GALJORKIN MÓDSZEREK Spektrális módszer - nimbus.elte.hunimbus.elte.hu/~numelo/Doc/2011_2012_mat/Galerkin.pdf · GALJORKIN MÓDSZEREK Spektrális módszer Összeállította: HágelEdit,

GALJORKIN MÓDSZEREKSpektrális módszer

Összeállította: Hágel Edit, Horányi AndrásKiegészítette: Szépszó Gabriella

Az órák anyaga: http://nimbus.elte.hu/~numelo/mat

2012. március 30. http://nimbus.elte.hu/~numelo/mat 2

• Legyen a vizsgálandó függvény egy egyváltozós függvény: f=f(x)

• A 0 ≤ x ≤ L intervallumon vizsgálódunk

• Osszuk fel az intervallumot J darab ∆x

hosszúságú részre

• Így a függvényünket az xj=j∆x pontokban közelítjük, ahol j=0,1,2…,J

Véges különbséges módszerVéges különbséges módszer


∆x




• Írjuk fel f(x)-et a következı alakban:

ahol

∑∞

=

+

+=1

0 2sin

2cos

2)(

k

kkL

xkb

L

xka

axf

ππ

∫

=L

k dxL

xkxf

La

0

2cos)(

2 π

∫

=L

k dxL

xkxf

Lb

0

2sin)(

2 π

k=0, 1, 2, ...

k=1, 2, ...

GaljorkinGaljorkin módszermódszer


• Természetesen a gyakorlatban nem tudjuk a képletben szereplı összegzést a végtelenig folytatni, meg kell állnunk valamilyen véges K értéknél

• Minél nagyobb ez a K érték, annál pontosabban tudjuk közelíteni a függvényt (és ezáltal pontosabb lesz a megoldás is), de annál nagyobb a számításigény is

• Nézzünk erre két példát!

• 1. példa: legyen

• Számítsuk ki ak és bk értékeit!

≤≤

≤≤=

LxL

Lxxf

2/0

2/01)(

( ) ...3,2,1)cos(11

...3,2,10

10

=−=

==

=

kkk

b

ka

a

k

k

ππ


K növelésével nı a pontosság:

oszcilláció


2. példa:

• Legyen

• Kiszámítva ak és bk értékeit:

≤≤

≤≤

=

LxL

LxL

x

xf

2/0

2/02

sin)(

2 π

[ ]( )

( )( )[ ] ( )( )[ ]

...5,4,3,1

2cos12

12cos1

2

1)cos(1

2

4

1

...3,10

4/1

2/1

2

0

=

+−+

−−−−

+−=

==

−=

=

k

kk

kk

kk

b

ka

a

a

k

k

ππππ


K növelésével nı a pontosság:

oszcilláció


• Tehát az ismeretlen változókat valamilyen függvényrendszer elemeinek segítségével írjuk fel → Galjorkin módszerek

• Két módszercsalád: spektrális és véges elem módszer

• Feladat: az együtthatók meghatározása

• Megjegyzések:

– Széles körben elterjedt módszer elsısorban globális problémák megoldására (nincs pólus-probléma, szférikus harmonikusok)

– DE: léteznek korlátos tartományú (regionális) alkalmazások is (pl. biperiodikus – teljes harmonikus – függvények � abiperiodicitás újabb megoldandó problémát vet fel – errıl késıbb)


Mi a pólus-probléma?

• Véges differencia módszer –szélesség-hosszúság rácson

• Meridiánok konvergenciája a pólusokon

• Kis idılépcsık• Kelet-nyugati irány elvesztése

Szférikus harmonikusok – szférikus sorfejtés:

ortogonális rendszert alkotnak

( )ϕλϕλ ,),(

0

∑∑∞

= −=

≈l

l

lm

ml

ml Yff


• Tekintsük az L(u)=f(x) egyenletet, ahol

L: differenciál operátorf(x): kényszer tag

• Keressük u(x)-et a következı alakban:

• A ϕj(x) (bázis) függvények ismertek, a feladat az uj (x-tıl nem függı) együtthatók meghatározása

• Kell még valamilyen feltétel, hogy az uj-ket meghatározhassuk

( )

∑

∑

=

∞

=

≈

=

N

j

jj

j

jj

xuxu

xuxu

1

1

)()(

)(

ϕ

ϕ

Keresett függvényIsmert bázisfüggvények

Ismeretlen együtthatók


• A Galjorkin módszerek esetében megköveteljük a közelítési hiba (e

N) ortogonalitását, azaz a hiba legyen

ortogonális a bázisfüggvényekre:

• Ahol eN

(vagyis a hiba):

∫ ==b

a

iN Nidxxe ,,10)( Kϕ

)()(

)()(

1

1

xfxuLe

uLxuLe

N

j

jjN

N

j

jjN

−

=

−

=

∑

∑

=

=

ϕ

ϕ

hiba

bázisfüggvény


• N db egyenletbıl álló rendszert kapunk N db ismeretlenre (uj)

∫ ∫∑

∫ ∑

∫

=−

=

−

=

=

=

b

a

b

a

i

N

j

jji

b

a

N

j

jji

b

a

iN

dxxfxdxxuLx

dxxfxuLx

dxxe

0)()()()(

0)()()(

0)(

1

1

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕismeretlen ismert


Milyenek a ϕj(x) bázisfüggvények?

