ENABE:

Viktorija Pir

POSLOVNO RAUNSTVOUBENIKProgram: EKONOMSKI TEHNIK

Modul: EKONOMIKA POSLOVANJAVsebinski sklop: POSLOVNO RAUNSTVO IN STATISTINA ANALIZA POJAVOVLjubljana, november 2009Srednje strokovno izobraevanjeProgram: Ekonomski tehnikModul: Ekonomika poslovanjaVsebinski sklop: Poslovno raunstvo in statistina analiza pojavovNaslov unega gradiva

Poslovno raunstvo ubenikKljune besede: Sklepni raun, razdelilni raun, procentni raun, delilni kriterij, verini raun, osnovne koliine obrestnega rauna, navadni obrestni raun, obrestno obrestni raun, dekurzivno obrestovanje, anticipativno obrestovanje, proporcionalna obrestna meraSeznam kompetenc, ki jih zajema uno gradivo:

PRS1: Reevanje problemov s podroja sklepnega, razdelilnega, procentnega in obrestnega rauna.CIP - Kataloni zapis o publikaciji

Narodna in univerzitetna knjinica, Ljubljana

658.14/.17(075.3)(0.034.2)

PIR, Viktorija

Poslovno raunstvo [Elektronski vir] : ubenik / Viktorija Pir.

- El. knjiga. - Ljubljana : GZS, Center za poslovno usposabljanje,

2009. - (Srednje strokovno izobraevanje. Program Ekonomski

tehnik. Modul Ekonomika poslovanja. Vsebinski sklop Poslovno

raunstvo in statistina analiza pojavov)

Nain dostopa (URL): http://www.unisvet.si/index/index/activityld/4

4. - Projekt UNISVET

ISBN 978-961-6413-36-7

251108608

Avtor(ica): Viktorija Pir

Recenzent(ka): Viktor StareLektor(ica): Vesna FabjanZalonik: GZS Ljubljana, Center za poslovno usposabljanje

Projekt unisVET

URL: http://www.unisvet.si/index/index/activityId/44

Kraj in datum: Ljubljana, november 2009

To delo je ponujeno pod licenco Creative Commons:

Priznanje avtorstva Nekomercialno - Deljenje pod enakimi pogoji.

Uno gradivo je nastalo v okviru projekta unisVET Uvajanje novih izobraevalnih programov v srednjem poklicnem in strokovnem izobraevanju s podroja storitev za obdobje 2008-2012, ki ga sofinancirata Evropska unija preko Evropskega socialnega sklada in Ministrstvo Republike Slovenije za olstvo in port. Operacija se izvaja v okviru operativnega programa razvoja lovekih virov za obdobje 2007 2013, razvojne prioritete: Razvoj lovekih virov in vseivljenjskega uenja, prednostna usmeritev Izboljanje kakovosti in uinkovitosti sistemov izobraevanja in usposabljanja.

Vsebina gradiva v nobenem primeru ne odraa mnenja Evropske unije. Odgovornost za vsebino nosi avtor.KAZALO

3PREDGOVOR

51. RAZMERJA IN SORAZMERJA

51. 1 SORAZMERJA

61. 2 PREMO SORAZMERJE IN OBRATNO SORAZMERJE

82. SKLEPNI RAUN

82. 1 ENOSTAVNI SKLEPNI RAUN

92. 2 SESTAVLJENI SKLEPNI RAUN

112. 2. 1 Postopek reevanja nalog sklepnega rauna s shemo

122. 2. 2 Uporaba linearnih enab

143. VERINI RAUN

143. 1 POSTOPEK PISANJA VERIGE

153. 2 UPORABA TEAJNE LISTE

163. 3 UPORABA TUJIH MERSKIH ENOT

163. 4 OBRAUN DODATKOV IN POPUSTOV

194. RAZDELILNI RAUN

194. 1 ENOSTAVNI RAZDELILNI RAUN

194. 1. 1 Delitev na enake dele

194. 1. 2 Delitev v razmerju

214. 1. 3 Delitev z ulomki

214. 1. 4 Delitev z razlikami

224. 2 SESTAVLJENI RAZDELILNI RAUN

234. 2. 1 Sestavljeni razdelilni raun z zdruljivimi kljui

234. 2. 1 Sestavljeni razdelilni raun s parcialnimi kljui

255. PROCENTNI RAUN

255. 1 OSNOVE PROCENTNEGA RAUNA

255. 2 RAUNANJE POSAMEZNIH KOLIIN

265. 3 RAUNANJE POVEANE IN ZMANJANE CELOTE

275. 4 UPORABA VERINEGA RAUNA

285. 5 UPORABA SORAZMERIJ

285. 6 SPREMEMBA CENE

295. 7 UPORABA LINEARNIH ENAB

316. OBRESTNI RAUN

316. 1 OSNOVNE KOLIINE V OBRESTNEM RAUNU

326. 2 RAZDELITEV OBRESTNEGA RAUNA

336. 2. 1 tetje asa

336. 2. 2 Doloanje obresti

347. NAVADNI OBRESTNI RAUN

347. 1 UPORABA NAVADNEGA OBRESTNEGA RAUNA

367. 2 INTERKALARNE OBRESTI

388. OBRESTNOOBRESTNI RAUN

388. 1 DEKURZIVNI OBRESTNOOBRESTNI RAUN

418. 2 ANTICIPATIVNI OBRESTNOOBRESTNI RAUN

438. 2. 1 Ekvivalentnost dekurzivne in anticipativne obrestne mere

438. 2. 2 Povprena obrestna mera

458. 3 POGOSTEJA KAPITALIZACIJA

458. 3. 1 Relativna ali proporcionalna obrestna mera

478. 3. 2 Konformna obrestna mera

499. LITERATURA

PREDGOVORUbenik Poslovno raunstvo je v prvi vrsti namenjen dijakom srednjeolskega programa ekonomski tehnik in je usklajen s katalogom znanj za poslovno raunstvo v okviru modula Ekonomika poslovanja. Avtorica sem si vzela pisateljsko svobodo in obsenost poglavij prilagodila svoji predstavi o pomembnosti tem. Ker pa se mnenja o tem vedno razhajajo, vas pozivam h kritinemu razmiljanju in aktivnemu branju gradiva ter iskanju dodatne literature; te vam nekaj tudi priporoam, kar pa ne pomeni, da je seznam dokonen. Ubenik naj bi bil dijakom v zaetno pomo pri usvajanju znanja iz poslovnega raunstva. Utrjevanju znanja in dodatnemu samostojnemu uenje sem namenila delovna zvezka Poslovno raunstvo, 1.del in Poslovno raunsto, 2. del, ki se nahajata spletni strani http://www.unisvet.si.Strokovno je ubenik pregledal Viktor Stare, za odpravo jezikovnih napak pa je poskrbela Vesna Fabjan. Obema iskreno hvala za pomo, pokazano dobro voljo in seveda za strokovne nasvete. Ubenik je razdeljen na osem poglavij, v katerih teoretinim osnovam slediju raunski primeri in reene vaje. V ubeniku je zapisanih kar nekaj obrazcev za izraun razlinih neznank, uporabnike gradiva pa pozivam k razumskemu pristopu k nalogam in ne zgolj k pomnjenju razlinih obrazcev.

Poleg dobre volje in elje po znanju ter udobnega sedea boste za smiselno prebiranje gradiva potrebovali e epni kalkulator.

Veliko veselja.

Viktorija Pir

Kamnik, sonne jeseni 2009 1. RAZMERJA IN SORAZMERJA

1. 1 SORAZMERJAV poslovni praksi kakor tudi v vsakdanjem ivljenju so velikokrat poleg absolutnih vrednosti pomembna tudi razmerja med njimi. Razmerja prikaejo odnos dveh tevil (a : b). e bi na primer stal prevoz z avtobusom na neki relaciji 3,50 EUR, prevoz z vlakom na isti relaciji pa 3 EUR, bi bili ti dve ceni v razmerju 7 : 6. Torej je 3,50 EUR proti 3 EUR enako kot 7 : 6. V tem primeru smo izenaili dve enaki razmerji.

Izenaitev dveh enakih razmerij imenujemo sorazmerje. Zapis sorazmerja v splonem je , pri emer so a,b,c in d leni sorazmerja, a in d sta zunanja lena sorazmerja, b in c pa notranja lena sorazmerja.Osveimo znanje matematike in ponovimo nekaj pravil, ki veljajo za raunanje s sorazmerji.

Pravilo 1: V poljubnem sorazmerju je produkt zunanjih lenov enak produktu notranjih lenov: .Pravilo 2: S leni sorazmerja lahko naredimo kakrnokoli zamenjavo, pri kateri ostaneta produkta zunanjih lenov oz. notranjih lenov nespremenjena.

( , itd.

Pravilo 3: Zaporedna sorazmerja (sestavljena sorazmerja)

:

lahko nadomestimo z enostavnim sorazmerjem .

Vasih izenaimo ve enakih razmerij. e je npr. , , , lahko to napiemo kot . Takno izenaenje ve enakih razmerij imenujemo podaljano ali razirjeno sorazmerje.

ZGLED 1Neto osebni dohodek dveh delavcev doloimo na osnovi dveh podatkov: glede na izobrazbo bi morali biti plai v razmerju 3 : 1 in glede na nevarnost na delovnem mestu 3 : 5. Koliken naj bo neto prejemek prvega delavca, e drugi zaslui 850 EUR?

Pri tej nalogi imamo opravka z zaporednim sorazmerjem, saj je osebni dohodek odvisen od dveh faktorjev od izobrazbe in od nevarnosti na delovnem mestu. Tako dobimo zapis:

, ki ga lahko nadomestimo z enostavnim razmerjem: .

e v to sorazmerje vnesemo neto osebni dohodek drugega delavca, dobimo prejemek prvega, to je 1530 EUR.

ZGLED 2

Razmerje med Markovo in Petrovo tipendijo je 12 : 8, Tanjina, ki znaa 140 EUR, pa je z Markovo v razmerju 7 : 6. Izraunajte Markovo in Petrovo tipendijo! Pri tej nalogi imamo dani dve sorazmerji (M : P = 12 : 8 in T : M = 7 : 6) in vrednost enega lena v drugem sorazmerju. S tem lahko postopoma izraunamo ostala dva neznana lena sorazmerja. Iz zapisa sledi, da ima Marko tipendijo v znesku 120 EUR. e ta znesek vstavimo v prvo sorazmerje, izraunamo vrednost Petrove tipendije, tj. 80 EUR.

1. 2 PREMO SORAZMERJE IN OBRATNO SORAZMERJE

Dve koliini sta premosorazmerni, e se zaradi poveanja ene koliine 2-krat, 3-krat povea tudi druga koliina natanko 2-krat, 3-krat . Spremenljivki x in y sta premosorazmerni, e velja enaba , pri emer konstanto k imenujemo sorazmernostni faktor.

Primer premosorazmernostnih spremenljivk iz prakse: vrednost blaga (pri dani ceni blaga) je veja, e je mnoina blaga veja. Vrednost blaga je torej premosorazmerna mnoini blaga. Premosorazmernostni faktor je cena (vrednost blaga = cena x mnoina blaga).Dve koliini pa sta obratnosorazmerni, e se zaradi poveanja ene koliine 2-krat, 3-krat druga koliina natanko 2-krat, 3-krat pomanja. Spremenljivki x in y sta obratnosorazmerni, e je njun produkt konstanten: oz. (k > 0).

Primer obratnosorazmernih spremenljivk: za doloen znesek (vrednost) dobimo pri viji ceni manjo mnoino blaga. (ibej, 2002)ZGLED 3Za 7 m blaga smo plaali 21 EUR. Koliko stane 15 m tega blaga?

Ker za vejo mnoino blaga plaamo ve, imamo opravka s premim sorazmerjem, za katerega velja zapis: . e metre oznaimo z x in vrednost v EUR z y, dobimo . Z uporabo e znanega raunskega postopka ugotovimo, da 15 m blaga stane 45 EUR.

ZGLED 4

Neko delo bi 10 delavcev opravilo v 28 urah. V koliknem asu bi isto delo opravilo 7 delavcev?e se zmanja tevilo delavcev, ki opravljajo neko delo, bo seveda potrebnih ve delovnih ur za njegovo realizacijo (seveda predpostavljamo enako uinkovitost vseh zaposlenih); zato sta tevilo delavcev in tevilo delovnih ur v obratnem sorazmerju. e v zapis obratnega sorazmerja, tj. , vstavimo nae vrednosti, dobimo . Reitev je logina, 7 delavcev bi za isto delo porabilo 40 ur.V poglavju razmerja in sorazmerja smo poudarili pomembnost razlikovanja obeh pojmov. Ponovili smo znanje matematike, ponovili zapis zaporednega in podaljanega sorazmerja ter na primeru prikazali razliko med premim in obratnim sorazmerjem. To znanje bomo uporabili v poglavjih, ki sledijo, predvsem pri razumevanju in reevanju nalog sklepnega rauna, kjer se poleg najpogostejega premega sorazmerja med koliinami pojavlja tudi obratnosorazmerni odnos.

