9. ZAJAM

Pribavljanje sredstava za određene namjene može se provoditi i

uzimanjem zajma. Zajam se odobrava na temelju ugovora

između zajmodavca (obično banka) i zajmoprimca ili

korisnika zajma. Ugovorom se utvrđuje iznos zajma, kamatna

stopa, vrijeme i način otplate zajma i iznosi anuiteta

(obročnih rata). U tom slučaju radi se o modelu otplate zajma u

užem smislu.

Ukoliko se u ugovoru navode i dodatne stavke kao što su poček,

interkalarne kamate, zaštitne klauzule (valutna klauzula,

revalorizacija), naknade, jamstva, osiguranja povrata kredita

(depozit, hipoteke) radi se o modelu otplate zajma u širem

smislu.

Zajam se otplaćuje anuitetima. Anuitet je periodički iznos koji

plaća korisnik zajma, a sastoji se od dva dijela:

otplatne kvote (dio kojim se otplaćuje nominalni iznos

zajma), i

kamata.

1

9. 1. OTPLATA ZAJMA JEDNAKIM ANUITETIMA

Osnovne pretpostavke koje ćemo koristiti kod ovakvog modela

otplate zajma su sljedeće:

•  obračun kamata je složen i dekurzivan,

• anuiteti su jednaki i dospijevaju u jednakim vremenskim

razdobljima krajem termina,

• razdoblje ukamaćivanja (kapitalizacija) jednako je jedinici

vremenskog dospijeća između anuiteta,

• kamatna stopa je konstantna.

Uvedimo sljedeće oznake:

C

a

Ik

Rk

Ck

p

–

–

–

–

–

–

visina zajma,

anuitet,

kamate na kraju k-tog razdoblja,

otplatna kvota na kraju k-tog razdoblja,

ostatak duga na kraju k-tog razdoblja,

konstantna kamatna stopa.

Zajam C treba dakle otplatiti jednakim postnumerando (krajem

razdoblja) anuitetima uz konstantnu kamatnu stopu p. Pitamo

se koliki mora biti takav anuitet. Očito je da zajam C mora biti

jednak sadašnjoj vrijednosti n postnumerando anuiteta što

možemo prikazati i grafički (slika 9.1):

2

9.1

1 2 3 n–1 n

a a a a a aC

a·r 2

a·r

a·r n-1

a·r n

Dakle:

C

odnosno:

C (9.1)

iz čega lako dobivamo formulu za anuitet:

a (9.2)

Primijetimo da smo recipročnu vrijednost iz četvrtih financijskih

tablica označili sa , a vrijednost tog izraza možemo pronaći u

»petim« financijskim tablicama. Dakle:

. (9.3)

3

Prikažimo shematski kako se provodi amortizacija zajma. Plan

otplate najčešće se prati kroz tzv. otplatnu tablicu u kojoj su

redom navedeni: broj razdoblja, anuiteti, kamate, otplatne

kvote i u posljednjem stupcu ostatak duga na kraju k-tog

razdoblja. Svaki redak otplatne tablice predstavlja jedno

razdoblje pri čemu se u nultom retku tablice nalazi samo iznos

zajma (C0 = C).

Otplatna tablica zajma s jednakim postnumerando

anuitetima

k a Ik Rk Ck

0 C0

1 a I1 R1 C1

2 a I2 R2 C2

::

::

::

::

::

n-1 a In-1 Rn-1 Cn-1

n a In Rn 0

n · a

Pri tome se kamate dobivaju iz ostatka duga iz prethodnoga

razdoblja,

4

(9.4)

i zatim se na temelju njih računa otplatna kvota Rk, kao razlika

između anuiteta i kamata. Naime, kao što smo rekli ranije, anuitet

se sastoji od otplatne kvote i složenih kamata, pa vrijedi relacija:

Rk a – Ik ,

odnosno,

a Rk + Ik . (9.5)

Budući da se otplatnim kvotama otplaćuje nominalni iznos zajma,

dug koji je preostao računa se tako da se od prethodnog ostatka

duga (Ck-1) oduzme otplatna kvota Rk, tj.

Ck Ck-1 – Rk. (9.6)

Posljednja otplatna kvota Rn mora biti jednaka ostatku duga u

predzadnjem razdoblju budući da se njome mora konačno otplatiti

cijeli zajam. Dakle, vrijedi:

Rn Cn-1 . (9.7)

Pored toga suma svih otplatnih kvota mora biti jednaka ukupnom

5

zajmu (otplatnim kvotama se otplaćuje nominalni iznos zajma), tj.

(9.8)

te budući da se zajam zajedno sa složenim kamatama otplaćuje

anuitetima, suma svih anuiteta mora biti jednaka sumi zajma i

ukupnih kamata:

+ C, (9.9)

odnosno budući da su u ovom slučaju svi anuitetu jednaki, imamo

n · a = I + C, (9.10)

gdje je I oznaka za ukupne kamate.

Za model zajma sa konstantnim anuitetima vrijedi

6

Rk+1 Rk · r , (9.11)

tj. otplatne kvote tvore geometrijski niz s kvocijentom koji je

jednak kamatnom faktoru r. Dokažimo tu tvrdnju:

Anuitet u bilo kom razdoblju jednak je zbroju kamata i otplatne

kvote, pa prema tome vrijedi:

a Ik + Rk + Rk , odnosno

a Ik+1 + Rk+1 + Rk+1 .

