Міністерство освіти і науки УкраїниДепартамент освіти і науки, молоді та спорту

Хмельницької обласної державної адміністраціїХмельницьке територіальне відділення МАН України

Дунаєвецька районна філія

Відділення: математикаСекція: прикладна математика

ГРАФИ ТА ЇХ ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ

Роботу виконала: Фалендиш Ольга Володимирівна,учениця 11 класу Шатавського НВК «Загальноосвітня школа І-ІІ ступенів, колегіум»

Науковий керівник:Кухарчук Людмила Борисівна, вчитель математики та інформатики Шатавського НВК «Загальноосвітня школа І-ІІ ступенів, колегіум»

Дунаївці – 2014

«Графи та їх практичне застосування»

Фалендиш Ольга Володимирівна

учениця 11 класу Шатавського НВК «ЗОШ І-ІІ ст. колегіум»

Хмельницьке територіальне відділення МАН України

Дунаєвецький районний будинок творчості школярів

Науковий керівник: Кухарчук Людмила Борисівна, вчитель математики та

інформатики Шатавського НВК «ЗОШ І-ІІ ст. , колегіум»

ТЕЗИ

Теорія графів в основному була пов’язана з математичними розвагами і

головоломками, тому була спочатку незначним розділом математики. Проте

подальший розвиток математики і особливо її напрямків дав сильний поштовх до

розвитку теорії графів. Сьогодні сучасні досягнення теорії графів використовуються

у різних галузях знань, що підтверджує наукову та практичну значущість цієї

проблеми.

Актуальність нашої роботи полягає у тому, що на даний момент теорія графів

все ширше застосовується в різноманітних сферах життєдіяльності. Вивчаючи

теорію графів, ми поставили перед собою мету: показати як використовуються

графи до розв’язування логічних задач, математичних головоломок, навчитись

застосовувати графи для розв’язування систем рівнянь та відшукання найкоротших

шляхів.

Метою нашого дослідження було ознайомитися з історією виникнення графів,

дати основні означення та показати практичну цінність теорії графів.

Завдання:

-дослідити, коли вперше з’явилося поняття графа ;

-простежити основні поняття графів;

-проаналізувати використання графів до розв’язування задач.

У роботі висвітлюються лише основні теоретичні поняття графів, алгоритм

Дейсктри та деякі практичні способи застосування графів: відшукання найкоротших

шляхів, розв’язання математичних головоломок, систем рівнянь.

2

ЗМІСТ

ВСТУП………………………………………………………………………………4

РОЗДІЛ 1. Основні поняття теорії графів

1.1. Задачі, що приводять до поняття графів………………………………. 6

1.2. Означення теорії графів…………………………………………………7

РОЗДІЛ 2. Застосування теорії графів до розв’язування задач

2.1. Застосування графів до розв’язування математичних

логічних задач…………………………………………………………………13

2.2. Пошук найкоротших шляхів на графі.

Алгоритм Дейкстри…………………………………………………………...14

2.3. Розв’язування систем рівнянь………………………………………….. 17

ВИСНОВКИ……………………………………………………………………… 24

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ТА ЛІТЕРАТУРИ……………………..25

ДОДАТКИ

3

ВСТУП

Спробуйте намалювати «заклеєний конверт» не відриваючи ручки від паперу і

не проводячи двічі один і той самий відрізок. Такого роду питання ще з давніх-давен

цікавили математиків. Часто математичні поняття виникали з необхідності. Теорія

графів в основному була пов’язана з математичними розвагами і головоломками,

тому була спочатку незначним розділом математики. Декілька століть тому

математиків, які досліджували дану проблему, називали диваками і мрійниками.

Проте подальший розвиток математики і особливо її напрямків дав сильний

поштовх до розвитку теорії графів. Сьогодні сучасні досягнення теорії графів

використовуються у різних галузях знань, що підтверджує наукову та практичну

значущість цієї проблеми.

