Wykład IINiepewności pomiarowe, cz. I

1

3

O błędzie pomiaru

Pomiar jest operacją niedokładną, to znaczy wynik pomiaru wielkości

mierzonej* różni się od jej wartości prawdziwej.

Równość estymaty i wartości estymowanej jest zdarzeniem wyjątkowym,

a fakt jego zajścia pozostaje nieznany.

Zawsze możemy oszacować niedokładność wyniku pomiaru.

Oznacza to, że zawsze można określić „odległość” pomiędzy znanym

wynikiem pomiaru, a nieznaną wartością prawdziwą wielkości

mierzonej.

Szacowanie niedokładności pomiaru jest jedną z podstawowych czynności,

która powinna być wykonywana w procesie mierzenia.

*inaczej mezurand (ang. measurand) – wielkość mierzona; wielkość fizyczna będąca przedmiotem pomiaru.

4

O błędzie pomiaru

Aby opisać różnicę pomiędzy znanym wynikiem pomiaru a nieznaną wartością

prawdziwą wielkości mierzonej posługujemy się następującymi pojęciami

podstawowymi:

błąd bezwzględny x – jest to różnica między wartością mierzoną x

a wartością rzeczywistą wielkości mierzonej xr , wyrażona w jednostkach

wielkości mierzonej:

(1)

błąd względny x - jest to stosunek błędu bezwzględnego do wartości

rzeczywistej wielkości mierzonej i zwykle wyraża się go w procentach

(2)

poprawka p - błąd bezwzględny ze znakiem przeciwnym

(3)

100%r

xx

x

rx x x

rp x x x

5

Przedział niepewności pomiarowej

W 1986 r. Międzynarodowy Komitet Miar - Comité International des Poids et

Mesures (CIPM) zalecił wszystkim uczestnikom prac wykonywanych pod

jego auspicjami ocenianie niedokładności pomiaru za pomocą niepewności.

W 1993 r. Międzynarodowa Organizacja Normalizacyjna - Intemational

Organization for Standardization (ISO), występując w imieniu siedmiu

organizacji międzynarodowych działających w dziedzinie metrologii,

elektrotechniki, chemii, fizyki i normalizacji, wydała

Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement

GUM stanowi kompendium wiedzy na temat niepewności pomiaru.

W dalszej części wykładu będę używał nazwy „Przewodnik”.

6

Przedział niepewności pomiarowej

Joint Committee for Guides in Metrology (JCGM)

http://www.bipm.org/utils/common/documents/jcgm/JCGM_100_2008_E.pdf

7

Przedział niepewności pomiarowej

Niepewność jest obecnie stosowana przez wytwórców sprzętu pomiarowego do opisu niedokładności swoich produktów.

Niepewność jest zdefiniowana w Przewodniku jako:

parametr, związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości, który można w uzasadniony sposób

przypisać wielkości mierzonej.

8

Przedział niepewności pomiarowej

Wyróżniamy dwa modele niedokładności pomiaru:

model deterministyczny oraz model losowy.

Model deterministyczny zakłada, że prawdziwa wartość mierzona

jest nieznana, ale wiadomo o niej, że

leży ona wewnątrz przedziału niepewności.

9

Przedział niepewności pomiarowej

Model ten zakłada także, że powtarzanie pomiaru daje zawsze takie same

wartości, obarczone takim samym błędem prawdziwym, nieznanym co do

wartości, tzn.:

estymata (ang. estimate – ocenić) jest niezmienna,

błąd prawdziwy jest niezmienny (ale pozostaje nieznany),

błąd graniczny jest niezmienny,

przedział niepewności wyniku pomiaru jest niezmienny.

Błąd szacowany według tego modelu nazywamy błędem systematycznym.

10

Przedział niepewności pomiarowej

W modelu deterministycznym, głównym elementem opracowania wyniku

pomiaru jest wyznaczenie granicznego błędu pomiaru.

Błąd graniczny pomiaru wyznaczany jest na podstawie danych

o stosowanych przyrządach pomiarowych.

Model deterministyczny niedokładności pomiaru przyjmowany jest wtedy,

gdy powtarzanie pomiarów w warunkach powtarzalności prowadzi do

wszystkich wyników identycznych lub prawie identycznych.

