XỬLÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ - stu.edu.vnstu.edu.vn/uploads/documents/310810-112749.pdf · Bài giảng: Xửlý sốtín hiệu 3 Chương 6 XỬLÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN

Bài giảng: Xử lý số tín hiệu

5/22/20101

Chương 6

XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐNội dung:6.1 Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn

6.2 Biến đổi Fourier thời gian rời rạc (DTFT)

6.2.1 Định nghĩa

6.2.2 Các tính chất của DTFT

6.2.3 Mối quan hệ giữa biến đổi DTFT và biến đổi Z

6.3 Biểu diễn miền tần số của hệ thống LTI

6.3.1 Định nghĩa đáp ứng tần số

6.3.2 Quan hệ trong miền tần số

Bài tập


2

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ6.1 Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn:

Giả sử x(n) là tín hiệu rời rạc tuần hoàn có chu kỳ N, nghĩa là:

x(n) = x(n+N),∀n

Công thức khai triển Fourier (chuỗi Fourier):

trong đó, các hệ số Fourier ck được xác định như sau:

Nhận xét:

x(n) được biểu diễn trong miền tần số bởi các hệ số {ck}

Các hệ số {ck} cũng tuần hoàn với chu kỳ N.

5/22/2010

12 /

0( )

Nj kn N

kk

x n c e π−

=

= ∑

12 /

0

1 ( ) , 0 , ..., 1N

j kn Nk

nc x n e k N

Nπ

−−

=

= = −∑


3

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)Mật độ phổ công suất

Công suất trung bình của tín hiệu rời rạc tuần hoàn:

biểu diễn Px theo các hệ số ck ???

Suy ra:

Chuỗi |ck|2: biểu diễn phân bố công suất theo tần số đồ thị biểu diễn {|ck|2}: mật độ phổ công suất của tín hiệu rời rạc tuần hoàn.

5/22/2010

12

0

1 | ( ) |N

xn

P x nN

−

=

= ∑

1 1 1* * 2 /

0 0 0

1 1 1* 2 / 2

0 0 0

1 1( ) ( ) ( )

1 ( ) | |

N N Nj kn N

x kn n k

N N Nj kn N

k kk n k

P x n x n x n c eN N

c x n e cN

π

π

− − −−

= = =

− − −−

= = =

⎡ ⎤= = ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= =⎢ ⎥⎣ ⎦

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑1 1

2 2

0 0

1 | ( ) | | |N N

x kn k

P x n cN

− −

= =

= =∑ ∑


4

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)6.1 Chuỗi Fourier của tín hiệu rời rạc tuần hoàn:

Ví dụ 1: Cho tín hiệu x(n) = {1,1,0,0} tuần hoàn với chu kỳ N = 7.

Hãy xác định và vẽ phổ; mật độ phổ công suất.

Lời giải:

Tín hiệu x(n) được biểu diễn trong miền tần số bởi các hệ số {ck}:

5/22/2010

1 32 / 2 / 4

0 03

00

32 / 4 0 / 2

10

30

20

3

1 1( ) ( ) ; 0 ,1, 2 , 34

1 1 1* 0 : ( ) (1 1 0 0 )4 4 21 1 1* 1 : ( ) (1 1 ) (1 )4 4 41 1* 2 : ( ) (1 1 ) 04 41* 3 : ( )4

Nj k n N j k n

kn n

n

j n j

n

j n j

n

c x n e x n e kN

k c x n

k c x n e e e j

k c x n e e e

k c x n e

π π

π π

π π

−− −

= =

=

− −

=

− −

=

= = =

= = = + + + =

= = = × + × = −

= = = × + × =

= =

∑ ∑

∑

∑

∑3

3 / 2 0 3 / 2

0

1 1(1 1 ) (1 )4 4

j n j

ne e jπ π− −

=

= × + × = +∑


5

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)Vẽ phổ biên độ và phổ pha:

Mật độ phổ công suất:

