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1 引 言

在 传 统 的 傅 立 叶 分 析 中 , 信 号 完 全 是 在 频 域 展 开 的 , 不 包

含 任 何 时 频 的 信 息 , 这 对 于 某 些 应 用 来 说 是 很 恰 当 的 , 因 为 信

号 的 频 率 的 信 息 对 其 是 非 常 重 要 的 。 但 其 丢 弃 的 时 域 信 息 可

能 对 某 些 应 用 同 样 非 常 重 要 , 所 以 人 们 对 傅 立 叶 分 析 进 行 了

推 广 , 提 出 了 很 多 能 表 征 时 域 和 频 域 信 息 的 信 号 分 析 方 法 , 如

短 时 傅 立 叶 变 换 , Gabor 变 换 , 时 频 分 析 , 小 波 变 换 等 。 而 小 波

分 析 则 克 服 了 短 时 傅 立 叶 变 换 在 单 分 辨 率 上 的 缺 陷 , 具 有 多

分 辨 率 分 析 的 特 点 , 使 其 在 图 像 处 理 中 得 到 了 广 泛 应 用 。

2 小 波 的 定 义

小 波 变 换 是 一 种 信 号 的 时 间 - 尺 度 分 析 方 法 , 能 够 提 供

具 有 良 好 局 部 化 性 质 的 正 交 基 , 把 中 的 函 数 与 中 的 数 列 等 同

起 来 , 从 而 把 分 析 问 题 转 化 为 代 数 问 题 来 解 决 。小 波 分 析 之 所

以 在 信 号 处 理 中 有 着 强 大 的 功 能 , 是 基 于 其 分 离 信 息 的 思 想 ,分 离 到 各 个 小 波 域 的 信 息 除 了 与 其 他 小 波 域 的 关 联 , 使 得 处

理 的 时 候 更 为 灵 活 。 其 定 义 如 下 :设 Vj!"

j∈ Z 是 空 间 L2(R)中 的 一 个 闭 子 空 间 , 如 果 Vj!"

j∈ Z 满

足 如 下 四 个 条 件 :( 1) 一 致 单 调 性 : Vj#Vj+1, 对 任 意 j∈Z

( 2) 渐 进 完 全 性 : Ij∈ Z

Vj=Φ , close Uj∈ Z

Vj! "=L2(R)

( 3) 伸 缩 规 则 性 : f(t)∈Vj$f(2t)∈Vj+1

( 4) 正 交 基 存 在 性 : 存 在 φ (t)∈V0, 使 得 φj(2- j/2t- k)|k∈! "Z构 成 Vj 的 Risez 基 , 则 Vj

!"j∈ Z 被 称 为 多 分 辨 率 分 析 。

小 波 变 换 在 时 域 和 频 域 都 有 表 征 信 号 局 部 信 息 的 能 力 ,时 间 窗 和 频 率 窗 都 可 以 根 据 信 号 的 具 体 形 态 动 态 调 整 , 在 一

般 情 况 下 , 在 低 频 部 分 (信 号 较 平 稳 )可 以 采 用 较 低 的 时 间 分 辨

率 , 而 提 高 频 率 的 分 辨 率 , 在 高 频 情 况 下 (频 率 变 化 不 大 )可 以

用 较 低 的 频 率 分 辨 率 来 换 取 精 确 的 时 间 定 位 。因 为 这 些 特 定 ,小 波 分 析 可 以 探 测 正 常 信 号 中 的 瞬 态 , 并 展 示 其 频 率 成 分 , 被