11

Przedział niepewności pomiarowej

Warunki powtarzalności pomiaru występują wtedy, gdy zachowana jest:

- ta sama procedura pomiaru,

- ten sam obiekt mierzony,

- te same warunki otoczenia,

- ten sam obserwator,

- ten sam przyrząd pomiarowy.

Za wyniki prawie identyczne uznaje się te, dla których moduły wszystkich

różnic pomiędzy poszczególnymi wynikami są znacznie mniejsze od

granicznego błędu pomiaru obliczonego przy założeniu modelu

deterministycznego.

12

Przedział niepewności pomiarowej

Wartość zmierzona wielkości mierzonej x różni się od jej wartości

prawdziwej xr .

Oznacza to, że wynik pomiaru jest liczbą przybliżoną, a więc może być

interpretowany jako przedział, wewnątrz którego znajduje się wartość

prawdziwa wielkości mierzonej xr.

Przedział ten nazywamy przedziałem niepewności wyniku pomiaru.

Najczęściej przyjmuje się, że jest to przedział symetryczny, tzn.:

(4)

W ogólności, wynik pomiaru wielkości mierzonej x podawany jest w postaci:

(5)

max maxˆ ˆ ˆ ˆ,x x x x x

maxˆ ˆx x x

13

Przedział niepewności pomiarowej

Wartości nazywamy błędami granicznymi lub granicami błędu

(ew. niepewnościami granicznymi lub niepewnościami rozszerzonymi).

Wynik pomiaru na tle przedziału niepewności:(a) wartość prawdziwa xr wielkości mierzonej leży wewnątrz przedziału niepewności wyniku pomiaru; (b) błąd prawdziwy x leży wewnątrz przedziału niepewności błędu.

max x̂

max ˆx x max ˆx x

x̂

a) x

max x̂ max x̂

0

b)rx

x

x

x

14

Przedział niepewności pomiarowej

Błąd zdefiniowany równaniem (1) nazywamy

prawdziwym błędem pomiaru.

Mieści się on w przedziale

(6)

który nazywamy przedziałem niepewności błędu pomiaru.

Błąd prawdziwy względny:

(7)

Błąd graniczny względny:

(8)

max maxˆ ˆ,x x x

ˆ r

r r

x x xx

x x

maxmax

ˆˆ

ˆx

xx

15

Model deterministyczny

Pomiar bezpośredni to pomiar, w którym estymatę wielkości mierzonej

wyznacza się wprost ze wskazania przyrządu pomiarowego.

Błąd pomiaru bezpośredniego ma następujące składowe:

- błąd instrumentalny wnoszony przez zastosowany przyrząd pomiarowy,

-błąd metody powodowany nieidealnym sprzężeniem informacyjnym między

przyrządem a obiektem mierzonym,

-błąd odczytu popełniany przez człowieka przy odczytywaniu wskazania

przyrządu.

16

Model deterministyczny

Błąd odczytu wskazania przyrządu cyfrowego jest równy zeru.

Błąd odczytu wskazania przyrządu analogowego jest zwykle wliczany do

błędu granicznego określonego w danych przyrządu.

Błąd metody zależy od szczegółowych warunków pomiaru.

17

Model deterministyczny

Błąd instrumentalny x można traktować jako błąd systematyczny.

Błąd instrumentalny jest nieznany co do wartości, lecz wiadomo o nim, że

spełnia warunek:

(9)

gdzie jest granicznym błędem przyrządu pomiarowego określonym

przez producenta.

maxx x

maxx

18

Model deterministyczny

Każdy miernik z natury jest niedokładny, wskazanie miernika xw różni się od

wartości prawdziwej xr wielkości mierzonej.

Producent gwarantuje, że błąd wskazania miernika nie przekracza

podanej przez niego wartości błędu granicznego!

19

Model deterministyczny

Dla elektrycznych mierników analogowych graniczny błąd bezwzględny

i graniczny błąd względny są określone przez klasę dokładności k

przyrządu. Klasa dokładności przyrządu jest granicznym błędem

bezwzględnym wyrażonym w procentach wielkości jego zakresu.