Công suất tín hiệu:

5/22/2010

0 1 2 31 2 2| | ;| | ;| | 0;| | ;2 4 4

c c c c= = = = 0 1 2 30; ; 0; ;4 4

c c c cπ π∠ = ∠ = − ∠ = ∠ =

1/2

0 1 2 3 4 5

|cK|

-1 k

sqrt(2)/4π/4

0 1 2 3 4

∠ck

-1 k

-π/4

1/4

0 1 2 3 4 5

|cK|2

-1 k

1/8

2 2 2 20 1 2 3

1 1 1| | ;| | ;| | 0;| | ;4 8 8

c c c c= = = =

1 1 1 104 8 8 2xP = + + + =

Phổ vạch


6

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)6.2 Biến đổi Fourier thời gian rời rạc DTFT (Discrete Time Fourier Transform)

phép biến đổi Fourier của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn

6.2.1 Định nghĩa:

Giả sử x(n) là tín hiệu rời rạc không tuần hoàn. Cặp công thức biến đổi DTFT:

( biến đổi DTFT thuận)

( biến đổi DTFT ngược)

Nhận xét:

Phổ của tín hiệu rời rạc không tuần hoàn có dạng liên tục, dạng phức.

5/22/2010

( ) ( ) j n

nX x n e

∞− Ω

= − ∞

Ω = ∑

1( ) ( )2

j nx n X e dπ

ππΩ

−

= Ω Ω∫

( )( ) | ( ) | j XX X e ∠ ΩΩ = ΩPhổ pha

Phổ biên độ


7

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)Nhận xét (tt):

X( Ω) tuần hoàn với chu kỳ 2π.

Với x(n) thực: X*( Ω) = X(- Ω) , hay:

Điều kiện tồn tại phép biến đổi Fourier:X(Ω) tồn tại nếu vế phải của nó hội tụ, suy ra: Như vậy, x(n) phải là tín hiệu có năng lượng hữu hạn.

Ví dụ 2: Cho tín hiệu x(n) =(0.5)nu(n). Hãy xác định phổ X(Ω) ?Lời giải:

Xét điều kiện tồn tại của biến đổi Fourier:

tồn tại DTFT

Phổ của tín hiệu:

5/22/2010

| ( ) |n

x n∞

= −∞

< ∞∑

0

1( ) (0.5) 21 0.5

n

n nx n

∞ ∞

=−∞ =

= = = < ∞−∑ ∑

0 0

1( ) ( ) (0.5) (0.5 )1 0.5

j n n j n j nj

n n nX x n e e e

e

∞ ∞ ∞− Ω − Ω − Ω

− Ω=−∞ = =

Ω = = = =−∑ ∑ ∑

| ( ) | ( ) |( ) ( )X X

X XΩ = Ω⎧

⎨∠ Ω = −∠ −Ω⎩


8

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)Ví dụ 3: Cho tín hiệu x(n) = anu(n), |a|<1.Hãy vẽ các thành phần phổ thực / phổ ảo, phổ biên độ/ phổ pha của tín hiệu x(n)?Lời giải:


Các thành phần phổ thực và phổ ảo:

5/22/2010

0

1( ) ( ) ( )1

j n j nj

n nX x n e ae

ae

∞ ∞− Ω − Ω

− Ω=−∞ =

Ω = = =−∑ ∑

2

2 2

1 1 cos sin( )(1 )(1 ) 1 2 cos

1 cos sin( ) ; ( )1 2 cos 1 2 cos

j

j j

R I

ae a jaXae ae a a

a aX Xa a a a

Ω

− Ω Ω

− − Ω − ΩΩ = =

− − − Ω +− Ω − Ω

⇒ Ω = Ω =− Ω + − Ω +

Phổ liên tục


9

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)Lời giải (tt):


Các thành phần phổ biên độ và phổ pha:

5/22/2010

0

1( ) ( ) ( )1

j n j nj

n nX x n e ae

ae

∞ ∞− Ω − Ω

− Ω=−∞ =

Ω = = =−∑ ∑

2

1 sin| ( ) | ; ( )1 cos1 2 cos

aX X arctgaa a

ΩΩ = ∠ Ω = −

− Ω− Ω +

Phổ liên tục


10

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)Ví dụ 4: Xác định x(n), biết phổ của nó:

Lời giải:Áp dụng phép biến đổi DTFT ngược:

Vậy tín hiệu rời rạc:

5/22/2010

0

0

1 ,| |( )

0 ,| |X

Ω < Ω⎧Ω = ⎨ Ω ≥ Ω⎩

0

0

0

0

sin , 01 1( ) ( )

2 2 , 0

j n j n

n nnx n X e d e d

n

π

π

ππ π

π

ΩΩ Ω

− −Ω

Ω⎧ ≠⎪⎪= Ω Ω = Ω = ⎨ Ω⎪ =⎪⎩

∫ ∫

00( )x n Sa n

πΩ

= Ω


11

Quan hệ về năng lượng (Định lý Parseval về năng lượng)

Một số cặp biến đổi DTFT thông dụng:

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)

5/22/2010

21| ( ) | | ( ) |2

nx

nE x n X d

π

ππ

∞

= −∞ −

= = Ω Ω∑ ∫


12


5/22/2010

6.2.2 Các tính chất của biến đổi DTFT:


13

Chương 6 XỬ LÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)Ví dụ 5: Cho các tín hiệu x1(n) = x2(n) = {1,1,1}. Tính x(n) = x1(n)*x2(n) ?Lời giải:

Cách 1: (sử dụng bảng tích chập)Cách 2: (sử dụng tính chất biến đổi Fourier)

• Xác định phổ của hai tín hiệu:

• Sử dụng tính chất tích chập:

• Mặc khác, biểu thức biến đổi DTFT:• Đồng nhất hai biểu thức, suy ra:

x(n) = {1,2,3,2,1}

5/22/2010

01 1

2 1

( ) ( ) 1 2cos

( ) ( )

j n j j

nX x n e e e e

X X

∞− Ω − Ω Ω

=−∞

Ω = = + + = + Ω

Ω = Ω

∑

1 22

2 2

( ) ( ) ( ) (1 2cos )(1 2cos )

1 4cos 4cos 3 4cos 2cos 23 2( ) ( )j j j j

X X X

e e e e− Ω Ω − Ω Ω

Ω = Ω Ω = + Ω + Ω

= + Ω + Ω = + Ω + Ω

= + + + +

( ) ( ) j n

nX x n e

∞− Ω

=−∞

Ω = ∑


14


5/22/2010

6.2.3 Mối quan hệ giữa biến đổi DTFT và biến đổi Z

Biểu thức hai phép biến đổi:

Từ biểu thức biến đổi Z, nếu đặt z = rejΩ (do z: biến phức). Lúc đó:

X(z) được xem là biến đổi DTFT của chuỗi x(n).r-n.

Ngược lại, nếu X(z) hội tụ với |z| = 1, có thể biểu diễn: z = ejΩ, do vậy:

X(Ω) được xem như biến đổi Z của chuỗi xác định trên vòng tròn đơn vị.

( ) [ ( ) ] ( )n j n

nX z x n r e X

+∞− − Ω

= −∞

= = Ω∑

( ) ( ) ( ) jj n

z en

X x n e X z Ω

+∞− Ω

== −∞

Ω = =∑

( ) ( ) n

nX z x n z

+∞−

= −∞

= ∑

( ) ( ) j n

nX x n e

∞− Ω

= − ∞

Ω = ∑


15


5/22/2010

6.2.3 Mối quan hệ giữa biến đổi DTFT và biến đổi ZVí dụ 6: Tìm biến đổi Z và biến đổi DTFT của chuỗi:

x(n) = (1/2)nu(n)Lời giải:

Biến đổi Z:

Biến đổi DTFT:Cách 1: (tính trực tiếp từ định nghĩa DTFT)

Cách 2: (dựa vào biến đổi Z). Vì ROC: |z|>1/2, chứa vòng tròn đơn vị:

10

1 1 1( ) ( ) , | |12 212

nn n

n nX z x n z z z

z

+∞ +∞− −

−= −∞ =

⎛ ⎞= = = >⎜ ⎟⎝ ⎠ −

∑ ∑

0

1 1( ) ( ) 12 12

nj n j n

jn nX x n e e

e

+∞ +∞− Ω − Ω

− Ω= −∞ =

⎛ ⎞Ω = = =⎜ ⎟⎝ ⎠ −

∑ ∑

1( ) ( ) 112

jz ej

X X ze

Ω=− Ω

Ω = =−


16


5/22/2010

6.3 Biểu diễn miền tần số của hệ thống LTI

6.3.1 Định nghĩa đáp ứng tần số:

Xét hệ thống LTI có đáp ứng xung h(n). Biến đổi DTFT của h(n), ký hiệu H(Ω), được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống rời rạc.

H(Ω) đặc trưng đầy đủ các tính chất của hệ thống trong miền tần số, và thường là một số phức:

Khi biết đáp ứng tần số, dùng biến đổi DTFT ngược để tìm đáp ứng xung.

Điều kiện tồn tại đáp ứng tần số:

H(Ω) tồn tại nếu: ,nghĩa là: hệ thống phải ổn định

( ) ( ) j n

nH h n e

∞− Ω

= − ∞

Ω = ∑

| ( ) |h nn = −∞

∞

< ∞∑

( )( ) | ( ) | j HH H e ∠ ΩΩ = ΩĐáp ứng pha

Đáp ứng biên độ


17


5/22/2010

Ví dụ 7: Cho hệ thống LTI nhân quả được mô tả bởi phương trình I/O:y(n) = 0.9y(n-1) + 0.1x(n)

Xác định đáp ứng biên độ và đáp ứng pha của hệ thống?Lời giải:

Xác định đáp ứng xung h(n):h(n) = 0.9h(n-1) + 0.1δ(n)

n = 0: h(0) = 0.9h(-1) + 0.1δ(0) = 0.1n = 1: h(1) = 0.9h(0) + 0.1δ(1) =0.9*0.1 n = 2: h(2) = 0.9h(1) + 0.1δ(2) = 0.92*0.1;

……………h(n) = 0.1 (0.9)n.u(n)Nhận xét: hệ thống là ổn định, vì vậy tồn tại biến đổi DTFT.

Do đó, đáp ứng tần số:

0( ) ( ) 0.1 (0.9)

1 0.10.11 0.9 1 0.9cos 0.9sin

j n n j n

n n

j

H h n e e

e j

∞ ∞− Ω − Ω

=−∞ =

− Ω

Ω = = ×

= =− − Ω + Ω

∑ ∑


18


5/22/2010

6.3.1 Định nghĩa đáp ứng tần số (tt):

Ví dụ 7 (tt)

Xác định đáp ứng tần số và đáp ứng pha

Vẽ đáp ứng tần số và đáp ứng pha:

0.1 0.9sin| ( ) | ; ( )1 0.9cos1.81 1.8cos

H H arctg ΩΩ = ∠ Ω = −

− Ω− Ω


19


5/22/2010

6.3.2 Quan hệ trong miền tần số

Xét hệ thống LTI có đáp ứng xung h(n), đáp ứng tần số H(Ω):

Đáp ứng tần số của các hệ thống ghép nối:

Hệ thống

rời rạc

Tín hiệu ra

x(n) y(n)=h(n)*x(n)

Tín hiệu vào

X(Ω) Y(Ω)=X(Ω)H(Ω)

y (n)H1(Ω)

H2(Ω)

x(n)y (n)H1(Ω)+ H2(Ω)x(n)

