PODSTAWOWE WZORY W CZCI I

Zapis (rozdzia 2)

(zmierzona warto x) = x n p + 8x. (s. 28) Sx

Niepewno wzgldna (s. 41) i-^ npl

Przenoszenie niepewnoci (rozdzia 3)

Jeeli mierzymy szereg wielkoci x,... ,w z niewielkimi niepewnociami 8x,.. .8w, a nastpnie korzystamy ze zmierzonych wartoci, aby obliczy pewn wielko q, to niepewnoci x,...,w pocigaj za sob powstanie niepewnoci q, ktr mona wyznaczy na podstawie nastpujcych regu: Jeeli q ma posta sumy i rnicy, q = x+ ... +z (u+ ... +w), to

Sx + ... + 8Z + SM + ... +5w (s. 58) (jest to zarazem grne ograniczenie niepewnoci 8q);

5 9 j = 7 (x) 2 + . + (5z)2 + (S)2 + ... + (5w)2 (s. 70) (dla bdw niezalenych i przypadkowych).

x z

Jeeli q ma posta iloczynu i ilorazu, q = , to

8^

\q\

8x Sz Su 8w

~ 1*1 " ' |z| |u| " ' |w| (jest to zarazem grne ograniczenie niepewnoci 8q);

(dla bdw niezalenych i przypadkowych).

Jeeli q = Bx, gdzie B nie jest obarczone niepewnoci, to 8

Definicje poj statystycznych (rozdzia 4)

Jeeli x1,...,xN s wynikami N niezalenych pomiarw pewnej wielkoci x, zdefiniowa

to moemy

1 N x = Y X, = rednia; (s. 99)

ax = J-j^-jZ&i-*)2 = odchylenie standardowe; (s. 101)

o\p = 7=r = odchylenie standardowe redniej. (s. 104)

Rozkad normalny (rozdzia 5)

Dla dowolnego rozkadu granicznego f(x) zmiennej cigej x: f(x) dx = prawdopodobiestwo, e dowolny pomiar da wynik w przedziale

pomidzy x a x + dx; (s. 122) b

\f(x) Ax = prawdopodobiestwo, e dowolny pomiar da wynik w przedziale a

pomidzy x = a a x = b; (s. 121)

a) J f(x)dx = 1 jest warunkiem normalizacji. (s. 122)

- oo

Rozkad normalny opisany jest funkcj

/,.(*) = le-^*^\ (s. 128) gdzie

X = rodek rozkadu = warto prawdziwa x = rednia duej liczby pomiarw,

IT = szeroko rozkadu = odchylenie standardowe dla duej liczby pomiarw.

Prawdopodobiestwo, e zmierzona warto znajdzie si w promieniu t odchyle standardowych od X wynosi

1 ' _ 2

P(w promieniu ta) = - = J e z / 2 d z = funkcja bdu; (s. 132)

w szczeglnoci

P(w promieniu la) = 68%.

John R. Taylor

WSTP do ANALIZY

BDU POMIAROWEGO

Z angielskiego t umaczyl i :

Adam Babiski Rafa Boek

Wydawnictwo Naukowe PWN Warszawa 1995

Dane oryginau:

John R. Taylor An Introduction to Error Analysis

The Study of Uncertainties in Physical Measurements Oxford University Press

Copyright 1982 by University Science Books

Okadk i strony tytuowe projektowaa Romana Freudenreich-Slubowska

Tytu dotowany przez Ministra Edukacji Narodowej

Redaktor

Anna Bogdanienko

Redaktor techniczny

Beata Stelgowska

Copyright for the Polish edition by Wydawnictwo Naukowe PWN Sp. z o.o.

Warszawa 1995

ISBN 83-01-11820-2

Zdjcie na okadce przedstawia wypadek na dworcu Montparnasse, 22 padziernika 1845 r. (ND 2896 A Paris), opublikowane za zgod ROGER-VIOLLET, 6, rue de Seine

75006 Paris. NO-VIOLLET

B-ko G?G

BIBLIOTEKA GOWNA POLITECHNIKI GDASKIEJ II 210128-00-00/01

SPIS TRECI

P r z e d m o w a 9

CZ I

Rozdzia 1. Wstpne rozwaania o r a c h u n k u bdw 15

1.1. Bdy czyli niepewnoci 15 1.2. Nieuchronno niepewnoci 16 1.3. Znaczenie poznania niepewnoci 17 1.4. Dalsze przykady 19 1.5. Oszacowanie niepewnoci przy odczycie skali 21 1.6. Szacowanie niepewnoci pomiarw wielokrotnych 24

Rozdzia 2. J ak przedstawia niepewnoci pomia rowe i j ak z nich korzysta 27

2.1. Najlepsze przyblienie + niepewno 27 2.2. Cyfry znaczce 29 2.3. Rozbieno 31 2.4. Porwnanie wartoci zmierzonych i wartoci uznanych 32 2.5. Porwnanie dwu wartoci zmierzonych 34 2.6. Graficzne sprawdzanie proporcjonalnoci 37 2.7. Niepewnoci wzgldne 41 2.8. Cyfry znaczce i niepewnoci wzgldne 43 2.9. Mnoenie dwu wartoci zmierzonych 44 Zadania 47

5

Rozdzia 3. Przenoszenie niepewnoci 53

3.1. Niepewnoci w pomiarach bezporednich 54 3.2. Sumy i rnice; iloczyny i ilorazy 57 3.3. Niezalene niepewnoci w sumie 66 3.4. Wicej o niepewnociach niezalenych 70 3.5. Dowolna funkcja jednej zmiennej 73 3.6. Przenoszenie bdw krok po kroku 77 3.7. Przykady 78 3.8. Przykad bardziej skomplikowany 81 3.9. Oglna regua przenoszenia bdw 84 Zadania 88

Rozdzia 4. Analiza statystyczna niepewnoci p rzypadkowych . . . 95

4.1. Bdy przypadkowe i systematyczne 96 4.2. rednia i odchylenie standardowe 98 4.3. Odchylenie standardowe jako niepewno pojedynczego pomiaru . . . 102 4.4. Odchylenie standardowe redniej 104 4.5. Przykady 106 4.6. Bdy systematyczne 108 Zadania 111

Rozdzia 5. Rozkad normalny 114

5.1. Histogramy i rozkady 115 5.2. Rozkady graniczne 120 5.3. Rozkad normalny 124 5.4. Odchylenie standardowe jako granica przedziau 68-procentowej ufnoci 131 5.5. Uzasadnienie wyboru redniej jako najlepszego przyblienia 134 5.6. Uzasadnienie reguy kwadratowego przenoszenia bdw 138 5.7. Odchylenie standardowe redniej 145 5.8. Ufno 147 Zadania 151

CZ II Rozdzia 6. Odrzucan ie danych 159

6.1. Problem odrzucania danych 159 6.2. Kryterium Chauveneta 161

6

6.3. Przykad 163 Zadania 164

Rozdzia 7. rednie waone 166

7.1. Zagadnienie czenia osobnych pomiarw 166 7.2. rednia waona 167 7.3. Przykad 170 Zadania 170

Rozdzia 8. M e t o d a najmniejszych k w a d r a t w 172

8.1. Punkty pomiarowe, ktre powinny ukada si na prostej 172 8.2. Obliczenie staych A i B 174 8.3. Niepewno pomiarw y 176 8.4. Niepewno staych A i B 178 8.5. Przykad 179 8.6. Dopasowanie innych krzywych metod najmniejszych kwadratw . . 182 Zadania 188

Rozdzia 9. Kowar ianc ja i korelacja 193

9.1. Przegld zasad przenoszenia bdw 193 9.2. Kowariancja a przenoszenie bdw 195 9.3. Wspczynnik korelacji liniowej 199 9.4. Ilociowe znaczenie wspczynnika r 203 9.5. Przykady 205 Zadania 206

Rozdzia 10. Rozkad dwumianowy 209

10.1. Rozkady wynikw dowiadczalnych 209 10.2. Prawdopodobiestwo w rzutach komi 210 10.3. Definicja rozkadu dwumianowego 212 10.4. Wasnoci rozkadu dwumianowego 215 10.5. Rozkad Gaussa dla niepewnoci przypadkowych 219 10.6. Zastosowania: testowanie hipotez 221 Zadania 226

7

Rozdzia 11. Rozkad Poissona 230

11.1. Definicja rozkadu Poissona 230 11.2. Wasnoci rozkadu Poissona 232 11.3. Przykady 236 Zadania 238

Rozdzia 12. Test x2 zgodnoci rozk adw 242

12.1. Wprowadzenie do testu j 2 242 12.2. Oglna definicja testu y2 247 12.3. Stopnie swobody i zredukowany test x2 252 12.4. Prawdopodobiestwa zwizane z testem y2 255 12.5. Przykady 258 Zadania 263

D o d a t e k A. Funkc ja bdu, I 269

D o d a t e k B. Funkc ja bdu, II

D o d a t e k C. P r a w d o p o d o b i e s t w a dla wspczynnikw korelacji

D o d a t e k D . P rawdopodob ies twa dla testu x2

Bibliografia

Odpowiedz i do wybranych zada

Skorowidz

Mojej onie

PRZEDMOWA

Wszystkie pomiary, jakkolwiek staranne i naukowe, s naraone na wystpowanie rnych niepewnoci. Rachunek bdw polega na badaniu i okrelaniu rozmiaru tych niepewnoci, a jego dwa podstawowe zadania to uwiadomienie eksperymentatorowi, jak due s niepewnoci, i wskazanie sposobu ich zmniejszenia, gdy jest to niezbdne. Analizowanie niepewnoci, nazywanych take bdami", jest niezwykle istotnym etapem kadego z eksperymentw naukowych i dlatego rachunek bdw stanowi wany element programu studiw w ramach kadej zwizanej z eksperymentem specjalnoci. Rachunek bdw ma du szans sta si jednym z najciekawszych punktw programu. Wyzwanie w postaci szacowania niepewnoci i ograniczania ich do poziomu pozwalajcego wyciga rzeczowe wnioski moe zmieni nudny i wykonywany bezmylnie cig pomiarw w prawdziwie interesujce wiczenie.

Niniejsza ksika stanowi wprowadzenie do rachunku bdw i jest przeznaczona do wykorzystania w ramach kursu fizyki dowiadczalnej dla studentw pierwszego i drugiego roku politechnik oraz wydziaw przyrodniczych uniwersytetw. Nie twierdz oczywicie, e rachunek bdw jest najwaniejszym (to znaczy jedynym wanym) elementem takiego kursu, ale przekonaem si, e czstokro jest to element lekcewaony i zaniedbywany. W wielu przypadkach nauka" rachunku bdw sprowadza si do wrczenia kilku zapenionych notatkami kartek ze spor liczb wzorw i oczekiwania, e student sam da sobie z tym rad. W rezultacie rachunek bdw staje si nic nie znaczc procedur, ktra polega na dodania kilku linijek z obliczeniami w kocowej czci sprawozdania z wykonania wiczenia, z tego tylko powodu, e takie byo polecenie asystenta.

9

Napisaem t ksik z przekonaniem, e kady student, nawet ten, ktry nigdy nie spotka si z zagadnieniem, powinien mie szans poznania, czym jest rachunek bdw, dlaczego jest interesujcy i wany oraz jak wykorzysta jego podstawowe metody przy sporzdzaniu sprawozda laboratoryjnych. Cz I ksiki (zawierajca rozdziay od 1 do 5) prbuje wypeni to zadanie, opierajc si na przykadach wielu dowiadcze spotykanych w ramach wstpnej pracowni fizycznej. Student, ktry zdoa opanowa zawarty tam materia, powinien zna i rozumie wikszo zagadnie rachunku bdw, jakie moe spotka wykonujc wiczenia objte programem wstpnej pracowni fizycznej: przenoszenie bdw, posugiwanie si najprostszymi elementami statystyki i ich uzasadnienie na podstawie rozkadu normalnego.

Cz II zawiera wybr pewnych bardziej zoonych zagadnie: dopasowywanie metod najmniejszych kwadratw, test x2 i inne. Nie wchodz one jawnie w zakres wstpnej pracowni fizycznej, chocia spora grupa studentw moe si niektrymi z nich zainteresowa. Cz z tych zagadnie okae si niezbdna w ramach dalszych zaj na pracowni fizycznej i gwnie z tego powodu zdecydowaem si je przedstawi.

Jestem w peni wiadomy, e wszdzie powica si rachunkowi bdw zbyt mao czasu w ramach zaj na pracowni fizycznej. W University of Colorado prowadzimy godzinny wykad w czasie pierwszych szeciu tygodni zaj na wstpnej pracowni fizycznej. Wykady te poczone z pracami domowymi, na ktre skadaj si zadania zamieszczone na kocu kadego z rozdziaw, obejmuj w peni tematyk rozdziaw od 1 do 4 i skrtowo rozdzia 5. Daje to studentom praktyczn wiedz na temat przenoszenia bdw i elementarnej statystyki jak rwnie pewne pojcie o znajdujcym si u podstaw teorii rozkadzie normalnym. Z opinii wyraanych przez cz studentw wynika, e wykady stanowiy zbyteczny luksus, przynajmniej dla niektrych studentw, ktrzy byli w stanie opanowa materia na podstawie lektury skryptu i wykonujc zalecane zadania. Gboko wierz, e ksik mona czyta bez jakiejkolwiek pomocy ze strony wykadowcy.

Cz II ksiki mona przedstawi w ramach kilku wykadw przeprowadzonych w pierwszych tygodniach zaj na pracowni fizycznej przeznaczonej dla studentw drugiego roku (podobnie jak i poprzednio wzbogaconych odpowiedni liczb zada). Ale jeszcze w wikszym stopniu ni cz I jest ona przeznaczona do samodzielnego czytania przez studentw w chwili uzalenionej od ich wasnych potrzeb i zainteresowa. Kady z siedmiu rozdziaw skadajcych si na cz II jest niemal zupenie niezaleny od pozostaych wanie po to, by zachci do takiej lektury.