Багато задач прикладного характеру зводяться до розгляду сукупності об’єктів,

властивості яких описуються зв’язками між ними. В таких випадках зручно дані

об’єкти відображати точками, а зв’язки між ними – відрізками прямої чи кривої з

кінцями в даних точках. При цьому довжини відрізків і розміщення точок можуть

бути довільними.

Перша робота по теорії графів з’явилась в 1736 році. Вона належала відомому

швейцарському математику Л.Ейлеру (див. Додаток А). В одному зі своїх листів він

формулює і пропонує розв’язок завдання про сім Кенігсборських мости. Ця задача

згодом стала однією з класичних задач теорії графів. Вже в XIX столітті графи

використовувалися при побудові схем електричних ланцюгів і молекулярних схем. З

іншого боку, ця теорія широко застосовується в різноманітних практичних

питаннях: при встановленні різного виду відповідностей, при вирішенні

транспортних задач, задач про потоки в мережі нафтопроводів. Теорія графів тепер

застосовується і в таких областях, як економіка, психологія і біологія. Як окрема

математична дисципліна, теорія графів була вперше представлена в роботі

угорського математика Кеніга в 30-ті роки ХХ століття (див. Додаток Б).

Математичні розваги і головоломки також залишаються частиною теорії графів,

4

особливо якщо віднести до них знамениту проблему чотирьох фарб, що інтригує

математиків і до цього дня.

Граф, з формальної точки зору, можна розглядати як один із різновидів

алгебраїчної системи. Результати та методи алгебри широко використовуються в

теорії графів. За допомогою графів описуються взаємозв’язки між об’єктами,

процесами чи подіями. Граф – це досить чітка модель для вивчення окремих явищ

навколишньої дійсності. Тому темою науково – дослідницької роботи є «Графи та їх

застосування». У своїй роботі ми розглядаємо деякі прості питання теорії графів та

конкретні завдання, які можна розв’язувати такими методами, що і є об’єктом

дослідження.

Метою нашого дослідження було ознайомитися з історією виникнення графів,

дати основні означення та показати практичну цінність теорії графів.

Актуальність роботи полягає у тому, що на даний момент теорія графів все

ширше застосовується в різноманітних сферах нашої життєдіяльності. Зокрема, у

фізиці: для побудови схем до розв’язування задач, за допомогою графів значно

спрощується розв’язання задач з електротехніки. Архітектори використовують

графи для найбільш раціонального розміщення об’єктів і прокладання доріг на плані

забудови населеного пункту. Біологи використовують графи для розв’язання задач з

генетики. Математики – для розв’язування систем рівнянь. Вивчаючи теорію графів,

ми поставили перед собою мету: показати як використовуються графи до

розв’язування логічних задач, математичних головоломок, навчитись застосовувати

графи для розв’язування систем рівнянь та відшукання найкоротших шляхів.

Завданнями є:

- дослідити, коли вперше з’явилося поняття графа ;

- простежити основні поняття графів;

- проаналізувати використання графів до розв’язування задач.

5

РОЗДІЛ 1

Основні поняття теорії графів

1.1.Задачі, що приводять до поняття графів

Початок теорії графів пов’язують із такими задачами.

Задача 1. Про Кенігзберзькі мости.

У Кенігсберзі було два острови, з’єднаних сімома мостами з берегами річки

Прегель та один із одним (див. Додаток В). Задача полягала в пошуку маршруту

проходження всіх чотирьох частин суші, який мав починатися на довільній з них,

закінчуватися на ній же та по одному разу проходити кожен міст. Проте всі спроби

знайти маршрут були невдалими. Розв’зок до цієї задачі запропонував Л.Ейлер.

Такого шляху не існує.

Задача 2. «Про три колодязі»

Три сусідки посперечалися і викопали кожна по колодязю. Вирішили прокласти

стежки до кожного колодязя (див. Додаток Г), але таким чином, щоб не зустрічатися

одна з одною. Чи можна зробити так, щоб стежки не перетиналися?

Така задача має важливе практичне значення при побудові залізниць.

Відповідь на цю задачу запропонував математик Куратовський у 1930 році.

