Embed Size (px)
Citation preview
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE
OŠTROG UGLA PRAVOUGLOG
TROUGLA
sinus ugla
cosinus ugla
tangens ugla kotangens ugla
Autori: Milena Jeretin i Milena Marić
PRAVOUGLI TROUGAO
c
α
β
B
a
AC bNeka je trougao ABC pravougli gde je C teme pravog ugla.
Stranice trougla koje su naspram oštrih uglova, CA i CB nazivaju se katete,
a stranica naspram pravog ugla (stranica AB) je hipotenuza.
Neka je a dužina katete BC, b dužina katete CA i c dužina hipotenuze AB.
Neka je mera ugla CAB u stepenima i β mera ugla CBA u stepenima.
Mera ugla ACB je jednaka 90º.
DEFINICIJE TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
OŠTROG UGLA PRAVOUGLOG TROUGLA
c
α
β
ab
katetanaspramna kateta nalegla ctg
ba
katetanalegla katetanaspramna tg
cb
hipotenuzakatetanalegla cos
ca
hipotenuzakateta naspramnasin
sinus ugla
kosinus ugla
tangens ugla
kotangens ugla
B
C A
a
b
PRIMENIMO DEFINICIJE NA SLEDEĆIM
PRIMERIMA
b
ca
Ø
a) sin Ø = _______
b) cos Ø = _______
c) tan Ø = _______
1) X
YZ
20
30º 60º
Pronaći nepoznate dužine i
rešenje zaokružiti na jednu
decimalu:a) XY = ________
b) YZ = ________
a/c
b/c
a/b
11.5
23.1
2)
3a
2
2
3a
2
a2
3a
2
a
h30ctg
3
3
3
3
3
1
3a
2
2
a
2
3a
2
a
h
2
a
30tg
2
3
a
1
2
3a
a
2
3a
a
h30cos
2
1
a
1
2
a
a
2
a
30sin
VREDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
ZA UGAO 30ºPosmatrajmo polovinu jednakostraničnog trougla ABC, tj. trougao BCD.
2
a
aa
2
a
h
60º60º
30º30º
90º
A D B
C
2
3ah
VREDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
ZA UGAO 60º
Posmatrajmo polovinu jednakostraničnog trougla ABC, tj. trougao BCD.
3
3
3
3
3
1
3a
2
2
a
2
3a
2
a
h
2
a
60ctg
3a
2
2
3a
2
a2
3a
2
a
h60tg
2
1
a
1
2
a
a
2
a
60cos
2
3
a
1
2
3a
a
2
3a
a
h60sin
2
3ah
2
a
aa
2
a
h
60º60º
30º30º
90º
A D B
C
VREDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
ZA UGAO 45º
Posmatrajmo kvadrat,tj. trougao koji dobijemo kada povučemo dijagonalu kvadrata
a
a
d
1a
a45ctg
1a
a45tg
2
2
2
2
2
1
2a
a
d
a45cos
2
2
2
2
2
1
2a
a
d
a45sin
2ad
45º
45º
90º
A B
CD
Da bi izbegli strmo spuštanje
aviona koji leti na 10 000m,
avion svoj silazak započinje
20km udaljenosti od
aerodroma.
Ako je ugao spuštanja
konstantan pod kojim uglom
treba spustiti avion?
PRIMENE
20 km
10 000 m
27
2
1
m20000
m10000
km20
m10000tg
POSMATRAČ SE NALAZI NA UDALJENOSTI
5,2KM OD MESTA LANSIRANJA RAKETE.
a) U određenom trenutku ugao pod
kojim se vidi od nivoa zemlje je
37º. Koliko je raketa udaljena od
zemlje?b) Kolika je udaljenost od
posmatrača do rakete?
c) Koliki je ugao pod kojim se raketa
vidi sa istog mesta posmatrača ako
se raketa nalazi na visini od 30km
od zemlje?
POSMATRAČ SE NALAZI NA UDALJENOSTI
5,2km OD MESTA LANSIRANJA RAKETE
2,5
X
Y
2,5
a) tg 37º =
b) cos 37º =
c) tg =2,5
30
37º
5,2
XY
PRAKTIČNA PRIMENA TRIGONOMETRIJSKIH
FUNKCIJA U GRAĐEVINARSTVU
• KROVOVI
• VISINA DRVETA ILI ZGRADE
• ŠIRINA REKE (DUŢINA MOSTA)
• OBELEŢAVANJE OBJEKTA
KROVOVI DUŽINA ROGA ILI KROVNOG POKRIVAČA
a
Za poznat ugao α i dužinu a krov je L.