H1(Ω)x(n) y (n)H2(Ω) y (n)H1(Ω)H2(Ω)x(n)


20


5/22/2010

6.3.2 Quan hệ trong miền tần sốVí dụ 8: Cho hệ thống LTI có đáp ứng xung: h(n) = (1/2)nu(n)a. Xác định tín hiệu ngõ ra khi tín hiệu ngõ vào: x(n) = (1/4)nu(n)Lời giải:

Phổ tín hiệu ngõ vào:

Đáp ứng tần số của hệ thống:

Phổ tín hiệu ngõ ra:

Suy ra biểu thức tín hiệu miền thời gian:

0

1 1( ) ( )4 1 / 4

nj n j n

jn n

X x n e ee

∞ ∞− Ω − Ω

− Ω=−∞ =

⎛ ⎞Ω = = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠∑ ∑

0

1 1( ) ( )2 1 / 2

nj n j n

jn n

H h n e ee

∞ ∞− Ω − Ω

− Ω=−∞ =

⎛ ⎞Ω = = =⎜ ⎟ −⎝ ⎠∑ ∑

1 1( ) ( ) ( )1 / 2 1 / 4j jY X H

e e− Ω − ΩΩ = Ω Ω = ×− −

1 1( ) 2 ( )2 4

n n

y n u n⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦


21


5/22/2010

b. Xác định tín hiệu ngõ ra khi tín hiệu ngõ vào: x(n) = 5 + 12sinπn/2 - 20cos(πn + π/4)

Lời giải: Đáp ứng tần số của hệ thống:

Xác định ngõ ra với từng tần số ngõ vào:• Các tần số ngõ vào: 0; π/2; π.• Thay lần lượt vào biểu thức đáp ứng tần số và đáp ứng pha:

1| ( ) |1 1.25 cos( )

1 / 2 0.5sin( )1 0.5cos

j

HH

eH arctg

− Ω

⎧ Ω =⎪⎪ − ΩΩ = ⇒ ⎨− Ω⎪∠ Ω = −⎪ − Ω⎩

Hệ thống

rời rạc H(Ω)

Tín hiệu ra

x(n)=Acos(Ω0πn+ ϕ)

Tín hiệu vào

y(n)=A|H(Ω0)|cos(Ω0nπ+ ϕ+∠H(Ω0))

Chú ý:


22


5/22/2010

Ví dụ 8 (tt)• Thay lần lượt vào biểu thức đáp ứng tần số và đáp ứng pha:

1 1* 0 : | (0) | 20.51.25 1

(0) 0 01 1* / 2 : | ( ) | 0 .89

2 1.121.25 0

( ) 0 .5 0.152

1 1* : | ( ) | 0 .671.51.25 1

( ) 0 0

( ) 5 | (0) | 12 | ( ) | sin ( )2 2 2

20 | ( ) | sin

H

H arctg

H

H arctg

H

H arctg

y n H H n H

H n H

ππ

π π

π π

ππ π π

π π

Ω = = = =−

∠ = − =

Ω = = = =−

∠ = − = −

Ω = = = =+

∠ = − =

⎡ ⎤⇒ = + + ∠⎢ ⎥⎣ ⎦− + ∠[ ]( )10 10.7 sin( / 2 0.15 ) 13.4 cosn n

π

π π π= + − −


23


5/22/2010

Bài tập:

6.1 (bài 6.1.1 trang 223)6.2 (bài 6.1.6 trang 223)6.3 (bài 6.2.1 trang 223)6.4 (bài 6.3.1 trang 225)6.5 (bài 6.3.3 trang 225)6.6 (bài 6.3.4 trang 225)6.7 (bài 6.3.7 trang 226)

Documents

XỬLÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ - stu.edu.vnstu.edu.vn/uploads/documents/310810-112749.pdf · Bài giảng: Xửlý sốtín hiệu 3 Chương 6 XỬLÝ TÍN HIỆU MIỀN TẦN