9789639819443

I E n r

DS ~/l~ / L .,. zal)O atna.s

8.2. Gyenge megfogalmazs ................................................................................ 65 8.3. Vgeselem mtrixok, a tehervektor s a mozgsegyenlet ........................... 65 8.4. llandsult harmonikus gerjesztett rezgs ................................................... 67 8.5. Szabadrezgsek, sajtrezgsek ..................................................................... 69

9. H FESZLTSGEKSZMTSA ........................................................ 72 9 .l. Hmrsklet hatsnak vizsglata l D-s feladatnL .................................... 72 9.2. Hmrsklet hatsnak vizsglata SF feladatoknl .................................. 74

10. AZ I-DEAS PROGRAMRENDSZER HASZNLATA ............................ 76 10.1. A szoftver elindtsa ............................... , ..................................................... 76 10.2. Gyakran alkalmazott eszkzk funkcik ..................................................... 77 10.3. j rajz ksztse ............................................................................................ 78 10.4. Vgeselemes modellezs, SIMULATION MODUL ................................... 82 10.5. A sg (Help) rendszer ................................................................................. 85

ll. I-DEAS MINTAFELADATOK ................................................................. 87

ll. l. Skbeli rcsos szerkezet ................................................................................ 87 11.2. Skalakvltozsi feladat ................................................................................ 94 11.3. Forgattys tengely torzis sajtrezgsei ..................................................... l 00

12. Irodalomjegyzk ........................................................................................ 106

6

1. BEVEZETS A vgeselem mdszer a mmki tevkenysg legismertebb s legszlesebb krben alkalma-

zott kzelt numerikus szmtgpes eljrsa. A mdszer az elmlt 50-60 vben a szmt-gpek fejldsvel egytt vlt hatkony segdeszkzv a mmki szerkezettervezsnek s a mmki szerkezetekben lezajl folyamatok analzisnek A szmtgpes mmki tervez rendszerek szinte mindegyike tartalmaz vgeselem mdszeren alapul analzis modulokat, amelyek a szilrdsgtani, dinamikai, ramlstani, htani, elektromgneses, stb. feladatoknak a mmki szempontoknak megfelel pontossg megoldst teszik lehetv. Ezen kvl a szoftver piacon rendelkezsre llnak specilis vgeselem programrendszerek is, amelyek mr-nki s termszettudomnyos kutatsi ignyek kielgtsre is alkalmasak.

A fenti programrendszerek hatkony felhasznlshoz szksg van azonban a mdszer elvi alapjainak, valamint specilis numerikus technikinak ismeretre is. Ezek ismeretnek hinya modellezsi tvedsekhez vezethet, valamint gtolhatja az analzis eredmnyeinek megrtst.

A jegyzet a Szchenyi Istvn Egyetem Alkalmazott Mechanika Tanszknek a mmki me-chanika BSc szint tantrgyaiban oktatott ismeretanyagra tmaszkodva az egyszer hzott-nyomott rd szilrdsgtani, dinamikai s hfeszltsgi feladatainak rszletes trgyalsval vezeti be a vgeselem mdszer alapfogalmait Ezen tlmenen rviden trgyalja a mechanika skbeli feladatai vizsglatra alkalmas izoparametrikus vgeselemeket is. A jegyzet felttelezi a mmki egyetemi alapkpzs Statika, Szilrdsgtan, Mozgstan s Rezgstan tantrgyaiban tanult mechanikai valamint a B Sc szint matematikai alapok ismerett is.

A jegyzet elssorban a Szchenyi Istvn Egyetem BSc mmkkpzsben szerepl heti ngy rs Vgeselem mdszer cm tantrgy hallgati szmra kvn segtsget nyjtani a mdszer alapjainak elsajttshoz.

A gyakorlati anyag elsajttst a Szchenyi Istvn Egyetem Alkalmazott Mechanika Tan-szknek honlapjn (http:/www.sze.hu/am/) tallhat oktatsi segdletek is segtik, amelyek a jegyzet tmakreihez is kapcsold kidolgozott gyakorl feladatokat tartalmaznak. A szm-tgpes gyakorlatok az I-DEAS gpszeti tervez rendszer vgeselem moduljainak felhaszn-lsval kszltek.

A vgeselem mdszer alapjainak elsajttshoz a jegyzet szerzje eredmnyes munkt k-vn. A szerz ezen a helyen mond ksznetet Dr. Pere Balzs egyetemi docensnek, a jegyzet lektornak hasznos s rdemi szakmai szrevteleirt, amelyek a jegyzet vgleges vltozatba bepltek.

Gyr, 2009. janur

7

SSZEFOGLAL 2.1. Mtrixalgebrai sszefoglal

a) Mtrix rtelmezse, jellse: Mtrix: Skalris mennyisgeknek, szmoknak megadott szablyszerint tblzatba rendezett

halmaza.

Mtrixjellse: [4J=[a11 a12 a13 ],vagy [4] [au], (i=1,2, ... ,n),(J=l,2, ... ,m). az1 azz a23

A mtrixakat ktszer alhzott betvel, a mtrixok elemeit (koordintit) als indexes betvel jelljk. Pl. ;t!,~ s a13 , a2 stb. Az a13 mtrixelem az A mtrix els sorban s harmadik oszlopban ll. Mtrix mrete: Pldul a fenti (2 x 3 )-as, vagy (n x m )-es mret [d] mtrixnak kt, vagy

n sora s hrom, vagy m oszlopa van. Az a13 mtrix elemjells kiejtse (kiolvassa): egy hrom.

Oszlopmtrix: [~J =r :J sormtrix: [l J = [" a2 a,]. Az oszlopmtrixnak egy oszlopa, a sonntrixnak egy sora van. A sormtrix ugyanannak az oszlopmtrixnak a transzponlja (lsd b. pont). A sormtrixot a mtrix betjelnek fels indexbe rt Tbetjelli.

b) Mtrixmveletek: A mveleteket (2 x 2) -es, (2 x l) es s (l x 2) -es mtrixokra mutatjuk be.

- Mtrix transzponltja (tkrzs a ftlra): A mtrix ftljt az azonos index elemek alkotjk.

A transzponlsi mvelet jele: T (a mtrix fels indexben). A transzponls oszlopmtrixbl sormtrixot, sormtrixbl pedig oszlopmtrixot hoz lt-re.

Az ;t!r jells kiejtse (kiolvassa): transzponlt.

- Mtrixok sszeadsa, kivonsa: Csak azonos mret mtrixok adhatk ssze, vonhatk ki egymsbl. A {2,

8

[a11 a12 ][b11 h12 ]=[(au b11) (al2:blz)]=[cu c12l az1 azz bz1 bzz (azlbzi) (azz-bzz) cz1 Czz '-----v----' '----..r----' '----.

.r----'

(2 x 2) (2 x 2) (2 x 2) (2 x 2) - Mtrix szorzs (sor-oszlop kombinci):

Csak olyan mtrixok szorozhatk ssze, amelyek teljestik azt a felttelt, hogy az els szorztnyez oszlopainak szma megegyezik a msodik szorztnyez sorainak szm-vaL

4~=~,

[a11 a12 ][b11 h12 ]=[(all hu +a1z bzl) C~1 b12+~2 bzz)] az1 azz bzl bzz (az! hu+azz bzl) Ca21 b12+a22 bzz) '-----v----' '----..r----' (2 x 2) (2 x 2) (2 x 2) 4g=g,

[ a1 azJ[bll biz] ~ b21 b22 (l x 2) '----..r----' (2 x 2) c) Klnleges mtrixok:

- Egysgmtrix: E= [1 0]. Tulajdonsga: li. A= A Ji= A.

= o l -- ---

Az egysgmtrixa ftljban l-es koordintkat, a ftljn kvl O elem~k~t tartalmaz. Az egysgmtrixszal trtn szorzs nem vltoztatja meg a megszorzott matnxot.

- Szimmetrikus mtrix: 4 r= 4 A mtrix elemei megegyeznek a ftlra vett tkrkpkkeL

[ J [l 2 J , 'ku r Pldul ;t! = 2 9 sz1mmetn s matnx. - F erdeszimmetrikus mtrix: 4 T = -A .

A mtrix brmelyik eleme megegyezik a ftlra vett tkrkpnek mnusz egyszeres vel. Ebbl az kvetkezik, hogy a ftlban csak zrus elemek lehetnek.

[ J [O - 3] . 'ku r Pldul ;t! = 3 0 ferdesz1mmetn s matnx. d) Mtrix adjungltia, determinnsa, inverze:

-Adjunglt mtrix: a mtrix elemeihez tartoz eljeles aldeterminnsokbl kpezett mtrix Jellse: adj aii Aii .

9

- Mtrix determinnsa: a mtrix elemeibl megadott "kifejtsi" szably szerint ellltott skalr szm.

. i a11 a12 a13

detlaiil = detldl = a2, a22 a23 =a" AII + ai2 AI2 + ai3 An= a3I a32 a33

a" 1::: :::l+ a12 { -1::: :::l}+ a" l::: :::l = =ai I (a22a33 - a23a32)- a12 (a2,a33 ai3a3,) +ai 3 (a2Ia32 - a22a3I)

-Inverz mtrix (reciprok mtrix): A. A-I = A-I . A =E . === == == =

Az d-' mtrix az d mtrix inverze, vagy reciproka. Csak ngyzetes mtrixnak ltezik inverze (reciproka) abban az esetben, ha az A mtrix elemeibl kpezett determinns nem nulla.

. , . . , , , _1 adj A Az znverz matrzx kzszamztasa: A =---=- . detl;il

2.2. Mtrix sajtrtkei s sajtvektorai -A sajtrtk feladat kitzse:

Ltezik-e olyan !!;, oszlopmtrix, amellyel az ;i ngyzetes mtrixot megszorozva, az !!. oszlopmtrix valahnyszorast kapjuk: -

;i?:;=A!:;, ahol a A skalris mennyisg? Ha ltezik ilyen !:; oszlopmtrix, akkor ezt az d ngyzetes mtrix sajtvektornak, a ;t skalris mennyisget pedig az ;i mtrix sajtrtknek nevezzk.

-A sajtrtkfeladat megoldsa: A sajtrtk feladat megoldst egy (2x2)-es mtrixon mutatjuk be. Az elz egyenletet rszletesen kirva s bal oldalra rendezve:

[ :~: :~',][::]=2[ :J ~ [ :~: =~'J::]-2[ ::]=[~l elvgezve a szorzsokat, az nx, nY ismeretlenre homogn lineris algebrai egyenletrend-szert kapunk:

(a11 - A)nx + a12 nY= O, a21 nx +(ali- .:t)ny =0.

Az ~gyen~etr~n~sze,r n~mtrivilis (nu~ltl klnbz) megoldsnak felttele az, hogy az egyutthato matnxbol kepezett determmnsnak el kell tnnie:

l(aii- A) ai2 l O.

a2I (a, I- ;t)

10

A determinnst kifejtve kapjuk a karakterisztikus egyenletet: ;t2 -(ali +a22)A+(a,Ia22 -ai2a2I) O .

A karakterisztikus egyenlet megoldsai a mtrix sajtrtkei: (ai,+ a2J ~(ali+ a22)2 + 4a,2a2I

2 A homogn lineris algebrai egyenletrendszemek csak A = .:t, s A = A2 esetn van

nemtrivilis megoldsa. A mtrix sajtrtkeit nvekv sorrendben szoks sorszmozni. Ha az egyes Ai (i=l,2) sajtrtkeket behelyettestjk a homogn lineris algebrai egyen-letrendszerbe, akkor az egyenletrendszer megoldhat az nix, niy ismeretlenre:

(a, l- Ai)nix + al2 niy =0} nix = => ahol i=l,2.

a2, nix +(ali- .:tJniy =O niy = Az ;ti (i=l,2) sajtrtkek behelyettestse esetn azonban az egyenletrendszer egyenletei egymstl nem linerisan fggetlenek, ezrt az egyik egyenletet el kell hagyni s a msik

egyenletbl csak az nix l niy , vagy niy l nix (i= l ,2) hnyados hatrozhat meg. Az nix s niy rtkt akkor kapjuk meg egyrtelmen, ha az !:;~ = [ nix niy J sajtvektorok-tl megkveteljk, hogy egysgvektorok legyenek:

~n~+ n~ =l, i=l,2. 2.3. Vektorok skalris szorzata

A skalris szorzs rtelmezse: a b= lalibicos a. (a a vektorok ltal bezrt szg, O~ a~ n-.) Az a b mvelet kiolvassa: skalrisan szorozva bvel, vagy skalr b. A skalris szorzs kiszmtsa mtrixszorzssal:

[bxl ii b = [a, a, a, J ~ = a A + ai, + a,b, . Az els szorz tnyez koordintit sormtrixba, a msodik szorz tnyez koordintit osz-lopmtrixba rendezzk s a szorzst a mtrixszorzs szablyai szerint (sor-oszlop kombinci) vgezzk el. A szorzs eredmnye egy skalris mennyisg.

2.4. Matematikai gyakorl feladatok 2. 4.1. feladat: Mtrix mveletek Adott: A =[2 -4] B =[-12 4].

7 3 ' = -6 3

11

Feladat: a) Az AT s flT transzponlt mtrixok meghatrozsa. b) Az ;i+ fl sszegmtrix s az ;i- fl klnbsgmtrix meghatrozsa. c) Az szorzatmtrix meghatrozsa. Kidolgozs: a) Az ;iT s flT transzponlt mtrixok meghatrozsa:

T [2 7] 4 -4 3 ' [ -12 BT = 4 b) Az ;i+ fl sszegmtrix s az ;i -fl klnbsgmtrix meghatrozsa:

;i+~=[~ -:]+[=~2 ~]=[-;o ~l A-B=[2 4]-[-12 4]=[14 -8] = = 7 3 -6 3 13 o

c) Az ;i !l szorzatmtrix meghatrozsa. AB= [2 -4][-12 4]= [2( -12) + (-4)( -6) 2 4+ ( -4)3] = [-48 -4]. == 7 3 -6 3 7(-12)+3(-6) 7 4+33 -102 37

2 .4. 2. feladat: Skalris s mtrix szorzs Adott: a= (4 T+ 6]- f) m, Feladat:

jj = (-3 T+ J_ f) m Az a b skalris szorzat meg-hatrozsa.