Budući da je Ck-1 Ck + Rk, nakon izjednačavanja desnih strana

gornjih relacija imamo:

+ Rk + Rk+1 ,

ili, nakon skraćivanja i sređivanja:

Rk · Rk+1 , t.j. Rk+1 Rk · r .

Budući da otplatne kvote tvore geometrijski niz, može se

uspostaviti i veza između bilo koje i prve otplatne kvote:

Rk R1 · rk-1. (9.12)

7

Postoji također i veza između anuiteta i posljednje otplatne

kvote. Naime, budući da su svi anuiteti jednaki, i za posljednji

anuitet vrijedi:

a In + Rn.

S obzirom na to da se posljednje kamate dobiju iz pretposljednjeg

ostatka duga, odnosno

In

a vrijedi i Cn-1 Rn, imamo:

a + Rn + Rn Rn · Rn · r .

Dakle, za model zajma sa konstantnim anuitetima vrijedi relacija:

a Rn · r . (9.13)

9.2 REPROGRAMIRANJE ILI KONVERZIJA ZAJMA

Vrlo često za vrijeme trajanja otplate dolazi do promjene nekih

uvjeta amortizacije zajma. Pod konverzijom zajma

podrazumijevamo promjenu ugovorenih uvjeta otplaćivanja

8

zajma. Konverzija znači ili promjenu kamatne stope ili promjenu

roka otplate, ili jedno i drugo, ili promjenu načina otplaćivanja

zajma što ima za posljedicu promjenu anuiteta. U tom slučaju

potrebno je izračunati koliki je u tom trenutku ostatak duga zajma

koji će se nastaviti otplaćivati po novim uvjetima. Dakle, računa

se ostatak duga krajem k-tog termina i taj ostatak duga

predstavlja novi zajam koji podliježe novim uvjetima

amortizacije.

Izračunajmo koliki je ostatak duga krajem k-tog termina za model

zajma sa jednakim anuitetima. Ostatak duga jednak je

sadašnjoj vrijednosti dotada nenaplaćenih anuiteta svedenih

na kraj k-tog razdoblja, što možemo prikazati i grafički

9.2

k+1 k+2 n–1 n

a a a a a

a·r 2

a·r

a·r n-k-1

a·r n-k

1 2

C a a aa

k

Ck

9

Dakle, imamo:

Ck .

budući da se iz slike vidi da je Ck geometrijski niz sa (n – k)

članova, prvim članom , i kvocijentom . Nakon sređivanja

dobijemo:

Ck (9.14)

što predstavlja formulu za izračunavanje ostatka duga krajem

k-tog termina kod dekurzivnog zajma s konstantnim

anuitetima.

10

9.3 KRNJI ILI NEPOTPUNI ANUITET

Moguće je da se pri amortizaciji zajma dužnik i vjerovnik

unaprijed dogovore o visini anuiteta amortizacije. Takav anuitet

zvat ćemo dogovoreni anuitet. Budući da je jako malena

vjerojatnost da takav dogovoreni anuitet bude jednak analitičkom

anuitetu (a C · ) imat ćemo posljedicu da je zadnji anuitet

manji od prethodnih. Stoga taj posljednji anuitet zovemo krnji ili

nepotpuni anuitet i označavamo sa a´. Krnji anuitet računamo

na sljedeći način:

• zadnja otplatna kvota mora biti jednaka prethodnom

(predzadnjem) ostatku duga (zajma),

• zadnja kvota + zadnje kamate nepotpuni anuitet.

 

n (9.15)

Krnji anuitet može se kontrolirati i po formuli:

a´ C · – a · C · – a · (9.16)

gdje je n broj »punih« anuiteta.

11

Također napomenimo da formula (9.14) za ostatak duga, u

slučaju kada postoji krnji anuitet, poprima malo drugačiji

oblik i izgleda ovako:

Ck a + a´ (9.17)

ili u alternativnom tabličnom obliku:

Ck (9.18)

Dokažimo formulu (9.16) za krnji anuitet. Najbolje je opet

problem predstaviti grafički (slika 9.3):

12

9.3

1 2 3 n–1 n

a a a a a aC

a·r 2

a·r

a·r n-1

a·r n

a’·r n+1

n+1

a’

Sada je

C a´

odnosno:

a´ = C – .

Nakon sređivanja dobijemo:

a´ C · rn+1 – .

9.4 INTERKALARNE KAMATE

Kod nekih dugoročnih zajmova između banke (kreditora) i

korisnika zajma ugovara se i interkalarna kamata. To je

13

naknada koju korisnik zajma plaća za korištenje sredstava (cijelog

iznosa ili dijela zajma – tranše) od trenutka doznake sredstava do

trenutka stavljanja zajma u otplatu. Interkalarna kamata može se

obračunati na dva načina:

a) obračunati i isplatiti odjednom u trenutku kad počinje

otplata zajma, ili

b) pripisati iznosu zajma u trenutku stavljanja zajma u

otplatu te tako povećati njegov nominalni iznos.

14