Wyraża się wzorem:

(10)

Norma polska PN 84/E 06501 Mierniki elektryczne analogowe o działaniu

bezpośrednim i ich przybory ustala następujące klasy dokładności:

0.05; 0.1; 0.2; 0.5; 1; 1.5 i 2.5

Klasę dokładności podaje się przeważnie na skali przyrządu pomiarowego.

maxmax 100X

kx

20

Model deterministyczny

klasa

21

Model deterministyczny

Dla mierników cyfrowych graniczny błąd pomiaru określa się jako sumę:

- błędu Rx (podanego w procentach) uzależnionego od wartości

mierzonej (wskazanej), oraz

- błędu FSx wynikającego z braku pewności co do n ostatnich

jednostek (kwantów) wskazania cyfrowego.

Drugi składnik błędu granicznego jest wyrażony wzorem:

gdzie: Nmax oznacza zwiększoną o jeden największą liczbę wskazywaną

przez miernik (bez uwzględniania przecinka).

max

100FS

nx

N

22

Model deterministyczny

Graniczny błąd przyrządu cyfrowego zapisuje się często korzystając ze

wzoru:

gdzie: rdg (ang. reading) oznacza wartość mierzoną odczytaną z miernika,

natomiast dgt (ang. digit) oznacza wartość ostatniej cyfry danego pomiaru.

Graniczny błąd bezwzględny oraz względny pomiaru dla tak opisanego

miernika cyfrowego wynoszą odpowiednio:

(11)

gdzie: N - wskazanie cyfrowe wartości mierzonej bez uwzględnienia

przecinka, zaś q = Xmax / Nmax.

%rdg dgt lub %rdg %R R FSx n x x

max max

maxmax

100 100

100 % %

R R FS

R R FS

N qx x n q N x N x

Nnx x x x

N N

23

Model deterministyczny

Przykład I Woltomierz analogowy o zakresie [0; 300 V] i klasie dokładności 0.5 wskazał:

(1) 297 V, (2) 128 V, (3) 85 V, (4) 14 V Obliczyć graniczne błędy pomiaru bezwzględne i względne oraz podać wyniki pomiaru w pełnej postaci.

Graniczny bezwzględny błąd pomiaru jest jednakowy dla wszystkich pomiarów i wynosi

maxU = 0.005 x 300 V = 1.5 V

Graniczne względne błędy pomiaru są różne dla różnych pomiarów, oblicza się je z (8).(1) U = 297,0 V ± 1,5 V U [295,5 V; 298,5 V] δ maxU = 0,505% ≈ 0,5% (2) U = 128,0 V ± 1,5 V U [126,5 V; 129,5 V] δ maxU = 1,172% ≈ 1,2% (3) U = 85,0 V ± 1,5 V U [ 83,5 V; 86,5 V] δ maxU = 1,765% ≈ 1,8% (4)U = 14,0 V ± 1,5 V U [ 12,5 V; 15,5 V] δ maxU=10,714% ≈ 10,8%

24

Model deterministyczny

Z powyższego przykładu widać, że niedokładność pomiaru zależy od wyboru

zakresu miernika.

Im wskazanie jest bliższe końca zakresu,

tym mniejszy graniczny względny błąd pomiaru.

25

Model deterministyczny

Przykład II Woltomierz czterocyfrowy (9999) o błędzie 0.05% rdg + 5 dgt (o dekadowo zmienianych zakresach) wskazał na zakresie pomiarowym 10V:

(1) 9,912 V, (2) 5,228 V, (3) 0,119 V.Obliczyć bezwzględne i względne graniczne błędy pomiaru oraz podać wyniki pomiaru w pełnej postaci.

Zakres wskazań woltomierza wynosi Nmax = 104 V (9999+1), zaś wartość jego ostatniej cyfry, q = 10–3 V.

Graniczne błędy pomiaru, bezwzględny i względny, oblicza się z (11):(1) maxU = 9,95610–3 V 1010–3 V U = (9,912 0,010)V

maxU = 0,1004% 0,1% (2) maxU = 7,61410–3 V 810–3 V U = (5,228 0,008) V maxU = 0,1456% 0,15% (3) maxU = 5,50610–3 V 610–3 V U = (0,119 0,006) V maxU = 4,2517% 4,26%

26

Model deterministyczny

27

Model deterministyczny

11.50mm

4.88mm