Mrtkegysg: m- mter. Kidolgozs: Az a b szorzat meghatrozsa:

b=[4 6 It] 4(-3)+61+(-1)(-1)=-5m2 ,

2.4.3. feladat: Mtrix inverznek ellltsa

Adott: f! = r ~ ~ ~l -2 2 l

Fel adat: Az f! mtrix inverznek meghatrozsa. Kidolgozs: - A mtrix determinnsa:

detlf!l 2(-3-2)-1(-3+2)+2(6+6) 15.

12

-Az adjunglt mtrix elemei: adja11 =-3 2=-5, adja12 -(-3+2)=1, adja13 =6+6=12, adja21 =-(-1+4)=5, adja22 =-2+4=2, adja23 -(4+2)=-6, adja31 =1-6 -5, adja32 =-(2-6)=4, adja33 =6-3=3.

-Az adjunglt mtrix: adj!};= r-~ ~ ~~l . -5 4 3

r-5 5 -5l d" A

- Az inverz (reciprok) mtrix: f!- 1 = a Jl=l = / 5 l 2 4 det fl 12-6 3 - Ellenrzs:

44-l =l ~ ~ ~l l~l-: ~-~J= l~ ll~ ~5 1~5l =g. -2 2 -l 12-6 3 o o

2.4.4. feladat: Mtrix sajtrtkeinek s sajtvektorainak meghatrozsa

l-30 o ol

Adott: f!= O 30 -40 . o -40 90

Feladat: Az f! mtrix sajtrtkeinek s sajtvektorainak a meghatrozsa. Kidolgozs: - A megoldand homogn lineris algebrai egyenletrendszer:

l

(-30o-A) (30~A) -~O ][::]=l~], vagy (30-;~:~-:~::=~J

O -40 (90- A) n z O -40 ny +(90- A )n z = O

- A karakterisztikus egyenlet: (-30-A) O O

O (30-A) -40 =0, => (-30-A)[(30 A)(90-A)-4040]=0, O -40 (90-A)

(-30-A)(A2 -120A+1100)=0. -A karakterisztikus egyenlet megoldsa, a mtrix sajtrtkei:

(-30-A)=O => A1 =-30, (A2 -120A+1100)=0 => A2 =10, A3 =110. -A mtrix sajtvektorai, a sajtrtkek behelyettestse a lineris algebrai egyenletrendszer-

be: A A1 =-30 sajtrtkhez tartoz sajtvektor:

13

(-30-/L 1)n1x =l (30- A1)n1Y- 40n1z =O

-40 n1Y +(90- A1 )n1z O =>

A 2. s 3. egyenletbl: n1Y = n1z O . Az l. egyenletbl: n1x tetszleges rtk.

Legyen a sajtvektor egysgvektor, gy:

A /L 2 =l O sajtrtkhez tartoz sajtvektor:

(-30+30)nlx ol (30+30)n1Y 40n1z=O .

-40 n1Y +(90+ 30)n12 = O

(-30 /LJn2x =l (-30-10)n2x =l (30-/L 2 )n2Y -40n2z = => (30-10)n2Y -40n2z O .

-40 n2Y +(90- /LJn2z = O -40 n2Y +(90 -l O)n2z = O Az l. egyenletbl: n2x = O . A 2., vagy 3. egyenletbl: n2Y = 2n2z.

Legyen a sajtvektor egysgvektor: ~n~Y +4n~Y =l,=> n2 y =Js. Teht a /L 2 -hz tartoz sajtvektor: [~J=[ o Js Jsl A /L3 = 110 sajtrtkhez tartoz sajtvektor:

(-30-/L3 )n3x =l (-30-110)n3x =l (30-/L3)n3Y -40n3z = => (30-110)n3Y -40n3z = .

-40n3Y +(90-/L3)n3z = -40n3Y +(90-110)n3z = Az l. egyenletbl: n3x = O . A 2., vagy 3. egyenletbl: n3Y = -2n3z.

Legyen a sajtvektor egysgvektor: ~n~Y + 4n~Y =l, =>

Teht a /1,3 -hz tartoz sajtvektor:

2.6.5.feladat: Vektor adott irnnyal prhuzamos sszetevjnek meghatrozsa

Adott: b= (20T +40]- 30k) m, ea = (0,8] -0,6k).

Feladat: A b vektor ea egysgvektorral prhuzamos hu sszetevjnek meghatrozsa. x

14

Kidolgozs: A ho prhuzamos sszetev meghatrozsa:

~=(e. b) e.= [[o o,8 -o,6t~~o J] e"= (32+ 18) e" so e. ho= 50 e(/= 50(0,8] -0,6k) =(40} -30k) m.

15

3. ALAPFOGALMAK A fejezet rviden sszefoglalja a legfontosabb szilrdsgtani fogalmakat, amelyek megtall-

hatk az [4] irodalomban is. Test modell: olyan idealizlt tulajdonsgokkal rendelkez test, amely a valsgos testnek a

vizsglat szempontj blleglnyegesebb tulajdonsgait tkrzi. (A test lnyegesnek tartott tulajdonsgait megtartjuk, a lnyegtelennek tlt tulajdonsgokat pedig elhanyagoljuk.)

Szilrdsgtan: a terhels eltt s utn is tarts nyugalomban lv, alakvltozsra kpes testek kinematikjnak, dinamikjnak s anyagszerkezeti viselkedsnek lersa.

Terhels: az ltalunk vizsglt rendszerhez nem tartoz testektl szrmaz ismert nagysg hatsok (ismert erhatsok). Szilrd halmazllapot testeknl ezek a hatsok (a terhelsek) ltalban felleti rintkezsset valsulnak meg. (Terhels = ismert kls errendszer.)

A tarts nyugalom dinamikai s kinematikai felttelei: a testre hat errendszer egyenslyi, a test megtmasztsa nem enged meg

merevtestszer elmozdulsokat

Egyenslyi errendszer: az az errendszer amely zrus nyomatki vektorteret hoz ltre. Az egyensly leggyakrabban hasznlt felttele:

ahol F az errendszer ered ervektora s MA az errendszer A pontra szmtott ered nyo-matkvektora. Az A pont a test (vagy a tr) tetszleges pontja. Kinematika: szilrdsgtanban lerja a test pontjainak a terhels hatsra bekvetkez elmoz-

dulsait s a test alakvltozsait.

Dinamika: szilrdsgtanban lerja a terhels hatsra a testben fellp bels errendszert. Anyagszerkezeti viselkeds: megadja az alakvltozs s bels errendszer kztti kapcsola-

tot.

Merev test: brmely kt pontjnak tvolsga lland (a pontok tvolsga terhels hatsra sem vltozik meg).

Szilrd test: Alakvltozsra kpes test. Pontjainak tvolsga, egyeneseinek egymssal bezrt szge terhels hatsra megvltozik

Kontinuum: Olyan szilrd test, amelynek tmegeloszlsa s mechanikai viselkedse folyto-nos fiiggvnyekkel rhat le.

Rd: Olyan test amelynek egyik mrete lnyegesen nagyobb mint a rmerleges msik kett. Merevtestszer mozgs: ha a mozgs sorn a test pontjai gy mozdulnak el, hogy tvolsguk

nem vltozik meg. A merevtestszer mozgs kt esete: - merevtestszer halad mozgs,

- merevtestszer forg mozgs.

Alakvltozs: ha a test pontjai terhels hatsra egymshoz kpest gy mozdulnak el, hogy a test anyagi geometriai alakzatai (hossz, szg, fellet, trfogat) megvltoznak

16

Anyagi geometriai alakzat: a test pontjaival egytt mozg, egytt alakvltoz geometriai forma.

Rugalmas alakvltozs: a terhels hatsra alakvltozott test a terhels megszntetse (levte-le) utn visszanyeri eredeti alakj t.

- lineris rugalmas alakvltozs: a terhels s alakvltozs, a terhels s bels errendszer, valamint az elmozduls s az alakvltozs kztt lineris fiiggvnykapcsolat van.

- nemlineris rugalmas alakvltozs: a terhels s alakvltozs, a terhels s bels errendszer, valamint az elmozduls s az alakvltozs kztt nemlineris fiiggvnykapcsolat van.

Kplkeny alakvltozs: a test tehermentests utn nem nyeri vissza eredeti alakjt. A szilrdsgtan tantrgy linerisan rugalmas testek kis elmozdulsaival s kis alakvltozsai-

val foglalkozik. (Lineris feladatok eset n az elmozdulsok s az alakvltozsok kicsik.) Kis elmozduls: a test pontjainak elmozdulsa nagysgrendekkel kisebb a test jellemz geo-

metriai mreteinl. Kis alakvltozs: a test alakvltozst jellemz mennyisgek lnyegesen kisebbek, mint egy.

8 D l, y D l.

Elemi krnyezet (elemi tmeg): Minden test vgtelen sok tmegpontbl felpl rendszernek tekinthet.

elemi tmeg

A tmegpontokhoz gy jutunk, hogy a testet gondolatban vgtelen sok kis rszre bontjuk. A kis rsz alakjt tetszlegesen vlaszthatjuk meg. Lehet pldul kocka (elnevezse: elemi koc-ka). Tmegpont = elemi tmeg = elemi krnyezet. Az elemi krnyezet llapotait az elemi krnyezet P pontjhoz kttt mennyisgekkel rjuk le. A P ponthoz kttt mennyisgek lehetnek:

-skalris mennyisgek (Pl. tmegsrsg, fajlagos alakvltozsi energia), - vektor mennyisgek (Pl. elmozduls vektor, szgelfordulsi vektor), -tenzor mennyisgek (Pl. alakvltozsi tenzor, feszltsgi tenzor).

Vektor mennyisg: hrom skalr mennyisggel adhat meg. Tenzor mennyisg: kilenc (3 x 3) skalr mennyisggel mtrixszal adhat meg. A vektor s a tenzor koordinta-rendszertl fiiggetlen fizikai (geometriai, mechanikai) meny-nyisg.

17

EGY RUGALMASPEREMRTK FELADAT A fejezet bemutatja a prizmatilats hzott nyomott rd egyenslyi egyenletnek szrmaztat-

st Az l.a. brn egy l hosszsg s A keresztmetszet homogn prizmatikus rd lthat [12] alapjn. A rd rdirny nslyval s a vglapon megoszl ervel terhelt. A rd trfoga-tn egyenletesen megoszl nsly stsgvektora p g (ahol p a rd anyagnak srsge, g a gravitcis gyorsuls,) a rd jobboldali vglapjn megoszl, rdrny errendszer srsg vektora p = P.-lx. A rd anyaga homogn izotrp s linerisan rugalmas, rugalmassgi modu-lusa E.

A feladat megoldsa sorn modellezsi felttelezssel lnk. A rd tetszleges keresztmet-szetben csak rdirny egyenletesen megoszl normlfeszltsg bred. Az ilyen feladatot mechanikai szempontbl egydimenzis feladatnak tekintjk, az eredeti feladattal egyenrtk egydimenzis rdmodellt az l.b. bra szemllteti.

....

._----~~~~~----~~ x

a ~ l. bra: Hzott-nyomott prizmatikus rdfeladat s egy dimenzis modellje

Az l. brn alkalmazott tovbbi jellsek: l= J:.e_-: a vonal menti terhels konstans inten-zitsa, P= P.-: e., =pA vglapot terhel megoszl er eredje, l a rd hossza, dV az elemi rdtrfogat, dx az elemi rdhossz, AP a terhelt fellet, a dinamikai perem, A11 az elmozduls

elrst tartalmaz fellet, a kinematikai perem.

4.1. A rd rugalmas peremrtk feladatnak egyenletei A hzott-nyomott prizmatikus rd rugalmas peremrtk feladatnak egyenleteit a statikban

s szilrdsgtanban tanult ismeretek alapjn szrmaztatjuk A vzolt feladatesetn keressk az x irny u (x) elmozdulst, mint a hely fggvnyt. Az elmozduls fggvny a rd sszes pontjnak elmozdulst magba foglalja, ezrt szoks elmozdulsmeznek is nevezni.

Kinematikai vagy geometriai egyenlet:

du(x) &x=--, d x O

Megjegyezzk, hogy egy ltalnos trbeli rugalmas peremrtk-feladat esetn az ismeretle-nek szma s a skalris egyenletek szma egyarnt tizent, amelyek kiegszlnek a kinernati-kai s a dinamikai peremfelttelekkeL

4.2. A rd rugalmas peremrtk feladatnak analitikus megoldsa Az ( 4.1 )-( 4.5) egyenletekkel megadott rugalmas permrtk feladat megoldsa ebben az egy-szer esetben analitikusan is elllthat.

Helyettestsk ( 4.1 )-t ( 4.2) egyeniethe

N= AE du . ( 4.6) d x

Ezutn a ( 4.6) kifejezst a ( 4.3)-s egyenslyi egyeniethe helyettestjk

d( AE:) ___::: __ """-- + fx = O

d x (4. 7)

A rd homogn s prizmatikus, ezrt az AE szorzat kiemelhet zrjel el, s gy a feladat-hoz megkapjuk az elmozdulsra vonatkoz alapegyenletet

d 2 u AE-2 + fx O, (4.8) d x

amelyet kiegsztve a (4.4) s (4.5) peremfelttelekkel

u(O)=O, (4.9)

egyrtelmen megoldhatunk A ( 4.8) egyenlet trendezse utn kapott egyenletet ktszer egyms utn x szerint integrl-

juk

( 4.1 O)

du =- /, x+ C l J dx dx AE 1'

( 4.11)

(4.12)

A ( 4.12) megoldsban szerepl CP C 2 integrcis konstansokat a ( 4.9) peremfelttelekbl hatrozhatjuk meg. Az els peremfelttel segtsgvel megkapjuk a msodik konstanst

u(O) 0=- 2~EO+C1 0+C2 => C2 =0, mg a msodik dinamikai peremfelttel ( 4.11) felhasznlsval szolgltatj a az els konstanst

20

azaz az els konstans

F_, +!J AE

Ezek utn az analitikus vagy tnyle9es megolds zrt alakban rhat fel 4,(

( ) ~ , 2 F +!,l

az elmozduls

a rder

(4.14)

u x =-~x + x x x 2AE AE '

N (x) = AE du = fx (l x) + F: . dx

(4.13)

Egy mechanikai peremrtk feladat megoldsa tbbnyire csak egyszer esetekben ismert (pl. a (4.13) s (4.14) analitikus megolds). Bonyolult trbeli feladatesetn az analitikus megol-dst ltalban nem tudjuk ellltani. Ekkor csak kzelt megoldssal tudunk szolglni. A tovbbiakban ezen egyszer egydimenzis feladathoz a kzelt megolds ellltst mutat-juk be.