VAJE

1. Liter mleka stane 0,95 EUR.

a) Koliko bomo plaali za 12 litrov mleka?

b) Koliko litrov mleka manj bomo dobili za isti znesek, e je cena litra narasla za 0,19 EUR? 2. 33,3 kg neke zlitine ima prostornino 2,70 dm3.

a) Koliko prostora zavzame 40-kilogramski odlitek iz te zlitine?

b) Koliko kg ima 1,50 dm3 te zlitine? 3. Za tlakovanje kopalnice potrebujemo 180 keraminih ploic s ploino 5 dm2. Koliko ploic bi potrebovali za isto kopalnico, e bi se odloili za ploice s ploino 2,25 dm2?

Reitve

1. a) 11,40 EUR, b) 2 litra

2. a) 3,24 dm3, b) 18,5 kg

3. 400 ploic

2. SKLEPNI RAUN

Sklepni raun s svojim principom razmiljanja o premih in obratnih sorazmerjih med razlinimi med seboj povezanimi koliinami predstavlja temelj za izraunavanje drugih poslovnih izraunov. S sklepnim raunom se sreamo e v osnovni oli, naloge pa so se skozi izobraevanje pojavljale pri predmetu matematika ali poslovno raunstvo in se primerno nadgrajevale.

Sklepni raun je postopek, s katerim izraunamo neko neznano koliino iz dane mnoice znanih koliin, ki so z neznano koliino v premem ali obratnem sorazmerju. Neznanko izraunamo z neposrednim sklepanjem ali s sorazmerjem ali s sklepno shemo.

e v nalogi nastopata samo dve koliini (3 dana tevila, raunamo 4. tevilo), govorimo o enostavnem sklepnem raunu. e pa nastopa ve koliin, govorimo o sestavljenem sklepnem raunu. (ibej, 2002)2. 1 ENOSTAVNI SKLEPNI RAUN

Dva najpogosteja naina reevanja nalog sklepnega rauna si bomo pogledali na primerih enostavnega sklepnega rauna.

ZGLED 1Iz 200 g moke speemo 12 kolakov. Koliko kolakov bi spekli iz 450 g moke?

Nalogo bomo najprej reili s sklepanjem. Pri reevanju nalog s sklepanjem najprej ugotavljamo (sklepamo) za enoto (koliko kolakov bi lahko spekli iz 1 g), nato sklepamo za novo koliino (v naem primeru za 450 g).

Iz 200 g speemo 12 kolakov.

1 g kolakov (dvestokrat manj kot iz dvesto gramov moke)

450 g kolakov (tiristopetdestkrat ve kot iz enega grama moke)

Isto nalogo reimo sedaj e z uporabo sorazmerja. e pri reevanju naloge s sklepanjem smo videli, da imamo opraviti s premim sorazmerjem. Vemo, da je enaba za premo sorazmerje . V naem primeru velja:

x1 = 200 g, x2 = 450 gy1 = 12 kolakov, y2 = ? kolakov Iz zapisa vidimo, da seveda dobimo enako reitev kot v primeru reevanja s sklepanjem.

ZGLED 2

Iz neke koliine bombanega pletiva lahko skrbna babica za vnuka splete odejico, iroko 1,2 metra in dolgo 1,4 metra. Kako dolga bo dejansko, e otrokova mati eli 10 cm ojo odejo, na voljo pa je nespremenjena koliina pletiva?

Predpostavljamo, da bo babica za ojo odejo nasnula manj pentelj, torej bo lahko iz iste koliine pletiva spletla daljo odejo. Po nai ugotovitvi sta koliini v obratnem sorazmerju.

Pri irini 1,2 m je odeja dolga 1,4 m.

1 m m (1,2-krat dalja)

1,1 m m (1,1-krat manj)

Ugotovili smo, da sta irina in dolina v obratnem sorazmerju. Torej v nalogi uporabimo zapis oziroma , kar nas zopet privede do reitve y2 1,5 m.2. 2 SESTAVLJENI SKLEPNI RAUN

Naloge enostavnega sklepnega rauna bomo nadgradili z nalogami sestavljenega sklepnega rauna. Kot smo e omenili, tu na neznanko vpliva ve spremenljivk hkrati. Logika reevanja nalog je podobna, le da sedaj nalogo reujemo postopoma, jo na nek nain razdelimo na ve enostavnih sklepnih raunov.

ZGLED 3

Neto osebni dohodek 4 delavcev, ki delajo na enakih delovnih mestih, v 3 mesecih znaa skupaj 9600 EUR. Koliko bosta skupaj zasluila sodelavca v enem letu, e ne predpostavljamo spremembe dohodka?

Pri reevanju naloge predpostavljamo, da je neto zasluek vseh zaposlenih na enakem delovnem mestu konstanten. Nalogo reimo z direktnim sklepanjem tako, da najprej sklepamo na enega delavca, nato na dejansko tevilo delavcev, nato spreminjamo na enoto e as dela.

4 delavci 3 meseci 9600 EUR

1 delavec 3 meseci EUR (en delavec zaslui 4-krat manj)

2 delavca 3 meseci EUR (dva delavca zasluita 2-krat ve)

2 delavca 1 mesec EUR (v enem mesecu zasluita 3-krat manj)

2 delavca 12 mesecev EUR

Nalogo lahko reimo tudi s sorazmerjem. Za neznano koliino pogledamo, v kaknem sorazmerju je z ostalimi koliinami (spremenljivkami). Nato sestavimo zaporedno sorazmerje.

Zasluek delavcev je hkrati:

premosorazmeren tevilu delavcev,

premosorazmeren tevilu mesecev.

Sedaj zapiemo podatke v obliki zaporednega sorazmerja.

9600 : x2 = 4 : 2

= 3 : 12

Nalogo zaporednega sorazmerja smo reili v zgledu 1 v prejnjem poglavju. Zato vemo, da sledi zapis

Z izraunom dobimo e znani rezultat, to je 19200 EUR.

ZGLED 4

Zaloga jabolk v vrtcu zadoa za 20 delovnih dni, e je v vrtcu vsak dan prijavljenih 80 otrok in porabimo 10 kg jabolk na dan. Za koliko asa zadoa ista zaloga jabolk v asu poletnih poitnic, ko je v vrtcu dnevno prisotnih le 54 otrok in se dnevna poraba jabolk povea za polovico?

e nalogo reimo z direktnim sklepanjem, pridemo do naslednjih ugotovitev:

80 otrok 10 kg/dan 20 dni

1 otrok 10 kg/dan dni

54 otrok 10 kg/dan dni

54 otrok 1 kg/dan dni

54 otrok 15 kg/dan dni

Zaloga jabolk bi v asu poletnih poitnic zadoala za 19 dni; e bi upotevali matematino pravilo zaokroevanja, bi zadnjega dne nekaj otrok ostalo brez jabolk.

Ugotovili smo, da sta tako tevilo otrok kot tudi porabljena dnevna koliina jabolk v obratnem sorazmerju glede na tevilo dni, za katere zadoa zaloga. Pri reevanju naloge s sorazmerjem zato dobimo naslednje zaporedno sorazmerje (ki nas pripelje do iste reitve naloge):

20 : x2 = 54 : 80

= 15 : 10

Ko usvojimo reevanje nalog sklepnega rauna s sklepanjem oziroma s sorazmerji, se lahko lotimo reevanja teh nalog s pomojo shematinega prikaza odnosov med koliinami, ki nastopajo v nalogi sklepnega rauna.

2. 2. 1 Postopek reevanja nalog sklepnega rauna s shemo V prvo vrstico zapiemo po vrsti koliine iz prvega dela naloge, ki mu reemo pogojni stavek. V drugi vrstici podpiemo ustrezne koliine iz drugega dela naloge, t. i. vpraalnega stavka. Neznanko oznaimo z x.

Ob vsak par koliin nariemo puico, pri emer je puica pri paru z neznanko in pri koliinah, ki so le-tej premosorazmerne, postavljena POKONCI; pri tistih spremenljivkah, ki so obratnosorazmerne s spremenljivko z neznano vrednostjo, pa so puice obrnjene NA GLAVO.

Neznana vrednost x je enaka ulomku, ki ima v tevcu koliino, ki je zapisana nad neznanko, pomnoeno z vsemi ostalimi koliinami ob zaetku puic; v imenovalcu pa produkt vseh preostalih koliin, ki so zapisane ob konicah puic. (ibej, 2002)

Ta, pri tudentih dostikrat najljubi nain, ki bolj kot na sklepanju temelji e na nekih teoretinih pravilih (ravno zato naj bi se najprej nauili reevanja s sklepanjem, to je razmiljanja z lastno glavo), si bomo pogledali v naslednjih dveh zgledih.

ZGLED 5

V posodi, dolgi 20 cm in iroki 9 cm, stoji voda 12 cm visoko. Kako visoko see gladina vode, e jo prelijemo v 15 cm dolgo posodo, ki pa je 1 cm ira?

Po navodilih zapiemo koliine pogojnega in vpraalnega stavka ter nato ugotavljamo odnos med dolino posode in viino vode ter odnos med irino posode ter viino vode.

Dolina irina viina

20 cm 9 cm 12 cm pogojni stavek

15 cm 10 cm x cm vpraalni stavek

Sledi zapis v obliki ulomka, ki nas pripelje do reitve naloge.

cm

ZGLED 6

Skupina 9 delavcev opravi neko delo v 13 delovnih dneh, e delajo po 9 ur na dan. Koliko delavcev bo opravilo podobno delo v 15 delovnih dneh, e bodo delali po 8 ur na dan in bo obseg dela za priblino 10 % veji?9 delavcev 13 dni 9 ur/dan 100 %

x delavcev 15 dni 8 ur/dan 110 %

delavcev

2. 2. 2 Uporaba linearnih enab

V praksi se sreujemo z nalogami, ki jih ne moremo reevati po enotnih receptih. Besedilo naloge v tem primeru zapiemo v obliki linearne enabe, nato pa iz te izluimo neznano koliino. Po navadi dobimo mnoico reitev enabe, iz katere nato izberemo tisto, ki ustreza postavljenemu problemu.

ZGLED 7

Za nek znesek dobimo pri ulinem prodajalcu 9 kepic sladoleda. V lokalu na bazenu za isti znesek dobimo eno kepico sladoleda manj, saj je tam kepica draja za 0,10 EUR. Kakna je cena sladoleda pri ulinem prodajalcu?

Ponovimo znanje ekonomije: vrednost = cena koliina. V obeh primerih porabimo enako koliino denarja, torej je vrednost obakrat enaka (znotraj nje se obratnosorazmerno spremenita le cena in koliina). Cena sladoleda pri ulinem prodajalcu je x, cena na bazenu pa je poveana za 0,10 EUR. Z upotevanjem koliin sledi zapis enabe:

Izraun nam pokae, da je kepica sladoleda pri ulinem prodajalcu 0,80 EUR.

ZGLED 8

V zavetiu za ivali je trenutno 12 psov. Zaloga hrane za njih zadostuje za 20 dni. Za koliko dni bo sedaj zadoala hrana, e so po tirih dneh dobili v oskrbo bernardinca, ki na dan poje hrane za dva povprena psa iz zavetia?

Enemu psu bi celotna koliina hrane zadoala za 12 20 dni (gre za obratnosorazmerni spremenljivki: manj kot je ivali, za ve dni zadoa hrana); lahko reemo, da je na voljo 240 enot hrane. V prvih tirih dneh se porabi 12 4 enot hrane, v preostalih dnevih (kar je neznanka x) pa se ivalim pridrui e bernardinec, ki zaradi nadpovprene koliine hrane, ki jo poje dnevno, v izraunu povea tevilo psov na 14. Pri zapisu matematine enabe moramo slediti temu, da je skupna poraba hrane enaka razpololjivi koliini.

Od tod dobimo , torej je hrane dovolj e za 13 dni, kar pomeni, da nam trenutna zaloga skupno zadoa za 4 + 13 dni, to je 17 dni.

Ponovitev enostavnega sklepnega rauna nam je sluila za nadaljnje reevanje nalog sestavljenega sklepnega raun. Spoznali smo razline naine izraunavanja nalog, pri vseh pa je pomembno logino sklepanje pri reevanju nalog in razstavljanje nalog na manje lene.

VAJE1. e imamo v proizvodnji v uporabi tri enake stroje v dveh izmenah (vsaka izmena dela osem ur), lahko v desetih dneh izpolnimo naroilo 2400 istovrstnih izdelkov. Koliko dni bomo potrebovali, da bomo izdelali 3000 enakih izdelkov, e smo stare stroje zamenjali z dvema tehnoloko naprednejima, katerih urna proizvodnja je za 30 % vija, stroja pa obratujeta 24 ur na dan?

2. 3 likarice zlikajo v 8 urah neko koliino perila. Koliko ur bi potrebovale 4 likarice, da bi zlikale polovino koliino perila, za katerega pa zaradi njegove specifike potrebujejo tretjino ve asa?

3. 6 delavcev bi neko delo konalo v 10 delovnih dneh. Prvih 5 dni pride na delo vseh 6 delavcev, zaradi dela na drugem projektu pa sta naslednje tri dni odsotna dva delavca. Koliko honorarnih delavcev bo potrebno dodatno zaposliti v preostalem asu (po osmih dneh), da bodo delo konali v roku?