Dužinu krova ili roga dobijamo na sledeći način:
cos
aL
L
acos
h
L
α•
Visinu krova dobijamo sinLh L
hsin
VISINA DRVETA (ZGRADE)
α
H
H1
1HH
drvetaH tgaH
aHtg
Ako nam je poznata udaljenost od drveta(zgrade) i uglomerom ili nekim drugim
instrumentom za merenje iglova izmerimo ugao od ravni našeg oka do vrha
drveta(zgrade) moţemo pomoću trigonometrijskih funkcija odrediti visinu.
Koliko li je
visoko ovo
drvo?
a
DUŽINA MOSTA (ŠIRINA REKE)
L
htg
L
Da bi odredili širinu reke(duţinu mosta)potrebno je da uglomerom ili
mernim instrumentom od našeg oka izmerimo ugao između ravni oka
i vrha graduirane letve s druge strane reke. Pošto znamo visinu letve
(na njoj postoje oznake visine) očitamo je (h), očitamo ugao(α) i
primenom
tg
hL
dobijamo širinu reke (dužinu mosta) L .
αh
i
OBELEŽAVANJE OBJEKTA
b
a
Lα
prepreka
cos
bL Lbcos
A
C B
•
Na mestu stare kuće planirano je da se sagradi novi trţni centar. Kuća
još uvek nije srušena, a neophodno je da se obeleţi teren za novu
izgradnju. Po projektu znamo kolike su duţine AC i CB i ugao α, ali
duţinu CB ne moţemo da obeleţimo i izmerimo na terenu, tj. tačku
B. Kada obeleţimo tačke C i A da bi stigli do tačke B na terenu
potrebna nam je duţina L.
Nju izračunavamo
VAŢNIJI TRIGONOMETRIJSKI
IDENTITETI
Trigonometrijske funkcije oštrog ugla nisu međusobno nezavisne,dovoljno je
da se zna vrednost jedne trigonometrijske funkcije,za određenu vrednost
ugla, pa da se na osnovu nje mogu naći vrednosti ostalih trigonometrijskih
funkcija.Veze između trigonometrijskih funkcija date su sledećim
identitetima.
Ako je 0º<α<90º,onda je:
1
cos
sin
1cossin 22
ctgtg
tg
osnovni trigonometrijski
identitet
Dokaţimo neke od identiteta koristeći definicije
trigonometrijskih funkcija i Pitagorinu teoremu
A
B
α
β
Posmatrajući pravougli trougao ABC, vidimo da je α oštar ugao
pravouglog trougla čija je naspramna kateta a , nalegla kateta b i
hipotenuza c. Prema Pitagorinoj teoremi je a2 +b2 = c2 i kada
izraz podelimo sa c2 sa leve i desne strane jednakosti dobijamo
cbdef
cos,cadef
sin
jer
12cos2sin
12
cb2
ca
12c
2b2c
2a
2c
2c2c
2b2a
C
a
b
c
Dokaţimo neke od identiteta koristeći definicije
trigonometrijskih funkcija i Pitagorinu teoremu
A
B
α
β
cossin
cb
ca
batg
1ab
bactgtg
Posmatrajući isti pravougli trougao
i koristeći definicije za tangens i kotangens
ugla dobijamo da je:
Cb
ac
Iz jednakosti (1),(2),(3)
1ctgαtgα 3
cos
sintgα 2
1cosαsin 122
mogu se izvesti razne druge jednakosti.
tg
1ctg 4
( dobija se neposredno iz tg α ∙ ctg α=1 )
Na primer,za 0º< α <90º vaţi:
22
2
2
2 ctg1
1
tg1
tgsin odnosno
tg1
tgsin 5
Na primer,za 0º< α <90º vaţi:
2
2
2 tg1
1cos odnosno
tg1
1cos 6
Na primer,za 0º< α <90º vaţi:
Kada se jednakost (1) podeli sa cos2 α dobijemo
2
2
2
2
22
2
1
1cos
cos
11
cos
11
cos
sin
tg
tg
Trigonometrijske funkcije komplementnog ugla
• Ako je α+β=90º
onda se kaţe da je ugao α komplementan uglu β
i da je ugao β komplementan uglu α.
• U pravouglom trouglu oštri uglovi su
međusobno komplementni, pa za oštre uglove α i β
pravouglog trougla vaţi β=90º-α
i vaţi sledeća teorema:
Za svako α za koje je 0º<α<90º vaţi:
sin (90º-α)= cos α cos(90º-α)= sin α
tg (90º-α)= ctg α ctg (90º-α)=tg α
A b C
B
c
a
α
β
Trigonometrijske funkcije komplementnog ugla
• Kako bi to dokazali?
• Ako je u pravouglom trouglu jedan oštar ugao α,
onda je drugi β=90º―α.
• Suprotna kateta a ugla α je nalegla uglu β=90º―α
pa je
A b C
B
ca
α
β
sin (90º-α)= cos α cos (90º-α)= sin α
tg (90º-α)= ctg α ctg (90º-α)= tg α
Hvala na paţnji!