21

MEGOLDSOK, ENERGIA ELVEK Bonyolult rugalmas peremrtk feladat esetn csak kzelt megoldssal tudunk szolglni

[8]. A kzelt megoldssal szemben elvrsokat fogalmazhatunk meg, mind az elmozduls s mind a feszltsg vonatkozsban, ezrt bevezetnk kt defincit.

Kinematikailag lehetsges elmozdulsmez: az az u (x) elmozdulsmez, amely folytonos s elegenden sokszor differencilhat, vala-mint kielgti a kinematikai peremfelttelt

A definci alapjn az l.b. brn bemutatott feladatra fenn kell, hogy lljon a kvetkez kt egyenlet

du* &x= dx' u*(O)=O.

Megjegyezzk, hogy elegend az egyszeri differencilhatsgat elrni. Az is nyilvnval, hogy a tnyleges megolds mindig eleget tesz a kinematikai lehetsges elmozdulsmez defi-ncij nak.

Statikailag lehetsges feszltsgmez : az a feszltsgmez, amely kielgti az egyenslyi egyenletet s a dinamikai peremfelttelt

A definci szerint az J. b. brn bemutatott feladatra a feszltsgi meznek, azaz az N rdernek ki kell elgtenie a kvetkez kt egyenletet

d N -+fx=O, d x

Elmozdulsi mdszer: az olyan kzelt megoldst elllt mdszert, amelyben az elsdleges ismeretlen mez a kinematikailag lehetsges elmozduls. Ermdszer : az olyan kzelt megoldst elllt mdszer, amelyben az elsdleges isme-

retlen mez a statikailag lehetsges feszltsgmez.

A gyakorlatban legelterjedtebb az elmozdulsi mdszerre alapozott kzelt eljrs. Az ermdszer alkalmazsa ltalban lnyegesen bonyolultabb, mint az elmozdulsi mdszer. Az utbbi vekben egyre tbb kutats foglalkozik a kt mez egyttes kzeltsvel, amelyet a vegyes mezk mdszernek nevezzk.

Jelen tantrgyban az elmozdulsi mdszerrel fogunk foglalkozni. b,kQ~~!i!~~l}l~g91Q~~~l_!!~~ li!sgg~~!Y~11~~!~~~-y~~1~-~~~!21 a~leb_eJ~tl~gjg_[>Q.~kzelf~ ts.seJ. ~~91K~L?J!l~go!

u'= d( c5u) dx J v=N,

A mdszer szerint a clerivlatlan mennyisgek szorzatbl kivonjuk a kiszmtott mennyis-gek szorzatnak integrljt

l d( c5u) l c5u Ni~ - J-- N dx + J c5u f,dx = O .

o dx o (5.3)

Figyelembe vve, hogy c5u (O)= O s c5u (l)= c5u1 , valamint figyelembe vve a ( 4.5) dina-mikai peremfelttel t, trendezs utn megkaphatjuk a virtulis munka elv varicis alakjt.

A virtulis munka elv varicis alakja egy dimenzis feladatra: lfd( c5u) --Ndx

0 dx

l J c5u fxdx + F_, c5u1 J o

(5 .4)

a tnyleges megoldsnl a bels erk virtulis munkja megegyezik a kls erk virtulis munkjval.

A (4.2) anyagtrvnybehelyettestse (5.4) egyeniethe megadja a rugalmas peremrtkfel-adat gyenge alakjt.

Rugalmas peremrtk feladat gyenge alakj a : 1 d( c5u) d 1 J-- AE ::!!.,]x = J c5u f,dx + F_, c5u1 0 dx dx 0

(5.5)

Az (5.5) egyenlet igen fontos az elmozdulsra alapozott kzelt megoldsok, gy a vgeselemesmegoldsok ellltsa szempontjbl is.

Gyengealakra alapozott kzelt megolds tulajdonsgai: az elmozdulsmeznek kinematikailag lehetsgesnek kell lennie, a kapott megolds integrl rtelemben kielgti az egyenslyi egyenletet s a di-

namikai peremfelttelt

5.2. A teljes potencilis energia minimum elve A teljes potencilis energia az alakvltozsi energia s a kls erk potenciljnak sszege

[7]. A kls erk potencilja helyett szoks a kls erk virtulis munkjnak mnusz egysze-resnek a fogalmt is hasznlni. gy a teljelpotencilis energia

(5.6)

ahol U az alakvltozsi energia, W a kls erk virtulis munkja. Ez a kifejezs tulajdon-kppen egy funkcionl.

Funkcionl: A matematikban azokat az opertorokat, amelyeknek az rtkkszlete vals szmhalmaz, funkcionloknak nevezzk.

24

A (4.1)-(4.5) peremrtk feladathoz rendelt funkcionl, azaz a teljes potencilis energia alak-ja

(5.7)

Ha (5.7)-t gy tekintjk, mint a u( x) tnyleges megoldsra felrt teljes potencilis energia, akkor felvetdik a krds, hogy ehhez kpestmilyen nagysg teljes potencilis energia li-ket szolgltat egy u* (x) kinematikailag lehetsges kzelt elmozdulsmez? A kzelt elmozdulsra vonatkoz teljes potencilis energia (5.7)-hez hasonlan hatrozhat meg

11; (u*) = ~ J AE (du* ]2 dx J u* fxdx- F:: u; . 2 0 dx 0

(5.8)

Amint az a 3. brn is lthat a kzelt mez felrhat a tnyleges elmozdulsmez s a va-ricija sszegeknt

u* (x)= u (x)+ c5u (x). (5.9)

A (5.8) potencilis energiba behelyettestve (5.9)-t

(5.10)

majd clszeren trendezve, az albbi kifejezst kapjuk

* ll (du)2 l 11P(u+c5u)=- JAE - dx- Jufxdx-Fxu1 + 2 0 dx 0 1 d( c5u) d 1 +J-- AE ::!!.,}x- Jc5u Fx c5u1 + 0 dx dx 0

(5.11)

+~ JAE (d( c5u )J2 dx. 2 0 dx

Ha megfigyeljk (5.11) jobb oldalt lthatjuk, hogy az els sor megegyezik az (5.7) tnyle-ges megolds teljes potencilis energia kifejezs jobboldalvaL A msodik sor az (5.5) virtu-lis munkaelv varicis alakjnak nullra rendezett alakjt szolgltatja. A harmadik sor pedig egy kvadratikus kifejezs integrlja, ami biztos, hogy nagyobb, mint nulla. Teht megllapt-hatjuk, hogy a teljes potencilis energia minimummal rendelkezik a tnyleges megoldsnL

Az (5.11) msodik sorban az elmozduls varicija linerisan szerepel, ez egyben a teljes potencilis energia els varicija s 611 P -val jelljk, mg a ham1adik sora az elmozduls varicijt kvadratikusan tartalmazza s a teljes potencilis energia msodik varicijt szol-gltatja, amelyet c5211P -vel jellnk.

25

A teljes potencilis energia els varicija: 1 d( c5u) d 1

c5IIP = f--AE~x- fu f>:dx F_>: c5u1 =0. 0 dx dx 0

(5.12)

A teljes potencilis energia msodik varicija:

52 II P = !_ f AE (d ( c5u) ) 2 dx 2. O , 2 0 dx

(5.13)

ami az u * kzelt megolds s a tnyleges megolds eltrsbl szrmaz alakvltozsi energia.

Megjegyzs: Az u (x) tnyleges vagy egzakt megolds esetn mind az els mind a mso-dik varici nulla, hiszen (5.5) teljesl mivel az eltrs c5u =O. Az u* (x) kzelt megolds esetn elrjuk, hogy az els varici legyen nulla, de a msodik varici 5 2 IIP 2. O kiad-dik.

Egy funkcionl els varicija elllthat a funkcionl c5u elmozduls varicijnak ir-nyba vett derivlsval is azaz a Gateaux-fle derivlttal [3]. Gateaux kiejtse: gat.

A teljes potencilis energia Gateux-fle derivltja:

{ ( )

2 d l l d u + AbU l =- - JAE ( ) dx- J(u+Ac5u)

dA A-=0 2 O dx O

Els lpsben vgezzk el a clerivlst A paramter szerint

{

1fd ( u) d (u+ Abu) 1f }l c5IIP = --AE dx c5u fxdx- Fz c5u1 , 0 dx dx 0 A-=0

(5.15)

majd a A= O helyettestst, s visszakapjuk (5.12) els varicit 1 d( c5u) d 1

c5IIP = f--AE~x- fu f>;dx-~. c5u1 0 dx dx 0

(5.16)

A varici szmts elmletbl ismert, hogy egy funkcionl minimumnak ltezshez szksges felttel, hogy az els varicija legyen zrus, azaz

o 1 d( c5u) du 1 J-- AE :.:.:.:..c!x- J c5u f>:dx- F_>; c5u1 , 0 dx dx 0

(5.17)

ami megegyezik a (5.5) virtulis munka elve varicis alakjval. Ez azt jelenti, hogy konzer-vatv kls terhels esetn a kt elv rugalmas peremrtk feladatokra nzve egyenrtk.

26

A teljes potencilis energia minimum elvre alapozott kzelt megolds tulajdonsgai: az elmozdulsmeznek kinematikailag lehetsgesnek kell lennie, a kapott megolds integrl rtelemben kielgti az egyenslyi egyenletet s a di-

namikai peremfelttelt

5.3. Plda teljes potencilis energia minimum elvre Egy k merevsg rugt F er terheli. Hatrozzuk meg a rg vgpontjnak x irny

u elmozdulst a teljes potencilis energia minimum elvnek felhasznlsval!

4. bra: Rug terhelse koncentrlt ervel

A 1ugalmas rendszer teljes potencilis energija

(5.18)

Most a teljes potencilis energia kifejezse nem funkcionl, hanem egy vals fggvny. A potencilis energia minimum elv rtelmben a fggvnynek keressk a minimumt. A ltez-snek szksges felttele, hogy els delivltja zrus legyen

:u [ IIP (u) J= o k u- F. (5.19) Az (5.19) egyenletbl pedig talakts utn megkapjuk a jl ismert sszefggst az elmozdu-

lsra

F u=-

k (5.20)

A bemutatott plda megoldsi mdszere a legegyszerbb linerisan rugalmas vgeselemes feladat, amely elvt tekintve megegyezik a komplex geometrij s terhels rugalmas pe-remrtk feladat megoldsnl alkalmazott vgeselem mdszerrel.

5.4. Ritz-mdszer A potencilis energia minimum elve nem csak diszkrt rugbl felptett rugalmas szerke-

zet, hanem kontinuumok elmozdulsmezejnek kzelt meghatrozsra is alkalmazhat [8]. Ebben a fejezetben az elv alkalmazst az l.b. brn megadott hzott-nyomott rdfeladat kzelt megoldsnak ellltsra mutatjuk be.

Legyen valamely egy dimenzis rugalmas peremrtk feladat kinematikailag lehetsges el-mozdulsa az albbi alakban adott

(5.21)

ahol C 0, C1, C 2, ismeretlen paramterek. Ha ezt a kzelt megoldst a (5 .8) funkcionl ba helyettestjk, akkor a teljes potencilis energia a C 0, C1, C 2, paramterek tbbvltozs fggvnyv vlik II; (C 0, C1, C 2,) .

27

A teljes potencilis energia minimum elv alkalmazsa ebben az esetben azt jelenti, hogy egy tbbvltozs fggvny szlslikt keressk a szksges felttel alkalmazsval

an __ P 0 aci (i= 0,1, 2,-J. (5 .

22)

Az (5.22) Ritz-mdszer alkalmazsa az ismeretlen paramterek szmval megegyez line-ris algebrai egyenletrendszert eredmnyez azok meghatrozshoz.

5.5. Pldk Ritz-mdszer alkalmazsra

5.5.1 Lineris approximci

Tekintsk ismt az l.b. brn adott feladatot. Keressk a feladat kzelt megoldst az alb b i alakban

u* (x) C0 + C1x Ellenrizzk, hogy a (5.23) felttelezett megolds kinematikailag lehetsges-e. A kinematikai peremfelttel

(5 .23)

(5 .24)

csak akkor teljesl, ha C0 =O, azaz a kinematikailag lehetsges elmozduls a kvetkez ala-k

(5 .25) A derivlhatsg felttele

8*= du* =C x dx I (5 .26)

is teljesl, teht megllapthatjuk, hogy az (5.25) alak kzelt elmozduls kinematikailag lehetsges.

A (5.25), (5.26) kpleteket behelyettestve (5.8) funkcionlba, a J' l

n; (u*)= n; ( C1 ) - JAE ( C1 ) 2 dx fc1x f,dx- F,.CJ, 2 o o

kifejezst kapjuk. Az (5 .22) minimum felttel alapjn

minn; (eJ) an __ P 0 ac] l l

JAE C1dx J x f,dx- F,.l. o

A kijellt integrlst elvgezve s az ismeretlen paramtert kifejezve

12 O AEC)- /, 2 -F)

28

l F;+ h

AE

(5.27)

(5.28)

(5.29)

A kzelt megolds:

az elmozduls:

arder:

l F;+fx-

u*(x)= AE

N*(x)=F; + fx!_ 2

(5 .30)

(5.31)

Ha sszevetjk a (5.30), (5.31) kzelt megoldsokat a megfelel (4.13), (4.14) egzakt megoldsokkal akkor valban mind a kt esetben lnyeges eltrs mutatkozik.

A kzelt megolds minstshez definilnunk kell a hiba fogalmt

A megolds hibja: az egzakt s a kzelt megolds kztti klnbsg [ll], [13], [14] d ef

e( x)= uegzakt (x)-u* (x), (5 .32) ahol e( x) a hiba, amely x -nek a fggvnye.