Na kocu kadego z rozdziaw przedstawiem stosowny zestaw zada; Czytelnik powinien rozwiza niektre z nich, aby w peni opanowa omawia-

10

ne zagadnienia. Wikszo oblicze dotyczcych bdw jest cakiem prosta. Student, ktry wykonuje wiele skomplikowanych rachunkw czy to w zadaniach, czy w sprawozdaniach, prawie na pewno robi co w sposb niepotrzebnie zoony. Chcc umoliwi wykadowcom i studentom wybr, przedstawiem znacznie wicej zada ni przecitny Czytelnik sprbuje rozwiza. Czytelnik, ktry rozwie jedn trzeci spord nich, nie powinien mie dalszych kopotw.

Wewntrzne strony okadki zawieraj streszczenie najwaniejszych wzorw. Mam nadziej, e bdzie to stanowio pomoc zarwno w trakcie czytania ksiki jak i pniej. Streszczenia maj ukad rozdziaw i, jak wierz, mog peni funkcj krtkich podsumowa, do ktrych mona zajrze po przeczytaniu kadego rozdziau.

W samym tekcie pewna liczba stwierdze rwna i regu postpowania zostaa wyrniona poprzez cieniowanie ta. Ten sposb wyrnienia jest zarezerwowany dla ostatecznej (czyli takiej, ktra ju pniej nie ulegnie zmianom) postaci wanych stwierdze. Czytelnik powinien zapamita te stwierdzenia i wanie w tym celu zostay one wyrnione.

Poziom znajomoci matematyki, ktry jest wymagany od Czytelnika, wzrasta nieznacznie w kolejnych fragmentach. W pierwszych dwch rozdziaach wymagana jest tylko algebra; rozdzia 3 wymaga obliczania pochodnych (i pochodnych czstkowych w paragrafie 3.9, ktry jednak mona pomin); w rozdziale 5 niezbdna jest umiejtno cakowania i znajomo funkcji wykadniczej. W czci II zakadam, e Czytelnik jest dobrze obeznany ze wszystkimi wymienionymi pojciami.

Ksika zawiera liczne przykady dowiadcze z zakresu fizyki, ale zrozumienie ich teoretycznych podstaw nie jest niezbdne. Ponadto wikszo przykadw zaczerpnito z elementarnej mechaniki i optyki, aby zwikszy szans, e Czytelnik pozna ju odpowiedni dzia fizyki. Student, ktry odczuwa tak potrzeb, moe znale podstawy teoretyczne, zagldajc do indeksu dowolnego podrcznika fizyki oglnej.

Rachunek bdw jest tematem, wok ktrego toczy si wiele sporw, i aden z moliwych sposobw prowadzenia wykadu nie jest w stanie zadowoli wszystkich. W moim osobistym przekonaniu zawsze wtedy, gdy konieczny jest wybr pomidzy atwoci zrozumienia a rygorystycznym formalizmem, wykadowca fizyki powinien wybiera pierwsz moliwo. Na przykad, w budzcej kontrowersje kwestii, czy niepewnoci naley dodawa w postaci pierwiastka z sumy kwadratw czy bezporednio, zdecydowaem si omwi najpierw dodawanie bezporednie, poniewa student atwiej zrozumie argumenty, ktre do niego prowadz.

W cigu ostatnich kilkunastu lat, w studenckich pracowniach zaszy dramatyczne zmiany zwizane z pojawieniem si kalkulatorw. Spowodowao

11

to wprawdzie kilka niezbyt szczliwych nastpstw - najatwiej zauway okropny nawyk podawania absurdalnej liczby cyfr nie znaczcych tylko dlatego, e znalazy si na wywietlaczu kalkulatora - ale prawie w kadym przypadku, a szczeglnie w rachunku bdw pojawienie si kalkulatora przynioso ogromne korzyci. Kalkulator pozwala obliczy w kilka sekund wartoci rednich i odchyle standardowych, ktrych znalezienie trwaoby inaczej godzinami. Czyni take zbdnymi wiele tablic, poniewa mona obecnie szybciej obliczy warto funkcji, takiej jak funkcja Gaussa, ni znale wynik w tablicach. Staraem si wykorzysta to wspaniae narzdzie wszdzie, gdzie tylko byo to moliwe.

Z przyjemnoci chciaem podzikowa wielu osobom za ich pomocne uwagi i sugestie. Wydanie skryptowe niniejszej ksiki byo wykorzystywane w wielu uczelniach i wdziczny jestem zarwno studentom, jak i moim kolegom wykadowcom za ich krytycyzm. Szczeglnie pomocne okazay si uwagi poczynione przez Johna Morrisona i Davida Nesbitta z University of Colorado, profesorw Pratta i Schroedera z Michigan State University, profesora Shugarta z University of California w Berkeley oraz profesora Semona z Bates College. Diane Casparian, Linda Frueh i Connie Gurule przygotowyway maszynopisy starannie i bardzo szybko. Bez mojej teciowej, Frances Kretschmann, korekty nigdy nie byyby ukoczone na czas. Wszystkim wymienionym osobom jestem wdziczny za ich pomoc; chocia przede wszystkim chciaem podzikowa mojej onie, ktrej cierpliwa i nieustanna praca redaktorska w nieoceniony sposb ulepszya t ksik.

J. R Taylor 1 listopada 1981

Boulder, Colorado

Cz I

1. Wstpne rozwaania o rachunku bdw 2. Jak przedstawia niepewnoci pomiarowe i jak z nich

korzysta 3. Przenoszenie niepewnoci 4. Analiza statystyczna niepewnoci przypadkowych 5. Rozkad normalny

Cz I powicona jest wprowadzeniu podstawowych poj rachunku bdw, niezbdnych w ramach typowych zaj na wstpnej pracowni fizycznej przeznaczonej dla studentw pierwszego roku. Pierwsze dwa rozdziay odpowiadaj na pytania, czym jest rachunek bdw, dlaczego jest on wany i w jaki sposb naley go wczy w sprawozdanie z wykonanego wiczenia. W rozdziale 3 mowa jest o przenoszeniu (propagacji) bdw, w przypadku gdy dane pochodzce z pierwotnych pomiarw s wykorzystywane w obliczeniach i zachodzi konieczno wyznaczenia niepewnoci wyniku kocowego. Rozdziay 4 i 5 zawieraj wprowadzenie do metod statystycznych, umoliwiajcych oszacowanie tak zwanych niepewnoci przypadkowych.

R O Z D Z I A 1

WSTPNE ROZWAANIA O RACHUNKU BDW

Zadaniem rachunku bdw jest analiza i ocena niepewnoci pomiarowych. Jak wykazuje praktyka, aden z pomiarw, niezalenie od woonej we starannoci, nie daje cakowicie dokadnego wyniku. W sytuacji gdy konstrukcja i stosowalno nauk przyrodniczych oparte s na wynikach pomiarw, podstawowe znaczenie ma moliwo okrelania odpowiadajcych im niepewnoci i ograniczania ich do minimalnego poziomu.

W tym rozdziale podamy przykady nieskomplikowanych pomiarw, ktre wyka nieuchronno wystpowania niepewnoci eksperymentalnych i uzasadni podstawowe znaczenie wiedzy na temat ich wielkoci. W dalszym cigu wyjanimy, w jaki sposb (przynajmniej w najprostszych przypadkach) mona realistycznie oszacowa rozmiary niepewnoci eksperymentalnych, posugujc si metodami niewiele bardziej zoonymi od tych, ktre podsuwa zdrowy rozsdek.

1.1. Bdy czyli niepewnoci

W naukach przyrodniczych bd" nie jest synonimem pomyki" lub gafy". Bd" wystpujcy w pomiarze naukowym oznacza niemoliw do uniknicia niepewno nierozerwalnie zwizan z istot pomiaru. W tym sensie bdy nie oznaczaj pomyek; nie sposb unikn ich zachowujc wiksz staranno. Wszystko co mona osign, to spowodowa, by byy moliwie najmniejsze, i znale sposb na oszacowanie ich wielkoci. Wikszo podrcznikw wprowadza pewne szczeglne definicje bdu". Kilka z nich rozwaymy nieco

15

pniej. Teraz bdziemy uywa sowa bd" wycznie w znaczeniu niepewnoci", traktujc obydwa wyrazy w sposb cakowicie wymienny.

1.2. Nieuchronno niepewnoci

Aby lepiej zrozumie zjawisko nieuchronnego wystpowania niepewnoci, wystarczy przyjrze si nieco staranniej dowolnemu z wykonywanych na co dzie pomiarw. Zastanwmy si nad postpowaniem stolarza, ktry musi zmierzy wysoko framugi, chcc dopasowa do niej drzwi. Pierwszym, zgrubnym pomiarem moe by rzut oka na framug, ktry pozwoli oszacowa jej wysoko na 210 cm. Taki pomiar" wie si oczywicie ze spor niepewnoci. Indagowany stolarz prawdopodobnie wyrazi t niepewno, przyznajc, e wysoko framugi rwnie dobrze moe wynosi 205 jak i 215 cm.

Jeeli stolarz bdzie potrzebowa bardziej dokadnego pomiaru, moe skorzysta z tamy mierniczej i stwierdzi, e wysoko framugi wynosi 211,3 cm. Nie ulega wtpliwoci, e ten pomiar jest bardziej precyzyjny od pierwotnego szacunku, ale oczywicie wci obarczony pewn niedokadnoci, gdy nie mona odpowiedzie, czy wysoko framugi wynosi dokadnie 211,3000 cm czy moe 211,3001 cm.

Jest wiele przyczyn obecnej wci niepewnoci. Kilka z nich rozwaymy w dalszym cigu naszego wykadu. S wrd nich takie, ktre stolarz mgby atwo wyeliminowa czynic w tym kierunku pewne starania. Naley do nich ze owietlenie utrudniajce waciwy odczyt tamy; ten problem mona rozwiza zwikszajc po prostu owietlenie.

Z drugiej strony pewne rda niepewnoci s cile zwizane z samym zjawiskiem pomiaru i niemoliwe jest ich cakowite usunicie. Wyobramy sobie, e dziaki na tamie uywanej przez stolarza rozmieszczone s w odstpach plcentymetrowych. Z du doz prawdopodobiestwa mona przyj, e grna krawd drzwi nie pokryje si z adn z kresek oznaczajcych odcinki pcentymetrowe, skd wniosek, e stolarz bdzie musia sam okreli, w ktrym miejscu pomidzy dwiema kreskami znajduje si krawd. Nawet gdyby pokrya si ona z odpowiedni dziak, to i tak szeroko oznacze na tamie jest zbliona do milimetra; tak wic stolarz musiaby poda pooenie krawdzi w obrbie kreski. W kadym z przypadkw musi on podj si okrelenia pooenia krawdzi drzwi wzgldem oznacze znajdujcych si na tamie, co zawsze spowoduje pojawienie si pewnej niepewnoci w podanym przez niego wyniku.

16

Kupujc lepsz tam z gstsz, bardziej precyzyjn podziak, stolarz moe zmniejszy t niepewno, ale nigdy nie bdzie w stanie cakowicie jej wyeliminowa. Jeeli popadby w obsesj na punkcie zmierzenia wysokoci framugi drzwi z najwiksz moliw dokadnoci, na jak pozwala stan techniki, mgby zakupi kosztowny interferometr laserowy. Ale nawet dokadno interferometru laserowego jest ograniczona do odlegoci porwnywalnych z dugoci fali wietlnej (okoo 0 ,5-10" 6 metra). Stolarz, wykonujc pomiary z fantastyczn wprost dokadnoci, w dalszym cigu nie znaby dokadnej wysokoci framugi.

Co wicej, zwikszajc coraz to bardziej precyzj, napotkaby problem o podstawowym znaczeniu. Przekonaby si, e wysoko framugi zmienia si od miejsca do miejsca. Nawet w jednym i tym samym miejscu wysoko moe ulega zmianom wskutek waha temperatury i wilgotnoci powietrza, a nawet przypadkowego starcia cienkiej warstwy brudu. Innymi sowy stolarz odkryby, e nie istnieje co takiego, jak cile okrelona wysoko framugi. Tego rodzaju problem nosi miano zagadnienia definicji (wysoko framugi nie naley do dobrze zdefiniowanych wielkoci) i odgrywa istotn rol w wielu pomiarach naukowych.

Obserwacje stolarza ilustruj pewn powszechnie uznawan prawd. adnej z wielkoci fizycznych (dugo, czas, temperatura itd.) nie mona zmierzy z absolutn dokadnoci. Postpujc z naleyt uwag, moemy zmniejsza wystpujce niepewnoci, a stan si one bardzo mae, ale cakowite ich usunicie nie jest moliwe.

W wykonywanych na co dzie pomiarach z reguy nie przejmujemy si analiz bdw. Wl wielu sytuacjach niepewnoci nie s wcale interesujce. Jeeli mwimy, e odlego z domu do szkoy wynosi 3 kilometry, to (w wikszoci przypadkw) nie jest istotne, czy oznacza to co pomidzy 2,5 a 3,5 kilometra" czy moe co pomidzy 2,99 a 3,01 kilometra". Czsto niepewnoci s wane, ale uwzgldniamy je podwiadomie, nie prowadzc w tym celu jawnych rozwaa. Stolarz przystpujc do dopasowywania drzwi powinien zna ich wysoko z dokadnoci zblion lub wiksz ni 1 mm. Dopki jednak niepewno pozostaje na tym poziomie, dopty drzwi (praktycznie pod kadym wzgldem) bdzie mona uzna za idealnie dopasowane, co zakoczy zainteresowanie stolarza rachunkiem bdw.

1.3. Znaczenie poznania niepewnoci

Przykad stolarza mierzcego wysoko framugi drzwi pokaza istnienie cisego zwizku niepewnoci z pomiarami. Rozwaymy teraz inny przykad, ktry wyraniej zilustruje podstawowe znaczenie wiedzy o rozmiarach niepewnoci.

17

Wyobramy sobie, e stajemy wobec zadania podobnego do tego, ktregi rozwizanie przypisuje si Archimedesowi. Poproszono nas, abymy stwier dzili, czy korona jest wykonana, tak jak si twierdzi, z 18-karatowego zota cz moe z mniej cennego stopu. Naladujc Archimedesa, postanawiamy zbada gsto materiau, z ktrego wykonano koron, wiedzc, e gstoci 18-karato wego zota i podejrzanego stopu wynosz

Pztota = 15,5 g/cm 3

i

Pstopu = 13,8 g/cm 3.