Задача 3. «Про чотири фарби»

Чи можна зафарбувати карту світу використовуючи лише 4 фарби (див.

Додаток Д) так, щоб жодні дві сусідні країни не зафарбовувались одним кольором.

Допускається зафарбовування одним кольором лише коли вони межують одна з

одною лише однією точкою. У 1976 році Аппель і Хейкі опублікували рішення

задачі про чотири фарби, яке базувалося на переборі варіантів за допомогою

комп'ютера. 

6

1

6

3

5

4

2

7

Рис. 1.1 Зображення графа

1.2.Означення теорії графів

Означення. Непорожня множина точок і відрізків, обидва кінці яких належать

заданій множині точок, називається графами.

Нехай V – не порожня множина, яку ми будемо називати множиною вершин.

V(2) - не впорядкована множина двох векторів.

Означення. Графом G називається пара множин таких (V, E), де E – довільна

підмножина множини V(2). Множину E називають множиною ребер графа G.

Як правило, ребра позначаються парами (u,v), де u і v – вершини з V (кінці

ребра). У цьому випадку говорять, що ребро (u,v) з’єднує вершини u і v.

Кажуть, що вершини u і v суміжні, якщо існує ребро (u,v), що належить E. В

противному випадку – несуміжні.

Вершина u і ребро е називають інцидентними, якщо u є кінцем е.

Означення. Два ребра називаються суміжними, якщо вони мають спільну

вершину.

Наприклад, (3,7), (7,9) – суміжні.

Означення. Степенем ρ(n) вершини u називається кількість інцидентних ребер.

Встановлено, що в будь-якому графі число вершин непарного степеня парне.

Вершина степеня 0 називається ізольованою, а вершина степеня 1 – кінцевою

(висячою) вершиною. Ребро, інцидентне кінцевій вершині, називається кінцевим.

Наприклад, на рис.1.1 вершини графа зображені квадратами, а ребра – лініями.

Щоб розрізнити вершини між

собою, їх нумерують числами,

причому нумерація послідовна,

починаючи з 1 (без пропусків).

Наш граф містить 7 вершин,

причому:

7

Вершина 7 – ізольована, вершини 6 і 2 – висячі, вершини 1 та 5 мають степінь 3,

вершина 4 – степінь 2,вершина 3 – степінь 4.

Типи графів.

Графи, які містять скінченне число вершин та ребер, називаються скінченними.

Графи, в яких допускаються кратні ребра, називаються мультографами.

Псевдограф – мультограф, який має петлі (тобто ребра, що з’єднують вершину

саму з соою)

Граф без петель та кратних ребер, називають простим або звичайним.

Граф називається повним, якщо будь-які дві його вершини суміжні.

Граф називається регулярним або однорідним, якщо всі його вершини мають

один і той же степінь.

Граф, всі вершини якого ізольовані, називається порожнім.

Граф називається двочастковим, якщо існує таке розбиття множини його

вершин на два класи, при якому кінці кожного ребра належать до різних класів.

Якщо в двочастковому графі будь-які дві вершини з різних класів суміжні, то такий

граф називається повним двочастковим графом. Позначається він Km,n , де m –

вершини, які належать одному класу, а n – другому.

Орієнтованим називається граф, якщо всі пари (u,v) – впорядковані.

1

6

3

5

4

2

71

6

3

5

4

2

7

в

8

Рис.1.2 Неорієнтований граф Рис.1.3 Орієнтований граф

Якщо у деякого ребра початок та кінець співпадають, то такі ребра називаються

петлею. (рис.1.4). Ребра, що з’єднують одну і ту саму пару вершин, називаються

кратними (рис.1.5)

Кількість ребер у повному неорієнтованому простому графі з N вершинами

дорівнює , а орієнтований граф має ребер удвічі більше, оскільки

переміщення по ребру дозволено тільки в одному напрямку.

На практиці такі системи майже не зустрічаються. Мають місце структури, в

яких кількість ребер значно менша вказаної величини. Такі графи називаються

розрідженими.