Reitve

1. 9,6 10 dni

2. 4 ure

3. 3 delavce

3. VERINI RAUN

Z globalizacijo trga se tako v poslovnem svetu kot tudi v zasebnem ivljenju vse bolj sreujemo s tujimi denarnimi enotami. Poleg tega se pri trgovanju z nekaterimi dravami (ZDA, Velika Britanija) e vedno lahko sreamo z nam manj znanimi starimi merskimi enotami (evlji, palci ipd.), ki sicer niso usklajene z mednarodnim sistemom merskih enot in jih v nai dravi uradno ne smemo uporabljati. Pri preraunavanju v nam bolj domao denarno valuto oziroma mersko enoto si lahko pomagamo s posebnim postopkom izraunavanja neznanke, ki mu reemo verini raun. Verini raun je poseben nain izraunavanja nalog sestavljenega sklepnega rauna. Lahko ga uporabljamo le v primeru, e so vse koliine z neznano v premem sorazmerju. Ker je sam postopek izrauna dokaj preprost, hkrati pa lahko z njim obraunamo tudi vse nastale stroke oziroma dodatke in popuste, nastale pri poslovanju, se ga v praksi pogosto uporablja.3. 1 POSTOPEK PISANJA VERIGEZGLED 1

Koliko bomo plaali za tri zaboje brikih eenj, e stane en kilogram eenj pri domainu 3 EUR, v vsakem zaboju pa je po 8 kilogramov eenj?

Naloge se lotimo sistematino. Najprej preverimo, e so vse koliine z neznanko v premem sorazmerju (ponovitev snovi prvega poglavja); e to dri, izpiemo koliine, v katerih se pojavlja odnos enakosti.

x EUR 3 zaboji

1 kg 3 EUR

1 zaboj 8 kg

Nato zanemo pisati verigo.

1. Zanemo z vpraanjem (x EUR), nadaljujemo s koliino, na katero se vpraanje nanaa (3 zaboji), v naslednjo vrstico na levi strani pa zapiemo koliino z isto mersko enoto (1 zaboj).2. Postopek nadaljujemo tako, da imamo v vsaki vrstici zapisan odnos enakosti oz. enakovrednosti dveh koliin, mersko enoto koliine na desni ponovljeno v naslednji vrstici na levi, veriga pa je zakljuena, ko prispemo do merske enote, ki jo vsebuje vpraanje na zaetku verige.3. Da izraunamo neznano koliino, delimo produkt iz desnega stolpca s produktom znanih koliin iz levega stolpca. (ibej, 2002)

x EUR3 zaboji

1 zaboj8 kg

1 kg3 EUR

EUR

3. 2 UPORABA TEAJNE LISTEKot smo omenili, je tehnika verinega rauna najbolj uporabna pri preraunavanju tujih denarnih enot. Te so zbrane v teajni listi oziroma teajnici, tj. preglednici teajev, ki veljajo na doloen dan. Teaj Banke Slovenije nam pove, koliko enot tuje valute ustreza vrednosti enega evra. Teaj torej izraa ceno denarja, ki se dnevno spreminja. Pri tem se sreujemo z naslednjima pojmoma:

devalvacija = padec teajne vrednosti denarja, revalvacija = porast teajne vrednosti denarja.Ne pozabimo, da je evro (enotna valuta drav lanic Evropske unije, za katero se vse lanice niso opredelile in so nekatere obdrale svojo staro valuto) v Sloveniji zamenjal staro valuto tolar 1. 1. 2007.

Podatke o tujih denarnih enotah vsak dan najdemo v dnevnem asopisju, v katerem so objavljene teajne liste z dnevnim zamikom, na teletekstu ali pa najnovejo teajnico poiemo na internetnih straneh poslovnih bank ali na spletni strani Banke Slovenije http://www.bsi.si/, na kateri izvemo marsikaj tudi o sami banki in o evrosistemu. Dnevna teajnica oziroma referenni teaji ECB (Evropska centralna banka) pa se nahaja na strani http://www.bsi.si/podatki/tec-bs.asp?MapaId=1230. Za laje preverjanje rezultatov nalog bomo v tem poglavju uporabljali teajnico Banke Slovenije, objavljeno na dan 22. 5. 2009 (tabela 1) z izbranimi teaji.

Tabela 1: Nekaj teajev iz teajne liste z dne 22. 5. 2009

DravaValutaOzn. valuteifra valuteTeaj

ZDAameriki dolarUSD8401,3972

Japonskajaponski jenJPY392131,41

Danskadanska kronaDKK2087,4458

Hrvakahrvaka kunaHRK1917,319

Velika Britanijabritanski funtGBP8260,8781

Vir: http://www.bsi.si/podatki/tec-bs.asp?MapaId=1230/ (22. 5. 2009)ZGLED 2

Za tedenski najem apartmaja na Hrvakem bi morali danski turisti plaati 3500 HRK. Koliko DKK so morali plaati za dvotedenski najem?

Za reitev naloge bomo potrebovali dva teaja, za hrvako kuno in dansko krono, nato pa se bomo lotili reevanja po nam e znanem postopku pisanja verige. x DKK 2 tedna

1 teden 3500 HRK

1 EUR 7,4458 DKK

1 EUR 7,319 HRK

x DKK2 tedna

1 teden3500 HRK

7,319 HRK1 EUR

1 EUR7,4458 DKK

DKK

3. 3 UPORABA TUJIH MERSKIH ENOTPri poslovanju s tujino moramo biti pozorni na razlie vedenjske navade poslovnih partnerjev in kupcev, na druge obiaje in drugane potrebe. Poleg tega pa moramo biti pozorni e na uporabo razlinih merskih sistemov. V tabeli 2 so predstavljene nekatere merske enote in njihove medsebojne vrednostne povezave.

Tabela 2: Tabela merskih enot

ANGLEKE IN AMERIKE DOLINSKE MERE ANGLEKE IN AMERIKE VOTLE MERE ZA TEKOINE

mile (mi) = 1760 yd1609,35 m

yard (yd) = 3 ft0,91440 mgalon (gl) = 4gtGB 4,5464 l

USA 3,7856 l

foot (ft) = 12 in0,30480 mquartar (qt) = 2 ptGB 1,1365 l

USA 0,9464 l

inch (in) = 12 ln0,02540 mpint (pt) = 4 giGB 0,5683 l

USA 0,4732 l

line (ln)0,00212 mgill (gi)GB 0,1421 l

USA 0,1183 l

ANGLEKE MERE ZA MASOAMERIKE MERE ZA MASO

long ton (lt) = 20 cwt1016,047 kgshort ton (at) = 20 ct907,185 kg

hundredweight (cwt) = 4 gr50,8023 kgcentral (ct) = 4 gr45,3592 kg

quarter = 28 lb12,7006 kgquarter (gr) = 25 lb11,3397 kg

pound (lb) = 16 oz0,4536 kgpound (lb) = 16 oz0,4536 kg

ounce (oz) = 16 dr28,3495 gounce (oz) = 16 dr28,3495 g

dram (dr) 1,7718 gdram (dr)1,7718 g

Vir: Jager, 2002 (str. 39)

3. 4 OBRAUN DODATKOV IN POPUSTOVV verigi obraunamo stroke pri nakupu ali prodaji tako, da jih (e so podani v odstotkih - p) vkljuimo v denarno enoto (d.e.), ki je v vpraanju. e stroki nastajajo pri nakupu blaga, se vrednost blaga povea za vse stroke, ki smo jih imeli pri nabavi: (100 + p) d. e. s stroki vred.

Pri prodaji pa bo zasluek manji, e moramo poravnati e doloene stroke: (100 p) d. e. s stroki vred.Podobno izvedemo obraun dobika in izgube.

Dobiek v odstotkih pomeni, da se nam znesek povea za doloen odtotek: (100 + p) d.e. Izguba v odstotkih pa pomeni, da se nam znesek zmanja za ta odstotek: (100 p) d.e.

Seveda je logika enaka tudi, e imamo opraviti s promili, le da se sedaj osnova iz 100 povea na 1000.

ZGLED 3Iz Edinburgha smo uvozili 500 litrov temnega piva po 2 GBP za 1 pint. Po koliko EUR bomo v Sloveniji prodajali pol litra tega piva, e so skupni uvozni stroki znaali 30 %, s prodajo pa bi radi dosegli 25 % dobiek?V tej nalogi moramo upotevati pretvorbo angleke mere za tekoino, uporabiti teaj za britanski funt ter v ceno vteti stroke, nastale pri uvozu blaga ter vkljuiti eljeni dobiek. V besedilu naloge se pojavi tudi podatek, ki ne vpliva na sam izraun prodajne cene piva, tj. uvoenih 500 l piva.

2 GBP 1 pt

1 pt 0,5683 l1 EUR 0,8781 GBP

pstroki = 30 %

pdobiek = 25 %

x EUR0,5 l

0,5683 l1 pt

1 pt2 GBP

0,8781 GBP1 EUR

EUR

ZGLED 4Koliko gramov zelenega aja lahko kupimo v Kamniku za 10 EUR, e v Tokiju stane 1 kg tega aja 5256,40 JPY, uvoznik pa eli pri uvozu plaati zanj 115 promil carinskih dajatev?

Ta naloga nas ne sprauje po vsoti denarja, ampak je neznanka mnoina blaga, zato bo posebna previdnost potrebna pri obraunu strokov.

x g 10 EUR

1 kg 5256,40 JPY

1 EUR 131,41 JPY 1 kg 1000 gPdajatve = 115

x g10 EUR

1 EUR131,41 JPY

5256,40 JPY1 kg

1 kg1000 g

1115 g1000 g

g

Sedaj smo se e dodobra seznanili z tehniko verinega rauna, katerega pomanjkljivost je predvsem v tem, da pozabimo na pogoj za njegovo uporabo, in to je premosorazmeren odnos koliin. V to poglavje smo e vkljuili odstotke, s katerimi pa se bomo podrobneje seznanili v enem izmed kasnejih poglavij.

VAJE1. Koliko USD bo ameriki kupec plaal za 1 quartar ligurijskega oljnega olja, e nabavna cena znaa 8,20 EUR za liter olja? Stroki prevoza so 40 % in se obraunajo od nabavne vrednosti, uvoznik pa se je utel pri kalkulaciji in posluje z 10 % izgubo.

2. 3 yd nekega blaga stane v Londonu 40 GBP. Koliko EUR bo zasluil angleki izvoznik pri 1 m tega blaga, e mora pokriti 26 strokov, ki jih krije sam? 3. Jabolka prodajajo v 2-kilogramskih vreah po 1,8 EUR za vreo. Koliko bomo plaali za 30 kg teh jabolk, e nam je prodajalec odobril 7 % koliinski popust, upotevati pa moramo 3 % stroke zaradi nove embalae?

Reitve

1. 13,66 USD

2. 16,17 EUR

3. 26,98 EUR

4. RAZDELILNI RAUNV poslovni praksi je vekrat potrebno neko koliino razdeliti na razline dele, ki so med seboj v nekem vnaprej predpisanem odnosu. Delimo npr. ustvarjeni dohodek, dobiek, izgubo, nagrade, stroke na proizvode itd. Udeleenci v razdelitvi so lahko tako fizine osebe ali skupine kot tudi razline vrste blaga. Raunski postopki, ki pri tem nastajajo, sodijo v okvir razdelilnega rauna, pri emer loimo ve vrst razdelilnega rauna. Tudi na tem mestu bomo uporabljali premo in obratno sorazmerje. Glede na koliino pogojev, ki vplivajo na delitev, loimo:

enostavni razdelilni raun, pri katerem na delitev vpliva en sam pogoj;

sestavljen razdelilni raun, pri katerem delimo neko maso po ve kriterijih delitve. Glede na predpise delitev loimo:

delitev na enake dele, delitev v razmerju,

delitev z ulomki,

delitev z razlikami.4. 1 ENOSTAVNI RAZDELILNI RAUN4. 1. 1 Delitev na enake dele

Delitev na enake dele lahko uporabljamo, ko so lastnosti udeleencev v delitvi enake.

ZGLED 1Stroke tedenskega najema avtodoma v znesku 700 EUR so si med seboj na enake dele razdelili trije popotniki. Koliken dele strokov najema plaa vsak izmed njih?

Delitev na enake dele smo dodobra spoznali e v osnovni oli, da ne reemo v vrtcu, ko smo med seboj delili bonbone (e smo jih bili pripravljeni deliti, seveda). Zato kaken poseben komentar k tej nalogi ni potreben, lahko le ponovimo, da delilno celoto razdelimo s tevilom udeleencev v delitvi.

EURx1 = x2 = x3 = 233,33 EUR

4. 1. 2 Delitev v razmerju Delitev v razmerju je v praksi najpogosteje zaslediti. Tu je odnos med delei upraviencev delitve sorazmeren. Obiajno gre za premo sorazmerje, vasih pa so delei obratnosorazmerni danim razmerskim tevilom.

ZGLED 2Na tudentskem marketinkem festivalu je bila izplaana nagrada za najbolji propagandni oglas v znesku 1500 EUR. Nagrado sta si med seboj razdelila dva ustvarjalca oglasa glede na vloeno delo, tako da je prvi dobil 900 EUR. V kaknem razmerju sta si razdelila nagrado?

Pri reevanju nalog razdelilnega rauna nam bo v pomo predvsem logino sklepanje. Pri tej nalogi sklepamo, da sta si nagrajenca razdelila denar v premem sorazmerju. Naloga ima malce obrnjen vrstni red reevanja, saj moramo iz znanih deleev delitve preiti k zapisu razmerja. e je prvi udeleenec v delitvi dobil izplaanih 900 EUR, jih je drugi dobil 600 (razlika med celoto, tj. 1500 EUR, in 900 EUR). Torej velja . e v prvem poglavju gradiva smo ugotovili, da so iz povsem praktinih razlogov razmerja izraena z najmanjimi naravnimi tevili; spomnimo se, da so to cela pozitivna tevila. Iz tega sledi okrajava lenov razmerja s 300, kar nas pripelje do reitve oziroma delilnega razmerja, ki je 3 : 2.