Jeeli potrafilibymy zmierzy gsto /> k o r o n y korony, daoby to moliwo (zgodnie z pomysem Archimedesa) przekonania si, czy korona rzeczywici wykonana jest ze zota, przez porwnanie p k o r o n y z gstociami p z o t a i p s t o p u .

Przypumy, e wykonanie pomiarw gstoci powierzylimy dwm eks pertom. Pierwszy z nich, nazwijmy go A, szybko przeprowadzi pomiar p k o r o i i w swoim sprawozdaniu napisa, e zgodnie z jego najlepsz wiedz p k o r o i wynosi 15, a niemal z cakowit pewnoci zawiera si w przedziale od 13,5 di 16,5 g/cm 3. Pomiary prowadzone przez eksperta B trway nieco du a w swoim sprawozdaniu poda on wynik 13,9 z zakresem prawdopodobie stwa od 13,7 do 14,1 g/cm 3. Rezultaty uzyskane przez ekspertw zawier tabela 1.1.

Tabela 1.1. Gsto korony (w g/cm 3)

Otrzymany wynik Ekspert A Ekspert B

Warto oczekiwana p k o r o n y 15 13,9 Zakres prawdopodobiestwa p k o r o n y od 13,5 do 16,5 od 13,7 do 14,1

Zapoznawszy si z wynikami zawartymi w tabeli, stwierdzimy najpierw, pomimo znacznie wikszej dokadnoci osignitej przez eksperta B, pomiar wykonane przez A s prawdopodobnie take poprawne. Kady z eksperymer tatorw okreli przedzia wartoci, w ktrym zgodnie z jego ocen zawiera si p k o r o n y . Przedziay te przekrywaj si; jest wic moliwe (a nawet cakier prawdopodobne), e obydwa zestawy wynikw s poprawne.

W toku dalszych rozwaa zauwaymy, e dua niepewno zwizan z pomiarami eksperta A czyni je cakowicie bezuytecznymi. Zarwno gsto

18

18-karatowego zota, jak i gsto stopu le w podanym przez niego przedziale od 13,5 do 16,5 g/cm 3. Nie jest wic moliwe wycignicie jakiegokolwiek wniosku z pomiarw eksperta A. Przeciwnie, pomiary B wykazuj jasno, e korona nie zostaa wykonana z 18-karatowego zota; gsto podejrzewanego przez nas stopu, 13,8 g/cm 3, ley zdecydownie wewntrz przedziau okrelonego przez eksperta B (od 13,7 do 14,1 g/cm 3), podczas gdy gsto 18-karatowego zota, ktra wynosi 15,5 g/cm 3, znajduje si z dala od granic przedziau. Jest oczywiste, e o ile pomiary maj pozwoli na wycignicie pewnych wnioskw, zwizane z nimi niepewnoci nie powinny by zbyt due. Jednake nie jest wcale niezbdne, aby byy one kracowo mae. Pod tym wzgldem przedstawiony przez nas przykad jest typowy dla wielu pomiarw naukowych, w ktrych niepewnoci powinny by wystarczajco mae (z reguy kilka procent mierzonej wielkoci), ale dalsze zwikszanie dokadnoci mija si z celem.

Poniewa nasza decyzja opiera si na wypowiedzianym przez eksperta B stwierdzeniu, e p k o r o n y zawiera si w przedziale pomidzy 13,7 i 14,1 g/cm 3, jest niezwykle wane, aby ekspert B poda przekonujce uzasadnienie swojego stwierdzenia. Innymi sowy, kady eksperymentator musi uzasadni granice ustalonego przez siebie zakresu prawdopodobiestwa. Tego wymagania nie dostrzegaj czsto pocztkujcy studenci, ktrzy podaj, e niepewno wynosi po prostu 1 milimetr, 2 sekundy itd., pomijajc jakiekolwiek uzasadnienie. Bez krtkiego wyjanienia sposobu szacowania niepewnoci takie stwierdzenia s nieomal bezuyteczne.

Na koniec najwaniejsza uwaga na temat pomiarw wykonanych przez zaangaowanych przez nas ekspertw; podobnie jak wikszo pomiarw naukowych, byyby one bezuyteczne, gdyby nie podano wraz z nimi wiarygodnego oszacowania niepewnoci. Zauwamy, e majc do dyspozycji wiadomoci zawarte w grnym wierszu tabeli 1.1, nie tylko nie bylibymy w stanie rozstrzygn o prawdziwoci korony, ale co gorsza moglibymy zosta wprowadzeni w bd, poniewa wynik podany przez eksperta A (15) pozwala sdzi, e korona jest prawdziwa.

1.4. Dalsze przykady

Przykady podane w poprzednich paragrafach zostay wybrane, poniewa dobrze ilustruj pewne podstawowe elementy rachunku bdw. Same w sobie nie maj zbyt wielkiej wagi, a Czytelnik moe uzna je za nieco wydumane. Nietrudno jednak znale przykady o znaczeniu podstawowym dla kadej z dziedzin bada podstawowych i stosowanych.

19

Zacznijmy od nauk stosowanych; projektant elektrowni jdrowej musi zna wasnoci wszystkich materiaw i paliw, ktre zamierza wykorzysta. Wytwrca kalkulatorw musi zna dane techniczne rnych podzespow elektronicznych. W kadym z przypadkw kto wczeniej musi zmierzy dane parametry, a po zakoczeniu pomiarw oszacowa ich wiarygodno, co wymaga zastosowania rachunku bdw. Inynierowie zajmujcy si zagadnieniami bezpieczestwa w transporcie lotniczym, kolejowym czy samochodowym musz mie na uwadze niepewnoci zwizane z czasem reakcji obsugi rodkw lokomocji, drogami hamowania i ca mas innych zmiennych; kade niedopatrzenie w prowadzonym rachunku bdw moe doprowadzi do powanych wypadkw, jak ten pokazany na okadce ksiki. Nawet w dziedzinie mniej zwizanej z nauk, jak jest produkcja odziey, rachunek bdw w postaci kontroli jakoci odgrywa istotn rol.

W badaniach podstawowych rola rachunku bdw jest jeszcze wiksza. Po przedstawieniu nowej teorii naley skonfrontowa j z teori starsz, wykorzystujc jeden lub kilka eksperymentw, w stosunku do ktrych nowa i stara teoria przewiduj rne wyniki. W zasadzie naleaoby ograniczy si do przeprowadzenia dowiadczenia i pozwoli wynikom rozstrzygn pomidzy rywalizujcymi teoriami. W praktyce sytuacj komplikuj nieuniknione niepewnoci eksperymentalne. Naley je uwanie analizowa i dy do zmniejszenia ich roli a do chwili, gdy eksperyment bdzie w stanie jednoznacznie wskaza na waciw teori. Oznacza to, e wyniki pomiarw musz by zgodne z przewidywaniami jednej z teorii, a sprzeczne ze wszystkimi, znanymi teoriami konkurencyjnymi. Jest oczywiste, e powodzenie takiej procedury zaley w sposb krytyczny od zrozumienia przez badacza rachunku bdw i zdolnoci do przekonania o tym fakcie innych.

Znanym przykadem testowania teorii naukowej, ktre opierao si na opisanych zasadach, jest pomiar ugicia promieni wietlnych przechodzcych w pobliu Soca. Po ogoszeniu w 1916 r. oglnej teorii wzgldnoci Einstein przewidzia, e wiato docierajce od gwiazd, przechodzc w pobliu Soca zostanie ugite o kt a = 1,8". Najprostsza z klasycznych teorii przewidywaa brak ugicia (a = 0), a bardziej zoona, klasyczna analiza przepowiadaa (jak zreszt wykaza to sam Einstein w 1911 r.) ugicie o kt a = 0,9". W zasadzie wystarczao jedynie przeprowadzi obserwacje gwiazd pokrywajcych si z krawdzi tarczy sonecznej i zmierzy kt ugicia a. Jeeli w wyniku otrzymano by a. = 1,8", oglna teoria wzgldnoci zwyciyaby (przynajmniej w odniesieniu do tego zjawiska); gdyby jednak a byo rwne 0 lub 0,9", wwczas oglna teoria wzgldnoci byaby faszywa, a jedna z klasycznych teorii prawdziwa.

W rzeczywistoci pomiary ugicia promieni wietlnych przez Soce s niezwykle trudne i moliwe do wykonania jedynie podczas zamienia Soca.

20

Pomimo wszystko, zostay one przeprowadzone w 1919 r. przez Dysona, Eddingtona i Davidsona, ktrzy podali wynik a. = 2,0" z przedziaem 95% wiarygodnoci od 1,7" do 2,3". 1 Wynik ten w sposb oczywisty by zgodny z ogln teori wzgldnoci i sprzeczny z przewidywaniami teorii klasycznych. Stanowi wic silny argument na rzecz stworzonej przez Einsteina oglnej teorii wzgldnoci.

W tamtym czasie by to wynik kontrowersyjny. Wielu badaczy podejrzewao, e niepewnoci oszacowano z niedomiarem i tym samym cae dowiadczenie nie byo rozstrzygajce. Kolejne eksperymenty zmierzay do potwierdzenia przewidywa Einsteina i broniy stanowiska Dysona, Eddingtona i Davidsona. W tym miejscu warto podkreli, e cay problem opiera si na zdolnoci eksperymentatorw do wiarygodnego oszacowania niepewnoci i przekonania pozostaych, e zostao to uczynione.

Student odbywajcy zajcia w ramach pierwszej pracowni fizycznej nie bdzie mia okazji do wykonywania dowiadcze rozstrzygajcych o prawdziwoci nowych teorii. Z drugiej jednak strony wiele z dowiadcze zostao pomylanych jako testy teorii ju uznanych. Na przykad, prawo powszechnego cienia Newtona przewiduje, e wszystkie ciaa spadaj ze staym przyspieszeniem g (w odpowiednich warunkach) i zadaniem studenta jest przeprowadzenie dowiadcze w celu ustalenia, czy jest to przewidywanie prawdziwe. Na pierwszy rzut oka, dowiadczenia tego typu mog wydawa si sztuczne i bezcelowe, poniewa te same teorie ju wielokrotnie sprawdzono i to z dokadnoci niemoliw do osignicia w pracowniach dydaktycznych. Pomimo to, jeeli student rozumie zasadnicze znaczenie rachunku bdw i gotw jest podj wyzwanie polegajce na moliwie dokadnym przeprowadzeniu testw z wykorzystaniem dostpnych przyrzdw, wspomniane dowiadczenia mog sta si niezwykle interesujce i ksztacce.

Jak dotd rozwaalimy pewne przykady ilustrujce, dlaczego kady pomiar obarczony jest niepewnoci i dlaczego istotna jest wiedza o jej wielkoci. Z drugiej strony nie rozwaalimy jeszcze, jak skutecznie obliczy wielko niepewnoci. W istocie takie oszacowanie moe by bardzo skomplikowane

1 Ten uproszczony opis dowiadczenia zosta oparty na oryginalnej pracy Dysona, Eddin

gtona i Davidsona Philos. Trans. R. Soc, 220A, 291 (1920). Dokonaem zamiany prawdopodobnego bdu, jaki wystpuje w oryginalnej pracy, na przedzia 95% wiarygodnoci. cise znaczenie takiego przedziau wiarygodnoci zostanie zdefiniowane w rozdziale 5.

1.5. Oszacowanie niepewnoci przy odczycie skali

21

i bdzie ono gwnym tematem dalszej czci tej ksiki. Na szczcie istniej pewne proste pomiary, dla ktrych mona dokona rozsdnej oceny niepewnoci, czsto posugujc si jedynie zdrowym rozsdkiem. W tym miejscu i w paragrafie 1.6 podamy dwa przykady takich nieskomplikowanych pomiarw. Ich zrozumienie pozwoli Czytelnikowi rozpocz stosowanie rachunku bdw w jego eksperymentach i stworzy podstawy naszych dalszych rozwaa.

milimetry

0 10 20 30 40 50

Rysunek 1.1. Pomiar dugoci za pomoc miarki

wolty

5

Rysunek 1.2. Odczyt napicia

Pierwszym przykadem jest pomiar wykorzystujcy skal z podzialk, jak miarka na rys. 1.1 czy woltomierz na rys. 1.2. Aby zmierzy dugo owka przedstawionego na rys. 1.1, musimy najpierw umieci jego koniec naprzeciw pocztku skali, a nastpnie zdecydowa, ktremu miejscu miarki odpowiada czubek owka. Aby zmierzy napicie na skali przedstawionej na rys. 1.2, musimy zdecydowa, jakie miejsce na skali woltomierza pokazuje jego wskazwka. Jeli zaoymy, e miarka i woltomierz s wiarygodne, to w obu przypadkach gwnym problemem jest decyzja, gdzie w stosunku do podziaki na skali ley pewien punkt. (Oczywicie, gdy istnieje jakakolwiek wtpliwo, e miarka i woltomierz nie s wiarygodne, wwczas bdziemy zmuszeni wzi ten fakt pod uwag.)

Znaczniki podziaki na rys. 1.1 le cakiem blisko siebie (s odlege o 1 mm). Eksperymentator mgby sensownie uzna, e pokazana dugo jest

bez wtpienia blisza wartoci 36 mm ni 35 czy 37 mm oraz e bardziej precyzyjny odczyt nie jest moliwy. Sformuowaby zatem nastpujcy wniosek:

najlepsze oszacowanie dugoci = 36 mm, (1.1)

prawdopodobny zakres od 35,5 do 36,5 mm

i powiedziaby, e zmierzy dugo z dokadnoci do najbliszej dziaki milimetrowej.

Taki typ konkluzji - e pewna wielko jest blisza jednej z dziaek skali ni kadej innej - jest dosy powszechny. Z tego powodu wielu naukowcw stosuje konwencj, e przez wyraenie / = 36 mm bez adnego zastrzeenia rozumie si, i / jest blisze 36 mm ni 35 mm czy 37 mm, czyli e

/ = 36 mm

znaczy

35,5 mm < Z ^ 36,5 mm.