称 为 数 学 显 微 镜 , 广 泛 应 用 于 各 个 时 频 分 析 领 域 。

3 小 波 变 换 在 图 像 处 理 中 的 应 用

小 波 分 析 在 图 像 处 理 中 有 非 常 重 要 的 应 用 , 包 括 图 像 压

缩 , 图 像 去 噪 , 图 像 融 合 , 图 像 分 解 , 图 像 增 强 等 。

3.1 小 波 变 换 在 图 像 压 缩 中 的 应 用

二 维 小 波 分 析 用 于 图 像 压 缩 是 小 波 分 析 应 用 的 一 个 重 要

方 面 。 它 的 特 点 是 压 缩 比 高 , 压 缩 速 度 快 , 压 缩 后 能 保 持 图 像

的 特 征 基 本 不 变 , 且 在 传 递 过 程 中 可 以 抗 干 扰 。小 波 分 析 用 于

图 像 压 缩 具 有 明 显 的 优 点 。 基 于 小 波 分 析 的 图 像 压 缩 方 法 很

多 , 比 较 成 功 的 有 小 波 包 、小 波 变 换 零 树 压 缩 、小 波 变 换 矢 量

量 化 压 缩 等 。

一 幅 图 像 经 过 小 波 分 解 后 , 可 得 到 一 系 列 不 同 分 辨 率 的

子 图 像 , 不 同 分 辨 率 的 子 图 像 对 应 的 频 率 是 不 相 同 的 。高 分 辨

率 子 图 像 上 大 部 分 点 的 数 值 都 接 近 于 0 , 所 以 可 以 用 低 频 部 分

表 现 一 幅 图 像 的 主 要 信 息 。

图 像 对 比 如 图 3.1 所 示 。

第 一 次 压 缩 提 取 的 是 原 始 图 像 中 小 波 分 解 第 1 层 的 低 频

信 息 , 此 时 压 缩 效 果 较 好 , 压 缩 比 为 27.8% ; 第 二 次 压 缩 是 提

取 第 一 层 分 解 低 频 部 分 的 低 频 部 分 , 其 压 缩 比 为 8.6%。第 二 、

三 和 四 层 的 压 缩 比 基 本 不 变 , 但 是 第 二 次 压 缩 的 视 觉 效 果 相

对 较 好 。这 是 一 种 最 简 单 的 压 缩 方 法 , 只 保 留 原 始 图 像 中 低 频

信 息 , 不 经 过 其 他 处 理 即 可 获 得 较 好 的 压 缩 效 果 。在 上 面 的 例

子 中 , 我 们 还 可 以 只 提 取 小 波 分 解 更 高 层 的 低 频 信 息 。从 理 论

上 说 , 可 以 获 得 任 意 压 缩 比 的 压 缩 图 像 [1]。

利 用 二 维 小 波 变 换 进 行 图 像 压 缩 时 , 小 波 变 换 将 图 像 从

空 间 域 变 换 到 时 间 域 , 它 的 作 用 与 以 前 在 图 像 压 缩 中 所 用 到

的 离 散 余 弦 (DCT)、傅 立 叶 变 换 (FFT)等 的 作 用 类 似 。 但 是 要 很

好 的 进 行 图 像 的 压 缩 , 需 要 综 合 的 利 用 多 种 其 他 技 术 , 特 别 是

数 据 的 编 码 与 解 码 算 法 等 , 所 以 利 用 小 波 分 析 进 行 图 像 压 缩

通 常 需 要 利 用 小 波 分 析 和 许 多 其 他 相 关 技 术 共 同 完 成 。

图 3.1 利 用 二 维 小 波 分 析 进 行 图 像 压 缩

在 图 像 的 压 缩 过 程 中 通 常 采 用 小 波 阈 值 法 , 小 波 变 换 可 以

将 信 号 的 能 量 集 中 到 少 数 的 小 波 系 数 上 , 即 信 号 的 小 波 变 换 系

数 集 中 在 频 率 空 间 上 的 有 限 部 分 。小 波 阈 值 法 利 用 信 号 和 噪 声

小 波 系 数 幅 值 上 的 差 异 , 通 过 选 择 一 个 合 适 的 阈 值 , 对 小 波 系

数 进 行 处 理 , 以 达 到 去 除 噪 声 又 保 留 有 用 信 号 的 目 的 [2]。 有 两

种 具 体 方 法 : 全 局 阈 值 化 方 法 和 分 层 阈 值 化 方 法 。全 局 阈 值 化

方 法 作 用 的 信 息 密 度 太 大 , 不 够 精 细 , 所 以 很 难 同 时 获 得 高 的

压 缩 比 和 能 量 保 留 成 分 , 而 分 层 阈 值 化 压 缩 方 法 同 全 局 阈 值