ZGLED 3Enkratno denarno pomo v znesku 4800 EUR elimo razdeliti med tri druine v obratnem sorazmerju z dohodkom na druinskega lana. Dohodek na druinskega lana prve druine znaa 150 EUR, druge 200 EUR in tretje 120 EUR. Koliko denarne pomoi bo prejela posamezna druina?

Pri tej nalogi elimo delee razdeliti v loginem obratnem sorazmerju glede na dohodke, zato zapiemo obratne vrednosti tevil 150, 200 in 120. Ponovitev srednjeolskega znanja matematike, obratna oziroma reciprona vrednost tevila a je , nam pomaga do zapisa

, pri emer smo z in oznaili druine.

Seveda se nato skuamo im prej znebiti ulomkov, ker se sorazmerje ne spremeni, e mnoimo vse lene na desni strani z istim od 0 razlinim tevilom, jih pomnoimo (po monosti) z najmanjim skupnim imenovalcem 600 in dobimo

Ker so razmerska tevila samo okrajana realna tevila, jih pomnoimo z nam trenutno e neznanim osnovnim deleem, ki ga oznaimo z x.

EUR

EUR

EUR Ker vsem trem druinam skupaj razdelimo 4800 EUR, so temu enaki delei vseh druin. Velja torej , iz esar sledi, da je osnovni dele 400. Ko pomnoimo razmerska tevila z izraunanim osnovnim deleem, dobimo zneske pomoi za vsako druino. Prva druina tako dobi 1600 EUR, druga 1200 EUR in tretja 2000 EUR. e smo pravilno opravili delitev, se mora ujemati setevek vseh deleev z delilno celoto.4. 1. 3 Delitev z ulomkiZGLED 4Razdeli 2000 EUR med 3 lane projekta tako, da dobi prvi 1/4, drugi 3/5, tretji pa ostanek.Kadar so posamezni delitveni pogoji za delitev podani z ulomki in je podana tudi delilna celota, lahko celoto samo pomnoimo z ulomkom in e dobimo ustrezen dele v delitvi. Iz tega sledi, da v naem primeru prvi lan dobi 500 EUR, drugi 1200 EUR, tretji pa razliko med celoto in e izplaanimi deli, torej 300 EUR.ZGLED 5Doloen znesek razdelimo takole: x1 dobi 2/7, x2 dobi 1/5, kar je 140 EUR, x3 pa dobi ostanek. Koliko EUR smo razdelili?Malce ve dela imamo, ko delilna celota ni podana. Ker v naem primeru prav tako niso podani ulomki za vse udeleence, moramo najprej poiskati manjkajoi del. Enostavno ga dobimo, e iz znanih ulomkov poiemo najmanji skupni imenovalec (v tej nalogi je to 35) in nato vse ulomke pretvorimo na ta skupni imenovalec. V naem primeru velja:

, , da bomo zadostili pogoju celote (tj. ), znaa , kar je preostanek. Nadaljujemo s postopkom, ki smo ga spoznali pri zgledu 3. Ker pa tu celota ni znana, si pomagamo z znanim deleem drugega udeleenca. Torej velja EUR. Iz tega dobimo osnovni dele, ki je 20. Nato izraunamo e dele prvega in tretjega udeleenca v delitvi. Delilno celoto v tem primeru tvorijo vsi trije delei skupaj, kar znaa 700 EUR.

4. 1. 4 Delitev z razlikamiZGLED 6

Tekmovanje za inovatorja leta poleg laskavega naslova najboljim trem prinaa tudi nekaj denarja, saj znaa nagradni sklad 10000 EUR. Denar se razdeli tako, da prvi dobi 3000 EUR ve kot drugi, tretji pa 2000 EUR manj kot drugouvreni. Opravite delitev.

Kot vidimo v tem primeru, so za delitev podane absolutne razlike med upravienci do dela sredstev. V primeru delitve z razlikami je potrebno doloiti udeleenca, ki bo prejel osnovni dele, njegov dele torej oznaimo z x. Ker imamo za prvo- in tretjeuvrenega inovatorja podano razliko glede na drugouvrenega, le-tega oznaimo z x. Za ostale udeleence v delitvi pa zapiemo, koliko ve oziroma manj dobijo glede na udeleenca z osnovnim deleem. Pri tem se bomo najbolj opirali na natanno branje naloge in uporabljali zdravo pamet. Tako pridemo do naslednjega zapisa:

x1x + 3000

x2x

x3x - 2000

Zapiemo vsoto vseh deleev , iz esar z malo truda izraunamo osnovni dele oziroma nagrado drugouvrenega, ki znaa 3000 EUR, iz esar dobimo znesek prvouvrenega (6000 EUR) in tretjeuvrenega (1000 EUR).

ZGLED 7Knjinica je naroila 20 izvodov najnoveje knjine uspenice. Razdelila jih je med tiri dislocirane enote tako, da je v prvi, to je centralni enoti, ostalo pet izvodov ve kot v drugi enoti. Tretja enota je dobila 2 izvoda ve kot druga, etrta pa polovico izvodov, ki sta jih dobili druga in tretja skupaj.

Po sklepanju, ki smo ga uporabili e pri reevanju prejnjega zgleda, pridemo do naslednjega zapisa:

x1x + 5

x2x

x3x + 2

x4(x + (x + 2))/ 2

Ko izenaimo celotno tevilo izvodov knjige s tevilom, ki jih dobi vsaka enota, lahko izraunamo osnovni dele, ki znaa 3 izvode. Iz tega sledi, da v centralni enoti ostane 8 izvodov, druga enota dobi 3 izvode, tretja 5 izvodov, etrta enota pa 4 izvode.

4. 2 SESTAVLJENI RAZDELILNI RAUNObiajno na delitev ne vpliva le en sam klju delitve, temve ve. Najbliji nam bo morda primer osebnega dohodka delavcev, ki je odvisen od izobrazbe, zahtevnosti dela, delovne dobe in e bi lahko natevali. V takih primerih imamo opraviti s sestavljenim razdelilnim raunom.

Glede na to, kako obraunavamo z razdelilnimi kljui, loimo dve vrsti sestavljenega razdelilnega rauna:

razdelilni raun z zdruljivimi razdelilnimi kljui, kjer lahko vse kljue zdruimo v enega in opravimo delitev, kot smo jo spoznali pod toko 2. 1;

razdelilni raun s parcialnimi kljui, kjer delitev opravimo postopoma (po delih), saj se posamezni kriteriji delitve uporabljajo za delitev posameznih delov celotne delilne mase. (Jager, 2002)

4. 2. 1 Sestavljeni razdelilni raun z zdruljivimi kljui

ZGLED 8Pomo v znesku 4800 EUR razdelimo trem druinam tako, da bodo delei premosorazmerni tevilu druinskih lanov (teh imajo 5, 4 in 6) in obratnosorazmerni viini dohodkov na druinskega lana, ki znaajo za posamezno druino 150 EUR, 200 EUR in 120 EUR. Opravite delitev! (R: 1000 EUR, 600 EUR, 1000 EUR)Pri tej nalogi smo dopolnili zgled 3, ko smo imeli opravka z delitvijo v razmerju. Poleg viine dohodka na druinskega lana sedaj na delitev vpliva tudi njihovo tevilo. Na delitev torej vplivata dva kljua. Oba pogoja delitve lahko zdruimo v enega, previdnost je pri tem potrebna predvsem pri upotevanju vrste sorazmerja. Pri tej nalogi ponovimo znanje o zaporednem sorazmerju, ki smo ga podrobneje spoznali v prvem poglavju (v zgledu 1). Zdaj nam ne bo teko zapisati zaporednega sorazmerja, ki velja za delee pomoi naim druinam:

premosorazmerno glede na tevilo druinskih lanov obratnosorazmerno glede na dohodek na drunskega lanaZ razreitvijo zaporednega sorazmerja dobimo naslednje razirjeno sorazmerje: . Od tukaj dalje raunamo, kot bi imeli opravka z enostavnim razdelilnim raunom delitev v razmerju. Za vajo vas prepuam lastni iznajdljivosti, delei posameznih druin pa so naslednji: prva dobi 1548,39 EUR, druga 929,03 EUR in tretja druina 2322,58 EUR pomoi.4. 2. 1 Sestavljeni razdelilni raun s parcialnimi kljui ZGLED 9Med pet poslovalnic razdelimo poiljko 2000 kosov blaga, tako da:

prvi dve dobita 25 % celotne koliine, blago pa si med seboj razdelita v razmerju 3 : 2,

naslednji dve dobita 3/5 celotne koliine, med seboj pa si blago razdelita tako, da dobi tretja 200 kosov ve kot etrta,

peta poslovalnica dobi preostalo koliino blaga.

Opravite delitev.

V tem primeru nastopajo trije loeni kriteriji delitve. Najprej s pomojo delitve z ulomki izraunamo, koliko bomo delili po prvem in drugem kljuu (po prvem 500 kosov, po drugem 1200 kosov). Nato izraunamo po nam e znanem postopku delitve v razmerju koliino, ki jo prejmeta prva in druga poslovalnica (prva prejme 300 kosov, druga 200 kosov blaga). Drugi klju delitve nas spomni na delitev z razlikami in izraun pokae, da dobi tretja poslovalnica 700 kosov, etrta pa 500 kosov. Peti poslovalnici logino preostane 300 kosov.

Kot smo spoznali na primerih, lahko vsako nalogo razdelilnega rauna, naj se slii e tako zapleteno, uvrstimo v neko vrsto razdelilnega rauna. Ob pomoi usvojenega znanja prvega poglavja naega gradiva in loginega sklepanja, ki je nenehno prisotno pri reevanju nalog, lahko nato opravimo katero koli delitev, e le imamo delilno celoto in koga, ki mu delimo, seveda. Tudi v tem poglavju smo se delno e dotaknili procentnega rauna, ki predstavlja neko vrsto delitve z ulomki (odstotek je ulomek, ki ima v tevcu 100). Vsekakor pa gre za tako pomembno temo, da ji bomo posvetil kar celo poglavje.VAJE

1. Razdelite 5000 EUR med pet upraviencev tako, da vsak naslednji dobi 20 % manj od predhodnika.

2. Vneti igralec loterije je zadel denarno nagrado v znesku 5000 EUR. Od tega je 2/5 poloil na svojo hranilno knjiico, ostalo je porabil za nakup zimskih pnevmatik za avto in za novo sedeno garnituro. Nov kos pohitva ga je stal 2200 EUR ve kot nakup pnevmatik. Koliko denarja je porabil za nakup zimskih pnevmatik? 3. Slaiar bo 6 kg moke razdelil po naslednjem merilu: 1/3 za torte, ostalo bo porabil za okoladne in orehove pikote ter pikote s suhim sadjem. Od tega bo za orehove pikote porabil 20 dag moke manj kot za okoladne, za pikote s suhim sadjem pa dvakrat toliko kot za orehove. Koliko moke bo porabil slaiar za posamezne pikote? Reitve

1. x1 = 1487,39 EUR, x2 = 1189,91 EUR, x3 = 951,93 EUR, x4 = 761,54 EUR, x5 = 609,23 EUR

2. 400 EUR

3. okoladni pikoti: 115 dag, orehovi pikoti: 95 dag, pikoti s suhim sadjem: 190 dag

5. PROCENTNI RAUN5. 1 OSNOVE PROCENTNEGA RAUNA

Ekonomista poleg koliin in zneskov samih zanimajo tudi velikostni odnosi med njimi. Neredko se zgodi, da so ti e celo pomembneji. S procentnim raunom se sreujemo tudi pri vsakodnevnih opravilih in tudi dnevne novice se velikokrat podajajo v odstotkih, npr. cene stanovanj so se v letonjem letu poveale za 15 %, rast zajamenih osebnih dohodkov za 7 %, samo e ta teden akcija gospodinjskih aparatov 30 % in podobno. Kljub obilju informacij, ki so podane ali se zahtevajo v odstotkih, pa procentni raun (ta izraz je pri veini e vedno bolj priljubljen od izraza odstotni raun) e vedno dostikrat predstavlja hude teave. V tem poglavju bomo uporabili nam e znane razline tehnike reevanja nalog, kot je reevanje s sklepanjem, z uporabo verige, s sorazmerji in zapisom linearne enabe. Izbira je prepuena vam samim, e vedno pa velja poudariti, da je poznavanje procentnega rauna potrebno takrat, ko moramo samo z raunalom v roki (ali e celo brez njega) reiti ustrezen problem. Vse do sedaj omenjam le procentni raun, seveda pa ta vkljuuje tudi promile, ki se obraunavajo po podobni logiki.

Najprej poglejmo, kaj pomeni oz. pove beseda odstotek (procent) in odtisoek (promil).

Latinsko pro centum pomeni za sto. Procent oz. odstotek je torej stotina. Ulomek zapiemo tudi a %.

Pro mille pomeni za tiso. Promil oz. odtisoek je tisoina. Ulomek zapiemo kot a .