W ten sam sposb odpowied x = 1,27, bez podania niepewnoci, powinna by rozumiana jako stwierdzenie, e x ley pomidzy 1,265 i 1,275. W niniejszej ksice nie bdziemy stosowa tej konwencji, podajc zawsze niepewno pomiarow explicite. Niemniej jednak wane jest, aby Czytelnik t konwencj rozumia i wiedzia, jak j stosowa w odniesieniu do dowolnej liczby, dla ktrej nie podano niepewnoci. Jej znajomo jest szczeglnie istotna w dobie kalkulatorw o wielocyfrowych wywietlaczach. Jeli student lepo przepisuje ze swojego kalkulatora liczb, tak jak 123,456, bez dodania jakiegokolwiek zastrzeenia, to patrzcy na t warto ma prawo wierzy w jej sze cyfr znaczcych. W rzeczywistoci jest to bardzo mao prawdopodobne.

Podziaka na woltomierzu pokazanym na rys. 1.2 jest rzadsza ni ta na miarce. W tym przypadku wikszo obserwatorw zgodzi si, e mona zrobi wicej ni po prostu okreli, ktra dziaka jest najbliej wskazwki. Poniewa odstp jest wikszy, mona realistycznie oceni, gdzie pomidzy dwiema dziakami znajduje si wskazwka. Tak wic rozsdne podsumowanie pomiaru napicia mogoby brzmie:

najlepsze oszacowanie napicia = 5,3 wolta, (1.2)

prawdopodobny zakres od 5,2 do 5,4 wolta.

23

i

Proces oceny pooenia punktu pomidzy dziakami na skali zwany jest interpolacj. Jest to wana technika, ktr mona udoskonala przez stosowanie w praktyce.

Inni obserwatorzy mogliby si nie zgodzi z ostron ocen podan w rwnaniach (1.1) i (1.2). W szczeglnoci mogliby rwnie dobrze zdecydowa, e na rys 1.1 moliwa byaby interpolacja dugoci i jej pomiar z mniejsz niepewnoci ni dana w rwnaniu (1.1). Niemniej jednak niewielu zaprzeczyoby, e rwnania (1.1) oraz (1.2) s rozsdnymi oszacowaniami wielkoci, o jakich mowa, i ich prawdopodobnej niepewnoci. Tak wic widzimy, e kiedy jedynym problemem jest zlokalizowanie punktu na skali z podziak, wwczas przybliona ocena niepewnoci jest cakiem prosta.

1.6. Szacowanie niepewnoci pomiarw wielokrotnych

Wiele pomiarw obarczonych jest niepewnoci, ktr o wiele trudniej oceni ni t zwizan z podziak skali pomiarowej. Kiedy, na przykad, uywamy stopera do pomiaru czasu, gwnym rdem niepewnoci nie jest trudno w okreleniu pooenia wskazwki, ale raczej nasz nieznany czas reakcji na pocztek i koniec pomiaru. Bdy takiego rodzaju mog by czasem wiarygodnie ocenione, jeli pomiar mona powtarza wiele razy. Przypumy na przykad, e dokonalimy pojedynczego pomiaru okresu dugiego wahada i otrzymalimy rezultat 2,3 sekundy. Po jednym pomiarze nie potrafimy powiedzie zbyt wiele o niepewnoci pomiaru. Jeli jednak powtrzylimy pomiar i otrzymalimy wynik 2,4 sekundy, moemy natychmiast stwierdzi, e bd pomiarowy jest prawdopodobnie rzdu 0,1 sekundy. Jeli sekwencja czterech pomiarw daje rezultaty (w sekundach):

2,3; 2,4; 2,5; 2,4, (1.3]

moemy zacz wykonywa pewne zupenie sensowne oszacowania. Po pierwsze, naturalne jest zaoenie, e najlepszym przyblieniem okresu

jest warto rednia, 2,4 sekundy. 2 Po wtre, cakiem bezpieczne wydaje si przyjcie, e waciwy okres mie

si gdzie pomidzy wartoci najmniejsz 2,3 oraz najwiksz 2,5. W ter sposb moemy stwierdzi, e:

2 W rozdziale 5 udowodnimy, e najlepsze oszacowanie oparte na wynikach wielu pomiarw

pewnej wielkoci jest prawie zawsze redni z wynikw pomiarw.

24

najlepsze przyblienie = rednia = 2,4 sekundy, (1.4)

prawdopodobny zakres od 2,3 do 2,5 sekundy.

Ilekro moemy wielokrotnie powtrzy ten sam pomiar, tylekro rozrzut otrzymanych wynikw daje cenn wskazwk na temat jego niepewnoci pomiarowej. W rozdziaach 4 i 5 przedyskutujemy statystyczne metody obrbki takich wielokrotnych pomiarw. W odpowiednich warunkach metody te daj bardziej dokadne oszacowanie bdu ni to, ktre okrelilimy w rwnaniu (1.4), posugujc si jedynie zdrowym rozsdkiem. Odpowiednia analiza statystyczna danych ma rwnie walor obiektywnej oceny bdu pomiarowego, niezalenej od indywidualnej opinii obserwatora 3 . Mimo to przyblienie (1.4) stanowi prosty i rozsdny wynik dajcy si wysnu z czterech pomiarw (1.3).

Nie zawsze mona jednak polega na tym, e wielokrotne pomiary, jak (1.3), ujawniaj niepewno pomiaru. Po pierwsze, musimy by pewni, e wielko, jak mierzymy, jest za kadym razem rzeczywicie t sam wielkoci. Przypumy na przykad, e mierzymy wytrzymao na rozerwanie dwch rzekomo identycznych drutw przez ich przerywanie (czasem nie mona zrobi tego wicej ni raz na kadym drucie). Jeli dostajemy dwa rne wyniki, rnica ta moe sugerowa niepewno naszych pomiarw lub oznacza, i druty nie byy naprawd identyczne. Swoj drog rnica midzy takimi dwoma wynikami nie rzuca adnego wiata na kwesti wiarygodnoci naszych pomiarw.

Wielokrotne pomiary nie zawsze ujawniaj bd pomiarowy nawet wwczas, gdy moemy by pewni, e za kadym razem mierzymy t sam wielko. Przypumy na przykad, e zegar, ktry da wynik (1.3), spieszy si stale 5%. Wwczas wszystkie czasy zmierzone za jego pomoc bd o 5% za dugie i dowolna liczba powtrze tego pomiaru (tym samym stoperem) nie ujawni tego faktu. Bdy tego rodzaju, ktrymi obarczone s w taki sam sposb wszystkie pomiary, nazywamy bdami systematycznymi i, jak przedyskutujemy w rozdziale 4, potrafi by trudne do wykrycia. W naszym przykadzie rozwizaniem byoby sprawdzenie naszego stopera za pomoc innego, bardziej wiarygodnego. Oglniej, powinno by jasne, e jeli s powody, aby wtpi

3 Waciwa obrbka statystyczna daje take zwykle mniejszy bd ni cay zakres od najmniej

szej do najwikszej zaobserwowanej wartoci. Tak wic, patrzc na cztery czasy (1.3), osdzilimy, e okres jest prawdopodobnie" gdzie pomidzy 2,3 s a 2,4 s; metody statystyczne z rozdziaw 4 i 5 pozwalaj nam stwierdzi, e z 70% ufnoci okres ten ley w mniejszym zakresie, od 2,36 s do 2,44 s.

25

w wiarygodno jakiegokolwiek urzdzenia pomiarowego (zegara, tamy mierniczej, woltomierza), powinno si sprbowa je sprawdzi za pomoc innego, o ktrym wiadomo, e jest bardziej wiarygodne.

Przykady dyskutowane w tym i poprzednim paragrafie pokazuj, e bdy pomiarowe mona czasem atwo oszacowa. Z drugiej jednak strony jest wiele pomiarw, ktrych bdy nie s tak proste do oceny. Tak wic ostatecznie bdziemy potrzebowa bardziej precyzyjnych wartoci bdu pomiarowego, ni mog nam da proste - wanie przedyskutowane - szacunki. Zagadnienia te zajm nas poczwszy od rozdziau 3. W rozdziale 2 zaoymy, e wiemy, jak ocenia bd wszystkich wielkoci, ktre mierzymy, tak wic moemy przedyskutowa, jak najlepiej podawa bdy pomiarowe i jak z nich korzysta przy wyciganiu wnioskw z eksperymentu.

R O Z D Z I A 2

JAK PRZEDSTAWIA NIEPEWNOCI POMIAROWE I JAK Z NICH KORZYSTA

Mamy ju jakie wyobraenie o tym, jak istotne s niepewnoci pomiarowe i skd si one bior. Wiemy take, jak w niektrych nieskomplikowanych sytuacjach mona je szacowa. W niniejszym rozdziale przedstawimy niektre podstawowe pojcia i reguy z dziedziny rachunku bdw oraz damy par przykadw ich zastosowania w kilku dowiadczeniach, typowych dla pracowni wstpnej. Naszym gwnym celem jest zapoznanie Czytelnika z podstawowym sownictwem z dziedziny rachunku bdw i ze sposobami jego wykorzystania w trakcie wicze na pracowni. Nastpnie, poczwszy od rozdziau 3, bdziemy gotowi, aby pozna, jak w praktyce oblicza niepewnoci eksperymentalne.

W paragrafach od 2.1 do 2.3 zdefiniujemy niektre podstawowe pojcia rachunku bdw i przedyskutujemy pewne oglne reguy prezentacji niepewnoci. W paragrafach od 2.4 do 2.6 rozwaa bdziemy, jak zastosowa owe pojcia w kilku typowych dowiadczeniach na wstpnej pracowni fizycznej. Wreszcie w paragrafach od 2.7 do 2.9 wprowadzimy jeszcze jedn podstawow definicj - niepewnoci wzgldnej i przedyskutujemy jej znaczenie.

2.1. Najlepsze przyblienie + niepewno

Zobaczylimy ju, e waciwym sposobem prezentacji wynikw dowiadcze jest podawanie najlepszego przyblienia wielkoci mierzonej oraz zakresu, w ktrym owa wielko ley. Na przykad wynik pomiaru czasu, o ktrym bya mowa w paragrafie 1.6, wyglda nastpujco:

-\

27

najlepsze przyblienie czasu = 2,4 s, (2.1

prawdopodobny zakres od 2,3 s do 2,5 s.

W tym przypadku, tak jak we wszystkich naszych przykadach, najlepsz przyblienie, 2,4 s, ley porodku szacowanego zakresu wartoci prawdopo dobnych od 2,3 s do 2,5 s. Fakt ten wydaje si cakiem naturalny i odnosi si do prawie wszystkich pomiarw. Umoliwia on wyraanie wynikw pomiaro wych w bardzo zwartej formie. Na przykad wynik pomiaru czasu, tak ja w przykadzie (2.1), zwykle zapisywany jest nastpujco:

Rwnanie to jest dokadnie rwnowane dwm stwierdzeniom (2.1). W oglnoci wynik jakiegokolwiek pomiaru wielkoci x podawany jes

w nastpujcy sposb:

Stwierdzenie to oznacza, po pierwsze, e najlepszym przyblieniem warto mierzonej jest wedug eksperymentatora liczba x n p , i po wtre, e z rozsdny prawdopodobiestwem szukana wielko znajduje si gdzie pomid; x n p Sx i x n p + Sx. Liczba Sx zwana jest niepewnoci lub bdem pomiaru Wygodnie jest zawsze definiowa 8x jako wielko dodatni, tak aby x n p + c byo zawsze najwiksz prawdopodobn wartoci wielkoci mierzom a x n p 8x byo jej wartoci najmniejsz.

Celowo nie sprecyzowalimy znaczenia zakresu od x n p 8x do x n p + c Czasami potrafimy wyrazi to bardziej dokadnie. W tak prostym dowiadcze jak pomiar wysokoci futryny atwo mona okreli zakres od x n p 8x < x n p + Sx, w ktrym na pewno mieci si szukana warto. Niestety w wikszo: pomiarw naukowych bardzo trudno sformuowa taki wniosek. W szczegln ci, jeli pragniemy by zupenie pewni, e mierzona wielko ley pomid x n p 8x i x n p + 8x, musimy wybra zwykle tak warto 8x, e staje si o cakiem bezuyteczna. Aby tego unikn, wybieramy czasami tak warto < eby powiedzmy w 70% by pewnym, e szukana wielko jest gdzie mic x n p 8x i x n p + 8x. Jasne jest jednak, e nie moemy tego zrobi bez szczego\ znajomoci praw statystyki, rzdzcych procesem pomiaru. Powrcimy do te zagadnienia w rozdziale 4. Na razie zadowlmy si zdefiniowaniem niepewno Sx jako takiej, dla ktrej z rozsdnym prawdopodobiestem" mona powiedzi e mierzona przez nas wielko ley gdzie pomidzy x n p 8x i x n p + 8x.

mierzona warto czasu = 2,4 + 0,1 s. (2.:

(warto zmierzona x) = x n p + 8x. (2.;

28

*

2.2. Cyfry znaczce

Warto podkreli pewne podstawowe zasady podawania niepewnoci pomiarowych. Po pierwsze, poniewa 8x jest szacunkow niepewnoci, zatem nie powinno si jej podawa ze zbyt wielk dokadnoci. Jeli mierzymy przyspieszenie ziemskie g, byoby absurdem podawanie odpowiedzi w postaci:

(zmierzone g) = 9,82 + 0,02385 m/s 2 . (2.4)

Trudno sobie wyobrazi, aby niepewno pomiarowa moga by znana z dokadnoci czterech cyfr znaczcych. Przy bardzo dokadnych pomiarach mona czasem podawa niepewnoci z dwiema cyframi znaczcymi, jednak na potrzeby pracowni wstpnej moemy przyj nastpujc regu 1:

Regua podawania niepewnoci Na pracowni wstpnej niepewnoci eksperymentalne (2.5)

powinny by zwykle zaokrglane do jednej cyfry znaczcej.

Tak wic, jeli z jakich rachunkw otrzymujemy niepewno 8g = 0,02385 m/s 2 , wynik ten powinien by zaokrglony do dg = 0,02 m/s 2 , rezultat pomiaru za naley przepisa w postaci

(zmierzone g) = 9,82 + 0,02 m/s 2 . (2.6)

Wan praktyczn konsekwencj tej reguy jest fakt, i wielokro obliczenia bdw mona wykonywa w pamici, bez pomocy kalkulatora czy nawet owka i papieru.

