Vjezbe 13-V

Kvantitativni modeli u finansijama

Sedmica 13. 1

BRUTO PREMIJA

1. Osoba životne dobi 40 godina želi osigurati 500.000,00 n.j. pod uslovom da se taj

iznos isplati ako doživi 65. godinu života, a ako umre ranije da se taj isti iznos isplati njenim nasljednicima, na kraju godine u kojoj smrt nastuppi. a) Kolika je jednokratna neto premija? b) Ako su akvizicioni troškovi 2%, inkaso troškovi 4% i administrativni troškovi 2%

kolika je jednokratna bruto premija? Komparirati i dati komentar za: c) izračunati odnos bruto i neto premije d) ako bi troškovi uprave (administrativni troškovi) bili 2‰ umjesto 2% kakav bi tada

bio odnos bruto i neto premije? e) ako bi se iznos bruto premije uložio u banku umjesto u osiguravajuće društvo

kakvi bi efekti bili? f) alternativno ulaganje istih iznosa novčanih sredstava, pod istim uvjetima, u

banke i osiguravajuća društva.

a) jednokratna neto premija

]

]

] 3440673,0

25500000

40

2540

40

6565402540

=

+−=

+−⋅=

===

++

AD

DMMA

DDMM

KA

nKx

x

nxnxxnx

y n.j. neto premije 500.000,00

0,3440673 n.j. neto premije 1,00 A=y=500.000,00*0,3440673 172.033,65 n.j.

b) jednokratna bruto premija

βαα +=' (akvizicioni i inkaso troškovi; kod jednokratne uplate računaju se od bruto premije)


Sedmica 13. 2

]( )0638297,1

06,011

'11

ä'%2%6'

=−

=−

=

⋅⋅+⋅===

α

γγα

k

KAkA nx

]( )

60,329552'

50000002,065,1720330638297,1'

ä'

40

6540

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⋅+⋅=

⋅⋅+⋅=

AD

NNA

KAkA nxγ

c)

915628716,165,17203360,329552'

==AA

Troškovi iznose 91% u odnosu na neto premiju što je izuzetno visok nivo troškova. d)

149009603,165,17203332,197668'

32,197668'

500000002,065,1720330638297,1'

‰2

40

6540

==

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅⋅+⋅=

=

AAA

DNN

A

γ

Troškovi iznose 14,90% u odnosu na neto premiju što je prihvatljivo visok nivo troškova. e) i f)

(i) ulaganje u osiguravajuće društvo 329.552,60 n.j. rezultira nakon 25 godina isplatom kapitala od 500.000,00 n.j. (povećanje za 51,72%)

(ii) ulaganje u banku 329.552,60 n.j. rezultira nakon 25 godina i 5% kamate p.a. isplatom kapitala: 08,982.115.105,160,329552 25 =⋅ n.j. (povećanje za 238,635494%)

Međutim, ako bi administrativni troškovi bili 2‰ umjesto 2% tada bi bruto premija bila 197.668,32 n.j. i kvalitativna komparacija bi bila kako sljedi:

(iii) ulaganje u osiguravajuće društvo 197.668,32 n.j. rezultira nakon 25 godina isplatom kapitala od 500.000,00 n.j. (povećanje neto premije za 152,94898%)


Sedmica 13. 3

(iv) ulaganje u banku 197.668,32 n.j. rezultira nakon 25 godina i 5% kamate p.a. isplatom kapitala: 09,66937505,1 197.668,32 25 =⋅ n.j. (povećanje za 238,635494%).

2. Osoba životne dobi 60 godina zaključi doživotno osiguranje za slučaj smrti na

glavnicu od 10.000,00 n.j. uz plaćanje doživotne godišnje premije. a) Koliko će iznositi godišnja bruto premija ako su akvizicioni troškovi jednokratno

4% od osigurane svote, administrativni troškovi 1,5‰ godišnje od osigurane svote i troškovi inkasa 2% godišnje od bruto premije?

b) Izračunati koliko iznose ukupni troškovi u postotku (u odnosu na neto premiju). c) Objasniti dobijene rezultate.

akvizicioni .... za jedinicu osigurane sume inkaso .... za jedinice bruto premije administrativni .... za jedinice osigurane sume

a) - neto premija

( )

0457336,0

10000

60

60

6060

=

⋅=

⋅==

PNM

P

NM

KAPPx

xxx


0,0457339 n.j. neto premije 1,00 P=y=10.000,00*0,0457339 457,34 n.j.