Gyakorlati szmtsokra a hiba energia normjt szoks alkalmazni [ll], amely tulajdon-kppen a hibafggvnybl szmolt alakvltozsi energia - a (5.13) alatti msodik varici -ngyzetgyke

(5.33)

ahol 1111 a norma jele, s a norma jel E indexe az energia fogalomra utal. A hiba lineris approximci esetn:

d~f * e( x)= UegzakJ x) U (x)=

=(-_b_ x2 + P: + fxl x)- [ F; +J; t] = _ _b_ x2 + fxl x . 2AE AE AE 2AE 2AE

(5 .34)

Az (5.34) hiba fggvnyt megvizsglva lthat, hogy a hiba a zrustl klnbz j~ meg-oszl er esetn jelentkezik, de a rd vgn x= l helyettestsnl az elmozduls hibja zrus. Azt mondhatjuk, hogy a rd vgei az elmozdulsok kirtkelse szempontjbl optimlis pon-tok.

A hiba fggvny derivhja az alakvltozs hibjt adja

~:=-:~x+~~= ~(-x+~). (5 .35) Az (5 .35) derivltat megvizsglva megllapthat, hogy a rd kzepn x= l l 2 helyettes-

tsnl az alakvltozs hibja zrus, teht az alakvltozsbl szmolt rder ebben a pontban pontos. A feladatban a rder optimlis kirtkelsi helye a rd felez pontja.

Az energia normaszerint rtelmezett hiba

29

(5 .36) ]

1 (d J2 IleilE = J AE _!!_ dx 2 o d-r

= !_(fx)2[x3 _!!_l+x!:_]t 2AE 3 2 4 0 AE 24

A vgeselemprogramoka megolds hibjt szintn energia normban adjk meg. Joggal ve-tdik fel a krds, hogy hogyan vltozik a megolds pontossga az approximci foknak nvelsekor? A kvetkez pldban az elmozdulst kvadratikus fggvnnyel approximljuk.

5. 5.1 K vadratikus approximci

Tekintsk ismt az J.h. brn adott feladatot. Keressk a feladat kzelt megoldst az albbi alakban

u* (x)= C0 + C1x+ C2x 2 .

Ellenrizzk, ismt, hogy a (5 .40) felttelezett megolds kinematikailag lehetsges-e. A kinematikai peremfelttel

csak akkor teljesl, ha C 0 =O, azaz

A derivlhatsg felttele

* du* Ex -=C1 +2C2x, dx

is teljesl, teht az elmozduls (5 .42) alakja kinematikailag lehetsges. Az (5.42), (5 .43) kpleteket behelyettestve (5.8) funkcionlba azt kapjuk, hogy

(5 .40)

(5.41)

(5 .42)

(5 .43)

n; (u)= n; ( C1,C2) !_ fAE ( C1 + 2C2x )2 dx f( C1x + C2x 2) fxdx- Fx ( CJ + C)2). (5 .44) 2 o o

A (5.22) minimum felttel szerint:

=>

(5 .45)

(5 .46)

30

A kijellt integrlsokat elvgezve

(5 .47)

(5 .48)

Az ismeretlen paramtereket (5 .47) (5 .48) egyenletekbl kifejezve

c =-_l_ 2 2AE. (5 .49)

A kzelt megolds:

az elmozduls * ( ) F, +p) /,. 2 u x - _, x--~-x AE 2AE '

(5 .50)

a rder (5.60)

Ha sszevetjk az (5.50), (5.60) kzelt megoldsok~t a megfelel (4.14), (4.15) egzakt megoldsokkal, akkor lthatjuk, hogy megegyeznek.

Amint azt a kt klnbz approximci alkalmazsnllttuk (5. s 6. bra) a kzelt megolds pontossgnak nvelsnek egyik lehetsges tja az approximci foknak nvel-se. A tovbbiakban egy msik utat fogunk tanulmnyozni, amikor is a tartomnyt rsztarto-mnyokra bontjuk, s ezeken a rsztartomnyokan az ismeretlen elmozdulsmezt kln-kln loklisan kzeltjk. Ezt abban a remnyben tesszk, hogy a szmts pontossga a rsztartomnyok szmnak nvelsvel szintn nvelhet. A rsztartomnyokat vges mret elemeknek, tmren vgeselemeknek fogjuk nevezni. A rsztartomnyok (elemek) hatrain pedig csompontokat jellnk ki s az approximcit a kzeltend mez csomponti rtkein keresztl fejezzk ki.

A javasolt mdszer elnye, hogy knnyen programozhat s gy bonyolult szerkezetek nagypontossg elemzsre nylik lehetsg.

Az egzakt, kvadratikus elmozdulst s a lineris kzelt elmozdulst, valamint a megfelel rder megoldsokat a 5. s 6. bra szemllteteti.

u

/ /

egzakt

,...,.... ~ u*(x) lineris

5. bra: Elmozdulsok

31

x

N(x) egzakt

lineris x

6. bra: Rderk

32

6. LOKLIS APPROXIMCI ELVE, VGESELEM DISZKRETIZCI EGYDIMENZIS FELADATRA

A vizsglatainkat tovbbra is az ( 4.1 )-( 4.5) alatt definilt peremrtk feladatra vgezzk. A vgeselem diszkretizci jelentse vgeselemes feloszts, a tartomnyt rsztartomnyokra, azaz elemekre osztsa. Az L hosszsg elemek hatrait csompontokjellik

a.

b.

c. x

t d. 7. bra: Kt elemes feloszts, approximci elemenknt

Az l.b. brn vzolt tartomnyt most gondolatban kt egyenl hosszsg rsztartomnyra azaz vgeselemre bontjuk s az elmozdulsmezt az elemeken kln-kln approximljuk. Az elemek sorszmt bekereteztk, az elemek vgein feltntetett szmok jellik az elemek csomponti sorszmait Az ismeretlen elmozdulsmezt elemenknt kln-kln linerisan kzeltjk (7. c. s 7.d. brk) s gondoskodunk azok illesztsrl is. Az illeszts azt jelenti, hogy az elemhatron kzs 2. csompontban az u2 elmozduls megegyezik mindkt elmen. A 7. b. brn folytonos vonal jelli az egzakt megoldst s szaggatott a kzeltst.

Ez a kzelts felpthet csompontokhoz rendelt approximcis fggvnyek segtsgvel is, amint azt a 8. bra szemllteti. Egy-egy kzelt fggvny (8. b. c. d.) az egsz (2 L) tar-tomnyon folytonos, de csak loklisan a megfelel csomponthoz taroz elemek felett kln-bzik nulltl. Ezek a fggvnyek Ritz-fle bzisfggvnyeknek is tekinthetk.

33

Az 8. a. brn vzolt kzelt fiiggvny (folytonos vonal) felpthet a csompontokhoz rendelt hi (i= 1,2,3) alakfiiggvnyek lineris kombincijaknt is:

3

u* (x) L hJ x) ui' (6.1) i= l

ahol az egyes mennyisgek bal als indexei a megfelel csomponti sorszmokat jellik s megjegyezzk, hogy u1 =O.

_.,........

--

_.,........

-- _.,........ u 3 _.,........--

_.,........

----

a. l m 2 [J] 3 x

~ l~ l )ll b. l 12 3 x II-h2 ___________ u_2_:_0 __________ ~

c. ~3 )ll x f' u3 ot= O ,r========J~ d . x

8. bra: Csompontokhoz rendelt loklis approximcis fiiggvnyek

Ahhoz, hogy a kzelt mez kinematikailag lehetsges legyen, az u1 =O kinematikai pe-remfelttelt el kell rnunk, vagyis a 8. b. brn lthat fiiggvny nem jtszik szerepet az approximci ban.

A loklis approximci elvnek alkalmazsval a feladat visszavezethet a Ritz-fle md-szer alkalmazsra [1], [ll], [13].

6.1. Hzott-nyomott rdelem Az 5.4. pontban lthattuk, hogy a kzelt megolds keresse sorn a szerkezet teljes poten-

cilis energijt kellet felrni. Hasonlan kell eljrni, amikor a vizsglt tartomnyt rsztarto-mnyokra, azaz vgeselemekre bontjuk. A szerkezet teljes potencilis energija az egyes ele-meken szmolt potencilis energik sszegeknt llthat el a koncentrlt er munkjval egyiitt

34

(6 .2)

ahol az e index a vgeselemek sorszmt jelli. Megjegyezzk, hogy a koncentrlt er mun-kjt nem szoks valamely elem teljes potencilis energijhoz rendelni, csupn a szerkezet teljes potencilis energijhoz. Itt s a tovbbiakban kzelt megoldsrl fogunk beszlni, de a korbban alkalmazott"*" jellst a jobb fels indexben elhagyjuk.

Az elemen szmolt teles potencilis energia

(6.3)

Vizsgljuk meg a 7.d brn s a 9. brn is vzolt 2-es sorszm vgeselemen az elmozdu-ls approximcijt

t~ ------- ----j.

A ( 6 . 6 ) k p l e t a l k a l m a s a z e = l s o r s z r n e l e m e l m o z d u l s n a k a l e r s r a i s a megfelel

i = l s j = 2 c s o m p o n t i e l m o z d u l s b e h e l y e t t e s t s v e L

A ( 6 . 6 ) elrnozdulsrnez i s m e r e t b e n a z ( 4 . 1 ) e g y e n l e t s e g t s g v e l s z m o l h a t j u k a z a l a k v l -

t o z s t ( a c l e r i v l s t rtelemszeren c ; s z e r i n t h a j t j u k v g r e ) :

8

~ ( c ; ) = d u e ( c ; ) = u j - u i = [ - 1 ! _ J [ u i J = [ u . u .J[~]

x d c ; L L L u j

1

1

! _ (

6

7

)

L

A l k a l m a z v a a ( 4 . 2 ) a n y a g t r v n y t , m e g h a t r o z h a t a z e l e m e n a rder i s

E z e k u t n f e l r h a t j u k a z e - d i k e l e m p o t e n c i l i s e n e r g i j t i s ( 6 . 6 ) s ( 6 . 7 ) s e g t s g v e ! , ( 6 . 3 )

f e l h a s z n l s v a l :

A ( 6 . 9 ) els i n t e g r l j a a z e l e m u e a l a k v l t o z s i e n e r g i j a , a m s o d i k i n t e g r l a m e g o s z l

errendszer W e r n u n k j a . A c s o m p o n t i p a r a r n t e r e k a z i n t e g r l s s z e m p o n t j b l k o n s t a n s -

n a k tekinthetk e z r t k i e m e l h e t j k a z i n t e g r l j e l e l

A ( 6 . 1 0 ) - b e n lv r n t r i x e g y e l e m n e k i n t e g r l j a

3 6

L l }

~

AE

u i ] o _ A E

L 2

A E

L

( 6 . 1 0 )

( 6 . 1 1 )

E z t v i s s z a h e l y e t t e s t v e ( 6 . 1 0 ) - b e

U ' =~[u, ui][-~ -ArJ[:}~~'r!f'~',

( 6 . 1 2 )

a h o l a 2 x 2 - e s r n t r i x o t a z e e l e m r n e r e v s g i r n t r i x n a k n e v e z z k s K e - v e l j e l l j k , a

fggleges 2 x l - e s o s z l o p v e k t o r t s a v z s z i n t e s l x 2 - e s s o r v e k t o r t a z e e l e m c s o m p o n t i

e l m o z d u l s v e k t o r n a k n e v e z z k s q e , q e r - v e l j e l l j k , a h o l T a t r a n s z p o n l s j e l e .

A ( 6 . 9 ) - b e n szerepl m s o d i k i n t e g r l a kls er r n u n k j a a z e e l e r n e n w e

A ( 6 . 1 3 ) o s z l o p v e k t o r e l e m e i n e k i n t e g r l s a u t n

K ] - f J i ; d q = ( q - ; : J~.[

a z t k a p j u k , h o g y

2

J : . L

2 '

a h o l a 2 x l - e s o s z l o p v e k t o r a z e l e m t e h e r v e k t o r a s f ; - v e l j e l l j k .

V g l i s e g y e jel e l e m p o t e n c i l i s e n e r g i j a

3 7

( 6 . 1 3 )

( 6 . 1 4 )

( 6 . 1 5 )

( 6 . 1 6 )

( 6 . 1 7 )

6.2. Szerkezeti mtrixok Az elemek potencilis energijnak ismeretben felrhatjuk a szerkezet teljes potencilis

energijt

l +-[u 2 2 [

AE

u,] - ~: (6.18) A szerkezet teljes potencilis energija tmrebben is trhat, hiszen a szomszdos elemek

kzs csompontjban az elmozduls megegyezik- jelen esetben u 2- gy rtelemszeren csak egyszer szerepeltetjk a kifejezsben, ezltal biztostjuk az elemek illesztst:

f,L AE AE 2

-- o L L [:J[ul l uJ] AE 2 AE AE uJ] f,L n p ( ul,u2,u3) =-[ul u 2 u 2 . (6.19) 2 L L L

AE AE f,L F o --L L -+x 2 .

Az elemek illesztsn tl van egy msik fontos felttel - amit mg teljestennk kell - a ki-nematikai peremfeltteL Ez azt jelenti, hogy a befalazsnllv csompontban gondoskod-nunk kell arrl, hogy u1 =O legyen

/,L AE AE 2 o L L [:,]-[a l u 3] AE 2 AE AE u3] fxL (6.20) np(u2,u3)=-[0 u 2 u 2 2 L L L

AE AE u 3 fxL F o -+ L L 2 x

Figyeljk meg, hogy nullval szorozzuk a merevsgi mtrix els sort s oszlopt, a teher-vektor vonatkozsban pedig csak az els elemet. Ezrt az els sor s oszlop a szerkezeti mt-rixbl s els elem a szerkezeti vektorbl elhagyhat,

38

[2 AE _ AE l r !, L l

u,]_+ A: [:J[u, u,] f/+F,' (6.21) ahol a jobboldal els tagjban a 2 x 2 -es mtrixot szerkezeti merevsgi mtrixnak nevezzk s K -val jelljk, a csomponti elmozdulsokat tartalmaz fiiggleges 2 x l -es oszlop- s a vzszintes l x 2 -es sorvektort szerkezeti csomponti elmozduls vektornak nevezzk s q, q T -vel jelljk, vgl a 2 x l-es oszlopvektort amely a szerkezet terhelst tartalmazza szerkezeti tehervektornak nevezzk s ! -vel jelljk. E jellsek bevezetse utn (6.21) a szerkezeti mtrixokkal is felrhat:

( ) l T T IIP q =-q Kq -q ! = 2= = =

(6.22)

6.3. A csomponti elmozdulsok meghatrozsa A szerkezet (6.21) teljes potencilis energija a csomponti elmozdulsi paramterek ktvl-

tozs fiiggvnye. A potencilis energia minimum elv rtelmben keressk ennek a tbbvlto-zs fiiggvnynek a minimumt. A minimum ltezsnek szksges felttele a Ritz-mdszernl is bemutatott (5.22) szerint

minllP ( u2 ,u3 )

Ugyanez tmrebben is felrhat

0= an p(!!).