На практиці досить важливим є не тільки можливість переміщатися по ребру,

але й так звана «вартість» цього переміщення. Це може бути будь-яка величина: час

переміщення, довжина шляху та інші кількісні характеристики, яка називається

вагою ребра. Позначається вага ребра числом над ребром (рис.1.6)

1

Рис.1.4 Петля

1

Рис.1.5 Кратні ребра

2

5

1

6

3

5

4

2

7

Рис.1.6 Вага ребра

2

1215

18

75

1

9

Запис такого графа містить не дві цифри, а три (початкова та кінцеві вершини

ребра та його вагу).

Способи подання графів

І спосіб – за допомогою малюнка (діаграмою графа) (див. Додаток Е)

ІІ спосіб – переліком вершин та ребер, які вони з’єднують.

Наприклад, граф на рис.1.1

V={1,2,3,4,5,6,7} перелік вершин

Е={(1,6), (1,3), (1.5), (2,3), (3,4), (3,5), (4,5)}

ІІІ спосіб – подання графів за допомогою матриць суміжності.

Матриця суміжності являє собою двовимірну таблицю розміром NxN, де N –

кількість вершин у графі. Кожен елемент цієї таблиці містить дані про суміжність

відповідних вершин:

-для незважених графів – рівний 0, якщо між вершинами ребро відсутнє, або 1,

якщо ребро існує;

-для зважених графів – містить вагу ребра, якщо воно існує, або 0 в інших

випадках.

Таблиця 1.1

Матриця суміжності до рис.1.1

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 1 0 1 1 0

2 0 0 1 0 0 0 0

3 1 1 0 1 1 0 0

4 0 0 1 0 1 0 0

5 1 0 1 1 0 0 0

6 1 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0

10

Таблиця 1.2

Матриця суміжності до рис.1.6

Очевидно, що для неорієнтованих графів ця матриця симетрична відносно головної

діагоналі, а для орієнтованих не обов’язково. Матриця містить нулі на головній

діагоналі, якщо граф немає петель, не нулеві значення – якщо має.

Маршрути. Ланцюги.

Маршрутом (шляхом) у графі G називають послідовність вершин і ребер v1, е1,

v2, е2,… е к-1, vк така , що два сусідні ребра еі-1 та еі мають спільну вершину vі.

Маршрути у графах, які не мають крайніх ребер, позначають лише переліком

послідовності вершин. При цьому вершина v1 – називається початком шляху, і

вершина vк – кінцем шляху. Всі інші вершини – проміжні або внутрішні.

Число ребер маршруту називається довжиною цього маршруту.

Маршрут називається ланцюгом, якщо всі його ребра різні.

Простим ланцюгом, якщо всі його вершини різні.

Маршрут називається замкненим, якщо в нього співпадають початкова та

кінцева вершини.

Цикл – це шлях, який починається та закінчується в одній і тій самій вершині.

Якщо цикл проходить по всіх ребрах графа, його називають Ейлеровим циклом

(виник при розв’язанні задачі про Кенінгсберзькі мости). Якщо ж цикл проходить по

всіх вершинах графа, не обов’язково відвідуючи всі ребра, його називають

гемільтоновим циклом.

1 2 3 4 5 6 7

1 0 0 12 0 1 2 0

2 0 0 15 0 0 0 0

3 12 15 0 18 5 0 0

4 0 0 18 0 7 0 0

5 1 0 5 7 0 0 0

6 2 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0

11

Граф, який немає циклів, називається ациклічним графом.

Граф називається зв’язним, якщо кожну пару вершин можна з’єднати принаймні

одним шляхом.

Шляхи графів

Шлях у графі – це послідовність ребер, по яких можна послідовно проходити.

Наприклад, рис.1.1 (1-5-3-2), (1-3-4-5)

У будь-якого шляху є поняття довжини шляху – кількість ребер в ньому (для

незваженого графа) або сума ваги ребер (для зваженого графа).

У незваженому графі найкоротший шлях – це шлях з найменшою кількістю

ребер в ньому. У зваженому графі найкоротшим є шлях з мінімальною сумарною

вагою ребер, незалежно від їхньої кількості.