Od reguy (2.5) jest tylko jeden istotny wyjtek. Ot jeli pierwsz cyfr znaczc niepewnoci 8x jest 1, to lepiej zachowa w 8x dwie cyfry znaczce zamiast jednej. Przypumy na przykad, e nasze obliczenia daj niepewno bx = 0,14. Zaokrglenie tej wartoci do 8x = 0,1 prowadzioby do 40% zmniejszenia niepewnoci, mona zatem dowodzi, e mniej mylce byoby pozostawienie dwch cyfr znaczcych, czyli Sx = 0,14. Ten sam argument mona by ewentualnie zastosowa, kiedy pierwsz cyfr znaczc jest 2, nie dziaa ona jednak dla cyfr wikszych.

1 Dla wygody Czytelnika reguy te bd numerowane tak jak rwnania. Niektre z nich bd

zawieray rwnania, inne za nie.

29

Kiedy ju ocenilimy niepewno pomiaru, naleaoby si zastanowi, kti z cyfr wartoci zmierzonej s znaczce. Wynik zapisany jako

zmierzona prdko = 6051,78 + 30 m/s (2.'

jest wprost niedorzeczny. Niepewno 30 oznacza, e cyfra na trzecim miejsc liczby 6051,78 (a wic 5) mogaby by w rzeczywistoci rwna 2 lub 8. Jasr jest zatem, e ostatnie cyfry 1, 7 oraz 8 nie maj zupenie znaczenia i powinri znikn po zaokrgleniu. Poprawny zapis wyniku (2.7) powinien zatem w; glda nastpujco:

zmierzona prdko = 6050 + 30 m/s. {2.. Oglna regua moe przyj nastpujc form:

Regua podawania odpowiedzi Ostatnia cyfra znaczca w kadym wyniku powinna (2. zwykle by tego samego rzdu (sta na tym samym

miejscu dziesitnym) co niepewno

Na przykad wynik 92,81 z niepewnoci 0,3 powinien by zaokrglony do

92,8 + 0,3.

Jeli niepewno rwna jest 3, to ten sam rezultat naleaoby zapisa jako 93 3 ,

jeli za niepewno wynosi 30, to odpowied powinna brzmie 90 30.

Liczby uywane w obliczeniach powinny mie jednak generalnie jed, cyfr znaczc wicej ni te podawane ostatecznie. Zmniejsza to niedokadn ci wprowadzane podczas zaokrglania liczb. Kocowy wynik powinien b zaokrglony tak, aby usun t dodatkow (i nieznaczc) cyfr.2

2 Jest jeszcze jeden wyjtek od reguy (2.9). Jeli pierwsza cyfra niepewnoci jest mala (1 1

by moe 2), to mogoby by waciwe pozostawienie w odpowiedzi jeszcze jednej cyfry znaczi Przykadowo, wynik taki jak

zmierzona dugo = 27,6 + 1 cm jest zupenie rozsdny. W tym przypadku naleaoby si zgodzi, e jego zaokrglenie do 28 powodowaoby utrat informacji.

*

30

Zwrmy uwag, e wymiar niepewnoci jakiejkolwiek mierzonej wielkoci est taki sam jak wymiar owej wielkoci. Zapis, w ktrym jednostki (m/s 2 , cm 2

itd.) pojawiaj si tylko na kocu wyniku (po najlepszym przyblieniu i niepewnoci, tak jak w rwnaniach (2.6) i (2.7)), bdzie zatem bardziej czytelny : ekonomiczny. W ten sam sposb, jeli mierzona warto jest tak dua bd maa, e wymaga zastosowania zapisu wykadniczego (tj. uycia formy 3 10 3 zamiast 3000), to prociej i czytelniej jest poda odpowied i niepewno w tej samej formie. Przykadowo wynik

zmierzony adunek = (1,61 0 , 0 5 ) - 1 0 " 1 9 C

jest o wiele prostszy do odczytania i zrozumienia, ni gdyby by zapisany w nastpujcej postaci:

zmierzony adunek = 1,61 1 0 " 1 9 + 5 1 0 " 2 1 C .

2.3. Rozbieno

Zanim zapytamy, jak uywa niepewnoci w sprawozdaniach na pracowni, naley wprowadzi i zdefiniowa kilka wanych poj. Po pierwsze, jeli dwa pomiary tej samej wielkoci nie zgadzaj si ze sob, mwimy o rozbienoci. Liczbowo zdefiniujemy rozbieno pomidzy wynikami dwch pomiarw jako ich rnic

rozbieno = rnica pomidzy dwoma wynikami pomiarw tej samej wielkoci.

Istotne jest rozrnienie sytuacji, gdy rozbieno jest lub nie jest znaczca. Jeli dwch studentw mierzy ten sam opr i dostaje wyniki odpowiednio

40 + 5 omw i

42 + 8 omw,

to rozbieno 2 omw jest mniejsza ni ich niepewno pomiarowa, tak wic wida, e pomiary s spjne. Powiedzielibymy, i w tym przypadku rozbieno nie jest znaczca. Z drugiej strony, jeli otrzymane wyniki wynosiyby

31

35 + 2 omw

3 Nie zawsze tak jest. Jeli kto na przykad szuka w tablicach wspczynika zaamania wia:

dla szka, znajdzie wartoci z zakresu od 1,5 do 1,9. Odpowiadaj one rnym rodzajom szk Jeli w dowiadczeniu mamy zmierzy wspczynnik zaamania szka o nieznanym skadz warto uznana" bdzie tylko bardzo zgrubnie wskazywa na wielko szukanego wyniku.

4 Poniewa Czytelnik mgby mie pewne kopoty z wymyleniem takiego eksperymen

podamy jeden przykad. Jeli mierzy si stosunek dugoci obwodu koa do jego rednicy, prawdziwym wynikiem jest dokadnie %. Jest jasne, e dowiadczenia tego typu s nieco wyduma:

32

45 + 1 omw,

to oba pomiary byyby w oczywisty sposb niespjne, a rozbieno 10 omv byaby znaczca. W takim przypadku naleaoby nieco uwagi powici zbadaniu rde tej rozbienoci.

Na pracowni wstpnej mierzy si czsto wielkoci, ktre byy przedten wielokrotnie precyzyjnie mierzone (jak prdko wiata c, czy adunek elek tronu e) i ktrych bardzo dokadne wartoci uznane mona znale w podrcz nikach. Wartoci te, bdc wynikami pomiarw, nie s oczywicie pozbawion niepewnoci. Niemniej jednak w wielu przypadkach warto uznana jes o wiele bardziej dokadna, ni mogaby by wyznaczona przez samego studen ta. Przykadowo aktualnie uznana warto prdkoci wiata c rwna jest

(uznana warto c) = 299 792 458 + 1 m/s. (2.11

Jak tego oczekiwalimy, warto ta jest obarczona niepewnoci, cho niepewno ta jest - jak na warunki wikszoci pracowni studenckich - ekstremalnie maa. 3

Chocia istnieje wiele eksperymentw, polegajcych na pomiarze wielko ktrej warto akceptowana jest znana, jest take pewna, bardzo niewielka, klas dowiadcze o znanej prawdziwej odpowiedzi.4 W rzeczywistoci prawdziwa wai to wielkoci mierzonej prawie nigdy nie jest znana dokadnie i prawd mwi jest ona trudna do zdefiniowania. Mimo to, czasem korzystnie jest dyskutowa rnic pomidzy pewn wartoci mierzon i odpowiedni wartoci prawdziw; niektrzy autorzy za rnic t nazywaj bdem prawdziwym.

2.4. Porwnanie wartoci zmierzonych i wartoci uznanych

Przeprowadzanie dowiadczenia, z ktrego nie wycigaoby si pewnego wni< sku jest mao celowe. Tylko bardzo niewiele eksperymentw daje gwn jakociowe wyniki. Jest tak w przypadku obserwacji wzorw interferencyjnyc

i

Tworzonych przez fale na powierzchni wody czy te badania barwy wiata przechodzcego przez pewien ukad optyczny. Olbrzymia wikszo dowiadcze prowadzi do wynikw ilociowych, a wic do ustalenia pewnych liczb. Naley podkreli, e podanie pojedynczej wartoci zmierzonej wcale nie jest interesujce. Fakt, e gsto pewnego metalu zostaa okrelona jako 9.3 + 0,2g/cm 3 , czy te, e pd wzka wynosi 0,051+0,004 kg m/s, same w sobie nie maj znaczenia. Formuowany wniosek musi zawiera porwnanie dwu lub wicej liczb: wyniku pomiaru z wartoci uznan, wyniku pomiaru z wartoci przewidywan teoretycznie, czy te wynikw wielu pomiarw, aby sprawdzi ich zwizek z pewnym prawem fizycznym. W trakcie dokonywania porwna du rol odgrywa rachunek bdw. W tym i w nastpnych dwch paragrafach omwimy trzy typowe dowiadczenia, ktre zilustruj, jak oszacowane niepewnoci s wykorzystywane do formuowania wnioskw.

Najprostszym typem dowiadczenia jest pomiar wielkoci, ktrej uznan warto znamy. Jak ju powiedzielimy, jest to nieco sztuczny eksperyment, szczeglnie w ramach pracowni wstpnej. W takim dowiadczniu mierzy si pewn wielko, ocenia jej niepewno pomiarow, a nastpnie porwnuje si je z wartoci uznan. Tak wic dowiadczenie polegajce na pomiarze prdkoci dwiku w powietrzu (w warunkach normalnych) mogoby doprowadzi do stwierdzenia, e

zmierzona prdko = 329 + 5 m/s, (2.12) podczas gdy

uznana warto prdkoci = 331 m/s. (2.13) Prawdopodobnie student skomentowaby ten wynik liczbowy stwierdzeniem, e uznana warto prdkoci mieci si w zakresie oszacowanym na podstawie pomiaru, zatem jego wynik mona uzna za zadowalajcy. Wyczerpywaoby to opis jego dowiadczenia.

Niepewno 8x oznacza tyle, e waciwa warto x prawdopodobnie" zawiera si w zakresie od x n p Sx do x n p + Sx. Jest jednak moliwe, e warto ta ley nieco poza tym zakresem. Tak wic wynik eksperymentu mona by uzna za zadowalajcy nawet wwczas, gdyby warto uznana leaa odrobin poza oszacowanym zakresem wartoci zmierzonej. Przykadowo zmierzon warto 325 + 5 m/s mona by przyj jako zgodn z wartoci uznan 331 m/s. Z drugiej strony, jeli warto uznana jest sporo poza oszacowanym zakresem (czyli rozbieno jest duo wiksza ni podwojona niepewno), to istniej uzasadnione obawy, aby sdzi, e co si nie udao. Tak wic niefortunny eksperymentator, ktry znalaz

33

zmierzon prdko = 345 2 m/s, (2.14

w sytuacji gdy uznana warto = 331 m/s, (2.15

bdzie musia szukajc rde omyki, sprawdzi swoje pomiary i obliczenia. Niestety tropienie wasnego bdu potrafi by zajciem do nudnym, gdy

istnieje wiele moliwych przyczyn jego powstania. Mg on wystpi n poziomie pomiaru lub oblicze, ktre doprowadziy do wartoci 345 m/i Niewaciwie moga zosta oszacowana niepewno pomiarowa. (Wyni 345 + 1 0 m/s mona by ju zaakceptowa.) Wynik pomiaru mg wreszcie by porwnywany z niewaciw wartoci uznan. Na przykad warto 331 m, jest tablicow prdkoci dwiku w warunkach normalnych. Oznacza t temperatur 0C i cinienie 760 mm Hg. Istnieje wic moliwo, e pomi (2.14) nie zosta przeprowadzony w takiej temperaturze. Istotnie, jeli pomi; wykonano w 20C (a wic w normalnej temperaturze pokojowej), to waciw warto uznana prdkoci dwiku byaby rwna 343 m/s i wynik pomiai byby w zupenoci zadowalajcy.

W kocu (i by moe najprawdopodobniej) rozbieno taka, jak ta pomid; rezultatami (2.14) i (2.15), moe wskazywa na pewne nie wykryte rdo bd systematycznych (jak stale pnicy si zegar z rozdziau 1). Wykrycie takii systematycznych bdw (bdw, ktre konsekwentnie wpywaj na wyni w taki sam sposb) bdzie wymaga uwanego sprawdzenia kalibracji wszystki instrumentw i dokadnego przegldu wszystkich stosowanych procedur.

2.5. Porwnanie dwu wartoci zmierzonych

W wielu dowiadczeniach mierzy si dwie wartoci, ktre zgodnie z teo: powinny by sobie rwne. Zasada zachowania pdu, na przykad, mwi, cakowity pd ukadu izolowanego jest stay. Aby to sprawdzi, moglibyi przeprowadzi seri eksperymentw, w ktrych zderzayby si dwa w: poruszajce si bez tarcia na torze powietrznym. Moglibymy mierzy c kowity pd wzkw przed zderzeniem (p) oraz ich pd po zderzeniu ( i sprawdza, czy z dokadnoci do niepewnoci pomiarowej p = p'. Dla jed pary pomiarw nasz wynik mgby wyglda nastpujco:

pd pocztkowy p = 1,49 + 0,04 kg-m/s oraz

pd kocowy p' = 1,56 + 0,06 kg-m/s.

34

W tym przypadku zakresy, w ktrych prawdopodobnie mieszcz si wartoci p (od 1,45 do 1,53) i p' (od 1,50 do 1,62), przekrywaj si. Tak wic ten wynik pomiaru jest zgodny z zasad zachowania pdu. Z drugiej strony, jeli dwa prawdopodobne zakresy nie byyby nawet bliskie przekrycia, to nasz wynik byby niezgodny z zasad zachowania pdu. W takim przypadku musielibymy szuka bdu w naszym pomiarze lub obliczeniach, moliwych bdw systematycznych bd zbada moliwo wpywu si zewntrznych (siy cikoci lub tarcia) na zmian pdu naszego ukadu.