= aq

A (6.24) alatti mveleteket elvgezve, a

8Jl, (2) a(~2"K2 _2r! J 0= = Kq-[,

aq aq

sszefiiggst kapjuk, ami trendezs utn egy lineris algebrai egyenletrendszer:

azaz

[

2 A: AE L

Kq=f,

39

(6.23)

(6.24)

(6.25)

(6.26)

(6 .27)

Ez a lineris algebrai egyenletrendszer kt egyenletet s kt ismeretlent tartalmaz. Mivel az egytthatk mtrix determinnsa nyilvnvalan nem nulla biztos, hogy megoldhat a csom-ponti elmozduls paramterekre:

3 fxL2 u=---

2 2 AE (6 .28)

AE

A rderket (6. 8) felhasznlsval llthatjuk el:

N 1 (r;)=AE[-Ll !_][u1 ]=AE[-l !_J[(3 r L'O FL J]=.!_+ L+F., L U L L __ Jx_+_._x- 2 lx x 2 2 AE AE

A l O. brn brzolt eredmnyek alapjn lthatjuk, hogy a rder vonatkozsban a rd-elemek felez pontjai optimlis kirtkel helynek bizonyulnak Ez ltalban csak akkor ll fenn, ha a tartomnyt egyenl hosszsg elemekre osztjuk.

l O. bra: A rder eloszlsa a szerkezet mentn

Megiegvzs: A (6.23) alatti mveleteket az albbiakban az rthetsg kedvrt ms mdon is bemutatjuk a lpsek teljes rszletezsveL

Elszr vgezzk el (6.21)-ben kijellt szorzsokat

u (f"L +FJ 3 2 x ' (6.29) s az eredmnyt helyettestsk be (6.23) megfelel egyenleteibe:

O allp(u,,u,) a{1-Tl2(u,)' -2u2u3 +(u,)']-u,f,L u,( If+ F', J}_ (6 .30)

40

=!_ AE[-2u +2u ]-(f~.L +F.J= AE[-u +u ]-(h.L +F.J. 2L 2 3 2"' L 2 3 2 x (6.31) Ha megnzzk a (6 .30) alatt kapott eredmnyt, akkor ltjuk, hogy (6 .27) els sort kaptuk

vissza, hasonlan (6.31) alatti eredmny a (6.27) sszefggs msodik sorval egyezik meg. 6.4. A vgeselem mdszer gondolatmenetnek sszefoglalsa

A vgeselem-mdszemek a 6. fejezetben bemutatott eljrsa alapjn sszefoglaljuk a legfon-tosabb lpseket, amelyek egy ltalnos trbeli rugalmas feladatra is fennllnak [6].

A vgeselem mdszer lpsei: A vizsglt szerkezetet gondolatban vges szm rszre, azaz elemekre bontjuk. A keresett megoldst elemenknt kln - kln kzeltjk. Az elemek valsgos kapcsoldsnak megfelelen az elemeket egymshoz illeszt-

jk. Erre szolglnak az elemek hatrain kij ellt kapcsoldsi pontok, vagy csom-pontok, illetve azok elmozdulsai. gy a teljes szerkezetre rvnyes kzeltst ka-punk, amely mr csak a csompontokjellemz elmozdulsait foglalja magba.

A teljes szerkezetre ismert kzelts alapjn felrhat a szerkezet alakvltozsi energija s a kls erk munkja (azaz a teljes potencilis energia) a csomponti elmozdulsok fggvnyben.

A szerkezet mozgst korltoz knyszereket is csompontokra vonatkoz kinema-tikai elrsokkal vesszk figyelembe. Ez tbbnyire azt jelenti, hogy a megfelel csompont minden-, vagy adott irny elmozdulst meggtoljuk

Energetikai megfontolsokbl ( a teljes potencilis energia minimum elve ) szr-maztathat a kzeltsben felvett sszes csomponti paramter ( elmozdulsi koor-dintk) kiszmtsra szolgl egyenletrendszer. Linerisan rugalmas szerkezet statikus terhelsemellett ez gyakran nagymret lineris algebrai egyenletrendszer. Az egyenletrendszer a szerkezet egyenslyt fejezi ki.

Az egyenletrendszer megoldsa utn a csomponti paramterek ismeretben, meg-hatrozhat brmelyik szerkezeti elem szilrdsgtani llapota, azaz tetszleges pontban megkaphatjuk az elmozdulsi, alakvltozsi s feszltsgi llapot jellemzit.

41

6.5. Rcsos szerkezet vizsglata hzott-nyomott rdelemekkel

;2 A;o=-----m=-------~~--~~

ll. bra: Rcsos szerkezet Az eddigi vgeselemes szmtsnl kihasznltuk, hogy a x s ; koordinta tengelyek egy-

irnyak A tovbbiakban olyan szerkezetet fogunk vizsglni, ahol a rdelemek szget zrnak be egymssal.

Adott a ll. brn lthat rcsos szerkezet geometrija, terhelse a vgeselmes felosztssaL Az adatok szmszer rtkei ismertek: L1 = l m,, L 2 = .J l+ 22 = J5 m,

A1 = l o-4 m2 , A2 = 2 l o-4 m

2 ,

O . l 2 a 1 = szna2 = j5' cosa2 = J5. Anyagjellemzk mindkt rd aclbl van E = 2 l 011 ~

m

Terhels: FY =l OON. A megolds sornjellje rendre U, V az x, y irny elmozdulst. A kinematikai peremfel ttelek: U1 O, ~=O, U 2= O, v;= O. A eljrs alkalmazsa sorn gy, mint korbban most is a szerkezet teljes potencilis energi-

jt rjuk fel: 2

IIP =III; FYV;. (6.32) e=l

Az elemeken megoszl er nem mkdik, ezrt az egyes elemek potencilis energiaJa egyenl a megfelel alakvltozsi energival. Felhasznlva a loklis koordintarendszerben felrt (6.27) kifejezst a kt rdra az alakvltozsi energia

[ A1E _ A,El Ill =I[ UJ uJJ LI /~[:J p 2 J 3 AE

__ J_

LI LI

(6.33)

[ A,E _ A2El

II 2 I[u2 u2J L2 A:~ [:J p 2 2 3 A E __ 2_

L 2 L 2

(6.34)

42

ahol a kt klnbz elemenamegfelel loklis koordinta rendszerben (bal fels index jel-li) rtelmezett u; *uJ elmozduls nem azonos. Hiszen kt klnbz irny ; 1 , ; 2 tengely-hez tartoznak. Ezt a problmt csak gy tudjuk feloldani, ha kzs koordintarendszert alkal-mazunk, azaz a globlis x, y rendszert.

12. bra: Az elmozduls transzformcija

A 12. brn lthat geometriai viszonyok alapjn a loklis s globlis elmozdulsok kztti kapcsolat:

[UJ [cosa] u=Ucosa+Vsina=[cosa sina] =[U V] .. V szna (6.35) Az e elem helyi s globlis koordintarendszerben vett csomponti elmozdulsainak

transzformcis sszefiiggse:

[ut] [cos ae sina e O O J[~'] (6.36) u; = O O cosa, sina, ~; Az e= J elem elmozdulsnak transzformcija ( a 1 O):

[:;]=[~ ~ ~ ~J[~:] (6.37) Az e= 2 elem elmozdulsnak transzformcija (a 2* O):

o o ][~'] 2 1 U3 J5 J5 V;

(6.38)

Fejezzk ki (6.33) s (6 .34) alakvltozsi energikat a globlis elmozdulsokkal

43

[ J ] A , E

_ A

1

E l

l

U , V , ] ~ ~ -~E

L I l

I I I

- [ U I ~

A

1

E [ a

p

2

o o L I

L I

2

o

J S

l

o

[ A

2

E

_A

2

El~

2 l [

~]

J S

L 2

L 2 J S

I I P = - u 2 v 2 u 3

2

_ A

2

E

A 2 E O

2

o

J S

L 2

L 2

o

l

J S

A k i j e l l t s z o r z s o k a t e l v g e z v e :

A I E

o

- A I E

L I

L I

I I I = i [ u

v 3 ]

o

o o

~

u 3

p 2 I

- A I E

o

A I E

L I L I

o

o o

4 A

2

E

2 A

2

E

_ 4 A

2

E

5 L

2

5 L

2

5 L

2

2 A

2

E

A 2 E

_ 2 A

2

E

I I

2

= i [ u

v 2 u 3

~]

5 L

2

5 L

2

5 L

2

p 2 2

_ 4 A

2

E

_ 2 A

2

E

4 A

2

E

5 L

2

5 L 2

5 L 2

_ 2 A

2

E _ A

2

E

2 A

2

E

5 L

2

5 L 2 5 L 2

4 4

o ] ~']

o o

( 6 . 3 9 )

o

l

o U

3

'

~

l

o

~ ][~:} ( 6 . 4 0 )

J S

2

o

J S

J S ~

o

[~l

o

o

( 6 . 4 1 )

o

_ 2 A

2

E

5 L

2

_ A

2

E

[~l

5 L

2

2 A

2

E

5 L 2

( 6 . 4 2 )

A 2 E

5 L 2

A s z e r k e z e t t e l j e s p o t e n c i l i s e n e r g i j a

l

V ; ]

I I P = - [ U I

~

u 2

~

u 3

2

A I E

o

o

o

- A I E

o

u l

L I

L l

o

o

o

o

o

o

~

o o

4 A

2

E

2 A

2

E

_ 4 A

2

E

_ 2 A

2

E

5 L

2

5 L 2

5 L

2

5 L

2

u 2

( 6 . 4 3 )

o

o

2 A

2

E

A

2

E

_ 2 A

2

E

_ A

2

E

-Fy~

5 L 2

5 L

2

5 L

2

5 L

2

v 2

_ A

1

E

o

_ 4 A

2

E

_ 2 A

2

E

( A , E + 4 A

2

E J

2 A

2

E

L l

5 L

2

5 L 2

L

1

5 L

2

5 L

2

u 3

o o

_ 2 A

2

E _ A

2

E

2 A

2

E

A

2

E

5 L

2

5 L

2

5 L

2

5 L

2

~

H a f i g y e l e m b e v e s s z k a k i n e m a t i k a i p e r e m f e l t t e l t , h o g y U

1

= O , ~ = O , U 2 = O , ~ = 0 ,

v a g y i s a z els n g y s o r s o s z l o p n u l l v a l s z o r z d i k , a k k o r a z e n e r g i a k i f e j e z s l n y e g e s e n

egyszersdik:

( 6 . 4 4 )

(

A

1

E + 4 A

2

E J

I I P = i [ u 3 v ] L l 5 L 2

2

3

2 A E

_ 2 _

5 L 2

A ( 6 . 4 4 ) k i f e j e z s t m r e b b e n i s r h a t

( 6 . 4 5 )

A l k a l m a z v a a p o t e n c i l i s e n e r g i a m i n i m u m e l v t

= >

o = a I I P ( ! ! )

= a q ,

( 6 . 4 6 )

s a c l e r i v l s t v g r e h a j t v a

( 6 . 4 7 )

E n n e k t r e n d e z s e u t n a j l i s m e r t l i n e r i s e g y e n l e t s z e r t k a p j u k :

( 6 . 4 8 )

4 5

amely rszletesen is felrhat

A megolds a globlis koordintkra

U =-2FyLl =-2 1001 =-10-sm 3 A E l o-4 2 l Oli ' l

V;= 2 FyL1(5A1 L2 + 2] 2 1001 (510-4)5 + 2J=Io-s( 2 +s)5Jm.

A1E 2 A 2 L1 l 0_4

2 l Oli 2 2 l o-4 4

A megolds a rudak loklis rendszereiben (6.37) s (6.38) alapjn o

[:}[~ o o o l O] _1~-s =[ O ]m o -10~ ' w-'( 2+ 5~J

(6 .40)

o

[:n=[~ l o ~l o =[~.;0_,lm )5 -J o-s o 2 w-'(2+5~J )5 (6.41) A rderk kiszmtsa (6. 8) felhasznlsval trtnik

Nl A,Es; (q)= A,E[ ~: :, ][:i]= W'. 2. lOu [~l 7][_1~-s J -200N, (6.42) (6 .43)

A szerkezetet csak koncentrlt er terheli ezrt a vgeselem-mdszerrel itt ellltott megol-ds most azonos az analitikus megoldssal.

46

6.6. V geselem programrendszerek ltalnos felptse

a) Adatbeviteli rsz/modul: A szerkezet geometriai felptsnek megadsa: pontok, vonalak, felletek, trfo-gatok.

A szerkezet vgeselem hlzatnak megadsa: elemek, csompontok Szempontok

- Azokon a tartomnyokon legyen srtett a feloszts, ahol a mechanikai mennyi-sgek erteljesebb vltozsa vrhat.

-A koncentrlt erk l nyomatkok tmadspontjra essen csompont. - A megtmasztsi helyekre szintn legyen felvve csompont.

A szerkezet anyagnak megadsa. Az anyagjellemzk geometriai (vonal, fellet, trfogat), vagy vgeselem jellemzkhz (vges elemek) is megadhatk. Specilis eset:

- Rdfeladatoknl itt kell megadni a rd keresztmetszeti jellemzit is. Pl. A, lx, ... - Hj-, lemez- s trcsafeladatoknl itt kell megadni a vastagsgi mretet.

A szerkezet terhelsnek megadsa (koncentrlt, megoszl terhels, hmrsklet eloszls,

A szerkezet megtmasztsnak megadsa. - Megtmaszts (nincs elmozduls), -Rugalmas gyazs (rugllandk),

-Elrt elmozduls (kinematikai terhels). b) A vgeselem-szmtsi rsz/modul.