12

РОЗДІЛ 2

Застосування теорії графів до розв’язування задач

2.1.Застосування до розв’язування логічних задач

При розв’язуванні логічних задач для систематизації даних дуже часто

використовуються таблиці та графи.

Приклад 1. Три подружки Оля, Катя та Маша прийшли на свято в сукнях

різного кольору: одна – в білому, друга – в червоному, третя – в зеленому. Оля не в

червоному, Катя – не в червоному і не в зеленому. Скажіть в якій сукні кожна з

дівчаток?

Відповідь: Оля – зелена сукня, Катя – біла, Маша - червона. Розв’язування

задачі подано в додатках (див. Додаток Є).

Приклад 2. Володимир, Ігор та Сергій викладають математику, фізику і

літературу. Живуть вони в Києві, Львові та Одесі. Відомо, що Володимир живе не у

Львові, Ігор живе не в Одесі, одесит не фізик, Ігор не математик, Львів’янин

викладає літературу. Хто де живе та що викладає.

Відповідь: (див. Додаток Ж) Ігор – фізик і проживає в Києві, Сергій – викладає

літературу і живе у Львові, Володимир – математик і проживає в Одесі.

Приклад 3. Іваненко, Петренко, Леоненко і Симоненко – 4 талановитих

молодих чоловіка. Один з них танцюрист, другий – художник, третій – співак,

четвертий – письменник. Про них відомо, що:

1)Іваненко і Леоненко сиділи в залі консерваторії тоді, коли співак виступав на

сцені.

2)Художник малював портрети Петренка і письменника.

3)Письменник написав біографічне оповідання про Симоненка і збирається

написати про Іваненка.

4)Іваненко ніколи не чув про Леоненка.

Хто чим займається?

13

1

2

3 4

15

4

11

6

3

Рис.2.1 Зважений граф

Відповідь: (див. Додаток З) Іваненко – художник, Петренко – співак, Леоненко

– письменник, Симоненко – танцюрист.

2.2. Пошук найкоротших шляхів на графі. Алгоритм Дейкстри

Однією з найважливіших задач теорії графів є пошук найкоротших шляхів на

графі. Особливо це цікаво на зважених графах. В них може безпосередній перехід не

вигідним, ніж перехід через кілька інших вершин .

Наприклад, на рис.2.1

виберемо усі можливі варіанти

переходу з 1 в 4: 1-2-4; 1-3-4; 1-2-3-

4. Оцінюються такі переходи

відповідно числами: 7; 21; 21.

Найменшим (найкоротшим) є

шлях 1-2-4.

Існує два алгоритми пошуку

мінімальних шляхів на графі.

Названі вони на честь їх винахідників.

1.Алгоритм Дейкстри – пошук довжини найкоротших шляхів між заданою та

всіма іншими вершинами.

2. Алгоритм Флойда –Уоршалла – пошук довжини найкоротших шляхів між

усіма парами вершин графа.

Другий алгоритм використовують для невеликих графів (до 100 вершин)

Основою алгоритму Дейкстри є метод обходу графа пошуком у ширину. Метод

полягає в тому, що на кожному кроці виконується перехід до всіх суміжних вершин

з поточної вершини. Він нагадує метод «хвилі» по поверхні, оскільки виконується

поступовий перехід до всіх вершин, що можуть бути досяжними з даної вершини за

один крок від початкової, за два кроки, за три і т.д.

Алгоритм Дейкстри показує маршрут від стартової вершини до кожної з інших

вершин.

14

Приклад. Нехай задано граф. Знайдемо

найкоротший маршрут від даної вершини до

кожної з вершин і його довжину (Рис.2.2)

Даний граф містить 5 вершин. Нехай

потрібно знайти довжини всіх маршрутів від

вершини 2 до всіх вершин. Спочатку складемо

матрицю довжин ребер.