Spektrális módszer

• A bázisfüggvények maguk is ortogonális rendszert alkotnak

• Pl. trigonometrikus (sin, cos) függvények

Véges elem módszer

• A bázisfüggvények egy kis tartománytól eltekintve nullával egyenlık – lokális bázisfüggvények

• Azon a tartományon, ahol ezek értéke nem nulla, alacsonyrendő polinomokat alkalmazunk

• Pl. „kalap” függvények (hullám-megoldás miatt)

1

j ∆x(j – 1)∆x (j + 1) ∆x

„kalap” függvény

BázisfüggvényekBázisfüggvények


• Legyen

• Valamint legyen

2

2

0)()(

dx

dL

xxfuL

=

≤≤= π

Njjx

uu

j ,,1)sin(

0)()0(

K==

==

ϕπ

∫−=π

ϕπ 02

)(2

dxxfi

uii

Az együtthatók arányosak a kényszer Fourier transzformáltjával

Példa Példa spektrális spektrális módszerremódszerre


• Legyen:

• Valamint legyen

2

2

0)()(

dx

dL

xxfuL

=

≤≤= π

fv.kalap""

0)()0(

j

uu

ϕπ ==

∑=

≈N

j

jj xuxu1

)()( ϕ

1

j ∆x(j – 1)∆x (j + 1) ∆x


Példa véges elem módszerrePélda véges elem módszerre


• A ϕj(x) függvények alakja:

∆+≤≤∆∆

∆++−

∆≤≤∆−∆

∆−−∆+>

∆−<

=

xjxxjhax

xjx

xjxxjhax

xjx

xjxha

xjxha

xj

)1()1(

)1()1(

)1(0

)1(0

)(ϕ

1

j ∆x(j – 1)∆x (j + 1) ∆x



• A ϕj(x) függvények x-szerinti deriváltja:

i

iii fx

uuu=

∆+−

+−

2

112

∆+≤≤∆∆

−

∆≤≤∆−∆

∆+>

∆−<

=

xjxxjhax

xjxxjhax

xjxha

xjxha

dx

d j

)1(1

)1(1

)1(0

)1(0

ϕ

6

4211

2

11 +−+−++

=∆

+−iiiiii

fff

x

uuu

Véges különbséges alak(a véges elem pontosabb)


• Barotróp örvényességi egyenlet:

ahol ψ az áramfüggvény.

• Tekintsünk biperiodikus mezıket, valamint a következıortogonális bázisfüggvényeket – teljes harmonikus függvények:

0)( 22 =∂∂

+∇∇⋅∇×+∇∂∂

xk

t

ψβψψψ

)(),( nlymkxi

mn eyx +=ϕ

Többdimenziós esetTöbbdimenziós eset

yx Llés

Lk

ππ 22==


• Ekkor a ψ függvény a következı módon közelíthetı:

ahol Cmn(t) spektrális együtthatók

• Legyen

• Ekkor

∑ ∑−= −=

≈M

Mm

inlyimkxN

Nn

mn eetCtyx )(),,(ψ

yjxiR

nljmkiM

+=

+=

( ) ( )∑≈M

iMR

M etCtyx ,,ψ


• Írjuk fel az egyenlet különbözı tagjait:

• Ezeket kell behelyettesíteni az eredeti egyenletbe ⇒nagyon bonyolult alakot kapunk!

( )

( )

( ) ( )∑

∑

∑

∑

−≈∇∇

≈∇

−≈∇

≈

L

iLR

L

H

iHR

H

M

iMR

M

M

iMR

M

eCLLiL

eiHC

eCMM

etC

ψ

ψ

ψ

ψ

2

2


∑ −

−−−+=

H

HHMMM CC

MM

HMkHHMHM

MM

Cimk

dt

dC )(x))((β

• Ezeket kell behelyettesíteni az eredeti egyenletbe ⇒nagyon bonyolult alakot kapunk!