Az elemek merevsgi mtrixainak s csomponti terhelsvektorainak ellltsa. Az egsz szerkezet merevsgi mtrixnak s terhelsi vektorainak (egyszerre tbb jobb oldal is lehetsges) ellltsa. A kinematikai peremfelttelek figyelembevtele (megfelel sorok s oszlopok tr-lse). A szerkezet lineris algebrai egyenletrendszernek megoldsa => a szerkezet cso-mponti elmozdulsainak meghatrozsa. Alakvltozs, feszltsg (bels erk) szmtsa elemenknt a csompontokban, vagy az elem bels pontjaiban. A csomponti rtkeket az egyes elemek csompon-ti rtkeinek tlagolsval szoks ellltani.

c) Az eredmnyek szemlltetst vgz rsz/modul.

A felhasznl eldnti, hogy a szerkezet szilrdsgtani llapotai kzl mit vizsgl rszletesen, mit szemlltet.

A szerkezet pontjainak elmozdulst (defonnlt alak). Feszltsgeket (az egyes feszltsg-koordintkat kln-kln, vagy a reduklt fe-szltsgeket), ignybevteleket, tmaszterket

47

7. ELEMCSALD A kereskedelmi szoftverekben leggyakrabban n. izoparametrikus elemeket alkalmaznak.

Az "izoparametrikus" jelz azt jelenti, hogy a geometria lekpzsre alkalmazott ( csompon-ti) paramterek szma azonos az ismeretlen mez kzeltsre felvett paramterek szmval [l]. Ez azt is jelenti, hogy ugyan azon alakfiiggvnyeket alkalmazzuk a geometria lekpezs-re, mint az ismeretlen mez kzeltsre. Az elem tpus szleskr elterjedse elssorban an- nak ksznhet, hogy az elem merevsgi mtrixnak s tehervektornak ellltsakor az integrls knnyen vgrehajthat. Egyarnt alkalmazhat egy-, kt- s hromdimenzis fel-adatokra.

A valsgban jelentkez mechanikai feladatok ltalban trbeli jellegek, azonban a mecha-nikai problmk egy rsze bizonyos felttelek esetn visszavezethetk l dimenzis (lD-s), illetve skbeli 2 dimenzis (2D-s) feladatokra. A 2D-s feladatok kzl az albbi hrom forma-lizmust tekintve hasonlan trgyalhat [1], [6], [8], [14]:

ltalnostott skfeszltsgi llapot feladat, azaz trcsafeladat, skalakvltozsi feladat, tengelyszimmetrikus feladat.

Ebben a fejezetben az lD-s s 2D-s elemekkel rszletesen foglalkozunk, a 3D-s elemek szrmaztatsa az elzekhez nagyon hasonlan trtnik.

A leggyakrabban alkalmazott izoparametrikus elemek:

13. bra: 2 s 3 csompont rdelemek

2 D-s elemek

~DOD 14. bra: 3 s 6 csompont hromszg-, 4 s 8 csompont ngyszg elemek

3 D-s elemek

15 bra: 4 s 10 csompont tetrahedron-, 8 s 20 csompont hexahedron elemek

48

Az itt brzolt egyenes l elemek- csak az lek vgpontjain tntetettnk fel csompontot-lineris kzeltst tartalmaznak, mg a grblt l elemek, amelyeknl az oldalfeleznl is lthat csompont kvadratikus kzeltst alkalmaznak mind a geometrira s mind az

elmozdulsmezre nzve. A kvadratikus elemekkel pontosabb megolds nyerhet, hiszen a vizsglt ta1tomny geometrijt jobban megkzelthetjk s az ismeretlen elmozdulsmez is magasabb fok fiiggvnnyel approximljuk.

Az l D-s elemekkel termszetesen skbeli s trbeli szerkezetek is vizsglhatak, mint ahogy a 2D-s elemek lehetnek hjelemek is, amelyek alkalmasak trbeli lemez-, illetve hjszerkeze-tek vizsglatra is. A tetrahedron s hexhedron grg kifejezsek rendre a megfelel geomet-riai alakzat oldallapjainak a szmt jelentik, azaz tetra= 4, hexa=6.

A tovbbiakban rszletesen megmutatjuk a kt csompont rdelem s a ngy csompont skbeli elem merevsgi mtrixnak s tehervektornak izoparametrikus szrmaztatst

7.1. lD-s hzott nyomott rdelem A vgeselem programokban a hzott-nyomott rdelemet angolul "Rod" vagy "Truss" elem-

nek szoks nevezni. Vizsgljuk ismt a 4. fejezetben is bemutatott hzott-nyomott rdfeladatot (J 6. bra.).

~ ,. ~.c ,. F a. r 7 ,_/ L L .. : y le=2i x b.

c.

o

16. bra: l D-s elem c; x lekpezse

Tekintsk most csak az e= 2 msodik elemet, amely ltalnos i, j csompont prral adott! A 16. brn a rdelemhez egy loklis n. termszetes cg koordintatengelyt ktttnk. Keres-sk a termszetes cg koordintj pont s a hozztartoz pont globlis x koordintja kztti kapcsolatot, azaz a lekpz fiiggvnyt. A cg tengelyre merlegesen felmtjk a csompontok

49

x koordintit, majd egyenessel sszektve megkapjuk a lekpzs fggvny kpt. A q ten-gelyen egy tetszleges P( c;) pontbl fgglegesen felvettve megkapjuk a hozzrendelt P' (c;) kpt, vagyis azt az x -et, amely az adott q -hez tartozik. A lekpz fiiggvny meredeksge s x tengellyel vett metszspontja alapjn knnyen felr-

hatjuk az egyenes egyenlett, amelyet utna clszeren trendeznk

x( c;)= + +xi l l 2 =2(1-c;)xi+"2(i+c;)x1 , (7.1)

ahol a csomponti koordintk egytthati a h1 (c;)=!_( 1- c;) 2 s a h 2 (c;) = !_ (l + c;) az n. 2 alakfggvnyeknek

l~ 17. bra: A 2 csompont izoparametrikus elem alakfggvnyei

Az elmozdulsmezt ezen kt alakfiiggvny s a ui' ui csomponti elmozdulsok segtsg-vel fogjuk kzelteni

ue(c;)=!_(i-c;)ui +!_(i+c;)ui =[!_(1-c;) !_(l+c;)J[ui]=He(c;)qe. (7.2) 2 2 2 2 u1 =

Az elmozduls ismeretben az alakvltozs elllthat a lncszably alkalmazsval

(7.3)

ahol az els tag q szerinti derivlsa (7 .2) behelyettestse utn vgrehajthat, a msodik tag kzvetlenl nem, de az inverze (7 .l) ismeretben kpezhet

dx(c;) x1 -xi L --=--=-dc; 2 2

(7.4)

Ezutn visszahelyettestve (7.2)-t s (7.4) reciprokt (7.3)-ba azt kapjuk, hogy

(7.5)

Az alakvltozs ismeretben a feszltsg az egyszer Hooke-trvny alapjn szmthat

(7.6)

50

Clunk, hogy ellltsuk az elem potencilis energijt

(7.7)

ahol az els integrlbl szrmaztathat az elem merevsgi mtrixa, a msodikbl az elem tehervektora. Az integrlst most nem x szerint hanem q szerint hajtjuk vgre. A dx elll-tshoz felhasznljuk (7 .4 )-et

A merevsgi mtrix ellltsa:

ahol

AE] [AE -- -2L dc;= L AE AE

- --

2L L

_A:]. AE L

Konstans megoszl terhelst felttelezve a tehervektor szrmaztatsa

L

Jue fxdx = [ui o

ahol az egyes elemek integrljai

51

(7.8)

(7.9)

(7.10)

(7.11)

Vgl az elem teljes potencilis energija

AE] [fxL] -A: [:;] [u; ui] + , (7.12)

amely a 2. fejezetbeli (6.10) alakkal egyezik meg. gy a tovbbi lpsek az alkalmazs tekinte-tben azonosan hajthatk vgre, mint a 5. fejezetben. Ezrt a megolds tovbbi lpseit itt mr nem ismteljk meg. 7 .2. ltalnostott skfeszltsgi llapot

Az ltalnostott skfeszltsgi llapotot (SF), szoks trcsafeladatnak, illetve a vgeselem programokban "Plane stress problem"-nak nevezni [1], [6], [8].

Trcsa: Olyan test amelynek egyik mrete lnyegesen kisebb mint a msik kett, rtelemzhet kzpsk s a terhelsvastagsg menti eredje a kzpskba esik.

y p

x

18. bra: ltalnostott skfeszltsgi feladat

A trcsa sajt skjban terhelt lemez. A formulkban alkalmazott feszltsgek valjban a b falvastagsg mentn kpezett tlagrtkek, de ezt kln nem jelljk.

A feszltsgi tenzor s a fiiggetlen elemeibl kpzett feszltsgi vektor:

(7.13)

Hasonl alakot lt az alakvltozsi tenzor s a fiiggetlen elemekbl kpzett alakvltozsi vektor:

l o &x 2Yxy l [8, l A= 2Yyx &y o ~= &)' . (7.14) o o &z Y.w

52

Az alakvltozsi vektorban &z mennyisget azrt nem tntettk fel, mert feszltsgi prja a-z =O, s gy az alakvltozsi energiban nemjtszik szerepet. A feladat jellemzje, hogy a vgeselem hl csompontjaiban csak x,y irny ui, vi elmoz-

duls ismeretlen paramterekrl beszlnk, valamint ennek megfelel F:i,Fyi erk mkdtethetk.

7 .3. Sk alakvltozsi llapot Az ltalnostott sk alakvltozsi llapot (SA) kifejezst a vgeselem programokban "Plane

strain problem"-nak nevezik [1], [6], [8]. Skalakvltozsrl beszlnk, ha a vizsglt testnek van egy kitntetett skja, amellyel prhu-

zamos valamennyi sk alakvltozsa azonos s a skok tvolsga sem vltozik.

y

x

19 bra: Egy folymentn ptett gt keresztmetszete

Felttelezseink szerint a keresztmetszeti skjra merlegesen vgtelen hossznak tekintett test brmelyik keresztmetszetben ugyanolyan alakvltozsi s feszltsgi llapot bred. Az ilyen testek mechanikai modellje egysgnyi vastagsg metszetet. Ebben az esetben alakvl-tozsi tenzor s a fiiggetlen elemekbl kpzett alakvltozsi vektor:

l o &x 2Yxy

l [8, l A= 2Yyx &y o ~= :: . (7.15) o o o

Hasonl alakot lt a feszltsgi tenzor s a fiiggetlen elemekbl kpzett feszltsgi vektor:

(7.16)

A feszltsgi vektorban (J z mennyisget azrt nem tntettk fel, me11 az alakvltozsi ener-giba nemjtszik szerepet, hiszen az alakvltozsi prja zrus.

53

A feladat kitzse hasonl a skfeszltsgi llapothoz, vagyis a vgeselem hl csompont-jaiban csak x,y irny u;, V; elmozduls ismeretlen paramterekrl beszlnk, valamint en-nek megfelel P:-;, Fy; erk mkdtethetk.

7 .4. Tengelyszimmetrikus feladat Forgs vagy tengelyszimmetrikus llapot kifejezst a vgeselem programokban "Axi-

symmetric problem"-nak nevezik [l], [6], [8].

r

20. bra: Egy csavar tengelyszimmetrikus terhelse s modellje

A forgsszimmetrikus test geometrija s terhelse is forgsszimmetrikus, brmelyik meri-din metszetben ugyan olyan alakvltozsi s feszltsgi llapot bred. Ebben az esetben az alakvltozsi tenzor s a fiiggetlen elemekbl kpzett alakvltozsi vektor:

o l

e, l &r 2 r/Z A= o &rp o E= &rp (7.17) l &z 2Yzr o &z Yrz

Hasonl alakot lt a feszltsgi tenzor s a fiiggetlen elemekbl kpzett feszltsgi vektor:

[(}r] (}rp

O'= .

~ ;~ (7.18)

A feladat megadsa a skfeszltsgi s skalakvltozsi llapottal megegyezik, vagyis a vgeselem hl csompontjaiban csak r,z irny u;, wi elmozduls ismeretlen paramterek-rl beszlnk, valamint ennek megfelel F;.;, Fzi erk mkdtethetk. A vgeselem progra-mokban ltalban az r koordintnak az x koordinta felel meg.

54

A hrom feladat vgeselemes vizsglata azrt nagyon hasonl, mert a csomponti elmozdu-lsnak csak skba es koordintja fordul el. A tovbbiakban rszletesen csak a skfeszltsgi llapot vgeselemes ellltst rszletezzk

7 .5. Skfeszltsg peremrtkfeladat Rugalmas SF peremrtk feladat kitzse a 21. brn lthat [l], [6], [8].

x

21. bra: 2D-s skfeszltsgi llapot feladat

Az elmozdulsmez a helynek ismeretlen fiiggvnyi:

* (r) =u( x, y fex +v( x, y )ey, u =[u (x, y)] , = v(x,y)

ahol a fels indexben a * most a feladat skbeli jellegre utal. A vastagsg menti tlagos alakvltozsok skbeli rsze

A * l ( -* n* n* -*) =- u o v +v ou = 2 '

(7.19)

(7 .20)

ahol v* =~ex +~eY a skbeli nabla opertor, s a fel nem tntetett skra merleges tla-ox ay

v( & +& ) gos fajlagos nyls &z = x Y kplettel szmthat.

1-v Az tlagos feszltsgek tenzora (Hooke-trvny) s fiiggetlen elemeinek oszlop vektora:

F =2G A + I , * ( * V (&x + & y ) * J = = 1-v =

(7 .21)

55

Az anyagtrvny mtrixos fonnban is felrhat

Az egyenslyi egyenlet:

ahol g* a gyorsuls vektor (pl. gravitci, forgs, stb.). Kinematikai peremfelttel:

-*(-*) -*(-*) u r =u0 r Dinamikai peremfelttel:

F * -* -* =n =p

o o

1-v (7 .22)

(7 .23)

(7 .24)

(7 .25)

A skbeli feladat sszesen 8 ismeretlen mezt tartalmaz, ezek egyrtelm meghatrozshoz 8 skalr egyenlet (rszben parcilis differencilegyenlet) s a megfelel peremfelttelek llnak rendelkezsre. Azt a megoldst, amely (7 .19)-(7 .25)-nek eleget tesz, analitikus megoldsnak, egzakt megoldsnak vagy tnyleges megoldsnak nevezzk.