Iz povedanega sledi, da odstotek predstavlja 10-krat vejo vrednost kot odtisoek (a % = 10a ). (ibej, 2002)

5. 2 RAUNANJE POSAMEZNIH KOLIIN

ZGLED 1

V kateri avtooli imajo uspeneje kandidate? V prvi je v obdobju enega meseca izpit za osebno vozilo B-kategorije opravljalo 25 kandidatov, od tega je izpit uspeno opravilo 21 kandidatov, v drugi je v enakem obdobju izpit opravljalo 34 kandidatov, od tega jih je bilo uspenih 28.

Kot vidimo, v danem primeru ne moremo avtomatino sklepati, da ima druga avtoola uspeneje kandidate, saj ima tudi veje tevilo vseh kandidatov, zato je potrebno izraunati ustrezen odstotek uspenih kandidatov izmed vseh kandidatov za vsako olo posebej. V nalogi smo se sreali s tremi osnovnimi koliinami, celoto (25 oz. 34 kandidatov), deleem (21 oz. 28 kandidatov) in procentom, ki je v naem primeru neznanka.

V splonem nam torej osnovne koliine, ki se pojavljajo v nalogah procentnega rauna, povedo sledee:

Celota (osnovna vrednost) (C) = koliina, od katere raunamo procente. Celota ustreza 100 %. Ta koliina pomeni izhodie za raunanje deleev.

Dele (D) = del celote in koliina, za katero raunamo odstotke, ali pa je za to koliino odstotek naveden.

Procentna mera (procentna stopnja, procent, odstotek) (P) = tevilo, ki pove, koliko stotin celote predstavlja doloen del.

Poglejmo, katera avtoola ima uspeneje kandidate. Za vsako olo posebej bomo s pomojo sklepanja (za osveitev znanja poglejte v 2. poglavje) izraunali odsotek uspenih kandidatov. Prva avtoola: 25 kandidatov 100 %

1 kandidat %

21 kandidatov %

Druga avtoola: 34 kandidatov 100 %

1 kandidat %

28 kandidatov %

Primerjava izraunanih odstotkov uspenih kandidatov obeh avtool nam pokae drugano sliko, uspeneji so namre kandidati prve avtoole (in ne druge, kot bi napano sklepali, e bi upotevali le absolutne podatke).Iz postopka reevanja nae naloge lahko tudi sklepamo na osnovni obrazec procentnega rauna, ki se uporablja v splonem, pri emer se izognite uenju le-tega na pamet.

Osnovni obrazec procentnega rauna:

C 100 %

C/100 1 %

(C/100)p p %

Do enakega rezultata pridemo z zapisom odnosa med celoto in deleem v obliki sorazmerja: C : D = 100 : p (

Iz osnovnega obrazca lahko izrazimo ostali dve koliini procentnega rauna; tako dobimo:

,

(ibej, 2002)

5. 3 RAUNANJE POVEANE IN ZMANJANE CELOTEOdstotki se vedno raunajo od celote (ki ustreza 100 %), lahko pa se zgodi, da celota ni znana, ampak je podana koliina, ki pomeni za nek dele poveano ali zmanjano celoto, C ( D. Znana je torej koliina, ki ustreza (100 ( p) %, ali povedano drugae, znana je poveana

% ali zmanjana celota %.ZGLED 2Ker smo raun poravnali z gotovino, nam je prodajalec priznal popust (skonto) v viini 8 % od prodajne cene blaga. Kolikna je prodajna cena tega blaga, e smo s popustom plaali 47,84 EUR? Ker nam je prodajalec odobril 8 % popust, smo plaali (100 8) %, kar znaa 92 % prodajne cene blaga. Iemo osnovo, tj. 100 %. Predno se lotimo reevanja naloge s sklepanjem, pomislimo tudi na mono reitev naloge (da ne bomo kot odgovor pisali absolutno nemogoih reitev). Prodajna cena brez popusta mora biti veja od cene s popustom.

92 % 47,84 EUR

1 % EUR

100 % EUR

5. 4 UPORABA VERINEGA RAUNA

ZGLED 3V prvi letnik vije ole, smer ekonomist, je vpisanih 26 tudentov. Izmed 64,9 % tudentk jih 25 % aktivno govori dva tuja jezika. Koliko tudentk aktivno govori dva tuja jezika? Koliken je ta odstotek glede na vse vpisane tudente? Ker gre za premosorazmernost koliin, lahko veino nalog procentnega rauna reujemo s pomojo verinega rauna. Pri tem ponovimo poglavje 3. Nae naloge pa se moramo lotiti postopoma. Najprej izraunamo tevilo vseh tudentk (ali tevilo vseh tudentov ne glede na spol, kot nam je ljube, s pomojo odstotka vseh tudentov (100 64,9) %, nato izraunamo odstotek tistih, ki aktivno govorijo dva tuja jezika.

x tudentk64,9 %

35,1 %26 tudentov

tudentk

x tudentk25 %

100 %48 tudentk

tudentk aktivno govori dva tuja jezika

Za vajo izraunajte e odstotek teh tudentk izmed vseh tudentov (16,2 %)5. 5 UPORABA SORAZMERIJ

e se spomnimo srednjeolske matematike in pravila o enakosti produkta zunanjih in notranjih lenov, lahko na osnovi osnovnega sorazmerja procentnega rauna zapiemo, da velja:

in .

Naj v tem delu samo opozorim na ponovitev poglavja 1, ki zajema sorazmerja.5. 6 SPREMEMBA CENE

Zaradi pogostosti napanega izraunavanja in interpretiranja nalog, v katerih nastopa, e posebej, e gre za vekratno zaporedno odstotkovno spremembo cene, bomo temu tipu nalog posvetili posebno poglavje.

ZGLED 4e bi se blago pocenilo za 4 %, bi stalo 10 EUR. Koliko pa stane sedaj, ko se je namesto tega dvakrat zapored podrailo za 5 %?

Najprej izraunamo ceno blaga brez pocenitve, kar znaa 10,42 EUR. To ceno nato poveamo za 5 % in dobimo ceno po prvi podraitvi, to je 10,94 EUR. Osnova za drugo podraitev je seveda bila nova cena, torej je konna cena (po dveh podraitvah) 11,49 EUR. Najpogosteja napaka pri takem tipu nalog je setevanje odstotkov podraitev, kar nam sicer olaja izraun, vendar nas ne pripelje do pravilnega rezultata. Pa poglejmo z vidika potronika, v katerem primeru bomo plaali ve, e se blago dvakrat zapored podrai za 5 % ali enkrat za 10 %. V drugem primeru je prodajna cena seveda nija (11,46 EUR).

ZGLED 5

Koliko odstotkov znaa skupna podraitev po tirih zaporednih podraitvah: 5 %, 8 %, 4 % in 7 %?

Pri tej nalogi nimamo ne celote, ne zveane ali zmanjane celote. Pa vendar naloga ni tako teka, kot izgleda na prvi pogled. Osnova za prvo podraitev predstavlja 100 %, vse kasneje podraitve se nato odvijajo druga za drugo (torej od poveane osnove). Ko dodobra osvojimo logiko procentnega rauna, lahko nalogo reimo z zapisom enega samega rauna:

%

Cena po vseh tirih podraitvah predstavlja 126,19 % zaetne cene, kar pomeni, da znaa skupna podraitev 26,19 %.

5. 7 UPORABA LINEARNIH ENABZGLED 6Dve ceni sta v razmerju 3 : 2. e prvo ceno zmanjamo za 10 %, drugo pa poveamo za 5 , je prva cena e vedno vija od druge za 10 EUR. Kolikni sta ti dve ceni?Po grobem razmisleku vidimo, da se dane naloge ne da reiti z nobenim od prej uporabljenih raunov. Torej nam preostane le zapis v obliki linearne enabe pri emer moramo upotevati e razmerje teh dveh cen.

Namesto konkretnih zneskov cen bomo sedaj v enabo vnesli razmerska tevila, pomnoena z osnovnim deleem. Da pa bomo lahko zapisali odnos enakosti med cenama, moramo k drugi priteti 10 EUR.

Z izraunom dobimo osnovni dele, ki znaa 14,4928. Iz tega sledi, da je prva cena 43,48 EUR, druga pa 28,99 EUR.

ZGLED 7

Blago se je pocenilo za 8 %. Za koliko % ve blaga lahko dobimo za isti denar?

e se cena spremeni za doloen odstotek, to e zdale ne pomeni, da se za isti odstotek spremeni mnoina blaga. Zopet se bomo spomnila na enabo za vrednost (vrednost je produkt cene in koliine). Sledi zapis

Na desni strani enabe lahko izpostavimo koliino (q) in ceno (p), kar se nato pokraja in ostane enaba z eno samo neznanko.

To pa seveda brez teav izraunamo in dobimo reitev 8,7 %. Za isti denar bi torej lahko kupili za 8,7 % ve blaga.Kot smo videli na zgledih imamo zelo irok spekter nalog procentnega rauna, ki pa jih lahko raunamo na razline naine. Ponovno smo uporabili znanje sklepnega in verinega rauna ter uporabo sorazmerij. Procentni raun pa nas bo e naprej spremljal v nalogah obrestnega rauna.VAJE

1. olskega tekmovanja v krosu se je udeleilo 280 uencev, od katerih je bilo 40 % deklic. Do cilja je uspelo pritei 75 % udeleenih deklic in 50 % udeleenih fantov. Kolikno je skupno tevilo uencev, ki so pritekli skozi cilj? 2. Cena blaga je najprej narasla za 15 %, nato je zopet narasla, tokrat za 25 %, potem pa padla za 12 %. Po vseh teh spremembah blago stane 41,75 EUR. Koliko je znaala prvotna cena blaga? 3. Prodajalec na boljem sejmu eli za starino iztriti 300 EUR, kupec pa je pripravljen zanjo plaati le 250 EUR. Kolikna naj bo kompromisna cena, da bosta oba popustila od svoje zahteve za enak odstotek?

Reitve

1. 168 uencev

2. 33 EUR

3. 272,70 EUR

6. OBRESTNI RAUN

e prihranke hranimo doma in si denar sposojamo pri starih, nam bo obrestni raun dokaj tuja zadeva. e pa smo vsaj enkrat e bili na banki, smo se s pojmom obresti gotovo sreali. Obresti niso ni drugega kot odkodnina za izposojeni denar. Z njimi se sreujemo tako fizine kot pravne osebe. e zaupamo denar finannim ustanovam, nam ta v zameno, ker lahko z njim razpolaga (ga posreduje naprej v obliki posojil), plaa obresti. Lahko pa obratno kot fizina ali pravna oseba nastopamo v vlogi kreditojemalca in v tem primeru plaamo kreditodajalcu odkodnino v obliki obresti. Z obrestnim raunom smo prili na podroje finanne matematike, kjer bomo ostali do konca gradiva. Najprej se bomo seznanili s teoretinimi pojmi, ki nastopajo v obrestnem raunu.6. 1 OSNOVNE KOLIINE V OBRESTNEM RAUNUZa reevanje nalog obrestnega rauna je v prvi vrsti potrebno poznavanje temeljnih bannih pojmov, ki se pojavljajo v pogodbah, in razumevanje predpostavk in postopkov pri raunanju obresti.

Obresti (o) so denarno nadomestilo, ki ga dolnik plaa upniku za izposojen denar, s katerim je dolnik nekaj asa razpolagal (cena kapitala). Znesek obresti doloajo glavnica, as obrestovanja in obrestna mera.

Glavnica (G) ali kapital je znesek, od katerega se raunajo obresti.

as obrestovanja (l - leto, m - mesec, d - dnevi) pove, kako dolgo se neka glavnica obrestuje. Obresti so pri tem naraajoa funkcija asa obrestovanja.

Obrestna mera (p) oz. obrestna stopnja je sorazmerni faktor, ki doloa, koliko denarnih enot (d. e.) obresti odpade na vsakih 100 d. e. glavnice, ki smo jo uporabljali eno kapitalizacijsko obdobje. Obrestna mera je v osnovi definirana kot letna obrestna mera, ki jo po potrebi lahko preraunamo oz. reduciramo na kraja asovna obdobja. Za nadaljnje razumevanje opisa razlinih vrst obrestnega rauna bomo opredelili e pojem kapitalizacijskega obdobja. Kapitalizacijsko obdobje je asovno obdobje med dvema zaporednima pripisoma obresti. Osnovno in najdalje kapitalizacijsko obdobje je eno leto in temu ustreza letna obrestna mera, najkraje kapitalizacijsko obdobje pa je en dan. e kapitalizacijsko obdobje ni eno leto, mora biti to dejstvo posebej navedeno v pogodbi. Kot smo e omenili, se obresti raunajo od osnovne glavnice. Poleg te pa poznamo e:

poveano glavnico (G+), ki jo dobimo, e h glavnici pritejemo obresti; torej velja: ; pomanjano glavnico (G-), ki nastane, e od glavnice obresti odtejemo. Postopek zmanjanja glavnice za obresti imenujemo diskontiranje, obrestno mero pa diskontna obrestna mera. Velja: . (ibej, 2004)

6. 2 RAZDELITEV OBRESTNEGA RAUNAObrestni raun loimo glede na dva kriterija.

a) Glede na as dospetja glavnice oz. trenutka, v katerem obraunavamo obresti, loimo: Dekurzivno obrestovanje, pri katerem je osnova za izraun obresti glavnica na zaetku posameznega kapitalizacijskega obdobja. Obresti se pripisujejo h glavnici na koncu kapitalizacijskega obdobja.

