Zastosowanie rzutu środkowego na przykładzie zdjęć

Wstęp

Nauka o rzucie środkowym, zwana perspektywą, zajmuje się odwzorowaniem znajdujących się w trójwymiarowej przestrzeni utworów geometrycznych na dowolnie ustawioną płaszczyznę zwaną tłem ( bądź też płaszczyzną tłową) oraz procesem odwrotnym, tj. odtwarzaniem rzeczywistych kształtów tych utworów na podstawie ich rzutów.

W przypadku restytucji elementem wyjściowym jest obraz perspektywiczny, a elementem wtórnym sam przedmiot.

Zadania restytucji są rozległe. Może ona być stosowana m.in. przy inwentaryzacji, renowacji czy restauracji obiektów. Pewne możliwości restytucji uwidaczniają się przy odtwarzaniu rzeczywistych wymiarów elewacji budynków.

Podstawowe elementy perspektywy

Pojęcia ogólne

W ogólnym przypadku podstawowymi elementami, które określają perspektywę, są: środek rzutów S oraz płaszczyzna rzutowania π nie zawierająca środka rzutów S, zwana płaszczyzną tłową bądź tłem.

Rzut środka rzutów S na płaszczyznę tłową π nazywamy punktem głównym perspektywy.

π

Sπ

SŚrodek rzutów --

Tło --

----Punkt główny perspektywy

Podstawowe elementy perspektywy

B

A

Sa

Sb

π

S

B’

A’

Przy przyjętym na rysunku układzie perspektywy obrazem perspektywicznym odcinka AB będzie jego rzut A’B’, który powstaje przez przebicie płaszczyzny tłowej π promieniami rzutującymi sa i sb przechodzącymi przez środek rzutów S i końce odcinka AB.

Kąt widzenia

Istotną rolę spełnia odległość środka rzutów S od obserwowanego przedmiotu, a także miejsce, w którym ustawiamy miedzy nimi płaszczyznę tłową π.

Z zagadnieniem tym jest związany tzw. kąt widzenia , który tworzą skrajne promienie rzutujące sk i si łączące środek rzutów S z punktami KL odcinka.

Kąt widzenia

S

K K

L L

Sk

Sk

Sl2

1

- kąt widzenia

Przy bliższym położeniu odcinka KL względem środka rzutów S kąt jest większy, a przy położeniu dalszym kąt jest mniejszy. Dla zapewnienia doznania wrażeń zbliżonych do naturalnej obserwacji przedmiotów wielkości kąta powinna być dostosowana do właściwości naszego wzroku.

Głębokość tłowa

Przesuwanie równoległe płaszczyzny tłowej π względem środka rzutów S nie powoduje zmiany kąta widzenia i nie wpływa też na zachwianie proporcji obrazu.

Dla ustalenia położenia płaszczyzny tłowej między środkiem rzutów i odwzorowywanym przedmiotem nie ma określonych „recept”, może ono być uwarunkowane co najwyżej celem, dla którego zamierzamy odwzorować dany przedmiot.

Głębokość tłowa

S

π 1 π 1

K’K’

K

M’M’

M

L’ L’ L

Dla celów poglądowych skala obrazu może być mniejsza, a zatem i odległość płaszczyzny tłowej od środka rzutów też może być mniejsza. Dla celów dokumentacyjnych, dla których jest wymagana większa skala rysunku, odległość ta powinna być większa (tło powinno być bardziej zbliżone do przedmiotu).

Okrąg głębokości tłowej

Mając wyznaczone położenie punktu głównego Sπ zataczamy z niego na płaszczyźnie π okrąg k, o promieniu równym głębokości tłowej. Okrąg k będziemy nazywać okręgiem oddalenia lub okręgiem głębokości tłowej.

Sπ

kπ

Elementy bazowe perspektywy

Można odtworzyć właściwe położenie środka rzutów S znając położenie punktu głównego Sπ.