Przypumy, e powtarzamy pomiary wielokrotnie. W jaki sposb najlepiej przedstawi wyniki? Po pierwsze, prawie zawsze najlepiej notowa wyniki szeregu podobnych pomiarw w tabeli, a nie jako osobne zapisy. Po drugie, czsto niepewno pomiarowa nie zmienia si zbytnio od pomiaru do pomiaru. Moemy przykadowo uzna, e we wszystkich pomiarach pocztkowego pdu p niepewno pomiarowa rwna jest m 0,04 kg m/s, w pomiarach za pdu kocowego p' niepewno rwna jest 8p' 0,06 kg-m/s. Jeli tak zrobimy, to dobr metod prezentacji wynikw byaby tabela 2.1. Dla kadej pary pomiarw, prawdopodobny zakres wartoci p przekrywa si (lub jest bliski przekrycia) z zakresem wartoci p'. Jeli bdzie to prawd dla wszystkich pomiarw, moemy nasze wyniki uzna za zgodne z zasad zachowania pdu.

Tabela 2.1. Zmierzone pdy (wszystkie w kg-m/s)

Pd pocztkowy p Pd kocowy p' (wszystkie 0,04) (wszystkie 0,06)

1,49 1,56 2,10 2,12 1,16 1,05 itd. itd.

Po chwili namysu moemy nasze wyniki zaprezentowa tak, aby uczyni ten wniosek jeszcze bardziej czytelnym. W naszym przykadzie zasada zachowania pdu wymaga, aby rnica pp' bya rwna zeru. Jeli dodamy do tabeli kolumn pokazujc pp', to wszystkie pozycje w tej kolumnie powinny mie wartoci w pobliu zera. Jedyn trudnoci jest konieczno wyznaczenia niepewnoci rnicy p p'. Mona to jednak z atwoci uczyni. Przypumy, e wykonalimy pomiary

(mierzona warto p) = p n p o p oraz

(mierzona warto p') = p'npdp'.

35

Wartoci p n p i p'nv s naszymi najlepszymi przyblieniami p i p'. Tak wi najlepszym przyblieniem rnicy pp' jest pnpp'nv- Aby znale niepewno wartoci pp', musimy zdecydowa si, jaka jest najwiksza i najmniejsz moliwa warto pp'. Najwiksza moliwa warto p p' byaby osignite gdyby p miao sw najwiksz prawdopodobn warto pnp + bp, a p' miai warto najmniejsz, czyli p ' n p bp'. Zatem najwiksza moliwa warto p ; rwna jest:

najwiksza moliwa warto = (pnp p ' n p ) + ( bp + bp'). (2.16

Podobnie najmniejsza moliwa warto powstaje wtedy, kiedy p jest najmniej sze (pnP bp), a p' najwiksze (p'np + bp'). Daje to

najmniejsz moliw warto = ( p n p p'nV) {bp + bp'). (2.11

Wic wyniki (2.16) i (2.17) widzimy, e niepewno rnicy pp' jest sum bp + bp' pierwotnych niepewnoci. Na przykad jeli

p = 1,49 + 0,04 kg-m/s oraz

p' = 1,56 + 0,06 kg-m/s to

p-p' = - 0 ,07 + 0,1 kg-m/s.

Moemy teraz do tabeli 2.1 doda jeszcze, jedn kolumn z wrtosciarc (V ~ v'\ tworzc tym samym tabel 2.2. Teraz na pierwszy rzut oka wida, cz nasze wyniki s spjne z zasad zachowania pdu. Mona to sprawdzi patrzc, czy liczby w ostatniej kolumnie s w przyblieniu rwne zeru (czy czy s mniejsze lub porwnywalne z niepewnoci 0,1). Inn metod osij nicia takiego samego efektu byoby umieszczenie w tabeli stosunkw p'/\ ktre musiayby by zgodne z wartoci p'/p = 1. ( W tym przypadku musiel bymy umie obliczy niepewno ilorazu p'/p, z czym zapoznamy si w ro; dziale 3).

Tabela 2.2. Zmierzone pdy (wszystkie w kg m/s)

Pd pocztkowy p (wszystkie +0,04)

Pd kocowy p' (wszystkie 0,06)

Rnica p p' (wszystkie 0,1)

1,49 1,56 -0 ,07 2,10 2,12 - 0 , 0 2 1,16 1,05 0,11 itd. itd. itd.

36

Nasze rozwaania o niepewnoci p p' stosuj si w oczywisty sposb do rnicy dowolnych wartoci zmierzonych. Moemy zatem ustali nastpujc : g o l n regu:

Niepewno rnicy Jeli wielkoci x i y s zmierzone z niepewnociami 5x i by, i jeli zmierzone wartoci x i y uywane s do wyznaczenia rnicy

czy punkty te le na prostej przechodzcej przez pocztek ukadu wsprzdnych. Poniewa lini prost daje si bez trudu rozpozna, tak wic jest to atwj i skuteczny sposb potwierdzania proporcjonalnoci.

Chcc zilustrowa sposb takiego uycia wykresu, wyobramy sobie do wiadczenie sprawdzajce prawo Hooke'a. Prawo to zwykle zapisywane w po staci F = kx gosi, e wyduenie spryny x jest proporcjonalne do siy F ktra j rozciga, x = F/k, gdzie k jest wspczynnikiem sprystoci. Prostyn sposobem sprawdzenia tej zalenoci jest zawieszanie obcinikw o rnycl masach m. W takim przypadku sia F jest ciarem mg obcinika: tak wi< wyduenie spryny powinno by rwne

(2.19

Wyduenie powinno by proporcjonalne do masy obcinika m, a wykre zalenoci x od m powinien by prost przechodzc przez pocztek ukadi wsprzdnych.

Jeli mierzymy x dla rnych obcinikw m i zaznaczamy punkt; 0 wsprzdnych rwnych zmierzonym wartociom x i m, jest bardzo ma< prawdopodobne, e bd one leay dokadnie na prostej. Przypumy n; przykad, e mierzymy wyduenie spryny dla omiu rnych obciei 1 dostajemy wyniki zebrane w tabeli 2.3. Punkty o wsprzdnych odpowiada jcych tym wartociom przedstawiono s na rys. 2.la, gdzie pokazano tak prost przecinajc pocztek ukadu wsprzdznych i przechodzc stosun kowo blisko wszystkich omiu punktw. Jak powinnimy si tego spodziewa nasze punkty nie le dokadnie na adnej prostej. Problem polega na tym, cz jest to wynik niepewnoci pomiarowych (na co mamy nadziej), naszej omyk czy te moe faktu, e wyduenie x nie jest proporcjonalne do m. Aby ti rozstrzygn, musimy wzi pod uwag nasze niepewnoci.

Tabela 2.3. Obcienie i wyduenie

Obcienie m (g) 200 300 400 500 600 700 800 900 (8m zaniedbywalne)

Wyduenie x (cm) 1,1 1,5 1,9 2,8 3,4 3,5 4,6 5,4 (wszystkie 0,3)

Jak zwykle wartoci zmierzone: wyduenia x i masy m s obarczon pewnymi niepewnociami. Dla prostoty zamy na pocztek, e uyte masy s znane bardzo dokadnie, tak wic niepewno m jest pomijalnie maa. Przypi my take, e wszystkie pomiary x maj niepewno okoo 0,3 cm ( ja pokazuje to tabela 2.3). Na przykad po zawieszeniu obcinika o masie 200

38

jej wyduenie prawdopodobnie bdzie rwne 1,1 0,3 cm. Zatem nasz pierwszy punkt pomiarowy ley na linii pionowej m = 200 g, gdzie pomidzy x = 0,8 i x = 1,4 cm. Pokazano to na rys. 2.1b, gdzie zaznaczylimy pionow kresk granic bdu, ktra dla kadego punktu wskazuje zakres, w jakim prawdopodobnie mieci si warto zmierzona. Oczywicie powinnimy oczekiwa, e moliwe bdzie przeprowadzenie linii prostej przecinajcej pocztek ukadu wsprzdnych, ktra przechodzi przez wszystkie zaznaczone granice bdw lub ley blisko nich. Na rysunku 2.1b jest taka prosta, zatem moemy stwierdzi, e dane, na podstawie ktrych narysowano pokazany tu wykres, s zgodne z zaoeniem, i x jest proporcjonalne do m.

Rysunek 2.1. Trzy wykresy zalenoci wyduenia spryny od obcienia m. a) Dane z tabeli 2.3 bez oznaczonych granic bdu, b) Te same dane z granicami bdu wskazujcymi na niepewnoci wyznaczenia x. (Przyjto, e niepewnoci wyznaczenia m s zaniedbywalne.) Przedstawione dane ; zgodne ze spodziewan proporcjonalnoci x do m. c) Inny zestaw wynikw, ktry nie zgadza

si z zaoeniem o proporcjonalnoci x do m

39

Jak wynika z rwnania (2.19), tangens kta nachylenia prostej, bdcej wykresem funkcji x(m) jest rwny g/k. Mierzc nachylenie prostej z rys. 2.Ib, moemy zatem znale wspczynnik sprystoci k. Rysujc proste o najwikszym i najmniejszym nachyleniu, ktre w miar dobrze pasuj do zaznaczonych punktw, moglibymy take okreli niepewno wartoci k (patrz zadanie 2.8).

Jeli najlepiej dopasowana prosta omija du cz zaznaczonych granic bdw lub mija jakkolwiek z nich w duej odlegoci (w porwnaniu z granic bdu), oznacza to, e wyniki nasze s niespjne z twierdzeniem o proporcjonalnoci x do m. Sytuacj tak ilustruje rysunek 2.1c. Na podstawie wynikw tam przedstawionych musielibymy powtrnie sprawdzi nasze dowiadczenie i rachunki (wczajc obliczenia niepewnoci), i rozway, czy istnieje jaka przyczyna, dla ktrej x nie jest proporcjonalne do m.

Jak dotd przyjmowalimy, e niepewno wyznaczenia masy (zaznaczanej na osi odcitych) jest pomijalnie maa, niepewnociami za obarczone s jedynie pomiary x, co pokazuj pionowe kreski granic bdw. Jeli zarwno x jak i m obarczone s liczcymi si niepewnociami, jest wiele sposobw, aby to pokaza. Najprostszym jest narysowanie dla kadego punktu zarwnc pionowej, jak i poziomej kreski o dugoci odpowiadajcej danej niepewnoci. Pokazano to na rys. 2.2. Kady krzyyk na przedstawionym tam wykresie odpowiada jednemu pomiarowi x oraz m i oznacza, e x prawdopodobnie ley w granicach wyznaczonych przez rami pionowe, m za znajduje si wewntrz przedziau oznaczonego przez rami poziome.

Rysunek 2.2. Pomiary x i m z niepewnociami mona przedstawi rysujc dla kadego punkti krzyyk pokazujcy granic bdu dla x i dla m

Kiedy spodziewamy si, e jedna wielko fizyczna jest proporcjonalna dc pewnej potgi innej wielkoci, wwczas powstaje nieco bardziej skomplikowana sytuacja. Wemy pod uwag drog x przebyt przez ciao w czasie t podczas swobodnego spadku. Droga ta rwna x = j.gt2 jest proporcjonalm do kwadratu czasu t. Jeli narysujemy wykres zalenoci x od t, to punkt] dowiadczalne bd lee na paraboli. Jednak trudno na oko oceni, czy zbii punktw ley na paraboli ( lub na innej krzywej poza prost). O wiele lepie

40

zauway, e jeli xoct2, to wykres zalenoci x od t2 powinien by lini prost przechodzc przez pocztek ukadu wsprzdnych. Taki wykres umoliwi nam sprawdzenie, czy nasze dane le na prostej czy te nie, dokadnie w taki sam sposb jak w poprzednim przypadku. Podobnie, gdy x jest proporcjonalne do funkcji wykadniczej eAt (gdzie A jest pewn sta), wtedy lini prost powinien by wykres zalenoci ln(x) od t. Taki wykres pozwoli nam atwo sprawdzi czy x oc eAt. (Omwimy t spraw dokadniej v rozdziale 8.)

Istniej te inne ni graficzne metody sprawdzania proporcjonalnoci dwch wielkoci. Na przykad jeli x ~ m, to stosunek x/m powinien by stay. Do tabeli z wartociami x i m mona by doda po prostu jeszcze jedn kolumn lub wiersz, pokazujc stosunki x/m. atwo w taki sposb sprawdzi, czy stosunki te s stae w granicach ich szacowanych niepewnoci. Ponadto mona odpowiednio zaprogramowa kalkulator, ktry natychmiast sprawdzi, czy do danego zbioru punktw daje si dopasowa lini prost. Jednak nawet wtedy, kiedy uywamy jakich innych metod sprawdzenia proporcjonalnoci x do m, warto dodatkowo narysowa wykres. Wykresy, jak te przedstawione na rysunkach 2.1b i c, jasno pokazuj, w jakim stopniu pomiary weryfikuj nasze przewidywania, rysowanie za takich wykresw pomaga w zrozumieniu dowiadczenia i praw fizycznych rzdzcych badanymi zjawiskami.

2.7. Niepewnoci wzgldne

Niepewno 8x w pomiarze,

(zmierzona warto x) = x n p 5 x ,

wskazuje na wiarygodno lub dokadno pomiaru. Jednak niepewno 5x sama w sobie nie mwi wszystkiego. Niepewno jednego centymetra na dystansie jednego kilometra sugeruje niezwykle precyzyjny pomiar, podczas gdy niepewno jednego centymetra na dystansie trzech centymetrw wskazywaaby na bardzo grube przyblienie. Jest jasne, e o jakoci pomiaru nie decyduje sama tylko niepewno 8x, ale take stosunek 5x do x n p . Prowadzi to nas do pojcia niepewnoci wzgldnej

niepewno wzgldna = . (2.20)

41

-

(Niepewno wzgldna zwana jest take dokadnoci.) W powyszej definicji symbol | x n p | oznacza warto bezwzgldn5 x n p .

W odrnieniu od niepewnoci wzgldnej sam niepewno pomiarow 8x nazywa si niekiedy niepewnoci bezwzgldn.

W wikszoci powanych eksperymentw niepewno 5x jest duo mniejsza ni zmierzona warto x n p . Poniewa niepewno wzgldna 5 x / | x n p | jest zwykle ma liczb, wic czsto jest wygodnie pomnoy j przez 100 i wyrazi jako niepewno procentow. Na przykad pomiar

dugo / = 5 0 + 1 cm (2.21)

ma niepewno wzgldn

5 / 1

i niepewno procentow rwn 2%. Tak wic wynik (2.21) mgby by przedstawiony w postaci

dugo l = 50 c m + 2%.