G G + o

Slika 1: Dekurzivno obrestovanje

Pri anticipativnem obrestovanju pa je osnova za izraun obresti konna vrednost glavnice. V primeru anticipativnega obrestovanja se obresti pripiejo oz. odtejejo od glavnice e na zaetku posameznega kapitalizacijskega obdobja.

G - o G Slika 2: Anticipativno obrestovanje

Vir: Lasten

V vsakodnevni praksi je pogosteje dekurzivno obrestovanje. Uporaba anticipativnega obrestovanja, ki je pri dani obrestni meri draje od dekurzivnega, mora biti izrecno navedena v pogodbi.

b) Glede na kapitalizacijo obresti v obraunskem obdobju pa loimo: Navadni obrestni raun (n. o. r.), pri katerem je obrestna osnova ves as obrestovanja enaka. Nominalna vrednost obresti je pri ostalih konstantnih pogojih ves as enaka, saj se vseskozi obrestuje prvotna (zaetna) vrednost glavnice. Skupni znesek dolga (glavnica in obresti) zato naraa kot aritmetino zaporedje.

Obrestnoobrestni raun (o. o .r.), pri katerem se obresti v vsakem kapitalizacijskem obdobju sproti pripiejo h glavnici. Govorimo o kapitalizaciji obresti, saj se poleg zaetne vrednosti glavnice obrestujejo tudi obresti iz predhodnih kapitalizacijskih obdobij. Pri tem raunu glavnica naraa kot geometrijsko zaporedje. (ibej, 2004)Svet Banke Slovenije je julija 2008 potrdil prenovljena priporoila o nainu obraunavanja obresti za posle s prebivalstvom, ki med drugim vsebujejo tudi slovarek bannih pojmov. Priporoila upotevajo vso veljavno zakonodajo in jih priporoam v dodatno branje. Najdete jih v brouri z istoimenskim naslovom Priporoila o nainu obraunavanja obresti za posle s prebivalstvom, ki jo je izdalo Zdruenje bank Slovenije, ali na spletni strani http://www.bsi.si/poslovanje-bank-in-podjetij.asp?Mapald=508.Na tem mestu ne bo odve tudi ponoviti uno snov matematike, ki zajema obravnavo zaporedij, saj smo videli, da se pojavljajo v obrestnem raunu.

6. 2. 1 tetje asaV bannih poslih as tejemo v letih, polletjih, etrtletjih, mesecih in dnevih. Najve teav nastaja pri najpogostejem tetju asa, to je v dnevih. Praviloma pri tetju obrestovalnega asa upotevamo, da se prvi dan teje v obrestovalni as, zadnji dan pa ne. V naem bannem sistemu se pri obraunu obresti teje dejansko tevilo dni po koledarju, z upotevanjem dejanskega tevila dni v letu (K, 365/366).Mona so tudi druga tetja dni (K,360), kar pomeni, da banka leto obravnava, kot bi imelo 360 dni. Ker se to dogaja v banni praksi predvsem pri posojilih, naj omenim, da ta nain tetja dni pri nespremenjenih ostalih pogojih podrai kredit. V tujini pa se pojavlja tudi tetje (30, 360), ki poleg zaokroevanja tevila dni v letu na 360 zaokroi tudi vsak mesec na enako tevilo dni, tj. 30 dni. (ZBS, 2008)6. 2. 2 Doloanje obresti

Zaradi visoke inflacije smo bili dolgo asa navajeni na obrestno mero, ki je bila sestavljena iz dveh delov, iz inflacijskega dela (ki ga je do nedavnega ponazarjala temeljna obrestna mera TOM) in realne obrestne mere (ki je dejansko pomenila nadomestilo za uporabo tujega denarja). Danes pogodbeno obrestno mero (ki je izraena na najmanj dve decimalni mesti natanno) razumemo kot nominalno obrestno mero, ki je lahko izraena kot:

enovita (z eno tevilko zapisana) nominalna obrestna mera,

sestavljena (skupna) nominalna obrestna mera, ki predstavlja vsoto referenne obrestne mere in obrestnega pribitka. (ZBS,2008)

Referenne obrestne mere so trne obrestne mere, ki so izhodie za doloanje nominalnih obrestnih mer. Obiajno so to medbanne obrestne mere (EURIBOR, LIBOR). Prikaz njunih trenutnih vrednosti lahko najdete na spletni strani http://www.euribor.org/html/content/euribor_data.html in http://www.bba.org.uk/bba/jsp/polopoly.jsp?d=141&a=627Zanimivosti in novosti s podroja bannega poslovanja lahko najdete tudi na spletni strani Banke Slovenije http://www.bsi.si in Evropske centralne banke http://www.ecb.int/ecb/html/index.sl.htmlPridobljeno teoretino znanje nam bo sedaj pomagalo pri reevanju konkretnih nalog obrestnega rauna. Seveda pa nas aka e nekaj novih pojmov, s katerimi bomo nadgradili osnovne pojme. Preden nadaljujete s tudijem, naj vas spomnim na nujnost dobrega poznavanja vaega raunala (epnega raunalnika) oziroma njegovo uporabnost, hkrati pa vas opozarjam na loginost reitev nalog (npr. nominalno zaetna glavnica nikakor ne more biti veja od svoje konne vrednosti).7. NAVADNI OBRESTNI RAUN

Navadni obrestni raun, ki predstavlja osnovo celotnega obrestnega rauna, je predvsem znailen za kratkorone vloge (depozite) in podobne posle. Uporablja se pri meninih poslih, pri osebnih raunih in razlinih hranilnih vlogah. Kot smo e omenili, izhajamo pri navadnem obrestnem raunu iz predpostavke, da obresti ves as raunamo od prvotne (zaetne, osnovne) glavnice, ne glede na to, koliko kapitalizacijskih obdobij je medtem preteklo.

7. 1 UPORABA NAVADNEGA OBRESTNEGA RAUNAZGLED 1

Glavnica 1000 EUR se je obrestovala od 12. 1. 2009 do 27. 5. 2009. Na koliko je narasla glavnica v tem asu, e se obrestuje po 4 % letno, dnevi se tejejo po sistemu (K, 365) in banka za take vloge uporablja navadni obrestni raun ter dekurzivno obrestovanje?

Osnovna glavnica naraste na za obresti poveano glavnico. Kot vemo, so obresti premosorazmerne osnovni glavnici, obrestni meri in asu obrestovanja. Torej so obresti vije, e je veja osnovna glavnica, e se le-ta obrestuje po viji obrestni meri in e imamo dalji as obrestovanja (in obratno, seveda). Ker pa je obrestna mera podana v odstotkih, moramo upotevati stotine v imenovalcu ulomka. Z loginim direknim sklepanjem tako pridemo do zapisa enabe za izraun navadnih obresti v splonem, ki se glasi:

e as obrestovanja tejemo v letih:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 e as obrestovanja tejemo v polletjih: e as obrestovanja tejemo v etrtletjih:

e as obrestovanja tejemo v mesecih:

e as obrestovanja tejemo v dnevih (pri sistemu (K,365/366)):

ali

V naem primeru najprej izraunamo tevilo dni obrestovanja glavnice. Od 12. januarja do 27. maja se je v letu 2009 glavnica obrestovala natanko 135 dni. Po osnovnem obrazcu za dneve izraunamo obresti, ki so nastale v tem obdobju:

EUR

Ne pozabimo, da denarne enote zaokroujemo na dve decimalni mesti natanno. K obrestim e pripiemo glavnico, da dobimo iskani znesek.

EUR

ZGLED 2

Glavnica 400 EUR se je obrestovala 4 mesecev, glavnica 500 EUR 2 meseca in glavnica 800 EUR 1 mesec. Izraunajte skupne obresti, e je obrestna mera 3,7 %, obrestovanje dekurzivno in upotevamo navadni obrestni raun.

Skupne obresti predstavljajo vsoto vseh obresti, ki jih dajo posamezne glavnice za as njihovega obrestovanja. Za vsako glavnico posebej torej izraunamo, kolikne obresti prinese v predvidenem asu obrestovanja, nato pa te obresti le e setejemo. Z upotevanjem osnovne enabe za vajo izraunajte obresti. Njihova vsota je nato 10,48 EUR.

ZGLED 3

Po kolikni obrestni meri se je obrestoval dolg 5000 EUR, ki je v pol leta pri upotevanju dekurzivnega obrestovanja in navadnega obrestnega rauna narasel za 125 EUR?

V tem zgledu so obresti e podane, iemo pa obrestno mero.Izraunamo jo iz osnovne enabe in tako dobimo . V dobljeno enabo vstavimo podatke in izraunamo neznanko. Dolg se je obrestoval po 5 % obrestni meri.

ZGLED 4

Izraunajte obrestno mero, ki bi v treh etrtletjih prinesla obresti v nominalni vrednosti 10 % od zaetne vrednosti glavnice. Upotevati je potrebno navadni obrestni raun in dekurzivni nain.Ker nimamo podane ne osnovne in ne poveane glavnice, si samo z enabo in ne pomagamo kaj dosti. Ker pa obresti znaajo 10 % zaetne vrednosti glavnice, predstavlja konna glavnica 110 % zaetne, kar v obliki delea pomeni 1,1 zaetne glavnice (). V enabo namesto obresti vstavimo enabo za zapis obresti in dobimo . Ko izpostavimo glavnico na desni strani enabe, jo lahko okrajamo in dobimo enabo z eno neznanko . Od tu do reitve ni ve dale. Iskana obrestna mera je 13,33 %.

ZGLED 5

Premostitveno posojilo, ki ga moramo vrniti ez 5 mesecev, se obrestuje z uporabo navadnega obrestnega rauna s 5,5 % obrestno mero, anticipativno. Koliko denarja dobimo danes izplaanega na osnovi tega posojila, e bo ob zapadlosti potrebno vrniti 3000 EUR?Spoznali smo, da je osnova za izraun obresti pri anticipativnem obrestovanju konna glavnica (G, kar je v naem primeru 3000 EUR). Ob izplailu dobimo za obresti manji znesek (). Torej velja . Raunanje vam prepuam v vajo. Izplaan pa dobimo seveda manji znesek, kot ga je bilo potrebno vrniti (4931,25 EUR).

7. 2 INTERKALARNE OBRESTIe bi na primer sredi meseca eleli, da nam na banki odobrijo kredit, ki ga bomo nato odplaevali meseno, se bodo za preostale dni v tem prvem mesecu, torej za as od odobritve kredita do zaetka njegovega odplaevanja, obraunale posebne obresti, ki jih imenujemo interkalarne obresti. e uporabimo bolj strokovno terminologijo, gre v tem primeru torej za obresti, ki se za vsak del izkorienega kredita posebej (trano) obraunajo za as od rpanja (porabe) tega zneska do zaetka odplaevanja kredita. Zapadlost interkalarnih obresti je na dan prenosa kredita v odplailo. Obiajno se interkalarne obresti poravnajo na dva naina:

na dan rpanja v diskontiranem znesku, po enaki metodi raunanja obresti in po pogodbeni obrestni meri ali

na dan prenosa kredita v odplailo. (ZBS, 2008)

Interkalarne obresti se obraunavajo s proporcionalno obrestno mero, to je z uporabo navadnega obrestnega rauna. eprav se dostikrat plaajo vnaprej, jih mora banka tudi v tem primeru obraunati na dekurzivni nain.

Za dodatne informacije vam svetujem obisk spletne strani ene izmed bank.

Navadni obrestni raun je bil v nai finanni praksi dolgo asa potisnjen na stranski tir (ker po svoji definiciji ne omogoa rasti kapitala, saj se ne glede na tevilo kapitalizacijskih obdobij obrestuje le osnovna glavnica). Zaradi istega razloga je zopet pridobil na veljavi (v oporo mu je tudi slovenski pravni sistem) in se uporablja pri presoji kratkoronih poslov (do enega leta), hkrati pa predstavlja izhodie obrestnoobrestnega rauna, s katerim se bomo podrobneje seznanili v naslednjem poglavju.

VAJE1. Kdaj smo vrnili dolg, e smo si 2. februarja 2009 sposodili 10000 EUR? Posojilo se je obrestovalo po 6 %, vrniti je bilo potrebno 10070,68 EUR, banka pa je upotevala navadni obrestni raun in dekurzivno obrestovanje ter sistem (K, 365)?

2. Na koliko naraste glavnica 2800 EUR v treh etrtletjih pri 2,8 % obrestni meri, pri upotevanju navadnega obrestnega rauna in dekurzivnega obrestovanja?3. Skupaj z 12 % zamudnimi navadnimi obrestmi smo pri dekurzivnem obrestovanju plaali 838,30 EUR. Koliko so znaale zamudne obresti in koliken je bil dolgovan znesek, e smo s plailom zamudili en mesec? 4. Po kolikni obrestni meri se je obrestovalo izplaano posojilo 1937 EUR, ki jih je potrebno vrniti ez pol leta skupaj s 63 EUR obresti? Upotevati je potrebno navadni obrestni raun in anticipativno obrestovanje.