化 方 法 相 比 , 在 能 量 损 失 不 是 很 大 的 情 况 下 可 以 获 得 最 高 的

压 缩 比 , 这 主 要 是 因 为 层 数 和 方 向 相 关 的 阈 值 化 方 法 能 利 用

更 精 细 的 细 节 信 息 进 行 阈 值 化 处 理 。 下 面 这 个 例 子 分 别 采 用

两 种 方 法 进 行 图 像 压 缩 [3], 如 图 3.2 所 示 。

图 3.2 图 像 的 全 局 阈 值 化 压 缩 和 分 层 阈 值 化 压 缩

图 3.3 基 于 小 波 包 分 析 的 图 像 压 缩

小 波 变 换 是 基 于 分 离 信 息 的 思 想 , 但 是 小 波 分 解 仍 然 不

够 灵 活 , 分 解 出 来 的 小 波 树 只 有 一 种 模 式 , 不 能 完 全 地 体 现 时

小波变换在图像处理中的应用

安 徽 财 经 大 学 信 息 工 程 学 院 门 秀 萍

[ 摘 要] 小 波 变 换 是 一 种 快 速 发 展 和 比 较 流 行 的 信 号 分 析 方 法 , 其 在 图 像 处 理 中 有 非 常 重 要 的 应 用 , 包 括 图 像 压

缩 , 图 像 去 噪 , 图 像 融 合 , 图 像 分 解 , 图 像 增 强 等 。 小 波 分 析 是 傅 立 叶 分 析 思 想 方 法 的 发 展 与 延 拓 。 除 了 连 续 小 波

(CWT )、离 散 小 波 (DWT ), 还 有 小 波 包 (Wavelet Packet)和 多 维 小 波 。 本 文 主 要 介 绍 小 波 变 换 的 发 展 及 其 在 图 像 处 理

中 的 应 用 。

[ 关 键 词] 小 波 变 换 傅 里 叶 变 换 图 像 处 理

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频 局 部 化 信 息 。 而 压 缩 的 核 心 思 想 既 是 尽 可 能 去 除 各 小 波 域

系 数 之 间 的 信 息 关 联 , 最 大 限 度 体 现 时 频 局 部 化 的 信 息 , 因

此 , 实 际 的 压 缩 算 法 多 采 用 小 波 包 算 法 , 而 小 波 树 的 确 定 则 是

根 据 不 同 的 信 息 论 准 则 , 以 达 到 分 解 系 数 表 达 的 信 息 密 度 最

高 。 如 图 3.3 和 图 3.4 所 示 。

图 3.4 压 缩 过 程 使 用 的 最 优 小 波 树

3.2 小 波 分 析 用 于 图 像 去 噪

噪 声 对 图 像 处 理 十 分 重 要 , 它 影 响 图 像 处 理 的 输 入 、采

集 、处 理 的 各 个 环 节 以 及 输 出 结 果 的 全 过 程 。因 此 一 个 良 好 的

图 像 处 理 系 统 都 把 减 少 最 前 一 级 的 噪 声 作 为 主 要 目 标 。 除 噪

是 图 像 处 理 中 极 其 重 要 的 步 骤 。

二 维 模 型 可 以 表 述 为

s(i,j)=f( i,j)+δ·e(i,j) i,j=0,1,⋯ , m- 1其 中 , e 是 标 准 偏 差 不 变 的 高 斯 白 噪 声 。 二 维 信 号 用 二 维

小 波 分 析 的 去 噪 步 骤 有 3 步 :(1)二 维 信 号 的 小 波 分 解 。 选 择 一 个 小 波 和 小 波 分 解 的 层

次 N, 然 后 计 算 信 号 s 到 第 N 层 的 分 解 。

(2)对 高 频 系 数 进 行 阈 值 量 化 。对 于 从 1 到 N 的 每 一 层 , 选

择 一 个 阈 值 , 并 对 这 一 层 的 高 频 系 数 进 行 软 阈 值 量 化 处 理 。

(3)二 维 小 波 的 重 构 。 根 据 小 波 分 解 的 第 N 层 的 低 频 系 数

和 经 过 修 改 的 从 第 一 层 到 第 N 层 的 各 层 高 频 系 数 计 算 二 维 信

号 的 小 波 重 构 。

在 这 3 个 步 骤 中 , 重 点 是 如 何 选 取 阈 值 和 阈 值 的 量 化 。 在

阈 值 选 择 上 , 可 以 使 用 统 一 的 全 局 阈 值 , 有 可 以 分 作 三 个 方 向 ,分 别 是 水 平 方 向 、竖 直 方 向 和 对 角 方 向 , 这 样 就 可 以 把 在 所 有