A zatem podstawowe elementy bazowe perspektywy to:

1. Sπ - punkt główny perspektywy

2. s – promień główny3. - głębokość tłowa4. k – okrąg oddalenia

Elementy bazowe perspektywy

kπ

S

Sπ

sSπ

kπ

Sπ - punkt główny perspektywy, s – promień główny,

- głębokość tłowa, k – okrąg oddalenia

W praktyce, przy wykreślnych metodach odwzorowań, płaszczyznę tłową π zastępujemy arkuszem papieru, na którym utrwalamy położenie punktu głównego S i okręgu oddalenia k.

Niezmienniki rzutu środkowego

-współliniowość punktów

- niezmienniczość dwustosunku czwórki punktów leżących na jednej prostej

- równość kąta o ramionach równoległych do płaszczyzny tłowej π

Właściwości obiektu w trójwymiarowej przestrzeni różnią się od jego rzutu na płaszczyznę, niektóre jednak właściwości obiektu nie zmieniają się przy rzutowaniu, nazywają się wiec niezmiennikami.

Współliniowość punktów wyraża się tym, że rzutem środkowym prostej l jest prosta l’.

π

k

Sπ

S

C’

B’

C

B

ll’ =k

A=A’

Dwustosunek czwórki punktów ABCD leżących na dowolnej prostej l i ich rzutów A’B’C’D’ na płaszczyznę tłową jest równy :

SSπ

πk

l’

l

A

B

C

D

A’

B’C’

D’

D'B'

D'A'

C'B'

C'A'

BD

AD

BC

AC::

Równość kąta o ramionach równoległych do płaszczyzny tłowej π.

Kąt, którego ramiona a i b są równoległe do płaszczyzny tłowej π jest równy kątowi jakie tworzą rzuty środkowe a’b’ ramion a i b na płaszczyznę tłową π.

πk

SSπ

A

C

E

BD

D’

B’

E’

C’A’

b’ a’b//

a//

’=

Rzut punktu

Rzutem środkowym punktów przestrzeni za wyjątkiem tych, które leżą na płaszczyźnie zniknienia, tj. na płaszczyźnie przechodzącej przez środek rzutów S i równoległej do π są punkty właściwe.

Natomiast rzutem środkowym wszystkich punktów leżących na płaszczyźnie zniknienia są punkty niewłaściwe.

S Sπ

kπ

A

∞

A

SSπ

sb B’B

kπ

Rzut punktu

Na podstawie rzutu samego punktu nie możemy restytuować jego położenia przestrzennego. Wszystkie bowiem punkty, które leżą na promieniu rzutującym ten punkt, będą rzutować się na płaszczyznę tłową na siebie. Dlatego też przy odwzorowaniu perspektywicznym punktów należy zawsze wiązać je z prostymi.

Rzut prostej

Rzutem środkowym prostej może być prosta lub punkt.

Jeżeli weźmiemy pod uwagę prostą l nie leżącą na płaszczyźnie zniknienia , to jej rzutem środkowym na płaszczyznę tłową będzie prosta l’, którą łatwo znajdziemy obierając na prostej l dwa dowolne punkty A i B i wyznaczając ich rzuty A’ i B’.

Rzut l’ prostej l określamy za pomocą: Zl i Tl , gdzie:

Tl – ślad tłowy, czyli punkt przebicia płaszczyzny π prostą l,Zl – ślad zbiegu prostej, utożsamiany z jej punktem niewłaściwym powiązanym z kierunkiem tej prostej.

Rzut prostej

Dowolna prosta

π

k

SSπ l’

Zl

Tl

Zl

Zl

l

Tl

Zl

Sπ

l’

klz

Ślad zbiegu Zl i ślad tłowy Tl prostej l wyznaczają rzut prostej. Rzutem prostej l zawierającej środek rzutów S jest punkt l’, w którym prosta przebija płaszczyznę tłową.

Prosta leżąca na płaszczyźnie zniknienia

S Sπ

kπ

A

B

l

A

B

Sπ

kl’

Prosta leżąca na płaszczyźnie zniknienia nie posiada swojego rzutu.

Proste równoległe

Proste l i m wzajemnie równoległe mają wspólny punkt niewłaściwy Z. Zatem proste równoległe l i m będą miały na płaszczyźnie tłowej wspólny ślad zbiegu.