Таблиця 2.1

Матриця довжин ребер

З даної таблиці сформуємо іншу таблицю 2.2 за таким принципом. У перший

рядок Х запишемо всі нулі, крім комірки 2 (від неї шукаємо маршрути). Одиницею

будемо помічати переглянуті вершини. В другий рядок У впишемо довжини ребер

від вершини (перенесемо другий рядок початкової таблиці). В третій рядок Z

запишемо всюди 2, крім стартової комірки (таблиця 2.2)

Таблиця 2.2

Знайдемо мінімальний елемент в рядку Y. Це число 11, яке знаходиться на

першому місці. Помітимо і рядку Х першу комірку 1. Тепер переглянемо всі відстані

1 2 3 4 5

1 0 11 7 - 14

2 11 0 20 19 -

3 7 20 0 - 5

4 - 19 - 0 4

5 14 - 5 4 0

1 2 3 4 5

X 0 1 0 0 0

Y 11 0 20 19 -

Z 2 0 2 2 2

15

Рис.2.2 Заданий граф

від вершини 2 через вершину 1. Якщо знайдеться менша відстань замінимо на неї.

Отримаємо 20>11+[1;3]=11+7=18, 19>11+[1;4]=11+ - не беремо до уваги, -

>11+[1;5]=11+14=25. Значення зміниться в комірках Y3, Y5. Для них відповідно у

рядку Z ставимо 1. Отримаємо таблицю 2.3

Таблиця 2.3

Розглянемо найменше значення серед 0 рядка Х. Це буде 18, яке знаходиться на

3 місці.Позначимо 1 в рядку Х і перевіримо відстані, які залишились. Отримаємо

19>18+[3;4]=18+ - не розглядаємо, 25>18+[3;5]=18+5=23. Таблиця набуде вигляду

Таблиця 2.4

Продовжуючи виконувати аналогічні міркування, отримаємо кінцеву таблицю

2.5

Таблиця 2.5

Кінцеві результати

1 2 3 4 5

X 1 1 0 0 0

Y 11 0 18 19 25

Z 2 0 1 2 1

1 2 3 4 5

X 1 1 1 0 0

Y 11 0 18 19 23

Z 2 0 1 2 3

1 2 3 4 5

X 1 1 1 1 1

Y 11 0 18 19 23

Z 2 0 1 2 4

16

Середній рядок таблиці показує найкоротші шляхи від вершини 2 до інших

вершин, а третій рядок – маршрути. Наприклад, відстань від вершини 2 до вершини

5 є число 23 через вершину 4.

Процесс відшукання найкоротших шляхів можна прискорити, користуючись

слідуючим алгоритмом для відшукання мінімального елемента в рядку Y

для К від 1 до N

пц

якщо YK>YW+R[W,K]

то YK:=YW+R[W,K];

ZK:=W

все

кц

2.3. Розв’язування системи рівняння

Починаючи з 7 класу, в школі розв’язують системи лінійних рівнянь з двома

невідомими. На олімпіадах та різноманітних математичних конкурсах ми зустрічаємося із

системами лінійних рівнянь з трьома невідомими. В шкільній програмі розглядаються два

способи розв’язування систем: спосіб підстановки та спосіб додавання. Кожний з цих

способів змушує виконувати алгебраїчні обчислення, що бувають досить громіздкими.

Існує цікавий спосіб розв’язування систем рівнянь – спосіб графів. Щоб навчитися

розв’язувати системи рівнянь даним способом, потрібно знати кілька основних понять.

Вершина графа відповідає змінній, ребро, що виходить із вершини – коефіцієнту

при цій змінній. Кожна вершина характеризується змінною системи (х, у, тощо), а ребро

– числами а.b, с. Ребро можна будувати, якщо коефіцієнт при змінній відмінний від 0. В

протилежному випадку вершина є ізольованою.