方 向 的 噪 声 分 离 出 来 , 通 过 作 用 阈 值 抑 制 其 成 分 。 下 面 是 对 一

幅 二 维 图 像 进 行 去 噪 的 例 子 , 噪 声 信 号 通 过 随 机 函 数 产 生 。

图 3.5 图 像 去 噪

3.3 小 波 分 析 用 于 图 像 增 强

图 像 增 强 问 题 主 要 通 过 时 域 和 频 域 处 理 两 种 方 法 来 解

决 。时 域 方 法 通 过 直 接 在 图 像 点 上 作 用 算 子 或 掩 码 来 解 决 , 频

域 方 法 通 过 修 改 傅 立 叶 变 换 系 数 来 解 决 。 这 两 种 方 法 的 优 劣

很 明 显 , 时 域 方 法 方 便 快 速 但 会 丢 失 很 多 点 之 间 的 相 关 信 息 ,频 域 方 法 可 以 很 详 细 地 分 离 出 点 之 间 的 相 关 , 但 需 要 做 两 次

数 量 级 为 nlogn 的 傅 立 叶 变 换 和 逆 变 换 的 操 作 , 计 算 量 大 得

多 。小 波 分 析 的 多 尺 度 分 析 特 性 为 用 户 提 供 了 更 灵 活 的 处 理 方

法 。 可 以 选 择 任 意 的 分 解 层 数 , 用 尽 可 能 少 的 计 算 量 得 到 我 们

满 意 的 结 果 。 小 波 变 换 将 一 幅 图 像 分 解 为 大 小 、位 置 和 方 向 都

不 同 的 分 量 。在 做 逆 变 换 之 前 可 以 改 变 小 波 变 换 域 中 某 些 系 数

的 大 小 , 这 样 就 能 够 有 选 择 地 放 大 所 感 兴 趣 的 分 量 而 减 小 不 需

要 的 分 量 。 图 像 的 轮 廓 主 要 体 现 在 低 频 部 分 , 细 节 部 分 体 现 在

高 频 部 分 , 因 此 可 以 通 过 对 低 频 分 解 系 数 进 行 增 强 处 理 , 对 高

频 分 解 系 数 进 行 衰 减 处 理 , 从 而 达 到 图 像 增 强 的 效 果 。

3.3.1 图 像 钝 化

图 像 钝 化 在 时 域 中 的 处 理 相 对 简 单 , 只 需 要 对 图 像 作 用 一

个 平 滑 滤 波 器 , 使 得 图 像 中 的 每 个 点 与 其 相 邻 点 做 平 滑 即 可 。

通 过 两 种 方 法 对 图 像 钝 化 的 结 果 做 一 下 比 较 , 如 图 3.6 所 示 :采 用 DCT 在 频 域 做 滤 波 的 方 法 得 到 钝 化 结 果 更 为 平 滑 ,

这 是 因 为 其 分 辨 率 最 高 , 而 小 波 方 法 得 到 的 结 果 在 很 多 地 方

有 不 连 续 的 现 象 , 因 为 我 们 对 系 数 做 放 大 或 抑 制 在 阈 值 两 侧

有 间 断 , 而 且 分 解 层 数 很 低 , 没 有 完 全 分 离 出 频 域 的 信 息 。 而

且 我 们 在 做 系 数 放 大 或 抑 制 的 时 候 , 采 用 的 标 准 是 根 据 系 数

绝 对 值 的 大 小 , 没 有 完 全 体 现 出 其 位 置 信 息 , 但 是 在 小 波 系 数

中 , 我 们 很 容 易 在 处 理 系 数 的 过 程 中 加 入 位 置 信 息 。

图 3.6 采用 DCT 方法和小波方法分别对图像进行钝化处理的结果

3.3.2 图 像 锐 化

图 像 锐 化 的 任 务 是 突 出 高 频 信 息 , 抑 制 低 频 信 息 , 从 快 速

变 化 的 成 分 中 分 离 出 标 识 系 统 特 性 或 区 分 子 系 统 边 界 的 成

分 , 以 便 于 进 一 步 的 识 别 、分 割 等 操 作 。

在 空 域 中 , 锐 化 的 方 法 不 外 乎 是 作 用 掩 码 或 做 差 分 , 都 很

难 识 别 点 之 间 的 关 联 信 息 , 下 面 的 例 子 同 样 是 在 频 域 完 成 的 ,用 传 统 的 傅 立 叶 分 析 方 法 得 到 的 频 域 系 数 。