Zauwamy, e o ile niepewno bezwzgldna U ma takie same jednostki jak l 0 tyle niepewno wzgldna 8 / / | / n p | jest wielkoci niemianowan i nie mi adnych jednostek. Zapamitanie tej rnicy pomoe Czytelnikowi unikn< powszechnego bdu mylenia niepewnoci wzgldnej z niepewnoci bezwzgl dn.

Niepewno wzgldna jest przyblion wskazwk jakoci pomiaru, be: wzgldu na warto wielkoci mierzonej. Niepewnoci wzgldne rzdu 10% s; zwykle charakterystyczne dla zgrubnych pomiarw. (Zgrubny pomiar 10 cn mgby mie niepewno 1 cm, zgrubny pomiar 10 km mgby mie niepew no 1 km.) Niepewnoci wzgldne 1 czy 2 procent charakteryzuj pomiar do dokadne. Takie wanie niepewnoci s zwykle najlepszymi, na jaki mona liczy w wielu eksperymentach na wstpnej pracowni fizycznej. Niepe wnoci wzgldne duo mniejsze ni 1% s zwykle trudne do osignici 1 rzadkie na pracowni wstpnej.

5 Warto bezwzgldna \x\ liczby x jest rwna x dla x dodatniego i x dla x ujemneg

Uylimy w definicji (2.20) wartoci bezwzgldnej, aby by pewnym, e niepewno wzgldr podobnie jak sama niepewno Sx, bdzie zawsze dodatnia. W praktyce zwykle postpuje si t aby wartoci zmierzone byy dodatnie i w takim przypadku znak wartoci bezwzgldnej w defini (2.20) moe by pominity.

42

Oczywicie podzia ten ma wielce przybliony charakter. Kilku bardzo prostych pomiarw mona dokona bez wikszych kopotw z niepewnoci wzgldn 0,1% czy nawet mniej. Majc do dyspozycji dobr tam miernicz, moemy zmierzy odlego 1 m z niepewnoci 1 mm, czyli 0,1%. Dobry stoper pozwoli na pomiar jednej godziny z niepewnoci mniejsz ni jedna sekunda, czyli 0,03%. Z drugiej jednak strony, w przypadku wielu trudnych do zmierzenia wielkoci, niepewno 10% byaby traktowana jako duy eksperymentalny sukces. Tak wic dua niepewno procentowa nie znaczy, e pomiar jest bezwartociowy z naukowego punktu widzenia. W rzeczywistoci wiele istotnych pomiarw w historii fizyki byo obarczonych niepewnociami rzdu 10%. Z pewnoci na pracowni wstpnej wiele mona si nauczy, korzystajc z urzdze, ktrych minimalne niepewnoci s rzdu kilku procent.

2.8. Cyfry znaczce i niepewnoci wzgldne

Pojcie niepewnoci wzgldnej jest cile zwizane ze znanym pojciem cyfry znaczcej. W istocie, liczba cyfr znaczcych danej wielkoci jest przyblionym wskanikiem jej niepewnoci wzgldnej. Wemy na przykad dwie liczby

510 i 0,51,

z ktrych obie zostay podane z dokadnoci do dwu cyfr znaczcych. Poniewa 510 (z dwiema cyframi znaczcymi) oznacza

510 + 5 lub 5 1 0 + 1 % , 0,51 za oznacza

0,51 + 0,005 lub 0,51 + 1%,

widzimy, e obie s obarczone niepewnoci 1%. Innymi sowy stwierdzenie, e liczby 510 i 0,51 maj dwie cyfry znaczce jest rwnowane zdaniu, i obie maj niepewno rwn 1%. W ten sam sposb 510 z trzema cyframi znaczcymi miaoby niepewno 0 ,1% i tak dalej.

Niestety ten uyteczny zwizek jest jedynie przybliony. Liczba 110, podana z dwiema cyframi znaczcymi, znaczy

110 + 5 lub 110 + 5%,

podczas gdy 910 ( dalej z dwiema cyframi znaczcymi) oznacza

910 + 5 lub 910 + 0,5%.

43

Widzimy, e niepewno wzgldna zwizana z dwiema cyframi znaczcymi zmienia si od 0,5% do 5% w zalenoci od pierwszej cyfry danej liczby. W tabeli 2.4 podsumowano powysze spostrzeenia.

Tabela 2.4. Przybliony zwizek pomidzy cyframi znaczcymi i niepewnoci wzgldn

Liczba cyfr Odpowiednia niepewno wzgldna

znaczcych znaczcych zawiera si w zakresie lub rwna si w przyblieniu

1 5%-50% 10% 2 0 ,5%-5% 1% 3 0,05%-0,5% 0,1%

2.9. Mnoenie dwu wartoci zmierzonych

Kiedy zaczynamy mnoy przez siebie wartoci zmierzone, wwczas ujawnia si by moe najbardziej znaczca cecha niepewnoci wzgldnych. Na przykad, aby znale pd ciaa, musielibymy zmierzy jego mas m i prdko v, a nastpnie pomnoy te wielkoci, by dosta p = mv. Zarwno m jak i v s obarczone niepewnociami pomiarowymi, ktre bdziemy musieli oszacowa. Powstaje pytanie, jak znale niepewno p, wynikajc z niepewno: pomiarowych m i v.

Najpierw przepiszmy dla wygody standardowy wynik

(zmierzona warto x) = x n p + 8x

w jzyku niepewnoci wzgldnej, a wic jako

(zmierzona warto x) = x n p ( 1 + - ). (2.22 P V K p i /

Na przykad jeli niepewno wzgldna rwna jest 3%, to z rwnania (2.27 widzimy, e

(zmierzona warto x) = xnv I 1 +

Taka niepewno oznacza, e x prawdopodobnie ley w zakresie pomidzy x, razy 0,97 i x n p razy 1,03;

0 , 9 7 - x n p < x ^ 1,03-x n p.

44

Znalelimy tym samym prosty sposb traktowania wartoci, ktre chcemy mnoy.

Powrmy do naszego zadania obliczenia p = mv, jeli m i v zostay zmierzone jako

(zmierzona warto m) = m n p (1 + 7 - r ] (2.23) V Nnpl/

oraz

( 8v \ (zmierzona warto v) = vap\ 1 + - . (2.24)

V K p i /

Poniewa m n p oraz vup s najlepszymi przyblieniami m i v, zatem najlepszym przyblieniem p = mv jest

P n P = ( najlepsze przyblienie p) = mnpvnp.

Najwiksze prawdopodobne wartoci m i v dane s w rwnaniach (2.23) i (2.24) ze znakiem + ". Tak wic najwiksza prawdopodobna warto p mv rwna jest

(najwiksza warto p) mnp vD( 1 + ~-/\ ( 1 + 7-7 Y (2.25) V N n p l / V K p i /

Najmniejsza prawdopodobna warto p dana jest przez podobne wyraenie z dwoma znakami ". Teraz moemy wymnoy wyraenia w obu nawiasach w rwnaniu (2.25)

8m 8v 5m dv N n p l |Unpl \mnp\ \Vnp\

Poniewa obie niepewnoci wzgldne 8m/ |m n p | oraz 5j/ | t> n p | s maymi liczbami (by moe kilka procent), wic ich iloczyn jest bardzo may. Moemy zatem zaniedba ostatni skadnik sumy w rwnaniu (2.26). Wracajc do (2.25), znajdujemy

/ , x /. Sm 8v (najwiksza warto p) = m n p vnp I 1 + + :

8m \ / bv \

\mnp\J \ I f n p l /

Najmniejsza prawdopodobna warto dana bdzie przez podobne wyraenie z dwoma znakami ". Tak wic nasz pomiar m i v prowadzi do wartoci p mv danej przez

(warto p) = m n p vnp 1 8m 8v

; : + ; ;

45

Porwnujc to z ogln postaci

(warto p) = p n p l 1 + \ I P n p l /

widzimy, e najlepszym przyblieniem wartoci p n p jest m n p n p (o czym ju wiedzielimy) oraz e niepewno wzgldna p jest sum niepewnoci wzgldnych m i v

bp bm bv +

IPnpl |m n p | Kp|

Jeli na przykad przeprowadzilibymy nastpujce pomiary m i v:

m = 0,53 + 0,01 kg oraz

v = 9,1 + 0,3 m/s,

to najlepsze przyblienie p = mv rwne jest

PnP = m n p vnp = (0,53)-(9,1) = 4,82 kg-m/s.

Aby obliczy niepewno p, najpierw obliczylibymy niepewnoci wzgldne

* L _ M _ 0,02 = 2% m n p 0,53

oraz

^. = M = o,03 = 3 % . fnp 9,1

Niepewno wzgldna p jest wic rwna sumie

= 2 % + 3 % = 5%. Pnp

Jeli chcemy zna bezwzgldn warto niepewnoci p, musimy pomnoy przez p n p :

5p = p n p = 0,05 4,82 = 0,241. P n p

Po zaokrgleniu bp i p n p otrzymujemy ostateczny wynik

(warto p) = 4,8 + 0,2 kg m/s.

46

Powysze rozwaania stosuj si do dowolnego iloczynu dwch wartoci zmierzonych. Moemy zatem odkry drug ogln regu przenoszenia bdw. Jeli mierzymy dwie wielkoci i tworzymy ich iloczyn, to niepewnoci pierwotnych dwch wartoci przenosz si" powodujc powstanie niepewnoci ich iloczynu. Niepewno ta okrelona jest nastpujc regu:

Niepewno iloczynu Jeli x i y zmierzono z maymi niepewnociami wzgldnymi 8x / j x n p | i Sy / | y n p | oraz jeli zmierzonych wartoci x i y uyto do obliczenia ich iloczynu q = xy, to niepewno wzgldna q jest sum niepewnoci wzgldnych x i y

8q 8x Sy knpl | x n p | | j n p |

W rwnaniu (2.27) uylimy znaku przyblionej rwnoci ", gdy podobnie jak w przypadku reguy dla niepewnoci rnicy zamienimy pniej rwnanie (2.27) na inne, bardziej precyzyjne. Warto take podkreli dwie inne cechy tej reguy. Po pierwsze, obliczenia prowadzce do wyniku (2.27) wymagaj, aby obie niepewnoci wzgldne x i y byy na tyle mae, ebymy mogli zaniedba ich iloczyn. W praktyce jest to niemal regu, tak wic zawsze bdziemy to zakada. Niemniej jednak powinnimy pamita, e jeli niepewnoci wzgldne nie s o wiele mniejsze ni 1, to regua (2.27) przestaje by prawdziwa. Po drugie, rwnanie (2.27) znosi wymiarowo, bo nawet gdy x i y maj rne wymiary, wtedy niepewnoci wzgldne s niemianowane .

W fizyce stale mnoymy przez siebie rne liczby; tak wic regua (2.27) bdzie z pewnoci wanym narzdziem w rachunku bdw. Na razie naszym gwnym celem jest podkrelenie, e niepewno dowolnego iloczynu q = xy wyraa si najprociej przez niepewnoci wzgldne, tak jak w rwnaniu (2.27).

Zadania

Uwaga: Gwiazdka przy zadaniu oznacza, e szkic rozwizania lub odpowied znajduje si na kocu ksiki.

2.1 (paragraf 2.1). W rozdziale 1 ciela przedstawia wynik swojego pomiaru wysokoci futryny, podajc swoje najlepsze przyblienie 210 cm i wierzc, e wysoko mieci si gdzie pomidzy 205 cm i 215 cm. Przepisz ten wynik

47

w standardowej postaci x n p + 5x. Zrb to samo z wynikami pomiarw przedstawionymi w rwnaniach (1.1), (1.2) i (1.4).

* 2.2 (paragraf 2.2). Przepisz nastpujce odpowiedzi w najbardziej czytelnej formie z odpowiedni liczb cyfr znaczcych:

(Sj) zmierzona wysoko = 5,03 + 0,04329 metra; (Ib])zmierzony czas = 19,5432 1 s; /y zmierzony adunek = 3,21 10" 1 9 +.2 ,6 ,7 -10" 2 0 kulomba; zmierzona dugo fali = 0,000000563 + 0,00000007 metra;

e) zmierzony pd = 3,267; 10 3 + 42 g-cm/s.

( p a r a g r a f 2.3). a) Student piciokrotnie mierzy gsto cieczy i otrzymuje wyniki (wszyst

kie w g/cm 3): 1,8; 2,0; 2,0; 1,9; 1,8. Co mgby zasugerowa jako najlepsze przyblienie i niepewno na podstawie tego pomiaru?

b) Powiedziano mu, e warto uznana rwna jest 1,85 g/cm 3. Jaka jest rozbieno pomidzy jego najlepszym przyblieniem i wartoci uznan? Czy mylisz, e jest ona znaczca?

2.4 (paragraf 2.5). Aby zmierzy czas dziesiciu obrotw stolika obrotowego, uyto zegarka. Czas ten okrelono odejmujc czasy pocztku i koca pomiaru. Jaka jest niepewno czasu dla dziesiciu obrotw, jeli czasy pocztkowy i kocowy okrelone zostay z niepewnoci + 1 s kady?

f 2.5 (paragraf 2.5). W tabeli 2.5 przedstawiono wartoci pocztkowego i kocowego momentu pdu (L i L') pewnego obracajcego si ukadu, otrzymane przez studenta w dowiadczeniu sprawdzajcym zasad zachowania momentu pdu. Dodaj do tabeli 2.5 jeszcze jedn kolumn, umieszczajc w niej rnic L L' i jej niepewno. Czy wyniki studenta s zgodne z zasad zachowania momentu pdu?

Tabela 2.5. Momenty pdu (w kg m 2 /s)

Pocztkowy moment pdu L Kocowy moment pdu L'

3,0 + 0,3 2,7 + 0,6 7,4+0,5 8 ,0+1

A4,3 + l 16,5 + 1 25 + 2 24 + 2 3 2 2 3 1 + 2 37 + 2 4 1 + 2

48

2.6 (paragraf 2.5). W dowiadczeniu mierzone s masy M i m, wzka i przyczepy. Otrzymany rezultat podany jest w standardowej postaci M n p + 8M oraz m n p 5 m . Jakie jest najlepsze przyblienie cakowitej masy M + ml Biorc pod uwag najwiksze i najmniejsze prawdopodobne wartoci cakowitej masy, poka, e niepewno wyznaczenia masy cakowitej rwna jest sumie 5M i Sm. Przedstaw jasno swoje argumenty, nie ograniczajc si jedynie do napisania odpowiedzi.