Termszetesen a most is kzelt megoldst keresnk a potencilis energia minimum elv felhasznlsval.

A bevezetett mennyisgekkel a rugalmas skbeli feladatra a teljes potencilis energia az albbi alakban rhat

J] P ~) ~ f~TQ~V- ( P! dV- f ~T!! dA. V V AP

(7.26)

V geselem-mdszer alkalmazsakor az elemekre bontott tartomnyokon loklisan approximlt elmozdulssal fejezzk ki a potencilis energit

(7 .27)

ahol N elem az elemek szma, II; (u e) az elemenknti approximcival kifejezett potencilis energia

f ~eT ~e dA. (7.28) A;,

56

Vgl a potencilis energia minimum elvbl hatrozhat meg az elmozdulsmez ismeretlen paramterei (csomponti elmozdulsok). 7 .6. ltalnostott skfeszltsg lineris izoparametrikus vgeselem

A kvetkezkben bemutatjuk egy elem potencilis energijnak az ellltst, azaz a me-revsgi mtrix s tehervektor szrmaztatst

A hzott-nyomott izoparametrikus rdelemnl lttuk, hogy az elemhez illeszkeden egy r; termszetes koordinta tengelyt rendeltnk. Skbeli esetben most az elmhez egy loklis r;J17 termszetes koordintarendszert ktnk. A r;J17 loklis- s a xJy globlis koordintarendszer pontjai kztt kapcsolatot a lekpzs teremti meg.

~' 17 4 +l 3

lekpzs ~( c;J17)

-l +l ..

".

r;

l -l 2

x

22. bra: A globlis xJy s a termszetes r;J17 loklis koordintarendszer kztti lekpzs

A lekpzs alkalmazsnak elnye elssorban abban jelentkezik, hogy a r;J17 termszetes koordintarendszerbeli integrlsra ltezik knnyen programozhat numerikus algoritmus.

A geometria lekpzse:

ahol az alakfggvnyek

4

x( r;J17) =L hi ( r;,17 )xi i=l

l hl ( c;J11) =4 u- r;)( 1-11),

l h 3 (r; J 17) = - (l + r;) (l+ 17) ' 4

Az elmozduls kzeltse:

4

y (r; J 17) = L hi (r; J 17) Y i ' i=l

l h 2 (r; J 17) = - (l + r;) (l -17) '

4 l

h4 ( c;J17) = -( 1- r;)( l+ 17). 4

(7.29)

Az izoparametrikus elnevezsbl kvetkezen ugyanazokat az alakfggvnyeket alkalmaz-zuk az elmozdulsi mez kzeltsre is mint a geometria lekpzsre

4 4

u( r;J17) =L hi ( r;J17 )ui , v( r;J17) =L hi ( r;J17 )vi . (7.30) i=l i=l

57

A (7 .30) approximci felrhat mtrixos alakban is ui VI

u 2

!((~J77)= =[~ o h 2 o hJ o h 4 ~] v 2 hl o h 2 o hJ o UJ (7 .31) v J u 4

v 4

A hi alakfggvnyeket szoks interpolcis fggvnyeknek is nevezni, szemlehetsket axonometrikus brn mutatjuk meg. Az alakfggvnyek lineris approximci esetn n. egyenes felletek, azaz nyereg felletek.

23. bra: Az alakfggvnyek

4

2 4. bra: Az u (~J 77) = L hi (~J 77) ui kzelt elmozduls szemlltetse i=l

Az alakvltozsi jellemzk szmtsa:

au a x av ay

au av -+-ay ax

58

(7.32)

Felrhatjuk (7 .32)-et 111trixos alakban is: Ul VI

[h" o h 2 x o hJ x o h 4 x o l u 2

~e=~( ~J 77)!(= O hl y o h2y o hJ y o h 4 y v 2 hl y hl x h2y h 2 x hJ y hJ x h 4 y h 4 x

UJ v J

(7.33)

u 4

v 4

ahol !!e az gynevezett elmozduls-alakvltozsi mtrix s hixJhiy a hi alakfggvnyek xJy szerinti derivltjai.

Lthatjuk, hogy (7 .32) s (7.33)-ben az alakfggvnyek xJy szerinti derivltjai szerepeinek Ez a derivls a lncszably alkalmazsval valsthat meg

(7.34)

Kzvetlenl a Jacobi mtrix inverzenem llthat el, de a Jacobi mtrix igen:

_1 ( ) _adJ(!) J ~J 77 - ll . = det J

(7.36)

A Jacobi mtrix determinnsa igen fontos szerepet jtszik az elem lekpzsnek ellenrzse sorn is, ha az rtke zrus, akkor a lekpzs szingulris. Ha a gyakorlati szmts sorn azt rzkeljk, hogy a Jacobi-fle determinns eljelet vlt a klnbz pontokban, akkor az elem nagyon eltorzult alak s az eredmny nem megbzhat. Ilyen esetben a vgeselem felosztst gy kell mdostani, hogy ez ne forduljon el.

A feszltsg szrmaztatsa:

(~J77)= (7.37) Az elem (7 .28) teljes potencilis energija az alakvltozsi energibl s a kls erk poten-

ciljbl (vagy klserk munkjbl) ll.

59

Alakvltozsi energia :

Az integrlban a dV elemi trfogat a b az elem a trcsa vastagsga. A dxdy felleti elem jvltozra trtn ttrse miatt az elemi trfogatban megjelenik a Jacobi determinns is: dV= bdxdy bdeti~Jdc;dry. A trfogati er munkja:

l l

f ~eT pf dV =9:eT fHeT p~ebdxdy = 9:eT f fHeT pfbdetl~ldc;dry. V" - - A" - - -1-1 -

(7 .39)

A felleten megoszl terhels munkja:

x

25. bra: Megoszl terhels az elem oldalln

A 25. brn az elemi vhossz ds=~( dx)2 +( dy)' = (~J+( Z J dl;. Amunka:

ahol p = [:Y J most csak fiiggleges irny megoszl terhelst tartalmazza, S34 a hrmas s ngyes csompont kztti oldallet jelli.

A (7.38) s (7.39) felleti integrlokat tartalmaznak a kt egysg l ngyzet felett, mg (7 .40) csupn egy vonalintegrl a [ -1,+1] tartomnyon. Mind a kt integrl tpusra alkalmaz-hat az n. Gauss-fle kvadratra [1].

60

Numerikus integrls (Gauss kvadratra):

a(c;)

26. bra: Az a( c;) folytonos fggvny a [-1,+ l] intervallumon

V onalintegrl:

l NG

Ja(c;)dc;= Ia(c;i)W;, (7 .41) -1 i=1

ahol ~i, w; a Gauss koordintk s a hozzjuk tartoz Gauss slyok, NG a Gauss-fle integ-rcis pontok szma. Polinomok esetn a kvadratra (2 NG l) fokig pontos rtket szolgl-tat.

l Trblr a azat: G auss k d' r rk r G oor mata es , l k [l] auss smyo NG ~i w;

l o 2.0 2 -0.57735 02691 89626 1.0

0.57735 02691 89626 1.0 3 -0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55555

0.0 0.88888 88888 88888 0.77459 66692 41483 0.55555 55555 55555

Felleti integrl:

l l NG NG

ff P( c;,fd) dc;dry = IIP( ~,JL) W;~. -1-1 i=l j=l l '

(7 .42)

A tovbbiakban alkalmazzuk a (7 .41) s (7 .42) formulkat a merevsgi mtrix s tehervekto-rok meghatrozsra.

Merevsgi mtrix:

l l J J,!!eT~!fbdetl~ldc;dry -1-1

61

Tehervektor a trfogati terhelsbl:

l l NG NG J JHeT Pfbdet~~~d~dry = L~HeT (~i'lJi )Pf (~i,lJj )bdetl~(~i'lJi )l w;~. (7.44) -1-1 !=l ;=l

Tehervektor a felleti terhelsbl :

r; JHr (q, 77 =I)fb (:;J +(X J J q= ~Hr (q" 77 =!) !!'b (:;J +(X J w,. (7 .45)

Egy elem teljes potencilis energija:

IJe J eT Ke e eT fe eT fe p 22 =2 -2 =p -2 =p (7 .46)

A szerkezet teljes potencilis energija:

(7 .47)

ahol N elem az elemek szma. A teljes potencilis energia (7 .47) alakja megegyezik a korbbi (6.22) s (6.45) kifejezsekkel, ez azt jelenti, hogy a megolds tovbbi lpsei hasonlan hajtandk vgre, amint azt a hzott nyomott rudaknl tettk. Ez a hasonlsg az alapja a vgeselem mdszer j programozhatsgnak

7. 7. Egy plda torzult skbeli elem elfajul lekpzsre

~ 2 ry=- .:::_3 ~77

4 ' +l 3

lekpzs

'\

-l "

+l ' "

,.

' '

' 2 l -l 2 ~------------~~--------:~ l x

27. bra: Torzult ngyszg alak elem

Az brn vzolt elem sarokpontjainak koordinti a 2. tblzatban adottak.

62

2 'bl' A l . ta az at: z e em saro k .. kk d. , ,. pontJama oor mata1 Csompont x y

l o o 2 4 o 3 l l 4 o 4

Az elem lekpzse:

4 l l l y(~,lJ)= LNi(~,lJ)Yi =-(1+~)(1+ry)l+-(1-~)(1+ry)4=-(l+ry)(5 3~). ~ 4 4 4 A Jacobi mtrix (7 .35) alapjn

[

ax a~

i!( ~' 77 ) ax ary

ay l [ (5- 317 ) a~ 4 ay - -3(1+~) ary 4

A lekpzs elfajulv vlik, ha a Jacobi mtrix determinnsa nulla: (5- 3ry) -3(1+77)

det lJ (~,lJ )l 0= 4 4 25-15~-15ry+9~1J 9+ 9~+ 9ry + 9~77 -3(1 +~) (5- 3~) 4 4

4 4 16 -24~ 4-6~-677 O.

4

Az 77 = -~ +l_ egyenes azon pontok mrtani helye, ahol a lekpzs szingulriss vlik. A 3

lekpzs ilyenkor nem egyrtelm, pl. a tartomny egy rsze a tartomnyon kvlre kpezrlik le. Az elemnek ez a torzultsga matematikai s mechanikai szempontbl nem engedhet meg. Az ilyen elem alakvltozsi energija negatv is lehet, ami fizikailag elkpzelhetetlen. Egy elem hasonl torzultsga esetn, a vgeselem programrendszerek "Negative Jacobian" hiba-zenetet rnak ki a kpemyre.

63

FELADATOK VIZSGLATA VGESELEM MDSZERREL

A vizsglatainkat ismt 1D-s esetre mutatjuk be. A 3. fejezetben ismertetett szilrdsgtani peremrtk feladatot ( l.b. bra) gy bvtjk ki, hogy figyelembe vesszk a tmegerket s az erhatsok idbeli lefutst is. gy egy idben lejtszd dinamikai feladatot kapunk, amely egyben kezdeti- s peremrtk feladat is. A kezdeti s peremrtk feladatot vegyes feladatnak szoks nevezni.

/,(t)

28. bra: Hzott-nyomott rd dinamikai feladata

A (4.3) egyenslyi egyenlet jobboldaln az impulzus ttel alapjn megjelenik az inercia er is. A tbbi egyenlet oly mdon ismtldik meg, hogy az idtl fggs megjelenik mindegyik-ben.

8.1. Ers megfogalmazs

Kinematikai (geometriai) egyenlet:

O

/,(t)

29. bra: A rdszerkezet Vgeselemes felosztsa

Az e sorszm hzott-nyomott rdelemen (6.6) nyomn az elmozduls approximci

(8.13)

s a gyorsuls is hasonlan rhat fel

(8.14)

A csomponti elmozdulsok varicija azonban nem fgg az idtl

(8.15)

Az elem merevsgi mtrixa:

(8.16)

[

AE =[u. 5u.J L

'

1 AE L

Az elem tehervektora:

suJ[(Jf n]f.(t)d~ lx (t)L L L 2 fu f,. (t)d~ f[ui [ui 5uj] = ~eT !: (t). (8.17) lx (t)L

2

66

Az elem tmegmtrixa:

L L

fu(~)Ap(~,t)d~= J [ui o o

(8.18)

Egy sszetett szerkezetnl, mint a teljes potencilis energinl sszegezni kell a megfelel mennyisgeket. A szerkezetre nzve el kell lltani a merevsgi mtrixot, a tmegmtrixot s a tehervektort, azaz (8.1 O) trhat diszkretizlt alakban:

(8.19)

A megfelel kinematikai peremfelttelek figyelembevtele utn a tetszleges varicibl kvetkezen megkapjuk a mozgsegyenletet.

A diszkretizlt mozgsegyenlet:

(8.20)

azaz

[2ApL ApL] [2AE _AE] r Lfx(t) J A:L A~L [:} _ ~ ~ [::] Lf~(t) +F.(t) . (8.21)

8.4. llandsult harmonikus gerjesztett rezgs

30. bra: A rdszerkezet harmonikus gerjesztse

A 30. brn vzolt szerkezet idben llandsult harmonikus terhelsnek van kitve. Ezrt a (8 .20) egyenlet jobboldaln a gerjeszt er is egy idben harmonikusan vltoz fiiggvny lesz

! (t) = !o cos mt . (8.22)

67

Felttelezzk, hogy a (8.20) mozgsegyenlet megoldsnak homogn rsze a valsgban mindig jelenlv csillapts kvetkeztben lecseng. A (8.20) mozgsegyenlet partikulris megoldst a (8.22) zavar fiiggvny alakjban keressk [5]

q (t) q cos Jt. = =0

Az elmozdulst idszerint ktszer clerivlva a gyorsuls:

q (t) -(1)2 q cos Jt . = =O

Visszahelyettestve (8.22)-(8.24)-et (8.20)-ba -m

2 Mq cos mt + Kq cos mt = f cos mt , -=o ==o =O

majd trendezs utn kapjuk, hogy

( K m2 M) !!a cos mt !a cos Jt .