- bruto premija

08,520'712059,10

712059,10100000015,01000004,034,4570204081,1'

712059,10

0204081,102,01

11

1

'

60

60

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅⋅+⋅+⋅=

===

=−

=−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅+⋅+⋅=

P

P

DN

DN

a

k

aaKK

PkP

x

xx

x

x

β

γα

‰5,1%2%4

?'1000060

======

γβαPKx


Sedmica 13. 4

b)

%72,131372,134,45708,520'

===PP

iznose troškovi

3. Osoba životne dobi 40 godina osigura glavnicu od 80.000,00 n.j. za slučaj doživljenja 60. godine plaćajući jednaku godišnju premiju u toku cijelog obligacionog odnosa. a) Koliko će iznositi godišnja bruto premija ako su troškovi akvizicije 3% jednokratno

od osigurane svote, administrativni troškovi 2‰ godišnje od osigurane svote i inkaso troškovi 2% godišnje od bruto premije?

b) Također, izračunati za koliko je veća godišnja bruto premija od godišnje neto premije u apsolutnom iznosu i u postotku.

c) Objasniti dobijene rezultate.


a) - neto premija

( )

025058,0

80000

40

6040

6040

=−

⋅=

−⋅==

+

+

PNN

DP

NND

KEPPnxx

nxxx

y n.j. neto premije 80.000,00 0,025058 n.j. neto premije 1,00 P=y=80.000,00*0,025058 2004,64 n.j.

- bruto premija

]

]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅+⋅+⋅= '

'

'nx

nx

aaKK

PkPγα

Pošto se ovdje radi o privremenoj godišnjoj premiji za slučaj doživljenja, a cijelo vrijeme (ovdje 20 godina) se plaća premija (n=m=20) može se pisati i:

]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+⋅= K

aKPkPnx

γα''

‰2%2%3

?'2080000

40

=======

γβαPnKx


Sedmica 13. 5

]

]

03,2406'

80000002,0418133,12

8000003,064,20040204081,1'

'

418133,12

0204081,102,01

11

1

'

40

6040'

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅

+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+⋅=

=−

=−

=

=−

=−

=

+

P

P

Ka

KPkP

DNN

DNN

a

k

nx

x

nxxnx

γα

β

b)

%02,202002,164,200403,2406'39,401'

===

=−

PP

PP

4. Osoba životne dobi 60 godina osigura se privremeno za slučaj smrti na rok od 10 godina na glavnicu od 40.000,00 n.j. uz plaćanje godišnje premije do svoje 70. godine, odnosno do svoje ranije smrti. a) Koliko će iznositi godišnja bruto premija ako su troškovi akvizicije jednokratno 3%

od osigurane svote, troškovi uprave (administrativni) 2‰ godišnje od osigurane svote i troškovi inkasa 2% godišnje od bruto premije?

b) Izračunati za koliko je procenata veća godišnja bruto premija od godišnje neto premije, tj. koliko iznose ukupno svi troškovi u postotku?

c) Objasniti dobijene rezultate. akvizicioni .... za jedinicu osigurane sume inkaso .... za jedinice bruto premije administrativni .... za jedinice osigurane sume

a) - neto premija

]

]

] 0280251,0

40000

10;60

7060

706010;60

=−−

⋅=

−−

⋅=+

+

PNNMM

P

NNMM

KPnxx

nxxnx

‰2%2%3

?'1040000

60

=======

γβαPnKx


Sedmica 13. 6

y n.j. neto premije 40.000,00 0280251,0 n.j. neto premije 1,00

P=y=40.000,00*0,0250251 1121,004 n.j. - bruto premija

]

]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅+⋅+⋅= '

'

'nx

nx

aaKK

PkPγα

Pošto se ovdje radi o privremenoj godišnjoj premiji za slučaj doživljenja, a cijelo vrijeme (ovdje 10 godina) se plaća premija (n=m=10) može se pisati i:

]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+⋅= K

aKPkPnx

γα''

]

]

0448,1393'

40000002,03090461,7

4000003,0004,11210204081,1'

'

3090461,7

0204081,102,01

11

1

'

60

7060'

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅

+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+⋅=

=−

=−

=

=−

=−

=

+

P

P

Ka

KPkP

DNN

DNN

a

k

nx

x

nxxnx

γα

β

b)

%2676,242676,124100004,11210448,1393'

==⋅=PP

Troškovi iznose 24,2676% u odnosu na neto premiju.

5. Osoba životne dobi 40 godina osigura se doživotno za slučaj smrti uz doživotno plaćanje godišnje premije. Godišnja bruto premija iznosi 1.000,00 n.j. a) Na koliku je glavnicu osiguranik osiguran ako su troškovi akvizicije jednokratno

4% od osiguranine, administrativni troškovi 1,85‰ godišnje od osiguranine i troškovi inkasa 1,5% godišnje od bruto premije?

b) Kolika je godišnja neto premija? c) Koliko iznose ukupni troškovi po jednoj premiji? d) Objasniti dobijene rezultate.


‰85,1%5,1

%4?1000'40

======

γβαKPx


Sedmica 13. 7

a)

x

xx N

MKP ⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅+⋅+⋅= '

'

'x

x

aaKK

PkPγα

37,48626

00185,004,0

015,0111000

015,011

11

40

40

40

40

40

40

40

40'

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ ⋅⋅+⋅+⋅⋅

−=

==

−=

−=

KDN

DN

KKK

NM

DN

DN

a

k

x

xx

β

b)

56,771

37,48626

40

40

4040

=

⋅=

⋅=

PNM

P

NM

KPx

xx

Osigurana glavnica je 48.626,37 n.j. a godišnja neto premija 771,56 n.j. c)

%61,2961,12910056,771

1000'==⋅=

PP



Sedmica 13. 8

6. Osoba životne dobi 46 godina zaključila je mješovito osiguranje na rok od 20 godina i osigurala se na glavnicu od 100.000,00 n.j. a) Koliku će godišnju bruto premiju plaćati za ovo osiguranje ako su troškovi

akvizicije 3,5% jednokratno od osiguranine, troškovi uprave (administrativni) 2,25‰ godišnje od osiguranine i troškovi inkasa 1,75% godišnje od bruto premije?

b) Koliko iznose ukupni troškovi po jednoj premiji? c) Objasniti dobijene rezultate.