2.7 (paragraf 2.6). Korzystajc z danych z zadania 2.5, narysuj wykres zalenoci kocowego momentu pdu L'od pocztkowego momentu pdu L. Zamie na nim pionowe i poziome kreski granic bdu. (Jak zwykle w przypadku wykonywania takich wykresw, oznacz odpowiednio osie swojego wykresu oraz jednostki na nich. Uyj papieru z waciw podziak. Dobierz skal tak, aby Twj rysunek zaj rozsdn cz papieru, pozostawiajc jednak na nim pocztek ukadu wsprzdnych.) Na jakiej krzywej wedug Ciebie powinny ukada si punkty eksperymentalne? Czy z dokadnoci do niepewnoci pomiarowych punkty te le na spodziewanej krzywej?

* 2.8 (paragraf 2.7). Jeli rzucimy z prdkoci v kamie pionowo do gry, powinien si on wznie na wysoko h, speniajc rwnanie o2 = 2gh. W szczeglnoci v2 powinno by proporcjonalne do h. Student zmierzy o2 i h dla siedmiu rnych rzutw, aby to sprawdzi. Wyniki przedstawione s w tabeli 2.6.

Tabela 2.6. Wysokoci i prdkoci

Wysoko h (w metrach) Kwadrat prdkoci (wszystkie 0,05) v2 (w m 2 / s 2 )

0,4 7 3 0,8 17 + 3 1,4 25 + 3 2,0 38 + 4 2,6 45 + 5 3,4 6 2 5 3,8 72 + 6

a) Wykonaj wykres zalenoci o2 od h, zaznaczajc pionowe i poziome granice bdu. (Jak zwykle oznacz o dpowiednio osie wykresu, uyj papieru milimetrowego i rozsdnie wybierz skal.) Czy Twj wykres jest zgodny z przewidywan zalenoci v2 cc KI

49

*

b) Tangens kta nachylenia Twojego wykresu powinien by rwny 2g. Aby go znale, narysuj najlepsz wedug Ciebie prost, przechodzc przez pocztek ukadu wsprzdnych i punkty eksperymentalne, i zmierz jej nachylenie. Aby znale niepewno wyznaczenia tego nachylenia, narysuj proste o najwikszym i najmniejszym nachyleniu, ktre wedug Ciebie rozsdnie pasuj do otrzymanych punktw dowiadczalnych. Nachylenia tych prostych dadz najwiksz i najmniejsz prawdopodobn warto naszego nachylenia. Czy Twj wynik jest zgodny z wartoci uznan 2g = 19,6 m/s 2 ?

(paragraf 2.6). a) Student postanowi w dowiadczeniu z wahadem matematycznym

sprawdzi, czy okres Tjest niezaleny od amplitudy A (zdefiniowanej jako najwikszy kt wychylenia wahada). Otrzyma wyniki przedstawione w tabeli 2.7. Narysuj wykres zalenoci T od A. (Uwanie dobierz skal swojego wykresu. Jeli masz jakie wtpliwoci, narysuj dwa wykresy, jeden zawierajcy pocztek ukadu wsprzdnych T=0, A = 0 i drugi, zawierajcy tylko wartoci T pomidzy 1,9 s i 2,2 s.) Czy student moe stwierdzi, e okres wahada jest niezaleny od amplitudy?

Tabela 2.7. Amplituda i okres wahada matematycznego

Amplituda A (stopnie) Okres T(s)

5 + 2 1,932 + 0,005 17 + 2 1,94+0,01 25 + 2 1,96+0,01 40 + 4 2,01+0,01 53 + 4 2,04 + 0,01 67 + 6 2,12+0,02 2,12+0,02

b) Przedyskutuj, w jaki sposb wnioski z punktu (a) mogyby si zmieni, jeli zmierzony okres Tby obarczony niepewnoci 0,3 s.

2.10 (paragraf 2.7). Oblicz niepewnoci procentowe dla piciu pomiarw wymienionych w zadaniu 2.2. (Nie zapomnij o zaokrgleniu wyniku dc odpowiedniej liczby cyfr znaczcych.)

2.11 (paragraf 2.7). Linijka ma dziaki co 1 mm, suwmiarka za co 0,1 mm Przypumy, e chcesz zmierzy dugo 2 cm z dokadnoci 1%. Czy moess to zrobi uywajc linijki? Czy jest to moliwe za pomoc suwmiarki?

(*2A^. (paragraf 2.7). Aby znale przyspieszenie wzka, student zmierzy jego pocztkow i kocow prdko op i vk, a nastpnie obliczy ich rnica

50

DK D P . Wyniki jego dowiadczenia dla dwch prb przedstawione s w tabeli 2.8 (wszystkie prdkoci podano w cm/s). Wszystkie jego pomiary miay niepewno 1%.

Tabela 2.8. Pocztkowe i kocowe prdkoci

Pierwsza prba 14,0 18,0 Druga prba 19,0 19,6

a) Oblicz niepewno bezwzgldn dla wszystkich czterech pomiarw, znajd rnic vk vv, a take jej niepewno dla obu prb.

b) Znajd niepewno procentow dla kadej z dwch wartoci (o k op). (Twoje odpowiedzi, szczeglnie w przypadku drugiej prby, poka katastrofalne skutki mierzenia maych liczb bdcych rnic liczb o wiele wikszych.)

2.13 (paragraf 2.8). a) Kalkulator wywietla wynik 123,123. Jaka jest niepewno wzgldna

i bezwzgldna tego wyniku, jeli student zdecydowa, e ma on tylko trzy cyfry znaczce?

b) To samo pytanie dla liczby 0,123123. c) To samo pytanie dla liczby 321,321. d) Czy niepewnoci wzgldne w powyszych przykadach mieszcz si

w zakresie przewidywanym dla trzech cyfr znaczcych?

/ f 2 j ) (paragraf 2.9). a) Student mierzy dwie wielkoci a i b, otrzymujc wyniki a = 11,5 0,2 cm

i b = 25,4 0,2 cm. Nastpnie oblicza iloczyn q = ab. Znajd jego odpowied, podajc zarwno niepewno bezwzgldn jak i niepewno procentow.

b) Powtrz punkt (a) dla pomiarw a = 1 0 l c m i > = 27,2 0,1 s. c) Powtrz punkt (a) dla pomiarw a = 3,0 m 8 % i b = 4,0 k g 2 % . ^ 2 a | (paragraf 2.9). a) Student zmierzy dwie liczby x i y.

x = 1 0 l , y = 2 0 1 .

Jakie jest jego najlepsze przyblienie ich iloczynu q = xyl Wykorzystujc najwiksze prawdopodobne wartoci x i y (11 i 21), oblicz najwiksz prawdopodobn wielko q. Podobnie znajd najmniejsz prawdopodobn warto q i na jej podstawie okrel zakres, w ktrym najprawdopodobniej mieci si q. Porwnaj swj wynik z wynikiem danym przez regu (2.27).

51

b) Zrb to samo z pomiarami x = 108 , y = 20 + 15.

Pamitaj, regu (2.27) znaleziono przy zaoeniu, e niepewnoci wzgldne s duo mniejsze od 1.

2.16 (paragraf 2.9). Pewna dobrze znana zasada" mwi, e kiedy mnoymy przez siebie dwie liczby, wwczas ich iloczyn bdzie wiarygodny, jeli zaokrgli si go do takiej liczby cyfr znaczcych, jak mia mniej dokadny czynnik.

a) Sprawd przyblion stosowalno powyszej zasady, stosujc regu (2.27) i fakt, e liczba cyfr znaczcych odpowiada mniej wicej niepewnoci wzgldnej. (W szczeglnoci rozpatrz przypadek, gdy mniej precyzyjna liczba ma dwie cyfry znaczce.)

b) Poka na przykadzie, e odpowied moe by nieco mniej precyzyjna, ni sugeruje to dobrze znana zasada". (Jest to szczeglnie istotne, jeli mnoymy przez siebie wiele liczb.)

R O Z D Z I A 3

PRZENOSZENIE NIEPEWNOCI

Wikszoci wielkoci fizycznych nie da si okreli na podstawie bezporedniego pomiaru. Wyznacza si je natomiast w dwch oddzielnych krokach. Na pocztku wykonuje si pomiar jednej lub kilku wielkoci x, y, ktre mona zmierzy bezporednio i ktre pozwalaj obliczy wielko szukan. Nastpnie, korzystajc ze zmierzonych wartoci x, y, oblicza si interesujc nas wielko. Przykadowo, aby znale powierzchni prostokta, trzeba zmierzy dugoci jego bokw l oraz h, i obliczy jego powierzchni A, gdy A = Ih. Podobnie najbardziej oczywistym sposobem znalezienia prdkoci v jakiego ciaa jest pomiar odlegoci d, jak ciao to przebyo w czasie t i obliczenie prdkoci v jako v = d/t. Czytelnik, ktry spdzi troch czasu na pierwszej pracowni, bez trudu wymyli wicej przykadw. W istocie, po chwili zastanowienia stwierdzimy, e prawie wszystkie interesujce dowiadczenia skadaj si z dwch etapw, bezporedniego pomiaru i nastpujcych po nim oblicze.

Kiedy pomiar dzieli si na dwa etapy, wwczas ocena niepewnoci rwnie przebiega dwuetapowo. Po pierwsze naley oceni niepewnoci wielkoci mierzonych bezporednio, nastpnie za stwierdzi, w jaki sposb owe niepewnoci przenosz si" w trakcie oblicze na niepewno ostatecznego wyniku. 1

To przenoszenie bdw" jest gwnym tematem niniejszego rozdziau.

1 W rozdziale 4 przedyskutujemy inny sposb, w jaki mona czasami oszacowa niepewno

wyniku kocowego. Jeli wszystkie pomiary mona przeprowadza wielokrotnie i jeli jest si pewnym, e wszystkie niepewnoci maj przypadkowy charakter, to niepewno naszego wyniku mona oceni badajc rozrzut wynikw. Jednak, nawet gdy mona zastosowa tak metod, jest ona zwykle stosowana do sprawdzenia rezultatw procedury dwustopniowej, o ktrej mowa w tym rozdziale.

53

Omwilimy ju kilka przykadw przenoszenia bdw w rozdziale 2. W paragrafie 2.5 rozwaalimy, co si dzieje, kiedy dwie wartoci zmierzone x i y uywane s do wyznaczenia rnicy q = x y. Stwierdzilimy, e niepewno q jest po prostu sum 8q ss 8x + by niepewnoci x i y. W paragrafie 2.9 mwilimy o iloczynie q = xy, w zadaniu 2.6 za bya mowa o sumie q = x + y. W paragrafie 3.2 dokonamy przegldu tych przypadkw. W dalszej czci niniejszego rozdziau przedyskutujemy bardziej oglne przypadki przenoszenia niepewnoci i przedstawimy kilka przykadw.

Zanim podejmiemy temat przenoszenia niepewnoci, omwimy krtko w paragrafie 3.1 zasady szacowania niepewnoci wielkoci mierzonych bezporednio. Przypomnimy metody omawiane w rozdziale 1, a nastpnie omwimy kilka dalszych przykadw oceny bdu w pomiarach bezporednich.

Poczwszy od paragrafu 3.2 zajmiemy si zagadnieniem przenoszenia bdw. Stwierdzimy, e prawie wszystkie problemy z dziedziny przenoszenia bdu mona rozwiza stosujc jedynie trzy proste reguy. Sformuujemy take jedn bardziej skomplikowan zasad, ktra obejmuje wszystkie przypadki i z ktrej mona wyprowadzi owe trzy prostsze reguy.

Ten rozdzia jest jednym z duszych. Czytelnik moe jednak pomin ostatnie dwa paragrafy bez obawy o utrat wtku.

3.1. Niepewnoci w pomiarach bezporednich

Prawie wszystkie bezporednie pomiary wymagaj odczytu skali (na miarce, zegarze czy na przykad woltomierzu) lub odczytu liczby ze wskanika cyfrowego (na zegarze cyfrowym bd woltomierzu). Niektre problemy zwizane z odczytem skali omwiono w paragrafie 1.5. Czasami gwnym rdem niepewnoci jest odczyt skali i konieczno interpolacji pomidzy podziakami miarki. W takich sytuacjach atwo dokona rozsdnego oszacowania niepewnoci. Jeli na przykad trzeba zmierzy pewn dobrze zdefiniowan dugo / za pomoc miarki o podziace milimetrowej, uzasadniona byaby decyzja o podaniu wyniku z dokadnoci do najbliszej podziaki milimetrowej. W takim przypadku niepewno 8/ byaby rwna 8 / = 0,5 mm. Jeli podzialka byaby rzadsza (na przykad co 2 mm), to uzasadnione byoby odczytanie skali z dokadnoci na przykad jednej pitej odlegoci pomidzy kolejnymi znacznikami podziaki. W kadym przypadku jasne jest, e niepewnoci zwizane z odczytem skali mog by oszacowane cakiem prosto i realistycznie.

Niestety czsto wystpuj inne rda niepewnoci, o wiele bardziej istotne ni problemy z odczytem skali. Podczas pomiaru odlegoci pomidzy dwoma

54

: _nktami gwnym problemem moe by decyzja, gdzie naprawd znajduj si irjyjjz^/y. Wemy flajoizykhd dowiadczenie z optyki, w ktrym chcemy

lerzy odlego q od rodka soczewki do pewnego obrazu, jak na rys. 3.1. W praktyce soczewki maj zwykle kilka milimetrw gruboci, a wic znalezie-

rodka bdzie trudne; jeli za soczewka jest oprawiona, jak to zwykle - ;.-.va. zadanie to staje si jeszcze trudniejsze. Dalej, powstay obraz moe

dawa si ostry na przestrzeni kilku milimetrw. Nawet gdy zestaw zmon-:: wany jest na awie optycznej z zaznaczon podziak milimetrow, niepew-n wyznaczenia odlegoci powstaego obrazu od s