(8.23)

(8 .24)

(8 .25)

(8 .26)

A cos mt diszkrt pontok kivtelvel klnbzik zrustl, ezrt egyszersthetnk vele s egy lineris algebrai egyenletrendszert kapunk a q elmozduls amplitdra

=0

(8 .27)

ahol az egytthat mtrixot ( K - m2 M) K D szoks dinamikai merevsgi mtrixnak is ne-vezni.

Az elmozduls amplitd nem csak a getjeszt er amplitdjtl, hanem a gerjeszts OJ krfrekvencijtl is fiigg

(8 .28)

A ( K- m2 M) = K D mtrix szingulriss vlik, ha az J krfrekvencia megegyezik vala-mely a; (i= 1,2, ... ) sajtkrfrekvencival. Ezt az esetet rezonancinak nevezzk, ekkor a q0 amplitd vektor koordinti a vgtelenhez tartanak.

A (8 .27) diszkretizlt alakja

(8 .29)

68

A kijellt mveleteket elvgezve

(8.30)

a megolds (8 .28) figyelembevtelvel felrhat

(8.31)

vgl a keresett csomponti elmozdulsok amplitdi

(8.32)

(8.33)

Ha (8.32) s (8,33) kpletekbe co= O helyettestssei lnk, akkor a statikai feladat megol-dst kapjuk eredmnyl. A nevez mindkt kpletben a rezonancia frekvencin vlik null-v, amikor a gerjeszts krfrekvencija valamelyik sajtkrfrekvencival esik egybe. 8.5. Szabadrezgsek,sajtrezgsek

Tekintsnk el a (8.20) mozgsegyenletet jobboldaln lv gerjeszt erhatstl M~+K!!=Q, (8 .34)

az gy kapott homogn differencilegyenlet megoldst idben harmonikusan vltoz filgg-vny alakjban keressk [1], [5]

(8.35)

69

A megoldst id szerint ktszer clerivlva

~(t)= -a2 !cos at. (8.36) Visszahelyettestve (8.35)-(8.36) kpleteket (8.34)-be

-a 2 M cos at= Q, (8 .37) -= -= -

trendezs utn azt kapjuk, hogy (8.38)

A cos at diszkrt idpontok kivtelvel klnbzik zrustl ezrt egyszersthetnk vele, vagyis egy lineris homogn algebrai egyenletrendszert kapunk a q> elmozduls amplitdra

(8 .39)

A (8.39) homogn lineris algebrai egyenletrendszer egy sajtrtkfeladat, ahol az a n. sajtkrfrekvencia nem ismert. A homogn lineris algebrai egyenletrendszemek akkor van trivilistl klnbz megoldsa, ha az egytthat mtrix determinnsa zrus

(8 .40)

A (8.40)-ben kifejtett determinns a 2 -re nzve egy n -ed fok polinomat ad, amelyet karak-terisztikus polinomnak nevezzk ( K s M mrete egyarnt (n x n) ). Bizonythat, hogy (8.40) gykei valsak s ai2 ?:. O (i= 1, ... ,n). Vgl (8.39) s (8.40) megoldsai n szm sajtrtkprt szolgltatnak

(aJ , i az i -edik a/ sajtkrfrekvencia ngyzethez tartoz sajtvektor. A sajtrtk felada-tot gyakran az albbi alakban szoks felrni

Kq> =a/Mq>. -=i -=i

A gyakorlatban azrt is fontos a sajtkrfrekvencia ismerete, mert ezen a frekvencin ger-jesztve a rezgrendszert az elmozduls amplitd rendkvl megn, csillapts mentes esetben elvileg tart a vgtelenbe. A sajtvektor vagy ms nven rezgskp ismerete segti a tervezt abban, hogy esetleges szerkezeti mdostsokat alkalmazva, a rendszer eredmnyesen elhan-golhat legyen egy nem kvnt sajtfrekvencirl.

A (8 .39) egyenlet diszkretizlt alakja az eredeti terheletlen szerkezetre is felrhat

[[

2 AE AE] [2ApL ApL]] ): -A: -a' A:L A~L [::] [a (8 .41)

70

A fenti gondolatmenetet kvetve a (8 .40) alatti karakterisztikus polinom

(_A: _a' A: L J (A: -a' A;LJ

egy a 2 -ben msodfok algebrai egyenlet, amelynek gykei felrhatk

5A2Ep + (5A2Ep)2

4 7A2p 2L2 A2E2

3 - 3 36 L2 (a~M)I2=------~~---7-A-2~p~2~L~2------------2-_:._-

36

30-1812 E 7 pL2 '

30+1812 E 7 pL2 .

(8 .42)

(8 .43)

Az a~EM.i sajtkrfrekvencia ngyzetek rtke a keresztmetszettl nem, hanem csak a rd hossztl fiiggnek (a VEM als indexjelentse "vgeselem mdszer"). Termszetesen a sajt-frekvencia rtke vgeselemes szmtsoknl fiigghet a feloszts srsgtl s az approxim-ci foktl is.

A rudak kontinuum rezgsinek megoldsbl ismeretes [3], hogy az egyik vgn befogott plizmatikus rd longitudinlis rezgseinek sajtfrekvencija

a~h.i =ft(; +(i-I}ff} (i= 1,2, .... ), ahol l= 2 L, gy az els kt sajtkrfrekvencia ngyzete a feladatunkra vonatkoztatva

2 a egzakt ,J 2 aegzakt,2

(8 .44)

(8 .45)

A (8.43) s (8 .45) megoldsokat sszehasonltva megllapthatjuk, hogy mind a kt kzelt vgeselmes sajtkrfrekvencia fellrl kzelti az egzakt rtkeket

2 < 2 aegzakt,i - aVEM,i' (i= 1,2). (8 .46)

A vgeselem mdszerrel meghatrozott els sajtkrfrekvencia ngyzete lnyegesen ponto-sabb (az eltrs csupn 5,2% ), mint a msodik sajtkrfrekvencia ngyzete (az eltrs 42,7%).

71

HFESZLTSGEK SZMTSA Ha egy test htgulst nem korltozzuk, akkor a konstans vagy a hely lineris fggvnye

szerinti hmrsklet eloszlsbl nem szrmazik hfeszltsg. Ellenkez esetben, ha egy test htgulst korltozzuk, akkor a testben feszltsg bred mg konstans hmrsklet eloszls esetn is.

Az megllaptsbl kvetkezik, hogy a feszltsg szmtsnl figyelembe kell venni a htguls okozta alakvltozst is.

9.1. Hmrsklet hatsnak vizsglatalD-s feladatnl

Fx ~--~----~~--~~~~~----~--~x+

31. bra: A tart teljes hosszban egyenletes iJT hmrsklet vltozsnak van kitve

A 31. brn vzolt feladatot vizsgljuk egyenletes !1T hmrsklet nvekeds mellett. H-zott nyomott rudak esetn a htgulssal mdostott egyszerstett Hooke-trvny [8]:

(9.1)

ahol a a fajlagos lineris htgulsi egytthat. Megszorozva (9 .l) mindkt oldalt a rd A keresztmetszetvel kapjuk a rderre vonatkoz anyagtrvnyt

N(x) =AE[ c,(x)-aAT] =AE( d:~x) -aAT} (9.2) Az (9.1) s (9.2) kpletekben a tnyleges alakvltozsbl levontuk a htguls okozta fajla-

gos nylst, ezrt az e elem teljes potencilis energijnak felrsnl is hasonlan jrunk el

e J x du e J (d e } L II (u u ) =- - aiJT AE du;: - aiJT ; - Jue !,.d;, p i' j 2 o d; '=' _, (9.3)

elvgezve a kijellt szorzst

n;(u,,uj)=i A~; JAE( ~;r~- fu' M~-R~; JAE aATd~ IL

+- fAE ( aL1T)2 d;. 20

(9.4)

Az utols tag (9.4)-ben nem fgg az u elmozdulstl, gy az a varicikpzs szempontj-bl konstansnak tekinthet, vagyis a varicija nulla, ezrt a tovbbiakban el is hagyjuk

72

Ile (u. u.)=!_ Lr( due J AE (due \.,;: Lfue ~"_d;:- Lr( due J AE aiJTd; (9.5) p

11 J 2 Jl d; d;['=' 0 Jx '=' Jl d; '

A 6. fejezetben ismertetett potencilis energia most egy plusz taggal bvlt, ebbl a tagbl a vgeselemre nzve egy n. hteherhelsi vektor szrmaztathat.

Az elmozduls (6. 7) alatti derivhja a kvetkez mdon szmolhat

due(;)=[u. u.J[~] (9.6) d; l J !_ L

Ezt behelyettestve (9.5) utols integrljba s elvgezve a kijellt mveletet megkapjuk a h tehervektort:

{-ll L due L L -AEaL1T ~rt-JAEaiJTd;=[u. u.J AEaiJTd;=[ui uiJ[ J. (9.7) t l d; 1 J 0 l AE aiJT L

Vgl is az elem ( 6.17) potencilis energia kiss mdosul a terhelsi vektor vonatkozsban

(9.8)

A kt elemre bontott szerkezet (6.21) teljes potencilis energija hasonlan csak a tehervek-tor vonatkozsban mdosul

(9.9)

A szerkezet (9.9) teljes potencilis energija a csomponti elmozdulsi paramterek ktvl-tozs fggvnye. A potencilis energia minimum elv rtelmben keressk ennek a tbbvlto-zs fggvnynek a minimumt. A minimum ltezsnek szksges felttele:

(9.10)

Hasonlan a (6.26) s (6.27) egyenletekhez

K!! =!, (9.11)

73

azaz

[

2 AE _ AE]lu2 ] [ fxL l - ~ A: u3 = f;L +F; +AEaJT . (9.12)

Ez a lineris algebrai egyenletrendszer kt egyenletet s kt ismeretlent tartalmaz, amely megoldhat a csomponti elmozduls paramterekre

3fx~ FL f~ 2U u =--x--+--' -+LaiJT u =2--' -+--x-+2LaiJT. 2 2 AE AE ' 3 AE AE

(9.13)

A csomponti elmozdulsok rtkei a htgulsbl addan egy kiss megvltoztak Ha a kls terhelstl eltekintennk, akkor a csomponti elmozdulsok a htgulsbl szrmazn-nak, amelyeket az elmlet ennl a feladatnl pontosan vesz figyelembe. Tekintettel (9.2)-re, a

rderket ez az elmozduls mdosuls termszetesen nem vltoztatja meg.

9.2. Hmrsklet hatsnak vizsglata SF feladatoknl Az lD-s feladathoz hasonlan mdosul a (7.22) Hooke-trvny, az SF feladatoknl is a

fajlagos nylsokbl le kell vonni a htguls okozta fajlagos nylst [l], [8]:

l v o e (j D(Ee -E ) =_!!_ V J 0

= = =o J-v2 [[&x le laiJTJ] &Y - aiJT ,

J-v o o r.'o/ o 2

Az elem (7 .28) potencilis energijt is hasonlan mdostjuk

Jle(ue)=~ f(EeT ET)D(Ee -E )dV p = 2 V" = =O = =O f eT edV f eT ed' A !! pg - !! p .11 ' - - - -V" - A;, -

a kijellt szorzst elvgezve

n;()=-21 s~eT~~edV- s~eT PfdV V" V"

f ~eT !!e dA- f ~eT~~odV + ~ f ~~~~odV ' A;, V" ve

(9.9)

(9.10)

(9 .ll)

az utols integrlmost is fggetlen az elmozdulstl, ezrt a varicikpzs szempontjbl ez a konstansnak tekinthet s el is hagyjuk

(9.12)

Az (9.12) utols integrljbl felhasznlva (7.39)-et a h tehervektor szrmaztathat l l

f=EeT=D=E0dV eT fBeT (c;, )DE bdxd !! = r; ==0 y ~eT f f~eT ( c;,r;) ~~idetl~ldc;dr; = - -1-1 V" V"

74

ahol f~ az elem h tehervektora, numerikusana Gauss kvadratrval szmolhat ki. l l NG NG

r:= f f~eT(c;,r;)~Eabdetl~ldc;dr; LL~T(c;i,r;j)~~o(c;i,r;j)bdetl~(c;i,r;JI~~ ~~ ~j~

A htgulsbl szrmaz fajlagos nyls is lehet a hely fggvnye, ha a hmrsklet fgg a helytl.

A vgeselem mdszer tovbbi lpsei a csomponti elmozdulsok s feszltsgek meghat-rozsa cljbl a korbban lertak szerint hajthat vgre.

Egy elem teljes potencilis energija:

Jle-~ eTKe e_ eTfe eTfe eTfe p - 2!! = q !! =p !! =p -!! =a (9.13)

A szerkezet teljes potencilis energija: Ne/em J ( )

Il = L ne =-qTK q - __ qT !p +!p +!a ' p e~l p 2= = =

(9.14)

ahol Nelem az elemek szma. A teljes potencilis energia (7.14) alakja formlisan megegye-zik a korbbi (6.22) s (6.45) kifejezsekkel, ez azt jelenti, hogy a megolds tovbbi lpsei hasonlan hajtandk vgre, amint azt a hzott nyomott rudaknl tettk.

75

I-DEAS PROGRAMRENDSZER HASZNLATA Az I-DEAS programrendszer az elmlt vekben folyamatos fejlesztsen s vltozson ment

keresztl, de az jabb verzik felhasznli fellete lnyegben vltozatlan maradt. Ez id alatt a szaftvert forgalmaz cgnl tulajdonos vltsok is trtntek, ami tbbszri nv mdosulssal jrt egytt. Az SZE Alkalmazott Mechanika Tanszke jelenleg az NX IdeasS verzijnak hasznlatra jogosult. Ezt a fejezetet a NX IdeasS Help(sg)- rendszernek tartalma, illetve [2] irodalom alapjn lltottuk ssze.

Az I-DEAS tervez rendszer olyan ltalnos cl gpszeti CAD/CAM rendszer, melyet a mmki tervezsi folyamat megknnytsre, felgyorstsra alkalmazhatunk. Minden egyes mmki feladat elvgzse, ms-ms szaftver modul elindtst teszi szksgess. A program elindtsa utn tbb ablakot nyit meg, melyek kzl a jobb szls mensora alatt tallhatjuk meg a klnbz alkalmazsok kivlasztst engedlyez lista ablakot.

Ezek a Design, Simulation, Test, Manufacturing, stb. Pldul