π k

Sπ

l’

S

Zl=Zm

l

m

Tl

Tm

m’

Zl=Zm

k

Sπ

TlTm

l’

m’

Rzut płaszczyzny

Jeżeli płaszczyzna nie zawiera środka rzutów, to jej rzutem jest cała płaszczyzna tłowa. Dla jednoznacznego i jednocześnie odwracalnego sposobu odwzorowania płaszczyzny będziemy posługiwać się tylko charakterystycznymi jej elementami. Będą to:- krawędź przecięcia płaszczyzny α z płaszczyzną tłową π, którą

będziemy nazywać śladem tłowym tα płaszczyzny α,

- krawędź przecięcia płaszczyzny tłowej π z płaszczyzną zbiegu α¯ poprowadzoną równolegle do płaszczyzny α i przechodzącą przez środek rzutów S; krawędź tę będziemy nazywać śladem zbiegu zα

płaszczyzny α.

Rzut płaszczyzny

π

S

Sπα¯

α

tα

zα

Sπ

k

zα

tα

Prosta prostopadła do płaszczyznyk(π,ε)

π

S

L

ε

α¯Sπ

p¯Zp

zα

k(ε,

α¯)

π

α¯

α

k1

RSπ

L

S

A

A° l’

Tl

Zl

l¯l°¯

l

l°

S°

ε

φφ°

φ°¯

φ¯

k(π,ε)

S°

l°¯

Sπ

R¯ a’ b’

k(π,ε)

A°

B° l°b

b°

a

a°

S¯

k1

kL

B’A’

a°¯ b°¯

Za Zb Zl

Ta Tb

Tl

zα

tα

l’

So

ZaLM

SπB’

A’

zα

tα

S¯

Ta

Ao

Bo

ao

A¯ B¯

Punkt mierzenia

Przy wykreślnych metodach rzutowania środkowego płaszczyznę tłową π zawsze ustawiamy po stronie odwzorowywanego przedmiotu (przed lub za przedmiotem).

W takim ustawieniu płaszczyzny tłowej uzyskiwany obraz figury płaskiej nie jest odwrócony do oryginału (a). Natomiast w fotografii mamy sytuację nieco inną (b):

A

C

B

A’

C’

B’S

B’

C’

A’

π1π

a b

Perspektywa pionowa

Cechą charakterystyczną pionowego układu perspektywy jest to, że proste prostopadłe do płaszczyzny podstawy mają niewłaściwy ślad zbiegu, a więc ich rzuty zachowują wzajemną równoległość i są jednocześnie prostopadłe do linii horyzontu h oraz do linii podstawy p.

k

p

hSπ

hp

Linia horyzontu h – jako ślad zbiegu płaszczyzny podstawy h Sπ

Linia podstawy p-jako ślad tłowy Płaszczyzny podstawy

Wysokość linii horyzontu hp

Proste prostopadłe do płaszczyzny tłowej mają wspólny ślad zbiegu pokrywający się z punktem głównym Sπ perspektywy, a punkty mierzenia M tych prostych znajdują się w miejscach przecięcia się linii horyzontu h z okręgiem głębokości tłowej k.

k

hSπM M

Proste poziome równoległe do płaszczyzny tłowej π mają niewłaściwy ślad zbiegu i ślad tłowy oraz rzutują się równolegle do linii podstawy p i horyzontu h. Wszystkie inne proste poziome mają ślady zbiegu na linii horyzontu.

Perspektywa pionowa

S°

b

h

paa

k

SπM2 M1 Z2Z1

A

PRZYKŁADY PERSPEKTYWY

Prezentację przygotował Kamil Kowalczyk, jako załącznik do pracy magisterskiej pt. „Zastosowanie rzutu środkowego na przykładzie zdjęć”

Autor serdecznie dziękuje Pani dr Renacie Jędryczce za pomoc merytoryczną i cenne uwagi podczas pisania pracy oraz w przygotowywaniu prezentacji.

Uniwersytet Warmińsko-MazurskiWydział Geodezji i Gospodarki Przestrzennej

Olsztyn 2001