Reitve

1. 17. marca 2009

2. 2858,80 EUR

3. 8,30 EUR, 830 EUR

4. 6,3 %

8. OBRESTNOOBRESTNI RAUN

Osnovna znailnost obrestnoobrestnega naina je naelo kapitalizacije obresti, saj obresti ne raunamo samo od prvotne glavnice, ampak tudi od vseh obresti, nastalih v preteklih kapitalizacijskih obdobjih. Kapitalizacija obresti torej pomeni, da se po preteku kapitalizacijskega obdobja v tem asu nastale obresti preoblikujejo v kapital.

Pri praktini uporabi obrestnoobrestnega rauna si bomo pomagali z naslednjimi oznakami: zaetna vrednost glavnice G0 konna vrednost glavnice Gn obresti o dekurzivna obrestna mera p dekurzivni obrestovalni faktor r anticipativna obrestna mera ( (pi)

anticipativni obrestovalni faktor ( (ro) tevilo kapitalizacijskih obdobij (kolikokrat se glavnica vse skupaj obrestuje) n

oznaka kapitalizacije (kolikokrat se glavnica obrestuje v enem letu) m.Kot e vemo, imamo dva razlina naina obraunavanja obresti, dekurzivnega in anticipativnega. Najprej bomo spoznali dekurzivno obrestno obrestovanje, nato anticipativno, oba v primeru celoletne kapitalizacije. Celoletna kapitalizacija pomeni, da se obresti raunajo po preteku celega leta. Ker pa je v praksi tako obrestovanje prej izjema kot pravilo, bomo nadaljevali z obravnavo dekurzivnega in anticipativnega obrestnega obrestovanja v primerih pogosteje kapitalizacije. Seveda pa je to samo grob okvir tem, ki so pred nami.

8. 1 DEKURZIVNI OBRESTNOOBRESTNI RAUN

Dekurzivno obrestovanje pomeni, da se obresti pripiejo h glavnici na koncu kapitalizacijskega obdobja. e se torej glavnica G0 obrestuje eno leto, imamo po tem obdobju glavnico, ki smo jo poveali za nastale obresti . Ker se je glavnica v tem asu obrestovala le enkrat, uporabimo za izraun obresti nam e znan obrazec (ker imamo obdobje enega leta, le-tega lahko zanemarimo) in jih vnesemo v obrazec za poveano glavnico. Tako velja . e izpostavimo zaetno vrednost glavnice, dobimo

. Izraz v oklepaju se pogosto uporablja, zato ga oznaimo z r (dekurzivni obrestovalni faktor) in je torej . Gornjo enabo tako nadomestimo z obliko . e nadaljujemo po istem principu, dobimo glavnico po dveh letih , saj je osnova za izraun obresti v drugem letu glavnica, ki jo imamo konec prvega leta. Namesto G1 vnesemo v enabo obrazec, po katerem smo ga izraunali . Iz tega lahko izpeljemo sploni obrazec za izraun konne vrednosti glavnice dekurzivnega obrestovanja

, pri emer je

Obrazec velja tudi za kraja kapitalizacijska obdobja, e podatke temu ustrezno prilagodimo. Iz zapisa vidimo, da pri obrestnem obrestovanju glavnica naraa kot geometrijsko zaporedje, katerega prvi len je zaetna glavnica, kolinik pa dekurzivni obrestovalni faktor r. (ibej, 2004)ZGLED 1Koliko bomo imeli v banki ez 8 let, e smo v banko, ki obrestuje vloge po 3,5 %, vloili 30000 EUR? Obrestovanje je dekurzivno in kapitalizacija celoletna. Iz obrestne mere doloimo obrestovalni faktor . Nato po obrazcu izraunamo konno glavnico EUR. V nalogah bomo upotevali tudi pravilo, da se obrestovalni faktorji izkazujejo na najmanj tiri decimalna mesta. Pri zaokroevanju obrestnih mer in iz njih izpeljanih obrestovalnih faktorjev pa se uporablja matematino naelo zaokroevanja.ZGLED 2Kolikna glavnica v desetih letih, pri 4 % obrestni meri, dekurzivnem obrestnem obrestovanju in celoletni kapitalizaciji, naraste na 5920,98 EUR?

Naloga nas sprauje po vrednosti zaetne glavnice. Zato bomo iz osnovnega obrazca izpeljali obrazec za izraun zaetne vrednosti glavnice:

V obrazec vstavimo podatke in izraunamo neznanko EUR.ZGLED 3

Po kolikni obrestni meri je banka obrestovala vlogo 3000 EUR, ki je v 7 letih narasla za 10 % svoje zaetne vrednosti, e uporabljamo celoletno kapitalizacijo in dekurzivno obrestno obrestovanje?

Zaetna glavnica je torej v sedmih letih narasla na 3300 EUR, kar predstavlja konno glavnico. Izpeljimo e obrazec za izraun obrestne mere. Ker se le-ta skriva v obrestovalnem faktorju r, bomo obrestno mero izraunali postopoma preko obrestovalnega faktorja. Iz obrazca sledi

Ker pa vemo, da je obrestovalni faktor izraunamo po obrazcu , lahko enostavno iz njega doloimo obrestno mero Za na primer torej velja , pri emer ne pozabimo, da je faktor r brez enot. Iz tega sledi, da se je glavnica obrestovala po 1,37 % obrestni meri.ZGLED 4

Koliko let je bila vloena glavnica 1000 EUR, e je pri 3,5 % obrestni meri, dekurzivnem obrestnem obrestovanju in celoletni kapitalizaciji dala 147,52 EUR obresti? Konna glavnica je v naem primeru zaetna glavnica, h kateri smo priteli obresti, torej 1147,52 EUR. Da pa bomo izraunali ustrezno tevilo let, bomo izpeljali obrazec za izraun asa obrestovanja. Ker je neznanka v osnovnem obrazcu sedaj eksponent n, ga bo potrebno logaritmirati. Seveda ste logaritme e dodobra spoznavali pri srednjeolski matematiki, zato jih ne bomo razlagali in izpeljavo enabe prepuam vam. Obrazec za izraun asa obrestovanja pa je naslednji: V obrazec vstavimo nae podatke in izraunamo neznanko: leta.

ZGLED 5

Glavnica 1000 EUR, ki se je obrestovala est let, od tega zadnji dve leti po 3 % obrestni meri, je narasla na 1.171,04 EUR. Po kakni dekurzivni obrestni meri je banka obrestovala vlogo v prvem obdobju, e je pogodbeno za vsa leta doloeno dekurzivno obrestno obrestovanje in celoletna kapitalizacija? Za koliko odstotnih tok je bila obrestna mera v drugem obdobju vija od prve?e se neka glavnica obrestuje po dveh ali ve razlinih obrestnih merah, lahko njeno konno vrednost izraunamo postopoma, tako da jo najprej obrestujemo po prvi obrestni meri in nato dobljen znesek obrestujemo po drugi obrestni meri. Delo pa si olajamo, e postopnost nadomestimo z obrazcem

Ker je v naem primeru prva obrestna mera neznana, vemo pa, da se obrestna mera skriva v obrestovalnem faktorju, bomo iz enabe izraunali r1 . Po obrazcu sledi, da se je glavnica prva tiri leta obrestovala po 2,5 % obrestni meri.

Obrestna mera v drugem obdobju je bila od prve vija za 0,5 odstotne toke. Razlika med dvema odstotkoma so odstotne toke. al se v praksi pogosto zanemarja ta pojem oziroma se odstotki zlorabljajo. Za vajo lahko sami izraunate, kolikna bi bila dejanska druga obrestna mera, e bi bila od prve veja za 0,5 % (ponovitev poglavja o procentnem raunu).

8. 2 ANTICIPATIVNI OBRESTNOOBRESTNI RAUN

Kot smo e povedali v 6. poglavju, je glavna razlika med dekurzivnim in anticipativnim obrestovanjem v tem, da se pri drugem obresti obraunajo e vnaprej, pri emer je osnova konna glavnica, obresti pa se e na zaetku od nje odtejejo. Da ne bo prihajalo do pomot, bomo anticipativno obrestno mero oznaevali z grko rko (. e podobno kot pri izpeljavi osnovnega obrazca za dekurzivno obrestovanje predpostavljamo obdobje enega leta, dobimo za anticipativno obrestovanje naslednji zapis . Iz obrazca izrazimo konno glavnico in odpravimo dvojni ulomek. Pri tem dobimo primerljiv obrazec z dekurzivnim obrestovanjem: . Izraz na desni bomo oznaili z ( in poimenovali anticipativni obrestovalni faktor. Faktor je logino brez enot. Sedaj lahko izpeljemo sploni obrazec za izraun konne vrednosti glavnice anticipativnega obrestovanja

, pri emer je

ZGLED 6Koliko obresti bomo morali plaati za posojilo v znesku 15000 EUR, ki smo ga prejeli pred petimi leti in se je obrestoval po 5,6 %? Upotevati je potrebno celoletno kapitalizacijo.Obresti so razlika med konno in zaetno glavnico. Zaetno glavnico e imamo, za izraun konne glavnice pa najprej izraunamo anticipativni obrestovalni faktor . Lahko ga pustimo v obliki ulomka in z njegovo pomojo izraunamo konno glavnico EUR .

ZGLED 7Kolikna glavnica je pri 4,3 % obrestni meri, anticipativnem obrestnem obrestovanju in celoletni kapitalizaciji, v 10 letih narasla na 31039,20 EUR?Ker je tokratna neznanka zaetni znesek, bomo iz osnovnega obrazca izpeljali obrazec za izraun zaetne vrednosti glavnice:

V obrazec vstavimo podatke in izraunamo neznanko EUR.ZGLED 8Glavnica 10000 EUR se je pri celoletni kapitalizaciji obrestovala 4 leta po anticipativnem obrestnem obrestovanju. Po kolikni letni obrestni meri se je obrestovala, da je narasla za 1773,76 EUR?

Zaetna glavnica je v tirih letih narasla na 11773,76 EUR, kar predstavlja konno glavnico. Izpeljimo obrazec za izraun obrestne mere. Ker se le-ta skriva v anticipativnem obrestovalnem faktorju (, bomo obrestno mero izraunali podobno kot pri dekurzivnem obrestovanju preko obrestovalnega faktorja. Iz obrazca sledi

Ker pa vemo, da obrestovalni faktor izraunamo po obrazcu , lahko enostavno iz njega izrazimo obrazec za izraun anticipativne obrestne mere V naem primeru to pomeni , nato izraunamo obrestno mero

ZGLED 9Pred koliko leti smo zaeli obrestovati glavnico 900 EUR, da je pri 5 % letni obrestni meri in celoletni kapitalizaciji ter anticipativnem obrestnem obrestovanju narasla na 1049,72 EUR?

aka nas izpeljava e zadnjega obrazca za anticipativno obrestno obrestovanje, to je izpeljava obrazca za izraun asa obrestovanja. Ker je izpeljava identina izpeljavi za n pri dekurzivnem obrestovanju, le zapiimo obrazec

V obrazec vstavimo e podatke in izraunamo as obrestovanja nae glavnice: leta8. 2. 1 Ekvivalentnost dekurzivne in anticipativne obrestne mere

O ekvivalentnih obrestnih merah govorimo, e pri enakih vhodnih podatkih (G0, n, m), ne glede na metodo obrauna (dekurzivno ali anticipativno obrestno obrestovanje), dobimo enako konno vrednost glavnice (oz. enake nominalne obresti). Sledi, da morata biti obrestovalna faktorja pri obeh nainih enaka , kar ne pomeni, da sta enaki tudi obrestni meri . Iz enabe tako izpeljemo naslednji enabi:

dekurzivna ekvivalentna obrestna mera:

anticipativna ekvivalentna obrestna mera:

ZGLED 10Katera anticipativna obrestna mera je ekvivalentna dekurzivni obrestni meri 3,2 %? Koliko znaa anticipativni obrestovalni faktor?Pri tej nalogi je pomembno le poznavanje oznak in obrazec. V naem primeru imamo %. Logino je, da je ekvivalentna anticipativna obrestna mera manja od dekurzivne, saj je osnova za izraun obresti vija pri dekurzivnem obrestovanju. Anticipativni obrestovalni faktor pa izraunamo za vajo in znaa 1,0331.

8. 2. 2 Povprena obrestna meraZGLED 11

Neka glavnica se je najprej obrestovala 5 let po 3,6 % letni obrestni meri, nato e 2 leti po za eno odstotno toko viji obrestni meri. Kolikna je bila povprena obrestna mera, po kateri se je obrestovala glavnica, e banka uporablja dekurzivno obrestno obrestovanje in celoletno kapitalizacijo?