• A jobb oldali tag különbözı hullámok kölcsönhatását írja le (a nemlineáris advekciós tag kifejtésével)

→→→→ Transzformációs módszer (lásd késıbb)


A spektrális módszer elınyei:

• a derivált meghatározása a K csonkítási értékig teljesen pontos és egyszerő (hiszen analitikusan deriválható függvényeket kell deriválnunk, pl. sin, cos)

• egy megfelelıen „sima” függvény esetében a megoldandó egyenletek száma lényegesen kevesebb, mint a véges különbséges módszer esetén

Ugyanakkor:

• Egyes mőveletek (pl. két függvény szorzata) bonyolulttá válhatnak vagy számítási igényük nı meg

• Ilyen esetekben célszerő a számításokat a spektrális térhelyett a fizikai térben (azaz a rácsponti térben) végezni

A meteorológiában a spektrális módszer alkalmazása azokra a mőveletekre szorítkozik, ahol térbeli (azon belül is a horizontális) deriváltak kiszámítására van szükség


• A spektrális modellekben a spektrál-technika alkalmazása a horizontális differenciál operátorok kiszámítására és az azokkal végzett lineáris mőveletekre korlátozódik.

• Minden egyéb számítás (pl. fizikai parametrizáció, nemlineáris dinamika) továbbra is a rácsponti térben történik.

• A két tér között transzformációs módszer segítségével teremtenek kapcsolatot

Transzformációs módszerTranszformációs módszer


Mi a spektrális tér?

– A spektrális modellekben az állapothatározókat a választott bázisfüggvény-rendszer szerint sorba fejtik

– Azaz a spektráltérben a különbözı hullámszámhoz tartozó spektrális együtthatókat tárolják

A rácsponti térben a változók rácspontbeli értékeit tárolják

Mivel a két tér között minden idılépésben szükséges az áttérés, ezért lényeges a transzformációs módszer hatékonysága


Ezek alapján egy spektrális modell végrehajtásának fı lépései:

1. Direkt transzformáció, pl. gyors-Fourier transzformáció (direkt FFT) alkalmazásával: sorfejtés alkalmazása az állapotváltozókra

2. Számítások a spektrális térben: lineáris operátorok alkalmazása a spektrális állapotvektorra (pl. differenciál-operátorok számítása, szemi-implicit séma)

3. A horizontális deriváltakkal kiegészített állapotvektor inverz transzformációja a spektrális térbıl a rácsponti térbe, pl. inverz gyors-Fourier transzformáció (inverz FFT) alkalmazásával

4. Nemlineáris tagok kiszámítása a rácsponti térben


• A spektrális módszer alkalmazása:

– definiálni kell egy rácsot („transform grid”)

– a nemlineáris tagokat ebben a rácsponti térben kezelik

– a deriváltakat a spektrális térben számítják

• A spektrális modellt általában a csonkítási hullámszámmal (pl. ECMWF: T799, lásd késıbb), vagy a kapcsolódó rács (a „transform grid”) rácstávolságával jellemzik (ALADIN: 8km)

• Ez utóbbi (rácstávolság) szemléletesebb számunkra, de a spektrális és a véges különbséges módszerek korrekt összehasonlítása az lenne, ha a még leírható legkisebb jelenség méretét adnánk meg


• Csonkítás

• Kis n értékek ⇒ nagy hullámhosszok

• Nagy n értékek ⇒ kis hullámhosszok

• Minél nagyobb N értéke, annál pontosabban határozhatjuk meg a keresett mennyiségeket, de annál nagyobb a számításigény is

• A csonkítással elveszhet információ a rácsponti és a spektrális tér közötti transzformációnál

?1

=∑=

NN

n

K

CsonkításCsonkítás


• Csonkítás

– Globális modelleknél: háromszög alakú, romboidális (szélességi körök „rövidülése”)

• M=? N=?

• m és n közötti kapcsolat

m

n

Trianguláris csonkítás (pl. T799)


• Csonkítás

– Korlátos tartományú (regionális) modelleknél: elliptikus (téglalap alakú)

• M=? N=?

• m és n közötti kapcsolat

∑ ∑−= −=

≈M

Mm

inlyimkxN

Nn

mn eetCtyx )(),,(ψ

Megjegyzés: téglalap alakú csonkításnál teljesen pontos a spektrális tér és a rácspont tér közötti transzformáció

Kvadratikus rács Lineáris rács

N

M

12

2

2

2

≤+M

m

N

n


• Adott egy ∆x felbontású rács

• Ez legjobb esetben is csak egy 2∆x hullámhosszú hullámot tud leírni, azaz a valós, fizikai felbontás nem ∆∆∆∆x, hanem 2∆∆∆∆x.

• Tehát a 2∆x-nél kisebb hullámhosszú hullámok zajként jelennek meg...