‰25,2%75,1

%5,3?'100000

2046

=====

===

γβαPK

nmx

a) - neto premija

]

]

] 0353266,020;46

6646

66664620;46

=−

+−=

−+−

=+

++

PNN

DMMP

NNDMM

Pnxx

nxnxxnx


0,0353266 n.j. neto premije 1,00 P=y=100.000,00*0,0353266 3532,66 n.j.

- bruto premija

]

]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅+⋅+⋅= '

'

'nx

nx

aaKK

PkPγα

]⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+⋅= K

aKPkPnx

γα''


Sedmica 13. 9

]

]

0712,4120'

10000000225,0056077,12

100000035,066,35320178117,1'

'

056077,12

0178117,10175,01

11

1

'

46

6646'

=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ⋅+⋅

+⋅=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+⋅=

=−

=−

=

=−

=−

=

+

P

P

Ka

KPkP

DNN

DNN

a

k

nx

x

nxxnx

γα

β

b)

%628,16628,11610066,3532

0712,4120'==⋅=

PP


7. Osoba životne dobi 60 godina osigura se doživotno za slučaj smrti na glavnicu od 10.000,00 n.j. uz plaćanje godišnje premije najduže 20 godina ili do svoje ranije smrti. a) Koliko iznosi godišnja bruto premija ako su troškovi akvizicije 3% jednokratno od

osigurane svote, troškovi uprave 2‰ godišnje od osigurane svote i troškovi inkasa 1,75% godišnje od bruto premije?


‰2%75,1

%3?'100002060

=======

γβαPKmx

a) - neto premija


Sedmica 13. 10

( ) ( )

( ) 0483304,08060

606020

6020

=−

=

−==

+

NNM

AP

NNM

APAPmxx

xxm


0,0483304 n.j. neto premije 1,00

P=y=10.000,00*0,0483304 483,304 n.j. - bruto premija

]

01781178,10175,011

11

' '

'

=−

=−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅+⋅+⋅=

β

γα

k

aaKKPkP

nx

x

]

54776,543'

10000002,01000003,0304,4830178117,1'

136489,10

712059,10

60

8060

60

60

60

8060'

60

60'

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅⋅+⋅+⋅=

=−

=−

=

===

+

PD

NNDN

P

DNN

DNN

a

DN

DN

a

x

mxxmx

x

xx

b)

%46,121246,1304,483

54776,543'===

PP

Troškovi iznose 12,46% u odnosu na neto premiju. Važno je primjetiti da se troškovi praveobračunavaju u ijelom obligacionom odnosu (osiguranje je doživotno) a ne samo u periodu plaćanja premije.


Sedmica 13. 11

8. Osoba životne dobi 50 godina se osigura na stalan rok od 20 godina na glavnicu od 100.000,00 n.j. a) Koliku godišnju bruto premiju treba plaćati do svoje 70. godine života, odnosno

do svoje ranije smrti, ako su troškovi akvizicije 3% jednokratno od osigurane svote, troškovi uprave 2‰ godišnje od osigurane svote i troškovi inkasa 1,5% godišnje od bruto premije?


‰2%5,1

%3?'1000002050

=======

γβαPKnx

a) - neto premija

8909,322305,11100000

7050

5020

=−

⋅⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅=

−⋅⋅=

+

NND

P

NND

vKPnxx

xn

NAPOMENA: Kod osiguranja na stalan rok broj lica koja započinju obligacioni odnos jednak je broju lica koji trebaju na kraju obligacionog odnosa naplatiti osigurani kapital (ta ista lica ili neko drugi u njihovo ime).

( )( )( )

nxx

xn

xn

nxx

xn

nxxxxx

xx

nnnxxxxx

NND

vKP

DvKNNP

DvKDDDDDP

vlvKvlvlvlvllP

+

+

−++++

−−++++

−⋅⋅=

⋅⋅=−⋅

⋅⋅=+++++⋅

⋅⋅⋅=⋅++⋅+⋅+⋅+⋅

1321

11

33

221

...

/...

- bruto premija

]

0152284,1015,01

11

1

' '

=−

=−

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+

⋅+⋅=

β

γα

k

Ka

KPkPnx


Sedmica 13. 12

]

]

5562,3736'

100000002,010000003,089,32230152284,1'

690525,11

50

7050

50

7050'20;50

'

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+−⋅

+⋅=

=−

=

−= +

PD

NNP

DNN

a

DNN

ax

nxxnx

b)

%9,15159,189,322356,3736'

===PP


Documents

Vjezbe 13-V