Побудуємо модель лінійного рівняння або системи рівнянь. На Рис.2.3 подано

окремі приклади таких моделей. Щоб виключити якусь змінну на графі, потрібно

перетворити відповідну вершину у вершину з входом та виходом (каскадну)

17

На Рис.2.4 подано основні перетворення графів і відповідні алгебраїчні

перетворення рівнянь або систем :

18

Рис.2.3 Модель лінійного рівняння та системи рівнянь

Рис.2.4 Перетворення графів і відповідні алгебраїчні перетворення рівнянь або систем

а) два або кілька паралельних ребра можна замінити одним, яке дорівнює сумі

паралельних ребер (Рис.2.4 а);

б) два або кілька послідовних ребер можна замінити одним, яке дорівнює

добутку послідовних ребер (Рис.2.4 б).

На Рис.2.4 в і 2.4 г показано перетворення послідовних ребер графа.

Щоб виразити одну змінну через інші, необхідно вершину, яка відповідає цій змінні

зробити входом. На Рис.2.5 показано як зміниться ребро при зміні входу.

Якщо вихід і вхід міняються місцями (Рис.2.5), то ребро на новому графі

виражається числом, оберненим значенню ребра на початковому.

При зміні входу ребра, яке виходить із того самого виходу, наприклад у,

дорівнює добутку числа, протилежного значенню ребра (-b), яке спочатку виходило

з цього виходу (Рис.2.6), і нового ребра, яке змінило напрям (Рис.2.5).

Ці висновки можна зробити, побудувавши графи, які відповідають рівнянням

19

Рис.2.5 Зміна ребра при зміні входу

Рис.2.6 Зміна декількох ребер при зміні входу

Отже, за допомогою графа одну змінну можна виразити через інші, незалежно

від їх кількості.

Приклад 1. Розв'язати систему рівнянь

Розв’язок даної системи зображено на Рис.2.7

Змінивши послідовно граф, що відповідає базовій системі, ми дістали граф на

Рис.2.7 б . Слідуючий граф отримали, змінивши послідовні та паралельні ребра

графа.

Розв’язання системи зводиться до розв’язання рівняння першого степеня з

однією змінною, яке відповідає графу на Рис.2.7 в

Щоб відшукати х, необхідно розв’язати рівняння, що відповідає

графу, поданому на Рис.2.7 б

Відповідь: (7;1)

Приклад 2. Розв’зок даної системи подано на Рис.2.8

20

Рис.2.7 Розв’язок до прикладу 1

аб

в

Аналогічними міркування дійдемо до слідуючого лінійного рівняння

Відповідь: (1;2)

Системи рівнянь можуть не мати розв’язків або мати нескінченну множину

розв’язків. Тоді розв’язок таких систем набуде такого вигляду

Приклад 3.

Міркуючи послідовно, отримаємо такі графи (Рис.2.9)

Дійсно, ми бачимо, що правильна числова рівність, тому система

має нескінченну множину розв’язків.

21

Рис.2.8 Розв’язок до прикладу 2

а б

в

Приклад 4. Розв’язок зображено на Рис.2.10

Легко помітити, що - це неправильна числова рівність, тому система

розв’язків немає.

Приклад 5.

Рис.2.11 ілюструє розв’язування системи

22

Рис.2.9 Система рівнянь має безліч розв’язків

Рис.2.10 Система розв’язків немає

До Рис.2.11 д

До Рис.2.11 г

До Рис.2.11 б Відповідь: (1;1;1)

ВИСНОВКИ

23

а б

вг

д

Рис.2.11 Схема розв’язку прикладу 5

Теорія графів відноситься до дискретної математики. Дискретна математика є

теоретичної основою для побудови алгоритмів та написання комп’ютерних програм.

Сьогодні людська діяльність тісно пов’язана з комп’ютерною технікою та

комп’теризацію виробництва. Тому теорія графів на сьогодні є досить актуальною

темою. Особливістю теорії графів є геометричний підхід до вивчення об’єктів. Вони

дозволяють наочно зобразити розв’язування різноманітних задач.

Теорія графів застосовується не тільки в математиці, а й в інших природничих

науках, зокрема, у фізиці, хімії, географії, біології, картографії та в багатьох інших

науках. Так, наприклад, для побудови структурних формул хімічних елементів, для

складання найбільш вигідних транспортних маршрутів, при моделюванні складних

технологічних процесів, у програмуванні, в електротехніці – для конструювання

друкованих схем, а також при вивчені послідовного і паралельного з’єднання

провідників.