Aliasing Aliasing (nem(nem--lineáris instabilitás)lineáris instabilitás)


• Ráadásul, ha vannak nem-lineáris tagok is:

• Ekkor M-nél (N-nél) nagyobb hullámszámra is keletkezik információ, azaz még kevesebb hullám leírására van lehetıség

• Ezek a hullámok zajként jelennek meg tehát és energiájuk hatással van az amúgy jól leírt hullámok energiájára – fıként a legrövidebb hullámoknálokoz gondot

∑∑= =

=M

m

inlyimkxN

nmn

eeQyxQ1 1

),( ),( x ),( 21 yxQyxQ

• Philips kísérlete (1957): stabilitási kritériumot kielégítıidılépcsı, mégis „instabil”modellkísérlet


• A spektrális módszernél ez könnyen kiküszöbölhetı, ha 2M+1 rácspont helyett több pontot definiálunk adott számú hullámhoz (túlcsonkítás):

– A szemi-Lagrange kezelés esetében „nincs gond” az advekciós tagokkal, azaz az ebbıl adódó instabilitást sem kell kezelni, nem is kell túlcsonkítani (marad a „lineáris rács”, azaz a rácspontok száma kétszerese a hullámok számának).

• Vannak egyéb olyan numerikus sémák is, amelyek csillapítják a rövidhullámokat

13)4(

13)4(

+≥

+≥

NK

MJ


• „Simább” függvény esetében már kisebb K értékre is viszonylag pontos közelítést kapunk

• Az erıs gradienső helyek közelében oszcillációt tapasztalunk (ún. Gibbsoszcilláció)

• Az oszcilláció erıssége függ magától a folytonos függvénytıl

• Különösen zavaró olyan függvények esetében, ahol erıs gradiensek léphetnek fel, de fizikai okokból a függvény értékének mindig pozitívnak kell maradnia (pl. domborzat)

Gibbs Gibbs oszcillációoszcilláció


• A hidro-termodinamikai egyenletrendszerben szereplı deriváltak pontosan (analitikusan) számolhatóak

• A nem-lineáris tagoknál az aliasing (nem-lineáris instabilitás) megfelelı túlcsonkítással elkerülhetı

• A spektrális együtthatók száma kisebb, mint a rácspontok száma (gazdaságosabb tárolás)

• A globális modelleknél nincs pólus probléma

• A szemi-implicit séma Helmholtz-egyenletének megoldása triviális a spektrális módszernél

Összefoglalás: elınyök, hátrányokÖsszefoglalás: elınyök, hátrányok


DE:

• A sémák bonyolultak lehetnek

• A mőveletek száma a felbontás növekedésével gyorsabban növekszik, mint a rácsponti esetben

• A transzformációs módszer nélkül a nemlineáris tagok kiszámolása nagyon költséges

• Erıs gradienső tagoknál oszcilláció, illetve nem reális értékek

• Nehézség korlátos tartományú esetben (szférikusharmonikusok nem alkalmazhatóak)


• Fourier-függvények alkalmazása esetén követelmény: periodikusság

• A meteorológiai mezık általában nem periodikusak egy korlátos tartomány felett

• Megoldás: kiterjesztési (E) zóna, ahol a nagyskálájú információkat tesszük periodikussá

E zóna: periodikusság

I zóna: relaxáció

C zóna


• Tekintsük az 1D lineáris advekciós egyenletet:

• Oldjuk meg véges elem módszerrel a „kalap” függvényeket alkalmazva!

0=∂∂

+∂∂

x

uc

t

u

Példa véges elem módszerrePélda véges elem módszerre


• Az eredeti egyenlet:

• A Galjorkin alak:

∑ ∫ ∑ ∫= =

=+N

j

N

j

j

ijji

jdx

dx

ducdx

dt

du

1 0 1 0

0

π π ϕϕϕϕ

0=∂∂

+∂∂

x

uc

t

u

0)(2

))(4(12

1,1,11,11,11,1,1,11,1

=−∆

+−+−+−∆ −+−−+−−+−+++ nmnmnmnmnmnmnmnm

uux

cuuuuuu

t

1

j ∆x

(j –1)∆x

(j + 1) ∆x



• Tekintsük az 1D lineáris advekciós egyenletet:

γ: szögsebesség

λ: földrajzi hosszúság

• Határfeltétel:

• Kezdeti feltétel:

0=∂∂

+∂∂

λω

γωt

Példa Példa spektrálisspektrális módszerremódszerre

( ) ( ) Nptpt ∈+= ,2, πλωλω

( ) ( )λλω f=0,


• A megoldást a következı alakban keressük:

• Használjuk fel, hogy:

( ) ∑−=

=M

Mm

im

m ett λωλω )(,

∑−=

=M

Mm

im

meff λλ)(

∑−=

−=M

Mm

timet )(

0),( γλωλω

Documents

GALJORKIN MÓDSZEREK Spektrális módszer - nimbus.elte.hunimbus.elte.hu/~numelo/Doc/2011_2012_mat/Galerkin.pdf · GALJORKIN MÓDSZEREK Spektrális módszer Összeállította: HágelEdit,