Glavnica se lahko v nekem asovnem obdobju obrestuje po dveh ali ve razlinih obrestnih merah. Konna glavnica bi bila enaka v primeru, e bi zaetno glavnico obrestovali po dejanskih obrestnih merah in ustreznih asovnih obdobjih ali pa bi za celotno obdobje obrestovanja uporabili povpreno obrestno mero. Povprene obrestne mere ne moremo izraunati z uporabo osnovnega obrazca za aritmetino sredino (le-tega si boste pogledali pri statistiki), saj na viino povprene obrestne mere vpliva tevilo kapitalizacijskih obdobij, po katerih so se uporabljale dejanske obrestne mere. Zato povpreno obrestno mero izpeljemo iz obrazca, ki smo ga spoznali v prejnjem zgledu . Konno glavnico lahko izraunamo tudi s pomojo povprene obrestne mere s pomojo obrazca , pri emer je .

e izenaimo oba zapisa konne glavnice, dobimo Enabo delimo z osnovno glavnico, opravimo e korenjenje z n in dobimo obrazec za povpreni dekurzivni obrestovalni faktor:

()

Iz njega pa enostavno izraunamo povpreno dekurzivno obrestno mero po obrazcu, ki nas na nekaj spominja: (ibej, 2004)

V naem primeru je in . Povprena obrestna mera torej znaa %8. 3 POGOSTEJA KAPITALIZACIJA

Kot smo omenili v uvodnem poglavju obrestnega rauna, se lahko glavnica obrestuje letno ali tudi pogosteje. e je kapitalizacijsko obdobje kraje od enega leta, govorimo o pogosteji kapitalizaciji. V primeru, ko se glavnica obrestuje pogosteje kot enkrat letno, ko je torej m ( 1, moramo letno obrestno mero ustrezno prilagoditi kapitalizaciji. Poznamo dva naina spremembe letne obrestne mere:

relativno ali proporcionalno in konformno.Pogosteji kapitalizaciji moramo poleg prilagoditve obrestne mere prilagoditi tudi parameter m, ki pripoveduje o pogostosti kapitalizacije in ima v praksi nekaj znailnih vrednosti: m = 2 pri polletni kapitalizaciji,

m = 4 pri etrtletni kapitalizaciji,

m = 12 pri meseni kapitalizaciji in

m = 365 (ali m = 366 v primeru prestopnega leta) pri dnevni kapitalizaciji.

Kapitalizaciji se prilagodijo oznake za obrestno mero (letna obrestna mera je a % p.a.): a % p.s. (pri m = 2),

a % p.q. (pri m = 4),

a % p.m. (pri m = 12) in

a % p.d. (pri m = 365 oz. 366).

8. 3. 1 Relativna ali proporcionalna obrestna meraRelativno oziroma proporcionalno obrestno mero smo spoznali e pri obravnavi navadno obrestnega rauna, saj smo e tam obrestno mero prilagodili kapitalizaciji, tako da smo jo delili z ustreznim delom leta. Relativna obrestna mera se uporablja v banni praksi. Pomeni pa tolikokrat manjo od letne obrestne mere, kolikokrat je kapitalizacijsko obdobje kraje od enega leta. Pri enakih ostalih pogojih so obresti pri pogosteji kapitalizaciji vije. (ibej, 2004)

Osnovni obrazec za relativno oz. proporcionalno obrestno mero je:

relativna (ali proporcionalna) dekurzivna obrestna mera

relativna (ali proporcionalna) anticipativna obrestna mera

Obrestne mere za kraja obdobja naj bi bile izraene tako natanno, da je pri preraunu na letno raven zagotovljena predvidena natannost letne obrestne mere.ZGLED 12Banki dolgujemo 900 EUR, ki jih bomo po pogodbi vrnili ez 18 mesecev, obrestna mera je 6 % letno. Banka dolg obrestuje s polletno kapitalizacijo in relativno obrestno mero ter dekurzivnim obrestnoobrestnim raunom. Kolikna je bila cena posojila?e zanemarimo otvoritvene stroke posojila in stroke njegovega zavarovanja (ki so seveda e kako pomembni), potem vemo, da so cena posojila obresti. Kot smo e spoznali, so obresti razlika med konno in zaetno glavnico. Za izraun konne glavnice pa moramo najprej doloiti n. Ker banka uporablja polletno kapitalizacijo, se je glavnica v 18 mesecih obrestovala trikrat, kar pomeni n = 3. Ustrezno prilagodimo e obrestno mero %. Vrednosti vstavimo v obrazec za izraun konne glavnice EUR. Cena posojila je bila torej 983,45 EUR.

ZGLED 13Katera letna obrestna mera prinese v obdobju od 12. 6. do 1. 9. istega (neprestopnega) leta, pri uporabi dnevne kapitalizacije in dekurzivnega obrestnega obrestovanja ter relativne metode, na zaetno glavnico 1400 EUR tono 12,48 obresti?

Glavnica se je obrestovala 81 dni. Izraunamo dnevni obrestovalni faktor (v pomo poglejte zgled 3 v tem poglavju) in iz njega doloimo dnevno proporcionalno obrestno mero, ki znaa 0,01096 %. Iz obrazca sledi, da znaa letna obrestna mera 365-kratno vrednost dnevne obrestne mere. % p.a.ZGLED 14

Koliko let se je obrestovala glavnica 20000 EUR, da je pri uporabi dekurzivnega obrestovanja, polletni kapitalizaciji in 2 % polletni obrestni meri, narasla na 24379,89 EUR?Sprememba obrestne mere tu ni potrebna. Podana obrestna mera (polletna) namre v tem primeru e ustreza kapitalizaciji. Izraunano, kolikokrat se je naa glavnica obrestovala: . Dobljena vrednost je tevilo polletij (n vedno izraa tevilo obdobij, ki ustrezajo kapitalizaciji). Ker naloga od nas zahteva as obrestovanja v letih, polletja preraunamo v leta (let je logino dvakrat manj kot polletij) in dobimo reitev naloge: glavnica se je obrestovala 5 let.

ZGLED 15Po kolikni letni anticipativni obrestni meri se je obrestovala glavnica 1000 EUR, da je v 6 mesecih, pri uporabi etrtletne kapitalizacije in relativnega naina, narasla na 1020,30 EUR?

Tudi naloge anticipativnega obrestovanja reujemo podobno kot naloge dekurzivnega obrestovanja, le da smo tukaj pozorni na razliko pri izraunu obrestovalnega faktorja. Zgled vam prepuam v vajo. Poleg zadnjih zgledov vam bo v pomo tudi zgled 9. Reitev pa je 4 % p. a.8. 3. 2 Konformna obrestna meraKonformna obrestna mera je takna obrestna mera, ki v enem letu, ne glede na vrsto kapitalizacije, prinese enake obresti kot letna obrestna mera pri celoletni kapitalizaciji, medtem ko pri relativnem nainu pogosteja kapitalizacija pomeni vije obresti. Pomeni, da je viina plaanih obresti za posojilojemalca, ki vrne kredit v enkratnem znesku natanko po enem letu, neodvisna od tega, kako pogosta je bila kapitalizacija. (ibej, 2004)

V tem primeru matematino spreminjamo obrestovalni faktor, saj le-ta doloa obresti. Velja , e predpostavimo obdobje enega leta. Po opravljenem korenjenju dobimo oz. ko za letni faktor vstavimo obrazec za njegov izraun, dobimo:

konformni dekurzivni obrestovalni faktor

konformni anticipativni obrestovalni faktor

ZGLED 16Z banko, ki daje posojila po letni anticipativni obrestni meri 7 % letno, smo sklenili pogodbo za posojilo v znesku 800 EUR, ki ga moramo vrniti v 100 dneh. Koliken znesek smo prejeli od banke ob sklenitvi posla, e uporabljamo konformno obrestno mero in dnevno kapitalizacijo?

Letni anticipativni obrestovalni faktor najprej spremenimo v dnevnega . Ob sklenitvi poslov smo prejeli manji znesek (anticipativno obrestovanje oznauje 800 EUR kot konno glavnico), kar pomeni, da iemo G0. Konno glavnico torej delimo z dnevnim obrestovalnim faktorjem, ki smo ga predhodno naobrestili za tevilo dni in tako dobimo izplaano posojilo v znesku 784,25 EUR.ZGLED 17Po kolikni letni dekurzivni obrestni meri se je obrestovala glavnica 1000 EUR, da je v 5 mesecih pri konformnemu nainu narasla za 5 % svoje vrednosti?

Ker gre za konformni nain, pri katerem so obresti enake ne glede na kapitalizacijsko obdobje, je ta podatek lahko izpuen. Mi bomo logino uporabili meseno kapitalizacijo. Konna glavnica znaa 105 % zaetne glavnice, kar je 1050 EUR. Izraunamo meseni obrestovalni faktor , sprmenimo ga v letnega . Glavnica se je torej obrestovala po 12,42 % p.a.To je bilo na kratko o obrestnem raunu vse. Ponovimo, da loimo navadno obrestovanje od obrestnega in dekurzivno od anticipativnega. Pri pogosteji kapitalizaciji pa imamo poleg relativne oziroma proporcionalne obrestne mere e konformno obrestno mero. Obrestovanje nas bo spremljalo e pri zadnjih poglavjih, to so poglavja o periodinih in hranilnih vlogah ter posojilih.VAJE

1. Glavnica 3000 EUR se obrestuje 5 let po 4 % p.a. anticipativno obrestnoobrestno pri letni kapitalizaciji. Kakna je letna dekurzivna mera, s katero bi v istem asu dobili za 20 EUR veje obresti?

2. Znesek, ki ga je dolnik vrnil, je bil trikrat toliken kot znesek izplaanega posojila. Po koliknem asu je vrnil denar, e je bilo obrestovanje dekurzivno obrestnoobrestno, glavnica se je obrestovala po 13,26 % p.a. in je kapitalizacija mesena ter se upoteva ustrezna proporcionana obrestna mera?3. Katera dekurzivna obrestna mera je ekvivalentna anticipativni obrestni meri 4,3 %? Koliko znaa dekurzivni obrestovalni faktor?

4. Glavnica se je obrestovala 10 let po povpreni obrestni meri 3,39 %. Prva 4 leta se je obrestovala po 3 %, nato 3 leta po 3,3 %, nato se obrestuje vse do konca po neznani obrestni meri. Koliko je znaala obrestna mera v zadnjem obdobju, e upotevamo dekurzivno obrestovanje in celoletno kapitalizacijo?

Reitve

1. 4,28 %

2. 100 mesecev

3. 4,49 %, 1,0449

4. 4 %9. LITERATURAibej, J. A. Poslovna matematika I. del. Ljubljana: DZS, 2002.

ibej, J. A. Poslovna matematika II. del. Ljubljana: DZS, 2004.

Jager, G. Poslovna matematika. Ljubljana: samozaloba, 2002.

Pir, V. Gradivo za predmet poslovna matematika 1 (gradivo za interno uporabo). Kamnik, CRM, 2007.

Pir, V. Gradivo za predmet poslovna matematika 2 (gradivo za interno uporabo). Kamnik, CRM, 2007.

ZBS: Priporoila o nainu obraunavanja obresti za posle s prebivalstvom. Ljubljana: ZBS, 2008.

Banka Slovenije. Teajnica Banke Slovenije- referenni teaji ECB. (online) 2009. (citirano 22. 5. 2009). Dostopno na naslovu: http://www.bsi.si/podatki/tec-bs.asp?MapaId=1230/

_1304326385.unknown

_1304842589.unknown

_1304962725.unknown

_1305013973.unknown

_1305050229.unknown

_1305916213.unknown

_1305958856.unknown

_1305958920.unknown

_1305958950.unknown

_1305959033.unknown

_1305959053.unknown

_1305959022.unknown

_1305958927.unknown

_1305958889.unknown

_1305916868.unknown

_1305917012.unknown

_1305917345.unknown

_1305916981.unknown

_1305916847.unknown

_1305091520.unknown

_1305096143.unknown

_1305098647.unknown

_1305099178.unknown

_1305915775.unknown

_1305100058.unknown

_1305098765.unknown

_1305097097.unknown

_1305097474.unknown

_1305097021.unknown

_1305091927.unknown

_1305096041.unknown

_1305091624.unknown

_1305050827.unknown

_1305090377.unknown

_1305090519.unknown

_1305090685.unknown

_1305090387.unknown

_1305050982.unknown

_1305090344.unknown

_1305050285.unknown

_1305050813.unknown

_1305047249.unknown

_1305049301.unknown

_1305049613.unknown

_1305049789.unknown

_1305050144.unknown

_1305049518.unknown

_1305049251.unknown

_1305049272.unknown

_1305047309.unknown

_1305014320.unknown

_1305014841.unknown

_1305014179.unknown

_1305010531.unknown

_1305011850.unknown

_1305012950.unknown

_1305013682.unknown

_1305011967.unknown

_1305011727.unknown

_1305010597.unknown

_1305010877.unknown

_1305007773.unknown

_1305008308.unknown

_1305008544.unknown

_1305009200.unknown

_1305008320.unknown

_1305007909.unknown

_1305008172.unknown

_1305006137.unknown

_1305007694.unknown

_1305006126.unknown

_1304928913.unknown

_1304930864.unknown

_1304932130.unknown

_1304962360.unknown

_1304932177.unknown

_1304930968.unknown

_1304929799.unknown

_1304930826.unknown

_1304928936.unknown

_1304844916.unknown

_1304845640.unknown

_1304845809.unknown

_1304845258.unknown

_1304844473.unknown

_1304844909.unknown

_1304842709.unknown

_1304759049.unknown

_1304838847.unknown

_1304840332.unknown

_1304841348.unknown

_1304841394.unknown

_1304840345.unknown

_1304839003.unknown

_1304839025.unknown

_1304838899.unknown

_1304789471.unknown

_1304790764.unknown

_1304791044.unknown

_1304790696.unknown

_1304760124.unknown

_1304760194.unknown

_1304760224.unknown

_1304760484.unknown

_1304760156.unknown

_1304759062.unknown

_1304759124.unknown

_1304759056.unknown

_1304602579.unknown

_1304758262.unknown

_1304758815.unknown

_1304758831.unknown

_1304758384.unknown

_1304758577.unknown

_1304756