В своїй роботі ми висвітлили лише основні теоретичні поняття графів,

алгоритм Дейкстри та деякі практичні способи застосування графів: відшукання

найкоротших шляхів, розв’язання математичних головоломок, розв’язання систем

рівнянь.

Вивчаючи дану тему, ми поглибили свої знання з математики, познайомилися

з нетрадиційними підходами до розв’язування математичних задач. Побачили, що

метод графів є одним із шляхів розв’язування задач з програмування.

Працюючи над даною темою, зрозуміли, що вона є цікавою, актуальною і

перспективною в наш час.

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ ТА ЛІТЕРАТУРИ

24

1. Берж К. Теорія графів і її застосування / К.Берж. — М.: МУЛ, 1962. —

345с.

2. Гарднер М. Математичні дозвілля / М.Гарнер. — М.: Світ, 1972. — 240с.

3. Гарднер М. Математичні головоломки і розваги / М.Гарнер. — М.: Світ,

1971. —

4. Дідковський В.Л. Олімпіади з інформатики/В.Л. Дідковський,

С.В.Матвійчик. — Харків.: Основа, 2012. — 238с.

5. Зиков А. А. Теорія кінцевих графів / А.А.Зиков. — Новосибірськ: Наука,

1969. —

6. Касаткін В. Н. Незвичайні задачі математики / В.Н.Касаткін. — К.:

Радянська школа, 1987. —

7. Математика: Дит. енцикл. / Авт.-упоряд. А. П. Савін, В. В. Станцо, Г.

Ю. Котова; Худож.: О. В. Кардашук та ін. — К.: Школа, 2002. —

8. Олехнік С. Н. Стародавні цікаві задачі / С.Н.Олехнік, Ю.В.Нестеренко,

М.К.Потапов. — М.: Наука, 1988. —

9. Оре О. Графи і їх застосування / О.Оре. — М.: Світ, 1965. —

10. Реньє А. Трилогія про математика / А.Реньє. — М.: Світ , 1980. —

11. У світі математики: Зб. Наук.-попул. статей / Редкол.: М.Й. Ядренко

(відп. ред.) та ін. — К.: Рад. школа, 1980. —

12. Сарана О.А. Математичні олімпіади: просте і складне поруч:

Навч.посібн. /О.А.Сарана. — К.: Видавництво А.С.К., 2004. —

13. Циганівський М.С. Практикум з дискретної математики: навч.посібн. /

М.С.Циганівський, В.С.Щирба. — Кам’янець-Подільський, 2011. — 220с.

ІНТЕРНЕТ РЕСУРСИ

http :// otherreferats . allbest . ru / mathematics /00254997_0. html

http :// lib . exdat . com / docs /944/ index -110594. htm

http :// www . uabs . edu . ua / images / stories / docs / K _ VM / Koibitchuk _006. pdf

http :// freepapers . ru /24/ grafi - ta - h - zastosuvannya /151112.940753. list 1. html

25

http :// bookscity . com . ua / cat 5/ name 6256. html

26

ДОДАТКИ

27

Додаток А

Швейцарський математик Л.Ейлер

28

Додаток Б

Угорський математик Кенінг

29

Додаток В

Задача про Кенігзберські мости

30

Додаток Г

Задача про три колодязі

31

Додаток Д

Задача про чотири фарби

32

Додаток Е

Подання графа за допомогою малюнка (діаграмою)

33

Додаток Є

Розв’язок логічної задачі 1

34

Оля Катя Маша

біле зелене червоне

Додаток Ж

Розв'язок логічної задачі 2

Володимир Ігор Сергій

математика фізика література

Київ Львів Одеса

35

Додаток З

Розв’язок логічної задачі 3

Петренко

Леоненко

Симоненко

Іваненко танцюрист

художник

співак

письменник

36