. okomito pomnoimo desne znamenke (jedinice) : 1 3 = 3. Ovo daje zadnju z znamenku (znamenke) rezultata.

Slika 7: Mnoenje brojeva 21 i 23 z Primjer 8. Pomnoimo 61 s 31. Napiemo ili zamiljamo brojeve kao na slici z s s 8. Umnoak 61 63 je jednak (6 3)/(6 1 + 1 3)/(1 1) = 18/9/1 = 1891. z

Slika 8: Mnoenje brojeva 61 i 31 z

Pogledajmo sljedei primjer: c Primjer 9. Pomnoimo 21 s 26 (slika 9). z Isti je postupak kao u primjeru (8), samo to smo u drugom koraku dobili s dvoznamenkasti broj pa trebamo prenijeti 1 broju iz prvog koraka: 4 se poveava c na 5. Moe se dogoditi da imamo vie prijenosa kao to pokazuje sljedei primjer. z s s c Primjer 10. Pomnoimo 33 s 44 (slika 10). z Lijevi okomiti umnoak je 12, dijagonalni je 24, a desni vertikalni je 12, a zbog z prijenosa koji se gleda od desno na lijevo dobiva se: 2 u treem dijelu, 5 u drugom c dijeli (jer je 24 dodana jedinica od 12, pa se dobilo 25), a 14 u prvom dijelu jer je 12 dodana dvojka od 25, tj. dobije se 1452. Napomena 2. Jednostavan dokaz mnoenja dva dvoznamenkasta broja ab i cd z na gornji nain proizlazi iz sljedeeg: (10a + b)(10c + d) = 100ac + 10(ad + bc) + c c bd.Rezultat e se sastojati od 3 dijela: ac stotica, ad + bc desetica i bd jedinica. c Jednostavno moemo i kvadrirati dvoznamenkaste brojeve ab: z

Vedska matematika

27

Slika 9: Mnoenje brojeva 21 i 26 z

Slika 10: Mnoenje brojeva 33 i 44 z ab = (10a + b)2 = 100a2 + 10 2ab + b2 . Rezultat e se sastojati od 3 dijela: a2 stotica, 2ab desetica i b2 jedinica. Uoite c c da se kvadrat dvoznamenkastog broja moe rijeima opisati na sljedei nain: prva z c c c znamenka na kvadrat, dvostruka prva puta druga znamenka, druga znamenka na kvadrat. Zvui poznato, zar ne? c Primjer 11. Kvadrirajmo 38, 29 i 87. Uoimo prijenose! c Rezultat se sastoji od tri dijela: 382 = 32 /2 3 8/82 = 9/48/64 = 14/4/4 = 1444; 292 = 22 /2 2 9/92 = 4/36/81 = 8/4/1 = 841; 872 = 82 /2 8 7/72 = 64/112/49 = 75/6/9 = 7569.2

Brzo moemo mnoiti troznamenkaste brojeve s istom stoticom i to u tri koraka: z z 1. pomnoiti stotice z

28

Marija Miloloa z 2. zbrojiti preostale dvije znamenke pa zbroj pomnoiti sa stoticama z 3. pomnoiti preostale dvije znamenke z

Evo ilustrirajueg primjera: c Primjer 12. 203 211 = (2 2)/((3 + 11) 2)/(3 11) = 4/28/33 = 42833.

Zakljuak cU ovom radu predstavljen je samo mali dio onoga to se moe kreativnije i bre s z z izraunati upotrebom sutri vedske matematike. Izraunati umnoak dva dvozc c z namenkasta broja i to napamet za samo nekoliko sekundi - nije li to praktino? c Ovakvim mentalnim raunanjem vizualiziramo problem, malo napregnemo vijuge c i ne trebamo koristiti kalkulator jer ga ve imamo, samo ga trebamo znati korisc titi. Sutre na nama neoubiajen nain omoguuju raunanje, no one su samo drugi c c c c pogled na isti problem. Kroz dokaze u radu vidi se da manipulacijom algebarskih izraza, koji koriste samo raunske operacije i formulu za kvadrat zbroja, moemo c z u nekoliko kratkih koraka vrlo brzo, bez papira i kalkulatora izraunati kvadrate c brojeva, umnoak brojeva i jo mnotvo drugih stvari. Naravno, preduvjet svemu z s s tome je da znamo raunati s malim brojevima. c

3.

Zadaci za vjebu z

Zadatak 1. Dokaite postupak raunanja mnoenja dva troznamenkasta broja z c z s istom stoticom. Zadatak 2. Pomou sutre Okomito i dijagonalno napamet pomnoite sljedee c z c brojeve: 37 i 12; 24 i 41; 35 i 86.

Literatura[1] http://vedicmaths.org/Introduction/Tutorial/Tutorial.asp [2] http://en.wikipedia.org/wiki/Vedic mathematics [3] http://www.vedamu.org/Mathematics/course.asp [4]http://www.esnips.com/doc/699a92f8-58ff-4906-98e9-bd570c4585eb/Vedic-Mathematics.pdf

[5] http://hr.wikipedia.org/wiki/Vedska matematika