下 面 的 例 子 展 示 了 使 用 小 波 变 换 和 DCT 两 种 方 法 进 行 锐

化 的 效 果 , 如 图 3.7 所 示 。

图 3.7 采用 DCT 方法和小波方法分别对图像进行锐化处理

使 用 DCT 方 法 进 行 高 通 滤 波 得 到 的 高 频 结 果 比 较 纯 粹 ,完 全 是 原 图 像 上 的 边 缘 信 息 , 而 在 小 波 方 法 得 到 的 结 果 中 , 不

只 有 高 频 成 分 , 还 有 变 换 非 常 缓 慢 的 低 频 成 分 , 这 是 因 为 两 者

同 样 在 小 波 系 数 上 体 现 为 绝 对 值 较 低 的 部 分 , 但 这 些 成 分 的

存 在 对 我 们 进 行 进 一 步 分 析 并 无 多 大 影 响 。

对 DCT 方 法 , 需 要 做 两 次 复 杂 度 为 O(nlogn)的 DCT 变 换 ,中 间 系 数 处 理 部 分 复 杂 度 为 O(n), 而 对 小 波 变 换 , 无 论 是 分 解

和 重 构 还 有 系 数 处 理 的 复 杂 度 都 是 O(n), 所 以 时 间 复 杂 度 的

优 势 非 常 明 显 。

3.4 小 波 分 析 用 于 图 像 融 合

图 像 融 合 是 将 同 一 对 象 的 两 个 或 更 多 的 图 像 合 成 在 一 幅

图 像 中 , 以 便 它 比 原 来 的 任 何 一 幅 图 像 更 容 易 为 人 们 所 理 解 。

这 一 技 术 可 应 用 于 多 频 谱 图 像 理 解 以 及 医 学 图 像 处 理 等 领

域 。在 这 些 场 合 , 同 一 物 体 部 件 的 图 像 往 往 是 采 用 不 同 的 成 像

机 理 得 到 的 。

4 总 结

小 波 变 换 是 一 种 最 近 快 速 发 展 的 信 号 分 析 方 法 , 能 够 同 时

提 供 信 号 在 时 域 和 频 域 中 的 信 息 , 解 决 了 传 统 傅 里 叶 变 换 中 的

一 些 缺点 。并且 由 于其 运算 时 间也 比傅 里 叶变 换少 ,因 此在 现代

工程 中得 到了 广 泛的 应用 ,成 为工 程师 最 有用 的工 具 之一 [4][5]。本

论 文 主 要 结 合 小 波 变 换 的 基 本 概 念 和 基 本 原 理 , 详 细 讨 论 小

波 在 图 像 处 理 领 域 的 应 用 , 并 结 合 MATLAB 程 序 设 计 语 言 提

供 了 几 个 实 例 说 明 小 波 变 换 的 优 势 和 用 途 。

参 考 文 献

[1] 张 兆 礼 , 张 春 晖 , 梅 晓 丹 . 现 代 图 像 处 理 技 术 及 Matlab实 现 .北 京 :人 民 邮 电 出 版 社 .2001

[2]BELHUMEUR P N,HESPANHA J P,KR IEGMAN D J.Eigenfaces vs. Fiaherfaces:R ecognition using class specific linear projec-tion [J].IEEE Transation on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1997,19(5):711- 720.

[3]董 长 虹 , 高 志 , 余 啸 海 .Matlab 小 波 分 析 工 具 箱 原 理 与 应

用 .北 京 :国 防 工 业 出 版 社 , 2004[4]R uskaiM B, Beylkin G, Coifman R et al. Wavelets and their

App lications. Jones and Bartlett. 1992[5]Schumaker L L, Webb G. R ecentAdvances inWaveletAnalysis.

Academic Press, 1993

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